高等数学教学课件42未定式的极限
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《高等数学极限》课件
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无穷级数与无穷积分的收敛性
总结词
收敛性是无穷级数和无穷积分最重要的性质之一，它 表示无穷级数或无穷积分的和是有限的。收敛性的判 定是高等数学中的一个重要问题，需要用到多种数学 方法和技巧。
详细描述
收敛性是无穷级数和无穷积分最重要的性质之一，它 表示无穷级数或无穷积分的和是有限的。如果一个无 穷级数或无穷积分是收敛的，那么它的和就是有限的 ，否则就是发散的。收敛性的判定是高等数学中的一 个重要问题，需要用到多种数学方法和技巧，如比较 判别法、柯西判别法、阿贝尔判别法等。对于不同的 级数和积分，需要采用不同的方法和技巧进行收敛性 的判定。
03
导数与连续性
导数的定义与性质
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率的极限 ，表示函数在该点的切线斜率。
导数的性质
导数具有线性、可加性、可乘性和链 式法则等性质，这些性质在研究函数 的单调性、极值和曲线的几何特性等 方面具有重要应用。
导数的计算方法
基本初等函数的导数
对于常数、幂函数、指数函数、三角函数和反三角函 数等基本初等函数，需要熟记其导数公式。
限的。
无穷积分的定义与性质
总结词
无穷积分是数学中另一个重要的概念，它是由无穷多个 定积分的和组成的积分。无穷积分具有一些重要的性质 ，如可加性、可乘性和可微性等。
详细描述
无穷积分是由无穷多个定积分的和组成的积分，这些定 积分可以是积分限不同的积分。无穷积分在数学中也有 着广泛的应用，如求解面积、体积和曲线长度等。无穷 积分具有一些重要的性质，如可加性、可乘性和可微性 等。其中，可加性表示无穷积分可以拆分成若干个部分 的和，可乘性和可微性则表示无穷积分可以与函数进行 运算和求导。
《高等数学极限》课件
《高等数学极限》PPT课 件
让我们一起探索高等数学中的极限知识吧！通过本课件，我们将深入了解极 限的概念、求解方法、存在条件和实际应用，为今后的学习打下坚实的基础。
极限的概念
什么是极限？
探究数列和函数的趋势与无限接近的关系。
极限的分类
研究极限的不同情况和特性。
极限的定义
明确极限的数学表达方式和精确定义。
极限的经济学应用
了解经济学中使用极限概念来 分析市场和经济趋势的重要性。
极限的生物学应用
揭示生物学中使用极限概念研 究生物体生长和进化的意义。
结语
通过学习本PPT课件，我们可以更加深刻地理解和应用极限知识，为今后的学 习打下坚实的基础。
无穷大量的性质
4
探究无穷大在数学中的重要性和特点。
极限存在的条件
极限存在的充分条件
研究函数存在极限的重要条 件。
极限不存在的充分条件
揭示函数极限不存在的特殊 情况和条件。
极限存在的必要条件
了解函数存在极限的必要条 件及其证明。
极限的应用
极限的物理应用
探索在物理学中使用极限概念 来解决实际问题的方法。
求极限方法
常用极限公式
掌握常见函数的极限性质和计算 方法。
极限的四则运算法则
了解不同函数之间的极限运算规 则。
傅里叶级数与极限
探索傅里叶级数对极限的应用和 影响。
无穷与无穷大
1
无穷小的定义
研究数列和函数在极限点趋于零的特性。
无穷小量的性质
2
揭示无穷小在数学中的重要作用和性质。
3
无穷大的定义
了解数列和函数趋于无穷大的特性。
让我们一起探索高等数学中的极限知识吧！通过本课件，我们将深入了解极 限的概念、求解方法、存在条件和实际应用，为今后的学习打下坚实的基础。
极限的概念
什么是极限？
探究数列和函数的趋势与无限接近的关系。
极限的分类
研究极限的不同情况和特性。
极限的定义
明确极限的数学表达方式和精确定义。
极限的经济学应用
了解经济学中使用极限概念来 分析市场和经济趋势的重要性。
极限的生物学应用
揭示生物学中使用极限概念研 究生物体生长和进化的意义。
结语
通过学习本PPT课件，我们可以更加深刻地理解和应用极限知识，为今后的学 习打下坚实的基础。
无穷大量的性质
4
探究无穷大在数学中的重要性和特点。
极限存在的条件
极限存在的充分条件
研究函数存在极限的重要条 件。
极限不存在的充分条件
揭示函数极限不存在的特殊 情况和条件。
极限存在的必要条件
了解函数存在极限的必要条 件及其证明。
极限的应用
极限的物理应用
探索在物理学中使用极限概念 来解决实际问题的方法。
求极限方法
常用极限公式
掌握常见函数的极限性质和计算 方法。
极限的四则运算法则
了解不同函数之间的极限运算规 则。
傅里叶级数与极限
探索傅里叶级数对极限的应用和 影响。
无穷与无穷大
1
无穷小的定义
研究数列和函数在极限点趋于零的特性。
无穷小量的性质
2
揭示无穷小在数学中的重要作用和性质。
3
无穷大的定义
了解数列和函数趋于无穷大的特性。
高等数学 函数的极限课件
无穷小的运算性质
加法性质
两个无穷小的和仍然是无穷小 。
乘法性质
两个无穷小的乘积仍然是无穷 小。
幂运算性质
无穷小的幂仍然是无穷小，但 需要注意其阶数变化。
复合函数的无穷小
复合函数的无穷小可以通过链 式法则进行计算。
THANKS
感谢观看
函数极限的运算性质
和差运算性质
如果$lim_{xto x_0} f(x)=A$且 $lim_{xto x_0} g(x)=B$，则 $lim_{xto x_0} [f(x)+g(x)]=A+B$。
乘积运算性质
如果$lim_{xto x_0} f(x)=A$且 $lim_{xto x_0} g(x)=B$，则 $lim_{xto x_0} [f(x)cdot g(x)]=Acdot B$。
利用函数极限求某些函数的值
求定积分
通过计算被积函数的上下限在积分区 间的极限，可以求得定积分的值。
求数列的通项公式
通过求解数列的递推公式的极限，可 以求得数列的通项公式。
利用函数极限研究函数的性质
函数的连续性
通过计算函数在某点的极限，可以判断函数在该点是否连续。
函数的可导性
通过计算函数的导数在某点的极限，可以判断函数在该点是否可导。
若lim(x→x0) f(x) = A 和 lim(x→x0) g(x) = B，则 lim(x→x0) [f(x) + g(x)] = A + B 。
若lim(x→x0) f(x) = A 和 lim(x→x0) g(x) = B，则 lim(x→x0) [f(x) × g(x)] = A × B 。
函数极限的直观定义
如果当$x$趋近于$x_0$时，函数$f(x)$的取值逐渐 接近某个确定的数$L$，则称$L$为函数$f(x)$在 $xto x_0$时的极限。
未定式的极限
f(x)
f (ξ )
lim lim
A.
x x0 g(x) ξ x0 g'(ξ )
注： 如果 f (x) 仍属 0 型，且 f (x),g'(x)满足
g'(x) 0 定 理 的 条 件 ， 可 以 继 续使 用 洛 必 达 法 则 ， 即
lim f(x) lim f (x) lim f (x) A(或).
lim
x0
cos bx cos ax
1.
例 求 lim tan x .( ) x tan 3 x
2
解
原式
lim
x
sec2 3 sec 2
x 3
x
1 3
lim
x
cos2 3x cos2 x
2
2
1 lim 6cos3x sin 3x
3 x 2cos x sin x
2
lim sin 6x x sin 2 x
(1)lim f ( x) x x0
lim g( x)
x x0
(2) f (x) 和 g( x) 在x0的某一去心邻域内存在,且
g(x) 0
(3) lim f (x) A(或) xx0 g(x)
型
则有 lim f (x) lim f (x) A(或） xx0 g ( x) xx0 g( x)
微积分讲课提纲
微积分（I） 浙江大学理学院 讲课人：朱静芬 E-mail:jfzhu@
第三章 微分中值定理及导数的应用
第二节 未定式的极限
一、0 型 未 定 式 的 极 限 0
二 、 型 未 定 式 的 极 限
三、其他类型未定式的极限
我们知道：两个无穷小量或两个无穷 大量的商的极限，随着无穷小量或无穷大 量的形式不同，极限值可能存在、也可能 不存在、可能是无穷小量、也可能是无穷 大量，为此，我们称这类极限为“不定型”, 记为:0 或 .
高等数学第一章函数极限(共41张PPT)
记 x lx 0 i作 0 m f(x ) A或 f(x 0 0 ) A . (x x 0 )
右极限 0,0,使x0当 xx0时 , 恒f有 (x)A.
记 x lx 0 i作 0 m f(x ) A或 f(x 0 0 ) A . (x x 0 )
注 :{ x 0 意 x x 0 } { x 0 x x 0 } { x x x 0 0 }
0 取 mx 0 i,n x 0 {}
当 0 |xx0|时恒有
| x x0||xxx 00|
例4 证明 lim a x 1 (a 1) x0 证 0 （不妨设ε＜1）
要|使 ax1|
只 1 须 a x 1
又 la o ( 1 只 ) g x l须 a o ( 1 ) g
令 mia n 1 1 { ,llo o a(1 g g )}
x
问题: 如何用精确的数学数学语言刻划函数“无限 接近”.
f(x )A 表f(示 x )A 任;意小
xX表x示 的过 . 程
1. 定义 :
定义1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小), 总存在着正数X,使得对于适合不等式x X的一切 x,所对应的函数值f (x)都满足不等式f (x) A , 那末常数A就叫函数f (x)当x 时的极限,记作 limf(x) A 或 f(x)A(当x)
1. 定义:
定义2 如果对于任意给定的正数 (不论它多
么小),总存在正数 ,使得对于适合不等式
0 x x0 的一切x ,对应的函数值f (x) 都 满足不等式 f (x) A ,那末常数A 就叫函数
f (x)当x x0时的极限,记作
lim f (x) A 或
xx0
f (x) A(当x x0)
f ( xn )
右极限 0,0,使x0当 xx0时 , 恒f有 (x)A.
记 x lx 0 i作 0 m f(x ) A或 f(x 0 0 ) A . (x x 0 )
注 :{ x 0 意 x x 0 } { x 0 x x 0 } { x x x 0 0 }
0 取 mx 0 i,n x 0 {}
当 0 |xx0|时恒有
| x x0||xxx 00|
例4 证明 lim a x 1 (a 1) x0 证 0 （不妨设ε＜1）
要|使 ax1|
只 1 须 a x 1
又 la o ( 1 只 ) g x l须 a o ( 1 ) g
令 mia n 1 1 { ,llo o a(1 g g )}
x
问题: 如何用精确的数学数学语言刻划函数“无限 接近”.
f(x )A 表f(示 x )A 任;意小
xX表x示 的过 . 程
1. 定义 :
定义1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小), 总存在着正数X,使得对于适合不等式x X的一切 x,所对应的函数值f (x)都满足不等式f (x) A , 那末常数A就叫函数f (x)当x 时的极限,记作 limf(x) A 或 f(x)A(当x)
1. 定义:
定义2 如果对于任意给定的正数 (不论它多
么小),总存在正数 ,使得对于适合不等式
0 x x0 的一切x ,对应的函数值f (x) 都 满足不等式 f (x) A ,那末常数A 就叫函数
f (x)当x x0时的极限,记作
lim f (x) A 或
xx0
f (x) A(当x x0)
f ( xn )
未定式极限的计算实用PPT
g( x) x 未定式极限的计算
x
x
关键:将其它类型未定式化为L’Hospital法则可解决的类型
.
练习题
一 、填 空题：
1 、 洛 必 达 法 则 除 了 可 用 于 求 “ 0 ”， 及 “ ” 两 种
0
类型的未定式的极限外，也可通过变换解决
_____________， _____________， ____________，
思考题解答 关键:将其它类型未定式化为L’Hospital法则可解决的类型
解设
取对数得
.
解设
取对数得
第二节
不一定． 未定式极限的计算
关键:将其它类型未定式化为L’Hospital法则可解决的类型
.
注意：L’Hospital法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好.
例 f(x)xsix ,n g(x)x 解 设
x
ln x xn
(n>0)。
1 解 ： x l l x i n x n m x l n i x n 1 m x l x n i 1 n m 0 。 x
例14．
lim
x
xn e x
(n
为正整数，>0)。
解 ： l x n i l m n n i 1 l m n x ( n i 1 ) x n 2 m
lim
1,
x
x0coxssinx
原式 e1.
注意：L’Hospital法则的使用条件．
例12 解
求limxcoxs. x x
原式 lim 1sin x x 1
lim (1six n ). x
L’Hospital法则失效. 极限不存在 原 式 lim (11cox)s1.
3.2未定式的极限
若 lim f ( x) 仍为 0 型 ，而 lim f ( x) A(或) ，则
x x0 g( x)
0
x x0 g( x)
lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x) A(或). x x0 g( x) x x0 g( x) x x0 g( x)
例 2. 求 lim ln(sinx) .
3.2 未定式的极限
若当 x x0 (或 x )时，函数 f ( x) 和 g( x) 都趋
于零，或都趋于无穷大，则把比值 f ( x) 的极限称为
g( x)
0 型或 型的未定式.
0
例如 : lim sin x ( 0 型 ), x0 x 0
lim ln x ( 型 ). x x
七种类型的未定式：
故
lim
f (x)
lim
f ( )
lim
f ( x) A(或).
xx0 g( x) x0 g( ) xx0 g( x)
当极限过程为 xx0 ， xx0 ， x ， x，
例1. 求下列极限
x时，只要满足与定理 1 中相仿的条件，也有类 似( 的1 )结li论m.a x b x ( a 0, b 0 ).
F ( x)
F(x)
仍可能存在.
例如, 求极限 lim x sin x . x x
极限 lim x sin x lim (1 cos x) 不存在,
x x
x
而极限 lim x sin x lim (1 1 sin x) 1 却存在 .
x x
x x
例
7．求 lim (ntan 1 )n2
的结（论1）. lim lncot x
x0 ln x
大学数学极限ppt课件
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22
y 1 x
时,函数f(x)的极限
y
ox
-∞
+∞
y 1 x
x y=f(x) →0
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23
1. x时,函数f(x)的极限
定义2.2：设函数 y f(x) ，如果当X无 限增大时，函数无限趋近于某个固 定的常数 A,则称当X趋于正无穷时， f(x) 以A为极限，
记为
lifm (x ) A或 f(x ) A (x )
lim C C
xx0
lim x
x x0
x0
limsinx sin x0
xx0
limcosx cos x0
xx0
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38
小结
-、数列 xn的极限：
给定一个数列xn如果当项数n无限增大时，xn无限趋近于
某个固定的常数A则称常数A为该数列的极限。
记作
lni mxn A
或 xnA(n )
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12
例：
2,4,8, ,2n,
xn 2n → ∞ (n)
lim2n 极限不存在
n
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13
1, 1, 1,, 1,
234 n
lim 1 0
收
2,1,4,n3 , n ,n(1)n 1,敛
234
n
n(1)n1 lim
1
n n
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14
2,4,8, ,2n,
lim2n
通项 n n 1
→1
(n)
lim n 1 n n 1
数列收敛
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17
2.1.2函数的极限
(limit of function)
高等数学教学课件42未定式的极限
解： l i m
x0
1 (1 x ) x e
x
lim
ln(1 x ) x ln(1 x ) lim e x 1 x 将具有非零极限的 2 x0 x 因子及时分离出来！ 1 x (1 x )ln( 1 x ) x lim(1 x ) x0 x 2 (1 x ) 1 1 x (1 x )ln( 1 x ) x lim(1 x ) lim lim x0 x01 x x0 x2
0 0
倒数关系
1
0
00 0 ln 0 1 取对数 ln 1 0 ln 0
0
1 1 , 0 . 0
00
例 6．求下列极限
x （1） lim(1 x )tan 2 x1
x 0 解： lim(1 x )tan ＝ li m (1 x ) 2 x1 x x1 cot 2
满足柯西定理的条件。
f ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( ) ∴ （ 介于 x 与 x 之间） g ( x ) g ( x ) g ( x ) g ( )
∵当 x x 时， x ， f ( x) f () f ( x ) ∴ lim lim lim A(或) 。 x x g( x ) x g() x x g( x )
注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法， 但与其它求极限方法结合使用，效果更好.
例 2．求 lim
ln(sin x)
解： 原 式 lim
x 2
( 2 x )2 x 2 0 cosx 0
.
ห้องสมุดไป่ตู้
sinx 2( 2 x )( 2)
高数极限讲解PPT课件
即
于是 故复合函数
lim f (u)
u u0
f [(x0 )]
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例如,
是由连续函数链
复合而成 ,
x R*
因此
在 x R* 上连续 .
y
y sin 1
x
o
x
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例1 .设
均在
上连续, 证明函数
也在
上连续.
证:
f (x) g(x)
根据连续函数运算法则 , 连续 .
f (x) g(x)
可知
也在
上
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二、初等函数的连续 性基本初等函数在定义区间内连续
连续函数经四则运算仍连续
连续函数的复合函数连续 例如,
y 1 x2 的连续区间为 y ln sin x 的连续区间为 而 y cos x 1 的定义域为
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例4. 求
解:
原式
3 sin
x
ln(1
2
x)
3 2x
x
说明: 若 lim u(x) 0, lim v(x) , 则有
x x0
x x0
lim 1 u(x) v(x) e
x x0
lim v(x)u(x)
e xx0
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性已知函数
在区间 I 上连续,
即:
一般情形, 与 , x0 都有关.
了一致连续的概念 .
定义:
高等数学——极限PPT课件
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2. 例1. 求 解：原式
第51页/共71页
两个重要极限
或 注: 代表相同的表达式
第53页/共71页
思考与练习
填空题 ( 1～4 )
第54页/共71页
第一章
一、 函数连续性的定义 二、 函数的间断点
第55页/共71页
1
2
1
1
1
x
x 1，x 1
y
x， x 1
y
2
1
1
1
第5页/共71页
xn 1 1 xn 1 n
O
102 103 104
105 106 107
108 109 1010 1011 n
第6页/共71页
xn
xn n
xn
●
n
●
OO
第7页/共71页
n
目标不惟一！！！！！！！！！！！！
xn
xn (1)n
1
●
●
●
●
●
●
●
●
O n 3120 3121 3122 1323 3124 3125 3126 3127 3128 3129 4320 4321 n
2.
解: 原式
第45页/共71页
1.4.3 两个重要极限
1. 函数极限存在的夹逼准则 且
2. 单调有界数列必有极限
第46页/共71页
二、 两个重要极限
证: 当
时，
△AOB 的面积＜ 圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
即
亦故即有
显然有
注
第47页/共71页
例1. 求 解:
第49页/共71页
例2. 求 解: 原式 =
2. 例1. 求 解：原式
第51页/共71页
两个重要极限
或 注: 代表相同的表达式
第53页/共71页
思考与练习
填空题 ( 1～4 )
第54页/共71页
第一章
一、 函数连续性的定义 二、 函数的间断点
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1
2
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1
x
x 1，x 1
y
x， x 1
y
2
1
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xn 1 1 xn 1 n
O
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105 106 107
108 109 1010 1011 n
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xn n
xn
●
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OO
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n
目标不惟一！！！！！！！！！！！！
xn
xn (1)n
1
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●
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O n 3120 3121 3122 1323 3124 3125 3126 3127 3128 3129 4320 4321 n
2.
解: 原式
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1.4.3 两个重要极限
1. 函数极限存在的夹逼准则 且
2. 单调有界数列必有极限
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二、 两个重要极限
证: 当
时，
△AOB 的面积＜ 圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
即
亦故即有
显然有
注
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例1. 求 解:
第49页/共71页
例2. 求 解: 原式 =
《高等数学教学课件》§4.2未定式的极限
02
未定式极限的求解方法
洛必达法则
总结词
洛必达法则是求解未定式极限的一种常用方法，适用于0/0型和∞/∞型的极限问题。
详细描述
洛必达法则是通过求导数来简化极限问题，将未定式转化为可求的极限形式。在0/0型中，将分子和分母分别求 导后再求极限；在∞/∞型中，将分子和分母分别求导后消去不定式。
泰勒公式法
03
未定式极限的应用
在微积分中的应用
1 2 3
解决微积分中的问题
未定式极限在微积分中有着广泛的应用，如求导 数、积分等，通过极限运算可以得出一些重要的 微积分公式和定理。
证明微积分定理
许多微积分定理的证明需要用到未定式极限，如 洛必达法则、泰勒展开等，这些定理在解决复杂 的微积分问题时非常有用。
感谢观看
总结词
泰勒公式法是将复杂函数展开成多项式和的形式，从而简化极限计算。
详细描述
泰勒公式法通过将函数展开成多项式和的形式，将复杂的函数极限问题转化为简单的多项式极限问题 ，从而方便求解。
夹逼准则法
总结词
夹逼准则法是通过比较两个不等式来求解未 定式极限的方法。
详细描述
夹逼准则法通过构造两个不等式，分别比较 它们的极限，从而得出原未定式的极限。这 种方法适用于一些不易直接求极限的题目。
04
未定式极限的注意事项
洛必达法则的应用条件
洛必达法则是求未定式极限的一种常用方法，但应用时需满足一定条件。首先， 分子和分母必须可导，且在所求极限的点处不等于零。其次，应用洛必达法则前 应检查是否满足极限的合法性条件，如无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量。
洛必达法则是通过求导来简化极限的运算，但并非所有未定式极限都可以通过求 导解决。有些情况下，可能需要结合其他方法，如等价无穷小替换、变量替换等 。
《高等数学教学课件》§4.2未定式的极限
分段函数的未定式极限
分段函数在数学中起着重要的作用，特别是在极限计算中。我们将学习如何 求解包含分段函数的未定式极限，以及如何处理分段函数带来的挑战。
无穷小量的比较
在计算极限时，我们经常需要比较不同的无穷小量。了解无穷小量的比较规 则和性质可以帮助我们更好地理解和计算极限。
无穷大量的比较
与无穷小量类似，无穷大量的比较也在求解极限时起着重要的作用。学习无 穷大量的比较规则和性质将帮助我们更准确地计算未定式极限。
我们将探讨什么是未定式极限，以及为什么它们在高等数学中具有重要的作 用。
常见的未定式极限形式
0/0
当分子趋于0而分母也趋于0时，我们遇到了常 见的0/0未定式。
∞/∞
当分子趋于无穷大而分母也趋于无穷大时，我 们遇到了∞/∞未定式。
0Hale Waihona Puke ∞当我们在计算极限时，遇到了0×无穷大的形式， 我们称之为0×∞未定式。
《高等数学教学课件》 §4.2未定式的极限
本节课程将介绍未定式极限的定义和概念，常见的未定式极限形式，以及求 解这些极限的方法。我们还将讨论分段函数的未定式极限以及无穷小量和无 穷大量的比较。快来探索高等数学的奥妙吧！
定义和概念
学习未定式极限前，我们首先需要了解未定式极限的定义和概念。未定式极 限是指在计算极限时，无法直接得到一个确定的值，需进一步进行求解。
1^∞
当我们的极限表达式以1为底且指数趋于无穷大 时，我们遇到了1^∞未定式。
求解未定式极限的方法
1
代入法
代入法是求解未定式极限的常用方法，通过将极限表达式中的未知量替换为特定 的值。
2
泰勒展开
泰勒展开可以将复杂的极限表达式转化为多项式表达式，使其更容易求解。
未定式有几种类型
未定式有几种类型
未定式一共有7种。
分别是0比0，∞比∞，0*∞，1^∞，0^0，∞^0和∞-∞型。
未定式是指如果当x→x0(或者x→∞)时，两个函数f(x)与g(x)都趋于零或者趋于无穷大，那么极限lim[f(x)/g(x)](x→x0或者x→∞)可能存在，也可能不存在，通常把这种极限称为未定式，也称未定型。
未定式定义
如果当x→x0(或者x→∞)时，两个函数f(x)与g(x)都趋于零或者趋于无穷大，那么极限lim[f(x)/g(x)](x→x0或者x→∞)可能存在，也可能不存在，通常把这种极限称为未定式或者未定型，分别用0/0和∞/∞来表示。
对于这类极限，不能直接用商的极限等于极限的商来求，通常用洛必达法则（或译作罗必塔法则；L'Hôpital Rule）来求解。
未定式的极限及Taylor公式(1).ppt
2
x→0
lim+ (cot x )
1 ln x
09-10-2作业讲评 作业讲评6 作业讲评
表扬： 表扬： A +
有进步 周祁 02-3
苏洁 张海 02-4
顾敏 曹旻灿 孙小刚 鲁求辉 杨奕峰 02-5
林元载
施杨梅 王丹 李少芳 李婷婷 杨德石 陈飞翔 王海锋 王明绍 胡长国 02-6
魏轶凡 04； 唐思磊 12； 黄燕燕 14 ； ； 杨勇 19； ； 吴双堂 21； 王丰 26 ；
1− ln(1+ x )−1 = e⋅ lim 2x x→0
0 0
e ln(1+ x ) e = − ⋅ lim =− . 2 x→0 x 2
(1 + x ) − e e ∴ lim =− . x→0 x 2
1 x
思考： 二阶可导， 思考： f ( x ) 二阶可导，证
f ( x + ∆x ) + f ( x − ∆x ) − 2 f ( x ) f ′′( x ) = lim ． 2 ∆ x→ 0 ( ∆x )
∆ x→ 0
lim f ′′( x − ∆x ) ？
ln cos x lim EXE ∞ ． 2） “ x → π”型 5 x ） ln cos
∞
2
ln x 例 10 求 (1) lim = 0 （ α>0 ） α x →+∞ x xα ln (2) x lim x = 0 （ a > 0, a ≠ 1 ） ． (1) lim （ α> 0 ） ； α x →+ ∞ a x →+∞ x
f ′( x ) 0 f ′′( x ) EXE 存在， 若极限 lim 仍为 型 ，而极限 lim 存在，则 π 0 g arctan x x → x x g ′( x ) x→ x − ′′( x ) x
x→0
lim+ (cot x )
1 ln x
09-10-2作业讲评 作业讲评6 作业讲评
表扬： 表扬： A +
有进步 周祁 02-3
苏洁 张海 02-4
顾敏 曹旻灿 孙小刚 鲁求辉 杨奕峰 02-5
林元载
施杨梅 王丹 李少芳 李婷婷 杨德石 陈飞翔 王海锋 王明绍 胡长国 02-6
魏轶凡 04； 唐思磊 12； 黄燕燕 14 ； ； 杨勇 19； ； 吴双堂 21； 王丰 26 ；
1− ln(1+ x )−1 = e⋅ lim 2x x→0
0 0
e ln(1+ x ) e = − ⋅ lim =− . 2 x→0 x 2
(1 + x ) − e e ∴ lim =− . x→0 x 2
1 x
思考： 二阶可导， 思考： f ( x ) 二阶可导，证
f ( x + ∆x ) + f ( x − ∆x ) − 2 f ( x ) f ′′( x ) = lim ． 2 ∆ x→ 0 ( ∆x )
∆ x→ 0
lim f ′′( x − ∆x ) ？
ln cos x lim EXE ∞ ． 2） “ x → π”型 5 x ） ln cos
∞
2
ln x 例 10 求 (1) lim = 0 （ α>0 ） α x →+∞ x xα ln (2) x lim x = 0 （ a > 0, a ≠ 1 ） ． (1) lim （ α> 0 ） ； α x →+ ∞ a x →+∞ x
f ′( x ) 0 f ′′( x ) EXE 存在， 若极限 lim 仍为 型 ，而极限 lim 存在，则 π 0 g arctan x x → x x g ′( x ) x→ x − ′′( x ) x
高等数学第四章 第二节、未定型的极限
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3. 0 ,1 , 型
0 0
步骤: 00
1 0
x 0
0 ln 0 取对数 ln 1 0 . 0 ln
x
例9 解
求 lim x .
(0 )x ln x0原式 lim e
x 0
e
e e 1 e lim x x lim =1. 2 x x 1 e x e e
x
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x
2 x
返回
小结
洛必达法则
型
f g 1 g 1 f 1 g 1 f
0 ,1 , 型
0 0
0 型 0 型
令y f 取对数
g
0 型
x 0
lim
1 x 1 x2
e
x 0
lim x ln x
e
ln x x 0 1 x lim
e 0 1.
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例10 解
求 lim x
x 1 x 1
1 1 x
.
(1 )
e
ln x x 11 x lim
原式 lim e
x 0
1 ln x 1 x
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注③ 使用洛必达法则要分别的对分子分母求导,
f ( x ) 即 g ( x ) . 不要把它与商的求导法则 f ( x ) f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x ) g( x ) 2 g ( x)
混淆.
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§2、未定型的极限
第二十讲
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3. 0 ,1 , 型
0 0
步骤: 00
1 0
x 0
0 ln 0 取对数 ln 1 0 . 0 ln
x
例9 解
求 lim x .
(0 )x ln x0原式 lim e
x 0
e
e e 1 e lim x x lim =1. 2 x x 1 e x e e
x
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x
2 x
返回
小结
洛必达法则
型
f g 1 g 1 f 1 g 1 f
0 ,1 , 型
0 0
0 型 0 型
令y f 取对数
g
0 型
x 0
lim
1 x 1 x2
e
x 0
lim x ln x
e
ln x x 0 1 x lim
e 0 1.
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例10 解
求 lim x
x 1 x 1
1 1 x
.
(1 )
e
ln x x 11 x lim
原式 lim e
x 0
1 ln x 1 x
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注③ 使用洛必达法则要分别的对分子分母求导,
f ( x ) 即 g ( x ) . 不要把它与商的求导法则 f ( x ) f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x ) g( x ) 2 g ( x)
混淆.
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§2、未定型的极限
第二十讲
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4.2 未定型的极限
lim
x
1 x2 lim x x
1 1 1 x2
上面我们举了七个例子。有几点值得明确一下：例 7 使我 们认识到洛必达法则并非万能，对某些情形还需要用第二 章介绍过的方法；从例 3，例 4，例 5 三个例子中，我们看 到当 x 时，不管 n 多大， e x 增大比 x n 快，而 x 增大 又比 ln n x 快。 有时洛必达法则则与等价无穷小代换综合使用，效果会好 些。 例8 求 lim
教学难点 解决措施 教学设计 教学手段 教学方法
多媒体教学、板书演示
一、复习 二、新授 4.2 未定型的极限 （一）柯西中值定理
板书设计 授课提纲
（二）洛比塔法则 （三）非洛法则极限求法及洛氏法则的适用范围 三、练习 四、小结 五、作业
表 JX-2
教
【复习提问】
案
纸
第 页
教 学 过 程 设 计
时间 教师 分配 活动 5 分钟 提问
lim
x
=…….= lim
x
nn 1n 2.....2 ln x x
表 JX-2
教
案
纸
第 页
教 学பைடு நூலகம்过 程 设 计 = lim 例 5 求 lim 解
" " 型。
时间 分配
教师 活动
学生 活动
x
n! 0 x
x
xn （n 为整数） 。 ex
如果当 t 时，对应于点 C，而
dy ( ) |t dx F ( )
dy (t ) ，时， dx F (t )
10 分 钟
这样，式可表示为
(t2 ) (t1 )
F (t2 ) F (t1 )
未定式极限的计算
注：
f ′( x) 0 如果 仍属 型，且 f ′( x), F ′( x) 满足 F ′( x) 0
f ( x) f ′( x ) f ′′( x ) lim = lim = lim = L. x →a F ( x ) x → a F ′( x ) x → a F ′′( x )
定理的条件，可以继续使用L'Hospital法则，即
0 . ( ) 0
解
例4 解
1 − 2 x2 = 1. 原式 = lim 1 + x = lim x → +∞ 1 + x 2 x → +∞ 1 − 2 x ln sin ax ∞ . ( ) 求 lim x→0 ln sin bx → ∞ a cos ax ⋅ sin bx 原式 = lim x → 0 b cos bx ⋅ sin ax cos bx = lim = 1. x → 0 cos ax
ln(1 + x ) 2 、 lim =___________. x →0 x
ln tan 7 x 3 、lim =____________. x → 0 ln tan 2 x
二、用洛必达法则求下列极限： 用洛必达法则求下列极限：
ln sin x 1、 lim ； π ( π − 2 x )2 x→
∞
原式 = lim e
x →1
=e
ln x x → 11− x lim
=e
1 lim x x →1 −1
=e .
例11 解
−1
求 lim+ (cot x )
x →0
1 ln x
.
( ∞0 )
=e
1 ⋅ln(cot x ) ln x
1 − ⋅ 2 1 Q lim+ ⋅ ln(cot x ) = lim cot x sin x x → 0 ln x 1 x → 0+ −x x = lim+ = −1, x → 0 cos x ⋅ sin x ∴ 原式 = e −1 .
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解： l i m
x0
1 (1 x ) x e
x
lim
ln(1 x ) x ln(1 x ) lim e x 1 x 将具有非零极限的 2 x0 x 因子及时分离出来！ 1 x (1 x )ln( 1 x ) x lim(1 x ) x0 x 2 (1 x ) 1 1 x (1 x )ln( 1 x ) x lim(1 x ) lim lim x0 x01 x x0 x2
x0
x
e lim
x0
0 0
x (1 x )ln( 1 x ) x2
1 l n ( 1 x ) 1 e l i m 2x x0
e ln( 1 x ) e lim . 2 x0 x 2
∵当 x x 时， x ， f ( x) f () f ( x ) ∴ lim lim lim A(或) 。 x x g( x ) x g() x x g( x )
当极限过程为 x x ， x x ， x ， x ，
f ( x) 点 x 开拓。这不影响定理的证明，因为函数 在 g( x )
的极限与函数
f ( x)
和
g( x )
在点 x 的函数值无关。
证明：令 f ( x ) 0 ， g ( x ) 0 ，
∵ lim f ( x ) f ( x ) 0 ， lim g( x ) g( x ) 0 ，
x 时，只要满足与定理 1 中相仿的条件，也有类似
的结论。
例 1．求下列极限
a x b x （1） lim (a 0,b 0). x x0
解： lim
0 a x b x 0
x0
x
(a x b x ) ＝ lim ( x ) x0
a x lna b x lnb a lim lna lnb ln . 1 b x0
4.2.1
0 型未定式 0
¨À ¶ í 1(Â å ± Ø ´ ï · ¨Ô ò ¢ ñ ) 已知函数 f ( x ) 和g( x )
（1）在 N ( x ,) 内可导，且g( x )0 ，
（2） lim f ( x ) ＝0， lim g( x ) ＝0；
f ( x ) （3） lim A(或) ，则 x x g( x )
( arctanx ) . （2） lim 2 1 x sin x
0 2 1 x ( arctanx ) 0 lim 2 1 ＝ x 1 解： lim 2 cos 1 x sin x x x
lim x2 1 1 cos x 1.
1
x 1 x 2
1 f ( x x ) f ( x ) f ( x x ) f ( x ) lim [ f ( x) 存在，并不知 ] 答：不能！因为条件中只给出 2 x0 x)( 1) ( x x ) f ( x fx
问：第二步中 lim 道 f ( x ) 是否连续，若用洛必达法则，就会出现 2( x ) x 0 1 ( x ) f ( x )] f ( x ). [ f0 f ( 仍为 x f ( x x ) 的极限，无法处理。 2x ) 与 型的未定式，能否用洛必达法则？ 0
（3）设函数 f ( x ) 二阶可导，证明：
f ( x ) lim f ( x x ) f ( x x ) 2 f ( x ) (x )2
0 0
x0
.
f ( x x ) f ( x x )(1) 证明： 右 端 l i m 2( x ) x0
x x x x
∴ f ( x ) 和 g( x ) 在点 x 连续。
[ x , x ] 上 x N ( x , ) ，则 f ( x )和 g( x ) 在[ x , x ] 或
满足柯西定理的条件。
f ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( ) ∴ （ 介于 x 与 x 之间） g ( x ) g ( x ) g ( x ) g ( )
x 2 x
0 0
2
1 cosx 1 sinx 1 lim lim . 4 2 x 4 2 8
x 2 x 2
例 3．求 l i m
x0
1 (1 x ) x e
x
.
1 0 ln(1 x ) ex e 0
ln(1 x ) l i m[e x ] x0
注意
1、用洛必达法则一定要验证条件，特别是条件(2);
2、若用一次法则后仍是未定式，可继续使用，一旦 不是未定式立刻停止使用;
2 2x x2 lim lim 例： lim x x 0 0 cos x sin x x 0 sin x
3、运算过程中有非零极限因子，可先算出极限。 若可以等价无穷小量代换，先代换。
注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法， 但与其它求极限方法结合使用，效果更好.
例 2．求 lim
ln(sin x)
解： 原 式 lim
x 2
( 2 x )2 x 2 0 cosx 0
.
sinx 2( 2 x )( 2)
1 1 cosx lim lim 2 x 4 sinx
f ( x) lim ＝ lim x x g( x ) x x f ( x ) A(或) 。 g( x )
x x
x x
分析：证明洛必达法则要找到两个函数之比与这两个 函数的导数之比之间的联系，而柯西定理正是实现这
点 x 满足 种联系的纽带。为了使函数 f ( x ) 和 g ( x ) 在 点 x 作连续 柯西定理的条件，将函数 f ( x ) 和 g ( x ) 在