【数学】河北衡水金卷2019届高三上学期第三次联合质量测评(12月)试题(文)(解析版)

河北衡水金卷2019届高三上学期第三次联合质量测评（12
月）数学试题（文）
第I 卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数z 满足()12z i i +=-，则复数z 在复平面内对应的点所在象限为（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．已知全集U R =，集合(){}{}
()2
2log 21,340U A x x B x x x C A =-<=--<，则
B ⋂为（ ）
A ．∅
B ．{}
12x x -<≤
C ．{}
4x x -<<3
D ．{}
42x x -<≤
3．若命题p 为：[)1,,sin cos x x x p ∀∈+∞+≤⌝为（ ）
A ．[)1,,sin cos x x x ∀∈+∞+>
B ．[)00,1,sin cos x x x ∃∈-∞+>
C ．[)0001,,sin cos x x x ∃∈+∞+>
D ．(),1,sin cos x x x ∀∈-∞+≤
4．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千九百八十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多八人，每人日支米三升”．其大意为“官府陆续派遣1984人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多8人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升”，在该问题中的1984人全部派遣到位需要的天数为（ ） A ．14
B ．16
C ．18
D ．20
5．若线段AB 的长为3，在AB 上任意取一点C ，则以AC 为直径的圆的面积不超过4
的概率为（ ）
A ．
4
B ．
6
C ．
3
D ．
3
6．已知定义在R 上的函数()f x 满足：(1) ()()12,f x f x +=-(2)当
[)()20,2,1x f x x x ∈=-+，则有（ ）
A ．()()3112f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭
B ．()()3112f f f ⎛⎫
-<-
< ⎪⎝⎭
C ．()()3112f f f ⎛⎫-<<-
⎪⎝⎭ D ．()()3112f f f ⎛⎫
<-<- ⎪⎝⎭
7．某几何体111ABP A B P -的三视图如图所示，其中点1,P P 分别是几何体111ABP A B P -上下底面的一组对应顶点，打点器从P 点开始到1P 点结束绕侧面打一条轨迹线，则留下的所有轨迹中最短轨迹长度为（ ）
A ．6+
B ．2
C ．4+
D
8．已知向量(1
,,2
a b x a b ⎛⎫==- ⎪⎝⎭
，若与的夹角为60，则x 的值为（ ）
A ．0 B
C
D ．0
9．已知双曲线()22
2210,0x y E a b a b -=>>：的左，右焦点分别为12,F F 过右焦点的直线
:l x y c +=在第一象限内与双曲线E 的渐近线交于点P ，与y 轴正半轴交于点Q ，且点P
为2QF 的中点，12QF F ∆的面积为4，则双曲线E 的方程为（ ）
A ．
22
122x y -= B ．22
12x y -= C ．22144x y -= D ．22143
x y -= 10．
在长方体111111ABCD A BC D AA AD A B -==中，与平面11ABC D 所成的角为α，则α的取值区间为（ ） A ．0,
6π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
B ．0,
4π⎛⎫
⎪⎝
⎭
C ．,43ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．,42ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
11．椭圆()22
2210x y C a b a b
+=>>：与抛物线2:4E y x =相交于点M ，N ，过点()1,0P -的
直线与抛物线E 相切于M ，N 点，设椭圆的右顶点为A ，若四边形PMAN 为平行四边形，则椭圆的离心率为（ ） A
B
C
D
12．已知函数()()sin 03,02f x x πωϕωϕ⎛⎫
=+<≤<< ⎪⎝
⎭
对(),6x R f x f π⎛⎫
∈≤
⎪⎝⎭
恒成立，且12
x π
=-
为函数()f x 的一个零点，将函数()f x 的图象向右平移
3
π
个单位得函数()g x 的图象，则方程()()10,4,4x
e g x x +=∈-的解的个数为（ ） A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22~23题为选考题。

考生根据要求作答。

二．埴空题：本大题其4小题，每小题5分。

13．若实数,x y 满足约束条件220,
10,
32220,x y x y z x y x y ++≥⎧⎪
-+≥=-⎨⎪-++≥⎩
则的最小值为__________．
14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c
，且有1cos a A C =+
)
cos 0C b A A +==，则___________．
15．已知椭圆22
194
x y +=的右顶点为A ，上顶点为B ，点C 为(2，5)，则过点A ，B ，C 的圆的标准方程为___________．
16．定义在R 上的函数()f x 满足()()cos f x f x x -+=，又当0x ≤时，()1
2
f x '≥成立，若(
)224f t f t t ππ⎛⎫⎛⎫
≥-++
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则实数t 的取值范围为_________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分。

17．(12分)
已知正项等比数列{}n a 满足246,30S S ==． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若2log n n b a =，已知数列11n n b b +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ，试证明：1n T <恒成立．
18．(12分)
随着经济的发展，个人收入的提高．自2018年10月1日起，个人所得税起征点和税率的调整．调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额．依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表：
(1)假如小李某月的工资、薪金等所得税前收入总和不高于8000元，记x 表示总收入，y 表示应纳的税，试写出调整前后y 关于x 的函数表达式；
(2)某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：
先从收入在[3000，5000)及[5000，7000)的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选4人作为新纳税法知识宣讲员，求两个宣讲员不全是同一收入人群的概率；
(3)小李该月的工资、薪金等税前收入为7500元时，请你帮小李算一下调整后小李的实际收入比调整前增加了多少？
19．(12分)
如图所示，在直三棱柱111
12,ABC A BC AB BC AC CC -====中，P 为棱1CC 上的任意一点，设平面P AB 与平面11A B C 的交线为QR ．
(1)求证：AB ∥QR ；
(2)若P 为棱1CC 上的中点，求几何体QR ABC -的体积．
20．(12分)
已知定点F (1，0)，定直线:1l x =-，动点M 到点F 的距离与到直线l 的距离相等． (1)求动点M 的轨迹方程；
(2)设点()1,P T -，过点F 作一条斜率大于0的直线交轨迹M 于A ，B 两点，分别连接P A ，PB ，若直线P A 与直线PB 不关于x 轴对称，求实数t 的取值范围．
21．(12分)
已知函数()()ln 1x
f x xe x x =-+-．
(1)求曲线()y f x =在点()()
0,0f 处的切线方程； (2)证明：函数()f x 在区间()0,1内有且只有一个零点．
(二)选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做。

则按所做的第一题计分。

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22.[选修4—4：坐标系和参数方程](10分) 在直角坐标系中，直线l 的参数方程为1cos ,
1sin x t y t αα=-+⎧⎨
=+⎩
(t 为参数，0απ<<)，以坐标原
点为极点，x 轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为
22
4
1sin ρθ
=
+. (1)当6
π
α=
时，写出直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；
(2)已知点()1,1P -，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，试确定PA PB ⋅的取值范围．
23．[选修4—5：不等式选讲](10分) 设函数()2f x x x a =--+．
(1)当1a =时，求不等式()2f x <-的解集；
(2)当()()(),22时，，求∈-+≤≤+x y f y f x f y a R 的取值范围．。