高中数学1.3.1三角函数的周期性
三角函数周期性
三角函数周期性三角函数是数学中非常重要的一类函数，它们具有周期性的特点。
周期性是指当变量取特定值时，函数的值会重复出现。
三角函数的周期性可以通过一些简单的关系式来描述。
最常见的三角函数是正弦函数和余弦函数。
它们的周期都是2π，也就是当自变量增加2π时，函数的值会再次回到原来的值。
这就是正弦函数和余弦函数的周期性。
对于其他的三角函数，比如正切函数、余切函数、正割函数和余割函数，它们的周期性是π，也就是当自变量增加π时，函数的值会再次回到原来的值。
不同的三角函数具有不同的周期，这是它们之间的一个重要区别。
三角函数的周期性在数学和物理学中都有广泛的应用。
在数学中，周期性可以帮助我们解决一些复杂的问题。
比如在三角恒等式的证明中，周期性可以帮助我们化简问题，将复杂的计算转化为简单的计算。
在物理学中，周期性是描述波动和振动的重要概念。
波动和振动都是以一定的周期性发生的。
比如声波、光波和电磁波都是具有周期性的波动。
三角函数的周期性可以帮助我们描述这些波动的特征。
例如，正弦函数和余弦函数可以用来描述声波的振动模式，正切函数和余切函数可以用来描述光波的传播方向。
除了周期性，三角函数还具有许多其他的特点。
例如，正弦函数和余弦函数是偶函数，它们对称于y轴。
正切函数和余切函数是奇函数，它们对称于原点。
这些特点在解决问题时也非常有用，可以帮助我们简化计算和推导过程。
三角函数的周期性在数学和物理学中都有重要的应用。
它们能够帮助我们解决一些复杂的问题，描述波动和振动的特征。
了解三角函数的周期性，可以帮助我们更好地理解这些函数的性质，提高数学和物理学的建模能力。
总之，三角函数的周期性是它们最重要的特征之一。
周期性可以帮助我们解决问题，描述波动和振动的特征。
了解三角函数的周期性，对于学习和应用数学和物理学都非常重要。
三角函数的周期性(说课)
三角函数的周期性（说课稿）江苏省常州高级中学周洁使用教材：普通高中课程标准实验教科书数学4（必修）第1章《三角函数》1.3.1 三角函数的周期性一、教材分析(一)教材内容及地位分析三角函数是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型，有着广泛的实践意义和理论价值，它是学生在高中阶段学习的又一类重要的基本初等函数。
《三角函数的周期性》位于本章的第三节，通过此前两节的学习，学生对任意角、弧度以及任意角的三角函数有了基本的认识，本节开始研究三角函数的图象和性质，周期性是其中第一个研究点。
本节的主要内容包括周期函数的定义，正弦、余弦、正切函数的周期性，经过复合的三角函数的周期并形成结论。
老教材以及现行的人教版、湘教版教材关于三角函数的性质以并列的形式呈现，但事实上对于学生而言，各条性质的学习在难易程度上是有很大区别的。
必修1中学习的基本初等函数都不具备周期性，使学生没有任何经验可供类比，加之周期函数的概念比较抽象，是一个学习难点。
而对三角函数周期性的理解，又关系到后续的单调性等性质的学习。
因此，苏教版教材的编排顺序突出了三角函数周期性的地位，更符合学生的认知规律。
另一方面，在整个高中数学的学习中，周期性与单调性、奇偶性相比，无论是出现的频率还是知识的综合程度，要求都不高，因此，从课本内容的编排来看，并没有过多地纠缠于周期函数这一抽象的概念，而是偏重于对具体的三角函数周期性的认识，并且形成了相应的结论，今后只需直接用结论即可，因此，在教学中，教师应注意教学重心的把握。
(二)教学目标了解周期函数的概念，会判断一些简单的、常见的函数的周期性，并会求一些简单三角函数的周期。
根据学生的生活经验创设情境，使学生感受周期现象的广泛存在，认识周期现象的变化规律，从具体到抽象建立周期函数的概念，研究三角函数的周期，体会数形结合和化归转化的数学思想方法。
使学生感受到数学与生活的密切联系，体会从感性到理性的思维过程，培养学生勇于探索、勤于思考的科学素养。
高中数学必修四1.3.1三角函数的周期性
1.3.1三角函数的周期性一、预习指导1、对于函数()f x ，如果存在一个___________T ，使得定义域内___________x 的值，都满足_______________，那么函数()f x 叫做___________，T 叫做这个函数的_________。
思考：一个周期函数的周期有多少个？周期函数的图象具有什么特征？2、对于一个周期函数()f x ，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做()f x 的_____________。
（注：今后研究函数周期时，如果不加特别说明，一般都是指函数的最小正周期）思考：是否所有的周期函数都有最小正周期？3、sin()y A x b 及cos()y A x b （0,0A ）型的三角函数的周期公式为_______________________。
二、典型例题例1、若摆钟的高度h （mm ）与时间t (s) 之间的函数关系如图所示。
（1）求该函数的周期；（2）求t =10s 时摆钟的高度。
例2、求下列函数的周期：（1）cos 2y x （2）1sin 2y x （3）12sin()36y x例3、若函数()2sin()f x x ，x R （其中0,||2）的最小正周期是，且(0)3f ，求,的值。
例4、已知函数(),y f x x R ，满足(2)()f x f x 对一切x R 都成立，求证：4是()f x 的一个周期。
三、课堂练习1、求下列函数的周期：（1）2cos3y x （2）sin 3xy 2、若函数()sin()5f x kx 的最小正周期为23，求正数k 的值。
3、若弹簧振子对平衡位置的位移x ()cm 与时间()t s 之间的函数关系如图所示：(1)求该函数的周期；(2)求t ＝10.5s 时弹簧振子对平衡位置的位移。
四、拓展延伸1、已知函数()sin()103kx f x ，其中0k ，当自变量x 在任何两整数间（包括整数本身）变化时，至少含有一个周期，则最小的正整数k 为_______________。
高中数学知识点精讲精析 三角函数的周期性
1.3.1 三角函数的周期性（一）、周期函数定义1、我们先看函数周期性的定义．定义 对于函数()f x ，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，()()f x T f x +=都成立，那么就把函数()f x 叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期．2、需要注意的几点：①T 是非零常数.②任意x D ∈，都有x T D +∈，0T ≠，可见函数的定义域无界是成为周期函数的必要条件.③任取x D ∈，就是取遍D 中的每一个x ，可见周期性是函数在定义域上的整体性质. 理解定义时，要抓住每一个x 都满足),()(x f T x f =+成立才行周期也可推进，若T 是)(x f y =的周期，那么2T 也是)(x f y =的周期.这是因为 )()()]([)2(x f x t f x T T f x T f =+=++=+，若T 是)(x f y =的周期，,0≠∈k Z k 且则kT 也是f(x)的周期.即2π是函数x y x y cos sin ==和的周期，那么x y x y k Z k k cos sin )0(2==≠∈和也是且π的周期. 如：),4sin()24sin(πππ=+ ),43sin()243sin(πππ=+ 但,6sin )26sin(πππ≠+x y sin 2=∴不是π的周期. （二）、最小正周期的概念.对于一个函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期.例如函数x y sin =的周期中，2π，－2π，4π，－4π，…，存在最小正数2π，那么，2π就是x y sin =的最小正周期.函数x y cos =的最小正周期也是2π，今后不加特殊说明，涉及的周期都是最小正周期，不是每个周期函数都有最小正周期.1. 求下列函数的最小正周期T.（1）x x f sin 3)(=（2）x x f 2sin )(=（3）)421sin(2)(π+=x x f 【解析】 解：（1）πππ2)2()2sin(3sin 3)(=+=+==T x f x x x f（2）)()(2sin )22sin(2sin )(πππ+=+=+==x f x x x x f ∴函数的最小正周期为π.（3）)4(]4)4(21sin[2)2421sin(2)421sin(2)(ππππππ+=++=++=+=x f x x x x f 函数的最小正周期为4π.总结一般规律：)cos(),sin(ϕωϕω+=+=x A y x A y 的最小正周期是||2ωπ.令 z x ωϕ=+，由sin ,y A z z R =∈的周期是2π，则 ()222z x x ππωϕπωϕω⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭因而自变量x 只要并且至少要增加到2x πω+，即2T πω=.2. 求证：（1）x x y sin 2cos +=的周期为π；（2）.2|cos ||sin |π的周期为x x y += 【解析】证明：（1）)22sin()22cos()(2sin )(2cos )(x x x x x f +++=+++=+πππππ π的周期是x x y x f x x 2sin 2cos )(2sin 2cos +=∴=+=（2）)(|cos ||sin ||sin ||cos |)2cos(||)2sin(|)2(x f x x x x x x x f =+=-+=+++=+πππ ∴.2|cos ||sin |π的周期是x x y +=（一般不要求证明是最小正周期）总结：（1）一般函数周期的定义 （2）)cos(),sin(ϕωϕω+=+=x A y x A y 周期求法3. 研究一下函数的周期性（1）x sin 2； （2）x sin【解析】（1）x sin 2的定义域为R ，值域为]2,21[，作图可知，它是最小正周期为π2的周期函数. （2）x sin 的定义域为]2,2[πππ+k k ，值域为【0，1】，作图可知，它是最小正周期为π2的周期函数.【说明】从基本函数的定义域，值域和单调性出发，通过作图，还可确定，)sin(sin ,sin 1,sin ,log x x x x a 都是最小正周期π2的周期函数.。
高中数学中的三角函数的周期性
高中数学中的三角函数的周期性在高中数学的学习中，三角函数是一个非常重要的概念。
三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们在数学和物理中有着广泛的应用。
其中一个重要的特性就是它们的周期性。
周期是指函数在一个特定区间内重复的性质。
对于三角函数来说，它们的周期是一定的，即在一定的区间内，函数的值会不断地重复。
这个周期可以通过函数的图像来观察和理解。
以正弦函数为例，它的图像是一个连续的曲线，呈现出一种波浪形状。
正弦函数的周期是2π，也就是说在每个2π的区间内，函数的值会重复。
当自变量的取值从0增加到2π时，函数的值会从0增加到1，然后又从1减小到0，如此循环往复。
余弦函数的周期也是2π，但它与正弦函数的图像有所不同。
余弦函数的图像是一个类似于正弦函数的波浪形状，但是它的起点是在y轴的最高点。
当自变量的取值从0增加到2π时，函数的值会从1减小到0，然后又从0增加到1，如此循环往复。
正切函数的周期是π，也就是说在每个π的区间内，函数的值会重复。
正切函数的图像是一条由无数个水平线段和垂直线段组成的曲线。
当自变量的取值从0增加到π时，函数的值会从0增加到正无穷大，然后又从正无穷大减小到0，如此循环往复。
通过观察这些三角函数的周期性，我们可以发现它们之间存在一定的关系。
正弦函数和余弦函数的图像是相似的，只是起点位置不同；而正切函数的图像则与它们有所不同。
这种关系可以用三角恒等式来表示，例如sin(x) = cos(x + π/2)。
这个恒等式说明了正弦函数和余弦函数之间的周期性关系。
三角函数的周期性在数学和物理中有着广泛的应用。
例如，在波动和振动的研究中，正弦函数和余弦函数可以描述物体的周期性运动。
在电路分析中，三角函数可以用来描述交流电信号的周期性变化。
在信号处理和图像处理中，三角函数可以用来分析和处理周期性信号和图像。
总结起来，高中数学中的三角函数的周期性是一个非常重要的概念。
通过观察和理解三角函数的图像，我们可以了解它们的周期性特点。
数学必修4课堂导学：1.3.1三角函数的周期性 含解析 精
课堂导学三点剖析1.周期函数与周期的意义【例1】 求下列三角函数的周期.（1）y=sin(x+3π);（2）y=3sin(2x +5π). 思路分析：运用周期函数的定义即可. 解：（1）令z=x+3π,而sin(2π+z)=sinz, 即f(2π+z)=f(z),f ［(2π+x)+ 3π］=f(x+3π). ∴周期T=2π.(2)令z=2x +5π, 则f(x)=3sinz=3sin(z+2π) =3sin(2x +5π+2π) =3sin(524ππ++x ) =f(x+4π).∴T=4π.温馨提示理解好周期函数与周期的意义.对定义中的任意一个x 满足f(x+T)=f(x),而非某一个x 值.也可用公式T=ωπ2求周期. 2.判断函数是否具有周期性和求周期【例2】 求证：（1）y=cos2x+sin2x 的周期为π;(2)y=|sinx|+|cosx|的周期为2π. 思路分析：观察特征，运用定义.证明：（1）f(x+π)=cos2(x+π)+sin2(x+π)=cos(2π+2x)+sin(2π+2x)=cos2x+sin2x=f(x),∴y=cos2x+sin2x 的周期是π. (2)f(x+2π)=|sin(x+2π)|+|cos(x+2π)|=|cosx|+|-sinx|=|sinx|+|cosx|=f(x), ∴y=|sinx|+|cosx|的周期是2π. 温馨提示“f(x+T)=f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个值都成立.可以用上式验证一个量是否是一个函数的周期.3.判断函数是否具有周期性【例3】证明y=sin|x|不是周期函数.思路分析：运用定义进行证明.证明：假设y=sin|x|是周期函数，且周期为T ，则sin|x+T|=sin|x|(x ∈R ).(1)当T≥2π时， 令x=2π,得sin|2π+T| =sin|2π|⇒sin(2π+T)=sin 2π⇒cosT=1; 令x=-2π,得sin|-2π+T|=sin|-2π| ⇒sin(-2π+T)=sin 2π ⇒-cosT=1⇒cosT=-1.由此得1=-1,这一矛盾说明T≥2π不可能. (2)当T≤-2π时, 令x=x′-T 得,sin|x′-T+T|=sin|x′-T|⇒sin|x′-T|=sin|x′|,即-T 是函数的周期.但-T≥2π,由(1)知这是不可能的.(3)当-2π＜T ＜2π时, 令x=0得,sin|T|=sin|0|⇒sinT=0⇒T=0(周期不为零).由此可知原函数无周期,故y=sin|x|不是周期函数.温馨提示进一步理解定义,①存在一个常数T≠0;②当x 取定义域内每一个值时(而不是某一个),都有f(x+T)=f(x)恒成立.各个击破类题演练1求下列函数的最小正周期.（1）f(x)=3sinx;(2)f(x)=sin2x; (3)f(x)=2sin(421π+x ). 解：（1）f(x)=3sinx=3sin(x+2π)=f(x+2π),函数的最小正周期为2π.(2)f(x)=sin2x=sin(2x+2π)=sin2(x+π)=f(x+π),函数的最小正周期为π. (3)f(x)=2sin(421π+x )=2sin(421π+x +2π)＝2sin ［21(x+4π)+4π］=f(x+4π),函数的最小正周期为4π.变式提升1定义在R 上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x ∈［0,2π］时,f(x)=sinx,则f(35π)的值为（ ）A.21-B.21C.23-D.23 解析：由题意:f(35π)=f(-35π)=f(-35π+2π)=f(3π)=sin 3π=23. 答案：D类题演练2设f(x)是定义在R 上以2为周期的周期函数，且f(x)是偶函数，在区间［2，3］上，f(x)=-2(x-3)2+4，求x ∈［1,2］时，f(x)的解析表达式.解：当x ∈［-3,-2］时，-x ∈［２，3］.∵f(x)是偶函数，∴f(x)=f(-x)=-2(-x-3)2+4=-2(x+3)2+4.又∵f(x)是以2为周期的周期函数，当x ∈［1,2］时，-3≤x -4≤-2,∴f(x)=f(x-4)=-2［（x-4）+3］2+4=-2(x-1)2+4.∴f(x)=-2(x-1)2+4(1≤x≤2).变式提升2定义在R 上的偶函数f(x)，其图象关于直线x=2对称，当x ∈(-2,2)时，f(x)=x 2+1，则x ∈(-6,-2)时，f(x)=__________________.解析：∵偶函数f(x)其图象关于直线x=2对称，∴f(x+4)=f(x)，f(x)是周期函数，且4是它的一个周期. 当x ∈(-6,-2),x+4∈(-2,2).∴f(x)=f(x+4)=(x+4)2+1=x 2+8x+17.答案：x 2+8x+17类题演练3证明下列函数不是周期函数.（1）y=x 3;(2)y=sinx 2.证明：（1）因为y=x 3在x ∈R 上单调，设y 取到值a,方程x 3=a 不可能有两个不同的根，因此y=x 3不是周期函数.（2）设函数y=sinx 2是周期函数，周期为T ，那么对所有的x ∈R ，sin(x+T)2=sinx 2.由x 的任意性，T=0，所以函数y 不可能是周期函数.变式提升3(1)证明f （x)=1(x ∈R )是周期函数，但没有最小正周期.证明：因为对于任意实数T≠0，都有f(x+T)=f(x)=1，所以此函数是周期函数，其周期为任意非零实数.但所有正实数中没有最小值存在,故此函数没有最小正周期.(2)偶函数f(x)的定义域为R,若f(x-1)=f(x+1)对一切x ∈R 恒成立,又当0≤x≤1时,f(x)=-x 2+4. ①求证f(x)是周期函数,并确定它的周期;②求当1≤x≤2时,f(x)的解析式.①证明：∵f(x)定义域为R 且f(x-1)=f(x+1),∴f(x+2)=f(x+1+1)=f(x+1-1)=f(x).则f(x)的一个周期为2,且2n(n ∈Z ,n≠0)都是y=f(x)的周期.②解：设1≤x≤2,则-2≤-x≤-1，因此，0≤2-x≤1,由已知有：f(2-x)=-(2-x)2+4,∵f(x)的周期为2，且为偶函数，∴f(2-x)=f(-x)=f(x).∴当1≤x≤2时，f(x)=-(2-x)2+4.。
三角函数的周期性
三角函数的周期性三角函数是我们在学习高中数学时必修的一门课程。
在三角函数中，周期性是一个重要的概念。
周期性是指函数在一定范围内的值有规律地重复出现。
在三角函数中，有三种函数具有周期性，它们分别是正弦函数、余弦函数和正切函数。
正弦函数的周期性正弦函数的周期性是指在一定范围内，正弦函数的值会按照一定的规律循环出现。
正弦函数的定义域是实数集，值域是闭区间[-1,1]。
正弦函数的图像是一条连续的波形，它的形状是上下有限的缓慢起伏的波浪线。
正弦函数的周期是2π，即在一个周期内，正弦函数的值会从1降到-1，再从-1升到1。
如果我们对正弦函数进行平移和拉伸，则周期会发生变化。
余弦函数的周期性余弦函数与正弦函数非常相似，它们的周期相同，都是2π。
余弦函数的定义域是实数集，值域是闭区间[-1,1]。
余弦函数的图像也是一条连续的波形，形状上下有限的缓慢起伏的波浪线。
余弦函数的周期与正弦函数的周期相同，但是它们的波形有所不同。
余弦函数的波形是将正弦函数的波形上下翻转再向左平移π/2个单位，即余弦函数的波形是正弦函数波形上下翻转，再向左移动π/2个单位。
正切函数的周期性正切函数是另一种具有周期性的三角函数。
正切函数的定义域是所有不为π/2+ kπ，k∈Z的实数，值域是实数集。
正切函数的图像是一条不连续的波形，它在每个周期内重复出现。
正切函数的周期是π，即在一个周期内，正切函数的值会从0降到-∞，再从-∞升到0，然后从0升到∞，最后再从∞降到0。
正切函数在定义域内存在无限个不连续点，因此它的图像是由一条条的线段组成，每个线段的斜率为正或负无穷。
三角函数的周期性在数学中有着广泛的应用。
它们除了可以用来描述波的传播、音乐和图形外，还可以用来描述周期性运动、波动和天文学等领域中的现象。
周期性是三角函数的一个特性，在实际问题中经常有用的信息，了解三角函数的周期性可以帮助我们更好地分析和解决实际问题。
总之，在学习三角函数时，我们需要深入理解周期性的概念，掌握正弦函数、余弦函数和正切函数的周期，为日后更深入地研究三角函数打下良好的基础。
高中数学苏教版必修4教案：第一章 三角函数 第9课时 1.3.1三角函数的周期性
第九课时 §1.3.1 三角函数的周期性【教学目标】一、知识与技能：1.理解周期函数、最小正周期的定义；2.会求正、余弦函数的最小正周期。
二、过程与方法通过对周期的定义的理解，对熟悉正余弦函数的有关图象与性质有着重要作用三、情感态度价值观：通过周期定义的理解，使学生认识到事物之间的相互联系关系。
教学重点难点：函数的周期性、最小正周期的定义【教学过程】一、创设情景，提出问题1．问题：（1）今天是星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢？……（2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？2．观察正（余）弦函数的图象总结规律：正弦函数()sin f x x =性质如下：––π2π 2π- 2π 5ππ- 2π- 5π- O xy 1 1-文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；符号语言：当x 增加2k π（k Z ∈）时，总有(2)sin(2)sin ()f x k x k x f x ππ+=+==． 也即：（1）当自变量x 增加2k π时，正弦函数的值又重复出现；（2）对于定义域内的任意x ，sin(2)sin x k x π+=恒成立。
余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。
二、新课讲解：1．周期函数的定义：对于函数()f x ，如果存在一个非零常数．．．．T ，使得当x 取定义域内的每一个值．．．．时，都有()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。
说明：（1）T 必须是常数，且不为零；（2）对周期函数来说()()f x T f x +=必须对定义域内的任意x 都成立。
【思考】（1）对于函数sin y x =，x R ∈有2sin()sin 636πππ+=，能否说23π是它的周期？ （2） 正弦函数sin y x =，x R ∈是不是周期函数，如果是，周期是多少？（2k π，k Z ∈且0k ≠）（3）若函数()f x 的周期为T ，则kT ，*k Z ∈也是()f x 的周期吗？为什么？（是，其原因为：()()(2)()f x f x T f x T f x kT =+=+==+）2．最小正周期的定义： 对于一个周期函数()f x ，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做()f x 的最小正周期。
三角函数的周期性与应用
三角函数的周期性与应用三角函数是高中数学中重要的内容之一，它包括了正弦函数、余弦函数和正切函数等。
这些函数具有周期性的特点，周期性的应用广泛存在于物理、工程、音乐等领域中。
本文将从周期性的定义入手，介绍三角函数的周期性特点，并探讨其在实际应用中的重要性。
一、周期性的定义周期性是指某个函数在一定范围内反复重复的性质。
对于三角函数来说，周期性是它们最基本的特征之一。
1. 正弦函数的周期性正弦函数的定义为$f(x) = \sin(x)$，其中$x$为自变量，$f(x)$为函数值。
正弦函数的图像在数学坐标系中表现为一条起伏波动的曲线。
其周期为$2\pi$，表示正弦函数在$x$轴上反复重复的间隔。
即使对于不同的自变量，如$2\pi$、$4\pi$等，正弦函数的值也会相同。
这种周期性使得正弦函数在实际应用中有着重要的作用。
2. 余弦函数的周期性余弦函数的定义为$f(x) = \cos(x)$。
余弦函数与正弦函数非常相似，它们的周期也均为$2\pi$。
但是，余弦函数的图像在$x$轴上的起点并不是在零点，而是在$\frac{\pi}{2}$。
除此之外，余弦函数与正弦函数在周期性上的特点是一致的。
3. 正切函数的周期性正切函数的定义为$f(x) = \tan(x)$。
正切函数的图像在$x$轴上也具有周期性，其周期为$\pi$。
正切函数的图像是一条以原点为对称中心的曲线。
二、周期性的应用三角函数的周期性在实际应用中有着广泛的应用。
下面将从物理、工程和音乐三个领域中具体介绍其中的应用。
1. 物理应用在物理学中，三角函数的周期性被广泛应用于波动的描述。
例如，声波在传播过程中经历周期性的变化。
正弦函数可以用来描述声波的波形，通过调整正弦函数的振幅和频率，可以表达不同的音调和音量。
此外，光波、电磁波等也可以利用三角函数的周期性进行分析和描述。
2. 工程应用在工程领域中，周期性在信号处理、通信等方面有着重要的应用。
例如，调制技术中使用正弦函数来传输信息信号，通过调整正弦函数的频率和振幅调制出不同的信号。
三角函数的周期性及其像特征
三角函数的周期性及其像特征一、三角函数的周期性简介三角函数是高中数学中的一个重要分支，它是描述角度与长度之间关系的数学工具。
而三角函数的周期性是指它们在一定范围内，以一定的规律重复出现。
本文将探讨三角函数的周期性及其像特征，并分析其在实际问题中的应用。
二、正弦函数的周期性及像特征正弦函数是最基本的三角函数之一，它的符号记作sin(x)。
正弦函数的周期性可通过其图像来观察和理解。
在单位圆上，当一个角度x 逐渐增大时，正弦函数的值也会随之变化。
每隔一定的角度，正弦函数的值会重复出现，并呈现出周期性变化的特点。
正弦函数的周期为2π，即sin(x+2π) = sin(x)。
这意味着，当角度增加2π时，正弦函数的值会重新回到初始值。
同时，正弦函数的图像在周期内的变化呈现出对称性，即sin(-x) = -sin(x)。
这种周期性和对称性是正弦函数的重要特征。
三、余弦函数的周期性及像特征余弦函数是另一个基本的三角函数，它的符号记作cos(x)。
与正弦函数类似，余弦函数也具有明显的周期性。
余弦函数的周期也为2π，即cos(x+2π) = cos(x)。
当角度增加2π时，余弦函数的值同样会重新回到初始值。
与正弦函数不同的是，余弦函数的图像在周期内的变化呈现出以x轴为中心的对称性，即cos(-x) = cos(x)。
这种周期性和对称性是余弦函数的特点。
同时，正弦函数与余弦函数之间存在着一个重要的关系：cos(x) = sin(x + π/2)，即余弦函数与正弦函数的图像在横轴上的平移。
四、其他三角函数的周期性及像特征除了正弦函数和余弦函数，还有许多其他的三角函数，如正切函数、余切函数、正割函数和余割函数等。
这些函数同样具有周期性和像特征。
正切函数的周期为π，即tan(x+π) = tan(x)。
正切函数的图像在每个周期内会重复变化，呈现出周期性的特点。
正切函数还具有奇偶性特征，即tan(-x) = -tan(x)。
1.3.1三角函数的周期性
若记 f (x) = sin x 则对于任意 x ? R, f (x) f (x + 2p)
（三）数学理论
定义:一般的,对于函数f(x)，如果存在一个非零的
常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都 满足
f (x T) f (x)
那么就把函数f(x)叫做周期函数，非零的常数T叫 做这个函数的周期．
易知 2p是正弦函数和余弦函数的周期,且4p,6p 以及- 2p,- 4p
都是正弦函数和余弦函数的周期,即每一个常数2kp(k 喂Z, k 0) 都是这两个函数的周期.
思考:一个周期函数的周期有多少个?周期函数图象 有什么特征?
sin(2p + x) = sin x,cos(2p + x) = cos x
这种性质称为周期性．
p
怎样用数学语言刻画函数的周期性？
对于函数自变量每增加或减少一个定值(这样的定 值可以很多),函数值就重复出现,那么这个函数就叫 做周期函数.如:
sin(2p + x) = sin x,cos(2p + x) = cos x
（四）数学应用
例1、若钟摆的高度h（mm）与时间t（s） 之间的函数关系如图所示． ⑴求该函数的周期； ⑵求t=10s时钟摆的高度．
h/mm
50 40 30 20
10
0
t/s
1
2
3
例2.求下列函数的周期: (1) f (x) = cos 2x (2) g(x) = 2sin(1 x)
1.3.1三角函数的周期性
(一)情境引人
苏教版数学高一-必修4试题 1.3.1三角函数的周期性
1.3.1 三角函数的周期性 一、填空题 1．函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2πx ＋π4的最小正周期是________． 2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4的最小正周期是2π3，则ω＝________. 3．函数f(x)＝cos π6x ，则f(2 014)＝________. 4．已知函数f(x)＝8sin ⎝⎛⎭⎫k 3x －π3－2的最小正周期不大于3，则正整数k 的最小值是________．5．若函数f(x)＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的最小正周期为T ，且T ∈(1,3)，则正整数ω的最大值是_______．6．函数y ＝cos(sin x)的最小正周期是________．7．已知奇函数y ＝f(x)(x ∈R )且f(x)＝f(x ＋4)，f(1)＝2，则f(2)＋f(3)＋f(4)＝________.8．已知定义在R 上的函数f(x)满足f(x ＋1)＝1f x，且当x ∈时，f(x)＝2x ，则f(7.5)＝_______. 二、解答题9．求下列函数的周期：(1)y ＝4sin(π3x ＋π4)＋2； (2)y ＝3cos(π3－2x)－1. 10．设f(x)是定义在R 上且最小正周期为32π的函数，在某一周期上f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ cos 2x －π2≤x<0sin x 0≤x<π，求f(－15π4)的值． 11．设偶函数f(x)对任意的x ∈R 都有f(x ＋3)＝－1f x ，且当x ∈时，f(x)＝2x ，求f(113.5)的值．三、探究与拓展12．若函数f(n)＝sin nπ3(n ∈Z )，求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 013)的值．答案 1．1 2.±3 3.12 4.7 5.6 6.π 7．－2 8.229．解 (1)T ＝2ππ3＝6. (2)T ＝2π|－2|＝π. 10．解 ∵f(x)的周期为3π2， ∴f(－15π4)＝f(－15π4＋3×3π2) ＝f(34π)． ∵0<34π<π，∴f(34π)＝sin 34π＝sin π4＝22， 即f(－15π4)＝22. 11．解 由于f ＝－1f x ＋3， 而f(x ＋3)＝－1f x， 则f(x ＋6)＝f(x)，即函数的周期为6，于是f(113.5)＝f(19×6－0.5)＝f(－0.5)，f(－0.5)＝－1f 3－0.5＝－1f 2.5，又函数为偶函数，因此f(2.5)＝f(－2.5)＝2×(－2.5)＝－5，因此f(－0.5)＝－1f 2.5＝－1－5＝15， 也即f(113.5)＝15. 12．解 f(n)＝sin nπ3＝sin(2π＋nπ3) ＝sin 6π＋nπ3， f(n ＋6)＝sin nπ＋6π3， ∴f(n)＝f(n ＋6)．即6是f(n)的一个周期． 又f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝sin π3＋sin 23π＋sin π＋sin 43π＋sin 53π＋sin 2π＝0 且2 013＝6×335＋3∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 013)＝＋f(2 011)＋f(2 012)＋f(2 013)＝f(2 011)＋f(2 012)＋f(2 013)＝f(6×335＋1)＋f(6×335＋2)＋f(6×335＋3)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＝sin π3＋sin 23π＋sin 33π＝32＋32＋0＝ 3.。
三角函数的周期性与性质
三角函数的周期性与性质三角函数是高中数学中的一个重要概念，它在解决几何问题和分析问题中具有广泛的应用。
在本文中，我们将探讨三角函数的周期性和性质。
一、三角函数的周期性三角函数可以分为正弦函数、余弦函数、正切函数等。
其中，正弦函数和余弦函数的最小正周期都是2π，而正切函数的最小正周期是π。
这意味着，在这个周期内，函数的值会重复。
1. 正弦函数的周期性正弦函数的最小正周期是2π，即sin(x + 2π) = sin(x)。
这意味着，如果我们将自变量x增加2π，函数的值不会改变。
例如，sin(0) = sin(2π) = 0，sin(π/2) = sin(5π/2) = 1。
2. 余弦函数的周期性余弦函数的最小正周期也是2π，即cos(x + 2π) = cos(x)。
换句话说，如果我们将自变量x增加2π，函数的值保持不变。
例如，cos(0) =cos(2π) = 1，cos(π/2) = cos(5π/2) = 0。
3. 正切函数的周期性正切函数的最小正周期是π，即tan(x + π) = tan(x)。
这意味着，如果我们将自变量x增加π，函数的值保持不变。
例如，tan(0) = tan(π) = 0，tan(π/4) = tan(5π/4) = 1。
二、三角函数的性质除了周期性之外，三角函数还具有一些有趣的性质，下面我们将介绍其中的几个。
1. 奇偶性正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)；余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)；正切函数是奇函数，即tan(-x) = -tan(x)。
这意味着，正弦函数关于原点对称，而余弦函数和正切函数关于y轴对称。
2. 周期性我们已经知道三角函数具有周期性，但是需要注意的是，除了最小正周期之外，三角函数还具有其他周期。
例如，正弦函数的周期是2π，它的周期也可以是4π、6π等。
这是因为sin(x + 2nπ) = sin(x)，其中n是任意整数。
高中数学必修1三角函数的基本性质
高中数学必修1三角函数的基本性质
三角函数是数学中的重要概念，它在解决几何问题和物理问题
中起着重要的作用。
高中数学必修1中，学生将研究三角函数的基
本性质，包括以下几个方面：
正弦函数的基本性质
1.周期性：正弦函数的周期是360度或2π弧度。
在一个周期内，正弦函数的值呈现规律性变化。
2.奇偶性：正弦函数是奇函数，即满足f(x)=-f(-x)。
这意味着正弦函数的图像关于原点对称。
3.范围：正弦函数的值域是[-1.1]。
即正弦函数的值在-1和1之
间变化。
余弦函数的基本性质
1.周期性：余弦函数的周期也是360度或2π弧度。
与正弦函数类似，余弦函数的值在一个周期内呈现规律性变化。
2.偶性：余弦函数是偶函数，即满足f(x)=f(-x)。
与正弦函数不
同的是，余弦函数的图像关于y轴对称。
3.范围：余弦函数的值域也是[-1.1]。
正切函数的基本性质
1.周期性：正切函数的周期是180度或π弧度。
在一个周期内，正切函数的值也呈现规律性变化。
2.奇性：正切函数是奇函数，即满足f(x)=-f(-x)。
正切函数的图像关于原点对称。
3.无定义点：正切函数在90度或π/2弧度、270度或3π/2弧度
等等点处没有定义。
以上是高中数学必修1中三角函数的基本性质的简要介绍。
通
过学习这些基本性质，学生可以更好地理解三角函数的特点和用途，进一步应用于解决实际问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.3.1 三角函数的周期性
一、课题：三角函数的周期性
二、教学目标：1.理解周期函数、最小正周期的定义；
2.会求正、余弦函数的最小正周期。
三、教学重、难点：函数的周期性、最小正周期的定义。
四、教学过程： （一）引入： 1．问题：（1）今天是星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢？……
（2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？
2
正弦函数()sin f x x =性质如下：
文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；
符号语言：当x 增加2k π（k Z ∈）时，总有(2)sin(2)sin ()f x k x k x f x ππ+=+==．
也即：（1）当自变量x 增加2k π时，正弦函数的值又重复出现； （2）对于定义域内的任意x ，sin(2)sin x k x π+=恒成立。
余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。
（二）新课讲解： 1．周期函数的定义
对于函数()f x ，如果存在一个非零常数．．．．T ，使得当x 取定义域内的每一个值．．．．时，都有()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。
说明：（1）T 必须是常数，且不为零；
（2）对周期函数来说()()f x T f x +=必须对定义域内的任意x 都成立。
【思考】
（1）对于函数sin y x =，x R ∈有2sin(
)sin 636π
ππ+
=，能否说23
π是它的周期？
（2）正弦函数sin y x =，x R ∈是不是周期函数，如果是，周期是多少？（2k π，k Z ∈且0k ≠）
（3）若函数()f x 的周期为T ，则kT ，*
k Z ∈也是()f x 的周期吗？为什么？ （是，其原因为：()()(2)()f x f x T f x T f x kT =+=+==+）
2．最小正周期的定义
对于一个周期函数()f x ，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做()f x 的最小正周期。
说明：（1）我们现在谈到三角函数周期时，如果不加特别说明，一般都是指的最小正周期；
（2）从图象上可以看出sin y x =，x R ∈；cos y x =，x R ∈的最小正周期为2π；
– – π 2π 2π-
2π 5π π- 2π- 5π- O x
1 1-
（3）【判断】：是不是所有的周期函数都有最小正周期？ （()f x c =没有最小正周期） 3．例题分析：
例1：求下列函数周期：
（1）3cos y x =，x R ∈；
（2）sin 2y x =，x R ∈；
（3）12sin()26
y x π
=-
，x R ∈．
解：（1）∵3cos(2)3cos x x π+=，
∴自变量x 只要并且至少要增加到2x π+，函数3cos y x =，x R ∈的值才能重复出现，
所以，函数3cos y x =，x R ∈的周期是2π． （2）∵sin(22)sin 2()sin 2x x x ππ+=+=， ∴自变量x 只要并且至少要增加到x π+，函数sin 2y x =，x R ∈的值才能重复出现， 所以，函数sin 2y x =，x R ∈的周期是π．
（3）∵1112sin(2)2sin[()]2sin()262626
x x x πππ
ππ-+=+-=-，
∴自变量x 只要并且至少要增加到x π+，函数sin 2y x =，x R ∈的值才能重复出现， 所以，函数sin 2y x =，x R ∈的周期是π．
说明：（1）一般结论：函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+，x R ∈（其中,,A ωϕ
为常数，且0A ≠，0ω>）的周期2T π
ω
=；
（2）若0ω<，例如：①3cos()y x =-，x R ∈；②sin(2)y x =-，x R ∈；
③12sin()2
6
y x π
=--，x R ∈．
则这三个函数的周期又是什么？
一般结论：函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+，x R ∈的周期2||
T πω=． 例2：求下列函数的周期：
（1）sin(
)32y x π
π
=-
； （2）33cos
cos sin sin 2222
x x x x y =+；
（3）sin cos y x x =+； （4）22cos
sin 22
x x y =-； （5）2cos y x =． 解：（1）24||2T π
π==-，∴周期为4；
（2）333cos cos sin sin cos()cos 222222
x x x x x x
y x =+=-=，∴周期为2π； （3
）cos sin sin()4
y x x x π
=-=- ∴周期为2π；
（4）2
2sin
cos cos 22
x x
y x =-=-，∴周期为2π； （5）2
111cos (1cos 2)cos 2222
y x x x ==-=-+，∴周期为π．
说明：求函数周期的一般方法是：先将函数转化为sin()y A x ωϕ=+的形式，再利用公式
2T πω
=进行求解。
五、课堂练习：求下列函数的周期： （1）sin 3y x =，x R ∈； （2）cos 3x y =，x R ∈； （3）3sin 4
x
y =，x R ∈；
（4）sin()10y x π
=+
，x R ∈；（5）cos(2)3
y x π=+，x R ∈；
（6）1sin()
24y x π=-，x R ∈．
六、小结：1.周期函数、最小正周期的定义 2. sin()y A x ωϕ=+型函数的周期的求法。