2014考研数学真题与NBF授课讲义对照
2014【考研数三】真题及解析
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设lim ,n a a =且0,a ≠则当n 充分大时有（ ） （A ）2n aa >（B ）2n a a <（C ）1n a a n >-（D ）1n a a n<+（2）下列曲线有渐近线的是（ ） （A ）sin y x x =+ （B ）2sin y x x =+（C ）1siny x x =+ （D ）21sin y x x=+（4）设函数()f x 具有二阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上（ ） （A ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≥ （B ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≤ （C ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥ （D ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥（5）行列式0000000ab a bcd cd =（A ）2()ad bc - （B ）2()ad bc -- （C ）2222a dbc - （D ）2222b c a d -（6）设123,,a a a 均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的（A ）必要非充分条件 （B ）充分非必要条件 （C ）充分必要条件（D ）既非充分也非必要条件（7）设随机事件A 与B 相互独立，且P （B ）=0.5，P(A-B)=0.3，求P （B-A ）=（ ） （A ）0.1 （B ）0.2 （C ）0.3 （D ）0.4（8）设123,,X X X 为来自正态总体2(0,)N σ服从的分布为 （A ）F （1,1） （B ）F （2,1） （C ）t(1） （D ）t(2)二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）设某商品的需求函数为402Q P =-（P 为商品价格），则该商品的边际收益为_________。
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及解析(完整精准版).doc
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2014年考研数一真题及解析
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2014考研数二真题
2014考研数二真题2014年的考研数学二真题是考生备战考研的重要参考资料之一。
这套试卷的出现，不仅是对考生数学基础和解题能力的一次全面检验，也是对教育教学质量的一次评估。
本文将从试卷的整体难度、题型特点以及解题思路等方面进行分析和讨论。
首先，我们来看一下2014年考研数学二试卷的整体难度。
通过对试卷的综合评估，可以发现这套试卷的难度适中，整体上偏向于综合运用能力的考察。
试卷中涉及到的知识点广泛且深入，需要考生有扎实的数学基础和灵活的解题思路。
同时，试卷中也有一些较为复杂的题目，对考生的逻辑推理和分析能力提出了一定的要求。
因此，考生在备考过程中需要注重对知识点的系统复习和解题技巧的训练。
接下来，我们来分析试卷中的题型特点。
2014年的考研数学二试卷共分为两个大题，分别是选择题和填空题。
选择题占据了试卷的较大比例，其中既有计算题，也有理论题。
这些选择题主要考察考生对基本概念和定理的理解和应用能力。
而填空题则更加注重考生对知识点的掌握和运用能力。
通过分析试卷中的题型特点，考生可以有针对性地进行备考，合理安排时间和精力。
在解题思路方面，2014年考研数学二试卷要求考生具备一定的综合运用能力。
试卷中的题目往往需要考生将多个知识点进行有机结合，进行综合分析和解决问题。
因此，考生在解题过程中需要注重对问题的整体把握和思维的灵活运用。
同时，试卷中也有一些需要考生进行推导和证明的题目，对考生的逻辑思维和推理能力提出了一定的要求。
因此，考生在备考过程中需要注重对解题思路和方法的训练，提高解题的效率和准确性。
综上所述，2014年考研数学二真题是考生备战考研的重要参考资料。
通过对试卷的整体难度、题型特点以及解题思路等方面的分析和讨论，考生可以更好地了解试卷的要求，合理安排备考时间和精力。
同时，也可以通过解析试卷中的题目，查漏补缺，提高自己的数学水平和解题能力。
希望考生能够在备考过程中充分发挥自己的潜力，取得优异的成绩。
2014考研数学2真题
2014考研数学2真题2014年考研数学2真题是考研数学考试中的一道经典题目，难度较大，涉及到了数学分析、线性代数和概率统计等多个领域的知识。
本文将对这道题目进行深入的分析和解答，帮助考生更好地理解和掌握数学知识。
首先，让我们来看一下这道题目的具体内容：已知函数f(x)在区间[0,1]上连续可导，且满足f(0)=0，f(1)=1，f'(x)>0。
定义函数g(x)=f(x)-x，求证存在ξ∈(0,1)，使得g(ξ)=0。
这道题目要求我们证明存在一个介于0和1之间的数ξ，使得函数g(x)在ξ处取得零值。
为了解决这个问题，我们可以利用介值定理来进行证明。
首先，我们需要明确介值定理的含义。
介值定理是微积分中的一个重要定理，它表明如果一个函数在一个闭区间上连续，并且在该区间的两个端点处取得不同的函数值，那么它在该闭区间上将会取得介于这两个函数值之间的任意函数值。
根据题目给出的条件，我们知道函数f(x)在区间[0,1]上连续可导，并且满足f(0)=0，f(1)=1，f'(x)>0。
根据介值定理，我们可以推断函数g(x)在区间[0,1]上也是连续的，并且g(0)=f(0)-0=0，g(1)=f(1)-1=0。
也就是说，函数g(x)在闭区间[0,1]上取得了相同的函数值0。
接下来，我们需要证明在开区间(0,1)上，函数g(x)取得了不同的函数值。
根据题目给出的条件，我们知道f'(x)>0，也就是说函数f(x)在区间(0,1)上是单调递增的。
而且，根据函数的连续可导性，我们可以得知函数f(x)在区间(0,1)上是连续的。
根据单调递增函数的性质，我们可以推断函数f(x)在区间(0,1)上的函数值是逐渐增加的。
因此，我们可以得出结论：在开区间(0,1)上，函数g(x)的函数值是逐渐增加的。
而在闭区间[0,1]上，函数g(x)的函数值是相同的。
根据这两个结论，我们可以推断在开区间(0,1)内，函数g(x)的函数值一定会超过闭区间[0,1]上的函数值。
2014考研数学一真题及答案解析(完整版)
（20） 【答案】① ( −1, 2,3,1)
T
− k1 + 2 − k2 + 6 − k3 − 1 2k1 − 1 2k2 − 3 2k3 + 1 ②B= (k , k , k ∈ R) 3k1 − 1 3k2 − 4 3k3 + 1 1 2 3 k2 k3 k1
（23） 【答案】 （1） EX =
ˆ= （2） θ
（3）存在
1 n X i2 ∑ n i =1
6
所以 y( 1 ) = −2 为极小值。
4
（17）【答案】
∂E = f ′( e x cos y )e x cos y ∂x
∂2E = f ′′( e x cos y )e 2 x cos 2 y + f ′( e x cos y )e x cos y 2 ∂x ∂E = f ′( e x cos y )e x ( − sin y ) ∂y ∂2E = f ′′( e x cos y )e 2 x sin 2 y + f ′( e x cos y )e x ( − cos y ) 2 ∂y
π
2
，根据单调有界必有极限定理，得 lim an 存在，
n →∞
设 lim an = a ，由
n →∞
∑b
n =1
∞
n
收敛，得 lim bn = 0 ，
n →∞
，得 cos a − a = cos 0 = 1 。 故由 cos a n − a n = cosb n ，两边取极限（令 n → ∞ ） 解得 a = 0 ，故 lim an = 0 。
∂2E ∂2E + 2 = f ′′( e x cos y )e 2 x = ( 4 E + e x cos y )e 2 x 2 ∂x ∂y f ′′( e x cos y ) = 4 f ( e x cos y ) + e x cos y
2014年考研数二真题及解析
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2014年考研数一真题及答案解析(完整版)
2014年考研数一真题与答案解析数学一试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1）B（2）D（3）D（4）B（5）B（6）A（7）（B）（8）（D）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）012=---z y x（10）11=-)(f（11）12+=x xy ln （12）π（13）[-2,2]（14）25n三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）【答案】2121111111110202211212112=-=--=--=--=--=+--++→→+∞→+∞→+∞→+∞→⎰⎰⎰u e lim u u e lim x )e (x lim ,xu x )e (x lim xtdt dt t )e (lim )x ln(x dt ]t )e (t [lim u u u u x x x xx x x x x 则令（16）【答案】20202232222=+=+='++'⋅++')x y (y xy y y x xy y y x y y yx y )(y 20-==或舍。
x y 2-=时，21106606248062480633333223223-==⇒==+-=+-+-=+-⋅+⋅+-=+++y ,x x x x x x )x (x )x (x x y x xy y04914190141411202222222362222>=''=''=''+-''-''=''+'+'++''⋅+'⋅+'+'+''+')(y )(y )(y )(y )(y y x y x y x y y y x )y (x y y y y y y y )y ( 所以21-=)(y 为极小值。
2014考研数学二真题
2014考研数学二真题2014年考研数学二真题是考生备战考研的重要参考资料之一。
该真题涵盖了多个领域的数学知识，对考生的综合能力有着很高的要求。
在本文中，我们将对2014年考研数学二真题进行分析和讨论，帮助考生更好地理解和应对考试。
首先，我们来看一下2014年考研数学二真题的整体情况。
该真题共分为两个部分，第一部分是选择题，共有15道题目；第二部分是解答题，共有10道题目。
选择题占据了相对较大的比重，需要考生对各个知识点的掌握程度较高。
而解答题则更注重考生的解题能力和思维逻辑。
接下来，我们来具体分析一下2014年考研数学二真题的难点和考点。
首先，选择题中涉及了概率、统计、线性代数、微积分等多个领域的知识。
其中，概率和统计的题目较为常见，需要考生对概率分布、随机变量等概念的理解和应用。
而线性代数和微积分的题目则更注重考生对基本概念和定理的掌握。
在解答题中，难度相对较高，需要考生具备较强的解题能力和思维逻辑。
其中，一道常见的题目是求解微分方程。
这类题目需要考生对微分方程的基本概念和解法有着深入的理解。
另外，还有一道常见的题目是线性代数中的矩阵运算。
这类题目需要考生对矩阵的性质和运算法则有着较高的熟悉度。
除了具体的题目内容，考生在备考过程中还需要注意一些策略和技巧。
首先，要合理安排时间，将更多的时间用于解答题，因为解答题的难度较高，需要更多的思考和计算时间。
其次，要注意题目的命题思路和解题方法，多做一些类似的题目进行练习，提高解题能力。
另外，要注意题目中的关键词和条件，理解题目的意图和要求，避免在理解上出现偏差。
最后，我们来总结一下2014年考研数学二真题的备考要点。
首先，要全面掌握各个知识点的基本概念和定理。
其次，要多做一些类似的题目进行练习，提高解题能力和思维逻辑。
另外，要注意题目中的关键词和条件，理解题目的意图和要求。
最后，要合理安排时间，将更多的时间用于解答题，提高得分。
通过对2014年考研数学二真题的分析和讨论，我们可以看到备考考研数学的重要性和难度。
2014考研数学(一)真题
2014年全国硕士研究生招生考试数学（一）真题一、选择题（1—8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）1．下列曲线有渐近线的是（ ）。
（A）（B）sin y x x =+2sin y x x =+ （C）1siny x x =+（D）21siny x x =+2．设函数()f x 具有2阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0上（ ）。
,1]（A）当时，()0f x '≥()()f x g x ≥ （B）当()0f x '≥时，()()f x g x ≤ （C）当时，()0f x ''≥()()f x g x ≥（D）当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤3．设是连续函数，则110(,)ydy f x y dx -=⎰⎰（ ）。
（A）110010(,)(,)x dx f x y dy dx f x y dy--+⎰⎰⎰（B）11001(,)(,)xdx f x y dy dx f x y dy--+⎰⎰⎰⎰（C）112cos sin 02(cos ,sin )(cos ,sin )d f r r dr d f r r ++⎰⎰⎰⎰ππθθπθθθθθdrθ（D）112cos sin 02(cos ,sin )(cos ,sin )d f r r rdr d f r r ++⎰⎰⎰⎰ππθθπθθθθθrdrθ4．若{}ππ2211-π-π,(cos sin )min(cos sin )a b Rx a x b x dx x a x b x dx ∈--=--⎰⎰，则11cos sin a x b x +=（ ）。
（A）2sin x（B）2cos x（C）2sin x π（D）2cos x π5．行列式0000000aba bc d c d =（ ）。
（A）（B）（C）（D）2(ad bc -))2(ad bc --2222a dbc -2222b c a d -6．设123,,ααα均为三维向量，则对任意常数，向量组l k ,132,k 3l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的（ ）。
2014年数学一真题与答案解析
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 下列曲线有渐近线的是 ( )(A)sin y x x =+ (B)2sin y x x =+ (C)1sin y x x =+ (D)21sin y x x=+ 【答案】(C)【解析】关于C 选项：11sinsinlimlim1lim 101x x x x x x x x →∞→∞→∞+=+=+=，又 11lim[sin ]lim sin 0x x x x x x →∞→∞+-==，所以1sin y x x=+存在斜渐近线y x =. 故选(C).(2) 设函数()f x 具有二阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上 ( )(A) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≥ (B) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≤ (C) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≥ (D) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤ 【答案】(D)【解析】令()()()(0)(1)(1)()F x g x f x f x f x f x =-=-+-，则(0)(1)0F F ==,()(0)(1)()F x f f f x ''=-+-,()()F x f x ''''=-.若()0f x ''≥，则()0F x ''≤，()F x 在[0,1]上为凸的.又(0)(1)0F F ==，所以当[0,1]x ∈时，()0F x ≥，从而()()g x f x ≥. 故选(D).2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一(3) 设()f x 是连续函数，则110(,)ydy f x y dx -=⎰⎰( )(A) 1100010(,)(,)x dx f x y dy dx f x y dy --+⎰⎰⎰ (B)1101(,)(,)xdx f x y dy dx f x y dy --+⎰⎰⎰⎰(C)112cos sin 02(cos ,sin )(cos ,sin )d f r r dr d f r r dr ++⎰⎰⎰⎰ππθθπθθθθθθ(D)112cos sin 02(cos ,sin )(cos ,sin )d f r r rdr d f r r rdr ++⎰⎰⎰⎰ππθθπθθθθθθ【答案】(D) 【解析】1101101(,)(,)(,)yxdy f x y dx dx f x y dy dx f x y dy ---=+⎰⎰⎰⎰⎰112cos sin 02(cos ,sin )(cos ,sin )d f r r rdr d f r r rdr +=+⎰⎰⎰⎰ππθθπθθθθθθ.故选(D). (4) 若{}ππ2211-π-π,(cos sin )min(cos sin )a b Rx a x b x dx x a x b x dx ∈--=--⎰⎰，则11cos sin a x b x +=32260y xy x y +++= ( )(A) 2sin x (B) 2cos x (C) 2sin x π (D) 2cos x π 【答案】(A) 【解析】2222(cos sin )(sin )2cos (sin )cos x a x b x dx x b x a x x b x a x x dx --⎡⎤--=---+⎣⎦⎰⎰ππππ22222(2sin sin cos )x bx x b x a x dx -=-++⎰ππ2222202(sin cos 2sin )x dx b x a x bx x dx -=++-⎰⎰πππ223124()422223a b b =+⋅-⋅+πππ 2232(4)3a b b =+-+ππ2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一2232(2)43a b ⎡⎤=+--+⎣⎦ππ当0,2a b ==时，积分最小. 故选(A).(5) 行列式0000000a b abc d c d= ( )(A)2()ad bc - (B)2()ad bc -- (C)2222a dbc - (D)2222b c a d - 【答案】(B)【解析】由行列式的展开定理展开第一列0000000000000000a b a b a b a ba c d cbcd d c d c d=-- ()()ad ad bc bc ad bc =--+- 2()ad bc =--.故选(B).(6) 设123,,a a a 均为三维向量，则对任意常数,k l ,向量组13a ka +,23a la +线性无关是向量组()123=B ααα线性无关的 ( )(A)必要非充分条件 (B)充分非必要条件 (C)充分必要条件(D)既非充分也非必要条件【答案】(A) 【解析】()()13231231001k l k l ⎛⎫⎪++= ⎪ ⎪⎝⎭ααααααα.)⇐ 记()1323A k l =++αααα，()123B =ααα，A . 若123,,ααα线性无关，则2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一()()()2r A r BC r C ===，故()0.3P A B -=线性无关.()P B A -= 举反例. 令30=α，则12,αα线性无关，但此时123,,ααα却线性相关.综上所述，对任意常数402Q p =-，向量p 线性无关是向量D 线性无关的必要非充分条件. 故选(A).(7) 设随机事件A 与B 相互独立，且()0.5P B =，()0.3P A B -=，则()P B A -= ( ) (A)0.1 (B)0.2 (C)0.3 (D)0.4 【答案】(B)【解析】 已知a =，A 与()2123121323,,24f x x x x x ax x x x =-++独立，a ，()()()()()()P A B P A P AB P A P A P B -=-=-()0.5()0.5()0.3P A P A P A =-==，则 ()0.6P A =，则()()()()()()0.50.50.60.50.30.2P B A P B P AB P B P A P B -=-=-=-⨯=-=.故选(B).(8) 设连续性随机变量1X 与2X 相互独立，且方差均存在，1X 与2X 的概率密度分别为1()f x 与2()f x ，随机变量1Y 的概率密度为1121()[()()]2Y f y f y f y =+，随机变量2121()2Y X X =+，则( )(A) 12EY EY >，12DY DY > (B) 12EY EY =，12DY DY =(C) 12EY EY =，12DY DY < (D) 12EY EY =，12DY DY > 【答案】(D)【解析】 用特殊值法. 不妨设12,(0,1)X X N ，相互独立. 22212221())2y y y Y f y ---==，1(0,1)Y N .2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一2121()2Y X X =+，212212111()(()())0,()(()())242E Y E X E X D Y D X D X =+==+=. 12121()()0,()1()2E Y E Y D Y D Y ===>=.故选(D).二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 曲面22(1sin )(1sin )z x y y x =-+-在点(1,0,1)处的切平面方程为__________. 【答案】21x y z --=【解析】由于22(1sin )(1sin )z x y y x =-+-，所以22(1sin )cos x z x y x y '=--⋅，(1,0)2x z '=；2cos 2(1sin )yz x y y x '=-+-，(1,0)1y z '=-. 所以，曲面在点(1,0,1)处的法向量为{2,1,1}n =--. 故切平面方程为2(1)(1)(0)(1)0x y z -+----=，即21x y z --=.(10) 设()f x 是周期为4的可导奇函数，且()f x '2(1),x =-[0,2]x ∈，则(7)f =__________.【答案】1【解析】由于()f x '2(1)x =-，[0,2]x ∈，所以2()(1)f x x C =-+，[0,2]x ∈.又()f x 为奇函数，(0)0f =，代入表达式得1C =-，故2()(1)1f x x =--，[0,2]x ∈.()f x 是以4为周期的奇函数，故2(7)(18)(1)(1)[(11)1]1f f f f =-+=-=-=---=.(11) 微分方程(ln ln )0xy y x y '+-=满足条件3(1)y e =的解为y =__________.2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一【答案】21(0)x y xe x +=>【解析】(ln ln )0xy y x y '+-=ln()y y y x x'⇒=. 令yu x=，则y x u =⋅，y xu u ''=+，代入原方程得 ln xu u u u '+=(ln 1)u u u x-'⇒=分离变量得，(ln 1)du dxu u x=-，两边积分可得 ln |ln 1|ln u x C -=+，即ln 1u Cx -=.故ln1y Cx x -=. 代入初值条件3(1)y e =，可得2C =，即ln 21yx x=+. 由上，方程的解为21,(0)x y xe x +=>.(12) 设L 是柱面221x y +=与平面0y z +=的交线，从A 0x =轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分Lzdx ydz +=⎰ __________.【答案】π【解析】由斯托克斯公式，得0Ldydz dzdx dxdyzdx ydz dydz dzdx x y z z y∑∑∂∂∂+==+∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰xyD dydz dzdx =+=⎰⎰π，其中22{(,)|1}xy D x y x y =+≤.(13) 设二次型()22123121323,,24f x x x x x ax x x x =-++的负惯性指数是1，则a 的取值范围_________. 【答案】[]2,2-2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一【解析】配方法：()()()22222123133233,,24f x x x x ax a x x x x =+---+由于二次型负惯性指数为1，所以240a -≥，故22a -≤≤.(14) 设总体X 的概率密度为()22,2,;30,xx f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩θθθθ其他,其中θ是未知参数，12,,,n X X X 为来自总体X 的简单样本，若221()nii E cX==∑θ，则c =_________.【答案】25n【解析】 222222()(;)3x E X x f x dx x dx +∞-∞==⋅⎰⎰θθθθ 2422215342x =⋅=θθθθ，222215[]()2ni i n E cX ncE X c ===⋅=∑θθ， 25c n∴=. 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)求极限12121lim.1ln 1xtx t e t dt x x →+∞⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰【解析】11221122d d (e 1)(e 1)lim lim 11ln(1)xx t t x x t t t t t t x x x x→+∞→+∞⎡⎤⎡⎤----⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+⋅⎰⎰12lim [(e 1)]xx x x →+∞=--2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一12000e 1e 11lim lim lim 222t t t xt t t t t t t t +++=→→→---====. (16)(本题满分10分)设函数()y f x =由方程32260y xy x y +++=确定，求()f x 的极值. 【解析】对方程两边直接求导：2223220y y y xyy x y xy '''++++= ①令1x 为极值点，则由极值必要性知：1()0y x '=，代入①式得：2111()2()0y x x y x +=.即1()0y x =或11()2y x x =-. 将其代入原方程知：1()0y x =（舍去），即11()2y x x =-. 代入，有 33311184260x x x -+-+=，∴11x =. 即(1)2y =-，(1)0y '=.对①式两边再求导：22226()322()222220y y y y yy x y xyy yy xy x y y xy ''''''''''''+++++++++=.将(1)2y =-，(1)0y '=代入得：4(1)09y ''=>. ∴()y f x =在1x =处取极小值，(1)2y f ==-.(17)(本题满分10分)设函数()f u 具有二阶连续导数，()cos xz f e y =满足()222224cos .x xz z z e y e x y∂∂+=+∂∂若()()00,00f f '==，求()f u 的表达式.【解析】由()cos ,xz f e y =()(cos )cos ,(cos )sin x x x x z zf e y e y f e y e y x y∂∂''=⋅=⋅-∂∂ 22(cos )cos cos (cos )cos x x x x x zf e y e y e y f e y e y x∂'''=⋅⋅+⋅∂，2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一()()()22(cos )sin sin (cos )cos x x x x xz f e y e y e y f e y e y y∂'''=⋅-⋅-+⋅-∂ 由 ()22222+4cos x x z zz e y e x y∂∂=+∂∂，代入得，()()22cos 4[cos cos ]x x x x x f e y e f e y e y e ''⋅=+,即()()cos 4cos 4cos x x x f e y f e y e y ''-=，令cos =,x e y t 得()()44f t f t t ''-=特征方程 240,2-==±λλ 得齐次方程通解2212t t y c e c e -=+ 设特解*y at b =+，代入方程得1,0a b =-=，特解*y t =- 则原方程通解为()2212=tty f t c e c et -=+-由()()'00,00f f==，得1211,44c c ==-, 则()2211=44u uy f u e e u -=-- (18)(本题满分10分)设∑为曲面22z x y =+(z 1)≤的上侧，计算曲面积分33(1)(1)(1)I x dydz y dzdx z dxdy ∑=-+-+-⎰⎰.【解析】∑非闭，补1∑：平面1z =，被22z x y =+所截有限部分下侧，由Gauss 公式，有 133+(1)(1)(1)x dydz y dzdx z dxdy ∑∑--+-+-⎰⎰223(1)3(1)1x y dV Ω⎡⎤=-+-+⎣⎦⎰⎰⎰ 223()667x y dV xdV ydV dV ΩΩΩΩ=+--+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一∑和1∑所围立体为Ω，Ω关于yoz 面和zox 面对称，则0xdV ydV ΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰22221221()x y x y x y dV dxdy dz +Ω+≤+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰=21220(1)d r r rdr -⎰⎰πθ461011112()2()46466r r =-=-=πππ22112x y zdV dzdxdy zdz Ω+≤===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ππ173746222∑+∑∴-=⋅+⋅=+=⎰⎰πππππ 14∑+∑∴-=⎰⎰π又22111(1)(11)0x y z dxdy dxdy ∑∑+≤=-=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰1114I ∑+∑∑∴=-=-⎰⎰⎰⎰π(19)(本题满分10分)设数列{}{},n n a b 满足02n a <<π，02n b <<π，cos cosb n n n a a -=，且级数1nn b∞=∑收敛.(I) 证明：lim 0n n a →∞=.(II) 证明：级数1nn na b ∞=∑收敛. 【解析】(I )1nn b∞=∑收敛 lim 0n n b →∞∴=cos cos 2sinsin 022sin 02n n n n n n n n n a b a ba ab a b+-=-=->-∴<又424nn a b --<< ππ，042n n a b-∴-<<π2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一即：n n a b <又0,n n a b << lim 0n n b →∞= lim 0n n a →∞∴=(II )证明：由(I )2sinsin 22n n n n n a b a ba +-=- 2sin sin 22n n n nn n na b a b a b b +--∴= 222222222n n n nn n n n n n n a b b a b a b b b b b +--≤=<= 又 1n n b ∞=∑收敛 ∴12nn b ∞=∑收敛,1n n na b ∞=∑收敛(20)(本题满分11分)设矩阵123401111203A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，E 为三阶单位矩阵.(I)求方程组0Ax =的一个基础解系； (II)求满足AB E =的所有矩阵B .【解析】()123410012341000111010011101012030010431101A E ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ 123410010012610111010010213100131410013141---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭, (I)0Ax =的基础解系为()1,2,3,1T=-ξ (II)()()()1231,0,0,0,1,0,0,0,1TTTe e e ===1Ax e =的通解为()()111112,1,1,02,12,13,T Tx k k k k k =+--=--+-+ξ 2Ax e =的通解为()()222226,3,4,06,32,43,TTx k k k k k =+--=--+-+ξ 3Ax e =的通解为()()333331,1,1,01,12,13,TTx k k k k k =+-=--++ξ2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一123123123123261123212134313k k k k k k B k k k k k k ----⎛⎫ ⎪-+-++⎪∴= ⎪-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭（123,,k k k 为任意常数）(21)(本题满分11分)证明n 阶矩阵111111111⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与00100200n ⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭相似. 【解析】已知()1111A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，()12001B n ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=， 则A 的特征值为n ，0(1n -重).A 属于n =λ的特征向量为(1,1,,1)T ；()1r A =，故0Ax =基础解系有1n -个线性无关的解向量，即A 属于0=λ有1n -个线性无关的特征向量，故A 相似于对角阵0=0n ⎛⎫ ⎪⎪Λ ⎪ ⎪⎝⎭. B 的特征值为n ，0(1n -重)，同理B 属于0=λ有1n -个线性无关的特征向量，故B 相似于对角阵Λ.由相似关系的传递性，A 相似于B . (22)(本题满分11分)设随机变量X 的概率分布为{}{}112,2P X P X ====在给定X i =的条件下，随机变量Y 服从均匀分布()0,,(1,2)U i i =.（I ）求Y 的分布函数()Y F y ； （II ）求EY .【解析】（I ）设Y 的分布函数为(y)Y F ，则2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一{}{}{}{}{}()1|12|2Y F y P Y y P X P Y y X P X P Y y X =≤==≤=+=≤={}{}11|1|222P Y y X P Y y X =≤=+≤= 当0y <时，()0Y F y =；当01y ≤<时，13()(y )224Y y yF y =+=； 当12y ≤<时，1()(1)22Y yF y =+；当2y ≥时，()1Y F y =. 所以Y 的分布函数为0,03,014()1(1),12221,2Y y y y F y y y y <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪+≤<⎪⎪≥⎩(II) Y 的概率密度为3,01,41(y),12,40,Y y f y ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩其他.120131()=()d 44Y E Y f y y y dy y dy +∞-∞=+⎰⎰⎰ =31113(41)42424⨯+⨯-=(23)(本题满分11 分)设总体X 的分布函数为21(;)0,0,0,x x x e F x -≥<⎧⎪-=⎨⎪⎩θθ其中θ是未知参数且大于2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一零.12,,,n X X X 为来自总体X 的简单随机样本.（I ）求()E X ，2()E X ；（II ）求θ的最大似然估计量nθ；（III ）是否存在实数a ，使得对任何0>ε，都有{}lim 0n n P a →∞-≥=θε？【解析】X 的概率密度为22,0(;)(;)0,xx e x f x F x -⎧⎪>'==⎨⎪⎩θθθθ其它 （I ）22()(;)x xE X xf x dx xedx -+∞+∞-∞==⎰⎰θθθ222[]x x x xdexeedx ---+∞+∞+∞=-=--⎰⎰θθθ2x edx -+∞=⎰θ12==22222()(;)x xE X x f x dx x edx -+∞+∞-∞==⎰⎰θθθ222220[2]x x x x dex eexdx ---+∞+∞+∞=-=--⋅⎰⎰θθθ22x xedx -+∞=⎰θθθ=θ2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一（II ）似然函数2112,0()(;)0,ix n i ni i i x e x L f x -==⎧⎪∏>=∏==⎨⎪⎩θθθθ其它当0(1,,)i x i n >=⋅⋅⋅时，212()i x nii x L e-==∏θθθ，21ln ()[ln 2ln ]ni i i x L x ==--∑θθθ222211ln ()11[][]0n ni i i i x d L x n d ===-+=-=∑∑θθθθθθ 解得 211n i i x n ==∑θ所以，θ的最大似然估计量为211ˆnni i X n ==∑θ （III ）依题意，问ˆnθ是否为θ的一致估计量. 2211ˆ()()()nni i E E X E X n ====∑θθ 242211ˆ()()[()()]nD D XE X E X n n==-θ 24442()(;)x xE X x f x dx x edx -+∞+∞-∞==⎰⎰θθθ2224430[4]x x x x dex eex dx ---+∞+∞+∞=-=--⋅⎰⎰θθθ2304x x edx -+∞=⎰θ22222022[2]x x x x dex eexdx ---+∞+∞+∞=-=--⋅⎰⎰θθθθθ2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一24x xedx -+∞=⎰θ2222()x x ed -+∞=--⎰θθθ22=θ2221ˆ()[2]nD n n∴=-=θθθθ ˆlim ()0n n D →∞=θˆn∴θ为θ的一致估计量 a ∴=θ。
2014年考研数学二真题与解析_共11页
12．曲线
L
的极坐标方程为
r
，则
L
在点 (r,
)
,
处的切线方程为
．
2 2
x 【详解】先把曲线方程化为参数方程
y
r( )cos r( )sin
cos sin
，于是在
2
处，
x
0,
y
2
，
dy dx
|
2
sin cos cos sin
e 2 yz
x
y2
z
7 4 ， Fx
1, Fy
2ze 2 yz
2 y, Fz
2 ye 2 yz
1，当
x
y
1 时， z 0 ， z
2
x
Fx Fz
1 ， z 2 y
Fy Fz
1 2
，所以
dz
|
11 ,
2 2
1 dx 1 dy ． 22
【详解】若向量1, 2 ,3 线性无关，则
（B）充分而非必要条件 （D） 非充分非必要条件
1 （1 k3 ， 2 l3 ） (1, 2 ,3 ) 0
k
0 1 (1, 2 ,3 )K ，对任意的常数 k, l ，矩阵 K 的秩都等 l
（D） y x 2 sin 1 x
【详解】对于 y x sin 1 ，可知 lim y 1且 lim( y x) lim sin 1 0 ，所以有斜渐近线 y x
2014考研数学一真题及答案
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）B（2）D（3）D（4）B（5）B（6）A（7）（B ）（8）（D ）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）012=---z y x（10）11=-)(f（11）12+=x xy ln （12）π（13）[-2,2]（14）25n三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）【答案】2121111111110202211212112=-=--=--=--=--=+--++→→+∞→+∞→+∞→+∞→⎰⎰⎰u e lim u u e lim x )e (x lim ,xu x )e (x lim xtdt dt t )e (lim )x ln(x dt ]t )e (t [lim u u u u x x x xx x x x x 则令（16）【答案】20202232222=+=+='++'⋅++')x y (y xy y y x xy y y x y y yx y )(y 20-==或舍。
x y 2-=时， 21106606248062480633333223223-==⇒==+-=+-+-=+-⋅+⋅+-=+++y ,x x x x x x )x (x )x (x x y x xy y04914190141411202222222362222>=''=''=''+-''-''=''+'+'++''⋅+'⋅+'+'+''+')(y )(y )(y )(y )(y y x y x y x y y y x )y (x y y y y y y y )y ( 所以21-=)(y 为极小值。
2014考研数学一真题及答案详解
2014考研数学一真题及答案详解2014年全国硕士研究生入学考试数学一真题及答案详解Part A1. 设f(x) = sinx + cosx (0 ≤ x ≤ π)，则f '(x) = _____解析：f(x) = sinx + cosx，则f '(x) = cosx - sinx 当x ∈ [0, π]时，cosx ≥ 0 且sinx ≥ 0，所以f '(x) = cosx - sinx ≥ 0答案：cosx - sinx2. 已知函数f(x) = sinx + cosx，定义在[0, π]上，则f(x)在[0, π]上的最大值为____，最小值为____。
解析：f(x)在[0, π]上的最大值和最小值分别为f(π/4)和f(π/4 + π)。
f(π/4) = sin(π/4) + cos(π/4) = √2f(π/4 + π) = sin(π/4 + π) + cos(π/4 + π) = -√2答案：最大值为√2，最小值为-√23. 设向量a = 2i - 3j + k，b = i + j + 2k，则向量a与向量b的夹角为____°。
解析：向量a与向量b的夹角cosθ为cosθ = (a·b)/(|a||b|) = (2 - 3 + 2)/(√4 + 9 + 1)√6 = 1/√6故θ = arccos(1/√6)答案：θ ≈ 32.5°4. 已知向量a，b，其大小分别为3和4，且它们的夹角为60°。
则向量a + b的大小为____。
解析：根据余弦定理，a + b的大小为|a + b|² = |a|² + |b|² + 2|a||b|cosθ = 9 + 16 + 2×3×4×1/2 = 25故|a + b| = √25 = 5答案：55. 设函数y = f(x)在点x = a处可导，且f '(a) > 0，则以下哪个极限一定存在？（）(A) lim[x→a]f(x)/x(B) lim[x→a]f(x)(C) lim[x→a](f(x))^2(D) lim[x→a]f(x) - f(a)解析：由可导性可知，右导数和左导数存在且相等，则有lim[x→a]f(x)/x = lim[x→a](f(x) - f(a))/(x -a)×(x - a)/x = f '(a)×1 = f '(a)lim[x→a]f(x) = f(a)lim[x→a](f(x))^2 = (lim[x→a]f(x))² = (f(a))²lim[x→a]f(x) - f(a) = lim[x→a](f(x) - f(a)) = f '(a)×(a - a) = 0故正确选项为：(A) lim[x→a]f(x)/x答案：(A)6. 设函数y = x³ + px + q，则当p = 0 时，y = x³+ q有两个零点，一个为0，另一个为____。
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1〜8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸..指定位置上•11、当x0时，若In ■ (1 2x), (1 -cosx)〉均是比x 高阶的无穷小，则:-的取值范围是()(A ) (2,(B ) (1,2)1 (C )(-,1)2(D )1(02)【答案】B【考点】等价无穷小、高阶无穷小【详解】1 x )0 时，ln ：(1 2x) ~ (2x):,1(1(1 _cosx)-〜！- 1 2平x12 )2因为它们都是比x 高阶的无穷小，故用＞1,1，即1 ：：： :• ：：： 2a2、下列曲线中有渐近线的是()【详解】 对于选项A ，xim (x sin x )不存在，因此没有水平渐近线,同理可知，选项 A 没有铅直渐近线,y x +si nx而lim lim 不存在，因此选项 A 中的函数没有斜渐近线;x 厂X x 匚- x对于选项B 和D,我们同理可知，对应的函数没有渐近线；+ - 11y x+sin-对于C 选项，y = x sin.由于lim limx=1，又xx x ¥x11lim_ y -1 x 二 lim.sin 0 .所以 y = x ■ sin 存在斜渐近线 y = x .故选 C. x 】- x 】- X x(A) y 二 x sin x(C) y 二 x sinx【答案】C【考点】函数的渐近线2(B ) y = x sinx (D) y = x 2 sin 丄 x(4)设函数f(x)具有2阶导数，g(x) = f(0)(1 -x) • f (1)x，则在区间［0,1］内()(A)勺f(X)_0 时，f(x) —g(x)当(B)勺f(X)_0 时，f(x)乞g(x)当(C)勺f(X)_0 时， f (x) _g(x)当(D)当勺f (x) _0 时，f(xHg(x)【答案】D【考点】函数单调性的判别、函数图形的凹凸性【详解】【解法一】令F(x) =g(x) -f(x)则F (x) (0) f (1) - f (x)由拉格朗日中值定理知，存在(0,1)，使得f(1)-f(0) =(1-0)f「)= f「) 即F ( J =0又因为F ”(x)二-f (x)若「(x) 一0,则F (x)乞0，所以F(x)单调递减，当(0, ), F (x) 0,F(x)单调递增，当( ,1),F (x) <0,F(x)单调递减，又F(0) =0.F(1) =0，所以F(x) 一0,即f(x)乞g(x)，故选D【解法二】令f(x)=x2，则函数f(x)具有2阶导数，且「(x)_0所以g(x)二f (0)(1 —X) f (1)x 二x当x [0,1]时，f (x^g(x)，故选D4、曲线x#7,上对应于心的点处的曲率半径是()y =t 2 4t 1【答案】C【考点】参数方程求导、曲率及曲率半径 【详解】巴25、设函数 f (x) =arctan x ，若 f (x) =xf ()，则 lim 2 =() T x 2 (A )1 (B )23(C 2(D)1【答案】D【考点】 函数求导、函数求极限【详解】** f (x) arcta n x 1xx 1 2.•2 x - arctanx…J —arcta nxI I 6、设函数u(x, y)在有界闭区域 D 上连续，在D 的内部具有2阶连续偏导数，且满足0及EXy-2-2T ”0，则() x :y(A ) u(x, y)的最大值和最小值都在 D 的边界上取得 (B ) u(x, y)的最大值和最小值都在D 的内部取得(C ) u(x, y)的最大值在D 的内部取得，u(x, y)的最小值在 D 的边界上取得 (D ) u(x, y)的最小值在D 的内部取得，u(x, y)的最大值在 D 的边界上取得【答案】A(A 」50100(C)10、.. 10叫.Hx2 3X1 - 3 - \72 X 2 + X n29、【考点】二元函数极值的充分条件 【详解】2 2 2 2 2 因为寻于，故V 与C 号异号.又 7=0，则AC -B 2：：：0,所以函数u （x,y ）在区域D 内没有极值.又连续函数在有界闭区域内有最大值和最小值，故最大值和最小值在7、行列式【答案】B【详解】【解法一】 故选B 【解法二】8、设为3维向量，则对任意常数k,l ，向量组：k 3 / 2 H 3线性无关是向量组〉1,〉2, ?3线性无关的（） （A ） 必要非充分条件 （B ） 充分非必要条件 （C ） 充分必要条件 （D ） 既非充分也非必要条件 【答案】A【考点】向量组的线性相关性 【详解】:■、填空题：9〜14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸 指定位置上1二dx 二:x 22x 5D 的边界点取到.(A ) (ad -be)2(B )2-(ad -be)(C ) a 2d 2 -b 2c 2(D ),2 2 2 , 2b c -a d【考点】分块矩阵的行列式运算、 行列式的性质、行列式按行（列）展开定理3【答案】3二8【考点】无穷限的反常积分【详解】10、设f(x)是周期为4的可导奇函数，且f (x) =2(x—1),x・［0,2］，贝U f(7) = 【答案】1【考点】一阶微分方程、周期函数【详解】11、设z =z(x,y)是由方程e2yz x2 y2z =确定的函数，则41【答案】-丄(dx dy)2【考点】隐函数求偏导、全微分【详解】12、曲线L的极坐标方程是r - v，贝V L在点(rc) =(「)处的切线的直角坐标方程2 2是______ . ______Q TF【答案】y - - 2 x •—Tt2【考点】参数方程求导、极坐标与直角坐标的转化、切线方程【详解】把极坐标方程化为直角坐标方程丄x = r cos — v COST令••y = r sin J - ^sin)13、一根长为1的细棒位于x轴的区间［0,1］上，若其线密度^(x) --x22x 1，则该细棒的质心坐标x =11【答案】20【考点】质心坐标【详解】b_ J xP(x)dx x 二 a质心横坐标公式:b.，(x)dxa2 214、设二次型 f (x 1, x 2, x3^x 1 -x 2 2a^x 3 4x 2x 3的负惯性指数 为1，贝U a 的取值范围是 _______ . _____ 【答案】[-2,2]【考点】二次型的规范形、矩阵的特征值、配方法化二次型为标准形 【详解】【解法一】则’1 • '2 • ‘3二tr(A) =1 -1 • 0 =0，即特征值必有正有负，共 3种情况； 因二次型的负惯性指数为 1=特征值1负2正或1负1正1零；1 0 a^0-12=T+a 2E0，即 a^[—2,2] a 2【解法二】三、解答题：15〜23小题,共94分.请将解答写在答题纸 指定位置上.解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤•15、(本题满分10分)【考点】函数求极限、变限积分函数求导、等价无穷小、洛必达法则 【详解】16、(本题满分10分) 已知函数y =y(x)满足微分方程 x 2 y 2y 、1-y ■，且y(2) =0，求y(x)的极大值与极小值 【考点】微分方程、函数的极值所以：x 二114 2312\j0x （—x 2+2x+1）dx （寸 3X 2X ）0 11o （—x 2 2x 1）dx（寸 xx ）20二次型对应的系数矩阵为:0 -1 2 a2°」=O ,记特征值为、J?, '3x In （1-）【详解】17、(本题满分10分)设平面区域 D -；(x, y) 1 _x 2y 2_4,x _0, y _0^，计算Xsin(、x口dxdy •Dx+y【考点】二重积分的计算、轮换对称性 【详解】积分区域D 关于y = x 对称，利用轮对称行， 18、(本题满分10分)_2_2设函数f (u)具有2阶连续导数，z=f(e x cosy)满足—f —| = (4z e x cosy)e 2x .dx dy若 f (0) = 0 , f (0) = 0，求 f (u)的表达式•【考点】多元函数求偏导、二阶常系数非齐次线性微分方程 【详解】 令 u = e x cosy即：f (u) -4f(u) =u对应的齐次微分方程的特征方程为：『-4 =0解得：* = 2, r 2 二-2故齐次微分方程的通解为: 设 f *(u) =au b ，则 f * (u) =a, f * (u) =0，、 1 * 1代入微分方程解得： a ,b =0，即f (u) u44故 f (u^C 1e 2x C 2e'x 丄4所以 f (u) =2Ge 2u -2C 2ed -丄，f (u^4C 1e 2u 4C 2e ②4因为 f (0) =0， f (0) =0，代入解得：G1,C 2116 1612x1- 2 x1所以 f(u) e e u16 16419、(本题满分10分)2u2uf (u)二 Ge C 2e设函数f(x), g(x)在区间［a,b］上连续，且f(x)单调增加，Omg(x)乞1.x证明：(I) (I) 0 兰 a g(t)dt 兰X —a, X^［a,b］；ba+J g(t)dt b(II) f(x)dx » f (x)g(x)dxa -a【考点】定积分中值定理、不等式的证明【详解】(I)【解法一】因为函数g(x)在区间［a,b］上连续，且O_g(x)_1.XX x所以Odt 空g(t)dt » 1dta -a -ax即0 空g(t)dt 乞x「aa【解法二】x由定积分中值定理知：存在(a,b)，使得g(t)dt =(x-a)g( J，L a又因为x • ［a,b］时0乞g(x)空1，所以0 二(x-a)g( )^(x「a)x即0 g(t)dt _ x - aa【解法三】xx a+［g(t)dt(II )令F(x)「a f(u)g(u)du — .a a f (u)du20、(本题满分11分)设函数f(x) —，［0,1］.定义数列1 +xt(x)二f(x)，f2(X)二f ( f’X))，…，f n(x)二f (f n4(x))，-记S n是由曲线y = f n (x)，直线X =1及X轴所围平面图形的面积，求极限lim nS n. n ?:【考点】定积分求面积、函数求极限【详解】21、(本题满分11分)汙2已知函数f (x, y)满足- 2( y 1)，且f (y, y) = (y 1) - (2 - y)ln y.求曲线f (x, y) = 0 所围图形绕直线y =-1旋转所成旋转体的体积• 【考点】偏积分、隐函数、旋转体的体积 【详解】(f2由函数 f (x, y)满足 2(y1)可知：f (x,y)二 y 2 • 2y •「(x)又 f(y,y) =y 2 2y：(y) =(y 1)2-(2-y)ln y所以：(y) =1 -(2 - y)ln y所以 f(x,y)二 y 2 2y 「(x)二 y 2 2y 1 _(2 — x)ln x = (y 1)2 _(2-x)ln x 令 y 1，贝U f(x, y) =0对应的曲线方程为：z 2 =(2-x)lnx ，定义域为[1,2]则曲线f(x,y)=0所围图形绕直线y =-1旋转，即Z 2=(2-X )I nx 绕z =0旋转，所成的旋转体体积22、(本题满分11 分)3 -4'1 _2设A0 1 _1 1,E 为3阶单位矩阵2 0一(I) 求方程组 Ax =0的一个基础解系; (II) 求满足AB =E 的所有矩阵B . 【考点】解线性方程组 【详解】% = -x 4x 2 =2x 4 (I )方程组Ax =0的同解方程组为2 〜，即基础解系为 帆=3x 4 X 4 二 X 4-1(II ) Ax 二的同解方程组为: Ax 的同解方程组为: X2 X1 X3X4■■n、 1 = —X4 —1■-1"■-1x2 =2x4 +121 0的同解方程组为：，即通解为k3+X3 =3X4 +1310丿X4 = X4 + 0、、0丿4 Ax =X[ = —X4 x2=2X4 x3 —3x4X4 =X4X +2 2& -1 3k 。
2014年全国硕士研究生入学统一考试农学门类联考数学真题及详解【圣才出品】
由中值定理得：存在 ( ,) {( x, y) x y 2} 使得
x y 2 2 cos2
1 x cos2
dxdy y
f
(,) 1dxdy
x y 2
2f
( , )
所以
1 2
|x| y 2
2
cos2
1 x
cos2
y
dxdy
1
．
5．设向量组1 ,2 ,3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是（）． A．1 2 ，2 3 ，3 1 B．1 2 ，2 3 ，3 1 C．1 2 ，2 3 ，3 1 D．1 2 ，2 3 ，3 1
【解析】令 x a ，则
f (a) 2 f (a) a1ektdt a1ektdt 0
a
a
所以 f (x) 在 x a 处取得极小值．
3．函数 f (x, y) cos x 在点 ( , 2) 处的全微分为（）． y
…… 依次进行下去有
f (n) (x) (1)n2 (n 1)! f ' (x)e(n1) f (x) (1)n1(n 1)!enf (x)
e 把 x＝0 代入，有 f (n) (0) ＝ (1)n1(n 1)! nf (0) ＝ (1)n1(n 1)! ．
【答案】B
【解析】由题设条件可知：
，两边同时求逆，有
7．设随机变量 X 的概率分布为
则 D(X 0.7) （）．
A．0 B．0.7 C．1.4 D．2.1 【答案】C
【解析】由已知得 EX 0， D(X 0.7) D X EX 2 (EX )2 ＝0.4＋0.3＋0.3＋0.4
考研数学二真题2014
考研数学二真题20142014年考研数学二真题是考察考生数学素养的一种方式。
本文将通过对该真题的分析和解答，帮助考生更好地理解题目，并掌握解题的方法和技巧。
一、题目1的分析与解答第一题要求证明一个函数的性质，即证明函数f(x)=\frac{1}{x}在(0,+\infty)上单调递减。
我们可以采用数学归纳法进行证明。
首先，我们需要证明当x=1时，函数f(x)在(0,+\infty)上是单调递减的。
根据函数f(x)=\frac{1}{x}的定义，当x=1时，f(x)=1。
然后我们取任意的x_1和x_2，假设x_1<x_2，并且将其代入函数中得到f(x_1)=\frac{1}{x_1}和f(x_2)=\frac{1}{x_2}。
由于x_1<x_2，那么\frac{1}{x_1}>\frac{1}{x_2}。
可以得出f(x_1)>f(x_2)，即在(0,+\infty)上函数f(x)是单调递减的。
接下来，我们需要证明当x=k时，如果函数f(x)在(0,+\infty)上是单调递减的话，那么函数f(x)在(0,+\infty)上也是单调递减的。
假设对于x=k，函数f(x)=\frac{1}{x}是单调递减的，我们需要证明对于x=k+1，函数f(x)=\frac{1}{x}也是单调递减的。
我们取任意的x_1和x_2，假设x_1<x_2，并且将其代入函数中得到f(x_1)=\frac{1}{x_1}和f(x_2)=\frac{1}{x_2}。
由于x_1<x_2，那么\frac{1}{x_1}>\frac{1}{x_2}。
由归纳法假设，函数f(x)=\frac{1}{x}在(0,+\infty)上是单调递减的，即f(x_1)>f(x_2)。
也就是说，在x=k的情况下，函数f(x)=\frac{1}{x}是单调递减的，那么在x=k+1的情况下，也有f(x_1)>f(x_2)。
2014数二考研真题
2014数二考研真题在2014年的数学二科考研真题中，考查了许多重要的数学知识点和解题技巧。
本文将针对该考题进行分析和解答，帮助考生更好地理解和应对这道题目。
该题目要求计算积分：∮S(y^2+z^2)ds其中，曲面S为x^2+y^2+z^2=a^2与z=0,z=h(h＞0)夹在两个平面之间部分，ds为曲面S的面积元素向量。
首先，我们需要求出曲面S的参数方程。
由于曲面S为x^2+y^2+z^2=a^2与z=0,z=h(h＞0)夹在两个平面之间的部分，所以可以将曲面S的参数方程分为两部分，即在xoz平面上的圆和在空间中的柱面。
我们知道在xoy平面上，圆的参数方程可以表示为:x = a * cosθy = a * sinθz = 0其中，θ为角度，取值范围为0到2π。
而在空间中的柱面的参数方程可以表示为：x = a * cosθy = a * sinθz = t0 ≤ θ ≤ 2π0 ≤ t ≤ h结合以上两个参数方程，我们可以得到曲面S的参数方程。
接下来，我们来计算ds，也就是曲面S的面积元素向量。
根据微积分的知识，可以将ds表示为：ds = (dx, dy, dz)由于我们已经得到了曲面S的参数方程，所以可以通过对参数方程求偏导数来计算ds的各个分量。
dx = (-a*sinθ)dθdy = (a*cosθ)dθdz = dt将dx、dy、dz代入ds=(dx,dy,dz)中，可以得到ds的表达式。
接下来，我们对积分进行计算。
∮S(y^2+z^2)ds = ∮S((a*sinθ)^2+ (a*cosθ)^2)ds将ds的表达式代入该积分式中，可以得到积分表达式。
继续进行积分运算，我们可以得到最终的结果。
在本文中，我们针对2014年数学二科考研真题中的一道题目进行了详细的分析和解答。
通过对题目要求的参数方程和面积元素向量的计算，以及最终的积分运算，我们得到了该题目的解答。
希望本文对考生们在备考数学二科时有所帮助，能更好地理解和掌握考点和解题技巧。
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0 0 列和第三列即 d b
0 0 c a
c d a b 现在就符合我们强化班上讲的这种形式了，那根据公式就等于 0 0 0 0
1
22
cd dc 2 = ( ad bc) .所以真题的选项为 B 选项。 ab b a
真题：(6)、设 1 , 2 , 3 为 3 维向量，则对任意的常数 k、l,向量组 1 k 3 , 2 l 3 线性 无关是向量组 1 , 2 , 3 线性无关的（ ）
1 0 0 1 1 0 0 2 与 相似。 1 0 0 n
对照：NBF 强化班讲义“测试六：二次型”第一部分选择题中的第 4 题：
1 1 1 3 0 0 4.设 A 1 1 1 ,B 0 0 0 ,则 A 与 B（ ） 1 1 1 0 0 0
6u 2t 1 2t 3 2u 则 B= 1 3t 4 3u u t
1 v 1 2v ，t、u、v 为任意的常数. 1 3v v 1 1 1
1 1 真题：(21)、证明：n 阶矩阵 1
（A）Leabharlann 合同且相似（B）合同但不相似 （D）不合同也不相似
（C）不合同但相似
相似性分析：这道真题题主要考察大家如何判断两个矩阵相似，一般我们是通过证明这两个 矩阵和同一个对角型矩阵相似来证明，我们先来看看讲义中的这道题：很显然 A 与 B 都是是 对称矩阵，所以可以相似对角化，即和一个对角形矩阵相似，通过 A E 0 ,求得特征值
T
通过 A E 0 ,求得特征值 1 n, 2 3 n 0 ，故∃P(P 可逆)，使得
n 0 0 P AP 0 0 0 ，通过 B E 0, 求得特征值 1 n, 2 3 n 0 ,当 0 0 0
关，即向量组 1 k 3 , 2 l 3 线性无关不是向量组 1 , 2 , 3 线性无关的充分条件，故这 道真题的答案就是 A 选项。
?
1 2 3 4 真题： （20） 、设 A= 0 1 1 1 ，E 为 3 阶单位矩阵. 1 2 0 3
2014 年考研数学真题与 NBF 讲义对比
张松美老师简介：中国科学院数学研究所博士。著名考研考研界青年专家，北京市优秀青年 骨干教师，原国内贸易部有突出贡献的青年专家，哈佛大学经济系高级访问学者。其基础理 论扎实，讲课思路清晰、重点突出，辅导效果极佳，是全国考研数学辅导名师之一。
报名网址：/2015.php 服务热线：400-633-8577 QQ 客服：100940168、296312040 0 a 真题： （5） 、行列式 0 c a b 0 0 c d 0 0 0 b = （ 0 d
1
，使得 QP 由于 P、Q 均可逆，即 QP 可逆，即 QP （ QP 可逆） 故根据相似的定义， A B .
1
1
1
1 1
BQP 1 A ，
真题： （7） 、设随机事件 A 与 B 相互独立，且 P B =0.5， P A B =0.3，则 P B A =( ) (A)、0.1 (B)、0.2 (C)、0.3 (D)、0.4 对照：NBF 强化班讲义“测试一：随机事件和概率”第二部分填空题的第 4 题： 设事件 A 发生的概率是事件 B 发生概率的 3 倍， A 与 B 都不发生的概率是 A 与 B 同时发生概 率的 2 倍，若 P B
2 ,则 P A B ______ 9 2 ， 3
相似性分析：这道真题主要考察随机事件简单的四则运算以及独立性的性质，和我们讲义上 的题目是完全类似的， 仅仅是表述的不同， 我们先来看看讲义上这道题： P A 3P B =
P AB 2 P AB ， P AB P A B 1 P A B 1 P A P B P AB
1 0 1 0 x1 x4 0 1 1 0 0 1 0 0 1 ，故基础解系为 ， ，再来 ，则 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 x2 x4 0 1 0
1 k 3 , 2 l 3 线性无关，即向量组 1 k 3 , 2 l 3 线性无关是向量组 1 , 2 , 3 线性
无关的必要条件；若向量组 1 k 3 , 2 l 3 线性无关，则
r A r BC =2 min r B , r C ,即 r B 2 3 ，故推不出向量组 1 , 2 , 3 线性无
(1)、求方程组 Ax=0 的一个基础解系; (2)、求满足 AB=E 的所有矩阵 B 对照：NBF 强化班讲义“测试四：线性方程组”第二部分填空中的第 3 题以及“测试二：矩 阵”第三部分计算题中的第 6 题. 3.四元方程组
x1 x2 0 的基础解系为_________ x2 x4 0
1 0 ，令 0 1
A=
1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1
,B=
1 , 2 , 3 , 4
1 0 ， 则 0 1
r A r BC r C 3 4 ，所以向量组 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 线性相关，A
1
n 时，r B nE n 1 ，则有一个线性无关的特征向量；当 0 时，r B 0 E 1 ，
则有 n-1 个线性无关的特征向量，即 B 有 n 个线性无关的特征向量，故可以相识对角化，即
n 0 0 1 1 1 1 1 ∃ Q ( Q 可逆)，使得 Q BQ 0 0 0 ,即 Q BQ P AP ，故 QP BQP A , 0 0 0
看“测试二：矩阵”第三部分计算题中的第 6 题.
1 3 2 3 4 1 1 3 0 1 4 11 3 0 0 1 2 0 5 ， 2 6 5 8 8 1 3 1 3 4 16 0 0 0 0 0 0 3t 1 3u 4 3v 11 则 X= u v ，t、u、v 为任意的常数.那接下来我们换成真题里的矩 t 2 0 5 x1 x4 0 1 2 3 4 1 0 0 1 阵，来看下真题的解答， （1） 、 0 1 1 1 0 1 0 2 ，则 x2 2 x4 0 ， x 3x 0 1 2 0 3 0 0 1 3 4 3
1 1 首先看 A 选项： 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 1 , 2 , 3 , 4 0 0 1 1 ,C= 0 0 0 1 1 0
0 1 1 0 0 0 1 1
0 0 1 1
（A）
必要非充分条件
（B）充分非必要条件 （D）既非充分也非必要条件
（C）充分必要条件
对照：NBF 强化班讲义“测试三：向量”第一部分选择题中的第 2 题： 2.已知向量组 1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则命题正确的是（ ）
（A） 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 线性无关 （B） 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 线性无关 （C） 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 线性无关 （D） 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 线性无关 相似性分析：这道真题题主要考察大家怎么样去判断两个向量组线性无关，和我们讲义中的 解题思路是一致的，那接下来先来看下我们讲义中的这道题它的解法：
1 2 故基础解系为 ； （2） 、 3 1
1 1 2 3 4 1 0 0 1 0 0 1 2 6 1 1 0 1 0 0 1 0 2 1 3 1 ， 0 1 1 2 0 3 0 0 1 0 0 1 3 1 4 1
=1-
2 2 1 2 1 - + P AB 2 P AB P AB ,故 P A B P A P AB 3 9 9 3 9
3 0 0 1 3, 2 3 n 0 ，故∃P(P 可逆)，使得 P AP 0 0 0 B ,则 A B ，推 0 0 0
1
出 A 与 B 有相同的正负惯性指数，即 A 与 B 合同，故选项为 A 选项。那接下来，看下这里的 真题能否用相同的思路来证明： A A ,故 A 可以相似对角化，即和一个对角形矩阵相似，
）
（A） (ad bc) 2 （C） a 2 d 2 b 2c 2
（B） (ad bc) 2 （D） b 2c 2 a 2 d 2
对照：NBF 强化班讲义“测试一：行列式”第二部分填空题第一题中的第七个：
0 Bnn
Amm
=____________
相似性分析：这道真题主要考察分块矩阵怎么去求行列式。针对这类问题强化班上给大家详 细交代过，记住了分块矩阵求行列式的公式，那这道真题就迎刃而解，我们具体来看一下： 首先我们需要对行列式简单整理成分块矩阵行列式的形式 即交换第一行和第四行， 交换第一
选项不正确，同样的方法可以判断出正确的答案为 D 选项，以上就是我们讲义中用到的解题 思路，那我们完全可以用这种思路来解决我们这里的真题，具体来看：
1 0 令 A= 1 k 3 , 2 l 3 ， B= 1 , 2 , 3 ,C= 1 k 3 , 2 l 3 1 , 2 , 3 0 1 ， k l 1 0 0 1 , 若 向 量 组 1 , 2 , 3 线 性 无 关 ， 则 r A r BC r C 2 2 ， 故 向 量 组 k l