2017-2018学年江苏省无锡市江阴市四校联考高一(上)期中数学试卷

2017-2018学年江苏省无锡市江阴市四校联考高一（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．1．（5分）若集合A={1，3}，B={0，3}，则A∪B=．2．（5分）计算：sin210°的值为．3．（5分）若扇形的半径为2，圆心角为，则它的面积为．4．（5分）函数f（x）=a x﹣1+1（a＞0且a≠1）恒过定点．5．（5分）若一个幂函数f（x）的图象过点（2，），则f（x）的解析式为．6．（5分）已知a=20.3，b=20.4，c=log20.3，则a，b，c按由大到小排列的结果是．7．（5分）函数的定义域是．8．（5分）已知点M（4，x）在角α的终边上，且满足x＜0，cosα=，则tanα=．9．（5分）不等式4x﹣2x+2+3＜0的解集为．10．（5分）已知sinα+cosα=（0＜α＜π），则sinα﹣cosα=．11．（5分）函数f（x）=ax2+4（a﹣3）x+5在区间（﹣∞，2）上是减函数，则a 的取值范围是．12．（5分）已知定义在R上的函数，满足对任意x1≠x2都有成立，则实数m的取值范围是．13．（5分）若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0]上是减函数，且f（2）=0，则使得成立的x的取值范围是．14．（5分）已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（14分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣8≤0}，集合B=[m﹣3，m]m∈R（1）若A∩B=[2，4]，求实数m的值；（2）设全集为R，若A⊆∁R B，求实数m的取值范围．16．（14分）（1）8﹣+2+（）0（2）（lg5）2+lg2•lg50．17．（14分）已知y=f（x）（x∈R）是偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x．（1）求f（x）的解析式；（2）若不等式f（x）≥mx在1≤x≤2时都成立，求m的取值范围．18．（16分）已知函数f（x）=为奇函数．（1）求a的值；（2）证明：f（x）是R上的增函数；（3）解不等式：f（log2x）≤．19．（16分）如图，在长为10千米的河流OC的一侧有一条观光带，观光带的前一部分为曲线段OAB，设曲线段OAB为函数y=ax2+bx+c（a≠0），x∈[0，6]（单位：千米）的图象，且图象的最高点为A（4，4）；观光带的后一部分为线段BC．（1）求函数为曲线段OABC的函数y=f（x），x∈[0，10]的解析式；（2）若计划在河流OC和观光带OABC之间新建一个如图所示的矩形绿化带MNPQ，绿化带由线段MQ，QP，PN构成，其中点P在线段BC上．当OM长为多少时，绿化带的总长度最长？20．（16分）若函数f（x）和g（x）满足：①在区间[a，b]上均有定义；②函数y=f（x）﹣g（x）在区间[a，b]上至少有一个零点，则称f（x）和g（x）在区间[a，b]上具有关系G．（1）若f（x）=lgx，g（x）=3﹣x，试判断f（x）和g（x）在[1，4]上是否具有关系G，并说明理由；（2）若f（x）=2|x﹣2|+1和g（x）=mx2在[1，4]上具有关系G，求实数m的取值范围．2017-2018学年江苏省无锡市江阴市四校联考高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．1．（5分）若集合A={1，3}，B={0，3}，则A∪B={0，1，3} ．【解答】解：∵集合A={1，3}，B={0，3}，∴A∪B={0，1，3}，故答案为：{0，1，3}．2．（5分）计算：sin210°的值为﹣．【解答】解：sin210°=sin（180°+30°）=﹣sin30°=﹣，故答案为﹣．3．（5分）若扇形的半径为2，圆心角为，则它的面积为．==．【解答】解：S扇形故答案为：．4．（5分）函数f（x）=a x﹣1+1（a＞0且a≠1）恒过定点（1，2）．【解答】解：令x﹣1=0，求得x=1，且y=2，故函数f（x）=a x﹣1+1（a＞0且a≠1）恒过定点（1，2），故答案为（1，2）．5．（5分）若一个幂函数f（x）的图象过点（2，），则f（x）的解析式为f（x）=x﹣2．【解答】解：设幂函数f（x）=xα（α为常数），∵幂函数f（x）的图象过点（2，），∴2α=，解得：α=﹣2，∴y=x﹣2．故答案为：f（x）=x﹣2．6．（5分）已知a=20.3，b=20.4，c=log20.3，则a，b，c按由大到小排列的结果是b，a，c．【解答】解：∵1＜a=20.3＜b=20.4，c=log20.3＜0，∴a，b，c按由大到小排列的结果是b，a，c．故答案为：b，a，c．7．（5分）函数的定义域是（1，4] ．【解答】解：由题意得：1﹣log3（x﹣1）≥0，故log3（x﹣1）≤1，故0＜x﹣1≤3，解得：1＜x≤4，故函数的定义域是（1，4]，故答案为：（1，4]．8．（5分）已知点M（4，x）在角α的终边上，且满足x＜0，cosα=，则tanα=﹣．【解答】解：∵点M（4，x）在角α的终边上，且满足x＜0，cosα==，∴x=﹣3，则tanα==﹣，故答案为：﹣．9．（5分）不等式4x﹣2x+2+3＜0的解集为（0，log23）．【解答】解：由4x﹣2x+2+3＜0，得（2x）2﹣4•2x+3＜0，解得1＜2x＜3，则0＜x＜log23．故答案为：（0，log23）．10．（5分）已知sinα+cosα=（0＜α＜π），则sinα﹣cosα=．【解答】解：将sinα+cosα=，两边平方得：（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=，∴2sinαcosα=﹣＜0，∵α∈（0，π），∴α∈（，π），∴sinα＞0，cosα＜0，即sinα﹣cosα＞0，∴（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα=，则sinα﹣cosα=．故答案为：11．（5分）函数f（x）=ax2+4（a﹣3）x+5在区间（﹣∞，2）上是减函数，则a 的取值范围是[0，] ．【解答】解：由于函数f（x）=ax2+4（a﹣3）x+5在区间（﹣∞，2）上是减函数，当a=0时，f（x）=﹣12x+5，满足条件．当a≠0时，则有，解得0＜a≤．综上可得，0≤a≤，故答案为：[0，]．12．（5分）已知定义在R上的函数，满足对任意x1≠x2都有成立，则实数m的取值范围是0＜m≤3．【解答】解：由已知中对任意x1≠x2都有成立，可得：函数f（x）在R为上增函数，则，解得：0＜m≤3，故答案为：0＜m≤3．13．（5分）若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0]上是减函数，且f（2）=0，则使得成立的x的取值范围是{x|x＜﹣2或0＜x＜2} ．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴f（﹣2）=f（2）=0，又f（x）在（﹣∞，0]上是减函数，∴当x＜﹣2时，f（x）＞0；由函数f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于y轴对称可知，当0＜x＜2时，f（x）＜0；∴使得成立的x的取值范围是：x＜﹣2或0＜x＜2．故答案为：{x|x＜﹣2或0＜x＜2}．14．（5分）已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是（3，+∞）．【解答】解：当m＞0时，函数f（x）=的图象如下：∵x＞m时，f（x）=x2﹣2mx+4m=（x﹣m）2+4m﹣m2＞4m﹣m2，∴y要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，必须4m﹣m2＜m（m＞0），即m2＞3m（m＞0），解得m＞3，∴m的取值范围是（3，+∞），故答案为：（3，+∞）．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（14分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣8≤0}，集合B=[m﹣3，m]m∈R（1）若A∩B=[2，4]，求实数m的值；（2）设全集为R，若A⊆∁R B，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵A={x|（x+2）（x﹣4）≤0}═[﹣2，4]，集合B=[m﹣3，m]，m∈R，﹣﹣﹣（3分）∵A∩B=[2，4]，∴，解得m=5．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（2）由（1）知C R B={x|x＜m﹣3，或x＞m}，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∵A⊆C R B，∴4＜m﹣3，或﹣2＞m，解得m＜﹣2，或m＞7．故实数m的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（7，+∞）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）16．（14分）（1）8﹣+2+（）0（2）（lg5）2+lg2•lg50．【解答】解：（1）（1）8﹣+2+（）0原式=4﹣+1+3+1=9﹣．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（2）（lg5）2+lg2•lg50=lg25+lg2（1+lg5）=lg5（lg5+lg2）+lg2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）=lg5+lg2=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）17．（14分）已知y=f（x）（x∈R）是偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x．（1）求f（x）的解析式；（2）若不等式f（x）≥mx在1≤x≤2时都成立，求m的取值范围．【解答】解：（1）当x＜0时，有﹣x＞0，∵f（x）为偶函数，∴f（x）=f（﹣x）=（﹣x）2﹣2（﹣x）=x2+2x，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）∴f（x）=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）由题意得x2﹣2x≥mx在1≤x≤2时都成立，即x﹣2≥m在1≤x≤2时都成立，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）即m≤x﹣2在1≤x≤2时都成立．而在1≤x≤2时，（x﹣2）min=﹣1，∴m≤﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）18．（16分）已知函数f（x）=为奇函数．（1）求a的值；（2）证明：f（x）是R上的增函数；（3）解不等式：f（log2x）≤．【解答】（1）解：f（x）的定义域为R．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∵f（x）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即==﹣∴a=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）证明：函数f（x）在R上是增函数，证明如下：…（6分）设x1，x2∈R，且x1＜x2，易知，则．…（9分）因为x1＜x2，所以，所以f（x1）＜f（x2），即f（x）是R上的增函数..…（11分）解：（3）令f（x）=，解得x=2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）∴f（log2x）≤即f（log2x）≤f（2）．∵f（x）为R上的增函数，∴log2x≤2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（15分）∴0＜x≤4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（16分）19．（16分）如图，在长为10千米的河流OC的一侧有一条观光带，观光带的前一部分为曲线段OAB，设曲线段OAB为函数y=ax2+bx+c（a≠0），x∈[0，6]（单位：千米）的图象，且图象的最高点为A（4，4）；观光带的后一部分为线段BC．（1）求函数为曲线段OABC的函数y=f（x），x∈[0，10]的解析式；（2）若计划在河流OC和观光带OABC之间新建一个如图所示的矩形绿化带MNPQ，绿化带由线段MQ，QP，PN构成，其中点P在线段BC上．当OM长为多少时，绿化带的总长度最长？【解答】解：（1）因为曲线段OAB过点O，且最高点为A（4，4），所以，解得所以，当x∈[0，6]时，…（3分）因为后一部分为线段BC，B（6，3），C（10，0），当x∈[6，10]时，…（6分）综上，…（8分）（2）设OM=t（0＜t≤2），则由，得，所以点…（11分）所以，绿化带的总长度y=MQ+QP+PN=…（13分）当t=1时，所以，当OM长为1千米时，绿化带的总长度最长…（16分）20．（16分）若函数f（x）和g（x）满足：①在区间[a，b]上均有定义；②函数y=f（x）﹣g（x）在区间[a，b]上至少有一个零点，则称f（x）和g（x）在区间[a，b]上具有关系G．（1）若f（x）=lgx，g（x）=3﹣x，试判断f（x）和g（x）在[1，4]上是否具有关系G，并说明理由；（2）若f（x）=2|x﹣2|+1和g（x）=mx2在[1，4]上具有关系G，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）它们具有关系G：令h（x）=f（x）﹣g（x）=lgx+x﹣3，∵h（1）=﹣2＜0，h（4）=lg4+1＞0；故h（1）•h（4）＜0，又h（x）在[1，4]上连续，故函数y=f（x）﹣g（x）在区间[a，b]上至少有一个零点，故f（x）和g（x）在[1，4]上具有关系G．（2）令h（x）=f（x）﹣g（x）=2|x﹣2|+1﹣mx2，当m≤0时，易知h（x）在[1，4]上不存在零点，当m＞0时，h（x）=；当1≤x≤2时，由二次函数知h（x）在[1，2]上单调递减，故；故m∈[，3]；当m∈（0，）∪（3，+∞）时，若m∈（0，），则h（x）在（2，4]上单调递增，而h（2）＞0，h（4）＞0；故没有零点；若m∈（3，+∞），则h（x）在（2，4]上单调递减，此时，h（2）=﹣4m+1＜0；故没有零点；综上所述，若f（x）=2|x﹣2|+1和g（x）=mx2在[1，4]上具有关系G，则m∈[，3]．。