《2.5 矩形》教案
矩形的判定（教案练习）
湘教版数学八年级下册2.5.2矩形的判定课时教学设计课题矩形的判定单元 2 学科数学年级八学习目标情感态度和价值观目标在探究矩形的判别方法的活动中获得成功的体验，通过运用矩形的判定和性质，锻炼克服困难的意志、建立自信心能力目标1、经历利用矩形定义探究矩形其他判别方法的过程，培养学生的观察、思考、推理的意识，发展学生的形象思维和逻辑推理能力。
2、根据矩形的判定进行简单的证明，培养学生的逻辑推理能力和演绎能力。
知识目标经历矩形的判别方法的探究过程，掌握矩形的三种判定方法重点矩形的判定定理的探究难点矩形的判定定理的探究和应用学法自主探究，合作交流教法多媒体，问题引领教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课回顾知识提出问题：木工朋友在制作窗框后，需要检测所制作的窗框是否是矩形，那么他需要测量哪些数据，其根据又是什么呢？学生：积极思考带着问题参与新课.通过实际情境，让学生感受数学来源于生活，数学知识与生活实践密切相关，增加学生的学习、探索兴趣，便于学生以高昂情绪参与本课的探索过程你现在有办法帮他吗?讲授新课从矩形的定义出发有一个角是直角的平行四边形是矩形。
你还有其它的判定方法吗？动脑筋矩形的四个角是直角，那么四个角是直角的四边形是矩形吗？三个角是直角呢？两个角是直角呢？一个角是直角呢？猜想：有三个角是直角的四边形是矩形。
你能证明上述结论吗？已知：在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°从学生的已有的知识出发，利用教具，激发学生的强烈的好奇心和求知欲。
学生经历了将实际问题转化为数学问题的建模过程。
让学生动手动脑，自主发现矩形的判定。
并运用了类比和比较的方式，让学生加深对定义的理解求证：四边形ABCD是矩形。
证明：∵∠A=∠B=90°∴∠A+∠B=180°∴AD∥BC同理可证：AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形又∵∠A=90°∴四边形ABCD是矩形动脑筋从“矩形的两条对角线相等且互相平分”这一性质受到启发，你能画出一个对角线长度是4cm的矩形吗？这样的矩形有多少个？你能说出这样画出矩形的道理吗？猜想：对角线相等的平行四边形是矩形。
矩形的判定教学案
2.5.2 矩形的判断 一、学习目标三维目标内容 重点 难点 知识与技能1、探索并证明矩形的判定定理√ 2、会运用矩形的判定定理判定一个四边形是矩形√ √ 过程与方法 通过操作、观察、讨论等活动，培养学生的动手实践能力和语言表达能力；通过猜想、论证、归纳等数学方法，培养学生严谨的学习态度。
情感态度与价值观 让学生在合作探究中，体验成功的喜悦，激发学习数学的兴趣。
二、课时安排：1课时三、教学过程：（一）目标导入【学生活动一】回顾旧知1、矩形的定义：2、矩形的性质： 边 角 对角线 （二） 目标导学学习目标一：探究三角形的内角和定理【学生活动二】 想一想：有两个角是直角的四边形是矩形吗？有三个角是直角的 四边形是矩形吗？猜想：有三个角是直角的四边形是矩形。
【学生活动三】自主思考后写出证明过程，小组讨论、归纳方法和结论。
如图， 已知:如图,在四边形ABCD 中,∠A ＝∠B ＝∠C ＝90°， 求证:四边形ABCD 是矩形.矩形的性质D B CA【结论】：【学生活动四】工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你知道为什么吗？ 猜想：对角线相等的平行四边形是矩形 。
已知：平行四边形ABCD ，AC=BD 。
求证：四边形ABCD 是矩形。
【结论】矩形的判定方法： 学习目标二：会运用判定方法判断四边形是否为矩形【学生活动】自主思考例题，写出解题过程，代表展示，个别补充。
例 如图2-48，在 ABCD 中，它的两条对角线相交于点O.（1）如果 ABCD 是矩形，试问：△OBC 是什么样的三角形？（2）如果△OBC 是等腰三角形，其中OB=OC ，那么 ABCD 是矩形吗？【方法归纳】【配套练习】 如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠C=∠D ， 求证：四边形ABCD 是矩形.（三）目标导结：（谈谈我的收获与疑问）（三）目标训练：已知：矩形的对角线ABCD 的对角线ＡＣ、ＢＤ相交于点Ｏ，点Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ分别在ＯＡ、ＯＢ、ＯＣ、ＯＤ上，且ＡＥ＝ＢＦ＝ＣＧ＝ＤＨ。
《矩形》教案
《矩形》教案《《矩形》教案》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！名课教了什么1、知识目标：（1）知道什么是矩形（2）理解矩形与平行四边形的关系（3）能说出矩形的性质及推论（4）掌握矩形的判定方法（5）能综合运用矩形的知识解决有关问题2、能力目标：（1）会运用矩形的性质及推论进行有关的论证和计算（2）会运用矩形的判定定理解决有关问题（2）会观察、会比较、会分析、会归纳3、德育目标：初步具有把感性认识上升到理性认识的辩证唯物主义观点。
4、情感目标：养成有良好的学习习惯，有浓厚的学习兴趣。
怎么教的（一用运动方式探索矩形的概念及性质1．复习平行四边形的有关概念及边、角、对角线方面的性质．2．复习平行四边形和四边形的关系．3．用教具演示如图，从平行四边形到矩形的演变过程，得到矩形的概念，并理解矩形与平行四边形的关系．分析：（1）矩形的形成过程是平行四边形的一个角由量变到质变的变化过程．（2）矩形只比平行四边形多一个条件：“有一个角是直角”，不能用“四个角都是直角的行四边形是矩形”来定义矩形．（3）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质（共性），还具有它自己特殊的性质（个性）．（4）从边、角、对角线方面，让学生观察或度量猜想矩形的特殊性质．①边：对边与平行四边形性质相同，邻边互相垂直（与性质定理1等价）．②角：四个角是直角（性质定理 1）．③对角钱：相等且互相平分（性质定理2）．4．证明矩形的两条性质定理及推论．引导学生利用矩形与平行四边形的从属关系、矩形的概念以及全等三角形的知识，规范证明两条性质定理及推论．指出：推论叙述了直角三角形中线段的倍分关系，是直角三角形很重要的一条性质．二应用举例例1已知：如图，矩形 ABCD，AB长8 cm ，对角线比 AD边长4 cm．求AD的长及A到BD的距离AE的长．分析：（1）矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，在此可以让学生作一个系统的复习，在直角三角形中，边：勾股定理斜边中线等于斜边的一半角：两锐角互余.边角关系：30°角所对的直角边等于斜边的一半。
《矩形》教案
《矩形》教案教学目标：1．掌握矩形的概念、性质和判别条件．2．提高对矩形的性质和判别在实际生活中的应用能力．教学重点、难点：教学重点：本节课的重点是矩形的性质和常用判别方法的理解和掌握．教学难点：本节课的难点是矩形的性质和常用判别方法的综合应用．教学过程：一．巧设情境问题，引入课题给出活动的平行四边形教具，请学生观察当它的一个内角由锐角变为钝角的过程中，会形成怎样的特殊图形情况．进而引入本节课的主题——矩形．二．讲授新课主要环节：(1)根据演示过程，请学生尝试给矩形下定义．(2)寻找生活中的矩形．(3)从对称的角度再认识矩形．(4)探索矩形的性质．(5)通过练习，加强学生对矩形性质的理解．(6)矩形的判定．(一)矩形的概念、性质矩形是学生比较熟悉的图形，小学甚至更早学生就已经接触到．但是当时对于矩形的理解和认识是停留在表象层面的，即提到矩形，学生往往联想到的是具体的图形和形象，不能离开实物去研究图形．随着学生的思维水平的提高，这里采取的动画的方式，请学生给矩形下定义，就是要让学生在直观从把握矩形的本质特征，从而将对矩形的理解上升到形式化的高度．1．矩形的概念在上面学习和小学的知识基础上，引导学生归纳出矩形的概念．有一角是直角的平行四边形是矩形．让学生举出三个日常生活中的矩形的实例．2．矩形的性质根据上面的定义提问：(1)矩形是不是平行四边形？(2)平行四边形是不是矩形？(3)平行四边形的性质矩形有没有也具备？(4)矩形有没有与平行四边形不同的性质？教师在学生回答的基础上，引导学生得出：矩形不但具备一般平行四边形的所有性质，还具备一般平行四边形没有的特殊性质：3．探究(1)如图，剪出一个矩形纸片ABCD，点O是这个矩形的中心．请你用折叠的方法，验证它是轴对称图形．矩形有几条对称轴，它们都经过矩形的中心吗？(2)拿出准备好的平行四边形活动框架，来做一做：在一个平行四边形活动框架上，用两根像皮筋分别套在相对的两个顶点上，拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状：①随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？②当∠α是锐角时，两条对角线的长度有什么关系？当∠α是钝角时呢？③当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时两条对角线的长度有什么关系？(学生进行活动，探索矩形的性质)当∠α是锐角或钝角时，两条对角线是不相等的．当∠α是直角时，平行四边形变为矩形，这时两条对角线的长度相等．归纳矩形的性质：(引导学生归纳，并体会矩形的“对称美”．)矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形．矩形的性质：定理1．矩形的四个角都是直角；定理2．矩形的对角线相等；教师根据矩形的性质2，画出图形，写出已知、求证，让学生独立完成性质2的证明．已知：如图，AC和BD是矩形ABCD的对角线；求证：AC=BD．ADB C教师让学生独立完成证明过程，让一位学生板演，教师是学生完成证明过程后，进行点评指正．4．习题演示如图，四边形ABCD 是矩形，△PBC 和△QCD 都是等边三角形，且点P 在矩形上方，点Q 在矩形内．求证：(1)∠PBA =∠PCQ =30°；(2)P A =PQ ．证明：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC =∠BCD =90°．∵△PBC 和△QCD 是等边三角形，∴∠PBC =∠PCB =∠QCD =60°，∴∠PBA =∠ABC －∠PBC =30°∠PCD =∠BCD －∠PCB =30°．∴∠PCQ =∠QCD －∠PCD =30°．∴∠PBA =∠PCQ =30°．(2)∵AB =DC =QC ，∠PBA =∠PCQ ，PB =PC ，∴△P AB ≌△PQC ，∴P A =PQ ．如图，在矩形ABCD 中，点E F 、分别在边AD DC 、上，ABE DEF △∽△，692AB AE DE ===，，，求EF 的长．证明：∵四边形ABCD 是矩形，AB =6∴∠A =∠D =90°，DC =AB =6又∵AE =9∴在Rt △ABE 中，由勾股定理得：BE =117692222=+=+AB AE ，∵ABE DEF △∽△， AC BD PQA B CDE F∴EF BE DE AB =，即EF11726=， ∴EF =3117． (二)矩形的判定我们已知矩形性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角．(出示符号语言)1．问题：若平形四边形的对角线相待，则它是矩形吗？(由学生分析)矩形判定：对角线相等的平行四边形是矩形．(出示符号语言)2．矩形的判定定理定理1．有三个角是直角的四边形是矩形；定理2．对角线相等的四边形是矩形．3．矩形判断定理的证明(1)证明定理1教师做启发性提问：①定理的条件是什么？结论是什么？②在没有这个判定定理以前，我们要证明一个四边形是矩形，只能根据什么方法来证明？③因此证明这个定理应该先证明什么？再证明什么？教师在学生回答后，让学生自己独立的完成证明．(2)证明定理2教师对照右边的图形，写出已知、求证如下．已知：在平行四边形ABCD 在中，AC =BD ，求证：平行四边形ABCD 是矩形．教师做启发性提问：①条件是什么？结论是什么？②要证明一个四边形是矩形，根据矩形的定义，只需证明什么？③要证明有一个角是直角，根据相邻的两个角互补，只需要证明什么？于是就归结为证明怎样的两个三角形全等？④如果选择要证明全等的两个三角形是△ABC 和△DCB ，它们已经满足哪些条件？这些条件能证明它们全等吗？根据是什么？在学生回答后让学生口述证明过程，教师在指正的基础上同步板书，证明过程略．4．讲解范题一张四边形的纸板ABCD 的形状如图(1)，它的两条对角线互相垂直．如果要从这张纸板中剪出一个矩形，并且使它的四个顶点分别落在四边形ABCD 的四条边上，可以怎么剪？(2)(1)A C教师引导学生利用三角形的中位线定理，分别取AB 、BC 、CD 、DA 的中点E 、F 、G 、H ，任何再利用三角形的中位线定理进行证明，证明过程略．三、课堂小结1．矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，有两条对称轴．2．矩形不但具备一般平行四边形的所有性质，还具备一般平行四边形没有的特殊性质是：(1)矩形的四个角都是直角；(2)矩形的对角线相等．3．针对判定一个四边形是矩形的判定方法进行小结，特别指出要利用判定定理2进行判定时要具备两个条件：(1)这个四边形是平行四边形；(2)对角线要相等．这两个条件缺一不可．四、布置作业1．课本136页习题A 组．2．课本139页习题A 组．。
【说课】2.5矩形
2.5矩形一、教材分析矩形是最为常见的平行四边形，本节教材先利用平行四边形活动木框进行演示，让学生以直观感知与操作确认为基础，通过适当的类比迁移，数学说理，分析矩形与平行四边形的联系与区别，揭示矩形的概念与所具有的性质。
进而通过例题，练习题的分析与解答，让学生学会运用己得的矩形性质解决简单的推理与计算问题。
本节教材注意强化对图形变换的理解，把矩形性质的形成、发展、应用的过程展现在学生面前，让学生通过动手实践、理性思考获得新知，给学生提供探索与交流的空间，培养学生提出问题、探究问题和解决问题的能力。
二、教学目标：（一）知识目标: 掌握矩形的概念与有关性质，并会利用这些知识进行简单的推理与计算。
（二）能力目标：在了解矩形与平行四边形之间的关系，掌握、运用矩形性质的过程中，渗透数形结合、转化化归与方程思想，进一步提高学生的分析问题与解决问题的能力。
（三）情感目标：通过动手操作、观察比较、合作交流，激发学生的学习兴趣，让学生增强学习信心，体验探索与创造的快乐。
三、教学重点：（一）矩形概念的理解；（二）掌握、运用矩形的性质。
四、教学难点：（一）了解矩形与平行四边形的联系与区别。
（二）运用矩形的性质进行简单的推理与计算。
五、教学用具：（一）学生：方格纸、小刀。
（二）教师：平行四边形活动木框、多媒体课件。
六、教学过程：（一）复习引入1.实物演示：展示平行四边形活动木框。
问题：它具有什么性质？（平行四边形的性质：①中心对称图形；②两组对边平行且相等；③对角相等；④对角线互相平分）2.推动平行四边形活动木框上边的D点问题：你发现什么？（提问）（1）木框随四个内角大小发生变动，但仍保持平行四边形形状。
（为什么？）（2）在推动过程中，当一个内角变为直角时，木框形状为特殊的平行四边形，即为小学已学过的长方形，现称为矩形。
（二）探究新知1. 矩形与平行四边形的联系由上面教学过程知：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
2.矩形的性质（1）矩形既然为特殊的平行四边形，则它必然是中心对称图形，故具备平行四边形的所有性质。
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2.5 矩形（2）重点、难点：重点：矩形的对称性的产生过程及应用难点：矩形的轴对称性的证明和应用。
教学过程一创设情景，导入新课1 复习：（1）什么叫轴对称图形？怎样判断两点A,B关于直线l对称。
如果一个图形沿着某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫轴对称图形.连结A、B，如果直线l垂直AB且平分AB，那么点A、B关于直线l对称。
（2）什么叫矩形？矩形和平行四边形对比，共同的性质是什么？矩形独特的性质是什么？有一个角是直角的平行四边形叫矩形。
矩形和平行四边形共同的性质是：对边平行、对角相等，对角线互相平分。
矩形独特的性质是：矩形的对角线相等，矩形是四个角是直角。
（3）怎样判断一个四边形是矩形？A 如果一个四边形是平行四边形，可以判断其中有一个角是直角或对角线相等。
B 如果一个四边形有一个角是直角，或对角线相等，可以判断它是平行四边形2 矩形具有哪些对称性呢？这节课我们来学习这个问题。
二合作交流，探究新知1 矩形的轴对称性（1）做一做：在纸上画一个矩形ABCD，把它剪下来。
①先沿着矩形的对角线所在直线折叠，观察对角线两旁的部分能否重合？由此你发现什么？（矩形的对角线所在直线不是矩形的对称轴）②怎样折叠才能使折痕两旁的部分互相重合呢？试试看，你有几种方法？由此你发现了什么？矩形是轴对称图形，过每一组对边的中点的直线都是矩形的对称轴。
（2）想一想：矩形为什么是轴对称图形，过每一组对边中点的直线为什么都是矩形的对称轴？你能说出理由吗？（交流讨论）分析：设E、F、M、N分别是AB,CD，AD,BC的中点。
要判断矩形关于直线EF对称，只需要判断点A、点B关于直线EF对称就可以了，怎样判断点A、点B关于直线EF对称呢？（交流讨论）（只需要判断直线EF垂直平分线段AB，）怎样判断直线EF垂直平分线段AB呢？（（∵四边形ABCD是矩形，∴OA=12AC=OB=12BD,BloNMFED CBAFENMD CBAO又∵E 是AB 的中点 ∴EF 垂直平分AB ），你能写出证明过程吗？解：∵四边形ABCD 是矩形，∴OA=12AC=OB=12BD,（矩形的对角线相等且互相平分） ∵E 是AB 的中点 ∴EF 垂直平分AB （等腰三角形底边上的中线和底边上的高互相重合）∴ 点A 、B 关于直线EF 对称，同理：点C 、D 关于直线EF 对称，∴矩形关于直线EF 对称，同理：矩形关于直线MN 对称。
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矩形既是轴对称图形（过每一组对边中点的直线都是矩形的对称轴）又是中心对称图形（对称中心就是对角线交点）。
归纳：角：矩形的四个角都是直角（对角相等、邻角互补）边：（对边相等）对角线：矩形的对角线相等（互相平分）对称性：中心对称和轴对图形。（并与平行四边形的性质比较）
矩形的性质
课题
矩形的性质
本课（章节）需16课时，本节课为第10课时，为本学期总第20课时
教学目标
知识与技能：1、掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系；2、会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题。
过程与方法：经历探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理的意识；掌握几何思维方法。并渗透运动联系、从量变到质变的观点。
3、应用迁移、巩固提高
例1、如图，矩形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AC=4cm ,∠AOB=60°，求BC的长。
利用矩形性质、等边三角形
性质、勾股定理来解答。
解：略。
活动3：老师引导学生观察矩形ABCD，用多媒体课件演示从矩形中抽象出直角三角形，学生归纳，教师补充得出矩形性质的推论，并引导学生证明。探究直角三角形斜边上的中线的性质：
二、新知引入：
让学生举例说说生活中的特殊平行四边形根据学生的回答，选择其中的矩形来研究。（学生可能说到长方形、正方形等）
三、新知探究：
1、矩形的定义．
教具和课件演示活动平行四边形的的变化过程，当变化到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形？（小学学过的长方形）引出本课题及矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)。
提问：①如图，通过以上对矩形性质的探究，你能进一步发现图中有多少个直角三角形吗？有多少个等腰三角形吗？你能发现线段AO、CO、BO、DO之间的大小关系吗？这四条线段与AC、BD又是什么关系呢？如果只看直角三角形ABC，BO是什么边上的什么线？你能说说这个结论吗？②通过和学生一起回答上面的问题进一步推理得出：
2.5.1 矩形的性质教案
公开课教学设计
2.5.1 矩形的性质
教学目标
1．知识目标：掌握矩形的概念、掌握矩形的相关性质；
2．水平目标：培养合情推理水平，养成主动探究习惯，掌握说理的基本方法；3．情感目标：在对矩形特殊性质的探索过程中，使学生感受到图形中的对称美，体会到数学来源于生活又应用于生活，从而增强学生学习数学的兴趣。
教学重点和难点
重点：矩形的性质及其应用。
难点：矩形性质定理、推论的综合应用.
教学过程
一、导入新课
展示PPT上的两幅图
二、实践探究
以观察图形为引入，让学生从平行四边形中体会矩形，从而发现平行四边形与矩形之间的联系..
1.矩形的概念
有一个角是直角的平行四边形是矩形
教师引导学生理解：图形的概念具有两方面的含义，它既是图形的一条性质，又是判别图形的条件．平行四边形只要具备了“有1个角是直角”的条件，它就是矩形；反过来，如果四边形是矩形．那么它必定是“有1个角是直角的平行四边形”．2、矩形的性质
教师引导学生从边、角和对角线来探索矩形的特殊性质
同学们用矩形纸片，通过折叠和旋转探索矩形的对称性之后,再探索其特有的性质。
通过合作让学生归纳出矩形的性质：
归纳(一)：
矩形的性质1：矩形的四个角都是直角.
矩形的性质2：矩形的对角线相等.
学生比较平行四边形和矩形的相关性质，并填写下表：
平行四边形矩形
定义
有两组对边分
别平行的四边
形叫做平行四
边形
有一个角是直角的平行四
边形是矩形。
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2.5矩形（1）情感与态度目标：1．在操作活动过程中，加深对矩形的的认识，并以此激发学生的探索精神.2．通过对矩形的探索学习，体会它的内在美和应用美.教学重点：矩形的性质和常用判别方法的理解和掌握.教学难点：矩形的性质和常用判别方法的综合应用.教学方法：分析启发法教具准备：像框，平行四边形框架教具，多媒体课件.教学过程设计：一. 情境导入：演示平行四边形活动框架，引入课题.二．讲授新课：1. 归纳矩形的定义：问题：从上面的演示过程可以发现：平行四边形具备什么条件时，就成了矩形？（学生思考、回答.）结论：有一个内角是直角的平行四边形是矩形.2．探究矩形的性质：（1）. 问题：像框除了“有一个内角是直角”外，还具有哪些一般平行四边形不具备的性质？（学生思考、回答.）结论：矩形的四个角都是直角.（2）. 探索矩形对角线的性质：让学生进行如下操作后，思考以下问题：（幻灯片展示）在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上，拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状.①. 随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？②.当∠α是锐角时，两条对角线的长度有什么关系？当∠α是钝角时呢？③.当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时两条对角线的长度有什么关系？（学生操作，思考、交流、归纳.）结论：矩形的两条对角线相等.（3）. 议一议：（展示问题，引导学生讨论解决.）①. 矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？如果不是，简述你的理由.②. 直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半，你能用矩形的有关性质解释这结论吗？（4）. 归纳矩形的性质：（引导学生归纳，并体会矩形的“对称美”.）矩形的对边平行且相等； 矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等且互相平分；矩形是轴对称图形.例解：（性质的运用，渗透矩形对角线的“化归”功能.）如图，在矩形ABCD 中，两条对角线AC ，BD 相交于点O ，AB=OA=4厘米.求BD 与AD 的长.（引导学生分析、解答.） 探索矩形的判别条件：（由修理桌子引出） （1）. 想一想：（学生讨论、交流、共同学习）对角线相等的平行四边形是怎样的四边形？为什么？ 结论：对角线相等的平行四边形是矩形.（理由可由师生共同分析，然后用幻灯片展示完整过程.）（2）. 归纳矩形的判别方法：（引导学生归纳）有一个内角是直角的平行四边形是矩形.对角线相等的平行四边形是矩形.三．课堂练习：（出示P60随堂练习题，学生思考、解答.）四．新课小结：通过本节课的学习，你有什么收获？ （师生共同从知识与思想方法两方面小结.）五．作业设计：P63习题2.5第1、5题.板书设计:的判别条件：。
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2.5 矩形教学目标：1．理解并掌握矩形的判定方法．2．使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力重点、难点1．重点：矩形的判定．2．难点：矩形的判定及性质的综合应用．3．难点的突破方法：矩形是有一个角是直角的平行四边形，在判定一个四边形是不是矩形时，首先看这个四边形是不是平行四边形，再看它两边的夹角是不是直角，这种用“定义”判定是最重要和最基本的判定方法（这体现了定义作用的双重性、性质和判定）．而其它判定都是以“定义”为基础推导出来的．因此本节课要从复习矩形定义下手，并指出由平行四边形．．．．．得到矩形只需要添加一个独立条件，然后让学生思考讨论，如果小华做出的是一个平行四边形，再加一个什么条件可以说明它是一个矩形呢？从而导出矩形判定方法．对于判定方法1，要着重说明这个性质包括两个条件：（1）是平行四边形；（2）两条对角线相等．对于判定2，只要求是四边形即可，因为由有三个角是直角，可以推出四边形是平行四边形，而由对角线相等却推不出四边形是平行四边形．为了加深印象，我们安排了例1，在教学中可以适当地再增加一些判断的题目．要让学生知道（1）矩形的判定方法有以下三种：①一个角是直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形；③有三个角是直角的四边形．（2）而由矩形和平行四边形及四边形的从属关系将矩形的判定方法又可分为两类：①从四边形出发必须增加三个特定的独立条件；②从平行四边形出发只需再增加一个特定的独立条件．（3）特别地：①如果所给四边形添加的条件不满足三个的肯定不是矩形；②所给四边形添加的条件是三个独立条件，但若与判定方法不同，则需要利用定义和判定方法证明或举反例，才能下结论．在教学中，除教材中所举的门框或矩形零件外，还可以结合生产生活实际说明判定矩形的实用价值．三、例题的意图分析本节课的三个例题都是补充题，例1在的一组判断题是为了让学生加深理解判定矩形的条件，老师们在教学中还可以适当地再增加一些判断的题目；例2是利用矩形知识进行计算；例3是一道矩形的判定题，三个题目从不同的角度出发，来综合应用矩形定义及判定等知识的．四、课堂引入1．什么叫做平行四边形？什么叫做矩形？2．矩形有哪些性质？3．矩形与平行四边形有什么共同之处？有什么不同之处？4．事例引入：小华想要做一个矩形像框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形像框吗？看看谁的方法可行？通过讨论得到矩形的判定方法．矩形判定方法1：对角钱相等的平行四边形是矩形．矩形判定方法2：有三个角是直角的四边形是矩形．（指出：判定一个四边形是矩形，知道三个角是直角，条件就够了．因为由四边形内角和可知，这时第四个角一定是直角．）五、例习题分析例1（补充）下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？（1）有一个角是直角的四边形是矩形； （×）（2）有四个角是直角的四边形是矩形； （√）（3）四个角都相等的四边形是矩形； （√）（4）对角线相等的四边形是矩形； （×）（5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形； （×）（6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形； （√）（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； （×）（8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（√） （9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形． (√)指出：（l ）所给四边形添加的条件不满足三个的肯定不是矩形；（2）所给四边形添加的条件是三个独立条件，但若与判定方法不同，则需要利用定义和判定方法证明或举反例，才能下结论．例2 （补充）已知 ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，△AOB 是等边三角形，AB=4cm ，求这个平行四边形的面积．分析：首先根据△AOB 是等边三角形及平行四边形对角线互相平分的性质判定出ABCD 是矩形，再利用勾股定理计算边长，从而得到面积值．解：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AO=21AC ，BO=21BD ． ∵ AO=BO ，∴ AC=BD ．∴ ABCD 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．在Rt△ABC 中，∵ AB=4cm ，AC=2AO=8cm ，∴ BC=344822=-（cm ）．例3 （补充） 已知：如图（1），ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点E ，F ，G ，H ．求证：四边形EFGH是矩形．分析：要证四边形EFGH 是矩形，由于此题目可分解出基本图形，如图（2），因此，可选用“三个角是直角的四边形是矩形”来证明．证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AD ∥BC ．∴ ∠DAB ＋∠ABC=180°．又 AE 平分∠DAB ，BG 平分∠ABC ，∴ ∠EAB ＋∠ABG=21×180°=90°． ∴ ∠AFB=90°．同理可证 ∠AED=∠BGC=∠CHD=90°．∴ 四边形EFG H 是平行四边形（有三个角是直角的四边形是矩形）．六、随堂练习1．（选择）下列说法正确的是（ ）．（A ）有一组对角是直角的四边形一定是矩形（B ）有一组邻角是直角的四边形一定是矩形（C ）对角线互相平分的四边形是矩形 （D ）对角互补的平行四边形是矩形2．已知：如图 ，在△ABC 中，∠C ＝90°， CD 为中线，延长CD 到点E ，使得 DE ＝CD ．连结AE ，BE ，则四边形ACBE 为矩形．七、课后练习1．工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：⑴ 先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使AB ＝CD ，EF ＝GH ；⑵ 摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是 形，根据的数学道理是： ； ⑶ 将直角尺靠紧窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④），说明窗框合格，这时窗框是 形，根据的数学道理是： ；2．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=2AC ，求∠A 、∠B 的度数．。
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2.5 矩形(1)教学目标知识与技能：了解矩形的有关概念，理解并掌握矩形的有关性质．过程与方法：经过探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理意识；掌握几何思维方法．情感态度与价值观：培养严谨的推理能力，以及自主合作精神；体会逻辑推理的思维价值．重难点、关键重点：掌握矩形的性质，并学会应用．难点：理解矩形的特殊性．关键：把握平行四边形的演变过程，迁移到矩形概念与性质上来，明确矩形是特殊的平行四边形．教学准备教师准备：投影仪，收集有关矩形的图片，制作教具．（图19．2-2）学生准备：复习平行四边形性质，预习矩形这节内容．学法解析1．认知起点：已经学习了三角形、平行四边形，•积累了一定的经验的基础上学习本节课内容．2．知识线索：情境与操作→平行四边形→矩形→矩形性质．3．学习方式：观察、操作、感知其演变，以合作交流的学习方式突破难点．教学过程一、联系生活，形象感知【显示投影片】教师活动：将收集来的有关长方形图片，播放出来，让学生进行感性认识，然后定义出矩形的概念．矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．（也就是小学学习过的长方形）．教师活动：介绍完矩形概念后，为了加深理解也为了继续研究矩形的性质，拿出教具．同学生一起探究下面问题：问题1：改变平行四边形活动框架，将框架夹角∠α变为90°，•平行四边形成为一个矩形，这说明平行四边形与矩形具有怎样的从属关系？（教师提问）学生活动：观察教师的教具，研究其变化情况，可以发现：矩形是平行四边形的特例，是属于平行四边形，因此它具有平行四边形所有性质．问题2：既然它具有平行四边形的所有性质，•那么矩形是否具有它独特的性质呢？（教师提问）学生活动：由平行四边形对边平行以及刚才变角∠α为90°可以得到∠α的补角也是90°，从而得到矩形四个角都是直角．评析：实际上，在小学学生已经学过长方形四个角都是90°，这里学生不难理解．教师活动：用橡皮筋做出两条对角线，让学生观察这两条对角线的关系，并要求学生证明（口述）．学生活动：观察发现：矩形的两条对角线相等，口述证明过程是：充分利用（SAS）三角形全等来证明．口述：∵四边形A BCD是矩形∴∠ABC=∠DCB=90°，AB=DC又∵BC为公共边∴△ABC≌△DCB（SAS）∴AC=BD教师提问：AO=_____AC，BO=______BD呢？（12，12）BO是Rt△ABC的什么线？•由此你可以得到什么结论？学生活动：观察、思考后发现AO=12AC，BO=12BD，BO是R t△ABC的中线．•由此归纳直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半（师生回忆）．【设计意图】采用观察、操作、交流、演绎的手法来解决重点突破难点．二、范例点击，应用所学例1 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠AOB=60°，AB=4cm，•求矩形对角线的长．（投影显示）思路点拨：利用矩形对角线相等且平分得到OA=OB，由于∠AOB=60°，因此，•可以发现△AOB为等边三角形，这样可求出OA=AB=4cm，∴AC=BD=2OA=8cm．【活动方略】教师活动：板书例1，分析例1的思路，教会学生解题分析法，然后板书解题过程（课本P104）学生活动：参与教师讲例，总结几何分析思路．【问题探究】（投影显示）如图，△ABC 中，∠A=2∠B ，CD 是△ABC 的高，E 是AB 的中点，求证：DE=12AC ．思路点拨：本题可从E 是AB 的中点切入，考虑应用三角形中位线定理．应用三角形中位线必需找到另一个中点．分析可知：可以取BC 中点F ，也可以取AC 的中点G 为尝试．【活动方略】教师活动：操作投影仪，引导、启发学生的分析思路，教会学生如何书写辅助线．学生活动：分四人小组，合作探索，想出几种不同的证法．证法一：取BC 的中点F ，连结EF 、DF ，如图（1）∵E 为AB 中点，∴EF //12AC ，∴∠FEB=∠A ， ∵∠A=2∠B ，∴∠FEB=2∠B ．DF=12BC=BF ， ∴∠1=∠B ，∴∠FEB=2∠B=2∠1=∠1+∠2，∴∠1=∠2，∴DE=EF=12AC ． 证法二：取AC 的中点G ，连结DG 、EG ，∵CD 是△AB C 的高， ∴在Rt △ADC 中，DG=12AC=AG ， ∵E 是AB 的中点，∴GE ∥BC ，∴∠1=∠B ．∴∠GDA=∠A=2∠B=2∠1，又∠GDA=∠1+∠2，•∴∠1+∠2=2∠1，∴∠2=∠1，∴DE=DG=12AC ．【设计意图】补充这道演练题是训练学生的应用能力，提高一题多解的意识，形成几何思路．三、随堂练习，巩固深化【探研时空】已知：如图，从矩形ABCD的顶点C作对角线BD的垂线与∠BAD的平分线相交于点E．求证：AC=CE．思路点拨：要证AC=CE，可以考虑∠E=∠CAE，AE平分∠BAD，所以∠DAE=∠BAE，•因此，从中发现∠CAE=∠DAE-∠DAC．另外一个条件是CE⊥BD，这样过A作AF⊥BD于F，则AF∥CE，•可以将∠E•转化为∠FAE，∠FAE=∠BAE-∠FAE．现在只要证明∠BAF=∠DAC即可，而实际上，∠BAF=∠BDA=•∠DAC，问题迎刃而解．四、课堂总结，发展潜能1．矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，因此，•矩形是平行四边形的特例，具有平行四边形所有性质．2．性质归纳：（1）边的性质：对边平行且相等．（2）角的性质：四个角都是直角．（3）对角线性质：对角线互相平分且相等．（4）对称性：矩形是轴对称图形．。
湘教初中数学八下《2.5矩形》课堂教学课件 (3)
类似地，过点O作直线MN⊥AB，且分别与边AB， DC相交于点M，N，则点M，N分别是边AB，DC的中点 ，直线MN是矩形ABCD的一条对称轴.
F
A
D
M
O
N
B
C
E
结论
由此得到： 矩形是轴对称图形，过每一组对边中点
的直线都是矩形的对称轴.
练习
1. 已知矩形的一条对角线的长度为2cm，两条对角线的 一个夹角为60°，求矩形的各边长.
∴ OB=OA=OC=1 2来自AC.中考 试题
例
如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相 交于点O，若∠AOB=60°，AB=4cm，则AC的 长为 8 cm.
解析 由矩形性质及∠AOB=60°， 可得∠ ACB=30°. 在Rt△ABC中， ∵AB=4， ∴AC=2AB=8cm.
结束
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动脑筋
如图2-42，四边形ABCD为矩形，那么对角 线AC与DB相等吗？
图2-42
如图，四边形ABCD是矩形，
于是有 AB=DC， ∠CBA=∠BCD=90° ， BC=CB.
因此 △CBA≌△BCD. (SAS)
从而
AC=BD.
即矩形的对角线相等.
图2-42
结论
由此得到矩形的性质： 矩形的对角线相等.
图2-43
BC AC 2 AB2 42 22 2 3(cm).
做一做
在纸上画一个矩形ABCD(如图2-44)，把它剪下来， 怎样折叠能使矩形在折痕两旁的部分互相重合？满足这 个要求的折叠方法有几种？由此猜测：矩形是轴对称图 形吗？如果是，它有几条对称轴？你的猜测正确吗？
图2-44
如图，矩形ABCD的对角线相交于点O.
湘教版八下教案：2.5.1 矩形的性质
O D C BA 2.5 矩 形2.5.1 矩形的性质学习目标：1、理解矩形的意义，知道矩形与平行四边形的区别与联系.2、掌握矩形的性质定理，会用性质定理进行有关的计算与证明.学习重点：矩形的性质.学习难点：用性质定理进行有关的计算与证明.教学方法：练讲练学习过程：1.知识回顾：如下图：（1）左图是一个平行四边形，回忆平行四边形有哪些性质？（2）四边形具有不稳定性，即当一个四边形的四条边长保持不变时，它的形状是可以变化的.现在使左图的平行四边形保持边长不变，而将一个内角的度数不断变化，那么在变化过程中，何时平行四边形的面积最大？这时这个平行四边形的内角是多少度？为什么（3）总结：矩形的定义：有一个角是．．．．． 的平行四边形，叫做矩形. （4）练习：四边形、平行四边形、矩形有什么关系？2.一起探究：在上述变化过程中，当一个内角是90°时，其余三个内角各是多少度？ 它的两条对角线长又具有什么关系？（1）由于矩形是特殊的平行四边形，因此它具有平行四边形的所有性质，还具有平行四边形不具有的特殊性质．．．．.．如图，同学们研究矩形的性质，填写下表：（2）你能证明以下性质的正确性吗？⑴矩形的四个角都是直角⑵矩形的对角线相等3.巩固练习（1）矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）A.对角相等B.对边相等C.对角线相等D.对角线互相平分（2）已知矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，AB=3,BC=4, 则矩形ABCD 的对角行长是 ，周长是 ， 面积是 .矩形的性质 边 角 对角线 对称性 具有平行四边形的所有性质具有平行四边形不具有的特殊性质变式：右图中，如果矩形ABCD 的两条对角线相交于点O, ∠AOB=60°,AB=4cm,求矩形对角线的长，周长和面积.（3）如图，在矩形ABCD 中，E 为AD 上一点，EF ⊥CE ， 交AB 于点F ，DE=2，矩形的周长为16.且CE=EF.求AE 的长.4.能力提升： （1）已知，矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ， 过点B 作BE ∥AC,交DC 的延长线于点E.求证：BD=BE.(2)在矩形ABCD 中，AB=3,AD=4,P 为AD 上一点， 过点P 作PE ⊥AC ，PF ⊥BD,垂足分别为E,F.求PE+PF 的值.（3）在矩形ABCD 中，AB=3,AD=4,E 为CD 的中点，连接AE 并延长，交BC 的延长线与点F ，连接DF.求DF 的长.课堂小结 课后作业 A B C DE F A B C D E O P A B C D E F A B C D F E。
八年级下册 第2章 2.5 矩形的性质
；
④对称性：矩形既是 中心 对称图形，对称中心是
对角线的交点 ；又是 轴
对称图形，有
2 条对称轴。
矩形性质符号表示：如图，在矩形ABCD中：
AB ∥ CD，, AB ＝ CD，AD ∥ BC ,AD ＝ BC
∠ AB ＝ ∠ BC ＝ ∠ CD ＝ ∠ DA ＝90 °
AC=CBD = 2 ODA =2O =A 2O = 2BO ,
符号表示：如图，在 ABCD中，
若 ∠ABC＝90 ° ，则 ABCD是矩形。
2、矩形的性质可根邻用据角与SA矩互平S证形补行明的，四△定对边A义角形BC和相的≌平等性△A行质D四相CB边同得形到中AC＝DBD
①边：对边 平行且相等 ；
O
②角：矩形的四个角都是 直角 B ；
C
③对角线 相等且互相平分
2.5 矩形的性质
一、复习引入
1、出示平行四边形活动木框， 提出问题：它具有什么性质？
平行四边形的性质： ①边：两组对边分别平行且相等 ；
②角： 对角相等，邻角互补 ；
③对角线： 互相平分
；
④对称性: 中心对称图形
,
对角线的交点 是它的对称中心。
2.引入：演示推动平行四边形活动木框上 的点D，提出问题：你发现了什么？
∠DAB=90°
（1）木框随四个内角大小发生变动，但仍保 持平行四边形形状。 （2）在推动过程中，当一个内角变为直角时， 木框形状为特殊的平行四边形，即为小学已学 过的长方形，初中我们称为矩形，这是我们今天 要探讨的内容。
二、自主学习，探究新知
A
D
O
B
C
1、矩形的定义：有一个角是
直角 的
平行四边形是矩形。
八年级数学下册 2.5 矩形导学案(新版)湘教版
八年级数学下册 2.5 矩形导学案(新版)湘教版一、学前反馈二、导入目标【学习目标】记忆矩形的定义；能结合图形说出矩形的性质；记忆矩形的判定方法。
重点、难点：重点：矩形的性质和判定方法。
难点：利用矩形的性质和判定方法解决一些简单的实际问题。
三、自主学习阅读教材P58、58、60页的内容，解决下列问题：在现实生活中我还能举出更多是矩形的例子：叫做矩形，也称为3、从矩形的定义可以看出，矩形是特殊的平行四边形，特殊在于它有一个角是矩形平行四边形）从上可得，都是直角的四边形是矩形。
由此容易得出：矩形的四个角都4、结合图形1我能说出矩形的一些性质：（1）边：AB= ，AD= （2）角：= = = =（3）对角线：AC= ，OA= = = （4）在图1中有对全等的三角形，它们分别是；（5）图1中有个等腰三角形，它们分别是四、合作探究：阅读教材P97“说一说”~P98内容，解答下列问题：1、结合图2，向同桌我能说出“对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
或者说，对角线相等的平行四边形是矩形”。
并能写下来。
矩形的判定方法：1、有一个角是的平行四边形是矩形；2、四个角都是的四边形是矩形；3、对角线的四边形是矩形。
或者说，对角线的平行四边形是矩形五、展示交流1、有三个角是直角的四边形是矩形，对吗？我能用一个图形加以说明。
2、有二个角是直角的四边形是矩形，对吗？我能用一个图形加以说明。
3、有一个角是直角的四边形是矩形，对吗？我能用一个图形加以说明。
4、对角线相等的四边形是矩形，对吗？我能用一个图形加以说明。
5、如图3，在中，它的两条对角线相交于点O。
如果是矩形，试问：是什么样的三角形？如果是等腰三角形，其中OA=OD，试问：是矩形吗？六、达标提升如图4，在矩形ABCD中，，且AC=4。
求：矩形的对角线长；矩形的各边长；矩形的周长；矩形的面积。
矩形（二）主备人：何冬燕审核人：叶秋萍参与人：全体八年级数学老师一、学前反馈二、导入目标【学习目标】能理解矩形是轴对称图形，并能说出矩形的对称轴；进一步加强对矩形性质和判定的理解与应用。
2019秋湘教版数学八年级下册 2.5矩形 教学设计
2.5 矩形2.5.1 矩形的性质要点感知1 有一个角是__________角的平行四边形叫作矩形.预习练习1-1四边形ABCD是平行四边形，根据矩形的定义，添加一个条件：_______________，可使它成为矩形. 要点感知2 矩形的四个角都是__________，对边相等，对角线__________，对角线__________.预习练习2-1 (2014·重庆)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为( )A.30°B.60°C.90°D.120°要点感知3矩形是中心对称图形，__________是它的对称中心.矩形是轴对称图形，__________都是矩形的对称轴. 预习练习3-1 矩形是轴对称图形，矩形的对称轴有__________条.知识点1 矩形的定义1.在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形.你添加的条件可以是__________.2.如图，在2×3的矩形方格图中，矩形个数有__________个.3.工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：(1)先截出两对符合规格的铝合金窗料(如图1)，使AB=CD，EF=GH；(2)摆放成如图2所示的四边形，则这时窗框的形状是__________，根据数学道理是：____________________；(3)将直角尺紧靠窗框的一个角(如图3)，调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图4)，说明窗框合格，这时窗框是__________形，根据的数学道理是：____________________.知识点2 矩形的性质4.如图，在矩形ABCD中，若AC=2AB，则∠AOB的大小是( )A.30°B.45°C.60°D.90°5.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC.若AC=4，则四边形CODE的周长是( )A.4B.6C.8D.106.(2013·邵阳)如图，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD=DE，连接BE交CD于点O，连接AO，下列结论不正确的是( )A.△AOB≌△BOCB.△BOC≌△EODC.△AOD≌△EODD.△AOD≌△BOC7.(2014·衡阳)如图，在矩形ABCD中，∠BOC=120°，AB=5，则BD的长为__________.8.(2014·桂林)如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC,BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是__________.9.(2013·遵义)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，若AB=6 cm，BC=8 cm，则△AEF的周长=__________cm.10.(2014·泉州)已知:如图，在矩形ABCD中,E，F分别在AB，CD边上，BE=DF，连接CE，AF.求证：AF=CE.11.(2014·呼和浩特)已知矩形ABCD的周长为20 cm，两条对角线AC，BD相交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交两边AD，BC于E，F(不与顶点重合)，则以下关于△CDE与△ABF判断完全正确的一项为( )A.△CDE与△ABF的周长都等于10 cm，但面积不一定相等B.△CDE与△ABF全等，且周长都为10 cmC.△CDE与△ABF全等，且周长都为5 cmD.△CDE与△ABF全等，但它们的周长和面积都不能确定12.(2014·黔东南)如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF 的长为( )A.6B.1213.(2013·江西)如图，矩形ABCD中，点E,F分别是AB,CD的中点，连接DE和BF，分别取DE,BF的中点M,N，连接AM,CN,MN，若，__________.14.(2013·济南)如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，AB=4，∠AOD=120°，求AC的长.15.(2014·湘潭)如图，将矩形ABCD沿BD对折，点A落在E处，BE与CD相交于F，若AD=3，BD=6.(1)求证：△EDF≌△CBF；(2)求∠EBC.挑战自我16.如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC,BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E.(1)求证：BD＝BE；(2)若∠DBC＝30°，BO＝4，求四边形ABED的面积.参考答案课前预习要点感知1直预习练习1-1 答案不唯一，如∠ABC＝90°要点感知2 直角互相平分相等预习练习2-1 B要点感知3 对角线的交点过每一组对边中点的直线预习练习3-1 2当堂训练1.答案不唯一，如∠A=90°或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°2.183.（2）平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形（3）矩有一个角是直角的平行四边形是矩形4.C5.C6.A7.108.4个9.910.证明：在矩形ABCD中，AD=BC，∠D=∠B=90°，∵BE=DF，∴△ADF≌△CBE.∴AF=CE.课后作业11.B 12.D 13.14.∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB=OC=OD.∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°.∴△AOB是等边三角形.∴AO=AB=4.∴AC=2AO=8.15.(1)证明：由折叠的性质可得：DE=BC，∠E=∠C=90°，在△DEF和△BCF中，∠DFE=∠BFC，∠E=∠C，DE=BC，∴△DEF≌△BCF(AAS).(2)在Rt △ABD 中，∵AD=3，BD=6.∴∠ABD=30°.由折叠的性质可得：∠DBE=∠ABD=30°， ∴∠EBC=90°-30°-30°=30°. 16.(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AC ＝BD ，AB ∥CD. 又∵BE ∥AC ，∴四边形ABEC 是平行四边形. ∴BE ＝AC. ∴BD ＝BE.(2)∵四边形ABCD 是矩形，∴AO ＝OC ＝BO ＝OD ＝4，即BD ＝8. ∵∠DBC ＝30°，∴∠ABO ＝90°-30°＝60°.∴△ABO 是等边三角形，即AB ＝OB ＝4， 于是AB ＝DC ＝CE ＝4.在Rt △DBC 中，DC=4，BD=8，BC . ∵AB ∥DE ，AD 与BE 不平行，∴四边形ABED 是梯形，且BC 为梯形的高.∴四边形ABED 的面积＝12·(AB+DE)·BC ＝12·(4+4+4)·＝2.5.2 矩形的判定要点感知1 三个角是__________角的四边形是矩形.预习练习1-1 在四边形ABCD 中，若∠A=∠B=∠C=∠D ，则四边形ABCD 是__________形. 要点感知2 对角线__________的平行四边形是矩形.预习练习2-1 (2014·娄底)如图，要使平行四边形ABCD 成为矩形，应添加的条件是__________(只填一个).知识点1 三个角是直角的四边形是矩形 1.在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是( )A.测量对角线是否相互平分B.测量两组对边是否分别相等C.测量一组对角是否为直角D.测量四边形的其中三个角是否都为直角2.如图，从下列图中选择四个拼图板，可拼成一个矩形，正确的选择方案为__________(只填写拼图板的代码).3.已知：如图，□ABCD的四个内角的角平分线分别交于E,F,G,H.试说明四边形EFGH为矩形.知识点2 对角线相等的平行四边形是矩形4.如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是( )A.AB=BCB.AC⊥BDC.AC=BDD.∠1=∠25.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB=DC；③AC=BD；④∠ABC=90°；⑤OA=OC；⑥OB=OD.则不能使四边形ABCD成为矩形的是( )A.①②③B.②③④C.②⑤⑥D.④⑤⑥6.如图，在△ABC中，AB=AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连接AE，BF.当∠ACB为__________度时，四边形ABFE为矩形.7.如图，四边形ABCD是平行四边形，AC，BD交于点O，∠1=∠2.求证：四边形ABCD是矩形.8.在□ABCD中，AC交BD于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD是矩形的条件是( )A.AB=ADB.OA=OBC.AC=BDD.DC⊥BC9.下列关于矩形的说法，正确的是( )A.对角线相等的四边形是矩形B.对角线互相平分的四边形是矩形C.矩形的对角线互相垂直且平分D.矩形的对角线相等且互相平分10.如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是( )A.AB∥DCB.AC=BDC.AC⊥BDD.AB=DC11.如图△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是( )C.412.(2014·娄底)如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是__________(添加一个条件即可).13.(2013·南通)如图，AB＝AC，AD＝AE，DE＝BC，且∠BAD＝∠CAE，求证:四边形BCDE是矩形.14.(2014·枣庄)如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点，AE=CF，DF∥BE.(1)求证：△BOE≌△DOF；(2)若OD=12AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论.挑战自我15.(2013·张家界)如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的角平分线于点E，交∠ACB的外角角平分线于点F.(1)求证：OE=OF；(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长；(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由.参考答案直矩相等答案不唯一，如∠BAD=90°或AC=BD等课前预习要点感知1预习练习1-1要点感知2预习练习2-1当堂训练1.D2.①②③④3.∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，AB∥CD.∴∠ABC+∠BCD=180°，∠BAD+∠ABC=180°.又□ABCD的四个内角的角平分线分别交于E,F,G,H.∴∠BAF+∠ABF=90°，∠GBC+∠GCB=90°.∴∠GFE=∠AFB=90°，∠G=90°.同理可证∠GHE=90°，∠E=90°.∴四边形EFGH为矩形.4.C5.C6.607.证明：∵∠1=∠2，∴BO=CO，即2BO=2CO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=OD.∴AC=2CO，BD=2BO.∴AC=BD.∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形.课后作业8.A 9.D 10.C 11.A 12.答案不唯一，如：∠ABC=90°或AC=BD 13.证明：∵AC＝AB，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD-∠CAB＝∠CAE-∠CAB，即∠CAD=∠BAE.∴△ADC≌△AEB（SAS）.∴DC＝BE.又∵DE＝BC，∴四边形BCDE是平行四边形.连接BD，CE.∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE(SAS).∴BD＝CE.∴四边形BCDE是矩形.14.(1)证明：∵O是AC的中点，∴OA=OC.∵AE=CF，∴OE=OF.∵DF∥BE，∴∠OEB=∠OFD.又∵∠EOB=∠FOD，∴△BOE≌△DOF.(2)∵△BOE≌△DOF，∴OD=OB.∵OA=OC，∴四边形ABCD是平行四边形.∵OD=12AC，OD=12BD，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形.15.(1)证明：∵CF平分∠ACD，且MN∥BD，∴∠ACF=∠FCD=∠CFO.∴OF=OC，同理可证：OC=OE，∴OE=OF.(2)由(1)知：OF=OC，OC=OE，∴∠OCF=∠OFC，∠OCE=∠OEC.∴∠OCF+∠OCE=∠OFC+∠OEC，而∠OCF+∠OCE+∠OFC+∠OEC=180°，∴∠ECF=∠OCF+∠OCE=90°，∴=13.∴OC=12EF=132.(3)当点O移动到AC中点时，四边形AECF为矩形.理由：由(1)知OE=OF，当点O移动到AC中点时有OA=OC，∴四边形AECF为平行四边形.又∵∠ECF=90°，∴四边形AECF为矩形.。
2019春湘教版八年级数学下册教案：2.5 矩形
2．5矩形2．5.1矩形的性质1．理解并掌握矩形的性质定理及推论．2．会用矩形的性质定理及推论进行推导证明．3．会综合运用矩形的性质定理、推论以及特殊三角形的性质进行证明计算．重点矩形的性质．难点用性质定理进行有关的计算与证明．一、创设情境，导入新课如图，用四段木条做一个平行四边形的活动木框，将其直立在地面上轻轻地推动点D，你会发现什么？可以发现，角的大小改变了，但不管如何，它仍然保持平行四边形的形状．我们若改变平行四边形的内角，使其一个内角恰好为直角，就得到一种特殊的平行四边形，也就是我们早已熟悉的长方形，即矩形，如图所示．二、合作交流，探究新知(1)左图是一个平行四边形，回忆平行四边形有哪些性质？(2)四边形具有不稳定性，即当一个四边形的四条边长保持不变时，它的形状是可以变化的．现在使左图的平行四边形保持边长不变，而将一个内角的度数不断变化，那么在变化过程中，何时平行四边形的面积最大？这时这个平行四边形的内角是多少度？为什么？(3)总结：矩形的定义：有一个角是______的平行四边形，叫做矩形．(4)练习：四边形、平行四边形、矩形有什么关系？探究：在上述变化过程中，当一个内角是90°时，其余三个内角各是多少度？它的两条对角线长又具有什么关系？(1)由于矩形是特殊的平行四边形，因此它具有平行四边形的所有性质，还具有平行四边形不具有的特殊性质．如图，同学们研究矩形的性质，填写下表：(2)你能证明以下性质的正确性吗？①矩形的四个角都是直角；②矩形的对角线相等．三、运用新知，深化理解例1 如图，矩形ABCD 的对角线的交点为O ，EF 过点O 且分别交AB ，CD 于点E ，F ，则图中阴影部分的面积是矩形ABCD 的面积的( )A.15B.14C.13D.310【分析】∵矩形ABCD 的边AB ∥CD ，∴∠ABO ＝∠CDO ，在矩形ABCD 中，OB ＝OD ，在△BOE 和△DOF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABO ＝∠CDO ，OB ＝OD ，∠BOE ＝∠DOF ，∴△BOE ≌△DOF (ASA)，∴S △BOE ＝S △DOF ，∴阴影部分的面积＝S △AOB ＝14S 矩形ABCD .故选B. 【方法总结】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并求出阴影部分的面积＝S △AOB 是解题的关键．例2 如图，在矩形ABCD 中，以顶点B 为圆心、边BC 长为半径作弧，交AD 边于点E ，连接BE ，过C 点作CF ⊥BE 于点F .求证：BF ＝AE .【分析】利用矩形的性质得出AD ∥BC ，∠A ＝90°，再利用全等三角形的判定得出△BFC ≌△EAB ，进而得出结论．证明：在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝90°，∴∠AEB ＝∠FBC ，∵CF ⊥BE ，∴∠BFC ＝∠A ＝90°，由作图可知，BC ＝BE ，在△BFC 和△EAB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠CFB ，∠AEB ＝∠FBC ，EB ＝BC ，∴△BFC ≌△EAB (AAS)，∴BF ＝AE .【方法总结】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及矩形的性质，得出△BFC ≌△EAB 是解题的关键．例3 已知：如图，在矩形ABCD 中，E ，F 分别是边BC ，AB 上的点，且EF ＝ED ，EF ⊥ED .求证：AE 平分∠BAD .【分析】要证AE 平分∠BAD ，可转化为△ABE 为等腰直角三角形，得AB ＝BE ，又AB ＝CD ，再将它们分别转化为两全等三角形的两对应边，根据全等三角形的判定和矩形的性质，可确定BE ＝CD ，即求证．证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠C ＝∠BAD ＝90°，AB ＝CD ，∴∠BEF ＋∠BFE ＝90°.∵EF ⊥ED ，∴∠BEF ＋∠CED ＝90°.∴∠BFE ＝∠CED .∴∠BEF ＝∠EDC .在△EBF 与△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BFE ＝∠CED ，EF ＝ED ，∠BEF ＝∠EDC ，∴△EBF ≌△DCE (ASA)．∴BE ＝CD .∴BE ＝AB .∴∠BAE ＝∠BEA＝45°.∴∠EAD ＝45°.∴∠BAE ＝∠EAD ，即AE 平分∠BAD .【方法总结】矩形被每条对角线分成两个直角三角形，被两条对角线分成四个等腰三角形，因此矩形的问题可以转化到直角三角形或等腰三角形中去解决．四、课堂练习，巩固提高1．教材P60练习．2．教师指导学生完成《·高效课堂》“随堂演练”内容．五、反思小结，梳理新知矩形除具有平行四边形的性质外，还具有以下性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等；矩形是轴对称图形．六、布置作业1．学生完成《·高效课堂》“课时作业”．2．教材P63习题2.5第1，2，5题．2．5.2矩形的判定1．理解并掌握矩形的判定方法．2．能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力．3．培养综合应用知识分析解决问题的能力．重点矩形的判定．难点矩形的判定及性质的综合应用．一、创设情境，导入新课我们已经知道，有一个角是直角的平行四边形是矩形．这是矩形的定义，我们可以依此判定一个四边形是矩形．除此之外，我们能否找到其他的判定矩形的方法呢？矩形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形，具有如下的性质：1．两条对角线相等且互相平分；2．四个内角都是直角．这些性质，对我们寻找判定矩形的方法有什么启示？二、合作交流，探究新知阅读教材P61－P62页内容．1．探究：一位很有名望的木工师傅，招收了两名徒弟．一天，师傅有事外出，两徒弟就自已在家练习用两块四边形的废料各做了一扇矩形式的门，完事之后，两人都说对方的门不是矩形，而自已的是矩形．甲的理由是：“我用直尺量这个门的两条对角线，发现它们的长度相等，所以我这个四边形门就是矩形”。
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2.5 矩形（1）
主备人：王勇 合备人：周谧洋 钟猛 教学时间： 月 日第 节 总第 节
学习目标：
1、理解矩形的意义，知道矩形与平行四边形的区别与联系。
2、掌握矩形的性质定理，会用定理进行有关的计算与证明。
3、掌握直角三角形斜边上中线的性质与应用。
学习重点：矩形的性质及“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半” 学习难点：矩形性质的得出及灵活应用。
一、自学教材，明确目标
阅读教材P58--- P60页内容 二、研读教材，解读目标
1． 叫做矩形。
矩形是 的平行四边形。
2．矩形是轴对称图形吗？它有几条对称轴？ 3.从矩形的意义可以探究矩形具有的性质：
（1）矩形具有平行四边形的一切性质吗？这些性质什么？
（2）矩形与平行四边形比较又有其特殊的性质，这些特殊的性质是什么？ （3）用几何语言表述矩形的所有性质：
4.从矩形的性质可以说明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的 如图，在Rt ΔABC 中，O 是斜边AC 的中点， 求证：OB=
2
1AC 5. 如图，在矩形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O 角
AOB=60O
，AB=4㎝， 求矩形对角线的长。
三、巩固训练，达成目标：
1、由矩形的一个顶点向其所对的对角线引垂线，该垂线分直角为
1：3两部分，则该垂线与另一条对角线的夹角为（ ） A 、22.5° B 、45° C 、30° D 、60°
2、矩形的两条对角线的夹角为60°，较短的边长为4.5厘米，则对角线长为 。
3、已知：如图2，矩形ABCD 中，E 是BC
上一点，AE DF ⊥于F ，若BC AE = 。
求证：CE ＝EF 。
4、折叠矩形ABCD 纸片，先折出折痕BD ，再折叠使A 落在对角线BD
B
A
C
O
A
D
B C
F
1
2
E G
A`
D C
B
A
上A′位置上，折痕为DG 。
AB=2，BC=1。
求AG 的长。
5、如图5，在矩形ABCD 中，4,30,=︒=∠⊥DE ADE CE DE ，求这个矩形的周长。
6、如图，将矩形ABCD 沿对角线
BD 折叠，使点
C 落在F 的位置，BF 交A
D 于
E ，AD=8,AB=4，求△BED 的面积。
7、在Rt ΔABC 中，∠C=90°，CD 是AB 边上的中线，∠A=30°，AC=5
3。
求△ADC 的周长。
课后反思：
矩形（2）
主备人：王勇 合备人：周谧洋 钟猛 教学时间： 月 日第 节 总第 节
学习目标：
1．理解并掌握矩形的判定方法．
2．能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力
3. 培养综合应用知识分析解决问题的能力。
学习重点：矩形的判定．
学习难点：矩形的判定及性质的综合应用． 一、自学教材，明确目标：
阅读教材P61---62页内容
1．利用矩形的定义来判定一个四边形是平行四边形： 矩形定义：
2. 探究矩形的判定定理一：
的平行四边形是矩形。
如图，已知： 求证： 证明：
3. 探究矩形的判定定理二
的四边形是矩形。
如图，已知： 求证： 证明： A
B
C
D
E
E
D
C
B
A F
A B C
D
P N
M
D
C
A B
P Q
二、应用知识，实现目标：
1. 教材P63页练习：
2. 下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？
（1）有一个角是直角的四边形是矩形； （ ） （2）有四个角是直角的四边形是矩形； （ ） （3）四个角都相等的四边形是矩形； （ ） （4）对角线相等的四边形是矩形； （ ） （5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形； （ ） （6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形； （ ） （7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； （ ） （8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（ ） （9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形． ( ) 三、巩固训练，达成目标：
1．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（ ）．
A ．测量对角线是否相互平分
B ．测量两组对边是否分别相等
C ．测量一组对角是否都为直角
D ．测量其中三角形是否都为直角 2．能判断四边形是矩形的条件是（ ）
A 、两条对角线互相平分
B 、两条对角线相等
C 、两条对角线互相平分且相等
D 、两条对角线互相垂直。
3．如图,EB=EC,EA=ED,AD=BC, ∠AEB=∠DEC 。
证明：四边形ABCD 是矩形.
4．已知四边形ABCD 中AC ⊥BD,E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点。
求证：四边形EFGH 是矩形。
四、综合应用，拓展目标： 5. 已知
ABCD 的对角线AC ，BD 相交于O ，△AOB 是等边三角形，cm 4 AB ，求这个
平行四边形的面积 6．如图，M 、N 分别是平行四边形ABCD 对边AD 、BC 的中点，且AD=2AB ， 求证，四边形PMQN 是矩形。
7. 已知：如图（1），ABCD 的四个内角的平分线分别
相交于点E ，F ，G ，H ． 求证：四边形EFGH 是矩形．
8．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°， CD为中线，延长CD到点E，使得DE＝CD．连结AE，BE，则四边形ACBE为矩形．
五、课后反思：。