2017-2018学年湖北省襄阳市高一(上)期末数学试卷(解析版)

2017-2018学年湖北省襄阳市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.函数f（x）=的定义域为（）A. B.C. D.2.已知=（3，m），=（1，2），若 ∥，则m=（）A. B. C. 6 D.3.设函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=log|x+1|，则f（3）=（）A. B. 1 C. D. 24.下列四个命题中正确的命题是（）A. 若，则B. 若，则．C. 若，，则D. 若，是单位向量，则5.已知全集U=R，集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x＞1}，则图中阴影部分表示的集合是（）A.B.C.D.6.已知，则=（）A. B. C. D.7.已知=，则=（）A. B. C. D.8.要得到的图象，只需将函数y=cos2x的图象（）A. 向左平移个单位B. 向左平移个单位C. 向右平移个单位D. 向右平移个单位9.已知a=（），b=（），c=log，则（）A. B. C. D.10.若函数f（x）=ax2+bx+1（a≠0）的最小值为f（-1）=0，当x∈[-1，2]时，g（x）=f（x）-2mx是单调函数，则实数m的取值范围是（）A. B.C. D.11.偶函数f（x）的定义域为R，当x＞0时，f（x）=x2+2x-3，则不等式xf（x）≤0的解集是（）A. B.C. D.12.已知当x=1时，函数f（x）=2sin（ωx+）（0＜ω＜π）有最大值，则f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2018）的值是（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数f（x）=a2x-1+1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点P，则P点的坐标是______．14.已知向量=（-，1），=（0，-2），则向量与的夹角是______．15.已知O是△ABC内部一点，若=2，则△=______△16.设f（x）是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈R，f（1+x）=f（1-x）恒成立，当x∈[-1，1]时，f（x）=．若关于x的方程f（x）=ax恰有4个不同的解，则实数a取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知集合A={x|x2-9x+18＜0}，B={x|log（x-2）＞-1}（Ⅰ）求A∩B，A（∁R B）；（Ⅱ）已知非空集合C={x|a＜x＜2a-1}，若C⊆A∩B，求实数a的取值范围．18.已知函数f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-＜φ＜）在区间[0，2π]内的一段图象如图所示（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）单调区间；（Ⅲ）当x∈[0，π]时，方程f（x）=m恰有两个不同的根，求实数m的取值范围．19.已知f（x）=（a＞0，a≠1）是定义域为R的奇函数，且f（1）＞0．（Ⅰ）求实数m、n的值；（Ⅱ）判断函数y=f（x）的单调性并证明；（Ⅲ）求不等式f（x2+x）+f（2x-4）＞0的解集．20.用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可清除蔬菜上残留农药量的，用水越多，洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f（x）（1）试规定f（0）的值，并解释其实际意义；（2）设现有a（a＞0）单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次．哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？请说明理由．21.若函数f（x）满足下列条件：在定义域内存在x0，使得f（x0+a）=f（x0）+f（a），则称函数f（x）“关于a类线性”．（Ⅰ）证明：函数f（x）=lg x“关于2类线性”（Ⅱ）判断函数y=a x（a＞0，a≠1）是不是“关于2类线性”，并加以证明；（Ⅲ）已知函数f（x）=lg“关于2类线性，求a的取值范围．22.已知向量=（，），=（cosα，sinα），且+3与-2垂直．（Ⅰ）求||的值；（Ⅱ）求的值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：要使原函数有意义，则lg（x+2）＞0，即x+2＞1，得x＞-1．∴函数f（x）=的定义域为（-1，+∞）．故选：B．由分母中根式内部的代数式大于0求解对数不等式得答案．本题考查函数的定义域及其求法，考查对数不等式的解法，是基础题．2.【答案】C【解析】解：∵∥，∴m-3×2=0，则m=6．故选：C．利用向量共线定理即可得出．本题考查了向量共线定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，则f（3）=-f（-3），又由当x＜0时，f（x）=log|x+1|，则f（-3）=log|（-3）+1|=-1，则f（3）=-f（-3）=1；故选：B．根据题意，由函数奇偶性的性质可得f（3）=-f（-3），结合函数的解析式计算可得f（-3）的值，分析可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，注意函数解析式中自变量的取值范围，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：对于A，若||=||，则=，不正确，比如=（1，2），=（2，1），它们不相等，也不是相反向量；对于B，若=，则=，不正确，由向量数量积的性质可得（-）•=0，，可以不相等；对于C，若=，=，则=，由传递性可得正确；对于D，若，是单位向量，则•=1•1•cos＜，＞=cos＜，＞，不一定为1，故不正确．故选：C．举反例比如=（1，2），=（2，1），可判断A；由向量数量积的性质，可判断B；由向量相等的传递性，可判断C；运用向量数量积的定义，即可判断D．本题考查向量的数量积和性质，以及向量相等的传递性，考查判断能力，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：由Venn图可知，阴影部分的元素为属于A当不属于B的元素构成，所以用集合表示为A∩（∁U B）．A={x|0＜x＜2}，B={x|x＞1}，∴A∩（∁U B）={x|0＜x≤1}．故选：C．由Venn图可知，阴影部分的元素为属于A当不属于B的元素构成，所以用集合表示为A∩（∁U B），进而得到答案．本题主要考查Venn图表达集合的关系和运算，比较基础．6.【答案】B【解析】解：∵，∴=cos[-（）]=．故选：B．将所求利用诱导公式化简，结合已知即可求值得解．本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：由sin2α=1-cos2α=（1-cosα）（1+cosα），得，∵=，∴，则=．故选：A．由查同角三角函数基本关系式及已知可得，取倒数得答案．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．8.【答案】C【解析】解：∵=cos2（x-），∴要得到的图象，只需将函数y=cos2x的图象向右平移个单位．故选：C．化为y=cos2（x-），再由函数的图象变换规律得答案．本题考查函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，关键是注意自变量x的变化，是基础题．9.【答案】A【解析】解：a=（），a6==．b=（），b6==＞a6，a，b＞0．∴1＞b＞a＞0．c=log=log 23＞1，则a＜b＜c．故选：A．a=（），b=（），比较b6与a6的大小关系，c=log=log 23＞1，进而得出大小关系．本题考查了函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：∵f（x）=ax2+bx+1（a≠0）的最小值为f（-1）=0，∴∴a=1，b=2，f（x）=x2+2x+1，∵当x∈[-1，2]时，g（x）=x2+（2-2m）x+1是单调函数，∴m-1≥2或m-1≤-1∴m≥3或m≤0故选：D．由f（x）=ax2+bx+1（a≠0）的最小值为f（-1）=0，结合二次函数的性质可求a，b，代入g（x）中，结合已知及二次函数的单调性即可求解．本题综合考查了二次函数的性质的简单应用，解题的关键是对二次函数性质的应用．11.【答案】A【解析】解：根据题意，函数f（x）满足当x＞0时，f（x）=x2+2x-3，此时若f（x）≥0，即，解可得x≥1，即在[1，+∞）上，f（x）≥0，反之，在区间（0，1]，f（x）≤0，又由f（x）为偶函数，则在区间（-∞，1]上，f（x）≥0，在区间[-1，0）上，f（x）≤0，xf（x）≤0⇔或，分析可得：x≤-1或0≤x≤1，即不等式xf（x）≤0的解集为：（-∞，-1][0，1]故选：A．根据题意，由函数的解析式分析可得在区间[1，+∞）上，f（x）≥0，在区间（0，1]，f（x）≤0，又由f（x）为偶函数，分析可得在区间（-∞，1]上，f（x）≥0，在区间[-1，0）上，f（x）≤0，而xf（x）≤0⇔或，分析可得答案．本题考查函数的奇偶性的应用，涉及一元二次不等式的解法，属于基础题．12.【答案】D【解析】解：∵当x=1时，函数f（x）=2sin（ωx+）（0＜ω＜π）有最大值，∴2sin（ω+）=2，∴ω=，函数f（x）=2sin（x+）．f（x）的最小正周期为6，∴f（0）+f（1）+f（2）+…+f（5）=0，则f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2018）=336×[f（0）+f（1）+f（2）+…+f（5）]+f（0）+f（1）+f （2）=336×0+2sin+2sin+2sin=4，故选：D．先由条件求出f（x）的解析式，可得它的周期为6，利用三角函数的周期性求出所求式子的值．本题主要考查三角函数的周期性，利用三角函数的周期性求函数的值，属于基础题．13.【答案】（，2）【解析】解：由于函数y=a x经过定点（0，1），令2x-1=0，可得x=，求得f（）=2，故函数f（x）=a2x-1+1（a＞0，a≠1），则它的图象恒过定点的坐标为（，2），故答案为：（，2）．解析式中的指数2x-1=0，求出x的值，再代入解析式求出y的值，即得到定点的坐标．本题主要考查指数函数的图象过定点（0，1）的应用，即令解析式中的指数为0，求出对应的x和y的值，属于基础题．14.【答案】【解析】解：∵向量=（-，1），=（0，-2），∴向量=（-，-1），设向量与的夹角是θ，则θ∈[0，π]，cosθ===，∴θ=，故答案为：．利用两个向量的夹角公式，求出两个向量夹角的余弦值，可得两个向量夹角．本题主要考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，两个向量的数量积的定义，属于基础题．15.【答案】2【解析】解：设AB的中点为D，∵=2，∴O为中线CD的中点，∴△AOC，△AOD，△BOD的面积相等，∴=2，故答案为：2．利用向量的运算法则：平行四边形法则得到O是AB边的中线的中点，得到三角形面积的关系．本题考查向量的运算法则：平行四边形法则及同底、同高的三角形面积相等，属于基础题．16.【答案】（，）（-，-）【解析】解：设f（x）是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈R，f（1+x）=f（1-x）恒成立，可得f（x+2）=f（-x）=f（x），即有f（x）的周期为2，当x∈[-1，1]时，f（x）=，作出f（x）在[-1，1]的图象，可得f（x）的图象，由题意可得关于x的方程f（x）=ax恰有4个不同的解即为y=f（x）的图象和直线y=ax有四个交点，经过A（5，2）时，即5a=2可得a=；经过B（3，2）时，即3a=2可得a=；经过C-3，2）时，即-3a=2可得a=-；经过D（-5，2）时，即-5a=2可得a=-；可得当＜a＜或-＜a＜-时，关于x的方程f（x）=ax恰有4个不同的解．故答案为：（，）（-，-）．由偶函数的定义和f（1+x）=f（1-x），可得f（x）的周期为2，作出f（x）的图象，由题意可得关于x的方程f（x）=ax恰有4个不同的解即为y=f（x）的图象和直线y=ax有四个交点，通过直线的旋转，即可得到所求范围．本题考查函数的奇偶性和周期性的判断和运用，考查函数方程的转化思想，以及数形结合思想方法，考查运算能力，属于中档题．17.【答案】解：（Ⅰ）A={x|3＜x＜6}，B={x|2＜x＜9}；∴A∩B={x|3＜x＜6}；∁R B={x|x≤2，或x≥9}；∴A（∁R B）={x|x≤2，或3＜x＜6，或x≥9}；（Ⅱ）∵C⊆A∩B；①若C=∅，则a≥2a-1；∴a≤1；②若C≠∅，则＜；∴；综上，实数a的取值范围为，或．【解析】（Ⅰ）容易求出A={x|3＜x＜6}，B={x|2＜x＜9}，然后进行交集、并集和补集的运算即可；（Ⅱ）通过上面求得A∩B={x|3＜x＜6}，根据C⊆A∩B可讨论C是否为空集：C为空集时，a≥2a-1，可解得a≤1；C不为空集时，，可解出该不等式组，从而便可得出实数a的取值范围．考查一元二次不等式的解法，对数函数的单调性，以及交集、并集和补集的运算，子集的概念．18.【答案】解：（Ⅰ）根据函数f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-＜φ＜）在区间[0，2π]内的一段图象，可得A=3，•=-，∴ω=1．再根据五点法作图可得1×+φ=，∴φ=-，∴f（x）=3sin（x-）．（Ⅱ）对于函数f（x）=3sin（x-），令2kπ-≤x-≤2kπ+，求得2kπ-≤x≤2kπ+，可得函数f（x）单调增区间为[2kπ-，2kπ+]，k∈Z．令2kπ+≤x-≤2kπ+，求得2kπ+≤x≤2kπ+，可得函数f（x）单调减区间为[2kπ+，2kπ+]，k∈Z．（Ⅲ）当x∈[0，π]时，x-∈[-，]，sin（x-）∈[-，1]．∵方程f（x）=m恰有两个不同的根，∴f（x）∈[，3），即m∈[，3）．【解析】（Ⅰ）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．（Ⅱ）利用正弦函数的单调性求出函数f（x）单调区间．（Ⅲ）当x∈[0，π]时，结合正弦函数的图象的特征，结合方程f（x）=m恰有两个不同的根，求得m的范围．本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值；正弦函数的单调性，正弦函数的图象特征，属于中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）根据题意，f（x）=（a＞0，a≠1）是定义域为R的奇函数，则f（-x）=-f（x），即=-恒成立，变形可得：=-，分析可得m=-1，n=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，f（x）=-，在R为增函数；证明：若f（1）＞0，即-＞0，解可得0＜a＜1；则f（x）=-=-1，设x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=（-1）-（-1）=，又由0＜a＜1，且x1＜x2，则（+1）＞0，（+1）＞0，（-）＜0，则f（x1）-f（x2）＜0，则函数f（x）在R上为增函数，（Ⅲ）根据题意，f（x）为奇函数且在R上为增函数，则f（x2+x）+f（2x-4）＞0⇒f（x2+x）＞-f（2x-4）⇒f（x2+x）＞f（4-2x）⇒x2+x＞4-2x，即x2+3x-4＞0，解可得：x＞1或x＜-4；即不等式的解集为{x|x＞1或x＜-4}．【解析】（Ⅰ）根据题意，由奇函数的定义可得f（-x）=-f（x），即=-恒成立，变形分析可得答案；（Ⅱ）根据题意，分析可得若f（1）＞0，即-＞0，解可得0＜a＜1，将函数的解析式变形可得f（x）=-=-1，由作差法分析可得结论；（Ⅲ）根据题意，结合函数的奇偶性与单调性分析可得f（x2+x）+f（2x-4）＞0⇒f （x2+x）＞-f（2x-4）⇒f（x2+x）＞f（4-2x）⇒x2+x＞4-2x，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的单调性以及奇偶性的综合应用，关键是求出m、n的值，属于基础题．20.【答案】解：（1）f（0）=1表示没有用水清洗时，蔬菜上的农药量没有变化（2）设清洗前蔬菜上的农药量为1，那么用a单位量的水清洗1次后，残留的农药量为又如果用单位量的水清洗1次，残留的农药量为此后再用单位量的水清洗1次后，残留的农药量为由于当＞时，W1＞W2此时，把a单位的水平均分成2份后，清洗两次，残留的农药量较少当时，W1=W2此时，两种清洗方式效果相同当＜＜时，W1＜W2，此时，用a单位量的水一次清洗残留的农药量较少【解析】（1）f（0）表示没有用水清洗，蔬菜上的农药量并没有变化，不妨设f（0）=1；（2）设清洗前蔬菜上的农药量为1，用a单位量的水清洗1次后，残留的农药量为：①；用单位量的水清洗2次后，残留的农药量为：•②；作差①-②比较即可．本题考查了一个自定义函数模型的实际应用，解题时要弄清题意，理解函数解析式的意义，并且在比较大小时用到作差法．21.【答案】解：（Ⅰ）证明：函数f（x）=lg x，由f（x0+2）=f（x0）+f（2），即lg（x0+2）=lg x0+lg2，即为x0+2=2x0，解得x0=2，则函数f（x）=lg x“关于2类线性”；（Ⅱ）函数y=a x（a＞0，a≠1），当a＞1时，f（x0+2）=a，f（x0）+f（2）=a+a2，由f（x0+2）=f（x0）+f（2），可得a=＞0，解得x0=log a；当0＜a＜1时，由a=＜0，x0不存在．综上可得a＞1，函数y=a x“关于2类线性”，0＜a＜1时，函数y=a x不“关于2类线性”；（Ⅲ）函数f（x）=lg“关于2类线性”，即有f（x0+2）=f（x0）+f（2）成立，即为lg=lg+lg，a＞0，化为=，即（a-5）x02+4ax0+5a-5=0，当a=5时，x0=-1；当a≠5，由x0为实数，可得△=16a2-4（a-5）（5a-5）≥0，解得15-10≤a≤15+10，综上可得a的范围是[15-10，15+10]．【解析】（Ⅰ）运用对数的运算性质，解方程即可得证；（Ⅱ）讨论a＞1，0＜a＜1，结合指数函数的值域和新定义，解方程即可得到结论；（Ⅲ）由新定义和对数的运算性质，运用二次方程有解的条件：判别式大于等于0，解不等式即可得到所求范围．本题考查新定义的理解和运用，考查函数与方程的转化思想，以及指数函数、对数函数的性质，考查运算能力，属于中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）∵；∴=；∴；∴，∈；∴，∈；∴；∴，；∴，；∴；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）根据+3与-2垂直即可得出，从而得出，从而可求出α，进而求出，从而求出，这样即可求出；（Ⅱ）根据求得的cosα，sinα值，即可求出的值．考查向量垂直的充要条件，向量坐标的数量积运算，以及根据向量的坐标求向量的长度，已知三角函数值求角．。