第38课时 平面向量的坐标运算
【高中数学】平面向量平面向量的坐标运算
【高中数学】平面向量平面向量的坐标运算【高中数学】平面向量、平面向量的坐标运算一、教学内容：平面向量、平面向量的坐标运算二、本周教学目标：要求：1、了解平面向量的基本定理理解平面向量的坐标的概念，会用坐标形式进行向量的加法、减法、数乘的运算，掌握向量坐标形式的平行的条件；2.掌握平面向量的量积及其几何意义，了解平面向量的量积可以处理长度、角度、垂直度等问题，掌握向量垂直度的条件3、学会使用分类讨论、函数与方程思想解决有关问题．三、本周的重点：1、平面向量的坐标表示：一般地，对于向量，当其起点移至原点o时，其终点的坐标（x,y）称为向量在直角坐标系中，分别取与x轴和y轴方向相同的两个单位向量（1）相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量．（2）矢量的坐标与表示矢量的有向线段的起点和终点的具体位置无关，而只与它们的相对位置有关2、平面向量的坐标运算：（1）如果是，那么（2）若（3） If=（x，y）（4）若，则（5）如果是，那么若，则操作类型几何坐标法运算性质朝着量属于加方法1、平行四边形法则2.三角法则向数量的减少法三角法则向数量的骑法是一个向量，满足:>0，且<0，且=0=向数量的数字量产品或=0什么时候,[典型示例]例1、平面内给定三个向量，回答下列问题（1）求满足的实数m，N；（2）若，求实数k；（3）如果满意，以及解：（1）由题意得所以，得（2）（3）从标题的意思来看得或例2：已知；（2）时间和解决方案：（1）因为如此则（2），因为平行因此此时，然后，也就是此时的向量例3、已知点及<6"style=>,试问:（1）当<9“style=''>轴上的值是多少？在轴上？在第三象限？（2）四边形若不能,说明理由．解决方案：（1）如果它在轴上，那么，所以；若在轴上，则；如果它在第三象限，那么（2）因为若所以此方程组无解；所以四边形例4、如图，设抛物线y2=2px（p>0）的焦点为f经过点f的直线交抛物线于a、b两点，点c在抛物线的准线上，且bc∥x轴，证明直线ac经过原点o．解决方案1：让a（x1，Y1），B（X2，Y2），f（，0），然后C（然后∵ 与…共线∴即（*）而代入（*）式整理得，y1?y2=－p2因为∴与是共线向量，即a、o、c三点共线，也就是说，直线AC通过原点o解法二：设a（x1,y1），c（,y2），b（x2,y2）证明a，O和C是共线的，公正的，唯一的，即又∴只需且仅需y1y2=－p2，用韦达定理易证明．注释：两个向量的共线性被广泛使用。
平面向量的直角坐标运算
-2
与向A量 有 B 何关相系 同 ？
-3
4
（一）平面向量坐4 标的概念
3
a
a2 j
2
r
B
a
a2 j
a1i
1
j
A
ar 1 i
C
向量 a 表示平面内任意一向量
-2
2
4
6
Oi
-1
a A A B C C a B 1 i a 2j
-2
同一个向量的坐标是唯一的，与位置无关。
-3
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5
r 一般地，在平面直角坐标系中，对任意向量 a ，都有且只有
a
b
a1b1
a2b2．
aa∥b
b
a
b
0
a1b1
a2b2
0．
( 2 ) 若 A (x 1 ,y 1 ),B (x 2 ,y 2 ), u A u B u r (x 2 x 1 ,y 2y 1 )
两点间距离公式
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33
a a2 a a (计算向量的长度)
4/21/2020
练习一:单位向量i 、j 分别与x 轴、y 轴方向相同，求
① i i __1___ ② i j __0___ ③ j i ___0___ ④ j j __1___
解： i i i i cos i ,i
11 cos0
Page ▪ 1
1
1.向量加法：
B
C
OAACOC
2.向量减法：
OAOB OC O
A
B
OAOBBA
3. 数乘向量：
OBOAAB
A
O
如 a 与 b 果 b 0 平行，本 则定 由理 平
最新《平面向量的坐标运算》课件教学讲义PPT课件
a b ( 2 , 1 ) ( 3 , 4 ) ( 5 , 3 )
3a4b3(2,1)4(3,4) (6,3)(12,16) (6,19)
例3已知三个力 F 1 (3, 4), F 2 (2, 5), F 3 (x, y)的合力
(x1x2,y1y2)
同 理 得 a b ( x 1 x 2 ,y 1 y 2 )
( 2 )a x i y j x i y j (x ,y )
结论2：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向 量相应坐标的和与差.
结论3：实数与向量数量积的坐标等于用这个实数 乘原来向量的相应坐标.
已知 A(x1,y1),B(x2,y2)，求 AB的坐标.
2.对向量坐标表示的理解:
(1)任一平面向量都有唯一的坐标; (2)向量的坐标与其起点、终点坐标的关系；
(3)相等的向量有相等的坐标. 3.平面向量的坐标运算: ( 1 ) 若 a ( x 1 , y 1 ) , b ( x 2 , y 2 ) , 则 a b (x 1 x 2 ,y 1 y 2 ) ,
《平面向量的坐标运算》课 件
引入: 1.平面内建立了直角坐标系,点A可以用什么来
表示? 2.平面向量是否也有类似的表示呢?
ya
b
A(a,b)
Oa
x
例1.用基底 i , j 分别表示向y量a,b,c,d,并求出它们的坐标.
5
B
b
4
b 2i 3 j
3
a AB 2i 3 j
(2,3)
2
A
a b (x 1 x 2 ,y 1 y 2 ) ,a(x1,y1)
解： BA 2,33,5 5 , 2 .
平面向量的坐标表示与运算的应用
平面向量的坐标表示与运算的应用1. 引言平面向量是向量的一种，它有方向和大小，通常以箭头来表示。
本文将重点讨论平面向量的坐标表示与运算的应用。
首先介绍平面向量的坐标表示方式，然后探讨如何进行向量的加法、减法、数量乘法和点乘法运算，并分别给出实际应用的例子。
2. 平面向量的坐标表示在二维平面上，平面向量可以通过坐标表示。
一般来说，平面向量通常用一个有序数对表示，如(a, b)，其中a表示向量在x轴上的分量，b表示向量在y轴上的分量。
以向量A为例，A = (a, b)。
3. 平面向量的加法平面向量的加法可以通过将各个坐标分量相加得到。
例如，对于两个向量A = (a1, b1)和B = (a2, b2)，它们的和向量C = A + B = (a1+a2,b1+b2)。
这种加法运算可以用来表示力的合成，比如两个力作用于同一点，可以通过向量的叠加求出合力。
4. 平面向量的减法平面向量的减法与加法类似，只需将对应的坐标分量相减即可。
例如，对于两个向量A = (a1, b1)和B = (a2, b2)，它们的差向量D = A - B = (a1-a2, b1-b2)。
减法运算可以用来表示力的分解，比如一个力可以分解为两个分力的合成。
5. 平面向量的数量乘法平面向量的数量乘法是指向量乘以一个标量。
例如，对于向量A = (a, b)和一个实数k，其数量乘积为kA = (ka, kb)。
这种运算可以用来表示力的放大或缩小，或者表示速度的改变。
6. 平面向量的点乘法平面向量的点乘法也称为内积或数量积，它的结果是一个标量。
点乘法的计算公式是A·B = a1*a2 + b1*b2，其中A = (a1, b1)和B = (a2, b2)。
点乘法可以判断两个向量的夹角的大小，以及计算向量的投影和模长。
7. 平面向量的运算应用平面向量的坐标表示与运算在几何、物理、力学等各个领域具有广泛的应用。
例如，在几何中，可以利用向量的加法和减法求解两点之间的距离或中点坐标。
平面向量的坐标表示与应用
平面向量的坐标表示与应用平面向量是解析几何中重要的数学概念，它用来表示平面上的有向线段。
本文将介绍平面向量的坐标表示以及其在几何和物理学中的应用。
一、平面向量的坐标表示平面向量可以用有序数对表示，其中第一个数表示向量在x轴上的分量，第二个数表示向量在y轴上的分量。
这种表示方法被称为平面向量的坐标表示。
举个例子，设点A和点B在平面上，向量AB可以表示为(Δx, Δy)，其中Δx和Δy分别表示B点的x坐标减去A点的x坐标，以及B点的y坐标减去A点的y坐标。
二、平面向量的运算平面向量可以进行加法、减法和数乘等运算。
1. 向量的加法向量的加法遵循平行四边形法则，即将两个向量的起点放在一起，然后将它们的终点连接，所得线段即为它们的和向量。
计算和向量的坐标表示时，只需要将分量分别相加即可。
2. 向量的减法向量的减法可以看作向量加法的逆运算，即将减去的向量取负后进行加法运算。
计算减法时，只需要将被减向量的分量分别与减向量的分量相减即可。
3. 向量的数乘向量的数乘是指将向量的每个分量都乘以一个实数。
如果实数为正数，则会改变向量的方向但不改变其长度；如果实数为负数，则不仅会改变方向，还会改变长度。
三、平面向量的应用平面向量在几何和物理学中有广泛的应用，下面将介绍其中几个常见的应用场景。
1. 平面向量的模向量的模表示向量的长度，可以根据勾股定理计算得出。
平面向量的模在几何中经常用于计算线段的长度，而在物理学中则用于计算速度、加速度等物理量的大小。
2. 平面向量的点积平面向量的点积也被称为数量积或内积，它可以用来计算两个向量之间的夹角。
点积的计算公式为：A·B = |A||B|cosθ，其中A和B为向量，θ为A与B之间的夹角。
点积的应用包括计算向量的投影以及计算力的做功等。
3. 平面向量的叉积平面向量的叉积也被称为向量积或外积，它可以用来计算两个向量构成的平行四边形的面积。
叉积的计算公式为：A×B = |A||B|sinθ，其中A和B为向量，θ为A与B之间的夹角。
平面向量的坐标和坐标变换公式的推导
平面向量的坐标和坐标变换公式的推导平面向量是研究平面上的物理量时所引入的数学工具之一，它由大小和方向两个属性组成。
在平面几何中，我们通常使用坐标来表示向量的位置和方向。
本文将介绍平面向量的坐标表示方法以及坐标变换公式的推导。
一、平面向量的坐标表示方法在平面几何中，我们使用笛卡尔坐标系来表示向量的位置和方向。
笛卡尔坐标系由平面上的两个相互垂直的坐标轴组成，通常被称为 x轴和 y 轴。
每个点都可以用一个有序对 (x, y) 来表示，其中 x 表示点在x 轴上的位置，y 表示点在 y 轴上的位置。
对于平面向量A，我们可以将其表示为A = AA + AA，其中A和A分别表示向量在 x 轴和 y 轴上的投影，A和A分别表示单位向量，指向 x 轴和 y 轴的正方向。
二、坐标变换公式的推导当我们需要对向量进行坐标变换时，可以使用坐标变换公式来实现。
下面将推导二维平面向量的坐标变换公式。
设在两个不同坐标系下，向量A在第一个坐标系中的坐标为 (A₁,A₁)，在第二个坐标系中的坐标为 (A₂, A₂)。
此时，我们需要找到一个变换矩阵A来实现坐标的转换。
首先，我们知道向量A可以表示为A = A₁A + A₁A，又可表示为A = A₂A' + A₂A'，其中A' 和A' 分别表示第二个坐标系下的单位向量。
将这两个表达式进行比较，我们可以得到以下等式：A₁A + A₁A = A₂A' + A₂A'由于A和A以及A' 和A' 是分别为单位向量，所以它们之间的关系可以表示为以下矩阵关系：(A, A) = (A', A') ×A其中，A是一个 2x2 的变换矩阵，它将向量从第一个坐标系转换到第二个坐标系。
接下来，我们将等式A₁A + A₁A = A₂A' + A₂A' 两边同时乘以矩阵A，得到：(A₁A + A₁A) ×A = (A₂A' + A₂A') ×A展开并进行矩阵乘法，我们可以得到以下等式：A₁(A, A) = A₂(A', A') ×A + A₂(A', A') ×A由于 (A, A) = (A', A') ×A，所以上述等式可以简化为：A₁ = A₂ ×A₁₁ + A₂ ×A₂₁A₁ = A₂ ×A₁₂ + A₂ ×A₂₂其中，A₁₁、A₁₂、A₂₁和A₂₂是变换矩阵A的元素。
说课稿数学必修四人教A版2.3.3平面向量的坐标运算
2.3.3《平面向量的坐标运算》说课稿一、说教材1、教学目的和作用本节内容在教材中有着承上启下的作用，它是在学生对平面向量的基本定理有了充分的认识和正确的应用后产生的，同时也为下一节定比分点坐标公式和中点坐标公式的推导奠定了基础。
此外，对立体几何的学习也有着深远的意义。
2、教学目标⑴知识与能力：会用坐标表示平面向量的加减与数乘运算；能用两端点的坐标，求所构造向量的坐标；⑵过程与方法：体会向量是处理几何问题的工具. 培养细心、耐心的学习习惯，提高分析问题的能力。
⑶情感态度、价值观：通过引导激发学生的学习兴趣并引发学生思考，充分调动学生的学习积极性。
3、教学重点、难点及依据重点：平面向量的坐标运算。
难点：对平面向量坐标表示的理解。
4、课时安排和教具准备我打算用一个课时的时间来讲授这一节内容，使用的教具是直尺、多媒体。
二、说学情在教学过程中注重因材施教，只有了解了学生的现实状况才能够进行针对性的教学，这样才能取得相应的教学效果。
培养学生的抽象思维能力，所以在教学过程中应该循序渐进，加深他们对基础知识的理解，并加强课堂巩固训练。
三、说教法和依据教学时我打算采用老师引导式方法，使用导学案教学，充分发挥以学生为学习的主体，他们对课程的兴趣和积极性对于他们的学习过程有着极为重要的作用， 课堂上可以采用小组讨论的和学生发言的方式，调动学生参与的积极性，因为学生是学习的主体，所以要注重学生主体性的发挥。
四、说教学过程一、自主学习（一）知识链接：知识回顾：(1)向量→→j ,i 是同一平面内两个相互垂直的单位向量，且方向分别与x 轴y 轴方向相同，a 为这个平面内任一向量，则向量a 可用→→j ,i 表示为 。
也可用坐标表示为 。
如：j 4i 5a += = 。
j i b 32-=→= 。
=-→→b a →a 3=（二）自主探究：（预习教材P96—P98）探究：平面向量的坐标运算问题1：已知()11,a x y =，()22,b x y =，λ为一实数，你能用单位向量→→j ,i 来表示a b +，a b -，a λ吗？+a b =___________; -a b =_____________; λa =_____________ 问题2：已知()11,a x y =，()22,b x y =，你能用坐标来表示a b +，a b -，a λ的坐标吗？+a b =_________________ _。
平面向量的坐标运算PPT优秀课件6
（3）求使 f (c) (p,q)（p，q为常数）的向量 c 的坐标．
解：（3）设 c (x, y),
则 f(c)(y,2yx)(p,q),
yp,x2pq,即c(2pq, p). 小结：⑴从特殊到一般；
⑵面对困难不畏难，勇于探索攀高峰！
94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰·拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉·班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳]
练且习m :与在n 的A夹BC角中为，m 3 ．(coA 2s， sinA 2)，n(coA 2s， sinA 2)，
⑴ 求角A的大小；
⑵ 设 a、b、c分别为 A、B、C的对边长，且 a 6，
SABC2 3，求 bc的值．
解：⑴ ∵ mnmncos1，
32
又 mnco2A ssi2nAcoAs
注：⑴ 相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量．
⑵ 向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的 具体位置无关，只与其相对位置有关．
问问自己，你具备了什么样的 知识储备？
一、知识梳理：
２、平面向量的坐标运算：
⑴ 若 ax1 ， y1， bx2 ， y2，则 a b x 1 x 2,y 1y2. a b x 1 x2,y 1y2
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。
平面向量的坐标运算课件(人教A版必修
向量混合积的应 用：在物理、工 程等领域有广泛 应用
向量的混合积的应用
工程中的应用：结构分析、 应力分析等
物理中的应用：力矩、力偶、 力系等
计算机图形学中的应用：三 维建模、动画制作等
数学中的应用：线性代数、 微分几何等
YOUR LOGO
THANK YOU
汇报人：
向量积的坐标运算：两个向量的向量积的坐标可以通过两个向量的坐标进行计算，具体公式为： (x1,y1)×(x2,y2)=(x1y2-x2y1,x2y1-x1y2)。
向量积的性质：向量积的坐标运算具有交换律、结合律和分配律。
向量积的应用：向量积在物理、工程等领域有着广泛的应用，如计算力矩、计算功等。
添加标题
向量的向量积的结果是一个向量
添加标题
向量的向量积的运算法则是：a×b=|a||b|sinθn，其中a和b是向量， θ是向量a和向量b的夹角，n是垂直于向量a和向量b的法向量
向量的向量积的坐标运算
向量积的定义：两个向量的向量积是一个向量，其方向垂直于两个向量所在的平面，其大小等于 两个向量的模的乘积与两个向量夹角的余弦值的乘积。
向量的向量积的应用
物理中的应用： 力矩、力偶、
力场等
工程中的应用： 机械设计、结 构分析、流体
力学等
计算机科学中 的应用：图形 学、计算机视 觉、虚拟现实
等
数学中的应用： 线性代数、微 分几何、拓扑
学等
06
向量的混合积运算
向量的混合积定义
混合积的定义： 向量的混合积 是三个向量的 乘积，其结果
律和分配律
向量的数量积 应用：向量的 数量积在物理、 工程等领域有 广泛应用，如
力矩、功等
向量的数量积的应用
平面向量的坐标表示总结
平面向量的坐标表示总结平面向量是数学中一个重要的概念，它用来描述平面上的位移、力等物理量。
在平面几何和向量运算中，平面向量的坐标表示是一种常用的表示方法。
本文将总结平面向量的坐标表示的相关知识和应用。
1. 平面向量的定义在平面上，平面向量通常用有向线段来表示。
一个平面向量可以由两个坐标表示，即水平方向的分量和垂直方向的分量，记作 (x, y)。
其中，x 表示水平方向的分量，y 表示垂直方向的分量。
平面向量的起点可以选择任意点，但终点由起点和向量的分量唯一确定。
2. 平面向量的加法与减法平面向量的加法遵循平行四边形法则。
即将两个向量的起点重合，然后将两个向量依次排列，将第一个向量的终点与第二个向量的起点相连，这条连线即为两个向量的和。
减法运算可以通过加法和相反向量的概念来实现。
3. 平面向量的数乘平面向量的数乘是指将一个向量乘以一个实数。
数乘后的结果为一个新的向量，其大小为原向量的大小与实数的乘积，方向与原向量相同或相反取决于实数的正负。
数乘可以改变向量的长度和方向。
4. 平面向量的坐标变换坐标变换是指将一个平面向量在不同坐标系下的表示相互转换。
在平面几何中，常用的坐标系有直角坐标系和极坐标系。
直角坐标系中的向量表示为 (x, y)，而极坐标系中的向量表示为(r, θ)，其中 r 表示向量的长度，θ 表示向量与正半轴的夹角。
5. 平面向量的数量积与向量积数量积又称点积或内积，是两个向量之间的一种运算。
数量积的结果为一个实数，其大小等于两个向量的模的乘积与夹角的余弦值。
向量积又称叉积或外积，是两个向量之间的一种运算。
向量积的结果为一个新的向量，其大小等于两个向量模的乘积与夹角的正弦值，并且垂直于这两个向量所在的平面。
6. 平面向量的坐标表示在几何问题中的应用平面向量的坐标表示在几何问题中具有广泛的应用。
比如，通过向量的坐标表示可以判断两个向量是否相等，可以计算两个向量的夹角，可以确定一个向量在另一个向量上的投影以及判断两个向量是否垂直等。
北师大版平面向量的坐标运算-精品文档
B(x2,y2)
B1
1
A(x1,y1) A1
.
.
1
x
说明：
(1)任一平面向量都有唯一的坐标. (2)当向量的起点在原点时，向量终点的 坐标即为向量的坐标. (3)相等的向量有相等的坐标.
若a ( x1 , y1 ),b ( x2 , y2 ) x1 x2 则a b y1 y2
x0 或 2
思考3：全体有序实数对与坐标平面内的所有向量 是否一一对应？
因此,在直角坐标系中,点或向量都可以看作有序
实数对的直观形象.
例 １ 已 知 O 是 坐 标 原 点 ， 点 A 在 第 一 象 限
O A 4 3 , x O A 6 0 , 求 向 量 O A 的 坐 标 。
消去 得
x y x y 0 1 2 2 1
记忆：两向量平行 设 a(x y ), b ( x , y ) 1 , 1 2 2 等价于它们的坐标 a//bx 交叉相乘的差为0 1y 2 x 2y 1 0
例题：已知 a ( x , 4 ), b ( x , 2 x ), a // b , 求 x3,6 )
O
x
调用几何画板
探索：平面向量可以用坐标表示，向量
的运算可以用坐标来运算吗？ 如何计算？ （1）已知a =(x1 , y1), b= (x2 , y2) ， 求a + b , a – b . （2）已知a =(x1 , y1)和实数 ， 求a的坐标 .
调用几何画板
平面向量的坐标运算
探索2:
在平面直角坐标系内，起点不在坐标 原点O的向量如何用坐标来表示?
y a
o
x
调用几何画板
探索2:
平面向量的坐标运算
平面向量的坐标运算
》节选内容和《致中国读者的信》后的对话。请根据语境，将对话补充完整。（3分） 同学甲：小说创作的灵感往往来自现实生活。读了《致中国读者的信》，我发现选文情节就是在信中故事的基础上加工而成的，很多内容是虚构的。 同学乙：没错，这样的加工是小说创作的重要手段，往往使人
物形象更丰满，情节更曲折生动，主题更鲜明深刻。就拿《偷书贼》节选内容来说吧，。 【文本勾连】 11．《偷书贼》讲述了“一个文字喂养人类灵魂的故事”（封面语），节选内容表现了汉斯?休伯曼妇女善良品质。那么，他们的善良和文字的力量是否存在关联呢？请联系一下其他道如果没有文字，一个人该是何等脆弱。 （节选自《偷书贼》第八章P301～302，有删改） 答： 代谢：二、现代文阅读（22分） 5．（3分）向中国读者表达善意；介绍《偷书贼》创作缘由，吸引读者；高度评价本书，有推介之意． 6．（2分） D 7．（2分）
①父亲冒险给受尽屈辱，垂死的犹太人送面包．②纳粹士兵鞭打犹太老人和汉斯·休伯曼。 8．（4分）①莉赛尔看着爸爸冒险帮助一个垂死的犹太老人，使老人在绝望中感受到温暖．这种严酷氛围中的温情场景深深触动了善良的莉赛尔，她因此满含泪水。 ②犹太人一路遭受非人的折磨，内心早已
个单位向量i、 j作为基底，任何
a
一个向量a，由平面向量基本定理
j
可知，有且只有一对实数x、y，使 得
Oi
x
a=xi+yj
我们把（x,y)叫做向量a 的（直
角）坐标，记作
图1
a=(x，y),
其中x叫做a 在x轴上的坐标，y叫
做a在y轴上的坐标，（x ,y）叫做
向量的坐标表示。
y
y
A（x,y） a
如图2，在直角坐标平面内，以原 点O为起点作OA=a，则点A的位 置由a惟一确定。
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课题：平面向量的坐标运算
考纲要求：
①掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
②会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘、数量积运算. ③理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
教材复习
1.平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，,i j 为x 轴、y 轴正方向的单位向量(一组基底)，由平面向量的基本定理可知：平面内任一向量a ，有且只有一对实数x ，y ，使a xi y j =+成立，即向量a 的坐标是
2. 平面向量的坐标运算：若11(,)a x y =，22(,)b x y =，则a b ±＝ ，
3. 平面内一个向量的坐标等于此向量有向线段的 坐标减去 坐标.
4.实数与向量积的坐标表示：若(,)a x y =，则a λ＝
5. 设11(,)a x y =，22(,)b x y =，由a b ⇔∥ ，a b ⇔⊥
6. 若()11,a x y =，()22,b x y =，则a b ⋅= ；
7. 若(),a x y =，则2
2
a a a a ⋅=== ，a = ； 8. 若()11,A x y ,()22,B x y ,则AB = ； 9.
重要不等式：()11,a x y =
，()22,b x y =，则a b -⋅≤a b ⋅≤a b ⋅
⇔12
12x x y y +典例分析：
考点一 坐标的基本运算
问题1．()1（01新课程）若向量()1,1a =，()1,1b =-，()1,2c =-，则c =
.A 1322
a b -+
.
B 13
22
a b -
.
C 31
22
a b -
.D 31
22
a b -+
()2 （2013辽宁）已知点()()1,3,4,1,A B -则与AB 同方向的单位向量为
.A 3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，- .B 4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，- .C 3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， .D 4355⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，
()3（08广东文）已知平面向量()1,2a =, ()2,b m =-, 且//a b , 则23a b +=
.A ()2,4-- .B ()3,6-- .C ()4,8-- .D ()5,10--
()4（2013湖北）已知点()1,1A -．()1,2B ．()2,1C --．()3,4D ，则向量AB
在CD 方向上的投影为 .A .B .C .D
考点二 有关垂直、平行与夹角的计算
问题2．()1已知(1,2),(,1),2a b x u a b ===+，2v a b =-，且//u v ，求实数x
()2已知向量(,1)a m =,(2,)b m =的夹角为钝角,求m 的取值范围.
()3（2013(cos ,sin )(cos ,sin )a b ααββ=＝，
，παβ<<<0。
（1）若||2a b -=，求证：a b ⊥；（2）设(0,1)c =，若a b c +=，求βα,的值。
考点三 长度的计算
问题3．()1已知向量)3,1(=a ，)0,2(-=b ，则a b
+=
()2（06全国Ⅱ）已知向量()sin ,1a θ=，()1,cos b θ=，22ππ
θ-<<.
（Ⅰ）若a b ⊥，求θ；（Ⅱ）求a b +的最大值．
考点四 坐标运算的应用
问题4．（2012江西）在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，
点P 为线段CD 的中点，则2
2
2
PA PB PC
+= .A 2 .B 4 .C 5 .D 10
课后作业：
1.三点112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y 共线的充要条件是 .A 12210x y x y -= .B 13310x y x y -=
.C 21313121()()()()x x y y x x y y --=-- .D 21313121()()()()x x x x y y y y --=--
2.如果1e ,2e 是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题中正确的是 .A 若实数12,λλ使11220e e λλ+=，则 120λλ==
.B 空间任一向量a 可以表示为1122a e e λλ=+，这里12,λλ是实数 .C 对实数12,λλ，向量1122e e λλ+不一定在平面α内
.D 对平面内任一向量a ，使1122a e e λλ=+的实数12,λλ有无数对
3.已知向量(1,2)a =-，b 与a 方向相反，且||2||b a =，那么向量b 的坐标是_
4.已知(5,4),(3,2)a b ==，则与23a b -平行的单位向量的坐标为
5.已知(3,1),(1,2),(1,7)a b c =-=-=，求p a b c =++，并以,a b 为基底来表示p
6.设a 、b 为正数，且5a b +=
7.已知向量33(cos ,sin )22a x x =， (cos ,sin )22
x x
b =-；
()1当]2
,0[π
∈x ，求,||a b a b ⋅+； ()2若()2||f x a b m a b =⋅-+≥23
-对一切实数x 都成立，求实数m 的范围
8.设E 、F
分别是正方形ABCD 中BC 、CD
两边的中点，求cos EAF ∠的值
走向高考：
9.（07湖北文）设()4,3a =，a 在b ，b 在x 轴上的投影为2，且||14b ≤，则b 为 .A (2,14) .B 22,7⎛
⎫- ⎪⎝
⎭ .C 22,7⎛⎫- ⎪⎝⎭ .D (2,8)
A B
C D
E
F
10.（08全国Ⅱ文）设向量(12)(23)a b ==，，，，若向量a b λ+与向量(47)c =--，共线，
则=λ
11.（07北京文）已知向量()2,4a =，()1,1b =．若向量()
b a b λ⊥+，则实数λ=
12.（07重庆文）已知向量(46)OA =，，(35)OB =，，且OC OA ⊥，AC OB ∥，则
向量OC = .A 3277⎛⎫
- ⎪⎝⎭， .B 24721⎛⎫- ⎪⎝⎭， .C 3277⎛⎫-
⎪⎝⎭， .D 2
4721⎛⎫- ⎪⎝⎭
，
13.（08湖北文）设(1,2),(3,4),(3,2)a b c =-=-=，则(2)a b c +=
.A 5 .B 0 .C 3- .D 11-
14.（06重庆）与向量71,22a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，17,22b ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭的夹角相等，且模为1的向量是
.A ⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54.B ⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54或⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54.C ⎪⎭⎫- ⎝⎛31,322.D ⎪⎭⎫- ⎝
⎛31,322或⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,322
15.（06辽宁）设(0,0)O ,(1,0)A ,(0,1)B ,点P 是线段AB 上的一个动点,AP AB λ=,
若OP AB PA PB ⋅≥⋅,则实数λ的取值范围是
.
A 112λ≤≤ .
B 112λ-≤≤ .
C 1122λ≤≤+ .
D 1122
λ-≤≤+
16.（05全国Ⅱ）已知点A ，(0,0)B ，C ．设BAC ∠的平分线AE 与BC
相交于E ，那么有BC CE λ=，其中λ等于 .A 2 .B 12 .C 3- .D 13
-
17.（05天津）在直角坐标系xOy 中，已知点()0,1A 和点()3,4B -，若点C 在AOB ∠的
平分线上且2OC =,则OC =
18.（06湖北文）设过点(),P x y 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于,A B
两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA =且1OQ AB ⋅＝， 则点P 的轨迹方程是
.A 223312x y +
=(0,0)x y >> .B 223
312x y -=(0,0)x y >> .C 223312x y -=(0,0)x y >> .D 223
312x y +=(0,0)x y >>
19.（05全国Ⅲ）已知向量(,12)OA k =，(4,5)OB =，(,10)OC k =-，且,,A B C 三点
共线，则k =
20.（05山东)已知向量(cos ,sin )m θθ=和(
)
()2sin ,cos ,,2n θθθππ=
-∈，且
82m n +=
求cos 28θπ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
的值.。