指数函数的单调性的应用
浅谈数学中函数的单调性及其应用
浅谈数学中函数的单调性及其应用浅谈数学中函数的单调性及其应用摘要函数的单调性是高一数学课程中所接触到的函数的第一个性质，单调性的判断（用定义证明一个函数的单调性、求复合函数的单调性）及其应用（包括利用单调性求解不等式、利用单调性求函数的值域、利用单调性求函数的最值等）在高中数学中的作用和地位是非常重要的，它可以和高中阶段的很多知识点联系在一起，出题的方式、解题的方法也是多种多样的。
下面就我个人的理解和掌握，对函数的单调性判断及利用函数的单调性求解不等式、利用单调性求最值和参量等问题，举些具有代表性的例子。
关键词：函数；单调性；数学前言函数单调性是中学数学的重要内容之一，是高考的热点，常作为高考压轴题的考查内容，比如，本文通过整理发现陕西近年的高考数学题呈现一个现象，即多次要用函数单调性去做一些较难层次的题，分别是求参数范围、解不等式、证明不等式等。
同时，新课标对于函数单调性的教学目标是，要求学生能够熟练掌握单调性概念的证明方法，并应用单调性来求解一些基础题。
不管是高考趋势，还是新课标所倡导的教学理念，都对学生学习函数单调性提出了较高层次的要求。
但由于函数单调性的证明和应用的复杂性，使得学生在学习和做题过程中存在很多困难，例如，通常掌握单调性的概念证明是远远不够的。
那么，就出现了一个问题，除了它的的概念，是否还有其他可以证明函数单调性的方法，同时这些方法可以用来解决高考题。
针对于以上提到的两点，本文选择了函数单调性的判断和应用进行研究。
函数的单调性，是函数在它的定义域或其子集内如何增减的刻画。
它是研究函数必不可少的内容，不论是现实生活，还是学习其它理论知识，单调性都是一个很有用的工具。
函数是高中数学的中心内容，几乎渗透到数学的每一个角落，它不仅是一条重要的数学概念，而且是种重要的数学思想。
而函数的单调性则是函数的一条重要性质，它是历年高考重点考查的重要内容，它的应用十分广泛。
通过研究函数的单调性可以揭示函数值的变化特性，对于一些学问题,若解题中注意应用函数的单调性，合理巧妙地加以运用，定会带来快捷的解题思路，可以使问题的解决简捷明快。
函数单调性在解题中的应用策略
△ｙ：ｆｂ２）一“ｘ，）：ｆ伍２）＋“一ｘ；）：』垒蔓丝』㈨（ｘ：一ｘ。）
＾２一＾ｌ
‘．’一１≤ｘｌ＜ｘ２≤１
．’．一１≤一ｘ１≤ｌ又’．‘ｘ２＿ｘ１＞０
．・．由已知里至立±！【二监＞ｏ．・．ｆ（ｘ２）一“ｘ，）＞ｏ
＾２－＾１
．・．△ｙ＞Ｏ即ｆ（ｘ）在【＿１，１】上为增函数。
又‘．。ｆ（ｘ＋争）媸音）
９
万方数据
Ｘｕｅｋｅｉｉａ（）ｘｕｅ
獭静教学
１】，ｍ＋ｎ≠ｏ，堑巡＞ｏ。解不等式：
ｆ（ｘ号）姐音）
解：任取一１≤ｘ。＜ｘ：≤１，由于ｆ（ｘ）满足“一ｘ）＝一ｆ（ｘ） ．・．ｆ（ｘ）为奇函数，△ｘ＝ｘ：一ｘ。＞０
因此，ｙ：２。一１一、／丽的值域为［一＊，婴］
六、应用单调性解决实际问题 ［应用策略】应用单调性解决实际问题时，先对已知条 件进行综合分析、归纳与抽象，并与已知的函数模型相比 较，确定适用的函数模型的种类，正确地将实际问题转化 为函数模型。再结合函数模型及实际情况确定定义域，从 而应用函数单调性，确定解题思路，计算求解。最后，对实 际问题进行总结回答。 要特别强调的是解决此类问题时一定要注意结合定 义域解题。 引例：设计一幅宣传画，要求画面面积为４８４０ｃｍ：，画 面的上下各８ｃｍ空白，左右各留５ｃｍ空白，画面的高与宽 的长度比是１：入。怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣
设纸面积为ｙｃｍ２，则有：
ｙ＝（ｘ＋１６）队ｘ＋１０）＝入ｘ２＋（１６入＋１０）ｘ＋１６０
将ｘ：兰单代入上式，得：ｙ：舱）：５０００＋４４、仃矿
（８、／入＋—之：）
、／入
引例：设ａ＞ｏ，求证璺｝＋斋≥争
证明：设ｙ２半＋者
设ｔ：旦旦：ａ＋上 所以ｆ（ｔ）≥ｆ（２）＝手
因为ａ＞ｏ，所以ｔ：ａ＋上≥２ 又因为ｙ＝ｔ＋｝在区间［２，＋∞）上单调递增
指数函数的性质与计算
指数函数的性质与计算指数函数是数学中一类重要的函数，具有独特的性质和计算方法。
本文将介绍指数函数的定义、性质以及常见的计算方法。
1. 指数函数的定义指数函数是以底数为常数，指数为自变量的函数，一般表示为f(x) = a^x，其中a为底数，x为指数。
底数a必须为正数且不等于1，指数x可以是任意实数。
指数函数的定义域为实数集R，值域为正实数集。
2. 指数函数的性质2.1 单调性当底数a大于1时，指数函数随着指数x的增大而增大，表现为单调递增的特点；当底数a在区间(0,1)内时，指数函数随着指数x的增大而减小，表现为单调递减的特点。
2.2 对称性指数函数在x轴上存在一个对称中心，即函数图像关于x轴对称。
2.3 渐近线指数函数在x趋近于无穷大时，函数值趋近于正无穷；在x趋近于负无穷大时，函数值趋近于0。
因此，指数函数的图像与x轴和y轴均有渐近线。
2.4 特殊值当x为0时，指数函数等于1，即f(0) = a^0 = 1；当底数a为0时，指数函数在x大于0时等于0，在x小于0时无定义。
3. 指数函数的计算方法3.1 指数函数的乘法与除法指数函数具有乘法和除法的运算性质。
当指数相同的两个指数函数相乘时，底数相乘，指数不变，即a^x * a^y = a^(x+y)；当指数相同的两个指数函数相除时，底数相除，指数不变，即(a^x) / (a^y) = a^(x-y)。
3.2 指数函数的幂运算指数函数可以进行幂运算。
当指数为整数时，可以直接进行计算，例如a^2 = a * a，a^3 = a * a * a；当指数为分数时，可以通过化简为根式进行计算，例如a^(1/2) = √a，a^(1/3) = ∛a。
3.3 指数函数的对数运算对数是指数函数的逆运算，可以将指数函数的幂运算转化为对数运算。
对数以底数为常数，幂为自变量的函数，通常表示为loga(x)，其中a为底数，x为幂。
底数a必须为正数且不等于1，幂x可以是任意实数。
函数单调性及其应用论文
函数单调性及其应用函数的单调性是函数的一种简单性态，也是函数的一种重要性质.用单调性可以解决一些不等式的证明、求一些函数的最值和判断方程根的情况等.本文先给出函数单调性的定义，接着给出单调性的判定定理，最后从几个方面说明单调性在教学上的应用.1.函数单调性的概念1.1、函数单调性的定义定义如果函数对于区间i内的任意两点，当时有，则称此函数在i上单调增加，i称为单调增区间；当时有，则称此函数在i上单调减少，i称为单调减区间.1.2.1、函数单调性的判定的预备知识以下三个定理在这里只给出，而不给予证明.定理1.2.1（罗尔中值定理）设函数满足以下三个条件：（1）在闭区间内连续；（2）在开区间内可导；（3）则至少存在一点，使得 .定理1.2.2（拉格朗日中值定理）设函数满足以下两个条件：在闭区间内连续；（1）在开区间内可导则至少存在一点，使得 .定理1.2.3（根的存在定理）设函数在闭区间内连续且，则至少存在一点，使得 .即方程至少存在一个根 .1.2.2、函数单调性的判定有的函数形式比较简单，可以直接用定义判定其单调性。
但有的函数的单调性仅凭定义很难判定。
因此需要借助以下定理：定理1.2.4 设函数在区间内可导，若导函数，则函数在区间内单调递增；若导函数，则函数在区间内单调递减.2.函数单调性的应用2.1、证明不等式用函数单调性可以证明不等式.例2.1.1 证：当时， .证构造辅助函数，有，当时有即在内单调增加，从而当时有故也即 .即证.例2.1.2 证：当时， .证构造辅助函数当时，即在内单调减少.从而当时，有 .由的定义知，有，由对数的性质可得 .故原证题得证.这个不等式也可以用来比较乘幂的大小.例如当时，有幂的大小关系 .2.2、求函数的最值用函数的单调性可以求一些函数的最大值和最小值.例2.2.1 求在闭区间内的最大值和最小值.解当时，有即在闭区间内单调增加。
因而函数在闭区间内的最大值为，最小值为 .例2.2.2 求的最大值和最小值.解函数的定义域为实数域，现考虑该函数在实数域上的最大值和最小值。
指数函数的性质及应用
指数函数的性质及应用指数函数是高中数学中重要的一个函数，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将从指数函数的性质和应用两个方面进行论述。
一、指数函数的性质1. 定义：指数函数是以指数为自变量，底数为常数的函数，一般表示为y = a^x，其中a为底数，x为指数，a>0且a≠1。
2. 单调性：指数函数的底数a>1时，函数递增；底数0<a<1时，函数递减。
3. 极限性质：当x趋向于无穷大时，指数函数a^x也趋向于无穷大；当x趋向于无穷小（x→-∞）时，0<a^x<1。
4. 对称性：指数函数y = a^x关于y轴对称，即f(-x) = 1/a^x。
5. 零点：当底数a>1时，指数函数无零点；当0<a<1时，指数函数有唯一的零点x = 0。
二、指数函数的应用1. 经济学中的应用：指数函数常用于描述经济增长、货币贬值等问题。
例如，GDP增长可以用指数函数来模拟，货币贬值可以用指数函数来表示。
2. 生物学中的应用：指数函数常用于描述生物种群的增长和衰减。
例如，人口增长、细菌繁殖、动物种群数量等可以用指数函数来描述。
3. 物理学中的应用：指数函数在物理学中也有广泛的应用。
例如，放射性物质的衰变过程、电容电路的充放电过程等都可以用指数函数来描述。
4. 金融学中的应用：指数函数常用于描述股票市场的涨跌情况。
例如，股票指数的变化、收益率的计算等都可以用指数函数来分析。
5. 工程学中的应用：指数函数在工程学中也有重要的应用。
例如，电路中的指数响应、信号的衰减等问题可以用指数函数来描述。
综上所述，指数函数具有单调性、极限性质、对称性和零点等性质，并且在经济学、生物学、物理学、金融学和工程学等领域都有广泛的应用。
深入理解和应用指数函数的性质，对于数学的学习和实际应用都具有重要意义。
因此，我们应该加深对指数函数的研究和理解，并将其灵活运用于各个领域，以推动科学技术的发展和社会进步。
新教材人教A版数学必修第一册讲义4-2-2第2课时指数函数的性质及其应用
第2课时指数函数的性质及其应用1．掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断．2．能借助指数函数图象及单调性比较大小．3．会解简单的指数方程、不等式．4．了解与指数函数相关的函数奇偶性的判断方法．1．指数函数值与1的大小关系(1)a>1时，当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1.(2)0<a<1时，当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1.2．对称关系函数y＝a－x与y＝a x的图象关于y轴对称．3．图象位置关系底数a的大小决定了图象相对位置的高低．(1)在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，“底大图高”．作出直线x＝1，与图象的交点从上至下即为底数从大到小的排列顺序．(2)在y轴左侧，图象正好相反．如图所示的指数函数的底数的大小关系为0<d<c<1<b<a.1．指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的函数值随自变量有怎样的变化规律？[答案] 当a >1时，若x >0，则y >1；若x <0，则0<y <1.当0<a <1时，若x >0，则0<y <1；若x <0，则y >12．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若0.3a >0.3b ，则a >b .( )(2)函数y ＝3x 2在[0，＋∞)上为增函数．( )(3)函数y ＝21x在其定义域上为减函数．( )(4)若a m >1，则m >0.( )[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×题型一 利用指数函数的单调性比较大小【典例1】 比较下列各组数的大小：(1)0.7－0.3与0.7－0.4；(2)2.51.4与1.21.4；(3)1.90.4与0.92.4.[思路导引] (1)利用指数函数的单调性比较；(2)利用指数函数的图象比较；(3)借助中间量1进行比较．[解] (1)∵y ＝0.7x 在R 上为减函数，又∵－0.3>－0.4，∴0.7－0.3<0.7－0.4.(2)在同一坐标系中作出函数y ＝2.5x 与y ＝1.2x 的图象，如图所示．由图象可知2.51.4>1.21.4.(3)∵1.90.4>1.90＝1，0．92.4<0.90＝1，∴1.90.4>0.92.4.比较幂的大小的3种类型及方法(1)对于底数相同但指数不同的两个幂的大小的比较，可以利用指数函数的单调性来判断．(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可利用指数函数的图象的变化规律来判断．(3)对于底数不同且指数不同的幂的大小的比较，则应通过中间值(如0或1)来比较．[针对训练]1．已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a，b，c的大小关系是()A．a>b>c B．b>a>cC．c>b>a D．c>a>b[解析]∵函数y＝0.8x在R上为减函数，∴0.80.7>0.80.9，即a>b.又0.80.7<1,1.20.8>1，∴0.80.7<1.20.8，即a<c.∴c>a>b.选D.[答案]D题型二 解简单的指数不等式【典例2】 (1)解不等式：⎝ ⎛⎭⎪⎫123x －1≤2； (2)已知ax 2－3x ＋1<a x ＋6(a >0，且a ≠1)，求x 的取值范围．[思路导引] (1)化为同底的指数不等式，再利用单调性求解；(2)分a >1与0<a <1两种情况解不等式．[解] (1)∵2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1， ∴原不等式可以转化为⎝ ⎛⎭⎪⎫123x －1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1. ∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上是减函数， ∴3x －1≥－1，∴x ≥0.故原不等式的解集是{x |x ≥0}．(2)分情况讨论：①当0<a <1时，函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在R 上是减函数， ∴x 2－3x ＋1>x ＋6，∴x 2－4x －5>0，解得x <－1或x >5；②当a >1时，函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在R 上是增函数， ∴x 2－3x ＋1<x ＋6，∴x 2－4x －5<0，解得－1<x <5.综上所述，当0<a <1时，x <－1或x >5；当a >1时，－1<x <5.指数不等式的求解策略(1)形如a x >a y 的不等式：可借助y ＝a x 的单调性求解．如果a 的值不确定，需分0<a <1和a >1两种情况讨论．(2)形如a x >b 的不等式：注意将b 化为以a 为底的指数幂的形式，再借助y ＝a x 的单调性求解．[针对训练]2．已知32x －1≥⎝ ⎛⎭⎪⎫13－0.5，求实数x 的取值范围． [解] 由32x －1≥⎝ ⎛⎭⎪⎫13－0.5，得32x －1≥30.5. ∵函数y ＝3x 在R 上为增函数，∴2x －1≥0.5，得x ≥34.故x 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. 3．若a －5x >a x ＋7(a >0且a ≠1)，求x 的取值范围．[解] ①当a >1时，∵a －5x >a x ＋7，且函数y ＝a x 为增函数，∴－5x >x ＋7，解得x <－76.②当0<a <1时，∵a －5x >a x ＋7，且函数y ＝a x 为减函数，∴－5x <x ＋7，解得x >－76.综上所述，当a >1时，x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－76. 当0<a <1时，x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－76，＋∞. 题型三 指数型函数的单调性【典例3】 已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x . (1)判断函数f (x )的单调性；(2)求函数f (x )的值域．[思路导引] 由函数u ＝x 2－2x 和函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u 的单调性判断． [解] (1)令u ＝x 2－2x ，则原函数变为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u .∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，又∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u 在(－∞，＋∞)上单调递减， ∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x 在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减． (2)∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u ，u ∈[－1，＋∞)， ∴0<⎝ ⎛⎭⎪⎫13u ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3， ∴原函数的值域为(0,3]．[变式] 若本例“f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x ”改为“f (x )＝2|2x －1|”，其他条件不变，如何求解？[解] (1)设u ＝|2x －1|，由函数y ＝2u 和u ＝|2x －1|的定义域为R ，故函数y ＝2|2x －1|的定义域为R .∵u ＝|2x －1|在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12上单调递减，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增， 而y ＝2u 是增函数，∴y ＝2|2x －1|在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增． (2)∵u ＝|2x －1|≥0，∴2u ≥1.∴原函数的值域为[1，＋∞)．指数型函数单调性的解题技巧(1)关于指数型函数y ＝a f (x )(a >0，且a ≠1)的单调性由两点决定，一是底数a >1还是0<a <1；二是f (x )的单调性．它由两个函数y ＝a u ，u ＝f (x )复合而成．(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过f(u)和φ(x)的单调性，利用“同增异减”的原则，求出y＝f[φ(x)]的单调性，即若y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相同(同增或同减)，则y＝f[φ(x)]为增函数，若y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相反(一增一减)，则y＝f[φ(x)]为减函数．[针对训练]4．求函数f(x)＝3－x2＋2x＋3的单调区间．[解]由题意可知，函数y＝f(x)＝3－x2＋2x＋3的定义域为实数集R.设u＝－x2＋2x＋3(x∈R)，则y＝3u，故原函数是由u＝－x2＋2x＋3与y＝3u复合而成．∵y＝3u是增函数，而u＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4在x∈(－∞，1]上是增函数，在[1，＋∞)上是减函数．∴f(x)的单调递增区间为(－∞，1]，单调递减区间为[1，＋∞).题型四指数函数的实际应用【典例4】某林区2016年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均增长率能达到5%.若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求y＝f(x)的表达式，并写出此函数的定义域．[解]现有木材的蓄积量为200万立方米，经过1年后木材的蓄积量为200＋200×5%＝200(1＋5%)；经过2年后木材的蓄积量为200(1＋5%)＋200(1＋5%)×5%＝200×(1＋5%)2万立方米；…经过x年后木材的蓄积量为200×(1＋5%)x万立方米．故y＝f(x)＝200×(1＋5%)x，x∈N*.解决指数函数应用题的流程(1)审题：理解题意，弄清楚关键字词和字母的意义，从题意中提取信息．(2)建模：据已知条件，列出指数函数的关系式．(3)解模：运用数学知识解决问题．(4)回归：还原为实际问题，归纳得出结论．[针对训练]5．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．[解析]假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y与生长时间的函数关系为y＝2x－1，当x＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半．[答案]19课堂归纳小结1．比较两个指数式值的大小的主要方法(1)比较形如a m与a n的大小，可运用指数函数y＝a x的单调性．(2)比较形如a m与b n的大小，一般找一个“中间值c”，若a m<c 且c<b n，则a m<b n；若a m>c且c>b n，则a m>b n.2．解简单指数不等式问题的注意点(1)形如a x>a y的不等式，可借助y＝a x的单调性求解．如果a的值不确定，需分0<a<1和a>1两种情况进行讨论．(2)形如a x>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝a x的单调性求解．(3)形如a x >b x 的不等式，可借助图象求解．3．研究y ＝a f (x )型单调区间时，要注意a >1还是0<a <1. 当a >1时，y ＝a f (x )与f (x )单调性相同．当0<a <1时，y ＝a f (x )与f (x )单调性相反.1．下列判断正确的是( )A ．2.52.5>2.53B ．0.82<0.83C ．π2<π2D ．0.90.3>0.90.5 [解析] 函数y ＝0.9x 在R 上为减函数，所以0.90.3>0.90.5.[答案] D2．若⎝ ⎛⎭⎪⎫122a ＋1<⎝ ⎛⎭⎪⎫123－2a ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．(－∞，1) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 [解析] 函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上为减函数，∴2a ＋1>3－2a ，∴a >12. [答案] B3．设13<⎝ ⎛⎭⎪⎫13b <⎝ ⎛⎭⎪⎫13a <1，则( ) A ．a a <a b <b aB ．a a <b a <a bC ．a b <a a <b aD ．a b <b a <a a[解析] 由已知条件得0<a <b <1，∴a b <a a ，a a <b a ，∴a b <a a <b a .[答案] C4．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x 的单调增区间为( )A ．(－∞，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(0,1)[解析] 设t ＝1－x ，则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ，则函数t ＝1－x 的递减区间为(－∞，＋∞)，即为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x 的递增区间． [答案] A5．已知函数f (x )＝2－x 2＋2x .(1)求函数f (x )的单调区间；(2)求函数f (x )在[0,3]上的值域．[解] (1)函数y ＝2－x 2＋2x 的定义域是R .令u ＝－x 2＋2x ，则y ＝2u .当x ∈(－∞，1]时，函数u ＝－x 2＋2x 为增函数，函数y ＝2u 是增函数，所以函数y ＝2－x 2＋2x 在(－∞，1]上是增函数．当x ∈[1，＋∞)时，函数u ＝－x 2＋2x 为减函数，函数y ＝2u 是增函数，所以函数y ＝2－x2＋2x 在[1，＋∞)上是减函数．综上，函数y ＝2－x 2＋2x 的单调减区间是[1，＋∞)，单调增区间是(－∞，1]．(2)由(1)知f (x )在[0,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减，且f (0)＝1，f (1)＝2，f (3)＝18，所以f (x )max ＝f (1)＝2，f (x )min ＝f (3)＝18，所以f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，2. 课内拓展 课外探究指数函数与函数的单调性、奇偶性指数函数本身不具有奇偶性，但由指数函数复合而成的某些函数具有奇偶性，这类复合函数的单调性由指数函数的单调性决定．1．“y ＝f (a x )”型函数的单调性【典例1】 如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0，且a ≠1)在[－1，1]上有最大值14，试求a 的值．[解] 令t ＝a x (t >0)，则原函数可化为y ＝(t ＋1)2－2，其图象的对称轴为直线t ＝－1.①若a >1，因为x ∈[－1,1]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a ，则y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上单调递增，所以y max ＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3或a ＝－5(舍去)．②若0<a <1，因为x ∈[－1,1]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a ，则y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a 上单调递增，所以y max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12－2＝14，解得a ＝13或a ＝－15(舍去)．综上可知，a 的值为3或13.[点评] 解决二次函数与指数函数的综合问题，本质上考查的还是闭区间上的二次函数的最值问题．在处理时可以利用换元法将指数函数换成t ＝a x 的形式，再利用定义域和函数y ＝a x 的单调性求出t 的范围，此时纯粹就是闭区间上的二次函数的最值问题了．2．“y ＝f (a x )”型函数的奇偶性 【典例2】 设函数f (x )＝12－12x ＋1，(1)证明函数f (x )是奇函数；(2)证明函数f (x )在(－∞，＋∞)内是增函数； (3)求函数f (x )在[1,2]上的值域．[解] (1)证明：函数的定义域为R ，关于原点对称． f (－x )＝12－112x ＋1＝12－2x 2x ＋1＝1－2x 2(2x ＋1)＝－12＋12x ＋1＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数．(3)因为函数f (x )在(－∞，＋∞)内是增函数， 所以函数f (x )在[1,2]上也是增函数， 所以f (x )min ＝f (1)＝16，f (x )max ＝f (2)＝310.所以函数f (x )在[1,2]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤16，310.[点评] 指数函数是一类具有特殊性质和实际应用价值的初等函数，利用函数的图象和性质可以研究符合指数函数的图象与性质的综合问题．课后作业(二十八)复习巩固一、选择题1．若函数f (x )＝(1－2a )x 在实数集R 上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12 [解析] 由已知，得0<1－2a <1，解得0<a <12，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.故选B.[答案] B 2．若0.72x －1≤0.7x 2－4，则x 的取值范围是( )A ．[－1,3]B ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)[解析] ∵函数y ＝0.7x 在R 上为减函数， 且0.72x －1≤0.7 x2－4，∴2x －1≥x 2－4，即x 2－2x －3≤0. 解得－1≤x ≤3，故选A. [答案] A[解析] 构造指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x(x ∈R )，由该函数在定义域内单调递减，可得b <c ；又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x (x ∈R )与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35x(x ∈R )之间有如下结论：当x >0时，有⎝ ⎛⎭⎪⎫35x >⎝ ⎛⎭⎪⎫25x，故，∴a >c ，故a >c >b .[答案] A4．设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x －1，则当x <0时，f (x )＝( )A ．e －x －1B ．e －x ＋1C ．－e －x －1D ．－e －x ＋1[解析] 由题意知f (x )是奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x －1，则当x <0时，－x >0，则f (－x )＝e －x －1＝－f (x )，得f (x )＝－e －x ＋1.故选D.[答案] D5．已知函数f (x )＝a 2－x (a >0且a ≠1)，当x >2时，f (x )>1，则f (x )在R 上( )A ．是增函数B ．是减函数C ．当x >2时是增函数，当x <2时是减函数D ．当x >2时是减函数，当x <2时是增函数[解析] 令2－x ＝t ，则t ＝2－x 是减函数，因为当x >2时，f (x )>1，所以当t <0时，a t >1.所以0<a <1，所以f (x )在R 上是增函数，故选A.[答案] A 二、填空题6．满足方程4x ＋2x －2＝0的x 值为________． [解析] 设t ＝2x (t >0)，则原方程化为t 2＋t －2＝0，∴t ＝1或t ＝－2. ∵t >0，∴t ＝－2舍去． ∴t ＝1，即2x ＝1，∴x ＝0. [答案] 0 7．函数y ＝3x 2－2x的值域为________．[解析] 设u ＝x 2－2x ，则y ＝3u ， u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1， 所以y ＝3u ≥3－1＝13， 所以函数y ＝3x 2－2x的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞. [答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ 8．用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留污垢不超过原来的1%，则至少要漂洗________次．[解析] 经过第一次漂洗，存留量为总量的14；经过第二次漂洗，存留量为第一次漂洗后的14，也就是原来的⎝ ⎛⎭⎪⎫142，经过第三次漂洗，存留量为原来的⎝ ⎛⎭⎪⎫143，…，经过第x 次漂洗，存留量为原来的⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ，故解析式为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x .由题意，⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ≤1100，4x ≥100,2x ≥10，∴x ≥4，即至少漂洗4次．[答案] 4 三、解答题9．某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：(1)写出该城市的人口总数y (万人)与年份x (年)的函数关系式；(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)． (参考数据：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127) [解] (1)1年后该城市人口总数为： y ＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)； 2年后该城市人口总数为：y ＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2% ＝100×(1＋1.2%)2；3年后该城市人口总数为：y ＝100×(1＋1.2%)3； …x 年后该城市人口总数为：y ＝100×(1＋1.2%)x . (2)10年后该城市人口总数为：y ＝100×(1＋1.2%)10 ＝100×1.01210≈112.7(万人)．10．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1时，求函数f (x )的单调增区间； (2)如果函数f (x )有最大值3，求实数a 的值．[解] (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7， 由于g (x )在(－2，＋∞)上递减，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上是减函数， ∴f (x )在(－2，＋∞)上是增函数，即f (x )的单调增区间是(－2，＋∞)．(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h (x )，由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1； 因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1，故当f (x )有最大值3时，a 的值为1.综合运用11．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x <0，a x ，x ≥0(a >0，且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1 C.⎝⎛⎦⎥⎤0，13 D.⎝⎛⎦⎥⎤0，23[解析] 由单调性定义，f (x )为减函数应满足：⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，3a ≥a0，即13≤a <1，故选B.[答案] B12．函数y ＝32x ＋2·3x －1，x ∈[1，＋∞)的值域为______________． [解析] 令3x ＝t ，由x ∈[1，＋∞)，得t ∈[3，＋∞)． ∴y ＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2≥(3＋1)2－2＝14. 故所求函数的值域为[14，＋∞)． [答案] [14，＋∞)13．要使y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋m 的图象不经过第一象限，则实数m 的取值范围是________．[解析] 解法一：函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 图象向右平移1个单位得到函数y＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1的图象(如图所示过点(0,2))，当m <0时，再向下平移|m |个单位就可以得到函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋m 的图象．要使y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋m 的图象不经过第一象限，需要有m ≤－2.解法二：由题意得，因为0<12<1，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋m 是减函数，由函数图象不经过第一象限知，当x ＝0时，y ＝2＋m ≤0，解得m ≤－2，故m 的取值范围是(－∞，－2]．[答案] (－∞，－2]15．已知定义域为R 的函数f (x )＝a －23x ＋1(a ∈R )是奇函数．(1)求a 的值；(2)判断函数f (x )在R 上的单调性，并证明你的结论； (3)求函数f (x )在R 上的值域．[解] (1)若存在实数a 使函数f (x )为R 上的奇函数，则f (0)＝0，得a ＝1.当a ＝1时，f (x )＝1－23x＋1. ∵f (－x )＝1－23－x ＋1＝1－2·3x 1＋3x ＝1－2(3x＋1)－21＋3x ＝－1＋21＋3x ＝－f (x )，∴f (x )为R 上的奇函数．∴存在实数a＝1，使函数f(x)为R上的奇函数．(3)f(x)＝1－23x＋1中，3x＋1∈(1，＋∞)，∴23x＋1∈(0,2)．∴f(x)的值域为(－1,1)．。
知识讲解_指数函数及其性质_基础
指数函数及其性质要点一、指数函数的概念：函数y=a x (a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R. 要点诠释：（1）形式上的严格性：只有形如y=a x (a>0且a ≠1)的函数才是指数函数．像23xy =⋅，12xy =，31xy =+等函数都不是指数函数．（2）为什么规定底数a 大于零且不等于1：①如果0a =，则000x x ⎧>⎪⎨≤⎪⎩xx时，a 恒等于，时,a 无意义.②如果0a <，则对于一些函数，比如(4)xy =-，当11,,24x x ==⋅⋅⋅时，在实数范围内函数值不存在．③如果1a =，则11xy ==是个常量，就没研究的必要了． 要点二、指数函数的图象及性质：y=a x0<a<1时图象a>1时图象图象性质 ①定义域R ，值域 （0，+∞）②a 0=1, 即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点 ③a x =a ，即x=1时，y 等于底数a④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤x<0时，a x >1 x>0时，0<a x <1⑤x<0时，0<a x <1 x>0时，a x >1⑥ 既不是奇函数，也不是偶函数（1）当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论。
（2）当01a <<时，,0x y →+∞→；当1a >时,0x y →-∞→。
当1a >时，a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快。
当01a <<时，a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快。
（3）指数函数xy a =与1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称。
要点三、指数函数底数变化与图像分布规律 （1）① xy a = ②xy b = ③x y c = ④x y d =则：0＜b ＜a ＜1＜d ＜c又即：x ∈(0,+∞)时，x x x x b a d c <<< （底大幂大） x ∈(－∞,0)时，x x x x b a d c >>> （2）特殊函数112,3,(),()23x x x x y y y y ====的图像：要点四、指数式大小比较方法(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：①若0A B A B ->⇔>；0A B A B -<⇔<；0A B A B -=⇔=； ②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断1A B >，或1AB<即可． 【典型例题】类型一、指数函数的概念例1．函数2(33)xy a a a =-+是指数函数，求a 的值． 【答案】2【解析】由2(33)xy a a a =-+是指数函数，可得2331,0,1,a a a a ⎧-+=⎨>≠⎩且解得12,01,a a a a ==⎧⎨>≠⎩或且，所以2a =．【总结升华】判断一个函数是否为指数函数：（1）切入点：利用指数函数的定义来判断；（2）关键点：一个函数是指数函数要求系数为1，底数是大于0且不等于1的常数，指数必须是自变量x ．举一反三：【变式1】指出下列函数哪些是指数函数（1）4xy =；（2）4y x =；（3）4xy =-；（4）(4)xy =-；（5）1(21)(1)2xy a a a =->≠且；（6）4x y -=．【答案】（1）（5）（6）【解析】（1）（5）（6）为指数函数．其中（6）4x y -==14x⎛⎫ ⎪⎝⎭，符合指数函数的定义，而（2）中底数x 不是常数，而4不是变数；（3）是-1与指数函数4x 的乘积；（4）中底数40-<，所以不是指数函数．类型二、函数的定义域、值域 例2．求下列函数的定义域、值域.(1)313xxy =+；(2)y=4x -2x +1；(4)y =为大于1的常数)【答案】（1）R ，(0，1)；（2）R [+∞,43)；（3）1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭[)0,+∞；（4）(-∞，-1)∪[1，+∞) [1，a)∪(a ，+∞)【解析】(1)函数的定义域为R (∵对一切x ∈R ，3x ≠-1).∵ (13)1111313x x xy +-==-++，又∵ 3x >0， 1+3x >1， ∴ 10113x <<+， ∴ 11013x-<-<+，∴ 101113x<-<+， ∴值域为(0，1). (2)定义域为R ，43)212(12)2(22+-=+-=x x x y ，∵ 2x >0， ∴ 212=x即 x=-1时，y 取最小值43，同时y 可以取一切大于43的实数，∴ 值域为[+∞,43). (3)要使函数有意义可得到不等式211309x --≥，即21233x --≥，又函数3x y =是增函数，所以212x -≥-，即12x ≥-，即1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，值域是[)0,+∞.(4)∵011112≥+-=-+x x x x ∴ 定义域为(-∞，-1)∪[1，+∞)， 又∵111011≠+-≥+-x x x x 且，∴ a ay a y x x x x≠=≥=-+-+1121121且， ∴值域为[1，a)∪(a ，+∞).【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性；第(3)小题中值域切记不要漏掉y>0的条件，第(4)小题中112111≠+-=+-x x x 不能遗漏. 举一反三：【变式1】求下列函数的定义域： (1)2-12x y =(2)y =(3)y =(4)0,1)y a a =>≠【答案】（1）R ；（2）(]-3∞，；（3）[)0,+∞；（4）a>1时，(]-0∞，；0<a<1时，[)0+∞，【解析】(1)R(2)要使原式有意义，需满足3-x ≥0，即3x ≤，即(]-3∞，．(3) 为使得原函数有意义，需满足2x -1≥0，即2x ≥1，故x ≥0，即[)0,+∞(4) 为使得原函数有意义，需满足10xa -≥，即1xa ≤，所以a>1时，(]-0∞，；0<a<1时，[)0+∞，.【总结升华】本题中解不等式的依据主要是指数函数的单调性，根据所给的同底指数幂的大小关系，结合单调性来判断指数的大小关系.类型三、指数函数的单调性及其应用例3．讨论函数221()3x xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性，并求其值域．【思路点拨】对于x ∈R ，22103x x-⎛⎫> ⎪⎝⎭恒成立，因此可以通过作商讨论函数()f x 的单调区间．此函数是由指数函数及二次函数复合而成的函数，因此可以逐层讨论它的单调性，综合得到结果．【答案】函数()f x 在区间（－∞，1）上是增函数，在区间[1，+∞）上是减函数 （0，3] 【解析】解法一：∵函数()f x 的定义域为（－∞，+∞），设x 1、x 2∈（－∞，+∞）且有x 1＜x 2，∴222221()3x x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，211211()3x x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，222222121212121122()()(2)2211()113()3313x x x x x x x x x x x x f x f x -----+--⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭． （1）当x 1＜x 2＜1时，x 1+x 2＜2，即有x 1+x 2－2＜0．又∵x 2－x 1＞0，∴(x 2―x 1)(x 2+x 1―2)＜0，则知2121()(2)113x x x x -+-⎛⎫> ⎪⎝⎭．又对于x ∈R ，()0f x >恒成立，∴21()()f x f x >． ∴函数()f x 在（－∞，1）上单调递增．（2）当1≤x 1＜x 2时，x 1+x 2＞2，即有x 1+x 2－2＞0． 又∵x 2－x 1＞0，∴(x 2―x 1)(x 2+x 1―2)＞0，则知2121()(2)1013x x x x -+-⎛⎫<< ⎪⎝⎭．∴21()()f x f x <．∴函数()f x 在[1，+∞）上单调递减．综上，函数()f x 在区间（－∞，1）上是增函数，在区间[1，+∞）上是减函数．∵x 2―2x=(x ―1)2―1≥－1，1013<<，221110333x x--⎛⎫⎛⎫<≤= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． ∴函数()f x 的值域为（0，3]．解法二：∵函数()f x 的下义域为R ，令u=x 2－2x ，则1()3uf u ⎛⎫= ⎪⎝⎭．∵u=x 2―2x=(x ―1)2―1，在（―∞，1]上是减函数，1()3uf u ⎛⎫= ⎪⎝⎭在其定义域内是减函数，∴函数()f x 在（－∞，1]内为增函数．又1()3uf u ⎛⎫= ⎪⎝⎭在其定义域内为减函数，而u=x 2―2x=(x ―1)2―1在[1，+∞）上是增函数，∴函数()f x 在[1，+∞）上是减函数．值域的求法同解法一．【总结升华】由本例可知，研究()f x y a =型的复合函数的单调性用复合法，比用定义法要简便些，一般地有：即当a ＞1时，()f x y a=的单调性与()y f x =的单调性相同；当0＜a ＜1时，()f x y a=的单调与()y f x =的单调性相反．举一反三：【变式1】求函数2323xx y -+-=的单调区间及值域.【答案】3(,]2x ∈-∞上单增，在3[,)2x ∈+∞上单减. 14(0,3]【解析】[1]复合函数——分解为：u=-x 2+3x-2， y=3u ；[2]利用复合函数单调性判断方法求单调区间； [3]求值域. 设u=-x 2+3x-2， y=3u ，其中y=3u 为R 上的单调增函数，u=-x 2+3x-2在3(,]2x ∈-∞上单增， u=-x 2+3x-2在3[,)2x ∈+∞上单减， 则2323xx y -+-=在3(,]2x ∈-∞上单增，在3[,)2x ∈+∞上单减.又u=-x 2+3x-22311()244x =--+≤， 2323x x y -+-=的值域为14(0,3].【变式2】求函数2-2()(01)xxf x a a a =>≠其中，且的单调区间.【解析】当a>1时，外层函数y=a u 在()-∞+∞，上为增函数，内函数u=x 2-2x 在区间(1)-∞，上为减函数，在区间[)1+∞，上为增函数，故函数2-2()(-1)x xf x a =∞在区间，上为减函数，在区间[)1+∞，上为增函数； 当0<a<1时，外层函数y=a u 在()-∞+∞，上为减函数，内函数u=x 2-2x 在区间(1)-∞，上为减函数，在区间[)1+∞，上为增函数，故函数2-2()xxf x a =在区间(1)-∞，上为增函数，在区间[)1,+∞上为减函数.例4．证明函数1()(1)1x xa f x a a -=>+在定义域上为增函数. 【思路点拨】利用函数的单调性定义去证明。
函数单调性的常用判断方法及应用
函数单调性的常用判断方法及应用湖北麻城：阮 晓 锋单调性是函数的重要性质，它在数学中有许多应用，如我们常利用它求函数的值域，进而求题中字母或参数的取值范围。
那么，有哪些常用的判断函数单调性方法呢？判断函数单调性的常用方法有：⑴利yizhi 用增（减）函数的定义进行判断； ⑵利用导数进行判断(本文暂不举例)； ⑶利用图象进行判断；⑷利用简单初等函数的单调性结论直接进行判断（含一次函数，二次函数，指数函数， 对数函数，幂函数，三角函数）； ⑸利用一些重要结论进行判断：①若f(x)在区间D 上是增（或减）函数，则它在D 的任意子区间上也是增(减)函数； ②f(x)+C 与f(x)具有相同的单调性（C 为常数）；③当C>0（或C<0）时，Cf(x)与f(x)具有相同（或相反）的单调性（C 为常数）； ④若f(x)与g(x)的单调性相同，则f(x)+g(x)也有相同的单调性；若f(x)与g(x) 的单调性相反，则f(x)-g(x)与f(x)的单调性相同,与g(x)的单调性相反。
⑤由两个函数组成的复合函数的单调性的判断规律为“同增异减”； ⑥奇函数在关于原点对称的区间上的单调性完全相同，而偶函数则在关于原点对称 的区间上的单调性正好相反。
例1 ⑴若函数f(x)=x x+2a在（0，+∞）上单调递增，则a 的取值范围为_____;⑵已知函数f(x)⎪⎩⎪⎨⎧<≥+=0, 1 ,0,1x 2x x ,则不等式f(1-x 2)>f(2x)的取值范围为_____。
解：⑴填[0，+∞），理由如下①当a=0时显然符合题设要求； ②当a<0时，由二次函数单调性知它在[2a1-，+∞上单调递减，不可能符合题意； ③当a>0时，由二次函数单调性知它在[2a1-，+∞）上单调递增则得（0，+∞）⊆[2a1-，+∞）∴得2a1-≤0且a>0解之得a>0综上知：a 的取值范围为[0，+∞）。
指数函数有什么性质？如何证明指数函数的单调性？
指数函数有什么性质？如何证明指数函数的单调性？ 指数函数是数学中重要的函数。
应用到值e上的这个函数写为exp(x)。
还可以等价的写为ex，这里的e是数学常数，就是自然对数的底数，近似等于 2.718281828，还称为欧拉数。
在高中数学中占有一定位置。
那幺指数函数有什幺性质?如何证明指数函数的单调性? 指数函数有什幺性质? 指数函数一般具有以下性质：(1) 指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0且不等于1，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑， 同时a等于0函数无意义一般也不考虑。
(2) 指数函数的值域为大于0的实数集合。
(3) 函数图形都是下凹的。
(4) a大于1，则指数函数单调递增;a小于1大于0，则为单调递减的。
(5) 可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0)，函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。
其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。
小编推荐：《2018年高考数学备考计划好的复习计划是成功的开始》(6) 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。
(7) 函数总是通过(0，1)这点,(若Y=Ax+B,则函数定过点(0,1+b) (8) 显然指数函数无界。
(9) 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。
(10)当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。
指数函数方法总结
指数函数方法总结简介指数函数是高中数学中的重要概念，也是微积分中常用的数学函数之一。
指数函数具有如下的形式：f(x) = a^x其中，a是常数，称为底数，x是指数。
指数函数在自然科学、金融、经济等领域都有着广泛的应用。
本文将对指数函数的相关知识进行总结和归纳。
指数函数的基本性质1.指数函数的定义域为实数集，值域为正实数集。
2.指数函数具有单调性，当a > 1时，函数图像是上升的；当0 < a <1时，函数图像是下降的。
3.指数函数关于y轴对称。
4.指数函数通过点(0, 1)。
5.指数函数具有指数运算的性质，例如a^m * a^n = a^(m+n)。
指数函数的图像及性质指数函数的图像根据底数a的不同有所变化，但都具有一些共同的性质。
当a > 1时• a > 1时，指数函数的图像在x轴右侧逐渐上升，并趋近于正无穷。
•函数图像经过点(0,1)，当x趋向负无穷时，函数值趋近于0。
•当x趋近正无穷时，函数值非常大，并且增长速度越来越快。
当0 < a < 1时•0 < a < 1时，指数函数的图像在x轴右侧逐渐下降，并趋近于0。
•函数图像同样经过点(0,1)，当x趋向负无穷时，函数值趋近于正无穷。
•当x趋近正无穷时，函数值逐渐趋近于1，在1的右侧，函数图像非常接近y = 1这条直线。
特殊情况•当底数a = 1时，函数图像为y = 1这条直线。
•当底数a = 0时，函数图像为y = 0这条直线。
•当底数a < 0时，则需要引入复数的概念，超出了本文的范围。
指数函数的应用指数函数在各个领域有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用案例。
金融计算指数函数在金融领域的应用非常广泛，例如计算复利、投资收益等。
利用指数函数可以更加准确地计算资产的投资增长情况。
自然科学指数函数在物理、生物学等自然科学领域也有着重要的应用。
例如在放射性衰变、细胞分裂等过程中，指数函数可以用来描述物质的变化规律。
函数单调性在解题中的应用
设函数 在点 的某领域内有定义，且在点 可导。若点 为 的极值点，则必有 。
定理6（极值的第一充分条件）
设 在 点处连续，在某领域 内可导。
（1） 若 时， ，当 时 ，则 在点 取得极小值；
（2） 若 时， ，当 时 ，则 在 处取得极大值。
例3判断函数 在 的单调性。
解：函数
有正有负， 。
3.1.1 一次函数单调性的判别
一次函数的解析式：
在 时，对应定义域内图像上升：
在 时，对应定义域内图像降低；
在 时，一次函数变成常数，不分析单调性。
3.1.2 二次函数单调性的判别
二次函数的解析式 ，其图形形式为抛物线。其中当 时，抛物线开口向上，当抛物线在 时，函数有最小值 ，即在 上为单调递减函数；其中当 时，抛物线开口向上，当抛物线在 时，函数有最大值 ，即在 上为单调递增函数。
结合 的单调性可知：
当 的极大值 ，即 时，它的极小值也小于0，因此曲线 与 轴仅有一个交点，它在 上。
当 的极小值 －1>0即 时，它的极大值也大于0，因此曲线 = 与 轴仅有一个交点，它在 上。
所以，当 ∪ 时，曲线 = 与 轴仅有一个交点。
例2设函数 ，已知 是奇函数。
（1）求 、 的值。
（2）求 的单调区间与极值。
monotonicfunctiondistinguishderivativeapplication21函数单调性的基本概念211函数单调性的定义212函数单调性的意义213函数单调性的理解22函数单调性的常用定理和性质221最值定理222有界性定理223零点定理224介值性定理225极值的判定定理31初等数学中函数单调性的判别311一次函数单调性的判别312二次函数单调性的判别313指数函数单调性的判别314对数函数单调性的判别32高等数学中利用导数判别函数单调性41单调性在求极值最值中的应用411一元函数的极值412二元函数的极值
【新高考】高三数学一轮基础复习讲义：第二章 2.5指数函数-(学生版+教师版)
指数函数判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)n a n ＝(na )n ＝a .( )(2)分数指数幂m na 可以理解为mn个a 相乘．( )(3)(－1)24＝(－1)12＝－1.( ) (4)函数y ＝a －x 是R 上的增函数．( ) (5)函数21x y a +=(a >1)的值域是(0，＋∞)．( )(6)函数y ＝2x －1是指数函数．( )无题型一 指数幂的运算 例1 化简下列各式：(1)[(0.06415)－2.5]23－3338－π0； (2)a 43－8a 13b4b 23＋23ab ＋a23÷(a23-－23b a )×a ·3a 25a ·3a.化简(14)12-·(4ab －1)3(0.1)－1·(a 3·b －3)12＝________. 题型二 指数函数的图象及应用例2 (1)已知实数a ，b 满足等式2 017a ＝2 018b ，下列五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有( )A．1个B．2个C．3个D．4个(2)已知函数f(x)＝|2x－1|，a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是()A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b≥0，c>0C．2－a<2c D．2a＋2c<2(1)已知函数f(x)＝a x－b的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象可能是()(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．题型三指数函数的性质及应用命题点1指数函数单调性的应用例3(1)下列各式比较大小正确的是()A．1.72.5>1.73B．0.6－1>0.62C．0.8－0.1>1.250.2D．1.70.3<0.93.1(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(12)x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是________．命题点2 复合函数的单调性例4 (1)已知函数f (x )＝22x m-(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________．(2)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12221x x -+-的单调减区间为_____________________________________． 引申探究函数f (x )＝142x x +-的单调增区间是________．例5 (1)函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －⎝⎛⎭⎫12x ＋1在区间[－3,2]上的值域是________．(2)如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0，且a ≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则a 的值为________．(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－(12)x ，a ≤x ＜0，－x 2＋2x ，0≤x ≤4的值域是[－8,1]，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3]B ．[－3,0)C ．[－3，－1]D ．{－3}(2)已知函数f (x )＝2x －12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≥0，f (－x )，x <0，则函数g (x )的最小值是________．1．分数指数幂(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是m na ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．于是，在条件a >0，m ，n ∈N *，且n >1下，根式都可以写成分数指数幂的形式．正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定m na-＝1m na(a >0，m ，n ∈N *，且n >1).0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋s ，(a r )s ＝a rs ，(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q . 2．指数函数的图象与性质典例 已知函数y ＝b ＋22x xa+(a ，b 为常数，且a >0，a ≠1)在区间[－32，0]上有最大值3，最小值52，则a ，b 的值分别为________．1．已知函数f (x )＝a x －2＋2的图象恒过定点A ，则A 的坐标为( ) A ．(0,1) B ．(2,3) C ．(3,2) D ．(2,2)2．已知a ＝(35)13-，b ＝(35)14-，c ＝(32)34-，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <a <b ．a <b <c C ．b <a <c．c <b <a3．计算：⎝⎛⎭⎫3213-×⎝⎛⎭⎫－760＋814×42________. 4．函数y ＝8－23－x (x ≥0)的值域是________． 1．设2x ＝8y＋1,9y ＝3x －9，则x ＋y 的值为( )A ．18B ．21C ．24D ．27 2．函数f (x )＝2|x －1|的图象是( )3．已知a ＝40.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.8，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >bD ．b >c >a4．已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f (x )的值域为( ) A ．[9,81] B ．[3,9] C ．[1,9]D ．[1，＋∞)5．若函数f (x )＝2x ＋12x －a 是奇函数，则使f (x )＞3成立的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)*6.已知g (x )＝ax ＋1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，0≤x ≤2，－x 2，－2≤x <0，对任意x 1∈[－2,2]，存在x 2∈[－2,2]，使g (x 1)＝f (x 2)成立，则a 的取值范围是( ) A ．[－1，＋∞) B ．[－1,1] C ．(0,1]D ．(－∞，1]7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．8．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a >0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________． 9．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数且当x ≥0时，f (x )＝－14x ＋12x ，则此函数的值域为________．10．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是________． 11．已知函数f (x )＝(23)|x |－a .(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的最大值等于94，求a 的值．12．已知函数f (x )＝2431()3ax x -+.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值．*13.已知函数f (x )＝14x －λ2x －1＋3(－1≤x ≤2)．(1)若λ＝32，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )的最小值是1，求实数λ的值．指数函数判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)nan＝(na)n＝a.(×)(2)分数指数幂可以理解为mn个a相乘．(×)(3)(－1) ＝(－1) ＝－1.(×)(4)函数y＝a－x是R上的增函数．(×)(5)函数(a>1)的值域是(0，＋∞)．(×)(6)函数y＝2x－1是指数函数．(×)无题型一指数幂的运算例1化简下列各式：(1)[(0.064 )－2.5] －3338－π0；(2)a －8a b4b ＋23ab＋a ÷(a －23ba)×a•3a25a•3a.解(1)原式＝{[(641 000) ] } －(278) －1＝[(410)3] －[(32)3] －1＝52－32－1＝0.(2)原式＝a [ a 3－2b 3] a 2＋a •2b ＋2b 2÷a －2b a×a•a a •a＝a (a －2b )×aa －2b ×a a＝a ×a×a ＝a2.思维升华(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．化简(14) •4ab－130.1－1•a3•b－3＝________.答案85解析原式＝2×23•a •b 10•a •b ＝21＋3×10－1＝85.题型二指数函数的图象及应用例2(1)已知实数a，b满足等式2 017a＝2 018b，下列五个关系式：①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有()A．1个B．2个C．3个D．4个(2)已知函数f(x)＝|2x－1|，a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是()A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b≥0，c>0C．2－a<2c D．2a＋2c<2答案(1)B(2)D解析(1)如图，观察易知，a，b的关系为a<b<0或0<b<a或a＝b＝0.(2)作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图，∵a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，结合图象知，0<f(a)<1，a<0，c>0，∴0<2a<1.∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，∴f(c)<1，∴0<c<1.∴1<2c<2，∴f(c)＝|2c－1|＝2c－1，又∵f(a)>f(c)，∴1－2a>2c－1，∴2a＋2c<2，故选D.思维升华(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．(1)已知函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象可能是()(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．答案(1)A(2)[－1,1]解析(1)由f(x)的单调性知0<a<1，又x＝0时，a－b>1，x＝1时，a1－b<1，∴0<b<1，对照图象知g(x)的图象可能是A.(2)曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可知：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．题型三指数函数的性质及应用命题点1指数函数单调性的应用例3(1)下列各式比较大小正确的是()A．1.72.5>1.73 B．0.6－1>0.62C．0.8－0.1>1.250.2 D．1.70.3<0.93.1(2)设函数f(x)＝12x－7，x<0，x，x≥0，若f(a)<1，则实数a的取值范围是________．答案(1)B(2)(－3,1)解析(1)选项B中，∵y＝0.6x是减函数，∴0.6－1>0.62.(2)当a<0时，不等式f(a)<1可化为(12)a－7<1，即(12)a<8，即(12)a<(12)－3，∴a>－3.又a<0，∴－3<a<0.当a≥0时，不等式f(a)<1可化为a<1.∴0≤a<1，综上，a的取值范围为(－3,1)．命题点2复合函数的单调性例4(1)已知函数f(x)＝2 (m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________．(2)函数f(x)＝12 的单调减区间为_____________________________________．答案(1)(－∞，4](2)(－∞，1]解析(1)令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间[m2，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，m2]上单调递减．而y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)＝2 在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．(2)设u＝－x2＋2x＋1，∵y＝12u在R上为减函数，∴函数f(x)＝的减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的增区间．又u＝－x2＋2x＋1的增区间为(－∞，1]，∴f(x)的减区间为(－∞，1]．引申探究函数f(x)＝的单调增区间是________．答案[0，＋∞)解析设t＝2x，则y＝t2－2t的单调增区间为[1，＋∞)，令2x≥1，得x≥0，∴函数f(x)＝的单调增区间是[0，＋∞)．命题点3函数的值域(或最值)例5(1)函数y＝14x－12x＋1在区间[－3,2]上的值域是________．(2)如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则a的值为________．答案(1)34，57(2)13或3解析(1)令t＝12x，因为x∈[－3,2]，所以t∈14，8，故y＝t2－t＋1＝t－122＋34.当t＝12时，ymin＝34；当t＝8时，ymax＝57.故所求函数的值域为34，57.(2)令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.当a>1时，因为x∈[－1,1]，所以t∈[1a，a]，又函数y＝(t＋1)2－2在1a，a上单调递增，所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(负值舍去)．当0<a<1时，因为x∈[－1,1]，所以t∈[a，1a]，又函数y＝(t＋1)2－2在[a，1a]上单调递增，则ymax＝(1a＋1)2－2＝14，解得a＝13(负值舍去)．综上，a＝3或a＝13.思维升华(1)在利用指数函数性质解决相关综合问题时，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法，要化归于指数函数来解．(1)已知函数f(x)＝－12x，a≤x＜0，－x2＋2x，0≤x≤4的值域是[－8,1]，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－3] B．[－3,0)C．[－3，－1] D．{－3}(2)已知函数f(x)＝2x－12x，函数g(x)＝f x，x≥0，f－x，x<0，则函数g(x)的最小值是________．答案(1)B(2)0解析(1)当0≤x≤4时，f(x)∈[－8,1]，当a≤x＜0时，f(x)∈[－(12)a，－1)，所以[－12a，－1)[－8,1]，即－8≤－12a＜－1，即－3≤a＜0，所以实数a的取值范围是[－3,0)．(2)当x≥0时，g(x)＝f(x)＝2x－12x为单调增函数，所以g(x)≥g(0)＝0；当x<0时，g(x)＝f(－x)＝2－x－12－x为单调减函数，所以g(x)>g(0)＝0，所以函数g(x)的最小值是0.1．分数指数幂(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是＝nam(a>0，m，n∈N*，且n>1)．于是，在条件a>0，m，n∈N*，且n>1下，根式都可以写成分数指数幂的形式．正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定＝1 (a>0，m，n∈N*，且n>1).0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 2．指数函数的图象与性质y＝ax a>1 0<a<1图象定义域(1)R值域(2)(0，＋∞)性质(3)过定点(0,1)(4)当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1 (5)当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1(6)在(－∞，＋∞)上是增函数(7)在(－∞，＋∞)上是减函数典例已知函数y＝b＋(a，b为常数，且a>0，a≠1)在区间[－32，0]上有最大值3，最小值52，则a，b的值分别为________．错解展示解析令t＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，∵－32≤x≤0，∴－1≤t≤0.∵1a≤at≤1，∴b＋1a≤b＋at≤b＋1，由b＋1a＝52，b＋1＝3，得a＝2，b＝2.答案2,2现场纠错解析令t＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，∵x∈[－32，0]，∴t∈[－1,0]．①若a>1，函数f(x)＝at在[－1,0]上为增函数，∴at∈[1a，1]，b＋∈[b＋1a，b＋1]，依题意得b＋1a＝52，b＋1＝3，解得a＝2，b＝2.②若0<a<1，函数f(x)＝at在[－1,0]上为减函数，∴at∈[1，1a]，则b＋∈[b＋1，b＋1a]，依题意得b＋1a＝3，b＋1＝52，解得a＝23，b＝32.综上①②，所求a，b的值为a＝2，b＝2或a＝23，b＝32. 答案2,2或23，32纠错心得与指数函数、对数函数的单调性有关的问题，要对底数进行讨论. 1．已知函数f(x)＝ax－2＋2的图象恒过定点A，则A的坐标为() A．(0,1) B．(2,3) C．(3,2) D．(2,2)答案 B解析由a0＝1知，当x－2＝0，即x＝2时，f(2)＝3，即图象必过定点(2,3)．2．已知a＝(35) ，b＝(35) ，c＝(32) ，则a，b，c的大小关系是()A．c<a<b ．a<b<cC．b<a<c ．c<b<a答案 D解析∵y＝(35)x是减函数，∴(35) >(35) >(35)0，即a>b>1，又c＝(32) <(32)0＝1，∴c<b<a.3．计算：32 ×－760＋8 ×42－＝________.答案 2解析原式＝23 ×1＋2 ×2 －23 ＝2.4．函数y＝8－23－x(x≥0)的值域是________．答案[0,8)解析∵x≥0，∴－x≤0，∴3－x≤3，∴0<23－x≤23＝8，∴0≤8－23－x<8，∴函数y＝8－23－x的值域为[0,8)．1．设2x＝8y＋1,9y＝3x－9，则x＋y的值为()A．18 B．21 C．24 D．27答案 D解析∵2x＝8y＋1＝23(y＋1)，∴x＝3y＋3，∵9y＝3x－9＝32y，∴x－9＝2y，解得x＝21，y＝6，∴x＋y＝27.2．函数f(x)＝2|x－1|的图象是()答案 B解析∵|x－1|≥0，∴f(x)≥1，排除C、D.又x＝1时，|f(x)|min＝1，排除A.故选B.3．已知a＝40.2，b＝0.40.2，c＝0.40.8，则()A．a>b>c B．a>c>bC．c>a>b D．b>c>a答案 A解析由0.2<0.8，底数0.4<1知，y＝0.4x在R上为减函数，所以0.40.2>0.40.8，即b>c.又a＝40.2>40＝1，b＝0.40.2<1，所以a>b.综上，a>b>c.4．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域为() A．[9,81] B．[3,9]C．[1,9] D．[1，＋∞)答案 C解析由f(x)过定点(2,1)可知b＝2，因为f(x)＝3x－2在[2,4]上是增函数，所以f(x)min＝f(2)＝1，f(x)max＝f(4)＝9.故选C.5．若函数f(x)＝2x＋12x－a是奇函数，则使f(x)＞3成立的x的取值范围为() A．(－∞，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1，＋∞)答案 C解析∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即2－x＋12－x－a＝－2x＋12x－a，整理得(a－1)(2x＋1)＝0，∴a＝1，∴f(x)＞3即为2x＋12x－1＞3，当x>0时，2x－1>0，∴2x＋1>3•2x－3，解得0<x<1；当x<0时，2x－1<0，∴2x＋1<3•2x－3，无解．∴x的取值范围为(0,1)．*6.已知g(x)＝ax＋1，f(x)＝2x－1，0≤x≤2，－x2，－2≤x<0，对任意x1∈[－2,2]，存在x2∈[－2,2]，使g(x1)＝f(x2)成立，则a的取值范围是()A．[－1，＋∞) B．[－1,1]C．(0,1] D．(－∞，1]答案 B解析由题意可得g(x)，x∈[－2,2]的值域为f(x)，x∈[－2,2]的值域的子集．经分析知f(x)，x∈[－2,2]的值域是[－4,3]，当a＝0时，g(x)＝1，符合题意；当a>0时，g(x)，x∈[－2,2]的值域是[－2a＋1,2a＋1]，所以－2a＋1≥－4，2a＋1≤3，则0<a≤1；当a<0时，g(x)，x∈[－2,2]的值域是[2a＋1，－2a＋1]，所以2a＋1≥－4，－2a＋1≤3，则－1≤a<0.综上可得－1≤a≤1.7．设函数f(x)＝ex－1，x<1，x ，x≥1，则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________．答案(－∞，8]解析当x<1时，由ex－1≤2，得x≤1＋ln 2，∴x<1时恒成立；当x≥1时，由x ≤2，得x≤8，∴1≤x≤8.综上，符合题意的x的取值范围是(－∞，8]．8．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________．答案(0，12)解析(数形结合法)由图象可知0<2a<1，∴0<a<12.9．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数且当x≥0时，f(x)＝－14x＋12x，则此函数的值域为________．答案[－14，14]解析设t＝12x，当x≥0时，2x≥1，∴0<t≤1，f(t)＝－t2＋t＝－(t－12)2＋14.∴0≤f(t)≤14，故当x≥0时，f(x)∈[0，14]．∵y＝f(x)是定义在R上的奇函数，∴当x≤0时，f(x)∈[－14，0]．故函数的值域为[－14，14]．10．当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)•4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是________．答案(－1,2)解析原不等式变形为m2－m<12x，因为函数y＝12x在(－∞，－1]上是减函数，所以12x≥12－1＝2，当x∈(－∞，－1]时，m2－m<12x恒成立等价于m2－m<2，解得－1<m<2.11．已知函数f(x)＝(23)|x|－a.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的最大值等于94，求a的值．解(1)令t＝|x|－a，则f(x)＝(23)t，不论a取何值，t在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，又y＝(23)t是单调递减的，因此f(x)的单调递增区间是(－∞，0]，单调递减区间是[0，＋∞)．(2)由于f(x)的最大值是94，且94＝(23)－2，所以g(x)＝|x|－a应该有最小值－2，即g(0)＝－2，从而a＝2.12．已知函数f(x)＝.(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值．解(1)当a＝－1时，f(x)＝，令t＝－x2－4x＋3，由于t在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝13t在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，则f(x)＝13g(x)，由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1，因此必有a>0，3a－4a＝－1，解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值为1.*13.已知函数f(x)＝14x－λ2x－1＋3(－1≤x≤2)．(1)若λ＝32，求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)的最小值是1，求实数λ的值．解(1)f(x)＝14x－λ2x－1＋3＝(12)2x－2λ•(12)x＋3(－1≤x≤2)．设t＝(12)x，得g(t)＝t2－2λt＋3(14≤t≤2)．当λ＝32时，g(t)＝t2－3t＋3＝(t－32)2＋34(14≤t≤2)．所以g(t)max＝g(14)＝3716，g(t)min＝g(32)＝34.所以f(x)max＝3716，f(x)min＝34，故函数f(x)的值域为[34，3716]．(2)由(1)得g(t)＝t2－2λt＋3＝(t－λ)2＋3－λ2(14≤t≤2)．①当λ≤14时，g(t)min＝g(14)＝－λ2＋4916，令－λ2＋4916＝1，得λ＝338>14，不符合，舍去；②当14<λ≤2时，g(t)min＝g(λ)＝－λ2＋3，令－λ2＋3＝1，得λ＝2(λ＝－2<14，不符合，舍去)；③当λ>2时，g(t)min＝g(2)＝－4λ＋7，令－4λ＋7＝1，得λ＝32<2，不符合，舍去．综上所述，实数λ的值为2.。
指数函数单调区间
指数函数单调区间指数函数单调区间指数函数是一类常见的函数，其形式为f(x) = a^x，其中a为一个正实数且不等于1。
在指数函数中，a被称为底数，x被称为指数。
指数函数在数学、物理、化学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍指数函数的单调性及其单调区间。
一、定义与基本性质1. 定义指数函数是以常数e为底的幂函数，即f(x) = e^x。
2. 基本性质（1）定义域：实数集R。
（2）值域：(0,+∞)。
（3）单调性：当x1<x2时，e^x1<e^x2，即指数函数在整个定义域上是严格增加的。
（4）连续性：e^x在整个定义域上连续。
二、单调性指数函数在整个定义域上是严格增加的。
这意味着对于任意两个实数x1和x2，如果满足x1<x2，则有e^x1<e^x2。
这一特点可以通过求导来证明。
三、单调区间根据上述结论，我们可以得到指数函数的单调区间。
由于其在整个定义域上都是严格增加的，因此不存在下降的区间。
因此，指数函数的单调区间为整个定义域，即(-∞,+∞)。
四、例题解析下面通过一道例题来进一步理解指数函数的单调性及其单调区间。
例题：求指数函数y=2^x的单调区间。
解析：根据指数函数的定义和基本性质，我们可以知道2^x在整个定义域上是严格增加的。
因此，其单调区间为整个定义域，即(-∞,+∞)。
五、总结本文介绍了指数函数的定义、基本性质、单调性及其单调区间。
通过对指数函数的学习，我们可以更好地理解和应用这一类常见的函数。
浅谈函数单调性在高中数学中的学习与运用
浅谈函数单调性在高中数学中的学习与运用1. 引言1.1 引言在高中数学学习中，函数单调性是一个重要的概念。
它不仅在数学理论中有着重要的地位，而且在解决实际问题中也具有很大的应用价值。
本文将从函数单调性的概念入手，探讨在高中数学中函数单调性的学习与运用。
函数单调性是指函数在定义域上的增减性质。
在高中数学课程中，我们学习了很多种函数，如线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
了解这些函数的单调性，可以帮助我们更好地理解函数的性质，进而解决各种数学问题。
在学习函数单调性时，我们需要掌握如何判断一个函数的单调性。
一般来说，可以通过求导数或者利用函数的增减性质来确定一个函数的单调性。
我们还需要注意函数在定义域上的特殊点，如奇点和间断点，这些点可能影响函数的单调性。
函数单调性在高中数学中有着广泛的应用。
比如在求函数的最值、解不等式、证明不等式等问题中，函数的单调性往往能起到关键作用。
在物理、化学等自然科学中，函数的单调性也常常被用来描述物理规律和现象。
2. 正文2.1 函数单调性的概念函数单调性是函数在定义域内具有特定的增减规律的性质。
简单来说，就是函数随着自变量的增大而增大，或随着自变量的减小而减小。
在数学中，函数单调性是对函数变化规律的一种重要描述，它能够帮助我们更好地理解和分析函数的性质。
具体来说，函数的单调性分为严格单调和非严格单调两种。
严格单调是指函数在整个定义域内严格递增或严格递减，即任意两个不同的自变量对应的函数值之间的大小关系是确定的。
非严格单调则是指函数在整个定义域内递增或递减，但可以存在相等的情况。
函数单调性的概念为我们提供了研究函数的新视角，通过研究函数的单调性，我们可以得到函数图像的大致形状和变化规律。
这对于解题和分析问题都有重要意义。
在高中数学中，函数单调性是一个重要的概念，通过对函数单调性的学习和理解，我们可以更深入地掌握函数的性质和特点。
函数单调性是数学中一个基础而重要的概念，它在高中数学中具有重要的教学意义和应用价值。
指数函数的单调性及应用
ʏ刘长柏指数函数是高考的必考知识点,高考侧重考查其单调性在解题中的灵活运用㊂下面通过归类举例分析,着重说明指数函数的单调性的解题应用,目的在于帮助同学们加深对指数函数的单调性的理解与认识㊂一㊁判断指数函数的单调性例1 已知f x=a -b2x +1是R 上的奇函数,且f 1 =13㊂(1)求f (x )的解析式㊂(2)判断函数f (x )的单调性,并根据定义证明㊂(1)已知f x=a -b2x +1是R 上的奇函数,且f 1 =13,所以f0 =a -b 2=0,f1 =a -b 3=13,解得a =1,b =2,所以函数fx =1-22x +1㊂(2)根据指数函数的单调性可判断fx =1-22x +1是R 上的增函数㊂下面用定义证明单调性㊂设x 1,x 2是R 上任意给定的两个实数,且x 1<x 2,则f x 1 -f x 2=1-22x 1+1-1-22x 2+1=2(2x 1-2x2)2x 1+1 ㊃2x 2+1㊂因为x 1<x 2,所以2x 2>2x 1,2x 1+1>0,2x2+1>0,所以f (x 1)-f (x 2)<0,即f x 1 <fx 2 ,所以函数y =f x 在R 上是单调递增函数㊂指数函数的单调性与底数a 的大小有关,当0<a <1时,指数函数单调递减;当a >1时,指数函数单调递增㊂指数函数单调性的证明,可借助函数单调性的定义进行证明㊂练习1:设函数f x =12x-2x,则fx ( )㊂A .是偶函数,且在0,+ɕ 上单调递增B .是偶函数,且在0,+ɕ 上单调递减C .是奇函数,且在0,+ɕ 上单调递增D .是奇函数,且在0,+ɕ 上单调递减提示:函数f x=12x-2x=2-x-2x的定义域为R ㊂由f -x=2x -2-x =-(2-x -2x)=-f (x ),可知函数f x 为奇函数㊂因为y =12x为减函数,y =-2x为减函数,又函数f x=12x-2x=12x+(-2x),所以f x是定义在R 上的减函数㊂故f x 是奇函数,且是R 上的减函数㊂应选D ㊂二㊁判断指数型复合函数的单调性例2 函数f (x )=122x 2-3x +1的单调递减区间为( )㊂A.(1,+ɕ) B .-ɕ,34C .-ɕ,1D .34,+ɕ因为函数u =2x 2-3x +1的对称轴为x =34,在区间-ɕ,34 上单调递减,在区间34,+ɕ 上单调递增,函数y =12 u在定义域内是单调递减函数,所以根据复合函数单调性的 同增异减 法则得函数f (x )=122x 2-3x +1的单调递减区间为34,+ɕ㊂应选D㊂指数型复合函数单调性的判断,可利用基本初等函数91知识结构与拓展高一数学 2022年11月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.的单调性,结合 同增异减 法则进行判断㊂练习2:函数y =12-x2+2x的单调递增区间是( )㊂A.[-1,+ɕ)B .(-ɕ,-1]C .[1,+ɕ)D .(-ɕ,1]提示:令t =-x 2+2x ,则y =12t㊂因为t =-x 2+2x 在(-ɕ,1]上单调递增,在[1,+ɕ)上单调递减,又y =12t在定义域内为减函数,所以由复合函数的单调性得y =12-x 2+2x 在(-ɕ,1]上单调递减,在[1,+ɕ)上单调递增㊂应选C ㊂三㊁利用指数函数的单调性求参数的取值范围例3 已知函数f (x )=12x 2-2x +5在a ,+ɕ 上单调递减,则实数a 的取值范围是( )㊂A.[1,+ɕ)B .(-ɕ,1]C .(1,+ɕ)D .(-ɕ,1)令g x=x 2-2x +5,可知其图像的开口向上,且对称轴为x =1,所以函数g x 在(-ɕ,1]上单调递减,在[1,+ɕ)上单调递增㊂指数函数y =12g (x )在定义域上单调递减,结合复合函数的单调性法则得函数f x 在(-ɕ,1]上单调递增,在[1,+ɕ)上单调递减㊂又函数f (x )在a ,+ɕ 上单调递减,所以a ȡ1,即实数a 的取值范围是[1,+ɕ)㊂应选A㊂由指数型函数的单调性求参数的取值范围,仍然是利用基本初等函数的单调性,结合 同增异减 法则进行求解㊂练习3:已知函数f x=a x,x ȡ1,1-3a x +53,x <1在R 上单调递减,则实数a 的取值范围是( )㊂A .13,23B .1,2C .13,12D .0,23提示:因为f x在R 上单调递减,所以0<a <1,1-3a <0,1-3a +53ȡa ,解得13<a ɤ23,即实数a 的取值范围是13,23 ㊂应选A ㊂四㊁根据指数函数的单调性解不等式例4 设f x是定义在R 上的偶函数,且当x ɤ0时,f x=2-x,若对任意的x ɪm ,m +1 ,不等式f x ȡf 2x -m 恒成立,则正数m 的取值范围为( )㊂A .m ȡ1B .m >1C .0<m <1D .0<m ɤ1因为函数f x是定义在R 上的偶函数,且当x ɤ0时,fx =2-x,所以当x ȡ0时,-x ɤ0,f x =f-x =2x㊂所以对任意的x ɪR ,fx =2x㊂对任意的x ɪm ,m +1 ,不等式f x ȡf 2x -m 恒成立,即2xȡ22x -m,也即x ȡ2x -m 对任意的x ɪm ,m +1 恒成立,且m 为正数㊂由此可得,x ȡ2x -m ,所以x ɤ2m ,所以m +1ɤ2m ,可得m ȡ1㊂应选A㊂根据指数函数的单调性解不等式,先要掌握指数函数的相关性质,再利用单调性转化为具体的不等式进行求解㊂练习4:设函数f x=2x -2-x +x 3,则使得不等式f 2x -1 +f 3 <0成立的实数x 的取值范围是㊂提示:函数f x的定义域为R ,满足f-x =2-x -2x -x 3=-f x ,可知函数fx 是奇函数㊂由解析式知函数f x 是增函数,原不等式可化为f 2x -1 <f -3 ,所以2x -1<-3,解得x <-1,即实数x 的取值范围是-ɕ,-1㊂作者单位:江苏省盐城市时杨中学(责任编辑 郭正华)2 知识结构与拓展 高一数学 2022年11月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
例说指数函数单调性的应用
ʏ向正银指数函数y =a x(a >0,且a ʂ1)是高中数学重点研究的基本初等函数之一,也是高考重点考查的知识点㊂指数函数的单调性应用很广泛,下面就四个方面的应用进行举例分析㊂一㊁利用指数函数的单调性比较大小例1 设y 1=12-2023,y 2=160.25,y 3=4-0.9,则y 1,y 2,y 3的大小关系是㊂因为y 1=12-2023=22023,y 2=160.25=21,y 3=4-0.9=2-1.8,又函数y =2x是R 上的增函数,-1.8<1<2023,所以y 1>y 2>y 3㊂评注:把y 1,y 2,y 3化成同底数幂的形式,再根据指数函数y =2x的单调性比较大小㊂二㊁利用指数函数的单调性解不等式例2 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x >0时,f (x )=1-2-x,则不等式f (x )<-12的解集是( )㊂A.(-ɕ,-1) B .(-ɕ,-1]C .(1,+ɕ)D .[1,+ɕ)因为f (1)=1-2-1=12,又函数f (x )为奇函数,所以f (-1)=-f (1)=-12,所以不等式f (x )<-12等价于f (x )<f (-1)㊂当x >0时,f (x )=1-2-x =1-12x单调递增,且0<f (x )<1,所以f (x )在(-ɕ,0)上单调递增㊂由f (x )<f (-1),可得x <-1,所以不等式f (x )<-12的解集为(-ɕ,-1)㊂应选A ㊂评注:奇函数在对称的区间上具有相同的单调性㊂三㊁利用指数函数的单调性求参数的值例3 函数y =a x(a >0,且a ʂ1)在[0,1]上的最大值与最小值的和为3,则a 等于( )㊂A.12 B .2 C .4 D .14当a >1时,y =a x为单调递增函数,所以y =a x在[0,1]上的最值分别为y m a x =a 1=a ,y m i n =a 0=1,所以a +1=3,即a =2㊂当0<a <1时,y =a x为单调递减函数,所以y =a x在[0,1]上的最值分别为y m a x =a 0=1,y m i n =a 1=a ,所以a +1=3,即a =2,与0<a <1矛盾,舍去㊂应选B ㊂评注:函数y =a x(a >0,且a ʂ1)的单调性与a 的取值范围有关,需要对a 分情况讨论㊂四㊁利用指数函数的单调性求参数的范围例4 若函数f (x )=2x -4x-m 在区间[-1,1]上存在零点,则实数m 的取值范围为㊂因为f (x )=2x -4x-m 在区间[-1,1]上存在零点,所以g (x )=2x -4x与y =m 在[-1,1]上有交点,即方程m =2x -4x有解㊂因为函数y =2x 在[-1,1]上单调递增,所以2xɪ12,2㊂设u =2x,u ɪ12,2,则函数g (x )等价于h (u )=u -u 2=-u -12 2+14,所以h (u )ɪ-2,14㊂要使g (x )=2x-4x与y =m 在[-1,1]上有交点,则实数m 的取值范围为-2,14㊂评注:根据函数的零点定义,问题转化为函数g (x )=2x -4x与y =m 的图像在[-1,1]上有交点,求出g (x )的值域,即h (u )的值域,可得实数m 的取值范围㊂作者单位:湖北省兴山县第一中学(责任编辑 郭正华)9知识结构与拓展高一数学 2023年11月。
指数函数与对数函数的增减性与单调性
指数函数与对数函数的增减性与单调性指数函数和对数函数是高中数学中重要的函数概念，它们在数学中具有广泛的应用。
本文将讨论指数函数和对数函数的增减性与单调性。
一、指数函数的增减性与单调性指数函数的一般形式为y = a^x，其中a为一个正实数且不等于1。
我们来讨论指数函数的增减性和单调性。
1. 增减性当a>1时，指数函数是递增的，也就是随着x的增大，y的值也增大。
例如，当a=2时，y = 2^x 的函数图像是一个递增的曲线。
当0<a<1时，指数函数是递减的，也就是随着x的增大，y的值减小。
例如，当a=0.5时，y = 0.5^x 的函数图像是一个递减的曲线。
2. 单调性指数函数在其定义域内是严格单调的，即要么递增要么递减，不存在局部最大值或最小值。
当a>1时，指数函数是严格递增的；当0<a<1时，指数函数是严格递减的。
二、对数函数的增减性与单调性对数函数的一般形式为y = loga(x)，其中a为一个大于0且不等于1的实数。
我们来讨论对数函数的增减性和单调性。
1. 增减性对数函数是递增的，也就是随着x的增大，y的值也增大。
例如，y = log2(x) 的函数图像是一个递增的曲线。
2. 单调性对数函数在其定义域内是严格单调的，即要么递增要么递减，不存在局部最大值或最小值。
对数函数是严格递增的。
综上所述，指数函数和对数函数都具有一定的增减性和单调性。
指数函数的增减性和单调性与底数的大小关系密切相关，而对数函数则始终是严格递增的。
需要注意的是，在具体计算中，我们还可以利用导数的性质来判断指数函数和对数函数的增减性和单调性。
导数的正负可以直接反映函数的增减性，导数大于零表示函数递增，导数小于零表示函数递减。
在解决实际问题时，了解指数函数和对数函数的增减性和单调性是十分重要的。
例如，我们可以利用指数函数和对数函数的性质来求解方程、不等式，解决复利、利润、生长和衰减等实际问题。
《指数函数》单调性的应用
《指数函数》单调性的应用指数函数y=a x (a>0,a≠1),当a>1时，在R 上是增函数；当0<a<1时，在R 上是减函数。
指数函数的单调性在数学解题中有着较为广泛的应用，举例如下。
一、比较大小例1. 已知（x 2+x+2)M > x 2+x+2)N ,比较M 与N 的大小。
分析：（x 2+x+2)M 与 x 2+x+2)N 底数相同，比较M 与N 的大小，关键是判断底数与1的大小关系。
解：因为x 2+x+2=（x+12 )2+74 ≥74 >1,所以函数f(t)= (x 2+x+2)t 在R 上是增函数，因为（x 2+x+2)M > x 2+x+2)N ,所以M>N 。
注：利用指数函数单调性比较两数的大小，如果两个数底不同数应首先化成同底的指数值，再利用指数函数的单调性求解。
二、求函数的定义域例2.函数y=42-x 的定义域是分析：要使函数有意义，只需被开方的部分大于零。
解：要使函数的意义，只需2242=>x 。
因为函数y=在R 上是增函数，所以只需x ≥2，即函数定义域为{x│x≥2}。
注：此法主要用于解决使函数有意义的式子是含有指数幂的不等式的问题。
三、求函数的最值（值域）例3.求函数y=2x -6x+1712⎛⎫⎪⎝⎭的最大值。
分析：这是由指数函数参与构成的复合函数，应根据复合函数的单调性规律求解。
解：因为函数的定义域为R ，设u=2x -6x+17,因为函数y=12u⎛⎫⎪⎝⎭在R 上是减函数，所以要求函数y=2x -6x+1712⎛⎫⎪⎝⎭的最大值，只需求出u=2x -6x+17的最小值，u=2x-6x+17=（x-3)2+8≥8，所以函数y=2x-6x+1712⎛⎫⎪⎝⎭的最大值为812⎛⎫⎪⎝⎭=1256.注：此法主要用于处理含有指数函数的复合函数的最值（值域）。
四、求参数的值（范围）例4.是否存在实数a(a>0,且a≠1)，使函数f(x)= 在区间[2，4]上是增函数？如果存在，求出a的范围；如果不存在，请说明理由。
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形如y ax (a 0且a 1)的函数 叫做指数函数, 它的定义域为R
指数函数
的图像及性质
a>1
0<a<1
图
y
y=ax
(a>1)
y=ax
y
(0<a<1)
(0,1)
y=1
象 y=1
(0,1)
当 x > 0 时，y > 01.
x
当 x < 0 时0，y > 1； x
定 义 域 : R 当 x < 0 时，. 0< y < 1
由ax2 a2x可知 x2 2x
即x2 2x 0 x ,0 U2,
（2）当0 a 1时，以a为底的指数函数在R上是减函数
由ax2 a2x可知 x2 2x
即x2 2x 0 x 0, 2
综上所述：当 a 1 时，x ，0 U2， 当0 a 1时, x 0, 2
解：1 (1)x 0 3
Q 0 1 1 3
(1)x 1 3
(1)x (1)0 33
以1 为底的指数函数在R上是减函数 3
x 0
该函数的定义域为0,
例3 求下列函数的值域：
(1)
y
1 2
x
(x 1)
解：Q 当y x121x 在时R上0是减 函12 数x
练习2:右图曲线是下列指数函数的图像
①y a x ②y b x③y c x④y d x
判断a、b、c、d、1这五个数的大小。
答案： b<a<1<d<c
y ②
①
③ ④
x 0
例1 解不等式ax2 a2x a 0且a 1
解：（1）当a 1时，以a为底的指数函数在R上是增函数
[例9]函数y a2x 2ax 1a 0且a 1在区间
1，1上的最大值为14，求实数a的值
解：令ax t
则a2x ax 2 t2
3或
1 3
于是y t2 2t 1 t 12 2
下面求t ax, x 1，1的范围
练习 求函数y ax1 3a 0且a 1
的图像经过的定点坐标
解法一：利用a0 1
令x 1 0，则ax1 1
于是x 1, y 4
图像经过的定点坐标为1，4
解法二：利用图像
y ax y ax1 y ax1 3
0，1 1，1 1，4
为减函数
原函数的增区间为 ，1 原函数的减区间为1，
当x 1时，原函数为增函数
当x 1时，原函数为减函数
例6 作出下列函数的图像
1 y 2x1 3
2
y
1 2
|x1|
3 y 2x1 1
注意பைடு நூலகம்渐近线随着图像的平移也要跟着平移
1 x
1
1 2
1
1 3x
1
1
2
3x 1 3x
1 2
f
x
f
x
1 3x 3x 1
1
0
f x f x
f x是奇函数
练习 若函数f
x
2 3x 1
m是奇函数，求实数m的值
解：函数f x的定义域为，0 U0，
Q y 3t 在R上是增函数
当t 1时 0 3t 31
0 y 3
该函数的值域为0，3
练习 求下列函数的值域：
1
（1）y 2 x1
(2)
y
1 2
x1
(3)
y
1 2
x2
2x
解：（1）令t 1 ,则y 2t ,t 0
x 1
0，1 U1，
（2）令t
x
0，1
1,
则y
1 2
t
,
t
0
（3）令t
x2 2x
0，2
x
12
1, 则y
1 2
t
,
t
1
例4 判断函数f
x
1 3x 1
1 的奇偶性 2
解：3x 1 0 3x 1 x 0
当 x > 0 时， 0< y < 1。
性
值 域: ( 0,+ ∞ )
恒 过 点： ( 0 , 1 ) ,即 x = 0 时, y = 1 .
质 在 R 上是单调 增函数 在 R 上是单调 减函数
深入探究，加深理解
y
y 1 x 2
y 1 x 3
在第一象限 沿箭头方向
练习函数y 2 x3 在区间m, m 1上递增
求实数m的取值范围 3，
解：可画出函数y 2 x3的图像
y 2 x3
y
右移3个单位
2 x 偶函数
x 0时，y 2x
1个 练习
求方程
1 2
x
2
x 3的实根个数
1 3
x
2a 3 成立 5a
根据x
0，利用指数函数的单调性求出
1 3
x
的范围
从而可得到一个关于a的不等式，解之，即可求出a的范围
例8已知函数y
a 2x 1是定义在R上的奇函数 2x 1
（1）求a的值（2）求f x的值域（3）判断f x的单调性
分a 1和0 a 1两种情况
作业： 练习册4.2A组5，6，7 练习册4.2B组1,2,3,4 试卷4.4复习与小结（12题不做） 订正4.2指数函数的图像和性质（1）（2）
y ax 1
x轴上方的图象不变，下方的翻上去
y ax 1
下移1个单位
y ax分a 1和0 a 1两种情况
练习已知函数y ax b 1a 0且a 1的图象
不经过第一象限，求a _______ , b _______
解：y ax b 1
小结：同底的指数不等式a f x agx的解法：
（1）当 a 1 时，a f x agx f x g x
（2）当0 a 1时，a f x agx f x g x
例2 求函数y
1 (1)x的定义域 3
1
1
2
0 y 2 该函数的值域为0,2
小结:只要求出指数的范围,就可利用指数
函数的单调性或图像求出幂的范围
注意:幂值>0
(2) y 3x2 2x
解：设 x2 2x t Q xR
t x2 2x x 12 1 1
于是原函数化为 y 3t ,t 1
1 2
2x 3
x2
2x3
的单调区间
则y
1 2
t
二次函数
指数函数
Q t x2 2x 3开口向上，对称轴x 1
当x 1时，t x2 2x 3为减函数
当x 1时，t x2 2x 3为增函数
又y
1 2
t
底增大
y 3x y 2x
底互为倒数的 两个函数图像 关于y轴对称
1
y 1 x
2
0 y 1 x
x
3
练习1:用“<”和“>”填空
(1)若1.7a 1.7b，则a __<__ b
(2)若(1)m (0.125)n，则m __<__ n 8
3
(3)若a 4 1，则a __>__1
2 3x 1
2m
0
2 2m 0 m 1
23x 2 2m 0 1 3x
23x 1
2m 0
1 3x
y f u
增 减 增 减
u g x y f g x
增
增
减
增
减
减
增
减
同增异减
例5 求函数y 解：令t x2
f x的定义域为，0 U0，
关于原点对称
Q f 1 1，f 1 1
f 1与f 1互为相反数
猜想f x与f x可能互为相反数
只须计算f x f x是否为0即可
Q
f
x
1 3x
1
1 2
f
x
3
解：该方程的实根是函数y=
1 2
x
的图像
2 指数函数
与函数y= x3的图像交点的横坐标
幂函数
练习 若关于x的方程 ax 1 2a有两个不等实根
求实数a的取值范围 解：由已知，得函数y ax 1的图象
0，1 2
与函数y 2a的图象有两个不同的交点
Q 函数f x是奇函数 对任意x ，0 U0， ，都有
f x f x 即f x f x 0
3
2 x
1
m
2 3x
1
m