离散数学13
离散数学(第五版)清华大学出版社第1章习题解答
离散数学（第五版）清华大学出版社第1章习题解答1．1 除（3），（4），（5），（11）外全是命题，其中，（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）是简单命题，（6），（7），（12），（13）是复合命题。
分析首先应注意到，命题是陈述句，因而不是陈述句的句子都不是命题。
本题中，（3）为疑问句，（5）为感叹句，（11）为祈使句，它们都不是陈述句，所以它们都不是命题。
其次，4）这个句子是陈述句，但它表示的判断结果是不确定。
又因为（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）都是简单的陈述句，因而作为命题，它们都是简单命题。
（6）和（7）各为由联结词“当且仅当”联结起来的复合命题，（12）是由联结词“或”联结的复合命题，而（13）是由联结词“且”联结起来的复合命题。
这里的“且”为“合取”联结词。
在日常生活中，合取联结词有许多表述法，例如，“虽然……，但是……”、“不仅……，而且……”、“一面……，一面……”、“……和……”、“……与……”等。
但要注意，有时“和”或“与”联结的是主语，构成简单命题。
例如，（14）、（15）中的“与”与“和”是联结的主语，这两个命题均为简单命题，而不是复合命题，希望读者在遇到“和”或“与”出现的命题时，要根据命题所陈述的含义加以区分。
1．2 （1）p: 2是无理数，p为真命题。
（2）p:5能被2整除，p为假命题。
（6）p→q。
其中，p:2是素数，q：三角形有三条边。
由于p与q都是真命题，因而p→q为假命题。
（7）p→q，其中，p：雪是黑色的，q：太阳从东方升起。
由于p为假命题，q为真命题，因而p→q为假命题。
（8）p:2000年10月1日天气晴好，今日（1999年2月13日）我们还不知道p的真假，但p的真值是确定的（客观存在的），只是现在不知道而已。
（9）p：太阳系外的星球上的生物。
它的真值情况而定，是确定的。
1（10）p：小李在宿舍里. p的真值则具体情况而定，是确定的。
离散数学作业标准答案
离散数学作业一、选择题1、下列语句中哪个就是真命题(C )。
A.我正在说谎。
B.如果1+2=3,那么雪就是黑色的。
C.如果1+2=5,那么雪就是白色的。
D.严禁吸烟！2、设命题公式))((r q p p G →∧→=,则G 就是( C )。
A 、 恒假的B 、 恒真的C 、 可满足的D 、 析取范式 3、谓词公式),,(),,(z y x yG x z y x F ∃∀→中的变元x ( C )。
A.就是自由变元但不就是约束变元 B.既不就是自由变元又不就是约束变元 C.既就是自由变元又就是约束变元 D.就是约束变元但不就是自由变元4、设A={1,2,3},则下列关系R 不就是等价关系的就是(C ) A.R={<1,1>,<2,2>,<3,3>}B.R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<2,3>,<3,2>}C.R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,4>}D.R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>,<1,3>,<2,3>,<2,1>,<3,1>,<3,2>} 5、设R 为实数集,映射σ=R →R,σ(x)= -x 2+2x-1,则σ就是( D )。
A.单射而非满射B.满射而非单射C.双射D.既不就是单射,也不就是满射 6、下列二元运算在所给的集合上不封闭的就是( D ) A 、 S={2x-1|x ∈Z +},S 关于普通的乘法运算 B 、 S={0,1},S 关于普通的乘法运算 C 、 整数集合Z 与普通的减法运算D 、 S={x | x=2n ,n ∈Z +},S 关于普通的加法运算7、*运算如下表所示,哪个能使({a,b},*)成为含幺元半群( D )b b b a a a b a * a b b b a a b a *8( A )A B C D 9、下列各组数中,能构成无向图的度数列就是( D ) A.1,1,1,2,4 B.1,2,3,4,5 C.0,1,0,2,4 D.1,2,3,3,510、一棵树有2个4度顶点,3个3度顶点,其余都就是树叶,则该树中树叶的个数就是( B )A 、8B 、9C 、 10D 、 11 11、“所有的人都就是要死的。
离散数学结构 第十三章 格与布尔代数
第十三章格与布尔代数13.1 格的定义与性质一、格作为偏序集的定义1．格的定义定义13.1设<S,>是偏序集,如果x,y S,{x,y}都有最小上界和最大下界,则称S 关于偏序作成一个格。
由于最小上界和最大下界的唯一性,可以把求{x,y}的最小上界和最大下界看成x与y的二元运算∨和∧,即求x∨y和x∧y分别表示x与y的最小上界和最大下界。
这里要说明一点，本章中出现的∨和∧符号只代表格中的运算，而不再有其它的含义。
2．格的实例例13.1设n是正整数,S n是n的正因子的集合。
D为整除关系,则偏序集<S n,D>构成格。
x,y∈S n,x∨y是lcm(x,y),即x与y的最小公倍数。
x∧y是gcd(x,y),即x与y的最大公约数。
图13.1给出了格<S8,D>，<S6,D>和<S30,D>.图13.1例13.2 判断下列偏序集是否构成格,并说明理由。
(1) <P(B),>,其中P(B)是集合B的幂集。
(2) <Z,≤>,其中Z是整数集,≤为小于或等于关系。
(3) 偏序集的哈斯图分别在图13.2中给出。
二．格的性质1．对偶原理定义13.2设f是含有格中元素以及符号=,,,∨和∧的命题。
令f*是将f中的替换成,替换成,∨替换成∧,∧替换成∨所得到的命题。
称f*为f的对偶命题。
例如,在格中令f是(a∨b)∧c c, 则f*是(a∧b)∨c c .格的对偶原理设f是含有格中元素以及符号=,,,∨和∧等的命题。
若f对一切格为真,则f的对偶命题f*也对一切格为真。
例如,对一切格L都有a,b∈L,a∧b a那么对一切格L都有a,b∈L,a∨b a许多格的性质都是互为对偶命题的。
有了格的对偶原理,在证明格的性质时,只须证明其中的一个命题就可以了。
2. 运算性质定理13.1设<L,>是格,则运算∨和∧适合交换律、结合律、幂等律和吸收律,即(1) a,b ∈L 有a∨b=b∨a, a∧b=b∧a(2) a,b,c∈L 有(a∨b)∨c=a∨(b∨c), (a∧b)∧c=a∧(b∧c)(3) a∈L 有a∨a=a, a∧a=a(4) a,b∈L 有a∨(a∧b)=a, a∧(a∨b)=a证(1)a∨b和b∨a分别是{a,b}和{b,a}的最小上界。
离散数学sec13 匹配
Hall定理
定理13.11 （Hall定理）设二部图G=<V1,V2,E>中， |V1||V2|. G中存在从V1到V2的完备匹配当且仅当V1中任 意k(k=1,2,…,|V1|)个顶点至少与V2中的k个顶点相邻. 本定理中的条件常称为“相异性条件”. 由Hall定理立刻可 知，上图中(2)为什么没有完备匹配. m个男孩的结婚问题有解 iff 对每个正整数k(1≤k≤m), 任意k个男孩所认识的女孩的总数至少是k个。
证明线索：必要性. 若含可增广交错路径，可生成比M更 大的匹配. 充匹可论分配增为性，广真只 交.. 设 否要 错M则证 路和H明 径M.1|M设分，|=H别此|M=为时1G|不，即[M含H可1中可. M的由增]交必，广错要若路圈性H径=(知的若，匹，存M配M在1=和也)M，最不1其，大含上结 M数与也M相1等的边 （数 因相 为等M与，M且1所均有无交可错增路广径路上径，）M. 与M1中的边
证明见教材.
15
最大匹配与最小边覆盖之间关系(续)
(1)
(2)
图中，红边为匹配M中的边. (1)中匹配是最大匹配. (2)中红 边与绿边组成最小边覆盖W. 反之，由(2)的最小边覆盖W产生(1)中的最大匹配M.
推论 设G是n阶无孤立顶点的图. M为G中的匹配， W是G中的边覆盖，则 |M| |W|，等号成立时，M为 G中完美匹配，W为G中最小边覆盖.
4
点独立集与点独立数
(1)
(2)
在图中，点独立数依次为2, 2
Hale Waihona Puke 5极大独立集与极小支配集
定理13.2 设G=<V,E>中无孤立点，则G的极大顶点 独立集都是极小支配集. 证明线索： (1) 设V*为G的极大顶点独立集，证明它也是支配集.
离散数学答案第二版-高等教育出版社课后答案
第二版高等教育出版社课后答案第一章部分课后习题参考答案16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。
（1）p∨(q∧r)⇔0∨(0∧1) ⇔0（2）（p↔r）∧(﹁q∨s) ⇔（0↔1）∧(1∨1) ⇔0∧1⇔0.（3）（⌝p∧⌝q∧r）↔(p∧q∧﹁r) ⇔（1∧1∧1）↔ (0∧0∧0)⇔0(4)（⌝r∧s）→(p∧⌝q) ⇔（0∧1）→(1∧0) ⇔0→0⇔117．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。
并且，如果3是无理数，则2也是无理数。
另外6能被2整除，6才能被4整除。
”答：p: π是无理数 1q: 3是无理数0r: 2是无理数 1s:6能被2整除 1t: 6能被4整除0命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。
19．用真值表判断下列公式的类型：（4）(p→q) →(⌝q→⌝p)（5）(p∧r) ↔(⌝p∧⌝q)（6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r)答：（4）p q p→q ⌝q ⌝p ⌝q→⌝p (p→q)→(⌝q→⌝p)0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 11 0 0 1 0 0 11 1 1 0 0 1 1所以公式类型为永真式（5）公式类型为可满足式（方法如上例）（6）公式类型为永真式（方法如上例）第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.(1) ⌝(p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)⇔(⌝p∨(p∨q))∨(⌝p∨r)⇔⌝p∨p∨q∨r⇔1所以公式类型为永真式(3)P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r)0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 0 1 1 1 11 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1所以公式类型为可满足式4.用等值演算法证明下面等值式：(2)(p→q)∧(p→r)⇔(p→(q∧r))(4)(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨q) ∧⌝(p∧q)证明（2）(p→q)∧(p→r)⇔ (⌝p∨q)∧(⌝p∨r)⇔⌝p∨(q∧r))⇔p→(q∧r)（4）(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨(⌝p∧q)) ∧(⌝q∨(⌝p∧q)⇔(p∨⌝p)∧(p∨q)∧(⌝q∨⌝p) ∧(⌝q∨q)⇔1∧(p∨q)∧⌝(p∧q)∧1⇔(p∨q)∧⌝(p∧q)5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值(1)(⌝p→q)→(⌝q∨p)(2)⌝(p→q)∧q∧r(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)解：（1）主析取范式(⌝p →q)→(⌝q ∨p)⇔⌝(p ∨q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∨p)⇔ (⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∧p)∨(⌝q ∧⌝p)∨(p ∧q)∨(p ∧⌝q)⇔ (⌝p ∧⌝q)∨(p ∧⌝q)∨(p ∧q)⇔320m m m ∨∨⇔∑(0,2,3)主合取范式：(⌝p →q)→(⌝q ∨p)⇔⌝(p ∨q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∨(⌝q ∨p))∧(⌝q ∨(⌝q ∨p))⇔1∧(p ∨⌝q)⇔(p ∨⌝q) ⇔ M 1⇔∏(1)(2) 主合取范式为：⌝(p →q)∧q ∧r ⇔⌝(⌝p ∨q)∧q ∧r⇔(p ∧⌝q)∧q ∧r ⇔0所以该式为矛盾式.主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7)矛盾式的主析取范式为 0(3)主合取范式为：(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r)⇔⌝(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r)⇔(⌝p ∧(⌝q ∨⌝r))∨(p ∨q ∨r)⇔(⌝p ∨(p ∨q ∨r))∧((⌝q ∨⌝r))∨(p ∨q ∨r))⇔1∧1⇔1所以该式为永真式.永真式的主合取范式为 1主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14. 在自然推理系统P中构造下面推理的证明：(2)前提：p→q,⌝(q∧r),r结论：⌝p(4)前提：q→p,q↔s,s↔t,t∧r结论：p∧q证明：（2）①⌝(q∧r) 前提引入②⌝q∨⌝r ①置换③q→⌝r ②蕴含等值式④r 前提引入⑤⌝q ③④拒取式⑥p→q 前提引入⑦￢p（3）⑤⑥拒取式证明（4）：①t∧r 前提引入②t ①化简律③q↔s 前提引入④s↔t 前提引入⑤q↔t ③④等价三段论⑥（q→t）∧(t→q) ⑤置换⑦（q→t）⑥化简⑧q ②⑥假言推理⑨q→p 前提引入⑩p ⑧⑨假言推理(11)p∧q ⑧⑩合取15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理：(1)前提：p→(q→r),s→p,q结论：s→r证明①s 附加前提引入②s→p 前提引入③p ①②假言推理④p→(q→r) 前提引入⑤q→r ③④假言推理⑥q 前提引入⑦r ⑤⑥假言推理16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：(1)前提：p→⌝q,⌝r∨q,r∧⌝s结论：⌝p证明：①p 结论的否定引入②p→﹁q 前提引入③﹁q ①②假言推理④￢r∨q 前提引入⑤￢r ④化简律⑥r∧￢s 前提引入⑦r ⑥化简律⑧r∧﹁r ⑤⑦合取由于最后一步r∧﹁r 是矛盾式,所以推理正确.第四章部分课后习题参考答案3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值:(1) 对于任意x,均有2=(x+)(x).(2) 存在x,使得x+5=9.其中(a)个体域为自然数集合.(b)个体域为实数集合.解：F(x): 2=(x+)(x).G(x): x+5=9.(1)在两个个体域中都解释为)∀，在（a）中为假命题，在(b)中为真命题。
13级离散数学(3-1图论)
【作业6】在一个部门的25个人中间，由于意见不
同，是否可能每个人恰好与其他5个人意见一致？ 分析：考虑一个图，其中顶点代表人，如果两个人 意见相同，可用边连接，所以每个顶点都是5度。 解：令 25 个人分别为 v1 v2 …v25 . 则 degv1 = degv2 =…= degv25 =5 degv1 + degv2 +…+degv25 =125 是奇数 但在任何图中, 度数为奇数的结点必定是偶数， 所以是不可能的。
【作业5】求出下列各图的补图？
测试题
【测试题1】
a)画出无向完全图K4 和K6 并求出它们的边数。 b)画出完全二部图K4,2 ,和K3,3 并求出它们的边数。
【测试题2】
a)判断下列各图是否是（1）图的生成图、导出图或补图？ b)画出（1）图的补图，并求出完全图K5的边数。
例：G1是无向图，deg(v1)=3，deg(v2)=1
G2是有向图，deg+(v1)=3，deg-(v1)=2，
deg(v1)=5，
v1 v2 v1
G2
v2
v3
G1
d(v1)＝3(注意，环提供2
度)， v2是悬挂顶点，
v4
【作业4】求下列各图顶点的度数
【注意】d-(a)＝4，d+(a)＝1
(环e1提供出度1，提供入度1) d(a)＝4+1＝5。
【说明】无向完全图：每一条边都是无向边不
含有平行边和环，每一对顶点间都有边相连。
完全图举例
K5
3阶有向完全图
4阶有向完全图
n阶无向完全图的边数为：
n(n-1)/2
【作业2】画出无向完全图K3 ,K4 和K6 并求出
它们的边数。
离散数学(刘任任版)习题13
9
8.标记过程停止的充要条 件是 : f x , y ≥ C (K min )
'
证明 : 仿最大流最小割定理的证明方法, 假设 标记过程已停止, 如下定义顶点的子集V1 1). x ∈ V1 ; 2).若vi ∈ V1 , C (i, j ) > f (i, j ) 或 f ( j , i ) > 0, 则 v j ∈ V1 ; 标记过程停止有两种情形 : 情形1 : y被标识, 于是V1 = V , V = φ
( ) ( ) C (T , T ) ≤ C (S Ι T , S Ι T )
( ) ( )
(1) ( 2)
T a b c d
e
S
C S ΥT , S ΥT ≤ C S, S + C T , T − C S Ι T , S Ι T
(
) ( ) ( ) ( ≤ C(S, S )
)
3
由此得：
C S Υ T,S Υ T = C S,S
离散数学
习题集
十三 网络最大流
1
1. 证明 : 对网络N中的任意一个流f 和S ⊆ V ( N ), 均有
∑ [ f (v,V ) − f (V , v )] = f (S , S ) − f (S ,S )
v∈S
⎛ ⎞ 证明: 左式= ∑⎜ ∑ f (v, u) − ∑ f (u, v)⎟ v∈S ⎝ u∈ V u∈ V ⎠ ⎛ ⎞ = ∑⎜ ∑ f (v, u) + ∑ f (v, u) − ∑ f (u, v) − ∑ f (u, v)⎟ ⎜ ⎟ v∈S ⎝ u∈S u∈S u∈S u∈S ⎠ = ∑∑ f (v, u) − ∑∑ f (u, v)
因此，
(
《离散数学》课后习题答案
1-1，1-2（1）解：a)是命题，真值为T。
b)不是命题。
c)是命题，真值要根据具体情况确定。
d)不是命题。
e)是命题，真值为T。
f)是命题，真值为T。
g)是命题，真值为F。
h)不是命题。
i)不是命题。
（2）解：原子命题：我爱北京天安门。
复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。
（3）解：a)(┓P ∧R)→Qb)Q→Rc)┓Pd)P→┓Q（4）解：a)设Q:我将去参加舞会。
R:我有时间。
P:天下雨。
Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
b)设R:我在看电视。
Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。
c) 设Q:一个数是奇数。
R:一个数不能被2除。
（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。
(5) 解：a)设P：王强身体很好。
Q：王强成绩很好。
P∧Qb)设P：小李看书。
Q：小李听音乐。
P∧Qc)设P：气候很好。
Q：气候很热。
P∨Qd)设P： a和b是偶数。
Q：a+b是偶数。
P→Qe)设P：四边形ABCD是平行四边形。
Q ：四边形ABCD的对边平行。
P Qf)设P：语法错误。
Q：程序错误。
R：停机。
（P∨ Q）→ R(6) 解：a)P:天气炎热。
Q:正在下雨。
P∧Qb)P:天气炎热。
R:湿度较低。
P∧Rc)R:天正在下雨。
S:湿度很高。
R∨Sd)A:刘英上山。
B:李进上山。
A∧Be)M:老王是革新者。
N:小李是革新者。
M∨Nf)L:你看电影。
M:我看电影。
┓L→┓Mg)P:我不看电视。
Q:我不外出。
R:我在睡觉。
P∧Q∧Rh)P:控制台打字机作输入设备。
Q:控制台打字机作输出设备。
P∧Q1-3（1）解：a)不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b)是合式公式c)不是合式公式（括弧不配对）d)不是合式公式（R和S之间缺少联结词）e)是合式公式。
（2）解：a）A是合式公式，(A∨B)是合式公式，(A→(A∨B))是合式公式。
苏XI友离散数学作业(13篇)
作业6
补充作业:用等值演算证明下列等值式. (1)∃x∃y¬ (F(x)∧¬ G(y))∀xF(x)→∃yG(y). 证.∃x∃y¬ (F(x)∧¬ G(y))
∃x∃y(¬ F(x)∨G(y))或 ∃x(¬ F(x)∨∃yG(y)) ∃x∃y(F(x)→G(y)) ∃x¬ F(x)∨∃yG(y) ∃x(F(x)→∃yG(y)) ¬ ∀xF(x)∨∃yG(y) ∀xF(x)→∃yG(y). ∀xF(x)→∃yG(y)
2020
感谢 观看
*北京林业大学信息学院 苏喜友
作业6
P55-2.15 求下列各式的前束范式, 要求使用自 由变项换名规则.
(2)∃x(F(x)∧∀yG(x,y,z))→∃zH(x,y,z) 解.∃x(F(x)∧∀yG(x,y,z))→∃zH(x,y,z)
∃x(F(x)∧∀yG(x,y,u))→∃zH(v,w,z) ∃x∀y(F(x)∧G(x,y,u))→∃zH(v,w,z) ∀x∃y((F(x)∧G(x,y,u))→∃zH(v,w,z)) ∀x∃y∃z((F(x)∧G(x,y,u))→H(v,w,z)).
作业1
P33-1.7 (7)设A=(p∨¬ p)→((q∧¬ q)∧¬ r)
p q r ¬ p ¬ q ¬ r p∨¬ p q∧¬ q (q∧¬ q)∧¬ r A
000 1 1 1 1
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0
0
001 1 1 0 1
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0
010 1 0 1 1
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011 1 0 0 1
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0
100 0 1 1 1
0
*北京林业大学信息学院 苏喜友
作业5
(5)任何金属都可以溶解在某种液体中. 设M(x):x是金属, L(x):x是液体, R(x,y):x 溶解在y中. 符号化为: ∀x(M(x)→∃y(L(y)∧R(x,y))).
离散数学(第二版)课后习题答案详解(完整版)
习题一1.下列句子中,哪些是命题？在是命题的句子中,哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？（1）中国有四大发明.答：此命题是简单命题，其真值为 1.（2）5 是无理数.答：此命题是简单命题，其真值为 1.（3）3 是素数或 4 是素数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为1.（4）2x+ <3 5 答：不是命题.（5）你去图书馆吗？答：不是命题.（6）2 与3 是偶数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（7）刘红与魏新是同学.答：此命题是简单命题，其真值还不知道.（8）这朵玫瑰花多美丽呀！答：不是命题.（9）吸烟请到吸烟室去！答：不是命题.（10）圆的面积等于半径的平方乘以π.答：此命题是简单命题，其真值为 1.（11）只有6 是偶数，3 才能是2 的倍数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（12）8 是偶数的充分必要条件是8 能被3 整除.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（13）2008 年元旦下大雪.答：此命题是简单命题，其真值还不知道.2.将上题中是简单命题的命题符号化.解:（1）p：中国有四大发明.（2）p: 是无理数.（7）p:刘红与魏新是同学.（10）p:圆的面积等于半径的平方乘以π.（13）p:2008 年元旦下大雪.3.写出下列各命题的否定式,并将原命题及其否定式都符号化,最后指出各否定式的真值.（1）5 是有理数.答：否定式：5 是无理数. p：5 是有理数.q：5 是无理数.其否定式q 的真值为1.（2）25 不是无理数.答：否定式：25 是有理数. p：25 不是无理数. q：25 是有理数. 其否定式q 的真值为1.（3）2.5 是自然数.答：否定式：2.5 不是自然数. p：2.5 是自然数. q：2.5 不是自然数. 其否定式q 的真值为1.（4）ln1 是整数.答：否定式：ln1 不是整数. p：ln1 是整数. q：ln1 不是整数. 其否定式q 的真值为1.4.将下列命题符号化，并指出真值.（1）2 与5 都是素数答：p：2 是素数，q：5 是素数，符号化为p q∧ ，其真值为 1.（2）不但π是无理数，而且自然对数的底e 也是无理数.答：p：π 是无理数，q：自然对数的底e 是无理数，符号化为p q∧ ，其真值为1.（3）虽然2 是最小的素数，但2 不是最小的自然数.答：p：2 是最小的素数，q：2 是最小的自然数，符号化为p q∧¬ ，其真值为1.（4）3 是偶素数.答：p：3 是素数，q：3 是偶数，符号化为p q∧ ，其真值为0.（5）4 既不是素数，也不是偶数.答：p：4 是素数，q：4 是偶数，符号化为¬ ∧¬p q，其真值为0.5.将下列命题符号化，并指出真值.（1）2 或3 是偶数.（2）2 或4 是偶数.（3）3 或5 是偶数.（4）3 不是偶数或4 不是偶数.（5）3 不是素数或4 不是偶数.答: p：2 是偶数，q：3 是偶数，r:3 是素数，s:4 是偶数, t:5 是偶数(1)符号化: p q∨ ，其真值为1.(2)符号化：p r∨ ，其真值为1.(3)符号化：r t∨ ，其真值为0.(4)符号化：¬ ∨¬q s，其真值为1.(5)符号化：¬ ∨¬r s，其真值为0.6.将下列命题符号化.（1）小丽只能从筐里拿一个苹果或一个梨.答：p：小丽从筐里拿一个苹果，q：小丽从筐里拿一个梨，符号化为: p q∨ .（2）这学期，刘晓月只能选学英语或日语中的一门外语课.答：p：刘晓月选学英语，q：刘晓月选学日语，符号化为: (¬ ∧ ∨ ∧¬p q)(p q) .7.设p：王冬生于1971 年，q：王冬生于1972 年，说明命题“王冬生于1971 年或1972年”既可以化答:列出两种符号化的真值表：p q0 0 0 00 1 1 11 0 1 11 1 0 1根据真值表,可以判断出,只有当p 与q 同时为真时两种符号化的表示才会有不同的真值,但结合命题可以发现,p 与q 不可能同时为真,故上述命题有两种符号化方式.8.将下列命题符号化,并指出真值., 就有；（1）只要, 则；（2）如果, 才有；（3）只有, 才有；（4）除非, 否则；（5）除非（6）仅当.答:设p: , 则: ; 设q: , 则: .符号化真值（1） 1（2） 1（3）0（4）0（5）0（6） 1 ：俄罗斯位于南半球,q：亚洲人口最多,将下面命题用自然语言表述（1）；（2）；；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）.答:根据题意,p 为假命题,q 为真命题.自然语言真值（1）只要俄罗斯位于南半球,亚洲人口就最多 1 （2）只要亚洲人口最多,俄罗斯就位于南半球0 （3）只要俄罗斯不位于南半球,亚洲人口就最多 1 （4）只要俄罗斯位于南半球，亚洲人口就不是最多 1 （5）只要亚洲人口不是最多，俄罗斯就位于南半球 1 （6）只要俄罗斯不位于南半球，亚洲人口就不是最多0 （7）只要亚洲人口不是最多，俄罗斯就不位于南半球 1（1）；（2）；（3）；（4）.答:根据题意,p 为真命题,q 为假命题.自然语言真值（1）9 是 3 的倍数当且仅当英语与土耳其相邻0 （2）9 是 3 的倍数当且仅当英语与土耳其不相邻 1 （3）9 不是3 的倍数当且仅当英语与土耳其相邻 1（4） 9 不是 3 的倍数当且仅当英语与土耳其不相邻11. 将下列命题符号化,并给出各命题的真值： （1） 若 2+2=4,则地球是静止不动的； （2） 若 2+2=4,则地球是运动不止的； （3） 若地球上没有树木,则人类不能生存；（4） 若地球上没有水,则 是无理数.12. （1）2+2=4 当且仅当 3+3=6；（2）2+2=4 的充要条件是 3+3 6；（3）2+2 4 与 3+3=6 互为充要条件；（4）若 2+2 4,则 3+3 6,反之亦然.答:设 p:2+2=4,q:3+3=6.符号化真值 (1)1(2)(3)(4)113. 将下列命题符号化,并讨论各命题的真值： （1） 若今天是星期一,则明天是星期二； （2） 只有今天是星期一,明天才是星期二；命题 1命题 2 符号化 真值 （1） p:2+2=4 q:地球是静止不动的（2） p:2+2=4 q:地球是静止不动的1 （3） p:地球上有树木 q:人类能生存1（4）p:地球上有树木q:人类能生存1（3）今天是星期一当且仅当明天是星期二；（4）若今天是星期一,则明天是星期三.答:设p:今天是星期一,q:明天是星期二,r:明天是星期三.将下列命题符号化：（1）刘晓月跑得快,跳得高；（2）老王是山东人或者河北人；（3）因为天气冷,所以我穿了羽绒服；（4）王欢与李乐组成一个小组；（5）李欣与李末是兄弟；（6）王强与刘威都学过法语；（7）他一面吃饭,一面听音乐；（8）如果天下大雨,他就乘班车上班；（9）只有天下大雨,他才乘班车上班；（10）除非天下大雨,否则他不乘班车上班；（11）下雪路滑,他迟到了；（12）2 与4 都是素数,这是不对的；（13）“2 或 4 是素数,这是不对的”是不对的.答:(6) p:王强学过法语q:刘威学过法语-(7) p:他吃饭q:他听音乐-(8) p:天下大雨q:他乘车上班-(9) p:天下大雨q:他乘车上班-(10) p:天下大雨q:他乘车上班-(11) p:下雪q:路滑r:他迟到了(12) p:2 是素数q:4 是素数-(13) p:2 是素数q:4 是素数-15.设p：2+3=5.q：大熊猫产在中国.r:太阳从西方升起. 求下列符合命题的真值：（1）（2）（3）（4）解：p真值为1，q 真值为1，r 真值为0.（1）0，（2）0，（3）0，（4）116.当p,q 的真值为0,r,s 的真值为1 时,求下列各命题公式的真值：（1）（2）（3）（4）解：（1）0，（2）0，（3）0，（4）117.判断下面一段论述是否为真：“ 是无理数.并且,如果3 是无理数,则也是无理数.另外,只有6 能被2 整除,6 才能被4 整除.”解：p: 是无理数q: 3 是无理数r:是无理数s: 6 能被2 整除t：6 能被 4 整除符号化为: ，该式为重言式，所以论述为真。
离散数学13
具有等价性质,但不能算是由R诱导出的最小等 价关系. R″={<a,a>, <b,b>, <b,c>, <c,b>, <c,c>, <a,c> <c,a> <a,b> <b,a>}
tsr(R)的等价类是{a}和{b,c}，诱导出的等价 关系的每一等价类是<A,R>有向图的一个分 图的结点集合, 与有向弧数量无关。
整数k叫做等价的模数
定理3.5―1 模k等价是任何集合A I上的等价 关系
证：如果A=,例1(c)已指出它是等价关系.如 果A≠,则
(i) 自 反 的 . 因 为 对 任 一 a, a － a= 0·k, 得 出 a≡a(modk) (ii)对称的.因为a≡b(modk)时,存在某m∈I,
使a － b=m·k,于是b － a= (－m)·k,因此 b≡a(modk)
么R1=R2当且仅当
{a ] [R 1a A } {a ] [R 2a A }
证: 必要性。因为R1=R2, 所以对任意a∈A, 有
[a]R1 {xx1 R a}{xxR 2a}[a]R2 故 {a[]R1 ห้องสมุดไป่ตู้A}{a[]R2 aA}
充分性。因为
{a ] [R 1a A } {a ] [R 2a A }
(iii)传递的.设a≡b(modk)和b≡c(modk), 那么存在m1,m2∈I,使a － b=m1k和
b － c=m2·k,将两等式两边相加,得 a － c=(m1+m2)·k,所以 a≡c(modk)
将模k等价 a≡b(modk) 改写成a－b=m·k
离散数学重点笔记
离散数学重点笔记第一章，0命题逻辑素数=质数，合数有因子和或假必真同为真(p T q) A (q <--> r) , (p A q) An r, p A (q An r)等都是合式公式，而若公式A是单个的命题变项，则称A为0层合式n p A q) T r , (n (p q)) A ((r V s)斥甬p)分别为3层和4层公式r, ( p r (r T q)等不是合式公式。
p A q) Tn r【例】求下列公式的真值表，并求成真赋值和成假赋值。
公式(1)的成假赋值为011，其余7个赋值都是成真赋值(1)双重否定律(2)等幂律A A; A V(3)交换律A A A A ; A V V A(4) 结合律(A A B) A A(BA C);(5) 分配律(A A B)V C(A V C)A(B V C)(6) 德•摩根律(A V B)A A B;(7) 吸收律A V( A A B)A; A A(A V B)(8)零一律A V 1 1 ； A A 00(9) 同一律A V 0A A A 1A(10) 排中律A V A1(11) 矛盾律A A A0(12) 蕴涵等值式A T V B(13) 假言易位A T A(14) 等价等值式(A T B)A( B T A)第二章，命题逻辑等值演算A(A V B)V；(A V B)(A A B)V( B V C)A C (A A C) V(B A C)A V B离散数学重点笔记(15) 等价否定等值式 (16) 归缪式 (A T B )A( A TB )A一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式 一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式 主范式【A 小真，V 大假】 A 成真 小写极小项极大项1 盘我真赋值 名称舍式1成假赋值 名称-1 pA~i qA~i T 0 0 0P V<J V TI 0 0 0 n pAn 小工0 0 1pVqVn r 0 0 1 pAqAn T 0 1 0 血2 pV n qVr 0 1 0 n P A<I A T 0 1 1 口3 pVn qVn T 0 1 1pAn 10 0n pV-iVr 10 0 P A~I 1 0 1TLI5 1 pVqVn T 1 0 1 r 1 1 0 ms t pVn qVr 1 1 0 pA-qAr111 IDy n pVn aVn r ill【例】(p T q)T (n qp) =n (n p V q) V (q V n =(p An q) Vn p V q =(p An q) V (n p Anp) (消去宀) (n 内移)(已为析取范式) q) V (n p A q) V (n p A q) V (p A q) ( *) = m2 V m0 V ml V ml V m3 =m0 V ml V m2 V m3(幂等律、排序) (*)由n p 及q 派生的极小项的过程如下: n p = n p A (n q V q) =(n p An q)V (n p A q)q = (n p V p) A q =(n p A q) V (p A q)熟练之后，以上过程可不写在演算过程中。
离散数学第3章(12-13)(新教材)(1)
例1.设集合B={a,b,c,d},则集合B的幂集(B)是一 个有16个元素的一个集合,取(B)的一个如下的 子集A A={{a},{d},{a,b},{b,c},{b,c,d}}, 作集合A上如下定义的关系R:<x,y>R当且仅当 x和y含有B中至少一个相同的元素. 如果我们将集合A中的元素简记为: x1={a}, x2={d}, x3={a,b}, x4={b,c}, x5={b,c,d}. 那么关系R可以用通常序偶的形式表示如下: R={<x1,x3>,<x3,x1>,<x2,x5>,<x5,x2>,<x3,x4>, <x4,x3>,<x3,x5>,<x5,x3>,<x4,x5>,<x5,x4>, <x1,x1>,<x2,x2>,<x3,x3>,<x4,x4>,<x5,x5>}.
例2.设给定集合A={a,b,c,d}上两个不同的完全覆盖 T1={{a,b},{a,c,d}},T2={{a,b},{a,c},{a,d},{c,d}}. 试计算它们所产生的两个相容关系. 解: (1){a,b}{a,b}={<a,a>,<b,b>,<a,b>,<b,a>}, {a,c,d}{a,c,d}={<a,a>,<c,c>,<d,d>,<a,c>, <c,a>,<a,d>,<d,a>,<c,d>,<d,c>}, 所以T1所产生的相容关系是 R1={<a,a>,<b,b>,<c,c>,<d,d>,<a,b>,<b,a>, <a,c>,<c,a>,<a,d>,<d,a>,<c,d>,<d,c>}.
离散数学13教案讲稿
黑板 讲授法，练习法，讨论法 包括复习旧课、引入新课、重点难点讲授、作业和习题 时 间 分 配 布置、问题讨论、归纳总结及课后辅导等内容 (90 分钟) 引入新课： 重点难点讲授：
教 学 过 程
1 通路和回路 2 无向图的连通性 3、无向图的连通程度 4 有向图的连通性 5 Menger 定理 6、二部图的概念
(G E) (G) ，则称 E 为 G 的一个边割集，同样对于一个边叫割边或桥．
例 3 如在图 5-2-4 中， 割点： v2 ， v6 ； 点割集： {v3 , v5 }
e1
v3
u
e6
v1
v5 e9
e7
v2
e5
边割集： {e3 , e4 }、 {e4 , e5 } 、
e8
e2
3、无向图的连通程度．
等价关系可以导致集合的划分，无向图中连通关系是等价关系，因此任何无向图中顶点集 都存在一种划分，使得每个划分块中的顶点都彼此连通，不同划分块中的顶点都不连通． 定义 6 （连通分支） 在一个无向图 G 中，存在 V 的一个分类， 把 V 分成非空子集 V1 ，V2 ，…，
V , 使得两个顶点 u 和 v 是连通的当且仅当它们属于同一子集 Vi ．子图 G[V1 ] ， G[V2 ] ，…，
G e 中 x 和 y 将被路 C - e 所连．于是， u 和 v 在 G e 中就连通了，导致矛盾．
反之， 假设 e = xy 不是 G 的割边， 则 (G e) = (G ) ． 由于在 G 中存在一条 ( x, y ) 路 （即 ，所以 x 和 y 都在 G 的同一个分支中．由此推知： x 和 y 在 G e 的同一个分支中，从 x y） 而在 G e 中存在一条 ( x, y ) 路 p ，于是 e 就位于 G 的圈 P + e 中了． 定义 8（连通度） 设无向图 G 为连通图, 定义
离散数学参考答案
1.(单选题)A．明年“五一”是晴天。
B．这朵花多好看呀！。
C．这个男孩真勇敢啊！ D．明天下午有会吗？答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：2.(单选题) 在上面句子中，是命题的是( )A．1＋101＝110 B．中国人民是伟大的。
C．这朵花多好看呀！ D．计算机机房有空位吗？答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：3.(单选题) 在上面句子中，是命题的是( )A．如果天气好，那么我去散步。
B．天气多好呀！C．x=3。
D．明天下午有会吗？答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：4.(单选题) 在上面句子中( )是命题下面的命题不是简单命题的是( )A．3 是素数或4 是素数B．2018 年元旦下大雪C．刘宏与魏新是同学 D．圆的面积等于半径的平方与π之积答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：5.(单选题) 下面的表述与众不一致的一个是( )A．P ：广州是一个大城市 B．ØP ：广州是一个不大的城市C．ØP ：广州是一个很不小的城市 D．ØP ：广州不是一个大城市答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：6.(单选题) 设，P：他聪明；Q：他用功。
在命题逻辑中，命题：“他既聪明又用功。
”可符号化为：()A．PÙQ B．P®QC．PÚØQ D．PÙØQ答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：7.(单选题) 设：P ：刘平聪明。
Q：刘平用功。
在命题逻辑中，命题：“刘平不但聪明，而且用功”可符号化为：()A．PÙQ B．ØPÚQC．PÚØQ D．PÙØQ答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：8.(单选题)设：P：他聪明；Q：他用功。
离散数学课后习题答案
第一章命题逻辑基本概念课后练习题答案1.将下列命题符号化，并指出真值：（1）p∧q,其中，p:2是素数，q:5是素数,真值为1；（2）p∧q,其中，p:是无理数，q:自然对数的底e是无理数,真值为1；（3）p∧┐q,其中，p:2是最小的素数，q:2是最小的自然数,真值为1；（4）p∧q,其中，p:3是素数，q:3是偶数,真值为0；（5）┐p∧┐q,其中，p:4是素数，q:4是偶数,真值为0.2.将下列命题符号化，并指出真值：（1）p∨q,其中，p:2是偶数，q:3是偶数,真值为1；（2）p∨q,其中，p:2是偶数，q:4是偶数,真值为1；（3）p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；（4）p∨q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为1；（5）┐p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；3.（1）(┐p∧q)∨(p∧┐q),其中，小丽从筐里拿一个苹果，q：小丽从筐里拿一个梨；（2）(p∧┐q)∨(┐p∧q),其中，p：刘晓月选学英语，q：刘晓月选学日语；.4.因为p与q不能同时为真.5.设p:今天是星期一，q:明天是星期二，r:明天是星期三：（1）p→q，真值为1（不会出现前件为真，后件为假的情况）；（2）q→p，真值为1（也不会出现前件为真，后件为假的情况）；（3）p q，真值为1；（4）p→r，若p为真，则p→r真值为0，否则，p→r真值为1.返回第二章命题逻辑等值演算本章自测答案5.(1)：∨∨,成真赋值为00、10、11；(2)：0，矛盾式，无成真赋值；(3)：∨∨∨∨∨∨∨,重言式，000、001、010、011、100、101、110、111全部为成真赋值；7.(1)：∨∨∨∨⇔∧∧；(2)：∨∨∨⇔∧∧∧；8.(1)：1⇔∨∨∨,重言式；(2)：∨⇔∨∨∨∨∨∨；(3)：∧∧∧∧∧∧∧⇔0，矛盾式.11.(1)：∨∨⇔∧∧∧∧；(2)：∨∨∨∨∨∨∨⇔1；(3)：0⇔∧∧∧.12.A⇔∧∧∧∧⇔∨∨.第三章命题逻辑的推理理论本章自测答案6.在解本题时，应首先将简单陈述语句符号化，然后写出推理的形式结构*，其次就是判断*是否为重言式，若*是重言式，推理就正确，否则推理就不正确，这里不考虑简单语句之间的内在联系(1)、(3)、(6)推理正确，其余的均不正确，下面以(1)、(2)为例，证明(1)推理正确，(2)推理不正确(1)设p:今天是星期一，q:明天是星期三，推理的形式结构为(p→q)∧p→q(记作*1)在本推理中，从p与q的内在联系可以知道，p与q的内在联系可以知道，p与q不可能同时为真，但在证明时，不考虑这一点，而只考虑*1是否为重言式.可以用多种方法（如真值法、等值演算法、主析取式）证明*1为重言式，特别是，不难看出，当取A为p,B为q时，*1为假言推理定律，即(p→q)∧p→q ⇒ q(2)设p:今天是星期一，q:明天是星期三，推理的形式结构为(p→q)∧p→q(记作*2)可以用多种方法证明*2不是重言式，比如，等值演算法、主析取范式（主和取范式法也可以）等(p→q)∧q→p⇔(┐p∨q) ∧q →p⇔q →p⇔┐p∨┐q⇔⇔∨∨从而可知，*2不是重言式，故推理不正确，注意，虽然这里的p与q同时为真或同时为假，但不考虑内在联系时，*2不是重言式，就认为推理不正确.9.设p:a是奇数，q:a能被2整除，r:a：是偶数推理的形式结构为(p→q┐)∧(r→q)→(r→┐p) (记为*)可以用多种方法证明*为重言式，下面用等值演算法证明：(p→┐q)∧(r→q)→(r→┐p)⇔(┐p∨┐q) ∨(q∨┐r)→(┐q∨┐r) (使用了交换律)⇔(p∨q)∨(┐p∧r)∨┐q∨┐r⇔(┐p∨q)∨(┐q∧┐r)⇔┐p∨(q∨┐q)∧┐r⇔110.设p:a,b两数之积为负数，q:a,b两数种恰有一个负数，r：a，b都是负数.推理的形式结构为(p→q)∧┐p→(┐q∧┐r)⇔(┐p∨q) ∧┐p→(┐q∧┐r)⇔┐p→(┐q∧┐r) (使用了吸收律)⇔p∨(┐q∧┐r)⇔∨∨∨由于主析取范式中只含有5个W极小项，故推理不正确.11.略14.证明的命题序列可不惟一，下面对每一小题各给出一个证明① p→(q→r)前提引入② P前提引入③ q→r①②假言推理④ q前提引入⑤ r③④假言推理⑥ r∨s前提引入（2）证明：① ┐(p∧r)前提引入② ┐q∨┐r①置换③ r前提引入④ ┐q ②③析取三段论⑤ p→q前提引入⑥ ┐p④⑤拒取式（3）证明：① p→q前提引入② ┐q∨q①置换③ (┐p∨q)∧(┐p∨p) ②置换④ ┐p∨(q∧p③置换⑤ p→(p∨q) ④置换15.(1)证明：① S结论否定引入② S→P前提引入③ P①②假言推理④ P→(q→r)前提引入⑤ q→r③④假言推论⑥ q前提引入⑦ r⑤⑥假言推理（2）证明：① p附加前提引入② p∨q①附加③ (p∨q)→(r∧s)前提引入④ r∧s②③假言推理⑤ s④化简⑥ s∨t⑤附加⑦ (s∨t)→u前提引入⑧ u⑥⑦拒取式16.(1)证明：① p结论否定引入② p→ ┐q前提引入③ ┐q ①②假言推理④ ┐r∨q前提引入⑤ ┐r③④析取三段论⑥ r∧┐s前提引入⑦ r⑥化简⑧ ┐r∧r⑤⑦合取（2）证明：① ┐(r∨s)结论否定引入② ┐r∨┐s①置换③ ┐r②化简④ ┐s②化简⑤ p→r前提引入⑥ ┐p③⑤拒取式⑦ q→s前提引入⑧ ┐q④⑦拒取式⑨ ┐p∧┐q⑥⑧合取⑩ ┐(p∨q)⑨置换口p∨q前提引入⑾①口┐(p∨q) ∧(p∨q) ⑩口合取17．设p：A到过受害者房间，q: A在11点以前离开，r：A犯谋杀罪，s：看门人看见过A。
《离散数学》试题及答案
一、填空题1设集合A，B，其中A＝｛1,2,3｝，B= {1，2}, 则A — B＝｛3} ；ρ（A）—ρ（B)＝｛3｝，{1,3｝,{2，3},{1,2，3}} 。
2. 设有限集合A, ｜A| = n, 则｜ρ（A×A)｜= .3.设集合A = ｛a，b}, B = {1，2}，则从A到B的所有映射是α1= ｛（a，1），(b，1）}，α2= {(a，2），（b,2）｝，α3= ｛（a，1），(b,2)}, α4= ｛（a，2), （b,1)}, 其中双射的是α3，α4 。
4。
已知命题公式G＝⌝(P→Q)∧R，则G的主析取范式是（P∧⌝Q∧R）5。
设G是完全二叉树,G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为12，分枝点数为3.6设A、B为两个集合，A= ｛1,2，4}，B = {3,4}, 则从A⋂B＝{4} ；A⋃B＝｛1，2,3，4｝;A－B＝{1，2｝.7.设R是集合A上的等价关系,则R所具有的关系的三个特性是自反性, 对称性传递性。
8。
设命题公式G＝⌝（P→(Q∧R)），则使公式G为真的解释有（1，0, 0), （1，0, 1),（1，1, 0)9. 设集合A＝{1,2，3,4}, A上的关系R1 = ｛(1，4）,（2,3),（3，2）｝，R2 = {(2，1)，（3，2)，（4,3)｝, 则R1•R2 =｛(1,3)，(2,2），（3，1)｝, R2•R1 = {（2，4），(3,3)，（4,2）｝_R12 ={(2，2），（3,3）。
10. 设有限集A，B，|A| = m，|B| = n, 则| ｜ρ(A⨯B）| = 。
11设A，B，R是三个集合，其中R是实数集,A = ｛x | -1≤x≤1，x∈R｝, B = {x | 0≤x < 2, x∈R｝，则A-B = —1<=x〈0 , B—A = ｛x | 1 < x < 2，x∈R} ,A∩B =｛x ｜0≤x≤1, x∈R｝, .13.设集合A＝{2，3，4, 5，6},R是A上的整除关系，则R以集合形式（列举法)记为{（2，2）,(2, 4)，（2，6）,（3，3)，（3, 6）,（4，4），（5，5）,（6, 6)｝。
离散数学习题部分
数理逻辑习题判断题1任何命题公式存在惟一的特异析取范式( )2.公式p_. (—p- q)是永真式 ( )3•命题公式(p q)—；p是永真式 ( )4. 命题公式p —q r的成真赋值为010 ( )5. -xA(x) > 8 = x(A(x) > B)( )6•命题“如果1 + 2= 3，则雪是黑的”是真命题() 7. p (p q) = p ( )&-x(F (x) 、G(x))是永真式( )9•“我正在撒谎”是命题( )10. -xF(x)—；_.xG(x)是永真式( )11•命题如果1+ 2= 0，则雪是黑的”是假命题( )12. p (p q)=p ( )13. -x(F(x) > G(x))是永假式()14•每个命题公式都有唯一的特异(主)合取范式( ) 15•若p :雪是黑色的，则公式p—；q是永真式() 16•每个逻辑公式都有唯一的前束范式( )17. 公式p—；q的特异(主)析取式为一P q ( )18. 命题公式一p (q—；r)的成假赋值是110 ( )19. 一阶逻辑公式—x(F(x) > G(x, y))是闭式( )单项选择题1. 下述不是命题的是(A .花儿真美啊！ C . 2是偶数。
2. 谓词公式(- y ) (- x ) (P (x ) T R A .是自由变元但不是约束变元 C .既是自由变元又是约束变元3•下列命题公式为重言式的是( )A . p T ( p V q ) C . q A nq4. 下列语句中不是命题的只有( )A .花儿为什么这样红？ C .飞碟来自地球外的星球。
B. 明天是阴天。
D .铅球是方的。
(x,y )) A 三yQ (x,y )中变元 y ()B .是约束变元但不是自由变元 D .既不是自由变元又不是约束变元B . (p V np) Tq D . p rqB . 2+2=0D .凡石头都可练成金。
5.在公式(x)(-y)(P(x,y) Q(z)) > ( y)P(y,z)中变元 y 是( )B .约束变元D .既不是自由变元，又不是约束变元B . ( p V np) TqD . q Tnp如果天不下雨，我就上街。
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CUSUMSQ检验。
13-34
附：戈德菲尔德-昆特(Goldfeld-Quandt)检验
G-Q检验以F检验为基础，适用于样本容量较 大、异方差递增或递减的情况。 G-Q检验的思想：
先将样本一分为二，对子样①和子样②分别作
回归，然后利用两个子样的残差平方和之比构 造统计量进行异方差检验。 由于该统计服从F分布，因此假如存在递增 的异方差，则F远大于1；反之就会等于1（同 方差）、或小于1（递减方差）。
13-7
例2，以绝对收入假设为理论假设、以截面数 据为样本建立居民消费函数：
Ci=B0+B1Yi+ui
将居民按照收入等距离分成n组，取组平均数 为样本观测值。
13-8
一般情况下，居民收入服从正态分布：中等收 入组人数多，两端收入组人数少。而人数多的 组平均数的误差小，人数少的组平均数的误差 大。
13-36
④在同方差性假定下，构造如下满足F分布的 统计量
F
e
2 2i
2 e1i
nc k 1 2 ~ F n c k 1, n c k 1 2 2 nc k 1 2
13-37
⑤ 给定显著性水平，确定临界值F(v1,v2)，
13-26
帕克检验存在的问题：
帕克检验中用到的回归方程中，误差项vi本身
可能存在异方差。
13-27
格莱泽检验（Glejser Test）
从原始模型中获得残差ei后，做ei的绝对值|ei|对X的回
归。格莱泽建议采用如下函数形式：
ei B1 B2 X i vi ei B1 B2 X i vi 1 ei B1 B2 vi Xi
另一方面，在预测值的置信区间中也包 含有参数方差的估计量Sbi。 所以，当模型出现异方差性时，参数 OLS估计值的变异程度增大，从而造成 对Y的预测误差变大，降低预测精度， 预测功能失效。
13-18
异方差的检验
检验思路：
由于异方差性就是相对于不同的解释变量观
测值，随机误差项具有不同的方差。那么：
ln B B ln X v
2 i
由于i2未知，故用ei2代替
ln e B1 B2 ln X i vi
13-24
帕克检验的步骤
进行普通最小二乘回归，不考虑异方差问题； 从原始回归方程中求得残差，并求其，再取对数形 式； 利用原始模型中的一个解释变量做形如上式的回归， 如果有多个解释变量，则对每个解释变量做形出上 式的回归，或做ei2对Y的估计值的回归； 检验零假设B2=0，即不存在异方差：
13-10
每个企业所处的外部环境对产出量的影响程 度不同，造成了随机误差项的异方差性。 这时，随机误差项的方差并不随某一个解释 变量观测值的变化而呈规律性变化，呈现复 杂型。
13-11
10 0~199 10000以 上 1000~99 9 200~999
20
30
40
50
60
70
0
1975年3月 1975年6月 1975年9月 1975年12月 1976年3月 1976年6月 1976年9月 1976年12月 1977年3月 1977年6月 1977年9月 1977年12月 1978年3月 1978年6月 1978年9月 1978年12月
2 i 2 2i 2 3i
13-30
求辅助回归方程的R2值
在不存在异方差的零假设下，怀特证明了上述方程 中得到的R2值与样本容量n的积服从2分布，自由 度等于方程中解释变量的个数（不包括截距项）， 即：nR2~ 2k-1 ；
做出判断：
如果从上述方程中得到的2值超过所选定的显著性 水平下的2临界值，或计算2值的p值很低，则拒绝 零假设：存在异方差； 如果计算的2值的p值很大，则不能拒绝零假设。
在每种情形下，零假设都不存在异方差，即B2=0，如
果拒绝零假设，则表明可能存在异方差。
13-28
例13-4(P295)：R&D回归与格莱泽检验
具体模型见P295
由于5%的显著水平下，斜率系数都是统计 不显著的，表明：不能拒绝不存在异方差 的零假设 格莱泽检验：与帕克检验一样，误差项vi本 身可能存在异方差和序列相关问题。但是 对于大样本，格莱泽检验是诊断异方差的 一个理想工具。
如果存在异方差性，则表明确与解释变量的某
种组合有显著的相关性，这时往往显示出有较 高的可决系数以及某一参数的t检验值较大。 当然，在多元回归中，由于辅助回归方程中可 能有太多解释变量，从而使自由度减少，有时 可去掉交叉项。
13-33
异方差的其它检验方法
Speraman秩相关检验；
Goldfeld-Quandt检验； Bartlett检验； Peak检验； Breusch-Pagan检验；
13-29
怀特检验(White’s general test of heteroscedasticity) 对于如下模型：
Yi=B1+B2X2i+B3X3i+ui
怀特检验的步骤如下： 用普通最小二乘法估计上述回归方程，得残差 ei； 做辅助回归：
e A1 A2 X 2i A3 X 3i A4 X A5 X A6 X 2i X 3i vi
检验异方差性，也就是检验随机误差项的方
差与解释变量观测值之间的相关性及其相关 的“形式”。
13-19
• 问题在于用什么来表示随机误差项的方差
一般的处理方法：
首先采用OLS法估计模型，以求得随机误差项 的估计量（注：该估计量是不严格的），我们 称之为“近似估计量”，用ei2表示，故有： Var(ui)=E(ui2)ei2 ei=Yi-Ŷi 即用ei2来表示随机误差项的方差。
例13-1 ：放松管制后纽约股票交易所的经 纪人佣金
13-12 方差分别为：32.225；30.268；13.864；3.181
异方差的解释：
交易中存在规模效应——交易量越大，交易总
成本越低 小的机构投资者没有大机构投资者那样的谈判 能力，因而其支付的佣金率也就存在较大的差 异。
13-13
13-35
G-Q检验的步骤：
①将n对样本观察值(Xi,Yi)按观察值Xi的大小排队；
②将序列中间的c=n/4个观察值除去，并将剩下的观察值划 分为较小与较大的相同的两个子样本，每个子样样本容量 均为(n-c)/2；
③对每个子样分别进行OLS回归，并计算各自的残差平方和；
分别用e1i2与
e2i2表示较小与较大的残差平方和（自 由度无为(n-c)/2-k-1）
1. 做OLS估计，得到ei； 2. 把|ei|和Xi按升序或降序赋予等级值(1,2,…,n)； 3. 计算斯皮尔曼等级相关系数；
rs 1 6
n n 1
2
d i2
其中：di为第i组 观测值的|ei|与Xi 的等级差 13-39
4. 计算统计量：
t
rs
n2 1 r
13-20
图形检验
用残差对其相应的观察值作图：或是对一个或
多个解释变量作图，或是对估计的Yi均值，Yi 预测值作图，这些残差图可以辅助我们判断 CLRM的一个或多个假设是否满足。
看是否存在明显的散点扩大、缩小或复杂型趋势 （即不在一个固定的带型域中）
13-21
e2
e2
e2
X e2 e2
X
如果ln ei2和ln Xi之间是统计显著的，则拒绝零假设，存 在异方差； 如果接受零假设，则回归方程中的B1可理解为同方差2 的一个给定值。
13-25
例13-3 ：R&D回归与帕克检验 lnei2=10.6995+0.3599ln(salesi) se (4.3492) (0.3997) t (2.4601) (0.9004) r2=0.0482 表明：在5%的显著水平下，估计的斜率系 数是统计不显著的。
对大样本也是如此
根据常用估计OLS估计量方差公式得到的方差
通常是有偏的 建立在t分布和F分布之上的置信区间和假设检 验不再可靠。
13-15
计量经济学模型一旦出现异方差性，如果仍采 用OLS估计模型参数，会产生下列不良后果： 1. 参数估计量非有效 OLS估计量仍然具有无偏性，但不具有有效性 而且，在大样本情况下，尽管参数估计量具 有一致性，但仍然不具有渐近有效性。
若F>
F(v1,v2)， 则拒绝同方差性假设，表明 存在异方差。 当然，还可根据两个残差平方和对应的子样的 顺序判断是递增型异方差还是递减异型方差。
13-38
附：斯皮尔曼(Spearman)等级相关系数检验 思想：通过随机项的方差与解释变量的等 级相关系数的显著性检验，判断是否存在 异方差性。 步骤：
X
X
X 13-22
例(P293) ：考虑残差平方和对销售额的散 点图
13-23
帕克检验（Park Test）
基本思想（下文的格莱泽也一样）：选择关于
变量X的不同的函数形式，对方程进行估计并 进行显著性检验，如果存在某一种函数形式， 使得方程显著成立，则说明原模型存在异方差 性。对于帕克检验，选取如下函数形式： 2 i 1 2 i i
例1：截面资料下研究居民家庭的储蓄行为:
Yi=B0+B1Xi+ui
Yi:第i个家庭的储蓄额 Xi:第i个家庭的可支配收入。 高收入家庭：储蓄的差异较大 低收入家庭：储蓄则更有规律性，差异较小 ui的方差呈现单调递增型变化