01-三角级数,正交函数系

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第一讲三角级数,正交函数系

一、三角级数·正交函数系二、
三、收敛定理
数学分析第十五章傅里叶级数
§1 傅里叶级数三角级数• 正交函数系以2π为周期的函数的傅里叶级数收敛定理
三角级数，正交函数系
第一讲
数学分析第十五章傅里叶级数
其次, 在三角函数系(5)中, 任何两个不相同的函数的--==⎰
⎰π
π
ππ
cos d sin d 0,
(6)
nx x nx x π
πππ
ππcos cos d 0(),sin sin d 0(),(7)
cos sin d 0.mx nx x m n mx nx x m n mx nx x ---⎫=≠⎪⎪
=≠⎬⎪
=⎪⎭
⎰⎰⎰乘积在上的积分等于零,[π,π]-易见三角级数系(5)中所有函数有共同的周期2,π即
1,cos ,sin ,cos 2,sin 2,,cos ,sin ,(5)
x x x x nx nx
数学分析第十五章傅里叶级数
等于零, ππ
22πππ
2
πcos d sin d π,(8)1d 2πnx x nx x x ---⎫==⎪
⎬⎪=⎭
⎰⎰⎰ϕψ[,]a b 若两个函数与在上可积, 且
=⎰
()()d 0
b
a
x x x ϕψϕψ[,]a b 则称与在上是正交的, 由此三角函数系(5)在[π,π]-上具有正交性.而(5)中任何一个函数的平方在[π,π]-上的积分都不交性. 即
[,]a b 上具有正或在1,cos ,sin ,cos 2,sin
2,,cos ,sin ,(5)x x x x nx nx 或者说(5)是正交函数系.。

十五章傅里叶级数

2
2
2
当只给出一种周期旳体现式时，傅里叶级数在两端点旳值
可用上述公式求之.
例1：设
x, f (x) 0,
0 x x 0
求f
旳傅里叶级数展开式.
解：函数f 及其周期延拓后的图象如图所示，
y
3 2 O 2 3 4
x
显然 f 是按段光滑旳,故由收敛定理，它能够展开成傅里叶级数。
因为
第十五章傅里叶级数
§15.1 傅里叶级数
一、三角级数 • 正交函数系
二、以 2 为周期旳函数旳傅里叶级数
三、收敛定理
§15.1 傅里叶级数
一、三角函数正交函数系
在科学试验与工程技术旳某些现象中，常会遇到一种周期运动，最简
单旳周期运动，可用正弦函数 A sin(x ) 来描写。
所体现旳周期运动也称为简谐运动，其中 A 为振幅，为初相角，
f (x) cos kxdx
a0 cos kxdx 2
(an cos nx cos kx bn sin nx cos kx)dx n1
cos2 kxdx
f (x) cos kxdx ak
ak
1
f (x) cos kxdx
(k 1, 2, )
同理可得:
bk
1
f (x) sin kxdx
f 的傅里叶级数收敛于f 在点x的左，右极限的算术平均值，即
f
(x
0) 2
f
(x 0)
a0 2
(an
n1
cos nx bn
sin nx)
其中an ,bn为f的傅里叶系数。
推论：
若f 是以2为周期的连续函数，且在[， ]上按段光滑，则 f 的

01-傅里叶展开的例

简谐振动的叠加, 在电工学中称为谐波分析.
设 f ( x) 是周期为 2π的矩形波函数，
在[, ) 上的表达式为
y
π 4
,
π x 0,
f ( x)
π,
4
π
0 x π.
π 4
O
π
4
πx
求该矩形波函数的傅里叶展开式. 图15 6
数学分析第十五章傅里叶级数
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§1 傅里叶级数三角级数 • 正交函数系以2π为周期的函数的傅里叶级数
π0
ππ
π
1 π
x2 n
2 n3
sin
nx
2x
n2
cos
nx
0
2π
4
1 π
x2 n
2 n3
sin nx
2x
n2
cos
nx
π
n2 [(1)n 1],
数学分析第十五章傅里叶级数
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§1 傅里叶级数三角级数 • 正交函数系以2π为周期的函数的傅里叶级数
收敛定理
2n
0 2n
1 n
,
n 1, 3,5,,
0, n 2, 4, 6,.
数学分析第十五章傅里叶级数
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§1 傅里叶级数三角级数 • 正交函数系以2π为周期的函数的傅里叶级数
收敛定理
于是当 x kπ, k 0, 1, 2, 时,
f ( x) sin x 1 sin 3x 1 sin(2n 1)x .
1
(1)
n
.
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§1 傅里叶级数三角级数 • 正交函数系以2π为周期的函数的傅里叶级数

三角函数的正交性

n
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an
1 cos n n2
2
(
2k 1)2
0,
,
n 2k 1 n 2k
( k 1, 2 ,)
bn
1
f (x)sin nx d
2 cos x
x
1
0
x sin nxdx
sin x 1 sin 2x (
n
(1)n1
1,n2, )
4
2
2
32
cos3x 1 sin 3x 1 sin 4x
周期延拓 F (x)
f (x) 在 [0 , ]上展成余弦级数
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例6. 将函数
分别展成正弦级
数与余弦级数 .
解: 先求正弦级数. 去掉端点, 将 f (x) 作奇周期延拓,
2
0
(
x
1)
sin
nx
d
x
2
x cos nx n
sin nx n2
cos nx n
0
2 1 cos n cos n
(利用正交性)
ak
1
f (x) cos k x dx
( k 1, 2, )
类似地, 用 sin k x 乘 ① 式两边, 再逐项积分可得
bk
1
f
(x)sin k x dx
(k 1, 2, )
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f
(x)
a0 2
n1
an
cos
nx
bn
sin
nx
①
an
1
f (x) cos nx d x

1 三角函数之正交性PPT课件

7
9
( x ,x 0 , , 2 , )
说明:
y
1
1) 根据收敛定理可知,
o
当 x k(k 0 , 1 , 2 , )
x
1
时,级数收敛于 11 0 2
2) 傅氏级数的部分和逼近
f (x) 的情况见右图.
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第七节傅里叶级数
第十一章
一、三角级数及三角函数系的正交性二、函数展开成傅里叶级数三、正弦级数和余弦级数
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一、三角级数及三角函数系的正交性
简单的周期运动 : yAcost()(谐波函数)
( A为振幅,为角频率, φ为初相 )
称上述形式的级数为三角级数.
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不同振幅的波叠加在一
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定理 1. 组成三角级数的函数系
1 , coxs,sinx , cos2x, sin2x, ,co n,sxsinnx,
在[,]上正交 , 即其中任意两个不同的函数之积在
[,]上的积分等于 0 .
0 (n 0 ,1 ,2 , )
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bn1 f(x)sinnd xx
1 0 ( 1 )sn id n x 1 0 1 sn id n x x
1
cosnx n
0
1
consnx0
21cons
n
n21(1)n
4 n 0
例2. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 [,)

数学分析15.1傅里叶级数

第十5章傅里叶级数1傅里叶级数一、三角级数·正交函数系概念1：由正弦函数y=Asin(ωx+φ)表示的周期运动称为简谐振动，其中A 为振幅，φ为初相角，ω为角频率，其周期T=ω2π.常用几个简谐振动y k =A k sin(k ωx+φk ), k=1,2,…,n 的叠加来表示较复杂的周期运动，即：y=∑=n 1k k y =∑=n1k k k )φ+ x sin(k ωA ，其周期为T=ω2π.若由无穷多个简谐振动叠加得函数项级数A 0+∑∞=1n n n )φ+ x sin(n ωA 收敛，当ω=1时，sin(nx+φn )=sin φn cosnx+cos φn sinnx ，所以 A 0+∑∞=1n n n )φ+sin(nx A = A 0+∑∞=1n n n n n sinnx )cos φA +cosnx sin φ(A ，记A 0=2a 0，A n sin φn =a n ，A n cos φn =b n ，n=1,2,…，则该级数可以表示为： 2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a . 它是由三角函数列(或称为三角函数系) 1,cosx,sinx,cos2x, sin2x,…,cosnx,sinnx,…构成一般形式的三角级数.定理15.1：若级数2a 0+∑∞=+1n n n |)b ||a (|收敛，则三角级数2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a 在整个数轴上绝对收敛且一致收敛.证：对任何实数x ，∵|a n cosnx+b n sinnx|≤|a n |+|b n |，由魏尔斯特拉斯M 判别法得证.概念2：若两个函数φ与ψ在[a,b]上可积，且⎰ba φ(x )ψ(x )dx=0，则称函数φ与ψ在[a,b]上是正交的, 或称它们在[a,b]上具有正交性，若有一系列函数两两具有正交性，则称其为正交函数系.注：三角函数列：1,cosx,sinx,cos2x, sin2x,…,cosnx,sinnx,…有以下性质： 1、所有函数具有共同的周期2π；2、任何两个不相同的函数在[-π, π]上具有正交性，即为在 [-π, π]上的正交函数系. 即有：⎰ππ-cosnx dx=⎰ππ-sinnx dx=0；⎰ππ-cosmx cosnx dx=0 (m ≠n)；⎰ππ-sinmx sinnx dx=0 (m ≠n)；⎰ππ-cosmx sinnx dx=0 (m ≠n).3、任何一个函数的平方在[-π, π]上的积分都不等于零，即⎰ππ-2nx cos dx=⎰ππ-2nx sin dx=π；⎰ππ-21dx=2π.二、以2π为周期的函数的傅里叶级数定理15.2：若2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a 在整个数轴上一致收敛于f ，则：a n =⎰ππ-f(x)cosnx π1dx, b n =⎰ππ-f(x)sinnx π1dx, n=1,2,…. 证：由定理条件可知，f(x)在[-π, π]上连续且可积，∴⎰ππ-f(x )dx=2a⎰ππ-dx +∑⎰⎰∞=1n ππ-n ππ-n )sinnx dx b +dx cosnx (a =2a 0·2π=a 0π.即a 0=⎰ππ-f(x)π1dx. 对f(x)=2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a两边同时乘以coskx(k 为正整数)，可得：f(x)coskx=2a 0coskx +∑∞=1n n n )sinnx coskx b +cosnx coskx (a ，则新级数收敛，有coskx f(x )ππ-⎰dx=2a 0⎰ππ-coskx dx +∑⎰⎰∞=1n ππ-n ππ-n )dx sinnx coskx b +coskx dx cosnx a (.由三解函数的正交性，等式右边除了以=a k 为系数的那一项积分kx cos a 2ππ-k ⎰dx= a k π外，其余各项积分都为0，∴coskx f(x )ππ-⎰dx= a k π，即a k =⎰ππ-f(x)coskx π1dx (k=1,2,…). 同理，对f(x)=2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a两边同时乘以sinkx(k 为正整数)，可得：b k =⎰ππ-f(x)sinkx π1dx (k=1,2,…).概念3：若f 是以2π为周期且在[-π, π]上可积的函数，则按定理15.2中所求a n , b n 称为函数f(关于三角函数系)的傅里叶系数，以f 的傅里叶系数为系数的三角级数2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a 称为f(关于三角函数系)的傅里叶级数，记作f(x)~2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a .注：若2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a 在整个数轴上一致收敛于f ，则，f(x)=2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a .三、收敛定理概念4：若f 的导函数在[a,b]上连续，则称f 在[a,b]上光滑. 若定义在[a,b]上除了至多有限个第一类间断点的函数f 的导函数在[a,b]上除了至多有限个点外都存在且连续，在这有限个点上导函数f ’的左右极限存在，则称f 在[a,b]上按段光滑.注：若函数f 在[a,b]上按段光滑，则有： 1、f 在[a,b]上可积；2、在[a,b]上每一点都存在f(x ±0)，且有t 0)f(x -t)f(x lim 0t +++→=f ’(x+0)，t-0)f(x -t)f(x lim 0t ---→=f ’(x-0)；3、补充定义f ’在[a,b]上那些至多有限个不存在点上的值后，f ’在[a,b]上可积.定理15.3：(傅里叶级数收敛定理)若周期为2π的函数f 在[-π, π]上按段光滑，则在每一点x ∈[-π, π]，f 的傅里叶级数2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a 收敛于f 在点x 的左右极限的算术平均值，即20)-f(x 0)f(x ++=2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a ，其中a n , b n 为傅里叶系数.注：当f 在点x 连续时，则有20)-f(x 0)f(x ++=f(x)，即f 的傅里叶级数收敛于f(x).推论：若周期为2π的续连函数f 在[-π, π]上按段光滑，则f 的傅里叶级数在(-∞,+∞)上收敛于f.注：由f 周期为2π，可将系数公式的积分区间[-π, π]任意平移，即：a n =⎰+2πc c f(x)cosnx π1dx, b n =⎰+2πc c f(x)sinnx π1dx, n=1,2,….c 为任意实数. 在(-π, π]以外的部分，按函数在(-π, π]上的对应关系作周期延拓，如 f 通过周期延拓后的函数为：,2,1k ],1)π(2k , 1)π-(-(2k x ，) 2π-f(x ]π, (-πx ，f(x)(x)f ˆ⎩⎨⎧⋯±±=+∈∈= 函数f 的傅里叶级数就是指函数(x)fˆ的傅里叶级数.例1：设f(x) )0, (-πx ，0]π[0,x x ，⎩⎨⎧∈∈=，求f 的傅里叶级数展开式.解：f 及其周期延拓后图象如图：可见f 按段光滑.由收敛定理，有a 0=⎰ππ-f(x)π1dx=⎰π0x π1dx=2π. 当n ≥1时，a n =nx cos f(x)π1ππ-⎰dx=⎰π0xcosnx π1dx=⎰-π0π0sinnx n π1|xsinnx n π1dx=π2|cosnx πn 1 =πn 12(cosn π-1)=πn 1(-1)2n -；b n =⎰ππ-f(x)sinnx π1dx=⎰π0xsinnx π1dx=-⎰+π0π0cosnx n π1|xcosnx n π1dx=n (-1)1n +.∴在(-π, π)上，f(x)=4π+∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-1n n2n sinnx n (-1)cosnx πn 1-)1(.当x=±π时，该傅里叶级数收敛于20)πf(0)πf(+±+-±=20π+=2π.∴f 在[-π, π]上的傅里叶级数图象如下图：例2：把函数f(x)= π2x πx πx 0πx 0 x 22⎪⎩⎪⎨⎧≤<-=<<，，，展开成傅里叶级数. 解：f 及其周期延拓后图象如图：可见f 按段光滑.由收敛定理，有a 0=⎰2π0f(x)π1dx=⎰π02x π1dx-⎰2ππ2x π1dx =-2π2. 当n ≥1时，a n =nx cos f(x)π1ππ-⎰dx =⎰π02cosnx x π1dx-⎰2ππ2cosnx x π1dx ；又⎰π02cosnx x π1dx=⎰-π0π02xsinnx n π2|sinnx x n π1dx=21n n 2(-1)+-；⎰2ππ2cosnx x π1dx=⎰-2ππ2ππ2xsinnx n π2|sinnx x n π1=21n 2n 2(-1)n 4++； ∴a n =21n 221n n 2(-1)n 4n 2(-1)++---=2n4[(-1)n -1]. b n =⎰2π0f(x)sinnx π1dx=⎰π02sinnx x π1dx-⎰2ππ2sinnx x π1dx ；又⎰π02sinnx x π1dx=-⎰-π0π02xcosnx n π2|cosnx x n π1dx=πn ](-1)-2[1n π)1(3n 1n --+；⎰2ππ2sinnx x π1dx=-⎰-2ππ2ππ2xcosnx n π2|cosnx x n π1dx=-πn ](-1)-2[1n π)1(n 4π3n 1n +--+； ∴b n =πn ](-1)-2[1n π)1(3n 1n --++πn ](-1)-2[1n π)1(n 4π3n 1n --++ =πn ](-1)-4[1n 2π)1(n 4π3n n ---=πn ](-1)-4[1n (-1)]-[1 2πn 2π3n n -+ =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+πn 4n 2π](-1)-[1n 2π3n ；∴当x ∈(0, π)∪(π, 2π]时， f(x)= -π2+∑∞=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++1n 3n n 2sinnx πn 4n 2π](-1)-[1n 2π1]cosnx -[(-1)n 4 .当x=π时，该傅里叶级数收敛于20)f(π0)f(π++-=2)π(π22-+=0；当x=0或2π时，该傅里叶级数收敛于20)f(00)f(0++-=204π-2+=-2π2.注：由当x=2π时，有f(x)= -π2+∑∞=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++1n 3n n 2sinnx πn 4n 2π](-1)-[1n 2π1]cosnx -[(-1)n 4=-π2+∑∞=1n n 21]-[(-1)n4=-π2-8∑∞=+0n 21)(2n 1=-2π2. 可求得∑∞=+0n 21)(2n 1=8π2.例3：在电子技术中经常用到矩形波，用傅里叶级数展开后，就可以将巨形波看成一系列不同频率的简庇振动的叠加，在电工学中称为谐波分析。

三角级数与三角函数系的正交性

傅里叶级数三角级数及三角函数系的正交性函数展开成傅里叶级数正弦级数与余弦级数三角级数及三角函数系的正交性1. 三角级数周期运动是自然界中广泛存在的一种运动形态,例如描述简谐对周期运动可用周期函数来近似描述.)sin(ϕω+=t A y 就是一个以2πω为周振动的函数期的正弦函数.例如周期为T 的矩形波：值得注意的是:并非所有的周期过程都能用简单的正弦函数来表示. 2Txu O E2T想法：将周期函数展开成由简单的周期函数(例如三角函数)组成的级数.即: 若()f t 是周期为2πT ω⎛⎫= ⎪⎝⎭的周期函数,则 sin()n n A n t ωϕ+01()n f t A ∞==+∑ 其中),3,2,1(,,0 =n A A n n ϕ都是常数.将正弦函数)sin(n n t n A ϕω+变形成为sin()n n A n t ωϕ+sin cos cos sin n n n n A n t A n t ϕωϕω=+, 令00,sin ,cos ,2n n n n n n a A a A b A t x ϕϕω====，则级数01sin()n n n A A n t ωϕ∞=++∑就可以改写为01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑. 其中),3,2,1(,,0 =n b a a n n 都是常数. 三角级数2. 三角函数系的正交性三角函数系1,cos ,sin ,cos 2,sin 2,,cos ,sin ,x x x x nx nx 在区间[]π,π-上是正交函数系, 即π-πcos d 0 (1,2,3,)nx x n ==⎰,π-πsin cos d 0 (,1,2,3,)kx nx x k n ==⎰, π-πcos cos d 0 (,1,2,3,,)kx nx x k n k n ==≠⎰, π-πsin sin d 0 (,1,2,3,,)kx nx x k n k n ==≠⎰. π-πsin d 0(1,2,3,)nx x n ==⎰,0(,1,2,3,,)k n k n ==≠. 例如当k n ≠时,有ππππ1cos cos d [cos ()cos ()]d 2kx nx x k n x k n x x --=++-⎰⎰ ππ1sin ()sin ()2k n x k n x k n k n -+-⎡⎤=+⎢⎥+-⎣⎦在三角函数系中, 两个相同函数的乘积在区间[]π,π- 上的积分不等于零, 且有 π2π1d 2πx -=⎰, π2πsin d πnx x -=⎰ (1,2,3,)n =,π2πcos d πnx x -=⎰ (1,2,3,)n =.。

高等数学：第九讲三角级数

n1
AA 3As21issniinn(3(( 2ttt1)称 32)为 )称称一为为次三二谐次次波（谐谐基波波波）
An sin n cos n t An cosn sin n t
令a0 2
A0 ,
an 幅值分量
bn
t x
直流分量
得函数项级数
a0 2
(an
n1
cos nx+bn
sin kx cos nxdx 0.
(k, n 1, 2, )
谢谢
三角级数
目录
01 为什么学习三角级数 02 什么是三角级数 03 三角函数系的正交性
01 为什么学习三角级数
数学研究思路：用简单的函数表示复杂的函数
条件
一般
幂函数
幂级
苛刻
函数
数
条件弱化
一般函数
三角函数
三角级数
01 为什么学习三角级数
傅里叶 (1768 – 1830) 法国数学家
任何周期信号都可以表示为正弦信号的线性叠加。复杂的波形都是简单波形合成的结果。
02 什么是三角级数
复杂的波形都是简单波形合成的结果。
简单的周期运动 y Asin( t ) (简谐波)
Ω
( A为振幅, ω为角频率, 为初相 )
02 什么是三角级数
复杂的周期运动
sin x sin 2x的图像
02 什么是三角级数
复杂的周期运动 y A0 An sin(n t n ) (谐波分析)
π cos k x sin n x d x 0 π
(k n )
n 1, 2, 3,...
证明:
π 1 π
cos

三角级数正交函数系

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例 1 以2 为周期的矩形脉冲的波形
u(t
)

Em , Em
,
0t t
将其展开为傅立叶级数.
u
Em
o
t
Em
解在点x k(k 0,1,2,)处不连续.
收敛于 Em Em Em ( Em ) 0,
2

1

f ( x)cos nxdx,
(n 0,1,2,)

bn

1

f ( x)sin nxdx,
(n 1,2,)
为 f 的Fourier系数，以 f 的Fourier系数为系数的三角级数称为 f 的Fourier级数。记为
f
(x)
~
a0 2

n1

1 62
,
3

1
1 22

1 32

1 42
,
2

4

1
2
4
,
2

1
3

2
24
,

1
2

2
6
3

2 1

2
12
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四正弦级数和余弦级数
(Sine series and cosine series)
一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦项,又含有余弦项.但是,也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项.
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u 4 (sint 1 sin3t 1 sin5t 1 sin7t 1 sin9t)

所谓三角级数就是指除常数项之外

Fourier 级数所谓三角级数：就是指除常数项之外，每一项都是正弦函数和余弦函数的级数。

具体来说，就是形如∑∞=+0)sin cos (n n n x ln b x l n a ππ （1）的函数级数，其中n n b a l ,,都是给定的常数。

这里介绍把一个已知函数表示成三角级数的问题。

首先讨论π=l 情形。

定理（三角函数系的正交性）如果m 和n 是非负整数，则⎩⎨⎧≠=≠=⎰-00sin sin n m n m nxdx mx πππ0cos sin =⎰-ππnxdx mx⎩⎨⎧≠=≠=⎰-0 0cos cos n m n m nxdx mx πππ设)(x f 是一个给定周期为π2的周期函数，假定它已表成一三角级数的和，即 ∑∞=++=10)sin cos (2)(n n n nx b nx a a x f（2）把（2）式两边从π-到π积分，可得0)(a dx x f πππ=⎰- ⎰-=πππdx x f a )(1以mx cos 乘（2）式两端，再在区间],[ππ-上逐项积分，得到m a mxdx x f πππ=⎰-cos )( ⎰-=πππmxdx x f a m cos )(1同理，以mx sin 乘（2）式两端，再在区间],[ππ-上逐项积分，得到m b mxdx x f πππ=⎰-sin )( ⎰-=πππmxdx x f b m sin )(1定义1 设)(x f 是在],[ππ-是可积的函数，令),2,1,0( cos )(1Λ==⎰-n nxdx x f a n πππ),2,1( sin )(1Λ==⎰-n nxdx x f b n πππ作三角级数：∑∞=++10)sin cos (2n n n nx b nx a a （3）称为从)(x f 导出的Fourier 级数，或简称的)(x f 的Fourier 级数。

而n n b a ,称为)(x f 的Fourier 系数。

高中数学(人教版)傅里叶级数课件

其导函数在[a, b]上除了至多有限个点外都存并且在这有限个点上导函数
在且连续, 极限存在,
f 的左、右
则称 f 在
[a , b]上按段光滑.
§1 傅里叶级数
三角级数 · 正交函数系
以2π为周期的函数的傅里叶级数
收敛定理
在[a, b]上按段光滑的函数 f ,有如下重要性质: (i) f 在 (ii) 在
所产生的一般形式的三角级数. 容易验证,若三角级数(4)收敛, 则它的和一定是一
个以
为周期的函数. 2π
关于三角级数(4)的收敛性有如下定理:
§1 傅里叶级数
三角级数 · 正交函数系
以2π为周期的函数的傅里叶级数
收敛定理
定理15.1
若级数
| a0 | (| an | | bn, |) 收敛 2 n 1
(8)
( x ) ( x )dx 0,
a
b
则称交性.
与在 [a , b] 上是正交的,
由此三角函数系(5)在
或在
[a , b]上具有正
[ π, π] 上具有正交性.
或者说(5)是正交函数系.
§1 傅里叶级数
三角级数 · 正交函数系
以2π为周期的函数的傅里叶级数
收敛定理
(10a ) (10b周期的函数的傅里叶级数
收敛定理
以的傅里叶系数为系数的三角级数(9)称为 f (关于三
角函数系) 的傅里叶级数,
记作
a0 f ( x ) ~ (an cos nx bn sin nx ). 2 n1
这里记号“~”表示上式右边是左边函数的傅里叶级
π
(7)
§1 傅里叶级数

高数12.7傅里叶级数

o
x

o
x
周期延拓 F (x) f (x) 在 [0 , ] 上展成正弦级数
周期延拓 F (x) f (x) 在 [0 , ]上展成余弦级数
例6. 将函数数与余弦级数 .
分别展成正弦级
解: 先求正弦级数. 去掉端点, 将 f (x) 作奇周期延拓, 2 ( x 1) sin nx d x
周期函数, 并满足条件 (充分条件): 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点 ;
2) 在一个周期内只有有限个极值点,
则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有
注意: 函数展成傅里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多.
x 为连续点 f ( x) , f ( x ) f ( x ) , x 为间断点 2 其中 an , bn 为 f (x) 的傅里叶系数 . ( 证明略 )
2 2
2 2 ( 2 k 1 )
x=0时,得
1 1 1 2 0= ) (1 2 2 2 3 5 (2n 1) 4 2 1 1 1 所以 1 2 2 =σ 2 3 5 (2n 1) 8 1 1 1 1 1 1 S= 1 2 2 2 = σ+ 2 2 2 2 4 (2n) 2 3 n S = σ+ 4 2 2 4 4 1 1 1 所以 1 2 2 2 3 3 8 2 3 n 6 2 1 1 1 S 2 2 2 2 4 (2n) 24 4
例3. 将函数
级数 . 解: 将 f (x)延拓成以 2为周期的函数如图 1 a0 f ( x)d x

展成傅里叶

高等数学第七节傅里叶级数

周期为2的偶函数 f (x) , 其傅里叶级数称为余弦级数 , 它的傅里叶系数为
例3. 设 f (x) 是周期为2 的周期函数,它在
的表达式为 f (x) = x , 将 f (x) 展成傅里叶级数.
解: 若不计
周期为 2 的奇函数, 因此
y
an = 0 (n = 0 ,1, 2 , )
bn
=2
0
nx
d
x
=
1 xsin π n
nx
+
cos nx n2
0 −π
=
1− cos nπ n2 π
1− (−1)n
= n2 π
an
=
1
−
cos n n2 π
π
=
2 (2k −1)2 π
0,
,
n = 2k −1 n = 2k
( k = 1, 2 , )
bn
=
1 π
π
f (x)sin nx d x
傅里叶展开
上的傅里叶级数
例4. 将函数
解: 将 f (x)延拓成以 2为周期的函数 F(x) , 则
展成傅里叶级数.
y
−π O π
x
a0
=
1 π
π
F(x)d x =
−π
1 π
π −π
f (x)d x
=π
an
=
1 π
π
−π
F (x)cos nx d
x
=
1 π
π
−π
f
(x)cos nx dx
=
2 π
n=1
cos
n
x
+ bn
sin
n

三角级数正交函数系

积分计算
利用三角级数正交函数系，可以快速计算定积分或不定积分。
求解数值方程
通过三角级数正交函数系，可以求解一些数值方程，如求解线性方程组或求解非线性方程的根。
05
三角级数正交函数系的计算方法与技巧
直接法
定义
直接法是利用三角级数正交函数的定义，通过求解线性方程组来计算函数系的方法。
步骤
首先确定函数系的基函数，然后根据基函数的性质和正交条件建立线性方程组，求解方程组得到函数系。
在电磁场领域，三角级数正交函数系用于描述电磁波的传播和散射等行为，对于电磁波的传播规律、天线设计和电磁兼容性分析等具有重要意义。
02
三角级数正交函数系的分类
傅里叶级数
傅里叶级数是一种三角级数，以法国数学家约瑟夫·傅里叶命名。它可以将一个周期函数表示为无穷多个正弦和余弦函数的线性组合。
傅里叶级数的系数通过积分来计算，并且满足正交条件，即不同频率的正弦和余弦函数的积分值为零。
三角级数正交函数系的应用领域
信号处理
图像处理
振动分析
电磁场
在信号处理中，三角级数正交函数系用于表示和分解周期信号，如音频信号、振动信号等，以便进行滤波、去噪和特征提取等操作。
在图像处理中，三角级数正交函数系用于图像压缩、图像滤波和边缘检测等方面，能够实现高效的图像处理和传输。
在振动分析中，三角级数正交函数系用于描述振动系统的响应和行为，通过将振动信号表示为三角级数，可以方便地分析系统的固有频率、阻尼比和模态等参数。
偏微分方程等领域。
贝塞尔函数
01
贝塞尔函数是一类在数学和物理中常见的函数，以德国数学家弗里德里希·贝塞尔命名。
02

三角函数的正交性

f(x)2
4
co x 3s 12 cos3x
512c( os5xx)
说明: 利用此展式可求出几个特殊的级数的和. 当 x = 0 时, f (0) = 0 , 得
821312512 (2n1 1)2
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设 1212312412 , 11312512712
2212412612 , 31212312412
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例4. 设 f (x) 是周期为2 的周期函数,它在 [,)上
的表达式为 f (x)＝x , 将 f (x) 展成傅里叶级数. 解: 若不计 x ( 2 k 1 ) ( k 0 , 1 , 2 , ) 则f (, x)是
周期为 2 的奇函数, 因此
y
已知
1
2 8
2
4
1 2 ,
4
2
1
3
2 24
又
1282
2 2
24 6
31282
2 2
24 12
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三、正弦级数和余弦级数
1. 周期为2 的奇、偶函数的傅里叶级数定理4 . 对周期为 2 的奇函数 f (x) , 其傅里叶级数为
正弦级数, 它的傅里叶系数为
a n 0
n 1
(1)n1 sinnx n
o
x
2 (sxin 1si2x n 1si3 x n )
2 3
( x ,x ( 2 k 1 ), k 0 , 1 , )
在[,)上级数的部分和
逼近 f (x) 的情况见右图.
nn＝＝51432
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例5. 将周期函数 u(t)Esitn展成傅里叶级数, 其

三角函数的级数展开与级数应用

三角函数的级数展开与级数应用级数展开是数学中的一种重要方法，它可以用来将一个函数表示成无穷级数的形式。

在三角函数中，级数展开尤为常见且重要。

本文将探讨三角函数的级数展开以及级数应用的相关内容。

一、正弦函数的级数展开我们首先来讨论正弦函数的级数展开。

正弦函数可以表示为一个无穷级数的形式，即：sin(x) = x - (x³/3!) + (x⁵/5!) - (x⁷/7!) + ...上述级数中的每一项都具有特定的形式，即 x 的偶次幂除以相应的阶乘。

在级数展开中，随着项数的增加，级数的逼近精度也会提高，但是需要注意的是，在某些特定的 x 值处，级数可能不收敛。

因此，在实际应用中，我们需要根据具体情况来确定级数展开的范围。

二、余弦函数的级数展开接下来我们来讨论余弦函数的级数展开。

余弦函数可以表示为以下级数的形式：cos(x) = 1 - (x²/2!) + (x⁴/4!) - (x⁶/6!) + ...即余弦函数的级数展开与正弦函数的级数展开相比，只是在每一项的正负号上有所不同。

同样地，在确定级数展开的范围时，需要注意级数的收敛情况。

三、级数应用级数在数学中具有广泛的应用，让我们一起来看看一些典型的级数应用。

1. 泰勒级数泰勒级数是一种用级数展开函数的方法。

任意一个光滑函数都可以表示成泰勒级数的形式。

泰勒级数的表达式如下：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)²/2! + f'''(a)(x-a)³/3! + ...其中 f(a) 表示函数在 a 点的函数值，f'(a) 表示函数在 a 点的导数，以此类推。

泰勒级数的应用十分广泛，可以用来近似计算各种函数的值。

2. 弧长利用级数展开，我们可以计算曲线的长度，即所谓的弧长。

对于给定函数 f(x)，其在区间 [a, b] 上的弧长可以表示为以下级数的形式：L = ∫(a到b) sqrt(1 + (f'(x))²) dx通过级数展开后，我们可以使用级数的求和公式，将弧长表示为无穷级数的形式，从而进行计算。

01-以2π为周期函数的傅里叶级数

数学分析第十五章傅里叶级数
高等教育出版社
§1 傅里叶级数三角级数 • 正交函数系以2π为周期的函数的傅里叶级数
收敛定理
定理15.2
若在整个数轴上
a
f (x)
0
2
(an cos nx bn sin nx)
n1
(9)
且等式右边级数一致收敛, 则有如下关系式:
an
1 π
π f ( x)cos nxdx , n 0,1,2,,
(12)
这里记号“~”表示上式右边是左边函数的傅里叶级
数, 由定理15.2知道: 若(9)式右边的三角级数在整
个数轴上一致收敛于和函数 f , 则此三角级数就是 f
的傅里叶级数, 即此时(12)式中的记号“~”可换
为等号.
数学分析第十五章傅里叶级数
高等教育出版社
§1 傅里叶级数三角级数 • 正交函数系以2π为周期的函数的傅里叶级数
π
f ( x)
0
2
n1 (an cos nx bnbsninπnπ xsi)n nx cos kx(d9x)).
数学分析第十五章傅里叶级数
高等教育出版社
§1 傅里叶级数三角级数 • 正交函数系以2π为周期的函数的傅里叶级数
收敛定理
由三角函数的正交性, 右边除了以 ak 为系数的那一
π
(k 1,2,).
由此可知, 若f 是以2π 为周期且在 [π, π] 上可积的
函数, 则可按公式(10)计算出an 和 bn，它们称为函数
f (关于三角函数系(5) ) 的傅里叶系数.
an
1 π
π f ( x)cos nxdx , n 0,1,2,,

傅里叶级数11.6

例1 设f(x)是周期为2π的周期函数，它在[−π, π)上的表达式为 − 1, − π ≤ x < 0, f ( x) = 1, 0 ≤ x < π . 将f(x)展开成傅里叶级数．解所给函数满足收敛定理的条件，函数f(x)的傅里叶级数在 f(x)的连续点x(x≠kπ) 处收敛于f(x)，在f(x)的间断点x=kπ(k=0, ±1, ±2, · · · ) 处收敛于 1 1 [f(x−0)+f(x+0)]= (−1+1)=0， 2 2 y 1 −2π −π O −1 π 2π x
傅里叶系数计算如下： 1 π an = ∫ f(x)cos nx dx =0 (n =0, 1, 2, · · ·)；
π π
−π
bn = =
1 1
∫π
−
π
f(x)sin nx dx (−1)sin nx dx+
1
π
∫π
−
0
π
∫
π
0
1·sin nx dx
1 1 cos nx 0 1 cos nx π ] −π + [− ]0 = [1−cos n π− cos n π+1] = [ n π n π nπ
1
π
∫π
−
π
f(x)sin nx d =0 (n =1，2，· · ·)．
于是f(x)的傅里叶级数展开式为
1 1 f(x)= − (cos x+ 2 cos 3x+ 2 cos 5x+ · · · ) (−π≤x≤π)． 2 π 3 5
π
4
4 2 , n = 1, 3, 5, ⋅ ⋅ ⋅ , n [1−(−1) ] = nπ = nπ 0, n = 2, 4, 6, ⋅ ⋅ ⋅ .

01-三角级数,正交函数系

第一讲 三角级数,正交函数系

十五章傅里叶级数

01-傅里叶展开的例

三角函数的正交性

1 三角函数之正交性PPT课件

数学分析15.1傅里叶级数

三角级数与三角函数系的正交性

高等数学：第九讲 三角级数

三角级数正交函数系

所谓三角级数就是指除常数项之外

高中数学(人教版)傅里叶级数课件

高数12.7傅里叶级数

高等数学第七节傅里叶级数

三角级数正交函数系

三角函数的正交性

三角函数的级数展开与级数应用

01-以2π为周期函数的傅里叶级数

傅里叶级数11.6

第一讲三角级数,正交函数系

高等数学：第九讲三角级数