03-空间力系的简化与平衡
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空间力系的简化
z
z 主矢，主矩
z
F1 M2
y x
F1
F2
M1
附加力偶 F'
R
A2
F2
0 An
M0 0 y
A1
0
y
Mn
Fn
x
x
Fn
O：简化中心
Fi 主矢： FR 主矩： M M M ( F ) 0 i 0 i
主矢是力系的第一不变量。
二、力系进一步简化的各种可能结果 1、 F 0 平衡力系，以后讨论 M 0 O R 与简化中心无关 合力偶 2、 FR 0 MO 0 合力 3 FR 0 MO 0 、 4 FR 0 MO 0 、 （1） F 合力 MO R FR FR
(MO rOA FR ) FR MO FR M A FR
主矢与主矩的点积也与简化中心的选择无关，称之为力 系的第二不变量 由主矢与主矩的点积是否为零，就可判定出简化的最终 是合力还是力螺旋。
特例：平面任意力系的简化
F1 A1 A2
FR
FR
o
MO
o
FR
d
o’
o
d
o’
MO 平移距离： d FR
平移方向： FR M O 的方向
（2）
FR
MO
M0
力螺旋
FR
FR 与 M O FR 与 M O
方向一致 右手力螺旋 方向相反
左手力螺旋
(3) FR 0, MO 0, FR MO
MO1
Fj 合力大小和方向： FR FR
1.133F a / F 1.133a 合力作用点D至A点距离：d M A / FR
z 主矢，主矩
z
F1 M2
y x
F1
F2
M1
附加力偶 F'
R
A2
F2
0 An
M0 0 y
A1
0
y
Mn
Fn
x
x
Fn
O：简化中心
Fi 主矢： FR 主矩： M M M ( F ) 0 i 0 i
主矢是力系的第一不变量。
二、力系进一步简化的各种可能结果 1、 F 0 平衡力系，以后讨论 M 0 O R 与简化中心无关 合力偶 2、 FR 0 MO 0 合力 3 FR 0 MO 0 、 4 FR 0 MO 0 、 （1） F 合力 MO R FR FR
(MO rOA FR ) FR MO FR M A FR
主矢与主矩的点积也与简化中心的选择无关，称之为力 系的第二不变量 由主矢与主矩的点积是否为零，就可判定出简化的最终 是合力还是力螺旋。
特例：平面任意力系的简化
F1 A1 A2
FR
FR
o
MO
o
FR
d
o’
o
d
o’
MO 平移距离： d FR
平移方向： FR M O 的方向
（2）
FR
MO
M0
力螺旋
FR
FR 与 M O FR 与 M O
方向一致 右手力螺旋 方向相反
左手力螺旋
(3) FR 0, MO 0, FR MO
MO1
Fj 合力大小和方向： FR FR
1.133F a / F 1.133a 合力作用点D至A点距离：d M A / FR
第三章 第四节 空间力系的简化
O O O O'
' FR
'' ' FR d FR FR
O'
d FR
MO(FR) =MO=SMO(F ) Mx(FR)=SMx(F )
空间力系对点(轴)之矩的合力矩定理
4. 空间力系简化为力螺旋的情形 FR' ≠0 MO ≠ 0且FR' // MO 力螺旋 ' FR MO ' FR ' FR MO O O O 右螺旋 力系的中心轴：力螺旋中力的作用线 左螺旋
F1' M2 M1
F2'
O
FR' MO
Fn' ห้องสมุดไป่ตู้M F3' Mn 3 Mi=MO(Fi )
2. 主矢和主矩 主矢：空间力系中所有各力的矢量和 (与简化中心的位置无关)
FR'= SF
主矩：各力对于任选的简化中心 O之矩的矢量和 MO=SMO(F ) (一般与简化中心的位置有关)
三、空间力系的简化结果 合力矩定理 1. 空间力系平衡的情形 FR' =0 MO=0 2. 空间力系简化为一合力偶的情形 FR' =0 MO≠0 (主矩与简化中心的位置无关) 3. 空间力系简化为一合力的情形 合力矩定理 (1) FR' ≠0 MO=0 合力的作用线通过简化中心O，合力矢等于原力系的主矢。 (2) FR' ≠0 MO ≠ 0且FR' ⊥ MO 合力的作用线通过另一点O ' ，d=MO /FR MO
一、空间力的平移定理 空间力的平移定理：作用在刚体上的一个力，可平行移至刚体 中任意一指定点，但必须同时附加一力偶，其力偶矩矢等于原 力对于指定点的力矩矢。
第四节 空间力系的简化
' FR
'' ' FR d FR FR
O'
d FR
MO(FR) =MO=SMO(F ) Mx(FR)=SMx(F )
空间力系对点(轴)之矩的合力矩定理
4. 空间力系简化为力螺旋的情形 FR' ≠0 MO ≠ 0且FR' // MO 力螺旋 ' FR MO ' FR ' FR MO O O O 右螺旋 力系的中心轴：力螺旋中力的作用线 左螺旋
F1' M2 M1
F2'
O
FR' MO
Fn' ห้องสมุดไป่ตู้M F3' Mn 3 Mi=MO(Fi )
2. 主矢和主矩 主矢：空间力系中所有各力的矢量和 (与简化中心的位置无关)
FR'= SF
主矩：各力对于任选的简化中心 O之矩的矢量和 MO=SMO(F ) (一般与简化中心的位置有关)
三、空间力系的简化结果 合力矩定理 1. 空间力系平衡的情形 FR' =0 MO=0 2. 空间力系简化为一合力偶的情形 FR' =0 MO≠0 (主矩与简化中心的位置无关) 3. 空间力系简化为一合力的情形 合力矩定理 (1) FR' ≠0 MO=0 合力的作用线通过简化中心O，合力矢等于原力系的主矢。 (2) FR' ≠0 MO ≠ 0且FR' ⊥ MO 合力的作用线通过另一点O ' ，d=MO /FR MO
一、空间力的平移定理 空间力的平移定理：作用在刚体上的一个力，可平行移至刚体 中任意一指定点，但必须同时附加一力偶，其力偶矩矢等于原 力对于指定点的力矩矢。
第四节 空间力系的简化
第三章-空间力系
卡盘为固定端约束 取工件 为研究对象
工件共有6个约束反力
FOx , FOy , FOz , M x , M y , M z .
取坐标轴系Oxyz 列平衡方程
可解得：
为方便求解：
• 平衡方程不局限于形式
• 最好每个方程解一个未知数 • 选投影轴应尽量和未知力垂直 • 选取矩轴尽量和未知力在同一平面上
例：求丁字形薄板重心位置。
解法1： 薄板由两长方形组成，建坐标。
=105 解法2：负面积法。
例：图示平面中每一方格的边长为20mm，求挖去一圆后剩 余部分面积重心的位置。
2
3 4
y
解:
把此平面图形分成一个大矩形ABCD 和两个小矩形及一个圆四部分，其面积 和中心坐标分别为:
x
剩余部分面积的重心为:
例3-2：刚体上作用汇交的四个力。它们在坐标轴上的投影如 下表所示。求四个力的合力的大小和方向。
F1 Fx Fy Fz 1 10 3 F2 2 15 4 F3 0 -5 1 F4 2 10 -2 单位 kN kN kN
解： 合力在坐标轴上的投影，有：
Fx 5kN
Fy 30kN
Fz 6kN
用MZ(F)表示力F对Z轴的矩，O’点为Fxy所在的平行于xoy的平面与Z轴 的交点，h为O’到Fxy的距离，则力F对Z轴的矩就是Fxy对O’点的矩。 定义： 力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效果的度量，是一个代数量， 其绝对值等于该力在垂直于该轴的平面上的投影对于这个平面与该轴 的交点的矩的大小。 正负号规定符合右手螺旋法则，从z轴正端看过去，绕轴逆时针 转动为正。
(1)大小；(2)转向；(3)作用面的方位。
可用一个矢量表示，是自由矢量。
理论力学03空间力系的简化和平衡1.
r F1 r F2 r Fn
Fn A
F2
mO (F1) mO (F2 ) mO (Fn )
O
r F1
n
y
mO (F )
i 1
x
31
n
将 mO (R ) mO (F ) 向坐标轴投影，得 i 1 n mx (R ) mx (Fi ) i 1 n my (R ) my (Fi ) i 1 n mz (R ) mz (Fi ) i 1
习题课
3
§3-1 空间汇交力系
一、空间力的投影（与力的分解）：
1.力在空间的表示：
力的三要素：
大小、方向、作用点(线)
g
O
Fxy
大小： F F
作用点：在物体的哪点就是哪点 方向：
由、、g三个方向角确定 由仰角 与俯角 来确定。
4
2、一次投影法（直接投影法）
由图可知：X Fcos, Y Fcos , Z Fcosg
20
①根据力线平移定理，将各力平行搬到O点得到一空
间汇交力系：F '1,F2 ',F3'Fn ' 和附加力偶系 m1,m2 ,mn [注意] m1,m2 ,mn 分别是各力对O点的矩。
②由于空间力偶是自由矢量，总可汇交于O点。
21
③合成 F '1,F2 ',F3'Fn ' 得主矢 R ' 即 R 'Fi 'Fi （主矢 R ' 过简化中心O，
且与O点的选择无关） 合成 m1,m2 ,mn 得主矩 M O
即：mO mi mO (F i（) 主矩 M O 与简化中心O有关）
第3章空间力系
力对轴的矩
z
图示门，求力 F 对z
（矩轴）的矩。 将力分解：
F
O
d
Fz
A
F xy
F Z∥ z 轴 F xy ⊥z 轴
6
于是： mz ( F ) mO ( Fxy ) Fxy d 2OA' B'的面积 结论：力对轴的矩等于该力在垂直于
此轴的平面上的投影对此轴与这个平
面交点的矩。 （1）力对轴的矩是代数量。 正负号规定：右手螺旋法则。
自重
迎风力
侧风力
摩擦里 地面反力 4
空间一般力系有以下三种特殊力系： 空间汇交力系：各力的作用线不全在同一平面内且汇交于一点
的力系。
空间平行力系：各力的作用线不全在同一平面内且相互平行的 力系。 空间力偶系：各力偶作用面不全在同一平面内的力偶系。
5
§3-1
一、定义 为了度量力使物体绕 轴转动的效应，引用 力对轴的矩。
1
第三章 空间一般力系
§3–1 力对轴的矩 §3–2 空间一般力系的简化与平衡
§3–3 物体的重心和形心
2
本章重点： 力对轴的矩的计算，空间一般力系的平衡条件
及其应用，重心的求法。
本章难点：
力对轴的矩的计算，平衡方程的应用，
3
空间一般力系：各力的作用线不全在同一平面内且任意分布的 力系。也称空间任意力系。所谓任意分布是指各力的作用线既 不完全相交也不完全相互平行。物体受空间一般力系作用是物 体受力最一般的情况，在工程实际中很普遍。
mx ( P)
m y ( P)
mz ( P)
14
方法四：合力矩定理
mz (P) mz (P x )
=0
静力学-空间任意力系的简化
{F1, F2,, Fn , P1, P2,, Pm}
F’ F”
AF
B
2
定理：作用在刚体上的力，沿其作用线移动后， 不改变其作用效应。
刚体
F
F
FF
变形体
F
F
FF
作用于刚体上力的三要素:大小、方向、作用线 3
2、力的平移
F
F A
B
A
B
F
F A
B
F’
F MB
A rBA
B
力的平 移定理
{F}A {F', MB}B , F' F, MB rBA F 4
合力偶
问题: 向不同点简化是否得到不同的合力偶?
6
Mi ri Fi
Fi
M
' i
ri'
Fi
ri' o 'o ri
ri
oห้องสมุดไป่ตู้
M
' i
ri'
Fi
ri'
o'o ri Fi
o’
M
' i
o 'o ri Fi o 'o Fi ri Fi Mi
结论: 如果 FR ,则0向不同点简化得到相同的合力偶. 7
§2-3、空间任意力系的简化 •空间任意力系：力作用线在空间任意分布的力系
z
F1
o
F2
F3
y
x Fi Fn
问题： 空间任意力系如何简化？
1
一、力的移动 1、力沿作用线移动
加减平衡力系原理： 在刚体上增加或减去
一组平衡力系，不会改变 原力系对刚体的作用效应
F’ F”
AF
F’ F”
AF
B
2
定理：作用在刚体上的力，沿其作用线移动后， 不改变其作用效应。
刚体
F
F
FF
变形体
F
F
FF
作用于刚体上力的三要素:大小、方向、作用线 3
2、力的平移
F
F A
B
A
B
F
F A
B
F’
F MB
A rBA
B
力的平 移定理
{F}A {F', MB}B , F' F, MB rBA F 4
合力偶
问题: 向不同点简化是否得到不同的合力偶?
6
Mi ri Fi
Fi
M
' i
ri'
Fi
ri' o 'o ri
ri
oห้องสมุดไป่ตู้
M
' i
ri'
Fi
ri'
o'o ri Fi
o’
M
' i
o 'o ri Fi o 'o Fi ri Fi Mi
结论: 如果 FR ,则0向不同点简化得到相同的合力偶. 7
§2-3、空间任意力系的简化 •空间任意力系：力作用线在空间任意分布的力系
z
F1
o
F2
F3
y
x Fi Fn
问题： 空间任意力系如何简化？
1
一、力的移动 1、力沿作用线移动
加减平衡力系原理： 在刚体上增加或减去
一组平衡力系，不会改变 原力系对刚体的作用效应
F’ F”
AF
工程力学第3章空间力系的平衡
缺点
计算量大，需要较高的数学水平。
几何法求解空间力系平衡问题
几何法
通过几何图形来描述物体的运动状态和受力 情况，通过观察和计算几何关系得到物体的 运动轨迹和受力情况。
优点
直观易懂，适用于简单运动和受力情况。
缺点
精度低，容易受到主观因素的影响。
代数法求解空间力系平衡问题
1 2
代数法
通过代数方程来描述物体的运动状态和受力情况， 通过解代数方程得到物体的运动轨迹和受力情况。
平衡方程形式
空间力系的平衡方程为三个平衡方程，分别表示力在x、y、z轴上 的平衡。
空间力系的平衡方程应用
解决实际问题
利用空间力系的平衡方程，可以 解决实际工程中的受力分析问题， 如梁的受力分析、结构的稳定性 分析等。
简化问题
通过将复杂的问题简化为简单的 空间力系问题，可以更方便地求 解问题。
验证实验结果
优点
适用范围广，可以用于解决各种复杂问题。
3
缺点
计算量大，需要较高的数学水平。
04
空间力系平衡问题的实例分 析
平面力系的平衡问题实例分析
总结词
平面力系平衡问题实例分析主要涉及二维空间中的受力分析，通过力的合成与分解，确定物体在平面内的平衡状 态。
详细描述
在平面力系中，物体受到的力可以分解为水平和垂直方向的分力。通过分析这些分力的合成与平衡，可以确定物 体在平面内的稳定状态。例如，在桥梁设计中，需要分析桥墩受到的水平风力和垂直压力，以确保桥墩的稳定性。
平衡条件
物体在空间力系作用下，满足力矩平衡、力矢平衡和 力平衡三个条件。
空间力系的简化
01
02
03
力矩
描述力对物体转动效应的 量，由力的大小、与力臂 的乘积决定。
计算量大，需要较高的数学水平。
几何法求解空间力系平衡问题
几何法
通过几何图形来描述物体的运动状态和受力 情况，通过观察和计算几何关系得到物体的 运动轨迹和受力情况。
优点
直观易懂，适用于简单运动和受力情况。
缺点
精度低，容易受到主观因素的影响。
代数法求解空间力系平衡问题
1 2
代数法
通过代数方程来描述物体的运动状态和受力情况， 通过解代数方程得到物体的运动轨迹和受力情况。
平衡方程形式
空间力系的平衡方程为三个平衡方程，分别表示力在x、y、z轴上 的平衡。
空间力系的平衡方程应用
解决实际问题
利用空间力系的平衡方程，可以 解决实际工程中的受力分析问题， 如梁的受力分析、结构的稳定性 分析等。
简化问题
通过将复杂的问题简化为简单的 空间力系问题，可以更方便地求 解问题。
验证实验结果
优点
适用范围广，可以用于解决各种复杂问题。
3
缺点
计算量大，需要较高的数学水平。
04
空间力系平衡问题的实例分 析
平面力系的平衡问题实例分析
总结词
平面力系平衡问题实例分析主要涉及二维空间中的受力分析，通过力的合成与分解，确定物体在平面内的平衡状 态。
详细描述
在平面力系中，物体受到的力可以分解为水平和垂直方向的分力。通过分析这些分力的合成与平衡，可以确定物 体在平面内的稳定状态。例如，在桥梁设计中，需要分析桥墩受到的水平风力和垂直压力，以确保桥墩的稳定性。
平衡条件
物体在空间力系作用下，满足力矩平衡、力矢平衡和 力平衡三个条件。
空间力系的简化
01
02
03
力矩
描述力对物体转动效应的 量，由力的大小、与力臂 的乘积决定。
力系的简化和平衡方程
表示，并 合成为一
个作用在点
O'
的力
v R
如图
3—2
所示。
R΄ O M O΄΄
R′ OR
R″O΄
Od R O΄
（a）
（b） 图 3-2
（c）
这个力
v R
就是原力系的合力，合力矢等于主矢，合力的作用线在
O
的哪一侧，需根
据主矢和主矩的方向确定；合力作用线到点 O 的距离 d，可按下式计算。
d = M0 R
必须指明是力系对哪一点的主矩。
二、简化结果的讨论
由于平面任意力系对刚体的作用决定于力系的主矢和主矩，因此，可由这两个物理
量来研（究一力）系若简主化矢的Rv最′ =后0 ，结主果矩。M 0 ≠ 0 ，则原力系与一力偶等效。此力偶称为平面任意
力系的合力偶，合力偶矩等于
M0
=
n
v
∑ m0 (Fi )
。由力偶的性质可知，力偶对任意点的力
一、平面任意力系向作用面内一点简化、主矢和主矩
设刚体上作用一平面任意力系
v F1 ,
v F2
⋅⋅⋅
⋅
⋅
⋅Fvn
如图(3—1)。根据力的平移定理，将力
矩系Fv1'分中, Fv别诸2' ..等力....F于向vn' 力平,以面MFv及11内,=F相v任2M应⋅ ⋅一0⋅(的⋅F点⋅v1⋅附F)vnO加对点M力O平2偶点=移系M的，0M矩(OF1v,,2M)点即2称:..M..为..3M简=nM化。0这中(Fv些心3 )力。偶这作样用得在到同作一用平于面O内点,它的们力系的
θ
态。取料斗车为研究对象，对料斗车进行受力分析，所
O
受力有：重力
理论力学空间力系的简化和平衡
1
工程中常常存在着很多各力的作用线不在同一平面内的力 系，即空间力系，空间力系是最一般的力系。 (a)图为空间汇交力系；(b)图为空间任意力系； (b)图中去了风力为空间平行力系。 迎面 风力
侧面 风力
b
2
第五章
空间力系
§5–1 空间汇交力系 §5–2 空间力偶系 §5–3 力对点的矩与力对轴的矩 §5–4 空间一般力系向一点的简化 §5–5 空间一般力系简化结果的讨论 §5–6 空间一般力系的平衡方程及应用
结论：力对//它的轴的
矩为零。即力F与轴共
面时，力对轴之矩为零。
12
力对轴之矩的计算方法： 1、先将力向该轴的正交平面分解，再计算该分力对轴的平 面力矩。 2、力矩关系定理 定理：力对轴之矩等于该力对轴上任意一点之矩在该轴上的 投影。
这就是力对点之矩与对通过该点轴之矩的关系。 设转轴为Z轴，其上任一点为原点O，到 力作用线上任一点之距离为下式表达r
7
3、合力投影定理：
空间力系的合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴 上投影的代数和。
2 2 2 2 2 2 合力 : R R R R ( X ) ( Y ) ( Z ) x y z
R R R y x cos , cos , cos g z R R R
比较即得：
M ( F ) xF yF M ( F ) k z y x O
m ( F ) cos g m ( F ) O z
14
力对任意轴之矩的求法：
先求出力对该轴上任意一点之矩，再在该轴的方向做投影---与该
轴矢量做点积。等于这力对于该轴的矩。
ax by cz d 0 轴线方程： Ax Bx Cz D 0
工程中常常存在着很多各力的作用线不在同一平面内的力 系，即空间力系，空间力系是最一般的力系。 (a)图为空间汇交力系；(b)图为空间任意力系； (b)图中去了风力为空间平行力系。 迎面 风力
侧面 风力
b
2
第五章
空间力系
§5–1 空间汇交力系 §5–2 空间力偶系 §5–3 力对点的矩与力对轴的矩 §5–4 空间一般力系向一点的简化 §5–5 空间一般力系简化结果的讨论 §5–6 空间一般力系的平衡方程及应用
结论：力对//它的轴的
矩为零。即力F与轴共
面时，力对轴之矩为零。
12
力对轴之矩的计算方法： 1、先将力向该轴的正交平面分解，再计算该分力对轴的平 面力矩。 2、力矩关系定理 定理：力对轴之矩等于该力对轴上任意一点之矩在该轴上的 投影。
这就是力对点之矩与对通过该点轴之矩的关系。 设转轴为Z轴，其上任一点为原点O，到 力作用线上任一点之距离为下式表达r
7
3、合力投影定理：
空间力系的合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴 上投影的代数和。
2 2 2 2 2 2 合力 : R R R R ( X ) ( Y ) ( Z ) x y z
R R R y x cos , cos , cos g z R R R
比较即得：
M ( F ) xF yF M ( F ) k z y x O
m ( F ) cos g m ( F ) O z
14
力对任意轴之矩的求法：
先求出力对该轴上任意一点之矩，再在该轴的方向做投影---与该
轴矢量做点积。等于这力对于该轴的矩。
ax by cz d 0 轴线方程： Ax Bx Cz D 0
理论力学第三章 任意力系的简化与平衡条件
例3-2 已知：涡轮发动机叶片轴向力F=2kN，力偶矩
M=1kN.M, 斜齿的压力角=20 ,螺旋角 。 =10 ,齿轮节圆半径 r=10cm。不计发动 机自重。 O1O2=L1=50cm, O2A=L2=10cm. 求： FN, O1,O2处的约束力。
。
第三章 力系的简化与平衡条件
§3-5 力系的平衡条件
3
F2 F3
1
F'
F1
1 O 200 1
x
2
1 3 1 FRy F1 F2 F3 = -161.6(N) 2 10 5
第三章 任意力系的简化与平衡条件
§3-4 力系简化计算
解：(1)先将力系向O点简化，求主矢和主矩。 FRx FRy =466.5(N) 2 2 FR
Xi 0 F x F2x Fr 0 1
F y F2y F 0 1
Zi 0
F z Fa F 0 1
第三章 力系的简化与平衡条件
§3-5 力系的平衡条件
例3-2 解： 3、列平衡方程
Mx (F) 0
F2 y L1 F (L1 L2 ) 0
y
100 1
F
80
3
Байду номын сангаас
F2 F3
1
F'
F1
1 O 200 1
x
2
第三章 任意力系的简化与平衡条件
§3-4 力系简化计算
例3-1 (1)先将力系向O点简 解： 化，求主矢和主矩。 1 1 F2 FRx F1 10 2 2 F3 5 = -437 .6（N）
y
100 1
F
03-理论力学-第一部分静力学第三章空间力系
F X i Y j Z k , r xi y j zk i jk MO(F) r F x y z
X
Y
Z
( yZ zY )i (zX xZ) j (xY yX )k
2 力对轴的矩
力使物体绕某一轴转动效应的度 量，称为力对该轴的矩。
16
力对轴的矩的定 义 M z (F ) MO (Fxy )
力系简化的计算 计算主矢的大小和方向
FRx X , FRy Y , FRz Z
FR FRx2 FRy2 FRz2
cos FRx ,
FR
cos FRy ,
FR
cos FRz
FR
计算主矩的大小和方向
MOx M x (F ) , MOy M y (F ) ,
MOz M z (F )
与 z 轴共面
18
力对轴的矩的解析式
先看对z轴的矩:
M z (F ) MO (Fxy )
M O (Fy ) MO (Fx )
Fy x y Fx
xY yX
类似地，有：
M x (F) yZ zY M y (F ) zX xZ M z (F ) xY yX
Fy
Fx
Fxy
力对轴的矩的 解析表达式
3
§3 - 1 空间汇交力系 本节的主要内容有：
★ 空间力的投影；
★空间汇交力系的合成与平衡。
1 力在直角坐标轴上的投影和力沿直角坐标轴的
分解
(1) ■直接投影法
X F cos
Y F cos
Z F cos
也称为一次投影法
4
■间接投影法
Fx y F sin X Fxy cos F sin cos Y Fxy sin F sin sin
X
Y
Z
( yZ zY )i (zX xZ) j (xY yX )k
2 力对轴的矩
力使物体绕某一轴转动效应的度 量，称为力对该轴的矩。
16
力对轴的矩的定 义 M z (F ) MO (Fxy )
力系简化的计算 计算主矢的大小和方向
FRx X , FRy Y , FRz Z
FR FRx2 FRy2 FRz2
cos FRx ,
FR
cos FRy ,
FR
cos FRz
FR
计算主矩的大小和方向
MOx M x (F ) , MOy M y (F ) ,
MOz M z (F )
与 z 轴共面
18
力对轴的矩的解析式
先看对z轴的矩:
M z (F ) MO (Fxy )
M O (Fy ) MO (Fx )
Fy x y Fx
xY yX
类似地，有：
M x (F) yZ zY M y (F ) zX xZ M z (F ) xY yX
Fy
Fx
Fxy
力对轴的矩的 解析表达式
3
§3 - 1 空间汇交力系 本节的主要内容有：
★ 空间力的投影；
★空间汇交力系的合成与平衡。
1 力在直角坐标轴上的投影和力沿直角坐标轴的
分解
(1) ■直接投影法
X F cos
Y F cos
Z F cos
也称为一次投影法
4
■间接投影法
Fx y F sin X Fxy cos F sin cos Y Fxy sin F sin sin
空间力系的简化
F
MO
O
主矩： M O M O
x FR
FR
A
F1 3 m G1 1.5 m G2 3.9 m 2 355 kN m
y FR
2 2 F F ( F ) ( F ) 709.4 kN R x y 合力FR的大小： R
FR M B 50(i k ) 2.5i d 0.025 j 2 FR 5000
中心轴位置:
最后结果： FR 与 M B 组成的力螺旋。
例2：图示平面力系，已知：F1=F2=F3=F4=F，M=Fa，a为三 角形边长，若以A为简化中心，试求简化的最后结果，并在图 中画出。 解： 力系向A点简化
合成的结果必定是一个合力，这个合力指向被约束物 体，是一个压力 FN
未知量：3个
三、光滑铰链约束
（1） 球铰
FAz
A
FAx
FAy
约束力分布在一部分球面上，分布力均通过球心，构 成一空间汇交力系系，可简化为一个通过球心的合力 FR 球铰的约束力 FR 的大小与方向均未知，通常用沿直角
坐标分解的三个分量： FR x , FR y , FR z
(MO rOA FR ) FR MO FR M A FR
主矢与主矩的点积也与简化中心的选择无关，称之为力 系的第二不变量 由主矢与主矩的点积是否为零，就可判定出简化的最终 是合力还是力螺旋。
特例：平面任意力系的简化
F1 A1 A2
基本力系的简化结果：
汇交力系—过汇交点的合力
力偶系—合力偶
根据力的空间位臵：
空间力系、平面力系
MO
O
主矩： M O M O
x FR
FR
A
F1 3 m G1 1.5 m G2 3.9 m 2 355 kN m
y FR
2 2 F F ( F ) ( F ) 709.4 kN R x y 合力FR的大小： R
FR M B 50(i k ) 2.5i d 0.025 j 2 FR 5000
中心轴位置:
最后结果： FR 与 M B 组成的力螺旋。
例2：图示平面力系，已知：F1=F2=F3=F4=F，M=Fa，a为三 角形边长，若以A为简化中心，试求简化的最后结果，并在图 中画出。 解： 力系向A点简化
合成的结果必定是一个合力，这个合力指向被约束物 体，是一个压力 FN
未知量：3个
三、光滑铰链约束
（1） 球铰
FAz
A
FAx
FAy
约束力分布在一部分球面上，分布力均通过球心，构 成一空间汇交力系系，可简化为一个通过球心的合力 FR 球铰的约束力 FR 的大小与方向均未知，通常用沿直角
坐标分解的三个分量： FR x , FR y , FR z
(MO rOA FR ) FR MO FR M A FR
主矢与主矩的点积也与简化中心的选择无关，称之为力 系的第二不变量 由主矢与主矩的点积是否为零，就可判定出简化的最终 是合力还是力螺旋。
特例：平面任意力系的简化
F1 A1 A2
基本力系的简化结果：
汇交力系—过汇交点的合力
力偶系—合力偶
根据力的空间位臵：
空间力系、平面力系
空间力系的简化与平衡
1.空间力系的平衡条件
任意空间力系平衡的充要条件是：力系的主矢 定点O的主矩 M 全为零。
O
FR
和对任一确
即
n FR Fi 0
M O M O ( Fi ) 0
i 1
i 1 n
（7.1）
8
§3–2 空间力系的平衡
2.空间力系的平衡方程
在O点建立Oxyz 直角坐标系，以上两个矢量方程可写为6个独立的 代数方程：
（1）、简单几何形状的物体 查重心表、或直接计算
（2）、复杂几何形状的物体
组合法 （3）、实验法
22
合力矩定理：合力对某点之矩等于各分力对同一点之矩的矢 量和. 合力对某轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和. （2）合力偶 当 FR 0, MO 0 时，最后结果为一个合力偶。此时与简化 中心无关。 （3）力螺旋 当 FR 0, MO 0, FR ∥M O 时
力螺旋中心轴过简化中心
.
2
1、空间任意力系向一点的简化
将每个力向简化中心平移
M1
Fn
F2
Fn
F2 F1
主矢为
F3
F1
Mn
M2
空间力系的简化结果为一主矢和一主矩。
F
' R
F
i 1
n
n
i
与简化中心无关
主矩为 M 0 M 0 (F) 与简化中心有关
i 1
3
主矢和主矩的计算 主矢—通过投影法 根据它们，可得到 主矢的大小和方向
FBx 0
16
M iy 0
M
ix
P 1 FT 2 2 0 FT
工程力学(李卓球) 第3章 力系的简化和平衡
∑X =0 ∑Y = 0 ∑M = 0
O
3.2
力系的平衡条件和平衡方程 ∑X =0
∑Y = 0 ∑F = 0
z
y
F1 F2
4 5 3
F3
∑M
x
=0
y
O
x
∑M ∑M
平面汇交力系
=0
=0
z
∑ ∑
X = 0
Y = 0
Y = 0
M
O
平面平行力系
∑ ∑
( Fi ) = 0
3.2
力系的平衡条件和平衡方程
四、平面任意力系平衡方程的其他形式 (1)二力矩式 二力矩式
3.2
力系的平衡条件和平衡方程
平面平行力系的平衡方程
∑ ∑ ∑
Fx = 0
∑ M ∑ M
A B
(F i ) = 0 (Fi ) = 0
Fy = 0
M
O
(Fi ) = 0
∑
Fx = 0
A
B
∑Y ∑M
= 0
O
∑ M
(F i ) = 0
(Fi ) = 0
∑
M
(Fi ) = 0
AB连线与力不平行 连线与力不平行 只有两个独立方程，只能求解两个独立的未知数。 只有两个独立方程，只能求解两个独立的未知数。
h h
γy (1 × dy )
dy
= γy
1 2 γh 2
由合力矩定理， 由合力矩定理，有
1 Qd = ∫ yqdy = ∫ γy dy = γh 3 0 0 3
h h 2
d=
2 h 3
3.1
力系向一点简化
y A
2m
在长方形平板的O 例题 3-2 在长方形平板的 、A、 B、C 点上分别作用着有四个力： 点上分别作用着有四个力： F1=1kN，F2=2kN，F3=F4=3kN ， ， 如图）， ），试求以上四个力构成 （如图），试求以上四个力构成 的力系对点O 的简化结果， 的力系对点 的简化结果，以及 该力系的最后的合成结果。 该力系的最后的合成结果。 取坐标系Oxy。 解：取坐标系 。 1、求向 点简化结果： 点简化结果： 、求向O点简化结果 求主矢R′ ①求主矢 ′：
力系的简化和平衡
空间汇交力系可合成一合力F'R:
z MO O x F'R y
FR Fi Fi
力系中各力的矢量和称为空间力系的 主矢。主矢与简化中心的位置无关。
空间力偶系可合成为一合力偶, 其矩矢MO:
MO MO (Fi )
力系中各力对简化中心之矩矢的矢量和称为力系对简化 中心的主矩。主矩与简化中心的位置有关。
3.1.2 (空间任意)力系向一点的简化 结论: 空间力系向任一点O简化, 可得一力和一 力偶, 这个力的大小和方向等于该力系的主矢, 作用线通过简化中心O; 这个力偶的矩矢等于该 力系对简化中心的主矩。
空间任意力系向一点简化的结果可能出现四种情况: (1) F'R＝0, MO≠0 ; (2) F'R ≠ 0, MO ＝ 0 ; (3) F'R ≠ 0, MO≠0 ;
′ Fn
O Mn
3.1.2 (平面任意)力系向一点简化 平面一般力系中各力的矢量和称为平面一般力 系的主矢。主矢与简化中心的位置无关。
FR FRx + FRy Fx i Fy j
FR ( Fx ) 2 ( Fy ) 2
Fx cos( FR , i ) FR Fy cos( FR , j ) FR
A
m
B q C
FAy
FB
求得的FAx和FAy为负, 说明与图中 假设方向相反。
例: 求图示刚架的约束反力。
P
A
解: 以刚架为研究对象, 受力如图。
a
q b
Fx 0 : FAx qb 0
Fy 0 : FAy P 0
M A (F ) 0 :
1 2 M A Pa qb 0 2
z MO O x F'R y
FR Fi Fi
力系中各力的矢量和称为空间力系的 主矢。主矢与简化中心的位置无关。
空间力偶系可合成为一合力偶, 其矩矢MO:
MO MO (Fi )
力系中各力对简化中心之矩矢的矢量和称为力系对简化 中心的主矩。主矩与简化中心的位置有关。
3.1.2 (空间任意)力系向一点的简化 结论: 空间力系向任一点O简化, 可得一力和一 力偶, 这个力的大小和方向等于该力系的主矢, 作用线通过简化中心O; 这个力偶的矩矢等于该 力系对简化中心的主矩。
空间任意力系向一点简化的结果可能出现四种情况: (1) F'R＝0, MO≠0 ; (2) F'R ≠ 0, MO ＝ 0 ; (3) F'R ≠ 0, MO≠0 ;
′ Fn
O Mn
3.1.2 (平面任意)力系向一点简化 平面一般力系中各力的矢量和称为平面一般力 系的主矢。主矢与简化中心的位置无关。
FR FRx + FRy Fx i Fy j
FR ( Fx ) 2 ( Fy ) 2
Fx cos( FR , i ) FR Fy cos( FR , j ) FR
A
m
B q C
FAy
FB
求得的FAx和FAy为负, 说明与图中 假设方向相反。
例: 求图示刚架的约束反力。
P
A
解: 以刚架为研究对象, 受力如图。
a
q b
Fx 0 : FAx qb 0
Fy 0 : FAy P 0
M A (F ) 0 :
1 2 M A Pa qb 0 2
第4章空间力系平衡
5 FR 0
M 0
M 0
R // M
力螺旋 o
FR
力螺旋 o Mo
M FR
O
M
FR
M
FR
O O
oo M
M FR
FR
空间力系简化结果分析
主矢(O)
FR 0
FR 0
FR 0
FR 0
Fx
Fz
例题
方法2 应用力对轴的矩之解析表达式求解。
M x F yFz zFy M y F zFx xFz M z F xFy yFx
因为力在坐标轴上的投影分别为： Fx F sin , Fy 0, Fz F cos
力作用点D 的坐标为： x l, y l b, z 0
cos( MO ,
j)
My MO
0.531
cos( MO , k)
Mz MO
0.064
§3-3 空间力偶理论
一. 空间力偶的性质
作用于同一物体上的 大小相等,方向相反 且不共线的两个力 组成的特殊力系.
力偶对刚体的转动效应（大小和转
向，力偶作用面的方位）用力偶矩矢来度量。
M
F
r
1. 直接求解法
例 列传动轴的平衡方程。 解：画受力图。列出各力在轴上的投影及对轴之矩。
y
FAy
FCr FCt
FBy
A
FAx z FAz
C
FDt
D
Bx
FBz
FDr
由表中各行可列出六个 平衡方程为：
Fx=FAx=0
力系简化及平衡
h
*
再以AC部分为研究对象
l/8
' FC y
再以BC部分为研究对象 或
FCx
FCy
C
l/8
C
h A
P
l/2
P
B
FAx
FAy
l/2
FBx
FBy
M C (F ) 0 ,
l 3 FAy FAx h P l 0 2 8 FAx 120 kN
M C (F ) 0 ,
F
A F
B
A
B
F’ A
MB
rBA
F’
A
力的平 移定理
F
B F”
B
{F}A {F' , MB }B , F' F, MB rBA F
§3-1-2 一般力系向一点的简化 1）力向简化中心平移——得到一汇交力 系和一汇交力偶系
Fn An A2 o A1 F2
Mn
Fn'
MA
FAx A
FAy
§3-1-3力系简化的最终结果
力系向一点简化后，常见的结果有如 下几种情况：
1） FR 0, M O 0 原力系与一个力等效——合力过简化中心。
2）FR 0, M O 0 原力系与一个力偶等效——合力偶 力 偶 系 等 效 于 合 力 偶
Fn
' F1
O
' Fn
' F2
MR
O
F2
F1
这种情况下，简化结果与简化中心的位置 无关——力偶是自由矢量。
3）FR
0, M O 0
原力系可简化为：
（1）当力与力偶矩相互垂直——最终结果 为一合力； （2）当力与力偶矩相互平行——力螺旋。
理论力学：空间任意力系的简化
O’
Od
O’
(A) FR 0, MO 0, FR MO (不过简化点O)
(B) FR 0, MO 0 (过简化点O)
3
理论力学
§2-3 空间一般力系简化
(2) FR 0, MO 0, FR MO
MO FR
O
M O1 FR
O MO2
力螺旋 (wrench)
M O1
FR
FR
o d O’
理论力学
• 空间任意力系的简化与平衡条件
2020/12/9
1
理论力学 BUAA
空间任意力系的简化
三、空间任意力系简化结果的讨论
空间任意力系 {F1, F2,, Fn} {FR , MO} 简化结果
1、 FR 0, MO 0 2、 FR 0, MO 0
平衡力系 合力 (过简化点O)
3、 FR 0, MO 0
F3
F2
F1 平面椭圆A
F1
F3 F5
F2
F4
正方体A
F3
F2
F1
平面椭圆B
F2 F3
F1
F5
F4 正方体B
6
理论力学
§2-3 空间一般力系简化
例：求力系｛Fi｝向O点简化的结果。
z
解：1、 Fi Fix i Fiy j Fiz k
ri xii yi j zik
F1
c
n
2、 FR Fi
0
M
A
1 2
ql 2
2020/12/9
19
理论力学
§2-4 各类力系平衡条件
例：重为W 的均质正方形板 水平支承在铅垂墙壁上，求 绳1、2的拉力, BC杆的内力
空间力系的平衡方程及其应用
（即图中的Dyz平面）的夹角=30°时，
求三个轮子A、B、C对地面的压力。
目录
空间力系\空间力系的平衡方程及其应用
【解】 取起重机连同重物为研究对
象，作用于其上的力有起重机的重力W 和重物的重力F，以及地面对三个轮子的 反力FA、FB、和FC，这五个力组成一个 空间平行力系。列出平衡方程
Mx 0
FAa
2
F1
W 0 5
得 F1
5W 2
F2
1 2
F3
1 2
0
得 F2
F3
F3
1 2
F2
1 2
F1
1 0 5
Hale Waihona Puke 得F2F3
F1 5
2 W 2 22
负号表示F2、F3实际上是拉力。
目录
空间力系\空间力系的平衡方程及其应用
【例4.3】图示一起重机简图，机身 重W=100kN，重力作用线通过E点；三 个轮子A、B、C与地面接触点之间的连 线构成一等边三角形；CD=BD， DE=AD/3；起重臂FGD可绕铅垂轴GD 转动。已知a=5m，l=3.5m。载重 F=30kN位于起重臂的铅垂平面GDF内， 当该平面与起重机机身的对称铅垂面
sin
60
W
a 3
sin
60
Fl
cos
30
FA 0
得
FA=12.3kN
My 0
FB
a 2
FC
a 2
F
l
sin
30
0
Z=0 FB+ FC+ FAWF=0
W F
FB FC
目录
空间力系\空间力系的平衡方程及其应用 联立求解上两式，并将FA=12.3kN代入，得
求三个轮子A、B、C对地面的压力。
目录
空间力系\空间力系的平衡方程及其应用
【解】 取起重机连同重物为研究对
象，作用于其上的力有起重机的重力W 和重物的重力F，以及地面对三个轮子的 反力FA、FB、和FC，这五个力组成一个 空间平行力系。列出平衡方程
Mx 0
FAa
2
F1
W 0 5
得 F1
5W 2
F2
1 2
F3
1 2
0
得 F2
F3
F3
1 2
F2
1 2
F1
1 0 5
Hale Waihona Puke 得F2F3
F1 5
2 W 2 22
负号表示F2、F3实际上是拉力。
目录
空间力系\空间力系的平衡方程及其应用
【例4.3】图示一起重机简图，机身 重W=100kN，重力作用线通过E点；三 个轮子A、B、C与地面接触点之间的连 线构成一等边三角形；CD=BD， DE=AD/3；起重臂FGD可绕铅垂轴GD 转动。已知a=5m，l=3.5m。载重 F=30kN位于起重臂的铅垂平面GDF内， 当该平面与起重机机身的对称铅垂面
sin
60
W
a 3
sin
60
Fl
cos
30
FA 0
得
FA=12.3kN
My 0
FB
a 2
FC
a 2
F
l
sin
30
0
Z=0 FB+ FC+ FAWF=0
W F
FB FC
目录
空间力系\空间力系的平衡方程及其应用 联立求解上两式，并将FA=12.3kN代入，得
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（2）若缺少方程，再对未知约束力涉及的其他刚体（或刚体系）取分
离体，引入新的未知力并分析增加的平衡方程个数。直到未知力个数与 平衡方程个数相等。
（3）对涉及的各分离体列出适当的平衡方程（注意各方程的独立性）， 求出全部待求未知力。 2.关于独立的平衡方程个数 求解所用到的全部方程必须是相互独立的。 注意：刚体系统中如果每个刚体的平衡方程全部成立，则整体 的平衡方程为恒等式，不再提供独立的方程。 3.注意利用矩形式的平衡方程，可通过选择适当的矩心使得方程中尽量
（1）、简单几何形状的物体 查重心表、或直接计算
（2）、复杂几何形状的物体
组合法 （3）、实验法
22
－F
F F
M
力向一点平移的结果 : 一个力和一个力偶,力偶的力偶矩等 于原来力对平移点之矩
.
2
1、空间任意力系向一点的简化
将每个力向简化中心平移
M1
Fn
F2
Fn
F2 F1
主矢为
F3
F1
Mn
M2
空间力系的简化结果为一主矢和一主矩。
F
' R
F
i 1
n
n
i
与简化中心无关
主矩为 M 0 M 0 (F) 与简化中心有关
i 1
3
主矢和主矩的计算 主矢—通过投影法 根据它们，可得到 主矢的大小和方向
先计算得到主矢在 各轴上的投影
FRx FRy FRz
F
i 1 n i 1 n
n
xi
FR
FRx FRx FRx
2 2
2
F F
i 1
yi
zi
cosF cosF
FBx 0
16
M iy 0
M
ix
P 1 FT 2 2 0 FT
0
6 FT 2 3 P 100 6 N (拉力) 6 6
FT 2 4 P 2 FBz 4 0
6 2 100 6 200 0 6 4 2 F F F 0 F 0 Ax Bx T1 ix 4 16 FBz
F
z
0
F1 cos 450 sin 30 0 F2 cos 450 sin 30 0 FA cos 30 0 P 0 F1 F2 10 3.54kN 解得： 2 2
FA 6 F1 8.66kN
15
例 题 3
均质长方形薄板，重量P=200N，角A由光滑球铰链固 定，角B处嵌入固定的光滑水平滑槽内，滑槽约束了 角B在x,z方向的运动，EC为钢索，将板支持在水平位 置上，试求板在A，B处的约束力及钢索的拉力。
Fz F cos Fx1 0
Fy1 0 Fz1 F1 500 N
F1
x
F3
3 m
2. 5m
y
Fx 2 F2 sin 60 0 1000 Fy 2 F2 cos 60 0 500 N Fz 2 0
3 866 N 2
12
对F3 应采用二次投影法 Fx F sin cos Fy F sin sin Fz F cos
FAx A FAy
FT
l2
FT 2
FAy 2FAx 200N
D x
P
FT 1 C
l1 FBz B y FBx
M
iz
0
FBx 4 0
FBx 0
18
刚体系统平衡问题的求解思路
1.求解思路 （1）根据所求的未知约束力，先对所涉及的刚体进行受力分析，找出 其中的已知主动力、未知约束力（要求的和不必求的）。分析未知力 个数及独立平衡方程个数。
F cos FRx , i Rx
Ry Ry
Rz
F , j F ,k
F F F 4
Rz
2、空间任意力系的简化结果分析
1） 合力 当 FR 0, MO 0 最后结果为一个合力. 合力作用点过简化中心.
MO FR
0, MO 0, FR MO 时， d 当 FR
第3章 空间力系的简化与平衡
§ 3 –1 空间力系的简化
§ 3 –2 § 3 –3 § 3 –4
空间力系的平衡 物体的重心 平行力系中心
1
§3–1
空间力系的简化
力线平移定理：作用于刚体上的任一个力可以平移到刚体上任一 点O，但除该力外，还需加上一个附加力偶，其力偶矩矢等于该 力对于O点的力矩矢。 力向一点平移
MO
O
z z
FO FR
Di
Fi
y y
F
i 1 n i 1
n
ix
0, Fiy 0, Fiz 0
i 1 i 1
n
n
M
注意：
ix
0, M iy 0, M iz 0
i 1 i 1
n
n
(7.2)
x x
（1）解题时，矩心O可任选；力的投影轴、取矩轴也可斜交；力的投
少出现未知力。
、重心的概念及计算公式 物体重力： 物体重力：空间平行力系 z
Mi △Vi
重心：物体重力的合力
的作用点 图示物体，△Vi 体积
的重力为 Pi
Pi
C
P zc xi xc y
zi O
物体总重量 P 为
x
P P i
yi yc
20
物体重心的坐标为
xc yc zc
——3个独立方程
——3个独立方程
F2
O
Fi
F1
F
ix
0, Fiy 0, Fiz 0
F3
10
（2）空间力偶系
FR Fi 0 平衡方程仅有 MO Mi 0
即
M2
O z
Mi
M1
M
ix
0, Miy 0, Miz 0
P 100 N 2
iAB
Mil1 0
M
il 2
6 FT P 100 6 N (拉力) 6
FAx 4 FT 1
30 2 FAx FT 100N 6 20
4 2 0 20
2m
E
z FAz
4m
0
FAx 4 FAy 2 0
力螺旋中心轴过简化中心
6
当 FR 0, MO 0, FR , MO 成角 , 且 FR , MO 既不平行也不垂直时
力螺旋中心轴距简化中心为
M O sin d FR
（4）平衡
当 FR 0, MO 0时，空间力系为平衡力系
7
§ 3 –2
空间力系的平衡
平衡力系所要满足的条件称为力系的平衡条件。
1.空间力系的平衡条件
任意空间力系平衡的充要条件是：力系的主矢 定点O的主矩 M 全为零。
O
FR
和对任一确
即
n FR Fi 0
M O M O ( Fi ) 0
i 1
i 1 n
（7.1）
8
§ 3 –2
空间力系的平衡
2.空间力系的平衡方程
在O点建立Oxyz 直角坐标系，以上两个矢量方程可写为6个独立的 代数方程：
z
i
Px
i
P Pi yi P Pi zi P
Mi △Vi Pi C
O x yi yc
对于连续物体
xc yc zc
zi
P zc
xi
对于均质物体
xc yc zc
xc
y
V
i
xi
V Vi yi V Vi zi V
x dV
V
ydV V
zdV
V
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2、工程中常用的确定重心的方法
6 6 200 100 6 100N 6 6
FAz P FT
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解法二
分别取AC，BC，AB，l1，l2，z 为矩轴：
M M
M
iAC
0
0
0
FBz 0
iBC
FAz 4 P 2 0
P 2 FT 2 2 0
FAz
—3个独立方程
M3
F2
O
（3）空间平行力系
设各力平行于z 轴，则有
Fi
F1
Fix 0, Fiy 0, Miz 0
平衡方程仅有
x
F3
F
iz
0, Mix 0, Miy 0
y
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4.空间力系平衡方程的应用
例 题 1
已知：F1 =500N，F2=1000N，F3=1500N， 求：各力在坐标轴上的投影 z 4m 解： F1 、F2 可用直接投影法 0 Fx F cos 60 F2 Fy F cos
Fx F sin cos 1500 0.8944 0.6 805 N
Fy F sin sin 1500 0.8944 0.8 1073N
Fz F cos 1500 0.4472 671N
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例 题 2
已知： CE EB ED, 30 0 , P 10kN ，求：起重杆AB及绳子的拉力。
最后结果为一合力.合力作用线距简化中心为 d