江苏省启东市2018届高三数学上学期第一次月考10月试题理201710100173
江苏省启东中学高三上学期第一次月考数学(理)试题Word版含答案
（1）求区域Ⅱ的总面积；
（2）若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是15万元、20万元、10万元，记年总收入为y万元． 试问当 为多少时，年总收入最大？
（3）若函数 存在极大值，且极大值点为1，证明： .
江苏省启东中学2018-2019学年度第一学期月考
高三年级数学答案
答题卷上只有第18题需要附图，其余按模式搞就行了
1. 2. 3.充分不必要4.1 5. 6. 7.
8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.
15.解： 或
16.解：（1）在△ABC中，因为 ， ， ，
则 的值为▲．
10．将函数 （ ）的图象向左平移 个单位后，所得图象关于直线
对称，则 的最小值为▲．
11．已知函数 ， ，则 的解集是▲．
12．若向量 满足 ， ，且对一切实数 ， 恒成立，则向量 的夹角的大小为▲.
13．在斜三角形ABC中，若 ,则sinC的最大值为▲．
14．已知函数 ， （ 为自然对数的底数），若函数
③若 ，则 时， ，
当 时， 的最小值为 ；
当 时， 的最小值为 .
因为 ， ，所以 的最小值为 .14分
综上所述： ………………………………16分
20.解（1）当 ，函数 在 上单调递增；
当 ，函数 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 ，函数 在 上单调递增，在 上单调递减.……………4分
（2） 若对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围；
江苏省启东中学2017-2018学年高三上学期第一次月考数学(理)试题 Word版含答案
江苏省启东中学2017-2018学年度第一学期第一次月考高三(理科)数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1.已知{}20,1,x x ∈，则实数x 的值是 ▲ .2.“20x x ∀∈≥R ，”的否定是 ▲ .3.已知向量(1,)(3,2)a m b =- ，=，且()a b b ⊥ +，则m = ▲ .4.函数()f x =定义域 ▲ .5.将函数sin(2)16y x π=--的图像向左平移4π个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式为 ▲ .6.已知集合A={}5x x >,集合B={}x x a >，若“x A ∈ ”是“x B ∈ ”充分不 必要条件，则实数a 的取值范围是 ▲ .7. 函数2()1f x x ax =+-，若对于[,1]x a a ∈+恒有()0f x <，则a 的取值范围 ▲ . 8.已知ABC ∆中，角A B C ,,的对边分别为a b c ,,，且22265tan acB a c b =+-，则sin B 的值是▲ ．9.设α为锐角，若10.如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，90ADC ∠=︒，AB = 3， AD =2，E 为BC 中点，若→AB ·→AC = 3，则→AE ·→BC = ▲ ．11.已知函数)(x f在定义域]3,2[a -上是偶函数，在]3,0[上单调递减， 并且则m 的取值范围是 ▲ .12.已知函数2()()2x f x kx k R x =-∈+有两个零点，则k 的取值范围 ▲ .13.若曲线ln y a x =与曲线212y x e =在它们的公共点(),P s t 处具有公共切线，则ts= ▲ . 14. 设函数()(21)xf x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)已知{}|11x x x ∃∈-<<,使等式20x x m --=成立是真. （1）求实数m 的取值集合M .(2)设不等式()(2)0x a x a -+-<的解集为N ，若x N ∈是x M ∈的必要条件，求a 的取 值范围.16．(本小题满分14分)在ABC ∆中，三个内角分别为A,B,C ，已知sin(A )2cosA 6π+=．（1）求角A 的值；（2）若(0,)3B π∈，且4cos()5A B -=，求sin B ．17. (本小题满分14分) 已知函数12()2x x mf x n+-+=+（其中,m n 为参数）.（1）当1m n ==时，证明：()f x 不是奇函数； （2）如果()f x 是奇函数，求实数,m n 的值；（3）已知0,0m n >>，在（2）的条件下，求不等式1(())()04f f x f +<的解集.18. （本小题满分16分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos C ＝310. (1) 若CB →·CA →＝92，求c 的最小值；(2) 设向量x ＝(2sin B ，－3)，y ＝⎝⎛⎭⎫cos2B ，1－2sin 2B2，且x ∥y ，求sin(B －A)的值．19．（本小题满分16分）如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD ，其中BMN 是半径为1百米的扇形，3π2=∠ABC ．管理部门欲在该地从M 到D 修建小路：在弧MN 上选一点P （异于M 、N 两点），过点P 修建与BC 平行的小路PQ ．问：点P 选择在何处时，才能使得修建的小路 MP与PQ 及QD 的总长最小？并说明理由．20. （本小题满分16分）已知函数()212f x x =，()lng x a x =．（1）若曲线()()y f x g x =-在1x =处的切线的方程为6250x y --=，求实数a 的值； （2）设()()()h x f x g x =+，若对任意两个不等的正数12x x ，，都有()()12122h x h x x x ->-恒成立，求实数a 的取值范围；PDQCNBAM（第19题）（3）若在[]1,e 上存在一点0x ，使得()()()()00001f x g x g x f x ''+<-'成立，求实数a 的取值范围．江苏省启东中学2017届高三第一次调研测试理科数学答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1.答案：－12. 答案：2,0x R x ∃∈<3. 答案：8m =4. 答案：1(2,)(0,)2+∞5.答案：sin(2)3y x π=+也可cos(2)6y x π=-.6.答案：5a <7.答案：0a << 8.答案：359.答案：242510.以A 点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系， 设CD =x ，则→AB =（3，0），→AC =（x ，2）由→AB ·→AC = 3解得x =1．所以→AE =（2），→BC =（-2，2），所以→AE ·→BC =-311.因为函数)(x f 在定义域]3,2[a -上是偶函数，所以032=+-a ，所以5=a .所以，即)22()1(22-+->--m m f m f ，所以函数)(x f 在]0,3[-上单调递减，而01)1(22,01222<---=-+-<--m m m m ，所以由)22()1(22-+->--m m f m f 得，⎪⎩⎪⎨⎧-+-<--≤-+-≤-≤--≤-22102230132222m m m m m m ，解得2121≤≤-m12.01a <<或0a <.13.对曲线ln y a x =求导可得a y x '=，对曲线212y x e =求导可得xy e'=，因为它们在公共点(),P s t 处具有公共切线，所以a ss e=，即2s e a =，又21l n s 2t a se==，即22l n s e a s=，将2s ea =代入，所以1a =.所以12t =，s =，即t s = . 14.解析：设g(x)＝e x (2x －1)，y ＝ax －a ，由题知存在唯一的整数x 0，使得g(x 0)在直线y ＝ax －a 的下方．因为g′(x)＝e x (2x ＋1)，所以当x ＜－12时，g ′(x)＜0，当x ＞－12时，g ′(x)＞0，所以当x ＝－12时，[g(x)]min ＝－2e －12，当x ＝0时，g(0)＝－1，g(1)＝3e ＞0，直线y ＝ax －a 恒过(1，0)，且斜率为a ，故－a ＞g(0)＝－1，且g(－1)＝－3e －1≥－a －a ，解得32e ≤a ＜1.二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(1)1|24M m m ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭.................................................................................5分(2)分1a =………7分. 当1a <时得14a <-…………..9分.当1a >得94a >…..11分综上所述:94a >或14a <-……………………………..14分. 16.解：.因为sin(A )2cosA 6π+=1A cos A 2cos A 2+=，即sin A ，因为()A 0,∈π，且cos A 0≠，所以tan A A 3π=. …………4分（1）因为22sin C cos C 1+=，cos C =()C 0,∈π，所以sin C = 由正弦定理知a csin A sinC =，即32a sin A c sinC ===，即230a c -=.…………7分 （2）因为(0,)3B π∈，所以033A B B ,ππ⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭，因为22sin ()cos ()1A B A B -+-=，所以3sin()5A B -=， …………10分 所以()()sin sin sin cos()cos sin()B A A B A A B A A B =--=---=……14分 17. 1）121()21xx f x +-+=+，∴2211(1)215f -+==-+， 1112(1)24f -+-==，∵(1)(1)f f -≠-，∴()f x 不是奇函数………………………………4分 （2）∵()f x 是奇函数时，()()f x f x -=-，即112222x x x x m mn n--++-+-+=++对定义域内任意实数x 成立，化简整理得关于x 的恒等式2(2)2(24)2(2)0x x m n mn m n -⋅+-⋅+-=， ∴20240m n mn -=⎧⎨-=⎩，即12m n =-⎧⎨=-⎩或12m n =⎧⎨=⎩………………………………8分（注：少一解扣1分）（3）由题意得1,2m n ==，∴12112()(1)22221x x x f x +-+==-+++，易判断()f x 在R 上递减，∵1(())()04f f x f +<，∴11(())()()44f f x f f <-=-，∴1()4f x >-，∴23x <，∴2log 3x <，即所求不等式的解集为2(,log 3)-∞………………………..14分18.解：(1) ∵ CB →·CA →＝92，∴ abcosC ＝92，∴ ab ＝15…………………..3分∴ c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ≥2ab －2ab·310＝21(当且仅当a ＝b 时取等号)．∵ c ＞0，∴ c ≥21，…………………………………………………………..5分 ∴ c 的最小值为21…………………………………………………….7分 (2) ∵ x ∥y ，∴ 2sin B ⎝⎛⎭⎫1－2sin 2B2＋3cos2B ＝0， 2sinBcosB ＋3cos2B ＝0，即sin 2B ＋3cos2B ＝0，∴ tan2B ＝－3，∴ 2B ＝2π3或5π3，∴ B ＝π3或5π6……………………10分∵ cos C ＝310＜32，∴ C ＞π6，∴ B ＝5π6(舍去)，∴ B ＝π3……………………………………………..12分∴ sin(B －A)＝sin[B －(π－B －C)] ＝sin ⎝⎛⎭⎫C －π3＝sinCcos π3－cos Csin π3＝9110×12－310×32＝91－3320…………………………………………..16分19．连接BP , 过P 作1PP BC ⊥垂足为1P , 过Q 作1QQ BC ⊥垂足为1Q设1PBP θ∠=()2π03θ<<， 2πMP θ=- …………………2分若20πθ<<，在1Rt PBP ∆中，11sin cos PP BP θθ==， 若,2πθ=则11sin cos PP BP θθ==， 若，322πθπ<<则,cos )cos(,sin 11θθπθ-=-==BP PP2cos PQ θθ∴=- …………………………4分在1Rt QBQ ∆中，111sin CQ QQ PP CQ θθθ===，，2DQ θ= …………………………6分所以总路径长，)320(sin 3cos 432)(πθθθθπθ<<--+-=f ……………………10分1)3sin(21cos 3sin )('--=--=πθθθθf ………………12分令()'0f θ=，π2θ=当π02θ<< 时，()'0f θ<当π2πθ<< 时，()'0f θ> …………………………14分 所以当π2θ=时，总路径最短. 答：当BP BC ⊥时，总路径最短. ……16分 20.解：（1）由()()21ln y f x g x x a x =-=-，得a y x '=-，由题意，13a -=，所以2a =-． ………………………………3分 （2）()()()21ln 2h x f x g x x a x =+=+， 因为对任意两个不等的正数12x x ，，都有()()12122h x h x x x ->-，设12x x >，则()()()12122h x h x x x ->-，即()()112222h x x h x x ->-恒成立，问题等价于函数()()2F x h x x =-，即()21ln 22F x x a x x =+-在()0,+∞为增函数．…6分所以()20a F x x '=+-≥在()0,+∞上恒成立，即22a x x -≥在()0,+∞上恒成立，PDQCNBAM（第19题）所以()2max 21a x x -=≥，即实数a 的取值范围是[)1,+∞．……………………………8分 （3）不等式()()()()00001f x g x g x f x ''+<-'等价于00001ln a x a x x x +<-，整理得0001ln 0a x a x x +-+<．设()1ln a m x x a x x+=-+，由题意知，在[]1,e 上存在一点0x ，使得()00m x <．………10分由()2222(1)(1)(1)11x ax a x a x a a m x x x x x --+--++'=--==． 因为0x >，所以10x +>，即令()0m x '=，得1x a =+． ① 当11a +≤，即0a ≤时，()m x 在[]1,e 上单调递增，只需()120m a =+<，解得2a <-． ………………………………………………12分 ② 当11e a <+≤，即0e 1a <-≤时，()m x 在1x a =+处取最小值．令()11ln(1)10m a a a a +=+-++<，即11ln(1)a a a ++<+，可得11ln(1)a a a ++<+．考查式子1ln 1t t t +<-，因为1e t <≤，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不能成立．……………14分 ③ 当1e a +>，即e 1a >-时，()m x 在[]1,e 上单调递减，只需()1e e 0e a m a +=-+<，解得2e 1e 1a +>-． 综上所述，实数a 的取值范围是()()2,2e 1,e 1-∞-++∞- ． …………………………16分。
江苏省启东中学2017-2018学年高三上学期第一次月考数学试题 Word版含解析
2017-2018学年一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．已知集合{}1,2,4A =，{}|(1)(3)0B x x x =--≤，则A B = ．【答案】{}1,2考点：集合的运算．2．“[0,)x ∃∈+∞，23x >”的否定是 ． 【答案】[0,)x ∀∈+∞，23x ≤ 【解析】试题分析：“[0,)x ∃∈+∞，23x >”的否定是“[0,)x ∀∈+∞，23x ≤” 考点：的否定．3．在3和243中间插入3个实数1a ，2a ，3a ，使这5个数成等比数列，则2a = ． 【答案】27 【解析】试题分析：222324327a =⨯=，又2a 与2,243同号，所以227a =．考点：等比数列的性质． 4．已知7sin cos 13αα+=-，π(,0)2α∈-，则tan α= ． 【答案】125- 【解析】试题分析：由7sin cos 13αα+=-得249(sin cos )169αα+=，所以60sin cos 169αα=-，因为(,0)2πα∈-，所以sin 0,cos 0αα<>，由7sin cos 1360sin cos 169αααα⎧+=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得12sin 135cos 13αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以sin 12tan cos 5ααα==-． 考点：同角间的三角函数关系．5．函数()ln 23x f x x =+-在区间(1,2)上的零点个数为 ． 【答案】1考点：函数的零点．6．已知定义在R 上的函数2()23f x ax x =++的值域为[2,)+∞，则()f x 的单调增区间为 ．【答案】[1,)-+∞（(1,)-+∞也对） 【解析】试题分析：由已知012424a a a>⎧⎪-⎨=⎪⎩，解得1a =，22()23(1)2f x x x x =++=++，所以其增区间为[1,)-+∞． 考点：二次函数的性质．7．函数3()812f x x x =+-在区间[33]-，上的最大值与最小值之和是 ． 【答案】16 【解析】试题分析：设在区间[3,3]-上()f x 的最大值为M ，最小值为m ，再设()()8g x f x =-，()g x 的最大值为8M -，最小值为8m -，又3()12g x x x =-是奇函数，所以在区间[3,3]-上max min ()()0g x g x +=，即(8)(8)0M m -+-=，16M m +=．考点：函数的奇偶性．8．等差数列{}n a 的前m 项的和为30，前2m 项的和为100，求它的前3m 项的和为 ．【答案】210 【解析】试题分析：因为{}n a 是等差数列，所以232,,m m m m m S S S S S --也成等差数列，即2322()()m m m m m S S S S S -=+-，所以323()3(10030)210m m m S S S =-=⨯-=．考点：等差数列的性质． 9．若α、β均为锐角，且1cos 17α=，47cos()51αβ+=-，则cos β= ． 【答案】13考点：两角和与差的余弦公式．【名师点睛】三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示： (1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍”的关系或“互余互补”的关系． (3)在求值的过程中“拼凑角”对求值往往起到“峰回路转”的效果．通过适当地拆角、凑角来利用所给条件．常见的变角技巧有α＋β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β，α＝(α－β)＋β，π4＋α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，15°＝45°－30°等．10．函数()y f x =是R 上的奇函数，满足()()33f x f x +=-，当(0,3)x ∈时，()2xf x =，则(5)f -= ．【答案】2- 【解析】试题分析：由题意1(5)(32)(32)(1)22f f f f =+=-===，又()f x 是奇函数，所以(5)(5)2f f -=-=-．考点：函数的奇偶性．11．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成”函数，给出下列函数：⑴1()sin cos f x x x =+；⑵2()f x x 3()cos )f x x x =+；⑷4()sin f x x =；⑸5()2cos (sin cos )222x x xf x =+，其中“互为生成”函数的有 ．（请填写序号）【答案】⑴⑵⑸考点：函数图象的平移．12．已知ABC ∆是单位圆O 的内接三角形，AD 是圆的直径，若满足2AB AD AC AD BC ⋅+⋅=，则||BC = ．【答案】2 【解析】试题分析：因为AD 直径，所以2ABD ACD π∠=∠=，所以2AB AD AB ⋅=，2AC AD AC ⋅=，所以222AB AC BC +=，即2BAC π∠=，BC 直径，所以2BC =．考点：向量的数量积．13．已知直线l 与曲线1y x =-和曲线ln y x =均相切，则这样的直线l 的条数为 ．【答案】1 【解析】试题分析：设1()ln f x x x =+，22111'()x f x x x x-=-=，当01x <<时，'()0f x <，()f x 单调递减，当1x >时，'()0f x >，()f x 单调递增，1x =时，()f x 取得极小值也是最小值(1)ln1110f =+=>，所以1ln 0x x +>恒成立，即1ln x x>-，因此设公直线l 与曲线1y x =-相切于点11(,)A x y ，与曲线ln y x =相切于点22(,)B x y ，必有10x <，1y x=-的导数为21'y x =，ln y x =的导数是1'y x =，由题意212212112111ln 1x x x x x x x ⎧=⎪⎪⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩，211221111ln 1x x x x x +⇒=-，1112ln()20x x x ⇒--+=，记()2l n ()2g x x x x =--+，'()2ln()1g x x =-+，令'()0g x =，则12x e-=-，当12x e-<-时，'()0g x >，()g x 单调递增，当120ex --<<时，'()0g x <，()g x 单调递减，1122max ()()2(1)0g x g e e --=-=+>，又22()320g e e -=-+<，lim[2ln()2]20x x x x →---+=>，所以()0g x =只有一解，即1112ln()20x x x --+=只有一解，所以两曲线的切线只有一条．考点：导数的几何意义，导数与函数的单调性． 【名师点睛】1．求过点P 的曲线的切线方程的步骤为： 第一步，设出切点坐标P ′(x 1，f (x 1))；第二步，写出过P ′(x 1，f (x 1))的切线方程为y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)； 第三步，将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程，求出x 1；第四步，将x 1的值代入方程y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)，可得过点P (x 0，y 0)的切线方程． 2．判断函数y ＝f (x )零点个数的常用方法：(1)直接法：令f (x )＝0，则方程实根的个数就是函数零点的个数．(2)零点存在性定理法：判断函数在区间上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数．在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题．14．已知数列{}n a 满足11a =，且111n n a a n +=++，*n ∈N ，则201420151()k k k a a =-=∑ ．【答案】20291052考点：数列求和．【名师点睛】 数列求和的方法：(1)一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和． (2)解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路：①转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成．②不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15． (本小题满分14分) 已知集合{}||21|3A x x =-<，{}2|(2)20B x x a x a =-++≤．⑴若1a =，求AB ；⑵若A B A =，求实数a 的取值范围．【答案】（1）[1,2)；（2）(,1]-∞．考点：集合的运算，集合的关系． 16．(本小题满分14分) 已知ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，满足sin sin sin sin b a B Cc B A--=+．⑴求角A 的值；⑵若a ，c ，b 成等差数列，试判断ABC ∆的形状． 【答案】（1）3A π=；（2）等边三角形．考点：正弦定理，余弦定理，三角形形状的判断． 【名师点睛】判定三角形形状的两种常用途径：(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断． (2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断．提醒：在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响． 17．(本小题满分14分)已知向量a ，b ，c 满足0a b c ++=，且a 与b 的夹角等于150︒，b 与c 的夹角等于120︒，||2c =，求||a ，||b ．【答案】||23a =，||4b =．考点：向量的数量积． 18．(本小题满分16分) 设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，3S ，9S ，6S 成等差数列．⑴设此等比数列的公比为q ，求3q 的值；⑵问：数列中是否存在不同的三项m a ，n a ，p a 成等差数列？若存在，求出m ，n ，p 满足 的条件；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）312q =-；（2）存在不同的三项1a ，7a ，4a 成等差数列． 【解析】试题分析：（1）本题要求3q 值，已知是9362S S S ∴=+，我们借助n S 的最基本形态12n n S a a a =+++，有19123162()()()a a a a a a a ++=+++++，化简即得7894562()()0a a a a a a +++++=，而3789456()0a a a q a a a ++=++≠，由此可得3q ；（2）数列中的探索性，如果是肯定性结论，本题只要能找到三项，成等差数列即可，如果是否定性结论，则必须证明．具体找三项时，可写出数列{}n a 中连考点：等比数列与等差数列的性质． 19．(本小题满分16分)已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足：2*11,2,n n n S ka ta n n -+=-∈N ≥(其中,k t为常数)． ⑴若12k =，14t =，数列{}n a 是等差数列，求1a 的值； ⑵若数列{}n a 是等比数列，求证：k t <．【答案】（1）11a =（2）证明见解析． 【解析】试题分析：（1）已知条件是2111124n n n S a a -+=-，这种问题一般都是再写一次即21111124n n n S a a +++=-，两式相减变形后可得12n n a a +-=，注意这里有2n ≥，但由于数列{}n a 是等差数列，因此也有212a a -=，代入已知212211124a a a +=-可求得1a ；（2）与（1）相同方法得2211(2)n n n n n a ka ka ta ta n +++-=-≥，由数列{}n a 是等比数列，可设1n n a qa +=，代入化简得2(1)1(2)n t q a kq k n ∴-=-+≥，下面对此式分析，首先0q >，1q ≠，{}n a 不是常数列，这样此式对2n ≥恒成立，必有0t =，恒等式变为10kq k -+=，不能得出什么有用结论，回到已知条件，已知变为11n n S ka -∴+=-，此式中，10,0n n a S ->>，那么只能有0k <，得证．⑵由211n n n S ka ta -+=-得2111n n n S ka ta +++=-，两式相减，得：2211(2)n n n n n a ka ka ta ta n +++-=-≥， ………………………………10分设等比数列{}n a 的公比为q ，∴222n n n n na kqa ka tq a ta +-=-， 2(1)1(2)n t q a kq k n ∴-=-+≥，由已知，可知0q >，…………………………………12分∴1q ≠，{}n a 不是常数列，0t ∴=； ………………………………………14分11n n S ka -∴+=-，而0n a >且10n S ->，0k ∴<，k t ∴<． ………………………………………………………………………………16分考点：等差数列与等比数列的定义． 20．(本小题满分16分)已知函数()=e x f x (其中e 是自然对数的底数)，2()1g x x ax =++，a ∈R ． ⑴记函数()()()F x f x g x =⋅，当0a >时，求()F x 的单调区间；⑵若对于任意的1x ，2[0,2]x ∈，12x x ≠，均有1212|()()||()()|f x f x g x g x ->-成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）单调增区间为：(,1)a -∞--，(1,)-+∞，减区间为(1,1)a ---；（2）[1,22ln 2]--． 【解析】列表如下：（0a >，11a ∴--<-）……………………………………………………………………………………4分()F x ∴的单调增区间为：(,1)a -∞--，(1,)-+∞，减区间为(1,1)a ---； ……………6分⑵设12x x <，()e x f x =是单调增函数，12()()f x f x ∴<，2112121221()()|()()|()()()()()()f x f x g x g x f x f x g x g x f x f x ∴->-⇒-<-<-；………8分①由1212()()()()f x f x g x g x -<-得：1122()()()()f x g x f x g x -<-， 即函数2()()e 1x y f x g x x ax =-=---在[0,2]上单调递增， ()()e 20x y f x g x x a '''∴=-=--≥在[0,2]上恒成立，e 2x a x ∴-≤在[0,2]上恒成立；令()e 2x h x x =-，()e 20ln 2x h x x '∴=-=⇒=，∴[0,ln 2)x ∈时，()0h x '<；(ln 2,2]x ∈时，()0h x '>；考点：导数与函数的单调性，不等式恒成立问题． 【名师点睛】1．用导数研究函数的单调性：(1)求函数f (x )单调区间的方法是，通过解不等式f ′(x )>0(或f ′(x )<0)直接得到单调递增(或递减)区间．(2)导数法证明函数f (x )在(a ，b )内的单调性的步骤： ①求f ′(x )．②确认f ′(x )在(a ，b )内的符号．③得出结论：f ′(x )>0时为增函数；f ′(x )<0时为减函数．2．不等式恒成立问题，一般通过转化与化归思想，转化为用导数求函数的最值，研究函数的单调性，这类问题比较复杂，考查学生的分析问题解决问题的能力，考查计算推理能力．。
江苏省启东中学高三数学上学期第一次月考试题 理
江苏省启东中学2018-2019学年度第一学期月考高三年级数学 （理）一．填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．1．集合}1|{-==x y y A ，集合)}2lg(|{x y x B -==，则B A ⋂ = ▲ ．2．若()x x x xke e f x ke e---=+为奇函数，则k 的值为 ▲ ． 3．设命题:4p x >；命题2:540q x x -+≥，那么p 是q 的 ▲ 条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）．4．已知幂函数22*()m m y x m -=∈N 在(0,)+∞是增函数，则实数m 的值是 ▲ ．5．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝ ▲ ．6．若“122x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，错误！未找到引用源。
,使得2210x x -λ+<成立”是假命题，则实数λ的取值范围是 ▲ ．7．已知钝角α满足3cos 5α=-，则tan 24απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为 ▲ ．8．定义在R 上的函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧>--≤-=05101log 9x x f x x x f ，则()2018f 的值为 ▲ ． 9．设等差数列{}n a 的公差为d （0≠d ），其前n 项和为n S ．若22410a a =，122210S S =+，则d 的值为 ▲ ．10．将函数()π()sin 6f x x ω=-（0ω>）的图象向左平移π3个单位后，所得图象关于直线πx =对称，则ω的最小值为 ▲ ．11．已知函数2()||2x f x x +=+，x ∈R ，则2(2)(2)f x x f x -<-的解集是 ▲ ． 12．若向量,a b →→满足a →=，1b →=，且对一切实数x ，a x b a b →→→→++≥恒成立，则向量,a b→→的夹角的大小为 ▲ . 13．在斜三角形ABC 中，若114tan tan tan A B C+=,则sinC 的最大值为 ▲ ．14．已知函数()22x x x f -=，()2+=x e x g x（e 为自然对数的底数），若函数()()[]k x g f x h -=有4个零点，则k 的取值范围为 ▲ ．二．解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定．．．．．区域．．内作答. 解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分) 已知21>a 且1≠a ，条件p ：函数()()x x f a 12log -=在其定义域上是减函数，条件q ：函数()2--+=a x x x g 的定义域为R .如果“p 或q ”为真，试求a 的取值范围．16. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知1a =，b =，π6B A -=． （1）求sin A 的值； （2）求c 的值．17. (本小题满分14分)已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且163221=+a a ，62234a a a =.（1） 求数列{}n a 的通项公式；（2） 设n n a a a b 22212log ...log log +++=，是否存在非零的实数λ，使得数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-λn b n 2为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.18.（本题满分16分）现有一个以OA 、OB 为半径的扇形池塘，在OA 、OB 上分别取点C 、D ，作DE ∥OA 、CF ∥OB 交弧AB 于点E 、F ，且BD = AC ，现用渔网沿着DE 、EO 、OF 、FC 将池塘分成如图所示的三种的养殖区域．若OA =1km ，π2AOB ∠=，π(0)2EOF θθ∠=<<．（1）求区域Ⅱ的总面积；（2）若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是15万元、20万元、10万元，记年总收入为y 万元． 试问当θ为多少时，年总收入最大？19. (本小题满分16分)已知函数()122++=ax x x f (a ∈R ) ，()x f '是()x f 的导函数.（1）若函数x e x f x ⋅'=)()(ϕ极小值为1-，求实数a 的值；（2）若[]1,2--∈x ，不等式()()x f x f '≤恒成立，求实数a 的取值范围；（3）设函数()()()()()()()⎩⎨⎧'<'≥'=x f x f x f x f x f x f x g ,,，求()x g 在[]4,2∈x 上的最小值.20．(本小题满分16分)（第18题）已知函数()x ax x x f ln +=（∈a R ）. （1）讨论函数()x f 的单调性；（2）若对任意),1[+∞∈x ，3)(x x f ≤恒成立，求实数a 的取值范围； （3）若函数()x f 存在极大值，且极大值点为1，证明：()21x ex f x +≤.江苏省启东中学2018-2019学年度第一学期月考 高三年级数学答案答题卷上只有第18题需要附图，其余按模式搞就行了1.[)2,02.1±3.充分不必要4.15.314 6.(]22,∞- 7.3-8.21 9.10- 10.21 11.()2,0 12.43π13.32214.⎪⎭⎫ ⎝⎛-212,0e e 15.解：121<<a 或2≥a16.解：（1）在△ABC 中，因为1a =，b =π6B A -=，由正弦定理得，1sin πsin 6A A + …… 2分于是ππsin cos cos sin 66A A A =+，即cos A A =， …… 4分又22sin cos 1A A +=，所以sin A =． …… 6分（2）由（1）知，cos A =，则sin 22sin cos A A A =，213cos212sin 14A A =-=， …… 10分在△ABC 中，因为πA B C ++=，π6B A -=，所以5π26C A =-．则()5πsin sin 26C A =-5π5πsin cos2cos sin 266A A =-113214=⨯+1114=． ……12分由正弦定理得，sin sin a C c A == …… 14分17. 解：（1）nn a 2=；（2）2-=λ18. 解：（1）因为BD AC OB OA ==，，所以OD OC =． 因为π2AOB ∠=，DE ∥OA ，CF ∥OB ， 所以DE OB CF OA ⊥⊥，．又因为OE OF =，所以Rt ODE ∆≌Rt OCF ∆．所以1π()22DOE COF COF θ∠=∠∠=-，． ………………………………2分所以1πcos cos[()]22OC OF COF θ=⋅∠=-．所以11sin cos 24COF S OC OF COF θ∆=⋅⋅⋅∠=，所以II 1=cos 2S θ区域，π(0)2θ<<． …………………………………6分（2）因为I 12S θ=区域，所以III I II π11cos 422S S S S θθ=--=--总区域区域区域．所以11π111520cos 10(cos )22422y θθθθ=⨯+⨯+⨯--55ππ5cos (0)222θθθ=++<<，， …………………………………10分 所以5(12sin )2y θ'=-，令=0y '，则π=6θ． …………………………………12分当π6θ<<0时，0y '>，当ππ62θ<<时，0y '<． 故当π=6θ时，y 有最大值． 答：当θ为π6时，年总收入最大． …………………………………16 19. 解（1）12ln -…………………………………3分 （2）⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,23 ………………………………… 7分 （3）因为()()()[]a x x x f x f 211)(---='-， ①若21-≥a ，则[]4,2∈x 时，()()x f x f '≥，所以()()a x x f x g 22+='=，从而()x g 的最小值为()422+=a g .………………………………9分②若23-<a ，则[]4,2∈x 时，()()x f x f '<，所以()()122++==ax x x f x g ， 当232-<≤-a 时，()x g 的最小值为()542+=a g ；当24-<<-a 时，()x g 的最小值为()21a a g -=-；当4-≤a 时，()x g 的最小值为()1784+=a g ；………………………………12分③若2123-<≤-a ，则[]4,2∈x 时，()[)[]⎩⎨⎧-∈+-∈++=4,21,2221,2,122a x a x a x ax x x g ，当[]a x 21,2-∈时，()x g 的最小值为()542+=a g ； 当[]4,21a x -∈时，()x g 的最小值为()a a g 2221-=-. 因为2123-<≤-a ，()()0362254<+=--+a a a ，所以()x g 的最小值为54+a .14分 综上所述：()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-≥+-<≤-+-<<---≤+=.21,42,212,54,24,1,4,1782mina a a a a a a a x g ………………………………16分20. 解（1）当0=a ，函数()x f 在()+∞,0上单调递增；当0>a ，函数()x f 在⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a e 11,0上单调递减，在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a e 11上单调递增；当0<a ，函数()x f 在⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a e 11,0上单调递增，在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a e 11上单调递减. ……………4分（2）()x ax x x f ln +=若对任意),1[+∞∈x ，3)(x x f ≤恒成立，求实数a 的取值范围； 因为),1[+∞∈x ，所以3)(x x f ≤⇔0ln 12≥--x a x ，设),1[,ln 1)(2+∞∈--=x x a x x ϕ，则xa x x a x x -=-='222)(ϕ，所以 ……………6分① 当2≤a 时，0)(≥'x ϕ，)(x ϕ在),1[+∞上递增，所以0)1()(=≥ϕϕx ，所以2≤a 适合。
江苏省启东市第一中学2017-2018年度第一学期高三数学第一次质量检查考试
启东市第一中学2017-2018年度第一学期第一次质量检查考试高三数学试卷（考试时间120分钟，试卷满分160分）一．填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{m ，4，7}．若A ∩B ＝{1，4}，则A ∪B ＝________． 2．命题“0≤∈∃x R x ，”的否定是“________________ ”．3．若函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x 是指数函数，则实数a 的值为________．4．已知扇形的周长是6cm ，面积是2cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是________． 5．函数y ＝12－|x|＋lg(3x ＋1)的定义域为 ．6．将函数x x f sin )(=的图像先纵坐标不变，横坐标变为原来的21，再将图像向右平移4π个单位后，得到的函数y = ． 7．函数y ＝1x＋2lnx 的单调减区间为________．8．已知f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x ＋4)＝f(x)．当x ∈(0，2)时，f(x)＝－x ＋4， f(7)＝________．9．若x>－3，则x ＋2x ＋3的最小值为________．10．设实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤3，2x ＋y ≤4，则z ＝3x ＋2y 的最大值是________．11．已知f(x)＝x 2－2x ＋3，g(x)＝kx －1，则“|k|≤2”是“f(x)≥g(x)在R 上恒成立”的________条件(填“充分不必要”“必要而不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．12．已知函数y ＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y ＝2x －1，则函数g(x)＝x 2＋f(x)在点(2，g(2))处的切线方程为________．13．已知函数y ＝cosx 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．14．函数1sin )1()(--=x x x f π(－1＜x ＜3)的所有零点之和为________．二．解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 15．如图，单位圆(半径为1的圆)的圆心O 为坐标原点，单位圆与y 轴的正半轴交于点A ，与钝角α的终边OB 交于点B(x B ，y B )，设∠BAO ＝β．(1) 用β表示α；(2) 如果sin β＝45，求点B(x B ，y B )的坐标；(3) 求x B －y B 的最小值．16．集合A ＝{x|－2≤x ≤5}，集合B ＝{x|m ＋1≤x ≤2m －1}．(1) 若B ÍA ，求实数m 的取值范围；(2) 当x ∈R 时，没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，求实数m 的取值范围．17．已知函数f(x)＝3sin (ωx ＋φ))22,0πϕπω<≤->（的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π． (1) 求ω和φ的值； (2) 求f(x)的单调减区间．18． 已知函数f(x)＝x 2＋4ax ＋2a ＋6．(1) 若f(x)的值域是[0，＋∞)，求a 的值；(2) 若函数f(x)≥0恒成立，求g(a)＝2－a|a －1|的值域．19．过去的2016年，我国多地区遭遇了雾霾天气，引起口罩热销．某品牌口罩原来每只成本为6元，售价为8元，月销售5万只．(1) 据市场调查，若售价每提高0.5元，月销售量将相应减少0.2万只，要使月总利润不低于原来的月总利润(月总利润＝月销售总收入－月总成本)，该口罩每只售价最多为多少元？(2) 为提高月总利润，厂家决定下月进行营销策略改革，计划每只售价x(x ≥9)元，并投入265(x －9)万元作为营销策略改革费用．据市场调查，每只售价每提高0.5元，月销售量将相应减少0.2（x －8）2万只．则当每只售价x 为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润．20．设函数f(x)＝(x 2＋ax ＋b)e x (x ∈R )．(1) 若a ＝2，b ＝－2，求函数f(x)的极大值； (2) 若x ＝1是函数f(x)的一个极值点． ① 试用a 表示b ；② 设a ＞0，函数g(x)＝(a 2＋14)e x ＋4.若21,x x ∈[0，4]，使得|f(1x )－g(2x )|＜1成立，求a 的取值范围．启东市第一中学2017-2018年度第一学期第一次质量检查考试高三数学试卷（考试时间120分钟，试卷满分160分）一．填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{m ，4，7}．若A ∩B ＝{1，4}，则A ∪B ＝________．答案：{1，2，3，4，7}2．命题“0≤∈∃x R x ，”的否定是“________________ ”．答案："x ∈R ，|x|>03．若函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x 是指数函数，则实数a 的值为________．答案：24．已知扇形的周长是6cm ，面积是2cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是________．答案：15．函数y ＝12－|x|＋lg(3x ＋1)的定义域为 ．答案：），（）（∞+⋃22,31- 6．将函数x x f sin )(=的图像先纵坐标不变，横坐标变为原来的21，再将图像向右平移4π个单位后，得到的函数y = ． 答案：x y 2cos -=7．函数y ＝1x＋2lnx 的单调减区间为________．答案：⎪⎭⎫⎝⎛210，8．已知f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x ＋4)＝f(x)．当x ∈(0，2)时，f(x)＝－x ＋4， f(7)＝________． 答案：-39．若x>－3，则x ＋2x ＋3的最小值为________．答案：22－310．设实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤3，2x ＋y ≤4，则z ＝3x ＋2y 的最大值是________．答案：711．已知f(x)＝x 2－2x ＋3，g(x)＝kx －1，则“|k|≤2”是“f(x)≥g(x)在R 上恒成立”的________条件(填“充分不必要”“必要而不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．答案：充分不必要12．已知函数y ＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y ＝2x －1，则函数g(x)＝x 2＋f(x)在点(2，g(2))处的切线方程为________． 答案：6x －y －5＝013．已知函数y ＝cosx 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________． 答案：π614．函数1sin )1()(--=x x x f π(－1＜x ＜3)的所有零点之和为________．答案：4二．解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15．如图，单位圆(半径为1的圆)的圆心O 为坐标原点，单位圆与y 轴的正半轴交于点A ，与钝角α的终边OB 交于点B(x B ，y B )，设∠BAO ＝β． (1) 用β表示α；(2) 如果sin β＝45，求点B(x B ，y B )的坐标；(3) 求x B －y B 的最小值．解：(1) ∠AOB ＝α－π2＝π－2β，所以α＝3π2－2β．····················2分(2) 由sin α＝y Br ，r ＝1，得y B ＝sin α＝sin )223βπ-（， ＝－cos2β＝2sin 2β－1 ＝2×254）（－1＝725，由α为钝角，知x B ＝cos α＝－1－sin 2α＝－2425．所以B ），（2572524-． ··················8分 (3) x B －y B ＝cos α－sin α＝2cos ）（4πα+， 又α∈），（ππ2，则α＋π4∈），（4543ππ， cos ）（4πα+∈⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡22-1-，．所以x B －y B 的最小值为－2． ·················14分16．集合A ＝{x|－2≤x ≤5}，集合B ＝{x|m ＋1≤x ≤2m －1}．(1) 若B ÍA ，求实数m 的取值范围；(2) 当x ∈R 时，没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，求实数m 的取值范围． 解：(1) 当m ＋1＞2m －1即m ＜2时，B ＝Æ满足B ÍA ； 当m ＋1≤2m －1即m ≥2时， 要使B ÍA 成立，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得2≤m ≤3．综上所述，当m ≤3时有B ÍA ． ·················6分 (2) 因为x ∈R ，且A ＝{x|－2≤x ≤5}，B ＝{x|m ＋1≤x ≤2m －1}，又没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，则① 若B ＝Æ，即m ＋1＞2m －1，得m ＜2时满足条件；② 若B ≠Æ，则要满足条件⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1＞5，解得m ＞4；或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，2m －1＜－2，无解．综上所述，实数m 的取值范围为m ＜2或m ＞4 ． ·················14分17．已知函数f(x)＝3sin (ωx ＋φ))22,0πϕπω<≤->（的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π． (1) 求ω和φ的值； (2) 求f(x)的单调减区间．解：(1) 因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2．又f(x)的图象关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2，k Z ∈，因为－π2≤φ＜π2，所以φ＝－π6． ·················7分(2) )62sin(3)(π-=x x f ，226222πππππ+≤-≤-k x k ，36ππππ+≤≤-∴k x k ，f(x)的单调减区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-3,6ππππk k ()Z k ∈． ·················14分18． 已知函数f(x)＝x 2＋4ax ＋2a ＋6.(1) 若f(x)的值域是[0，＋∞)，求a 的值；(2) 若函数f(x)≥0恒成立，求g(a)＝2－a|a －1|的值域． 解：(1) ∵ f(x)的值域是[0，＋∞)，即f min (x)＝0， ∴ 4（2a ＋6）－（4a ）24＝0，∴ a ＝－1或32． ·················4分(2) 若函数f(x)≥0恒成立，则Δ＝(4a)2－4(2a ＋6)≤0，即2a 2－a －3≤0， ∴ －1≤a ≤32，∴ g(a)＝2－a|a －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a ＋2，－1≤a ≤1，－a 2＋a ＋2，1<a ≤32. 当－1≤a ≤1，g(a)＝a 2－a ＋2＝2)21(-a ＋74，∴ g(a)∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,47；当1<a ≤32，g(a)＝－a 2＋a ＋2＝－2)21(-a ＋94，∴ g(a)∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,45，∴ 函数g(a)＝2－a|a －1|的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,45． ·················16分19．过去的2016年，我国多地区遭遇了雾霾天气，引起口罩热销．某品牌口罩原来每只成本为6元，售价为8元，月销售5万只．(1) 据市场调查，若售价每提高0.5元，月销售量将相应减少0.2万只，要使月总利润不低于原来的月总利润(月总利润＝月销售总收入－月总成本)，该口罩每只售价最多为多少元？(2) 为提高月总利润，厂家决定下月进行营销策略改革，计划每只售价x(x ≥9)元，并投入265(x －9)万元作为营销策略改革费用．据市场调查，每只售价每提高0.5元，月销售量将相应减少0.2（x －8）2万只．则当每只售价x 为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润．解：(1) 设每只售价为x 元，则月销售量为)2.05.08-5⨯-x （万只， 由已知得)2.05.08-5⨯-x （(x －6)≥(8－6)×5， ∴ 25x 2－535x ＋2965≤0，即2x 2－53x ＋296≤0， 解得8≤x ≤372，即每只售价最多为18.5元． ·················6分(2) 下月的月总利润y ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯-2)8(2.05.08-5x x (x －6)－265(x －9) ＝2.4－0.4x x －8－15x ＋234－1505＝－0.4（x －8）－0.8x －8－15x ＋845 ＝－⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-48)854x x （＋745． ·················13分 ∵ x ≥9，∴45（x －8）＋x －85≥2425＝45， 当且仅当45（x －8）＝x －85，即x ＝10，y max ＝14．答：当x ＝10时，下月的月总利润最大，且最大利润为14万元．········16分20．设函数f(x)＝(x 2＋ax ＋b)e x (x ∈R )．(1) 若a ＝2，b ＝－2，求函数f(x)的极大值； (2) 若x ＝1是函数f(x)的一个极值点． ① 试用a 表示b ；② 设a ＞0，函数g(x)＝(a 2＋14)e x ＋4.若21,x x ∈[0，4]，使得|f(1x )－g(2x )|＜1成立，求a 的取值范围．解：(1) f′(x)＝(2x ＋a)e x ＋(x 2＋ax ＋b)e x ＝[x 2＋(2＋a)x ＋(a ＋b)]e x ， 当a ＝2，b ＝－2时，f(x)＝(x 2＋2x －2)e x ， 则f′(x)＝(x 2＋4x)e x ， 令f′(x)＝0，得(x 2＋4x)e x ＝0，∵ e x ≠0, ∴ x 2＋4x ＝0，解得x ＝－4或x ＝0， 列表如下： ∴ 当x ＝－4时，函数f(x)取极大值，f(x)极大值＝6e 4 ． ·················6分(2) ① 由(1)知f′(x)＝[x 2＋(2＋a)x ＋(a ＋b)]e x ． ∵ x ＝1是函数f(x)的一个极值点，∴ f′(1)＝0，即e[1＋(2＋a)＋(a ＋b)]＝0，解得b ＝－3－2a ． ·················8分 ② 由①知f′(x)＝e x [x 2＋(2＋a)x ＋(－3－a)] ＝e x (x －1)[x ＋(3＋a)]，当a ＞0时，f(x)在区间(0，1)上单调递减，在区间(1，4)上单调递增， ∴ 函数f(x)在区间[0，4]上的最小值为f(1)＝－(a ＋2)e ． ∵ f(0)＝b ＝－3－2a ＜0，f(4)＝(2a ＋13)e 4＞0， ∴ 函数f(x)在区间[0，4]上的值域是[f(1)，f(4)]， 即[－(a ＋2)e ，(2a ＋13)e 4]． 又g(x)＝(a 2＋14)e x＋4在区间[0，4]上是增函数，且它在区间[0，4]上的值域是[(a 2＋14)e 4，(a 2＋14)e 8]， ∴ (a 2＋14)e 4－(2a ＋13)e 4＝(a 2－2a ＋1)e 4＝(a －1)2e 4≥0，∴ 存在21,x x ∈[0，4]使得|f(1x )－g(2x )|＜1成立只须(a 2＋14)e 4－(2a ＋13)e 4＜1， (a －1)2e 4＜1， (a －1)2＜1e4 ，1－1e 2＜a ＜1＋1e 2． ·················16分。
启东市高级中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题
启东市高级中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 设n S 是等比数列{}n a 的前项和，425S S =，则此数列的公比q =（ ）A ．-2或-1B ．1或2 C.1±或2 D ．2±或-12． 在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是线段11AC 的中点，若四面体M ABD -的外接球体积为36p ， 则正方体棱长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【命题意图】本题考查以正方体为载体考查四面体的外接球半径问题，意在考查空间想象能力和基本运算能力． 3． 《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈。
问积几何？”意思为：“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体（如图）”，下底面宽AD ＝3丈，长AB ＝4丈，上棱EF ＝2丈，EF ∥平面ABCD .EF 与平面ABCD 的距离为1丈，问它的体积是（ ） A ．4立方丈B ．5立方丈C ．6立方丈D ．8立方丈4． 如图甲所示， 三棱锥P ABC - 的高8,3,30PO AC BC ACB ===∠= ，,M N 分别在BC 和PO 上，且(),203CM x PN x x ==∈（，，图乙的四个图象大致描绘了三棱锥N AMC -的体积y 与 的变化关系，其中正确的是（ ）A ．B ． C. D ．1111]5． 定义在R 上的偶函数()f x 满足(3)()f x f x -=-，对12,[0,3]x x ∀∈且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-，则有（ ）A ．(49)(64)(81)f f f <<B ．(49)(81)(64)f f f << C. (64)(49)(81)f f f << D ．(64)(81)(49)f f f <<6． 已知等差数列{}n a 中，7916a a +=，41a =，则12a 的值是（ ）A ．15B ．30C ．31D ．64 7． 我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大的创举，这个伟大创举与我国古老的算法——“辗转相除法”实质一样，如图的程序框图源于“辗转相除法”．当输入a ＝6 102，b ＝2 016时，输出的a 为（ ）A ．6B ．9C ．12D ．188． 设a ，b 为正实数，11a b+≤23()4()a b ab -=，则log a b =（ ）A.0B.1-C.1 D .1-或0【命题意图】本题考查基本不等式与对数的运算性质等基础知识，意在考查代数变形能与运算求解能力. 9． 某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（ ）A ．2sin 2cos 2αα-+B ．sin 3αα+C. 3sin 1αα+ D ．2sin cos 1αα-+10．在三棱柱111ABC A B C -中，已知1AA ⊥平面1=22ABC AA BC BAC π=∠=，，,此三棱柱各个顶点都在一个球面上，则球的体积为（ ） A ．323π B ．16π C.253π D ．312π11．以下四个命题中，真命题的是（ ） A ．2,2x R x x ∃∈≤-B ．“对任意的x R ∈，210x x ++>”的否定是“存在0x R ∈，20010x x ++<C ．R θ∀∈，函数()sin(2)f x x θ=+都不是偶函数D ．已知m ，n 表示两条不同的直线，α，β表示不同的平面，并且m α⊥，n β⊂，则“αβ⊥”是 “//m n ”的必要不充分条件【命题意图】本题考查量词、充要条件等基础知识，意在考查逻辑推理能力．12．向高为H 的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V 与水深h 的函数关系如图，那么水瓶的形状是图中的（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．过原点的直线l 与函数y=的图象交于B ，C 两点，A 为抛物线x 2=﹣8y 的焦点，则|+|= ．14．空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点．①若AC=BD ，则四边形EFGH 是 ； ②若AC ⊥BD ，则四边形EFGH 是 ．15．图中的三个直角三角形是一个体积为20的几何体的三视图，则h =__________.16．对于函数(),,y f x x R =∈,“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的 ▲ 条件． （填“充分不必要”， “必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）三、解答题（本大共6小题，共70分。
2018届江苏省南通市启东中学高三上期初数学试卷答案解析与点睛(13页)
2018届江苏省南通市启东中学高三上期初数学试卷数学试题一、填空题1.已知集合223|}0{,A x x xx Z =<-∈﹣，集合{}|0B x x =>，则集合A B =I _____. 【答案】{}1,2 【解析】 【分析】首先解一元二次不等式求出集合A ，再利用集合的交运算即可求解. 【详解】求解不等式2230x x --<可得：13x -<<， 结合题意可得：{}0,1,2A =， 利用交集的定义可得：{}1,2A B =I . 故答案为：{}1,2.【点睛】本题主要考查了集合的交运算，同时考查了一元二次不等式的解法，属于基础题. 2.从1,2,3,4,5共五个数字中,任取两个数字,取出数字之和为偶数的概率是_______ 【答案】25【解析】【详解】任取两个数字的可能为：25C 种，这个数为偶数的种数为：2232C C + ，结合古典概型公式可得，所求概率为：22322525C C p C +== . 3.函数()ln f x x x =-的单调递增区间为_______. 【答案】【解析】函数有意义，则：0x > ，且：()1'1f x x=- ，由()'0f x > 结合函数的定义域可得函数的单调递增区间为()0,1，故答案为()0,1.4.若函数R ，则m 的取值范围是 ；【答案】［0，4］ 【解析】当0m =时，显然函数有意义，当0m ≠，则210mx mx ++≥对一一一一恒成立，所以0{0m >∆≤，得04m <≤，综合得04m ≤≤点睛：本题在解题时尤其要注意对0m =时的这种情况的检验，然后根据二次函数大于等于零恒成立，只需开口向上0∆≤即可.5.若()22lg x xf x a -=+是奇函数，则实数a =_____________．【答案】110【解析】试题分析：依题意可得()0022lg 1lg 0f a a -=+=+=,1lg 1,10a a ∴=-∴=． 考点：奇函数．6.已知cos()63πθ-=，则25cos()sin ()66ππθθ+--=__________．【答案】23-- 【解析】由题意可知25ππcos θsin θ66⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=πcos θ6⎛⎫-- ⎪⎝⎭+2π cos θ6⎛⎫- ⎪⎝⎭-1=23，填23-． 7.若直线y kx =与函数2xy e =的图像内相切，则实数k 的值为__________． 【答案】2e 【解析】设切点为(x 0,y 0)，则002xy e =一 一y ′=(2e x )′=2e x ，∴切线斜率02x k e =一 又点(x 0,y 0)在直线上，代入方程得y 0=kx 0一 即00022x x ex e =⨯一解得x 0=1一 一k =2e .点睛：导数运算及切线的理解应注意的问题一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.8.已知()1122sin 22x x x xxf x +--++=+的最大值和最小值分别是M 和m ，则M m +=_____. 【答案】4 【解析】 【分析】首先将函数整理化简得sin ()222x x x f x -=++，设()sin 22x xxg x -=+，判断函数()g x 为奇函数，从而可得()g x 的最大值与最小值，且互为相反，进而可求出()f x 的最大值与最小值之和.【详解】()11222sin 22sin sin ()2222222x x x x x x x x x xx x x f x -+----++++===++++， 设()sin 22x xxg x -=+，则()()sin 22xxxg x g x --=-=-+， 即()g x 为奇函数， 可设()g x 最大值为t ，则最小值为t -，可得2M t =+，2m t =-+， 即有4M m +=. 故答案为：4.【点睛】本题考查了函数的奇偶性应用，考查了分析能力与计算能力，属于基础题.9.设实数1,1a b >>，则“a b <”是“ln ln a b a b ->-”成立的_________条件．（请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中之一填空） 【答案】充要 【解析】试题分析:设函数,因为,所以函数是上的单调递减的函数,故当时,,即,也即ln ln a b a b ->-,所以“a b <”是“ln ln a b a b ->-”的充分条件；反之,若ln ln a b a b ->-,即,则,而以函数是上的单调递减函数,故,即“a b <”是“ln ln a b a b ->-”的必要条件.故应填答案充要.考点：充分必要条件的判定．【易错点晴】充分必要条件是高中数学中的重要内容和解答数学问题的重要工具之一.本题设置的目的意在考查充分必要条件的判定和对数函数等有关知识的灵活运用.求解时先依据充分必要条件判定方法和定义构造函数,运用导数的知识得到函数是上的单调递减函数,然后分别推断条件其充分性和必要性,从而将问题进行等价转化,从而使得问题巧妙获解. 10.设函数f (x)在(0,＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则()1f '＝__________． 【答案】2 【解析】试题分析：令x t e =，()ln (0)f t t t t =+>，所以()ln ,(0)f x x x x =+>，1()1+f x x='，()12f '=，所以答案应填：2． 考点：导数的运算．11.已知O 是ABC ∆外接圆的圆心，若4560OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r，则cosC =__________．【答案】4【解析】设ABC ∆的外接圆的半径为R ，因为4560OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，所以456OA OB OC +=-u u u r u u u r u u u r，则2222162540cos 36R R R AOB R ++∠=，即8cos 1AOB ∠=-，即28(2cos 1)1C -=-，解得cos 4C =. 12.二次函数()f x 满足()()33f x f x -=+，又()f x 是[]03，上的增函数，且()()0f a f ≥，那么实数a 的取值范围是____________一 【答案】[]06，【解析】二次函数()f x 满足()()33f x f x -=+得函数的对称轴为3，又()f x 是[]03，上的增函数，所以函数是开口向下得二次函数，因为()()0f a f ≥，又(0)(6)f f =，所以[0,6]a ∈一故答案为[]0,6.13.已知函数()xf x e =，将函数()f x 的图象向右平移3个单位后，再向上平移2个单位，得到函数()g x 的图象，函数6(1)2,5()42,5xe x x h x e x --+≤⎧=⎨+>⎩，若对任意的[3,]x λ∈一3λ>），都有()()h x g x ≥，则实数λ的最大值为__________． 【答案】9ln 22+ 【解析】由()xf x e =的图象向右平移3个单位后得到3x e -再向上平移2个单位，可得()32x eg x -+=当[]3,x λ∈（3λ>）时，()g x 为增函数， ()()32max g x g e λλ-∴==+函数()()612,542,5xe x x h x ex -⎧-+≤=⎨+>⎩当[]3,5x ∈时，()()12h x e x =-+是增函数，此时53λ≥> ()()322min h x h e ==+则3222e e λ-+≤+ 解得24ln λ≤+53λ≥>Q∴实数λ的最大值为24ln +当()5x ∈-∞，时，()642xh x e -=+是减函数，此时5λ<()2?42h x e ∴<<+则322e λ-+≤ 解得λ∈∅综上可得：实数λ的最大值为24ln +点睛：本题中根据()f x 平移后求解()g x ，从而得到了[]3,x λ∈（3λ>）时，()g x 为增函数，()g λ为最大值，()()612,542,5xe x x h x ex -⎧-+≤=⎨+>⎩，对于任意的[]3,5x ∈和5λ<进行讨论()h x 的最小值，根据()()min max h x g x ≥，即可求得实数λ的最大值．14.已知函数()()sin coscos 262x x f x A x πθ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭（其中A 为常数，(),0θπ∈-），若实数123,,x x x 满足：①123x x x <<；②312x x π-<；③()()()123f x f x f x ==，则θ的值为 . 【答案】23π- 【解析】试题分析：因为()()()13sin coscos sin sin 26223x x f x A x A x x ππθθ⎛⎫⎛⎫=+--=+-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当()1sin sin 023A x x πθ⎛⎫+-+≠ ⎪⎝⎭时，()y f x =的周期为2π，由123x x x <<及()()()123f x f x f x ==得312x x π-≥与312x x π-<矛盾，所以()1sin sin 023A x x πθ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，因为(),0θπ∈-，故23πθ=-考点：三角函数的图像和性质【名师点睛】本题考查三角函数的图像和性质，属中档题.解题的关键在于正确化简已知函数解析式，正确理解已知条件在解题中的作用，对学生思维有较高要求二、计算题15.已知命题[]2:2,4,220p x x x a ∀∈--≤恒成立，命题()2:1q f x x ax =-+在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上是增函数．若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围． 【答案】(][),14,-∞⋃+∞． 【解析】试题分析：根据函数恒成立问题，求出p 为真时的a 的范围，根据二次函数的性质求出q 为真时的a 的范围，从而判断出p 、q 一真一假时的a 的范围即可,最后求两范围的并集即可． 试题解析：若p 为真命题，则4a ≥，若q 为真命题，则1a ≤由题意知p 、q 一真一假，当p 真q 假时，4a ≥；当p 假q 真时，1a ≤， 所以a 的取值范围为(][),14,-∞⋃+∞． 考点：复合命题的真假．16.设事件A 表示“关于x 的一元二次方程220x ax b ++=有实根”，其中a ，b 为实常数.（Ⅰ）若a 为区间[0，5]上的整数值随机数，b 为区间[0，2]上的整数值随机数，求事件A 发生的概率；（Ⅱ）若a 为区间[0，5]上的均匀随机数，b 为区间[0，2]上的均匀随机数，求事件A 发生的概率.【答案】（Ⅰ）23;（Ⅱ）35. 【解析】 试题分析：(1)列出所有可能的事件，结合古典概型公式可得满足题意的概率值为23一 (2)利用题意画出概率空间，结合几何概型公式可得满足题意的概率值为35.试题解析：（Ⅰ）当a ∈{0，1，2，3，4，5}，b ∈{0，1，2}时，共可以产生6×3=18个一元二次方程. 若事件A 发生，则a 2－4b 2≥0，即|a |≥2|b |. 又a ≥0， b ≥0，所以a ≥2b .从而数对（a ，b ）的取值为（0，0），（1，0），（2，0），（2，1），（3，0），（3，1），（4，0），（4，1），（4，2），（5，0），（5，1），（5，2），共12组值.所以P （A ）=122183=. （Ⅱ）据题意，试验的全部结果所构成的区域为D={(a ，b)|0≤a ≤5，0≤b ≤2}，构成事件A 的区域为A={(a ，b)|0≤a ≤5，0≤b ≤2，a ≥2b }. 在平面直角坐标系中画出区域A 、D ，如图，其中区域D 为矩形，其面积S （D ）=5×2=10，区域A 为直角梯形，其面积S （A ）=15262+⨯=. 所以P （A ）=()()63105S A S D ==. 17.已知(cos ,sin )a αα=v，(cos ,sin )b ββ=v ，0βαπ<<<.（1）若a b -=vv a b ⊥v v ；（2）设(0,1)c =v ，若a b c +=v v v ，求,αβ的值.【答案】（1）证明略；（2）56πα=，6πβ=． 【解析】试题分析：（1）把a b -=r r 2222a a b b -⋅+=r r r r ，由于22221a b a b ====r r r r ，所以0a b ⋅=r r .从而证得a b ⊥rr；（2）由a b c +=rrr可得cos cos 0{sin sin 1αβαβ+=+=，由0βαπ<<<得0αβπ<-<，整理得1sin sin 2αβ==，结合范围即可求得,αβ的值. 试题解析：（1）证明：由题意得22a b -=r r ，即()22222a b a a b b -=-⋅+=rr r r r r ，又因22221a b a b ====r r r r所以222a b -⋅=r r ，即0a b ⋅=rr .故a b ⊥rr. （2）因()()cos cos ,sin sin 0,1a b αβαβ+=++=rr ，所以cos cos 0{sin sin 1αβαβ+=+= 由此得cos cos()απβ=-，由0βπ<<得0αβπ<-<，又0απ<<故απβ=-代入1sin sin 2αβ==，而αβ>，所以5,66ππαβ==. 考点：平面向量垂直关系的证明及已知三角函数值求角.18.已知函数()2()33xf x a a a =-+是指数函数． (1)求()f x 的表达式；(2)判断()()()F x f x f x =--的奇偶性，并加以证明 (3)解不等式：log (1)log (2)a a x x ->+．【答案】（1）()2x f x =（2）见证明；（3）1{|2}2x x -<<- 【解析】 【分析】(1)根据指数函数定义得到，2331a a -+=检验得到答案. (2) ()22x x F x -=-，判断(),()F x F x -关系得到答案. (3)利用函数的单调性得到答案.【详解】解：（1）∵函数()2()33xf x a a a =-+是指数函数，0a >且1a ≠， ∴2331a a -+=，可得2a =或1a =（舍去），∴()2x f x =； （2）由（1）得()22xxF x -=-， ∴()22xx F x --=-，∴()()F x F x -=-，∴()F x 是奇函数；（3）不等式：22log (1)log (2)x x ->+，以2为底单调递增， 即120x x ->+>， ∴122x -<<-，解集为1{|2}2x x -<<-． 【点睛】本题考查了函数的定义，函数的奇偶性，解不等式，意在考查学生的计算能力.19.如图，OA 是南北方向的一条公路，OB 是北偏东45︒方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线C ．为方便游客光，拟过曲线C 上的某点分别修建与公路OA ，OB 垂直的两条道路PM ，PN ，且PM ，PN 的造价分别为5万元/百米，40万元/百米，建立如图所示的直角坐标系xOy ，则曲线符合函数9)y x x =+剟模型，设PM x =，修建两条道路PM ，PN 的总造价为()f x 万元，题中所涉及的长度单位均为百米． （1）求()f x 解析式；（2）当x 为多少时，总造价()f x 最低？并求出最低造价．【答案】（1）232()5()(19)f x x x x =+剟；（2）当4x =时，总造价最低，最低造价为30万元． 【解析】 【分析】（1）求出P 的坐标，直线OB 的方程，点P 到直线0x y -=的距离，即可求()f x 解析式； （2）利用导数的方法最低造价．【详解】解：（1）在如图所示的直角坐标系中，因为曲线C的方程为9)y x x =+剟， 所以点P坐标为(,x x ， 直线OB 的方程为0x y -=， 则点P 到直线0x y -=2|(||4x x x -=， 又PM 的造价为5万元/百米，PN 的造价为40万元/百米． 则两条道路总造价为22432()5405()(19)f x x x x x x =+=+g 剟． （2）因为22432()5405()(19)f x x x x x x=+=+g 剟， 所以333645(64)()5(1)x f x x x-'=-=， 令()0f x '=，得4x =，列表如下：所以当4x =时，函数()f x 有最小值，最小值为232(4)5(4)304f =+=． 答：（1）两条道路PM ，PN 总造价()f x 为232()5()(19)f x x x x=+剟； （2）当4x =时，总造价最低，最低造价为30万元．【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的运用，确定函数的解析式是关键．的20.已知0,1a a >≠，函数()()21,ln x f x a g x x x a =-=-+. （1）若1a >，证明：函数()()()h x f x g x =-在区间()0,∞+上是单调增函数；（2）求函数()()()h x f x g x =-在区间[]1,1-上的最大值；（3）若函数()F x 的图像过原点，且()F x 的导数()()F x g x '=，当103a e >时，函数()F x 过点(1,)A m 的切线至少有2条，求实数m 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）当1a >时,最大值为()11ln h a a-=+；当01a <<时,最大值为()11ln h a a-=+（3）43 【解析】【分析】（1）由题()()()21ln x h x f x g x a x x a =-=-+-,利用导函数求单调区间即可； （2）利用导数可以推导得到()h x 在区间[)1,0-上是减函数,在区间(]0,1上是增函数,则当11x -≤≤时,()h x 的最大值为()1h -和()1h 中的最大值,作差可得()()()1111ln ln 2ln h h a a a a a a a ⎛⎫--=--+=-- ⎪⎝⎭,设()12ln ,0G a a a a a =-->,再次利用导数推导()G a 的单调性,进而得到[]1,1-上的最大值；（3）由题可得()3211ln 32F x x x a =-+,设切点为3200011,ln 32B x x x a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,则B 处的切线方程为：()()3220000011ln ln 32y x x a x x a x x ⎛⎫--+=-+- ⎪⎝⎭,将(1,)A m 代入可得32000211ln ln 32m x a x x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭,则将原命题等价为关于0x 的方程至少有2个不同的解,设()32211ln ln 32x x a x x a ϕ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭,进而利用导函数判断()x ϕ的单调性,从而求解即可【详解】（1）证明：()()()21ln x h x f x g x a x x a =-=-+-,则()()1ln 2x h x a a x '=-+, 1,a >∴Q 当0x >时,10,ln 0x a a ->>,∴()0h x '>,即此时函数()h x 在区间()0,∞+上是单调增函数.（2）由（1）知,当1a >时,函数()h x 在区间()0,∞+上是单调增函数,当0x <时,10x a -<,则()1ln 0x a a -<,()0h x '∴<,则()h x 在区间(),0-∞上是单调减函数； 同理,当01a <<时,()h x 在区间()0,∞+上是单调增函数,在区间(),0-∞上是单调减函数；即当0a >,且1a ≠时,()h x 在区间[)1,0-上是减函数,在区间(]0,1上是增函数,则当11x -≤≤时,()h x 的最大值为()1h -和()1h 中的最大值，()()()1111ln ln 2ln h h a a a a a a a ⎛⎫--=--+=-- ⎪⎝⎭Q , ∴令()12ln ,0G a a a a a=-->, 则()22121110G a a a a ⎛⎫'=+-=-≥ ⎪⎝⎭, ∴()12ln G a a a a=--在()0,∞+上为增函数, ()1112ln10G =--=Q ,∴当1a >时,()0G a >,即()()11h h >-,此时最大值为()1ln h a a =-；当01a <<时,()0G a <,即()()11h h ->,此时最大值为()11ln h a a-=+. （3）Q ()()2g ln F x x x x a '==-+, ∴()3211ln 32F x x x a c =-++, Q ()F x 的图像过原点,()00F ∴=,即0c =,则()3211ln 32F x x x a =-+, 设切点为3200011,ln 32B x x x a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,则B 处的切线方程为：()()3220000011ln ln 32y x x a x x a x x ⎛⎫--+=-+- ⎪⎝⎭,将(1,)A m 代入得()()3220000011ln x ln 132m x x a x a x ⎛⎫--+=-+- ⎪⎝⎭, 即32000211ln ln 32m x a x x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭（※）, 则原命题等价为关于0x 的方程（※）至少有2个不同的解,设()32211ln ln 32x x a x x a ϕ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭, 则()()()()222ln ln 12ln x x a x a x x a ϕ'=-++=--,令()0x ϕ'=,12ln 1,2a x x ∴==, 103ln 5,123a a e >∴>>Q , 当(),1x ∈-∞和ln ,2a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭时,()0x ϕ'>,此时函数()x ϕ为增函数； 当ln 1,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0x ϕ'<,此时函数()x ϕ减函数, ∴()x ϕ的极大值为()211111ln ln ln 3223a a a ϕ=--+=-, ()x ϕ的极小值为322321111111ln ln ln 1ln ln ln ln 212422244a a a a a a a ϕ⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 设ln t a =,则103t >,则原命题等价为321111ln ln ln 24423a a m a ≤≤-+-,即32111124423t m t t ≤≤-+-对103t >恒成立, ∴由1123m t ≤-得43m ≤ 设()3211244s t t t =-+,则()2111118224s t t t t t ⎛⎫'=-+=-- ⎪⎝⎭, 令()0s t '=,则10t =,24t =,当10,43t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0s t '>；当()4t ,∈+∞时,()0s t '<, ,即()s t 在10,43⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在()4,+∞上单调递减, ()s t ∴的最大值为()443s =,∴43m ≥, 故43m =, 综上所述,当103a e >时,函数()F x 过点()1,A m 的切线至少有2条,此时实数m 的值为43【点睛】本题考查利用导函数证明函数的单调性,考查利用导函数求最值,考查导数的几何意义的应用,考查运算能力,考查分类讨论思想和转化思想.。
(全优试卷)江苏省启东中学高三上学期第一次月考数学(理)试题Word版含答案
江苏省启东中学2018-2019学年度第一学期月考高三年级数学 （理）一．填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．1= ▲ ．2的值为 ▲ ．3▲条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）．4m 的值是 ▲ ． 5．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝ ▲ ．6．错误！未找到引用源。
,取值范围是 ▲ ．7的值为 ▲ ．8．定义在R的值为 ▲ ． 9，其前n的值为 ▲ ．10．的最小值为▲．11的解集是▲．12的夹角的大小为▲ .13．在斜三角形ABC中，若则sinC的最大值为▲ ．14，若函数4的取值范围为▲．二．解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)R.16. (本小题满分14分)在△ABC B，C的对边分别为a，b，c（1（2）求c的值．17. (本小题满分14分)（1）（2）是否存在非零的实使得数列.18.（本题满分16分）现有一个以OA、OB为半径的扇形池塘，在OA、OB上分别取点C、D，作DE∥OA、CF∥OB交弧AB于点E、F，且BD = AC，现用渔网沿着DE、EO、OF、FC将池塘分成如图所示的三种的养殖区域．若OA=1km（1）求区域Ⅱ的总面积；（2）若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是15万元、20万元、10万元，记年总收入为y万元．19. (本小题满分16分) .（1（2（3.20．(本小题满分16分)）.（1（2（31江苏省启东中学2018-2019学年度第一学期月考 高三年级数学答案答题卷上只有第18题需要附图，其余按模式搞就行了充分不必要 4.1 5.3146.15.16.解：（1）在△ABC…… 2分…… 4分…… 6分（2）由（1…… 10分在△ABC……12分…… 14分17. 解：（1（218. 解：（1DE∥OA，CF∥OB，………………………………2分…………………………………6分（2…………………………………10分…………………………………12分y有最大值． (16)19. 解（13分（2………………………………… 7分（3………………………………9分12分分16分20. 解（1. ……………4分（2……………6分①……………7分②……………9分注：分离变量、数形结合等方法得出正确结论的本小题给2分。
启东市第一中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题
启东市第一中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 如图所示，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．15B ．C ．15D ．15【命题意图】本题考查三视图和几何体体积等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力． 2． 方程（x 2﹣4）2+（y 2﹣4）2=0表示的图形是（ ）A ．两个点B ．四个点C ．两条直线D ．四条直线3． 已知在平面直角坐标系xOy 中，点),0(n A -，),0(n B （0>n ）.命题p ：若存在点P 在圆1)1()3(22=-++y x 上，使得2π=∠APB ，则31≤≤n ；命题：函数x xx f 3log 4)(-=在区间 )4,3(内没有零点.下列命题为真命题的是（ ）A ．)(q p ⌝∧B ．q p ∧C ．q p ∧⌝)(D ．q p ∨⌝)( 4． 已知集合{}|5A x N x =∈<，则下列关系式错误的是（ ）A ．5A ∈B ．1.5A ∉C ．1A -∉D ．0A ∈ 5． 阅读右图所示的程序框图，若8,10m n ==，则输出的S 的值等于（ ） A ．28 B ．36 C ．45 D ．1206． 如图所示，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A ．4 B ．8 C ．12 D ．20【命题意图】本题考查三视图、几何体的体积等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力． 7． 设函数()y f x =对一切实数x 都满足(3)(3)f x f x +=-，且方程()0f x =恰有6个不同的实根，则这6个实根的和为（ ）A.18B.12C.9D.0【命题意图】本题考查抽象函数的对称性与函数和方程等基础知识，意在考查运算求解能力.8． ()()22f x a x a =-+ 在区间[]0,1上恒正，则的取值范围为（ ）A ．0a > B．0a << C ．02a << D ．以上都不对9． 已知22(0)()|log |(0)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则方程[()]2f f x =的根的个数是（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个10．设()f x 是偶函数，且在(0,)+∞上是增函数，又(5)0f =，则使()0f x >的的取值范围是（ ） A ．50x -<<或5x > B ．5x <-或5x > C ．55x -<< D ．5x <-或05x << 11．由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为（ ）A B1C D12．过点P （﹣2，2）作直线l ，使直线l 与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线l 一共有（ ） A ．3条 B ．2条 C ．1条 D ．0条二、填空题13．若函数2(1)1f x x +=-，则(2)f = ．14．已知函数y=f （x ），x ∈I ，若存在x 0∈I ，使得f （x 0）=x 0，则称x 0为函数y=f （x ）的不动点；若存在x 0∈I ，使得f （f （x 0））=x 0，则称x 0为函数y=f （x ）的稳定点．则下列结论中正确的是 ．（填上所有正确结论的序号）①﹣，1是函数g （x ）=2x 2﹣1有两个不动点；②若x 0为函数y=f （x ）的不动点，则x 0必为函数y=f （x ）的稳定点； ③若x 0为函数y=f （x ）的稳定点，则x 0必为函数y=f （x ）的不动点； ④函数g （x ）=2x 2﹣1共有三个稳定点；⑤若函数y=f （x ）在定义域I 上单调递增，则它的不动点与稳定点是完全相同．15．= ．16．下列四个命题申是真命题的是 （填所有真命题的序号） ①“p ∧q 为真”是“p ∨q 为真”的充分不必要条件；②空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等； ③在侧棱长为2，底面边长为3的正三棱锥中，侧棱与底面成30°的角；④动圆P 过定点A （﹣2，0），且在定圆B ：（x ﹣2）2+y 2=36的内部与其相内切，则动圆圆心P 的轨迹为一个椭圆．三、解答题17．（本小题满分12分）椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1（a ＞b ＞0）的右焦点为F ，P 是椭圆上一点，PF ⊥x 轴，A ，B是C 的长轴上的两个顶点，已知|PF |＝1，k P A ·k PB ＝－12.（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的中心O 的直线l 交椭圆于M ，N 两点，求三角形PMN 面积的最大值，并求此时l 的方程．18．等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1+3a 2=1，a 32=9a 2a 6，（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a n ，求数列{}的前n 项和．19．设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 2sin a b A =． （1）求角B 的大小；（2）若33a =，5c =，求．20．如图，在四棱锥 P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，45,1,ADC AD AC O ∠=== 为AC 的中点，PO ⊥平面ABCD ，2,PO M =为 BD 的中点. （1）证明: AD ⊥平面 PAC ；（2）求直线 AM 与平面ABCD 所成角的正切值.21．（本小题满分12分）已知函数()2ln f x ax bx x =+-（,a b ∈R ）．（1）当1,3a b =-=时，求函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；（2）当0a =时，是否存在实数b ，当(]0,e x ∈（e 是自然常数）时，函数()f x 的最小值是3，若存在，求出b 的值；若不存在，说明理由；22．已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，且a 2=2b ．（1）求椭圆的方程；（2）直线l ：x ﹣y+m=0与椭圆交于A ，B 两点，是否存在实数m ，使线段AB 的中点在圆x 2+y 2=5上，若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．启东市第一中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）一、选择题1． 【答案】C【解析】还原几何体，由三视图可知该几何体是四棱锥，且底面为长6，宽2的矩形，高为3，且VE ^平面ABCD ，如图所示，所以此四棱锥表面积为1S =262创?1123+22622创创?15=，故选C ．4646101011326E VD CBA2． 【答案】B【解析】解：方程（x 2﹣4）2+（y 2﹣4）2=0则x 2﹣4=0并且y 2﹣4=0，即，解得：，，，，得到4个点． 故选：B ．【点评】本题考查二元二次方程表示圆的条件，方程的应用，考查计算能力．3． 【答案】A 【解析】试题分析：命题p ：2π=∠APB ,则以AB 为直径的圆必与圆()()11322=-++y x 有公共点,所以121+≤≤-n n ,解得31≤≤n ,因此,命题p 是真命题.命题：函数()xxx f 3log 4-=，()0log 1443<-=f ,()0log 34333>-=f ,且()x f 在[]4,3上是连续不断的曲线,所以函数()x f 在区间()4,3内有零点，因此,命题是假命题.因此只有)(q p ⌝∧为真命题．故选A ．考点：复合命题的真假．【方法点晴】本题考查命题的真假判断,命题的“或”、“且”及“非”的运算性质,同时也考查两圆的位置关系和函数零点存在定理,属于综合题.由于点P 满足2π=∠APB ,因此在以AB 为直径的圆上,又点P 在圆1)1()3(22=-++y x 上，因此P 为两圆的交点,利用圆心距介于两圆半径差与和之间,求出的范围.函数x xx f 3log 4)(-=是单调函数,利用零点存在性定理判断出两端点异号,因此存在零点.4． 【答案】A【解析】试题分析：因为{}|5A x N x =∈< ，而1.5,1,.5,1N N A A ∉-∉∴∉-∉，即B 、C 正确，又因为0N ∈且05<，所以0A ∈，即D 正确，故选A. 1考点：集合与元素的关系. 5． 【答案】C【解析】解析：本题考查程序框图中的循环结构．121123mn n n n n m S C m---+=⋅⋅⋅⋅=，当8,10m n ==时，82101045m n C C C ===，选C ．6． 【答案】C【解析】由三视图可知该几何体是四棱锥，且底面为长6，宽2的矩形，高为3，所以此四棱锥体积为1231231=⨯⨯，故选C. 7． 【答案】A.【解析】(3)(3)()(6)f x f x f x f x +=-⇔=-，∴()f x 的图象关于直线3x =对称， ∴6个实根的和为3618⋅=，故选A. 8． 【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，根据一次函数的单调性可知，函数()()22f x a x a =-+在区间[]0,1上恒正，则(0)0(1)0f f >⎧⎨>⎩，即2020a a a >⎧⎨-+>⎩，解得02a <<，故选C. 考点：函数的单调性的应用. 9． 【答案】C【解析】由[()]2f f x =，设f （A ）=2,则f （x ）=A,则2log 2x =，则A=4或A=14，作出f （x ）的图像，由数型结合，当A=14时3个根，A=4时有两个交点，所以[()]2f f x =的根的个数是5个。
江苏省南通市启东中学2017-2018学年高三上学期第一次月考数学试卷(理科) Word版含解析
2017-2018学年江苏省南通市启东中学高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．已知x2∈{0，1，x}，则实数x的值是．2．命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是．3．已知向量=（1，m），=（3，﹣2）且（+）⊥，则m=．4．函数f（x）=的定义域为．5．将函数y=sin（2x﹣）﹣1的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为．6．已知集合A={x|x＞5}，集合B={x|x＞a}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．7．函数f（x）=x2+ax﹣1，若对于x∈[a，a+1]恒有f（x）＜0，则a的取值范围．8．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且5tanB=，则sinB 的值是．9．设α为锐角，若sin（α+）=，则cos（2α﹣）=．10．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=3，AD=，E为BC中点，若•=3，则•=．11．已知函数f（x）在定义域[2﹣a，3]上是偶函数，在[0，3]上单调递减，并且f（﹣m2﹣）＞f（﹣m2+2m﹣2），则m的取值范围是．12．已知函数f（x）=﹣kx2（k∈R）有两个零点，则k的取值范围．13．若曲线y=alnx与曲线y=x2在它们的公共点P（s，t）处具有公共切线，则=．14．设函数f（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）＜0，则a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知命题：“∃x∈{x|﹣1＜x＜1}，使等式x2﹣x﹣m=0成立”是真命题，（1）求实数m的取值集合M；（2）设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围．16．在△ABC中，三个内角分别为A，B，C，已知sin（A+）=2cosA．（1）求角A的值；（2）若B∈（0，），且cos（A﹣B）=，求sinB．17．已知函数f（x）=，（其中m、n为参数）（1）当m=n=1时，证明：f（x）不是奇函数；（2）如果f（x）是奇函数，求实数m、n的值；（3）已知m＞0，n＞0，在（2）的条件下，求不等式的解集．18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cosC=．（Ⅰ）若，求c的最小值；（Ⅱ）设向量，，且，求sin（B﹣A）的值．19．如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD，其中BMN是半径为1百米的扇形，∠ABC=．管理部门欲在该地从M到D修建一条小路：在弧上选一点P（异于M、N两点），过点P修建与BC平行的小路PQ．问：点P选择在何处时，才能使得修建的小路与PQ及QD的总长最小？并说明理由．20．已知函数f（x）=x2，g（x）=alnx．（1）若曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1处的切线的方程为6x﹣2y﹣5=0，求实数a的值；（2）设h（x）=f（x）+g（x），若对任意两个不等的正数x1，x2，都有＞2恒成立，求实数a的取值范围；（3）若在[1，e]上存在一点x0，使得f′（x0）+＜g（x0）﹣g′（x0）成立，求实数a的取值范围．2016-2017学年江苏省南通市启东中学高三（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．已知x2∈{0，1，x}，则实数x的值是﹣1．【考点】元素与集合关系的判断．【分析】根据集合元素和集合的关系确定x的值，注意元素的互异性的应用．【解答】解：∵x2∈{1，0，x}，∴x2=1，x2=0，x2=x，由x2=1得x=±1，由x2=0，得x=0，由x2=x得x=0或x=1．综上x=±1，或x=0．当x=0时，集合为{1，0，0}不成立．当x=1时，集合为{1，0，1}不成立．当x=﹣1时，集合为{1，0，﹣1}，满足条件．故答案是：﹣1．2．命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是∃x∈R，x2＜0．【考点】命题的否定．【分析】根据一个命题的否定定义解决．【解答】解：由命题的否定义知：要否定结论同时改变量词故答案是∃x∈R，x2＜03．已知向量=（1，m），=（3，﹣2）且（+）⊥，则m=8．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量垂直的等价条件转化为向量数量积为0进行求解即可．【解答】解：∵（+）⊥，∴（+）•=0，即（4，m﹣2）•（3，﹣2）=0．即12﹣2（m﹣2）=0，得m=8，故答案为：8．4．函数f（x）=的定义域为（0，）∪（2，+∞）．【考点】对数函数的定义域．【分析】根据偶次根号下的被开方数大于等于零，分母不为0，对数的真数大于零，列出不等式组，进行求解再用集合或区间的形式表示出来．【解答】解：要使函数有意义，则∵∴log2x＞1或log2x＜﹣1解得：x＞2或x所以不等式的解集为：0＜x或x＞2则函数的定义域是（0，）∪（2，+∞）．故答案为：（0，）∪（2，+∞）．5．将函数y=sin（2x﹣）﹣1的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y=sin（2x+）．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得到答案．【解答】解：函数y=sin（2x﹣）﹣1，向左平移个单位，可得：y=sin[2（x+）﹣]﹣1=sin（2x+）﹣1，再向上平移1个单位，可得：y=sin（2x+）﹣1+1=sin（2x+）．所以所得图象的函数解析式为sin（2x+）．故答案为y=sin（2x+）．6．已知集合A={x|x＞5}，集合B={x|x＞a}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是a＜5．【考点】充分条件；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由判断充要条件的方法，我们可知命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则A⊂B，∵集合A={x|x＞5}，集合B={x|x＞a}，结合集合关系的性质，不难得到a＜5 【解答】解：∵命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件∴A⊂B故a＜5故选A＜57．函数f（x）=x2+ax﹣1，若对于x∈[a，a+1]恒有f（x）＜0，则a的取值范围．【考点】二次函数的性质．【分析】根据二次函数的性质结合函数的图象得到不等式组，解出即可．【解答】解：二次函数f（x）=x2+ax﹣1开口向上，要它在区间[a，a+1]上恒小于零，结合二次函数的图象，只需满足：，即，解得：﹣＜a＜0．故答案为：．8．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且5tanB=，则sinB的值是．【考点】余弦定理；余弦定理的应用．【分析】利用余弦定理可得cosB=，代入已知，化简后即可得结果【解答】解：∵cosB=，∴==∴5sinB=3∴sinB=故答案为9．设α为锐角，若sin（α+）=，则cos（2α﹣）=0．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用整体构造思想，将cos（2α﹣）=cos[（α+）+（α﹣）]利用诱导公式和同角三角函数关系即可求解．【解答】解：∵0，∴，．sin （α+）=∵sin （α+）=故，∴．∴cos （α+）=；又∵，sin （α+）=cos [﹣（α+）]=cos （α）=，∴sin （α）=﹣．cos （2α﹣）=cos [（α+）+（α﹣）]=cos （α+）cos （α）﹣sin （α+）sin （α）=×﹣=0．故答案为：0．10．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ADC=90°，AB=3，AD=，E 为BC 中点，若•=3，则•= ﹣3 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线为x ，y 轴，建立直角坐标系，由向量的数量积的坐标表示即可得到所求值．【解答】解：以A 点为原点，AB 所在的直线为x 轴，AD 为y 轴，建立如图所示的坐标系，∵AB=3，AD=，E 为BC 中点，∴A （0，0），B （3，0），D （0，），设C （x ，），∴=（3，0），=（x ，），∵•=3， ∴3x=3， 解得x=1，∴C （1，）， ∵E 为BC 中点，∴E （，），即为（2，），∴=（2，），=（﹣2，），∴•=2×（﹣2）+×=﹣4+1=﹣3故答案为：﹣3．11．已知函数f （x ）在定义域[2﹣a ，3]上是偶函数，在[0，3]上单调递减，并且f （﹣m 2﹣）＞f （﹣m 2+2m ﹣2），则m 的取值范围是．【考点】奇偶性与单调性的综合． 【分析】根据函数奇偶性的定义先求出a 的值，根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化进行求解即可．【解答】解：因为函数f （x ）在定义域[2﹣a ，3]上是偶函数，所以2﹣a +3=0，所以a=5．所以f （﹣m 2﹣）＞f （﹣m 2+2m ﹣2），即f （﹣m 2﹣1）＞f （﹣m 2+2m ﹣2），所以偶函数f （x ）在[﹣3，0]上单调递增，而﹣m 2﹣1＜0，﹣m 2+2m ﹣2=﹣（m ﹣1）2﹣1＜0，所以由f （﹣m 2﹣1）＞f （﹣m 2+2m ﹣2）得，解得．故答案为．12．已知函数f （x ）=﹣kx 2（k ∈R ）有两个零点，则k 的取值范围 k ＜0或0＜k ＜1 ．【考点】函数零点的判定定理．【分析】若函数f （x ）有2个不同的零点，则﹣kx 2=0 ①有2个不同的实数根．再分（1）当x=0时、（2）x ≠0时2种情况，分别求出方程的根，综合可得方程①有2个不相等的实数根的条件．【解答】解：若函数f （x ）=﹣kx 2（k ∈R ）有两个零点，则﹣kx2=0 ①有两个不同的实数根．（1）当x=0时，不论k取何值，方程①恒成立，即x=0恒为方程①的一个实数解．（2）故只需x≠0，函数f（x）=﹣kx2（k∈R）有1个零点⇔﹣kx2=0 有1个不同的实数根⇔=k|x|有1个异根，⇔函数y=与y=k|x|有1个交点，如图示：，k＞0时，由=﹣kx得：kx2+2kx+1=0，△=4k2﹣4k=0，解得：k=1，结合图象，k＜0或0＜k＜1，故答案为：k＜0或0＜k＜1．13．若曲线y=alnx与曲线y=x2在它们的公共点P（s，t）处具有公共切线，则=．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出两个函数的导数，然后求出公共点的斜率，利用斜率相等且有公共点联立方程组即可求出a的值．【解答】解：曲线y=alnx的导数为：y′=，在P（s，t）处的斜率为：k=．曲线y=x2的导数为：y′=，在P（s，t）处的斜率为：k=．由曲线y=alnx（a≠0）与曲线y=x2在它们的公共点P（s，t）处具有公共切线，可得=，并且t==alns，得lns=，∴s2=e．则a=1，∴t=，s=，即．故答案为：．14．设函数f（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）＜0，则a的取值范围是[，1）．【考点】函数恒成立问题．【分析】设g（x）=e x（2x﹣1），y=ax﹣a，则存在唯一的整数x0，使得g（x0）在直线y=ax ﹣a的下方，由此利用导数性质能求出a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，设g（x）=e x（2x﹣1），y=ax﹣a，∵存在唯一的整数x0，使得f（x0）＜0，∴存在唯一的整数x0，使得g（x0）在直线y=ax﹣a的下方，∵g′（x）=e x（2x+1），∴当x＜﹣时，g′（x）＜0，∴当x=﹣时，[g（x）]min=g（﹣）=﹣2e．当x=0时，g（0）=﹣1，g（1）=e＞0，直线y=ax﹣a恒过（1，0），斜率为a，故﹣a＞g（0）=﹣1，且g（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解得．∴a的取值范围是[，1）．故答案为：[，1）．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知命题：“∃x∈{x|﹣1＜x＜1}，使等式x2﹣x﹣m=0成立”是真命题，（1）求实数m的取值集合M；（2）设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围．【考点】复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法．【分析】（1）利用参数分离法将m用x表示，结合二次函数的性质求出m的取值范围，从而可求集合M；（2）若x∈N是x∈M的必要条件，则M⊆N分类讨论①当a＞2﹣a即a＞1时，N={x|2﹣a＜x＜a}，②当a＜2﹣a即a＜1时，N={x|a＜x＜2﹣a}，③当a=2﹣a即a=1时，N=φ三种情况进行求解【解答】解：（1）由x2﹣x﹣m=0可得m=x2﹣x=∵﹣1＜x＜1∴M={m|}（2）若x∈N是x∈M的必要条件，则M⊆N①当a＞2﹣a即a＞1时，N={x|2﹣a＜x＜a}，则即②当a＜2﹣a即a＜1时，N={x|a＜x＜2﹣a}，则即③当a=2﹣a即a=1时，N=φ，此时不满足条件综上可得16．在△ABC中，三个内角分别为A，B，C，已知sin（A+）=2cosA．（1）求角A的值；（2）若B∈（0，），且cos（A﹣B）=，求sinB．【考点】正弦定理；三角函数的化简求值．【分析】（1）由已知利用特殊角的三角函数值及两角和的正弦函数公式化简可得sinA= cosA，结合A∈（0，π），可求tanA=，进而可求A的值．（2）由已知及（1）可求A﹣B=﹣B∈（0，），利用同角三角函数基本关系式可求sin（A﹣B）的值，利用B=A﹣（A﹣B），根据两角差的正弦函数公式即可计算得解．【解答】（本题满分为10分）解：（1）因为sin（A+）=2cosA，得sinA+cosA=2cosA，即sinA=cosA ， 因为A ∈（0，π），且cosA ≠0，所以tanA=， 所以A=．…（2）因为B ∈（0，π），cos （A ﹣B ）=， 所以A ﹣B=﹣B ∈（0，），因为sin 2（A ﹣B ）﹣cos 2（A ﹣B ）=1， 所以sin （A ﹣B ）=，…所以sinB=sin [A ﹣（A ﹣B ）]=sinAcos （A ﹣B ）﹣cosAsin （A ﹣B ）=．…17．已知函数f （x ）=，（其中m 、n 为参数）（1）当m=n=1时，证明：f （x ）不是奇函数； （2）如果f （x ）是奇函数，求实数m 、n 的值；（3）已知m ＞0，n ＞0，在（2）的条件下，求不等式的解集．【考点】函数奇偶性的性质；其他不等式的解法． 【分析】（1）当m=n=1时，根据函数奇偶性的定义进行判断即可；（2）如果f （x ）是奇函数，根据奇函数的性质建立了方程关系即可求实数m 、n 的值； （3）根据函数的奇偶性将不等式进行转化即可得到结论．【解答】解：（1），∴，，∵f （﹣1）≠﹣f （1），∴f （x ）不是奇函数； … （2）∵f （x ）是奇函数时∴f （﹣x ）=﹣f （x ），即对定义域内任意实数x 成立．化简整理得关于x 的恒等式（2m ﹣n ）•22x +（2mn ﹣4）•2x +（2m ﹣n ）=0，∴即或． …10分（注：少一解扣2分）（3）由题意得m=1，n=2，∴，易判断f（x）在R上递减，∵，∴，∴，∴2x＜3，∴x＜log23，即f（x）＞0的解集为（﹣∞，log23）…18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cosC=．（Ⅰ）若，求c的最小值；（Ⅱ）设向量，，且，求sin（B﹣A）的值．【考点】平面向量数量积的运算；余弦定理．【分析】（Ⅰ）根据数量积的应用，结合余弦定理即可求c的最小值；（Ⅱ）根据向量平行的坐标公式，利用三角函数的三角公式即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴abcosC=ab×=，∴ab=15．∴，∴c，即c的最小值为；（Ⅱ）∵，∴，即，∴，即tan2B=﹣，∴2B=或，即B=或．∵cosC=，∴C，sinC=．∴B=或（舍去）．∴=．19．如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD，其中BMN是半径为1百米的扇形，∠ABC=．管理部门欲在该地从M到D修建一条小路：在弧上选一点P（异于M、N两点），过点P修建与BC平行的小路PQ．问：点P选择在何处时，才能使得修建的小路与PQ及QD的总长最小？并说明理由．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】连接BP，过P作PP1⊥BC垂足为P1，过Q作QQ1⊥BC垂足为Q1，设∠PBP1=θ，∠NBP=﹣θ，则总路径长f（θ）=﹣θ+4﹣cosθ﹣sinθ，（0＜θ＜），求导，可得函数的最小值点．【解答】解：连接BP，过P作PP1⊥BC垂足为P1，过Q作QQ1⊥BC垂足为Q1，设∠PBP1=θ，∠NBP=﹣θ…若，在Rt△PBP1中，PP1=sinθ，BP1=cosθ，若，则PP1=sinθ，BP1=cosθ，若＜θ＜，则PP1=sinθ，BP1=cos（π﹣θ）=﹣cosθ，∴…在Rt△QBQ1中，QQ1=PP1=sinθ，CQ1=sinθ，CQ=sinθ，…所以总路径长f（θ）=﹣θ+4﹣cosθ﹣sinθ，（0＜θ＜），……令f'（θ）=0，当时，f'（θ）＜0当时，f'（θ）＞0 …所以当时，总路径最短．答：当BP⊥BC时，总路径最短．…20．已知函数f（x）=x2，g（x）=alnx．（1）若曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1处的切线的方程为6x﹣2y﹣5=0，求实数a的值；（2）设h（x）=f（x）+g（x），若对任意两个不等的正数x1，x2，都有＞2恒成立，求实数a的取值范围；（3）若在[1，e]上存在一点x0，使得f′（x0）+＜g（x0）﹣g′（x0）成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出函数y的导数，可得切线的斜率，由切线方程可得a的方程，解得a即可；（2）由题意可得即为＞0，令m（x）=h（x）﹣2x，可得m（x）在（0，+∞）递增，求出导数，令导数大于等于0，分离参数a，由二次函数的最值，即可得到a的范围；（3）原不等式等价于x0+＜alnx0﹣，整理得x0﹣alnx0+＜0，设m（x）=x﹣alnx+，求得它的导数m'（x），然后分a≤0、0＜a≤e﹣1和a＞e﹣1三种情况加以讨论，分别解关于a的不等式得到a的取值，最后综上所述可得实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．【解答】解：（1）y=f（x）﹣g（x）=x2﹣alnx的导数为x﹣，曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1处的切线斜率为k=1﹣a，由切线的方程为6x﹣2y﹣5=0，可得1﹣a=3，解得a=﹣2；（2）h（x）=f（x）+g（x）=x2+alnx，对任意两个不等的正数x1，x2，都有＞2恒成立，即为＞0，令m（x）=h（x）﹣2x，可得m（x）在（0，+∞）递增，由m′（x）=h′（x）﹣2=x+﹣2≥0恒成立，可得a≥x（2﹣x）的最大值，由x（2﹣x）=﹣（x﹣1）2+1可得最大值1，则a≥1，即a的取值范围是[1，+∞）；（3）不等式f′（x0）+＜g（x0）﹣g′（x0）等价于x0+＜alnx0﹣，整理得x0﹣alnx0+＜0，设m（x）=x﹣alnx+，则由题意可知只需在[1，e]上存在一点x0，使得m（x0）＜0．对m（x）求导数，得m′（x）=1﹣﹣==，因为x＞0，所以x+1＞0，令x﹣1﹣a=0，得x=1+a．①若1+a≤1，即a≤0时，令m（1）=2+a＜0，解得a＜﹣2．②若1＜1+a≤e，即0＜a≤e﹣1时，m（x）在1+a处取得最小值，令m（1+a）=1+a﹣aln（1+a）+1＜0，即1+a+1＜aln（1+a），可得＜ln（a+1）考察式子＜lnt，因为1＜t≤e，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不能成立③当1+a＞e，即a＞e﹣1时，m（x）在[1，e]上单调递减，只需m（e）＜0，得a＞，又因为e﹣1﹣=＜0，则a＞．综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．2016年12月24日。
江苏省启东中学2017-2018学年高一上学期期初考试数学试题 (word版含答案)
江苏省启东中学2017－2018学年度第一学期期初考试高一数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．不等式 327x x ++-<的解为 ．2．分解因式：222(231)22331x x x x -+-+-＝ ．3．函数f (x )＝x ＋1＋12－x的定义域是 ；4．化简：（式中字母都是正数）2369)(a ·2639)(a ＝__________．5．已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象过点(2,1)，则f (x )的值域为________．6．不等式1611x x <--的解为 ．7．若关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0的一个根大于1、另一个根小于1，则实数a 的取值范围为 ．8. 已知集合M ⊆{2，3，5}，且M 中至少有一个奇数，则这样的集合共有________个．9. 若集合A ＝{x|－2≤x ≤5}，B ＝{x|m ＋1≤x ≤2m －1}，且B ⊆ A ，则m 的取值范围为 ．10. 已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ax －1x －a <0，且2∈A ，3∉ A ，则实数a 的取值范围是________．11．已知f （x ＋1x ）＝x 3＋1x 3，则f （x ） ；12．已知函数f (x )＝x 3＋x ，对任意的m ∈[－2，2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围为____________．13．已知函数x y a =(0,1)a a >≠在区间[1,1]-上的最大值与最小值的差是1，则实数a 的值为 ．14. 函数f(x)的定义域为D ，若满足① f(x)在D 内是单调函数，② 存在[a ，b] D ，使f(x)在[a ，b]上的值域为[a ，b]，那么y ＝f(x)叫做闭函数，现有f(x)＝x ＋2＋k 是闭函数，那么k 的取值范围是________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本题满分14分）已知1x 、2x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．（1）是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．（2）求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．16.（本题满分14分）已知集合A ＝{x |x 2－1＝0}，B ＝{x |x 2－2ax ＋b ＝0}，若A ∪B ＝A ，求实数a ，b 满足的条件．17.（本题满分15分）(1)求函数f (x )＝2x ＋4 1－x 的值域； (2)求函数f (x )＝5x ＋4x －2的值域． (3)函数f (x )＝x 2－2x －3,x ∈(－1,4]的值域．18.（本题满分15分）某工厂生产一种机器的固定成本为5 000元，且每生产100台需要增加投入2 500元，对销售市场进行调查后得知，市场对此产品的需求量为每年500台，已知销售收入函数为：H(x)＝500x －12x 2，其中x 是产品售出的数量，且0≤x ≤500. (1) 若x 为年产量，y 为利润，求y ＝f(x)的解析式；(2) 当年产量为何值时，工厂的年利润最大，其最大值是多少？19.（本题满分16分） 函数2()1ax b f x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数,且12()25f =． （1）确定函数()f x 的解析式；（2）用定义证明()f x 在()1,1-上是增函数；（3）解不等式(1)()0f t f t -+<．20.（本题满分16分）已知函数f(x)＝⎝⎛⎭⎫1a x －1＋12x 3(a>0且a ≠1)． (1) 求函数f(x)的定义域；(2) 讨论函数f(x)的奇偶性；(3) 求a 的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒成立．2017年江苏省启东中学高一年级开学考试数学答案1. 答案：43x -<<2. 答案： (23)(3)(23)x x x x --+3. {x |x ≥－1且x ≠2}4. a 2．5. [1,9]6. 315x x -<<>或7. 2a <-8. 69. {m|m ≤3}10. ⎣⎡⎭⎫13，12∪(2，3] 11. f （x ）＝x 3－3x 错误！未找到引用源。
启东市高中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题
启东市高中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 已知直线 a 平面α，直线b ⊆平面α，则（ ）A ．a bB ．与异面C ．与相交D ．与无公共点 2． “互联网+”时代，倡导读书称为一种生活方式，调查机构为了解某小区老、中、青三个年龄阶 段的阅读情况，拟采用分层抽样的方法从该小区三个年龄阶段的人群中抽取一个容量为50的样本进行调 查，已知该小区有老年人600人，中年人600人，青年人800人，则应从青年人抽取的人数为（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．403． 已知集合{}{2|5,x |y ,A y y x B A B ==-+===（ ）A ．[)1,+∞B ．[]1,3C ．(]3,5D ．[]3,5【命题意图】本题考查二次函数的图象和函数定义域等基础知识，意在考查基本运算能力．4． 设i 是虚数单位，是复数z 的共轭复数，若z=2（+i ），则z=（ ）A ．﹣1﹣iB ．1+iC ．﹣1+iD ．1﹣i5． 已知全集U={0，1，2，3，4}，集合M={2，3，4}，N={0，1，4}，则集合{0，1}可以表示为（ ） A ．M ∪NB ．（∁U M ）∩NC ．M ∩（∁U N ）D ．（∁U M ）∩（∁U N ）6． 已知全集{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}2,4,6A =，{}1,3,5,7B =，则()U AB =ð（ ）A ．{}2,4,6B ．{}1,3,5C ．{}2,4,5D ．{}2,5 7． 若等边三角形ABC 的边长为2，N 为AB 的中点，且AB 上一点M 满足CM xCA yCB =+， 则当14x y+取最小值时，CM CN ⋅=（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 8． 若函数1,0,()(2),0,x x f x f x x +≥⎧=⎨+<⎩则(3)f -的值为（ ）A ．5B ．1-C ．7-D ．2 9． 12,e e 是平面内不共线的两向量，已知12AB e ke =-，123CD e e =-，若,,A B D 三点共线，则的值是（ ）A ．1B ．2C ．-1D ．-210．已知变量,x y 满足约束条件20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则y x 的取值范围是（ ）A ．9[,6]5B ．9(,][6,)5-∞+∞ C ．(,3][6,)-∞+∞ D ．[3,6] 11．设复数1i z =-（i 是虚数单位），则复数22z z+=（ ） A.1i - B.1i + C. 2i + D. 2i -【命题意图】本题考查复数的有关概念，复数的四则运算等基础知识，意在考查学生的基本运算能力．12．若y x ,满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-+≥+-0033033y y x y x ，则当31++x y 取最大值时，y x +的值为（ ）A ．1-B ．C ．3-D ．3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．若函数()f x 的定义域为[]1,2-，则函数(32)f x -的定义域是 ． 14．已知两个单位向量,a b 满足：12a b ∙=-，向量2a b -与的夹角为，则cos θ= . 15．已知过球面上 ,,A B C 三点的截面和球心的距离是球半径的一半，且2AB BC CA ===，则球表面积是_________.16．已知一个算法，其流程图如图，则输出结果是 ．三、解答题（本大共6小题，共70分。
启东市一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题
启东市一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 487被7除的余数为a （0≤a ＜7），则展开式中x ﹣3的系数为（）A ．4320B ．﹣4320C ．20D ．﹣202． 已知函数，若存在常数使得方程有两个不等的实根211,[0,22()13,[,1]2x x f x x x ⎧+∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩()f x t =12,x x （），那么的取值范围为（ ）12x x <12()x f x ∙A ． B ． C ． D ．3[,1)41[831[,)1623[,3)83． 函数的定义域为（）A ．B ．C ．D ．（，1）4． 若为等差数列，为其前项和，若，，，则成立的最大自{}n a n S 10a >0d <48S S =0n S >然数为（）A ．11B ．12C ．13D ．145． 设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，公比q=2，S k+2﹣S k =48，则k 等于（）A ．7B ．6C ．5D ．46． 设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“α⊥β”是“a ⊥b ”的（）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7． S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若3a 8－2a 7＝4，则下列结论正确的是（ ）A ．S 18＝72B ．S 19＝76C ．S 20＝80D ．S 21＝848． 如图所示，阴影部分表示的集合是（）A ．（∁UB ）∩A B ．（∁U A ）∩BC ．∁U （A ∩B ）D ．∁U （A ∪B ）9． 如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C 、B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B的坐标为（，﹣），∠AOC=α，若|BC|=1，则cos 2﹣sincos﹣的值为（）A ．B ．C ．﹣D ．﹣10．若关于的不等式的解集为或，则的取值为（ ）2043x ax x +>++31x -<<-2x >A ． B ． C ．D ．1212-2-11．已知变量满足约束条件，则的取值范围是（ ）,x y 20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩y x A ． B ． C ． D ．9[,6]59(,][6,)5-∞+∞ (,3][6,)-∞+∞ [3,6]12．已知函数，函数，其中b ∈R ，若函数y=f （x ）﹣g （x ）恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．某种产品的加工需要 A ，B ，C ，D ，E 五道工艺，其中 A 必须在D 的前面完成（不一定相邻），其它工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间，B 与C 必须相邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有 种．（用数字作答）14．已知两个单位向量满足：，向量与的夹角为，则.,a b12a b ∙=- 2a b - cos θ=15．若非零向量，满足|+|=|﹣|，则与所成角的大小为 ．16．已知函数322()7f x x ax bx a a =++--在1x =处取得极小值10，则ba的值为 ▲ ．17．如图，P 是直线x ＋y －5＝0上的动点，过P 作圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0的两切线、切点分别为A 、B ，当四边形PACB 的周长最小时，△ABC 的面积为________．三、解答题18．（本小题满分10分）已知圆过点，.P )0,1(A )0,4(B （1）若圆还过点，求圆的方程； P )2,6(-C P （2）若圆心的纵坐标为，求圆的方程.P P 19．（本小题满分10分）已知函数.()|||2|f x x a x =++-（1）当时，求不等式的解集；3a =-()3f x ≥（2）若的解集包含，求的取值范围.()|4|f x x ≤-[1,2]20．设A （x 0，y 0）（x 0，y 0≠0）是椭圆T ： +y 2=1（m ＞0）上一点，它关于y 轴、原点、x 轴的对称点依次为B ，C ，D ．E 是椭圆T 上不同于A 的另外一点，且AE ⊥AC ，如图所示．（Ⅰ）若点A横坐标为，且BD∥AE，求m的值；（Ⅱ）求证：直线BD与CE的交点Q总在椭圆+y2=（）2上．21．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b2+c2=a2+bc．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）如果cosB=，b=2，求a的值．22．某中学为了普及法律知识，举行了一次法律知识竞赛活动．下面的茎叶图记录了男生、女生各10名学生在该次竞赛活动中的成绩（单位：分）．已知男、女生成绩的平均值相同．（1）求的值；（2）从成绩高于86分的学生中任意抽取3名学生，求恰有2名学生是女生的概率．23．已知数列的前项和公式为.{}n a 2230n S n n =-（1）求数列的通项公式；{}n a n a （2）求的最小值及对应的值.n S 24．中国高铁的某个通讯器材中配置有9个相同的元件，各自独立工作，每个元件正常工作的概率为p （0＜p ＜1），若通讯器械中有超过一半的元件正常工作，则通讯器械正常工作，通讯器械正常工作的概率为通讯器械的有效率（Ⅰ）设通讯器械上正常工作的元件个数为X ，求X 的数学期望，并求该通讯器械正常工作的概率P ′（列代数式表示）（Ⅱ）现为改善通讯器械的性能，拟增加2个元件，试分析这样操作能否提高通讯器械的有效率． 启东市一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）一、选择题1． 【答案】B解析：解：487=（49﹣1）7=﹣+…+﹣1，∵487被7除的余数为a （0≤a ＜7），∴a=6，∴展开式的通项为T r+1=，令6﹣3r=﹣3，可得r=3，∴展开式中x ﹣3的系数为=﹣4320，故选：B ．.2． 【答案】C 【解析】试题分析：由图可知存在常数，使得方程有两上不等的实根，则，由，可得()f x t =314t <<1324x +=，由，可得，即，则14x =213x =x =12111,422x x ≤<≤≤221143x ≤≤.故本题答案选C.()212123133,162x f x x x ⎡⎫=⋅∈⎪⎢⎣⎭考点：数形结合．【规律点睛】本题主要考查函数的图象与性质,及数形结合的数学思想方法.方程解的个数问题一般转化为两个常见的函数图象的交点个数问题来解决.要能熟练掌握几种基本函数图象,如二次函数,反比例函数,指数函数,对数函数,幂函数等.掌握平移变换,伸缩变换,对称变换,翻折变换,周期变换等常用的方法技巧来快速处理图象.3． 【答案】C【解析】解：要使原函数有意义，则log 2（4x ﹣1）＞0，即4x ﹣1＞1，得x ．∴函数的定义域为．故选：C ．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题． 4． 【答案】A 【解析】考点：得出数列的性质及前项和．【方法点晴】本题主要考查了等差出数列的性质及前项和问题的应用，其中解答中涉及到等差数列的性质，等差数列的前项和等公式的灵活应用的知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档题，本题的解答中，由“，”判断前项和的符号问题是解答的关键．10a >0d <5． 【答案】D【解析】解：由题意，S k+2﹣S k =，即3×2k =48，2k =16，∴k=4．故选：D ．【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n 项和，是基础题． 6． 【答案】B【解析】解：∵b ⊥m ，∴当α⊥β，则由面面垂直的性质可得a ⊥b 成立，若a ⊥b ，则α⊥β不一定成立，故“α⊥β”是“a ⊥b ”的充分不必要条件，故选：B ．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用线面垂直的性质是解决本题的关键． 7． 【答案】【解析】选B.∵3a 8－2a 7＝4，∴3（a 1＋7d ）－2（a 1＋6d ）＝4，即a 1＋9d ＝4，S 18＝18a 1＋＝18（a 1＋d ）不恒为常数．18×17d 2172S 19＝19a 1＋＝19（a 1＋9d ）＝76，19×18d 2同理S 20，S 21均不恒为常数，故选B.8． 【答案】A【解析】解：由图象可知，阴影部分的元素由属于集合A ，但不属于集合B 的元素构成，∴对应的集合表示为A ∩∁U B ．故选：A ． 9． 【答案】 A【解析】解：∵|BC|=1，点B 的坐标为（，﹣），故|OB|=1，∴△BOC 为等边三角形，∴∠BOC=，又∠AOC=α，∴∠AOB=﹣α，∴cos （﹣α）=，﹣sin （﹣α）=﹣，∴sin （﹣α）=．∴cos α=cos[﹣（﹣α）]=coscos （﹣α）+sinsin （﹣α）=+=，∴sin α=sin[﹣（﹣α）]=sincos （﹣α）﹣cossin （﹣α）=﹣=．∴cos 2﹣sin cos﹣=（2cos 2﹣1）﹣sin α=cos α﹣sin α=﹣=，故选：A ．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，三角恒等变换，属于中档题． 10．【答案】D 【解析】试题分析：由题意得，根据不等式与方程的关系可知，不等式解集的端点就是对应的方程的根，可得方程，解得，其对应的根分别为，所以，故选2043x ax x +=++3,1,x x x a =-=-=-3,1,2x x x =-=-=2a =-D.考点：不等式与方程的关系.11．【答案】A 【解析】试题分析：作出可行域，如图内部（含边界），表示点与原点连线的斜率，易得，ABC ∆y x (,)x y 59(,)22A ，，，所以．故选A ．(1,6)B 992552OAk ==661OB k ==965y x ≤≤考点：简单的线性规划的非线性应用．12．【答案】 D【解析】解：∵g （x ）=﹣f （2﹣x ），∴y=f （x ）﹣g （x ）=f （x ）﹣+f （2﹣x ），由f （x ）﹣+f （2﹣x ）=0，得f （x ）+f （2﹣x ）=，设h （x ）=f （x ）+f （2﹣x ），若x ≤0，则﹣x ≥0，2﹣x ≥2，则h （x ）=f （x ）+f （2﹣x ）=2+x+x 2，若0≤x ≤2，则﹣2≤﹣x ≤0，0≤2﹣x ≤2，则h （x ）=f （x ）+f （2﹣x ）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．作出函数h（x）的图象如图：当x≤0时，h（x）=2+x+x2=（x+）2+≥，当x＞2时，h（x）=x2﹣5x+8=（x﹣）2+≥，故当=时，h（x）=，有两个交点，当=2时，h（x）=，有无数个交点，由图象知要使函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，即h（x）=恰有4个根，则满足＜＜2，解得：b∈（，4），故选：D．【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键． 二、填空题13．【答案】 24 【解析】解：由题意，B与C必须相邻，利用捆绑法，可得=48种方法，因为A必须在D的前面完成，所以完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有48÷2=24种，故答案为：24．【点评】本题考查计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础．14．【答案】．【解析】考点：向量的夹角．【名师点睛】平面向量数量积的类型及求法（1）求平面向量的数量积有三种方法：一是定义；二是坐标运算公式cos a b a b θ⋅=；三是利用数量积的几何意义．1212a b x x y y ⋅=+（2）求较复杂的平面向量的数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相减公式进行化简15．【答案】 90° ．【解析】解：∵∴=∴∴α与β所成角的大小为90°故答案为90°【点评】本题用向量模的平方等于向量的平方来去掉绝对值． 16．【答案】12-考点：函数极值【方法点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略（1）知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号.（2）已知函数求极值.求f ′（x ）―→求方程f ′（x ）＝0的根―→列表检验f ′（x ）在f ′（x ）＝0的根的附近两侧的符号―→下结论.（3）已知极值求参数.若函数f （x ）在点（x 0，y 0）处取得极值，则f ′（x 0）＝0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反.17．【答案】【解析】解析：圆x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0的标准方程为（x －1）2＋（y ＋2）2＝9.圆心C （1，－2），半径为3，连接PC ，∴四边形PACB 的周长为2（PA ＋AC ）＝2＋2AC ＝2＋6.PC 2－AC 2PC 2－9当PC 最小时，四边形PACB 的周长最小．此时PC ⊥l .∴直线PC 的斜率为1，即x －y －3＝0，由，解得点P 的坐标为（4，1），{x ＋y －5＝0x －y －3＝0)由于圆C 的圆心为（1，－2），半径为3，所以两切线PA ，PB 分别与x 轴平行和y 轴平行，即∠ACB ＝90°，∴S △ABC ＝AC ·BC ＝×3×3＝.121292即△ABC 的面积为.92答案：92三、解答题18．【答案】（1）；（2）.047522=++-+y x y x 425)2()25(22=-+-y x 【解析】试题分析：（1）当题设给出圆上三点时，求圆的方程，此时设圆的一般方程，将022=++++F Ey Dx y x三点代入，求解圆的方程；（2）AB 的垂直平分线过圆心，所以圆心的横坐标为，圆心与圆上任一点连线25段为半径，根据圆心与半径求圆的标准方程.试题解析：（1）设圆的方程是，则由已知得P 022=++++F Ey Dx y x ，解得．⎪⎩⎪⎨⎧=+-+-+=++++=++++026)2(6004040001222222F E D F D F D ⎪⎩⎪⎨⎧==-=475F E D 故圆的方程为.P 047522=++-+y x y x （2）由圆的对称性可知，圆心的横坐标为，故圆心，P 25241=+)2,25(P 故圆的半径，P 25)20()251(||22=-+-==AP r 故圆的标准方程为.P 425)2(25(22=-+-y x 考点：圆的方程19．【答案】（1）或；（2）.{|1x x ≤8}x ≥[3,0]-【解析】试题解析：（1）当时，，当时，由得，解得；3a =-25,2()1,2325,3x x f x x x x -+≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩2x ≤()3f x ≥253x -+≥1x ≤当时，，无解；当时，由得，解得，∴的解集为23x <<()3f x ≥3x ≥()3f x ≥253x -≥8x ≥()3f x ≥或.{|1x x ≤8}x ≥（2），当时，，()|4||4||2|||f x x x x x a ≤-⇔---≥+[1,2]x ∈|||4|422x a x x x +≤-=-+-=∴，有条件得且，即，故满足条件的的取值范围为.22a x a --≤≤-21a --≤22a -≥30a -≤≤[3,0]-考点：1、绝对值不等式的解法；2、不等式恒成立问题.20．【答案】【解析】（Ⅰ）解：∵BD ∥AE ，AE ⊥AC ，∴BD⊥AC，可知A（），故，m=2；（Ⅱ）证明：由对称性可知B（﹣x0，y0），C（﹣x0，﹣y0），D（x0，﹣y0），四边形ABCD为矩形，设E（x1，y1），由于A，E均在椭圆T上，则，由②﹣①得：（x1+x0）（x1﹣x0）+（m+1）（y1+y0）（y1﹣y0）=0，显然x1≠x0，从而=，∵AE⊥AC，∴k AE•k AC=﹣1，∴，解得，代入椭圆方程，知．【点评】本题主要考查圆锥曲线的定义的应用，关键是利用椭圆的对称性寻求点的坐标间的关系，体现了整体运算思想方法，是中档题．21．【答案】【解析】解：（Ⅰ）∵b2+c2=a2+bc，即b2+c2﹣a2=bc，∴cosA==，又∵A∈（0，π），∴A=；（Ⅱ）∵cosB=，B∈（0，π），∴sinB==，由正弦定理=，得a===3．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键． 22．【答案】（１） ；（２） ．7a =310P =【解析】试题分析： （１）由平均值相等很容易求得的值；（２）成绩高于分的学生共五人，写出基本事件共8610个，可得恰有两名为女生的基本事件的个数，则其比值为所求．其中恰有2名学生是女生的结果是，，共3种情况．(96,93,87)(96,91,87)(96,90,87)所以从成绩高于86分的学生中抽取了3名学生恰有2名是女生的概率．1310P =考点：平均数；古典概型．【易错点睛】古典概型的两种破题方法：（1）树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求．另外在确定基本事件时，可以看成是有序的，如与不同；有),(y x ()1,2()2,1时也可以看成是无序的，如相同．（2）含有“至多”、“至少”等类型的概率问题，从正面突破比)1,2)(2,1(较困难或者比较繁琐时，考虑其反面，即对立事件，应用求解较好．)(1)(A P A P -=23．【答案】（1）；（2）当或时，最小，且最小值为.432n a n =-7n =n S 78112S S =-【解析】试题分析：（1）根据数列的项和数列的和之间的关系，即可求解数列的通项公式；（2）由n a n S {}n a n a （1）中的通项公式，可得，，当时，，即可得出结论．11270a a a <<<< 80a =9n ≥0n a >试题解析：（1）∵，2230n S n n =-∴当时，.1n =1128a S ==-当时，.2n ≥221(230)[2(1)30(1)]432n n n a S S n n n n n -=-=-----=-∴，.432n a n =-n N +∈（2）∵，432n a n =-∴，，1270a a a <<< 80a =当时，.9n ≥0n a >∴当或8时，最小，且最小值为.7n =n S 78112S S =-考点：等差数列的通项公式及其应用．24．【答案】【解析】解：（Ⅰ）由题意可知：X ～B （9，p ），故EX=9p ．在通讯器械配置的9个元件中，恰有5个元件正常工作的概率为：．在通讯器械配置的9个元件中，恰有6个元件正常工作的概率为：．在通讯器械配置的9个元件中，恰有7个元件正常工作的概率为：．在通讯器械配置的9个元件中，恰有8个元件正常工作的概率为：．在通讯器械配置的9个元件中，恰有9个元件正常工作的概率为：．通讯器械正常工作的概率P ′=；（Ⅱ）当电路板上有11个元件时，考虑前9个元件，为使通讯器械正常工作，前9个元件中至少有4个元件正常工作．①若前9个元素有4个正常工作，则它的概率为：．此时后两个元件都必须正常工作，它的概率为： p 2；②若前9个元素有5个正常工作，则它的概率为：．此时后两个元件至少有一个正常工作，它的概率为：；③若前9个元素至少有6个正常工作，则它的概率为：；此时通讯器械正常工作，故它的概率为：P ″=p 2++，可得P ″﹣P ′=p 2+﹣，==．故当p=时，P ″=P ′，即增加2个元件，不改变通讯器械的有效率；当0＜p时，P ″＜P ′，即增加2个元件，通讯器械的有效率降低；当p时，P″＞P′，即增加2个元件，通讯器械的有效率提高．【点评】本题考查二项分布，考查了相互独立事件及其概率，关键是对题意的理解，属概率统计部分难度较大的题目．。
江苏省南通市启东中学2018届高三(上)期初数学试卷(含解析)
4．已知函数 f（x）=
的定义域是一切实数，则 m 的取值范围是
二.计算题 15．已知命题 p：∀x∈[2，4]，x22x2a≤0 恒成立，命题 q：f（x）=x2ax+1 在
区间 值范围．
上是增函数．若 p∨q 为真命题，p∧q 为假命题，求实数 a 的取
16．设事件 A 表示“关于 x 的一元二次方程 x2+ax+b2=0 有实根”，其中 a，b 为实
（1）求 f（x）的表达式；
（2）判断 F（x）=f（x）f（x）的奇偶性，并加以证明
（3）解不等式：loga（1x）＞loga（x+2） 19．如图，OA 是南北方向的一条公路，OB 是北偏东 45°方向的一条公路，某风
景区的一段边界为曲线 C．为方便游客光，拟过曲线 C 上的某点分别修建与公
率为 ． 【考点】CB：古典概型及其概率计算公式． 【分析】根据题意，用列举法求出从 1，2，3，4，5 这 5 个数字中任取 2 个数 字的情况数目，分析其中 2 个数字之和为偶数的情况数目，由古典概型公式计 算可得答案． 【解答】解：从 1，2，3，4，5 这 5 个数字中任取 2 个数字，有 1、2，1、3，1、4，1、5，2、3，2、4，2、5，3、4，3、5，4、5；共 10 种 情况． 其中 2 个数字之和为偶数即取出的两个数均为奇数或偶数的情况有： 1、3，1、5，3、5，2、4，共 4 种情况；
常数．
（Ⅰ）若 a 为区间[0，5]上的整数值随机数，b 为区间[0，2]上的整数值随机
数，求事件 A 发生的概率；
（Ⅱ）若 a 为区间[0，5]上的均匀随机数，b 为区间[0，2]上的均匀随机数，
求事件 A 发生的概率．
17．已知向量
江苏省启东市2018届高三数学上学期第一次月考(10月)试题 理
江苏省启东2017-2018学年度第一学期第一次月考高三数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}13A x x =-<<，{}2B x x =<，则 ▲ ． 2．命题“1x ∀>，x 2≥3”的否定是 ▲ ．3．设幂函数()f x kx =α的图象经过点()4,2，则k +=α ▲ ．4．计算121lg lg 251004-⎛⎫-÷= ⎪⎝⎭▲ ．5．已知F 为双曲线C ：2224(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为▲ .6.已知,x y 满足约束条件0,2,0,x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩若z ax y =+的最大值为4，则a 的值为 ▲ .7．公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2514,,a a a 成等比数列，253S a =，则10a = ▲ ．8．将1个半径为1的小铁球与1个底面周长为2π，高为4的铁制圆柱重新锻造成一个大铁球，则该大铁球的表面积为 ▲ ． 9．若正实数,x y 满足2210x xy +-=，则2x y +的最小值为 ▲ ．10. 设α为锐角，若53)6πcos(=+α，则sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为 ▲.11. 如图所示的梯形ABCD 中，,2,234,//CD AD AB CD AB ====，，如果 AD AB BM AC ⋅-=⋅则,3= ▲ .12. 已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π6)－cos ωx (ω＞0)．若函数f (x )的图象关于直线x ＝2π对称，且在区间[－π4，π4]上是单调函数，则ω的取值集合为 ▲ .13. 已知函数f (x )是以4为周期的函数，且当－1＜x ≤3时，f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，－1＜x ≤1，1－|x －2|，1＜x ≤3．若函数y ＝f (x )－m |x|恰有10个不同零点，则实数m 的取值范围为 ▲ . 14.已知函数f (x )＝－x ln x ＋ax 在(0，e)上是增函数，函数g (x )＝|e x－a |＋a 22，当x ∈[0，ln3]时，函数g (x )的最大值M 与最小值m 的差为32，则a 的值为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分14分）设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,,若)2cos(sin B A -=π,2,3==c a（1）求⋅的值；（2）求)23tan(B C-+π的值为.16.（本小题满分14分）如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中， 已知平面⊥C C AA 11平面,ABCD且3===CA BC AB ,1==CD AD . （1）求证：;1AA BD ⊥（2）若E 为棱BC 的中点，求证：//AE 平面11D DCC .17.（本小题满分14分）1AECDBA1D1B1C 第16题x 轴不重合的直线l 交椭圆于A,B 两点（1）若ΔABF 2为正三角形，求椭圆的标准方程；18.（本小题满分16分）如图所示，某公路AB 一侧有一块空地△OAB ，其中OA ＝3 km ，OB ＝3 3 km ，∠AOB ＝90°．当地政府拟在中间开挖一个人工湖△OMN ，其中M ，N 都在边AB 上（M ，N 不与A ，B 重合，M 在A ，N 之间），且∠MON ＝30°．（1）若M 在距离A 点2 km 处，求点M ，N 之间的距离；（2）为节省投入资金，人工湖△OMN 的面积要尽可能小．试确定M 的位置，使△OMN 的面积最小，并求出最小面积．19.（本小题满分16分）设1a >,函数()2(1)x fx x e a =+-.（1）证明()x f 在(上仅有一个零点；（2）若曲线()x f y =在点P 处的切线与x 轴平行,且在点),(n m M 处的切线与直线OP平行,(O 是坐标原点),证明:1m ≤-20.（本小题满分16分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足111()N n n n S a λ*++=∈，λ为常数． （1）是否存在数列{}n a ，使得0λ=？若存在，写出一个满足要求的数列；若不存在，说明理由．（2）当1λ=时，求证：1111n n a a ++≥． （3）当12λ=时，求证：当3n ≥时，803n a <≤．江苏省启东中学2017-2018学年度第一学期第一次月考高三数学试题（附加题）21.（本小题满分10分，矩阵与变换）设矩阵12M x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，2411N ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦，若02513MN ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求矩阵M 的逆矩阵1M -．22.（本小题满分10分，坐标系与参数方程选讲）在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cos()13πρθ+=. 以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C 的参数方程为cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）. 若直线l 与圆C 相切，求r 的值.23. （本题满分10分）从4,3,2,1,0这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记Y 为所组成的三位数各位数字之和.（1）求Y 是奇数的概率；（2）求Y 的概率分布和数学期望.24．（本题满分10分）如图，在三棱锥A BCD -中，已知,ABD BCD ∆∆都是边长为2的等边三角形，E 为BD 中点，且AE ⊥平面BCD ，F 为线段AB 上一动点，记BFBAλ=． （1）当13λ=时，求异面直线DF 与BC 所成角的余弦值； （2）当CF 与平面ACD所成角的正弦值为10时，求λ的值.答案（理科）1.(),3-∞ 2.1x ∃>，23x < 3.324.20-5. 26. 27．198．9．50231 11.23 12.{13，56，43}． 13.(16，8－215) 14.5215. .解:1）在ABC ∆中,B B A sin )2cos(sin =-=π,由正弦定理BbA a sin sin =,得b a =B A b a ===∴,3 由余弦定理AC AB ⋅=223322cos 222222=-+=-+=⨯⨯a b c A b c -------7分2）π=+=++C B C B A 2 C B Ctan )23tan(=-+∴π 972cos 222=-+=ab c b a C 924cos 1sin 2=-=∴C C -------10分 ==∴C C C cos sin tan 724 -------14分 16.证明：⑴在四边形ABCD 中，因为BA BC =，DA DC =，所以BD AC ⊥，又平面11AA C C ⊥平面ABCD ，且平面11AA C C 平面ABCD AC =， BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面11AA C C ， 又因为1AA ⊂平面11AA C C ，所以1BD AA ⊥． ⑵在三角形ABC 中，因为AB AC =，且E 为BC 中点，所以BC AE ⊥，又因为在四边形ABCD 中，AB BC CA ===，1DA DC ==，所以60ACB ∠=︒，30ACD ∠=︒，所以BC DC ⊥，所以AE DC ，因为DC ⊂平面11D DCC ，AE ⊄平面11D DCC ，所以AE 平面11D DCC ．17.解：（Ⅰ）因为2ABF ∆为正三角形，所以22AF BF =∴AB x ⊥轴2122,2b AB F F a==12AB F F =，所以2=220a -=解得a =b =故椭圆的标准方程为22132x y +=………………6分（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y，因为0e <<1c =，所以a > ① 当直线AB 与x 轴垂直时，可证tan ∠AOB>1AOB ∴∠为钝角.………………………8分②当直线AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程为：(1)y k x =+，代入22221x y a b+=，整理得：2222222222()20b a k x k a x a k a b +++-=，22122222a k x x b a k -+=+，222212222a k a b x x b a k -=+1212OA OB x x y y ⋅=+212121212(1)(1)x x y y x x k x x +=+++ 2221212(1)()x x k k x x k =++++22222242222222()(1)2()a k ab k a k k b a k b a k -+-++=+ 2222222222()k a b a b a b b a k +--=+24222222(31)k a a a b b a k -+--=+………………12分令42()31m a a a =-+-，可证()0m a <， AOB ∴∠恒为钝角.………………14分18.解：（1）在△OAB 中，因为OA ＝3，OB ＝33，∠AOB ＝90°，所以∠OAB ＝60°．在△OAM 中，由余弦定理得OM 2＝AO 2＋AM 2－2AO ·AM ·cos A ＝7，所以OM ＝7，所以cos ∠AOM ＝OA 2＋OM 2－AM 22OA ·OM ＝277，在△OAN 中，sin ∠ONA ＝sin(∠A ＋∠AON )＝ sin(∠AOM ＋90°)＝cos ∠AOM ＝277．在△OMN 中，由MN sin30°＝OM sin ∠ONA ，得MN ＝7277×12＝74．（2）解法1：设AM ＝x ，0＜x ＜3．在△OAM 中，由余弦定理得OM 2＝AO 2＋AM 2－2AO ·AM ·cos A ＝x 2－3x ＋9，所以OM ＝x 2－3x ＋9，所以cos ∠AOM ＝OA 2＋OM 2－AM 22OA ·OM ＝6－x 2x 2－3x ＋9， 在△OAN 中，sin ∠ONA ＝sin(∠A ＋∠AON )＝ sin(∠AOM ＋90°)＝cos ∠AOM ＝6－x2x 2－3x ＋9．由ON sin ∠OAB ＝OAsin ∠ONA，得ON ＝36－x2x 2－3x ＋9·32＝33x 2－3x ＋96－x． 所以S △OMN ＝12OM ·ON ·sin ∠MON ＝12·x 2－3x ＋9·33x 2－3x ＋96－x ·12＝33(x 2－3x ＋9)4(6－x )，0＜x ＜3．令6－x ＝t ，则x ＝6－t ，3＜t ＜6，则S △OMN ＝33(t 2－9t ＋27)4t ＝334(t －9＋27t )≥334·(2t ·27t－9)＝27(2－3)4． 当且仅当t ＝27t ，即t ＝33，x ＝6－33时等号成立，S △OMN 的最小值为27(2－3)4．所以M 的位置为距离A 点6－3 3 km 处，可使△OMN 的面积最小，最小面积是 27(2－3) 4km 2． 解法2：设∠AOM ＝θ，0＜θ＜π3在△OAM 中，由OM sin ∠OAB ＝OAsin ∠OMA，得OM ＝332sin(θ＋π3)． 在△OAN 中，由ON sin ∠OAB ＝OA sin ∠ONA ，得ON ＝332sin(θ＋π2)＝332cos θ．所以S △OMN ＝12OM ·ON ·sin ∠MON ＝12·332sin(θ＋π3)·332cos θ·12＝2716sin(θ＋π3)cos θ＝278sin θcos θ＋83cos 2θ＝274sin2θ＋43cos2θ＋43 ＝274sin2θ＋43cos2θ＋43＝278sin(2θ＋π3)＋43，0＜θ＜π3．当2θ＋π3＝π2，即θ＝π12时，S △OMN 的最小值为27(2－3) 4．所以应设计∠AOM ＝π12，可使△OMN 的面积最小，最小面积是27(2－3) 4 km 2．19.解：（1）f'（x ）=e x（x 2+2x+1）=e x（x+1）2∴f ′（x ）≥0，-------2分 ∴f （x ）=（1+x 2）e x ﹣a 在（﹣∞，+∞）上为增函数． ∵a ＞1．∴1﹣a ＜0又f （0）=1﹣a ，∴f （0）＜0．())1(111-=-=---a a ea a aea f1011>∴>--a ea ()01>-∴a f，()()010<-⋅a ff()1,00-∈∃∴a x 使得()00=x f∴f （x ）在（﹣∞，+∞）上有且只有一个零点--------------------7分 （2）证明：f'（x ）=e x（x+1）2，设点P （x 0，y 0）则）f'（x ）=e x0（x 0+1）2，∵y=f （x ）在点P 处的切线与x 轴平行，∴f'（x 0）=0，即：e x0（x 0+1）2=0， ∴x 0=﹣1-------------9分将x 0=﹣1代入y=f （x ）得y 0=．∴，∴------11分令；g （m ）=e m﹣（m+1）g （m ）=e m﹣（m+1）， 则g'（m ）=e m﹣1，由g'（m ）=0得m=0．当m ∈（0，+∞）时，g'（m ）＞0当m ∈（﹣∞，0）时，g'（m ）＜0 ∴g （m ）的最小值为g （0）=0 ------------13分 ∴g （m ）=e m﹣（m+1）≥0∴e m≥m+1∴e m（m+1）2≥（m+1）3即：∴m ≤--------------------------------16分20.解：（1）若0λ=，则1110n n S a ++=，即1n n S a +=-，即10n S +=， 则230(2)n S S S n n ====∈≥N,，所以不存在数列{}n a 使得0λ=．（2）由1111n n S a ++=得111n n n a S a ++=-，当2n ≥时，11n n n a S a -=-，两式相减得1111n n n n n a a a a a ++=---， 即21111n n n n a a a a ++=--，12111n n n n a a a a ++--=，211111n n na a a +-=-，2111111n n n a a a ++=+>， 当1n =时，12111S a +=，即12111a a +=，综上，1111n n a a ++≥．（3）证1：由1111()2n n n N S a *++=∈得1122n n n a S a ++=-， 当2n ≥时，122nn n a S a -=-，两式相减得112222n n n n n a a a a a ++=---， 解得212224n n n n a a a a +=-+，所以当3n ≥时，21211224n n n n a a a a ---=-+，因为2211124(1)30n n n a a a ----+=-+>， 又由1111()2n n n N S a *++=∈可见210n a ->，所以0n a >； 另一方面，2211211288(4)03243n n n n n a a a a a ----≤⇔≤⇔-≥-+，故803n a <≤．证2：由1111()2n n n N S a *++=∈得1122n n n a S a ++=-，122n n n S a S +=-， 所以当3n ≥时，1121211121121111122()22()222222422n n n n n n n n n n n n n n n n a a S S a a a a a S S a a a a a ---------------++-====-+--++--，下同证1.附加题答案21.解：因为02513MN ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以25,413.x y x y -=⎧⎨-=⎩ 所以4,3x y ==；……………5分矩阵1243M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵132554155M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦. ……………10分 22.解由题意得直线的直角坐标方程20x --=， ………4分圆C 直角坐标方程222x y r +=. ………8分则1r ==. ……………10分23.解：连接CE ，以,,EB EC EA 分别为,,x y z 轴，建立如图空间直角坐标系，则(()(),1,0,0,,(1,0,0)A B C D -， 因为F 为线段AB 上一动点，且BF BAλ=，则(=()BF BA λλλ=-=-，所以(1)F λ-. （1）当13λ=时，2(,0,33F，53(,0,),(1,3DF CB ==-，所以5cos ,56DF CB <>==； (4)分 （2）(1,)CF λ=-，设平面ACD 的一个法向量为n =(),,x y z由n DA⊥,n DC ⊥得()(()(),,0,,0x y z x y z⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，化简得00x x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，取n )1,1=-- 设CF 与平面ACD 所成角为θ，则sin |cos ,|CF n θ=<>=. 解得12λ=或2λ=（舍去），所以12λ=. …………10分24.解：记“Y 是奇数”为事件A .能组成的三位数的个数为48，Y 是奇数的个数为28. 所以()1274828==A P . 答：Y 是奇数的概率为127. （2）Y 的可能取值为9,8,7,6,5,4,3.当3=Y 时，组成的三位数只能是2,1,0三个数字组成，所以()1214843===Y P ， 同理可得： ()1214==Y P ，()615==Y P ，()2456==Y P ， ()2457==Y P ，()818==Y P ，()819==Y P .所以的分布列为：的数学期望：()4258198182457245661512141213=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=Y E .。
启东中学2017-2018学年高一数学上学期第一次月考(10月)试题(无答案)
江苏省启东中学2017—2018学年第一学期第一次月考高一数学试卷一、填空题：本大题共14小题,每小题5分，共70分，把答案填写在答题卷相应位置上1．集合{0,1,2}A =}的真子集．．．的个数是 ． 2．已知集合{}1,3m M ，=,{}m N ,1=,若M N ⊆，则m ＝ ．3．不等式4223≥--x x 的解集为 ． 4．不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切实数x 均成立，则a 的取值范围是 ．5．函数y =___________．6．函数1112--=x y 值域为 ．7．函数)(x f 在R 上为奇函数，且当0x ≥时，()1f x a +，则(4)f -= ．8．对任意实数x ,|1||3|x x a --+<恒成立，则a 的取值范围是 ． 9．已知函数)1(+x f 定义域是]3,2[-，则)12(-=x f y 的定义域为 ．10．若P=｛1，2，3,4,5｝，Q=｛0,2，3｝,定义A －B={x ｜x ∈A 且x∈B ｝,A ※B={x ｜x ∈（A －B ）∪（B －A ）｝，则Q ※P=11．已知函数2(1)()1(1)x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩，若存在12,x x R ∈，且12x x ≠，使得12()()f x f x =成 立，则实数a 的取值范围是___________.12．若定义在R 上的函数对任意的R x x ∈21,,都有1)()()(2121-+=+x f x f x x f 成立，且当0>x 时，,1)(>x f 若,5)4(=f 则不等式3)23(<-m f 的解集为 ．13．已知函数2()41f x xx =-+，若()f x 在区间[],21a a +上的最大值为1,则a 的取值范围 为 ．14．已知()f x 是定义在R 上的函数，且(1)9f =，对任意x R ∈，两不等式(4)()4f x f x +≥+与(1)()1f x f x +≤+都成立，若()2[()]g x f x x =-，则(2017)g = ．二、解答题：本大题共6小题,共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（本题14分）已知集合A=｛x |0232=+-x x｝，B={0)5()1(2|22=-+++a x a x x ｝；（1）若A B={2｝，求实数a 的值；（2）若A B=A ，求实数a 的取值范围．16。
江苏省启东市高三数学上学期期初考试试题(无答案)
2017－2018学年度第一学期期初考试高三数学试卷一．填空题1.已知集合A={x|x 2﹣2x ﹣3<0，x ∈Z}，集合B={x|x ＞0}，则集合A ∩B=2.从1,2,3,4,5共五个数字中,任取两个数字,取出数字之和为偶数的概率是_______3.函数x x y -=ln 的单调递增区间为_____________.4.已知函数的定义域是一切实数，则的取值范围是________．5.若f (x )＝2x＋2－x·lg a 是奇函数，则实数a ＝________． 6.若33)6cos(=-θπ，则)6(sin )65cos(2πθθπ--+= ． 7.若直线与函数的图像相切，则实数的值为__________．8.已知f （x ）=xx x x x--++++22sin 2211的最大值和最小值分别是M 和m ，则M+m= ． 9.设实数，则“”是“”成立的_________条件．（请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中之一填空） 10.设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(e x)＝x ＋e x，则f ′(1)＝________. 11.已知是外接圆的圆心，若，则__________．12.二次函数满足，又是上的增函数，且，那么实数的取值范围是____________．13.已知函数，将函数的图象向右平移3个单位后，再向上平移2个单位，得到函数的图象，函数若对于任意的（），都有，则实数的最大值为__________．14.已知函数)26cos(2cos )sin()(x xx A x f --+=πθ (其中A 为常数, )0,(πθ-∈), 若实数321,,x x x 满足: .).1(321x x x <<π2)2(13<-x x .)()()().3(321x f x f x f ==,则θ的值 .二.计算题15.已知命题恒成立，命题在区间上是增函数．若为真命题，为假命题，求实数的取值范围．16.设事件A 表示“关于的一元二次方程022=++b ax x 有实根”，其中a ,b 为实常数. （Ⅰ）若a 为区间[0，5]上的整数值随机数，b 为区间[0，2]上的整数值随机数，求事件A 发生的概率；（Ⅱ）若a 为区间[0，5]上的均匀随机数，b 为区间[0，2]上的均匀随机数，求事件A 发生的概率.17.已知向量.0),sin ,(cos ),sin ,(cos πβαββαα<<<==(1)2-,求证: ⊥=(2)设)1,0(α,的值=，若=+，求β18.已知函数f（x）=（a2﹣3a+3）a x是指数函数，（1）求f（x）的表达式；（2）判断F（x）=f（x）﹣f（﹣x）的奇偶性，并加以证明（3）解不等式：log a（1﹣x）＞log a（x+2）19.OA 是南北方向的一条公路，OB 是北偏东045方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线C ，为方便游客观光，拟过曲线C 上某点P 分别修建与公路）OA ，OB 垂直的两条道路PM ，PN ，且PM ，PN 的造价分别为5万元/百米，40万元/百米，建立如图所示的直角坐标系，则曲线C 符合函数)91(,242≤≤+=x x x y 模型，设PM=X ，修建两条道路PM ，PN 的总造价为)(x f 万元，题中所涉及长度单位均为百米. (1)求)(x f 的解析式;(2)当X 为多少时,总造价为)(x f 最低?并求出最低造价.20.已知1,0≠>a a ,函数a x x x g a x f xln )(,1)(2+-=-=(1)若1>a ,证明:函数)()()(x g x f x h -=在区间),0(+∞上是单调增函数. (2)求函数)()()(x g x f x h -=在区间[]1,1-上最大值.(3)若函数F(X)的图象过原点,且)()(/x g x F =,当310e a >时,函数F(X)过点A （1，M ）的切线至少有2条，求实数M 的值.。
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江苏省启东 2017-2018学年度第一学期第一次月考高三数学试卷（理科）注意事项：1．本试卷共 4 页，包括填空题（第 1 题～第 14 题）、解答题（第 15 题～第 20 题）两部分．本 试卷满分 160 分，考试时间 120 分钟．2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷的指定位置．3．答题时，必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在试卷的指定位置，在其它位置作答一律无效．4．如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、填空题：本大题共 14小题，每小题 5分，共 70分．不需要写出解答过程，请把答案直接 填在答题卡相应位置上． 1．已知集合 Ax 1 x 3， Bx x 2，则▲ ．2．命题“x 1，x 2≥3”的否定是▲．3．设幂函数 fx kx的图象经过点4, 2，则k▲ ．114．计算 lglg 25 10024▲．5．已知 F 为双曲线 C ： 2x 2 my 24m (m 0) 的一个焦点，则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为▲.x y 0,6.已知 x , y 满足约束条件 x y 2, 若 zax y 的最大值为 4，则 a 的值为▲.y 0,7．公差不为0 的等差数列{a }的前n 项和为nS ，若 a a a 成等比数列，22, 5, 14 S a ，则n53a▲ ．108．将 1个半径为1的小铁球与 1个底面周长为 2π，高为4的铁制圆柱重新锻造成一个大铁球， 则该大铁球的表面积为 ▲ ．9．若正实数 x , y 满足 x 22xy1 0 ，则 2x y 的最小值为▲ ．π3 )10. 设 为锐角，若 cos( ，则sin 2的值为 ▲ .6512 111. 如图所示的梯形 ABCD 中， AB // CD , AB 4，AD 3，CD 2, AM2MD ,如果 AC BM3, 则AB AD = ▲ .π12. 已知函数 f (x )＝sin(ωx ＋ )－cos ωx (ω＞0)．若函数 f (x )的图象关于直线 x ＝2π 对6称，且在区间 π π[－ ， ]上是单调函数，则 ω 的取值集合为 ▲ .4 41－x 2，－1＜x ≤ 1，13. 已知函数 f (x )是以 4为周期的函数，且当－1＜x ≤3时，f (x )＝{1－|x －2|，1＜x ≤ 3．)若函数 y ＝f (x )－m |x|恰有 10个不同零点，则实数 m 的取值范围为 ▲ .a 2 14.已知函数 f (x )＝－x ln x ＋ax 在(0，e)上是增函数，函数 g (x )＝|e x －a |＋ ，当 x ∈[0，ln3]23时，函数 g (x )的最大值 M 与最小值 m 的差为 ，则 a 的值为▲.2二、解答题：本大题共 6小题，共计 90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要 的文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分 14分）设ABC 的内角 A ,B ,C 所对的边分别为 a ,b , c ,若sin A cos( B ) ,23C（1）求 AB AC 的值；（2）求 tan(B ) 的值为.2a3,c2D116.（本小题满分 14分）如图，在四棱柱 A BCD A 中，1B C D 1 1 1A1B1C 1已知平面 AA 1C C平面 ABCD ,1且 AB BC CA3 ,AD CD 1.D（1）求证： BD AA 1 ;ACE（2）若 E 为棱 BC 的中点，求证： AE // 平面DCC.1D1第 16 题B217.（本小题满分14分）x y22221(a b0)(-1，0)，F2(1,0)，过F1作与x已知椭圆的左、右焦点分别为Fa b轴不重合的直线l交椭圆于A,B两点（1）若ΔABF2为正三角形，求椭圆的标准方程；51（2）若椭圆的离心率满足0e,O为坐标原点，求证：AOB为钝角.218.（本小题满分16分）如图所示，某公路AB一侧有一块空地△OAB，其中OA＝3 km，OB＝3 3 km，∠AOB＝90°．当地政府拟在中间开挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上（M，N不与A，B重合，M在A，N之间），且∠MON＝30°．（1）若M在距离A点2 km处，求点M，N之间的距离；（2）为节省投入资金，人工湖△OMN的面积要尽可能小．试确定M的位置，使△OMN的面积最小，并求出最小面积．19.（本小题满分16分）3设a 1,函数.f x (1x)e x a2（1）证明f x 在0,a 1上仅有一个零点；（2）若曲线y f x在点P处的切线与x轴平行,且在点M(m,n)处的切线与直线OP平2行,(O是坐标原点),证明: 3m ae120.（本小题满分16分）设数列{a}的前n项和为n S，且满足n11，为常数．(n N)S an n1（1）是否存在数列{a}，使得0？若存在，写出一个满足要求的数列；若不存在，说明理n由．（2）当1时，求证：111．a an n1（3）当1时，求证：当n 3时，028 a．n3江苏省启东中学2017-2018学年度第一学期第一次月考高三数学试题（附加题）21.（本小题满分10分，矩阵与变换）122402设矩阵，，若，求矩阵M的逆矩阵．MMNNM1x y1151322.（本小题满分10分，坐标系与参数方程选讲）在极坐标系中，直线l的极坐标方程为cos()1. 以极点O为原点，极轴为x轴的3x r cos正半轴建立平面直角坐标系，圆C的参数方程为（为参数）. 若直线与圆l Cy rsin4相切，求 r 的值.23. （本题满分 10分）从 0,1,2,3,4 这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记Y 为所 组成的三位数各位数字之和.（1）求Y 是奇数的概率；（2）求Y 的概率分布和数学期望.24．（本题满分 10分）如图，在三棱锥 A BCD 中，已知 ABD ,BCD 都是边长为 2 的等边三角形， E 为 BD 中点，且 AE平面 BCD ， F 为线段 AB 上一动点，记 BF．BA1（1）当时，求异面直线与所成角的余弦值；DF BC315（2）当CF 与平面 ACD 所成角的正弦值为 时，求的值.10AFDECB5答案（理科）31., 32.x 1， x 23 3. 4. 5. 2 6. 220231 2 7．198．83 2π 9． 3 10． 11.50321 5 4 15 12.{ ，， }． 13.( ，8－2 15)14.3 6 362sin15. .解:1）在 ABC 中,A cos(B ) sin B,2ab,得 ab a b 3,A B 由正弦定理sin A sin BbA cba233222222由余弦定理 AB AC =c cos2-------7分2 22）A B C 2B CC B ) tan Ctan(32cos Ca2b22abc 27 9 4 2 sin C1cos 2 C-------10分9tan Cs in C cos C4 27-------14分16.证明：⑴在四边形 ABCD 中，因为 BA BC ， DA DC ，所以 BD AC ，又平面 A AC C平面 ABCD ，且平面1 1AA C C平面 ABCDAC ，1 1BD 平面 ABCD ，所以 BD 平面 A A C C ，1 1又因为 A A平面1AA C C ，所以 1 1BD AA ．1⑵在三角形 ABC 中，因为 AB AC ，且 E 为 BC 中点，所以 AE BC ， 又因为在四边形 ABCD 中， AB BC CA 3 ， DA DC 1，所以 ACB 60 ， ACD 30，所以 DC BC ，所以 AE A DC ，因为 DC平面 D CC， AE平面1D 1DCC，所以 AE A 平面1D1DCC ．1D 1ABF为正三角形，所以17.解：（Ⅰ）因为2AFBF222b2AB x轴AB ,F F 2且有12a32AB F F，所以123b2 a化为3a22a 30解得a 3b 226故椭圆的标准方程为x y (6)分22132（Ⅱ）设A(x,y),B(x,y)，因为1122，c 1，所以15e a5122①当直线AB与x轴垂直时，可证tan∠AOB>1为钝角.………………………8分AOB②当直线AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程为：y k(x 1)，代入x y22221，a b 整理得：(b a k)x 2k a x a k ab 02222222222，222a kx x12222，b a ka k ab2222x x12222b a kOA OB x x y y1212x x y y x x k2xx121212(11)(21)222x1x2(1k)k(x1x2)k(a k a b )(1k)2a k k(ba k)22222242222b a k222k(a b a b)a b2222222b a k222k (a 3a 1)a b24222b a k222 (12)分m aa a ，可证m(a)0，()3142令恒为钝角.………………14分AOB18.解：（1）在△OAB中，因为OA＝3，OB＝3 3，∠AOB＝90°，所以∠OAB＝60°．在△OAM中，由余弦定理得OM2＝AO2＋AM2－2AO·AM·cos A＝7，OA2＋OM2－AM2 2所以OM＝7，所以cos∠AOM＝＝，2OA·OM72在△OAN中，sin∠ONA＝sin(∠A＋∠AON)＝sin(∠AOM＋90°)＝cos∠AOM＝．7MN OM 1 7在△OMN中，由＝，得MN＝×＝．sin30°sin∠ONA 2 4（2）解法1：设AM＝x，0＜x＜3．在△OAM中，由余弦定理得OM2＝AO2＋AM2－2AO·AM·cos A＝x2－3x＋9，OA2＋OM2－AM2 6－x所以OM＝x2－3x＋9，所以cos∠AOM＝＝，2OA·OM 2在△OAN中，sin∠ONA＝sin(∠A＋∠AON)＝sin(∠AOM＋90°)76－x＝cos∠AOM＝．2ON OA 3 3由＝，得ON＝·＝．sin∠OAB sin∠ONA 2 6－x1 1 3 1所以S△OMN＝OM·ON·sin∠MON＝···x2－3x＋92 2 6－x 23(x2－3x＋9)＝，0＜x＜3．4(6－x)3(t2－9t＋27) 3 27 令6－x＝t，则x＝6－t，3＜t＜6，则S△OMN＝＝(t－9＋)4t 4 t3 27(2－)≥·(2t·－9)＝．4 427 27(2－) 当且仅当t＝，即t＝3 ，x＝6－3 时等号成立，S△OMN的最小值为．3 3t 4 所以M的位置为距离A点6－3 3 km处，可使△OMN的面积最小，最小面积是27(2－)km2．4解法2：设∠AOM＝θ，0＜θ＜3OM OA 3在△OAM中，由＝，得OM＝．sin∠OAB sin∠OMA2sin(θ＋)ON OA 3 3在△OAN中，由＝，得ON＝＝．sin∠OAB sin∠ONA2sin(θ＋) 2cosθ1 1 3 3 1所以S△OMN＝OM·ON·sin∠MON＝···2 2 2sin(θ＋) 2cosθ 227 27 27＝＝＝16sin(θ＋)cosθ8sinθcosθ＋8cos2θ4sin2θ＋4cos2θ＋42727＝＝，0＜θ＜．4sin2θ＋4cos2θ＋4 8sin(2θ＋)＋4 327(2－) 当2θ＋＝，即θ＝时，S△OMN的最小值为．3 2 12 427(2－) 所以应设计∠AOM＝，可使△OMN的面积最小，最小面积是km2．12 419.解：（1）f'（x）=e x（x2+2x+1）=e x（x+1）2∴f′（x）≥0，-------2分∴f（x）=（1+x2）e x﹣a在（﹣∞，+∞）上为增函数．∵a＞1．∴1﹣a＜0又f（0）=1﹣a，∴f（0）＜0．f1(1)a ae a1a a ea11 (1)f a10，f0f a10a10e a11x0a使得0f x00,1∴f（x）在（﹣∞，+∞）上有且只有一个零点--------------------7分8（2）证明：f'（x）=e x（x+1）2，设点P（x0，y0）则）f'（x）=e x0（x0+1）2，∵y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，∴f'（x0）=0，即：e x0（x0+1）2=0，∴x0=﹣1-------------9分将x0=﹣1代入y=f（x）得y0= ．∴，∴------11分令；g（m）=e m﹣（m+1）g（m）=e m﹣（m+1），则g'（m）=e m﹣1，由g'（m）=0得m=0．当m∈（0，+∞）时，g'（m）＞0当m∈（﹣∞，0）时，g'（m）＜0∴g（m）的最小值为g（0）=0 ------------13分∴g（m）=e m﹣（m+1）≥0∴e m≥m+1∴e m（m+1）2≥（m+1）3即：∴m≤--------------------------------16分20.解：（1）若0，则110，即Sa ，即S 10，S a ，即S 10，n n1nS an n1S2S3S n 0(n n 2)，所以不存在数列{}a 使得0．则n（2）由11a1S得1nnS a 11an n1n，当n 2时，aSnn11ana a，两式相减得1，a n nn111a an n即a a2n1na11a1a a11，111，111111，n n n n 1，a a2a a a2n1n n1n na a a2n n1n当n 1时，111，即S a12111，综上，a a12111．a an n1（3）证1：由1112a(n N)得1S nnS a2a2n n n11，当n 2时，Sn12ana2n2a，两式相减得n1ana2n12ana2n，92a2解得ann12a2a4nn，所以当 n 3时，an2a2n1a2a42n 1n 1，因为 a 212a14(a11)2 3 0 ，nnn又由1 1 1 (nN ) 可见 2 1a，所以 0a；nnSa2 nn182a8 2另一方面， a(a4)n12，故nn13a2a4 32n 1n18 a ．n3证 2：由 11 1 2a(n N )得 S1nnSa2a2nn1n1a，n 12S n S 2n，所以当 n 3时，an2a2() na 12S 2(S a )a 22a n12121 11n nnnnS 2 S a 2 a 2 a2a42a2n 1n 1n2n 1 n 1 n 1a2n 1n 1，下同证 1.附加题答案0 22x y 5,21.解：因为，所以MN5134x y13.所以x4,y3；……………5分321255矩阵的逆矩阵. ……………10分M1M43415522.解由题意得直线的直角坐标方程x3y20，………4分圆C直角坐标方程x2y2r2. ………8分2则. ……………10分r11323.解：连接CE，以EB,EC,EA分别为x,y,z轴，建立如图空间直角坐标系，则A0,0,3,B1,0,0,C0,3,0,D(1,0,0)，BFB A因为F为线段AB上一动点，且，10则 BF BA =1, 0, 3(,0, 3)，所以 F (1 ,0, 3) .（1）当时，，，1 (2 ,0, 3)5 3F DF( ,0, ),CB (1, 3, 0) 3 333 355 283所以；…………4分cos DF ,CB5653( )( )1(3)222233（2）CF(1 , 3, 3) ，设平面 ACD 的一个法向量为 n =x , y ,zx , y , z 1,0, 3x3z 0由 nDA ,n DC 得，化简得，取n3,1,1x 3y 0x , y , z 1, 3,0 02 3(1)15 设CF 与平面 ACD 所成角为，则 .sin| cos CF ,n |10 (1 ) 3 ( 3)522211解得 或（舍去），所以 .…………10分2 224.解：记“Y 是奇数”为事件 A .能组成的三位数的个数为 48，Y 是奇数的个数为 28.287P A所以.48 127答：Y 是奇数的概率为.12（2）Y 的可能取值为3,4,5,6,7,8,9 . 当Y3时，组成的三位数只能是 0,1,2三个数字组成，4 1 P Y 348 12所以，同理可得：1 1 5Y 4 Y 5 P Y612624PP，，，5 11PPY7Y 8P Y9，，.2488 所以Y 的分布列为：Y 3 4567891 11 5 5 1 1P12 126242488 Y的数学期望：11E Y1115511345678912126242488254.12。