2014高考数学阶段性检测(3)

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四川省绵阳市2014届高三第三次诊断性考试数学(理)试卷及答案

本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

第I 卷1至2页，第II 卷3至4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置。

2. 选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无线；在草稿纸、试题卷上答题无效。

3. 考试结束后，将答题卡收回。

1. 已知集合{}1==x x M ，{}x x x N ==2，则=⋃N MA.{}1 B.{}1,1- C.{}1,0 D.{}1,0,1- 2. 复数25-i 的共轭复数是 A.i +-2 B.i +2 C.i --2 D.i -23. 执行如右图所示的程序框图，如输入2=x ，则输出的值为 A.9 B.9log 8 C.5 D.5log 84. 已知向量)1,3(-=a ，)2,1(-=b ，)1,2(=c .若),(R y x yc xb a ∈+=，则=+y x A.2 B.1 C.0 D.21 5. 已知命题a x R x p ＞sin ,:∈∃，若p ⌝是真命题，则实数a 的取值范围为 A.1＜a B.1≤a C.1=a D.1≥a6. 已知]2,2[-∈a ，则函数12)(2++=ax x x f 有零点的概率为 A.21 B.31 C.41 D.51 7. 若抛物线x y C 4:21=的焦点F 恰好是双曲线)0,0(1:2222＞＞b a b y a x C =-的右焦点，且1C 与2C 交点的连线过点F ，则双曲线2C 的离心率为A.12+B.122-C.223+D.226+ 8. 已知函数)0(sin )(＞w wx x f =的一段图像如图所示，△ABC 的顶点A 与坐标原点O 重合，B 是)(x f 的图像上一个最低点，C 在x 轴上，若内角C B A ,,所对边长为c b a ,,，且△ABC 的面积S 满足22212a c b S -+=，将)(x f 右移一个单位得到)(x g ，则)(x g的表达式为 A.)2cos()(x x g π=B.)2cos()(x x g π-=C.)212sin()(+=x x g D.)212sin()(-=x x g9. 为了了解小学生的作业负担，三名调研员对某校三年级1至5名进行学情调查，已知这5 个班在同一层楼并按班号排列。

2014年山东省潍坊市高考数学三模试卷(理科)

2014年山东省潍坊市高考数学三模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.若复数（x∈R）为纯虚数，则x等于（）A.0B.1C.-1D.0或1【答案】B【解析】解：∵===（x2-x）-xi，又z为纯虚数，则有，故x=1，故选B．利用两个复数代数形式的除法法则化简z为（x2-x）-xi，再由z为纯虚数，可得，由此求得x的值．本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的除法，属于基础题．2.集合A={-1，0，1，2}，B={x||x|+|x-1|≤2}，则A∩B=（）A.{-1，0}B.{0，1}C.{0，1，2}D.{-1，0，1，2}【答案】B【解析】解：由B中的不等式解得：-0.5≤x≤1.5，即B=[-0.5，1.5]，∵A={-1，0，1，2}，∴A∩B={0，1}．故选：B．求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3.函数y=ax2+bx与函数y=x a+b（a≠0），在同一坐标系中的图象可能为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数图象特征与对应参数取值范围的关系，此类题通常是假定一个正确，从而来检验两者之间是否有矛盾，先假定函数（a≠0）的图象正确，得出相应的参数a，b的范围，再由此判断函数，图象是否符合这一特征，即可得出正确选项．【解答】解：对于A选项，函数y=x a+b（a≠0）正确，可得出a＜0，b＞0，此时二次函数图象开口向下，对称轴x=-＞0，所给图象不符合这一特征，故不可能是A；对于选项B，函数y=x a+b（a≠0）正确，可得出a＜0，b=0，此时二次函数图象开口向下，对称轴x=-=0，所给图象不符合这一特征，故不可能是B；对于选项C，由A的判断知，此时两函数的图象是相符的，故C图是可能的；对于选项D，函数y=x a+b（a≠0）正确，可得出a＜0，b＜0，此时二次函数图象开口向下，对称轴x=-＜0，所给图象不符合这一特征，故不可能是D．故选C．4.设n=4sinxdx，则二项式（x-）n的展开式的常数项是（）A.12B.-2C.4D.1【答案】B【解析】解：∵=，∴（x-）n==．∴二项式（x-）n的展开式的常数项是-2．故选：B．由定积分求出n的值，然后直接代入二项式求出常数项．本题考查定积分，考查了二项式的展开式，是基础的计算题．5.给出下列四个结论，其中正确的是（）A.“a=3”是“直线l1：a2x+3y-1=0与直线l2：x-3y+2=0垂直”的充要条件B.随机变量ξ～N（0，1），若P（|ξ|≤1.96）=0.950，则P（ξ＜-1.96）=0.05C.对于命题P：∃x∈R使得x2+x+1＜0，则￢P：∀x∈R均有x2+x+1＞0D.在区间[0，1]上随机取一个数x，则sin x的值介于0到之间的概率是【答案】D【解析】解：A．由直线l1：a2x+3y-1=0与直线l2：x-3y+2=0垂直得，（-）=-1，解得a=±3，故“a=3”是“直线l1：a2x+3y-1=0与直线l2：x-3y+2=0垂直”的充分不必要条件，即A错；B．由于随机变量ξ～N（0，1），即曲线关于x=0对称，若P（|ξ|≤1.96）=0.950，则P（-1.96≤ξ≤0）=0.475，则P（ξ＜-1.96）=0.025，故B错；C．对于命题P：∃x∈R使得x2+x+1＜0，则￢P：∀x∈R均有x2+x+1≥0，故C错；D．在区间[0，1]上随机取一个数x，sin x的值介于0到之间，即，解得0≤x，故所求概率为．即D正确．故选D．先求出两直线垂直的等价条件，再通过充分必要条件来判断A；由于随机变量ξ～N（0，1），即曲线关于x=0对称，根据条件可求出P（-1.96≤ξ≤0），再由P（ξ≤0）=0.5，即可求出P（ξ＜-1.96），可判断B；由含有一个量词的命题的否定来判断C；根据几何概率的定义，先解，得到0≤x，再由长度之比，即可得到所求概率，从而判断D．本题主要考查充分必要条件和含一个量词的命题的否定，同时考查正态分布的特点和概率的求法和几何概率的求法，属于基础题．6.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50名学生进行了问卷调查，得则至少有（）的把握认为喜爱打篮球与性别有关．A.95%B.99%C.99.5%D.99.9%【答案】C【解析】解：根据所给的列联表，得到k2==8.333＞7.879，∴至少有99.5%的把握说明喜爱打篮球与性别有关．故选：C．根据所给的列联表得到求观测值所用的数据，把数据代入观测值公式中，做出观测值，同所给的临界值表进行比较，得到所求的值所处的位置，得到百分数．根据所给的列联表得到求观测值所用的数据，把数据代入观测值公式中，做出观测值，同所给的临界值表进行比较，得到所求的值所处的位置，得到百分数．7.将函数y=sin2x+cos2x（x∈R）的图象向右平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则m的最小值为（）A. B. C. D.π【答案】B【解析】解：∵y=f（x）=sin2x+cos2x=2（sin2x+cos2x）=2sin（2x+），∴f（x-m）=2sin[2（x-m）+]=2sin（2x+-2m），∵y=2sin（2x+-2m）的图象关于原点对称，故为奇函数，∴-2m=kπ（k∈Z），∴m=-+（k∈Z），显然，当k=0时，正数m取得最小值为，故选：B．利用三角恒等变换可得f（x）=sin2x+cos2x=2sin（2x+），f（x-m）=2sin（2x+-2m），利用y=2sin（2x+-2m）为奇函数，可求得m=-+（k∈Z），从而可得答案．本题考查三角恒等变换的应用，着重考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换，考查函数的奇偶性属于中档题．8.在正四面体ABCD中，E、F、G分别是BC、CD、DB的中点，下面四个结论中不正确的是（）A.BC∥平面AGFB.EG⊥平面ABFC.平面AEF⊥平面BCDD.平面ABF⊥平面BCD【答案】C【解析】解：A．过A作AO⊥平面BCD于O，∵正四面体ABCD，∴O是正三角形BCD的中心，∵F、G分别是CD、DB的中点，∴GF∥BC，则BC∥平面AGF，故A正确．B．∵E、F、G分别是BC、CD、DB的中点，∴CD⊥AF，CD⊥BF，即CD⊥平面ABF，∵EG∥CD，∴EG⊥平面ABF，故B正确．D．∵．∵E、F、G分别是BC、CD、DB的中点，∴CD⊥AF，CD⊥BF，即CD⊥平面ABF，∵CD⊂面BCD，∴平面ABF⊥平面BCD，故D正确，只有C错误，故选：C根据正四面体的性质，结合线面平行或垂直的判定定理分别进行判断即可得到结论．本题主要考查空间直线和平面平行或垂直的判定，要求熟练掌握相应的平行或判定定理．9.已知抛物线y2=4x的准线与双曲线-=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于A、B两点，点O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，则三角形AOB的面积S△AOB=（）A. B. C. D.4【答案】A【解析】解：由抛物线y2=4x，可得准线方程为x=-1．由双曲线-=1（a＞0，b＞0）可得两条渐近线方程分别为．∵双曲线的离心率为2，∴2=，解得．∴双曲线-=1（a＞0，b＞0）可得两条渐近线方程分别为y=x．联立，解得，取B，．同理可得A，．∴|AB|=2．则三角形AOB的面积S△AOB===．故选：A．由抛物线y2=4x，可得准线方程为x=-1．由双曲线-=1（a＞0，b＞0）可得两条渐近线方程分别为．由于双曲线的离心率为2，可得2=，解得．把渐近线方程与直线x=-1联立即可解得A，B的坐标，再利用三角形面积计算公式即可得出．本题考查了双曲线与抛物线的标准方程及其性质、三角形的面积计算公式，属于基础题．10.已知函数f（x）定义域为D，若∀a，b，c∈D，f（a），f（b），f（c）都是某一三角形的三边，则称f（x）为定义在D上的“保三角形函数”，以下说法正确的个数有（）①f（x）=1（x∈R）不是R上的“保三角形函数”②若定义在R上的函数f（x）的值域为[，2]，则f（x）一定是R上的“保三角形函数”③f（x）=是其定义域上的“保三角形函数”④当t＞1时，函数f（x）=e x+t一定是[0，1]上的“保三角形函数”A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】解：对于①，由题设所给的定义知，∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）都是某一正三角形的三边长，是“可构造三角形函数”，故①错误；对于②，若函数f（x）的值域为[，2]，由2＞2，故f（x）一定是“可构造三角形函数”，故②正确；对于③，当a=0，b=3，c=3时，f（a）=1＞f（b）+f（c）=，不构成三角形，故③错误；对于④，由于函数f（x）=e x+t一定是[0，1]上的最小值为1+t，最大值为e+t，若t＞1，则2（1+t）＞e+t，故f（x）一定是“可构造三角形函数”，故④正确；故选：B．由题目已知中，根据“可构造三角形函数”的定义对四个选项进行判断即可得出正确选项．本题考查综合法推理及函数的值域，三角形的性质，理解新定义是解答的关键．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.执行如图所示程序框图，那么输出S的值是______ ．【答案】22014-2【解析】解：由程序框图知：算法的功能是求S=21+22+…+2k的值，∵跳出循环的k值为2014，∴输出S=21+22+…+22013==22014-2．故答案为：22014-2．算法的功能是求S=21+22+…+2k的值，根据条件确定跳出循环的k值，利用等比数列的前n项和公式计算输出的S值．本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键．12.正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，则直线BC1与平面AA1BB1所成角的正切值为______ ．【答案】【解析】解：取A1B1的中点D，连接C1D，BD，BC1，∵正三棱柱ABC-A1B1C1的底面为等边三角形，故C1D⊥取A1B1，又∵平面AA1BB1∩平面A1B1C1=A1B1，平面AA1BB1⊥平面A1B1C1，C1D⊂平面A1B1C1，∴C1D⊥平面AA1BB1，故∠C1BD即为直线BC1与平面AA1BB1所成角，∵棱柱底面边长为2，侧棱长为，故BD=2，CD=，故tan∠C1BD==，故答案为：取A1B1的中点D，连接C1D，BD，BC1，则可得∠C1BD即为直线BC1与平面AA1BB1所成角，解三角形可得答案．本题考查的知识点是直线与平面所成的角，其中得到∠C1BD即为直线BC1与平面AA1BB1所成角，是解答的关键．13.设实数x，y满足，则μ=的取值范围是______ ．【答案】，【解析】解：由约束条件作可行域如图，μ=的几何意义是原点与可行域内动点连线的斜率，联立，解得：A（2，1）．联立，解得：C（2，4）．由图可知，当动点为A点时，k OA最小，等于．当动点为C点时，k OC最大，等于．∴μ=的取值范围是，．故答案为：，．由约束条件作出可行域，μ=的几何意义是可行域内动点与原点连线的斜率，数形结合可得答案．本题考查线性规划，考查了两点连线的几何意义，是中档题．14.若直线y=kx与圆（x-2）2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称，则k+b= ______ ．【答案】-【解析】解：由题意可得圆心（2，0）在直线2x+y+b=0上，故有4+0+b=0，解得b=-4．再根据y=kx和直线2x+y+b=0垂直可得k（-2）=-1，求得k=，∴k+b=-，故答案为：-．由题意可得，圆心（2，0）在直线2x+y+b=0上以及y=kx和直线2x+y+b=0垂直，由此求得k、b的值，可得k+b的值．本题主要考查直线和圆的位置关系，判断圆心（2，0）在直线2x+y+b=0上以及y=kx 和直线2x+y+b=0垂直，是解题的关键，属于基础题．15.如图，C、D是两个小区所在地，C、D到一条公路AB的垂直距离分别为CA=1km，DB=2km，A、B间的距离为3km，某公交公司要在A、B之间的某点N处建造一个公交站点，使得N对C、D两个小区的视角∠CND最大，则N处与A处的距离为______ km．【答案】2-3【解析】解：设NA=x，∠CNA=α，∠DNB=β．依题意有tanα=，tanβ=，tan∠CND=tan[π-（α+β）]=-tan（α+β）=-=，令t=x+3，由0＜x＜3，得3＜t＜6，则∠=∵4≤t+＜3+∴t=2，即x=2-3时取得最大角，故N处与A处的距离为（2-3）km．故答案为：2-3．设出NA的长度x，把∠CNA与∠DNB的正切值用含有x的代数式表示，最后把∠CND 的正切值用含有x的代数式表示，换元后再利用基本不等式求最值，最后得到使N对C、D两个小区的视角∠CND最大时的x值，即可确定点N的位置．本题考查解三角形的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，解答的关键是把实际问题转化为数学问题，是中档题．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.已知△ABC的内角A、B、C的对面分别为a，b，c，向量=（，c-2b），向量=（sin2C，1），且满足⊥．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）当a=1时，求△ABC的周长的最大值．【答案】解：（Ⅰ）∵向量=（，c-2b），向量=（sin2C，1），且满足⊥，∴•=0，即•sin2C+c-2b=0，即2acos C+c-2b=0，利用正弦定理化简得：2sin A cos C+sin C-2sin B=0，即2sin A cos C-2sin（A+C）=-sin C，即2sin A cos C-2sin A cos C-2cos A sin C=-sin C，∴cos A=，则A=；（Ⅱ）∵a=1，sin A=，∴由正弦定理得：====，∴b=sin B，c=sin C，∴△ABC的周长为l=a+b+c=1+（sin B+sin C），∵sin C=sin（-B）=cos B+sin B，∴l=1+（sin B+cos B）=1+2sin（B+），∵0＜B＜，∴当B=时，△ABC周长的最大值为3．【解析】（Ⅰ）利用两向量垂直时其数量积为0，利用关系式，整理后求出cos A的值，即可确定出A的度数；（Ⅱ）由a，sin A的值，利用正弦定理表示出b与c，表示出三角形的周长l，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的值域即可确定出最大值．此题考查了正弦定理，平面向量的数量积运算，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．17.某单位有车牌尾号分别为0、5、6的汽车各一辆，分别记为A、B、C，已知在非限行日，根据工作需要每辆车可能出车或不出车，A、B、C三辆车每天出车的概率依次为、、，且A、B、C三车出车相互独立，在限行日，不能出车，该地区汽车限行规定如下：（Ⅰ）求该单位在星期四恰好出车两台的概率；（Ⅱ）设X表示该单位在星期一与星期二两天的出车台数之和，求X的分布列及其数学期望E（X）．【答案】解：（Ⅰ）设A车在星期i出车的事件为A i，B车在星期i出车的事件为B i，C车在星期i出车的事件为C i，设该单位在星期四恰好出车两台为事件D所以P（D）=P（）+P（）+P（B4C4）=（Ⅱ）X的可能取值是0，1，2，3P（X=0）=P（）P（）=P（X=1）=P（）P（）+=P（X=2）==P（X=3）=P（C1）P（A2B2）=所以X的分布列∴∴E（X）=0×【解析】（Ⅰ）设A车在星期i出车的事件为A i，B车在星期i出车的事件为B i，C车在星期i 出车的事件为C i，设该单位在星期四恰好出车两台为事件D，因为A，B，C两车是否出车相互独立，利用相互独立事件的概率公式求出该单位在星期四恰好出车两台的概率；（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题．18.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M是AC的中点，点N在线段PB上，且∠CAD=30°，PA=AB=4．（Ⅰ）当MN∥平面PDC时，求的值；（Ⅱ）当N为PB的中点时，求二面角N-AC-P的余弦值．【答案】解：（Ⅰ）∵MN∥平面PDC，MN⊂平面PBD，平面PBD∩平面PDC=PD，∴MN∥PD，∴PN：NB=DM：MB，在等边△ABC中，M为AC的中点，PA=AB=4∴BM=2，AM=2，BM⊥AC，∵∠CAD=30°，∴DM=，∴DM：MB=1：3，即=，（II）∵∠BAC=60°，∠CAD=30°，∴∠BAD=90°，即BA⊥AD，又由PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥AC，以A为原点，直线AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则P（0，0，4），B（4，0，0），N（2，0，2），∴=（2，0，2），过M作ME垂直AB于点E，MF垂直AD于点F，则ME=，MF=1，∴M（1，，0），∴=（1，，0），设平面AMN的一个法向量=（x，y，z），则，令x=3，则=（3，-，-3），又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BM，∵BM⊥AC，AC，PA⊂平面ACP，AC∩PA=A，∴BM⊥平面ACP，=（3，-，0）为平面ACP的一个法向量，设二面角N-AC-P的平面角为θ，则cosθ===即二面角N-AC-P的余弦值为：【解析】（Ⅰ）当MN∥平面PDC时，由线面平行的性质定理可得MN∥PD，进而PN：NB=DM：MB，结合已知可得的值；（Ⅱ）以A为原点，直线AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出当N 为PB的中点时，平面AMN的一个法向量和平面ACP的一个法向量，代入向量公式可得二面角N-AC-P的余弦值．本题考查的知识点是与二面角有关的立体几何综合体，直线与平面平行的性质，综合性质强，难度中档．19.2014年年初，某微小企业开发某项新产品，先期投入5万元启动资金，计划两年内逐月增加投入，已知2014年1月份投入资金0.1万元，以后每月比上个月多投入资金0.1万元，若该产品每个月的利润组成数列{a n}，a n=，，，，，，．（Ⅰ）求前n个月的利润总和；（Ⅱ）设第n个月的利润率b n=第月利润前个月投入的资金总和，求两年内哪一个月的利润率最大？并求出最大利润率．【答案】解：（Ⅰ）设前n个月的利润总和为y，则1≤n≤12时，y==；13≤n≤24时，y=+（n-12）=n-，∴y=，，，，，，；（Ⅱ）1≤n≤12时，a n=，前n-1个月投入的资金总和为5+（n-1）•0.1+•0.1=5+，∴b n==∈[，]；13≤n≤24时，a n=，前n-1个月投入的资金总和为5+（n-1）•0.1+•0.1=5+，∴b n=∈[，]，∵＞，∴n=10时，利润率最大为．【解析】（Ⅰ）利用分段函数，可求前n个月的利润总和；（Ⅱ）利用分段函数，分别求出第n个月的利润率，比较即可得出结论．本题考查利用数学知识解决实际问题，考查数列的性质和综合运用，属于中档题．20.已知函数f（x）=lnx+a，g（x）=x-a．（Ⅰ）当直线y=g（x）恰好为曲线y=f（x）的切线时，求a的值；（Ⅱ）当a＞0时，若函数F（x）=f（x）•g（x）在区间[，1]上不单调，求a的取值范围；（Ⅲ）若a∈Z且xf（x）+g（x）＞0对一切x＞1恒成立，求a的最小值．【答案】解：（Ⅰ）设切点为（x0，y0），则∵f（x）=lnx+a，∴f′（x）=，∵直线y=g（x）恰好为曲线y=f（x）的切线，∴=1，∴x0=1，∴切点为（1，a），代入g（x）=x-a，可得1-a=a，∴a=；（Ⅱ）F（x）=f（x）•g（x）=（lnx+a）（x-a），∴F′（x）=1+a+lnx-，∵a＞0，∴在（0，+∞）上F′（x）单调递增，∵F′（1）=1+a+ln1-a＞0，∴要使F（x）=f（x）•g（x）在区间[，1]上不单调，∴只需满足F′（）=1+a+ln-＜0，解得a＞；（Ⅲ）由题意x（lnx+a）+x-a＞0对一切x＞1成立等价于a＞对一切x＞1成立，记h（x）=（x＞1），则h′（x）=，记m（x）=2+lnx-x（x＞1），则m′（x）=-1＜0，∴m（x）=2+lnx-x在（1，+∞）上单调递减，∵m（3）=2+ln3-3＞0，m（4）=ln4-2＜0，∴∃x0∈（3，4），使得m（x0）=0且x∈（1，x0），m（x）＞0，h′（x）＞0，h（x）在（1，x0）上单调递增；x∈（x0，+∞），m（x）＜0，h′（x）＜0，h（x）在（x0，+∞）上单调递减；∴h（x）min=h（x0）=，∵m（x0）=0，∴2+lnx0-x0=0，∴lnx0=x0-2，∴h（x0）==-x0，∴a＞-x0，∵x0∈（3，4），∴-x0∈（-4，-3），∵a∈Z，∴a的最小值为-3．【解析】（Ⅰ）利用导数的几何意义，结合直线y=g（x）恰好为曲线y=f（x）的切线，即可求a的值；（Ⅱ）要使F（x）=f（x）•g（x）在区间[，1]上不单调，只需满足F′（）=1+a+ln-＜0，即可求a的取值范围；（Ⅲ）由题意x（lnx+a）+x-a＞0对一切x＞1成立等价于a＞对一切x＞1成立．求出右边的最小值，即可求a的最小值．本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，难度大．21.若椭圆E1：+=1和椭圆E2：+满足==m（m＞0），则称这两个椭圆相似，m称其为相似比．（Ⅰ）求经过点（，），且与椭圆C1：x2+2y2=1相似的椭圆C2的方程；（Ⅱ）设过原点的一条射线l分别与（Ⅰ）中的椭圆C1，C2交于A、B两点，求|OA|•|OB|的取值范围；（Ⅲ）设直线l1：y=kx与（Ⅰ）中椭圆C2交于M、N两点（其中M在第一象限），且直线l1与直线l2：x=t（t＞0）交于点D，过D作DG∥MF（F为椭圆C2的右焦点）且交x轴于点G，若直线MG与椭圆C2有且只有一个公共点，求t的值．【答案】（Ⅰ）解：设与椭圆C1：x2+2y2=1相似的椭圆的方程．则有解得a2=2，b2=1．∴所求方程是．（Ⅱ）解：当射线l的斜率不存在时，A（0，±），B（0，±1），∴|OA||OB|=当射线l的斜率存在时，设其方程y=kx，则y=kx代入，可得x2=，y2=，∴|OA|=，|OB|=，∴|OA||OB|=•=（1+），∴＜|OA||OB|≤，综上，≤|OA||OB|≤；（Ⅲ）解：设M（x1，y1），G（x0，0），直线MG的斜率为k′，则直线MG：y-y1=k′（x-x1），与椭圆方程联立，可得（2k′2+1）x2+4（y1-k′x1）k′x+2（y1-k′x1）2-2=0，∵直线MG与椭圆C2有且只有一个公共点，∴△=0，∴（2-x12）k′2+2k′x1y1+1-y12=0（*），∵x12+2y12=2，∴（*）化简可得k′=-，∵DG∥MF，∴，∴，∴x0=，∴G（，0），∴k MG=，∵k′=k MG，∴=-，∴t=x12+2y12=2．【解析】（Ⅰ）设与椭圆C1：x2+2y2=1相似的椭圆的方程，结合题目条件可求得a2=2，b2=1；（Ⅱ）对过原点的一条射线l的斜率分存在与不存在进行讨论，l的斜率不存在时，|OA|•|OB|=，当l的斜率存在时，可求得|OA|•|OB|=（1+），从而可求得|OA|•|OB|的取值范围；（Ⅲ）分别求出k MG、k′，利用k′=k MG，即可求t的值．本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，着重考查椭圆的标准方程，消参法求点的轨迹，难点在于直线与椭圆的综合分析与应用，思维深刻，运算复杂，难度大，属于难题．。

新疆乌鲁木齐2014年高三年级三诊【理科】数学试卷及答案

乌鲁木齐地区2014年高三年级第三次诊断性测验理科数学（问卷）（卷面分值：150分考试时间：120分钟）注意事项：1.本卷分为问卷和答卷两部分，答案务必书写在答卷（或答题卡）的指定位置上.2.答卷前，先将答卷密封线内（或答题卡中的相关信息）的项目填写清楚. 第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知A={x ∈N|x ≤6}, B={x ∈R|x 2-3x > 0|}，则A ∩B=A. {3, 4, 5}B. {4, 5, 6}C. {x|3 < x ≤6}D. {x|3≤x <6} 2.复数i1-i在复平面内对应的点在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3.设函数122,0(),0x x f x x x -⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，若f (x ) > 1，则x 的取值范围是A.（-1，1）B.（-1，+∞）C.（-∞，-1）∪（1，+ ∞）D.（-∞，-2）∪(0, + ∞) 4.已知sin2α = - 2425，且α∈( 3π4, π)，则sin α =A. 35B. 45C. - 35D. - 455.执行如图的程序框图，若输出的S = 3132，则输入的整数p 的值为 A. 3 B. 4 C. 5 D. 66.在△ABC 中，AC ·cosA = 3BC ·cosB ，且cosC =55，则A= A. 30° B. 45° C. 60° D. 120° 7.一个几何体的三视图如右图所示，则它的体积为 A.203 B. 403C. 20D. 40 8.若f(x) = 3sinx - 4cosx 的一条对称轴方程为x = a ，则a 的取值范围可以是A. ( 0, π4 )B. ( π4, π2 )C. ( π2, 3π4 )D. ( 3π4, π )9.已知函数f(x)在定义域上的值不全为零，若函数f(x+1)的图象关于 ( 1, 0 )对称，函数f(x+3)的图象关于直线x=1对称，则下列式子中错误的是A. f(-x) = f(x)B. f(x -2) = f(x + 6)C. f(-2 + x) + f(-2 -x) = 0D. f(3 + x) + f(3 - x)=0侧视图俯视图10.函数f(x) = - 1b e ax (a>0, b>0)的图象在x=0处的切线与圆x 2+y 2=1相切，则a+b 的最大值是A. 4B. 2 2C. 2D. 211.A, B, C, D 在球O 的表面上，且AB = BC=2，AC = 22，若四面体ABCD 的体积的最大值为43，则球O 的表面积为A.16π3B. 8πC. 9πD. 12π 12.已知双曲线 x 2a 2 - y 2b 2 =1 (a>0, b>0)的中心为O ，过其右焦点F 的直线与两条渐近线交于A ，B 两点，→FA 与→BF 同向，且FA ⊥OA ，若|OA|+|OB|=2|AB|，则此双曲线的离心率为 A.32 B. 52C. 3D. 5 第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题 ~ 第24题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13.82x ⎫⎪⎭二项展开式中的常数项为；14.在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C 1和C 2的方程分别为 x 24 + y 2= 1和 y 216 + x 24 = 1，射线OA 与C 1和C 2分别交于点A 和点B ，且→OB = 2→OA ，则射线OA 的斜率为； 15.定义在R 上的函数f(x)单调递增，且对任意x ∈(0, + ∞)，恒有f(f(x)-log 2x) = 1，则函数f(x)的零点为；16.已知直线l 与函数y=x 2的图象交于A ，B 两点，且线段AB 与函数y = x 2的图象围成的图形面积为43，则线段AB 的中点P 的轨迹方程是 .三、解答题第17~21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知等比数列{a n }的前n 项和为S n , a 1=3, 且3S 1 , 2S 2 , S 3成等差数列. （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =log 3a n ，求T n =b 1b 2 - b 2b 3 + b 3b 4 - b 4b 5 + … + b 2n-1b 2n - b 2n b 2n+118.（本题满分12分）已知正三棱柱ABC –A 1B 1C 1中，AB = 2，AA 1 = 6. 点F ，E 分别是边A 1C 1和侧棱BB 1的中点. （Ⅰ）证明：FB ⊥平面AEC ；（Ⅱ）求二面角F -AE -C 的余弦值.19.（本题满分12分）某公司招聘员工，先由两位专家面试，若两位专家都同意通过，则视作通过初审予以录用；若两位专家都未同意通过，则视作未通过初审不予录用；当这两位专家意见不一致时，再由第三位专家进行复审，若能通过复审则予以录用，否则不予录用.设应聘人员获得每位初审专家通过的概率为0.5，复审能通过的概率为0.3，各专家评审的结果相互独立. （Ⅰ）求某应聘人员被录用的概率；（Ⅱ）若4人应聘，设X 为被录用的人数，试求随机变量X 的分布列和数学期望.20.（本题满分12分）已知抛物线y 2 = 2px (p > 0)的交点为F ，过H （- p2 , 0）引直线l 交此抛物线于A ，B 两点.（Ⅰ）若直线AF 的斜率为2，求直线BF 的斜率；（Ⅱ）若p=2，点M 在抛物线上，且→FA + →FB = t →FM ，求t 的取值范围.21.（本题满分12分）已知函数f(x) = 1-ln(x +1) , g(x) = ax 2 - x + 1. （Ⅰ）求证：1-x ≤ f(x) ≤11+x；（Ⅱ）当0≤x ≤1时，若f(x) ≥ g(x)恒成立，求a 的取值范围.A B C A 1B 1C 1 EF请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B 铅笔在答卷（答题卡）上把所选题目的题号涂黑，满分10分22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，点A 为圆外一点，过点A 作圆的两条切线，切点分别为B ，C ，ADE 是圆的一条割线，连接CD, BD, BE, CE 。

2014级高三三诊数学参考答案及评分标准(理)_看图王

２ )上单调递增 , , ]上单调递减．在( ʑ h( x )在 [ １, e e e ２ ) ) 且 h( １ a, h( e a, h( e) a．＝２－２＝e－２＝－２
��５分２ ( ) ( ) 显然 h １＞ h e ．２ ]上存在极值 , 结合函数图象可知 , 若 g( x )在 [ １, e )ȡ０ )＞０ h( １ h( e ��７分则或．２ )＜０ h( １ h( e )＜０ )＞０ h( e e ( , 当即１＜ a ＜时, ⅰ) )＜０２ h( １２２ ], 则必定 ∃x１ , 使得 h( 且１＜ x１＜e＜ x２＜e x２ ɪ [ １, e x１) x２) ．＝h( ＝０, ( ) , ( ) , ( ) : 当 x 变化时 , 的变化情况如下表 hx g ᶄx g x
{
��９分
��１２分
年龄不低于３５岁５
合计４０１０５０ ��２分
根据２ˑ２列联表中的数据 , 得到 K 的观测值为
k＝
( )的５个受访人中 , 由题意 , 年龄在 [ 有４人支持发展共享单车 ; 年龄在 Ⅱ) １５, ２０ [ )的６个受访人中 , 有５人支持发展共享单车．２０, ２５ ��７分随机变量的所有可能取值为 ʑ X ２, ３, ４．
高三数学 ( 理科 ) 三诊测试参考答案第㊀共５页) ２页(

新疆乌鲁木齐地区2014届高三第三次诊断性测验数学(理)试题扫描版含答案

乌鲁木齐地区2014年高三年级第三次诊断性测验试卷理科数学试题参考答案及评分标准1.选B .【解析】∵{}0,1,2,3,4,5,6A =，{}0,3B x x x =<>∴{}4,5,6A B =2.选B .【解析】∵()()()11111122i i i z i i i i +===-+--+，对应的点为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限 3.选C .【解析】由()1f x >知0211x x -≤⎧⎨->⎩或1201x x >⎧⎪⎨⎪>⎩，分别解之，得1x <-或1x >.4.选A .【解析】∵3,4παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，∴cos 0,sin 0αα<>，且cos sinαα>，又()21sincos 1sin 225ααα+=+=，∴1s i n c o s 5αα+=-，∴34sin ,cos 55αα==-5.选C .【解析】∵2345111113102222232S =+++++=，此时5n =，为使输出的3132S =，必须有n p ≥，所以5p =6.选B .【解析】由题意及正弦定理得sin cos 3sin cos B A A B =，∴tan 3tan B A =， ∴0,2A B π<<，又cos C =，故sin C =tan 2C =，而A B C π++=， ∴()tan tan 2A B C +=-=-，即tan tan 21tan tan A BA B+=--，将tan 3tan B A =代入，得24tan 213tan A A =--，∴tan 1A =，或1tan 3A =-，而0,2A B π<<，故45A =︒ 7.选B.【解析】此几何体的直观图如图所示， ∴()11401444323V =⨯+⨯⨯=8.选D .【解析】依题意，有3sin 4cos 5a a -=±，即()sin 1a ϕ-=±，其中4tan 3ϕ=且02πϕ<<，∴2a k πϕπ-=+，即2a k ππϕ=++，k ∈Z ，由4ta n 3ϕ=且02πϕ<<，得42ππϕ<<，∴34k a k ππππ+<<+，k ∈Z ，故，选D （此时0k =）.9.选D .【解析】令()(1)F x f x =+，∵其图象关于()1,0对称，∴()()2F x F x =--，即()(3)1f x f x -=-+，∴()()4f x f x -=- …⑴令()(3)G x f x =+，∵其图象关于直线1=x 对称，∴()()2G x G x +=-，即()()53f x f x +=-，∴()()44f x f x +=- …⑵ 由⑴⑵得，()()4f x f x +=-，∴()()8f x f x += …⑶∴()()()844f x f x f x -=-=+-，由⑵得()()()()()4444f x f x f x +-=--= ∴()()f x f x -=；∴A 对；由⑶，得()()282f x f x -+=-，即()()26f x f x -=+，∴B 对；由⑴得，()()220f x f x -++=，又()()f x f x -=， ∴()()(2)(2)220f x f x f x f x -++--=-++=，∴C 对；若()()330f x f x ++-=，则()()6f x f x +=-，∴()()12f x f x +=，由⑶得()()124f x f x +=+，又()()4f x f x +=-，∴()()f x f x =-，即()0f x =，与题意矛盾，∴D 错. 10.选C .【解析】∵()0a f b '=-，()10f b=-，∴()f x 的图象在0x =处的切线方程为 10ax by ++=，它与圆221x y +=相切，1=，即221a b +=，∵0,0a b >>时有2221222a b a b++⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，∴a b +≤∴a b +此时2a b ==.11.选C .【解析】设ABC ∆的外接圆的圆心为O '，由2AB BC ==，AC =90ABC ∠=︒，∴点O '为AC 的中点，∴OO ABC '⊥平面，设直线OO '交球O 于1D 和2D ，不妨设点O 在线段1O D '内，∴1O D '为四面体D ABC -高的最大值，∴1112323D ABC V AB BC h h -⎛⎫=⨯⋅= ⎪⎝⎭，依题意知，2433h ≤，即2h ≤，当且仅当点D 与1D 重合时，D ABC V -取最大值，此时2h =，由()222h R R -+=，得222h R h+=，∴32R =，∴249S R ππ==.12.选B .【解析】不妨设22221x y a b -=的两条渐近线,OA OB 的方程分别为0bx ay -=和0bx ay +=则右焦点(),0F c 到直线OA的距离d b ==，又由FA OA ⊥，得O A a =，∵2OA OB AB +=，∴2OB AB a =- …①∵90AOB ∠=︒，∴222OA AB OB += …②，①②联立，解得43AB a =在Rt OAB ∆中，4tan 3AB AOB OA∠==，而2AOB AOF ∠=∠且tan b AOF a ∠=∴22tan tan 1tan AOF AOB AOF ∠∠=-∠，即22431b a b a ⎛⎫⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得12b a =，或2b a =-（舍）∴2214b a =，即2254c a =，∴离心率2c e a == 二、填空题 :共4小题，每小题5分，共20分. 13.填112.【解析】∵()843182r rrr T C x-+=-，令8403r-=，即2r =， ∴常数项为()22382112T C =-=14.填1±.【解析】设点()()1122,,,A x y B x y ，由2OB OA =，得21212,2x x y y ==，又∵点B 在椭圆2C 上，∴22221164y x +=，∴2211144y x += …①， ∵点A 在椭圆1C 上，∴221114x y +=…②，由①②可得111yx =±.∴射线OA 的斜率为1±． 15.填12.【解析】依题意，有()2log f x x a -=，a 是常数. ∴()1f a =，即2l o g 1a a =-，易知1a =，∴()21log f x x =+，令()0f x =，解得12x =16.填21y x =+.【解析】依题意，设直线l 的方程为y kx m =+，它与抛物线2y x =交于点()()1122,,,A x y B x y ，线段AB 的中点P 的坐标为(),x y ，则122x x x +=， 122y y y +=…⑴由方程组2y kx m y x=+⎧⎨=⎩，得到以12,x x 为根的一元二次方程20x kx m --=，则240k m ∆=+>且12x x k +=，12x x m =-…⑵不妨设12x x <，依题意知()21243x x kx m x dx +-=⎰，即()()22112221124233x x x x k x x x x m ⎡⎤++-++-=⎢⎥⎣⎦…⑶，将⑵代入⑶，化简得()3218x x -=，即()2214x x -=，∴()2121244x x x x +-=…⑷ 又∵221122,y x y x ==，∴2212121212422222y y x x x x y x x +++====+，故122x x y =-，而122x x x +=，得122x x x +=，代入⑷，化简得21y x =+ 三、解答题17．（本小题满分12分）（Ⅰ）∵1233,2,S S S 成等差数列，∴21343S S S =+，∴()()12112343a a a a a a +=+++，即323a a =，∴公比3q =∴113n n n a a q -== …6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，33log log 3n n n b a n ===，∵()()2122212122214n n n n b b b b n n n n n -+-=--+=- ∴()()()12233445212221n n n n n T bb b b b b b b b b b b -+=-+-++-()()214124222n n n n n +=-+++=-⨯=-- …12分18．（本小题满分12分）取AC 的中点O ，连接,OF OB ，则有1A A ∥FO ，故FO ⊥平面ABC ，在正三角形ABC 中，O 是AC 的中点，故OB AC ⊥，1,OA OC OB ===如图，以O 为原点，分别以,,OA OB OF 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则()()()()(0,0,0,1,0,0,,1,0,0,,O A B C E F ⎛- ⎝⎭(FB =，AE ⎛=- ⎝⎭，()2,0,0AC =-，(AF =-（Ⅰ）∵(02FB AE ⎛⋅=⋅-= ⎝⎭， ∴FB AE ⊥，即FB AE ⊥又∵(()2,0,00FB AC ⋅=⋅-=， ∴FB AC ⊥，即FB AC ⊥而AEAC A =，∴FB ⊥平面AEC ； …6分（Ⅱ）设平面AEF 的法向量为(),,a b c =n ，则有0AE AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，即00a a ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩，令c =6,a b =即(=n ，由（Ⅰ）知平面AEC 的一个法向量为FB 设二面角F AE C --的平面角为θ，易知02πθ<≤，∴cos FB FB θ⋅==n n…12分 19．（本小题满分12分）设“两位专家都同意通过”为事件A ，“只有一位专家同意通过”为事件B ， “通过复审”为事件C ．（Ⅰ）设“某应聘人员被录用”为事件D ，则D A BC =+∵()111224P A =⨯=，()11121222P B ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，()310P C = ∴()()()()()25P D P A BC P A P B P C =+=+= …6分（Ⅱ）根据题意，0,1,2,3,4X =i A 表示“应聘的4人中恰有i人被录用”()0,1,2,3,4i =．∵()04004238155625P A C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()31142321655625P A C ⎛⎫=⨯⨯=⎪⎝⎭， ()222242321655625P A C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3334239655625P A C ⎛⎫=⨯⨯=⎪⎝⎭， ()4444231655625P A C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴X 的分布列为∵X ～()4,0.4B ，∴ 1.6EX np == …12分 20．（本小题满分12分）（Ⅰ）分别过,A B 作准线的垂线，垂足分别是11,A B则11,AF AA BF BB ==∴11AA AF HABF BB HB==， ∴AF HA BF HB =，∴AF BFHA HB=…① AHF ∆中，sin sin AF AHFHA AFH ∠=∠…②，BHF ∆中，sin sin BF AHFHB BFH∠=∠…③将②③代入①，得sin sin sin sin AHF AHFAFH BFH∠∠=∠∠，∴sin sin AFH BFH ∠=∠∴180AFH BFH BFx ∠=︒-∠=∠∴0AF BF k k +=，∴2BF AF k k =-=-．…6分（Ⅱ）依题意可知，抛物线为24y x =，直线l 的斜率k 存在且0k ≠，l 的方程为()1y k x =+，设交点()11,A x y ，()22,B x y ，满足()214y k x y x⎧=+⎪⎨=⎪⎩，即12,x x 满足()2222240k x k x k +-+=，∴()2242440k k ∆=-->，∴21k <，且21212242,1k x x x x k -+==设()00,M x y ，由FA FB tFM +=，其中0t ≠， X 0 1 2 3 4P81625 216625 216625 96625 16625得()()()1122001,1,1,x y x y t x y -+-=-，∴12012021x x x ty y y t +-⎧=+⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，而()121242y y k x x k+=++=代入2004y x =，得222422441k k kt t ⎛⎫-- ⎪⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭，化为：222444k t k t t -+= 得，22444t k t t-=-，而21k <且0k ≠， ∴2t <-，或01t <<，或12t <<，或4t >． …12分 21．（本小题满分12分）（Ⅰ）令()()()()1ln 1h x f x x x x =--=-+，则()1xh x x '=+，当10x -<≤ 时，()0h x '≤，函数()h x 递减当0x >时，()0h x '>，函数()h x 递增，故()h x 在0x =处取得最小值()00h = 即，对1x >-，有()()00h x h ≥=，故()1f x x ≥- 令()()()1ln 111x I x f x x x x =-=-+++，则()()21x I x x '=-+，当10x -<≤ 时，()0I x '≥，函数()I x 递增当0x >时，()0I x '<，函数()I x 递减，故()I x 在0x =处取得最大值()00I = 即，对1x >-，有()()00I x I ≤=，故()11f x x≤+ ∴()111x f x x-≤≤+ …6分（Ⅱ）令()()()()2ln 1F x g x f x x ax x =-=++-，则()()22211ax a xF x x +-'=+⑴当0a ≤时，210a -<，∴当0x ≥，∴10x +>，2210ax a +-≤∴()0F x '≤，∴函数()[],0,1y F x x =∈为减函数，∴当01x ≤≤时，()()00F x F ≤=，即0a ≤时，()()f x g x ≥成立⑵当104a <≤时，1212aa-≥ 则对[]0,1x ∀∈，12102ax x a--≤-≤，∴10x +>，2210ax a +-≤ ∴()0F x '≤，∴函数()[],0,1y F x x =∈为减函数，∴当01x ≤≤时，()()00F x F ≤=，即104a <≤时，()()f x g x ≥成立 ⑶当11ln 24a <≤-时，由11ln 22-<，知12012aa-<< ∴当1202ax a-≤≤时，∴10x +>，2210ax a +-≤，∴()0F x '≤当1212ax a-<≤时，∴10x +>，2210ax a +-≥，()0F x '≥， ∴函数()[],0,1y F x x =∈的减区间为120,2a a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦，增区间为12,12a a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦又∵()()00,1ln 210F F a ==-+≤∴对[]0,1x ∀∈，()()(){}max 0,10F x F F ≤≤ 故，当01x ≤≤时，()()f x g x ≥成立⑷当1ln 2a >-时，有ln 210a +->，∴()1ln 210F a =+-> 即()()11g f >，与题意矛盾综合⑴⑵⑶⑷，(],1ln2a ∈-∞-，对01x ≤≤，有()()f x g x ≥． …12分 22．（本小题满分10分）（Ⅰ）如图，由题意可知,ACD AEC CAD EAC ∠=∠∠=∠∴ADC ∆∽ACE ∆，∴CD ACCE AE=，同理，BD ABBE AE =，又∵AB AC =， ∴CD BDCE BE=，∴B E C D B D C E ⋅=⋅ …5分（Ⅱ）如图，由切割线定理，得2FB FD FC =⋅，∵CE ∥AB ∴FAD AEC ∠=∠，又∵AB 切圆于B ，∴ACD AEC ∠=∠，∴FAD FCA ∠=∠， ∴AFD ∆∽CFA ∆，∴AF FD CF AF=，即2AF FD FC =⋅∴22FB AF =，即FB FA =，∴F 为线段AB 的中点． …10分23．（本小题满分10分）（Ⅰ）设曲线C 上任意点M 的坐标为()cos ,sin ϕϕ（02ϕπ≤<）依题意，直线l 的普通方程为40x y +-=点M 到l的距离为d ==∵02ϕπ≤<，∴9444πππϕ≤+<，3444242πππϕ⎛⎫-≤+-≤- ⎪⎝⎭即4444πϕ⎛⎫≤+-≤ ⎪⎝⎭，当342ππϕ+=，即54πϕ=时，max 1d === …5分（Ⅱ）设射线OP 的极坐标方程为()θαα=∈R ，依题意可知，动点Q 的极坐标为(),ρα，()()1,,,P R P αρα，由2OP OQ OR ⋅=，得1P ρρ⋅=…⑴点(),P P ρα在直线l 上，∴()cos sin 4P ραα+=…⑵，cos sin 0αα+≠，∴4cos sin P ραα=+…⑶，将其代入⑴得41cos sin ραα=+，即4cos sin ραα=+由cos ,sin x y ραρα==，∴()224x y x y +=+，其中0xy ≠24．（本小题满分10分）（Ⅰ）∵()()()3332223a b c a b c a b c ++-++++()()()()3332222222a b c a b c b a c c a b =++-+-+-+∵()()332222a b a b ab aa b b b a +--=-+-()()2a b a b =-+∵,a b +∈R ，∴()()20a b a b -+≥，∴3322a b a b ab +≥+，同理，3322b c b c bc +≥+，3322c a c a ca +≥+∴()3332222222a b c a b ab b c bc c a ca ++≥+++++∴()()()()33322222220a b c a b c b a c c a b ++-+-+-+≥∴()()()2223333a b c a b c a b c ++++≤++ …5分（Ⅱ）∵,,a b c +∈R ，∴0,0,0a b b c c a +>+>+>，由柯西不等式得()()()111a b b c c a a b b c c a ⎛⎫+++++++⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭29≥=即()11129a b c a b b c c a ⎛⎫++++≥ ⎪+++⎝⎭，∴23ca b a b b c c a ⎛⎫++≥ ⎪+++⎝⎭故，32a b c b c c a a b ++≥+++，当且仅当a b c ==时不等式取等号 …10分以上各题的其他解法，限于篇幅从略，请相应评分.。

陕西省宝鸡市2014年4月高三质检(三)理科数学试题

陕西省宝鸡市2014年4月高三质检(三)理科数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 1. 在复平面内，复数)32(i i +对应点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限2. 若曲线ax x y +=3在坐标原点处的切线方程是02=-y x ，则实数=a （）A. 1B. 1-C. 2D.2-3. 已知，x c x b a x lg ,,)21(2===，当2>x 时，c b a ,,的大小关系为（）A . c b a << B. b c a << C. a b c << D.b a c <<4. 已知),,0(,2sin cos πααα∈-=-则=αtan （）A.1-B. 22-C. 22 D.1 5. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的S 值为（）A.15B. 14C. 7D.66. 已知函数)3sin()(x x f -=π，若要得到函数)('x f y =的图像，只需将函数)(x f y =图像上所有的点（）A.向左平移2π个单位长度 B.向右平移2π个单位长度C. 向左平移32π个单位长度D.向右平移32π个单位长度7. 如图，设区域{}10,10),(≤≤≤≤=y x y x D ，向区域D 内随机投一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，则点落入到阴影区域{}30,10),(x y x y x M ≤≤≤≤=的概率为（）41 B. 31 C. 52 D.728. 已知平面向量→→b a ,的夹角为120，且1.-=→→b a ，则→→-b a 的最小值为（）6 B. 3 C. 2 D.19. 某会议室第一排有9个座位，现安排4人就座，若要求每人左右均有空位，则不同的坐法种数为（）A.8B. 16C. 2410. 已知R x ∈，符号][x 表示不超过x 的最大整数，若函数)0(][)(>-=x a xx x f 有且仅有3个零点，则a 的取值范围是（）]32,21( B. ]32,21[ C. ]54,43( D.]54,43[ 第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上（必做题11—14题，选做题15题）11.观察下边方框内等式，照此规律，第4个等式可为..........6765636142927253972444+++=++=+=12. 某三棱锥的三视图如图所示，则三棱锥的体积为13. 甲，乙两位同学近期参加了某学科的四次测试，右图为依据他们的四次测试成绩绘制的折线图，由此可以判断：在甲，乙两位同学中，成绩较稳定的是同学（填“甲”或“乙”）14. .已知双曲线14222=-by x 的右焦点F 与抛物线x y 122=的焦点重合，过双曲线的右焦点F 作其渐近线垂线，垂足为M 。

数学_2014年河北省石家庄市某校高考数学三模试卷(三)(文科)(含答案)

2014年河北省石家庄市某校高考数学三模试卷（三）（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合A ={−1, 0, 1}，则集合B ={x +y|x ∈A, y ∈A}中元素的个数是（） A 1 B 3 C 5 D 92. 若复数z 满足iz =2+4i ，则在复平面内，z 的共轭复数z ¯对应的点的坐标是（） A (2, 4) B (2, −4) C (4, −2) D (4, 2) 3. 下列命题中错误的是（）A 命题“若x 2−5x +6＝0，则x ＝2”的逆否命题是“若x ≠2，则x 2−5x +6≠0”B 若x ，y ∈R ，则“x ＝y”是xy ≥(x+y 2)2成立的充要条件 C 已知命题p 和q ，若p ∨q 为假命题，则命题p 与q 必一真一假 D 对命题p:∃x ∈R ，使得x 2+x +1<0，则￢p:∀x ∈R ，则x 2+x +1≥04. 公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3是a 2与a 6的等比中项，S 4=8，则S 6=( )A 18B 24C 60D 905. 执行如图所示的程序框图，则输出的T 值为（）A 55B 30C 91D 1006. 已知向量a →=(1, 0)，b →=(0, 1)，c →=ka →+b →(k ∈R)，d →=a →−b →，如果c → // d →，那么（）A k =1且c 与d 同向B k =1且c 与d 反向C k =−1且c 与d 同向D k =−1且c 与d 反向7. 若直线y =kx 与圆(x −2)2+y 2=1的两个交点关于直线2x +y +b =0对称，则k ，b 的值分别为（）A k =12，b =−4 B k =−12，b =4 C k =12，b =4 D k =−12，b =−48. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是32，则正视图中的x 的值是( )A 2B 92C 32D 39. 若当x =π4时，函数f(x)=Asin(x +φ)(A >0)取得最小值，则函数y =f(π4−x)是（）A 奇函数且图象关于点(π2, 0)对称 B 偶函数且图象关于直线x =π2对称 C 奇函数且图象关于直线x =π2对称 D 偶函数且图象关于点(π2, 0)对称10. 函数f(x)＝(x −2)(ax +b)为偶函数，且在(0, +∞)单调递增，则f(2−x)>0的解集为（）A {x|x >2或x <−2}B {x|−2<x <2}C {x|x <0或x >4}D {x|0<x <4} 11. 已知双曲线y 2−x 2m =1的中心在原点O ，双曲线两条渐近线与抛物线y 2=mx 交于A ，B 两点，且S △OAB =9√3，则双曲线的离心率为（） A √3 B 2 C √5 D √7 12. 设函数f(x)的定义域为R ，f(x)={x,0≤x ≤1(12)x−1,−1≤x <0.且对任意的x ∈R 都有f(x +1)＝f(x −1)，若在区间[−1, 3]上函数g(x)＝f(x)−mx −m 恰有四个不同零点，则实数m 的取值范围是（）A [0, 12] B [0, 14) C (0, 12] D (0, 14]二、填空题：本大题共4小题，每题5分．13. △ABC 中，∠A =60∘，∠A 的平分线AD 交边BC 于D ，已知AB =3，且AD →=13AC →+λAB →(λ∈R)，则AD 的长为________． 14. 若x ，y 满足条件{y ≥2|x|−1，y ≤x +1，则z =x +3y 的最大值为________．15. 在正三棱锥A −BCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，EF ⊥DE 且BC =√2，若此正三棱锥的四个顶点都在球O 的面上，则球O 的体积为________． 16. 数列{a n }的通项a n =n 2(cos 2nπ3−sin 2nπ3)，其前n 项和为S n ，则S 30为________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 如图，在等腰直角三角形△OPQ 中，∠POQ ＝90∘，OP ＝2√2，点M 在线段PQ 上．（1）若OM =√5，求PM 的长；（2）若点N 在线段MQ 上，且∠MON ＝30∘，问：当∠POM 取何值时，△OMN 的面积最小？并求出面积的最小值．18. 如图，三角形ABC 中，AC =BC =√22AB ，ABED 是边长为1的正方形，平面ABED ⊥底面ABC ，若G 、F 分别是EC 、BD 的中点．(1)求证：GF // 底面ABC ； (2)求证：AC ⊥平面EBC ； (3)求几何体ADEBC 的体积V ．19. 为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者．从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是：[20, 25)[25, 30)[30, 35)[35, 40)[40, 45]（1）求图中x 的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[35, 40)岁的人数；（2）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取5名参加中心广场的宣传活动，再从这5名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人，求这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数大于1的概率． 20. 已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x −y +√2=0相切． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若过点M(2, 0)的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，设P 为椭圆上一点，且满足OA →+OB →=tOP →（O 为坐标原点），当|PA →−PB →|<2√53时，求实数t 取值范围． 21. 设函数f(x)=ln(x −1)+2a x(a ∈R)（1）求函数f(x)的单调区间；（2）如果当x >1，且x ≠2时，ln(x−1)x−2>ax 恒成立，则求实数a 的取值范围．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．【选修4-1：几何证明选讲】22. 选修4−1：几何证明选讲如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B、C两点，弦CD // AP，AD、BC相交于点E，F为CE上一点，且DE2＝EF⋅EC．（1）求证：CE⋅EB＝EF⋅EP；（2）若CE:BE＝3:2，DE＝3，EF＝2，求PA的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】23. 在极坐标系下，已知圆O:ρ=cosθ+sinθ和直线l:ρsin(θ−π4)=√22．(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当θ∈(0, π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．【选修4-5：不等式选讲】24. 选修4−5：不等式选讲设函数f(x)=|2x+1|−|x−3|．（1）解不等式f(x)>0；（2）已知关于x的不等式a+3<f(x)恒成立，求实数a的取值范围．2014年河北省石家庄市某校高考数学三模试卷（三）（文科）答案1. C2. D3. C4. B5. A6. D7. A8. C9. D10. C11. B12. D13. 2√314. 11 15. √32π 16. 47017. 在△OPQ 中，∠OPQ ＝45∘，OM =√5，OP ＝2√2，由余弦定理得，OM 2＝OP 2+MP 2−2⋅OP ⋅MPcos45∘，得MP 2−4MP +3＝0，解得MP ＝1或MP ＝3．…6 设∠POM ＝α，0∘≤α≤60∘，在△OMP 中，由正弦定理，得OMsin∠OPM =OPsin∠OMP ，所以OM =OPsin45sin(45+α)，同理ON =OPsin45sin(75+α) ...8′S △OMN =12×OM ×ON ×sin∠MON =14×OP 2sin 245sin(45+α)sin(75+α) ...10 =1sin(45+α)sin(75+α)=1sin(45+α)[√32sin(45+α)+12cos(45+α)]=1√32sin 2(45+α)+12sin(45+α)cos(45+α)=√34+√34sin2α+14cos2α=√34+12sin(2α+30) (14)因为0∘≤α≤60∘，30∘≤2α+30∘≤150∘，所以当α＝30∘时，sin(2α+30∘)的最大值为1，此时△OMN 的面积取到最小值．即∠POM ＝30∘时，△OMN 的面积的最小值为8−4√3．…16 18. 解：(1)证法一：取BE 的中点H ，连接HF 、GH （如图）,∵ G 、F 分别是EC 和BD 的中点， ∴ HG // BC ，HF // DE ，又∵ ADEB 为正方形，∴ DE // AB ，从而HF // AB ， ∴ HF // 平面ABC ，HG // 平面ABC ，HF ∩HG =H ， ∴ 平面HGF // 平面ABC ， ∴ GF // 平面ABC .证法二：取BC 的中点M ，AB 的中点N 连接GM 、FN 、MN （如图）,∵ G、F分别是EC和BD的中点,∴ GM//BE,且GM=12BE,NF//DA，且NF=12DA,又∵ ADEB为正方形，∴ BE // AD，BE=AD,∴ GM // NF且GM=NF,∴ MNFG为平行四边形,∴ GF // MN，又MN⊂平面ABC，∴ GF // 平面ABC.(2)∵ ADEB为正方形，∴ EB⊥AB，∴ GF // 平面ABC,又∵ 平面ABED⊥平面ABC，∴ BE⊥平面ABC,∴ BE⊥AC.又∵ CA2+CB2=AB2,∴ AC⊥BC，∵ BC∩BE=B，∴ AC⊥平面BCE.(3)取AB中点N,连接CN，因为AC=BC，∴ CN⊥AB，又平面ABED⊥平面ABC，CN⊂平面ABC，∴ CN⊥平面ABED．∵ 三角形ABC是等腰直角三角形，∴ CN=12AB=12，∵ C−ABED是四棱锥，∴ V C−ABED=13S ABED⋅CN=13×1×12=16.19. 解：（1）∵ 小矩形的面积等于频率，除[35, 40]外的频率和为0.70，∴ x=1−0.705=0.06500名志愿者中，年龄在[35, 40]岁的人数为0.06×5×500=150（人）．…（2）用分层抽样的方法，从中选取5名，则其中年龄“低于35岁”的人有3名，“年龄不低于35岁”的人有2名．…由列举法可得，总共为20种，-------符合条件的为14种，概率为710−−−−−−−20. （1）由题意知e=ca =√22，所以e2=c2a2=a2−b2a2=12．即a2＝2b2．又因为b =√2√1+1=1，所以a 2＝2，故椭圆C 的方程为x 22+y 2=1．（2）由题意知直线AB 的斜率存在．设AB:y ＝k(x −2)，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，P(x, y)，由{y =k(x −2)x 22+y 2=1.得(1+2k 2)x 2−8k 2x +8k 2−2＝0．△＝64k 4−4(2k 2+1)(8k 2−2)>0，k 2<12．x 1+x 2=8k 21+2k 2，x 1⋅x 2=8k 2−21+2k 2∵ OA →+OB →=tOP →∴ (x 1+x 2, y 1+y 2)＝t(x, y)， ∴ x =x 1+x 2t =8k 2t(1+2k 2)，y =y 1+y 2t=1t [k(x 1+x 2)−4k]=−4kt(1+2k 2)∵ 点P 在椭圆上，∴ (8k 2)2t 2(1+2k 2)2+2(−4k)2t 2(1+2k 2)2=2，∴ 16k 2＝t 2(1+2k 2)．∵ |PA →−PB →|<2√53，∴ √1+k 2|x 1−x 2|<2√53，∴ (1+k 2)[(x 1+x 2)2−4x 1⋅x 2]<209∴ (1+k 2)[64k 4(1+2k 2)2−4⋅8k 2−21+2k 2]<209，∴ (4k 2−1)(14k 2+13)>0，∴ k 2>14．∴ 14<k 2<12，∵ 16k 2＝t 2(1+2k 2)，∴ t 2=16k 21+2k 2=8−81+2k 2， ∴ −2<t <−2√63或2√63<t <2，∴ 实数t 取值范围为(−2,−2√63)∪(2√63,2)． 21. 解：（1）由题意可知函数f(x)的定义域为(1, +∞)，f′(x)=1x−1−2a x 2=x 2−2ax+2a x 2(x−1)，设g(x)=x 2−2ax +2a ，△=4a 2−8a =4a(a −2)， ①当△≤0，即0≤a ≤2，g(x)≥0，∴ f′(x)≥0，f(x)在(1, +∞)上单调递增．②当a <0时，g(x)的对称轴为x =a ，当x >1时，由二次函数的单调性可知g(x)>g(1)>0，∴ f′(x)>0，f(x)在(1, +∞)上单调递增．③当a >2时，设x 1，x 2(x 1<x 2)是方程x 2−2ax +2a =0的两个根，则x 1=a −√a 2−2a >1，x 2=a +√a 2−2a ，当1<x <x 1或x >x 2时，f′(x)>0，f(x)在(1, x 1)，(x 2, +∞)上是增函数．当x 1<x <x 2时，f′(x)<0，f(x)在(x 1, x 2)上是减函数．综上可知：当a ≤2时，f(x)在(1, +∞)上单调递增；当a >2时，f(x)的单调增区间为(1, x 1)，(x 2, +∞)，单调递减区间为(x 1, x 2)．（2）ln(x−1)x−2>a x 可化为1x−2[ln(x −1)+2a x−a]>0，即1x−2[f(x)−a]>0，(∗)令ℎ(x)=f(x)−a ，由（1）知：①当a ≤2时，f(x)在(1, +∞)上是增函数，所以ℎ(x)在(1, +∞)是增函数．因为当1<x <2时，ℎ(x)<ℎ(2)=0，∴ (∗)式成立；当x >2时，ℎ(x)>ℎ(2)=0，∴ (∗)成立；所以当a ≤2时，(∗)成立②当a >2时，因为f(x)在(x 1, 2)上是减函数，所以ℎ(x)在(x 1, 2)上是减函数，所以当x 1<x <2时，ℎ(x)>ℎ(2)=0，(∗)不成立．综上可知，a 的取值范围为(−∞, 2]．22. （II ）∵ DE 2＝EF ⋅EC ，DE ＝3，EF ＝2． ∴ 32＝2EC ，∴ CE =92．∵ CE:BE ＝3:2，∴ BE ＝3．由(I)可知：CE ⋅EB ＝EF ⋅EP ，∴ 92×3=2EP ，解得EP =274，∴ BP ＝EP −EB =274−3=154．∵ PA 是⊙O 的切线，∴ PA 2＝PB ⋅PC ， ∴ PA 2=154×(274+92)，解得PA =15√34．23. 解：(1)圆O:ρ=cosθ+sinθ，即ρ2=ρcosθ+ρsinθ，故圆O 的直角坐标方程为：x 2+y 2=x +y ，即x 2+y 2−x −y =0．直线l:ρsin(θ−π4)=√22，即ρsinθ−ρcosθ=1，则直线的直角坐标方程为：y −x =1，即x −y +1=0．(2)由{x 2+y 2−x −y =0，x −y +1=0，可得 {x =0，y =1，直线l 与圆O 公共点的直角坐标为(0, 1)，故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为(1,π2)．24. 解：（1）∵ f(x)=|2x +1|−|x −3|={−x −4,x <−123x −2,−12≤x ≤3x +4,x >3，∵ f(x)>0，∴ ①当x <−12时，−x −4>0，∴ x <−4；②当−12≤x ≤3时，3x −2>0，∴ 23<x ≤3；③当x >3时，x +4>0， ∴ x >3．综上所述，不等式f(x)>0的解集为：(−∞, −4)∪(23, +∞)…（2）由（1）知，f(x)={−x −4,x <−123x −2,−12≤x ≤3x +4,x >3，∴ 当x ≤−12时，−x −4≥−72；当−12<x <3时，−72<3x −2<7；当x ≥3时，x +4≥7，综上所述，f(x)≥−72．∵ 关于x 的不等式a +3<f(x)恒成立， ∴ a <f(x)−3恒成立，令g(x)=f(x)−3，则g(x)≥−132．∴ g(x)min =−132．∴ a <g(x)min =−132...10 分。

四川省绵阳市高中2014届三诊数学理科试题含答案

（Ⅰ）求数列的公比；
（Ⅱ）证明：成等差数列.
17.（本小题满分12分）
绵阳市农科所研究出一种新的棉花品种，为监测长势状况.从甲、乙两块试验田中各抽取了10株棉花苗，量出它们的株高如下（单位：厘米）：
甲
37
21
31
20
29
19
32
23
25
33
乙
10
30
47
27
46
14
26
10
44
46
（Ⅰ）画出两组数据的茎叶图，并根据茎叶图对甲、乙两块试验田中棉花棉的株高进行比较，写出两个统计结论；
的表达式为
A.
B.
C.
D.
9.为了了解小学生的作业负担，三名调研员对某校三年级1至5名进行学情调查，已知这5
个班在同一层楼并按班号排列。若要求每名调研员均参与调查，但不在相邻两个班调查，
每个班只安排一名调研员，则不同的调查方案有
A.48种B.42种C.36种D.24种
10.已知，若关于的方程恰好有4个不相等
（Ⅰ）求椭圆形的方程；
（Ⅱ）过点作相互垂直的直线，分别交椭圆于试探究是否为定值？并求当圆边形的面积S最小时，直线的方程.
21.（本小题满分14分）
已知函数有且只有一个零点，其中a＞0.
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若对任意的，有成立，求实数k的最大值；
（III）设，对任意，证明：不等式恒成立.
，就称A为“复活集”，给出下列结论：
①集合是“复活集”；
②若，且是“复活集”，则；
③若，则不可能是“复活集”；
④若，则“复合集”A有且只有一个，且n= .

安徽省黄山市2014届高三第三次质量检测数学理试题+WORD版

2014年安徽省黄山市高考数学三模试卷（理科）一、选择题1．若复数z=﹣+i，则z2的共轭复数为（）A．﹣﹣i B．﹣+i C．﹣1 D．12．设P={x∈R丨≥1}，Q={x∈R丨1n（1﹣x）≤0}，则“x∈P”是“x∈Q”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．必要条件D．既不充分也不必要条件3．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入m=2014，n=6，则输出n的值为（）A．2014 B． 4 C．3D．24．设曲线C1的参数方程为（t为参数），曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ，则曲线C1与C2交点的个数为（）A．0 B．1C．2D．1或25．设函数f（x）=bsinx的图象在点A（，f（））处的切线与直线x﹣2y+3=0平行，若a n=n2+bn，则数列{}的前2014项和S2014的值为（）A．B．C．D．6．对于任意给定的实数m，直线3x+y﹣m=0与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）最多有一个交点，则双曲线的离心率等于（）A．B．C．3D．27．设z=x+ky，其中x，y满足，当z的最小值为﹣时，k的值为（）A．3 B．4C．5D．68．当a=dx时，二项式（x2﹣）6展开式中的x3项的系数为（）A．﹣20 B．20 C．﹣160 D．1609．设△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c成等比数列，且公比为q，则q+的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（0，+1）C．（﹣1，+∞）D．（﹣1，+1）10．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的表面或体内任取一点M，若•≥1，则动点M所构成的几何体的体积为（）A．4 B．6C．7D．8二、填空题11．在样本频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它10个长方形面积和的，且样本容量为180，则中间一组的频数为_________．12．设△ABC中，acosC，bcosB，ccosA成等差数列，则∠B=_________．13．若函数f（x）=﹣1+log（n+1）（x+1）经过的定点（与m无关）恰为抛物线y=ax2的焦点，则a= _________．14．幂函数y=x a，当a取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一族美丽的曲线（如图），设点A（1，0）、B（0，1），若y=xα，y=xβ的图象与线段AB分别交于M、N，且=，则4α+β的最小值为_________．15．在四棱柱ABCD﹣A′B′C′D′中，底面ABCD为正方形，侧棱AA′⊥底面A′B′C′D′，AB=2，AA′=4，给出下面五个命题：①该四棱柱的外接球的表面积为24π；②在该四棱柱的12条棱中，与直线B′D异面的棱一共有4条；③用过点A′、C′的平面去截该四棱柱，且截面为四边形，则截面四边形中至少有一组对边平行；④用过点A′、C′的平面去截该四棱柱，且截面为梯形，则梯形两腰所在直线的交点一定在直线DD′上；⑤若截面为四边形A′C′NM，且M、N分别为棱AD、CD的中点，则截面面积为．其中所有是真命题的序号为_________．三、解答题16．（12分）数列{a n}满足a1=3，且2，，n+3成等比数列．（Ⅰ）求a2，a3，a4以及数列{a n}的通项公式a n（要求写出推导过程）；（Ⅱ）令T n=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…a2n a2n+1，求T n．17．（12分）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：x x1x2x3ωx+φ0 π2πAsin（ωx+φ）0 0 ﹣0（Ⅰ）请求出上表中的x1，x2，x3，并直接写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）将f（x）的图象沿x轴向右平移个单位得到函数g（x），若函数g（x）在x∈[0，m]（其中m∈（2，4）上的值域为[﹣，]，且此时其图象的最高点和最低点分别为P、Q，求与夹角θ的大小．18．（12分）某学校为响应省政府号召，每学期派老师到各个民工子弟学校支教，以下是该学校50名老师上学期在某一个民工子弟学校支教的次数统计结果：支教次数0 1 2 3人数 5 10 20 15根据上表信息解答以下问题：（1）从该学校任选两名老师，用η表示这两人支教次数之和，记“函数f（x）=x2﹣ηx﹣1在区间（4，5）上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率P1；（2）从该学校任选两名老师，用ξ表示这两人支教次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．19．（13分）如图（1），在四棱锥E﹣ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BE=BC，AE⊥BE，点M为CE上一点，且BM⊥平面ACE．（Ⅰ）求证：AE⊥BC；（Ⅱ）若点N为线段AB的中点，求证：MN∥平面ADE；（Ⅲ）若BE=4，CE=4，且二面角A﹣BC﹣E的大小为45°，如图（2），试问棱DE上是否存在一点P，使得BP与平面ABE所成的角为30°？若存在，求PE的长度；若不存在，说明理由．20．（13分）已知椭圆C：+y2=1，圆O：x2+y2=4上一点A（0，2）．（Ⅰ）过点A作两条直线l1、l2都与椭圆C相切，求直线l1、l2的方程并判断其位置关系；（Ⅱ）有同学经过探究后认为：过圆O上任间一点P作椭圆C的两条切线l1、l2，则直线l1、l2始终相互垂直，请问这位同学的观点正确吗？证明你的结论．21．（13分）已知函数f（x）=﹣x3+x2+bx，g（x）=alnx+x（a≠0）（1）若函数f（x）存在极值点，求实数b的取值范围；（2）求函数g（x）的单调区间；（3）当b=0且a＞0时，令，P（x1，F（x1）），Q（x2，F（x2））为曲线y=F（x）上的两动点，O为坐标原点，能否使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上？请说明理由．18．解：（1）函数f（x）=x2﹣ηx﹣1过（0，﹣1）点，在区间（4，5）上有且只有一个零点，则必有，即：，解得：，∵∈N*，∴η=4．（3分）当η=4时，P1==．（6分）（2）从该学校任选两名老师，用ξ表示这两人支教次数之差的绝对值，则ξ的可能取值分别是0，1，2，3，（7分）P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，（10分）从而ξ的分布列：ξ0 1 2 3Pξ的数学期望：Eξ==．…（12分）19．（1）证明：∵BM⊥面ACE，AE⊂面ACE，∴BM⊥AE∵AE⊥BE，BM∩BE=B∴AE⊥面BCE∵BC⊂面BCE∴AE⊥BC；（2）解：取DE中点P，连接PM，AP∵BC=BE，BM⊥AE∴M为CE的中点∴MP∥DC∥AN∴AMNP为平行四边形∴MN∥AP∵MN⊄面ADE，AP⊂面ADE∴MN∥面ADE（3）解：由BE=BC=4，CE=4得BC⊥BE∵BC⊥AE，AE∩BE=E∴BC⊥面ABE∴∠ABE为二面角A﹣BC﹣E的平面角．∴∠ABE=45°∴AE=BE=4．设存在满足题意的点P，作PQ⊥AE于Q，则∠PBQ是BP与平面ABE所成的角．设QE=x，由于△ADE为等腰三角形，则[Q=x，PE=x，在直角△BQE中，BQ=，在直角△PQB中，tan30°==，∴x=2，故当PE=4时，BP与平面ABE所成的角为30°．20．解：（Ⅰ）设切线方程为y=kx+2，代入椭圆方程并化简，得：（1+3k2）x2+12kx+9=0，由于直线与椭圆相切，∴△=144k2﹣36（1+3k2）=0，解得k1=1，k2=﹣1，∴两切线方程分别为y=x+2，或y=﹣x+2，∵k1k2=﹣1，∴l1⊥l2．（Ⅱ）这位同学的观点正确，即直线l1、l2始终相互垂直．证明如下：（i）当过点P与椭圆C：相切的一条切线的斜率不存在时，此时切线方程为x=，∵点P在圆O：x2+y2=4上，则P（±3，±1），∴直线y=±1恰好为过点P与椭圆相切的另一条切线，于是两切线l1，l2互相垂直．（ii）当过点P（m，n）与椭圆C相切的切线的斜率存在时，设切线方程为y﹣n=k（x﹣m），由，得（1+3k2）x2+6k（n﹣mk）x+3（n﹣mk）2﹣3=0，由于直线与椭圆相切，∴△=36k2（n﹣mk）2﹣4（1+3k2）[3（n﹣mk）2﹣3]=0，整理，得（m2﹣3）k2﹣2mnk+（n2﹣1）=0，∴，∵P（m，n）在圆x2+y2=4上，∴m2+n2=4，∴m2﹣3=1﹣n2，∴k1k2=﹣1，∴两直线互相垂直．综上所述，直线l1、l2始终相互垂直．21．解：（Ⅰ）f'（x）=﹣3x2+2x+b，若f（x）存在极值点，则f'（x）=﹣3x2+2x+b=0有两个不相等实数根．所以△=4+12b＞0，解得（Ⅱ）当a＞0时，﹣a＜0，函数g（x）的单调递增区间为（0，+∞）；当a＜0时，﹣a＞0，函数g（x）的单调递减区间为（0，﹣a），单调递增区间为（﹣a，+∞）．（Ⅲ）当b=0且a＞0时，假设使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上．则且x1+x2=0．不妨设x1=t＞0．故P（t，F（t）），则Q（﹣t，t3+t2）．，（*）该方程有解当0＜t＜1时，F（t）=﹣t3+t2，代入方程（*）得﹣t2+（﹣t3+t2）（t3+t2）=0即t4﹣t2+1=0，而此方程无实数解；当t=1时，则；当t＞1时，F（t）=alnt，代入方程（*）得﹣t2+alnt（t3+t2）=0即，设h（x）=（x+1）lnx（x≥1），则在[1，+∞）上恒成立．∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，从而h（x）≥h（1）=0，则值域为[0，+∞）．∴当a＞0时，方程有解，即方程（*）有解．综上所述，对任意给定的正实数a，曲线上总存在P，Q两点，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上．。

成都高2014届高三数学10月阶段性考试(理科) Word版含答案

成都高2014届高三数学10月阶段性考试(理科)考试时间：2013年10月4日15:00—17:00第Ⅰ卷 (选择题共50分)一、选择题: （本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、已知集合{}12<<-=x x M ,{}2,1,0,1,2,3---=N ,则=N M （ ▲ ）A ．{}1,0,1,2--B ．{}0,1-C ．{}1,0,1-D ．{}1,0 2、若命题“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题，则（ ▲ ） A.命题p 和命题q 都是假命题 B.命题p 和命题q 都是真命题 C.命题p 和命题“q ⌝”的真值不同 D.命题p 和命题q 的真值不同 3、设函数f (x )是连续可导函数，并且='=∆-∆+→∆)(,22)()(lim 0000x f xx f x x f x 则（ ▲ ）A ．21 B ．2-C ．4D ．24、对于函数(),y f x x R =∈,“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“y =()f x 是奇函数”的（ ▲ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要5、命题“若0>m ，则02=-+m x x 有实数根”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，假命题的个数是（ ▲ ）A ．0B ．1C ．2D ．36、定义在实数集R 上的函数()f x ，对一切实数x 都有）（）（x f x f -=+21成立，若()f x =0仅有101个不同的实数根，那么所有实数根的和为（ ▲ ） A ．101B ．151C ．303D ．23037、已知函数⎩⎨⎧≥+-<=)0(4)3(),0()(x a x a x a x f x 满足对任意0)()(,212121<--≠x x x f x f x x 都有成立，则a 的取值范围是（ ▲ ） A ．]41,0( B ．)1,0( C ．)1,41[D ．)3,0(8、方程1log )11(2+=+-x xx的实根0x 在以下那个选项所在的区间范围内（ ▲）A.)21,85(--B.)83,21(--C.)41,83(--D.)81,41(--9、设1>a ，若仅有一个常数c 使得对于任意的]2,[a a y ∈，都有],[2a a x ∈满足方程c y x a a =+log log ，这时c a +的取值为（ ▲ ）A ．3B ．4C ．5D ．610、定义][x 表示不超过x 的最大整数，记{}][x x x -=，其中对于3160≤≤x 时，函数1}{sin ][sin )(22-+=x x x f 和函数{}13][)(--⋅=xx x x g 的零点个数分别为.,n m 则（▲） A ．313,101==n m B ．314,101==n m C ．313,100==n m D ．314,100==n m第Ⅱ卷 ( 非选择题共100分)二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在后面的答题卷的相应地方． 11、设集合102M x x ⎧⎫=-<⎨⎬⎩⎭，{}210N x x =+>，则M N =I▲ （用集合表示）12、命题“012,2≥+-∈∀x x R x ”的否定为▲ 13、函数)12(log )(221--=x x x f 单调递减区间为▲14、已知函数0≤x 时，x x f 2)(=，0>x 时，13()log f x x =，则函数1)]([-=x f f y 的零点个数有▲ 个.15、下列命题是真命题的序号为：▲①定义域为R 的函数)(x f ，对x ∀都有)1()1(x f x f -=-，则)1(-x f 为偶函数 ②定义在R 上的函数)(x f y =，若对R x ∈∀，都有2)1()5(=-+-x f x f ，则函数)(x f y =的图像关于)2,4(-中心对称③函数)(x f 的定义域为R ，若)1(+x f 与)1(-x f 都是奇函数，则)1949(+x f 是奇函数 ④函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的图形一定是对称中心在图像上的中心对称图形。

高2014级第三次诊断性测试题数学(理工)

高 2014 级第三次诊断性测试题数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150 分，考试时间120 分钟 .注意事项：1．答题前，考生在答题卷上务必将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码；请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目 .2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效.．．．．．．．．．第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）一、选择题：本大题共12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．每小题有四个选项，只有一个是正确的．（1）已知集合A{x | y2x x 2 } ，B{ x |1x1}，则A B（A ）[0,1)（B）(1,2) （C） (1,2] （D） (,0](1,)（2）若复数z1 , z2在复平面内对应的点关于x 轴对称，且z1 1 2iz1，则z2（A ）43i （B）34i （C）13i （D）1 3 i55552222（3）已知双曲线y2x21(a0， b0)的离心率为3，则该双曲线的渐近线方程为a 2b2（A ）x2y 0 （B）2x y 0 （C）2x y0 （D） x2y 0（4）( 2x 1)10的常数项为2x（ A ）252 （B） 252 （C） 210 （D） 210（5）下列说法正确的个数为①对于不重合的两条直线，“两条直线的斜率相等”是“两条直线平行”的必要不充分条件；②命题“x R，sin x 1”的否定是“x0R，sin x01”；③“ p 且 q 为真”是“p 或 q 为真”的充分不必要条件；④已知直线 a， b 和平面，若a，b //，则a b .（A）1（ B）2（C）3（D）4（6）在 2016 年巴西里约奥运会期间， 6 名游泳队员从左至右排成一排合影留念，最左边只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法种数为（A ） 216（ B） 108（C） 432（ D ）120（7）函数 f (x) (cos x) ln | x |的大致图象是（8）执行如右图所示程序框图，若输入的k 4 ，则输出的s（A）1（B）4（C）5（D）6 3567（9）中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为 a， b， c，三角形的面积S可由公式S p( p a)( p b)( p c) 求得，其中 p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦- 秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足开始输入 k s = 0, n=0a b 12， c 8 ，则此三角形面积的最大值为（A）4 5（B）8 5（C）4 15（D）8 15n ≤k ?是否（10）在ABC 中， BC6， ABtan A 2 AB2， 1，则 ACtan B AC（ A ） 6 1（B）1 6 （C） 3 1（D） 13（11）如右图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线和虚线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（A）2（B）2（C）4（D）433（12）抛物线22px p0) 的焦点为F，其准线与x轴的交点为N ，(过点 F 作直线与此抛物线交于A、 B两点，若NB AB 0，且|AF| |BF| 4 ，则 p 的值为（A）2（B）3（C）4（D）51输出 s s = s +(n+1)(n+2)结束n= n + 1第8题图第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）注意事项：必须使用0.5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用2B 铅笔绘出，确认后再用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚，在试题卷上作答无效．二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分．（13）若随机变量服从正态分布N(1，2) ，且P(2) 0.8，则 P(01)的值为 __________．x 2 y20（14）设变量 x ，y满足约束条件2x y40 ，则目标函数z y 3x 的最大值是．x0（15）函数 y2sin x 2sin x0的最小正周期为2，若 x(0,) ，则函数取得最大值32时的 x =______.（16）已知点 A 是以 BC 为直径的圆 O 上异于 B，C 的动点，P 为平面 ABC 外一点，且平面 PBC ⊥平面 ABC，BC 3，PB 2 2，PC 5 ，则三棱锥P- ABC外接球的表面积为_________.三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，不能答在试卷上，请答在答题卡相应的方框内．（ 17）（本小题满分 12 分）已知数列 { a n } 是公比为2的等比数列，且a2， a31， a4成等差数列．（ I）求数列{ a n}的通项公式；（ II ）记b n a n log 2 a n 1，求数列 { b n} 的前 n 项和T n．（ 18）（本小题满分12 分）《最强大脑》是大型科学竞技类真人秀节目，是专注传播脑科学知识和脑力竞技的节目。

四川省绵阳市2014届高三第三次诊断性考试——理科数学(含答案,部分答案为图片)

2
3 3 2 a 时，求锐二面角 D-EF-B 的余弦值. 8
1 1 p1 p2 p3 p4
（ III ）设 hx f x x ，对任意 x1 , x2 1,x1 x2 ，证明：不等式
x1 x2 ＞ x1 x2 x1 x2 1 恒成立. hx1 hx2
1 5 1 5 , ) 是“复活集” ； 2 2
②若 a1 , a2 R ，且 a1 , a2 是“复活集” ，则 a1a2＞4 ； ③若 a1 , a2 N ，则 a1 , a2 不可能是“复活集” ； ④若 ai N ，则“复合集”A 有且只有一个，且 n= 3 . 其中正确的结论是_____________.（填上你认为所有正确的结论序号） 16.（本小题满分 12 分）已知 S n 是等比数列 a n 的前 n 项和， S3 , S9 , S6 成等差数列. （Ⅰ）求数列 a n 的公比 q ；（Ⅱ）证明： ak , ak 6 , ak 3 (k N ) 成等差数列. 17.（本小题满分 12 分）绵阳市农科所研究出一种新的棉花品种，为监测长势状况.从甲、乙两块试验田中各抽取了 10 株棉花苗，量出它们的株高如下（单位：厘米）：甲乙 37 10 21 30 31 47 20 27 29 46 19 14 32 26 23 10 25 44 33 46
1. 已知集合 M x x 1 ， N x x2 x ，则 M N

1 A.
2. 复数
B. 1,1
C. 0,1
D. 1,0,1
A. 2 i B. 2 i C. 2 i D. 2 i 3. 执行如右图所示的程序框图，如输入 x 2 ，则输出的值为 A.9 B. log8 9 C.5 D. log8 5 4. 已知向量 a (3,1) ， b (1,2) ， c (2,1) .若 a xb yc( x, y R) ，则 x y A.2 B.1 C.0 D.

四川省雅安市2014届高三第三次诊断性考试数学(理)试题 2014雅安三诊 Word版含答案(2013高考)

一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A ＝{x |－1＜x ＜2}，B ＝{x | 0＜x ＜4}，则集合A B ⋂＝（A ）{x | 0＜x ＜2} （B ）{x |－1＜x ≤ 0} （C ）{x | 2＜x ＜4}（D ）{x |－1＜x ＜4}2. 某班有男生36人，女生18人，用分层抽样的方法从该班全体学生中抽取一个容量为6的样本，则抽取的女生人数为（A ）6（B ）4（C ）3（D ）23. 已知i 是虚数单位，若3(2i)i z -⋅=，则z ＝（A ）21i 55-+（B ）12i 55-（C ）21i 55--（D ）12i 55+4．βαsin sin ≠是βα≠的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件5. 某几何体的三视图及部分数据如图所示，则此几何体的表面积是（A ）32（B ）3（C ）343+ （D ）333+ 6．函数)24sin(x y -=π的单调递增区间是（A ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-8,83ππππk k （Z k ∈）（B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡++85,8ππππk k （Z k ∈）侧（左）视图正（主）视图俯视图331开始输入pn ＜p ？n =n +1S =S +n21输出S结束n =0,S =0否是（C ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-83,8ππππk k （Z k ∈）（D ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡++87,83ππππk k （Z k ∈）7. 从1，3，5，7，9这5个奇数中选取3个数字，从2，4，6，8这4个偶数中选取2个数字，再将这5个数字组成没有重复数字的五位数，且奇数数字与偶数数字相间排列．这样的五位数的个数是（A ）180（B ）360（C ）480（D ）7208. 在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|PA |2＋|PB |2|PC |2等于（A ）2（B ）4（C ）5（D ）109. 设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 3.又函数g (x )＝|cos(πx )|，则函数h (x )＝g (x )－f (x )在[－12，32]上的零点个数为（A ）5 （B ）6（C ）7（D ）810.32()f x x ax bx c =+++有两个极值点1和-2，且(1)1f =.则关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数是（A ）3 （B ）4 （C ）5（D ）6第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上） 11. 3(1)(1)x x +-展开式中3x 的系数是________.12.执行右边的程序框图，若3p =，则输出的=S . 13.32ln1lg5lg8000(lg2)e ⋅++= .14.若直线()2,2-P l 过点,以l 上的点为圆心，1为半径的圆与圆03512:22=+++x y x C 没有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是____________.15.在集合{1,2,3,4,5}中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量a a (=，b )，从所得的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，则平行四边形的面积等于2的概率为_______．三、解答题：(本大题共6个小题,75分)解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.已知)cos 3,cos (sin x x x m ωωω+=，)0)(sin 2,sin (cos >-=ωωωωx x x n .若n m x f ∙=)(，且)(x f 相邻两对称轴间的距离不小于2π. （1）求ω的取值范围；（2）在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，3=a ，3=+c b (b ＞c )，当ω取最大时，1)(=A f ，求边c b ,的长.17.设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2，}{n b 为等比数列，且.)(,112211b a a b b a =-=（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；（2）设14n n n c a a +=，求数列}{n c 的前n 项和T n .18.如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥ 底面ABCD ，AC ⊥ AD ．底面ABCD 为梯形，//AB DCAB ⊥BC ，PA ＝AB ＝BC =3，点E 在棱PB 上，且PE ＝2EB ．（1）求证：PD ∥平面EAC ；（2）求平面AEC 和平面PBC 所成锐二面角的余弦值．19.某品牌电视专卖店，在五一期间设计一项有奖促销活动：每购买一台电视，即可通过电脑产生一组3个数的随机数组，根据下表兑奖. 奖次一等奖二等奖三等奖随机数组的特征 3个1或3个0只有2个1或2个0 只有1个1或1个0奖金（单位：元）5m 2mm商家为了了解计划的可行性，估计奖金数，进行了随机模拟试验，产生20组随机数组，每组3个数，试验结果如下所示：235，145，124，754， 353，296，065，379，118，247， 520，356，218，954，245，368，035，111，357，265.（1）在以上模拟的20组数中，随机抽取3组数，至少有1组获奖的概率；（2）根据上述模拟试验的结果，将频率视为概率.（i ）若活动期间某单位购买四台电视，求恰好有两台获奖的概率；（ii ）若本次活动平均每台电视的奖金不超过260元，求m 的最大值.ABCDPE20.椭圆12222=+b y a x C ：过点⎪⎭⎫⎝⎛23,1A ,离心率为21，左右焦点分别为21F F 、.过点1F 的直线l交椭圆于B A 、两点. （1）求椭圆C 的方程. (2) 当AB F 2∆的面积为7212时，求l 的方程.21.已知函数2()ln(1)f x ax x =++．（1）当14a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）当[0,)x ∈+∞时，不等式()f x x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．（3）求证：12482(1)(1)(1)[1]e 233559(21)(21)nn n-+++⋅⋅+<⨯⨯⨯++（其中*n ∈N ，e 是自然对数的底数）．雅安市高中2011级第三次诊断性考试数学试题(理科)参考答案及评分意见一．选择题1、A2、 D3、 B4、 A5、C6、D7、D8、D9、A 10、A 二．填空题11、2 12、78 13、4 14、()4,0,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭15、15 三．解答题 16．（12分）解（1）)62sin(22sin 32cos sin cos 32sin cos )(22πωωωωωωω+=+=+-=x x x xx x x x f ，（4分）由题意：22πωπ≥，∵0>ω，∴10≤<ω。

2014年河南省洛阳市高考数学三模试卷(理科)

2014年河南省洛阳市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1.复数2i1i-的共轭复数为（）A.3i --B.1i --C.1i -+D.22i -+ 答案：B【考点】复数代数形式的乘除运算. 【专题】计算题．【分析】把2i1iz =-的分子、分母同时乘以分母的共轭复数1i --，得到，再由复数的运算法则得，进一步简化为1i -，由此能求出复数z 的共轭复数．【解答】解：()()()2i 1i 2i 1i 1i 1i 1i z +===-+--+ ， ∴复数1i z -+的共轭复数1i --．故选B ．【点评】本题考查复数的代数运算，是基础题．解题时要认真审题，熟练掌握共轭复数的概念．2.要得到函数π2sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数2sin 2y x =的图象（）A.向左平移π3个单位B.向右平移π3个单位C.向左平移π6个单位D.向右平移π6个单位答案：D【考点】函数()sin y A x ωφ=+的图象变换.【专题】作图题．【分析】ππ2sin 22sin 236y x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据平移规律：左加右减可得答案．【解答】解：ππ2sin 22sin 236y x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故要得到π2sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数2sin 2y x =的图象向右平移π6个单位，故选D ．【点评】本题考查三角函数图象的平移变换，该类题目要注意平移方向及平移对象．3.已知集合{}11A x x =+<，B x y ⎧⎨⎩，则A B =（）A.()2,1--B.(]2,1--C.()1,0-D.[)1,0-答案：C【考点】交集及其运算. 【专题】集合．【分析】求出A 中不等式的解集确定出A ，求出B 中x 的范围确定出B ，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A 中的不等式变形得：111x -<+<，解得：20x -<<，即()2,0A =-，由B 中y ，得到10x +>，即1x >-， (1B ∴=-+∞，则()1,0A B =- ．故选：C ．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．4.若从1，2，3，，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（） A.60种 B.63种 C.65种 D.66种答案：D【考点】计数原理的应用. 【专题】排列组合．【分析】本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，当取得4个偶数时，当取得4个奇数时，当取得2奇2偶时，分别用组合数表示出各种情况的结果，再根据分类加法原理得到不同的取法．【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，当取得4个偶数时，有44C 1=种结果，当取得4个奇数时，有45C 5=种结果，当取得2奇2偶时有2245C C 61060=⨯= ∴共有156066++=种结果，故选D【点评】本题考查计数原理的应用，本题解题的关键是根据题意把符合条件的取法分成三种情况，利用组合数表示出结果，本题是一个基础题．5.某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）左视图俯视图A.2π83-B.π83-C.82π-D.2π3 答案：A【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】计算题．【分析】三视图复原的几何体是正方体，除去一个倒放的圆锥，根据三视图的数据，求出几何体的体积．【解答】解：三视图复原的几何体是棱长为：2的正方体，除去一个倒放的圆锥，圆锥的高为：2，底面半径为：1；所以几何体的体积是：212π81π2833-⨯⨯=-故选A ．【点评】本题是基础题，考查三视图复原几何体的判定，几何体的体积的求法，考查空间想象能力，计算能力，常考题型．6.若函数()321111323f x x x x =-++在1x =处的切线的倾斜角为α，则2cos2sin2cos ααα+的值是（）A.83B.85C.87-D.815答案：D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；二倍角的正弦；直线的倾斜角. 【专题】导数的综合应用；三角函数的求值．【分析】通过函数的导数求出切线的斜率，求出切线的倾斜角的正切值，然后化简表达式为正切函数的形式即可求解结果．【解答】解：函数()321111323f x x x x =-++，∴函数()21'3f x x x =-+．函数()321111323f x x x x =-++在1x =处的切线的倾斜角为α，1tan 3α∴=．2211cos21tan 891sin 2cos 2tan 115213ααααα--∴===++⨯+．故选：D ．【点评】本题考查导数的几何意义，考查切线方程，考查二倍角的三角函数的化简求值，学生的计算能力，属于基础题．7.双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线被圆()22:825M x y -+=截得的弦长为6，则双曲线的离心率为（）A.2C.4答案：D【考点】双曲线的简单性质.【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出双曲线的一条渐近线方程，利用渐近线被圆()22:825M x y -+=截得的弦长为6，可得4=，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为0bx ay +=，渐近线被圆()22:825M x y -+=截得的弦长为6，4=，223a b ∴=， 224c b ∴=，e=c a ∴=故选：D ．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用．8.已知函数()e x f x x =+，()ln g x x x =+，()h x x =的零点依次为a ，b ，c ，则（）A.c b a <<B.a b c <<C.c a b <<D.b a c <<答案：B【考点】函数零点的判定定理. 【专题】函数的性质及应用．【分析】分别由()0f x =，()0g x =，()0h x =，利用图象得到零点a ，b ，c 的取值范围，然后判断大小即可．【解答】解：由()0f x =得e x x =-，由()0g x =得ln x x =-．由()0h x =得1x =，即1c =．在坐标系中，分别作出函数e x y =，y x =-，ln y x =的图象，由图象可知 0a <，01b <<，所以a b c <<．故选：B ．【点评】本题主要考查函数零点的应用，利用数形结合是解决本题的关键．9.已知实数x，y满足约束条件503x yx yx-+⎧⎪+⎨⎪⎩≥≥≤，若3y kx-≥恒成立，则实数k的数值范围是（）A.11,05⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.110,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.(]11,0,5⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭∞∞ D.[)11,0,5⎛⎤--+⎥⎝⎦∞∞答案：A【考点】简单线性规划.【专题】数形结合．【分析】由题意作出可行域，把3y kx-≥恒成立转化为可行域内两个特殊点A，B的坐标满足不等式3y kx-≥成立，代入点的坐标后求解不等式组得答案．【解答】解：由约束条件503x yx yx-+⎧⎪+⎨⎪⎩≥≥≤作可行域如图，y x联立3xx y=⎧⎨+=⎩，解得()3,3B-．联立50x yx y+=⎧⎨-+=⎩，解得55,22A⎛⎫-⎪⎝⎭．由题意得：33355322kk--⎧⎪⎨--⎪⎩≥≥，解得：115k-≤≤．∴实数k的数值范围是11,05⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．故选：A．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．10.若三棱锥S ABC-的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=1AB=，2AC=，60BAC∠=︒，则球O的表面积为（）A.64πB.16πC.12πD.4π 答案：A【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积. 【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，1AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，知BC ，90ABC ∠=︒，可得ABC △截球O 所得的圆'O 的半径，利用SA ⊥平面ABC，SA =O 的半径，从而能求出球O 的表面积．【解答】解：如图，三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上， 1AB = ，2AC =，60BAC ∠=︒，BC ∴ 90ABC ∴∠=︒．ABC ∴△截球O 所得的圆'O 的半径1r =， SA ⊥平面ABC，SA =∴球O 的半径4R =，∴球O 的表面积24π64πS R ==．故选：A ．【点评】本题考查球的表面积的求法，合理地作出图形，数形结合求出球半径，是解题的关键． 11.如图，半圆的直径6AB =，O 为圆心，C 为半圆上不同于A 、B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则()PA PB PC +⋅的最小值为（）PBCOAA.92 B.9 C.92- D.9- 答案：C【考点】向量在几何中的应用. 【专题】常规题型．【分析】根据图形知：O 是线段AB 的中点，所以2PA PB PO +=，再根据向量的点乘积运算分析方向与大小即可求出．【解答】解：圆心O 是直径AB 的中点，2PA PB PO ∴+=所以()2PA PB PC PO PC +⋅=⋅ ，PO 与PC共线且方向相反∴当大小相等时点乘积最小．由条件知当32PO PC ==时，最小值为3392222-⨯⨯=-故选C【点评】本题考查了向量在几何中的应用，结合图形分析是解决问题的关键． 12.执行如图所示的一个程序框图，若()f x 在[]1,a -上的值域为[]0,2，则实数a 的取值范围是（）A.(]0,1B.1,⎡⎣C.[]1,2D.2⎤⎦答案：B【考点】程序框图.【专题】函数的性质及应用；算法和程序框图．【分析】算法的功能是求()()32320log 1110x x x f x x x ⎧-+⎪=⎨-+-<⎪⎩≥≤的值，分类求解()f x 在[]1,a -上的值域为[]0,2时，实数a 满足的条件，从而可得a 的取值范围．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求()()32320log 1110x x x f x x x ⎧-+⎪=⎨-+-<⎪⎩≥≤的值，当0a <时，()2log 11y x =-+在[]1,a -上为减函数，()12f -=，()1012f a a =⇒-=，12a =，不符合题意；当0a ≥时，()2'331f x x x =->⇒>或1x <-，∴函数在[]0,1上单调递减，又()10f =，1a∴≥；又函数在[]1,a 上单调递增，()3322f a a a a ∴=-+⇒≤≤ 故实数a 的取值范围是1,⎡⎣．故选：B ．【点评】本题考查了选择结构的程序框图，考查了导数的应用及分段函数值域的求法，综合性强，体现了分类讨论思想，解题的关键是利用导数法求函数在不定区间上的最值．二、填空题13.命题“0x ∃>，220x x +-≥”的否定是．答案：0x ∀>，220x x +-< 【考点】命题的否定. 【专题】简易逻辑．【分析】特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．【解答】解：特称命题的否定是全称命题，∴命题“0x ∃>，220x x +-≥”的否定是：0x ∀>，220x x +-<．故答案为：0x ∀>，220x x +-<．【点评】本题考查特称命题与全称命题的关系，基本知识的考查．14.在ABC △中，角A，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a =，45C =︒，tan 21tan A cB b+=，则边c 的值为．答案：【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数基本关系的运用. 【专题】解三角形．【分析】利用条件、同角三角函数的基本关系、正弦定理求得2cos c cA b b=⋅，求得cos A 的值，可得A 的值，再利用正弦定理求得c 的值．【解答】解：在ABC △中，()sin tan sin cos cos sin sin cos sin 211tan cos sin cos sin cos sin cos sin A B A A B A B A B C c B A B A B A B A B b+++=+==== ，故有正弦定理可得2cos c c A b b =⋅，1cos 2A ∴=，60A =︒．再由a =，45C =︒，利用正弦定理可得sin sin a cA C =，c ∴=故答案为：【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、正弦定理的应用，属于中档题． 15.已知P 是抛物线24y x =上的动点，过P 作抛物线准线的垂线，垂足为M 、N 是圆()()22251x y -+-=上的动点，则PM PN +的最小值是．1【考点】抛物线的简单性质.【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，根据圆的方程求得圆心坐标，根据抛物线的定义可知P 到准线的距离等于点P 到焦点的距离，进而问题转化为求点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的焦点距离之和的最小值，根据图象可知当P ，Q ，F 三点共线时P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的焦点距离之和的最小，为圆心到焦点F 的距离减去圆的半径．【解答】解：抛物线24y x =的焦点为()1,0F ，圆()()22251x y -+-=的圆心为()2,5Q ，根据抛物线的定义可知点P 到准线的距离等于点P 到焦点的距离，进而推断出当P ，Q ，F 三点共线时P 到点N 的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小为：11．1．【点评】本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想．16.已知x ∈R ，[]0,5y ∈，我们把满足方程218sin π+16=04x x x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的解(),x y 组成的集合记为M ，则集合M 中的元素个数是．答案：5【考点】元素与集合关系的判断. 【专题】综合题；三角函数的求值．【分析】由218sin π+16=04x x x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，可得22114sin π16cos π=044x x y x y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即可得出结论．【解答】解：由题意，218sin π+16=04x x x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，22114sin π16cos π=044x x y x y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，14sin π=04x x y ⎛⎫∴++ ⎪⎝⎭且1cos π=04x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，4x ∴=，12y =，52，92；4x =-，32y =，72，∴集合M 中的元素个数是5个．故答案为：5．【点评】本题考查函数的值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数性质的灵活运用．三、解答题，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤．17.已知{}n a 的各项均为正数的数列，其前n 项和为n S ，若()221n n n S a a n =+≥，且1a 、3a 、7a 成等比数列．（1）求{}n a 的通项公式；（2）令2n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：42n T b +=．【考点】数列的求和；等比数列的性质. 【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）利用公式()12n n n a S S n -=-≥两式作差求得结论；（2）由（1）数列{}n b 是等比数列，由等比数列的前n 项和公式求得n T ，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）()221n n n S a a n =+ ≥，2n ∴≥时，21112n n n S a a ---=+，两式相减，得22112n n n n n a a a a a --=-+-，整理，得()()1110n n n n a a a a --+--=， 10n n a a -+≠ ，11n n a a -∴-=，又21112S a a =+，即2110a a -=，解得：11a =，{}n a ∴是以1为首项，1为公差的等差数列．又1a 、3a 、7a 成等比数列．2317a a a ∴=，即()()211126a a a +=+，解得12a =，()2111n a n n ∴=+-⋅=+．（2）证明：由（1）得122n a n n b +==， ()23124122222412n n n n T ++-∴=+++==-- ，2422n n n T b +∴+==．【点评】本题主要考查利用公式法求通项公式的方法及等比数列的前n 项和公式，考查方程思想的运用能力及运算求解能力，属中档题．18.现有一个寻宝游戏，规则如下：在起点P 处有A 、B 、C 三条封闭的单向线路，走完这三条线路所花费的时间分别为10分钟、20分钟、30分钟，游戏主办方将宝物放置在B 线路上（参赛方并不知晓），开始寻宝时参赛方在起点处随机选择路线顺序，若没有寻到宝物，重新回到起点后，再从没有走过的线路中随机选择路线继续寻宝，直到寻到宝物并将其带回至P 处，期间所花费的时间记为X ．（1）求30X ≤分钟的概率；（2）求X 的分布列及EX 的值．CBPA【考点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式. 【专题】概率与统计．【分析】（1）利用互斥事件概率加法公式能求出30X ≤分钟的概率．（2）由题意知X 的所有可能取值为20，30，50，60，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列及EX 的值．【解答】解：（1）30X ≤分钟的概率：()()()1111303322P X P B P AB =+=+⨯=≤．（2）由题意知X 的所有可能取值为20，30，50，60，()()1203P X P B ===，()()11130326P X P AB ===⨯=，()()11150326P X P CB ===⨯=，()()()111116032323P X P ABC P CAB ==+=⨯+⨯=,11120305060403663EX ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=.【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题．19.如图所示，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于E 点，F ，G 分别为AD ，BC 的中点，2AB =，60DAB ∠=︒，沿对角线BD 将ABD △折起，使得AC = （1）求证：平面ABD ⊥平面BCD ；（2）求二面角F DG C --的余弦值．FBEACGD【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定. 【专题】综合题；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）证明AE ⊥平面BCD ，即可证明平面ABD ⊥平面BCD ；（2）建立以E 为原点，EC 为x 轴，ED 为y 轴，EA 为z 轴的空间直角坐标系E xyz -，求出平面CDG 的法向量、平面FDG 的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角F DG C --的余弦值．【解答】（1）证明；在菱形ABCD 中，2AB =，60DAB ∠=︒，ABD ∴△，CBD △为等边三角形， E 是BD 的中点，AE BD ∴⊥，AE CE ==， AC =222AE CE AC ∴+=， AE EC ∴⊥，AE ∴⊥平面BCD ，又AE ⊂ 平面ABD ，∴平面ABD ⊥平面BCD ；（2）解：由（1）可知建立以E 为原点，EC 为x 轴，ED 为y 轴，EA 为z 轴的空间直角坐标系E xyz -，则()0,1,0D ，)0,0C，10,,2F ⎛ ⎝⎭,,1,G ⎛ ⎝⎭，平面CDG 的一个法向量()π0,0,1=，设平面FDG 的法向量(),,n x y z = ，10,,2DF⎛=-⎝⎭ ，1,GF ⎛= ⎝⎭ 00n DFn GF ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩，即1020y y ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，令1z =，得3x =，y ，故平面FDG 的一个法向量()3,1n =，cos ,m n m n m n⋅∴=∴二面角F DG C --的余弦值为【点评】本题考查平面垂直，考查平面与平面所成的角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20.如图，A ，B 是双曲线2214x y -=的左右顶点，C ，D 是双曲线上关于x 轴对称的两点，直线AC 与BD 的交点为E ．（1）求点E 的轨迹W 的方程；（2）若W 与x 轴的正半轴，y 轴的正半轴的交点分别为M ，N ，直线()0y kx k =>与W 的两个交点分别是P ，Q （其中P 是第一象限），求四边形MPNQ 面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题. 【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）由已知()2,0A -，()2,0B ，设()00,C x y ，()00,D x y -，则220014x y -=，由两点式分别得直线AC ，BD 的方程为直线002:2y x AC y x +=+，直线002:2y x BD y x -=--，由此能求出点E 的轨迹W 的方程．（2）由（1）及已知得()2,0M ，()0,1N ，联立2214x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得()22414k x +=，由此利用弦长公式结合已知条件能求出四边形MPNQ 的面积取最大值．【解答】解：（1）由已知()2,0A -，()2,0B ，设()00,C x y ，()00,D x y -，则220014x y -=，①由两点式分别得直线AC ，BD 的方程为：直线002:2y x AC y x +=+，直线002:2y x BD y x -=--，两式相乘，得22220044y x y x -=--，②由①，得222004144x x y --=-=，代入②，得：2222004444y x x x -=--，整理，得2244y x -=-，∴点E 的轨迹W 的方程()221204x y x +=≠±、．（2）由（1）及已知得()2,0M ，()0,1N ，联立2214x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得()22414k x +=，P ⎛⎫∴，,Q ⎛⎫ ⎝，四边形MPNQ 的面积QOM DMP NOP NOQ S S S S S =+++△△△()2QMP QNP S S =+△△，1112222P P P P S OM y ON x y x ⎛⎫∴=⋅+⋅=+ ⎪⎝⎭221k +====，0k > ，144k k∴+≥，故当且仅当14k k=，即12k=时，四边形MPNQ 的面积取最大值为【点评】本题考查点的轨迹方程的求法，考查四边形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意弦长公式的合理运用．21.已知函数()21ax bx f x x +=+，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程是5410x y -+=．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）设()()()2ln 1g x x mf x =+-，若当[)0,x ∈+∞时，恒有()0g x ≤，求m 的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程.【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求导函数，利用曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程是5410x y -+=，建立方程组，即可求a ，b 的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知：()21x x f x x +=+，()()()222ln 111x x g x x m x x +=+->-+，求导函数，构建新函数()()22222h x mx m x m =-+-+-，分类讨论，确定()g x 在[)0,+∞上的单调性，即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）求导函数，可得()()()()()221'1ax b x ax bx f x x ++-+=+．曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程是5410x y -+=．()()3125'14f f ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，3223544a b a b +⎧=⎪⎪∴⎨+⎪=⎪⎩，12a b =⎧∴⎨=⎩ （Ⅱ）由（Ⅰ）知：()221x x f x x +=+，()()()222ln 111x x g x x m x x +∴=+->-+，则()()()222222'1mx m x m g x x -+-+-=+，令()()22222h x mx m x m =-+-+-，当0m =时，()22h x x =+，在[)0,x ∈+∞时，()0h x >，()'0g x ∴>，即()g x 在[)0,+∞上是增函数，则()()00g x g =≥，不满足题设．当0m <时，221102m m m--=-<- 且()0220h m =-> [)0,x ∴∈+∞时，()0h x >，()'0g x >，即()g x 在[)0,+∞上是增函数，则()()00g x g =≥，不满足题设．当01m <<时，则()()()2222422410m m m m ∆=-+==->，由()0h x =得10x =<；20x > 则[)20,x x ∈时，()0h x >，()'0g x >即()g x 在[)20,x 上是增函数，则()()00g x g =≥，不满足题设．当1m ≥时，()()()2222422410m m m m ∆=-+==-≤，()0h x ≤，()'0g x ≤，即()g x 在[)0,+∞上是减函数，则()()00g x g =≤，满足题设．综上所述，[)1,m ∈+∞【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，正确求导，合理分类是关键．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B 铅笔在答题卷上把所选题目对应的题号涂黑．【选修4-1：几何证明选项】22.如图，已知AB 是O 的直径，C 为O 上一点，以C 为切点的切线交AB 的延长线于点P ，AM CP ⊥，垂足为M ，CD AB ⊥，垂足为D ．（1）求证：AD AM =；（2）若O 的直径为2，30PCB ∠=︒，求PC 的长．O D C B MPA【考点】与圆有关的比例线段.【专题】选作题；立体几何．【分析】（1）通过证明AMC ADC △≌△，可得AD AM =；（2）计算出PB ，再利用切割线定理，求PC 的长．【解答】（1）证明：AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=︒，90ACD BCD ∴∠+∠=︒，CD AB ⊥，90ABC BCD ∴∠+∠=︒，ACD ABC ∴∠=∠，以C 为切点的切线交AB 的延长线于点P ，MCA ABC ACD ∴∠=∠=∠，90AMC ADC ∠=∠=︒ ，AC AC =，AMC ADC ∴△≌△，AD AM ∴=；（2）解：30PCB ∠=︒ ，以C 为切点的切线交AB 的延长线于点P ，30PAC PCB ∴∠=∠=︒，在Rt ABC △中，2AB =，30BAC ∠=︒，1BC ∴=，60ABC ∠=︒，30BPC ∴∠=︒，BPC BCP ∴∠=∠，1BC BP ==，由切割线定理得()23PC PB PA PB PB BA =⋅=+=，PC ∴【点评】本题考查三角形全等的证明，考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23.已知直线l的参数方程为2x y t⎧=⎪⎨=-+⎪⎩，（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为π4cos 3ρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（1）求直线l 的参数方程化为普通方程，将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求圆C 上的点到直线l 距离的取值范围．【考点】参数方程化成普通方程.【专题】直线与圆；坐标系和参数方程．【分析】（1）直接消掉参数t 得直线l 的普通方程，把π4cos 3ρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭右边展开两角差的余弦，再同时乘以ρ后结合cos x ρθ=，sin y ρθ=得到圆C 的直角坐标方程；（2）由圆的直角坐标方程得到圆心坐标和半径，再由点到直线的距离求出圆心到直线的距离，则答案可求．【解答】解：（1）由2x y t ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数）得直线l的普通方程为0x +又π4cos 2cos 3ρθθθ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭ ，22cos sin ρρθθ∴=+，2220x y x ∴+--=，即()(2214x y -+=；（2）由()(2214x y -+=得圆心(1,C ，半径2r =． ∴圆心C 到直线l 的距离22d ==．直线l 与圆C 相离．∴圆C 上的点到直线l的距离的取值范围是4⎤⎦．【点评】本题考查了参数方程化普通方程，考查了直线与圆的位置关系，是基础题．【选修4-5：不等式选项】 24.已知函数()213f x x x =+--（1）求不等式()5f x ≥的解集；（2）当[]2,2x ∈-时，关于x 的不等式()230f x t --≥有解，求实数t 的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法.【专题】不等式的解法及应用．【分析】（1）化简函数的解析式，把不等式转化为与之等价的3个不等式组，解出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）当[]2,2x ∈-时，()[]4,5f x ∈-，由题意可得5230t --≥，由此求得t 的范围．【解答】解：（1）()5,321331,135,1x x f x x x x x x x +⎧⎪=+--=--<<⎨⎪---⎩≥≤，由式()5f x ≥，可得553x x +⎧⎨⎩≥≥①，或31513x x -⎧⎨-<<⎩≥②，或551x x --⎧⎨-⎩≥≤．解①求得3x ≥，解②求得23x <≤，解③求得10x -≤．故不等式的解集为[)(]2,,10+-- ∞∞．（2）当[]2,2x ∈-时，()[]4,5f x ∈-，关于x 的不等式()230f x t --≥有解， 5230t ∴--≥，即5235t --≤≤，求得14t -≤≤，故t 的范围为[]1,4-．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。

(全国卷)2014届高考数学(文)专题阶段评估模拟卷3 Word版含解析]

专题阶段评估(三)数列、推理与证明、算法初步———————————————————————————————————【说明】本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题格内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)只有一项是符合题目要求的)1．(2013·江西卷)等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于()A．－24 B．0C．12 D．242．(2013·深圳调研)等差数列{a n}中，已知a5＞0，a4＋a7＜0，则{a n}的前n项和S n的最大值为()A．S7B．S6C．S5D．S43．在数列{a n}中，a1＝2i(i为虚数单位)，(1＋i)a n＋1＝(1－i)a n(n∈N*)，则a2 012的值为() A．－2 B．0C．2 D．2i4．在等差数列{a n}中，首项a1＝120，公差d＝－4，若S n≤a n(n≥2)，则n的最小值为()A．60 B．62C．70 D．725．(2013·吉林长春调研测试)执行如图所示的程序框图，若输出的k＝5，则输入的整数p的最大值为()A．7 B．15C．31 D．636．(2013·全国卷Ⅰ)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．67．已知函数y ＝a n x 2(a n ≠0，n ∈N *)的图象在x ＝1处的切线斜率为2a n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)，且当n ＝1时其图象过点(2,8)，则a 7的值为( )A.12 B ．7 C ．5D ．68．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )A ．设数列{a n }的前n 项和为S n .由a n ＝2n －1，求出S 1＝12，S 2＝22，S 3＝32，…，推断：S n ＝n 2B ．由f (x )＝x cos x 满足f (－x )＝－f (x )对∀x ∈R 都成立，推断：f (x )＝x cos x 为奇函数C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积S ＝πr 2，推断：椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的面积S ＝πabD ．由(1＋1)2＞21，(2＋1)2＞22，(3＋1)2＞23，…，推断：对一切n ∈N *，(n ＋1)2＞2n 9．设数列{a n }满足a 1＋2a 2＝3，且对任意的n ∈N *，点列{P n (n ，a n )}恒满足P n P n ＋1＝(1,2)，则数列{a n }的前n 项和S n 为( )A ．n ⎝⎛⎭⎫n －43 B ．n ⎝⎛⎭⎫n －34 C ．n ⎝⎛⎭⎫n －23 D ．n ⎝⎛⎭⎫n －12 10．(2013·全国卷Ⅰ)执行右面的程序框图，如果输入的t ∈[－1，3]，则输出的s 属于( )A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5]11．(2013·山东莱芜模拟)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝3，a n ＋1－a n ＝b n ＋1b n ＝3，n ∈N *，若数列{c n }满足c n ＝ba n ，则c 2 013＝( )A ．92 012B ．272 012C ．92 013D ．272 01312．(2013·河北教学质量监测)已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，a 1＝1，a 2＝3，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则下列结论正确的是( )A ．a 100＝－1，S 100＝5B ．a 100＝－3，S 100＝5C ． a 100＝－3，S 100＝2D ．a 100＝－1，S 100＝2第Ⅱ卷 (非选择题共90分)13．在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________.14．(2013·广东惠州调研)阅读如图所示的程序框图．若输入n ＝5，则输出k 的值为________．15．二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，观察发现S ′＝l ；三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3，观察发现V ′＝S .则由四维空间中“超球”的三维测度V ＝8πr 3，猜想其四维测度W ＝________.16．(2013·安徽卷)如图，互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，…和B 1，B 2，…，B n ，…分别在角O 的两条边上，所有An B n 相互平行，且所有梯形A n B n B n ＋1A n ＋1的面积均相等，设OA n ＝a n .若a 1＝1，a 2＝2，则数列{a n }的通项公式是________．三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)(2013·全国卷Ⅰ)已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5.(1)求{a n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n －1a 2n ＋1的前n 项和．18．(本小题满分12分)已知在递增等差数列{a n}中，a1＝2，a1，a3，a7成等比数列，{b n}的前n项和为S n，且S n＝2n＋1－2.(1)求数列{a n}、{b n}的通项公式；(2)设c n＝ab n，求数列{c n}的前n项和T n.19．(本小题满分12分)已知等比数列{a n}满足a n＋1＋a n＝9·2n－1，n∈N*.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{a n}的前n项和为S n，若不等式S n＞ka n－2对一切n∈N*恒成立，求实数k 的取值范围．20．(本小题满分12分)在公差为d的等差数列{a n}中，已知a1＝10，且a1,2a2＋2,5a3成等比数列．(1)求d，a n；(2)若d＜0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a n|.21．(本小题满分13分)(2013·陕西质量检测)已知数列{2n －1·a n }的前n 项和S n ＝1－n 2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝|a n |n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和．22．(本小题满分13分)已知点集L ＝{(x ，y )|y ＝m·n }，其中m ＝(2x －2b,1)，n ＝(1,1＋2b )，点列P n (a n ，b n )在点集L 中，P 1为L 的轨迹与y 轴的交点，已知数列{a n }为等差数列，且公差为1，n ∈N *.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)求OP n →·OP n ＋1的最小值；(3)设c n ＝5n ·a n |p n p n ＋1|(n ≥2)，求c 2＋c 3＋c 4＋…＋c n 的值．详解答案一、选择题1．A 由题意知(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.2．C ∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝a 5＋a 6＜0a 5＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5＞0a 6＜0，∴S n 的最大值为S 5.3．A ∵(1＋i)a n ＋1＝(1－i)a n ，∴a n ＋1a n ＝1－i 1＋i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＝－i ，故{a n }是以2i 为首项，－i 为公比的等比数列，∴a 2 012＝2i ×(－i)2 012－1＝2i ×(－i)4×502＋3＝2i ×i ＝－2.4．B 若S n ≤a n (n ≥2)，则S n －1≤0(n ≥2)，即S n －1＝(n －1)×120－(n －1)(n －2)2×4＝－2n 2＋126n －124≤0，即n 2－63n ＋62≥0，即(n －1)(n －62)≥0，解得n ≥62.5．B 由程序框图可知：①S ＝0，k ＝1；②S ＝1，k ＝2；③S ＝3，k ＝3；④S ＝7，k ＝4；⑤S ＝15，k ＝5.第⑤步后k 输出，此时S ＝15≥p ，则p 的最大值为15，故选B.6．C ∵{a n }是等差数列，S m －1＝－2，S m ＝0， ∴a m ＝S m －S m －1＝2.∵S m ＋1＝3，∴a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3， ∴d ＝a m ＋1－a m ＝1.又S m ＝m (a 1＋a m )2＝m (a 1＋2)2＝0，∴a 1＝－2，∴a m ＝－2＋(m －1)·1＝2，∴m ＝5.7．C 由题知y ′＝2a n x ，∴2a n ＝2a n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)， ∴a n －a n －1＝12，又n ＝1时其图象过点(2,8)，∴a 1×22＝8，得a 1＝2，∴{a n }是首项为2，公差为12的等差数列，a n ＝n 2＋32，得a 7＝5.故选C.8．A 注意到，选项A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{a n }是等差数列，其前n 项和S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2，选项D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确．9． A 设P n ＋1(n ＋1，a n ＋1)，则P n P n ＋1＝(1，a n ＋1－a n )＝(1,2)，即a n ＋1－a n ＝2，所以数列{a n }是以2为公差的等差数列．又因为a 1＋2a 2＝3，所以a 1＝－13，所以S n ＝n ⎝⎛⎭⎫n －43. 10．A 因为t ∈[－1,3]，当t ∈[－1,1)时，s ＝3t ∈[－3,3)；当t ∈[1,3]时，s ＝4t －t 2＝－(t 2－4t )＝－(t －2)2＋4∈[3,4]，所以s ∈[－3，4]．11．D 由已知条件知{a n }是首项为3，公差为3的等差数列，数列{b n }是首项为3，公比为3的等比数列，∴a n ＝3n ，b n ＝3n ，又c n ＝ba n ＝33n ，∴c 2 013＝33×2 013＝272 013，故选D.12．A 依题意a n ＋2＝a n ＋1－a n ＝－a n －1，即a n ＋3＝－a n ，a n ＋6＝－a n ＋3＝a n ，故数列{a n }是以6为周期的数列，，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝(a 1＋a 4)＋(a 2＋a 5)＋(a 3＋a 6)＝0.注意到100＝6×16＋4，因此有a 100＝a 4＝－a 1＝－1，S 100＝16(a 1＋a 2＋…＋a 6)＋(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＝a 2＋a 3＝a 2＋(a 2－a 1)＝2×3－1＝5，故选A.二、填空题13．解析：方法一：a 3＋a 8＝2a 1＋9d ＝10,3a 5＋a 7＝4a 1＋18d ＝2(2a 1＋9d )＝2×10＝20.方法二：a 3＋a 8＝2a 3＋5d ＝10,3a 5＋a 7＝4a 3＋10d ＝2(2a 3＋5d )＝2×10＝20. 答案： 2014．解析：执行程序框图可得n ＝5，k ＝0；n ＝16，k ＝1；n ＝49，k ＝2；n ＝148，k ＝3；n ＝148×3＋1＞150，循环结束，故输出的k 值为3.答案： 315．解析：依题意猜想其四维测度的导数W ′＝V ＝8πr 3，故可得W ＝2πr 4. 答案： 2πr 416．解析：设OA n ＝x (n ≥3)，OB 1＝y ，∠O ＝θ，记S △OA 1B 1＝12×1×y sin θ＝S ，那么S △OA 2B 2＝12×2×2y sin θ＝4S ，S △OA 3B 3＝4S ＋(4S －S )＝7S ， …，S △OA n B n ＝12x ·xy sin θ＝(3n －2)S ，∴S △OA n B n S △OA 2B 2＝12×x ×xy sin θ12×2×2y sin θ＝(3n －2)S 4S ，∴x 24＝3n －24，∴x ＝3n －2. 即a n ＝3n －2(n ≥3)．经验证知a n ＝3n －2(n ∈N *)．答案： a n ＝3n －2 三、解答题17．解析： (1)设{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d .由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝0，5a 1＋10d ＝－5.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1.故{a n }的通项公式为a n ＝2－n . (2)由(1)知1a 2n －1a 2n ＋1＝1(3－2n )(1－2n )＝12⎝⎛⎭⎫12n －3－12n －1，从而数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a2n －1a 2n ＋1的前n 项和为12⎝⎛⎭⎫1－1－11＋11－13＋…＋12n －3－12n －1＝n1－2n . 18．解析： (1)∵a 1，a 3，a 7成等比数列，∴a 23＝a 1·a 7，设等差数列{a n }的公差为d ，则(2＋2d )2＝2(2＋6d )，d ＞0， ∴d ＝1，a n ＝n ＋1.又S n ＝2n ＋1－2，b 1＝S 1＝2，当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2－2n ＋2＝2n ，经检验，n ＝1适合此式，∴b n ＝2n .(2)∵c n ＝ab n ＝2n ＋1，∴T n ＝(2＋1)＋(22＋1)＋…＋(2n ＋1) ＝(2＋22＋…＋2n )＋n ＝2n ＋1－2＋n .19．解析： (1)设等比数列{a n }的公比为q ，∵a n ＋1＋a n ＝9·2n －1，n ∈N *，∴a 2＋a 1＝9，a 3＋a 2＝18，∴q ＝a 3＋a 2a 2＋a 1＝189＝2，∴2a 1＋a 1＝9，∴a 1＝3. ∴a n ＝3·2n －1，n ∈N *.(2)由(1)知S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝3(1－2n )1－2＝3(2n －1)，∴3(2n －1)＞k ·3·2n －1－2，∴k ＜2－13·2n －1.令f (n )＝2－13·2n －1，则f (n )随n 的增大而增大，∴f (n )min ＝f (1)＝2－13＝53.∴k ＜53.∴实数k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，53. 20．解析： (1)由题意得，a 1·5a 3＝(2a 2＋2)2，由a 1＝10，{a n }为公差为d 的等差数列得，d 2－3d －4＝0，解得d ＝－1或d ＝4.所以a n ＝－n ＋11(n ∈N *)或a n ＝4n ＋6(n ∈N *)． (2)设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d ＜0，由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11，所以当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝－12n 2＋212n ；当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11 ＝12n 2－212n ＋110. 综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝⎩⎨⎧－12n 2＋212n ， n ≤11，12n 2－212n ＋110， n ≥12.21．解析： (1)由题意可知：S n －1＝1－n －12(n ≥2)，又2n －1·a n ＝S n －S n －1，∴2n －1·a n ＝－12.∴a n ＝－12n ＝－2－n (n ≥2)．∴a 1＝－12.又S 1＝1－12＝12，∴a 1≠S 1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12， (n ＝1)－2－n . (n ≥2)(2)由题意知b n ＝|a n |n ＝2－nn ＝12n ·n (n ≥2)，∴1b n ＝n ·2n (n ≥2)． ∵1b 1＝1|a 1|＝2， ∴1b n＝n ·2n (n ≥1)．设⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和为S ′n ，则S ′n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n ，2S ′n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1，∴S ′n －2S ′n ＝1×2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2＋22＋…＋2n －n ·2n ＋1，∴－S ′n ＝(1－n )·2n ＋1－2，∴S ′n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.22．解析： (1)由y ＝m·n ，m ＝(2x －2b,1)，n ＝(1,1＋2b )，得y ＝2x ＋1，即L 的轨迹方程为y ＝2x ＋1. ∵P 1为L 的轨迹与y 轴的交点， ∴P 1(0,1)，则a 1＝0，b 1＝1， ∵数列{a n }为等差数列，且公差为1， ∴a n ＝n －1(n ∈N *)，代入y ＝2x ＋1，得b n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)∵P n (n －1,2n －1)，∴P n ＋1(n,2n ＋1)， ∴OP n →·OP n ＋1＝(n －1,2n －1)·(n,2n ＋1) ＝5n 2－n －1＝5⎝⎛⎭⎫n －1102－2120. ∵n ∈N *，∴当n ＝1时，OP n →·OP n ＋1有最小值，为3. (3)当n ≥2时，由P n (n －1,2n －1)，得a n ·|P n P n ＋1|＝5(n －1)， c n ＝5n ·a n ·|P n P n ＋1|＝1n (n －1)＝1n －1－1n，∴c 2＋c 3＋…＋c n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝1－1n ＝n －1n .。

吉林省长春市2014届高三第三次调研测试数学理Word版含答案

数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分 150分，考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题—24题为选考题，其它题为必考题。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有．．一项．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）. 1．复数z 满足(1i)2i z +=，则复数z 在复平面内对应的点在 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设集合}421{，，＝A ,集合},,|{A b A a b a x x B ∈∈+=＝，则集合B 中有___个元素 A ．4B ．5C ．6D ． 73．下列函数中，在(0,)+∞上单调递减，并且是偶函数的是 A ．2y x =B ．3y x =-C ．lg ||y x =-D ．2x y =4．观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量x y ，之间关系最强的是A ．B ．C ．D ． 5．如图所示的程序框图，该算法的功能是A ．计算012(12)(22)(32)++++++…(12)nn +++的值 B ．计算123(12)(22)(32)++++++…(2)nn ++的值 C ．计算(123+++…)n +012(222++++ (1)2)n -+的值D ．计算[123+++…(1)]n +-012(222++++…2)n+的值第5题图6．已知双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的焦距为2c ，焦点到双曲线C 的渐近线的距离为2c，则双曲线C 的离心率为 A ．2BCD7．△ABC 各角的对应边分别为c b a ,,，满足 b c a c a b +++1，则角A 的范围是 A ．(0,]3πB ．(0,]6πC ．[,)3ππD ．[,)6ππ8．函数)2|)(|2sin()(πϕϕ<+=x x f 的图象向左平移6π个单位后关于原点对称，则函数()f x 在[0,]2π上的最小值为A．B ．12-C ．12D9．已知实数,x y 满足：210210x y x x y -+ ⎧⎪<⎨⎪+- ⎩，221z x y =--，则z 的取值范围是A ．5[,5]3B ．[]0,5C ．[)0,5D ．5[,5)310．若一个圆柱的正视图与其侧面展开图相似，则这个圆柱的侧面积与全面积之比为 ABCD11．已知函数2()f x x =的图象在点11(,())A x f x 与点22(,())B x f x 处的切线互相垂直，并交于点P ，则点P 的坐标可能是A ．3(,3)2-B ． (0,4)-C ．(2,3)D ．1(1,)4- 12．P 为圆1C ：229x y +=上任意一点，Q 为圆2C ：2225x y +=上任意一点，PQ 中点组成的区域为M ，在2C 内部任取一点，则该点落在区域M 上的概率为 A ．1325B ．35C ．1325πD ．35π第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。

2014年高考数学(理)三轮专题质量检测数列

专题质量检测(三) 数列一、选择题1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 15＝25π，则tan a 8的值是( )A.3 B ．－ 3 C.33 D ．－33解析：由题意得S 15＝15(a 1＋a 15)2＝15a 8＝25π，∴a 8＝5π3，∴tan a 8＝tan 5π3＝tan ⎝⎛⎭⎫π＋2π3＝tan 2π3＝－ 3. 答案：B2．已知数列{a n }为等比数列，S n 为其前n 项和，n ∈N *，若a 1＋a 2＋a 3＝3，a 4＋a 5＋a 6＝6，则S 12＝( )A ．15B ．30C ．45D ．60解析：方法一：设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4＋a 5＋a 6a 1＋a 2＋a 3＝a 1·q 3＋a 2·q 3＋a 3·q 3a 1＋a 2＋a 3＝q 3＝63，即q 3＝2.故S 12＝(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5＋a 6)＋(a 7＋a 8＋a 9)＋(a 10＋a 11＋a 12)＝(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 1·q 3＋a 2·q 3＋a 3·q 3)＋(a 1·q 6＋a 2·q 6＋a 3·q 6)＋(a 1·q 9＋a 2·q 9＋a 3·q 9)＝(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 1＋a 2＋a 3)q 3＋(a 1＋a 2＋a 3)q 6＋(a 1＋a 2＋a 3)q 9＝(a 1＋a 2＋a 3)(1＋q 3＋q 6＋q 9)＝3×(1＋2＋22＋23)＝45.方法二：设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4＋a 5＋a 6a 1＋a 2＋a 3＝q 3＝63，即q 3＝2.因为S 6＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝9，S 12－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＋a 10＋a 11＋a 12，所以S 12－S 6S 6＝a 7＋a 8＋a 9＋a 10＋a 11＋a 12a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝a 1·q 6＋a 2·q 6＋a 3·q 6＋a 4·q 6＋a 5·q 6＋a 6·q 6a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝q 6＝4，所以S 12＝5S 6＝45.答案：C3．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a 3＝32，S 3＝92，则公比q ＝( )A.12 B ．－12C ．1或－12D ．1或12解析：当q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝32，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝92，符合题意；当q ≠1时，由题可得⎩⎨⎧a 3＝a 1q 2＝32，S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝92，解得q ＝－12.故q ＝1或q ＝－12.答案：C4．已知等差数列{a n }的公差d ＝1729，a 30＝2，则数列{a n }的前30项的和为( )A ．－15B ．255C ．－195D ．－60解析：由题意得，{a n }的首项a 1＝a 30－29d ＝2－29×1729＝－15，则S 30＝30×(－15)＋30×292×1729＝－195.故选C. 答案：C5．设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且210S 30＋S 10＝(210＋1)S 20，则数列{a n }的公比为( )A ．1 B.12C.14D.18 解析：设数列{a n }的公比为q ，因为210S 30＋S 10＝(210＋1)·S 20，所以210(S 30－S 20)＝S 20－S 10，由此可得210(S 20－S 10)·q 10＝S 20－S 10，所以q 10＝⎝⎛⎭⎫1210.又因为{a n}是正项等比数列，所以q ＝12. 答案：B6．在下面的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数解析：注意到cos0＝1，sin π6＝12，tan π4＝1，根据每一横行成等差数列，每一纵列成等比数答案：A7．已知直线y ＝b (b ＞0)与曲线f (x )＝sin x 在y 轴右侧依次的三个交点的横坐标x 1，x 2，x 3成等比数列，则b 的值为( )A.12B.22C.32D ．1 解析：依题意得， x 2＝π－x 1，x 3＝2π＋x 1，∵x 22＝x 3x 1，∴(π－x 1)2＝x 1·(2π＋x 1)，解得x 1＝π4，∴b ＝sin π4＝22，选B. 答案：B8．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则数列{a n }的奇数项的前n 项和为( )A.2n ＋1－13B.2n ＋1－23C.22n －13D.22n －23解析：依题意得当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1；当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－1＝1，a n ＝2n －1也适合a 1.因此，a n ＝2n －1，a n ＋1a n＝2，数列{a n }是等比数列，数列{a n }的奇数项的前n 项和为1×(1－22n )1－22＝22n －13，选C.答案：C9．将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为( ) 13 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 31 …A ．811B ．809C ．807D ．805解析：由题意知前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝202＝400个，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405－1＝809.答案：B10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝(a n ＋1)24(a n ＞0)，则数列{a n }的通项a n ＝( )A ．2n －1B ．3n 2－2nC ．4n ＋6D ．5n 2＋7n解析：因为S n ＝(a n ＋1)24，所以a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(a n ＋1＋1)24－(a n ＋1)24＝14(a 2n ＋1－a 2n ＋2a n ＋1－2a n )，即4a n ＋1＝a 2n ＋1－a 2n ＋2a n ＋1－2a n ，整理得2(a n ＋1＋a n )＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )，即(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －2)＝0.因为a n ＞0，所以a n ＋1＋a n ＞0，所以a n ＋1－a n －2＝0，即a n ＋1－a n ＝2.当n ＝1时，有S 1＝(a 1＋1)24，即a 1＝(a 1＋1)24，整理得a 21－2a 1＋1＝0，解得a 1＝1. 所以数列{a n }是一个首项a 1＝1，公差d ＝2的等差数列，其通项a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1. 答案：A11．如图，将等差数列{a n }的前6项填入一个三角形的顶点及各边中点的位置，且在图中每个三角形顶点所填的三项也成等差数列，数列{a n }的前2 012项和S 2 012＝4 024，则满足na n ＞a n n 的n 的值为( )A ．2 012B ．4 024C ．2D ．3解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则由a 2，a 3，a 5成等差数列得2a 3＝a 2＋a 5，即2(a 1＋2d )＝(a 1＋d )＋(a 1＋4d )，有d ＝0，于是a n ＝a 1，由S 2 012＝4 024得2 012a 1＝4 024，有a 1＝2，即a n ＝2，由＞a n n 得n 2＞2n ，结合函数y ＝2x 与y ＝x 2的图象知n ＝3.答案：D12．考虑以下数列{a n }，n ∈N *：①a n ＝n 2＋n ＋1；②a n ＝2n ＋1；③a n ＝ln nn ＋1. 其中满足性质“对任意的正整数n ，a n ＋2＋a n2≤a n ＋1都成立”的数列有( )A ．①②③B ．②③C ．①③D ．①②解析：对于①，a 1＋a 32＞a 2，因此{a n }不满足性质“对任意的正整数n ，a n ＋2＋a n2≤a n ＋1都成立”．对于②，易知数列{a n }是等差数列，故有a n ＋2＋a n2＝a n ＋1，因此{a n }满足性质“对任意的正整数n ，a n ＋2＋a n 2≤a n ＋1都成立”．对于③，a n ＋2＋a n ＝ln n (n ＋2)(n ＋3)(n ＋1)，2a n ＋1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ＋22，又n (n ＋2)(n ＋3)(n ＋1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ＋22＝n (n ＋2)3－(n ＋3)(n ＋1)3(n ＋3)(n ＋1)(n ＋2)2＝－2n －3(n ＋3)(n ＋1)(n ＋2)2＜0，即有a n ＋2＋a n 2＜a n ＋1，因此{a n }满足性质“对任意的正整数n ，a n ＋2＋a n2≤a n ＋1都成立”．综上所述，满足性质“对任意的正整数n ，a n ＋2＋a n2≤a n ＋1都成立”的数列为②③.所以选B.答案：B 二、填空题13．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，a 11＝9，则S 6＝________.解析：由等差数列的性质可得，a 6＝12(a 1＋a 11)＝5，S 6＝6(a 1＋a 6)2＝3(a 1＋a 6)＝18.答案：1814．已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列．设数列{2a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝__________.解析：设数列{a n }的公差为d ，由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列得1＋2d 1＝1＋8d1＋2d，解得d＝1或d ＝0(舍去)，故数列{a n }的通项a n ＝1＋(n －1)×1＝n ，所以2a n ＝2n ，由等比数列的前n项和公式得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n ＝2(1－2n)1－2＝2n ＋1－2.答案：2n ＋1－215．设S n 为数列{a n }的前n 项和，若S 2nS n(n ∈N *)是非零常数，则称该数列为“和等比数列”，若数列{c n }是首项为2，公差为d (d ≠0)的等差数列，且数列{c n }是“和等比数列”，则d ＝__________.解析：由题意可知，数列{c n }的前n 项和为S n ＝n (c 1＋c n )2，前2n 项和为S 2n ＝2n (c 1＋c 2n )2，所以S 2n S n ＝2n (c 1＋c 2n )2n (c 1＋c n )2＝2＋2nd 4＋nd －d ＝2＋21＋4－dnd.因为数列{c n }是“和等比数列”，即S 2nS n 为非零常数，所以d ＝4.答案：416．设{a n }是集合{2t ＋2s |0≤s ＜t ，且s ，t ∈Z }中所有的数按从小到大的顺序排成的数列，即a 1＝3，a 2＝5，a 3＝6，a 4＝9，a 5＝10，a 6＝12，….将数列{a n }中的各项按照上小下大，左小右大的原则写成如图所示的三角形数表，则这个三角形数表的第n 行的数字之和是__________．3 5 6 9 10 12 … …解析：根据数列{a n }中的项与集合中的元素的关系，数列的第一项对应s ＝0，t ＝1，数列的第二项对应s ＝0，t ＝2，第三项对应s ＝1，t ＝2，第四项对应s ＝0，t ＝3，第五项对应s ＝1，t ＝3，第六项对应s ＝2，t ＝3……由此可得规律，数表中的第n 行对应t ＝n ，s ＝0,1,2,3，…，(n －1)．故第n 行的数字之和是(2n ＋20)＋(2n ＋21)＋(2n ＋22)＋…＋(2n ＋2n －1)＝n ·2n ＋1－2n1－2＝(n＋1)·2n －1.答案：(n ＋1)·2n －1 三、解答题17．设数列{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，且满足a 22＋a 23＝a 24＋a 25，S 7＝7.(1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；(2)试求所有的正整数m ，使得a m a m ＋1a m ＋2为数列{a n }中的项．解析：(1)设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，由a 22＋a 23＝a 24＋a 25得a 22－a 25＝a 24－a 23，即(a 2－a 5)(a 2＋a 5)＝(a 4－a 3)(a 4＋a 3)，即－3d (a 4＋a 3)＝d (a 4＋a 3)，因为d ≠0，所以a 4＋a 3＝0，即2a 1＋5d ＝0，又由S 7＝7得7a 1＋7×62d ＝7，解得a 1＝－5，d ＝2，所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n －7，前n 项和S n ＝n 2－6n .(2)方法一：a m a m ＋1a m ＋2＝(2m －7)(2m －5)2m －3，设2m －3＝t ，则a m a m ＋1a m ＋2＝(t －4)(t －2)t ＝t ＋8t －6，又a m a m ＋1a m ＋2是数列{a n }中的项，则t ＋8t －6是整数，所以t 为8的约数，因为t 是奇数，所以t 可取的值为±1.当t ＝1时，m ＝2，t ＋8t －6＝3，由a 5＝2×5－7＝3，知a m a m ＋1a m ＋2是数列{a n }中的项；当t ＝－1时，m ＝1，t ＋8t－6＝－15，而数列{a n }中的最小项是－5，故m ＝1不符合题意；所以满足条件的正整数m ＝2.方法二：若a m a m ＋1a m ＋2＝(a m ＋2－4)(a m ＋2－2)a m ＋2＝a m ＋2－6＋8a m ＋2为数列{a n }中的项，则8a m ＋2为整数，则由(1)知：a m ＋2为奇数，所以a m ＋2＝2m －3＝±1，即m ＝1,2. 经检验，符合题意的正整数只有m ＝2.18．已知在数列{a n }中，a 1＝1，且点(a n ，a n ＋1)在函数f (x )＝x ＋2的图象上(n ∈N *)． (1)证明数列{a n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足b n ＝a n3n ，求数列{b n }的通项公式及其前n 项和S n .解析：(1)∵点(a n ，a n ＋1)在函数f (x )＝x ＋2的图象上， ∴a n ＋1＝a n ＋2， ∴a n ＋1－a n ＝2，∴{a n }是以a 1＝1为首项，2为公差的等差数列， ∴a n ＝2n －1.(2)由题易知b n ＝a n 3n ＝2n －13n ，则S n ＝131＋332＋…＋2n －33n －1＋2n －13n ，①13S n ＝132＋333＋…＋2n －33n ＋2n －13n ＋1，② ①－②得23S n ＝13＋232＋233＋…＋23n －2n －13n ＋1＝13＋29×⎝⎛⎭⎫1－13n －11－13－2n －13n ＋1＝23－2n ＋23n ＋1，则S n ＝1－n ＋13n .19．已知数列{a n }是等比数列，且3a 1,2a 2，a 3成等差数列． (1)若a 2 011＝2 011，试求a 2 013的值；(2)若a 1＝3，公比q ≠1，设b n ＝1ln a n ·ln a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解析：(1)由4a 2＝3a 1＋a 3，得4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2，q 2－4q ＋3＝0，解得q ＝1或q ＝3. 又a 2 011＝2 011，所以a 2 013＝2 011或a 2 013＝2 011×9＝18 099.(2)由a 1＝3，q ≠1，及(1)易知a n ＝3×3n －1＝3n ，则b n ＝1ln a n ·ln a n ＋1＝1n ln3×(n ＋1)ln3＝1ln 23⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，所以T n ＝1ln 23⎝⎛⎭⎫11－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1ln 23⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝n(n ＋1)ln 23. 20．已知正项数列{a n }满足a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，对任意的n ∈N *，有2S n ＝2a 2n ＋a n －1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝a n2n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解析：(1)2S n ＝2a 2n ＋a n －1,2S n ＋1＝2a 2n ＋1＋a n ＋1－1，两式相减得：2a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )(a n ＋1＋a n )＋(a n ＋1－a n )，即(a n ＋1＋a n )(2a n ＋1－2a n －1)＝0.∵a n ＞0，∴2a n ＋1－2a n －1＝0，∴a n ＋1＝a n ＋12.∴数列{a n }是以1为首项，12为公差的等差数列，∴a n ＝n ＋12.(2)b n ＝a n 2n ＝n ＋12n ＋1，则T n ＝222＋323＋424＋…＋n ＋12n ＋1，①12T n ＝223＋324＋425＋…＋n ＋12n ＋2，② ①－②得12T n ＝222＋123＋124＋125＋…＋12n ＋1－n ＋12n ＋2＝12＋123×⎝⎛⎭⎫1－12n －11－12－n ＋12n ＋2＝34－12n ＋1－n ＋12n ＋2， ∴T n ＝32－12n －n ＋12n ＋1＝32－n ＋32n ＋1.21．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋S n ＝1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足：b n ＝1a n ＋1，又c n ＝1a n ＋1b n b n ＋1，且数列{c n }的前n 项和为T n ，求证：T n ＜23.解析：(1)由a n ＋S n ＝1得a n －1＋S n －1＝1(n ≥2)，两式相减并整理得a n a n －1＝12(n ≥2)，又a 1＋S 1＝1，易知a 1＝12，故数列{a n }是首项为12，公比为12的等比数列，所以a n ＝12n .(2)证明：由(1)知b n ＝2n＋1，c n ＝2n ＋1(2n ＋1)(2n ＋1＋1)＝2⎝⎛⎭⎫12n ＋1－12n ＋1＋1，故T n ＝2⎣⎡⎝⎛⎭⎫121＋1－122＋1＋⎝⎛⎭⎫122＋1－123＋1＋…＋⎦⎤⎝⎛⎭⎫12n ＋1－12n ＋1＋1＝2⎝⎛⎭⎫13－12n ＋1＋1＜23.22．数列{a n }的前n 项的和为S n ，且a n ＋S n ＝－2n －1(n ∈N *)． (1)证明：数列{a n ＋2}是等比数列；(2)若数列{b n }满足b 1＝1，且b n ＋1＝b n ＋na n (n ∈N *)，求数列{b n }的通项公式．解析：(1)证明：∵a n ＋S n ＝－2n －1， ∴a n ＋1＋S n ＋1＝－2n －3，以上两式相减得，a n ＋1－a n ＋S n ＋1－S n ＝－2， ∴2a n ＋1＝a n －2.∴2(a n ＋1＋2)＝a n ＋2，且当n ＝1时，a 1＋S 1＝－3，即a 1＝－32，∵a 1＋2＝12≠0，∴a n ＋2≠0，∴a n ＋1＋2a n ＋2＝12.∴{a n ＋2}是以12为首项，12为公比的等比数列．(2)由(1)的结论易知a n ＋2＝12·⎝⎛⎭⎫12n －1＝⎝⎛⎭⎫12n，∴a n ＝⎝⎛⎭⎫12n－2.∵b n ＋1＝b n ＋na n ，∴b n ＋1－b n ＝n ⎝⎛⎭⎫12n－2n ， ∴b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝1＋⎣⎡⎦⎤1×⎝⎛⎭⎫121－2×1＋⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫122－2×2＋…＋ ⎣⎡⎦⎤(n －1)×⎝⎛⎭⎫12n －1－2×(n －1) ＝1＋⎣⎡⎦⎤1×⎝⎛⎭⎫121＋2×⎝⎛⎭⎫122＋…＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫12n －1－2×[1＋2＋…＋(n －1)] ＝1＋⎝⎛⎭⎫121＋2×⎝⎛⎭⎫122＋…＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫12n －1－n (n －1)，令T ＝1＋⎝⎛⎭⎫121＋2×⎝⎛⎭⎫122＋…＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫12n －1， 12T ＝⎝⎛⎭⎫121＋1×⎝⎛⎭⎫122＋2×⎝⎛⎭⎫123＋…＋(n －2)×⎝⎛⎭⎫12n －1＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫12n ， ∴T －12T ＝12T ＝1＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－(n －1)×⎝⎛⎭⎫12n ， ∴12T ＝12＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －11－12－(n －1)×⎝⎛⎭⎫12n ＝32－(n ＋1)×⎝⎛⎭⎫12n ，即T ＝3－(n ＋1)×⎝⎛⎭⎫12n －1.∴b n ＝T －n (n －1)＝3－(n ＋1)×⎝⎛⎭⎫12n －1－n (n －1)，即b n ＝3－(n ＋1)×⎝⎛⎭⎫12n －1－n (n －1)．。

乌鲁木齐地区2014年高三第三次诊断性测验数学(理)试卷

乌鲁木齐地区2014年高三年级第三次诊断性测验试卷理科数学试题参考答案及评分标准1。

选B。

【解析】∵,∴2。

选B.【解析】∵，对应的点为在第二象限3.选C.【解析】由知或，分别解之，得或.4。

选A。

【解析】∵，∴，且,又，∴，∴5。

选C。

【解析】∵,此时，为使输出的，必须有，所以6。

选B。

【解析】由题意及正弦定理得,∴,∴，又，故，∴，而，∴，即，将代入，得,∴,或，而，故7。

选B。

【解析】此几何体的直观图如图所示，∴8.选D.【解析】依题意，有,即，其中且，∴，即，,由且,得,∴，，故,选D（此时)。

9。

选D。

【解析】令,∵其图象关于对称,∴，即，∴…⑴令，∵其图象关于直线对称，∴，即,∴…⑵由⑴⑵得，，∴…⑶∴,由⑵得∴；∴A对；由⑶，得,即，∴B对；由⑴得，，又,∴,∴C对；若，则，∴，由⑶得，又,∴，即，与题意矛盾，∴D错。

10。

选C.【解析】∵，，∴的图象在处的切线方程为，它与圆相切，∴，即，∵时有,∴，∴的最大值是，此时。

11。

选C.【解析】设的外接圆的圆心为,由,,知,∴点为的中点,∴,设直线交球于和,不妨设点在线段内，∴为四面体高的最大值,∴，依题意知，,即，当且仅当点与重合时，取最大值，此时，由，得，∴，∴。

12。

选B.【解析】不妨设的两条渐近线的方程分别为和则右焦点到直线的距离，又由，得，∵，∴…①∵，∴…②，①②联立,解得在中，，而且∴，即，解得，或（舍）∴,即，∴离心率二、填空题：共4小题，每小题5分,共20分。

13。

填。

【解析】∵,令，即,∴常数项为14。

填.【解析】设点,由，得，又∵点在椭圆上，∴,∴…①，∵点在椭圆上，∴…②,由①②可得。

∴射线的斜率为．15。

填。

【解析】依题意，有，是常数。

∴，即,易知,∴,令，解得16。

填。

【解析】依题意，设直线的方程为，它与抛物线交于点,线段的中点的坐标为，则，…⑴由方程组，得到以为根的一元二次方程，则且，…⑵不妨设，依题意知，即…⑶,将⑵代入⑶,化简得，即，∴…⑷又∵，∴，故，而，得，代入⑷,化简得三、解答题17．（本小题满分12分）(Ⅰ）∵成等差数列，∴，∴，即,∴公比∴…6分(Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∵∴…12分18．（本小题满分12分)取的中点,连接,则有∥，故平面,在正三角形中，是的中点，故,如图，以为原点，分别以所在直线为轴，轴,轴建立空间直角坐标系，则,,，（Ⅰ）∵，∴,即又∵，∴，即而,∴平面;…6分(Ⅱ)设平面的法向量为，则有，即,令，则即，由（Ⅰ）知平面的一个法向量为设二面角的平面角为，易知，∴．…12分19．（本小题满分12分)设“两位专家都同意通过"为事件，“只有一位专家同意通过”为事件，“通过复审"为事件．(Ⅰ)设“某应聘人员被录用”为事件，则∵，，∴…6分（Ⅱ）根据题意,表示“应聘的人中恰有人被录用”．∵,，，,∴的分布列为20．（本小题满分12分）（Ⅰ）分别过作准线的垂线，垂足分别是则∴，∴，∴…①中，…②,中，…③将②③代入①，得,∴∴∴,∴．…6分（Ⅱ）依题意可知，抛物线为，直线的斜率存在且，的方程为，设交点，，满足，即满足，∴，∴，且设，由,其中，得，∴，而代入，得,化为：得,，而且，∴，或，或，或．…12分21．（本小题满分12分）(Ⅰ）令，则,当时，，函数递减当时，，函数递增，故在处取得最小值即，对,有，故令，则，当时,，函数递增当时，，函数递减，故在处取得最大值即，对，有,故∴…6分(Ⅱ）令,则⑴当时,，∴当,∴，∴，∴函数为减函数，∴当时，,即时,成立⑵当时,则对，,∴,∴,∴函数为减函数,∴当时，，即时，成立⑶当时,由，知∴当时，∴，，∴当时,∴，，，∴函数的减区间为,增区间为又∵∴对，故,当时，成立⑷当时，有,∴即,与题意矛盾综合⑴⑵⑶⑷,，对，有．…12分22．（本小题满分10分）（Ⅰ）如图，由题意可知∴∽，∴,同理，,又∵，∴，∴…5分(Ⅱ)如图，由切割线定理，得，∵∥∴，又∵切圆于,∴，∴，∴∽，∴，即∴，即，∴为线段的中点．…10分23．(本小题满分10分）（Ⅰ)设曲线上任意点的坐标为(）依题意，直线的普通方程为点到的距离为∵，∴，∴即，当，即时,…5分(Ⅱ)设射线的极坐标方程为，依题意可知,动点的极坐标为，，由,得…⑴点在直线上，∴…⑵，，∴…⑶,将其代入⑴得，即由,∴，其中∴所求动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆除原点后的部分…10分24．(本小题满分10分）(Ⅰ）∵∵∵，∴，∴，同理，，∴∴∴…5分(Ⅱ）∵，∴，由柯西不等式得即,∴故,，当且仅当时不等式取等号…10分以上各题的其他解法,限于篇幅从略，请相应评分。

乌鲁木齐地区2014年高三第三次诊断性测验数学(理)试卷

乌鲁木齐地区2014年高三年级第三次诊断性测验试卷理科数学试题参考答案及评分标准一、选择题共小题，每小题分，共分题号1选项选【解析】∵{}0,1,2,3,4,5,6A =，{}0,3B x x x =<>∴{}4,5,6A B =选【解析】∵()()()11111122i i i z i i i i +===-+--+，对应的点为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限选【解析】由()1f x >知0211x x -≤⎧⎨->⎩或1201x x >⎧⎪⎨⎪>⎩，分别解之，得1x <-或1x >选【解析】∵3,4παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，∴cos 0,sin 0αα<>，且cos sin αα>，又()21sin cos 1sin 225ααα+=+=，∴1sin cos 5αα+=-，∴34sin ,cos 55αα==- 选【解析】∵2345111113102222232S =+++++=，此时5n =，为使输出的3132S =，必须有n p ≥，所以5p =选【解析】由题意及正弦定理得sin cos 3sin cos B A A B =，∴tan 3tan B A =， ∴0,2A B π<<，又5cos C =，故25sin C =，∴tan 2C =，而A B C π++=， ∴()tan tan 2A B C +=-=-，即tan tan 21tan tan A BA B+=--，将tan 3tan B A =代入，得24tan 213tan A A =--，∴tan 1A =，或1tan 3A =-，而0,2A B π<<，故45A =︒ 选【解析】此几何体的直观图如图所示， ∴()11401444323V =⨯+⨯⨯=选【解析】依题意，有3sin 4cos 5a a -=±，即()sin 1a ϕ-=±，其中4tan 3ϕ=且02πϕ<<，∴2a k πϕπ-=+，即2a k ππϕ=++，k ∈Z ，由4tan 3ϕ=且02πϕ<<，得42ππϕ<<，∴34k a k ππππ+<<+，k ∈Z ，故，选（此时0k =）选【解析】令()(1)F x f x =+，∵其图象关于()1,0对称，∴()()2F x F x =--，即()(3)1f x f x -=-+，∴()()4f x f x -=- …⑴令()(3)G x f x =+，∵其图象关于直线1=x 对称，∴()()2G x G x +=-，即()()53f x f x +=-，∴()()44f x f x +=- …⑵ 由⑴⑵得，()()4f x f x +=-，∴()()8f x f x += …⑶∴()()()844f x f x f x -=-=+-，由⑵得()()()()()4444f x f x f x +-=--= ∴()()f x f x -=；∴ 对；由⑶，得()()282f x f x -+=-，即()()26f x f x -=+，∴ 对；由⑴得，()()220f x f x -++=，又()()f x f x -=， ∴()()(2)(2)220f x f x f x f x -++--=-++=，∴ 对；若()()330f x f x ++-=，则()()6f x f x +=-，∴()()12f x f x +=，由⑶得()()124f x f x +=+，又()()4f x f x +=-，∴()()f x f x =-，即()0f x =，与题意矛盾，∴ 错选【解析】∵()0a f b '=-，()10f b=-，∴()f x 的图象在0x =处的切线方程为10ax by ++=，它与圆221x y +=相切，∴1=，即221a b +=，∵0,0a b >> 时有2221222a b a b++⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，∴a b +≤∴a b +，此时2a b ==选【解析】设ABC ∆的外接圆的圆心为O '，由2AB BC ==，AC =知90ABC ∠=︒，∴点O '为AC 的中点，∴OO ABC '⊥平面，设直线OO '交球O 于1D 和2D ，不妨设点O 在线段1O D '内，∴1O D '为四面体D ABC -高的最大值，∴1112323D ABC V AB BC h h -⎛⎫=⨯⋅= ⎪⎝⎭，依题意知，2433h ≤，即2h ≤，当且仅当点D 与1D 重合时，D ABC V -取最大值，此时2h =，由()222h R R -+=，得222h R h +=，∴32R =，∴249S R ππ==选【解析】不妨设22221x y a b-=的两条渐近线,OA OB 的方程分别为0bx ay -=和0bx ay +=则右焦点(),0F c 到直线OA的距离d b ==，又由FA OA ⊥，得OA a =，∵2OA OB AB +=，∴2OB AB a =- …①∵90AOB ∠=︒，∴222OA AB OB += …②，①②联立，解得43AB a =在Rt OAB ∆中，4tan 3AB AOB OA ∠==，而2AOB AOF ∠=∠且tan bAOF a ∠=∴22tan tan 1tan AOF AOB AOF ∠∠=-∠，即22431b a b a ⎛⎫⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得12b a =，或2b a =-（舍） ∴2214b a =，即2254c a =，∴离心率c e a ==二、填空题共小题，每小题分，共分填112 【解析】∵()843182r rr r T C x-+=-，令8403r-=，即2r =， ∴常数项为()22382112T C =-=填1± 【解析】设点()()1122,,,A x y B x y ，由2OB OA =，得21212,2x x y y ==，又∵点B 在椭圆2C 上，∴22221164y x +=，∴2211144y x += …①， ∵点A 在椭圆1C 上，∴221114x y +=…②，由①②可得111y x =± ∴射线OA 的斜率为1±．填12【解析】依题意，有()2log f x x a -=，a 是常数 ∴()1f a =，即2log 1a a =-，易知1a =，∴()21log f x x =+，令()0f x =，解得12x =填21y x =+ 【解析】依题意，设直线l 的方程为y kx m =+，它与抛物线2y x =交于点()()1122,,,A x y B x y ，线段AB 的中点P 的坐标为(),x y ，则122x x x +=， 122y y y +=…⑴由方程组2y kx m y x=+⎧⎨=⎩，得到以12,x x 为根的一元二次方程 20x kx m --=，则240k m ∆=+>且12x x k +=，12x x m =-…⑵不妨设12x x <，依题意知()21243x x kx m x dx +-=⎰，即()()22112221124233x x x x k x x x x m ⎡⎤++-++-=⎢⎥⎣⎦…⑶，将⑵代入⑶，化简得()3218x x -=，即()2214x x -=，∴()2121244x x x x +-=…⑷ 又∵221122,y x y x ==，∴2212121212422222y y x x x x y x x +++====+，故122x x y =-，而122x x x +=，得122x x x +=，代入⑷，化简得21y x =+ 三、解答题．（本小题满分分）（Ⅰ）∵1233,2,S S S 成等差数列，∴21343S S S =+，∴()()12112343a a a a a a +=+++，即323a a =，∴公比3q =∴113n nn a a q -== …分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，33log log 3nn n b a n ===，∵()()2122212122214n n n n b b b b n n n n n -+-=--+=- ∴()()()12233445212221n n n n n T bb b b b b b b b b b b -+=-+-++-()()214124222n n n n n +=-+++=-⨯=-- … 分．（本小题满分分）取AC 的中点O ，连接,OF OB ，则有1A A ∥FO ，故FO ⊥平面ABC ，在正三角形ABC 中，O 是AC 的中点，故OB AC ⊥，1,3OA OC OB ===如图，以O 为原点，分别以,,OA OB OF 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则()()()()()60,0,0,1,0,0,0,3,0,1,0,0,0,3,,0,0,62O A B C E F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭()0,3,6FB =-，61,3,AE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()2,0,0AC =-，()1,0,6AF =-（Ⅰ）∵()60,3,61,3,0FB AE ⎛⎫⋅=-⋅-= ⎪⎪⎝⎭， ∴FB AE ⊥，即FB AE ⊥又∵()()0,3,62,0,00FB AC ⋅=-⋅-=， ∴FB AC ⊥，即FB AC ⊥而AEAC A =，∴FB ⊥平面AEC ； … 分（Ⅱ）设平面AEF 的法向量为(),,a b c =n ，则有0AE AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即630260a b c a c ⎧-++=⎪⎨⎪-+=⎩，令6c =，则6,3a b == 即()6,3,6=n ，由（Ⅰ）知平面AEC 的一个法向量为FB 设二面角F AE C --的平面角为θ，易知02πθ<≤，∴cos FB FB θ⋅==n n… 分．（本小题满分分）设“两位专家都同意通过”为事件A ，“只有一位专家同意通过”为事件B ， “通过复审”为事件C ．（Ⅰ）设“某应聘人员被录用”为事件D ，则D A BC =+∵()111224P A =⨯=，()11121222P B ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，()310P C =∴()()()()()25P D P A BC P A P B P C =+=+=… 分（Ⅱ）根据题意，0,1,2,3,4X =i A 表示“应聘的4人中恰有i 人被录用”()0,1,2,3,4i =．∵()04004238155625P A C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()31142321655625P A C ⎛⎫=⨯⨯=⎪⎝⎭， ()222242321655625P A C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3334239655625P A C ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭， ()40444231655625P A C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴X 的分布列为∵X ～()4,0.4B ，∴ 1.6EX np == … 分．（本小题满分分）（Ⅰ）分别过,A B 作准线的垂线，垂足分别是11,A B则11,AF AA BF BB ==∴11AA AF HABF BB HB==， ∴AF HA BF HB =，∴AF BFHA HB=…① AHF ∆中，sin sin AF AHFHA AFH ∠=∠…②， BHF ∆中，sin sin BF AHFHB BFH∠=∠…③ 将②③代入①，得sin sin sin sin AHF AHFAFH BFH∠∠=∠∠，∴sin sin AFH BFH ∠=∠ ∴180AFH BFH BFx ∠=︒-∠=∠∴0AF BF k k +=，∴2BF AF k k =-=-．… 分（Ⅱ）依题意可知，抛物线为24y x =，直线l 的斜率k 存在且0k ≠，l 的方程为()1y k x =+，设交点()11,A x y ，()22,B x y ，满足()214y k x y x⎧=+⎪⎨=⎪⎩，即12,x x 满足()2222240k x k x k +-+=，∴()2242440k k ∆=-->，∴21k <，且21212242,1k x x x x k -+==设()00,M x y ，由FA FB tFM +=，其中0t ≠，得()()()1122001,1,1,x y x y t x y -+-=-，∴12012021x x x ty y y t +-⎧=+⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，而()121242y y k x x k+=++=代入2004y x =，得222422441k k kt t ⎛⎫-- ⎪⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭，化为：222444k t k t t -+= 得，22444t k t t-=-，而21k <且0k ≠， ∴2t <-，或01t <<，或12t <<，或4t >． … 分．（本小题满分分）（Ⅰ）令()()()()1ln 1h x f x x x x =--=-+，则()1x h x x '=+，当10x -<≤ 时，()0h x '≤，函数()h x 递减当0x >时，()0h x '>，函数()h x 递增，故()h x 在0x =处取得最小值()00h = 即，对1x >-，有()()00h x h ≥=，故()1f x x ≥- 令()()()1ln 111x I x f x x x x =-=-+++，则()()21xI x x '=-+，当10x -<≤ 时，()0I x '≥，函数()I x 递增当0x >时，()0I x '<，函数()I x 递减，故()I x 在0x =处取得最大值()00I = 即，对1x >-，有()()00I x I ≤=，故()11f x x≤+ ∴()111x f x x-≤≤+ … 分（Ⅱ）令()()()()2ln 1F x g x f x x ax x =-=++-，则()()22211ax a xF x x +-'=+⑴当0a ≤时，210a -<，∴当0x ≥，∴10x +>，2210ax a +-≤∴()0F x '≤，∴函数()[],0,1y F x x =∈为减函数，∴当01x ≤≤时，()()00F x F ≤=，即0a ≤时，()()f x g x ≥成立⑵当104a <≤时，1212aa-≥ 则对[]0,1x ∀∈，12102ax x a--≤-≤，∴10x +>，2210ax a +-≤∴()0F x '≤，∴函数()[],0,1y F x x =∈为减函数，∴当01x ≤≤时，()()00F x F ≤=，即104a <≤时，()()f x g x ≥成立 ⑶当11ln 24a <≤-时，由11ln 22-<，知12012aa-<< ∴当1202ax a-≤≤时，∴10x +>，2210ax a +-≤，∴()0F x '≤当1212ax a-<≤时，∴10x +>，2210ax a +-≥，()0F x '≥，∴函数()[],0,1y F x x =∈的减区间为120,2a a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦，增区间为12,12a a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦又∵()()00,1ln 210F F a ==-+≤∴对[]0,1x ∀∈，()()(){}max 0,10F x F F ≤≤ 故，当01x ≤≤时，()()f x g x ≥成立⑷当1ln 2a >-时，有ln 210a +->，∴()1ln 210F a =+-> 即()()11g f >，与题意矛盾综合⑴⑵⑶⑷，(],1ln 2a ∈-∞-，对01x ≤≤，有()()f x g x ≥． … 分．（本小题满分分）（Ⅰ）如图，由题意可知,ACD AEC CAD EAC ∠=∠∠=∠∴ADC ∆∽ACE ∆，∴CD ACCE AE=，同理，BD ABBE AE =，又∵AB AC =， ∴CD BD CE BE=，∴BE CD BD CE ⋅=⋅ … 分（Ⅱ）如图，由切割线定理，得2FB FD FC =⋅，∵CE ∥AB ∴FAD AEC ∠=∠，又∵AB 切圆于B ，∴ACD AEC ∠=∠，∴FAD FCA ∠=∠， ∴AFD ∆∽CFA ∆，∴AF FD CF AF=，即2AF FD FC =⋅ ∴22FB AF =，即FB FA =，∴F 为线段AB 的中点． … 分．（本小题满分分）（Ⅰ）设曲线C 上任意点M 的坐标为()cos ,sin ϕϕ（02ϕπ≤<）依题意，直线l 的普通方程为40x y +-=点M 到l的距离为d ==∵02ϕπ≤<，∴9444πππϕ≤+<，3444242πππϕ⎛⎫-≤+-≤- ⎪⎝⎭即4444πϕ⎛⎫≤+-≤ ⎪⎝⎭，当342ππϕ+=，即54πϕ=时，max 1d === … 分（Ⅱ）设射线OP 的极坐标方程为()θαα=∈R ，依题意可知，动点Q 的极坐标为(),ρα，()()1,,,P R P αρα，由2OP OQ OR⋅=，得1P ρρ⋅=…⑴点(),P P ρα在直线l 上，∴()cos sin 4P ραα+=…⑵，cos sin 0αα+≠，∴4cos sin P ραα=+…⑶，将其代入⑴得41cos sin ραα=+，即4cos sin ραα=+由cos ,sin x y ραρα==，∴()224x y x y +=+，其中0xy ≠分．（本小题满分分）（Ⅰ）∵()()()3332223a b c a b c a b c ++-++++()()()()3332222222a b c a b c b a c c a b =++-+-+-+∵()()332222a b a b ab a a b b b a +--=-+-()()2a b a b =-+∵,a b +∈R ，∴()()20a b a b -+≥，∴3322a b a b ab +≥+，同理，3322b c b c bc +≥+，3322c a c a ca +≥+∴()3332222222a b c a b ab b c bc c a ca ++≥+++++ ∴()()()()33322222220a b c a b c b a c c a b ++-+-+-+≥∴()()()2223333a b c a b c a b c ++++≤++ … 分（Ⅱ）∵,,a b c +∈R ，∴0,0,0a b b c c a +>+>+>，由柯西不等式得()()()111a b b c c a a b b c c a ⎛⎫+++++++⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭29≥=即()11129a b c a b b c c a ⎛⎫++++≥ ⎪+++⎝⎭，∴23c a b a b b c c a ⎛⎫++≥ ⎪+++⎝⎭故，32a b c b c c a a b ++≥+++，当且仅当a b c ==时不等式取等号 … 分以上各题的其他解法，限于篇幅从略，请相应评分。

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2014高考阶段性检测（三）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分。

1.设a b ∈R ，，117ii 12ia b -+=-（i 为虚数单位），则a b +的值为（） A.8 B.-8 C.4 D.6 【答案】A【解析】据题i ii i i i i i bi a 3551525)21)(21()21)(711(21711+=+=+-+-=--=+，所以 ,3,5==b a从而 8=+b a .【点评】本题主要考查复数的基本运算和复数相等的条件运用，属于基本题，一定要注意审题，对于复数的除法运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，再者，需要注意分母实数化的实质.2.设集合}043|{},2|{2≤-+=->=x x x T x x S ,则=⋃T S C R )( A.(2,1]- B. ]4,(--∞ C. ]1,(-∞ D.),1[+∞【答案】C3.已知y x ,为正实数,则 A.y x yx lg lg lg lg 222+=+ B.y x y x lg lg )lg(222∙=+ C.y x yx lg lg lg lg 222+=∙ D.y x xy lg lg )lg(222∙=【答案】D4.将函数()3cos sin y x x x R =+∈的图像向左平移()0m m >个长度单位后,所得到的图像关于y 轴对称,则m 的最小值是( ) A.12πB.6πC.3πD.56π【答案】B5.设函数()f x 的定义域为R ，00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，以下结论一定正确的是（） A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤ B ．0x -是()f x -的极小值点 C ．0x -是()f x -的极小值点 D ．0x -是()f x --的极小值点【答案】D【解析】A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤，错误．00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，并不是最大值点．B ．0x -是()f x -的极小值点．错误．()f x -相当于()f x 关于y 轴的对称图像，故0x -应是()f x -的极大值点C ．0x -是()f x -的极小值点．错误．()f x -相当于()f x 关于x 轴的对称图像，故0x 应是()f x -的极小值点．跟0x -没有关系．D ．0x -是()f x --的极小值点．正确．()f x --相当于()f x 先关于y 轴的对象，再关于x 轴的对称图像．故D 正确6.从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别为,a b ,共可得到lg lg a b -的不同值的个数是（）A ．9B ．10C ．18D ．20 【答案】C7.节日里某家前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（）A ．14B ．12C ．34D ．78【答案】C8.若a b c <<,则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间( )A.(),a b 和(),b c 内B.(),a -∞和(),a b 内C.(),b c 和(),c +∞内D.(),a -∞和(),c +∞内【答案】A9.若22221231111,,,x S x dx S dx S e dx x===⎰⎰⎰则123S S S 的大小关系为A ．123S S S <<B ．213S S S <<C ．231S S S <<D ．321S S S <<【答案】B10.若函数()21=f x x ax x ++在1,+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭是增函数,则a 的取值范围是 (A)[-1,0] (B)[1,)-+∞ (C)[0,3] (D)[3,)+∞【答案】D11.若曲线12y x -=在点12,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a =（A ）64 （B ）32 （C ）16 （D ）8 【答案】A【命题意图】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力..【解析】332211',22y x k a --=-∴=-，切线方程是13221()2y a a x a ---=--，令0x =，1232y a -=，令0y =，3x a =，∴三角形的面积是121331822s a a -=⋅⋅=，解得64a =.故选A.12.已知点P 在曲线41xy e =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 (A)[0,4π) (B)[,)42ππ （C ） 3(,]24ππ (D) 3[,)4ππ解析：选D.2441212x x x x x e y e e e e'=-=-++++，12,10xxe y e '+≥∴-≤< ，即1tan 0α-≤<，3[,)4παπ∴∈第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

共计20分。

13.设集合},,)2(2|),{(222R y x m y x my x A ∈≤+-≤=, },,122|),{(R y x m y x m y x B ∈+≤+≤=,若,φ≠⋂B A 则实数m 的取值范围是______________解析：当0m ≤时，集合A 是以（2，0）为圆心，以m 为半径的圆，集合B 是在两条平行线之间，2212(12)022m m m --+=-+> ，因为,φ≠⋂B A 此时无解；当0m >时，集合A 是以（2，0）为圆心，以2m和m 为半径的圆环，集合B 是在两条平行线之间，必有 2212222m mm m --≥-≤⎧⎪⎨⎪⎩21212m -∴≤≤+.又因为2m 1,2122m m ≤∴≤≤+14.已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，则实数c 的值为 ▲ ．【答案】9【解析】根据函数0)(2≥++=b ax x x f ，得到042=-b a ，又因为关于x 的不等式()f x c <，可化为：20x ax b c ++-<，它的解集为()6,+m m ，设函数c b ax x x f -++=2)(图象与x 轴的交点的横坐标分别为21,x x ，则6612=-+=-m m x x ，从而，36)(212=-x x ，即364)(21221=-+x x x x ，又因为a x x cb x x -=+-=2121,，代入得到 9=c .【点评】本题重点考查二次函数、一元二次不等式和一元二次方程的关系，根与系数的关系.二次函数的图象与二次不等式的解集的对应关系要理清.属于中档题，难度不大. 15.已知正数a b c ，，满足：4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，则ba的取值范围是 ▲ ．【答案】[]7,e【解析】根据条件4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，()cbc c b c a lnln ln =-≤，得到 ln ,1ac b a b e c c c ≥≥>，得到c b <.又因为b a c ≤-35，所以35a b c +<，由已知a c b -≤4，得到4a b c +>.从而b b a ≤+4，解得31≥a b . 【点评】本题主要考查不等式的基本性质、对数的基本运算.关键是注意不等式的等价变形，做到每一步都要等价.本题属于中高档题，难度较大.16.设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，上，0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，．若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a b +的值为 ▲ ．【答案】10- .【解析】因为1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()f x 的周期为2，所以)21()223()21(-=-=f f f ，根据0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，得到223-=+b a ，又)1()1(-=f f ，得到02,221=++=+-b a b a 即，结合上面的式子解得4,2-==b a ，所以103-=+b a .【点评】本题重点考查函数的性质、分段函数的理解和函数周期性的应用.利用函数的周期性将式子化简为)21()223()21(-=-=f f f 然后借助于分段函数的解析式解决.属于中档题，难度适中.三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤。

共计70分。

17.（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边为c b a ,, （1）若,cos 2)6sin(A A =+π求A 的值；（2）若c b A 3,31cos ==，求C sin 的值.解析：（1）sin()2cos ,sin 3cos ,63A A A A A ππ+=∴=∴=（2）22221cos ,3,2cos 8,223A b c a b c bc A c a c ==∴=+-== 由正弦定理得：22sin sin c c A C =，而222sin 1cos ,3A A =-=1sin 3C ∴=。

（也可以先推出直角三角形）18.（本小题满分12分）某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲.乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为23,中将可以获得2分;方案乙的中奖率为25,中将可以得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中将与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为,X Y ,求3X ≤的概率;(2)若小明.小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计的得分的数学期望较大?xOyPA 【答案】解:(Ⅰ)由已知得:小明中奖的概率为23,小红中奖的概率为25,两人中奖与否互不影响,记“这2人的累计得分3≤X ”的事件为A,则A 事件的对立事件为“5=X ”,224(5)3515==⨯= P X ,11()1(5)15∴=-==P A P X ∴这两人的累计得分3≤X 的概率为1115. (Ⅱ)设小明.小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为1X ,都选择方案乙抽奖中奖的次数为2X ,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为1(2)E X ,选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为2(3)E X由已知:12~(2,)3X B ,22~(2,)5X B124()233∴=⨯=E X ,224()255=⨯=E X 118(2)2()3∴==E X E X ,2212(3)3()5==E X E X12(2)(3)> E X E X∴他们都在选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望最大.19.（本小题满分12分）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A 处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线24912x y =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为.（1）当5.0=t 时，写出失事船所在位置P 的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）[解]（1）5.0=t 时，P 的横坐标x P =277=t ，代入抛物线方程24912x y = 中，得P 的纵坐标y P =3. ……2分由|AP |=2949，得救援船速度的大小为949海里/时. ……4分由tan ∠OAP =30712327=+，得∠OAP =arctan 307，故救援船速度的方向为北偏东arctan 307弧度. ……6分（2）设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为)12,7(2t t .由222)1212()7(++=t t vt ，整理得337)(1442122++=t t v .……10分因为2212≥+t t ，当且仅当t =1时等号成立，所以22253372144=+⨯≥v ，即25≥v .因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. 20.（本小题满分12分）已知函数)1lg()(+=x x f .（1）若1)()21(0<--<x f x f ，求x 的取值范围；（6分）（2）若)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10≤≤x 时，有)()(x f x g =，求函数)(x g y =])2,1[(∈x 的反函数.（8分）[解]（1）由⎩⎨⎧>+>-01022x x ，得11<<-x .由1lg )1lg()22lg(0122<=+--<+-x xx x 得101122<<+-x x . ……3分因为01>+x ，所以1010221+<-<+x x x ，3132<<-x . 由⎩⎨⎧<<-<<-313211x x 得3132<<-x . ……6分（2）当x ∈[1,2]时，2-x ∈[0,1]，因此)3lg()2()2()2()(x x f x g x g x g y -=-=-=-==. ……10分由单调性可得]2lg ,0[∈y .因为yx 103-=，所以所求反函数是x y 103-=，]2lg ,0[∈x . ……14分【点评】本题主要考查函数的概念、性质、分段函数等基础知识．考查数形结合思想，熟练掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质，属于中档题． 21.（本小题满分12分）设函数ax x x f -=ln )(，ax e x g x-=)(，其中a 为实数．（1）若)(x f 在),1(+∞上是单调减函数，且)(x g 在),1(+∞上有最小值，求a 的取值范围；（2）若)(x g 在),1(+∞-上是单调增函数，试求)(x f 的零点个数，并证明你的结论．解：（1）a xx f -='1)(≤0在),1(+∞上恒成立，则a ≥x 1， )1(∞+∈，x ．故：a ≥1．a x g x -='e )(，若1≤a ≤e ，则a x g x-='e )(≥0在),1(+∞上恒成立，此时，ax e x g x-=)(在),1(+∞上是单调增函数，无最小值，不合；若a ＞e ，则ax e x g x-=)(在)ln 1(a ，上是单调减函数，在)(ln ∞+，a 上是单调增函数，)ln ()(m in a g x g =，满足．故a 的取值范围为：a ＞e ．（2）a x g x-='e )(≥0在),1(+∞-上恒成立，则a ≤e x ，故：a ≤1e．)0(11)(>-=-='x xax a x x f ． (ⅰ)若0＜a ≤1e ，令)(x f '＞0得增区间为(0，1a )；令)(x f '＜0得减区间为(1a，﹢∞)．当x →0时，f (x )→﹣∞；当x →﹢∞时，f (x )→﹣∞；当x ＝1a 时，f (1a )＝﹣ln a －1≥0，当且仅当a ＝1e 时取等号．故：当a ＝1e 时，f (x )有1个零点；当0＜a ＜1e 时，f (x )有2个零点．(ⅱ)若a ＝0，则f (x )＝﹣ln x ，易得f (x )有1个零点． (ⅲ)若a ＜0，则01)(>-='a xx f 在)0(∞+，上恒成立，即：ax x x f -=ln )(在)0(∞+，上是单调增函数，当x →0时，f (x )→﹣∞；当x →﹢∞时，f (x )→﹢∞．此时，f (x )有1个零点．综上所述：当a ＝1e 或a ＜0时，f (x )有1个零点；当0＜a ＜1e时，f (x )有2个零点．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答是用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，圆1O 与圆2O 内切于点A ，其半径分别为1r 与2r （12r r >）．圆1O 的弦AB 交圆2O 于点C （1O 不在AB 上）．求证：:AB AC 为定值．解：连接1AO 并延长分别交两圆于D E 、两点，连接CE BD ,，因为圆1O与圆2O 内切于点A ，所以点2O 在直线AD 上，故AE AD ,分别为两圆的直径，从而︒=∠=∠90ACE ABD ，所以CE BD //，于是212122r r r r AE AD AC AB === 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系统与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==φφsin cos y x ，为参数）ϕ(曲线2C 的参数方程为⎩⎨⎧==φφsin cos b y a x ϕ,0(>>b a 为参数）。

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