宁夏银川市宁夏大学附属中学2020届高三第五次模拟考试数学(理)试题

数学（理）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．记全集，集合，集合，则（ ） A ．B ．C ．D ．2. 下面是关于复数21z i=-+的四个命题:其中的真命题为（ ） 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-A ．12,p pB ．23,p pC ．,p p 24D ．,p p 343．给出下列四个命题：①如果b a >,则)1lg()1lg(22+>+b a②命题“(,0)x ∀∈-∞，均有1x e x >+”的否定是“0(,0)x ∃∈-∞，使得0x e ≤01x +”； ③在等差数列{a n }中，已知公差d>0,那么数列{a n }是递增数列；④1a =-是直线10x ay -+=与直线210x a y +-=平行的充分必要条件． 其中正确的命题个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．已知实数,,a b c 满足lg 222,log ,sin a b a c b ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．b a c >>5. 空气质量指数AQI 是一种反映和评价空气质量的方法，AQI 指数与空气质量对应如表所示：AQI 0～5051～100 101～150 151～200 201～300 300以上空气质量优良轻度污染 中度污染 重度污染严重污染如图是某城市2018年12月全月的AQI 指数变化统计图：根据统计图判断，下列结论正确的是（ ） A ．整体上看，这个月的空气质量越来越差B ．整体上看，前半月的空气质量好于后半个月的空气质量C ．从AQI 数据看，前半月的方差大于后半月的方差D ．从AQI 数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值6．正三角形ABC 中，D 是线段BC 上的点，AB=6，BD=2，则AB AD ⋅=（ ）A ．12B ．18C ．24D ．30 7．已知函数()xxf x e e-=-，则()f x ( )（ ）A ．是奇函数，且在(0,)+∞上单调递增B ．是偶函数，且在(0,)+∞上单调递增C ．是奇函数，且在(0,)+∞上单调递减D ．是偶函数，且在(0,)+∞上单调递减 8 已知函数()sin cos ,()f x x x g x =-为()f x 的导函数，则下列结论中正确的是( )A ．函数()f x 的值域与()g x 的值域不同B ．存在0x ，使得函数()f x 和g()x 都在0x 处取得最值C ．函数()f x 和g()x 在区间π(0,)2上都是增函数D ．把函数()f x 的图象向左平移π2个单位，就可以得到函数()g x 的图象 9．椭圆192522=+y x 的焦点1F 、2F ，P 为椭圆上的一点，已知21PF PF ⊥，则△21PF F 的面积为（ ） A.25 B.20 C.9 D.810．已知数列{}n a 中a 1=1,a n +1=a n +2，n S 为数列{}n a 的前n 项和，令1n n b S n=+，则数列{}n b的前n 项和T n 的取值范围是 ( )A ．1[,1)2 B ．1(,1)2 C ．13[,)24 D ．2[,1)311.平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，2BD =，BD CD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，若四面体A BCD '-的顶点在同一个球面上，则该球的体积为( ) A ．3π B ．3πC ．3πD ．4π12.已知函数()xe f x ax x =-，(0,)x ∈+∞，当21x x >>0时，不等式()()1221f x f x x x <恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,]e -∞B ．(,)e -∞C ．,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设,m n 是两条不同的直线，αβγ，，是三个不同的平面 ①,//,m n αα⊂则//m n ； ②//,//,m αββγα⊥，则m γ⊥；③,//,//=n m n m αβα⋂，则//m β； ④若//,//,//m n m n αβ,则//αβ. 上述四个命题中,正确命题的序号是 ;14. 若21nx x+（）展开式中的二项式系数和为64，则该展开式中的常数项为_________．15．数列满足：a 1＝1，a 2＝－1，a n ＋2＝a n+1－a n （），则数列的前2020项的和为 ;16.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的上支与焦点为F 的抛物线22(0)y px p =>交于,A B 两点．若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为_______．三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知()sin sin sin sin b B a A B c C +-=.（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin sin A B +的取值范围.18.某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果．某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 个数10304020（1）若将频率是为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率；（结果用分数表示）（2）用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考，方案1：不分类卖出，单价为20元/kg ． 方案2：分类卖出，分类后的水果售价如下：等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 售价(元/kg ）16182224从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？（3）用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，X 表示抽取的是精品果的数量，求X 的分布列及数学期望()E X ．19．（12分）如图，已知矩形11BCC B 与平行四边形11ABB A 所在的平面相互垂直，112AB AB ==，，15BB =（1）求证：111AB AC ⊥；（2）若直线1AC 与平面11ABB A 所成的角等于3π，求二面角1C AC B --的平面角．20．（12分）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的一个焦点与抛物线243y x =的焦点重合， 且离心率为3. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）不过原点的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，若三直线OM 、l 、ON 的斜率1k ，k ， 2k 成等比数列，求直线l 的斜率及22||||OM ON +的值.21.已知函数ln ()()x f x a x a =∈+R ，曲线()y f x =在点(e,(e))f 处的切线方程为1ey =． （1）求实数a 的值，并求()f x 的单调区间 （2）求证：当0x >时，()1f x x ≤-．（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）已知曲线C 的参数方程为()2cos 3sin x y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数，在同一平面直角坐标系中，将曲线C 上的点按坐标变换得到曲线C '，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C '的极坐标方程； （Ⅱ）若过点（极坐标）且倾斜角为的直线l 与曲线C '交于M ，N 两点，弦MN的中点为P ，求的值．23．[选修4−5：不等式选讲]（10分）已知函数()11f x x x =+--，()22g x x a x b =++-，其中a ，b 均为正实数，且2a b +=．（1）求不等式()1f x ≥的解集； （2）当x ∈R 时，求证()()f x g x ≤．理科数学·答案及评分标准一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BCBACDBDCAAD二、填空题: 13．②; 14．15 ;15．－3 ; 16．2y x =三、解答题17【解析】（Ⅰ）由正弦定理得：sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R=，又()sin sin sin sin b B aA B c C +-=，所以()22b a a b c +-=，所以222a b c ab +-=，222cos 122a b c C ab +-==，又因为0C π<<，所以3C π=.（Ⅱ）2sin sin sin sin 3A B A A π⎛⎫+=+-⎪⎝⎭22sin sin cos cos sin 33A A A ππ=+- 33sin 326A A A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∵3C π=∴20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴5,666A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭∴1sin ,162A π⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦3336A π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭⎝所以sin sin A B +的取值范围是33⎝. 18．【解析】（1）因为平面11BCC B ⊥平面11ABB A ，平面11BCC B 平面111ABB A BB =，且111C B BB ⊥，所以11C B ⊥平面11ABB A ，故111C B AB ⊥．（2分）在11AA B △中，11112A B AB AB ===，，115BB AA ==所以2221111A B AB AA +=，故111A B AB ⊥．（4分）又11111C B A B B =，所以1AB ⊥平面111A B C ，又11AC ⊂平面111A B C ，所以111AB AC ⊥．（6分）（2）由（1）可知，11C B ⊥平面11ABB A ，所以11C AB ∠为1AC 与平面11ABB A 所成的角， 由已知可得113C AB π∠=，故111tan 33C B AB π==，所以1123C B =7分） 又111A B AB ⊥，如图，以1B 为坐标原点，分别以11111,,B A B A B C 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,2,0)A ，(1,2,0)B -，1(0,0,23)C ，(1,2,23)C -． 所以(1,0,0)AB =-，1(0,2,23)AC =-，(1,0,23)AC =-．（8分） 设平面1ABC 的法向量为111(,,)x y z =m ，则由1AB AC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩m m，可得1111020AB x AC y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩m m，即11100x y =⎧⎪⎨=⎪⎩．令1y =11z =．所以=m 是平面1ABC 的一个法向量．（9分）设平面1CAC 的法向量为222(,,)x y z =n ，则由1AC AC⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n，可得1222220AC y AC x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩n n，即222200y x ⎧=⎪⎨-=⎪⎩．令21z =，所以=n 是平面1CAC 的一个法向量．（10分）所以41cos ,||||242⋅===⨯⨯m n m n m n ．设二面角1C AC B --的平面角为θ，由图可得(0,)2θπ∈， 所以1cos cos ,2θ==m n ，所以二面角1C AC B --的平面角为3π．（12分） 19．【解析】（1）设从100个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的事件为A ，则201()1005P A ==， 现有放回地随机抽取4个，设抽到礼品果的个数为X，则1~(4,)5X B ，所以恰好抽到2个礼品果的概率为22244196(2)C ()()55625P X===， （2）设方案2的单价为ξ，则单价的期望值为134216548848()1618222420.61010101010E ξ+++=⨯+⨯+⨯+⨯==， 因为()20E ξ>，所以从采购商的角度考虑，应该采用第一种方案．（3）用分层抽样的方法从100个水果中抽取10个，则其中精品果4个，非精品果6个， 现从中抽取3个，则精品果的数量X服从超几何分布，所有可能的取值为0,1,2,3，则36310C 1(0)C 6P X ===；2164310C C 1(1)C 2P X ===；1264310C C 3(2)C 10P X ===；34310C 1(3)C 30P X ===，所以X的分布列如下：所以11316()01236210305E X=⨯+⨯+⨯+⨯=20．【解析】（1）依题意得22cc aa==⇒=，又2231a b b-=⇒=∴椭圆C的方程为2214xy+=.（4分）（2）设直线l的方程为()0y kx m m=+≠，()()1122,,,M x y N x y由2214y kx mxy=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()()222148410k x kmx m+++-=，∴()2121222418,1414mkmx x x xk k--+==++.由题设知()()12212121212kx m kx my yk k kx x x x++===()212212km x x mkx x++=+，∴()212km x x m++=，∴2222814k mmk-+=+，∵0m≠，∴214k=.此时()()()222221212224184,211414mkmx x m x x mk k--⎛⎫+====-⎪++⎝⎭则2222222222121122121144x xOM ON x y x y x x+=+++=+-++-()()2221212123322244x x x x x x⎡⎤=⨯++=+-+⎣⎦()223441254m m⎡⎤=--+=⎣⎦21【解析】（1）ln()xf xx a=+，2ln()()x axxf xx a+-'∴=+，2e(e)(e)afa'∴=+，又曲线()y f x=在点(e,(e))f处的切线方程为1ey=，则(e)0f'=，即0a=，21ln()xf xx-'∴=，令()0f x'>，得1ln0x->，即0ex<<；令()0f x'<，得1ln0x-<，即ex>，所以()f x的单调增区间是(0,e)，单调减区间是(e,)+∞．（2）当0x>时，要证()1f x x≤-即证2ln0x x x-+≤，令2()ln (0)g x x x x x =-+>，则2112(1)(21)()21x x x x g x x x x x+--+'=-+==-， 当01x <<时，()0g x '>，()g x 单调递增；当1x >时，()0g x '<，()g x 单调递减， 所以()(1)0g x g ≤=，即当0x >时，()1f x x ≤-．22.【解析】（Ⅰ），将，代入C 的普通方程可得x '2+y '2＝1，即C '：x 2+y 2＝1，所以曲线C '的极坐标方程为 C '：ρ＝1 （Ⅱ）点直角坐标是，将l 的参数方程，代入x 2+y 2＝1，可得， ∴t 1+t 2，t 1•t 2，所以．23．[选修4−5：不等式选讲]（10分） 已知函数()11f x x x=+--，()22gx x a x b =++-，其中a ，b 均为正实数，且2a b +=．（1）求不等式()1f x ≥的解集；（2）当x ∈R 时，求证()()f x g x ≤．。