高等代数1-答案
高等代数习题答案
《高等代数》习题答案一、1、存在多项式()()()()()()1,=+x v x g x u x f x v x u 使得与2、()()x f x f '和互质3、()()的重因式为x f x p4、05、1，-26、()k n n --121 7、3 8、- 48 9、相 10、相11、1或2（有非零解） 12、()()A r A r = 13、无 14、12 15、9816、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0001 17、E 18、()2222121,,r n Z Z Z x x x f ++= 19、()22122121,,r p p n Z Z Z Z x x x f --++=+ 20、大于零21、α为非零向量，α不能由β线性表出 22、无 23、关于V 的加法和数乘封闭 24、对于 V 中任意向量α、β和数域P 中任意数K 都有()()()βαβαA A A +=+和()()ααkA k A = 25、相似 26、线性无关的27、线性变量A 在数域P 中有个互异的特征的值 28、1 29、T A ，1 30、线性无关的 31、正交矩阵二、1、1）()()7422+--x x x 有理根22）()()333122+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x x 有理根31,2-2、()()()n mx x n mx x n mx x x ---++=++-2342211=b ax x x x +++-23463 由7,37,3-==⇒=-=b a n m3、1）0211211211=+++→cba2)31131031605510019182402113------→9532001235250019182402113-----→409201235250019182402113=-----→3)1103100321011111033100321011111993952032101111=→→→4)()()()xaan x a x an x a a an x111-+-+-+→()[]a n x 1-+=xaa x a a111→()[]a n x 1-+ax a x a a --001=()[]()11---+n a x a n x5)n n y x +6)nna a a a a1001010011110---→nn a a a a a a 211011⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=4、1）系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---11178424633542 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→572527003542 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→000570005442通解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-===-=24231221157522t x t x t x t t x 则基础解系[]⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==57,1,0,520,0,1,221x x2)系数矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----7931181332111511⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→0000004720123018144472047201511通解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=--=241321221122723t x t x t t x t t x 则基础解系为[]⎪⎩⎪⎨⎧--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1,0,2,10,1,27,2321x x5、1）扩展矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----112131111202121⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→00000151505205301151501515002121通解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+===+=21423122151515352t t x t x t x t x 令21,t t 为0，则特解⎥⎦⎤⎢⎣⎡=51,0,0,520x通解⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=511053101051005221t t x , 21,t t 为任意常数2）扩展矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---787695754636323⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------→0000015100090232102001510036323通解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==+=24231221151332t x t x t x t t x 令21,t t 为0，则特解[]0,1,0,00=x通解⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=150300132010021t t x , 21,t t 为任意常数6、扩展矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------11111111112111111111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→00220020201220011111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→022********220011111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→02200020*******11111 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=--=-=+++022022141434244321x x x x x x x x x ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=-===⇒414141454321x x x x则432141414145ααααβ--+=5、因四元非齐次线性方程组的系数矩阵秩为3， 则通解形式为110x t x x +=则通解为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=432154321t x ， 1t 为任意常数6、()()A A x A x A 122--=⇒=-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1111221124100111032100111011x ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡411010103⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----=3222352257、1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-1012010411001210⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→1012001210010411⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→1283001210010411⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→2112311240101120011232001210011201则逆矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----21123124112 2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--1243012210011101101201221000111110111010012001111 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→3132341032313201031313100112430323132010313131001，则逆矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----3132343231323131318、原式=()1123---AA A 3421322123111=⎪⎭⎫⎝⎛⋅=⋅-=--A9、⎥⎦⎤⎢⎣⎡22211211X X X X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡00CA ⎥⎦⎤⎢⎣⎡==A X CX A X CX E 21221112⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====⇒--112121221100C A AX X X 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=---00111ACX10、1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----524212425，,011225,05>=>01524212425>=---- 正定 2）064320222210,02422210,010,3020222210<-=-<-=->⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡- 不正定11、0545212111,0111,01,521211122>--=-->-=>⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--t t t tt t t t t则054<<-t12、1）031610213510610213112311213≠-=---→---→----03321021112210211131021211≠=-→--→，故为3P 的两组基 2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----173510101610211213131112021311211213⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→0721010161031280313、⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----00000110201000003306031155033033311341335512333则基为[][]3,3,1,34,5,2,3---与, 维数为214、1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-001010100,0010101001M M=-AM M 1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡131211232221333231a a a a a a a a a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111213212223313233a a a a a a a a a2) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-10010001,11000011k M k M=-AM M 1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333231232221131211111a a a a k a k a k a a a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10010001k ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=33323123222113121111a ka a a k a a k a ka a3)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-100011001,100110011M M=-AM M 1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+-+-333231231322122111131211a a a a a a a a a a a a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10011001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++-+-++--+=33323231231322122221121113121211a a a a a a a a a a a a a a a a15、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10010001 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=111101011B ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-121011101则=B 110010001-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--111101011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-121011101⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=21122011016、1）()()215122212221+-=---------=-λλλλλλA E 特征值1,521-==λλ（二重）51=λ代入()01=-X A E λ得基础解系[],1,1,11=X 特征向量为321εεε++12-=λ代入()02=-X A E λ得基础解系[][]1,1,0,1,0,132-=-=X X特征向量为3231εεεε--和由3dim dim dim 21P w w =+λλ知可对角化。
高等代数与解析几何1~4章习题答案(DOC)
高代与解几第二章自测题（一）——行列式一、 判断题1. 一个排列施行一次对换后，其逆序数改变1.（ × ）2. 一个排列施行一次对换后，其奇偶性改变.（ √ ）3. 2≥n 时，n 级的奇排列共2!n 个. （ √ ） 二、填空题1. 排列)15342( 的逆序数是 5 ，它是一个 奇 排列. 排列 2)22)(2)(12(13 --n n n 的逆序数是 n (n －1) .2. 设行列式ijn nD a ⨯=,则n n A a A a A a 1112121111...+++= D ，n n A a A a A a 5152125111...+++= 0 .3. 行列式D ＝x x x x x x 2213321232321--的展开式中4x 的系数是 -4 ，常数项是 -18 .4. 排列821j j j 的逆序数是9，则排列 178j j j 的逆序数是 19 .5. 设82718491423123267----=D ，则14131211M M M M -+-= 240 .二、证明题3. nn D n 20012000302202002210002----=（提示：逐行向下叠加得上三角形行列式）4. nD n 222232222222221=（提示：爪型行列式）高代与解几第二章自测题（二）——矩阵，线性方程组一、 判断题1. 如果矩阵A 有r 阶子式大于零,那么r A rank >)(.（ ×）2. 如果矩阵A 没有非零子式，那么0)(=A rank .（√ ）3. 如果矩阵A 的r 阶子式都等于零,那么r A rank <)(.（ √）4. 初等变换不改变矩阵的秩.（√ ）5. 若n 元线性方程组有2个解，则其增广矩阵的秩小于n .（√ ） 三、填空题1. 54⨯矩阵A 的秩为2， 则A 的标准形为___⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000000000001000001____________. 2 若n 元线性齐次方程组仅有零解，则其系数矩阵的秩为 n .三、计算与证明题1. 求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=++++=-++=++++04523,05734,03,02543254321543154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的一般解. 解：对这个齐次线性方程组的系数矩阵施行行初等变换，得A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-45230573411110312111→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----45230452304523012111→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000000343532103131310100000000004523012111 取543,,x x x 为自由未知量，得其一般解为：……2. 解线性方程组12341234123421,4222,2 1.x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪+-+=⎨⎪+--=⎩解 方程组的增广矩阵为：B =⎢⎢⎢⎣⎡112224112--- 111- 121⎥⎥⎥⎦⎤，….……………………………….. 2分 对B 做行初等变换：B =⎢⎢⎢⎣⎡211000010000- 100⎥⎥⎥⎦⎤，…………………………….....…… 6分 从而得方程组的解为……3. 设n a a a ,,,21 是数域K 中互不相同的数，n b b b ,,,21 是数域K 中任一组给定的数，证明：有唯一的数域K 上的多项式()112210--++++=n n x c x c x c c x f 使()i i b a f =,.,...,2,1n i =证明:要证有唯一的数域K 上的多项式()112210--++++=n n x c x c x c c x f 使()i i b a f =()n i ,,2,1 =,即要证有唯的一组数1210,...,,,-n c c c c ,使得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++==++++==++++=------n n n n n n n n n n n b a c a c a c c a f b a c a c a c c a f b a c a c a c c a f 112210212122221021111221101...)(......)(...)(1 …… (2分)即证方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++------n n n n n n n n n n b x a x a x a x b x a x a x a x b x a x a x a x 1122102112222120111122110............1 …… (4分) 有唯一一组解.而此方程组的方程个数与未知数个数相等.其系数行列式121323312222112111111----=n nn nn n n a a a a a a a a a a a a D……(5分) T D 是范德蒙德行列式,由范德蒙德行列式的结论知,∑≤<≤-==nj i i jT a aD D 1)( ……(7分)又n a a a ,,,21 是数域K 中互不相同的数,故0≠D ,由克莱姆法则知,上述方程组有唯一一组解.得证. …… (10分)4. 设n a a a ,...,,21是互不相同的数，b 是任意数，证明线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++----11212111221121......1...n n n n n n n n n bx a x a x a b x a x a x a x x x 只有唯一解，并求出这个解.证明:观察知此方程组的未知量个数与方程个数相等，其系数行列式D =1121121111---n nn n na a a a a a是n 阶范德蒙德行列式 …… (4分) 因此，D =∏≤<≤-ni j j ia a1)(，由于n a a a ,...,,21是互不相同的数，所以0≠D ，根据克莱姆法则知此线性方程组只有唯一解, n k DD x kk ,...,2,1,==,其中k D 是将系数行列式D 的第k 列换成 T n b b b ),...,,,1(12-， …… (7分)显然k D 依然是n 阶范德蒙德行列式，且k D 的值只是将D 的值中k a 的地方换成b ，因此n k a a a a a a a a a b a b b a b a x k k k k k k n k k n k ,...,2,1,))...()()...(())...()()...((111111=--------=-+-+ (10分)5. 假设有齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,0,02,0321321321 x x x p x x x x x x当p 为何值时，方程组仅有零解？又在何时有非零解？在有非零解时，求出其一般解。
高等代数习题北大第四版答案一到四章
从 而 ( f ( x), g( x))h( x) 是 f (x)h(x) 与 g( x)h( x) 的 一 个 最 大 公 因 式 ， 又 因 为
( f (x), g( x)) h( x) 的首项系数为１，所以 ( f (x)h(x), g(x)h(x)) = ( f ( x), g( x))h( x) 。
u1(x) f (x) + v1(x)g (x) = 1
（1）
u2 (x) f (x) + v2 (x)h(x) = 1
将（1）（2）两式相乘，得
（2）
[u1(x)u2(x) f (x) + v1(x)u2(x)g (x) + u1(x)v2(x)h(x)] f ( x) ， +[v1(x)v2 (x)]g( x)h( x) = 1 所以 ( f ( x), g( x) h( x)) =1 。
即[u(x) − v(x)] f ( x) + v( x)[ f ( x) + g( x)] = 1 ，
所以 ( f (x), f ( x) + g( x)) =1。
同理 ( g( x), f ( x) + g( x)) =1 。
再由 12 题结论，即证 ( f ( x) g( x), f ( x) + g( x)) =1。
2） f (x) = x3 − x2 − x, g( x) = x −1 + 2i 。
q(x) = 2x4 − 6x3 +13x2 − 39x +109
解 1）
；
r (x) = −327
2） q(x) = x2 − 2ix − (5 + 2i ) 。 r (x) = −9 + 8i
高等代数第一章答案(多项式)
若()()()x m x l x h +=，且()()x m x p |，()()x l x p |/，则()()x h x p |/。
证法1： 由()()x m x p |/有 ()()()x p x m x m 1=。
由()()x l x p |/有()()()()()0,1≠+=x r x r x p x l x l 。
于是 ()()()()()()()()x r x p x l x m x m x l x h ++=+=11。
因()0≠x r ，故()()x h x p |/。
证明2：用反证法。
若()()x h x p |，即()()()()x m x l x p +|， 又()()x m x p |，故()()()()()x m x m x l x p -+|，即()()x l x p |，矛盾。
问：若()()()()x g x h x f x h |,|//， 则()()()()x g x f x h +|成立吗？试举例说明。
答：不一定。
例如 ()()()1,1,+=-==x x g x x f x x h ，则()()()()x g x h x f x h |,|//，但()()()()x g x f x h +|。
例如 ()()()2,1,+=-==x x g x x f x x h ， 则()()()()x g x h x f x h |,|//，且()()()()x g x f x h +/|。
例 求m l ,， 使()2523+++=x lx x x f 能被()12++=mx x x g 整除。
解法1：因()()3=∂x f ，()()2=∂x g ，故商()x q 满足()()1=∂x q ，且设()p x x q +=，则由 ()()()x g x q x f =，可得()()p x pm x p m x x lx x +++++=+++1252323，l m p pm p =+=+=,51,2，从而 4,2,2===l m p 。
高等代数(第四版)习题答案 王萼芳、石生明
3． 一元多项式的因式分解理论：主要讨论不可约多项式的基本概念与基本性质、因 式分解及其唯一性定理、三个特殊数域上的多项式分解。
4． 一元多项式的根与重根：主要讨论重因式的定义与性质、多项式的根、多项式根 的个数定理。
多元多项式则主要讨论多元多项式的基本概念、字典排列法与对称多项式。
（二）重难点归纳 本章的重点为一元多项式的概念，因式分解理论，多项式的根和对称多项式；难点为最大
解 1）由带余除法，可得 q(x) = 1 x − 7 , r(x) = − 26 x − 2
39
99
2）同理可得 q(x) = x2 + x −1, r(x) = −5x + 7
2． m, p, q 适合什么条件时，有 1） x 2 + mx −1 | x3 + px + q
高等代数答案(王萼芳,石生明)
y 3 + (a 3 + 3ab − 3c) y 2 + (b3 − 3abc + 3c 2 ) y + c3 = 0
二 、 习题精解
1． 用 g(x) 除 f (x) ，求商 q(x) 与余式 r(x) ： 1） f (x) = x3 − 3x 2 − x −1, g (x) = 3x 2 − 2x + 1 2） f (x) = x 4 − 2x + 5, g (x) = x 2 − x + 2
解
1）由带余除法，可得 q(x)
=
1x−
7 , r(x)
=
26 −
x−
2
39
99
2）同理可得 q(x) = x 2 + x −1, r(x) = −5x + 7
2． m, p, q 适合什么条件时，有 1） x 2 + mx −1 | x3 + px + q
2） x 2 + mx +1 | x 4 + px 2 + q
综上所诉，当
⎧ m=0
⎨ ⎩
p
=
q
+
1
时，皆有
⎧ q =1
或
⎨ ⎩
p
+
m
2
=
高等代数知到章节答案智慧树2023年山东建筑大学
高等代数知到章节测试答案智慧树2023年最新山东建筑大学第一章测试1.能整除任意多项式的是（）。
参考答案:零次多项式2.若则。
（）参考答案:对3.如果，则是的（）重因式。
参考答案:各选项都不正确4.如果，则是的（）重根。
参考答案:5.如果有理数域上的多项式没有有理根，则一定是不可约多项式。
（）参考答案:错第二章测试1.（）。
参考答案:2.排列的逆序数为（）。
参考答案:3.行列式（）。
参考答案:4.行列式（）。
参考答案:5.行列式则（）。
参考答案:第三章测试1.线性方程组有解的必要条件是（）。
参考答案:2.已知有非零解，则的可能取值为（）参考答案:-2;13.设是矩阵，而且的行向量组线性无关，则( ).参考答案:线性方程组的增广矩阵的行向量组线性无关；4.是齐次方程组的基础解系，则此方程组的基础解系还可选为 ( ).参考答案:与等价的向量组；5.由个维向量构成的向量组的秩最大为（）.参考答案:.第四章测试1.设均为n阶矩阵，且，则下列结论成立的是（）参考答案:或；2.设，则。
（）参考答案:对3.如果，则（）。
参考答案:4.设均为n阶矩阵，则下列结论正确的是（）参考答案:。
5.如果n阶矩阵满足，则。
（）参考答案:错第五章测试1.二次型在复数域上的规范形是（）。
参考答案:2.下列哪个矩阵合同于单位矩阵（）。
参考答案:3.下列二次型为正定二次型的是（）。
参考答案:4.若二次型的正惯性指数为3，则（）。
参考答案:5.实二次型为正定的充要条件是（）。
参考答案:存在可逆矩阵，使得第六章测试1.设分别表示线性空间中全体上三角矩阵和全体下三角矩阵作成的子空间，则（）。
参考答案:2.由数域上所有的2行4列矩阵组成的线性空间，则与它同构的线性空间是（）。
参考答案:3.已知3维线性空间的一组向量为：，令，则（）。
参考答案:34.设是齐次线性方程组的解空间，则 ( )。
参考答案:25.已知的两组基分别为与，则由基到基的过渡矩阵是( ).参考答案:第七章测试1.设是数域上的维线性空间的线性变换,则下列结论错误的是（）。
高等代数北大编 第1章习题参考答案
第一章 多项式一 、习题及参考解答1． 用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r ： 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f ； 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 。
解 1）由带余除法，可得92926)(,9731)(--=-=x x r x x q ； 2）同理可得75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q 。
2．q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+32|1， 2）q px x mx x ++++242|1。
解 1）由假设，所得余式为0，即0)()1(2=-+++m q x m p ，所以当⎩⎨⎧=-=++0012m q m p 时有q px x mx x ++-+32|1。
2）类似可得⎩⎨⎧=--+=--010)2(22m p q m p m ，于是当0=m 时，代入（2）可得1+=q p ；而当022=--m p 时，代入（2）可得1=q 。
综上所诉，当⎩⎨⎧+==10q p m 或⎩⎨⎧=+=212m p q 时，皆有q px x mx x ++++242|1。
3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式：1）53()258,()3f x x x x g x x =--=+； 2）32(),()12f x x x x g x x i =--=-+。
解 1）432()261339109()327q x x x x x r x =-+-+=-；2）2()2(52)()98q x x ix i r x i=--+=-+。
4．把()f x 表示成0x x -的方幂和，即表成2010200()()...()n n c c x x c x x c x x +-+-++-+L 的形式：1）50(),1f x x x ==；2）420()23,2f x x x x =-+=-；3）4320()2(1)37,f x x ix i x x i x i =+-+-++=-。
高等代数习题答案
高等代数习题答案《高等代数习题答案》高等代数是数学中的一个重要分支，它研究的是抽象代数结构中的各种性质和规律。
在学习高等代数的过程中，习题是非常重要的一部分，通过解答习题可以加深对知识点的理解和掌握。
下面我们将通过一些高等代数习题的答案来探讨一些代数学中的基本概念和定理。
1. 求解方程组题目：求解线性方程组$$\begin{cases}2x + 3y = 8 \\4x - y = 3\end{cases}$$答案：通过消元法可以得到方程组的解为$x=2$，$y=1$。
2. 矩阵运算题目：计算矩阵乘法$$A = \begin{bmatrix}1 &2 \\3 & 4\end{bmatrix}, \quadB = \begin{bmatrix}5 &6 \\7 & 8\end{bmatrix}$$求$AB$的结果。
答案：$AB = \begin{bmatrix}19 & 22 \\43 & 50\end{bmatrix}$。
3. 多项式求导题目：求多项式$f(x) = 3x^3 + 2x^2 - 5x + 1$的导数。
答案：$f'(x) = 9x^2 + 4x - 5$。
通过以上习题的答案，我们可以看到在高等代数中，求解方程组、矩阵运算和多项式求导等都是非常基础和重要的内容。
掌握了这些基本技能，才能够更好地理解和应用代数学中的定理和概念。
希望大家在学习高等代数的过程中能够多多练习习题，加深对知识点的理解，提高解题能力。
《高等代数》各章习题+参考答案 期末复习用
1A = 1000 ,B = 0001 ,|A +B |=1,|A |=0,|B |=0.|A +B |=|A |+|B |.2A = 0100,A 2=0,A =0.3A (E +A )=E A 4A = 0100 ,B = 1000,AB =0,rank (A )=1,rank (B )=1,A,B 2.1B 2A 3C 4A 5D 6B 7B 8C 9D 10A 11D 12A 13C 14D 15D 16B 17C 18C 19C 20D 21C 22C 23D 24C 25C 26A 27A 28A 1−135,93m ×s,n k =1a jk b ki 4 1b 0001612012001a n1a 20···00...···············000 (1)910411(−1)mn ab12213I n2单元练习：线性方程组部分一、填空题 每空 1分，共 10分1．非齐次线性方程组 AZ = b （A 为 m ×n 矩阵）有唯一解的的充分必要条件是____________。
2．n +1 个 n 维向量，组成的向量组为线性 ____________ 向量组。
3．设向量组 3 2 1 , ,a a a 线性无关，则常数 l , m 满足____________时，向量组 3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a -- - m l 线性无关。
4．设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零， 且 r (A ) = n －1则 Ax = 0 的通解为________。
5．若向量组 3 2 1 , , a a a 线性无关，则向量组 3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a + + + ____________。
高代答案
二 、 习题精解
1． 用 g(x) 除 f (x) ，求商 q(x) 与余式 r(x) ： 1） f (x) = x3 − 3x2 − x −1, g(x) = 3x2 − 2x + 1 2） f (x) = x4 − 2x + 5, g(x) = x2 − x + 2
4．把 f (x) 表示成 x − x0 的方幂和，即表成
c0 + c1(x − x0 ) + c2 (x − x0 )2 + ... + cn (x − x0 )n + ...
解 1）由带余除法，可得 q(x) = 1 x − 7 , r(x) = − 26 x − 2
39
99
2）同理可得 q(x) = x2 + x −1, r(x) = −5x + 7
2． m, p, q 适合什么条件时，有 1） x 2 + mx −1 | x3 + px + q
2） x2 + mx + 1 | x4 + px2 + q
第一章 多项式
多项式理论是高等数学研究的基本对象之一，在整个高等代数课程中既相对独立，又贯 穿其他章节。换句话说，多项式理论的讨论可以不依赖于高等数学的其他内容而自成体系， 却可为其他章节的内容提供范例与理论依据。
本章主要讨论多项式的基本概念与基本性质，包括数域的概念、一元多项式的定义与运算 规律、整除性、因式分解及根等概念。对于多元多项式，则主要讨论字典排列法与对称多项 式。 一 重难点归纳与分析
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本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==高等代数第三版答案篇一：高等代数(北大版)第3章习题参考答案第三章线性方程组1．用消元法解下列线性方程组： ?x1?x?1?1)?x1?x?1??x1?3x2?5x3?4x4?1?3x2?2x3?2x4??2x2?x3?x4?x5?4x2?x3?x4?x5?2x2?x3?x4?x5 ?x1?2x2?3x4?2x5?1x5??1??x1?x2?3x3?x4?3x5?2?3 2)?2x?3x?4x?5x?2x?72345?1?3?9x?9x?6x?16x?2x?252345?1??1x3?x7?0?3x1?4x2?5?x1?2x2?3x3?4x4?44??x3?x2?0?x2?x3?x4??3?2x1?3x2?343)?4)?4x?11x?13x?16x?0x?3x??x?123424?1?1??7x?3x?x??3?7x?2x?x?3x??0234234??1?x1?2x2?3x3?x4?1?2x1?x2?x3?x4?1? 3x1?2x2?x3?x4?1????3x1?2x2?2x3?3x4?2 5)? 6)?2x1?3x2?x3?x4?1?2x?2x?2x?x?1?5x1?x2?x3?2x4??1234?1?2x?x?x?3x?4234?1??5x1?5x2?2x3?2解 1）对方程组得增广矩阵作行初等变换，有?1?1??1??1??1?1?0???0??0??033?2?4201X0?1521112?3?20?1?4?2?11?1?1201X01?1?1101000 1??1???10??3???0??3??0??1???01??1???20??0???0??0??0?0???030?5?7?10000?15?3?4?4?400?200?42358?1201X01?1?11010001???2?2? ?2??2??1???2?0? ?0?0??因为rank(A)?rank(B)?4?5，所以方程组有无穷多解，其同解方程组为?x1?x4?1??2x1?x5??2， ??2x?03???x?x?0?24解得?x1?x?2??x3?x?4??x5?1?k?k?0?k??2?2k其中k为任意常数。
高等代数__课后答案__高等教育出版社
高等代数习题答案（一至四章）第一章 多项式 习题解答1、（1）由带余除法，得17(),39q x x =-262()99r x =--（2）2()1q x x x =+-，()57r x x =-+2、（1）2100p m q m ⎧++=⎨-=⎩ ， （2）由22(2)010m p m q p m ⎧--=⎪⎨+--=⎪⎩得01m p q =⎧⎨=+⎩或212q p m =⎧⎨+=⎩。
3、（1）432()261339109,q x x x x x =-+-+()327r x =- （2）q （x ）=22(52)x ix i --+，()98r x i =--4、（1）有综合除法：2345()15(1)10(1)10(1)5(1)(1)f x x x x x x =+-+-+-+-+- （2）234()1124(2)22(2)8(2)(2)f x x x x x =-+++-+++（3）234()24(75)5()(1)()2()()f x i x i i x i i x i x i =+-++--+-+++5、（1）x+1 （2）1 （3）21x -- 6、（1）u （x ）=-x-1 ，v （x ）=x+2 （2）11()33u x x =-+，222()133v x x x =-- （3）u （x ）=-x-1, 32()32v x x x x =+--7、02u t =⎧⎨=⎩或23u t =-⎧⎨=⎩8、思路：根具定义证明证：易见d （x ）是f （x ）与g （x ）的公因式。
另设()x ϕ是f （x ）与g （x ）的任意公因式，下证()()x d x ϕ。
由于d （x ）是f （x ）与g （x ）的一个组合，这就是说存在多项式s （x ）与t （x ），使 d （x ）=s （x ）f （x ）+t （x ）g （x ）。
从而()()x f x ϕ，()()x g x ϕ，可得()()x d x ϕ。
高等代数第五版习题答案
高等代数第五版习题答案高等代数是一门重要的数学学科，它是数学的基础之一，也是应用数学和理论数学的桥梁。
对于学习高等代数的学生来说，理解和掌握习题的解答方法是非常重要的。
本文将为大家提供《高等代数第五版》习题的答案，帮助大家更好地学习和应用高等代数知识。
第一章：线性方程组和矩阵1. 解答过程略。
2. 解答过程略。
3. 解答过程略。
第二章：线性空间1. 解答过程略。
2. 解答过程略。
3. 解答过程略。
第三章：线性变换和矩阵1. 解答过程略。
2. 解答过程略。
3. 解答过程略。
第四章：特征值和特征向量1. 解答过程略。
2. 解答过程略。
3. 解答过程略。
第五章：正交性和对称矩阵2. 解答过程略。
3. 解答过程略。
第六章：二次型1. 解答过程略。
2. 解答过程略。
3. 解答过程略。
第七章：线性空间的同构1. 解答过程略。
2. 解答过程略。
3. 解答过程略。
第八章：线性空间的直和1. 解答过程略。
2. 解答过程略。
3. 解答过程略。
第九章：线性算子的标准形1. 解答过程略。
2. 解答过程略。
3. 解答过程略。
第十章：线性算子的Jordan标准形1. 解答过程略。
2. 解答过程略。
通过提供习题答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握高等代数的知识。
然而，仅仅依靠习题答案是不够的，学习高等代数还需要进行大量的练习和思考。
在解答习题的过程中，可以尝试不同的方法和思路，培养自己的逻辑思维和问题解决能力。
此外，还可以参考一些相关的数学工具和资源，如数学软件、参考书籍和在线学习平台。
这些资源可以帮助学生更好地理解和应用高等代数的知识，提高学习效果。
总之，高等代数是一门重要的数学学科，掌握其基本概念和解题方法对于学习和应用数学都具有重要意义。
通过提供习题答案，希望能够帮助大家更好地学习和应用高等代数知识。
但记住，理解和掌握知识的过程需要自己的努力和思考，习题答案只是一个辅助工具。
祝愿大家在学习高等代数的道路上取得好成绩！。
高等代数北大版课后答案完整版
高等代数（北大高等代数（北大**第三版）答案第一章多项式1．用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r ：1）123)(,13)(223+−=−−−=x x x g x x x x f ；2）2)(,52)(24+−=+−=x x x g x x x f 。
解1）由带余除法，可得92926)(,9731)(−−=−=x x r x x q ；2）同理可得75)(,1)(2+−=−+=x x r x x x q 。
2．q p m ,,适合什么条件时，有1）q px x mx x ++−+32|1，2）q px x mx x ++++242|1。
解1）由假设，所得余式为0，即0)()1(2=−+++m q x m p ，所以当⎩⎨⎧=−=++012m q m p 时有q px x mx x ++−+32|1。
2）类似可得⎩⎨⎧=−−+=−−010)2(22m p q m p m ，于是当0=m 时，代入（2）可得1+=q p ；而当022=−−m p 时，代入（2）可得1=q 。
综上所诉，当⎩⎨⎧+==1q p m 或⎩⎨⎧=+=212m p q 时，皆有q px x mx x ++++242|1。
3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式：1）53()258,()3f x x x x g x x =−−=+；2）32(),()12f x x x x g x x i =−−=−+。
解1）432()261339109()327q x x x x x r x =−+−+=−；2）2()2(52)()98q x x ix i r x i=−−+=−+。
4．把()f x 表示成0x x −的方幂和，即表成2010200()()...()n n c c x x c x x c x x +−+−++−+⋯的形式：1）50(),1f x x x ==；2）420()23,2f x x x x =−+=−；3）4320()2(1)37,f x x ix i x x i x i =+−+−++=−。
高等代数Ⅰ期中试卷07-08(1-1)答案
i =1 ∞
法 2(加边法)
1 0 0
a a +
1 a −1 x1 −1 0
1 xi
a x1 0
a
∞ ⎛ 1 0 = ⎜1 + a ∑ i =1 xi ⎝
=
0 0
⎞ ⎟ x1 x2 ⎠
xn
xn
四． （10 分）(1)设 A = ⎜
⎛ 1 −2 ⎞ ∗ −1 ⎟ , 求 A 的伴随矩阵 A 和逆矩阵 A . ⎝3 4 ⎠
0 x 0 0
x 0 = x4 , 选 A 0 0
（D） −4 .
x 1 2 2. − 1 x 3 的 x 2 的系数是（ 2 x −1
）.
（A）1;
（B） −1 ;
（C）2;
答案: 含 x 2 的项有 2 项: a11a22 a33 + ( −1) 3.下面说法正确的是（ ）.
τ (132 )
a11a23 a32 = − x 2 − 3 x 2 = −4 x 2 , x 2 的系数是-4, 选 D
2
5 设 A，B，A+B， A （A） A
−1
−1
−1 + B −1 均为 n 阶可逆矩阵，则 （A −1 + B −1） = （ ）. −1 （C） ; （ A + B） −1 （D） A（A + B） B.
+ B −1 ;
（B）A+B;
答案: 一般和的逆不等于逆的和, 答案 A,B 直接排除, 现在验证答案 D 的正确性: 选 D 法 1: A + B
（A）AC=AB ⇒ C=B; （C） ( A − B ) = A2 − 2 AB + B 2 ;
2012级高等代数Ⅰ试题及答案
2012 级高等代数Ⅰ试题及答案一、单项选择题（每小题2分，共10分）1． 下列说法正确的是（）A ． 任何多项式都不整除零多项式B ． 零多项式与任何多项式都互素C ． 零次多项式与任何多项式都互素D ． 零次多项式与零多项式不互素2． 设 (),(),()[] f x g x p x P x Î , 且 () p x 在数域P 上不可约，如果 ) ( ) ( ) ( x g x f x p ，则 一定成立的是 ( )A ． ) ( ) ( x f x p 且 ) ( ) ( x g x pB ． ) ( ) ( x f x p 但 ) ( | ) ( x g x p /C ． ) ( | ) ( x f x p / 且 ) ( | ) ( xg x p / D ． ) ( ) ( x f x p 或 )( ) ( x g x p 3． 设A 和B 都是n 阶方阵，O 表示零矩阵，若AB O = ，则一定成立的是（ ）A ． A 和B 都是可逆矩阵 B ．A O = 或B O =C ． ||0AB = D ．A 可逆，B 不可逆4．已知齐次线性方程组 O X A n m = ´ 只有零解,下列结论一定成立的是（ ）A ． A 的秩为mB ． A 的行秩为nC ． A 的列向量组线性相关D ． A 的行向量组线性无关5． 设A 是n 阶方阵，k 是一个非零常数，若 0 kA = ，则一定成立的是（ ）A ． 0A =B ． A 可逆C ． A 是零矩阵D ． A 的秩等于n二、判断题（每小题2分，共10分）6． 任意多项式都定义有次数．（）7． 任意两个不全为零的多项式都有首项系数是1 的最大公因式．（ ）8． 任意矩阵经过一系列初等行变换总能变成阶梯形矩阵．（ ）9． 任意齐次线性方程组不一定总有解．（）10． 任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价．（）三、填空题（每小题2分，共10分）11． 含有n 个未知量，系数矩阵的秩为r 的齐次线性方程组有非零解，则基础解系所 含解的个数等于____________．12．以纯虚数i 为根的非零实系数多项式中次数最低的首1多项式为_______________． 13． 如果一个 4 阶矩阵的秩为1，那么此矩阵的任意两行．14． 方程个数和未知量个数相等的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列 式_____ _____．15． 多项式 () f x 被x c - 所除得到的余式为．四、计算题（每小题10分，共50分）16． 如果 1 ) 1 ( 2 4 2 ＋ ＋ － Bx Ax x ，求 A ，B ．17． 计算n 阶行列式：n aa a a na a a a na a a a n aaa a D + + + + = 1 3 2 1 3 1 2 1 32 1 13 2 1 1 L M O M M M L LL ．18． 设 1(2,1,2,2,4) a =- ， 2 (1,1,1,0,2) a =- ， 3 (0,1,2,1,1) a =- ， , 1 , 1 , 1 ( 4 - - - = a ), 1 , 1 - 5 (1,2,1,1,1) a = ．试确定向量组 ,,,, 12345 a a a a a 的一个极大线性无关组与秩．19． 用导出组的基础解系表出下列非齐次线性方程组的全部解：31 22461 x y z w x y z w x y z w --+= ì ï-+-= í ï --+=- î． 20． 已知矩阵 100 011 111 A æö ç÷= ç÷ ç÷ - èø， 22 37 22 B æöç÷ =- ç÷ ç÷ èø，若( )A E XB += ，求矩阵X ． 五、证明题（每小题10分，共20分）21． 证明： ) ( | ) ( 2 2 x f x g 当且仅当 ()|() g x f x ．22． 设向量组 ,, 123 a a a 线性无关，向量组 ,, 234 a a a 线性相关，试证： 1 a 不能 由 ,, 234 a a a 线性表示．高等代数Ⅰ参考答案及评分标准一、单项选择题（每小题2分，共10分）1． C2． D 3． C 4． B5． A二、判断题（每小题2分，共10分）6． × 7． √ 8． √ 9． × 10． √三、填空题（每小题2分，共10分）11． rn - 12． 12+ x 13． 线性相关 14． 为零15． )(c f 四、计算题（每小题10分，共50分）16． 解 设 1 ) ( 24＋ ＋Bx Ax x f = ，则 Bx Ax x f 2 4 ) ( 3＋ = ¢ ． （2分）由一次因式和根的关系及重因式知îíì = + = ¢ = + + = 0 2 4 ) 1 ( 0 1 ) 1( B A f B A f ， （8 分） 解得 1 = A ， 2 - = B ．（10 分）17． 解n aaa n a a a naa a n a a a na aa n a a a n aaa n a a a D ncc c c c c + + + + + + + + + + + + + + + + + + + = + + + 1 32 2 1 1 31 2 2 1 1 3 2 1 2 1 1 3 2 2 1 1 131 21 L L M O MM M L L LL L L M （2分）n aaa naa a na aa n a aa na a a na a a c + + + + + + + = + + + + ¸ 1 32 13 1 2 1 3 2 1 1 3 2 1 ) 2 1 1 ( )1 ( 211L M O M M M L LL L L （8 分）na a a na a a c a c c a c c a c n n+ + + + = + + + + = - - - L L M O M M M L L L L M2 1 1 10 0 10 1 0 10 1 10 0 1) 2 1 1 ( 113 3 12 2 ．（10 分） 18． 解 按列拼成矩阵÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ øö ç ç çç ç ç èæ - - - - - - - = ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ 1 11 2 4 1 1 1 0 2 1 1 2 1 2 2 1 1 1 11 1 0 12 ) , , , , ( 5 43 2 1 a a a a a ． （2 分）用行初等变换化简得÷ ÷ ÷÷ ÷÷øöç ç çç ç ç è æ - - - - ® ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 1 3 0 0 0 0 1 1 02 1 1 1 1) , , , , ( 5 4 3 2 1 a a a a a ． （8 分）由初等变换不改变列向量组的线性关系得原向量组的一个极大线性无关组为 3 2 1 , , a a a ，向 量组 ,,,, 12345 a a a a a 的秩为 3．（10 分）19． 解 构造增广矩阵并作行初等变换得÷ ÷÷ ÷ øö ç ç ç ç è æ - - - ® ÷ ÷ ÷ø ö ç ç ç è æ - - - - - - - = 0 0 0 0 0 2 1 2 1 0 0 2 1 1 0 1 1 1 6 4 2 2 1 3 1 1 1 0 1 1 1 1 A ．（2分）得到原线性方程组的一般解为ï î ï í ì + = + + = w z wy x 2 212 1． 令 0 , 0 = = w y ，得原方程组的一个特解 ÷ ÷ ÷ ÷÷ øöç ç ç ç ç è æ = 0 2 1 0 2 1 0 g ．（5 分）对应齐次线性方程组的一般解为î íì = + = w z wy x 2． 令 0 , 1 = = w y ，得 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ = 0 0 1 1 1 h ，令 1 , 0 = = w y ，得 ÷ ÷ ÷ ÷÷ øöç ç ç ç ç è æ = 1 2 0 1 2 h ．（9 分）原方程组的全部解为{} R k k k k Î + + = 2 1 2 21 1 0 ,h h g g ． （10分）20． 解 构造分块矩阵÷ ÷ ÷øöç ç ç è æ - - = + 2 2 2 1 1 7 3 1 2 0 2 2 0 0 2 ) , ( B E A ．（2 分）作初等行变换得÷ ÷ ÷øö ç ç ç è æ - - ® + 1 1 1 0 0 3 1 0 1 0 1 1 0 0 1 ) , ( B E A ．（6 分）由初等变换与初等矩阵的联系知÷ ÷ ÷ øö ç ç ç è æ - - = 1 1 3 1 1 1 X ．（10 分）五、证明题（每小题10分，共20分）21． 证 充分性 若 ()|() g x f x ，则存在多项式 ) (x h ，使得 ) ( ) ( ) ( x h x g x f = ．两端 平方得 ) ( ) ( ) ( 2 2 2 x h x g x f = ，即 ) ( | ) ( 22 x f x g ．（4 分）必要性 若 0 g = ，则 0 f = ，结论成立． 若g 为非零常数，易知结论也成立．若 1 ) ( ³ ¶ g ，由多项式的因式分解定理，设 f g , 标准分解式为12 12 s r r r s g ap p p = L ， 12 12 , sm m m s f bp p p = L i p 是不可约多项式。
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2005-2006-2高等代数(工)(二)-答案
一、C ，B ，B ，A ，B 二、1、2n 2、2
34 3、
1± 4、{ (123), (13)} 5、6
三、1、解：
（4321,,,ηηηη）=（4321,,,εεεε）⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛------22
21112031
11120211100111121211111
=（4321,,,εεεε）⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛01
0011101011
1001
=ξ （4321,,,εεεε）=⎪⎪⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------000111100111121211111
（4321,,,εεεε）⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛--13/313/213/513/3 2、解：
（321,,ηηη）=（321,,εεε）⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--111101
011 A （321,,εεε）=（321,,εεε）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111101011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1210111011
111101011-⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛-- =（321,,εεε）⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛--203022211
四、1、解：
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----00003/73/8109/29/101~000078304523~121633134523 解空间的维数为2，且一组基为)0,1,3/8,9/1(1-=α和)1,0,3/7,9/2(2-=α 2、解：
令044332211=+++ααααx x x x ，可得
0712030211122122143
21=⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---x x x x 得t x t x t x t x =-=-==4321,3,2,(t 任意) 2122112ααααt t x x -=+=)4,3,2,5(---t (t 任意) 故交是一维的，且)4,3,2,5(---是一组基。
五、解：
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=542452222
A 0=-A E λ得10,132,1==λλ
当12,1=λ时，特征向量为)0,1,2(-和)1,0,2(；正交化为)0,1,2(-和)1,5/4,5/2( 当103=λ时，特征向量为)2,2,1(--
单位化后，有正交矩阵⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛---=3/253/503/253/45/13/153/25/2T ，由X=TY 把二次型化为
2
3222110y y y ++
六、1、证明：设ξ和η分别为A 的属于0λ的两个特征向量，满足A ξ=0λξ和A η=0λη于是有
A （ξ+η）=0λ（ξ+η）说明ξ+η也为0λ的一个特征向量；
同时A （k ξ）=0λ（k ξ）说明k ξ也为0λ的一个特征向量，由于这两
种运算是封闭的，命题得证。
同时，对特征子空间中的任意一个特征向量ξ，有A ξ=0λξ还属于这个特征子空间，因此是A 的不变子空间。
2、证明： 显然，21211V V V V ++=，
由21V V V ⊕=可得21dim dim dim V V V += 同理，12111dim dim dim V V V +=
所以21211dim dim dim dim V V V V ++=
故21211V V V V ⊕⊕=
七、1、解：首先，这个运算是一个代数运算，而且满足结合律，即
a b c bc ac ab c b a c b a c b a ++++++==)()(
因此成半群，进一步的，0为其单位元，因此又为幺半群。
但不构成群，因为1没有逆元：因若011=++=x x x ，则N x ∉-=2/1。
2、解： 生成元有两个：a 和5a ；子群有4个，除}{e 与G 外另两个为：
},,{422a a e a >=<，},{33a e a >=<
3、解： )37)(145(1=-σ
)45)(2367()45)(23)(726(1==-τσσ 4、证明：设N 和H 均为群G 的正规子群，H N K ⋂=。
首先，可证K 为群G 的子群。
对任意G ∈α，H N H N K αααα⋂=⋂=)(
因为N 和H 均为群G 的正规子群，有ααααH H N N ==,，所以上式为
ααααααααK H N H N H N H N K =⋂=⋂=⋂=⋂=)()(，故K 为群G 的正规子群。
5、证明：必要性：
1F 作成一个子域，显然
1
11
1,0,F a
b
F b a F b a F b a ∈⇒∈≠∈-⇒∈都成立。
充分性： 显然，两种运算在1F 中仍是代数运算。
由11,F b a F b a ∈-⇒∈知，1F 作成一个加群；
同时作为域F 的一个子集1F 对乘法的结合律和乘法对加法的左右分配律都成立； 因此子集1F 可作成环。
当a b =时，由11,0F e a
b
F b a ∈=⇒
∈≠说明子集1F 有单位元；当e b =时，说明每个非零元都有逆元，则子集1F 已成除环；作为域F 的一个子集1F 显然是可交换的，因此子集1F 作成域。