切割线定理
切割线定理的证明
切割线定理的证明摘要：一、引言二、切割线定理的概念介绍三、切割线定理的证明过程四、切割线定理的应用案例五、总结正文：一、引言在数学领域，切割线定理是一个重要的几何定理，该定理在解决一些几何问题时具有重要意义。
本文将从切割线定理的概念介绍开始，详细解析切割线定理的证明过程，并通过应用案例来说明切割线定理在实际问题中的应用。
二、切割线定理的概念介绍切割线定理，又称切割线定理，是指在平面上，经过一点作两条相交直线的切割线，这两条切割线的长度和等于第三条直线的长度。
简单来说，就是通过一个点，作两条直线分别与已知直线相交，这两条直线的长度和等于已知直线的长度。
三、切割线定理的证明过程为了更好地理解切割线定理，我们先通过一个实例来说明。
假设在平面上有四条直线AB、AC、AD、AE，其中AB 与AC 相交于点B，AD 与AE 相交于点D。
我们需要证明的是，通过点D 作直线DE 与AB 相交，再通过点E 作直线EF 与AC 相交，DE 与EF 的长度和等于AB 与AC 的长度和。
证明过程如下：1.连接DB、DC、DA、DE、DF、EC。
2.根据切割线定理，我们知道DB+DC=BD+DC=BC；DA+DE=AD+DE=AC。
3.将DB+DC 和DA+DE 相加，得到(DB+DC)+(DA+DE)=BC+AC。
4.根据三角形两边之和大于第三边的定理，我们知道DB+DC>BD，DA+DE>DF。
5.将DB+DC>BD 和DA+DE>DF 代入(DB+DC)+(DA+DE)=BC+AC，得到(DB+DC)+(DA+DE)>(BD+DF)。
6.根据步骤4，我们知道(DB+DC)+(DA+DE)>(BD+DF)=BC+AC。
7.综上所述，我们证明了通过点D 作直线DE 与AB 相交，再通过点E 作直线EF 与AC 相交，DE 与EF 的长度和等于AB 与AC 的长度和。
四、切割线定理的应用案例切割线定理在实际问题中有广泛的应用，例如在求解几何图形的面积、证明一些几何问题等。
切割线定理及推论
切割线定理切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
是圆幂定理的一种。
切割线定理示意图几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT^2=PA·PB（切割线定理）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等几何语言：∵PT是⊙O切线，PBA，PDC是⊙O的割线∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论）(割线定理）由上可知:PT∧2（平方）=PA·PB=PC·PD证明切割线定理证明:设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT^2=PA·PB证明：连接AT, BT∵∠PTB=∠PAT(弦切角定理)切割线定理的证明∠P=∠P(公共角)∴△PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似)则PB：PT=PT：AP即：PT²=PB·PA比较相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们的推论统称为圆幂定理。
一般用于求线段长度。
练：如图，⊙O的两条弦AB、CD相交于点E，AC和DB的延长线交于点P，下列结论成立的是（）．A.PC·CA=PB·BDB.CE·AE=BE·EDC.CE·CD=BE·BAD.PD·PD=PC·PA例1.如图,⊙O的割线PAB交圆O于点A和B,PA=6,AB=8,PO=10,求⊙O的半径。
例2.如图：自圆外一点P作直线PA切⊙O于A，过PA中点M，作割线交⊙O于B、C．求证：∠MPB=∠MCP．例3.如图，C,D是⊙O的弦AB的三等分点，弦EF过点C，弦GH过点D。
求证：FC·CE=HD·DG。
切割线定理的证明
切割线定理的证明引言切割线定理是数学中的一个重要定理，它在几何学和分析学中有广泛的应用。
本文将详细探讨切割线定理的证明过程，以及其在不同领域中的应用。
切割线定理的定义在数学中，切割线定理是指：对于任意一个凸多边形，存在一条直线，将该多边形分割成两个面积相等的部分。
证明过程证明切割线定理的过程如下：步骤一：连接多边形的两个不相邻的顶点首先，我们连接多边形的两个不相邻的顶点，得到一条直线。
步骤二：计算两边的面积我们计算连接线两边的面积。
设连接线两边的长度分别为a和b，相应的面积分别为S1和S2。
步骤三：判断面积大小判断S1和S2的大小。
如果S1等于S2，则证明切割线定理成立。
如果S1不等于S2，则我们需要调整连接线的位置。
步骤四：调整连接线的位置调整连接线的位置，使得S1和S2的面积尽可能接近。
我们可以通过改变连接线的倾斜角度或者位置来实现。
步骤五：重新计算面积重新计算连接线两边的面积，并判断它们是否相等。
如果相等，则证明切割线定理成立。
如果不相等，则继续调整连接线的位置，重复步骤四和步骤五，直到找到满足条件的连接线。
切割线定理的应用切割线定理在几何学和分析学中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：圆的切割线在圆的几何中，切割线定理可以用来证明圆内任意两点之间连线的长度小于等于圆的直径。
多边形的分割切割线定理可以用来将一个凸多边形分割成两个面积相等的部分。
这在计算几何学中有重要的应用，例如计算多边形的重心或者质心。
积分的应用在分析学中，切割线定理可以用来证明积分的性质。
通过将函数曲线分割成两个等面积的部分，可以推导出积分的对称性和平均值定理等重要结论。
优化问题切割线定理可以用来解决一些优化问题。
例如，在给定一定面积的情况下，如何找到一个凸多边形使得周长最小，或者如何找到一个凸多边形使得某个属性的值最大化。
总结切割线定理是数学中的一个重要定理，它可以用来将一个凸多边形分割成两个面积相等的部分。
本文通过详细的证明过程和应用场景的介绍，希望读者对切割线定理有更深入的理解。
切割线定理与射影定理
切割线定理与射影定理
射影定理：
如图，ABC为直角三角形，AD为斜边BC 上的高，那么有下面的性质成立：AD²=BD×DC，AB²=BD×BC，AC²=CD×BC 这个性质的证明很简单，可以用相似三角形的原理来证明，在这里就忽略，感兴趣的朋友可以自己搜索搜索。
切割线定理：
PT是切线，另外两条是割线，则有：PT²=PB×PA=PD×PC。
证明过程网上也是一搜一大堆。
这两个定理的结论是否看起来形式上有点相似？是的，其实他们根本就是说的一个东西……这两个定理其实就是一个结论，如果学生可以将这两个定理归结于一个，那么怎么说，都是大有好处的，理由如下：
如下图所示，以AB的中心，AB的一半为半径做圆，因为AD⊥BD，那么D点必在
又由于AC⊥AB，故可以知道。
CA其实就是该圆在A 点的切线。
CB是一条割线，那么根据切割线定理，AC²=CD×CB……！这不刚好就是射影定理吗？同理你也可以解释AB²=BD×BC。
有点特色的就是第一条了。
以此就可以看出来，射影定理其实就是去掉圆以后的切割线定理。
要说的是根据AD²=BD×DC可以得出一个著名的不等式——均值不等式。
(完整版)第三课时：切割线定理、割线定理和切线长定理
与圆有关的定理第三课时：切割线定理、割线定理和切线长定理直线与圆有三种位置关系，一是直线与圆无交点，叫相离，二是直线与圆只有一个交点，叫相切，这条直线叫做圆的切线，三是直线和圆有二个交点，叫相交，这条直线就叫做圆的割线。
换个更好理解的就是：把圆的任意一条弦向两方无限延长，这条直线就是圆的割线。
1、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
如图1，几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT2=PA•PB（切割线定理）如图2，设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT2=PA•PB 证明：连接A T, BT∵∠PTB=∠PAT(弦切角定理) ∠P=∠P(公共角)∴△PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似)则PB：PT=PT：AP即：PT2=PB•PA2、推论（割线定理）：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等如图3，几何语言：∵PT是○O切线，PBA，PDC是⊙O的割线∴PD•PC=PA•PB（切割线定理推论）由上可知:PT2=PA•PB=PC•PD3、切线长定理：若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
（1）切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。
（ 2）几点说明对于切线长定理，应明确（1）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（2）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补。
（3）推论：圆的外切四边形对边和相等（圆的外切四边形性质定理，逆定理成立）；圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长．基础知识运用：例1.如图4，正方形ABCD 的边长为1，以BC 为直径。
切割线定理证明及例题
切割线定理定理切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
是圆幂定理的一种。
几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT的平方=PA·PB（切割线定理）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等几何语言：∵PBA，PDC是⊙O的割线∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论）(割线定理）由上可知:PT的平方=PA·PB=PC·PD编辑本段证明切割线定理证明:设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT²=PA·PB证明：连接AT, BT∵∠PTB=∠P AT(弦切角定理)∠P=∠P(公共角)∴△PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似)则PB：PT=PT：AP即：PT²=PB·PA编辑本段比较切割线定理与割线定理，相交弦定理统称为圆幂定理一. 教学内容：相交弦定理和切割线定理二. 重点、难点：1. 相交弦定理的使用特征。
2. 切割线定理的使用特征。
【典型例题】[例1] 已知P为⊙O内一点，，⊙O半径为，过P任作一弦AB，设，，则关于的函数关系式为。
解：由相交弦定理得，即，其中[例2] 如图，AC=BD，CE、DF切⊙O于E、F两点，连EF，求证：CM=MD。
证明：作DN∥EC，交MF于N，则∠1=∠2，∠C=∠4由弦切角定理得：∠3=∠1 ∴∠2=∠3 ∴DN=DF由切割线定理，∵AC=DB ∴CB=DA ∴ CE=DF∴CE=DN 又∵∠5=∠6 ∴（AAS）∴CM=MD[例3] 已知PT切⊙O于T，PBA为割线，交OC于D，CT为直径，若OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB长。
解：设TD=，BP=，由相交弦定理得：即，（舍）由切割线定理，由勾股定理，∴∴∴[例4] 两圆交于A、B，AC、AD切两圆于A，交两圆于C、D，连CB，延长交AD于E，圆于F，若BC=9，AE=6，DE=2，求AC长。
相交弦定理和切割线定理
相交弦定理和切割线定理摘要：一、相交弦定理1.定理概述2.证明方法3.应用案例二、切割线定理1.定理概述2.证明方法3.应用案例三、总结正文：一、相交弦定理相交弦定理是指在圆中，两条相交弦被交点分成的两条线段长的乘积相等。
该定理是圆中一条重要的定理，被广泛应用于解决各种与圆相关的数学问题。
证明方法：我们可以通过画图和逻辑推理来证明这个定理。
假设在圆O 中有两条相交弦AB 和CD，它们的交点为P。
我们可以通过作PA 垂直于BC，PD 垂直于AB，来证明PA*PB=PC*PD。
具体证明过程较为复杂，需要运用到几何中的切线长定理和相似三角形等知识，这里不再赘述。
应用案例：在解决一些与圆相关的问题时，相交弦定理可以提供很大的帮助。
例如，在求解两个相交圆的交点时，我们可以通过运用相交弦定理，将问题转化为求解两个相交弦的交点，从而简化问题的复杂度。
二、切割线定理切割线定理是指在圆中，一条弦切割圆周的两个弧所对应的线段长的乘积相等。
这个定理也是圆中一条非常重要的定理，它在解决各种与圆相关的数学问题时都有着广泛的应用。
证明方法：切割线定理的证明方法同样需要运用到几何中的切线长定理和相似三角形等知识，具体证明过程也较为复杂，这里不再赘述。
应用案例：在解决一些与圆相关的问题时，切割线定理同样可以提供很大的帮助。
例如，在求解一个弦切割圆周的两个弧所对应的线段长时，我们可以通过运用切割线定理，将问题转化为求解两个线段长的乘积，从而简化问题的复杂度。
总结相交弦定理和切割线定理都是圆中非常重要的定理，它们在解决各种与圆相关的数学问题时都有着广泛的应用。
切割线定理公式及证明
切割线定理公式及证明
本文旨在介绍切割线定理的公式及证明，首先进行了相关概念的介绍，然后介绍了切割线定理及其应用，最后给出了它的公式及证明。
关键词：切割线定理，公式，证明
1 言
切割线定理是一种重要的几何定理，是对星座定理的更为普遍的形式，可以用于复杂的几何图形的分析，有助于我们更好的理解几何图形的形状和特点。
切割线定理的证明是一个较为复杂的过程，也是数学家们研究的热点。
2割线定理的概念
在几何中，切割线定理是定义在两个圆上的。
即，设A,B,C,D是两个圆的四个不同的点，用o表示其夹角，那么切割线定理就说，以AB为邻边，以CD为对边，则AoC+BoD=180°。
如果o=0，则它可以推广到星座定理，这两个定理都是几何定理。
切割线定理可以帮助我们分析复杂的几何图形，让我们更好地理解几何图形的形状和特点。
3割线定理的公式及证明
切割线定理的公式及证明如下：
假设A,B,C,D是两个圆的四个不同的点，用o表示其夹角，则有AoC+BoD=180°。
证明：
以A,B,C,D为顶点，构成四边形ABCD，以AB为邻边，CD为对边，在四边形ABCD内部任意选取一点E，将四边形ABCD按E分解成两个
三角形AEC和EDB：
由夹角定理，有AEC=180°-AoC和EDB=180°-BoD，得：
AoC+BoD=180°。
4论
通过本文的证明，我们可以得到切割线定理的公式，即
AoC+BoD=180°，可以用于复杂的几何图形的分析，有助于我们更好地理解几何图形的形状和特点。
第一章 §2 2.4 & 2.5 切割线定理 相交弦定理
2．4&2.5 切割线定理 相交弦定理对应学生用书P23]1．切割线定理(1)文字语言：过圆外一点作圆的一条切线和一条割线，切线长是割线上从这点到两个交点的线段长的比例中项．(2)符号语言：从⊙O外一点P引圆的切线PT和割线PAB，T是切点，则PT2＝PA·PB.(3)图形语言：如图所示．推论：过圆外一点作圆的两条割线，在一条割线上从这点到两个交点的线段长的积，等于另一条割线上对应线段长的积(割线定理)．2．相交弦定理(1)文字语言：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(2)符号语言：⊙O的两条弦AB和CD相交于圆内的一点P，则PA·PB＝PC·PD.(3)图形语言：如图所示．1．由相交弦定理知，垂直于弦的直径平分弦．那么，直径被弦分成的两条线段与弦有何关系？提示：弦的一半是直径被弦分成的两条线段的比例中项．2．如图，圆外一点P引圆的两条割线能否有PA·AB＝PC·CD?提示：只有PA＝PC时才有PA·PB＝PC·CD成立．对应学生用书P23]切割线定理的应用[例1] 如图所示，⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，AB是⊙O2的直径，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，并与BO1的延长线交于点P.PB分别与⊙O1，⊙O2交于C，D两点．求证：(1)PA·PD＝PE·PC；(2)AD＝AE.[思路点拨] 本题主要考查切割线定理的应用．解题时由割线定理得PA·PE＝PD·PB，再由切割线定理知PA2＝PC·PB可得结论，然后由(1)进一步可证AD＝AE.[精解详析] (1)∵PAE，PDB分别是⊙O2的割线，∴PA·PE＝PD·PB.①又∵PA，PCB分别是⊙O1的切线和割线，∴PA2＝PC·PB.②由①②得PA·PD＝PE·PC.(2)连接AD，AC，ED，∵BC是⊙O1的直径，∴∠CAB＝90°.∴AC是⊙O2的切线．又由(1)知＝，∴AC∥ED.∴AB⊥ED.又∵AB是⊙O2∴AD＝AE.讨论与圆有关的线段间的相互关系，常常可以借助于切割线定理和相似成比例的知识去解决，通常用分析法揭示解题的思考过程，而用综合法来表示解题的形式．1．(湖北高考)如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B.过PA 的中点Q作割线交⊙O于C，D两点．若QC＝1，CD＝3，则PB＝ .解析：由切割线定理，得QA2＝QC·QD＝4⇒QA＝2，则PB＝PA＝2QA＝4.答案：4相交弦定理的应用[例2]O于C，D两点，垂足是点E.求证：PC·PD＝AE·AO.[思路点拨] 由相交弦定理知PC·PD＝AP·PB，又P为AB的中点，所以PC·PD＝AP2.在Rt△PAO中再使用射影定理即可．[精解详析] 连接OP，∵P为AB的中点，∴OP⊥AB，AP＝PB.∵PE⊥OA，∴AP2＝AE·AO.∵PD·PC＝PA·PB＝AP2，∴PD·PC＝AE·AO.相交弦定理的运用多与相似三角形联系在一起，经常与射影定理、直角三角形的性质相结合证明某些结论．2．(湖南高考)如图，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB＝，BC＝2，则⊙O 的半径等于．解析：设AO，BC的交点为D，由已知可得D为BC的中点，则在直角三角形ABD中，AD＝＝1，设圆的半径为r，延长AO交圆O于点E，由圆的相交弦定理可知BD·CD＝AD·DE，即()2＝2r－1，解得r＝.答案：相交弦定理与切割线定理的综合应用[例3]，AD、BC 相交于E点，F为CE上一点，且DE2＝EF·EC.(1)求证：∠P＝∠EDF；(2)求证：CE·EB＝EF·EP.(3)若CE∶BE＝3∶2，DE＝6，EF＝4，求PA的长．[思路点拨] 本题主要考查相交弦定理与切割线定理的综合应用．解题时先证△CED ∽△DEF，同时利用平行关系可证(1)；然后证明△DEF∽△PEA，结合相交弦定理可证(2)；最后由切割线定理可求PA.[精解详析] (1)证明：∵DE2＝EF·EC，∴DE∶EC＝EF∶ED.∵∠DEF是公共角，∴△CED∽△DEF.∴∠EDF＝∠C.∵CD∥AP，∴∠C＝∠P.∴∠P＝∠EDF.(2)证明：∵∠P＝∠EDF，∠DEF＝∠PEA，∴△DEF∽△PEA.∴DE∶PE＝EF∶EA，即EF·EP＝DE·EA.∵弦AD，BC相交于点E，∴DE·EA＝CE·EB.∴CE·EB＝EF·EP.(3)∵DE2＝EF·EC，DE＝6，EF＝4，∴EC＝9.∵CE∶BE＝3∶2，∴BE＝6.∵CE·EB＝EF·EP，∴9×6＝4×EP.解得EP＝.∴PB＝PE－BE＝，PC＝PE＋EC＝.由切割线定理得PA2＝PB·PC.∴PA2＝×.∴PA＝.解决与圆有关的线段问题多综合应用相交弦定理及切割线定理，同时注意相似三角形及平行过渡传递等量关系的应用．3．如图，E是⊙O内两弦AB和CD的交点，直线EF∥CB，交AD的延长线于点F，FC与圆交于点G.求证：(1)△DFE∽△EFA；(2)△EFG∽△CFE.证明：(1)∵EF∥CB，∴∠DEF＝∠DCB.∵∠DCB和∠DAB都是»DB上的圆周角，∴∠DAB＝∠DCB＝∠DEF.∵∠DFE＝∠EFA，∴△DFE∽△EFA.(2)由(1)知：△DFE∽△EFA，∴＝.即EF2＝FA·FD.由割线定理得FA·FD＝FG·FC.∴EF2＝FG·FC，即＝.又∵∠EFG＝∠CFE，∴△EFG∽△CFE.本课时主要考查相交弦定理、切割线定理的应用．难度中档，是高考命题的热点内容．[考题印证](新课标全国卷Ⅱ)如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：(1)BE＝EC；(2)AD·DE＝2PB2.[命题立意] 本题主要考查切割线定理、相交弦定理以及三角形的外切定理、弦切角定理、同弧所对的圆心角相等定理．[自主尝试] (1)连接AB，AC.由题设知PA＝PD，故∠PAD＝∠PDA.因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，∠DCA＝∠PAB，所以∠DAC＝∠BAD，因此BE＝EC.(2)由切割线定理得PA2＝PB·PC.因为PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB.由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，所以AD·DE＝2PB2.对应学生用书P25]一、选择题1.如图，已知⊙O的两条弦AB，CD相交于AB的中点E，且AB＝4，DE＝CE＋3，则CD的长为( )A．4 B．5C．8 D．10解析：选B 设CE＝x，则DE＝3＋x.根据相交弦定理，得x(x＋3)＝2×2，x＝1或x＝－4(不合题意，应舍去)．则CD＝3＋1＋1＝5.2.如图，点P是⊙O外一点，PAB为⊙O的一条割线，且PA＝AB，PO交⊙O于点C，若OC＝3，OP＝5，则AB的长为( )A． B．2C． D．解析：选B 设PA＝AB＝x，延长PO交圆于点D.因为PA·PB＝PC·PD，OC＝3，OP＝5，所以PC＝2，PD＝8.所以x·2x＝16，所以x＝2.3．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则( )A．CE·CB＝AD·DB B．CE·CB＝AD·ABC．AD·AB＝CD2D．CE·EB＝CD2解析：选A 在直角三角形ABC中，根据直角三角形射影定理可得CD2＝AD·DB，再根据切割线定理可得CD2＝CE·CB，所以CE·CB＝AD·DB.4．如图，CA，CD分别切圆O1于A，D两点，CB，CE分别切圆O2于B，E两点．若∠1＝60°，∠2＝65°，判断AB，CD，CE的长度，下列关系正确的是( )A．AB>CE>CD B．AB＝CE>CDC．AB>CD>CE D．AB＝CD＝CE解析：选A 因为∠1＝60°，∠2＝65°，所以∠ABC＝180°－∠1－∠2＝180°－60°－65°＝55°，所以∠2>∠1>∠ABC，所以AB>BC>AC，因为CA，CD分别切圆O1于A，D两点，CB，CE分别切圆O2于B，E两点，所以AC＝CD，BC＝CE，所以AB>CE>CD.故选A.二、填空题5．如图，圆O是△ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，CD＝2，AB＝3，则BD的长为．解析：由切割线定理得：DB·DA＝DC2，即DB(DB＋BA)＝DC2，∴DB2＋3DB－28＝0，∴DB＝4.答案：46．如图，从圆O外一点P引圆O的切线PA和割线PBC，已知PA＝2，PC＝4，圆心O到BC的距离为，则圆O的半径为．解析：记圆O的半径为R.依题意得PA2＝PB·PC，PB＝＝2，BC＝PC－PB＝2，所以R＝＝2.答案：27．如图，⊙O的弦ED，CB的延长线交于点A，若BD⊥AE，AB＝4，BC＝2，AD＝3，则DE＝；CE＝ .解析：由切割线定理得AB·AC＝AD·AE，即4×6＝3×(3＋DE)，解得DE＝5；易知＝＝，又∠A＝∠A，故△ABD∽△AEC，故∠BCE＝∠BDA＝90°，＝.在直角三角形ABD中，BD＝＝，∴CE＝＝＝2.答案：5 28.如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF＝CF＝，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE与圆相切，则线段CE的长为．解析：设BE＝x，则FB＝2x，AF＝4x，由相交弦定理得DF·FC＝AF·FB，即2＝8x2，解得x＝，AE＝，再由切割线定理得CE2＝EB·EA＝×＝，所以CE＝.答案：三、解答题9．如图，P为圆O外一点，PA，PB是圆O的两条切线，A，B为切点，OP与AB相交于点M，且点C求证：∠OPC＝∠OCM.证明：连接OB，由切线长定理，得PA＝PB，PM⊥AB，PO平分∠APB.又PB⊥OB，在Rt△OPB中，OB2＝OP·OM，∵OB＝OC，∴OC2＝OP·OM，即＝，∴△OCP∽△OMC，∴∠OPC＝∠OCM.10.如图，两个同心圆的圆心是O，大圆的半径为13，小圆的半径为5，AD是大圆的直径．大圆的弦AB，BE分别与小圆相切于点C，F.AD，BE相交于点G，连接BD.(1)求BD的长．(2)求∠ABE＋2∠D的度数．(3)求的值．解：(1)连接OC，因为AB是小圆的切线，C是切点，所以OC⊥AB，所以C是AB的中点．因为AD是大圆的直径，所以O是AD的中点．所以OC是△ABD的中位线．所以BD＝2OC＝10.(2)连接AE.由(1)知C是AB的中点．同理F是BE的中点．即AB＝2BC，BE＝2BF，由切线长定理得BC＝BF.所以BA＝BE.所以∠BAE＝∠E.因为∠E＝∠D，所以∠ABE＋2∠D＝∠ABE＋∠E＋∠BAE＝180°.(3)连接BO，在Rt△OCB中，因为OB＝13，OC＝5，所以BC＝12，AB＝24.由(2)知∠OBG＝∠OBC＝∠OAC.因为∠BGO＝∠AGB，所以△BGO∽△AGB.所以＝＝.11.如图，在Rt△BDE中，∠BDE＝90°，BC平分∠DBE交DE于点C，AC⊥CB交BE于点A，△ABC的外接圆的半径为r.(1)若∠E＝30°，求证：BC·BD＝r·ED.(2)若BD＝3，DE＝4，求AE的长．解：(1)证明：取AB的中点为O，△ABC是直角三角形，AB是斜边，O是外接圆的圆心，连接CO，所以BO＝CO，∠BCO＝∠OBC，因为BC是∠DBE的平分线，所以∠DBC＝∠CBA，所以∠OCB＝∠DBC，所以OC∥DB(内错角相等，两直线平行)，所以＝，把比例式化为乘积式得BD·CE＝DE·OC，因为OC＝r，所以BD·CE＝DE·r.因为∠D＝90°，∠E＝30°，所以∠DBE＝60°，所以∠CBE＝∠DBE＝30°，所以∠CBE＝∠E，所以CE＝BC，所以BC·BD＝r·ED.(2)过点C作CH⊥OE，垂足为H.BD＝3，DE＝4，根据勾股定理，BE＝5，OC＝OA ＝r，因为OC∥DB，所以△OCE∽△BDE，所以＝＝，即＝＝，解得OE＝r，CE＝r.CH＝＝r，因为BC平分∠DBE交DE于点C，则△BDC≌△BHC，所以BH＝BD＝3，则HE＝2.在Rt△CHE中，根据勾股定理得：CH2＋EH2＝CE2，即2＋22＝2，解得：r＝，则AE＝BE－2r＝5－＝.。
《切割线定理》课件
VSΒιβλιοθήκη 详细描述切线经过切点，并且仅经过该点。这是切 线定义的基本性质，也是切割线定理的重 要推论之一。这个性质说明了切点是唯一 一个点，使得经过该点的切线与圆相切。
05
切割线定理的应用练习
练习一：求切线的长度
01
02
03
总结词
利用切割线定理计算切线 的长度
详细描述
通过已知的圆心到切点的 距离和切割线与半径的夹 角，利用切割线定理计算 切线的长度。
总结词
利用切割线定理计算切线的斜率
详细描述
通过已知的圆心到切点的距离和 切割线与半径的夹角，利用切割
线定理计算切线的斜率。
公式
切线斜率 = (圆心到切点的距离 / 半径) × cos(切割线与半径的夹
角)
06
总结与回顾
本节课的重点与难点
重点
理解切割线定理的推导过程和实际应用。
难点
掌握如何运用切割线定理解决实际问题，特 别是涉及到几何图形的问题。
03
切割线定理的证明
证明方法一：通过相似三角形证明
总结词
利用相似三角形的性质，通过比较三角形之间的边长和角度关系，证明切割线 定理。
详细描述
首先，根据题目已知信息，画出两个相似三角形。然后，根据相似三角形的性 质，证明切割线与两条割线之间的角度相等，从而得出切割线定理的结论。
证明方法二：通过面积关系证明
推论二：切线与半径的关系
总结词
切线与半径的关系描述了切线和半径之间的角度关系。
详细描述
根据切线的性质，切线和经过切点的半径是垂直的。这意味着切线和半径之间的角度是90度。这个关系是几何学 中一个重要的基础概念，用于证明和解决各种几何问题。
切割线定理
切割线定理
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
与圆相交的直线是圆的割线。
切割线定理揭示了从圆外一点引圆的切线和割线时，切线与割线之间的关系。
扩展资料
切割线
切割线（cross line）：在航空物探测量中，由于受飞行高度、空间位置，以及仪器特性变化影响，各测线测量难以在同一水平，而且观测误差往往较大，因此需布设垂直于测线方向的切割线，供各测线间调平和全区测量质检。
切割线间距可等于或为测线间距的2～10倍，并应尽量选在磁场相对平静和地形高差变化较小地段。
切割线定理
推论：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每 条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
A B O C D P
PA· PB=PC· PD
切割线定理的应用
例1 、 填空
B
（1）已知PAB、PCD是圆O的割线， PA=3 ， AB=5 CD=2，则PC＝ （2）已知：PAB是圆O的割线， PA=6 ，AB=4 ，PO=10 ， 则PC＝ ；
.
16
A
相交弦定理：PA· PB=PC· PD
P C
D B
探索：如果把两弦相交点P移到圆外，并且有 一条线段是切线，会产生什么现象，得出什么 比例关系？ A
O B C
P
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线， 切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长 的比例中项。
A
O
B
C
PA2=PB· PC
P
例1、已知:如图,⊙O的割线PAB交⊙O于点A 和B，PA=6,AB=8,PO=10.9,求⊙O的半径。
做一做
画出弦切角∠BAC所夹的弧AmC所对 的圆周角∠BPC，探索∠BAC与∠BPC的关 系。 C
C
C
m m O P A B
P A
O
O
m
B
P
A
B
结论：弦切角等于所夹弧对的圆周角。 动画 推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么 这两个弦切角也相等。
相交弦定理
一1、定理：圆内的两条相交弦，被交点分 成的两条线段长的积相等。 2、弦AB和CD交与O内一点P，那么 PA PB=PC PD
B
F
A B
图3
D
P A
图7
C
例4、如图，已知 PAB、PCD是⊙O的割线,PE 切⊙O于点E，PE=6cm，PC=3cm，PA=4cm， AC=2cm求BD的长 E P C D
切割线定理
几何语言：
PAB , PCD为 圆 的 割 线 PA PB PC PD
例1、已知：如图，⊙O的割线PAB交 ⊙O于点A和B， PA =6cm，AB=8cm， PO=10.9cm，求⊙O的半径。
A PB OFra bibliotekC练习1 、 填空
（1）已知PAB、PCD是圆O的割线，
PA=3 ， AB==5 CD=2，则PC＝ ；
D B O N M P C A
证明：
PA切⊙O于A
C
N
D M
B
PA⊥OA
∠ PAN＋∠OAM= 90° ∠PNA+∠OMA= 90° ∠OAM=∠OMA
OM⊥BC
∠OMA＋∠MND= 90° ∠ANP=∠DNM PA=PN PN2= PC·PB PA2= PC·PB
练习2、已知：弦AB 、CD相交于E，过点 E作BC的平行线PE交AD延长线于点P，PG 与圆O相交于点G。求证：PG=PE
P D A
E
G B
C
练习3、已知 ：圆O1、圆O2 相交于A、B，P是BA 延长线上的一点，PCD是圆O1的割线，PEF是圆O2 的割线，求证：PC •PD=PE• PF
Ｆ Ｂ O2 Ｅ Ａ O1 • Ｍ Ｂ Ｃ Ｍ Ｂ Ａ O1 • Ｄ Ｃ Ｐ O1 • Ｎ Ｐ
•
O2
Ｄ
•
O2
•
Ａ
Ｐ
练习4、已知：如图，AD切⊙O于点D，ACB为⊙O 的割线，AP＝AD，BP,CP分别交⊙OM,N， 求证：（1）△PCA∽△ABP （2）MN∥AP.
Ｐ
Ａ
Ｂ
几何语言：
2 PT PA PB 割 线 PAB 与 圆 交 于 A , B PT 为 圆 的 切 线
切割线定理的证明
切割线定理的证明切割线定理，也被称为Severi's定理或Sokhotski–Plemelj定理，是复变函数理论中的一个重要定理。
它描述了圆周上的切割线是满足特定条件的函数的积分路径。
首先，我们先来了解一下切割线的概念。
在复平面上考虑一个圆周C，设C的圆心为a，半径为r。
我们将这个圆周与平面割开，然后选择一个切割线L，使得它与圆周C只有一个交点。
切割线L可以看作是一个无限细长的线，在我们的讨论中，我们主要关注切割线与圆周交点的位置。
切割线定理可以被描述为：如果f(z)是一个在圆周C内解析的复变函数，那么对于切割线L上的任意点z0，方向由内指向外，切割线对应的复函数f(L)在点z0处的值可以通过下面的积分得到：f(L) = \frac{1}{2πi}\int_{C}\frac{f(z)}{z-z_0}dz其中，f(z)是圆周C内的解析函数，z0是切割线L上的点，C是切割线L与圆周C之间的路径。
这个定理的证明可以按照以下步骤进行。
首先，我们可以将切割线L与圆周C之间的路径C分为两段：一段位于切割线L外部，另一段位于切割线L内部。
接下来，我们需要通过引入一个小的参数ε来表示L的位置。
当我们让ε趋近于零时，切割线L就会趋近于圆周C上的一个点。
在圆周C上选择一个点Z，通过C上的路径积分，我们可以得到f(L)在点Z处的值。
根据留数定理，我们可以将路径积分转换为圆周C 内的留数求和。
但是由于该定理的前提条件是f(z)是圆周C内的解析函数，因此留数求和等于零。
因此，我们得到了f(L)在点Z处的值为零。
接下来，我们将点Z沿着圆周C移动至点z0处。
根据解析函数的性质，在点Z和点z0之间的圆周C上，函数f(z)也是解析的。
因此，我们可以得到f(L)在点z0处的值也为零。
最后，我们让点z0沿着切割线L变动。
根据切割线L的定义，我们可以观察到f(L)在点z0处的值是连续变化的。
根据复变函数理论中的连续性原理，我们可以得出结论：f(L)在点z0处的值是切割线L上所有点值的极限。
切割线定理推论
切割线定理推论引言切割线定理是拓扑学中的基本概念之一，它描述了一个连续函数如何将一个拓扑空间分割成两个相互独立的部分。
本文将探讨切割线定理的推论，深入分析其应用以及相关的数学原理。
切割线定理切割线定理是指，如果一个集合满足以下两个条件，则该集合称为切割线： 1. 对于任意两个点A和B，它们位于集合的不同部分。
2. 存在一个连续函数f，它将集合一分为二，且A在f(x)的函数值小于0的那一部分，B在f(x)的函数值大于0的那一部分。
切割线定理推论根据切割线定理，我们可以得到几个重要的推论。
推论1：中间值定理如果一个函数f在区间[a, b]上连续，并且f(a)和f(b)的符号相反，那么在(a, b)之间存在至少一个点c，使得f(c) = 0。
证明：首先，根据切割线定理的条件1，我们可以将函数图像分为两部分，一部分的函数值小于0，一部分的函数值大于0。
假设f(a) < 0，f(b) > 0，那么根据切割线定理的条件2，我们可以找到一个分割函数，使得f(x)在a到b之间变化。
由此可知，在函数图像上存在一个点c，使得f(c) = 0。
根据中间值定理的定义，我们可以得出推论1的结论。
推论2：连续函数的零点个数如果一个函数f在区间[a, b]上连续，并且符号变化的次数为n，那么在(a, b)之间至少存在n个零点。
证明：根据切割线定理的条件1，我们可以将函数图像分为n+1个部分，每个部分的函数值符号相同。
同时，根据切割线定理的条件2，我们可以找到n个分割函数，它们将函数图像分割成n个部分。
由此可知，在函数图像上存在n个点，它们的函数值分别为0。
根据连续函数的定义，在(a, b)之间至少存在n个零点。
推论2得证。
推论3：切割线的性质切割线具有以下几个重要的性质： - 切割线可以是一条直线、曲线或者其他连续函数。
- 切割线可以有多个不同的形式，但只要满足切割线定理的条件即可。
- 切割线可以将一个拓扑空间分割成两个完全独立的部分，它们没有任何交集。
切割线定理的证明
切割线定理的证明（实用版）目录一、引言二、切割线定理的概念介绍三、切割线定理的证明过程四、切割线定理的应用案例五、结论正文一、引言在几何学中，切割线定理是一个重要的定理，它可以帮助我们解决许多与直线和圆相关的问题。
切割线定理指的是，在给定一个圆和一条直线，通过这条直线在圆上切出的线段长度与直线到圆心的距离成比例。
今天我们将详细介绍切割线定理的证明过程以及它的应用案例。
二、切割线定理的概念介绍切割线定理可以表述为：在给定一个圆和一条直线，通过这条直线在圆上切出的线段长度与直线到圆心的距离成比例。
具体来说，如果我们用d 表示直线到圆心的距离，用 r 表示圆的半径，用 L 表示切割线段的长度，那么我们有一个等式：d / L = r / (r + d)。
三、切割线定理的证明过程为了证明这个定理，我们可以采用切割比例法。
具体来说，我们可以通过在一个圆内画出两条弦，然后把这两条弦延长，直到它们相交。
接着，我们可以通过相交点画出一条直线，这条直线会把圆分成两个部分。
我们可以用切割线定理来证明，这两个部分的面积之比等于直线到圆心的距离与直线到圆上任意一点的距离之比。
四、切割线定理的应用案例切割线定理在许多情况下都有应用。
例如，如果我们需要求解一个与圆相关的几何问题，我们可以使用切割线定理来简化问题。
假设我们有一个圆，它的半径是 r，然后我们有一条直线，它与圆相交于两个点，这两个点的距离是 d。
如果我们想要求解直线到圆心的距离，我们可以使用切割线定理来解决这个问题。
五、结论总的来说，切割线定理是一个重要的几何定理，它可以帮助我们解决许多与直线和圆相关的问题。
第三课时：切割线定理、割线定理和切线长定理
与圆有关的定理第三课时：切割线定理、割线定理和切线长定理直线与圆有三种位置关系，一是直线与圆无交点，叫相离，二是直线与圆只有一个交点，叫相切，这条直线叫做圆的切线，三是直线和圆有二个交点，叫相交，这条直线就叫做圆的割线。
换个更好理解的就是：把圆的任意一条弦向两方无限延长，这条直线就是圆的割线。
1、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
如图1，几何语言：∵PT 切⊙O于点T ，P BA 是⊙O的割线∴PT 2 =PA?PB （切割线定理）如图2，设ABP 是⊙O的一条割线，PT 是⊙O的一条切线，切点为T ，则PT2=PA ?PB 证明：连接AT, BT∵∠ PTB= ∠PAT( 弦切角定理)∠P=∠P(公共角)∴△P BT ∽△P TA( 两角对应相等,两三角形相似)则PB：PT=PT ：AP即：PT 2 =PB ?PA2、推论（割线定理）：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等如图3，几何语言：∵PT 是○ O 切线，PBA ，PDC 是⊙ O 的割线∴PD?PC=PA?PB（切割线定理推论）由上可知:PT 2 =PA?PB=PC?PD3、切线长定理：若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
（1）切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。
（2）几点说明对于切线长定理，应明确（1）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（2）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补。
（3）推论：圆的外切四边形对边和相等（圆的外切四边形性质定理，逆定理成立）；圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长．基础知识运用：例1.如图4，正方形ABCD 的边长为1，以BC 为直径。
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切割线定理
学习目标： 学习目标：掌握切割线定理的内容及证明方法 学习重点： 学习重点：切割线定理的证明 学习难点： 学习难点：切割线定理的应用 一知识回顾 切线长定理： 切线长定理：
A 如图， 切圆与点Ｂ。
证明：PA=PB（写出证明过程） Ｂ。
证明 如图，PA 切圆与点 A， PB 切圆与点Ｂ。
证明：PA=PB（写出证明过程） E F D
P
C
B （ 1）
二知识探究
PA
2
两点，试证： （1）在上图中，让 PB 移动与圆交与 C，D 两点，试证： 在上图中，
= PC • PD
归纳总结： 归纳总结： 切割线定理： 切割线定理： （
）
两点。
试问： 的关系是什么？ （2）在图（1)中让 PB 继续移动与圆交与 E，F 两点。
试问：PA 与 PE ，PF 的关系是什么？ 在图（1)中让 PC • PD = PE • PF 是否成立？ 是否成立？
归纳总结： 归纳总结： 切割线定理的推论： 切割线定理的推论： （
）
三．师生互动 两点， 延长线上一点， 如图， 例 7 如图，圆 O1 与圆 O 2 相交与 A，B 两点，P 是 BA 延长线上一点，PC 切圆 O1 于点 C，PD
求证： 切圆Ｏ 于点 D。
求证：PC=PD ２
四质疑再探 四质疑再探
PA
2
试想切割线的逆定理是否成立， 试想切割线的逆定理是否成立，即若
= PC • PD ,PA 是否为圆的切线？请证明 是否为圆的切线？
由此我们得出下面的定理： 由此我们得出下面的定理：
2 定理： 给定圆 O 外一点 P,若割线 PAB 交圆 O 于 A ,B 两点， T 在圆 O 上， PT = PA • PB , P,若割线 两点， 定理： 点 且
的切线。
则 PT 为圆 O 的切线。
B
五课时作业
2
1、
1
（图3）
（图4）
1 （2008•杭州） 以正方形 ABCD 的 BC 边为直径作半圆 O， 过点 D 作直线切半圆于点 F， AB 边于点 E． 交 则 三角形 ADE 和直角梯形 EBCD 周长之比为（ A．3：4 B．4：5
）
C．5：6
D．6：7
2、 （2007•双柏县） 如图， 已知 PA 是⊙O 的切线， 为切点， 与⊙O 相交于 B、 两点， A PC C PB=2cm， BC=8cm， 则 PA 的长等于（ A．4cm
）
B．16cm
C．20cm
D．30
3 如图， PA， 为⊙O 的切线， B 分别为切点， APB=60°， P 到圆心 O 的距离 OP=2， PB A， ∠ 点 则⊙O 的半径为（ ） A
1 2
B1
C3
D2
4 如图，PT 切⊙O 于点 T，直径 BA 的延长线交 PT 于点 P，若 PT=4，PA=2，则⊙O 的半 径长是多少？
5．如图，从⊙O 外一点 A 作⊙O 的切线 AB、AC，切点分别为 B、C，且⊙O 直径 BD=6， 连接 CD、AO． （1）求证：CD∥AO； （2）设 CD=x，AO=y，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （3）若 AO+CD=11，求 AB 的长．
。