平面向量与立体几何复习
立体几何与空间向量知识点归纳总结
立体几何与空间向量知识点归纳总结一、立体几何知识点1、柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱的定义：有两个面是对应边平行的全等多边形，其余各面都是四边形，且相邻四边形的公共边都平行，由这些面围成的几何体叫棱柱。
棱柱的性质：侧面都是平行四边形；侧棱都平行，侧棱长都相等。
直棱柱：侧棱垂直底面的棱柱叫直棱柱。
正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱。
（2）棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体叫棱锥。
棱柱的性质：平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面的距离与高的比。
（3）棱台的定义：用平行于底面的平面截棱锥，截面与底面的部分叫棱台。
棱台的性质：①上下底面平行且是相似的多边形；②侧面是梯形；③侧棱交于原棱锥的顶点。
（4）圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所围成的几何体叫圆柱。
圆柱的性质：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。
（5）圆锥的定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所围成的几何体叫圆锥。
圆锥的性质：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。
（6）圆台的定义：以直角梯形的垂直于底边的腰为旋转轴,旋转一周所围成的几何体叫圆台。
圆台的性质：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇环形。
（7）球体的定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形围成的几何体叫球。
球的性质：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。
2、柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积之和。
（2）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，'h 为斜高，l 为母线）ch S =直棱柱侧面积rhS π2=圆柱侧'21ch S =正棱锥侧面积 rlS π=圆锥侧面积')(2121h c c S +=正棱台侧面积 l R r S π)(+=圆台侧面积 ()l r r S +=π2圆柱表 ()l r r S +=π圆锥表 ()22R Rl rl r S +++=π圆台表（3）柱体、锥体、台体的体积公式V Sh =柱 2V S h r h π==圆柱 13V S h =锥 h r V 231π=圆锥'1()3V S S h =+台 '2211()()33V S S h r rR R h π=+=++圆台（4）球体的表面积和体积公式：V 球=343R π ； S 球面=24Rπ3、平面及基本性质公理1 ααα⊂⇒∈∈∈∈l B A l B l A ,,, 公理2 若βα∈∈P P ,,则a =⋂βα且α∈P公理3 不共线三点确定一个平面（推论1直线和直线外一点,2两相交直线,3两平行直线）4、空间两直线的位置关系共面直线：相交、平行（公理4） 异面直线 5、异面直线（1）对定义的理解：不存在平面α，使得α⊂a 且α⊂b （2）判定：反证法（否定相交和平行即共面） 判定定理：15P★（3）求异面直线所成的角：①平移法 即平移一条或两条直线作出夹角，再解三角形.②向量法 |||||,cos |cos b a =><=θ （注意异面直线所成角的范围]2,0(π（4）证明异面直线垂直，①通常采用三垂线定理及逆定理或线面垂直关系来证明；②向量法 0=⋅⇔⊥（5）求异面直线间的距离：大纲仅要求掌握已给出公垂线或易找出公垂线的有关问题计算.6、 直线与平面的位置关系1、直线与平面的位置关系A a a a =⋂⊂ααα,//,2、直线与平面平行的判定（1）判定定理: ααα////b a a b b ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄ (线线平行，则线面平行17P )（2）面面平行的性质：βαβα////a a ⇒⎭⎬⎫⊂ (面面平行，则线面平行) 3、直线与平面平行的性质b a b a a //,//⇒⎭⎬⎫=⋂⊂βαβα (线面平行，则线线平行18P )★4、直线与平面垂直的判定 （1）直线与平面垂直的定义的逆用a l a l ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα, （2）判定定理：αα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂⊥⊥l A n m n m n l m l ,, （线线垂直，则线面垂直23P ）（3）αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥a b b a // （25P 练习 第6题） （4）面面垂直的性质定理：βαβαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊂=⋂⊥a l a a l , （面面垂直，则线面垂直51P ）（5）面面平行是性质：βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊥l l // 5、射影长定理★6、三垂线定理及逆定理 线垂影⇔线垂斜7、 两个平面的位置关系：空间两个平面的位置关系 相交和平行8、两个平面平行的判定 （1）判定定理：βαβαα//,,//,//⇒⎭⎬⎫=⋂P b a b a b a （线线平行，则面面平行19P ）（2）βαβα//⇒⎭⎬⎫⊥⊥l l 垂直于同一平面的两个平面平行 （3）βαγβγα////,//⇒ 平行于同一平面的两个平面平行 （21P 练习 第2题） 9、两个平面平行的性质（1）性质1：βαβα//,//a a ⇒⊂（2）面面平行的性质定理： b a b a //,//⇒⎭⎬⎫=⋂=⋂γβγαβα （面面平行，则线线平行20P ）（3）性质2：βαβα⊥⇒⊥l l ,// 10、两个平面垂直的判定与性质（1）判定定理：βααβ⊥⇒⊂⊥a a , （线面垂直，则面面垂直50P ）（2）性质定理：面面垂直的性质定理：βαβαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊂=⋂⊥a l a a l , （面面垂直，则线面垂直51P ）12、 空间角：异面直线所成角（9.1）；斜线与平面所成的角 )2,0(π（1）求作法（即射影转化法）：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足. （2）向量法：设平面α的法向量为，则直线AB 与平面α所成的角为θ，则|||||,cos |sin n AB =><=θ )2,0(πθ∈（3）两个重要结论最小角定理48P ：21cos cos cos θθθ= ，,26P 例4 28P 第6题 13、空间距离：求距离的一般方法和步骤 （1）找出或作出有关的距离； （2）证明它符合定义；（3）在平面图形内计算（通常是解三角形） 求点到面的距离常用的两种方法 （1）等体积法——构造恰当的三棱锥；（2）向量法——求平面的斜线段，在平面的法向量上的射影的长度：d =直线到平面的距离，两个平行平面的距离通常都可以转化为点到面的距离求解 异面直线的距离① 定义：和两异面直线都垂直相交且夹在异面直线间的部分（公垂线段） ② 求法：法1 找出两异面直线的公垂线段并计算，法2 转化为点面距离向量法 d =（A ，B 分别为两异面直线上任意一点，为垂直于两异面直线的向量） 注意理解应用：θcos 22222mn d n m l ±++=二、空间向量知识点 1、空间向量的加法和减法：()1求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：在空间任取一点O ，作a OA =，b OB =，则a b BA =-．()2求两个向量和的运算称为向量的加法：在空间以同一点O 为起点的两个已知向量a 、b 为邻边作平行四边形C OA B ，则以O 起点的对角线C O 就是a 与b 的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则． 2、实数λ与空间向量a 的乘积a λ是一个向量，称为向量的数乘运算．当0λ>时，a λ与a 方向相同；当0λ<时，a λ与a 方向相反；当0λ=时，a λ为零向量，记为0．a λ的长度是a 的长度的λ倍．3、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．4、向量共线充要条件：对于空间任意两个向量a ，()0b b ≠，//a b 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=．5、平行于同一个平面的向量称为共面向量．6、向量共面定理：空间一点P 位于平面C AB 内的充要条件是存在有序实数对x ，y ，使x y C A P =A B +A ；或对空间任一定点O ，有x y C O P =O A +AB +A ；或若四点P ，A ，B ，C 共面，则()1x y z C x y z O P =O A +O B +O ++=． 7、已知两个非零向量a 和b ，在空间任取一点O ，作a O A=，b OB =，则∠AOB 称为向量a ，b 的夹角，记作,a b 〈〉．两个向量夹角的取值范围是：[],0,a b π〈〉∈．8、对于两个非零向量a 和b ，若,2a b π〈〉=，则向量a ，b 互相垂直，记作a b ⊥．9、已知两个非零向量a 和b ，则cos ,a b a b 〈〉称为a ，b 的数量积，记作a b ⋅．即cos ,a b a b a b ⋅=〈〉．零向量与任何向量的数量积为0． 10、a b ⋅等于a 的长度a 与b 在a 的方向上的投影cos ,b a b 〈〉的乘积． 11、若a ，b 为非零向量，e 为单位向量，则有()1cos ,e a a e a a e ⋅=⋅=〈〉；()20a b a b ⊥⇔⋅=； ()3()()a b a b a b a b a b ⎧⎪⋅=⎨-⎪⎩与同向与反向，2a a a ⋅=，a a a =⋅； ()4c o s ,ab a b a b⋅〈〉=；()5a b a b ⋅≤．12、空间向量基本定理: 若三个向量a ，b ，c 不共面，则对空间任一向量p ，存在实数组{},,x y z ，使得p xa yb zc =++．13、空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 14、设1e ，2e ，3e 为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以1e ，2e ，3e 的公共起点O 为原点，分别以1e ，2e ，3e 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz O ．则对于空间任意一个向量p ，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量p O P =．存在有序实数组{},,x y z ，使得123p x e y e z e =++．把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底1e ，2e ，3e 下的坐标，记作(),,p x y z =．此时，向量p 的坐标是点P 在空间直角坐标系xyz O 中的坐标(),,x y z ．15、设()111,,a x y z =，()222,,b x y z =，则()1()121212,,a b x x y y z z +=+++．()2()121212,,a b x x y y z z -=---． ()3()111,,a x y z λλλλ=．()4121212a b x x y y z z ⋅=++．()5若a 、b 为非零向量，则12121200a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++=．()6若b ≠，则12//,,a b a b xλλλλ⇔=⇔==．()721a a a x =⋅=+ ()821cos ,a b a b a bx ⋅〈〉==+．()9()111,,x y z A ，()222,,x y z B =，则(d x AB =AB =16、空间中平面α的位置可以由α内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点O ，它们的方向向量分别为a ，b ．P 为平面α上任意一点，存在有序实数对(),x y 使得xa yb OP =+，这样点O 与向量a ，b 就确定了平面α的位置．17、直线l 垂直α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 称为平面α的法向量．18、若空间不重合两条直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ，则////a b a b ⇔⇔()a b R λλ=∈，0a b a b a b ⊥⇔⊥⇔⋅=．19．0a n a n ⇔⊥⇔⋅=，//a a a n a n ααλ⊥⇔⊥⇔⇔=．20、若空间不重合的两个平面α，β的法向量分别为a ，b ，则////a b αβ⇔⇔a b λ=，0a b a b αβ⊥⇔⊥⇔⋅=．21、设异面直线a ，b 的夹角为θ，方向向量为a ，b ，其夹角为ϕ，则有cos cos a b a bθϕ⋅==．22、设直线l 的方向向量为l ，平面α的法向量为n ，l 与α所成的角为θ，l 与n 的夹角为ϕ，则有sin cos l n l nθϕ⋅==．23、设1n ，2n 是二面角l αβ--的两个面α，β的法向量，则向量1n ，2n 的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角l αβ--的平面角为θ，则1212cos n n n n θ⋅=．24、在直线l 上找一点P ，过定点A 且垂直于直线l 的向量为n ，则定点A 到直线l 的距离为cos ,n d n nPA ⋅=PA 〈PA 〉=．25、点A 与点B 之间的距离可以转化为两点对应向量AB 的模AB 计算．26、点P 是平面α外一点，A 是平面α内的一定点，n 为平面α的一个法向量，则点P 到平面α的距离为cos ,n d n nPA ⋅=PA 〈PA 〉=。
平面几何中的向量与立体几何体的位置关系
平面几何中的向量与立体几何体的位置关系在平面几何中，向量与立体几何体的位置关系是一个重要的研究领域。
向量是平面几何的基础概念，而立体几何体则是空间中的实体物体。
在这篇文章中，我们将探讨向量与立体几何体之间的关系，并探索它们在几何学中的应用。
一、向量的定义与性质向量是由大小和方向决定的量，用有向线段表示。
在二维平面中，向量通常由两个坐标表示，分别为横坐标和纵坐标。
例如，向量AB可以表示为(1,2)。
向量的性质包括加法、减法、数量乘法、数量除法等。
二、向量的运算在平面几何中，向量的运算是基本操作之一。
向量的加法是指将两个向量按照一定的规则相加，得到一个新的向量。
向量的减法和数量乘法也是类似的操作。
通过向量的运算，我们可以获得两个向量之间的关系，例如平行、垂直等。
三、向量的模与方向角向量的模表示向量的大小，而方向角表示向量与横轴之间的夹角。
向量的模可以使用勾股定理计算，方向角可以使用三角函数计算。
通过向量的模与方向角，我们可以准确地描述向量在平面中的位置与方向。
四、向量的应用在几何学中，向量有着广泛的应用。
例如，我们可以使用向量来表示线段，通过线段的向量运算可以得到线段的长度、方向等信息。
此外，向量还可以用来表示平面中的直线和曲线，通过向量的性质可以判断直线的平行、垂直关系，计算曲线的斜率等。
五、向量与立体几何体的位置关系在立体几何中，向量与几何体的位置关系是一个研究的重点。
通过向量的表示，我们可以描述几何体在空间中的方位与位置。
例如，我们可以通过指定一个点和一个向量来表示一条直线，通过两个向量来表示一个平面。
通过向量的运算，可以判断几何体之间的相对位置，例如平面与平面的交角、直线与平面的垂直关系等。
六、应用实例例如，我们可以通过向量的运算来计算一个立方体的体积。
假设立方体的一条边长为a，我们可以将其表示为向量OA，其中O是立方体的一个顶点。
那么立方体的体积可以表示为V=a^3，其中a是向量的模。
再例如，我们可以通过向量的运算来判断一个平面是否位于一个平行六面体的底面上。
高中数学知识点梳理平面向量与立体几何
高中数学知识点梳理平面向量与立体几何高中数学知识点梳理平面向量与立体几何导语：在高中数学课程中，平面向量与立体几何是两个重要的知识点。
平面向量是研究平面上的向量运算和几何性质的数学工具，而立体几何则探讨了三维空间中的图形性质与计算方法。
本文将对这两个知识点进行梳理，以加深读者对高中数学的理解与应用。
一、平面向量的基本概念与运算1. 向量的定义与表示方法向量是具有大小和方向的量，可以用有向线段表示。
常用表示方法有点表示法和分量表示法。
2. 向量的加法与减法向量的加法和减法运算是根据平行四边形法则进行计算的，即将两个向量的起点放在一起，然后以它们的终点为对角线构成的平行四边形的对角线作为所求向量的方向和大小。
3. 向量的数量积与夹角向量的数量积又称为点积，是用来计算向量之间的夹角以及判断向量是否垂直的重要工具。
数量积的运算规律包括交换律、分配律和数量积与夹角的余弦关系。
二、平面向量的应用1. 向量的坐标表示通过向量的坐标表示，可以将几何问题转化为代数问题，简化解题过程。
2. 向量的共线与共面利用向量的共线与共面性质，可以判断图形的相关性质和运算结果。
三、立体几何的基本概念与性质1. 点、线、面与体立体几何中，点是没有维度的对象，线是由点构成的一维对象，面是由线构成的二维对象，而体则是由面构成的三维对象。
2. 平行与垂直关系在立体几何中，平行和垂直是两个非常重要的概念，可以通过向量的数量积进行分析和判断。
3. 空间图形的体积与表面积立体几何中，体积是指立体图形所占据的三维空间的大小，而表面积则是指立体图形表面所占据的二维空间的大小。
不同立体图形的体积和表面积计算公式也不相同，需要根据具体情况进行推导和计算。
四、立体几何的应用1. 空间坐标系与几何方程通过建立空间坐标系，可以将立体几何问题转化为代数方程的求解过程，获得几何图形的特定坐标点或方程式。
2. 空间立体的投影通过空间图形的投影，可以将三维的图形投影到二维平面上进行分析和计算，以便于几何性质的研究。
巧用平面向量解立体几何问题
=1+12(2cos60°cos40°)-12(cos40°-cos120°)=1+12cos40°-12cos40°+12cos120°=1-14=34.四、其它转化在求值问题中,除了重组角度转化之外,还应重视三角函数名,结构等方面的转化,如:①切割化弦;②降幂转化来计算.例6 求tan20°+4sin20°的值.分析:对此类问题一般先将切化弦:tan20°+4sin20°=sin20°cos20°+4sin20°=sin20°+4sin20°cos20°cos20°由于题目中出现了20°与40°的角,其和为60°的特殊角,这样就为转化带来了空间,而且方法不是唯一的.变式1 tan20°+4sin20°=sin20°+2sin40°cos20°=sin(60°-40°)+sin40°cos20°=sin60°cos40°-cos60°sin40°+2sin40°cos20°=32cos40°-12sin40°+2sin40°cos20°=32cos40°+32sin40°cos20°=3(12cos40°+32sin40°)cos20°=3sin70°cos20°=3.变式2 tan20°+4sin20°=sin20°+2sin(60°-20°)cos20°=sin20°+3cos20°-sin20°cos20°=3cos20°cos20°=3.以上几种形式的转化求值问题,只是在三角函数教学中比较普遍存在的转化思想的体现,在很多的具体求值中,还有些异于上述的其它方法.但任何问题的解决都是将未知转化为已知的过程,在三角函数求值中体现得更为突出.在教学中应提炼出来,以便于学生共享.黑龙江省农垦总局哈尔滨分局高级中学(150088)●韩晓辉巧用平面向量解立体几何问题 平面向量是解答立体几何问题的一种快速、简捷的运算工具.不少复杂的立体几何问题,引入平面向量后,通过将空间元素的位置关系转化为数量关系,将过去的形式逻辑证明转化为数值运算,即借助平面使解题模式化,用机械性操作把问题转化,因此,平面向量为立体几何代数化带来了极大的便利.下面,介绍平面向量在立体几何中的应用.例1 如图1,AB、CD为异面直线,CD<平面α,AB∥平面α,M、N分别是AC、BD的中点,求证MN∥平面α证明因为D<平面α,B∥平面α且··数理化学习(高中版)©:.:C A12AB 、CD 异面,所以在α内存在�a 、�b 使AB =�a ,CD =�b ,且�a 、�b 不共线,由M 、N 分别是AC 、BD 的中点,得MN =12(MB +MD )=12[(MA +AB )+(MC +CD )]=12[(MA +AB )+(MC +C D )]=12[-M C +AB +MC +CD ]=12[AB +CD ]=12(�a +�b ),即MN 与�a 、�b 共面.又因为�a 、�b 在平面α内,故MN ∥平面α或MN <平面α,而若MN <平面α,则A B 、C D 同在平面α内,与AB 、CD 为异面直线矛盾,所以MN ∥平面α.例2 正四面体V -ABC 的高VD 的中点为O ,AC 的中点为M.求证:A O 、BO 、CO 两两垂直.证明:设V A =�a,V �b =�b ,VC =�c ,正四面体棱长为m,则VD =13(�a +�b +�c ),A O =16(�b +�c -5�a ),BO =16(�a +�c -5�b ),CO =16(�a +�b -5�c ).因为AO ·BO =136(�b +�c -5�a )·(�a +�c -5�b )=0,所以AO ⊥BO,即AO ⊥BO,同理,AO ⊥CO ,BO ⊥C O.例3 如图3,在三棱锥S -A BC 中,∠S AB =∠S AC =∠AC B =90°,AC =2,SA =23,BC =13,S B =29.证明:(1)SC ⊥BC;(2)求异面直线SC 与AB 所成角α的余弦值.解:(1)证明:由题意,S ·B =,·B =,所以S ·B =(S +)·B =S A ·CB +AC ·C B =0,即SC ⊥BC .(2)因为SC ·AB =(S A +AC)·(AC +C B )=S A ·AC +SA ·C B +AC ·AC +AC ·CB =0+0+|AC |2+0=|AC |2=4,|SC |=(23)2+22=4,|A B |=(13)2+22=17,所以cosα=SC ·AB |SC |·|AB |=4417=1717.例4 如图3,已知平行六面体ABC D -A 1B 1C 1D 1的底面是菱形,且∠C 1CB =∠C 1C D=∠BC D =60°.(1)证明:C 1C ⊥BD ;(2)当CDCC 1的值为多少时,能使A 1C ⊥平面C 1BD 请给予证明.证明:(1)取C D 、CB 、CC 1为空间的一个基.因为∠C 1CB =∠BC D =60°,ABCD 是棱形,所以|C D |=|CB |,又因为BD =C D -CB,所以CC 1·BD =CC 1·(C D -CB )=CC 1·CD -CC 1·C B =0.所以C 1C ⊥BD.(2)设CDCC 1=λ(λ>0),即|C D |=λ|CC 1|时,能使A 1C ⊥平面C 1BD.因为C 1D ∩BD =D ,所以A 1C ⊥平面C 1BD ΖA 1C ⊥C 1D 且A 1C ⊥BD ΖA 1C ·C 1D =0且A 1C ·BD =0.因为=(D +B +),D =D ,<B,D >=6°,<B ,>=6°,··数理化学习(高中版)©A C 0AC C 0C C A AC C A 1C -C C CC 1C 1C -CC 1C C 0C CC 1022|CD|=|CB|,所以A1C·C1D=-(|C D|2-CD·CC1+ CB·CD-CB·CC1+CC1·CD-|CC1|2)=-(λ2|CC1|2+12λ2|CC1|2-12λ|CC1|2-|CC1|2)=-(32λ2-12λ-1)|CC1|2.所以A1C·C1D=0Ζ32λ2-12λ-1=0Ζ(λ-1)(3λ+2)=0,因为λ>0,所以λ=1.经验证,当λ=1时,A1C·C1D=0.即当C DCC1=1时,能使A1C⊥平面C1BD.前面这些题目若采用传统的立体几何方法证明,大多数不可避免地需要添加“辅助线”,然后再分别证明线线平行(垂直)或面面平行(垂直),而这些证法与用平面向量法相比,显然难度是大的.因此,平面向量确实是处理立体几何问题的重要而又简便的方法.作为平面向量的主要技巧,是将相关量表示为基向量的形式,把问题转化为平面向量的运算,这与把空间图形关系转化为平面图形关系的传统解法相比,显然是更高的思维方式,它抓住了空间的主要特征和其内在规律,使“纷繁复杂的现象变得井然有序.”河北省乐亭县第一中学(063600)●张云飞线段定比分点的向量公式及应用例举(一) 线段的定比分点公式是同学们所熟悉的重要公式,它在中学数学中有较为广泛的应用,近几年的高考也时有涉及,如2000年全国高考文理科倒数第一大题都直接考查了定比分点公式的运用.同学们所熟悉的是定比分点的坐标公式,其实,除此以外,定比分点公式还有其向量形式.运用定比分点的向量形式解题有时显得更为简洁明快.一、线段的定比分点向量公式设P1、P2是直线l上的两点,点P是l上不同于、的任意一点,O 是平面内任意一点,设O P1=�a,O P2=�b,P分有向线段P1P2所成的比为λ,则有O P=�a+λ�b1+λ.证明:如图1,因为P1P=O P-�a,.PP2=�b-O P,P1P=λPP2,所以O P-�a=λ(�b-O P)所以O P=�a+λ�b1+λ①公式①就是线段的定比分点向量公式.二、应用例1 在△ABC中,已知D是BC的中点, E是AD的中点,直线B E交AC于F,求证:CF =2FA.证明如图,在△B中,设BD=�,B=�,·3·数理化学习(高中版)©P1P2:2A Ca A b2。
高考数学知识点占比分析
高考数学知识点占比分析高考作为我国学生升学选拔的最重要考试之一，对学生的数学知识的掌握有着较高的要求。
在备考过程中，了解各个知识点的占比情况能够帮助考生合理分配学习时间和精力，有针对性地进行复习。
一、函数与导数（20%）函数与导数是高考数学中的重要知识点，占据了整个数学部分的20%。
这部分内容涵盖了函数的基本概念、常见函数的性质和图像以及导数的定义和基本公式等。
在考试中，通常会涉及到函数的极值、最值问题以及函数图像的变化等题型。
因此，考生在备考过程中需要重点掌握函数与导数的相关知识，并能够熟练运用。
二、平面向量和立体几何（15%）平面向量和立体几何是高考数学中的另一个重要板块，占据了15%的比重。
平面向量主要包括向量的定义、加法、数量积和向量的共线与垂直问题等。
立体几何则涉及到空间中的点、直线、面的位置关系，常见的题型有平面与直线的位置关系、平面与平面的位置关系等。
考生在备考过程中需要熟练掌握平面向量和立体几何的相关知识，并能够理解和应用。
三、数列与数学归纳法（10%）数列与数学归纳法是高考数学中比重较大的一个知识点，占据了10%的比重。
数列是数学中的一个重要概念，指的是按照一定规律排列的一组数。
数学归纳法是一种证明方法，能够用来证明关于正整数的命题。
在考试中，常见的数列题型有递推关系、通项公式和数列的性质等。
考生在备考过程中需要掌握不同类型数列的求和公式和性质，并能够应用数学归纳法进行证明。
四、三角函数（10%）三角函数是高考数学中不可忽视的知识点之一，占据了10%的比重。
三角函数的相关知识包括常见角的定义、三角函数的性质和基本公式等。
在考试中，考生经常会遇到三角函数的求值、方程和不等式等题型。
因此，考生在备考过程中需要熟练掌握三角函数的相关知识，并能够运用到解题中。
五、概率与统计（10%）概率与统计是高考数学中比重较大的一个知识点，占据了10%的比重。
概率与统计主要涉及到事件的概率计算、统计指标的计算以及统计图表的分析等。
平面向量与立体几何体
平面向量与立体几何体一、平面向量的概念及基本性质平面向量是指在平面上有大小和方向的量，可以用有向线段来表示。
平面向量具有以下基本性质：1. 向量的模：向量的模表示向量的大小，记作|AB|，其中A和B分别表示向量的起点和终点。
向量的模可以通过平行四边形法则计算得到。
2. 向量的方向角：指向量与某个基准方向之间的夹角，通常用α表示。
方向角的取值范围是0°到360°。
3. 向量的方向余弦：是指向量与x轴正方向夹角的余弦值，记作cosα。
4. 向量的加法和减法：向量的加法满足平行四边形法则，即将两个向量的起点相接，然后将两个向量的终点相接，新得到的向量即为两个向量的和。
向量的减法表示将减去的向量反向后与被减向量相加。
5. 向量的数量积：向量的数量积又称为内积或点积，表示两个向量之间的乘积，结果是一个标量。
向量的数量积计算公式为：A·B =|A|·|B|·cosθ，其中θ表示A与B之间的夹角。
二、平面向量在立体几何体中的应用平面向量在立体几何体中有着广泛的应用，可以用于描述平面上的图形、计算面积和体积等。
1. 平面上的图形：利用平面向量可以方便地描述平面上的图形。
以三角形为例，设三角形的三个顶点分别为A、B、C，利用向量表示法可以得到向量AB、BC、CA。
根据向量的性质，若三个向量满足向量AB+BC+CA=0，则表示这三个向量所对应的三角形是一个闭合图形。
2. 平面图形的面积：平面上的图形的面积可以利用向量的数量积来计算。
以平行四边形为例，设平行四边形的两个边向量为A、B，夹角为θ，则平行四边形的面积可以表示为S = |A|·|B|·sinθ。
3. 立体几何体的体积：平面向量在计算立体几何体的体积时也扮演重要角色。
以长方体为例，设长方体的三个相邻边分别为a、b、c，可以得到长方体的体积V = |a·(b×c)|，其中×表示向量的叉积。
平面向量的数量积与立体几何练习题
平面向量的数量积与立体几何练习题前言：平面向量的数量积（又称内积、点积）是向量运算中的一个重要概念，它可以用来描述向量之间的夹角关系，以及计算向量的长度和方向等。
在立体几何中，数量积也被广泛应用于求解线段、平行四边形、三角形等几何问题。
本文将通过一些练习题来巩固和扩展读者对平面向量的数量积与立体几何的理解。
第一题：已知平面向量a = (3, -2, 1)和b = (2, 1, 4)，求向量a与向量b的数量积。
解答：向量a与向量b的数量积定义为a·b = |a|·|b|·cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量的模长，θ表示向量a和向量b所夹的夹角。
根据定义，我们可以计算向量a和向量b的模长：|a| = √(3² + (-2)² + 1²) = √14，|b| = √(2² + 1² + 4²) = √21。
同时，根据数量积的性质，我们可以得到a·b = b·a，因此不妨计算b·a。
b·a = (2)(3) + (1)(-2) + (4)(1) = 6 - 2 + 4 = 8因此，向量a与向量b的数量积为8。
第二题：已知平面向量a = (1, -2, 3)和向量b = (4, -3, 2)，求向量a与向量b所围成平行四边形的面积。
解答：根据平行四边形的性质，平行四边形的面积等于以向量a和向量b为邻边的平行四边形的面积。
而平行四边形的面积可以通过法向量的模长来计算。
因此，我们需要先计算平行四边形的法向量，再求其模长。
设平行四边形的法向量为n，可以通过向量a和向量b的叉积得到：n = a × b = (1)(-3) - (-2)(4), (-3)(2) - (1)(-4), (1)(-3) - (-2)(4) = (-11, -2, -5)平行四边形的面积等于法向量n的模长，即S = |n| = √((-11)² + (-2)² + (-5)²) = √150因此，向量a与向量b所围成平行四边形的面积为√150。
2024届高考数学一轮总复习第六章立体几何第七讲立体几何中的向量方法课件
则异面直线 AD1 与 DB1 所成角的余弦值为( )
1
5
5
2
A.5
B. 6
C. 5
D. 2
解析：以 DA，DC，DD1 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴 建立如图 6-7-5 所示的空间直角坐标系，则 D1(0，0， 3)，A(1，0， 0)，D(0，0，0)，B1(1，1， 3)，所以A→D1＝(－1，0， 3)，D→B1＝ (1，1， 3).设异面直线 AD1 与 DB1 所成的角为 θ，
又∵A→C＝(0，12，0)，A→E＝3
3，1，32，
m·A→C＝12b＝0， 则m·A→E＝3 3a＋b＋32c＝0， 则可取 m＝(－ 3，0，6)， 设锐二面角 C-AE-B 的平面角为 θ， 则 cos θ＝|cos〈m，n〉|＝|mm|·|nn|＝4133， ∴sin θ＝ 1－cos2θ＝1113，即二面角 C-AE-B 的正弦值为1113.
(2)解：由于 FN⊥平面 ABCD，如图 6-7-8 建立空间直角坐标 系：
图 6-7-8
于是 B(0， 3，0)，A(5， 3，0)，F(0，0，3)，
E(1，0，3)，D(3，－
3，0)，则
M3，
23，32，
B→M＝3，－
23，23，D→A＝(2，2
D→E＝(－2， 3，3).
3，0)，
设平面 ADE 的法向量 n＝(x，y，z)，
连接 OA，OD.因为等边三角形 ABC 和 BCD 所在平面
互相垂直，所以 OA，OC，OD 两两垂直，以点 O 为
坐标原点，OD，OC，OA 所在直线分别为 x 轴、y 轴、
z 轴建立如图 6-7-6 所示的空间直角坐标系.
平面向量直线和圆立体几何公式定理
平面向量 坐标运算：(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a +b =1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a -b =1212(,)x x y y --. (3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=-- . (4)设a =(,),x y R λ∈，则λa =(,)x y λλ. (5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b =1212()x x y y +.向量内积：a 与b 的数量积(或内积)：a ·b =|a ||b |cos θ 两向量的夹角公式：121222221122cos ||||x x y y a b a b x y x y θ+⋅==⋅+⋅+ (a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).平面两点间的距离公式：,A B d 222121()()x x y y =-+- (A 11(,)x y ，B 22(,)x y ). 向量的平行与垂直 ：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0 ，则：a ||b 12210x y x y ⇔-=.（交叉相乘差为零） a ⊥b (a ≠0 )⇔ a ·b =012120x x y y ⇔+=.（对应相乘和为零）线段的定比分公式 ：设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点,λ是实数，且12PP PP λ= ，则 121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+ 直线和圆斜率公式 ：2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 直线方程：（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).（3）两点式 112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠) (111(,)P x y 、222(,)P x y (1212,x x y y ≠≠))(4)截距式 1x y a b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，00a b ≠≠、) （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 直线0Ax By C ++=的法向量：(,)l A B '= ，方向向量：(,)l B A =-夹角公式：(1)2121tan ||1k k k k α-=+. (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-) (2)12211212tan ||A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠). 直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2π.1l 到2l 的角：(1)2121tan 1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-) (2)12211212tan A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是2π. 点到直线的距离 ：0022||Ax By C d A B++=+(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).圆的四种方程：（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. （2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).（3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩.点与圆的位置关系：点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种：2200()()d a x b y =-+-， 则d r >⇔点P 在圆外; d r =⇔点P 在圆上; d r <⇔点P 在圆内.直线与圆的位置关系：直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种(22BA C Bb Aa d +++=): 0<∆⇔⇔>相离r d ; 0=∆⇔⇔=相切r d ;0>∆⇔⇔<相交r d . 两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21，则：条公切线外离421⇔⇔+>r r d ;条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ;条公切线内切121⇔⇔-=r r d ;无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .立体几何空间中的平行问题线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。
平面向量在立体几何中的应用
平面向量在立体几何中的应用立体几何是几何学中的一个重要方向，它是研究空间中的物体的形态、大小和位置关系的学科。
而平面向量是空间几何学中的一个基本概念，它在立体几何中也有很重要的应用。
下面我将从距离、角度、点和面积四个方面介绍平面向量在立体几何中的应用。
一、距离平面向量在立体几何中最常见的应用之一就是计算空间中两点之间的距离。
对于空间中的两个点P(x1,y1,z1)和Q(x2,y2,z2)，它们之间的距离可以用如下公式来计算：|PQ| = sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)其中|PQ|表示P和Q之间的距离。
如果我们用向量来表示P和Q，则可以将公式改写成如下形式：|PQ| = |→PQ| = sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)此处的|→PQ|表示从P指向Q的向量。
二、角度除了距离，平面向量还可以用来计算空间中向量之间的夹角。
设两个非零向量→a和→b，它们之间的夹角θ用下面的公式来计算：θ = arccos((→a·→b)/(∥→a∥∥→b∥))其中，'·'表示向量的点积，'∥→a∥'表示向量→a的模长（即向量的长度）三、点空间中的点可以用向量表示。
例如，对于点P(x,y,z)，我们可以用向量→OP=<x,y,z>来表示它。
对于空间中给定的三个点A、B、C和一个普通点P，我们可以使用向量来判断P是否在ABC三角形内部。
具体方法是：将A、B、C三点看作向量，再将P点看作三条边组成的三角形的顶点向量，通过向量的叉积计算出向量→AP和→AB，→AP和→AC，→AP和→BC的方向，如果三个向量的方向都一致，那么P就在ABC三角形内部。
四、面积平面向量在立体几何中还可以用来计算三角形的面积。
设三角形ABC的顶点坐标分别为A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，C(x3,y3,z3)。
高中数学平面向量与立体几何
高中数学平面向量与立体几何引言数学中的平面向量与立体几何是高中数学中的重要内容。
平面向量可以用于表示物体的位移、速度、加速度等物理量，而立体几何则研究了空间中的各种几何体及其性质。
本文将介绍平面向量和立体几何的基本概念、性质和解题方法。
一、平面向量的概念与表示方法平面向量是具有大小和方向的量，常用箭头符号表示。
我们可以用有向线段或坐标表示平面向量。
有向线段表示法中，线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的大小。
坐标表示法中，向量的起点为原点，终点的坐标减去起点的坐标即为向量的坐标。
二、平面向量的运算1. 平面向量的加法与减法平面向量的加法满足“三角形法则”，即将两个向量的起点相连，作两个向量的和的终点。
平面向量的减法可以看作加上一个负向量，即求和后的相反数。
2. 平面向量的数量积与向量积平面向量的数量积等于向量的模长相乘再乘以它们的夹角的余弦值。
平面向量的向量积满足“右手法则”，即两个向量的向量积的模长等于两个向量模长的乘积再乘以它们的夹角的正弦值，并且与两个向量垂直。
三、平面向量的应用平面向量的应用非常广泛。
在物理学中，通过平面向量可以描述力的作用、速度和加速度等物理量。
在计算几何中，平面向量可以表示线段、平行线、线段的中点等几何概念。
在几何证明中，平面向量的性质可以帮助解决一些几何问题。
四、立体几何的基本概念与性质立体几何研究了空间中的各种几何体及其性质，如点、线、面、体积等。
以下是立体几何中的一些基本概念和性质的介绍：1. 空间直线和平面的交点在空间中，直线和平面可能相交于一点，也可能平行、重合于一直线。
这取决于直线与平面的位置关系。
2. 空间几何体的投影几何体在空间中的投影是指从该几何体上的点沿垂直于投影面的线段所得到的图形。
这在空间中很常见，例如日常生活中的影子即为投影。
3. 空间角的概念空间中两条线段或两个平面之间的夹角被称为空间角。
空间角的大小可以通过它们之间的夹角的余弦值来确定。
平面向量与立体几何知识点总结
平面向量与立体几何知识点总结平面向量部分1. 平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的箭头，可以用字母加上一个向量符号表示，如AB→。
其中，A为向量的起点，B为向量的终点。
2. 平面向量的表示方法平面向量可以用坐标表示，例如AB→ = (x, y)，其中x和y分别表示该向量在x轴和y轴上的分量。
3. 平面向量的基本运算- 平面向量的相等：两个向量的起点和终点相同，则这两个向量相等。
- 平面向量的加法：将两个向量的对应分量相加得到新的向量。
- 平面向量的数乘：将向量的每个分量与一个标量相乘得到新的向量。
4. 平面向量的性质- 平行向量的性质：如果两个向量的方向相同或相反，它们是平行向量。
- 零向量的性质：零向量与任何向量相加都得到该向量本身，且零向量与任何标量相乘都得到零向量。
- 相反向量的性质：如果两个向量的大小相等，但方向相反，它们是相反向量。
立体几何部分1. 空间直线的表示方法空间直线可以用参数方程表示，例如：x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ct其中，x、y、z分别表示直线上的一点坐标，(x0, y0, z0)是直线上的一点，a、b、c分别表示直线的方向比率。
2. 空间直线的关系- 平行关系：两条直线的方向向量平行或自身相等，则它们是平行的。
- 垂直关系：两条直线的方向向量的内积为零，则它们是垂直的。
- 相交关系：两条直线有且只有一个公共点，则它们相交。
3. 空间平面的表示方法空间平面可以用一般方程表示，例如：Ax + By + Cz + D = 0其中，A、B、C分别表示平面法向量的分量，(x, y, z)是平面上的一点坐标。
4. 空间平面与直线的关系- 平行关系：平面的法向量与直线的方向向量平行或自身相等，则它们是平行的。
- 垂直关系：平面的法向量与直线的方向向量的内积为零，则它们是垂直的。
- 相交关系：平面与直线有且只有一个公共点，则它们相交。
5. 空间图形的投影- 点的投影：点在平面上的投影是点在垂直于平面的直线上的投影点。
高中数学立体几何知识点总结4篇
高中数学立体几何知识点总结4篇高中数学立体几何知识点总结4篇社会心理学是一种以社会群体和人际关系为研究对象的学科，涉及社会认知、群体动态和人际关系等基本领域。
统计学是一种以数据收集、分析和解释为基础，为决策和研究提供有力支持的学科。
下面就让小编给大家带来高中数学立体几何知识点总结，希望大家喜欢!高中数学立体几何知识点总结11、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x ，y+y )。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x ,y ) 则 a-b=(x-x ,y-y ).3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。
当λ 0时，λa与a同方向;当λ 0时，λa与a反方向;当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣ 1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ 0)或反方向(λ 0)上伸长为原来的∣λ∣倍;当∣λ∣ 1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ 0)或反方向(λ 0)上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。
向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。
② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
高三数学立体几何中的向量方法(一)复习课件
题型二
证明垂直问题
【例 2】 如图所示，正 三棱柱 ABC—A1B1C1 的 所有棱长都为 2，D 为 CC1 的 中 点 . 求 证 ： AB1⊥ 平 面 A1BD.
思维启迪 解析 思维升华
A→B1·m＝(a－c)·λ＋12μa＋μb＋λc ＝4λ＋12μ－2μ－4λ＝0.故A→B1⊥m， 结论得证. 方法二 如图所示，
定理先证线线平行，也可利用
AD⊥平面 BCD，BC⊥CD，
AD＝2，BD＝2 2，M 是 AD 平面的法向量.
的中点，P 是 BM 的中点，点
Q 在线段 AC 上，且 AQ＝3QC.
证明：PQ∥平面 BCD.
题型一
证明平行问题
【例 1】 (2013·浙江 改编)如图，在四面 体 A－BCD 中，
思维启迪 解析 证明 方法一 如图，取 BD 的中点 O，以 O 为原点，
AD⊥平面 BCD，BC⊥CD， AD＝2，BD＝2 2，M 是 AD
∴O→F＝P→Q， ∴PQ∥OF.
的中点，P 是 BM 的中点，点 又 PQ⊄平面 BCD，OF⊂平面 BCD，
Q 在线段 AC 上，且 AQ＝3QC. ∴PQ∥平面 BCD. 证明：PQ∥平面 BCD.
题型一
证明平行问题
思维启迪 解析 思维升华
要点梳理
知识回顾 理清教材
3.用向量证明空间中的垂直关系
(1)设直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1 和 v2，则 l1⊥l2⇔ v1⊥v2 ⇔ v1·v2＝0 .
(2)设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 u，则 l⊥α
⇔ v∥u .
(3)设平面 α 和 β 的法向量分别为 u1 和 u2，则 α⊥β
选择性必修一第一章空间向量与立体几何知识梳理
第一章空间向量与立体几何知识梳理㈠、空间向量与平面向量类比 x 三点共线定理：若A,B,C OC xOA =+122122x y 2a x =+a =——————————。
cos x θ=cos x θ=、㈡、空间向量解决立体几何问题1. 空间向量解决立体几何的平行垂直问题 ⑴平行①两直线12,l l 的方向向量分别为12,u u ，则1l ∥2l ⇔———————；②直线l 的方向向量为u ，平面α的法向量为n ，则l ∥α⇔———————；③平面α，β的法向量分别为n ，m ，则α∥β⇔———————。
⑵垂直①两直线12,l l 的方向向量分别为12,u u ，则1l ⊥2l ⇔———————；②直线l 的方向向量为u ，平面α的法向量为n ，则l ⊥α⇔———————。
；③平面α，β的法向量分别为n ，m ，则α⊥β⇔———————。
2.空间向量求角、距离。
⑴求距离 ①点P 到直线l 的距离d =———————，其中向量a PA =,点A 为直线l 上任一点，u 为直线l 的单位方向向量。
②点P 到平面α的距离d =———————，其中向量a PA =,点A 为平面α内任一点，向量n 平面α的法向量。
⑵求角 ①异面直线所成的角θ 0,2π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦异面直线所成的角θ与两直线方向向量所成的角———————，故12cos cos ,u u θ=<>，其中12,u u 为两直线的方向向量。
②直线l 与平面α所成的角0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦直线l 与平面α所成的角θ与方向向量u 与法向量n 所成的角———————，故sin cos ,u n θ=<>。
③二面角[]0,θπ∈二面角θ与两半平面的法向量,n m 所成的角———————，。
平面向量与立体几何复习.
规定零向量与任意向量平行
b ∥ a (b 0) 存在唯一实数，使 b a
7）向量的加、减法如图：
OA OB OC
OA OB BA
平面向量基本定理（向量的分解定理）
e1 ， e 2 是平面内的两个不共线向量， a 为该平面任一向量，则存在唯一
| AB|
x2 x1 2 y2 y1 2 ，A、B两点间距离公式
• 平面向量的数量积
（1） a · b | a|·| b|cos叫做向量 a 与 b 的数量积（或内积）。
为向量 a 与 b 的夹角， 0，
数量积的几何意义：
B
平面向量与立体几何
知识点回顾
1）向量——既有大小又有方向的量。
（2）向量的模——有向线段的长度，| a|
（3）单位向量| a 0 | 1， a 0
a
|a|
（4）零向量0，| 0 | 0
（5）相等的向量
长度相等 方向相同
a
b
6）共线线向量（平行向量）——方向相同或 相反的向量。
a b （ b 0，惟一确定）
x1y2 x2y1 0
2
③ a | a|2 x12 y12 ，| a · b|| a|·| b|
④ cos
a·b
| a|·| b|
x1x2 y1y2
x12 y12 ·
x
2 2
「高中数学立体几何平面向量统计案例知识点梳理」
立体几何初步1、 柱、锥、台、球的结构特征(1）棱柱:定义:有两个面互相平行，其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。
分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：用各顶点字母，如五棱柱'''''E D C B A ABCDE -或用对角线的端点字母,如五棱柱'AD几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
（2）棱锥定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥'''''E D C B A P -几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。
（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示:用各顶点字母，如五棱台'''''E D C B A P -几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 （４)圆柱：定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。
（5）圆锥:定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。
(6）圆台:定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。
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③ a =| a | = x + y ，| a · b| ≤| a | ·| b|
2 2 1 2 1
→
→2
→
→
→
→
→
④ cos θ =
a·b
→ →
| a | ·| b|
→
=
x1 x 2 + y1 y 2 x +y · x +y
2 1 2 1 2 2 2 2
• 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清 楚吗？ 平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：
→
→ 则 AB = ( x 2 − x 1 ，y 2 − y 1 )
→ | A B| =
若A( x 1 ，y 1 )，B( x 2 ，y 2 )
(x 2
− x 1 ) + (y 2 − y 1 ) ， A 、 B 两 点 间 距 离 公 式
2 2
• 平面向量的数量积
（1） a · b =| a | ·| b|cosθ叫做向量 a 与 b 的数量积（或内积）。
→
→
① a ⊥ b ⇔ a · b = 0 ⇔ x1 ·x 2 + y1 ·y 2 = 0
② a ∥ b ⇔ a · b =| a | ·| b| 或 a · b = −| a | ·| b|
⇔ a = λ b （ b ≠ 0，λ惟一确定）
→ → →
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
⇔ x1y 2 − x 2 y1 = 0
• 线面垂直：
a⊥b，a⊥c，b，c ⊂ α，b I c = O ⇒ a⊥α
a
α
b
O c
• 面面垂直：
a⊥面α，a ⊂ 面β ⇒ β⊥α
面α⊥面β，α I β = l，a ⊂ α，a⊥l ⇒ a⊥β
β
α
a
l
a⊥面α，b⊥面α ⇒ a∥b
a
b
面α⊥a，面β⊥a ⇒ α∥β
α
• 三类角的定义及求法
θ 为 向 量
→
→
→
→
→
→
→
a
与
→
b
的
夹பைடு நூலகம்
角
，
θ
∈
[0
v b
，
π
]
B
数量积的几何意义：
O
→ → → → →
θ
D
v a
A
a · b 等于| a | 与 b 在 a 的方向上的射影| b|cosθ的乘积。
（2）数量积的运算法则
①a·b = b·a
②( a + b) c = a · c + b · c
→ →
（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°
（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°
θ＝0 o 时，b∥α或b ⊂ α
→
b ∥ a ( b ≠ 0 ) ⇔ 存在唯一实数λ，使 b = λ a
→
→
→
→
→
7）向量的加、减法如图：
→ → → OA + OB = OC
→ → → OA − OB = BA
平面向量基本定理（向量的分解定理）
→
e 1 ， e 2 是平面内的两个不共线向量， a 为该平面任一向量，则存在唯一
→ → → → →
平面向量与立体几何
知识点回顾
1）向量——既有大小又有方向的量。
→
（ 2 ）向量的模——有向线段的长度，| a |
→ → →
（ 3）单位向量| a 0 | = 1， a 0 =
a
→
| a|
（4）零向量 0 ，0 |= 0 |
长度相等 → → （5）相等的向量 ⇔ a=b 方向相同
→
→
6）共线线向量（平行向量）——方向相同或 相反的向量。 规定零向量与任意向量平行
线∥线 ← → 线∥面 ← → 面∥面 判定 性质 → 线⊥线 ← → 线⊥面 ← → 面⊥面 ← 线∥线 ← → 线⊥面 ← → 面∥面
• 线面平行的判定：
a∥b，b ⊂ 面α，a ⊄ α ⇒ a∥面α
a
线面平行的性质
α
b
α∥面α，α ⊂ 面β，α I β = b ⇒ a∥b
表示。
→
→
→
→
设 a = ( x 1 ，y 1 ) ， b = ( x 2 ，y 2 )
则 a ± b = ( x 1 ，y 1 ) ± ( y 1 ，y 2 ) = ( x 1 ± y 1 ，x 2 ± y 2 )
→ →
→
→
λ a = λ ( x 1 ， y 1 ) = ( λx 1 ， λy 1 )
→
→
实数对λ 1 、λ 2 ，使得 a = λ 1 e 1 + λ 2 e 2 ， e 1 、 e 2 叫做表示这一平面内所有向量
的一组基底。
向量的坐标表示
→
i ， j 是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数x，y，使得
→
→
a = x i + y j ，称 ( x，y) 为向量 a 的坐标，记作： a = ( x，y)，即为向量的坐标
→ → → → → → →
→
→
→
→
③ a · b = ( x 1 ，y 1 ) · ( x 2 ，y 2 ) = x 1 x 2 + y 1 y 2
→ → → → → →
注意：数量积不满足结合律(a ·b)· c ≠ a ·(b · c)
（ 3）重要性质：设 a = ( x 1 ，y 1 )， b = ( x 2 ，y 2 )