2018年辽宁省大连市高考数学模拟试卷

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【数学】辽宁省大连市2018届高三第一次模拟数学理试题含解析

辽宁省大连市2018届高三第一次模拟数学理试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得：，∴故选：C2. 若复数为纯虚数，则实数的值为（）A. 1B. 0C.D. -1【答案】D【解析】设，得到：+∴，且解得：故选：D3. 中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹可表示为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，则8771 用算筹可表示为，故选：C．4. 如图所示程序框图是为了求出满足的最小正偶数，那么空白框中及最后输出的值分别是（）A. 和6B. 和6C. 和8D. 和8【答案】D【解析】空白框中n依次加2可保证其为偶数，排除A，C时，，时，所以D选项满足要求．故选：D．5. 函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由函数是偶函数，排除A，C，当，.排除B故选：D.点睛：识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．6. 某几何体的三视图如图所示（单位：），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：）是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可知该几何体为正三棱柱去掉一个小三棱锥，.故选：B.7. 6本不同的书在书架上摆成一排，要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（）种.A. 24B. 36C. 48D. 60【答案】A【解析】第一步：甲、乙两本书必须摆放在两端，有种排法；第二步：丙、丁两本书必须相邻视为整体与其它两本共三本，有种排法；∴故选：A.8. 的内角的对边分别为，若，，则面积的最大值是（）A. 1B.C. 2D. 4【答案】B【解析】由题意知，由余弦定理，，故，有，故..................................故选：B9. 已知边长为2的等边三角形，为的中点，以为折痕进行翻折，使为直角，则过四点的球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】折后的图形可放到一个长方体中，其体对角线长为，故其外接球的半径为，其表面积为.故选：D.点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．10. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则的值可以为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】将函数的图象向右平移个单位得到函数∴，∴得到：.当k=1时，故选：C.11. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，若上存在一点满足，且的面积为3，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. 2 D. 3【答案】B【解析】由双曲线可知，从而.故选：B.12. 若直线和曲线的图象交于，，三点时，曲线在点、点处的切线总是平行的，则过点可作曲线的（）条切线.A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】直线过定点由题意可知：定点是曲线的对称中心，，解得，所以曲线，f′（x）=，设切点M（x0，y0），则M纵坐标y0=，又f′（x0）=，∴切线的方程为：又直线过定点，得﹣-2=0，，即解得：故可做两条切线故选：C点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设实数，满足约束条件则的最大值为__________．【答案】【解析】作出可行域，如图：由可行域可确定目标函数在处取最大值故的最大值为14故答案为：14点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.14. 已知半径为的圆周上有一定点，在圆周上等可能地任意取一点与点连接，则所得弦长介于与之间的概率为__________．【答案】【解析】在圆上其他位置任取一点B，设圆半径为R，其中满足条件AB弦长介于与之间的弧长为•2πR，则AB弦的长度大于等于半径长度的概率P==；故答案为：．15. 已知抛物线，过点任作一条直线和抛物线交于、两点，设点，连接，并延长，分别和抛物线交于点和，则直线过定点__________．【答案】【解析】设方程为：，代入抛物线得：设A，，则同理：B，，又AB过定点，∴共线，∴∴，即∴，又，∴直线：，利用点在抛物线上化简得：∴∴直线过定点故答案为：16. 已知腰长为2的等腰直角中，为斜边的中点，点为该平面内一动点，若，则的最小值为__________．【答案】【解析】如图建立平面直角坐标系，,∴，当sin时，得到最小值为故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设数列的前项和为，且，在正项等比数列中，，.求和的通项公式；设，求数列的前项和.【答案】（1），（2）【解析】试题分析：（1）由求出的通项公式，由等比数列的基本公式得到的通项公式；（2）利用错位相减法求出数列的前项和.试题解析：解：，当时，，，，.又数列为等比数列，，，又，.由得：设数列的前项和为当时，，，，，，.当时，，又当时，，综上，.点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n－qS n”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.18. 大连市某企业为确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量（单位：）和年利润（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.表中，.根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）根据的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；已知这种产品的年利润与、的关系为.根据的结果回答下列问题：年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.【答案】（1）（2）（3）年销售量，年利润.年宣传费为46.24千元时，年利润预报值最大.【解析】试题分析：（1）由散点图可以判断适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型；（2）利用公式计算，从而得到关于的回归方程；（3）由知，当时，年销售量的预报值为，年利润的预报值为；根据的结果知，年利润的预报值，求二次函数的最值即可.试题解析：解：由散点图可以判断适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型.令，先建立关于的线性回归方程，，所以关于的线性回归方程为，所以关于的线性回归方程为.由知，当时，年销售量的预报值为，年利润的预报值为.根据的结果知，年利润的预报值，当，即时，年利润的预报值最大，故年宣传费为46.24千元时，年利润预报值最大.19. 在如图所示的几何体中，四边形是正方形，平面，分别是线段，的中点，.求证：平面；求到平面的距离.【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）取中点，连接，易得四边形为平行四边形，从而所以∥平面；（2）平面，且四边形是正方形，两两垂直，以为原点，，，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，代入公式得到所成锐二面角的余弦值.解：方法一：取中点，连接，分别是中点, ，为中点，为正方形，，,四边形为平行四边形，平面，平面，平面.方法二：取中点，连接，.是中点，是中点，，又是中点，是中点，，，，又，平面，平面，平面，平面，平面平面.又平面，平面.方法三：取中点，连接，，在正方形中，是中点，是中点又是中点，是中点，，又，，，平面//平面.平面平面.方法四：平面,且四边形是正方形，两两垂直，以为原点，，，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，则设平面法向量为，则, 即, 取，，所以，又平面，∥平面.平面,且四边形是正方形，两两垂直，以为原点，，，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则设平面法向量为，，则, 即，取,则设平面法向量为，则, 即, 取，.平面与平面所成锐二面角的余弦值为.（若第一问用方法四，则第二问部分步骤可省略）点睛：本题主要考查线面垂直的判定定理以及用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20. 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，点在椭圆上.求椭圆的方程；已知与为平面内的两个定点，过点的直线与椭圆交于两点，求四边形面积的最大值.【答案】（1）（2）6【解析】试题分析：（1）由椭圆定义得到动圆圆心的轨迹的方程；（2）设的方程为，联立可得，通过根与系数的关系表示弦长进而得到四边形面积的表达式，利用换元法及均值不等式求最值即可.试题解析：解：由可得，，又因为，所以.所以椭圆方程为，又因为在椭圆上，所以.所以，所以，故椭圆方程为.方法一：设的方程为，联立，消去得，设点，有，所以令，有，由函数，故函数，在上单调递增，故，故当且仅当即时等号成立，四边形面积的最大值为.方法二：设的方程为，联立，消去得，设点，有有，点到直线的距离为，点到直线的距离为，从而四边形的面积令，有，函数，故函数，在上单调递增，有，故当且仅当即时等号成立，四边形面积的最大值为.方法三：①当的斜率不存在时，此时，四边形的面积为.②当的斜率存在时，设为：，则，，四边形的面积，令则,，，综上，四边形面积的最大值为.21. 已知函数.若在上是单调递增函数，求的取值范围；设，当时，若，且，求证：.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）在上是单调递增函数等价于在上，恒成立，即：，构造新函数求最值即可；（2）要证，即证，记，易证在上递增，转证。

辽宁省大连市2018届高三下学期第二次模拟考试理数试题Word版含答案

辽宁省大连市2018届下学期第二次模拟考试高三理数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,2}A =，{(,)|,,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈，则B 的子集共有（） A ． 2个 B ． 4个 C ． 6个 D ．8个2.复数1()z ai a R =+∈在复平面对应的点在第一象限，且||z =z 的虚部为（） A ． 2 B ． 4 C ．2i D ．4i3.对于直线,m n 和平面,αβ，下列条件中能得出αβ⊥的是（） A ．,//,//m n m n αβ⊥ B ．,,m n m n αβα⊥=⊂C ．//,,m n n m βα⊥⊂D ．//,,m n m n αβ⊥⊥ 4.执行下图的程序框图，如果输入1x =，则输出t 的值为（）A ． 6B ． 8 C. 10 D ．125.已知{}n a 为等差数列，48336a a +=，则{}n a 的前9项和9S =（） A ． 9 B ． 17 C. 36 D ．816.已知函数2()2f x x x =--+，则函数()y f x =-的图象为（）7.已知变量x 与y 负相关，且由观测数据算得样本平均数3, 3.5x y ==，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A ． 0.4 2.3y x =+B ．2 2.4y x =- C. 29.5y x =-+ D ．0.4 4.4y x =-+ 8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A ．64B ．643C. 16 D ．1639. D 是ABC ∆所在平面内一点，(,)AD AB AC R λμλμ=+∈，则01λ<<，01μ<<是点D 在ABC ∆内部（不含边界）的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要 10.命题0:[0,]4p x π∃∈，00sin 2cos2x x a +>是假命题，则实数a 的取值范围是（）A ．1a <B ．a <1a ≥ D ．a ≥11.过抛物线2:4C y x =的焦点F 的直线l 交C 于,A B 两点，点(1,2)M -，若0MA MB ∙=，则直线l 的斜率k =（）A ． -2B ． -1 C. 1 D ．212.函数1()ln (0)axf x e x a a=->存在零点，则实数a 的取值范围是（） A ．10a e <≤ B ．210a e <≤ C. 1a e ≥ D ．21a e≥第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.将3本不同的数学书和2本不同的语文书在书架上排成一行，若2本语文书相邻排放，则不同的排放方案共有种．（用数字作答）14.设12,F F 分别是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，点(,)M a b ，若1230MF F ∠=，则双曲线C 的离心率为．15.已知函数232(22),0()(33),0x a x x f x x a x ax x ⎧-+-≤⎪=⎨-++>⎪⎩，若曲线()y f x =在点(,())i i i P x f x （1,2,3i =，其中123,,x x x 互不相等）处的切线互相平行，则a 的取值范围是．16.若数列{}n a 满足：120,3a a ==，且1(1)(1)1n n n a n a n +-=+-+*(,2)n N n ∈≥，数列{}n b 满足18()11n n b -=，则数列{}n b 的最大项为第项．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，cos sin b a C C =．（1）求A ；（2）若2,4a b c =+≥，求ABC ∆的面积．18. （本小题满分12分）甲、乙两名乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为23，乙胜的概率为13，如果比赛采用“五局三胜”制（先胜三局者获胜，比赛结束）．（1）求甲获得比赛胜利的概率；（2）设比赛结束时的局数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，12AA =，AC =M 是1CC 的中点，P 是AM 的中点，点Q 在线段1BC 上，且113BQ QC =．（1）证明：//PQ 平面ABC ；（2）若直线1BA 与平面ABM ，求BAC ∠的大小．20. （本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2e =，且椭圆上一点M 与椭圆左右两个焦点构成的三角形周长为4+ （1）求椭圆C 的方程；（2）如图，设点D 为椭圆上任意一点，直线y m =和椭圆C 交于,A B 两点，且直线,DA DB 与y 轴分别交于,P Q 两点，试探究12PF F ∠和12QF F ∠之间的等量关系并加以证明．已知函数()ln ()f x x kx k R =+∈．（1）当1k =-时，求函数()f x 的极值点；（2）当0k =时，若()0(,)bf x a a b R x+-≥∈恒成立，试求11a e b --+的最大值；（3）在（2）的条件下，当11a e b --+取最大值时，设1()()a F b m m R b-=-∈，并设函数()F x 有两个零点12,x x ，求证：212x x e >．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为4sin ρθ=，从极点作圆C 的弦，记各条弦中点的轨迹为曲线1C ．（1）求1C 的极坐标方程；（2）已知曲线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（0απ≤<，t 为参数，且0t ≠），l 与C 交于点A ，l 与1C 交于点B ，且||AB =a 的值．23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知,,a b c 均为正实数，且2221111a b c++=．（1）证明：111a b c++≤ （2）求证：2224441a b c b c a++≥．辽宁省大连市2018届高三下学期第二次模拟考试理数试题答案一．选择题1.A2.A3.C4.B5.D6.D7.C8.D9.B 10.D 11.C 12.A 二．填空题13. 48 14. 2 15. (-1，2) 16. 6 三．解答题17.解：(Ⅰ)cos sin b a C a C =+3C A C A B sin sin 33cos sin sin +=∴.............................2分 C A C A C A C A sin sin 33cos sin sin cos cos sin +=+...........................4分即C A C A sin sin 33sin cos =又0sin ≠C A A sin 33cos =∴ 即3tan =A 3π=∴A ....................................6分(Ⅱ)A bc c b a cos 2222-+=bc c b bc c b 3)(22222-+=-+=∴................................8分 bcc b 2≥+416)(2≤+≤+∴c b c b ，即又由题意知4≥+c b ，4=+∴c b .(当2==c b 时等式成立.).............................10分33sin 2221=⨯⨯⨯=∴∆πABC S ............................................12分18.解：（Ⅰ）设比赛局数分别为3,4,5时,甲获胜分别为事件123,A A A ，，则由相互独立事件同时发生的概率乘法公式可得：3128()()327P A ==，2323218()()3327P A C =⋅⋅=,23342116()()3381P A C =⋅⋅=2（），...........3分所以由互斥事件的概率加法公式可得，甲获胜的概率为123881664=()+()+()=++=27278181P P A P A P A ..................................6分（Ⅱ）由题意可知，X 的取值为3,4,5，则332191(3)()+()=33273P X ===，232333211210(4)()+()333327P X C C ==⋅⋅=,2224218(5)()()3327P X C ==⋅=....................................9分所以，X 的分布列为X ∴的数学期望108107=3+4+5=3272727EX ⨯⨯⨯（）............................12分19.证明：(Ⅰ)取中点MC ，记为点D ,连结QD PD ,中点为中点，为MC D MA PPD ∴//AC又131DC CD =,=113BQ QC ,QD ∴//BC又D QD PD =PQD 平面∴//平面ABC ...........................................4分又PQD PQ 平面⊂PQ ∴//平面ABC .........................................................6分（Ⅱ）1,,BB BA BC 两两互相垂直，∴建立如图所示空间直角坐标系B xyz -，设,,BC a BA b ==则各点的坐标分别为：1(,0,0),(0,,0),(0,,2),(,0,1)C a A b A b M a ，1(0,,2),(0,,0),(,0,1)BA b BA b BM a ∴===..........................8分设平面ABM 的法向量为(,,)n x y z =，则00n BA n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,0by ax z =⎧∴⎨+=⎩，取1x =，则可得平面ABM的一组法向量(1,0,)n a =-，1cos ,15n BA ∴<>==，...........................10分又因为228a b +=，4224120,2a a a ∴+-=∴=或6-（舍）.即6,21222sin ,2π=∠∴==∠∴=BAC BAC a .........................12分20.解：22==a c e ，c a 2=∴ 224222222121+=+=+=++c c c a F F MF MF22==∴a c ，............................................................3分∴椭圆方程为12422=+y x .............................................4分（Ⅱ）︒=∠+∠902121F QF F PF ，..............................5分证明如下：设),(),(1100y x D y x B ，，则),(00y x A -, 直线BD 方程为)(110101x x x x y y y y ---=-，令0=x ，则101010x x x y y x y --=)0(101010x x xy y x Q --∴，同理)0(101010x x x y y x P ++，...................................7分21F PF ∠ 和21F QF∠均为锐角， )(tan 10101010101021x x c x y y x c x x x y y x F PF ++=++=∠∴ )(tan 10101021x x c x y y x F QF --=∠)()()(tan tan 21202212021201010101010102121x x c x y y x x x c x y y x x x c x y y x F QF F PF --=--⋅++=∠⋅∠∴ 1)(221)22()22(212120212021202021212=--=----=x x x x x x x x x x ...........................10分 21F PF ∠∴与21F QF∠互余,︒=∠+∠∴902121F QF F PF ................................12分21.解：（Ⅰ）1k =-时，1()ln ()101f x x x f x x x'=-⇒=->⇒<，()f x ∴在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减，故函数()f x 有唯一的极大值点1x =，无极小值点...................2分（Ⅱ）0k =时，()ln b b f x a x a x x +-=+-，设()ln ,(0)bg x x a x x=+->，则221()b x bg x x x x-'=-=. 当0b ≤时，则()0g x '>，所以()g x 在(0,)+∞单调递增，又0x >且0x →时，()g x →-∞与题意矛盾，舍.当0b >时，则()0g x x b '>⇒>，所以()g x 在(,)b +∞单调递增，(0,)b 单调递减，所以min ()()ln 1g x g b b a ==+-，.......................................5分所以11ln 101ln 11a a b a a b e b e b --+-≥⇒-≤⇒≤⇒-+≤，故11a eb --+的最大值为1........................................7分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当11a e b --+取最大值1时，1ln 1ln (),(0)a be b a b F b m b b-=⇒-=⇒=->，记ln (),(0)xF x m x x=->.................................9分方法一：()0ln 0F x x mx =⇒-=，设()ln h x x mx =-，则1()h x m x'=-，若0m ≤，则()0h x '>恒成立，所以函数()h x 在(0,)+∞单调递增，与题意不符，舍.若0m >，则1()0h x x m '>⇒<，()h x ∴在1(0,)m 单调递增，在1(,)m+∞单调递减，所以若函数()F x 有两个零点，则只需1()0h m >，解得10m e<<.不妨设12x x <，则1210x x m <<<，设111()()(),(0)G x h x h x x m m m =+--<<，则11()()(),G x h x h x m m'''=++- 化简可得32222()01m x G x m x'=>-，所以函数()G x 在1(0,)m 单调递增，11()(0)()()0G x G h h m m >=-= 10x m ∴<<时，11()()h x h x m m +>-，1122()()()h x h x h x m∴->=，又因为1221,(,+x x m m -∈∞），且函数()h x 在1(,)m +∞单调递减，122x x m ∴-<，121222x x mx mx m∴+>⇒+>，即12ln ln 2x x +>，所以212x x e >成立...........................................12分方法二：不妨设12x x <，由题意1122ln ln x mx x mx =⎧⎨=⎩，则221121221121ln ln (),ln ()x x x x x m x x m x x m x x x =+=-⇒=-，欲证212x x e ⋅>，只需证明：12ln()2x x ⋅>，只需证明：12()2m x x +>，即证：122211()ln 2x x x x x x +>-，即证2122111ln 21x x x x x x +>-，设211x t x =>，则只需证明：1ln 21t t t ->⋅+，也就是证明：1ln 201t t t --⋅>+.....................................10分记1()ln 2,(1)1t u t t t t -=-⋅>+，22214(1)()0(1)(1)t u t t t t t -'∴=-=>++， ()u t ∴在(1,)+∞单调递增，()(1)0u t u ∴>=，所以原不等式成立...................................................12分22.解：（Ⅰ）设1C 上任意一点的极坐标为()θρ，则点()θρ，2在圆C 上，故θρsin 42=，所以1C 的极坐标方程为)0(sin 2≠=ρθρ.............................4分（Ⅱ）B A ,两点的极坐标分别为),sin 2(),,sin 4(ααααB A ，又因为πα<≤0，acbc ab c b a 111111222++≥++∴ 又acbc ab c b a c b a 222111)111(2222+++++=++ ）（2221113c b a ++≤ 由题中条件知1111222=++cb a ， 3)111(2≤++∴cb a 即3111≤++cb a ......................................5分（Ⅱ）22422422121ba b a a b a =⋅≥+ 同理：224221c b c b ≥+，224221ac a c ≥+ )111(2111222222424242cb ac b a a c c b b a ++≥+++++∴ 21424242≥+++∴ac c b b a 1424242≥++∴ac c b b a .............................10分。

2018年辽宁省大连市高考一模数学试卷(理科)【解析版】

2018年辽宁省大连市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，每小题各有四个选项，仅有一个选项正确）1．（5分）设集合A＝{x||x|＜1}，B＝{x|x（x﹣3）＜0}，则A∪B＝（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（﹣1，3）D．（1，3）2．（5分）若复数z＝为纯虚数，则实数a的值为（）A．1B．0C．D．﹣13．（5分）中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹．古代用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行计算，算筹的摆放形式有横纵两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推．例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹可表示为（）A．B．C．D．4．（5分）如图所示的程序框图是为了求出满足2n﹣n2＞28的最小偶数n，那么空白框中的语句及最后输出的n值分别是（）A．n＝n+1和6B．n＝n+2和6C．n＝n+1和8D．n＝n+2和8 5．（5分）函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．4B．C．2D．7．（5分）6本不同的书在书桌上摆成一排，要求甲，乙两本书必须放在两段端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（）种．A．24B．36C．48D．608．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2b cos B＝a cos C+c cos A，b＝2，则△ABC面积的最大值是（）A．1B．C．2D．49．（5分）已知边长为2的等边三角形ABC，D为BC的中点，以AD为折痕，将△ABC折成直二面角B﹣AD﹣C，则过A，B，C，D四点的球的表面积为（）A．3πB．4πC．5πD．6π10．（5分）将函数f（x）＝sin（2x+）的图象向右平移a（a＞0）个单位得到函数g（x）＝cos（2x+）的图象，则a的值可以为（）A．B．C．D．11．（5分）已知双曲线C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若C上存在一点P满足PF1⊥PF2，且△PF1F2的面积为3，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．312．（5分）若直线kx﹣y﹣k+1＝0（k∈R）和曲线E：y＝ax3+bx2+（ab≠0）的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）三点时，曲线E 在点A，点C处的切线总是平行的，则过点（b，a）可作曲线E的（）条切线．A．0B．1C．2D．3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设实数x，y满足约束条件，则z＝x+2y+5的最大值为．14．（5分）已知半径为R的圆周上有一定点A，在圆周上等可能地任取一点与点A连接，则所得弦长介于R与R之间的概率为．15．（5分）已知抛物线C：y2＝2x，过点（1，0）任作一条直线和抛物线C交于A、B两点，设点G（2，0），连接AG，BG并延长分别和抛物线C交于点A′和B′，则直线A′B′过定点．16．（5分）已知腰长为2的等腰直角△ABC中，M为斜边AB的中点，点P为该平面内一动点，若||＝2，则（•+4）•（•）的最小值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n2﹣n+1，在正项等比数列{b n}中，b2＝a2，b4＝a5．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n＝a n b n，求数列{c n}的前n项和．18．（12分）大连市某企业为确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x i和年销售量y i（i＝1，2，…8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．（xi ﹣（w i ﹣xi y i w i y i表中w i ＝，＝w i（Ⅰ）根据散点图判断，y ＝a +bx 与y ＝c +d哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利润z 与x 、y 的关系为z ＝0.2y ﹣x ．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i ）年宣传费x ＝64时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据（u 1，v 1），（u 2，v 2），…，（u n ，v n ），其回归直线v ＝α+βμ的斜率和截距的最小二乘估计分别为：＝，＝﹣．19．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，P A ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是线段AD ，PB 的中点，P A ＝AB ＝1．（Ⅰ）求证：EF ∥平面DCP ；（Ⅱ）求平面EFC与平面PDC所成锐二面角的余弦值．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，点M（1，）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知P（﹣2，0）与Q（2，0）为平面内的两个定点，过点（1，0）的直线l与椭圆C交于A，B两点，求四边形APBQ面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣4x+5﹣（a∈R）．（Ⅰ）若f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调递增函数，求a的取值范围；（Ⅱ）设g（x）＝e x f（x），当m≥1时，若g（x1）+g（x2）＝2g（m），且x1≠x2，求证：x1+x2＜2m．请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请标清题号。

2018年辽宁省大连市高考一模数学试卷(文科)【解析版】

2018年辽宁省大连市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，每小题各有四个选项，仅有一个选项正确）1．（5分）设集合A＝{x||x|＜1}，B＝{x|x（x﹣3）＜0}，则A∪B＝（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（﹣1，3）D．（1，3）2．（5分）若复数z＝为纯虚数，则实数a的值为（）A．1B．0C．D．﹣13．（5分）中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹．古代用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行计算，算筹的摆放形式有横纵两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推．例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹可表示为（）A．B．C．D．4．（5分）如图所示的程序框图是为了求出满足2n﹣n2＞28的最小偶数n，那么空白框中的语句及最后输出的n值分别是（）A．n＝n+1和6B．n＝n+2和6C．n＝n+1和8D．n＝n+2和8 5．（5分）函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）等差数列{a n}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项则数列{a n}的前9项和是（）A．9B．81C．10D．907．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．4B．C．2D．8．（5分）已知首项与公比相等的等比数列{a n}中，若m，n∈N*，满足a m a＝a，则的最小值为（）A．1B．C．2D．9．（5分）过曲线y＝e x上一点P（x0，y0）作曲线的切线，若该切线在y轴上的截距小于0，则x0的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（，+∞）C．（1，+∞）D．（2，+∞）10．（5分）已知边长为2的等边三角形ABC，D为BC的中点，以AD为折痕进行翻折，使∠BDC为直角，则过A，B，C，D四点的球的表面积为（）A．3πB．4πC．5πD．6π11．（5分）将函数f（x）＝sin（2x+）的图象向右平移a（a＞0）个单位得到函数g（x）＝cos（2x+）的图象，则a的值可以为（）A．B．C．D．12．（5分）已知双曲线C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若C上存在一点P满足PF1⊥PF2，且△PF1F2的面积为3，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设实数x，y满足约束条件，则z＝x+2y+5的最大值为．14．（5分）已知半径为R的圆周上有一定点A，在圆周上等可能地任取一点与点A连接，则所得弦长小于R的概率为．15．（5分）已知抛物线C：y2＝2x，过点（1，0）任作一条直线和抛物线C交于A、B两点，设点G（2，0），连接AG，BG并延长分别和抛物线C交于点A′和B′，则直线A′B′过定点．16．（5分）已知菱形ABCD的一条对角线BD长为2，点E为AD上一点，且满足＝，点F为CD的中点，若•＝﹣2，则•＝．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2，且2b cos B＝a cos C+c cos A，．（1）求角B；（2）求△ABC面积的最大值．18．（12分）大连市某企业为确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x i和年销售量y i（i＝1，2，…8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．（xi ﹣（w i ﹣xi y i w i y i表中w i ＝，＝w i（Ⅰ）根据散点图判断，y ＝a +bx 与y ＝c +d哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利润z 与x 、y 的关系为z ＝0.2y ﹣x ．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i ）年宣传费x ＝64时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据（u 1，v 1），（u 2，v 2），…，（u n ，v n ），其回归直线v ＝α+βμ的斜率和截距的最小二乘估计分别为：＝，＝﹣．19．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，P A ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是线段AD ，PB 的中点，P A ＝AB ＝1．（1）求证：EF ∥平面DCP ；（2）求F到平面PDC的距离．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，点M（1，）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知P（﹣2，0）与Q（2，0）为平面内的两个定点，过点（1，0）的直线l与椭圆C交于A，B两点，求四边形APBQ面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx，g（x）＝x+m．（1）若f（x）≤g（x）恒成立，求实数m的取值范围；（2）若x1，x2是函数F（x）＝f（x）﹣g（x）的两个零点，且x1＜x2，求证：x1x2＜1．请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请标清题号。

辽宁省大连市2018届高三第二次模拟考试文科数学试卷(解析版)

辽宁省大连市2018届高三第二次模拟考试试卷文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合，则集合的子集个数是（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C【解析】分析:根据子集的概念写出集合A的子集得解.详解：由题得集合A的子集有：所以共8个.故答案为：C点睛：（1）本题主要考查集合的子集，意在考查学生对子集基础知识的掌握能力.(2)如果一个集合有n个元素，则集合的子集个数为，真子集的个数为.2. 复数，则（）A. 1B.C. 2D. 4【答案】B【解析】分析：先化简复数z,再求复数z的模得解.详解：由题得所以故答案为：B点睛：（1）本题主要考查复数的运算和复数的模，意在考查复数的基础知识.(2)复数3. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. 12B. 18C. 24D. 36【答案】D【解析】分析：先找到几何体的原图，再求几何体的体积.详解：由题得几何体是一个底面为直角三角形（两直角边分别为3和4），高为6的直棱柱，所以几何体的体积为故答案为：D点睛：（1）本题主要考查三视图和几何体的体积，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象能力. (2)通过三视图找几何体原图，一般有直接法和模型法两种方法，本题利用的是直接法.4. 设等比数列的前项和为，则（）A. 27B. 31C. 63D. 75【答案】C【解析】分析：利用等比数列的性质求.详解：由题得成等比数列，所以3,12，成等比数列，所以点睛：（1）本题主要考查等比数列的性质，意在考查学生对等比数列的性质的掌握能力.(2)等比数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等比数列，即成等比数列.本题利用这个性质解答比较简洁，如果直接代等比数列前n项和公式，计算量有点大.5. 在社会生产生活中，经常会遇到这样的问题:某企业生产甲、乙两种产品均需用两种原料.已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产 1吨甲、乙产品可获利润分别为4万元、6万元，问怎样设计生产方案，该企业每天可获得最大利润？我们在解决此类问题时，设分别表示每天生产甲、乙产品的吨数，则应满足的约束条件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：直接把应用题中的不等关系列成不等式组得解.故答案为：C点睛：本题主要考查实际应用中的不等关系的转化.6. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：利用函数奇偶性的判断方法判断函数的奇偶性，利用复合函数的单调性原理和图像判断函数的单调性得解.详解:对于选项A,函数f(x)不是偶函数，所以不满足题意；对于选项B,，,所以函数是偶函数，根据复合函数的单调性原理得函数在上单调递增，所以满足题意；对于选项C,函数是偶函数，根据复合函数单调性原理得它在上单调递减，所以不满足题意；对于选项D,函数是偶函数，但是在上是非单调函数，所以不满足题意.故答案为：B点睛：（1）本题主要考查函数的单调性的判断和奇偶性的判断方法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)判断函数的单调性一般有以下四种方法：定义、导数、图像、复合函数等，解答时要根据函数灵活选择.7. 双曲线的左焦点为，虚轴的一个端点为，为双曲线右支上的一点，若，则双曲线的离心率是（）A. B. C. 2 D.【答案】D【解析】分析：设双曲线的右焦点为,由题得|OB|=,化简即得双曲线C的离心率.详解：设双曲线的右焦点为,由题得|OB|=,所以,所以所以e=.故答案为：D点睛：（1）本题主要考查双曲线的简单几何性质和离心率的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2)圆锥曲线的离心率常见的有两种方法：公式法和方程法.本题利用的就是方程法，根据已知找到离心率的方程，再解方程即得离心率的值.(3)本题利用到了双曲线的通径公式：.8. 下面四个命题：：命题“”的否定是“”；:向量，则是的充分且必要条件；：“在中，若，则“”的逆否命题是“在中，若，则“”；：若“”是假命题，则是假命题.其中为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：利用每一个命题涉及的知识点判断每一个命题的真假得解.详解：对于：命题“”的否定是“”，所以是假命题；对于:等价于m-n=0即m=n,所以向量，则是的充分且必要条件，所以是真命题；对于：“在中，若，则“”的逆否命题是“在中，若，则“”，所以是真命题；对于：若“”是假命题，则p或q是假命题，所以命题是假命题.故答案为：B点睛：本题主要考查全称命题的否定、充要条件、逆否命题和“且”命题，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.9. 已知，若，则的取值范围是（）A. B. C.D.【答案】D【解析】分析：先化成的形式，再利用三角函数的图像性质求x的取值范围.详解：由题得，因为，所以因为，所以所以或，所以x的取值范围为.故答案为：D点睛：（1）本题主要考查三角函数的图像性质，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和数形结合思想. (2)解答本题的关键是三角函数的图像分析，先求出函数的再根据值域得到或，从而求出x的取值范围.10. 设椭圆的左焦点为，直线与椭圆交于两点，则的值是（）A. 2B.C. 4D.【答案】C【解析】分析：设椭圆的右焦点为连接则四边形是平行四边形，根据椭圆的定义得到=2a得解.详解：设椭圆的右焦点为连接因为OA=OB,OF=O,所以四边形是平行四边形.所以,所以=|AF|+=2a=4,故答案为:C点睛：（1）本题主要考查椭圆的几何性质，意在考查学生对椭圆基础知识的掌握能力. (2)解答本题的关键是能观察到对称性，得到四边形是平行四边形，这一点观察到了，后面就迎刃而解了.11. 关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰试验.受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计的值，试验步骤如下：①先请高二年级 500名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对；②若卡片上的能与1构成锐角三角形，则将此卡片上交；③统计上交的卡片数，记为；④根据统计数估计的值.假如本次试验的统计结果是，那么可以估计的值约为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：500对都小于l的正实数对（x，y）满足，面积为1，两个数能与1构成锐角三角形三边的数对（x，y），满足x2+y2＞1且，x+y＞1，面积为1﹣，由此能估计π的值．详解：由题意，500对都小于l的正实数对（x，y）满足，面积为1，两个数能与1构成锐角三角形三边的数对（x，y），满足且，即x2+y2＞1，且，面积为1﹣，因为统计两数能与l 构成锐角三角形三边的数对（x，y）的个数m=113，所以=1﹣，所以π=．故答案为：A点睛：（1）本题考查随机模拟法求圆周率的问题，考查几何概率的应用等基础知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)解答本题的关键是转化“卡片上的能与1构成锐角三角形”，这里涉及到余弦定理，由于1的对角最大，所以其是锐角，所以，化简得x2+y2＞1.12. 已知是定义在上的函数，为的导函数，且满足，则下列结论中正确的是（）A. 恒成立B. 恒成立C. D. 当时，；当时，【答案】A【解析】分析：先构造函数g(x)=(x-1)f(x),再利用导数得到函数的单调性和图像，从而得到恒成立.详解：设g(x)=(x-1)f(x),所以，所以函数g(x)在R上单调递增，又因为所以x>1时，g(x)>0,x<1时，g(x)＜0，所以x>1时，(x-1)f(x)>0，所以f(x)>0;所以x<1时，(x-1)f(x)<0，所以f(x)>0.所以恒成立.故答案为：A点睛：（1）本题主要考查导数的乘法运算，考查导数研究函数的单调性，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力、数形结合分析的能力. (2)解答本题有两个关键，其一是观察已知想到构造函数g(x)=(x-1)f(x),再求导,其二是得到函数g(x)的单调性后，分析出x>1时，g(x)>0,x<1时，g(x)＜0.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 某班共有36人，编号分别为1，2,3,…，36.现用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知编号3、12、30在样本中，那么样本中还有一个编号是__________．【答案】21【解析】分析：利用系统抽样的编号成等差数列求解.详解：由于系统抽样得到的编号组成等差数列，因为，所以公差为9，因为编号为3、12、30，所以第三个编号为12+9=21.故答案为：21点睛：（1）本题主要考查系统抽样，意在考查学生对系统抽样的掌握能力.（2）系统抽样时，如果有n个个体，需要抽出m个个体，所以要分成个小组，最后抽出来的编号成等差数列，公差为.14. 执行如图所示的程序框图，输出的值为__________．【答案】【解析】分析：运行程序找到函数的周期性，从而得解.详解：运行程序如下：1≤2018，s=-3,n=2;2≤2018，s=,n=3;3≤2018，s=,n=4；4≤2018，s=2,n=5;所以s的周期为4,因为2018除以4的余数为2，所以输出s=.故答案为：点睛：(1)本题主要考查程序框图和数列的周期性,意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2)本题易错，不要输出s=-3,而是s=.程序框图一定要读懂程序，把好输出关，既不能提前，也不能滞后.15. 已知圆锥的底面直径为1，母线长为1，过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为__________．【答案】【解析】分析：先设出截面中两母线的夹角，再求出截面面积S的表达式，最后求截面面积的最大值得解.详解：设截面中两母线的夹角为，则，因为，所以.故答案为：点睛：解答本题的关键是建立函数模型求函数的最大值，建立函数的模型，首先是要求出函数的表达式，再求函数的定义域，再求函数的最大值.16. 已知数列的前项和为，若，，则__________ (用数字作答)．【答案】75【解析】分析：根据题意可得a3+a4+a5=2，a30=18，a3n+a3n+1+a3n+2=n+1，则S30=a1+a2+（a3+a4+a5）+（a6+a7+a8）+…+（a27+a28+a29）+a30=75．详解：∵a3n=2n﹣2a n，a3n+1=a n+1，a3n+2=a n﹣n，a1=1，a2=2，∴a3=2﹣2a1=2﹣2=0，a4=a1+1=2，a5=a2﹣2=0，∴a3+a4+a5=2，，∴把上面三个式子相加得a3n+a3n+1+a3n+2=n+1，∴S30=a1+a2+（a3+a4+a5）+（a6+a7+a8）+…+（a27+a28+a29）+a30=1+2++18=75，故答案为：75点睛：(1)本题主要考查了数列的递推公式和数列的求和公式，考查了转化能力和运算能力.(2)解答本题的关键是通过把三个式子，，相加得到a3n+a3n+1+a3n+2=n+1,从而发现数列的规律便于求和.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在中，，是边上的一点.（1）若，求的长；（2）若，求周长的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）先化简得到cos∠DAC＝再利用余弦定理求出CD得解.(2)先利用正弦定理求出AB+BC的表达式，再求其范围.详解：（Ⅰ）在△ADC中，AD＝1，，所以＝cos∠DAC＝1×2×cos∠DAC＝3,所以cos∠DAC＝.由余弦定理得CD2＝AC2＋AD2－2AC·AD·cos∠DAC＝12＋1－2×2×1×＝7，所以CD＝.（Ⅱ）在△ABC中由正弦定理得.的周长为 .点睛：（1）本题主要考查数量积，考查正弦定理和余弦定理解三角形，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和函数的思想及分析推理能力. (2)本题求周长的取值范围运用了函数的思想，先求，再求函数的定义域,再利用三角函数的图像性质求其范围.函数的思想是高中数学的重要思想，大家要理解掌握并灵活运用.18. 某城市的华为手机专卖店对该市市民使用华为手机的情况进行调查.在使用华为手机的用户中，随机抽取100名，按年龄(单位:岁）进行统计的频率分布直方图如图：（1）根据频率分布直方图，分别求出样本的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数的估计值(均精确到个位）；（2）在抽取的这100名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取20人参加华为手机宣传活动，再从这20人中年龄在和的人群里，随机选取2人各赠送一部华为手机，求这2名市民年龄都在内的概率.【答案】（1）见解析（2）【解析】分析：（1）直接利用频率分布直方图的平均值和中位数公式求解.(2)利用古典概型求这2名市民年龄都在内的概率.详解：(Ⅰ) 平均值的估计值:中位数的估计值：因为，所以中位数位于区间年龄段中，设中位数为，所以，.(Ⅱ) 用分层抽样的方法，抽取的20人，应有4人位于年龄段内，记为，2人位于年龄段内，记为.现从这6人中随机抽取2人，设基本事件空间为，则设2名市民年龄都在为事件A，则,所以.点睛：（1）本题主要考查频率分布直方图，考查平均值和中位数的计算和古典概型，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和基本的运算能力.(2) 先计算出每个小矩形的面积，通过解方程找到左边面积为0.5的点P，点P对应的数就是中位数. 一般利用平均数的公式计算.其中代表第个矩形的横边的中点对应的数，代表第个矩形的面积.19. 如图，在三棱柱中，和均是边长为2的等边三角形，平面平面，点为中点.（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析（2）【解析】分析：（1）先证明A1O⊥AC，再证明平面(2)利用体积变换求三棱锥的体积.详解：（Ⅰ）证明：∵AA1=A1C，且O为AC的中点，∴A1O⊥AC，又∵平面AA1C1C⊥平面ABC，且交线为AC，又A1O⊂平面AA1C1C，∴A1O⊥平面ABC（Ⅱ）∵,∴,又∵,由（Ⅰ）知点到平面的距离为,又∵∴,∴.点睛：（1）本题主要考查空间垂直关系的证明和体积的计算，意在考查学生对这些基础的掌握能力和空间想象转化能力. (2) 求几何体的面积和体积的方法有三种，方法一：对于规则的几何体一般用公式法.方法二：对于非规则的几何体一般用割补法.方法三：对于某些三棱锥有时可以利用转换的方法.20. 已知抛物线的焦点为，点的坐标为，点在抛物线上，且满足，（为坐标原点）.（1）求抛物线的方程；（2）过点作斜率乘积为1的两条不重合的直线，且与抛物线交于两点，与抛物线交于两点，线段的中点分别为，求证：直线过定点，并求出定点坐标.【答案】（1）y2＝4x.（2）直线GH过定点(4,0)【解析】分析：（1）直接把点M,N的坐标代入得p的值，即得抛物线的方程.(2)先求出直线GH的方程y－2k＝[x－(2k2－4k＋6)]，再化简分析找到它的定点.详解：（Ⅰ）解：，点M的坐标为(6,4)，可得点N的坐标为(9,6)，∴36＝18p，∴p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x.（Ⅱ）证明:由条件可知，直线l1，l2的斜率存在且均不能为0，也不能为1、-1设l1：y＝k(x－6)＋4，则l2的方程为y＝(x－6)＋4，将l1方程与抛物线方程联立得ky2－4y＋16－24k＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，又y1＋y2＝k(x1＋x2－12)＋8，∴x1＋x2＝，∴点G的坐标为，用代替k，得到点H坐标为(2k2－4k＋6,2k)，所以∴GH方程为：y－2k＝[x－(2k2－4k＋6)]．整理得令y＝0，则x＝4，所以直线GH过定点(4,0)点睛：（1）本题主要考查抛物线方程的求法，考查直线和圆锥曲线的位置关系，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力、分析推理能力和计算能力. (2)解答本题的关键是求出GH方程为：y－2k＝[x－(2k2－4k＋6)]，圆锥曲线中的定点问题，一般是先求曲线的方程，再分析找到定点.(3) 定点问题：对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，证明直线过定点，一般有两种方法.（1）特殊探求，一般证明：即可以先考虑动直线或曲线的特殊情况，找出定点的位置，然后证明该定点在该直线或该曲线上（定点的坐标直线或曲线的方程后等式恒成立）.（2）分离参数法：一般可以根据需要选定参数，结合已知条件求出直线或曲线的方程，分离参数得到等式，（一般地，为关于的二元一次关系式）由上述原理可得方程组，从而求得该定点.21. 已知函数/，其中.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）)若函数在区间内恰有一个极大值和一个极小值，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）见解析【解析】分析：（1）利用导数的几何意义求切线的斜率，再求切线的方程. (2)先求函数在区间内的极大值和极小值，再分析得到实数的取值范围.详解：（Ⅰ）当时，，，所以切线方程为.（Ⅱ）令，则在恰有一个极大值,和一个极小值可以转化为在有两个变号零点.，，或.所以g(x)在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以g(x)在处取到极小值,在处取到极大.又g(0)=a+1,g(2π)=,要想使函数恰有两个变号零点，只需满足所以.点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的单调性和极值，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及分析推理能力.(2)解答本题的关键是求出g(x)在处取到极小值,在处取到极大后，分析出要想使函数恰有两个变号零点，只需满足请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线经过点，斜率为，直线与曲线相交于两点.（1）写出曲线的普通方程和直线的参数方程；（2）求的值.【答案】（1）见解析（2）【解析】分析：（1）消参得到曲线的普通方程，代直线的参数方程得到直线的参数方程.(2)利用直线参数方程求的值.详解：（Ⅰ）曲线：则，即直线的参数方程为：.（Ⅱ）直线：，将直线代入中，得由于，故点在椭圆的内部，因此直线与曲线的交点位于点的两侧，即点所对应的值异号.设点的对应值为，点的对应值为，则，故.23. 选修4-5：不等式选讲关于的不等式的解集为.（1）求实数的值；（2）若，且，求证：.【答案】（1）1（2）见解析【解析】分析：（1）先化简得到,再根据二次函数的图像性质得到m的值.(2)利用综合法证明不等式.详解：（Ⅰ）解：∵，∴，整理得:,由题可得：，即，∴．（Ⅱ）证明：∵a＋b＋c＝1，a＋b≥2，b＋c≥2，c＋a≥2，∴，∵()2＝a＋b＋c＋2＋2＋2，∴()2，所以 (当且仅当a＝b＝c＝时取等号)成立．点睛：（1）本题主要考查绝对值不等式和不等式的证明，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和逻辑分析推理能力.(2) 不等式的证明常用的有六种方法:比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法和反证法.。

2018年辽宁省大连市高考数学二模试卷(理科)

2018 年辽宁省大连市高考数学二模试卷（理科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12 小题，共 60.0分）1.集合 A={1 ， 2， 3} ，则集合 A 的子集个数是（）A. 6B. 7C.8D. 92.复数z=i（1-i），则|z|=）（A. 1B.C.2D. 43.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A.12B.24C.36D.724. 设等比数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，S2 =-1，S4=-5 ，则 S6=（）A. -9B. -21C. -25D. -635.某工厂生产的一种零件的尺寸（单位：mm）服从正态分布 N（ 500，52）．现从该零件的生产线上随机抽取20000 件零件，其中尺寸在（ 500，505）内的零件估计有（）（附：若随机变量X 服从正态分布2N（μ，σ），则 P（μ-σ＜ X＜μ+σ）≈0.6827，P（μ-2σ＜X＜μ+2σ）≈0.9545A.6827 个B.9545 个C.13654 个D.19090个6. 下列函数中，既是偶函数，又在（-∞， 0）上单调递增的是（）A. f（x）=x2B. f（x）=2|x|C.D.7. 双曲线的左焦点为F，虚轴的一个端点为B P，为双曲线C 右支上的一点，若，则双曲线 C 的离心率是（）A. B. C.2 D.8.下面四个命题：p1：命题“ ? n∈N， n2＞ 2n”的否定是“”；p2：向量，则m=n是的充分且必要条件；p3：“在△ABC 中，若 A＞ B，则“ sinA＞ sinB”的逆否命题是“在△ABC中，若sinA≤ sinB，则“ A≤B”；p4：若“ p∧q”是假命题，则p 是假命题．其中为真命题的是（）A. p1，p2B. p2，p3C. p2，p4D. p1，p39. 设椭圆的左焦点为 F ，直线 l ：y=kx（k≠0）与椭圆 C 交于 A，B 两点，则△AFB 周长的取值范围是（）A. （2，4）B.C. （6，8）D. （8，12）10.关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰试验．受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计π的值，试验步骤如下：①先请高二年级 500 名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对（x， y）（ 0＜ x＜ 1，0＜ y ＜ 1）；②若卡片上的x，y 能与 1 构成锐角三角形，则将此卡片上交；③统计上交的卡片数，记为 m；④根据统计数m 估计π的值．假如本次试验的统计结果是m=113，那么可以估计π的值约为（）A. B. C. D.11.已知sinx+cosx=a，x∈[0，2π），若0＜a＜1，则x的取值范围是（）A. B.C. D.12.已知f(x)是定义在上的函数，为的导函数，且满足，则下列结论中正确的是（）A.恒成立B.恒成立C. f(1)=0D.当时，；当时，二、填空题（本大题共 4 小题，共20.0 分）13.某班共有 36 人，编号分别为 1， 2， 3，， 36．现用系统抽样的方法，抽取一个容量为 4 的样本，已知编号 3、12、30 在样本中，那么样本中还有一个编号是 ______．14.执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 ______．15.已知圆锥的底面直径为，母线长为 1，过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为 ______．16.已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n，若 a1=1，a2 =2，a3n=2n-2a n，a3 n+1=a n+1，a3 n+2=a n-n，则 S60=______ （用数字作答）．三、解答题（本大题共7 小题，共82.0 分）ABC中，，D是BC边上的一点．17. 在△（ 1）若，求 CD 的长；（ 2）若∠B=120°，求△ABC 周长的取值范围．18.某城市的华为手机专卖店对该市市民使用华为手机的情况进行调查．在使用华为手机的用户中，随机抽取 100 名，按年龄（单位：岁）进行统计的频率分布直方图如图：（1）根据频率分布直方图，分别求出样本的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数的估计值（均精确到个位）；（ 2）在抽取的这100 名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取20 人参加华为手机宣传活动，现从这20 人中，随机选取 2 人各赠送一部华为手机，求这 2 名市民年龄都在 [40， 45）内的人数为X，求 X 的分布列及数学期望．19. 如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1中，△ABC 和△AA1C 均是边长为 2 的等边三角形，点O 为 AC 中点，平面 AA1 C1C⊥平面 ABC．（ 1）证明： A1O⊥平面 ABC；（ 2）求直线 AB 与平面 A1BC1所成角的正弦值．第3页，共 19页220.已知抛物线 C： y =2 px（p＞ 0）的焦点为 F ，点 M 的坐标为（ 6，4），点 N 在抛物线 C 上，且满足，（O为坐标原点）．（ 1）求抛物线 C 的方程；（ 2）过点 M 作斜率乘积为 1 的两条不重合的直线l1、l 2，且 l 1与抛物线C 交于 A，B 两点， l2与抛物线C 交于 D， E 两点，线段AB ，DE 的中点分别为G， H ，求证：直线 GH 过定点，并求出定点坐标．21.已知函数/．（ 1）当 a=1 时，解不等式 f （x）≤0；（ 2））若 f（ x）在内有两个不同的两点，求 a 的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为θl（为参数），直线经过点 P（1， 1），斜率为，直线 l 与曲线 C 相交于 A， B 两点．（ 1）写出曲线 C 的普通方程和直线l 的参数方程；（2）求 ||PA |-|PB||的值．23.关于x的不等式的解集为R．（ 1）求实数 m 的值；（ 2）若 a， b，c＞ 0，且 a+b+c=m，求证：．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】根据排列组合知识或直接逐一写出计算，本题主要考查子集概念，属于基础知识，基本概念的考查．【解答】解：集全A={1 ，2，3} 的子集有：? ，{1} ，{2} ，{3} ，{1 ，2} ，{1 ，3} ，{2 ，3} ，{1 ，2， 3} ，共 8个．故选 C．2.【答案】B【解析】解：∵z=i（1-i ）=1+i，∴|z|=．故选：B．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．【解答】解：由三视图知：几何体是三棱柱，是一个以正视图为底面的三棱柱，底面是直角边长为：4，3，棱柱的高为 6，所以几何体的体积为：=36．故选 C．4.【答案】B【解析】解：∵数列 {a n} 为等比数列，且 S2=-1，S4=-5，∴S2，S4-S2，S6-S4构成等比数列，即-1-4S+5则2S =-21构成等比数列，．6（）（6），得6故选：B．由等比数列的性质结合已知列关于 S6的方程求解．本题考查等比数列的前 n 项和，考查等比数列的性质，是基础的计算题．5.【答案】A【解析】解：其中尺寸在（500，505）内的零件估计=0.6827 ×20000=6827．故选：A．其中尺寸在（500，505）内的零件 X 属于（μ-σ，μ+σ），即可得出．本题考查了正态分布的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.【答案】C【解析】解：根据题意，依次分析选项：对2为间为题于 A ，f （x）=x ，f（-x ）=f（x），偶函数，在区（-∞，0）减函数，不符合意；对于 B，f（x|x|f（-x）=f（x），为偶函数，当 x＜0 时，f （x）=2|x| -xx，）=2 ，=2=（）在区间（-∞，0）为减函数，不符合题意；对于 C，f （x）=log2为时，f（x）=log2=log2，f（-x ）=f（x），偶函数，当 x＜0（-）=-log2（-x），在区间（-∞，0）为增函数，符合题意；对于 D，f （x）=||，f（-x ）≠f（x），不是偶函数，不符合题意；故选：C．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．本题考查函数的单调性与奇偶性的判定，关键是掌握常见函数的单调性与奇偶性．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查向量知识的运用，考查双曲线的离心率，利用向量知识确定 P 的坐标是解题的关键．利用左焦点为 F（-c，0），点B（0，b），线段 BF 与双曲线 C 的右支交于点 P，确定 P 的坐标，代入双曲线方程，化简可求双曲线的离心率．【解答】解：设 P（x，y），∵左焦点为设线线C 的右支交于点 P，F（-c，0），不妨点 B（0，b），段 BF 与双曲∵，∴x=c，y=2b，代入双曲线方程，可得-=1，∴e= =．故选 D．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查命题的真假判断与应用，考查命题的否定与逆否命题，考查充分必要条件的判定方法，是中档题．直接写出全程命题的否定判断 A ；由向量垂直的坐标运算结合充分必要条件的判定方法判断B；写出原命题的逆否命题判断 C；由复合命题的真假判断判断 D．【解答】题“ n∈N，n 2＞2n”的否定是“∈ ，”，故为假命题；p10N向量，由 m×1-1 ×n=0?则m=n 是m=n，的充分且必要条件，故 p2是真命题；“在△ABC 中，若 A ＞B，则“ sinA＞ sinB ”的逆否命题是“在△ABC 中，若sinA ≤ sinB，则“ A≤ B，”故p3是真命题；若“p∧q”是假命题，则 p、q 中至少一个是假命题，故p4是假命题．∴其中为真命题的是 p2，p3．故选 B．9.【答案】C 【解析】椭圆的左焦点为F（-解：∵，0），右焦点F2（，0），直线l：y=kx （k≠0）与椭圆 C 交于 A ，B 两点，连结 BF2，则 AF=BF 2，AB=2OB ，由一的定义可知：BF+BF2=2a=4，OB∈（1，2）则△AFB 周长的取值范围是（6，8）．故选：C．画出图形，利用椭圆的定义，转化求解△AFB 周长的取值范围，本题考查椭圆的定义，以及椭圆的简单性质的应用，考查数形结合以及转化思想的应用．10.【答案】A【解析】【分析】本题考查随机模拟法求圆周率的问题，考查几何概率的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．500 对都小于 l 的正实数对（x，y）满足，面积为1，两个数能与1构成锐角三角形三边的数对满22＞1且积为1- ，由此能估计π的值．（x，y），足 x+y，x+y＞1，面【解答】题对都小于 l 的正实数对满积为1，解：由意，500（x，y）足，面两个数能与 1 构成锐角三角形三边的数对满22＞1且，（x，y），足 x+y积为1-，x+y＞ 1，面因为统计两数能与 l 构成锐角三角形三边的数对（x ，y）的个数 m=113，所以=1-，所以π=．故选 A．【答案】 D11.【解析】解：a=sinx+cosx=，∵0＜a＜1，∴0＜＜1，即 0＜sin（x+ ）＜，∴2k π或，k∈Z．即或，k∈Z．∵x∈[0，2π），∴x∈，故选：D．由已知利用辅助角公式化积，结合 0＜a＜ 1 转化为三角不等式求解．本题考查三角函数的化简求值，考查三角不等式的解法，是中档题．12.【答案】A【解析】【分析】构造函数 g（x ）=（x-1）f（x），求函数的导数，判断函数的单调性，结合不等式的关系进行判断即可．本题主要考查函数单调性的应用，根据条件构造函数，判断函数的单调性以及利用不等式的性质进行转化是解决本题的关键．【解答】解：由题意设 g（x）=（x-1）f（x），则g′（x）=f（x）+（x-1）f′（x），∵f（x ）+（x-1）f'（x）＞0，∴g（x ）在（-∞，+∞）上为增函数，当 x=1 时，g（1）=0，即当 x＞1 时，g（x）＞g（1）=0，即（x-1 ）f（x）＞0，得f （x）＞0，当 x＜1 时，g（x）＜g（1）=0，即（x-1 ）f（x）< 0，得 f（x）＞0，∵f（x ）+（x-1）f'（x）＞0∴f（1）+（1-1）f'（1）＞0，即 f（1）＞0，综上 f （x）＞0 恒成立，故选 A．13.【答案】21【解析】【分析】本题考查系统抽样,根据系统抽样的定义先求出样本间隔，然后进行计算即可．【解答】解 : 样本抽取间隔为 36÷4=9，则样本中还有一个编号是 12+9=21，故答案为 21.14.【答案】【解析】执图所示的程序框图，如下；解：行如n=1，s=2，满足循环条件 n≤ 2018；计算 s=满环条件 n≤2018；=-3，n=2，足循计算 s==-满环条件 n≤2018；，n=3，足循计算 s==，n=4，满足循环条件 n≤2018；计算 s==2，n=5，满足循环条件 n≤2018；；计算 s 的值是以 4 为周期的数值，n=2018=4×504+2 时，计算 s=-，n=2019，不满足循环条件n≤2018，终止循环，输出的 S值为-．故答案为：-．模拟程序的运行过程知：该程序是利用循环计算变量 s 的值，并输出满足条件的 s 值，找出规律，不难得到输出结果．本题主要考查了循环结构应用问题，根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是基础题．15.【答案】【解析】解：如图，OA=，PA=1，则PO=，设OD=x，（0≤x＜则=，）， PD=BC=2=，∴截面三角形 PBC 的面积 S===．∴当，即x=时，S 有最大值为．故答案为：．由题意画出图形，设圆锥底面圆的圆心到截面底边距离为 x，然后把截面面积用含有 x 的代数式表示，再由二次函数求最值．本题考查圆锥截面面积最值的求法，考查数学转化思想方法，训练了利用二次函数求最值，是中档题．16.【答案】264【解析】解：∵a3n=2n-2a n，a3n+1 =a n+1，a3n+2=a n-n，a1=1，a2=2，∴a3=2-2a1=2-2=0，a4=a1+1=2，a5=a2-2=0，∴a6=a3×2=2×2-2a2=4-2 ×2=0，∴a20=a3×6+2=a6-6=-6∴a60=2×20-2a20=40+12=52∴a3+a4+a5=2∴a3n+a3n+1+a3n+2=n+1，∴S60=a1+a2+（a3+a4+a5）+（a6+a7+a8）+ +（a57+a58+a59）+a60=1+2+ +52=264，故答案为：264．根据题意可得 a3+a4+a5=2，a60=52，a3n+a3n+1+a3n+2=n+1，则 S60=a1+a2+（a3+a4+a5）+（a6+a7+a8）+ +（a57+a58+a59）+a60=264．本题考查了数列的递推公式和数列的求和公式，考查了转化能力和运算能力，属于中档题．17.【答案】解：（ 1）在△ADC 中， AD=1， AC=2 ，所以?=||?||?cos∠DAC =1×2×cos∠DAC =3，所以 cos∠DAC =．由余弦定理得CD222-2AC AD cos DAC=12+1-2 ×2×1× =7，?∠所以 CD=．（2）在△ABC 中，由正弦定理得=，所以 AB+BC=4 （ sinA+sinC），=，由于，所以，AB +BC则 AB+BC+AC，所以△ABC 周长的取值范围为.【解析】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，向量数量积的应用，正弦定理和余弦定理的应用．（1）直接利用向量的数量积的应用和余弦定理求出结果．（2）利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出结果．18.【答案】解：（1）根据题意，计算平均数的估计值为=（ 27.5 ×0.01+32.5 0×.04+37.5 0×.07+42.50×.06+47.5 0×.02）× 5=38.5 ≈39；中位数的估计值为：因为 5×0.01+5 ×0.04=0.25 ＜ 0.5，5×0.06+5 ×0.02=0.4 ＜ 0.5，所以中位数位于区间[35， 40）年龄段中，设中位数为x，所以 0.24+0.07 ×（x-35） =0.5， x≈39；（ 2）用分层抽样的方法，抽取的20 人，应有 6 人位于 [40， 45）年龄段内，14人位于 [40 ，45）年龄段外；依题意， X 的可能值为 0，1， 2；P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==；所以 X 的分布列为：X012P（ X）数学期望为EX=0×+1×+2×= ．【解析】（1）利用频率分布直方图计算平均数和中位数的估计值即可；（2）用分层抽样法结合题意知随机变量 X 的可能值，本题考查了利用频率分布直方图求平均数与中位数的应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题．19.【答案】（1）证明：∵AA1=A1C，且O为AC的中点，∴A1O⊥AC，又∵平面 AA1C1C⊥平面 ABC，且交线为AC，又 A1O? 平面 AA1C1C，∴A1O⊥平面 ABC；（ 2）解：如图，以O 为原点， OB，OC， OA1为 x， y， z 轴，建立空间直角坐标系．由已知可得O（0，0，0）A（0，-1，0），，平面 A1BC1的法向量为，则有，所以的一组解为，设直线 AB 与平面 A1BC1所成角为α，则 sin α=又∵== =，所以直线AB 与平面 A1BC1所成角的正弦值：．【解析】（1）证明 A 1O⊥AC，通过平面 AA 1C1C⊥平面 ABC ，推出 A 1O⊥平面 ABC ．（2）如图，以O 为原点，OB，OC，OA 1为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系．求标为设线A 1BC1所成角为α，利用空间向量的数量积求解即可．本题考查直线与平面所成角的求法，平面与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．1）解：∵，点M 6 4N920.【答案】（的坐标为（，），可得点的坐标为（，6），C 的方程为 y2=4x．∴36=18p，∴p=2，所以抛物线（ 2）证明：由条件可知，直线l1，l 2的斜率存在且均不能为0，也不能为1、 -1设 l1：y=k（ x-6） +4，则 l 2的方程为 y= （ x-6） +4，将 l1方程与抛物线方程联立得ky2 -4y+16-24k=0，设 A（x1， y1）， B（ x2， y2），则 y1+y2= ，又 y1+y2=k（ x1+x2 -12） +8 ，∴x1+x2=，∴点 G 的坐标为（），用代替 k，得到点 H 坐标为（2k2-4k+6， 2k），∴k GH=，GH y-2k=[x-（2k2） ]．∴ 方程为：-4k+6整理得（ k+） y=x-4．令 y=0 ，则 x=4，所以直线 GH 过定点（ 4，0）．【解析】熟练掌握向量的运算法则、抛物线的标准方程、直线与抛物线相交问题、根与系数的关系、斜率计算公式、点斜式、中点坐标公式是解题的关键．（1）利用向量线段即可得到点 N 的坐标，代入抛物线 C 的方程即可得到 p 的值，从而得到抛物线 C 的方程；（2）设直线 l1，l2，的方程，与抛物线 C 的方程联立，利用根与系数的关系即可得到中点 G，H 的坐标，从而得到直线 GH 的方程，令 y=0，只要x 是一个常数即可．21.时， f（ x） =， f′（ x） =，【答案】解：（ 1）当 a=1令 g（ x）=1-ln x-x2，可得 g′（ x） =＜0，x∈（0，+∞），在（ 1， +∞）上， g（ x）＜ 0．∴f（x）在（ 0，1）上为增函数，在（1， +∞）上为减函数，∴f（x）max=f（ 1） =0 ，即 f（ x）≤0．∴不等式 f（ x）≤0的解集为（ 0， +∞）；（ 2） f（ x）在内有两个不同的零点可转化为方程在内有两个不同的实数根，令 h（ x）=，，令φ（ x） =1- x-2ln x，φ′（ x） =1- ＜ 0， x∈[]，∴φ（ x）在 []上单调递减，且φ（ 1）=0．2∴当＜ x＜ 1 时， h′（ x）＞ 0，当 1＜x＜ e 时， h′（ x）＜ 0，∴h（ x）在（）上单调递增，在（ 1， e2）上单调递减，又 h（） =e-e2＜ 0， h（ e2） =＞ 0， h（ 1） =1，∴≤a＜1．即 f（ x）在内有两个不同的零点， a 的取值范围是 [， 1）．【解析】导2导（1）把a=1代入 f（x）求得 f ′（x）=，令g（x ）=1-lnx-x，再由数判断间为为g（x）在不同区内的符号，可得 f（x）在（0，1）上增函数，在（1，+∞）上减函数，从而求得 f （x）（），即（）≤0，可得不等式（）≤0的解集为（，max=f 1=0 f x f x0 +∞）；（2）把f（x）在内有两个不同的两点可转化为方程在内有两个不同的实数根，令 h（x）=，利用导数求其极值，即可得到满足 f （x）在内有两个不同的零点的 a 的取值范围．本题考查利用导数研究函数的单调查利用导数求函数的最值现性，考，体了数学转化思想方法，是中档题．22.（θ为参数），【答案】解：（ 1）∵曲线 C 的参数方程为∴曲线 C 的普通方程为=1．第17 页，共 19页∴直线 l 的参数方程为：（t为参数）．（ 2）直线 l：（t为参数），将直线l 代入=1 中，得 84t2+240t-125=0 ，∵＜1，∴点 P（ 1， 1）在椭圆的内部，∴直线 l 与曲线 C 的交点 A， B 位于点 P 的两侧，即点A，B 所对应的t 值异号．设点 A 的对应值为t1，点 B 的对应值为t2，则 t1 +t2=-，t1t2=-，故 ||PA|-|PB||=||t1|-|t2||=|t1+t2|=|- |= ．【解析】本题考查曲线的普通方程、直线的参数方程的求法，考查两线段的差的绝对值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题（1）曲线 C 的参数方程消去参数，能求出曲线 C 的普通方程；由直线 l 经过点 P （1，1），斜率为，能求出直线l的参数方程．（2）直线 l 的参数方程代入=1 中，得 84t 2+240t-125=0，由此能求出||PA|-|PB||．．23.【答案】（Ⅰ）解：∵不等式的解集为R，∴（）2≤（ x+2）2恒成立，整理得：223x +（ 16-4m） x+16-4 m ≥0，由题可得：△=（ 16-4m）2-4 ×3×（16-4m2）≤0，即（ m-1）2≤0，∴m=1．（Ⅱ）证明：∵a+b+c=1， a+b≥2， b+c≥2， c+a≥2，∴=1，∵（++）2=a+b+c+2+2+2，∴（++）2≤3，所以++≤（当且仅当 a=b=c=时取等号）成立．【解析】问题等价于（2≤ x+222+（16-4m））（x+16-4m 222≤0m，≥0，由△=（16-4m）-4×3×（16-4m）可得=1，可得（+ +2（Ⅱ）由）=a+b+c+2+2+2≤3既可证明，本题考查了不等式恒成立问题、不等式得证明，属于中档题．。

高三数学-2018年大连市高考模拟试题(一)数学精品

2018年大连市高考模拟试题（一）数学参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么正棱锥、圆锥的侧面积公式P （A+B ）=P （A ）+P （B ） cl S 21=锥侧如果事件A 、B 相互独立，那么其中c 表示底面周长，l 表示斜P （AB ）=P （A ）P （B ）高或母线长如果事件A 在一次试验中发生的概率是球的体积公式 334R V π=P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径k n kk n n P P C k P --=)1()(一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．与曲线21+=x y 关于y 轴对称的曲线为（）A ．x y -=21B ．21+-=x yC ．21-=x yD ．21+=x y 2．函数x y 2cos 3=的最小正周期为（）A ．2π B ．πC ．π2D ．π43．n xx 23)1(+展开式的第6项系数最大，则其常数项为（）A ．120B ．252C ．210D ．45 4．若向量=-=-==c c b a 则),4,2(),1,1(),1,1(（）A ．3+-B ．3-C ．-3D ．+-35．过原点的直线与圆03422=+-+y y x 相切，若切点在第二象限，则该直线的方程是（）A ．x y 3=B ．x y 33=C ．x y 33-=D ．x y 3-= 6．长方体一个顶点上三条棱的长分别是6、8、10，且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是（）A ．π250B ．π500C ．π100D ．π2007．设项数为8的等比数列的中间两项与04722=++x x 的两根相等，则数列的各项相乘的积为（）A ．64B ．8C ．16D ．328．设函数⎩⎨⎧<>-=)0(1)0(1)(x x x f ，则)(2)()()(b a b a f b a b a ≠-⋅-++的值为（） A ．aB ．bC ．a 、b 中较小的数D ．a 、b 中较大的数9．如图，在正方体A 1B 1C 1D 1—ABCD 中，M 、N 分别为棱 A 1A 和B 1B 中点，则异面直线CM 与D 1N 所成角的正弦值为（） A ．91B ．594C ．592 D ．3210．x f x f x x f 则若),5.3()(|,log |)(3>=的取值范围是（）A ．)27,1()72,0(B ．),27(+∞C ．),27()72,0(+∞D ．)27,72(11．G 为△ABC 内一点，且满足=++,则G 为△ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．垂心D ．重心12．已知)(x f 是R 上的偶函数，)(x g 是R 上的奇函数，且)1()(-=x f x g ，若2)2(=f ，则)2004(f 的值为（）A ．2B ．0C ．－2D ．±2二、填空题：本大题4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中横线上.13．某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况，现用分层抽样的方法从他们中抽取36人进行体检，老、中、青依次应抽取、、人.14．双曲线116922=-y x 的两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上，若021=⋅PF PF ，则点P到y 轴的距离为 .15．把正n 棱柱的顶点相连接的直线（不包括棱柱的边）共有条.16．设数列}{n a 的通项公式为 <<<<<<∈+=+*13212}{)(n n n n a a a a a a N n n n a 满足且λ，则实数λ的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知θπθθθθθtan ),2,0(,2)tan 1(cos )cot 1(sin 22求∈=+++的值.18．（本小题满分12分）甲、乙两人进行五次比赛，如果甲或乙无论谁胜了三次，比赛宣告结束. 假定甲获胜的概率是32，乙获胜的概率是31，试求下列概率.（1）比赛以甲3胜1败而结束的概率；（2）比赛以乙3胜2败而结束的概率；（3）设甲先胜3次的概率为a ，乙先胜3次的概率为b ，求a :b 的值.19．（本小题满分12分）如图，在底面是直角梯形的四棱锥P —ABCD 中，AD//BC ，∠ABC=90°，且55arcsin=∠ADC ，又PA ⊥平面ABCD ，AD=3AB=3PA=3a . （1）求二面角P —CD —A 的正切值. （2）求点A 到平面PBC 的距离.20．（本小题满分12分）已知13)(223-=+++=x a bx ax x x f 在时有极值0. （1）求常数a 、b 的值；（2）求)(x f 的单调区间.21．（本小题满分12分）设数列),2,1(,2)1(),1(}{11 =-+=<=+n a n n n a t t a a nn n 满足（1）用数学归纳法证明),2,1()1(])2()1[( =-----=n tn n t n n n a n ；（2）求!lim 121n a a a n n +∞→ .22．（本小题满分14分）如图，在直角坐标系中，点A （－1，0），B （1，0），P （x ，y ）（y ≠0）. 设、、与x 轴正方向的夹角分别为α、β、γ，若πγβα=++，（1）求点P 的轨迹G 的方程；（2）设过点C （0，－1）的直线l 与轨迹G 交于不同两点M 、N. 问在x 轴上是否存在一点)0,(0x E ，使△MNE 为正三方形. 若存在求出0x 值；若不存在说明理由.2018年大连市高考模拟试题（一）数学参考答案一、选择题1.A 2.B 3.C 4.B 5.D 6.D 7.C 8.C 9.B 10.C 11.D 12.C 二、填空题13．6、12、18 14．145315．)2(2-n n 16．3->λ 三、解答题17．解法一：由θθθθθθsin cos cot ,cos sin tan ==…………2分由原式得：2sin cos cos cos sin sin 22=⋅++⋅+θθθθθθ2cos cos sin 2sin 22=++∴θθθθ. 2c o s s i n21=+∴θθ .12sin =∴θ ……6分)4,0(2),2,0(πθπθ∈∴∈ …………8分 .25222πθπθ==∴或 .1tan 454=∴==∴θπθπθ或……………………12分解法二：由已知,2tan cos cos cot sin sin2222=+++θθθθθθθθθθθθ2222sin cos tan cos cot sin +=+∴.两边同乘θ2cos 11tan ,01tan 2tan 2=∴=+-∴θθθ （注）其它解法相应给分.18．解：（1）以甲3胜1败而结束比赛，甲只能在1、2、3次中失败1次，因此所求概率为：278)31()32(33=⋅=P …………4分（2）乙3胜2败的场合24C ，因而所求概率为818)32()31(623=⋅⋅=P …………8分（3）甲先胜3次的情况有3种，3胜无败，3胜1败，3胜2败，其概率分别为278、278、8116，于是81648116278278=++=a ………10分乙获胜概率b 6417:,811781641=∴=-=b a …………12分 19．解：（1）在底面ABCD 内，过A 作AE ⊥CD 垂足为E ，连结PE ，∵PA ⊥平面ABCD ，由三垂线定理知，PE ⊥CD ∴∠PEA 是二面角P —CD —A 的平面角.……2分在a ADE AD AE ADE a AD AED Rt 553sin ,55arcsin,3,=∠⋅=∴=∠=∆中…4分在∴==∠∆,35tan ,AE PA PEA PAE Rt 中二面角P —CD —A 的正切值为35……6分（2）在平面APB 中，过A 作AH ⊥PB 垂足为H.∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥BC ，又AB ⊥BC ，∴BC ⊥平面PAB ，∴平面PBC ⊥平面 PAB ，∴AH ⊥平面PBC.故AH 的长即为点A 到平面PBC 的距离.…………10分在等腰直角三角形PAB 中，aAH 22=，所以点A 到平面PBC 的距离为a 22…12分 20．解：（1）b ax x x f ++='63)(2，由题知⎩⎨⎧=+-+-=+-⇒⎩⎨⎧=-=-'0310630)1(0)1(2a b a b a f f 联立①、②有⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==9231b a b a 或………………4分当0)1(3963)(,3,122≥+=++='==x x x x f b a 时，这说明此时)(x f 为增函数，无极值，舍去…………6分当0)().1)(3(39123)(,9,22='++=++='==x f x x x x x f b a 故方程时有根x =－3或x =－1①②由表可见，当1-=x 时，)(x f 有极小值0，故⎩⎨⎧==92b a 符合题意.…………9分（2）由上表可知，)(x f 的减函数区间为（－3，－1）；)(x f 的增函数区间为)3,(--∞ 或),1(+∞-…………………………12分21．解：（1）①当n=1时，t a =1，命题成立.②假定a =k 时命题成立，即tk k t k k k a k )1(])2()1[(-----= 那么tk k t k k k k k k a k k k a k k )1(])2()1[(2)1(2)1(1------+=-+=+ kt k t k k k tk k t k k k -+--+=------+=)1(])1()[1()1()2()1(21 因此，当1+=k n 时，命题也成立.综合①②对任何自然数n 命题都成立.………………6分（2）nt n t n n n a t n n t n n n a t t a t a t a n n -+--+=-----=--=-==+)1(])1()[1(,)1(])2()1[(,,23)2(3,22,1321 nt n t n n a a a n -++⋅⋅=∴+)1()1(321121 …………10分 .)1()1(!121nt n t n n a a a n -++=∴+ t t t nt n n a a a n n -=-++=∴+∞→1)11()11(!lim 121 …………………………12分 22．解（1）由已知γβαπγβαtan )tan(,,1,0-=+∴=++≠> 时当x xγβαγβαtan tan tan tan tan tan =++∴……………………2分1111-⋅⋅+=-+++∴x y x y x y x y x y x y )0(,1322≠=-∴y y x ①…………5分当x =1时，)2,1(±P ，也满足方程①∴所求轨迹G 方程为)0,0(1322>≠=-x y y x ………………6分（2）假设存在点)0,(0x E ，使△MNE 为正△，设直线l 方程：1-=kx y 代入 )0,0(1322≠>=-y x y x 得022)3(22=-+-kx x k63,0320320)3(842222<<∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-->-->-+=∆k k kk k k …………9分 22122122214)(1||),33,3(k x x x x k MN kk k F MN +=-++=----∴中点 .38)3(42222k k k -+- )0,34().3(133:222kk E k k x k k y l EF ------=--- 22222)3(9)3(9||k k k EF -+-=∴ 在正|:|||23,EF MN EMN =∆中 .13338)3(41232222222k k k k k k +-=-+-+∴ .12)3](38)3(4[222222=--+-∴k kk k ………………12分 6332<<=∴k k 与矛盾.∴不存在这样的点)0,(0x E 使△MNE 为正△.………………14分。

高三数学-2018年大连市高考模拟试题(二)-数学精品

2018年大连市高考模拟试题（二）数学试卷参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么正棱锥、圆锥的侧面积公式P(A+B)=P(A)+P(B) cl S 21=锥侧如果事件A 、B 相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B) 其中c 表示底面周长，l 表示斜高或母线长如果事件A 在一次试验中发生的概率是球的体积公式 P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 334R V π=球次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()( 其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．函数||x x y =的图象大致是（）2．对于不同的两直线a 、b 和不重合平面α、β，a //b 的一个充分条件是（）A ．αα//,//b aB ．βαβα//,//,//b aC ．βαβα//,,⊥⊥b aD ．βαβα//,,b a ⊥⊥3．设等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若58215a a a -=+，则S 9等于（）A ．18B ．36C ．45D ．604．点P 是曲线x y ln =上任意一点，则点P 到直线x y 2=的最短距离为（）A ．52 B ．552 C ．52 D ．510 5．若△ABC 的内角A 满足0sin tan ,0cos sin <->+A A A A 且，则角A 的取值范围是（）A ．)4,0(πB ．)2,4(ππ C ．)43,2(ππ D ．)43,4(ππ 6．在6)2(-x 的展开式中，2x 的系数是（）A ．230-B ．240-C ．30D ．607．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，用ξ表示取到的次品个数，则ξE 等于（）A ．53 B ．158 C ．1514 D ．18．若点D 在三角形ABC 的BC 边上，且s r s r ++==3,4则的值为（）A ．516B ．512 C ．58 D ．54 9．定义在实数集R 上的函数)(x f y =具有下列两条性质：（）①对于任意∈x R ，都有33)]([)(x f x f =；②对于任意∈21,x x R ，都有)()(21x f x f ≠，则)1()0()1(f f f ++-的值为（）A ．1B ．2C ．－1D ．010．点P 是椭圆1162522=+y x 上一点，F 1、F 2是该椭圆的两个焦点，三角形PF 1F 2的内切圆半径为23，则当点P 在第一象限时，点P 的纵坐标为（）A ．2B ．4C ．62D ．255 11．一个各面均涂有油漆的正方体锯成1000个同样大小的小正方体，若将这些小正方体搅拌在一起，则任取一个小正方体，恰好是一个只有两个面是涂漆的概率是（）A ．12512B ．253 C ．101 D ．12112．若∈=n n n f (6sin)(πN*），则)2002()3()2()1(f f f f ++++ 的值等于（） A ．21 B ．23 C ．231+ D ．2323+ 二、填空题：本大题4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13．已知A 、B 是平面α外两点，在平面α内与A 、B 两点距离相等的点的集合可能是：①一条直线；②一个平面；③空集.其中正确的命题有 .（把正确命题的序号都填上） 14．ABCD 是平行四边形，已知A （－1，3），C （－3，2），点D 在直线013:=+-y x l 上移动，则点B 的轨迹方程为 .15．已知xy y x y x 则,lg lg )(lg )(lg 2222+=+的取值范围为 . 16．如右图，它满足：（1）第n 行首尾两数均为2n －1，（2）表中的递推关系类似杨辉三角，则第n 行（n ≥2）第2个数是 . 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知函数1232sin 3sin 21)(2++-=x x x f （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期和最大值；（Ⅱ）该函数图象能否由x y sin =的图象按某个向量a 平移得到.若能，求出满足条件的向量；若不能，说明理由.18．（本小题满分12分）如图，在棱长为2a的正方体A1B1C1D1—ABCD中，E为侧棱C1C的中点.（Ⅰ）求二面角D—B1E—B的大小；（Ⅱ）试判断AC与平面DB1E的位置关系，并说明理由.19．（本小题满分12分）有某射击手，每五发子弹平均有三发可以射中，（Ⅰ）试求射击n发子弹时每发都射不中的概率；（Ⅱ）设这个射击手至少有1发射中的概率大于0.999，试问此时他必须射击多少次？（参考数据lg2=0.3010）20．（本小题满分12分）已知数列),0(,1,}{21>==r r a a a n 中且数列}{1+⋅n n a a 是公比为q （q>0且q ≠1）的等比数列，又设).,3,2,1(212 =-=-n a a b n n n（Ⅰ）求数列的通项b n 及其前n 项和S n ；（Ⅱ）假设对任意n>1都有S n >b n ，求r 的取值范围.21．（本小题满分12分）设函数)(x f y =是定义在实数集R 上的一个不恒等于0的连续函数，且满足：对于任意不相等的两个实数x 、y ，都有)]()()[()()(y f x f yx yx f y f x f --+=+恒成立. （Ⅰ）求f(0)和f(1)的值；（Ⅱ）判断)(x f y =的奇偶性，并加以证明.22．（本小题满分14分）如图，已知椭圆).0(235:222>=+m m y x C 经过椭圆C 的右焦点F 且以i =（1，1）为方向向量的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，M 为线段AB 的中点，设O 为椭圆的中心，射线OM 交椭圆C 于N 点.（Ⅰ）证明：;ON OB OA =+ （Ⅱ）求⋅的值.数学试卷参考答案一、选择题1.A2.C3.C4.B5.C6.D7.A8.C9.D 10.B 11.A 12.A 二、填空题13．①②③ 14．x －3y+18=0 15．[1，118] 16．n 2－2n+3 三、解答题17．解（Ⅰ）1cos 23sin 211232cos 13sin 21)(++=++--=x x x x x f1)3sin(++=πx …………3分 ∴π2=T当∈+=+=+k k x k x ,62,223时即πππππZ 2)(m a x =x f …………6分（Ⅱ）设该函数图象能由y=sin x 的图象按向量),(n m a =平移得到则有,1,313=-=∴⎪⎩⎪⎨⎧-'=+'=n m y y x x ππ…………9分又由π2=T 知：∈-=k k (),1,32(ππZ ）为满足要求的所有向量.…………12分）18．解（Ⅰ）在平面BCC 1B 1中，延长B 1E 交BC 于M ，作CT 垂直B 1M 于T ，连结DT ， ∵DC ⊥平面BCC 1B 1，∴DT ⊥B 1M∴∠DTC 就是二面角D —B 1E —B 的平面角……3分∵△CTE ∽△B 1C 1E ， ∴,111EB C B CECT =又B 1C 1=2a ，CE=a ，B 1E=a 5，∴CT=52111a EB CEC B =⋅∵CT ⊂平面BCC 1B 1， ∴DC ⊥CT …………6分在Rt △DCT 中，tan ∠DTC=5=CTDC∴二面角D —B 1E —B 的大小为5arctan …………8分（Ⅱ）∵E 为CC 1的中点， ∴△CME ≌△C 1B 1E ∴CM=B 1C 1=AD …………10分又CM//AD ， ∴ACMD 为平行四边形∴AC//DM ，且DM ⊂平面DB 1E ，而AC ⊄平面DB 1E ， ∴AC//平面DB 1E ……12分 19．解：（Ⅰ）射中的概率为53，从而射不中的概率为,52…………2分因此，n 发都射不中的概率为.)52(n………………4分（Ⅱ）设该射手必须射击n 次，由于射击n 发每发射不中的概率是,)52(n从而n 发中至少有1发射中的概率是1－n)52(.…………6分由题知：1－n)52(>0.999， ∴n)52(<0.001.…………8分两边取以10为底数的对数， ∴.5.73980.03,3)12lg 2(≈>∴-<-n n ……10分由于n 为正整数，因此n ≥8.答：这个射手必须射击8发以上（含8发）.…………12分20．解（Ⅰ）∵}{1+⋅n n a a 是公比为q 的等比数列， ∴q a a a a a a nn n n n n ==⋅⋅++++2121∴}{12-n a 、{}n a 2分别是首项为1与r ，公比均为q 的等比数列 ……3分 ∴12112,---==n n n n rq a q a ∴),3,2,1()1(1212 =-=-=--n q r a a b n n n n ……6分 ∵1≠q ， ∴qq r qq r S nn n ---=+++-=-11)1()1)(1(1……7分（Ⅱ）qq r q q q r b S n n n n n ---=----=---11)1()11)(1(11…………8分对任意n>1，当011,01,01,10,10111>--∴>->-∴<<<<---q q q q q q n n n 时当011,01,01,1>--∴<-<->q q q q q n n 时…………10分故当n>1时，均有,0111>---q q n ∴当0<r<1时，∵1－r>0，则S n －b n >0,因此，对任意n>1，使S n >b n 的取值范围是0<r<1.…………12分21．（Ⅰ）在所给表达式中，取y=0，x ≠0得)0)](0()()[1()0()(≠-=+x f x f f f x f ……（*）…………2分由于)(x f 是连续函数，∴),0()(lim 0f x f x =→所以在上式中令0→x 得 )]0()0()[1()0()0(f f f f f -=+…………4分从而f(0)=0 …………5分又由于)(x f 不恒等于0，所以存在∈0x R ，使0)(0≠x f 所以对于（*）式可为 0)0()]0()()[1()0()(00=-=+f f x f f f x f 且……6分 ∴1)1(0)(),()1()(000=∴≠=f x f x f f x f 而…………8分（Ⅱ）在所给表达式中，取y=－x 得0)]()()[0()]()()[()()(=--=--+-=-+x f x f f x f x f xx x x f x f x f ……10分即)()()()(x f x f x f x f -=-⇒--= ∴)(x f 是一个奇函数…………12分22．（Ⅰ）∵,23,252222m b m a == ∴)0,(,2222m F m b a c ∴=-= ∵直线l 过焦点F 且与向量i =（1，1）平行，∴直线l 的方程为y=x －m …………2分将其代入椭圆C 的方程，并整理得02510822=--m mx x ① 设),,(),(),,(),,(N N M M B B A A y x N y x M y x B y x A∵M 是线段AB 的中点，在方程①中由韦达定理得： ,83,852m m x y m x x x M M B A M -=-==+=又 ∴)83,85(m m M -……4分设N ′为OM 延长线上的点，且M 为ON ′的中点，则N ′)43,45(m m -，且四边形OAN ′B 为平行四边形，将N ′的坐标代入椭圆C 方程的左端并化简得： .21)43(31)45(51222m m m =-⋅+⋅ 故N ′点在椭圆C 上，∴N ′与N 点重合.∴四边形OANB 为平行四边形…………8分 ∴=+…………9分（Ⅱ）B A B A y y x x OB OA +=⋅……10分在方程①中由韦达定理得2165m x x B A -= ∴2)())((m x x m x x m x m x y y B A B A B A B A ++-=--= 222216945165m m m m -=+--=…………12分 ∴22287169165m m m -=--=⋅…………14分。

辽宁省大连市2018届高考第一次模拟数学试题(理)含答案

2
G 2, 0 ，连接 AG ， BG 并延长，分别和抛物线 C 交于点 A′ 和 B′ ，则直线 A 过定点． ′B′
16.已知腰长为 2 的等腰直角 ABC 中， M 为斜边 AB 的中点，点 P 为该平面内一动点，若
PC 2 ，则 PA PB 4 PC PM 的最小值为．
5 b 0 的图象交于 3
A x1 , y1 ， B x2 , y2 ， C x3 , y3 x1 x2 x3 三点时，曲线 E 在点 A 、 C 点处的切线总
是平行的，则过点 b, a 可作曲线 E 的（ A．0 B．1 C.2 ）条切线. D．3 第Ⅱ卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
辽宁省大连市 2018 届高三第一次模拟数学理试题第Ⅰ卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合 A x | x 1 ， B x | x x 3 0 ，则 A B （ A． 1, 0 2.若复数 z A．1 B． 0,1 C． 1,3 ） D． 1,3

）
1 i 为纯虚数，则实数 a 的值为（ 1 ai 1 B．0 C． D．-1 2
3.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外” ，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如 3266 用算筹表示就是算筹可表示为（），则 8771 用

2018届高三数学第一次模拟考试试题理word版本

辽宁省大连市2018届高三数学第一次模拟考试试题理第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={x|x<1}，B={x|x(x-3)<0}，则A B=（A．(-1,0)B．(0,1)C．(-1,3)D．(1,3)）2.若复数z=1+i1+ai为纯虚数，则实数a的值为（）1A．1B．0C．-D．-123.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹可表示为（）A．B．C．D．4.如图所示程序框图是为了求出满足2n-n2>28的最小正偶数n，那么输出的n值分别是（）空白框中及最后A．43B．10c o a s bA．n=n+1和6B．n=n+2和6 C.n=n+1和8D．n=n+2和85.函数f(x )=1+x2+tan xx的部分图象大致为（）A．B．C.D．6.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：cm3）是（）83 C.23D．3337.6本不同的书在书架上摆成一排，要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（）种.A．24B．36 C.48D．608.∆ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若2b cos B=C cos c+A，=2，则∆ABC 面积的最大值是（）A．1B．3 C.2D．49.已知边长为2的等边三角形ABC，D为BC的中点，以AD为折痕进行翻折，使∠BDC为10. 将函数 f (x ) = sin 2 x + ⎪ 的图象向右平移 a (a > 0)个单位得到函数g (x ) = cos 2 x + ⎪ 的图象，则 a 的值可以为（A ． 5πA ． 53 13.设实数 x ， y 满足约束条件 ⎨4 x - y ≥ 0 ，则 z = x + 2 y +5 的最大值为．⎪ x + y ≤ 5 和 ′，直角，则过 A ，B ，C ，D 四点的球的表面积为（）A ． 3πB ． 4πC. 5π D ． 6π⎛ ⎝π ⎫ 3 ⎭⎛π ⎫ ⎝ 4 ⎭）7π 19π 41π B ．C.D ．1212 24 2411. 已知双曲线 C : x 2 y 2 -m 2 m 2 - 1= 1的左、右焦点分别为 F 、 F ，若 C 上存在一点 P 满足 1 2PF ⊥ PF ，且 ∆PF F 的面积为 3，则该双曲线的离心率为（）1 2 1 27B ．C.2 D ．32212.若直线 kx - y - k + 1 = 0 (k ∈ R ) 和曲线 E : y = ax 3 + bx 2 +5(b ≠ 0) 的图象交于 A (x , y )，1 1B (x , y ) ，C (x , y2233)(x 1< x < x )三点时，曲线 E 在点 A 、 C 点处的切线总是平行的，则过2 3点 (b , a )可作曲线 E 的（）条切线. A ．0 B ．1 C.2D ．3第Ⅱ卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）⎧ y ≥ 0 ⎪⎩14.已知半径为 R 的圆周上有一定点 A ，在圆周上等可能地任意取一点与点 A 连接，则所得弦长介于 R 与 3R 之间的概率为．15.已知抛物线 C : y 2 = 2 x ，过点 (1,0 ) 任作一条直线和抛物线 C 交于 A 、B 两点，设点 G (2,0 )，连接 AG ， BG 并延长，分别和抛物线 C 交于点 A ′ B ′ 则直线 A ′B 过定点．16.已知腰长为 2 的等腰直角 ∆ABC 中， M 为斜边 AB 的中点，点 P 为该平面内一动点，若PC = 2 ，则 (P A • PB + 4)(PC • PM )的最小值为．b b ( )∑ (x - x )2 ∑ (w - w )2 ∑ x y∑ w y8( ) ( )三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设数列{a n}的前 n 项和为 Sn ，且 S =n 2-n + 1 ，在正项等比数列{bn n}中， 2 = a ， = a .2 4 5 Ⅰ 求 {a }和 {b }的通项公式；n n(Ⅱ)设 c n= a b ，求数列{c }的前 n 项和.n n n18. 大连市某企业为确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量 y （单位： t ）和年利润 z （单位：千元）的影响，对近 8 年的年宣传费 x 和年销售量iy (i = 1,2, …,8 ) 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.ixyw8 i =1i8 i =1i8i =1i i8 i =1i i46.6573 6.8289.8 1.6 215083.4 31280表中 w = x ， w = i 1 ∑ 8i =1w .i Ⅰ 根据散点图判断， y = a + bx 与 y = c + d x 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）(Ⅱ)根据 Ⅰ 的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；(Ⅲ) 已知这种产品的年利润 z 与 x 、 y 的关系为 z = 0.2 y - x .根据 (Ⅱ)的结果回答下列问题：(i )年宣传费 x = 64 时，年销售量及年利润的预报值是多少？(ii )年宣传费 x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据 (u , v ), (u , v ),……, (u , v 1122nn二乘估计分别为：) ，其回归直线 v = α + β u 的斜率和截距的最小β=∑(u-u)(v-v)i i，α=v-βu.∑(u-u)2()=1(a>b>0)的离心率为，点M(1,)在椭()()∧ni=1ni∧∧i=119.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，P A⊥平面ABCD，E,F分别是线段AD，PB的中点，P A=AB=1.Ⅰ求证：EF//平面DCP；(Ⅱ)求平面EFC与平面PDC所成锐二面角的余弦值.20.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:x2y213+a2b222圆C上.Ⅰ求椭圆C的方程；(Ⅱ)已知P(-2,0)与Q(2,0)为平面内的两个定点，过点(1,0)的直线l与椭圆C交于A,B两点，求四边形APBQ面积的最大值.21.已知函数f(x)=x2-4x+5-a(a∈R).e xⅠ若f(x)在(-∞,+∞)上是单调递增函数，求a的取值范围；(Ⅱ)设g(x)=e x f(x)，当m≥1时，若g(x)+g(x)=2g(m)，且x121≠x，求证：2x+x<2m.12请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C : ρ = 4cos θ 0 ≤ θ < ⎪ ， C 2 : ρ cos θ= 3 . 2 ⎭ ⎝ ( ) 3 ( )⎛ π ⎫ 1Ⅰ求 C 与 C 12 交点的极坐标；(Ⅱ)设点 Q 在 C 上， OQ = 2QP ，求动点 P 的极坐标方程.123.选修 4-5：不等式选讲已知函数 f (x ) = 2x + 2x + 3 + m ， m ∈ R .Ⅰ 当 m = -2 时，求不等式 f (x ) ≤ 3 的解集；(Ⅱ) ∀x ∈ (-∞,0 ) ，都有 f (x ) ≥ x + 2 恒成立，求 m 的取值范围.x试卷答案() ⎪⎩2 (n -1) (n ≥ 2)∴ a = ⎨(Ⅱ)由 (Ⅰ)得： c ⎧⎪ 1 (n = 1) ⎧⎪⎪⎩2 (n - 1)⋅ 2n -1 (n ≥ 2 ) = ⎨⎪⎩(n - 1)⋅ 2n (n ≥ 2 )一、选择题1-5: CDADB6-10: BABCC 11、12： BC二、填空题 13.14 14.115. (4,0 )16. 48 - 32 23三、解答题17.解： Ⅰ Q S = n 2 - n + 1 ， n∴当 n = 1 时， a = 1 ， 1a = S - Sn nn -1= 2 (n -1)， (n ≥ 2)，n⎧⎪ 1 (n = 1).又 Q 数列 {b n}为等比数列， b 2= a = 2 ， b = a = 82 4 5∴ b4 = q 2 = 4 ，b2又 Q b > 0n∴ q = 2 ，∴ b = 2n -1 .n1 (n = 1)=⎨ n设数列 {c n}的前 n 项和为 Tn当 n ≥ 2 时，T = 1 + (2 -1)⋅ 22 + (3 -1)⋅ 23 + L + (n -1)⋅ 2n n= 1 +1⋅ 22 + 2 ⋅ 23 + L + (n -1)⋅ 2n ，2T = 1⋅ 2 + 1⋅ 23 + 2 ⋅ 24 + L + (n - 2)⋅ 2n + (n - 1)⋅ 2n +1 n∴ -T = 3 + 23 + 24 + L + 2n - (n -1)⋅ 2n +1n=3+23(1-2n-2)()∑(y-y)(w-w)∑(w y-wy-yw+wy)∑w y-∑wy∑w y-8wy∑(w-w)∑(w-w)∑(w-w)∑(w-w)22221-2-(n-1)⋅2n+1=3+8(2n-2-1)-(n-1)⋅2n+1=2n+1-(n-1)⋅2n+1-5=(2-n)⋅2n+1-5∴T=5+(n-2)⋅2n+1(n≥2).n当n=1时，T=c=1，11又当n=1时，T=5+(n-2)⋅2n+1=1，n综上，T=5+(n-2)⋅2n+1(n≥1).n18.解：Ⅰ由散点图可以判断y=c+d x适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.(Ⅱ)令w=x，先建立y关于w的线性回归方程d=888888888i iiiiiiiii ii=1i=1i=1i=1=31280-6.8⨯573⨯8=68，1.6c=y-dw=573-68⨯6.8=110.6，所以y关于w的线性回归方程为y=110.6+68w，所以y关于x的线性回归方程为y=110.6+68x.(Ⅲ)(i)由(Ⅱ)知，当x=64时，年销售量y的预报值为y=110.6+6864=654.6，年利润z的预报值为z=654.6⨯0.2-64=66.92.(ii)根据(Ⅱ)的结果知，年利润z的预报值z=0.2⨯(110.6+68x)-x=-x+13.6x+22.12=-(x-6.8)+68.36，2E为DA中点，ABCD为正方形，∴DE//CB,DE=CB，(当x=6.8，即x=46.24时，年利润的预报值最大，故年宣传费为46.24千元时，年利润预报值最大.19.解：Ⅰ)方法一：取PC中点M，连接DM,MF，1M,F分别是PC,PB中点,∴MF//CB,MF=CB，212∴MF//DE,MF=DE,∴四边形DEFM为平行四边形，∴EF//DM, EF⊄平面PDC，DM⊂平面PDC，∴EF//平面PDC.方法二：取P A中点N，连接NE，NF.E是AD中点，N是P A中点，∴NE//D P，又F是PB中点，N是P A中点，∴NE//AB，AB//CD，∴NF//CD，又NE NF=N，NE⊂平面NEF，NF⊂平面NEF，DP⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，∴平面NEF//平面PCD.又EF⊂平面NEF，∴EF//平面PCD.E 0,0, ⎪,F , ,0 ⎪EF = , , - ⎪ ，则 ⎨ ,即 ⎨ ,取 n = (1,0,1)，( , , , , ⎪方法三：取 BC 中点 G ，连接 EG ， FG ，在正方形 ABCD 中， E 是 AD 中点， G 是 BC 中点∴GE / /CD又 F 是 PB 中点， G 是 BC 中点，∴GF / / P C ，又 PCCD = C ，GE ⊂ 平面GEF , G F ⊂ 平面GEF ，PC ⊂ 平面 P CD , CD ⊂ 平面 P CD ，∴ 平面 GEF //平面 PCD .EF ⊂ 平面 GEF∴EF / / 平面 PCD .方法四：P A ⊥ 平面 ABC ,且四边形 ABCD 是正方形，∴ AD , AB, AP 两两垂直，以 A 为原点， AP ，AB ， AD 所在直线为 x, y , z 轴，建立空间直角坐标系 A - xyz ，则 P 1,0,0) D (0,0,1) C (0,1,1)⎛1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫ ⎝2 ⎭ ⎝ 2 2 ⎭⎛ 1 1 1 ⎫ ⎝ 2 2 2 ⎭则设平面 PDC 法向量为 n = (x, y , z )， PD = (- 1,0,1) PC = (- 1,1,1)⎧ P D ⋅ n = 0 ⎧- x + z = 0 ⎪⎩ PC ⋅ n = 0⎩- x + y + z = 01则 P (1,0,0), D (0,0,1), C (0,1,1), E 0,0, ⎪, F , ,0 ⎪ EF = , ,- ⎪, FC = - , ,1⎪⎧⎪EF ⋅ n = 0 ⎪ 1 则 ⎨ , 即 ⎨ 1 1 ⎪⎩FC ⋅ n = 0 ⎪⎩ 2 12 1 1, 则 ⎨ ,即 ⎨ ,取 n = (1,0,1)， ⎧PD ⋅ n = 0 ⎧- x + z = 0⎩- x 2 + y 2 + z 2 = 0 ⎪⎩PC ⋅ n = 0=n ⋅n = 3 ⨯ 1 + (- 1)⨯ 0 + 2 ⨯ 1n ⋅ EF = 1 - = 0 ，2 2所以 EF ⊥ n ，又EF ⊄ 平面 PDC ，∴ EF ∥平面 PDC .(Ⅱ )P A ⊥ 平面 ABC ,且四边形 ABCD 是正方形， ∴ AD , AB, AP 两两垂直，以 A 为原点，AP ， AB ， AD 所在直线为 x, y , z 轴，建立空间直角坐标系 A - xyz ，⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫ ⎝2 ⎭ ⎝ 2 2 ⎭设平面 EFC 法向量为 n = (x , y , z )，1111⎛ 1 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫⎝ 2 2 2 ⎭ ⎝ 2 2 ⎭1取 n = (3,-1,2),1⎧ x + y - z = 0 1 1 - x + y + z = 01，则设平面 PDC 法向量为 n = (x , y , z 2222)， PD = (- 1,0,1) PC = (- 1,1,1)2 2 22 2cos n , n11 2 n ⋅ n 1 214 ⨯ 2 = 5 7 14.∴ 平面 EFC 与平面 PDC 所成锐二面角的余弦值为（若第一问用方法四，则第二问部分步骤可省略）5 7 14.() 2 2 (Ⅱ)方法一：设 l 的方程为 x = my +1，联立 ⎨ 4 ⎩ 3m 2 + 4 3m 2 + 4 = ⎪ 3t +20. 解： Ⅰ 由 c = 1 可得， a = 2c ，又因为 b 2 = a 2 - c 2 ，所以 b 2 = 3c 2 . a 2所以椭圆 C 方程为x 2 y 2 3 12+ = 1 ，又因为 M (1, ) 在椭圆 C 上，所以4c 3c 2 4c 2 3( )2 + 2 3c 2 = 1 .所以 c 2 = 1 ，所以 a 2= 4, b 2 = 3 ，故椭圆方程为 x2 y 2 + = 1 .4 3⎧ x 2 y 2 ⎪ + = 1 3， ⎪ x = my + 1消去 x 得 (3m 2 + 4) y 2 + 6my - 9 = 0 ，设点 A( x , y ), B( x , y ) ，1 122有 ∆ > 0, y + y = 1 2 -6m -9, y y = ,1 2 y - y =( y 1 21+ y 2)2 - 4 y y1 2=⎛ -6m ⎫2⎝ 3m 2 + 4 ⎭12 m 2 + 1(3m 2 + 4)- 4 ⨯-9 3m 2 + 4所以 1 12 m 2 + 1 S = 2 ⨯ 4 ⨯ (3m 2 + 4)令 t = 1 + m 2 , t ≥ 1 ，有 S = 24t 24 =3t 2 + 1 1t，由1函数 y = 3t + ， t ∈ [1,+∞ )ty ' = 3 - 1 t 2> 0, t ∈ [1,+∞ )方法二：设 l 的方程为 x = my +1，联立 ⎨ 4⎩ 3m 2 + 4 3m 2 + 41 + m2 ，点 Q(2,0) 到直线 l 的距离为，1 + m2 3t +1故函数 y = 3t + ，在 [1,+∞ ) 上单调递增，t24t 241故 3t + ≥ 4 ，故 S == ≤ 63t 2 + 11 t3t +t当且仅当 t = 1即 m = 0 时等号成立，四边形 APBQ 面积的最大值为 6 .⎧ x 2 y 2 ⎪ +3= 1，⎪ x = my + 1消去 x 得 (3m 2 + 4) y 2 + 6my - 9 = 0 ，设点 A( x , y ), B( x , y ) ， 1 122有 ∆ > 0, y + y = 12-6m -9, y y = ,1 2有 | AB |= 1 + m 2 121 + m2 12(1+ m 2 ) =3m 2 + 4 3m 2 + 4 ，点 P(-2,0) 到直线 l 的距离为 311 + m 2从而四边形 APBQ 的面积1 12(1+ m2 ) 424 1 + m 2 S = ⨯ ⨯=2 3m 2 + 43m 2 + 4令 t = 1 + m 2 , t ≥ 1 ，有 S = 24t 24 =3t 2 + 11 t，1函数 y = 3t + ， t ∈ [1,+∞ )ty ' = 3 - 1 t 2> 0, t ∈ [1,+∞ )1故函数 y = 3t + ，在 [1,+∞ ) 上单调递增，t= ≤ 6 当且仅当 t = 1 即 m = 0 时等号成立，四边形 APBQ 面3 + 4k 23 + 4k 2⎩⎡(x + x )2 - 4x x ⎤ = 12 ⨯ k (k + 1) ，1 2 ⎦ (3 + 4k 2 )22 (3 + 4k 2 )2S = 6 ⨯ -3 ⨯ ⎪ - 2 ⨯ + 1 , (0 < < ) ∴S = 6 ⨯ -3 ⨯ ⎪ - 2 ⨯ + 1,(0 < < ) (有 3t + 1≥ 4 ，故 S =t积的最大值为 6 .方法三：①当 l 的斜率不存在时， l : x = 1此时，四边形 APBQ 的面积为 S = 6 .②当 l 的斜率存在时，设 l 为： y = k ( x - 1) ， (k ≠ 0)⎧ x 2 y 2 ⎪ + 则 ⎨ 4 3= 1 ⎪ y = k ( x - 1)∴ (3 + 4k 2 )x 2 - 8k 2 x + 4k 2 - 12 = 08k 2 4k 2 - 12 ∆ > 0, x + x =, x x =，1 21 2y - y = k ( x - x ) = k 121 22⎣ 1 2 2 2∴四边形 APBQ 的面积1 k2 (k 2 + 1)S = ⨯ 4 ⨯ y - y = 24 ⨯12令 t = 3 + 4k 2(t > 3) 则 k 2 =t - 34⎛ 1 ⎫21 1 1 ⎝ t ⎭ t t 3⎛ 1 ⎫21 1 1 ⎝ t ⎭ t t 3 ∴0 < S < 6综上，四边形 APBQ 面积的最大值为 6 .21.解： Ⅰ) Q f (x )在 (-∞, +∞)上是单调递增函数,∴在 x ∈ R 上， f ' (x ) = 2x - 4 + ae x≥ 0 恒成立，即： a ≥ (4 - 2x )e x⎣ ⎦∴设 h (x ) = (4 - 2x )e x x ∈ R∴ h ' (x ) = (2 - 2x )e x ，∴当 x ∈ (-∞,1)时 h ' (x ) > 0 ，∴ h (x ) 在 x ∈ (-∞,1)上为增函数，∴当 x ∈ (1,+∞) 时 h ' (x ) < 0 ，∴ h (x ) 在 x ∈ (1,+∞) 上为减函数，∴ h (x )max= h (1) = 2eQ a ≥ ⎡(4 - 2x )e x ⎤ max∴ a ≥ 2e ，即 a ∈[2e , +∞) .(Ⅱ )方法一：因为 g ( x ) = e x ( x 2 - 4 x + 5) - a ，所以 g '( x ) = e x ( x - 1) 2 ≥ 0 ，所以 g ( x ) 在 (-∞, +∞)上为增函数，因为 g ( x ) + g ( x ) = 2g (m ) ，即 g ( x ) - g (m ) = g (m ) - g ( x ) ，1 212g ( x ) - g (m )和g (m ) - g ( x ) 同号，1 2所以不妨设 x < m < x ,设 h( x ) = g (2m - x) + g ( x ) - 2 g (m )( x > m ≥ 1) ，…8 分1 2所以 h'( x ) = -e 2m - x (2m - x - 1) 2 + e x ( x - 1) 2 ，因为 e 2m - x < e x ， (2m - x - 1)2 - ( x - 1)2 = (2 m - 2)(2 m - 2 x ) ≤ 0 ，所以 h '(x) > 0 ，所以 h( x ) 在 (m , +∞) 上为增函数，所以 h( x ) > h(m ) = 0 ，所以 h( x ) = g (2m - x ) + g ( x ) - 2 g (m ) > 0 ，2 22所以 g (2m - x ) > 2 g (m ) - g ( x ) = g ( x ) ，2 21所以 2m - x > x ，即 x + x < 2m .2 112方法二：Q g (x ) = e x f (x ) = (x 2 - 4x + 5)e x - ag (x )+ g (x ) = 2g (m ) m ∈[1, +∞) ，12(⎨2，θ=∴(x21-4x+5)e x1-a+(x2-4x+5)e x2-a=2(m2-4m+5)e m-2a 122∴(x2-4x+5)e x1+(x2-4x+5)e x2=2(m2-4m+5)e m 1122∴设ϕ(x)=(x2-4x+5)e x x∈R，则ϕ(x)+ϕ(x)=2ϕ(m)，12∴ϕ'(x)=(x-1)2e x≥0∴ϕ(x)在x∈R上递增且ϕ'(1)=0令x∈(-∞,m)，x∈(m,+∞)12设F(x)=ϕ(m+x)+ϕ(m-x),x∈(0,+∞)，∴F'(x)=(m+x-1)2e m+x-(m-x-1)2e m-xQ x>0∴e m+x>e m-x>0，(m+x-1)2-(m-x-1)2=(2m-2)2x≥0∴F'(x)>0，F(x)在x∈(0,+∞)上递增，∴F(x)>F(0)=2ϕ(m)，∴ϕ(m+x)+ϕ(m-x)>2ϕ(m)，x∈(0,+∞)令x=m-x1∴ϕ(m+m-x)+ϕ(m-m+x)>2ϕ(m)11即：ϕ(2m-x)+ϕ(x)>2ϕ(m)11又Qϕ(x)+ϕ(x12)=2ϕ(m)，∴ϕ(2m-x)+2ϕ(m)-ϕ(x)>2ϕ(m)即：ϕ(2m-x)>ϕ(x 1212 Qϕ(x)在x∈R上递增∴2m-x>x，即：x+x<2m得证.1212)22.Ⅰ)解：联立⎧ρcosθ=3，cosθ⎩ρ=4cosθ3 =±，20≤θ<ππ6，⎛θ ∈ ⎡⎢0, ⎫⎪ ， ,θ )且 ρ = 4cos θ ⎣ 2 ⎭⎪ρ0 = 2 ⎧ 2 OQ = QP ，得 ⎨ 3⎩θ0 = θ∴ ρ =4cos θ ，点 P 的极坐标方程为 ρ = 10 cos θ ,θ ∈ ⎢0, ⎪ .- ＜x ＜0 ⎪ , ⎝ 2 ⎭ ( ) ⎨ x ≤- ⎪ 当 ⎨ 解得 0 ≤ x ≤ ；当 - ＜x ＜0， 1 ≤ 3 恒成立x ≥ 0 2 2 ⎪⎩ 2 此不等式的解集为 ⎢-2 ， ⎥ .⎪3 + m- ＜x ＜0 ⎪⎝ 2 ⎭x ≤- ⎪ 当 - ＜x ＜0 时，不等式化为 3+m ≥ x + = -[(- x ) + (- )] ≤ -2 (- x )(-ρ = 2 3 ，交点坐标 2 3, ⎝π ⎫ ⎪ .6 ⎭(Ⅱ )设 P (ρ,θ ), Q (ρ0 0 0 0 ， 0π由已知 ⎪ρ 5 ，2 ⎡ π ⎫ 5 ⎣ 2 ⎭23.解： ⎧⎪4 x + 1 ⎪Ⅰ 当 m =-2 时， f (x ) = 2 x + 2 x + 3 -2= ⎪1⎪(x ≥ 0)⎛ 3 ⎫⎪ ⎪-4 x - 5 ⎩⎛⎝ 3 ⎫ 2 ⎭⎧4 x + 1 ≤ 3 1 3 ⎩⎧-4 x - 5 ≤ 3 ⎪当 ⎨ 3 x ≤-解得 -2 ≤ x ≤ -3 2⎡ 1 ⎤ ⎣2 ⎦⎧ (Ⅱ)当 x ∈ (-∞,0 )时 f (x ) = 2 x + 2 x + 3 + m = ⎪⎨⎪-4 x - 3 + m⎪⎩⎛ 3 ⎫⎛3⎫ ⎝ 2 ⎭，3 2 2 x.由 x + 2 2 2 ) = -2 2x x x∴m ≥ 5x + + 3 ，令 y = 5x + + 3 ， x ∈ (-∞, - ] .∴y = 5x + + 3 在 (-∞, - ] 上是增函数.∴ ∴m ≥ - .当且仅当 - x = - 2即 x = - 2 时等号成立.x∴m + 3 ≥ -2 2 ，∴m ≥ -3 - 2 2 .当 x ≤- 3 2时，不等式化为 -4 x - 3 + m ≥ x + .2 x2 2 3x x 2 y ' = 5 - 2 3> 0, x ∈ (-∞, - ] ，x 2 22 3x 2 3 2 35∴ 当 x =- 时， y = 5x + + 3 取到最大值为 - .2 x 6 356综上 m ≥ -3 - 2 2 .。

2018届辽宁省大连市高三第二次模拟考试文科数学试题及答案精品

（ A）变量 x 与 y 正相关， u 与 v 正相关（B）变量 x 与 y 正相关， u 与 v 负相关
（ C）变量 x 与 y 负相关， u 与 v 正相关（ D）变量 x 与 y 负
相关， u 与 v 负相关
（ 4）已知命题 p : x R ,sin x 1,则 p 是（
）
（ A） x R,sin x 1
一．选择题（1）B；（ 2）C；（ 3）C；（ 4）B；(5) D；（ 6） D；(7) A；（ 8）
B；（ 9） C；（ 10） C；
（11) C ；（ 12） B．二. 填空题
（13）. x＋ y－ 3＝ 0；（ 14） 160； (15)
三. 解答题（17）解： BCD 90 45 45 ,
甲厂：
分 [29.86 [29.90 [29.94 [29.98 [30.02 [30.06 [30.10
组
,,29.94 ,29.98 ,30.02 ,30.06 ,30.10 ,30.14
2)
)
)
)
)
)
9
.
9
0
)
频
15
30
125 198
77
35
20
数
乙厂：
分 [29.86 [29.90 [29.94 [29.98 [30.02 [30.06 [30.10
答卷纸的相应位置上）
（13）已知圆 O的方程是 x2＋y2－ 8x－ 2y＋ 10＝ 0，过点 M(3,0) 的
最短弦所在的直线方程是
．
（14）某个年级有男生 560 人，女生 420 人，用分层抽样的方法
从该年级全体学生中抽取一个容量为
280 的样本，则此样

高三数学-2018年大连市高三第一次模拟考试数学试卷精品

2018年大连市高三第一次模拟考试数学参考公式：如果事件A、B互斥，那么如果事件A、B相互独立，那么如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率：球的表面积公式：，其中R表示球的半径球的体积公式：，其中R表示球的半径一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. （）A. B. C. D. 22. 函数的反函数图象是（）3. 若二项式的展开式的第5项是常数项，则正整数n的值为（）A. 15B. 12C. 10D. 64. 观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿的体重在［2700，3000］的频率为（）A. 0.001B. 0.3C. 0.01D. 0.0185. 函数的图象的一个对称中心是（）A. B.C. D.6. 下列各式中正确的个数为（）（1）；（2）；（3）；（4）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7. 若是等差数列，首项，则使前n项和成立的最大自然数n是（）A. 48B. 47C. 46D. 458. 设是椭圆C：的焦点，在曲线C上满足的点P的个数为（）A. 4B. 3C. 2D. 09. ABCD是空间四边形，已知AB＝CD，AD＝BC，但AB≠AD，M、N为两对角线AC、BD的中点，则（）A. MN与AC垂直，MN与BD不垂直B. MN与BD垂直，MN与AC不垂直C. MN与AC、BD都不垂直D. MN与AC、BD都垂直10. 设均是定义在R上的奇函数，当时，，且，则不等式的解集是（）A.B.C.D.11. 空间有8个点，其中任何四点不共面，则经过每两点的所有直线中异面直线的对数为（）A. 420B. 210C. 70D. 3512. 给出下列命题：（1），则；（2）奇函数的图象必过原点；（3）与它的反函数的图象若相交，则交点必在直线上；（4）若等差数列的公差小于0，则其前n项和一定有最大值。

辽宁省大连市2018-2019学年高三第二次模拟考试数学(理科)能力测试试题Word版含答案

辽宁省大连市2018-2019学年高三第二次模拟考试数学（理科）能力测试试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,2}A =，{(,)|,,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈，则B 的子集共有（）A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个2.复数1()z ai a R =+∈在复平面对应的点在第一象限，且||z =z 的虚部为（）A ．2B ．4C ．2iD ．4i3.对于直线,m n 和平面,αβ，下列条件中能得出αβ⊥的是（）A ．,//,//m n m n αβ⊥B ．,,m n m n αβα⊥=⊂C ．//,,m n n m βα⊥⊂D ．//,,m n m n αβ⊥⊥4.执行下图的程序框图，如果输入1x =，则输出t 的值为（）A ．6B ．8C ．10D ．125.已知{}n a 为等差数列，48336a a +=，则{}n a 的前9项和9S =（）A ．9B ．17C ．36D ．816.已知函数2()2f x x x =--+，则函数()y f x =-的图象为（）7.已知变量x 与y 负相关，且由观测数据算得样本平均数3, 3.5x y ==，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A ．^0.4 2.3y x =+B ．^2 2.4y x =-C ．^29.5y x =-+D ．^0.4 4.4y x =-+8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A ．64B ．643C ．16D ．1639. D 是ABC ∆所在平面内一点，(,)AD AB AC R λμλμ=+∈，则01,01λμ<<<<是点D 在ABC ∆内部（不含边界）的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分且必要条件 D ．既不充分也不必要条件10.命题:p “0[0,]4x π∃∈，00sin 2cos 2x x a +>”是假命题，则实数a 的取值范围是（）A ．1a <B ．a <．1a ≥ D ．a ≥11.过抛物线2:4C y x =的焦点F 的直线l 交C 于,A B 两点，点(1,2)M -，若0MA MB ∙=，则直线l 的斜率k =（）A ．-2B ．-1C ．1D ．212.函数1()ln (0)axf x e x a a=->存在零点，则实数a 的取值范围是（） A ．10a e <≤ B ．210a e <≤ C ．1a e ≥ D ．21a e ≥ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.将3本不同的数学书和2本不同的语文书在书架上排成一行，若2本语文书相邻排放，则不同的排放方案共有种（用数字作答）.14.设12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，点(,)M a b ，若1230MF F ∠=，则双曲线C 的离心率为 .15.已知函数232(22),0()(33),0x a x x f x x a x ax x ⎧-+-≤=⎨-++>⎩，若曲线()y f x =在点(,())i i i P x f x （1,2,3i =，其中123,,x x x 互不相等）处的切线互相平行，则a 的取值范围是 .16.若数列{}n a 满足：120,3a a ==且*1(1)(1)1(,2)n n n a n a n n N n +-=+-+∈≥，数列{}n b 满足18()11n n b -=，则数列{}n b 的最大项为第项. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，cos sin b a C C =. （1）求A ；（2）若2,4a b c =+≥，求ABC ∆的面积.18. （本小题满分12分）甲、乙两名乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为23，乙胜的概率为13，如果比赛采用“五局三胜”制（先胜三局者获胜，比赛结束）. （1）求甲获得比赛胜利的概率；（2）设比赛结束时的局数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.19. （本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，12AA =，AC =M 是1CC 的中点，P 是AM 的中点，点Q 在线段1BC 上，且113BQ QC =. （1）证明：//PQ 平面ABC ；（2）若直线1BA 与平面ABM 成角的正弦值为15，求BAC ∠的大小.20. （本小题满分12分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2e =，且椭圆上一点M 与椭圆左右两个焦点构成的三角形周长为4+.（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，设点D 为椭圆上任意一点，直线y m =和椭圆C 交于,A B 两点，且直线,DA DB 与y 轴分别交于,P Q 两点，试探究12PF F ∠和12QF F ∠之间的等量关系并加以证明.21. （本小题满分12分）已知函数()ln ()f x x kx k R =+∈.（1）当1k =-时，求函数()f x 的极值点；（2）当0k =时，若()0(,)b f x a a b R x+-≥∈恒成立，试求11a e b --+的最大值；（3）在（2）的条件下，当11a e b --+取最大值时，设1()()a F b m m R b -=-∈，并设函数()F x 有两个零点12,x x ，求证：212x x e >.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知点C 在圆O 直径BE 的延长线上，CA 切圆O 于A 点，CD 分别交,AE AB 于点,F D ，45ADF ∠=.（1）求证：CD 为ACB ∠的平分线；（2）若AB AC =，求AC BC的值.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为4sin ρθ=，从极点作圆C 的弦，记各条弦中点的轨迹为曲线1C .（1）求1C 的极坐标方程；（2）已知曲线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩，（0απ≤<，t 为参数，且0t ≠），l 与C 交于点A ，l 与1C交于点B ，且||AB =α的值.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知,,a b c 均为正实数，且2221111a b c ++=.（1）证明：111a b c++≤ （2）求证：2224441a b c b c a++≥.辽宁省大连市2018-2019学年高三第二次模拟考试数学（理科）能力测试试题参考答案一．选择题1.A2.A3.C4.B5.D6.D7.C8.D9.B 10.D 11.C 12.A二．填空题13. 48 14. 2 15. (-1，2) 16. 6三．解答题17.解：(Ⅰ)cos sin b a C a C =+3 C A C A B sin sin 33cos sin sin +=∴.........................................................................................2分C A C A C A C A sin sin 33cos sin sin cos cos sin +=+...........................................................4分即C A C A sin sin 33sin cos = 又0sin ≠C A A sin 33cos =∴ 即3tan =A 3π=∴A ....................................................................................................................6分(Ⅱ)A bc c b a cos 2222-+= bc c b bc c b 3)(22222-+=-+=∴..............................................................................................8分bcc b 2≥+ 416)(2≤+≤+∴c b c b ，即又由题意知4≥+c b ，4=+∴c b .(当2==c b 时等式成立.).........................................................................................10分33sin 2221=⨯⨯⨯=∴∆πABC S ..................................................................................................12分18.解：（Ⅰ）设比赛局数分别为3,4,5时,甲获胜分别为事件123,A A A ，，则由相互独立事件同时发生的概率乘法公式可得：3128()()327P A ==，2323218()()3327P A C =⋅⋅=,23342116()()3381P A C =⋅⋅=2（），...........3分所以由互斥事件的概率加法公式可得，甲获胜的概率为123881664=()+()+()=++=27278181P P A P A P A ................................................6分所以，X 的分布列为X∴的数学期望1108107=3+4+5=3272727E X ⨯⨯⨯（）..............................................................12分19.证明：(Ⅰ)取中点MC ，记为点D ,连结QD PD ,中点为中点，为MC D MA PPD ∴//AC又131DC CD = ,=113BQ QC , QD ∴//BC又D QD PD =PQD 平面∴//平面ABC ...........................................4分又PQD PQ 平面⊂PQ ∴//平面ABC .........................................................6分（Ⅱ）1,,BB BA BC 两两互相垂直，∴建立如图所示空间直角坐标系B xyz -，设,,BC a BA b ==则各点的坐标分别为：1(,0,0),(0,,0),(0,,2),(,0,1)C a A b A b M a ，1(0,,2),(0,,0),(,0,1)BA b BA b BM a ∴===....................................................................8分设平面ABM 的法向量为(,,)n x y z =，则00n BA n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,00by ax z =⎧∴⎨+=⎩，取1x =，则可得平面ABM 的一组法向量(1,0,)n a =-，1cos ,n BA ∴<>==，...................................................................10分又因为228a b +=，4224120,2a a a ∴+-=∴=或6-（舍）. 即6,21222sin ,2π=∠∴==∠∴=BAC BAC a ..................................................................12分20.解：22==a c e ，c a 2=∴ 224222222121+=+=+=++c c c a F F MF MF22==∴a c ，............................................................3分∴椭圆方程为12422=+y x .............................................4分（Ⅱ）︒=∠+∠902121F QF F PF ，..............................5分证明如下：设),(),(1100y x D y x B ，，则),(00y x A -,直线BD 方程为)(110101x x x x y y y y ---=-，令0=x ，则101010x x x y y x y --= )0(101010x x x y y x Q --∴，同理)0(101010x x x y y x P ++，.....................................................................................................................7分21F PF ∠ 和21F QF ∠均为锐角，)(tan 10101010101021x x c x y y x c x x x y y x F PF ++=++=∠∴ )(tan 10101021x x c x y y x F QF --=∠ )()()(tan tan 21202212021201010101010102121x x c x y y x x x c x y y x x x c x y y x F QF F PF --=--⋅++=∠⋅∠∴ 1)(221)22()22(2121202120212020212120=--=----=x x x x x x x x x x ..................................................................10分21F PF ∠∴与21F QF ∠互余,︒=∠+∠∴902121F QF F PF ........................................................................................................12分21.解：（Ⅰ）1k =-时，1()ln ()101f x x x f x x x'=-⇒=->⇒<，()f x ∴在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减，故函数()f x 有唯一的极大值点1x =，无极小值点...................2分（Ⅱ）0k =时，()ln b b f x a x a x x +-=+-，设()ln ,(0)b g x x a x x =+->，则221()b x b g x x x x-'=-=. 当0b ≤时，则()0g x '>，所以()g x 在(0,)+∞单调递增，又0x >且0x →时，()g x →-∞与题意矛盾，舍.当0b >时，则()0g x x b '>⇒>，所以()g x 在(,)b +∞单调递增，(0,)b 单调递减，所以m ()g x ==，..............................................................................................5分所以11ln 101ln 11a a b a a b eb e b --+-≥⇒-≤⇒≤⇒-+≤，故11a e b --+的最大值为1...............................................................................................................7分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当11a e b --+取最大值1时，1ln 1ln (),(0)a b e b a b F b m b b -=⇒-=⇒=->，记x......................................9分方法一：()0ln 0F x x mx =⇒-=，设()ln h x x mx =-，则1()h x m x '=-，若0m ≤，则()0h x '>恒成立，所以函数()h x 在(0,)+∞单调递增，与题意不符，舍.若0m >，则1()0h x x m '>⇒<，()h x ∴在1(0,)m 单调递增，在1(,)m+∞单调递减，所以若函数()F x 有两个零点，则只需1()0h m >，解得10m e<<. 不妨设12x x <，则1210x x m<<<，设111()()(),(0)G x h x h x x m m m =+--<<，则11()()(),G x h x h x m m '''=++- 化简可得32222()01m x G x m x '=>-，所以函数()G x 在1(0,)m 单调递增，11()(0)()()0G x G h h m m>=-= 10x m ∴<<时，11()()h x h x m m +>-，1122()()()h x h x h x m∴->=，又因为1221,(,+x x m m -∈∞），且函数()h x 在1(,)m +∞单调递减，122x x m ∴-<，121222x x mx mx m∴+>⇒+>，即12ln ln 2x x +>，所以212x x e >成立.........................................................................................................................12分方法二：不妨设12x x <，由题意1122ln ln x mx x mx =⎧⎨=⎩，则221121221121lnln (),ln ()x x x x x m x x m x x m x x x =+=-⇒=-，欲证212x x e ⋅>，只需证明：12ln()2x x ⋅>，只需证明：12()2m x x +>，即证：122211()ln 2x x x x x x +>-，即证2122111ln 21x x x x x x +>-，设211x t x =>，则只需证明：1ln 21t t t ->⋅+，也就是证明：1t +........................10分记1()ln 2,(1)1t u t t t t -=-⋅>+，22214(1)()0(1)(1)t u t t t t t -'∴=-=>++， ()u t ∴在(1,)+∞单调递增，()(1)0u t u ∴>=，所以原不等式成立.....................................................................................12分22、（Ⅰ）证明：CA 为圆O 的切线，CAE ABC ∴∠=∠，又BE 为直径，45,45ADF AFD ∠=∴∠=. 又,ADF ABC DCB AFD CAE ACD ∠=∠+∠∠=∠+∠,,ACD BCD ∴∠=∠CD ∴为ACB ∠的平分线................................................................................................................4分（Ⅱ）解：,,=∴∠=∠=∠AB AC B ACB CAE Q 又+++180∠∠∠∠=B ACB CAE BAE oQ ， =30∴∠=∠=∠B ACB CAE o ，所以s is iAC BC ==.............................................................................................................10分23.解：（Ⅰ）设1C 上任意一点的极坐标为()θρ，则点()θρ，2在圆C 上，故θρsin 42=，所以1C 的极坐标方程为)0(sin 2≠=ρθρ..................................................................................4分（Ⅱ）B A ,两点的极坐标分别为),sin 2(),,sin 4(ααααB A ，又因为πα<≤0，所以ααααsin 2sin 2sin 2sin 4==-=AB =3，故23sin =α，所以323ππα或=..............................................................................................10分24.证明：(Ⅰ)acbc ab c b a 222)111(2222++≥++ acbc ab c b a 111111222++≥++∴ 又acbc ab c b a c b a 222111)111(2222+++++=++）（2221113c b a ++≤ 由题中条件知1111222=++cb a ， 3)111(2≤++∴c b a 即3111≤++cb a ............................................................................................................................5分（Ⅱ）22422422121ba b a a b a =⋅≥+ 同理：224221c b c b ≥+，224221ac a c ≥+ )111(2111222222424242cb ac b a a c c b b a ++≥+++++∴ 21424242≥+++∴ac c b b a 1424242≥++∴ac c b b a ........................................................................................................................10分。

【2018大连高考二模】辽宁省大连市2018届高三第二次模拟考试理科数学

辽宁省大连市2018届高三第二次模拟考试试卷理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}1,2,3A =，则集合A 的子集个数是（）A ．6B ．7C ．8D ．92.复数()1z i i =-，则z =（）A ．1B ．2 D ．43.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A ．12B ．24C ．36D ．724.设等比数列{}n a 的前n 项和为24,1,5n S S S =-=-，则6S =（）A ．9-B ．21-C ．25-D ．63-5.某工厂生产的一种零件的尺寸（单位：mm ）服从正态分布()2500,5N .现从该零件的生产线上随机抽取20000件零件，其中尺寸在()500,505内的零件估计有（）（附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<<+≈，()220.9545P X μσμσ-<<+≈ A ．6827个 B ．9545个 C ．13654个 D ．19090个6.下列函数中，既是偶函数，又在(),0-∞上单调递增的是（）A ．()2f x x =B ．()2x f x =C ．()21log f x x= D ．()11f x x =+ 7.双曲线()222210,0:x y a b a C b-=>>的左焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，P 为双曲线C 右支上的一点，若FB BP =，则双曲线C 的离心率是（）A ．2 D8.下面四个命题：1p ：命题“2,2n n N n ∀∈>”的否定是“0200,2n n N n ∃∉≤”；2p :向量()(),1,1,a m b n ==-，则m n =是a b ⊥的充分且必要条件；3p ：“在ABC ∆中，若A B >，则“sin sin A B >”的逆否命题是“在ABC ∆中，若sin sin A B ≤，则“A B ≤”；4p ：若“p q ∧”是假命题，则p 是假命题.其中为真命题的是（）A ．12,p pB ．23,p pC ．24,p pD ．13,p p9.设椭圆22:14x C y +=的左焦点为F ，直线:(0)l y kx k =≠与椭圆C 交于,A B 两点，则AFB ∆周长的取值范围是（）A ．()2,4B ．(6,4+C ．()6,8D ．()8,1210.关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰试验.受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计π的值，试验步骤如下：①先请高二年级 500名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对()(01,0,1)x y x y <<<<；②若卡片上的,x y 能与1构成锐角三角形，则将此卡片上交；③统计上交的卡片数，记为m ；④根据统计数m 估计π的值.假如本次试验的统计结果是113m =，那么可以估计π的值约为（）A ．387125B ．351113C ．389125D ．35211311.已知[)sin cos ,0,2x x a x π+=∈，若01a <<，则x 的取值范围是（）A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3,,222ππππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．30,,222πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．37,,2244ππππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12.已知()f x 是定义在(),-∞+∞上的函数，()f x '为()f x 的导函数，且满足()()()10f x x f x '+->，则下列结论中正确的是（）。

高考最新-大连数学精品

大连市2018年高三年级第二次模拟考试数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分钟.参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么正棱锥、圆锥的侧面积公式P(A+B)=P(A)+P(B) cl S 21=锥侧如果事件A 、B 相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B) 其中c 表示底面周长，l 表示斜高或母线长如果事件A 在一次试验中发生的概率是球的表面积公式 P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 24R S π=球次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()( 其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间[a ，2a ]上的最大值是最小值的3倍，则a =（）A ．21B ．41 C ．22 D ．42 2．不等式32≥-xx 的解集为（）A ．),1[+∞-B ．]1,(--∞C ．)0,1[-D ．]1,(--∞∪),0(+∞3．边长为1的正△ABC 中，设⋅+⋅+⋅===则,,,= （）A ．－1.5B ．1.5C ．0.5D ．－0.54．经过点)3,415(且一条渐近线为4x +3y=0的双曲线标准方程是（）A ．191622=-x y B ．116922=-y x C ．1276422=-y x D ．1642722=-y x 5．若1)2(33)(23++++=x a ax x x f 既有极大值又有极小值，则a 取值范围为（） A ．21<<-a B ．21≤≤-a C ．21≥-≤a a 或 D ．21>-<a a 或6．在以下命题中①垂直于同一直线的两平面平行 ②平行于同一直线的两平面平行 ③垂直于同一平面的两平面平行 ④平行于同一平面的两平面平行，其中正确的是命题个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．已知椭圆的焦点是F 1、F 2、P 是椭圆上的一个动点，如果M 是线段F 1P 的中点，则动点M 的轨迹是（） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线的一支 D ．抛物线8．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A ．3πB ．4πC ．π33D ．6π 9．函数]),0[)(62sin(3ππ∈--=x x y 为增函数的区间是（）A ．]125,0[π B ．]32,6[ππ C ．]1211,6[ππD ．]1211,32[ππ 10．数列1002121,,,}{x b x a x x x x x n n n n 则已知满足==+=++的值为（）A ．－aB ．aC ．a －bD ．b11．设a 、b 、c 都是正实数，且a 、b 满足c b a ba ≥+=+则使,191恒成立的c 范围是（）A ．]8,0(B ．]10,0(C ．]12,0(D ．]16,0(12．若函数)10()(≠>-=-a a a ka x f x x 且即是奇函数，又是增函数，那么)(log )(k x x g a +=的图象是（）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分.把答案写在横线上.13．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为3:4:7.现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中B 型号产品有28件.那么此样本的容量n= . 14．若2312420443322104)()(,)32(a a a a a x a x a x a x a a x +-++++++=+则的值为 .（用数字作答）15．如果三位数的十位数字大于百位数字，也大于个位数字，则这样的三位数一共有 .（作数字作答）16．下面有4个命题：①若a 、b 为一平面内两非零向量，则a ⊥b 是|a +b |=|a －b |的充要条件；②一平面内的两条曲线的方程分别是0),(,0),(21==y x f y x f ，它们的交点是),(00y x P ，则方程0),(),(21=+y x f y x f 的曲线经过点P ；③经过一点且和一条已知直线垂直的所有直线都在同一平面内；④已知),(),,(2211y x B y x A 是抛物线)0(22>=p px y 上不同的两个点，则221p y y -=⋅是直线AB 通过抛物线焦点的必要不充分条件.其中真命题的序号是（把符合要求的命题序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）从5名女生和2名男生中任选3人参加英语演讲比赛.设随机变量ξ表示所选3人中男生的人数.（Ⅰ）求ξ的分布列；（Ⅱ）求ξ的数学期望；（Ⅲ）求“所选3人中男生人数ξ≤1”的概率.（Ⅰ）若)42cos(],6,12[πβππβ-=∈y 求的最大值，并求此时β值.（Ⅱ）已知.cos ,31)tan(,54cos ,,的值求为锐角ββααβα-=-=如右图三棱锥S—ABC中，SA⊥平面ABC，∠ABC=90°，SA=BC=2，AB=4，M、N、D分别是SC、AB、BC的中点.（Ⅰ）求证MN⊥AB；（Ⅱ）求二面角S—ND—A的正切值；（Ⅲ）求A点到平面SND的距离.数列}{n a ，设S n 是数列的前n 项和，并且满足.24,111+==+n n a S a（Ⅰ）令}{),3,2,1(21n n n n b n a a b 证明 =-=+是等比数列，并求{b n }的通项公式；（Ⅱ）令.lim ,}log log 1{,31222n n n n n n n T n C C T b C ∞→++⋅=求项和的前为数列已知函数.0),)(()(b a b x a x x x f <<--=其中（Ⅰ）设t x s x x f ==及在)(处取到极值，其中;0:,b t a s t s <<<<<求证（Ⅱ）设)),(,()),(,(t f t B s f s A 求证：线段AB 的中点C 在曲线y=f(x)上；（Ⅲ）若22<+b a ，求证：过原点且与曲线y=f(x)相切的两条直线不可能垂直.在△ABC 中，2321==，又E 点在BC 边上，且满足23=，以A ，B 为焦点的双曲线经过C 、E 两点.（Ⅰ）求此双曲线的方程；（Ⅱ）设M 、N 为双曲线在第一象限内不同的两点，若x 轴上一点T （x 0，0）到M 、N的距离相等，求T 点横坐标x 0取值范围.数学参考答案及评分标准一、选择题1.D2.C3.C4.B5.D6.B7.B8.D9.B 10.A 11.D 12.D 二、填空题13．98 14．1 15．240 16．①②③ 三、解答题17．（Ⅰ）解：ξ可能取的值为0，1，2. P （ξ=k ）=2,1,0,37352=⋅-k C C C k k所以ξ的分布列为……4分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）ξ的数学期望为76727170=⨯+⨯+⨯=ξE …………8分（Ⅲ）由（Ⅰ），“所选3人中男生人数ξ≤1”的概率为767472)1()0()1(=+==+==≤ξξξP P P …………12分 18．解：（Ⅰ）,3126,612πβππβπ≤≤∴≤≤ ∴124212ππβπ≤-≤-………………2分∴)42cos(πβ-=y 的最大值为1 ………………4分此时8,042πβπβ=∴=-…………6分（Ⅱ）由31)tan(222040-=-<-<-⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫<<<<βαπβαππβπα又 02<-<-⇒βαπ…………8分由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=-⇒⎪⎭⎪⎬⎫=-+---=-=-101)cos(101)sin(1)(cos )(sin )cos()sin(31)tan(22βαβαβαβαβαβαβα …………10分而)sin(sin )cos(cos )](cos[cos βααβααβααβ-⋅+-⋅=--= 501095310110354=⋅-⋅= …………12分19．（Ⅰ）证明：∵SA ⊥平面ABC ，SA ⊂平面SAC ，∴平面SAC ⊥平面ABC.作ME ⊥AC ，垂足为E ，则ME ⊥平面ABC ，且E 为AC 中点，N 为AB 中点，∴EN//BC ，又∠ABC=90°，EN ⊥AB ，由三垂线定理，MN ⊥AB.…………4分（Ⅱ）解：作AF ⊥直线DN ，垂足为F ，连SF ，由三垂线定理，SF ⊥DF.∴∠SFA 是二面角S —DN —A 的平面角. ………………6分 ∵∠AFN=∠NBD=90°，∠ANF=∠DNB ，△AFN ∽△BDN ，∴.5tan ,,52,==∠∆=⋅=∴=AF ASAFS AFS Rt ND AN BD AF ND AN BD AF 中在即二面角S —ND —A 的正切值为.5 …………8分（Ⅲ）解：作AK ⊥SF ，垂足为K ， ∵AF ⊥FD ，SF ⊥FD ∴FD ⊥平面SAF ，面ASF ⊥面DSF.又AK ⊥SF ，∴AK ⊥平面SFD ，∴AK 就是A 点到平面SND 的距离. ……10分由Rt △ASF ，,3622=+⋅=⋅=AF AS AF AS SFAFAS AK ∴A 点到面SND 的距离为36. …………12分另解：可由等体积法求出，相应给分.20．（Ⅰ）证明：)24()2(4111+-+=-=-++n n n n n a a S S a )(41--=n n a a ① ………………2分由题知 121122++++-=∴-=n n n nn n a a b a a b又由①∴n n n n n n a a a a a b 422)(4111-=--=+++ )2(21n n a a -=+ …………4分 ∴22)2(2111=--=+++nn n n n n a a a a b b ∴{b n }是等比数列，公比q=2 ………………6分又由5241,24,242212112=∴+=+∴+=+∴+=a a a a a a S∴b 1=a 2－2a 1=5－2=3 ∴11123--⋅=⋅=n n n q b b …………8分（Ⅱ）解：123-==n n n b C ∴111)1(1log log 11222+-=+=++n n n n C C n n∴111)111()4131()3121()211(+-=+-+-+-+-=n n n T n …………10分 1)111(lim lim =+-=∞→∞→n T n n n …………12分 21．解：（Ⅰ）.)(23)(2ab x b a x x f ++-='依题意知，s 、t 是二次方程0)(='x f 的两个实根.∵,0)()(,0)()(,0)0(22>-=-='<-=-='>='a b b ab b b f b a a ab a a f ab f ……2分 ∴0)(='x f 在区间（0，a ）与（a ，b ）内分别有一个实根.∵.0,b t a s t s <<<<∴< …………4分（Ⅱ）由s 、t 是0)(='x f 的两个实根，知.3,3)(2ab st b a t s =+=+ ∴)(32)(274)())(()()()(32233b a ab b a t s ab t s b a t s t f s f +++-=++++-+=+…6分 ∵)),()((21)(31)(272)3()2(3t f s f b a ab b a b a f t s f +=+++-=+=+ 故AB 的中点C （)2(,2t s f t s ++）在曲线y=f(x)上. ……8分（Ⅲ）过曲线上点),(11y x 的切线方程为).]()(23[11211x x ab x b a x y y -++-=-∵)()(1111b x a x x y -⋅-=，又切线过原点.∴].)(23[))((1211111ab x b a x x b x a x x ++--=---解得1x =0，或.21b a x += 当1x =0时，切线的斜率为a b ；当21b a x +=时，切线的斜率为.)(412ab b a ++-……10分 ∵,22,0,0<+>>b a b a ∴两斜率之积.11)1(2)()(41)(])(41[22222-≥--=->⋅+-=⋅++-ab ab ab ab b a ab ab ab b a 故两切线不垂直. ………………12分22．（Ⅰ）以线段AB 的中点O 为原点，直线AB 为x 轴建立直角坐标系，作CD ⊥AB 于D ，由题知：||21=⋅ ① 而A AC AB AC AB cos ||||⋅⋅=⋅ ② 由①②.21||,21cos ==⋅A 即 ………………2分同理，2||,23||==AB BD 则 ∴A （－1，0）、B （1，0）……4分设双曲线方程),(),,21(),0,0(1112222y x E h c b a by a x ->>=- 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===.52,52,2311h y x 得 …………6分因为E 、C 两点在双曲线上，所以⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+==-=-11254254141222222222b a c b h ab h a………………8分解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==767122b a ，∴双曲线方程为1767122=-y x …………10分（Ⅱ）设),(),,(2211y x N y x M ∵2022220121)()(|,|||x x y x x y TN TM -+=-+∴=∴)(2)()()(21021222012022221x x x x x x x x x y y -+-=---=- ① 又M 、N 在双曲线上，满足)(6,1677,16772221222122222121x x y y y x y x -=-∴=-=- ② 将②代入①，)(2)(72102221x x x x x -=-∵021212)(7,x x x x x =+∴≠ …………………………12分又,7)(27,77221021>+=∴>+x x x x x ∴0x 取值范围为（+∞,7） ………………14分（注：其它解法相应给分）。

【高三数学试题精选】2018大连市高考第一次模拟数学试题(理含答案)

，，
又，平面，平面，平面，平面，平面平面
又平面，平面
方法三
取中点，连接，，
在正方形中，是中点，是中点
又是中点，是中点，，
又，
，
，
平面//平面
平面
平面
方法四
平面,且四边形是正方形，两两垂直，以为原点，，，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则
，
则设平面法向量为，
则,即,取，
，
所以，又平面，∥平面
平面,且四边形是正方形，两两垂直，以为原点，，，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则
设平面法向量为，
则,即，
取,
则设平面法向量为，
则,即,取，
平面与平面所成锐二面角的余弦值为
（若第一问用方法四，则第二问部分步骤可省略）
20解由可得，，又因为，所以
所以椭圆方程为，又因为在椭圆上，所以
所以，所以，故椭圆方程为
方法一设的方程为，联立，
消去得，设点，
有
所以令，
有，由
函数，
故函数，在上单调递增，
1-5 6-10 11、12
二、填空题
1314 14 15 16
三、解答题
17解，
当时，，
，，
又数列为等比数列，，
，
又
，
由得
设数列的前项和为
当时，
当时，，
又当时，，
综上，
18解由散点图可以判断适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型
令，先建立关于的线性回归方程
，
，
所以关于的线性回归方程为，
所以关于的线性回归方程为
由知，当时，年销售量的预报值为，
年利润的预报值为
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2018年辽宁省大连市高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，A={x|x≤1}，B={﹣2，0，2}，则∁U（A ∩B）=（）A．{﹣2，0}B．{﹣2，0，2}C．{﹣1，1，2}D．{﹣1，0，2} 2．已知复数z=i（1+i）（i为虚数单位），则复数z在复平面上所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．一已知等差数列{a n}中，其前n项和为S n，若a3+a4+a5=42，则S7=（）A．98 B．49 C．14 D．1474．下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行5．《九章算术》是我国古代数学经典名著，它在集合学中的研究比西方早1千年，在《九章算术》中，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑，已知某“鳖臑”的三视图如图所示，则该鳖臑的外接球的表面积为（）A．200πB．50π C．100πD．π6．函数的图象大致是（）A．B．C．D．7．中国古代算书《孙子算经》中有一著名的问题“物不知数”如图1，原题为：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？后来，南宋数学家秦九韶在其著作《数学九章》中对此类问题的解法做了系统的论述，并称之为“大衍求一术”，如图2程序框图的算法思路源于“大衍求一术”执行该程序框图，若输入的a，b分别为20，17，则输出的c=（）A．1 B．6 C．7 D．118．广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如表（单位：万元）：由表可得到回归方程为=10.2x+，据此模型，预测广告费为10万元时的销售额约为（）A．101.2 B．108.8 C．111.2 D．118.29．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A≠0，ω＞0，0＜φ＜），若f（）=﹣f（0），则ω的最小值为（）A．B．1 C．2 D．10．设f（x）=，直线x=0，x=e，y=0，y=1所围成的区域为M，曲线y=f（x）与直线y=1围成的区域为N，在区域M内任取一个点P，则点P 在区域N内概率为（）A．B．C． D．11．已知F是双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F作E的一条渐近线的垂线，垂足为P，线段PF与E相交于点Q，记点Q到E的两条渐近线的距离之积为d2，若|FP|=2d，则该双曲线的离心率是（）A．B．2 C．3 D．412．给出如下四个命题：①e＞2②ln2＞③π2＜3π④＜，正确的命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．现将5张连号的电影票分给甲乙等5个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有种不同的分法（用数字作答）．14．函数f（x）=e x•sinx在点（0，f（0））处的切线方程是．15．我国古代数学专著《孙子算法》中有“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”如果此物数量在100至200之间，那么这个数．16．过双曲线的焦点F且与一条渐近线垂直的直线与两条渐近线相交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知点，Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数．（1）求函数f（x）的最小值及此时x的值；（2）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，求△ABC的周长的最大值．18．某手机厂商推出一次智能手机，现对500名该手机使用者进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：（1）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的方差大小（不计算具体值，给出结论即可）；（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意取3名用户，求3名用户评分小于90分的人数的分布列和期望．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AD=AP，E为棱PD中点．（1）求证：PD⊥平面ABE；（2）若F为AB中点，，试确定λ的值，使二面角P﹣FM ﹣B的余弦值为．20．已知点P是长轴长为的椭圆Q：上异于顶点的一个动点，O为坐标原点，A为椭圆的右顶点，点M为线段PA的中点，且直线PA 与OM的斜率之积恒为．（1）求椭圆Q的方程；（2）设过左焦点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于C，D两点，线段CD 的垂直平分线与x轴交于点G，点G横坐标的取值范围是，求|CD|的最小值．21．已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x+2）2（x＞0）．（1）若f（x）是（0，+∞）的单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）当时，求证：函数f（x）有最小值，并求函数f（x）最小值的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）若曲线C2的参数方程为（α为参数），曲线C1上点P的极角为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．（1）求证：2a+b=2；（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．2018年辽宁省大连市高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，A={x|x≤1}，B={﹣2，0，2}，则∁U（A ∩B）=（）A．{﹣2，0}B．{﹣2，0，2}C．{﹣1，1，2}D．{﹣1，0，2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据交集和补集的定义写出运算结果即可．【解答】解：全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，A={x|x≤1}，B={﹣2，0，2}，则A∩B={﹣2，0}，∴∁U（A∩B）={﹣1，1，2}．故选：C．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2．已知复数z=i（1+i）（i为虚数单位），则复数z在复平面上所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】首先进行复数的乘法运算，写成复数的代数形式，写出复数对应的点的坐标，根据点的横标和纵标和零的关系，确定点的位置．【解答】解：∵z=i（1+i）=﹣1+i，∴z=i（1+i）=﹣1+i对应的点的坐标是（﹣1，1）∴复数在复平面对应的点在第二象限．故选B．【点评】本题考查复数的代数形式的乘法运算，考查复数在复平面上对应的点的坐标，本题是一个基础题，这种题目若出现一定是一个必得分题目．3．一已知等差数列{a n}中，其前n项和为S n，若a3+a4+a5=42，则S7=（）A．98 B．49 C．14 D．147【考点】等差数列的前n项和．【分析】根据题意和等差数列的性质求出a4的值，由等差数列的前n项和公式求出S7的值．【解答】解：等差数列{a n}中，因为a3+a4+a5=42，所以3a4=42，解得a4=14，所以S7==7a4=7×14=98，故选A．【点评】本题考查等差数列的性质、前n项和公式的灵活应用，属于基础题．4．下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用．【分析】利用直线与平面所成的角的定义，可排除A；利用面面平行的位置关系与点到平面的距离关系可排除B；利用线面平行的判定定理和性质定理可判断C 正确；利用面面垂直的性质可排除D．【解答】解：A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行、相交或异面，故A错误；B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交，故B错误；C、设平面α∩β=a，l∥α，l∥β，由线面平行的性质定理，在平面α内存在直线b∥l，在平面β内存在直线c∥l，所以由平行公理知b∥c，从而由线面平行的判定定理可证明b∥β，进而由线面平行的性质定理证明得b∥a，从而l∥a，故C 正确；D，若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行或相交，排除D．故选C．【点评】本题主要考查了空间线面平行和垂直的位置关系，线面平行的判定和性质，面面垂直的性质和判定，空间想象能力，属基础题．5．《九章算术》是我国古代数学经典名著，它在集合学中的研究比西方早1千年，在《九章算术》中，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑，已知某“鳖臑”的三视图如图所示，则该鳖臑的外接球的表面积为（）A．200πB．50π C．100πD．π【考点】球内接多面体；简单空间图形的三视图．【分析】几何体复原为底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥，扩展为长方体，长方体的对角线的长，就是外接球的直径，然后求其的表面积．【解答】解：由三视图复原几何体，几何体是底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥；扩展为长方体，也外接与球，它的对角线的长为球的直径：=5该三棱锥的外接球的表面积为：=50π，故选B．【点评】本题考查三视图，几何体的外接球的表面积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．6．函数的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】利用函数的奇偶性排除选项，特殊值的位置判断求解即可．【解答】解：函数是偶函数，排除B，x=e时，y=e，即（e，e）在函数的图象上，排除A，当x=时，y=，当x=时，y=﹣=，，可知（，）在（）的下方，排除C．故选：D．【点评】本题考查函数的图象的判断与应用，考查转化思想以及计算能力．7．中国古代算书《孙子算经》中有一著名的问题“物不知数”如图1，原题为：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？后来，南宋数学家秦九韶在其著作《数学九章》中对此类问题的解法做了系统的论述，并称之为“大衍求一术”，如图2程序框图的算法思路源于“大衍求一术”执行该程序框图，若输入的a，b分别为20，17，则输出的c=（）A．1 B．6 C．7 D．11【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序运行过程，即可得出程序运行后输出的c值．【解答】解：模拟执行程序运行过程，如下；a=20，b=17，r=3，c=1，m=0，n=1，满足r≠1；a=17，b=3，r=2，q=5，m=1，n=1，c=6，满足r≠1；a=3，b=2，r=1，q=1，m=1，n=6，c=7，满足r=1；输出c=7．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．8．广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如表（单位：万元）：由表可得到回归方程为=10.2x+，据此模型，预测广告费为10万元时的销售额约为（）A．101.2 B．108.8 C．111.2 D．118.2【考点】线性回归方程．【分析】求出数据中心，代入回归方程求出，再将x=10代入回归方程得出答案．【解答】解：由题意，=4，=50．∴50=4×10.2+，解得=9.2．∴回归方程为=10.2x+9.2．∴当x=10时，=10.2×10+9.2=111.2．故选：C．【点评】本题考查了线性回归方程的特点与数值估计，属于基础题．9．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A≠0，ω＞0，0＜φ＜），若f（）=﹣f（0），则ω的最小值为（）A．B．1 C．2 D．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据f（）=﹣f（0），代入f（x）建立关系，0＜φ＜，可得，﹣＜﹣φ＜0，那么令π≤ω+φ，即可求解ω范围．可得ω的最小值．【解答】解：函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A≠0，ω＞0，0＜φ＜），∵f（）=﹣f（0），即sin（﹣φ）=sin（ω×+φ），∵0＜φ＜，∴﹣＜﹣φ＜0，那么令π＜ω×+φ，可得：φ．令，解得：ω=．故选：A．【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数特性，相邻的两个单调相反的区间存在值相等，属于中档题．10．设f（x）=，直线x=0，x=e，y=0，y=1所围成的区域为M，曲线y=f（x）与直线y=1围成的区域为N，在区域M内任取一个点P，则点P 在区域N内概率为（）A．B．C． D．【考点】几何概型．【分析】首先分别求出两个区域的面积，利用几何概型的公式得到所求．【解答】解：由题意，区域M为长为e，宽为1的矩形，面积为e，曲线y=f（x）与直线y=1围成的区域为N，面积为e﹣，其中，设t=lnx，则=1；所以曲线y=f（x）与直线y=1围成的区域为N，面积为e﹣=e﹣﹣1=e﹣，由几何概型的公式得到；故选A．【点评】本题考查了几何概型的概率求法；关键是利用定积分求出曲线y=f（x）与直线y=1围成的区域为N．11．已知F是双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F作E的一条渐近线的垂线，垂足为P，线段PF与E相交于点Q，记点Q到E的两条渐近线的距离之积为d2，若|FP|=2d，则该双曲线的离心率是（）A．B．2 C．3 D．4【考点】双曲线的简单性质．【分析】E上任意一点Q（x，y）到两条渐近线的距离之积为d1d2===d2，F（c，0）到渐近线bx﹣ay=0的距离为=b=2d，求出可求双曲线的离心率．【解答】解：E上任意一点Q（x，y）到两条渐近线的距离之积为d1d2===d2，F（c，0）到渐近线bx﹣ay=0的距离为=b=2d，∴，∴e==2，故选B．【点评】本题考查双曲线的离心率，考查点到直线距离公式的运用，属于中档题．12．给出如下四个命题：①e＞2②ln2＞③π2＜3π④＜，正确的命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】不等式比较大小．【分析】①利用分析法和构造函数，利用导数和函数的最值得关系即可判断，②根据对数的运算性质即可判断，③利用中间量即可判断，④两边取对数即可判断．【解答】解：①要证e＞2，只要证＞ln2，即2＞eln2，设f（x）=elnx﹣x，x＞0，∴f′（x）=﹣1=，当0＜x＜e时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x＞e时，f′（x）＜0，函数单调递减，∴f（x）＜f（e）=elne﹣e=0，∴f（2）=eln2﹣2＜0，即2＞eln2，∴e＞2，因此正确②∵3ln2=ln8＞ln2.82＞lne2=2．∴ln2＞，因此正确，③π2＜42=16，3π＞33=27，因此π2＜3π，③正确，④∵2π＜π2，∴＜，④正确；正确的命题的个数为4个，故选：D．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．现将5张连号的电影票分给甲乙等5个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有48种不同的分法（用数字作答）．【考点】排列、组合的实际应用．【分析】甲乙分得的电影票连号，有4×2=8种情况，其余3人，有=6种情况，即可得出结论．【解答】解：甲乙分得的电影票连号，有4×2=8种情况，其余3人，有=6种情况，∴共有8×6=48种不同的分法．故答案为48．14．函数f（x）=e x•sinx在点（0，f（0））处的切线方程是y=x．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先求出f′（x），欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：∵f（x）=e x•sinx，f′（x）=e x（sinx+cosx），f′（0）=1，f（0）=0，∴函数f（x）的图象在点A（0，0）处的切线方程为y﹣0=1×（x﹣0），即y=x．故答案为：y=x．15．我国古代数学专著《孙子算法》中有“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”如果此物数量在100至200之间，那么这个数128．【考点】数列的应用．【分析】根据“三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二”找到三个数：第一个数能同时被3和5整除；第二个数能同时被3和7整除；第三个数能同时被5和7整除，将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加即可求出答案．【解答】解：我们首先需要先求出三个数：第一个数能同时被3和5整除，但除以7余1，即15；第二个数能同时被3和7整除，但除以5余1，即21；第三个数能同时被5和7整除，但除以3余1，即70；然后将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加，即：15×2+21×3+70×2=233．最后，再减去3、5、7最小公倍数的整数倍，可得：233﹣105×2=23．或105k+23（k为正整数）．由于物数量在100至200之间，故当k=1时，105+23=128故答案为：12816．过双曲线的焦点F且与一条渐近线垂直的直线与两条渐近线相交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，设出过右焦点且与第一三象限的渐近线垂直的直线方程，与双曲线的渐近线方程联立把A，B表示出来，再由，求出a，b，c的关系，然后求双曲线的离心率．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，设焦点F（c，0），与y=x垂直的直线为y=﹣（x﹣c），由可得A（，）；由可得B（，﹣），再由，可得0﹣（﹣）=2（﹣0），化为a2=3b2=3（c2﹣a2），即为3c2=4a2，则e==．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知点，Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数．（1）求函数f（x）的最小值及此时x的值；（2）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，求△ABC的周长的最大值．【考点】平面向量数量积的运算；基本不等式在最值问题中的应用；余弦定理的应用．【分析】（1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解最值．（2）利用函数的解析式求解A，然后利用余弦定理求解即可，得到bc的范围，然后利用基本不等式求解最值．【解答】解：（1）∵，∴，∴当时，f（x）取得最小值2．（2）∵f（A）=4，∴，又∵BC=3，∴，∴9=（b+c）2﹣bc．，∴，∴，当且仅当b=c取等号，∴三角形周长最大值为．18．某手机厂商推出一次智能手机，现对500名该手机使用者进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：（1）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的方差大小（不计算具体值，给出结论即可）；（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意取3名用户，求3名用户评分小于90分的人数的分布列和期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）求出女性用户和男性用户的频率分布直方图，由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大．（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于90分的人数为4，从6人人任取3人，记评分小于90分的人数为X，则X取值为1，2，3，分别求出相应在的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如下左、右图：由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大．（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于90分的人数为4，从6人人任取3人，记评分小于90分的人数为X，则X取值为1，2，3，，，．所以X的分布列为或．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AD=AP，E为棱PD中点．（1）求证：PD⊥平面ABE；（2）若F为AB中点，，试确定λ的值，使二面角P﹣FM ﹣B的余弦值为．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（I）证明AB⊥平面PAD，推出AB⊥PD，AE⊥PD，AE∩AB=A，即可证明PD⊥平面ABE．（II）以A为原点，以为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系A﹣BDP，求出相关点的坐标，平面PFM的法向量，平面BFM的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】解：（I）证明：∵PA⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴PA⊥AB，又∵底面ABCD为矩形，∴AB⊥AD，PA∩AD=A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，AD=AP，E为PD中点，∴AE⊥PD，AE∩AB=A，AE⊂平面ABE，AB⊂平面ABE，∴PD⊥平面ABE．（II）以A为原点，以为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系A﹣BDP，令|AB|=2，则A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），E（0，1，1），F （1，0，0），，，，M（2λ，2λ，2﹣2λ）设平面PFM的法向量，，即，设平面BFM的法向量，，即，，解得．20．已知点P是长轴长为的椭圆Q：上异于顶点的一个动点，O为坐标原点，A为椭圆的右顶点，点M为线段PA的中点，且直线PA 与OM的斜率之积恒为．（1）求椭圆Q的方程；（2）设过左焦点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于C，D两点，线段CD 的垂直平分线与x轴交于点G，点G横坐标的取值范围是，求|CD|的最小值．【考点】圆锥曲线的最值问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）利用椭圆Q的长轴长为，求出．设P（x0，y0），通过直线PA与OM的斜率之积恒为，化简求出b，即可得到椭圆方程．（2）设直线l方程为y=k（x+1）（k≠0），代入有（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点N（x0，y0），利用韦达定理求出CD的垂直平分线方程，推出，利用弦长公式化简，推出|CD|的最小值．【解答】解：（1）∵椭圆Q的长轴长为，∴．设P（x0，y0），∵直线PA与OM的斜率之积恒为，∴，∴，∴b=1，故椭圆的方程为．（2）设直线l方程为y=k（x+1）（k≠0），代入有（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点N（x0，y0），∴．∴∴CD的垂直平分线方程为，令y=0，得∵，∴，∴．=，．21．已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x+2）2（x＞0）．（1）若f（x）是（0，+∞）的单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）当时，求证：函数f（x）有最小值，并求函数f（x）最小值的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数f'（x）=e x+（x﹣2）e x+2ax+4a，通过f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立．得到，构造函数，利用导函数的单调性以及最值求解即可．（2）通过[f'（x）]′=x•e x+2a＞0，数码y=f'（x）在（0，+∞）上单调递增，利用零点判定定理说明存在t∈（0，1）使f'（t）=0，判断x=t，，推出．即在t∈（0，+∞）上单调递减，通过求解函数的最值，求解f（x）的最小值的取值范围．【解答】解：（1）f'（x）=e x+（x﹣2）e x+2ax+4a，∵函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，∴f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立．∴e x+（x﹣2）e x+2ax+4a≥0，∴，令，，∴，∴．（2）[f'（x）]′=x•e x+2a＞0，∴y=f'（x）在（0，+∞）上单调递增又f'（0）=4a﹣1＜0，f'（1）=6a＞0，∴存在t∈（0，1）使f'（t）=0∴x∈（0，t）时，f'（x）＜0，x∈（t，+∞）时，f'（x）＞0，当x=t时，且有f'（t）=e t•（t﹣1）+2a（t+2）=0，∴．由（1）知在t∈（0，+∞）上单调递减，，且，∴t∈（0，1）．∴，，∴f（1）＜f（t）＜f（0），﹣e＜f（t）＜﹣1，∴f（x）的最小值的取值范围是（﹣e，﹣1）．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）若曲线C2的参数方程为（α为参数），曲线C1上点P的极角为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，可得直角坐标方程．直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得普通方程．（2），直角坐标为（2，2），，利用点到直线的距离公式及其三角函数的单调性可得最大值．【解答】解：（1）曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，可得直角坐标方程：．直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得普通方程：x+2y﹣3=0．（2），直角坐标为（2，2），，∴M到l的距离≤，从而最大值为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．（1）求证：2a+b=2；（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1）法一：根据绝对值的性质求出f（x）的最小值，得到x=时取等号，证明结论即可；法二：根据f（x）的分段函数的形式，求出f（x）的最小值，证明即可；（2）法一，二：问题转化为≥t恒成立，根据基本不等式的性质求出的最小值，从而求出t的范围即可；法三：根据二次函数的性质判断即可．【解答】解：（1）法一：f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=|x+a|+|x﹣|+|x﹣|，∵|x+a|+|x﹣|≥|（x+a）﹣（x﹣）|=a+且|x﹣|≥0，∴f（x）≥a+，当x=时取等号，即f（x）的最小值为a+，∴a+=1，2a+b=2；法二：∵﹣a＜，∴f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=，显然f（x）在（﹣∞，]上单调递减，f（x）在[，+∞）上单调递增，∴f（x）的最小值为f（）=a+，∴a+=1，2a+b=2．（2）方法一：∵a+2b≥tab恒成立，∴≥t恒成立，=+=（+）（2a+b ）•=（1+4++），当a=b=时，取得最小值，∴≥t，即实数t的最大值为；方法二：∵a+2b≥tab恒成立，∴≥t恒成立，t≤=+恒成立，+=+≥=，∴≥t，即实数t的最大值为；方法三：∵a+2b≥tab恒成立，∴a+2（2﹣a）≥ta（2﹣a）恒成立，∴2ta2﹣（3+2t）a+4≥0恒成立，∴（3+2t）2﹣326≤0，∴≤t≤，实数t的最大值为．。