江苏省南京市2011届高三第一次模拟考试理科数学试卷
数学_2011年江苏省某校高考数学一模试卷(含答案)
2011年江苏省某校高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上. 1. 若复数z 满足z +i =3+i i，|z|=________．2. 三张卡片上分别写上字母E 、E 、B ，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE 的概率为________．3. 已知集合A ={x|√x <2}，集合B ={x|log 2x <log 25}，全集U =R ，则(C U A)∩B =________．4. 已知样本容量为30，在样本频率分布直方图中，各小长方形的高的比从左到右依次为2:4:3:1，则第2组的频数是________．5. 已知l 是直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中： ①若l // α，l // β，则α // β． ②若α⊥β，l // α，则l ⊥β． ③若l ⊥α，l // β，则α⊥β． ④若α // β，l // α，则l // β． 其中是真命题的序号是________．6. 已知圆x 2+y 2＝9的弦PQ 的中点为M(1, 2)，则弦PQ 的长为________．7. 如图是一个算法的流程图，则输出S 的值是________．8. 设|a →|=4，|b →|=3，且a →与b →的夹角为120∘，则|a →−b →|=________． 9. 已知cos π3=12，cos π5cos2π5=14，cos π7cos2π7cos3π7=18，…，根据上述等式的规律，可猜想出一般性的结论是________．10. 设P 为曲线C:y =x 2−x +1上一点，曲线C 在点P 处的切线的斜率的范围是[−1, 3]，则点P 纵坐标的取值范围是________．11. 由命题“存在x ∈R ，使e |x−1|−m ≤0”是假命题，得m 的取值范围是(−∞, a)，则实数a 的值是________． 12. 已知椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1(−c, 0)，F 2(c, 0)，若椭圆上存在一点P 使asin∠PF 1F 2=csin∠PF 2F 1，则该椭圆的离心率的取值范围为________．13. 定义：关于x 的两个不等式f(x)<0和g(x)<0的解集分别为(a, b)和(1b ,1a )，则称这两个不等式为对偶不等式．如果不等式x 2−4√3xcos2θ+2<0与不等式2x 2+4xsin2θ+1<0为对偶不等式，且θ∈(π2,π)，则θ＝________5π6 ．14. 设{a n } 是各项均为正整数的等差数列，项数为奇数，公差不为0，且各项之和等于2010，则该数列的第8项a 8 的值等于________．二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15. 已知A 、B 、C 的坐标分别是A(3, 0)，B(0, 3)，C(cosα, sinα)． (1)若|AC →|=|BC →|，求角α的值； (2)若AC →⋅BC →=−1，求2sin 2α+sin2α1+tanα的值．16. 如图，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，AE =EB =BC =2，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ，BD ∩AC =G ． （1）求证：AE ⊥平面BCE ； （2）求证：AE // 平面BFD ； （3）求三棱锥E −ADC 的体积．17. 已知某企业原由工人500人，每人每年可为企业创利润6万元，为应对国际金融危机给企业带来的不利影响，该企业实施“优化重组，分流增效”的策略，分流出一部分员工待岗，为维护生产稳定，该企业决定待岗人数不超过原有工人的10%，并且每年给每位待岗工人发放生活补贴0.5万元．据评估，当待岗工人的人数x 不超过原有工人数的5%时，留岗工人每人每年可为企业多创利润1−910x万元，当待岗员工人数x 超过原有员工的5%，时，留岗员工每人每年可为企业多创利润1万元．（1）试用x 表示企业年利润y 的函数关系式；（2）为使企业年利润y 最大，求应安排多少工人待岗？ 18. 设F 1，F 2分别是椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右焦点，(1)设椭圆C 上的点(√3, √32)到F 1，F 2两点距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标 (2)设K 是(1)中所得椭圆上的动点，求线段KF 1的中点B 的轨迹方程(3)设点P 是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线L 与椭圆相交于M ，N 两点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，K PN ，试探究k PM ⋅K PN 的值是否与点P 及直线L 有关，并证明你的结论．19. 已知数列{a n }满足a 1=0，a 2=2，且对任意m 、n ∈N ∗都有a 2m−1+a 2n−1=2a m+n−1+2(m −n)2 （1）求a 3，a 5；（2）设b n =a 2n+1−a 2n−1(n ∈N ∗)，证明：{b n }是等差数列；（3）设c n =(a n+1−a n )q n−1(q ≠0, n ∈N ∗)，求数列{c n }的前n 项和S n ． 20. 已知函数f(x)=ax +x +(a −1)lnx +15a ，其中a <0，且a ≠−1（I ）讨论函数f(x)的单调性；（II ）设函数g(x)={(−2x 3+3ax 2+6ax −4a 2−6a)e x (x ≤1)e ⋅f(x)(x >1) （e 是自然对数的底数），是否存在a ，使g(x)在[a, −a]上是减函数？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．三、附加题部分[选做题]在第21、22、23、24四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分.[必做题]第25、26题，每小题10分，计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.21. 如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，点E ，F 分别在边AB ，CD 上，设ED 与AF 相交于点G ，若B ，C ，F ，E 四点共圆，求证：AG ⋅GF =DG ⋅GE ． 22. 求使等式[2435]=[2001]M [100−1]成立的矩阵M ．23. 若两条曲线的极坐标方程分别为p =l 与p =2cos(θ+π3)，它们相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．24. （选修4−5：不等式选讲） 求函数y =√1−x +√4+2x 最大值．25. 如图，ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，PA =AD =2，∠BAD =60，(1)求点A 到平面PBD 的距离的值； (2)求二面角A −PB −D 的余弦值．26. 将一枚硬币连续抛掷15次，每次抛掷互不影响．记正面向上的次数为奇数的概率为P 1，正面向上的次数为偶数的概率为P 2． （1）若该硬币均匀，试求P 1与P 2；（2）若该硬币有暇疵，且每次正面向上的概率为p(0<p <12)，试比较P 1与P 2的大小．2011年江苏省某校高考数学一模试卷答案1. √172. 133. [4, 5)4. 125. ③6. 47. 638. √379. cos π2n+1cos 2π2n+1⋯cos nπ2n+1=12n 10. [34, 3]11. 112. (√2−1，1) 13. 5π614. 13415. 解：(1)∵ A 、B 、C 的坐标分别是A(3, 0)，B(0, 3)，C(cosα, sinα)， ∴ AC →=(cosα−3, sinα)，BC →=(cosα, sinα−3)， ∴ |AC →|=√(cosα−3)2+(sinα)2，|BC →|=√(cosα)2+(sinα−3)2，∵ |AC →|=|BC →|，∴ √(cosα−3)2+(sinα)2=√(cosα)2+(sinα−3)2， 即(cosα−3)2+(sinα)2=(cosα)2+(sinα−3)2， ∴ sinα=cosα，∴ tanα=1，∴ α=kπ+π4，k ∈Z.(2)由①知，AC →=(cosα−3, sinα)，BC →=(cosα, sinα−3)，∴ AC →⋅BC →=(cosα−3)cosα+sinα(sinα−3)=1−3(sinα+cosα)=−1， ∴ sinα+cosα=23，∴ (sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=(23)2，∴ 2sinαcosα=−59，2sin 2α+sin2α1+tanα=2sin 2α+2sinαcosα1+sinαcosα=2sinαcosα=−59.16. 解：（1）证明：∵ AD ⊥平面ABE ，AD // BC ， ∴ BC ⊥平面ABE ，∴ AE ⊥BC ． 又∵ BF ⊥平面ACE ，∴ BF ⊥AE ， ∵ BC ∩BF =B ，∴ AE ⊥平面BCE（2）连接GF ，∵ BF ⊥平面ACE ，∴ BF ⊥CE ∵ BE =BC ，∴ F 为EC 的中点；∵ 矩形ABCD 中，G 为两对角线的交点且是两线段的中点，∴ GF // AE ，∵ GF ⊂平面BFD ，AE ⊄平面BFD ， ∴ AE // 平面BFD ．（3）∵ 三棱锥E −ADC 的体积等于三棱锥E −ABC 的体积 ∵ V E−ABC =13⋅BC ⋅S ABE =43 故棱锥E −ADC 的体积为4317. 解：（1）设重组后，该企业年利润为y 万元．当待岗人员不超过5%时，由1−910x >0，x ≤500×5%=25，得1≤x ≤25(x ∈N)， 则y =(500−x)(6+1−910x)−0.5x=(500−x)(7−910x)−0.5x (1≤x ≤25, x ∈N)当待岗人员超过5%且不超过10%时，由25<x ≤500×10%，得26≤x ≤50(x ∈N)， 则y =(500−x)(6+1)−0.5x =7(500−x)−0.5x(26≤x ≤50, x ∈N) ∴ y ={(500−x)(7−910x )−0.5x ，1≤x ≤25(500−x)×7−0.5x,26≤x ≤50，x ∈N +（2）当1≤x ≤25且x ∈N 时，有 y =−7.5(x +60x)+3500.9，当x =√60时取最小，而√60不是整数，故取x =8时y 取得最大值，最大值是3384.65万元； 当26≤x ≤50且x ∈N 时，函数y =−7.5x +3500为减函数． 所以y ≤−7.5×26+3500=3305．综上所述，当x =8时，y 有最大值3384.65万元．当x =8 时，年利润y 最大，即为使企业年利润y 最大，则应安排8名工人待岗！ 18. 解：(1)∵ 点(√3,√32)在椭圆上， ∴ (√3)2a2+(√32)2b 2=1，①2a =4，a =2，把a =2代入①式，解得：b 2=3， 椭圆C 的方程为x 24+y 23=1，c =√a 2−b 2=√4−3=1. 焦点坐标分别为(−1, 0)，(1, 0).(2)设KF 1的中点为B(x, y)，则点K(2x +1, 2y)， 把K 的坐标代入椭圆x 24+y 23=1中，得(2x+1)24+(2y)23=1，线段KF 1的中点B 的轨迹方程为(x +12)2+y 234=1.(3)过原点的直线L 与椭圆相交的两点M ，N 关于坐标原点对称， 设M(x 0, y 0)，N(−x 0, −y 0)，P(x, y)， M ，N ，P 在椭圆上，应满足椭圆方程， 得x 02a 2+y 02b 2=1，x 2a 2+y 2b 2=1， k PM =y−y 0x−x 0，K PN =y+y 0x+x 0，k PM ⋅K PN =y−y 0x−x 0⋅y+y 0x+x 0=y 2−y 02x 2−x 02=−b 2a2，k PM ⋅K PN 的值与点P 及直线L 无关. 19. 解：（1）由题意，令m =2，n =1，可得a 3=2a 2−a 1+2=6 再令m =3，n =1，可得a 5=2a 3−a 1+8=20 （2）当n ∈N ∗时，由已知（以n +2代替m ）可得 a 2n+3+a 2n−1=2a 2n+1+8于是[a 2（n+1）+1−a 2（n+1）−1]−(a 2n+1−a 2n−1)=8即b n+1−b n =8所以{b n }是公差为8的等差数列 （3）由（1）（2）解答可知{b n }是首项为b 1=a 3−a 1=6，公差为8的等差数列 则b n =8n −2，即a 2n+1−a 2n−1=8n −2 另由已知（令m =1）可得 a n =a 2n−1+a 12−(n −1)2．那么a n+1−a n =a 2n+1−a 2n−12−2n +1=8n−22−2n +1=2n于是c n =2nq n−1．当q =1时，S n =2+4+6++2n =n(n +1)当q ≠1时，S n =2⋅q 0+4⋅q 1+6⋅q 2+...+2n ⋅q n−1． 两边同乘以q ，可得qS n =2⋅q 1+4⋅q 2+6⋅q 3+...+2n ⋅q n ． 上述两式相减得(1−q)S n =2(1+q +q 2+...+q n−1)−2nq n=2⋅1−q n1−q −2nq n=2⋅1−(n +1)q n +nq n+11−q所以S n =2⋅nq n+1−(n+1)q n +1(q−1)2综上所述，S n ={n(n +1)(q =1)2⋅nq n+1−(n+1)q n +1(q−1)2(q ≠1)．20. 解：(I)f(x)的定义域为(0, +∞)．f′(x)=−ax 2+1+a−1x=(x+a)(x−1)x 2，①若−1<a <0，则当0<x <−a 时，f′(x)>0；当−a <x <1时，f′(x)<0；当x >1时，f′(x)>0．故f(x)分别在(0, −a)，(1, +∞)上单调递增，在(−a, 1)上单调递减．②若a <−1，仿①可得f(x)分别在(0, 1)，(−a, +∞)上单调递增，在(1, −a)上单调递减； （II ）存在a ，使g(x)在[a, −a]上为减函数．事实上，设ℎ(x)=(−2x 3+3ax 2+6ax −4a 2−6a)e x (x ∈R)， 则ℎ′(x)=[−2x 3+3(a −2)x 2+12ax −4a 2]e x再设m(x)=−2x 3+3(a −2)x 2+12ax −4a 2(x ∈R)，则g(x)在[a, −a]上单调递减时，ℎ(x)必在[a, 0]上单调递减所以ℎ′(a)≤0，由于e x >0， 因此g(x)在[a, −a]上为减函数，当且仅当f(x)在[1, −a]上为减函数，ℎ(x)在[a, 1]上为减函数，且ℎ(1)≥e ⋅f(1)．由（1）知，当a ≤−2①时，f(x)在[1, −a]上为减函数．又ℎ(1)≥e ⋅f(1)⇔4a 2+13a +3≤0⇔−3≤a ≤−14②不难知道，∀x ∈[a, 1]，ℎ′(x)≤0⇔∀x ∈[a, 1]，m(x)≤0，因m′(x)=−6x 2+6(a −2)x +12a =−6(x +2)(x −a)，令m′(x)=0，则x =a ，或x =−2．而a ≤−2，于是 (p)当a <−2时，若a <x <−2，则m′(x)>0；若−2<x <1，则m′(x)<0．因而m(x)在(a, −2)上单调递增，在 (−2, 1)上单调递减．(q)当a =−2时，m′(x)≤0，m(x)在(−2, 1)上单调递减．综合(p)(q)知，当a ≤−2时，m(x)在[a, 1]上的最大值为m(−2)=−4a 2−12a −8．所以∀x ∈[a, 1]，m(x)≤0⇔m(−2)≤0⇔−4a 2−12a −8≤0⇔a ≤−2③，又对x ∈[a, 1]，m(x)=0只有当a =−2时在x =−2取得，亦即ℎ′(x)=0只有当a =−2时在x =−2取得．因此，当a ≤−2时，ℎ(x)在[a, 1]上为减函数． 从而有①，②，③知，−3≤a ≤−2综上所述，存在a ，使g(x)在[a, −a]上为减函数，且a 的取值范围为[−3, −2]． 21. 证明：连接EF ．∵ B ，C ，F ，E 四点共圆， ∴ ∠ABC =∠EFD ． ∵ AD // BC ，∴ ∠BAD +∠ABC =180∘． ∴ ∠BAD +∠EFD =180∘． ∴ A ，D ，F ，E 四点共圆． ∵ ED 交AF 于点G ， ∴ AG ⋅GF =DG ⋅GE ．22. 解：设M =[m np q ]，则由[2435]=[2001]M [100−1]=[2m 2n p q ][100−1]=[2m−2np−q] 则{2m =2−2n =4p =3−q =5⇒{m =1n =−2p =3q =−5，即M =[1−23−5]．23. 解：由ρ=1得x 2+y 2=1，又∵ ρ=2cos(θ+π3)=cosθ−√3sinθ，∴ ρ2=ρcosθ−√3ρsinθ∴ x 2+y 2−x +√3y =0，由{x 2+y 2=1x 2+y 2−x +√3y =0得A(1,0),B(−12，−√32)， ∴ AB =√(1+12)2+(0+√32)2=√3．24. 解：因为y 2=(√1−x +√2⋅√2+x)2≤[12+(√2)2][1−x +2+x]=3×3 … ∴ y ≤3 …， 当且仅当√1−x=√2√2+x时取“=”号，即当x =0 时，y max =3 …25. 解：由题意，连接AC ，BD 交于点O ，由于四边形ABCD 是菱形可得AC ，BD 互相垂直，以OA 、OB 所在直线分别x 轴，y 轴，以过O 且垂直平面ABCD 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则A(√3，0，0)，B(0,1,0)，C(−√3,0,0)，D(0,−1,0)，P(√3,0,2)，DB →=(0,2,0)，AP →=(0,0,2)(I)设平面PDB 的法向量为n 1→=(x 1,y 1,z 1)，DP →=(√3,1,2)，DB →=(0,2,0)由{n 1→⋅DB →=0˙，得{√3x 1+y 1+2z 1=02y 1=0，令z 1=1，得n 1→=(−2√33,0,1)，DA →=(√3,1,0)所以点A 到平面PDB 的距离d =|n 1→|˙=2√217(II)设平面ABP 的法向量n 2→=(x 2,y 2,z 2)，AP →=(0,0,2).AB →=(−√3,1,0)， 由{AB →⋅n 2→=0˙，得{2x 2=0−√3x 2+y 2=0，令y 2=1，得{x 2=√33y 2=1z 2=0，∴ n 2→=(√33,1,0)， ∴ cos <n 1→，n 2→>=|n 1→|⋅|n 2→|˙=−√77，而所求的二面角与<n 1→，n 2→>互补，所以二面角A −PB −D 的余弦值为√7726. 解：（1）抛硬币一次正面向上的概率为P =12，∴ 正面向上的次数为奇数次的概率为P 1=P 15(1)+P 15(3)+...+P 15(15)=C 151(12)1(12)14+C 153(12)3(12)12+⋯+C 1515(12)15=12∴ P 2=1−P 1=12（2）∵ P 1=C 151p 1(1−p)14+C 153p 3(1−p)12+...+C 1515p 15，P 2=C 150p 0(1−p)15+C 152p 2(1−p)13+...+C 1514p 14(1−p)1则P 2−P 1=C 150p 0(1−p)15−C 151p 1(1−p)14+C 152p 2(1−p)13+...+C 1514p 14(1−p)1−C 1515p 15=[(1−p)−p]15 =(1−2p)15，而0<p <12，∴ 1−2p >0， ∴ P 2>P 1。
2011届高三数学模拟试题 (理科)
2011届高三数学模拟试题（理科） 满分：150分 时间：120分钟一、选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{0,1,2,3},{|2,}A B x x a a A ===∈集合，则（ ）A ．AB A = B ．A B A ÙC ．A B B =D ．A B A Ø2．命题p ：若0,a b a b ⋅<则与的夹角为钝角，命题q ：定义域为R 的函数()(,0)(0,)f x -∞+∞在及上都是增函数，则()(,)f x -∞+∞在 上是增函数下列说法正确的是 （ ） A ．“p 且q ”是假命题 B ．“p 或q ”是真命题C ．p ⌝为假命题D ．q ⌝为假命题3．函数sin (3sin 4cos )()y x x x x R =+∈的最大值为M ，最小正周期为T ，则有序数对（M ，T ）为 （ ）A ．(5,)πB ．(4,)πC ．(1,2)π-D ．(4,2)π4．“1a =-”是“直线260a x y -+=与直线4(3)90x a y --+=互相垂直”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，若120,C c ==，则（ ）A ．45B > B ．45A >C ．b a >D ．b a <6．定义在区间(0,)a 上的函数2()2xx f x =有反函数，则a 最大为 （ ）A ．2ln 2B ．ln 22C ．12 D ．27．已知22(,)(3)1P x y x y +-=是圆上的动点，定点A （2，0），B （—2，0），则PA PB⋅ 的最大值为（ ）A ．4B ．0C ．—12D ．128．如图，在1,3ABC AN NC∆=中，P 是BN 上的一点， 若211AP mAB AC=+，则实数m 的值为（ ）A ．911B ．511C ．311D ．2119．设二次函数2()4()f x ax x c x R =-+∈的值域为19[0,),19c a +∞+++则的最大值为（ ）A ．3125B ．3833C ．65D ．312610．有下列数组排成一排：121321432114321(),(,),(,,),(,,,),(,,,,),112123123452345如果把上述数组中的括号都去掉会形成一个数列：121321132154321,,,,,,,,,,,,,,,112123423412345则此数列中的第2011项是（ ）A ．757B ．658C ．559D ．460二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置。
江苏省南京市 中学第一学期高三质量检测
江苏省南京市2011--2012学年度第一学期高三质量检测数 学 试 题一、填空题（本大题共16小题，每小题5分，共80分） 1．已知集合P QP R x x x x Q x x 则集合},,06|{},72|{2是 . 2．计算ii12的结果是 . 3．若xy y x y x R y x 则且,12,0,0,, 的最大值为 . 4．函数x x f 2log 1)( 的定义域是 .5．在边长为1的正方形A BCD 中，若|2|.,,c b a c AC b BC a AB 则的值是 .6．满足条件z i z 的复数|21||1| 在复平面内对应的点表示的图形的面积为 .7．若x x x x tan ),0,(,51cos sin 则 的值是 .8．若变量x,y 满足约束条件y x z y x y x y x4,33,1,1则目标池数的最大值为 .9．若)26sin(,135)6cos(x x则的值是 . 10．已知向量b a b a b a b a 与那么,),3,1(),sin 2,cos 2( 的夹角的大小是 . 11．函数)(22cos 32)4(sin 4)(2R x x x x f的单调减区间是 .12．将下面不完整的命题补充完整，并使之成为一个真命题：若函数xx f 2)( 的图象与函数)(x g 的图象关于 对称，则函数)(x g 的解析式是 .（填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形）13．若定义域为（－1，1）的奇函数)(x f y 又是减函数，且0)9()3(2a f a f ，则实数a 的取值范围是 .14．设函数,0,1,0,0,0,1)(x x x x f )(),1()(2x g x f x x g 则函数 的递减区间是 .15．若钝角三角形的三个内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为P ，则P 的取值范围是 .16．如果有穷数列)(,,,21为正整数m a a a m 满足条件：,,,121 m m a a a a),,,2,1(11m i a a a a i m i m 即则称其为“对称”数列.例如：1，2，5，2，1，与数列8，4，2，4，8都是“对称”数列.已知在21项的“对称”数列1211,}{c c c n 中，…，c 21是以1为首项，2为公差的等差数列，则数列}{n c 的所有项的和为 .（用数字作答） 二、解答题17．（1）已知复数z 满足i iz z 242 ，求复数z. （2）解关于x 的不等式).(02R a xa a x 18．已知向量a,b 满足|a |=1,|b |=2,a 与b 的夹角为60°，向量c=2a+b . （1）求c 的模；（2）若向量d =ma －b ,d //c ，求实数m 的值.19．在锐角△A BC 中，A ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，P =（A +c,b ）,Q =（c －a ,b －c ）,且p ⊥q .（1）求A 的大小；（2）记)(),62sin(sin 2)(2B f B B B f 求的值域.20．渔场中鱼群的最大养殖量为m 吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量.已知鱼群的年增长量y 吨和实际养殖量x 吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k （k>0）（空闲率为空闲量与最大养殖量的比值）. （1）写出y 关于x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域； （2）求鱼群年增长量的最大值；（3）求鱼群的年增长量达到最大值时k 的取值范围.21（文科）设命题P ：函数)1lg()(2ax ax x f 的定义域为R ；命题q ：不等式193 a x x 对一切正实数均成立.（1）如果P 是真命题，求实数a 的取值范围；（2）如果命题p 且q 为真命题，求实数a 的取值范围.（文科）已知*)4(2N n n n 且个正数排成一个n 行n 列的数阵：第1列第2列 第3列 … 第n 列第1行1,1a 2,1a 3,1a… n a ,1 第2行 1,2a 2,2a 3,2a … n a ,2 第3行 1,3a 2,3a3,3a…n a ,3… 第n 行1,n a 2,n a 3,n a…n n a ,其中)1,1*,,(,n k n i N k i a k i 且表示该数阵中位于第i 行第k 列的数，已知该数阵中各行的数依次成等比数列，各列的数依次成公比为2的等比数列，已知a 2,3=8，a 3,4=20.（1）求1,1a 2,2a ；（2）设n A a a a a A n n n n n n :1,2,31,2,1求证 能被3整除.江苏省南京市 中学2009-2010学年度第一学期高三质量检测数学试题参考答案一、填空题（本大题共16小题，每小题5分，共80分）1．{3} 2．i 2321 3．814．]2,0( 5．23 6．5 7．34 8．11 9．.169119 10．211．.],1211,125[Z k k k 12．直线轴y x x g x y ;log )(,2 ，x x g )21()( （答案不惟一）13．)3,22( 14． （0，1）二、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（1）解 设.,,,yi x R y x yi x z 则由题意，得.242)2()(2))((22i xi y y x i yi x yi x yi x 故解得,1,1,3,1y x y x 或i z i z 131或 （2）解 不等式等价于,0))((2a x a x 若a=0，则 x x 所以,02若a=1，则 x x 所以,0)1(2若a<0，或a>1，则a<a 2，所以),(2a a x 若0<a<1，则),(,22a a x a a 所以 18．（1）12460cos 214444)2(||2222b b a a b a c即32|| c ；（2）因为d//c ，所以存在实数 ，使c d ，即).2(b a b ma 又a,b 不共线，所以.2,1,2 m m 解得19．（1）由题意，因为,0)())((, c b b a c c a q p q p 所以即.222bc a c b 在.212cos ,,222bc a c b A ABC 由余弦定理中 又.3),,0(A A 所以（2）)62sin(sin 2)(2B B B f.1)62sin()2cos 212sin 23(2cos 1B B B B 又ABC 为锐角三角形，所以),2,0(32),2,0(B C B 即,65626,26B B 所以所以1)62sin(21 B ，故].2,23()(的值域为B f 20．解：（1）由题意，空闲率为)1(,1mxkx y m x 所以，定义域为（0,m ）；（2）由（1）得,4)2()1(2kmm x m k m x kx y 因为;4,2,0),,0(max kmy m x k m x 时所以当（3）由题意有.420,0m kmm m y x 即因为m>0，解得,0,22 k k 又故k 的取取值范围为（0，2）.21．（文科）（1）由题意，若命题p 为真，则012 ax ax 对任意实数x 恒成立 若a=0，1>0，显然成立； 若,40,040,02a a a a a 解得是故命题p 为真命题时a 的取值范围为)4,0[（2）若命题q 为真，则a xx 193对一切正实数恒成立.,45)213(1932 x x x因为x>0，所以1),0,(193,13 a xx x 因此所以 故命题q 为真命题时，.1 a又命题p 且q 为真命题，即命题p 与q 均为真，故,411,40 a a a 解得所以满足题意的实数a 的取值范围为)4,1[.22．（文科）（1）由题意，5,3,20,84,13,14,33,2 a a a a 所以， 故第1行公差d=1，所以.62,3,22,12,22,11,1 a a a a 得 （2）同（1）可得，11,22,122,31,2,122,23,),1(2,2,1 n n n n n n n a a n a n a n a所以1,2,31,2,1n n n n n a a a a A1321222)2(2)1(2)1( n n n n n n n n n n n A 22232)1(22)1(21321两式相减，得n n n n A 222222)1(1321n n n 2221)21(2)1(1 n n n 2222)1( n n 323所以n A n A n nn 故),12(3能被3整除.。
2011届高三第一次质检试题 理数试题
2011届高三第一次质检试题理科数学试题一.选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求)1．若集合M ＝{x | |x |＜1}，N ＝{x |2x ≤x }，则M N ＝（ ） A ．}11|{<<-x x B ．}10|{<<x x C ．}01|{<<-x x D ．}10|{<≤x x 2．复数21(1)i+等于( )A ．2B ．－2C ．2iD ．－2i3．下列命题中的假命题．．．是（ ） A ．R x ∀∈，120x -＞ B ．N x *∀∈，()10x -2＞ C ．R x ∃∈，lg x ＜1 D ．R x ∃∈，tan 2x =4．已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前8项和8S 等于（ ）A ．64B ．100C ．110D ．1205．若随机变量ξ的分布列如下表，则ξE 的值为（ ）ξ0 1 2 Pa 3a6a A ．34B ．12C ．32D ．236. 已知f (x )=sin(x +2π),g (x )=cos(x －2π),则f (x )的图象 ( )A.与g (x )的图象相同B.与g (x )的图象关于y 轴对称C.向左平移2π个单位，得到g (x )的图象 D.向右平移2π个单位，得到g (x )的图象7.0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8.如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为()()()00S t S =，则导函数()'y S t =的图像大致为( )二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,满分30分. 9．不等式lg(1)0x +≤的解集是____________10．设向量(12)(23)== ，，，a b ，若向量λ+ a b 与向量(35)=，c 共线，则λ= ． 11．已知n m ,是两条不重合的直线，γβα,,是三个不重合的平面，给出下列命题： ①若,,βα⊥⊥m m 则//αβ； ②若,,γββα⊥⊥则//αγ； ③若,,m n αα⊥⊥则//m n ； ④若//m α，//,m β则//αβ． 其中是真命题的序号是 (写出所有满足题意的序号) 12．在A B C ∆中,a 比b 长2,b 比c 长2 ，且最大角的余弦值是12-, 则A B C ∆的面积等于 ． 13．已知函数⎩⎨⎧=xx x f 3log )(2)0()0(≤>x x ，且关于x 的方程0)(=-+a x x f 有且只有一个实根，则实数a 的范围是 ． 14．已知椭圆2214xy +=的焦点为F 1、F 2，在长轴A 1A 2上任取一点M ，过M 作垂直于A 1A 2的直线交椭圆于P ，则使得120PF PF ⋅<的M 点的概率为 ．P )(P AA BCDDCB直观图 俯视图三、解答题(本大题共6小题,共80分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.（本小题满分12分）已知向量(sin ,cos )a θθ= 与(3,1)b = ，其中)2,0(πθ∈（1）若//a b，求θsin 和θcos 的值；（2）若()2()f a bθ=+，求()f θ的值域。
江苏省重点学校2011届高三第一次调研联考数学测试试卷
江苏省重点学校2011届高三第一次调研联考数学测试试卷参考公式：一组样本数据n x x x ,,,21 ，方差2211()ni i s x x n ==-∑一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
请把答案填写在答题卡相应的位置上.1．命题p ：2,2x R x ∃∈>，则命题p 的否定为 ▲ . 2．若复数i i i z 其中,2)1(=+是虚数单位，则复数z z ⋅= ▲ .3．已知函数2,0(),0x x f x x x ≥⎧=⎨<⎩，则((2))f f -= ▲ . 4．若123123,,,,2,3,3,3,,3n n x x x x x x x x 的方差为则的方差为 ▲ .5．一个靶子上有10个同心圆，半径依次为1、2、……、10，击中由内至外的区域的成绩依次为10、9、……、1环，则不考虑技术因素，射击一次,在有成绩的情况下成绩为10环的概率为6．已知3tan(),45παα+=则tan = ▲ .7．直线110,l x ky -+=:210l kx y -+=:，则1l ∥2l 的充要条件是 ▲ .8．已知|a |=3，|b |=4，(a +b )⋅(a +3b )=33，则a 与b 的夹角为 .9．如果执行右面的程序框图，那么输出的S = ▲ .10．设1F 和2F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两个焦点，若1F ，2F ，(0,2)P b 是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为 ▲ .11．函数2cos y x x =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上取最大值时，x 的值是___▲___． 12．我们知道若一个边长为a ，面积为S 的正三角形的内切圆半径23Sr a =，由此类比，若一个正四面体的一个面的面积为S ,体积为V ,则其内切球的半径r = ▲ .13．设12a =，121n n a a +=+，211n n n a b a +=--，*n N ∈，则2011b =w.w ▲ .14．图为函数()(01)f x x x =<<的图象，其在点(())M t f t ，l l y 处的切线为，与轴和直线1=y 分别交于点P 、Q ，点N （0，1），若△PQN 的面积为b 时的点M 恰好有两个，则b 的取值范围为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分） 已知函数231()sin 2cos 22f x x x x =--∈R ，．（Ⅰ）求函数()f x 的最小值和最小正周期；（Ⅱ）设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且3()0c f C ==，，若si n 2s i n B A =，求a ，b 的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ABCD ⊥平面，AD CD =，DB 平分ADC ∠，E 为PC 的中点． （Ⅰ）证明：//PA BDE 平面； （Ⅱ）证明：AC PBD ⊥平面．17. (本小题满分15分)如图,某小区准备在一直角围墙ABC 内的空地上植造一块“绿地ABD ∆”,其中AB 长为定值a ,BD 长可根据需要进行y xOP M QN GFDC A DCBP E调节(BC 足够长).现规划在ABD ∆的内接正方形BEFG 内种花,其余地方种草,且把种草的面积1S 与种花的面积2S 的比值12S S 称为“草花比y ”.(Ⅰ)设DAB θ∠=,将y 表示成θ的函数关系式； (Ⅱ)当BE 为多长时,y 有最小值?最小值是多少?18. (本小题满分15分)已知C 过点)1,1(P ,且与M :222(2)(2)(0)x y r r +++=>关于直线20x y ++=对称.(Ⅰ)求C 的方程；(Ⅱ)设Q为C 上的一个动点,求PQ MQ ⋅的最小值；(Ⅲ)过点P 作两条相异直线分别与C 相交于B A ,,且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补,O 为坐标原点,试判断直线OP 和AB 是否平行?请说明理由.19．（本小题满分16分）已知函数()ln af x x x =-.(Ⅰ)求函数()f x 的单调增区间；(Ⅱ)若函数()f x 在[1,]e 上的最小值为32，求实数a 的值；(Ⅲ)若函数2()f x x <在(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分16分）已知等差数列{}n a 的首项为a ，公差为b ，等比数列{}n b 的首项为b ，公比为a (其中,a b 均为正整数)． (Ⅰ) 若1122,a b a b ==，求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若1213,,,k n n n a a a a a ，，，12(3)k n n n <<<<<成等比数列，求数列{}k n 的通项公式；(Ⅲ) 若11223a b a b a <<<<，且至少存在三个不同的b 值使得等式()m n a t b t N +=∈成立，试求a 、b 的值．附加题部分（满分40分） 21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题；每题10分，共20分；解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4－1：几何证明选讲如图，⊙O 的半径OB 垂直于直径AC ，M 为AO 上一点，BM 的延长线交⊙O 于N ，过N 点的切线交CA 的延长线于P ． （1）求证：PM2=PA·PC ；（2）若⊙O 的半径为23，OA=3OM ，求MN 的长．OCM NA PB （第1题）考试证号———————————————————————B ．选修4－2：矩阵与变换试求曲线sin y x =在矩阵MN 变换下的函数解析式，其中M =1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦，N =10201⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦．C ．选修4－4：坐标系与参数方程在极坐标系下，已知圆O ：cos sin ρθθ=+和直线2sin 42l ρθπ⎛⎫-=⎪⎝⎭:． （1）求圆O 和直线l 的直角坐标方程；（2）当(0,)θ∈π时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标．D ．选修4－5：不等式选讲用数学归纳法证明不等式：211111(1)12n n n n n n *++++>∈>++N 且．【必做题】第22题，23题，每题10分，共20分；解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生（可在高考中加分录取），两次考试过程相互独立．根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析，甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是0.6，0.5，0.4，能通过面试的概率分别是0.5，0.6，0.75．（1）求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率；（2）设经过两次考试后，能被该高校预录取的人数为ξ，求随机变量ξ的期望)(ξE ．23．已知点F(0，1)，点P 在x 轴上运动，M 点在y 轴上，N 为动点，且满足0PM PF ⋅=， PN PM +=0．（1）求动点N 的轨迹C 方程；（2）由直线y= -1上一点Q 向曲线C 引两条切线，切点分别为A ，B ，求证：AQ ⊥BQ ．参考答案1、2,2x R x ∀∈≤ 2、2 3、4 4、18 5、1100 6、14-7、1- 8、120︒ 9、650 10、2 11、6π 12、34V S 13、201221- 14、18,427⎛⎫⎪⎝⎭ 15．解：（1）31cos21()sin 2sin 212226x f x x x +π⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭， （3分）则()f x 的最小值是－2，（4分）最小正周期是22T π==π；（6分）（2）()sin 210,sin 2166f C C C ππ⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则， 110,022,2666C C C ππ<<π∴<<π∴-<-<π， 2,623C C πππ∴-==， （8分）sin 2sin B A =，由正弦定理，得12a b =，① （10分） 由余弦定理，得222222cos ,33c a b ab a b abπ=+-=+-即， ②由①②解得1,2a b ==． （14分） 16．证明：（1）连结AC ，设ACBD H =，连结EH ，在ADC ∆中，因为AD CD =，且DB 平分ADC ∠，所以H 为AC 的中点，又∵E 为PC 的中点， ∴//EH PA ，……………………………4分 又EH BDE ⊂平面，且PA BDE ⊄平面， ∴//PA BDE 平面；……………………7分 （2）∵PD ABCD ⊥平面，AC ABCD ⊂平面， ∴PD AC ⊥，由（1）得BD AC ⊥， 又PDDB D =， 故AC PBD ⊥平面．……………14分17. 解:(Ⅰ)因为tan BD a θ=,所以ABD ∆的面积为21tan 2a θ((0,)2πθ∈)…(2分) 设正方形BEFG 的边长为t ,则由F G D G A BD B =,得tan tan t a t a a θθ-=,解得t a n 1t a n a t θθ=+,则2222tan (1tan )a S θθ=+…………………………………………………………(6分)所以222212211tan tan tan 22(1tan )a S a S a θθθθ=-=-+,则212(1tan )12tan S y S θθ+==- (9分)(Ⅱ)因为tan (0,)θ∈+∞,所以1111(tan 2)1(tan )2tan 2tan y θθθθ=++-=+1≥… (13分)当且仅当tan 1θ=时取等号,此时2aBE =.所以当BE 长为2a时,y 有最小值1…………………………… (15分)18. 解:(Ⅰ)设圆心C (,)a b ,则222022212a b b a --⎧++=⎪⎪⎨+⎪=⎪+⎩,解得00a b =⎧⎨=⎩…………… (3分) 则圆C 的方程为222x y r +=,将点P 的坐标代入得22r =,故圆C 的方程为222x y +=…………………… (5分) (Ⅱ)设(,)Q x y ,则222x y +=,且(1,1)(2,2)PQ MQ x y x y ⋅=--⋅++… (7分) =224x y x y +++-=2x y +-,所以PQ MQ ⋅的最小值为4-(可由线性规划或三角代换求得)…(10分)(Ⅲ)由题意知, 直线PA 和直线PB 的斜率存在,且互为相反数,故可设:1(1)PA y k x -=-,:1(1)PB y k x -=--,由221(1)2y k x x y -=-⎧⎨+=⎩,得222(1)2(1)(1)20k x k k x k ++-+--= …………………………………………(11分)因为点P 的横坐标1x =一定是该方程的解,故可得22211A k k x k --=+………… (13分) 同理,22211B k k x k +-=+, 所以(1)(1)2()1B A B A B A AB B A B A B Ay y k x k x k k x x k x x x x x x ------+====---=OP k所以,直线AB 和OP 一定平行……………………………………(15分)19、解：（1）由题意，()f x 的定义域为(0,)+∞，且221()a x af x x x x +'=+=．……2分①当0a ≥时，()0f x '>，∴()f x 的单调增区间为(0,)+∞．………………(3分) ②当0a <时，令()0f x '>，得x a >-，∴()f x 的单调增区间为(,)a -+∞．…4分（2）由（1）可知，2()x af x x +'=①若1a ≥-，则0x a +≥，即()0f x '≥在[1,]e 上恒成立，()f x 在[1,]e 上为增函数， ∴min 3[()](1)2f x f a ==-=，∴32a =-（舍去）．…………… (6分)②若a e ≤-，则0x a +≤，即()0f x '≤在[1,]e 上恒成立，()f x 在[1,]e 上为减函数， ∴min 3[()]()12a f x f e e ==-=，∴2e a =-（舍去）．………………………8分③若1e a -<<-，当1x a <<-时，()0f x '<，∴()f x 在(1,)a -上为减函数， 当a x e -<<时，()0f x '>，∴()f x 在(,)a e -上为增函数， ∴min 3[()]()ln()12f x f a a =-=-+=，∴a e =-综上所述，a e =-．………………………………………………………………10分（3）∵2()f x x <，∴2ln ax x x -<．∵0x >，∴3ln a x x x >-在(1,)+∞上恒成立……………………………12分令32()ln ,()()1ln 3g x x x x h x g x x x '=-==+-，则2116()6x h x x x x -'=-=. ∵1x >，∴()0h x '<在(1,)+∞上恒成立，∴()h x 在(1,)+∞上是减函数，∴()(1)2h x h <=-，即()0g x '<，∴()g x 在(1,)+∞上也是减函数，∴()(1)1g x g <=-．∴当2()f x x <在(1,)+∞恒成立时，1a ≥-．……………………………………16分20．解：（Ⅰ）由1122,a b a b ==得：a ba b ab =⎧⎨+=⎩， 解得：0a b ==或2a b ==，,a b N +∈， 2a b ∴==，从而2,2nn n a n b ==…………………………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)得132,6a a ==，∴1213,,,k n n n a a a a a ，，，构成以2为首项，3为公比的等比数列，即：123k k n a +=⋅ ……………………………………………………… 7分又2k n ka n =，故1223k k n +=⋅，13k k n +∴=…………………………………………10分(Ⅲ) 由11223a b a b a <<<<得：2a b a b ab a b <<+<<+，由a b ab +<得：()1a b b->；由2ab a b <+得：()12a b b-<，而*,,a b N a b ∈<，即：1b a >≥，从而得：12211241111b b a b b b b <+=<<=+≤----，2,3a ∴=，当3a =时，2b =不合题意，故舍去，所以满足条件的2a =. …………………………………………………………………12分 又2(1)m a b m =+-，12n n b b -=⋅，故()1212n b m t b -+-+=⋅，即：()1212n m b t--+=+①若1210n m --+=，则2t N =-∉，不合题意；………………………………… 14分②若1210n m --+≠，则1221n t b m -+=-+，由于121n m --+可取到一切整数值，且3b ≥，故要至少存在三个b 使得()m n a t b t N +=∈成立，必须整数2t +至少有三个大于或等于3的不等的因数，故满足条件的最小整数为12，所以t 的最小值为10，此时3b =或4或12…………………………………………………………………16分附加题部分21． A ．（1）证明：连结ON ．∵PN 切⊙O 于N ，∴∠ONP=90°．∴∠ONB+∠BNP=90°． ∵OB=ON ，∴∠OBN=∠ONB ．∵BO ⊥AC 于O ，∴∠OBN +∠BMO=90°．∴∠BNP=∠BMO=∠PMN ，∴PM=PN ． ∴PM2=PN2=PA·PC ．………………………………………………………5分（2）解：OM=2，BO=23，BM=4．∵BM·MN=CM·MA=(23+2)(23-2)=8，∴MN=2．………………………………10分B ．解：MN = 1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦10201⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦=10202⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，---------------------------------------------------4分即在矩阵MN 变换下122x x x y y y ⎡⎤''⎡⎡⎤⎤⎢⎥→=⎢⎢⎥⎥⎢⎥''⎦⎦⎣⎣⎢⎦⎣，-------------------------------------7分 则1sin 22y x ''''=，即曲线sin y x =在矩阵MN 变换下的函数解析式为2sin 2y x =．----------10分C ．解：（1）圆O ：cos sin ρθθ=+，即2cos sin ρρθρθ=+， 圆O 直角坐标方程为：22x y x y +=+， 直线2sin 42l ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭:， 即sin cos 1ρθρθ-=，则直线l 的直角坐标方程为：1y x -=； --------------------------------------6分（2）由220,10,x y x y x y ⎧+--=⎨-+=⎩得0,1,x y =⎧⎨=⎩故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为(1,)2π．----------------------------------10分D ．证明：（1）当2n =时，左边＝11113123412++=>，∴2n =时成立； ----------3分（2）假设当(2)n k k =≥时成立，即21111112k k k k ++++>++，那么当1n k =+时，左边2221111()11(1)k k k k =++++++++ 222111111()11(1)k k k k k k =++++++-+++2221111(21)111(1)k k k k k k k -->++⋅-=+>++，∴1n k =+时也成立， --------------------------------------8分根据（1）（2）可得不等式对所有的1n >都成立． ---------------------------10分22．解：（1）分别记甲、乙、丙三个同学笔试合格为事件1A 、2A 、3A ；E 表示事件“恰有一人通过笔试”，则123123123()()()()P E P A A A P A A A P A A A =++0.60.50.60.40.50.=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.38=；--------------5分（2）解法一：因为甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格的概率均为0.3p =，所以~(30.3)B ξ，，故()30.30.9E np ξ==⨯=．------------10分 解法二：分别记甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格为事件A B C ，，，则()()()0.3P A P B P C ===所以2(1)3(10.3)0.30.441P ξ==⨯-⨯=， 2(2)30.30.70.189P ξ==⨯⨯=，3(3)0.30.027P ξ===．于是，()10.44120.18930.0270.9E ξ=⨯+⨯+⨯=．23．解：（1）设N(x ，y)．因PN PM +=0，故P 的坐标为(2x，0)，M(0，-y)，于是，(,)2x PM y =--，(,1)2x PF =-， 因0PM PF ⋅=，即得曲线C 的方程为x2=4y ； -------------------5分（2）设Q(m ，-1)．由题意，两条切线的斜率k 均存在，故可设两切线方程为y=k(x-m)-1， 将上述方程代入x2=4y ，得x2-4kx+4km+4=0，依题意，∆=(-4k)2-4(4km+4)=0，即k2-mk-1=0，上述方程的两根即为两切线的斜率，其积为-1，即它们所在直线互相垂直． -------------------10分。
江苏省重点学校2011届高三第一次调研联考数学测试试卷及答案解析(原始打印版)
江苏省重点学校2011届高三第一次调研联考数学测试试卷参考公式:一组样本数据n x x x ,,,21 ，方差2211()ni i s x x n ==-∑一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共70分。
请把答案填写在答题卡相应的位置上.1．命题p :2,2x R x ∃∈>，则命题p 的否定为 ▲ . 2．若复数i i i z 其中,2)1(=+是虚数单位，则复数z z ⋅= ▲ .3．已知函数2,0(),0x x f x x x ≥⎧=⎨<⎩，则((2))f f -= ▲ . 4．若123123,,,,2,3,3,3,,3n nx x x x x x x x 的方差为则的方差为 ▲ .5．一个靶子上有10个同心圆，半径依次为1、2、……、10，击中由内至外的区域的成绩依次为10、9、……、1环，则不考虑技术因素，射击一次,在有成绩的情况下成绩为10环的概率为6．已知3tan(),45παα+=则tan = ▲ .7．直线110,l x ky -+=:210l kx y -+=:，则1l ∥2l 的充要条件是 ▲ .8．已知|a |=3，|b |=4，(a +b )⋅(a +3b )=33，则a 与b 的夹角为 .9．如果执行右面的程序框图，那么输出的S = ▲ .10．设1F 和2F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两个焦点，若1F ，2F ，(0,2)P b 是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为 ▲ .11．函数2cos y x x =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上取最大值时，x 的值是___▲___． 12．我们知道若一个边长为a ，面积为S 的正三角形的内切圆半径23Sr a =，由此类比，若一个正四面体的一个面的面积为S ,体积为V ,则其内切球的半径r = ▲ .13．设12a =，121n n a a +=+，211n n n a b a +=--，*n∈b 14．图为函数()1)f x x =<<的图象，其在点(())M t f t ，l l y 处的切线为，与轴和直线1=y 分别交于点P 、Q ，点N(0，1)，若△PQN 的面积为b时的点M 恰好有两个，则b 的取值范围为 ▲ .二、解答题:本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分14分) 已知函数21()2cos 22f x x x x =--∈R ，．(Ⅰ)求函数()f x 的最小值和最小正周期；(Ⅱ)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且()0c f C ==，若sin 2sin B A =，求a ，b 的值．16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ABCD ⊥平面，AD CD =，DB 平分ADC ∠，E 为PC 的中点．(Ⅰ)证明://PA BDE 平面； (Ⅱ)证明:AC PBD ⊥平面．17. (本小题满分15分)如图,某小区准备在一直角围墙ABC 内的空地上植造一块“绿地ABD ∆”,其中AB 长为定值a ,BD 长可根据需要进行GFDC A DCBPE调节(BC 足够长).现规划在ABD ∆的内接正方形BEFG 内种花,其余地方种草,且把种草的面积1S 与种花的面积2S 的比值12S S 称为“草花比y ”.(Ⅰ)设DAB θ∠=,将y 表示成θ的函数关系式； (Ⅱ)当BE 为多长时,y 有最小值?最小值是多少?18. (本小题满分15分)已知C 过点)1,1(P ,且与M :222(2)(2)(0)x y r r +++=>关于直线20x y ++=对称.(Ⅰ)求C 的方程；(Ⅱ)设Q为C 上的一个动点,求PQ MQ ⋅的最小值；(Ⅲ)过点P 作两条相异直线分别与C 相交于B A ,,且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补,O 为坐标原点,试判断直线OP 和AB 是否平行?请说明理由.19．(本小题满分16分)已知函数()ln a f x x x =-.(Ⅰ)求函数()f x 的单调增区间；(Ⅱ)若函数()f x 在[1,]e 上的最小值为32，求实数a 的值；(Ⅲ)若函数2()f x x <在(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．20．(本小题满分16分)已知等差数列{}n a 的首项为a ，公差为b ，等比数列{}n b 的首项为b ，公比为a (其中,a b 均为正整数)． (Ⅰ) 若1122,a b a b ==，求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若1213,,,k n n n a a a a a ，，，12(3)k n n n <<<<<成等比数列，求数列{}k n 的通项公式；(Ⅲ) 若11223a b a b a <<<<，且至少存在三个不同的b 值使得等式()m n a t b t N +=∈成立，试求a 、b 的值．附加题部分(满分40分) 21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题；每题10分，共20分；解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4－1:几何证明选讲如图，⊙O 的半径OB 垂直于直径AC ，M 为AO 上一点，BM 的延长线交⊙O 于N ，过N 点的切线交CA 的延长线于P ． (1)求证:PM2=PA·PC ；(2)若⊙O 的半径为，，求MN 的长．OCM NA PB （第1题）考试证号———————————————————————B ．选修4－2:矩阵与变换试求曲线sin y x =在矩阵MN 变换下的函数解析式，其中M =1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦，N =10201⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦．C ．选修4－4:坐标系与参数方程在极坐标系下，已知圆O:cos sin ρθθ=+和直线sin 4l ρθπ⎛⎫-=⎪⎝⎭:． (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当(0,)θ∈π时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标．D ．选修4－5:不等式选讲用数学归纳法证明不等式:211111(1)12n n n n n n *++++>∈>++N 且．【必做题】第22题，23题，每题10分，共20分；解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生(可在高考中加分录取)，两次考试过程相互独立．根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析，甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是0.6，0.5，0.4，能通过面试的概率分别是0.5，0.6，0.75．(1)求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率；(2)设经过两次考试后，能被该高校预录取的人数为ξ，求随机变量ξ的期望)(ξE ．23．已知点F(0，1)，点P 在x 轴上运动，M 点在y 轴上，N 为动点，且满足0PM PF ⋅=， PN PM +=0．(1)求动点N 的轨迹C 方程；(2)由直线y= -1上一点Q 向曲线C 引两条切线，切点分别为A ，B ，求证:AQ ⊥BQ ．参考答案1、2,2x R x ∀∈≤ 2、2 3、4 4、18 5、1100 6、14-7、1- 8、120︒ 9、650 10、2 11、6π 12、34V S 13、201221- 14、18,427⎛⎫⎪⎝⎭ 15．解:(1)1cos 21()2sin 21226x f x x x +π⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭， (3分)则()f x 的最小值是－2，(4分)最小正周期是22T π==π；(6分)(2)()sin 210,sin 2166f C C C ππ⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则， 110,022,2666C C C ππ<<π∴<<π∴-<-<π， 2,623C C πππ∴-==， (8分)sin 2sin B A =， 由正弦定理，得12a b =，① (10分) 由余弦定理，得222222cos ,33c a b ab a b abπ=+-=+-即， ②由①②解得1,2a b ==． (14分) 16．证明:(1)连结AC ，设ACBD H =，连结EH ，在ADC ∆中，因为AD CD =，且DB 平分ADC ∠，所以H 为AC 的中点，又∵E 为PC 的中点， ∴//EH PA ，……………………………4分 又EH BDE ⊂平面，且PA BDE ⊄平面， ∴//PA BDE 平面；……………………7分 (2)∵PD ABCD ⊥平面，AC ABCD ⊂平面， ∴PD AC ⊥，由(1)得BD AC ⊥， 又PDDB D =， 故AC PBD ⊥平面．……………14分17. 解:(Ⅰ)因为tan BD a θ=,所以ABD ∆的面积为21tan 2a θ((0,)2πθ∈)…(2分) 设正方形BEFG 的边长为t ,则由FG DG AB DB =,得tan tan t a t aa θθ-=,解得tan 1tan a t θθ=+,则2222tan (1tan )a S θθ=+…………………………………………………………(6分)所以222212211tan tan tan 22(1tan )a S a S a θθθθ=-=-+,则212(1tan )12tan S y S θθ+==- (9分)(Ⅱ)因为tan (0,)θ∈+∞,所以1111(tan 2)1(tan )2tan 2tan y θθθθ=++-=+1≥… (13分) 当且仅当tan 1θ=时取等号,此时2aBE =.所以当BE 长为2a时,y 有最小值1…………………………… (15分) 18. 解:(Ⅰ)设圆心C (,)a b ,则222022212a b b a --⎧++=⎪⎪⎨+⎪=⎪+⎩,解得00a b =⎧⎨=⎩…………… (3分) 则圆C 的方程为222x y r +=,将点P 的坐标代入得22r =,故圆C 的方程为222x y +=…………………… (5分) (Ⅱ)设(,)Q x y ,则222x y +=,且(1,1)(2,2)PQ MQ x y x y ⋅=--⋅++… (7分) =224x y x y +++-=2x y +-,所以PQ MQ ⋅的最小值为4-(可由线性规划或三角代换求得)…(10分)(Ⅲ)由题意知, 直线PA 和直线PB 的斜率存在,且互为相反数,故可设:1(1)PA y k x -=-,:1(1)PB y k x -=--,由221(1)2y k x x y -=-⎧⎨+=⎩,得222(1)2(1)(1)20k x k k x k ++-+--= …………………………………………(11分)因为点P 的横坐标1x =一定是该方程的解,故可得22211A k k x k --=+………… (13分) 同理,22211B k k x k +-=+, 所以(1)(1)2()1B A B A B A AB B A B A B Ay y k x k x k k x x k x x x x x x ------+====---=OP k所以,直线AB 和OP 一定平行……………………………………(15分)19、解:(1)由题意，()f x 的定义域为(0,)+∞，且221()a x a f x x x x +'=+=．……2分①当0a ≥时，()0f x '>，∴()f x 的单调增区间为(0,)+∞．………………(3分) ②当0a <时，令()0f x '>，得x a >-，∴()f x 的单调增区间为(,)a -+∞．…4分(2)由(1)可知，2()x af x x +'=①若1a ≥-，则0x a +≥，即()0f x '≥在[1,]e 上恒成立，()f x 在[1,]e 上为增函数，∴min 3[()](1)2f x f a ==-=，∴32a =-(舍去)．…………… (6分) ②若a e ≤-，则0x a +≤，即()0f x '≤在[1,]e 上恒成立，()f x 在[1,]e 上为减函数，∴min 3[()]()12a f x f e e ==-=，∴2e a =-(舍去)．………………………8分 ③若1e a -<<-，当1x a <<-时，()0f x '<，∴()f x 在(1,)a -上为减函数， 当a x e -<<时，()0f x '>，∴()f x 在(,)a e -上为增函数，∴min 3[()]()ln()12f x f a a =-=-+=，∴a =综上所述，a =………………………………………………………………10分(3)∵2()f x x <，∴2ln ax x x -<．∵0x >，∴3ln a x x x >-在(1,)+∞上恒成立……………………………12分令32()ln ,()()1ln 3g x x x x h x g x x x '=-==+-，则2116()6x h x x x x -'=-=. ∵1x >，∴()0h x '<在(1,)+∞上恒成立，∴()h x 在(1,)+∞上是减函数，∴()(1)2h x h <=-，即()0g x '<，∴()g x 在(1,)+∞上也是减函数，∴()(1)1g x g <=-．∴当2()f x x <在(1,)+∞恒成立时，1a ≥-．……………………………………16分20．解:(Ⅰ)由1122,a b a b ==得:a ba b ab=⎧⎨+=⎩，解得:0a b ==或2a b ==，,a b N +∈， 2a b ∴==，从而2,2nn n a n b ==…………………………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)得132,6a a ==，∴1213,,,k n n n a a a a a ，，，构成以2为首项，3为公比的等比数列，即:123k k n a +=⋅ ……………………………………………………… 7分1223k k n +=⋅，13k k n +∴=…………………………………………10分(Ⅲ) 由11223a b a <<<得:2a b a b ab a b <<+<<+，由a b ab +<得:()1a b b->；由2ab a b <+得:()12a b b-<，而*,,a b N a b ∈<，即:1b a >≥，从而得:12211241111b b a b b b b <+=<<=+≤----，2,3a ∴=，当3a =时，2b =不合题意，故舍去，所以满足条件的2a =. …………………………………………………………………12分 又2(1)m a b m =+-，12n n b b -=⋅，故()1212n b m t b -+-+=⋅，即:()1212n m b t--+=+①若1210n m --+=，则2t N =-∉，不合题意；………………………………… 14分②若1210n m --+≠，则1221n t b m -+=-+，由于121n m --+可取到一切整数值，且3b ≥，故要至少存在三个b 使得()m n a t b t N +=∈成立，必须整数2t +至少有三个大于或等于3的不等的因数，故满足条件的最小整数为12，所以t 的最小值为10，此时3b =或4或12…………………………………………………………………16分附加题部分21． A ．(1)证明:连结ON ．∵PN 切⊙O 于N ，∴∠ONP=90°．∴∠ONB+∠BNP=90°． ∵OB=ON ，∴∠OBN=∠ONB ．∵BO ⊥AC 于O ，∴∠OBN +∠BMO=90°．∴∠BNP=∠BMO=∠PMN ，∴PM=PN ． ∴PM2=PN2=PA·PC ．………………………………………………………5分(2)解:OM=2，BO=BM=4．∵BM·MN=CM·MA=(+2)(-2)=8，∴MN=2．………………………………10分B ．解:MN = 1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦10201⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦=10202⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，---------------------------------------------------4分即在矩阵MN 变换下122x x x y y y ⎡⎤''⎡⎡⎤⎤⎢⎥→=⎢⎢⎥⎥⎢⎥''⎦⎦⎣⎣⎢⎦⎣，-------------------------------------7分 则1sin 22y x ''''=，即曲线sin y x =在矩阵MN 变换下的函数解析式为2sin 2y x =．----------10分C ．解:(1)圆O:cos sin ρθθ=+，即2cos sin ρρθρθ=+， 圆O 直角坐标方程为:22x y x y +=+，直线sin 4l ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭:， 即sin cos 1ρθρθ-=，则直线l 的直角坐标方程为:1y x -=； --------------------------------------6分(2)由220,10,x y x y x y ⎧+--=⎨-+=⎩得0,1,x y =⎧⎨=⎩故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为(1,)2π．----------------------------------10分D ．证明:(1)当2n =时，左边＝11113123412++=>，∴2n =时成立； ----------3分(2)假设当(2)n k k =≥时成立，即21111112k k k k ++++>++， 那么当1n k =+时，左边2221111()11(1)k k k k =++++++++ 222111111()11(1)k k k k k k =++++++-+++2221111(21)111(1)k k k k k k k -->++⋅-=+>++，∴1n k =+时也成立， --------------------------------------8分根据(1)(2)可得不等式对所有的1n >都成立． ---------------------------10分22．解:(1)分别记甲、乙、丙三个同学笔试合格为事件1A 、2A 、3A ；E 表示事件“恰有一人通过笔试”，则123123123()()()()P E P A A A P A A A P A A A =++0.60.50.60.40.50.60.40.50.4=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.38=；--------------5分(2)解法一:因为甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格的概率均为0.3p =，所以~(30.3)B ξ，，故()30.30.9E np ξ==⨯=．------------10分 解法二:分别记甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格为事件AB C ，，， 则()()()0.3P A P B P C ===所以2(1)3(10.3)0.30.441P ξ==⨯-⨯=， 2(2)30.30.70.189P ξ==⨯⨯=，3(3)0.30.027P ξ===． 于是，()10.44120.18930.0270.9E ξ=⨯+⨯+⨯=．23．解:(1)设N(x ，y)．因PN PM +=0，故P 的坐标为(2x，0)，M(0，-y)，于是，(,)2x PM y =--，(,1)2x PF =-， 因0PM PF ⋅=，即得曲线C 的方程为x2=4y ； -------------------5分(2)设Q(m ，-1)．由题意，两条切线的斜率k 均存在，故可设两切线方程为y=k(x-m)-1， 将上述方程代入x2=4y ，得x2-4kx+4km+4=0，依题意，∆=(-4k)2-4(4km+4)=0，即k2-mk-1=0，上述方程的两根即为两切线的斜率，其积为-1，即它们所在直线互相垂直． -------------------10分。
江苏省南京市2011届四星高中高三数学摸底试卷一
江苏省南京市2011届四星高中高三摸底试卷一（数学）一、填空题：本大题共14小题，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．1．若复数(2)a ai +-（i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ．2．若1sin()63πα-=-，则cos()3πα+= ▲ ． 3．过原点作曲线x y e =的切线，则切线方程为 ▲ ． 4．设集合11{33},{0}3x x A x B x x-=<<=<，则A B =____ ▲ _______. 5．根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20-80mg/100ml （不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100ml （含80）以上时，属醉酒驾车．据《法制晚报》报道，2010年3月15日至3 月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如图是对这28800人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为_______▲______．6. 已知扇形的半径为10㎝，圆心角为120°，则扇形的面积为______▲_______．7. 将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是______▲_______．8. 把一根均匀木棒随机地按任意点拆成两段，则“其中一段长度大于另一段长度2倍”的概率为______▲_______．9. 学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图2所示，其中支出在[50,60)元的同学有30人，则n 的值为______▲_______．10. 已知抛物线)0(22>=p px y 焦点F 恰好是双曲线22221x y a b -=的右焦点，且双曲线过点（2232,a b p p ），则该双曲线的渐近线方程为______▲_______．11. 已知函数22log (1),0,()2,0.x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩ 若函数元频率组距 20 30 40 50 60 0.01 0.0360.024图2()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围是______▲_______．12. 当210≤≤x 时，21|2|3≤-x ax 恒成立，则实数a 的取值范围是______▲_______． 13. 首项为正数的数列{}n a 满足211(3),.4n n a a n N ++=+∈,若对一切n N +∈都有1n n a a +>，则1a 的取值范围是______▲_______．14．已知函数1)(-=x x f ，关于x 的方程0)()(2=+-k x f x f ，给出下列四个命题：① 存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根；② 存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根；③ 存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根；④ 存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根.其中真命题的序号为______▲_______．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. （本小题满分14分）已知A B C 、、为ABC ∆的三个内角，且其对边分别为a b c 、、，且22cos cos 02+=A A ．（1）求角A 的值； （2）若23,4a b c =+=，求ABC ∆的面积．16、如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA=AB=1，AD=3，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动．（1）求三棱锥E －PAD 的体积；（2）点E 为BC 的中点时，试判断EF 与平面PAC 的位置关系，并说明理由；（3）证明：无论点E 在BC 边的何处，都有PE ⊥AF ．17. 某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为k 米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连．经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为8k 元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x 米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为(102420)2100x x k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦元。
南师附中2011届高三模拟考试(数学)
南师附中2011届高三模拟考试数 学(满分160分，考试时间120分钟)2011．05一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |log 2x ＞1}，则∁U A ＝______________.2. 已知复数z ＝2i1＋i，则该复数的虚部为______________．3. 已知双曲线过点(2,1)且一条渐近线方程为x －y ＝0，则该双曲线的标准方程为__________．4. 在如图所示的流程图中，输出的结果是__________．(第4题)5. 在△ABC 中，三边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，若A ＝30°，a ＝1，b ＝2，则B ＝____________.6. 已知向量a 与b 的夹角为150°，且|a|＝2，|b|＝3，则(2a ＋b )·a ＝____________.7. 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x (x ≥0)，－x 2－4x (x ＜0)，若f (x )≤3，则x 的取值范围是____________．8. 如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2图象的一部分，则此函数的表达式为____________．(第8题)9. 某人2011年初向银行申请个人住房公积金贷款a (a ＞0)元购买住房，年利率为r (r ＞0)，按复利计算，每年等额还贷一次，并从贷款后的次年初开始还贷．如果10年还清，那么每年应还贷款__________元．(用a 、r 表示)10. 已知函数f (x )＝xx ＋a，若函数y ＝f (x ＋2)－1为奇函数，则实数a ＝____________.11. 已知等差数列{a n }的公差不为零且a 3、a 5、a 8依次成等比数列，则S 5a 9＝______________.12. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右准线与x 轴交于点A ，点B 的坐标为(0，a )，若椭圆上的点M 满足AB →＝2AM →，则椭圆C 的离心率为____________．13. 在平面直角坐标系xOy 中，集合M ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，N ＝{(x －y ，x ＋y )|(x ，y )∈M }，则当(x ，y )∈N 时，z ＝x －2y 的最大值为______________．14. 已知函数f (x )＝4x ＋k ·2x ＋14x ＋2x ＋1，若对于任意实数x 1、x 2、x 3，均存在以f (x 1)、f (x 2)、f (x 3)为三边边长的三角形，则实数k 的取值范围是____________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)某学科在市模考后从全年级抽出50名学生的学科成绩作为样本进行分析，得到样本频率分布直方图如图所示．(1) 估计该次考试该学科的平均成绩；(2) 为详细了解每题的答题情况，从样本中成绩在70～90之间的试卷中任选2份进行分析，求至少有1份试卷成绩在70～80之间的概率．16.(本小题满分14分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos A ＝13.(1) 求2sin 2⎝⎛⎭⎫π3＋B ＋C 2＋sin 4π3cos ⎝⎛⎭⎫π2＋A 的值； (2) 若a ＝3，求三角形面积的最大值．17. (本小题满分14分)如图，在四棱锥P —ABCD 中，四边形ABCD 为矩形，AB ⊥BP ，M 、N 分别为AC 、PD 的中点．求证：(1) MN ∥平面ABP ；(2) 平面ABP ⊥平面APC 的充要条件是BP ⊥PC .18. (本小题满分16分)已知直线l 1、l 2分别与抛物线x 2＝4y 相切于点A 、B ，且A 、B 两点的横坐标分别为a 、b (a 、b ∈R )．(1) 求直线l 1、l 2的方程；(2) 若l 1、l 2与x 轴分别交于P 、Q ，且l 1、l 2交于点R ，经过P 、Q 、R 三点作⊙C . ① 当a ＝4，b ＝－2时，求⊙C 的方程；② 当a ，b 变化时，⊙C 是否过定点？若是，求出所有定点坐标；若不是，请说明理由．19. (本小题满分16分)已知数列{a n }的前n 项的和为S n ，且S n ＝2n ＋7－2a n . (1) 求证：{a n －2}为等比数列；(2) 是否存在实数k ，使得a n ≤n 3＋kn 2＋9n 对于任意的n ∈N *都成立？若存在，求出实数k 的取值范围；若不存在，说明理由．20. (本小题满分16分)已知函数f (x )＝12ax 2－2x ＋2＋ln x ，a ∈R .(1) 当a ＝0时，求f (x )的单调增区间；(2) 若f (x )在(1，＋∞)上只有一个极值点，求实数a 的取值范围；(3) 对于任意x 1、x 2∈(0,1]，都有|x 1－x 2|≤|f (x 1)－f (x 2)|，求实数a 的取值范围.南京市名校2011届高三模拟考试数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. [选做题]在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. 选修41：几何证明选讲如图，D 为△ABC 的BC 边上的一点，⊙O 1经过点B 、D ，交AB 于另一点E ，⊙O 2经过点C 、D ，交AC 于另一点F ，⊙O 1、⊙O 2交于点G .求证：(1) ∠BAC ＋∠EGF ＝180°； (2) ∠EAG ＝∠EFG .B. 选修42：矩阵与变换已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－22－2，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，试计算M 9β.C. 选修44：坐标系与参数方程已知曲线⎩⎨⎧ x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)和曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2t ＋2，y ＝3t (t 为参数)相交于两点A 、B ，求A 、B 的坐标．D. 选修45：不等式选讲已知x 、y 均为正数，且x >y ，求证：2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3.[必做题]第22、23题，每小题10分，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝4，E 为BC 的中点，F为直线CC 1上的动点，设C 1F →＝λFC →.(1) 当λ＝1时，求二面角F —DE —C 的余弦值； (2) 当λ为何值时，有BD 1⊥EF?23. 某养鸡场对疑似有传染病的100只鸡进行抽血化验，根据流行病学理论这些鸡的感染率为10%，为了减少抽检次数，首先把这些鸡平均分成若干组，每组n 只，并把同组的n 只鸡抽到的血混合在一起化验一次，若发现有问题，再分别对该组n 只鸡逐只化验．(1) 当n ＝4时，记某一组中病鸡的数量为X ，求X 的概率分布和数学期望； (2) 当n 为多少时，化验次数最少？并说明理由．南京市名校2011届高三模拟考试数学参考答案及评分标准1. (－∞，2]2. 13. x 23－y 23＝1 4. 10 5. 45°或135° 6. 5 7. [－1,9]∪(－∞，－3]8. y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 9. ar (1＋r )10(1＋r )10－110. －2 11. 2 12. 22 13. 3 14. －12≤k ≤4 15. 解：(1) 用每组中的平均值作为每组中的样本数据，直接算得平均成绩为103.4.(5分)(2) 样本中成绩在70～80之间有2人，设其编号为①②，样本中成绩在80～90之间有4人，设其编号为③④⑤⑥，从上述6人中任取2人的所有选取可能为：①②，①③，①④，①⑤，①⑥；②③，②④，②⑤，②⑥； ③④，③⑤，③⑥；④⑤，④⑥；⑤⑥.(9分)故从样本中成绩在70～90之间任选2人所有可能结果数为15，(12分)至少有1人成绩在70～80之间可能结果数为9，因此，所求概率为P 2＝0.6.(14分)16. 解：(1) 2sin 2⎝⎛⎭⎫π3＋B ＋C 2＋sin 4π3cos ⎝⎛⎭⎫π2＋A ＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋B ＋C ＋sin π3sin A (2分) ＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫5π3－A ＋sin π3sin A ＝1＋cos 5π3cos A ＋sin 5π3sin A ＋sin π3sin A＝1＋cos π3cos A －sin π3sin A ＋sin π3sin A＝76.(6分) (2) ∵ b 2＋c 2－a 22bc ＝cos A ＝13，∴ 23bc ＝b 2＋c 2－a 2≥2bc －a 2.(8分)又a ＝3，∴ bc ≤94，当且仅当b ＝c ＝32时，bc ＝94，故bc 的最大值是94.(10分)∵ cos A ＝13，∴ sin A ＝223，S ＝12bc sin A ≤342.(12分)故三角形面积的最大值是324.(14分)17. 证明：(1) 连结BD ，由已知，M 为AC 和BD 的中点．又N 为PD 的中点，∴ MN ∥BP .∵ MN ⊂面ABP ，∴ MN ∥面ABP .(6分) (2) ∵ AB ⊥BP ，AB ⊥BC ，∴ AB ⊥面BPC ， ∴ AB ⊥PC .(8分) 充分性：∵ BP ⊥PC ，∴ PC ⊥面ABP ， 平面ABP ⊥平面APC .(10分)必要性：过点B 作BE ⊥AP 于E ， ∵ 平面ABP ⊥平面APC ， ∴ BE ⊥面APC ，∴ BE ⊥PC .∵ PC ⊥AB ， ∴ PC ⊥面ABP ， ∴ BP ⊥PC .(14分)18. 解：(1) A ⎝⎛⎭⎫a ，a 24，B ⎝⎛⎭⎫b ，b 24，记f (x )＝x 24，f ′(x )＝x 2，则l 1的方程为y －a 24＝a 2(x －a )，即y ＝a 2x －a 24；同理得l 2的方程为y ＝b 2x －b24.(6分)(2) 由题意a ≠b 且a 、b 不为零，联立方程组可求得P ⎝⎛⎭⎫a 2，0，Q ⎝⎛⎭⎫b 2，0，R ⎝⎛⎭⎫a ＋b2，ab .(8分)抛物线的焦点F (0,1)，∵ K PF ＝－2a，∴ K PF ·K P A ＝－1，故l 1⊥PF ，同理l 2⊥RF .(10分)∴ 经过P 、Q 、R 三点的⊙C 就是以FR 为直径的圆，∴ ⊙C ：x ⎝⎛⎭⎫x －a ＋b 2＋(y －1)(y －ab )＝0，当a ＝4，b ＝－2时，⊙C ：x 2＋y 2－x ＋7y －8＝0，(14分) 显然当a ≠b 且a 、b 不为零时，⊙C 总过定点F (0,1)．(16分) 19. (1) 证明：n ＝1时，a 1＝S 1＝2＋7－2a 1，解得a 1＝3.(2分) n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2－2a n ＋2a n －1，即3a n ＝2a n －1＋2，可得a n －2＝23(a n －1－2)，所以{a n －2}是首项为1，公比为23的等比数列．(6分)(2) 解：由(1)可得：a n －2＝⎝⎛⎭⎫23n －1，所以a n ＝2＋⎝⎛⎭⎫23n －1.由2＋⎝⎛⎭⎫23n －1≤n 3＋kn 2＋9n 得k ≥2n 2＋⎝⎛⎭⎫23n －1n2－⎝⎛⎭⎫n ＋9n ，(8分) 只需求出p (n )＝2n 2＋⎝⎛⎭⎫23n －1n2－⎝⎛⎭⎫n ＋9n 的最大值即可． 设f (n )＝2n 2，g (n )＝⎝⎛⎭⎫23n －1n2，h (n )＝－⎝⎛⎭⎫n ＋9n ，(10分) 易得f (n )单调递减，g (n )g (n ＋1)＝⎝⎛⎭⎫23n －1n 2÷⎝⎛⎭⎫23n (n ＋1)2＝32⎝⎛⎫n ＋1n 2＞1，所以g (n )＜g (n ＋1)，(12分) 故g (n )单调递减，h (n )－h (n ＋1)＝⎝⎛⎭⎫n ＋1＋9n ＋1－⎝⎛⎭⎫n ＋9n ＝n 2＋n －9n (n ＋1)，当n ≥3时，h (n )＞h (n ＋1)，故n ≥3时，h (n )单调递减，所以n ≥3时，p (n )＝2n 2＋⎝⎛⎭⎫23n －1n2－⎝⎛⎭⎫n ＋9n 随着n 的增大而减小，(14分) 而p (1)＝－7，p (2)＝－356，p (3)＝－46481，所以p (n )的最大值为p (3)＝－46481，故k ≥－46481.(16分)20. 解：(1) 当a ＝0时，f (x )＝－2x ＋2＋ln x ，令f ′(x )＝1x －2＝1－2x x ＞0，解出：0＜x＜12， 所以f (x )的单调增区间为⎝⎛⎭⎫0，12或⎝⎛⎦⎤0，12.(3分) (2) 令f ′(x )＝ax －x ＋1x ＝ax 2－2x ＋1x＝0，f (x )在(1，＋∞)上只有一个极值点⇔f ′(x )＝0在(1，＋∞)上只有一个根且不是重根．(5分)令g (x )＝ax 2－2x ＋1，x ∈(1，＋∞)，① 当a ＝0时，g (x )＝－2x ＋1，不在(1，＋∞)上有一个根，舍去；② 当a ＞0时，g (x )＝ax 2－2x ＋1，在(1，＋∞)上只有一个根且不是重根⇔g (1)＜0⇔0＜a ＜1；③ 当a ＜0时，g (x )＝ax 2－2x ＋1，在(1，＋∞)上只有一个根且不是重根⇔g (1)＞0⇔a ＞1；矛盾．综上所述，实数a 的取值范围是0＜a ＜1.(8分) 注：②③可以合并为：ag (1)＜0⇔0＜a ＜1.(3) 当x 1＝x 2，显然满足，以下讨论x 1≠x 2的情况．① 当a ≥1时，f ′(x )＝ax 2－2x ＋1x ＝a ⎝⎛⎭⎫x －1a 2－1a＋1x，∵ x ∈(0,1]，1a ∈(0,1]，∴ a ⎝⎛⎭⎫x －1a 2－1a ＋1≥1－1a≥0，得到f ′(x )≥0， 即f (x )在(0,1]上单调递增．(10分)对于任意x 1、x 2∈(0,1]，不妨设x 1＜x 2，则有f (x 1)＜f (x 2)，且x 2＞x 1代入不等式 |x 1－x 2|≤|f (x 1)－f (x 2)|⇔f (x 2)－f (x 1)≥x 2－x 1⇔f (x 2)－x 2≥f (x 1)－x 1，引入新函数：h (x )＝f (x )－x ＝12ax 2－3x ＋2＋ln x ，h ′(x )＝ax －3＋1x ＝ax 2－3x ＋1x，所以问题转化为h ′(x )≥0，x ∈(0,1]上恒成立⇔ax 2－3x ＋1≥0⇔a ≥3x －1x 2⇔a ≥⎝⎛⎭⎫3x －1x 2max .令l (x )＝3x －1x 2，通过求导或不等式判断都可以：l ′(x )＝2－3x x 3，当0＜x ＜23，l ′(x )＞0；23＜x ＜1，l ′(x )＜0，所以当x ＝23，l (x )max ＝l ⎝⎛⎭⎫23＝94，所以a ≥94；(13分)② 当a ＜1且a ≠0时，f ′(x )＝ax 2－2x ＋1x，令k (x )＝ax 2－2x ＋1＝0，方程判别式Δ＝4－4a ＞0，且k (1)＝a －1＜0；所以f (x )在(0,1)上只有一个极大值．不妨设极大值点为x 1，记A (x 1，f (x 1))，在A 点处的切线的斜率为0；过A 点作一条割线AB ，肯定存在点B (x 2，f (x 2))使得|k AB |＜1.因为|k AB |慢慢变成0.这样存在x 1、x 2，使得|f (x 1)－f (x 2)||x 1－x 2|＜1与|x 1－x 2|≤|f (x 1)－f (x 2)|矛盾．当a ＝0时，f (x )在(0,1)上只有一个极大值，同样得出矛盾．综上所述，求实数a 的取值范围为a ≥94.(16分)第 10 页 共 11 页 金太阳新课标资源网南京市高三数学附加题参考答案 第页(共2页)南京市名校2011届高三模拟考试数学附加题参考答案及评分标准21. A. 证明：(1)连结GD ，由B 、D 、E 、G 四点共圆，可得∠EGA ＝∠B ，同理∠FGA ＝∠C ，故∠BAC ＋∠EGF ＝∠BAC ＋∠B ＋∠C ＝180°.(5分)(2) 由题知E 、G 、F 、A 四点共圆，故∠EAG ＝∠EFG .(10分)B. 解：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－32－2λ＋2＝(λ－3)(λ＋2)＋4＝λ2－λ－2＝0，得λ1＝2，λ2＝－1.(4分)当λ1＝2时，对应的特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21； 当λ1＝－1时，对应的特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤45＝α1＋2α2，(8分)所以M 9β＝29⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋(－1)92⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 022 508.(10分)C. (2,0)和⎝⎛⎭⎫1，32(10分) D. 证明： 因为x ＞0，y ＞0，x －y ＞0，所以2x ＋1x 2－2xy ＋y 2－2y ＝2(x －y )＋1(x －y )2(4分) ＝(x －y )＋(x －y )＋1(x －y )2≥33(x －y )2·1(x －y )2＝3， 所以2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3.(10分)22. (1) 解：建立空间直角坐标系，则E (1,0,0)，F (0,0,1)，EF →＝(－1,0,1)． 设平面ABCD 的法向量为n ，则n ＝(0,0,1)．D (0，－2,0)，F (0,0,2)，∴ EF →＝(－1,0,2)，DF →＝(0,2,2)．设平面FDE 的法向量为m ，则m·DF →＝0，m ·EF →＝0，m ＝(2，－1,1)．(4分)∴ cos 〈m ，n 〉＝m·n|m||n|＝66.∴ 二面角F —DE —C 的余弦值为66.(6分)(2) 显然D 1(0，－2,4)，B (2,0,0)，设F (0,0，t )，则EF →＝(－1,0，t )，BD 1＝(－2，－2,4)．要使EF ⊥BD 1，只要EF →·BD 1→＝0,2＋4t ＝0，t ＝－12. ∴ λ＝－9.(10分)23. 解：(1) 由题意X 服从B (4,0.9)，概率分布略，E (X )＝4×0.9＝0.36.(4分) (2) 由题意n ＝1,2,4,5,10,20,25,50,100.当n ＝1或100时，就是逐只检验，检验次数为100.(5分) 当n ∈{2,4,5,10,20,25,50}，将100只鸡平均分成100n组，每组n 只，设X 为n 只鸡中的病鸡数，则X 服从B (n,0.9)，这n 只鸡中无病鸡的概率为0.9n ，这时化验1次；若n 只鸡中有病鸡，其概率为1－0.9n ，金太阳新课标资源网 第 11 页 共 11 页 金太阳新课标资源网 此时化验n ＋1次．设Y 为nE (Y )＝0.9n ＋(n ＋1)(1－0.9n )－0.1)n . 则100n组共需化验次数为 E (Y )＝100n[n ＋1－n ·(1－0.1)n ] ≈100n ⎣⎡⎦⎤n ＋1－n ·⎝⎛⎭⎫1－0.1n ＋n 2－n 2×0.12 ＝100n ⎝⎛⎭⎫1＋0.1n 2－n 2－n 200 ＝100n＋9.5n ＋0.5，(8分) 函数f (x )＝100x＋9.5x 在(0,3]内递减，在[4，＋∞)内递增． 又f (2)＝69，f (4)＝63，故n ＝4时，化验次数最少．(10分)。
南京市2011届高三第一次模拟考试
南京市2011届高三第一次模拟考试21. A。
选修4-1：几何证明选讲证明：（方法1)连结BE。
因为AB是半圆O的直径，E为圆周上一点，所以∠AEB＝90°，即BE⊥AD.又AD⊥l，所以BE∥l.所以∠DCE＝∠CEB。
(5分)因为直线l是圆O的切线,所以∠DCE＝∠CBE，所以∠CBE＝∠CEB，所以CE＝CB.（10分）（方法2）连结AC、BE,在DC延长线上取一点F.因为AB是半圆O的直径，C为圆周上一点，所以∠ACB＝90°，即∠BCF＋∠ACD＝90°.又AD⊥l，所以∠DAC＋∠ACD＝90°。
所以∠BCF＝∠DAC.(5分）又直线l是圆O的切线，所以∠CEB＝∠BCF。
又∠DAC＝∠CBE,所以∠CBE＝∠CEB。
所以CE＝CB.（10分)B. 选修4.2：矩阵与变换解：（方法1)在直线l：x＋y＋2＝0上分别取两点A(－2,0）,B（0,－2)．A、B在矩阵M对应的变换作用下分别对应于点A′、B′。
因为错误!错误!＝错误!,所以A′的坐标为(－2，－2b）;错误!错误!＝错误!,所以B′的坐标为(－2a,－8)．（6分）由题意A′、B′在直线m：x－y－4＝0上，所以错误!解得a＝2，b＝3.（10分）（方法2)设直线l：x＋y＋2＝0上任意点（x，y)在矩阵M对应的变换作用下对应于点（x′，y′）．因为错误!错误!＝错误!,所以x′＝x＋ay，y′＝bx＋4y。
解得x＝错误!，y＝错误!。
（6分)因此错误!＋错误!＋2＝0，即（b－4)x′＋（a－1)y′＋（2ab－8)＝0.因为直线l在矩阵M对应的变换作用下得到直线m：x－y－4＝0.所以错误!＝错误!＝错误!。
解得a＝2，b＝3.（10分）C. 选修4-4：坐标系与参数方程解:分别将圆C和直线l的极坐标方程化为直角坐标方程:圆C：x2＋y2＝10x，即(x－5）2＋y2＝25，圆心C（5,0)．直线l：3x－4y－30＝0。
南京市高三一模(数学)含答案
南京市2011届高三第一次模拟考试（数学）2011.01参考公式：1.样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中x 是这组数据的平均数。
2.柱体、椎体的体积公式：1,3V Sh V Sh ==柱体椎体，其中S 是柱（锥）体的底面面积，h 是高。
一、填空题：（5分×14=70分）1.函数22y x x =-的定义域是 .2.已知复数z 满足(2)1z i i -=+（i 为虚数单位），则z 的模为 . 3. 已知实数,x y 满足20,0,1,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2z x y =+的最小值是 . 4.如图所示的流程图，若输入的9.5x =-，则输出的结果为 .5.在集合{}2,3A =中随机取一个元素m ，在集合{}1,2,3B =中随机取一个元素n ，得到点(,)P m n ，则点P 在圆229x y +=内部的概率为 .6.已知平面向量,a b 满足||1,||2a b ==，a 与b 的夹角为3π，以,a b 为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为 .7.为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在6场比赛中的得分，用茎叶图表示如图所示，则该组数据的方差为 .8.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若tan 21tan A c B b+=，则角A 的大小为 . 9.已知双曲线C:22221(0,0)xy a b a b-=>>的右顶点、右焦点分别为A 、F,它的左准线与x 轴的交点为B ，若A 是线段BF 的中点，则双曲线C 的离心率为 .10.已知正数数列{}n a 对任意,p q N *∈，都有p q p q a a a +=⋅，若24a =，则9a = .11.已知,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面。
江苏省南京市数学一调20111
第4题 7 8 99 4 4 6 4 73 高三理科数学 2011-1-101、命题“对任意的01,23≤+-∈x x R x ”的否定是____.存在01,23>+-∈x x R x 2、函数)3(sin 12π+-=x y 的最小正周期是 π ． 3、下图是2009年举行的某次民族运动会上，七位评委为某民族舞蹈打出的分数的茎叶统计图， 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为 .答案：85，1.64、某算法的伪代码如右：则输出的结果是 9 .5、将复数3i 321++i 表示为),,(为虚数单位i R b a bi a ∈+的形式为____▲____.i 107101+6、已知数列—1，a 1，a 2，—4成等差数列,—1，b 1,b 2,b 3,—4成等比数列，则212b a a -的值为__21__. 7、已知椭圆的中心在原点、焦点在y 轴上，若其离心率是12，焦距是8， 则该椭圆的方程为 y 264 + x 248=1 ．8、已知抛物线y 2=4x 的准线与双曲线222x y 1a-=交于A 、B 两点，点F 为抛物线的焦点，若△FAB 为直角三角形，则双曲线的离心率是 _____________．39、函数2cos y x x =+在区间[0,2π上的最大值是6π10、在△ABC 中，已知向量41||||0)||||(==⋅AC AB AC AB 满足与，若△ABC 的面积是BC 边的长是．11、已知关于x 的方程1+=ax x 有一个负根，但没有正根，则实数a 的取值范围是▲ a ≥1 12、抛掷一颗骰子的点数为a ，得到函数π()sin3a f x x =， 则“ )(x f y =在[0，4]上至少有5个零点”的概率是23． 13、对于定义在R 上的函数)(x f ，有下述命题：①若)(x f 是奇函数，则)1(-x f 的图象关于点A （1，0）对称； ②若函数)1(-x f 的图象关于直线1=x 对称，则)(x f 为偶函数； ③若对R x ∈，有)(),()1(x f x f x f 则-=-的周期为2； ④函数)1()1(x f y x f y -=-=与的图象关于直线0=x 对称.其中正确命题的序号是 ．答案：① ② ③14、已知l 1和l 2是平面内互相垂直的两条直线，它们的交点为A ，动点B 、C 分别在l 1和l 2上，且BC =，过A 、B 、C 三点的动圆所形成的区域的面积为 18π . 二、解答题：本大题共6小题，共90分。
江苏省南京市2011届高三调研考试数学试卷
江苏省南京市2011届高三调研考试数学试卷2010.11一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1.将函数sin(2)3y x π=-的图象先向左平移3π，然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为 ▲ . 2.若]2,0[πθ∈，且54sin =θ，则2tan θ= ▲ .3.已知点A 、B 、C 3=4=5=，则AB CA CA BC BC AB ⋅+⋅+⋅的值是 ▲ .4.以双曲线2213x y -=的一条准线为准线，顶点在原点的抛物线方程是 ▲ .5.入射光线沿直线12+=x y 射向直线x y =, 被x y =反射后,反射光线所在的直线方程是 ▲ .6.ABC ∆的三内角A ，B ，C 所对边长分别是c b a ,,，设向量),sin ,(C b a m +=)sin sin ,3(A B c a n -+=，若//，则角B 的大小为 ▲ .7.两个正数,m n 的等差中项是5，等比中项是4.若m n >，则椭圆221x y m n+=的离心率e 的大小为 ▲ .8.函数1(0,1)x y a a a -=>≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线10(0)mx ny mn +-=> 上，则11m n+的最小值为 ▲ . 9.等差数列2008200520071,220052007,2008,,}{S S S a n S a n n 则项和是其前中=--=的值为 ▲ 10.若函数f (x )=log a (x +ax -4) ( a >0且a ≠1) 的值域为R ，则实数a 的取值范围是 ▲ .11．已知点A (－2，－1)和B(2，3)，圆C ：x 2＋y 2= m 2，当圆C 与线段．．AB 没有公共 点时，求m 的取值范围_ ▲ .12.设函数()()0,11xx a f x a a a=>≠+且，若用【m 】表示不超过实数m 的最大整数，则BEF函数【()12f x -】+【()12f x --】的值域为 ▲ . 13．设,s t 为正整数，两直线12:0:022t tl x y t l x y s s+-=-=与的交点是11(,)x y ，对于正整数(2)n n ≥，过点1(0,)(,0)n t x -和的直线与直线2l 的交点记为(,)n n x y .则数列{}n x 通 项公式n x ＝ ▲ .14.定义在R 上的函数()f x ：当sin x ≤cos x 时，()cos f x x =；当sin cos x x >时，()sin f x x =.给出以下结论：①()f x 是周期函数 ②()f x 的最小值为1- ③当且仅当2()x k k π=∈Z 时，()f x 取最大值 ④当且仅当2(21)()2k x k k πππ-<<+∈Z 时，()0f x >⑤()f x 的图象上相邻最低点的距离是2π其中正确命题的序号是 ▲ .（把你认为正确命题的序号都填上）二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答时需写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在△ABC 中，A ,B ,C 分别为a ,b ,c 边所对的角，且cos A = 45 ．⑴求sin 2B+C2+cos2A 的值；⑵若a =2，求△ABC 的面积S 的最大值．16.(1)不等式221(1)x m x ->-对满足22m -≤≤的所有m 都成立，求x 的取值范围．（2）是否存在m 使得不等式221(1)x m x ->-对满足22x -≤≤的所有实数x 的取值都成立17.如图，在四面体ABCD 中，CB=CD,BD AD ⊥，点E ，F 分别是AB,CD 的中点． 求证：（1）直线EF// 面ACD ； （2）平面⊥EFC 面BCD ．f(1,1) f(1,2) … f(1,n －1) f(1,n) f(2,1) f(2,2) … f(2,n －1) f(3,1) … f(3,n －2) … f(n,1)18.设平面向量)23,21(),1,3(=-=,若存在实数)0(≠m m 和角θ,其中)2,2(ππθ-∈，使向量θθtan ,)3(tan 2⋅+-=-+=b a m d b a c ,且⊥. (1).求)(θf m =的关系式;(2).若]3,6[ππθ-∈,求)(θf 的最小值,并求出此时的θ值.19.在平面直角坐标系xOy，已知圆心在第二象限、半径为C 与直线y=x 相切于坐标原点O ．椭圆22219x y a +=与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．（1）求圆C 的方程；（2）圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使||||QF OF =（F 为椭圆右焦点），若存在，请 求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．20.一个三角形数表按如下方式构成：第一行依次写上n(n ≥4)个数，在上一行的每相邻两数的中间正下方写上这两数之和，得到下一行，依此类推．记数表中第i 行的第j 个数为f(i,j)．(1)若数表中第i (1≤i ≤n －3)行的数依次成等差数列，求证：第i+1行的数也依次成等差数列；(2)已知f(1,j)=4j ，求f(i,1)关于i 的表达式；(3)在(2)的条件下，若f(i,1)=(i+1)(a i －1)，b i =1a i a i+1，试求一个函数g(x)，使得 S n =b 1g(1)+b 2g(2)+…+b n g(n )＜13 ，且对于任意的m ∈(14 ,13 )，均存在实数λ ，使得当n ＞λ时，都有S n >m.江苏省南京市2011届高三调研考试数学试卷参考答案一、填空题： 1.sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭2.213.-254.2266y x y x ==-或5.x-2y-1=06.π65 8.2 9. 2008- 10.(0,1)(1,4]11.m 0m m m <≠ 12.{1,0}- 13.21n sx n =+ 14.①④⑤二、解答题：15. ⑴sin 2B+C 2+cos2A = 1-cos(B+C )2+cos2A = 1+cos2A 2+2cos 2A -1=sin 2B+C 2 +cos2A=1-cos(B+C )2+cos A = 1+cos2A 2+2cos 2A -sin 2B+C 2+cos2A = 5950． ⑵∵cos A =45 ,∴sin A =35 由SΔABC = 12bc sin A = 310bc ,∵a =2,由余弦定理得：a 2= b 2+c 2-2bc cosA=4,∴85bc +4= b 2+c 2≥2bc , bc ≤10,13sin 3210ABCSbc A bc ∴=⨯=≤, 当且仅当b =c 时，取得最大值，所以当b = c 时，△ABC 的面积S 的最大值为3． 16.(1)变形为2(1)(12)0x m x -⋅+-<)(*, 设2()(1)(12),f m x m x =-+-]2,2[-∈m要使0)(<m f 恒成立，只须满足22(2)(1)2(12)0(2)(1)(2)(12)0f x x f x x ⎧=-⋅+-<⎨-=--+-<⎩,x << ∴x x <． （2）整理变形为2210mx x m -+-<)(*，设2()21f x mx x m =-+-,[2,2]x ∈-①当0m =时，()21f x x =-+在[2,2]x ∈-上为减函数，所以min ()(2)3f x f ==-，不合题意．②当0m >时, (1)30f -=>，所以不能让22x -≤≤的所有实数x 的取值都成立． ③当0m <时，(0)10f m =->显然不合题意，舍去．综上, 不存在m 使得不等式221(1)x m x ->-对满足22x -≤≤的所有实数x 的取值都成立． 17.证明：（1）∵E,F 分别是AB BD ，的中点． ∴EF 是△ABD 的中位线，∴E F ∥AD ，∵E F ∥⊄面ACD ，AD ⊂面ACD ，∴直线E F ∥面ACD ； （2）∵AD ⊥BD ，E F ∥AD ，∴E F ⊥BD ， ∵CB=CD ，F 是ＢＤ的中点，∴CF ⊥BD 又EF ∩CF=F, ∴BD ⊥面EFC ， ∵B D ⊂面BCD ，∴面EFC ⊥面BCD18.解:(1)∵⊥,且120===⋅，∴0)tan 3(tan 232=-+-=⋅m θθ∴)2,2(),tan 3(tan 41)(3ππθθθθ-∈-==f m (2)设θtan =t ,又∵]3,6[ππθ-∈，∴]3,33[-∈t ，则)3(41)(3t t t g m -== )1(43)(''2-==t t g m 令0)('=t g 得1-=t (舍去) 1=t∴)1,33(-∈t 时0)('<t g ,)3,1(∈t 时0)('>t g ,∴1=t 时,即4πθ=时， )1(g 为极小值也是最小值,)(t g 最小值为21-.19.(1)圆C ：22(2)(2)8x y ++-=；（2）由条件可知5a =，椭圆221259y x +=，∴F (4,0)，若存在，则F 在OQ 的中垂线 上，又O 、Q 在圆C 上，所以O 、Q 关于直线CF 对称；直线CF 的方程为11(1)3y x -=--,即340x y +-=，设Q (,)x y ，则334022y x y x ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩=+-=，解得45125x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩==所以存在，Q 的坐标为412(,)55．20.(1)数表中第1i +行的数依次所组成数列的通项为()1,f i j +，则由题意可得()()()()()1,11,,1,2,(,1)f i j f i j f i j f i j f i j f i j ++-+=+++-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()(),2,f i j f i j =+-2d =(其中d 为第i 行数所组成的数列的公差) (4分) (2)()1,4f j j =∴第一行的数依次成等差数列，由(1)知，第2行的数也依次成等差数列，依次类推，可知数表中任一行的数(不少于3个)都依次成等差数列。
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南京市2011届高三第一次模拟考试（数学） 2011.01
一、填空题：（5分×14=70分）
1.
函数y =
的定义域是 .
2. 已知复数z 满足(2)1z i
i -=+（i 为虚数单位）
，则z 的模为 . 3. 已知实数,x y 满足20,0,
1,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩
则2z x y =+的最小值是 . 4. 如图所示的流程图，若输入的9.5x =-，则输出的结果为 . 5.在集合{}2,3A =中随机取一个元素m ，在集合{}1,2,3B =中随机取一个元素n ，得到点(,)P m n ，则点P 在圆229x y +=内部的概率为 .
6. 已知平面向量,a b 满足||1,||2a b == ，a 与b 的夹角为3
π，以,a b
为邻边作
平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为 .
7. 为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在6场比赛中的得分，用茎叶图表示如图所示，则该组数据的方差为 .
8. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若tan 21tan A c B b
+=，则角A 的大小为 .
9. 已知双曲线C:22
22
1(0,0)x y a b a b
-=>>的右顶点、右焦点分别为A 、F,它的左准线与x 轴的交点为B ，若A
是线段BF 的中点，则双曲线C 的离心率为 .
10. 已知正数数列{}n a 对任意,p q N *
∈，都有p q p q a a a +=⋅，若24a =，则9a = .
11.已知,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面。
下列命题：
①若,,||,||,l m l m ααββ⊂⊂则||αβ； ②若,||,,l l m αβαβ⊂= 则||l m ； ③若||,||,l αβα则||l β； ④若,||,||,l m l ααβ⊥则m β⊥. 其中真命题是 .（写出所有真命题的序号）.
12. 已知2()log (2)f x x =-，若实数,m n 满足()(2)3f m f n +=，则m n +的最小值是 . 13. 在△ABC 中，已知BC=2，1AB AC ⋅=
,则△ABC 面积的最大值是 . 14. 若直角坐标平面内两点P 、Q 满足条件：
① P 、Q 都在函数()f x 的图象上；
②P 、Q 关于原点对称，则称点对（P ，Q ）是函数()f x 的一个“友好点对”（点对（P ，Q ）与（Q ，P ）看作同一个“友好点对”）.
已知函数2241,0,
()2
,0,x x x x f x x e
⎧++<⎪=⎨≥⎪⎩则()f x 的“友好点对”有 个. 二、解答题：（本大题共6小题，共计90分）. 15.（本题满分14分）
已知函数()2sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的最小正周期为π
，且()4
f π
=（1）求,ωϕ的值；
（2）若6()(0)2
5
f α
απ=-<<，求cos2α的值。
16. （本题满分14分）
如图，在棱长均为4的三棱柱111ABC A B C -中，D 、1D 分别是BC 和11B C 的中点. （1）求证：11A D ∥平面1AB D ；
（2）若平面ABC ⊥平面11BCC B ，160O
B B
C ∠=，求三棱锥1B ABC
-的体积。
17. （本题满分14分）
如图，在半径为30cm 的半圆形（O 为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD ，其中点A 、B 在直径上，点C 、D 在圆周上。
（1）怎样截取才能使截得的矩形ABCD 的面积最大？并求最大面积； （2）若将所截得的矩形铝皮ABCD 卷成一个以AD 为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），应怎样截取，才能使做出的圆柱形形罐子体积最大？并求最大面积.
18. （本题满分16分）
在直角坐标系xOy 中，中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆C
上的点
到两焦点的距离之和为
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过椭圆C 的右焦点F 作直线l 与椭圆C 分别交于A 、B 两点，其中点A 在x 轴下方，且3AF FB = .
求过O 、A 、B 三点的圆的方程.
19. （本题满分16分）
将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：
1
234
56789a a a a a a a a a
已知表中的第一列数125,,,a a a 构成一个等差数列，记为{}n b ，且254,10b b ==.
表中每一行正中
间一个数137,,,a a a 构成数列{}n c ，其前n 项和为n S .
（1）求数列{}n b 的通项公式；
（2）若上表中，从第二行起，每一行．．．中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数，且131a =.①求n S ；②记{
}|(1),n M n n c n N λ*
=+≥∈，若集合M 的元素个数为3，求实数λ的取值范
围.
20. （本题满分16分）
已知函数()1ln ()f x x a x a R =--∈.
（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线的方程为330x y --=，求实数a 的值； （2）求证：()f x ≥0恒成立的充要条件是1a =；
（3）若0a <，且对任意12,(0,1]x x ∈，都有1212
11
|()()|4||f x f x x x -≤-，求实数a 的取值范围.
南京市2011届高三第一次模拟考试 数学附加题 2011.01
21.【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分. A.选修4-1：几何证明选讲
如图，AB 是半圆O 的直径，C 是圆周上一点（异于A 、B ），过C 作圆O 的切线l ，过A 作直线l 的垂线AD ，垂足为D ，AD 交半圆于点E.求证：CB=CE.
B. 选修4-2：矩阵与变换
在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y ++=在矩阵14a M b ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
对应的变换作用下得到直线
:40m x y --=，求实数,a b 的值.
C. 选修4-4: 坐标系与参数方程
在极坐标系中，圆C ：10cos ρθ=和直线:3cos 4sin 300l ρθρθ--=相交于A 、B 两点，求线段AB 的长.
D.选修4-5: 不等式选讲 解不等式|24|4||x x -<-.
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分. 22. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，
190,30,1,O O ACB BAC BC A A ∠=∠===M 是1CC 的中点.
（1）求证：11A B AM ⊥;
（2）求二面角B AM C --的平面角的大小.
23. 已知等比数列{}n a 的首项12a =，公比3q =，n S 是它的前n 项和.求证：131
n n S n S n
++≤
.。