不等式的解集(上课用)
不等式的解集和应用
不等式的解集和应用不等式是数学中常见的一种关系符号，用于描述数之间的大小关系。
与等式不同的是，不等式可以是大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）或小于等于（≤）的关系。
解不等式的过程需要确定符合不等关系的数值范围，得到的解集可以用数轴或集合来表示。
本文将介绍不等式的解集及其应用。
一、不等式的解集表示方式解不等式可以通过求解不等式的解集来得到。
解集可以用不等式的形式、数轴表示或集合表示。
1. 不等式形式表示对于简单的一元不等式，可以直接用不等式的解集形式表示。
例如，对于不等式2x + 1 > 5，解集可以表示为{x | x > 2}，其中“|”表示“使得”，“x > 2”表示x的取值范围大于2。
2. 数轴表示法数轴表示法是用数轴来表示不等式的解集。
在数轴上将解集表示出来，可以清晰地展示数的大小关系。
例如，对于不等式x + 3 ≥ 7，可以在数轴上标出x ≥ 4的区间。
3. 集合表示法集合表示法用集合的形式来表示不等式的解集。
解集用大括号{}表示，其中的元素满足不等式的条件。
例如，对于不等式3x - 2 < 4，可以表示为{x | x < 2}，表示x的取值范围小于2的整数集合。
二、不等式的应用不等式在实际问题中有着广泛的应用，下面将介绍不等式在几个常见问题中的运用。
1. 货币问题不等式可以用于描述货币问题中的收入和支出关系。
例如，某人的月收入为x元，月支出为y元，如果要求月储蓄不少于z元，则可以得到不等式x - y ≥ z，其中x、y、z为正实数。
2. 几何问题不等式在几何问题中常用于描述图形的范围和性质。
例如，对于一个正方形，设其边长为a，若要求正方形的面积不小于b，则可以得到不等式a² ≥ b，其中a、b为正实数。
3. 线性规划线性规划是一种优化问题，常需要通过不等式来描述约束条件。
例如，对于生产某种产品，设其产量为x1和x2，若要求生产量满足一定的限制条件，如总产量不小于100个单位，每单位的成本不超过10元，则可以得到一组不等式：x1 + x2 ≥ 100以及10x1 + 10x2 ≤ k，其中k为正实数。
数学教案-不等式的解集 教学设计方案(二)
数学教案－不等式的解集教学设计方案(二) 教学设计方案一、教学目标1.知识与技能目标：a．掌握不等式解集的概念与基本解法，会利用解集确定不等式的可行解；b．能够理解大于、小于、不大于、不小于等复合不等式的特性，掌握复合不等式的解法。
2.过程与方法目标：a．重视描述、推理和解决实际问题的数学思想方法的培养；b．学会通态不逆的思考方法。
3.情感态度与价值观目标：a．教育学生正确对待未知数、参数和不等式，发掘自己的数学智慧；b．鼓励学生在探索中体味数学的乐趣，培养乐于思考和创新的精神。
二、教学内容1. 不等式的解集2. 含有绝对值的不等式3. 复合不等式三、教学方法1.示例法（概念的引出）。
2. 归纳与演绎法（一般不等式的解法）。
3. 反证法和考虑递增递减性（一般不等式的解法）。
4.倒置法（绝对值不等式的解法）。
5. 调和平均数的性质（复合不等式的解法）。
四、教学步骤第一步引入新知1. 以“领导的收入应不少于普通工人的3倍”为例子，引导学生讨论不等式的实际意义，认识不等式在生活中的重要意义。
2. 师向学生介绍不等式的定义和解集的概念。
3. 学生回忆已学的解不等式的方法，比如用例子法让学生解讨一下“ $2x+1\\leq x+7$”，然后引导学生总结解不等式的方法。
第二步新知讲授1. 一般不等式的解法(1) 归纳解法(2) 反证法(3) 递增递减性法2. 绝对值不等式的解法3. 复合不等式的解法第三步练习与检验内容：做练习题，比如：解不等式组 $\\begin{cases}x+2\\leq 3\\\\x+3>2\\end{cases}$解不等式 $\\frac{3x+2}{x-2}\\geq 2$解不等式 $|x+3|-2<3$解复合不等式 $0<\\frac{1}{x}<2$解不等式 $\\frac{4}{x+3}\\leq \\frac{2}{x+1}$消除绝对值，解不等式 $|4x+1|-3<10$已知正整数 $a$，$b$，$c$，满足$\\sqrt{b+c}<a+\\frac{1}{a}<\\frac{b+c}{2}$，证明：$b<c$目的：让同学们在课堂上将学过的方法应用于不同类型的题目，培养思考的习惯和掌握解题的技巧。
不等式的解集知识点总结
不等式的解集知识点总结不等式是数学中常见的一种关系表达式，用来表示两个数或者两个代数式之间的大小关系。
与等式不同的是，不等式可以包含大于、小于、大于等于、小于等于等多种关系符号。
在解不等式时，我们需要确定不等式的解集，即使不等式成立的取值范围。
下面是一些常见的不等式的解集知识点总结：一、一元一次不等式形如 ax + b > 0、ax + b < 0、ax + b ≥ 0、ax + b ≤ 0 的一元一次不等式，其中 a 和 b 为已知数且a ≠ 0。
我们可以通过以下步骤求解：1. 将不等式转化为等式：ax + b = 0。
2. 根据 a 的正负情况讨论解集：- 当 a > 0 时，解集为 x > -b/a 或 x < -b/a；- 当 a < 0 时，解集为 x < -b/a 或 x > -b/a；- 当a ≥ 0 时，解集为x ≥ -b/a 或x ≤ -b/a；- 当a ≤ 0 时，解集为x ≤ -b/a 或x ≥ -b/a。
二、二次函数不等式形如 ax² + bx + c > 0、ax² + bx + c < 0、ax² + bx + c ≥ 0、ax² + bx + c ≤ 0 的二次函数不等式，其中 a、b 和 c 为已知数且a ≠ 0。
我们可以通过以下步骤求解：1. 将不等式转化为等式：ax² + bx + c = 0。
2. 求出函数的零点或者判别式的值，得到二次函数的凹凸性及与 x 轴的交点情况：- 若判别式 D > 0，函数有两个不同的实根，解集为 x < x₁或 x > x₂；- 若判别式 D = 0，函数有一个重根，解集为 x = x₁；- 若判别式 D < 0，函数无实根，解集为空集；- 当 a > 0 时，函数开口向上，解集为全体实数集；- 当 a < 0 时，函数开口向下，解集为空集。
不等式的解集
不等式的解集不等式是数学中常见的一种表示关系的方法，用于描述两个数或者表达式之间的大小关系。
解不等式，即求出使得不等式成立的变量范围，这个范围就是不等式的解集。
解集的表示方法有很多种，常见的有区间表示法和集合表示法。
具体选择哪种表示方法，取决于不等式的形式和解集的性质。
下面将介绍一些常见的不等式及其解集的表示方法。
一、线性不等式线性不等式是指不等式中只包含一次线性函数的不等式。
例如：2x + 3 > 7。
解线性不等式的一种常见方法是移项法。
首先将不等式中的所有项移到一边，使得等式的右边为0。
然后根据系数的正负关系，确定方程的根。
最后根据不等式的性质确定解集。
例如，对于2x + 3 > 7，我们将等式变形为2x + 3 - 7 > 0，即2x - 4 > 0。
根据系数的正负关系，我们得到x > 2。
因此，不等式的解集可以表示为x ∈ (2, +∞)。
二、二次不等式二次不等式是指不等式中含有二次函数的不等式。
例如：x^2 - 4x < 3。
解二次不等式的一种常见方法是图像法。
首先将不等式变形为x^2 - 4x - 3 < 0，然后绘制二次函数的图像。
根据图像的性质，确定解集。
例如，对于x^2 - 4x - 3 < 0，我们绘制出抛物线y = x^2 - 4x - 3的图像。
然后观察抛物线在x轴下方的区域，确定解集。
根据图像的性质，我们得到解集x ∈ (-∞, 1) ∪ (3, +∞)。
三、绝对值不等式绝对值不等式是指不等式中含有绝对值函数的不等式。
例如：|x - 3| < 4。
解绝对值不等式的一种常见方法是分情况讨论法。
根据绝对值函数的性质，将不等式拆分为两组不等式，然后分别解决每个不等式。
最后将所有解集合并得到最终解集。
例如，对于|x - 3| < 4，我们拆分为两个不等式x - 3 < 4和-(x - 3) < 4。
然后求解每个不等式，得到解集x ∈ (-1, 7)。
不等式的解集课件
高次不等式和无理不等式具有一些重要的性质，如可加性、 可乘性和传递性等，这些性质在解不等式时起着关键作用。
解法步骤
步骤一
步骤二
识别不等式类型。首先需要判断给定的不 等式是高次不等式还是无理不等式，或者 是否兼而有之。
因式分解或化简不等式。对于高次不等式 ，可能需要进行因式分解；对于无理不等 式，可能需要进行有理化简。
VS
详细描述
根据涉及变量的个数和复杂程度，不等式 可以分为一元不等式和多元不等式，以及 线性不等式和非线性不等式。一元不等式 是只含有一个变量的不等式，多元不等式 是含有多个变量的不等式；线性不等式是 指可以表示为一次方程的不等式，非线性 不等式是指不能表示为一次方程的不等式 。
PART 02
一元一次不等式的解法
详细描述
不等式具有一系列基本性质，包括传递性、加法性质和乘法性质等。传递性是 指如果a>b且b>c，则一定有a>c；加法性质是指如果a>b，则对于任意实数x ，有a+x>b+x；乘法性质是指如果a>b且c>0，则ac>bc，如果a>b且c<0， 则ac<bc。
不等式的分类
总结词
不等式可以分为一元不等式和多元不等 式，以及线性不等式和非线性不等式。
第一步
将不等式化为标准形式。即 ax^2 + bx + c > 0或ax^2 +
bx + c < 0。
第二步
计算判别式Δ=b^2-4ac。
第三步
根据判别式的值判断不等式的 解集。
第四步
根据不等式的解集，求出不等 式的解。
特殊情况处理
01
不等式的解集
不等式的解集1. 引言在数学中，不等式是描述数值之间大小关系的工具。
不等式的解集是满足给定不等式的所有实数值的集合。
解集的求解是解决不等式问题的关键步骤，对于理解和应用不等式具有重要意义。
本文将介绍不等式解集的概念、求解方法和常见类型的不等式，并提供一些实例来帮助读者更好地理解和应用不等式解集的求解过程。
2. 不等式解集的定义给定一个不等式，解集是满足此不等式的所有实数值组成的集合。
通常用数学符号表示如下：解集：{x | 不等式}其中，x表示满足不等式的实数值，竖线表示“使得”或“满足的条件”，不等式表示约束条件。
例如，解集 {x | x > 0} 表示所有大于0的实数构成的集合。
3. 不等式解集的求解方法解不等式的一般方法是通过分析和推导找出满足不等式的数值范围。
以下是一些常见的不等式解集求解方法：3.1. 一元一次不等式的解集求解一元一次不等式是指表达式中只含有一次幂的单个未知数的不等式。
解一元一次不等式的步骤如下：1.将不等式转化为等式。
2.根据等式的解集，绘制数轴并进行标记。
3.根据不等式的类型（大于、小于、大于等于、小于等于），确定解集的位置。
例如，对于不等式2x + 3 < 7，我们可以将其转化为等式2x + 3 = 7，解得 x = 2。
由于不等式为小于关系，解集为{x | x < 2}。
3.2. 一元二次不等式的解集求解一元二次不等式是指表达式中含有二次项的单个未知数的不等式。
解一元二次不等式的步骤如下：1.将不等式转化为等式。
2.根据等式的解集，绘制二次函数的图像。
3.根据不等式的类型（大于、小于、大于等于、小于等于），确定解集的位置。
例如，对于不等式x^2 - 4x + 3 > 0，我们可以将其转化为等式x^2 - 4x + 3 = 0。
解得 x = 1 或 x = 3。
通过绘制函数图像，我们可以确定解集为{x | x < 1 或 x > 3}。
《不等式的解集》课件
本PPT课件将介绍不等式的基本概念，掌握不等式的解集表示方法。通过案例 分析和高效解题方法，帮助你掌握一元和二元不等式的解法。
概述
基本概念
介绍不等式的基本概念和关键术语，帮助理解 后续内容。
解集表示方法
详细列举不等式解集的表示方法，包括数轴表 示、集合符号等。
不等式解集
总结
课程总结
回顾学习内容，总结学到的知识和技巧。
课后练习题
提供一些课后练习题，巩固所学知识。
参考文献网上教程来自• 不等式解题指南 • 一元不等式解法视频教程
书籍资料
• 《数学不等式大全》 • 《不等式与应用》
其他参考来源
• 相关研究论文 • 学术期刊文章
二元不等式的解法
1
基本概念
简单介绍二元不等式的基本概念和特点。
2
二元一次不等式解法
详细阐释二元一次不等式的解法，包括图像解法和代数解法。
3
二元不等式组解法
探索二元不等式组的解法，通过案例演示解题过程。
案例分析
解题案例
展示多种不等式的解题案例，包括一元、二元不等 式的实际应用。
高效解题方法
提供简化解题过程的方法和技巧，帮助提高解题效 率。
1 概念介绍
引入不等式解集的概念和作用，加深理解。
2 表示方法
列举不等式解集的多种表示方法，包括数轴、集合、区间等。
一元不等式的解法
1
基本概念
介绍一元不等式的基本概念和解题思路。
2
一元一次不等式解法
详细讲解一元一次不等式的解法，包括移项、求交集等。
3
不等式组解法
探讨不等式组的解法和求解思路，帮助理解更复杂的情况。
不等式的解集(课堂PPT)
不等式x＞5的解有无数个。它们都比5大。
3、不等式x2≤0的解有哪些？不等式x2≤－2 呢？
不等式x2≤0的解是x=0；不等式x2≤－2无解。
总结 :
不等式的解一般有无数个，但有时 只有有限个，有时无解。
一个含有未知数的不等式的所有 解，组成这个不等式的解集。
注意 :
• 将不等式的解集表示在数轴上时,要注意: 1)指示线的方向,“>”向右,“<”向左. 2)有“=”用实心点,没有“=”用空心圈.
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
例题
根据不等式的基本性质求不等式的
解集，并把解集表示在数轴上．
(4)x≤6
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
3、填空
• 1)方程2x=4的解有( 1 )个,不等式 2x<4的解有( 无数 )个
• 2)不等式5x≥-10的解集是( x≥-2 )
• 3)不等式x≥-3的负整数解是( -3, -2, -1) • 4)不等式x-1<2的正整数解是( 2, 1 )
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• 2）你能将x-5≤ -1的解集表示在数 轴上吗？ (x≤4)
不等式x-5≤-1的解集可以用数轴上 表示4的点的左边部分来表示。在数轴 上表示4的点的位置上画实心圆点，表 示4包含在这个解集内。
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第二章 一元一次不等式与 一元一次不等式组
2.3 不等式的解集
复习
不等式的解集PPT教学课件_1
教科书第134页 习题9.1第4、5、7题
练习： 已知a＜0，用“＜”或“＞”号填空： (1)a+2 ____2； (2)a-1 _____-1； (3)3a______ 0； (4)-a/4______0; (5)a2_____0; (6)a3______0 (7)a-1______0； (8)|a|______0． 答： (1)a+2＜2，根据不等式基本性质1．
______5_,___1_0___是不等式x+4＜0的解．
３.将下列不等式的解集分别表示在数轴上．
（1）x＞4
（2）x＜-1
（3）x≥-2
（4）x≤6
（1） -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
（2） -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
（3） -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
探索并掌握不等式的三条基本性质，熟练掌握不等式的编号法则。
填空:
(1) ∵ 2a < 3a , ∴a是____正数
(2) ∵
aa 23
, ∴a是_正___数
(3) ∵ ax < a 且 x > 1 , ∴a是__负__数
4 5
等式基本性质1：
等式的两边加或减同一个数（或式子）， 结果仍相等
如果a=b,那么a±c=b±c
等式基本性质2：
等式的两边乘或除以同一个数（除数不
为0），结果仍相等
如果a=b,那么ac=bc或
a c
bc（c≠0），
x x 2 3 1 解不等式：
＜
&
仔细阅读教材 P 129-130，你一定能找
1.什么叫数轴？数轴的三要素是什么？ 原点 正方向 单位长度
不等式的解集教案苏科版
1. 在教学过程中，应该更加注重解集的概念的讲解和理解，使学生能够更好地运用解集的概念来解决实际问题。
2. 在教学过程中，应该加强与学生的互动和反馈，及时了解学生的学习情况，及时调整教学策略和方法。
3. 在教学过程中，应该更加注重培养学生的思维能力和解决问题的能力，通过设置一些具有挑战性的问题和任务，让学生在实践中提高自己的思维能力和解决问题的能力。
（2）对于在线练习题，通过在线平台对学生的解题过程进行查看，了解学生的解题思路和方法，给出改进建议。
（3）对于实际问题，组织学生进行小组讨论，共同分析和解决问题，引导学生思考问题的本质和解决方法。
（4）鼓励学生相互交流和分享学习心得，共同提高数学素养和解题能力。
（5）定期组织学生进行作业展示，让学生分享自己的解题思路和方法，互相学习和借鉴。
学生预习：
发放预习材料，引导学生提前了解不等式的解集的学习内容，标记出有疑问或不懂的地方。
设计预习问题，激发学生思考，为课堂学习不等式的解集内容做好准备。
教师备课：
深入研究教材，明确不等式的解集教学目标和重难点。
准备教学用具和多媒体资源，确保不等式的解集教学过程的顺利进行。
设计课堂互动环节，提高学生学习不等式的解集的积极性。
（2）掌握解集的求法：对于一元二次不等式和带有绝对值的不等式，学生可能难以找到解集的规律和求解方法。
（3）应用解集解决实际问题：学生可能难以将实际问题转化为数学问题，并运用解集的知识解决问题。
举例说明：
对于教学重点中的第二个点，以一元二次不等式x^2-4>0为例，解集的求法可以分为以下步骤：
（1）将不等式转化为等式：x^2-4=0。
知识讲解：
2.2.2不等式的解集(新教材教师用书)
2.2.2不等式的解集(教师独具内容)课程标准：1.了解不等式的解集和不等式组的解集的概念，会求一元一次不等式组的解集.2.理解绝对值的几何意义，掌握去掉绝对值的方法.3.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c；|x－a|＋|x－b|≤c.教学重点：1.求一元一次不等式组的解集.2.绝对值不等式的解法．教学难点：绝对值不等式的几何解法.【知识导学】知识点一不等式的解、不等式的解集及不等式组的解集的概念(1)□01未知数的值称为不等式的解．(2)□02所有解组成的集合称为不等式的解集．(3)对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的□03解集的交集称为不等式组的解集．知识点二绝对值不等式一般地，含有□01绝对值的不等式称为绝对值不等式．知识点三数轴上两点之间的距离公式及中点坐标公式一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长为□01|a－b|，记作□02AB＝|a－b|，这就是数轴上两点之间的距离公式．如果线段AB的中点M对应的数为x，则x＝□03a＋b2，这就是数轴上的中点坐标公式．【新知拓展】1．解绝对值不等式的主要依据解绝对值不等式的主要依据是绝对值的定义、绝对值的几何意义及不等式的性质．2．绝对值不等式|x|≤a和|x|≥a的解法1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式2x－3≤1的解集为{x|x≤2}．()(2)若|x|≥a的解集为R，则a＜0.()(3)|x－1|＞1的解集为{x|x＞2或x＜－2}．()(4)|x－a|＜|x－b|⇔(x－a)2＜(x－b)2.()答案(1)√(2)×(3)×(4)√2．做一做(1)不等式|x|>x的解集是()A．{x|x≤0} B．{x|x<0或x>0} C．{x|x<0} D．{x|x>0} (2)不等式|3x－2|<1的解集为()A ．(－∞，1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 (3)不等式|x ＋2|≥|x |的解集是________．(4)已知数轴上，A (－2)，B (x )，C (5)，若A 与C 关于点B 对称，则x ＝________；若线段AB 的中点到C 的距离小于3，则x 的取值范围是________．答案 (1)C (2)B (3)[－1，＋∞) (4)32 (6,18)题型一 一元一次不等式组的解法 例1 解下列不等式组： (1)⎩⎨⎧2x －1＞x ＋1， ①x ＋8＜4x －1； ② (2)⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥x ＋11， ①2x ＋53－1＜2－x . ②[解] (1)将①式移项、合并同类项，得x ＞2.将②式移项、合并同类项，得3x ＞9.系数化为1，得x >3. 所以不等式组的解集为(3，＋∞)． (2)将①式移项、合并同类项，得x ≥8. 将②式去分母，得2x ＋5－3＜6－3x .移项、合并同类项，得5x <4.系数化为1，得x <45. 所以不等式组的解集为∅. 金版点睛解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，最后写出不等式组的解集.[跟踪训练1] x 取哪些整数值时，不等式5x ＋2＞3(x －1)与12x －1≤7－32x 都成立？解 解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2＞3(x －1)，①12x －1≤7－32x .②将①式去括号，得5x ＋2＞3x －3.移项、合并同类项，得2x >－5.系数化为1，得x >－52. 将②式移项，合并同类项，得2x ≤8.系数化为1，得x ≤4. 所以不等式组的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－52，4，所以x 可取的整数值是－2，－1,0,1,2,3,4.题型二 |ax ＋b |≤c (c ＞0)和|ax ＋b |≥c (c ＞0)型不等式的解法 例2 解下列不等式： (1)|5x －2|≥8；(2)2≤|x －2|≤4.[解] (1)|5x －2|≥8可化为5x －2≥8或5x －2≤－8，解得x ≥2或x ≤－65， 故原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－65∪[2，＋∞)．(2)原不等式等价于不等式组⎩⎨⎧|x －2|≥2，|x －2|≤4.由|x －2|≥2，得x －2≤－2或x －2≥2， 所以x ≤0或x ≥4.由|x －2|≤4，得－4≤x －2≤4，所以一2≤x ≤6.故原不等式的解集为{x |－2≤x ≤0或4≤x ≤6}，即[－2,0]∪[4,6]． 金版点睛形如|ax ＋b |≤c (c >0)和|ax ＋b |≥c (c >0)型的不等式，均可采用等价转化法进行求解，即|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ，|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≤－c 或ax ＋b ≥c .[跟踪训练2] 解下列不等式： (1)|2x －3|≤1；(2)|4－3x |＞5.解 (1)由|2x －3|≤1可得－1≤2x －3≤1， 所以1≤x ≤2.故原不等式的解集为[1,2]．(2)由|4－3x |>5可得4－3x >5或4－3x <－5，所以x <－13或x >3，即原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(3，＋∞). 题型三 |x －a |±|x －b |≤c 和|x －a |±|x －b |≥c 型不等式的解法 例3 解下列不等式：(1)|x ＋1|＋|x －1|≥3；(2)|x －3|－|x ＋1|＜1.[解] (1)解法一：如图，设数轴上与－1,1对应的点分别为A ，B ，那么点A ，B 之间的点到A ，B 两点的距离和为2，因此区间[－1,1]上的数都不是不等式的解．设在点A 左侧有一点A 1到A ，B 两点的距离之和为3，A 1对应数轴上的x .由－1－x ＋1－x ＝3，得x ＝－32.同理设点B 右侧有一点B 1到A ，B 两点的距离之和为3，B 1对应数轴上的x ， 由x －1＋x －(－1)＝3，得x ＝32，从数轴上可看到，点A 1，B 1之间的点到A ，B 的距离之和都小于3；点A 1的左侧或点B 1的右侧的任何点到A ，B 的距离之和都大于3.所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. 解法二：当x ≤－1时，原不等式可以化为－(x ＋1)－(x －1)≥3， 解得x ≤－32.当－1<x <1时，原不等式可以化为x ＋1－(x －1)≥3，即2≥3.不成立，无解． 当x ≥1时，原不等式可以化为x ＋1＋x －1≥3， 解得x ≥32.综上所述，原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.解法三：将原不等式转化为|x ＋1|＋|x －1|－3≥0. 构造函数y ＝|x ＋1|＋|x －1|－3，即y ＝⎩⎨⎧－2x －3，x ≤－1，－1，－1<x <1，2x －3，x ≥1.作出函数的图像，如图．函数图像与x 轴交点的横坐标是－32和32.从图像可知，当x ≤－32或x ≥32时，y ≥0，即|x ＋1|＋|x －1|－3≥0. 所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.(2)解法一：如图所示，在数轴上－1,3，x 对应的点分别为A ，C ，P ，而点B 对应的实数为12，点B 到点C 的距离与到点A 的距离之差为1.由绝对值的几何意义知，当点P 在射线Bx 上(不含点B )时，不等式成立，故不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.解法二：原不等式⇔①⎩⎨⎧x ≤－1，－(x －3)＋(x ＋1)＜1或②⎩⎨⎧－1＜x ＜3，－(x －3)－(x ＋1)＜1或③⎩⎨⎧x ≥3，(x －3)－(x ＋1)＜1，解得①的解集为∅，②的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12＜x ＜3，③的解集为{x |x ≥3}． 综上可知，原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.解法三：将原不等式转化为|x －3|－|x ＋1|－1<0，构造函数y ＝|x －3|－|x ＋1|－1，则y ＝⎩⎨⎧3，x ≤－1，－2x ＋1，－1＜x ＜3，－5，x ≥3.作出函数的图像，如图．函数图像与x 轴的交点是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.由图像可知，当x >12时，有y <0， 即|x －3|－|x ＋1|－1<0，所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.金版点睛形如|x －a |±|x －b |≤c 和|x －a |±|x －b |≥c型不等式的解法这种类型的不等式在求解时有三种方法：(1)利用绝对值的几何意义求解，这种方法体现了数形结合的思想，是解绝对值不等式最简单的方法，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题的关键．(2)令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根，把这些根由小到大排序，它们把数轴分为若干个区间，然后利用区间分段讨论法去绝对值符号求解，这种方法体现了分类讨论的思想，是解绝对值不等式最常用的方法．(3)构造函数，利用函数图像求解，这种方法体现了函数与方程的思想，准确画出函数图像并求解函数图像与x 轴的交点坐标是解题的关键．[跟踪训练3] 解下列不等式：(1)|x －1|－|5－x |＞2；(2)|2x －1|＋|3x ＋2|≥8.解 (1)原不等式即为|x －1|－|x －5|>2， 其等价于①⎩⎨⎧ x ＜1，1－x －(5－x )＞2或②⎩⎨⎧1≤x ≤5，x －1－(5－x )＞2或 ③⎩⎨⎧x ＞5，x －1－(x －5)＞2， 解得①无解，②的解集为{x |4<x ≤5}，③的解集为{x |x >5}，故原不等式的解集为(4，＋∞)． (2)①当x ≤－23时，|2x －1|＋|3x ＋2|≥8⇔1－2x －(3x ＋2)≥8⇔－5x ≥9⇔x ≤－95，所以x ≤－95；②当－23<x <12时，|2x －1|＋|3x ＋2|≥8⇔1－2x ＋3x ＋2≥8⇔x ＋3≥8⇔x ≥5，所以x ∈∅； ③当x ≥12时，|2x －1|＋|3x ＋2|≥8⇔5x ＋1≥8⇔5x ≥7⇔x ≥75，所以x ≥75. 故原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－95∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫75，＋∞.1．不等式组⎩⎨⎧x ＋3＞0，3(x －1)≤2x －1的解集为( )A ．(－3,0]B ．(－3,2]C ．∅D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－3，－45答案 B解析 解不等式组⎩⎨⎧x ＋3＞0， ①3(x －1)≤2x －1， ②将①式移项，得x ＞－3.将②式去括号，得3x －3≤2x －1.移项、合并同类项，得x ≤2.所以不等式组的解集为(－3,2]，故选B.2．不等式|4－x |≥1的解集为( ) A ．[3,5] B ．(－∞，3]∪[5，＋∞) C ．[－4,4] D ．R答案 B解析 |4－x |≥1⇒x －4≥1或x －4≤－1，即x ≥5或x ≤3.所以所求不等式的解集为(－∞，3]∪[5，＋∞)．故选B.3．不等式1＜|x ＋1|＜3的解集为( ) A ．(0,2) B ．(－2,0)∪(2,4) C ．(－4,0) D ．(－4，－2)∪(0,2) 答案 D解析 由1＜|x ＋1|＜3，得1＜x ＋1＜3或－3＜x ＋1＜－1，所以0＜x ＜2或－4＜x ＜－2.所以所求不等式的解集为(－4，－2)∪(0,2)．4．不等式|x ＋1|－|x －3|≥0的解集是________． 答案 [1，＋∞)解析 解法一：不等式等价转化为|x ＋1|≥|x －3|，两边平方，得(x ＋1)2≥(x －3)2，解得x ≥1， 故所求不等式的解集为[1，＋∞)．解法二：不等式等价转化为|x ＋1|≥|x －3|，根据绝对值的几何意义可得数轴上点x 到点－1的距离大于等于到点3的距离，到两点距离相等时x ＝1，故所求不等式的解集为[1，＋∞)．5．解不等式|x ＋2|＋|x －1|＜4.解 |x ＋2|＝0和|x －1|＝0的根－2,1把数轴分为三个区间：(－∞，－2]，(－2,1)，[1，＋∞)．在这三个区间上|x ＋2|＋|x －1|有不同的表达式，它们构成了三个不等式组． (1)当x ≤－2时，|x ＋2|＋|x －1|＜4⇔－2－x ＋1－x ＜4⇔－2x ＜5⇔x ＞－52， 所以不等式组⎩⎨⎧x ≤－2，|x ＋2|＋|x －1|＜4的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－52，－2.(2)当－2＜x ＜1时，|x ＋2|＋|x －1|＜4⇔x ＋2＋1－x ＜4⇔3＜4，所以不等式组⎩⎨⎧－2＜x ＜1，|x ＋2|＋|x －1|＜4的解集为(－2,1)． (3)当x ≥1时，|x ＋2|＋|x －1|＜4⇔x ＋2＋x －1＜4⇔2x ＜3⇔x ＜32， 所以不等式组⎩⎨⎧x ≥1，|x ＋2|＋|x －1|＜4的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32.因此原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－52，－2∪(－2,1)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，32.A 级：“四基”巩固训练一、选择题1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧23x ＋5＞1－x ，x －1≤34x －18的解集为( )A ．(－∞，－12) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－125，72 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－125，12 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，12 答案 B解析不等式组⎩⎪⎨⎪⎧23x ＋5＞1－x ，x －1≤34x －18可化为⎩⎨⎧2x ＋15＞3－3x ， ①8x －8≤6x －1. ② 解不等式①，得x ＞－125.解不等式②，得x ≤72.所以原不等式组的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－125，72.故选B.2．“|x －1|＜2成立”是“x (x －3)＜0成立”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 ∵|x －1|＜2成立⇔－1＜x ＜3成立，x (x －3)＜0成立⇔0＜x ＜3成立，又－1＜x ＜3⇒/0＜x ＜3,0＜x ＜3⇒－1＜x ＜3，∴“|x －1|＜2成立”是“x (x －3)＜0成立”的必要不充分条件．故选B.3．不等式3≤|5－2x |<9的解集为( ) A ．(－∞，－2)∪(7，＋∞) B ．[1,4] C ．[－2,1]∪[4,7] D ．(－2,1]∪[4,7) 答案 D解析 不等式等价于⎩⎨⎧－9<2x －5<9，2x －5≥3或2x －5≤－3，解得－2<x ≤1或4≤x <7.所以原不等式的解集为(－2，1]∪[4,7)．故选D. 4．不等式|x －1|＋|x －2|≥5的解集为( ) A ．(－∞，－1]∪[4，＋∞) B ．(－∞，1]∪[2，＋∞) C ．(－∞，1] D ．[2，＋∞) 答案 A解析 画数轴可得：当x ＝－1或x ＝4时，有|x －1|＋|x －2|＝5.由绝对值的几何意义可得，当x ≤－1或x ≥4时，|x －1|＋|x －2|≥5，故选A.5．设集合A ＝{x ||x －a |＜1，x ∈R }，B ＝{x ||x －b |＞2，x ∈R }．若A ⊆B ，则实数a ，b 必满足( )A ．|a ＋b |≤3B ．|a ＋b |≥3C ．|a －b |≤3D ．|a －b |≥3答案 D解析 由|x －a |＜1，得a －1＜x ＜a ＋1.由|x －b |＞2，得x ＜b －2或x ＞b ＋2.∵A ⊆B ，∴a －1≥b ＋2或a ＋1≤b －2，即a －b ≥3或a －b ≤－3，∴|a －b |≥3.二、填空题6．不等式||x －2|－1|≤1的解集为________． 答案 [0,4]解析 原不等式可转化为－1≤|x －2|－1≤1，故0≤|x －2|≤2，解得0≤x ≤4，故所求不等式的解集为[0,4]．7.|2x －1|－2|x ＋3|＞0的解集为________．答案 (－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ 解析 ∵分母|x ＋3|＞0且x ≠－3，∴原不等式等价于|2x －1|－2＞0，即|2x －1|＞2， ∴2x －1＞2或2x －1＜－2，解得x ＞32或x ＜－12.∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＞32或x ＜－12且x ≠－3，即(－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞. 8．已知不等式|ax ＋b |＜2(a ≠0)的解集为{x |1＜x ＜5}，则实数a ，b 的值为________． 答案 1，－3或－1,3解析 原不等式等价于－2＜ax ＋b ＜2.①当a ＞0时，解得－2＋b a ＜x ＜2－ba ，与1＜x ＜5比较，得⎩⎪⎨⎪⎧－2＋ba ＝1，2－ba ＝5，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－3.②当a ＜0时，解得2－b a ＜x ＜－2＋ba ，与1＜x ＜5比较，得⎩⎪⎨⎪⎧2－b a ＝1，－2＋ba ＝5，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝3. 综上所述，a ＝1，b ＝－3或a ＝－1，b ＝3. 三、解答题 9．解下列不等式：(1)|4x ＋5|≥25；(2)|3－2x |＜9； (3)1＜|x －1|＜5；(4)|x －1|＞|x －2|.解 (1)因为|4x ＋5|≥25⇔4x ＋5≥25或4x ＋5≤－25⇔4x ≥20或4x ≤－30⇔x ≥5或x ≤－152，所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－152∪[5，＋∞)．(2)因为|3－2x |＜9⇔|2x －3|＜9⇔－9＜2x －3＜9⇔－6＜2x ＜12⇔－3＜x ＜6， 所以原不等式的解集为(－3,6)．(3)因为1＜|x －1|＜5⇔1＜x －1＜5或－5＜x －1＜－1⇔2＜x ＜6或－4＜x ＜0， 所以原不等式的解集为(－4,0)∪(2,6)．(4)|x －1|＞|x －2|⇔(x －1)2＞(x －2)2⇔x 2－2x ＋1＞x 2－4x ＋4⇔2x ＞3⇔x ＞32， 所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞.10．解不等式|3x －2|＋|x －1|＞3.解 ①当x ≤23时，|3x －2|＋|x －1|＝2－3x ＋1－x ＝3－4x ，由3－4x ＞3，得x ＜0. ②当23＜x ＜1时，|3x －2|＋|x －1|＝3x －2＋1－x ＝2x －1，由2x －1＞3，得x ＞2，∴x ∈∅. ③当x ≥1时，|3x －2|＋|x －1|＝3x －2＋x －1＝4x －3，由4x －3＞3，得x ＞32，∴x ＞32. 故原不等式的解集为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞.B 级：“四能”提升训练1．若|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，求实数a 的值． 解 当a ≤－1时，|x ＋1|＋2|x －a |＝⎩⎨⎧－3x ＋2a －1(x ≤a )，x －2a －1(a <x ≤－1)，3x －2a ＋1(x >－1)，所以(|x ＋1|＋2|x －a |)min ＝－a －1， 所以－a －1＝5，所以a ＝－6. 当a >－1时，|x ＋1|＋2|x －a |＝⎩⎨⎧－3x ＋2a －1(x ≤－1)，－x ＋2a ＋1(－1<x ≤a )，3x －2a ＋1(x >a )，所以(|x ＋1|＋2|x －a |)min ＝a ＋1， 所以a ＋1＝5，所以a ＝4. 综上可知，a ＝－6或a ＝4.2．已知P ＝|2x －1|＋|2x ＋a |，Q ＝x ＋3.(1)当a ＝－2时，求不等式|2x －1|＋|2x ＋a |＜x ＋3的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a 2，12时，|2x －1|＋|2x ＋a |≤x ＋3，求a 的取值范围．解 (1)解法一：当a ＝－2时，不等式为|2x －1|＋|2x －2|＜x ＋3. 当x ≥1时，4x －3＜x ＋3⇒x ＜2； 当x ≤12时，－4x ＋3＜x ＋3⇒x ＞0； 当12＜x ＜1时，1＜x ＋3⇒x ＞－2.综上可知，当a ＝－2时，不等式|2x －1|＋|2x ＋a |＜x ＋3的解集为(0,2)．解法二：当a ＝－2时，不等式|2x －1|＋|2x ＋a |＜x ＋3化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x ，x ＜12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x ＞1，其图像如图所示，由图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0，所以原不等式的解集为(0,2)．(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a 2，12时，P ＝|2x －1|＋|2x ＋a |＝1＋a ，不等式|2x －1|＋|2x ＋a |≤x ＋3化为1＋a ≤x ＋3， 所以x ≥a －2对x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a 2，12都成立，故－a 2≥a －2，即a ≤43. 从而a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，43.。
解不等式的常见方法与技巧
解不等式的常见方法与技巧不等式是数学中常见的问题类型，我们经常需要找到不等式的解集。
本文将介绍解不等式的一些常见方法和技巧，帮助读者更好地理解和解决这类问题。
一、一元一次不等式一元一次不等式是形如ax + b > 0的不等式。
解这类不等式可以通过以下步骤进行：1. 将不等式转化为等式，即ax + b = 0。
2. 求得等式的解x = -b/a。
3. 判断解的范围。
如果a > 0，则解集为x > -b/a；如果a < 0，则解集为x < -b/a。
二、一元二次不等式一元二次不等式是形如ax^2 + bx + c > 0的不等式。
解这类不等式可以通过以下步骤进行：1. 将不等式转化为等式，即ax^2 + bx + c = 0。
2. 如果方程的判别式b^2 - 4ac > 0，则方程有两个实根。
a. 计算出两个实根x1和x2。
b. 根据实根的大小关系和二次函数的凹凸性判断不等式的解集。
3. 如果方程的判别式b^2 - 4ac = 0，则方程有一个实根。
根据实根和二次函数的凹凸性判断不等式的解集。
4. 如果方程的判别式b^2 - 4ac < 0，则方程无实根。
根据二次函数的凹凸性判断不等式的解集。
三、绝对值不等式绝对值不等式是形如|ax + b| > c的不等式。
解这类不等式可以通过以下步骤进行：1. 将不等式分为两种情况，即ax + b > c和ax + b < -c。
2. 对每一种情况，分别解出不等式的解集。
3. 最终的解集为两种情况的并集。
四、分式不等式分式不等式是形如f(x)/g(x) > 0的不等式，其中f(x)和g(x)是两个多项式。
解这类不等式可以通过以下步骤进行：1. 求出分式的定义域，即满足g(x) ≠ 0的x的取值范围。
2. 将分式化简为一个乘积，其中每个因式都是一个一元一次不等式或二次不等式。
3. 对每一个因式，求解其不等式的解集。
不等式的解集与表示
不等式的解集与表示不等式是数学中的一种重要的数值关系表达式，用于描述数值之间的大小关系。
不等式的解集指满足不等式的所有实数的集合，解集的表示方法有多种。
本文将从不等式的基本概念入手，详细介绍不等式的解集表示方法。
一、不等式的基本概念不等式是数学中常用的表达式，可以用来表示数值的大小关系。
不等式的一般形式为：a <b （a小于b）a >b （a大于b）a ≤b （a小于等于b）a ≥b （a大于等于b）其中，符号"<"、">"表示严格不等，符号"≤"、"≥"表示非严格不等。
在不等式中，a、b可以是任意实数，也可以是变量或函数。
例如，对于不等式2x + 3 < 7，其中x是变量，解集表示了使得不等式成立的x的取值范围。
二、不等式的解集表示方法1. 集合表示法不等式的解集可以用集合表示法来表示，即将满足不等式的数值或变量放入一个集合中。
例如，对于不等式x > 3，解集可以表示为{x | x > 3}，其中“|”表示“使得”的含义。
解集表示了所有大于3的实数。
2. 区间表示法当不等式涉及到连续的数值范围时，可以用区间表示法来表示解集。
- 开区间表示法开区间表示法用小括号表示，例如(3, +∞)表示大于3的所有实数。
- 闭区间表示法闭区间表示法用方括号表示，例如[3, +∞)表示大于等于3的所有实数。
- 半开半闭区间表示法半开半闭区间表示法用一个开括号和一个闭括号表示，例如(3, +∞]表示大于3且小于等于无穷大的所有实数。
3. 图形表示法对于某些简单的不等式，可以使用图形表示法来表示解集。
例如，对于不等式x > 3，可以将其表示为一条从点3开始的无限延伸的射线。
这种表示方法直观清晰，便于理解。
三、不等式的解集的性质不等式的解集有一些基本的性质，包括：1. 解集的包含关系：对于不等式a ≤ b和b ≤ c，解集满足a ≤ c，即解集是传递的。
不等式的解集
①当x<-7时,不等式变为-x-7+x-2≤3,
∴-9≤3成立,∴x<-7.
②当-7≤x≤2时,不等式变为x+7+x-2≤3,即2x≤-2,∴x≤-1,∴-7≤x≤-1.
③当x>2时,不等式变为x+7-x+2≤3,即9≤3不成立,∴x∈⌀.
∴原不等式的解集为(-∞,-1].
绝对值的不等式组再求解.
解:原不等式等价于
|-2| ≥ 3,①
|-2| < 4.②
由①,得x-2≤-3,或x-2≥3,∴x≤-1,或x≥5.
由②,得-4<x-2<4,∴-2<x<6.
如图所示,原不等式的解集为{x|-2<x≤-1,或5≤x<6}.
课堂篇
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探究一
探究二
探究三
思维辨析
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例3解不等式:|x+7|-|x-2|≤3.
分析:利用分类讨论思想脱去绝对值符号进行求解.
解:方法一:|x+7|-|x-2|可以看成数轴上的动点(坐标为x)到-7对应
点的距离与到2对应点的距离的差,先找到这个差等于3的点,即x=1(如图所示).
从图易知不等式|x+7|-|x-2|≤3的解为x≤-1,即x∈(-∞,-1].
(2)中点坐标公式可以解决三点共线问题.其中已知两点坐标,可
用公式求第三点的坐标.
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变式训练 已知数轴上有点 A(-2),B(1),D(3),点 C 在射线 BA 上,且
一元一次不等式知识点分类(上课用)
一元一次不等式知识点分类一、不等式的解集1.若代数式237x +的值是非负数，则x 的取值范围是 .2.不等式3-y <3y +4的解集是 .3.已知关于x 的不等式（1-a ）x >2的解集为x <21a -，则a 的取值范围是（ ）A ．a >0B ．a >1C ．a <0D ．a <14.若使代数式55x-的值不大于22x-的值,则x 的取值范围为_________.5.在数轴上与原点的距离小于8的点对应的x 满足( )A 、x ＜8B 、x ＞8C 、x ＜－8或x ＞8D 、－8＜x ＜86.不等式1x ≤的非负整数解是 ；不等式1x ≥-的最小整数解是 .7.不等式ax b >的解集是bx a <，则a 的取值范围是 .8.如果关于x 的不等式()15a x a -<+和24x <的解集相同，则a 的值为________．二、不等式的性质1.由x <y ，得到ax >ay ，a 应满足的条件是（ ）A ．a ≥0B ．a ≤0C ．a >0D ．a <02.若a <b <0，则-a ____-b ；│a │_____│b │；1a ____1b ．3.下列变形不正确的是（ ）A ．由b >5得4a +b >4a +5B ．由a >b ，得b <aC ．由122x y ->得x <-4yD ．-5x >-a 得x >5a4.如果0>>a b ，那么( )．A ．b a 11->- B ．b a 11< C ．b a 11-<- D ．a b ->-三、解一元一次不等式1.解下列不等式，并在数轴上把它们的解集表示出来． (1)61224x x -->- (2)612124x x x --≤-(3)5(2)86(1)7x x-+<-+(4)52(3)64x x-->-(5)2151132x x-+-≤(6)22123x x+-≥2.求满足不等式14(2x+1)-15(3x+1)>-13的x的最大整数值.3.x取何值时,代数式1132x x+--的值不小于代数式16x-的值.4.不等式a（x－1）>x+1－2a的解集是x<－1，请确定a是怎样的值.5.如果不等式4x－3a>－1与不等式2（x－1）+3>5的解集相同，请确定a的值.6.关于x的一元一次方程4x+m+1=3x－1的解是负数，求m的取值范围.四、一元一次不等式应用1.小明准备用20元钱买火腿肠和方便面，已知一根火腿肠2元钱，一盒方便面3元钱，他买了5盒方便面，他还可能买多少根火腿肠?2.某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元.后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润不低于5%，请你帮忙算一算，该商品至多可以打几折?3.爆破施工时，导火索燃烧的速度是0.8cm/s，人跑开的速度是5m/s，为了使点火的战士在施工时能跑到100m 以外的安全地区，导火索至少需要多长?4.在一次“人与自然”知识竞赛中，共有25道选择题，要求学生把正确答案选出，每道选对得10分，选错或不选倒扣5分．如果一个学生在本次竞赛中的得分不低于200分，那么他至少要选对多少道题?5.某种出租车的收费标准是：起步价7元（即行驶距离不超过3km都需要7元车费），超过3km，每增加1km，加收2.4元（不足1km按1km计）。
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10：20从鸟的天堂出发赶往离这50千米的熊猫馆，熊猫馆要在11：
00以前才能够进去.问：爸爸的车速应该具备什么条件，才能在11：
00前赶到？若设车速为每小时பைடு நூலகம்千米，能用一个式子表示吗？
从时间上看,汽车要在11:00之前赶到熊猫馆,则 以这个速度行驶50千米所用的时间不到
2 50 即: < 3 x
概念学习
2 x >50 a>0 a+5<7 4y>8 3 a+2≠a-2
50 < 2 x 3
像上述式子这样
不等式的定义:
用“<”或“>”号表示大小关系的式子叫做
不等式.用“≠”表示不等关系的式子也是不
等式
用不等式表示： (1)x的3倍大于1； (2) y与5的差小于零； (3) x与3的和不大于6； (4) x的不小于2．
0,
1,
2.5,
3,
3.2,
3.直接写出不等式的解集: ⑴ x-2>0 ⑵ 2x<6 ⑶ x+1>5
4.已知点P(x, y)位于第二象限,并且y<x+4, x, y
为整数,写出一个符合上述条件的点P的坐标.
不等式解集的表示------用数轴 如x>a在数轴上表示为
如x≤a在数轴上表示为
在数轴上表示下列不等式的解集
例2 你能看出下图在数轴上 所表示的不等式的解集是什么吗?
不等式-2<x<3是什么意思?它 有哪些整数解?
请你在数轴上表示出不等式-3<x≤3的 解集，并找出其中的整数解。
收获和体会
不等式的解 不等式的解集 解不等式 不等式解集的表示方法
拓展训练(二)
1已知不等式x>a的最小整数解为2,那么a 1≤a<2 的取值范围是_________ 已知不等式x≥a的最小整数解为2,那么a 1<a≤2 的取值范围是_________ 2已知不等式x<a的最大整数解为2,那么a 2<a≤3 的取值范围是_________ 已知不等式x≤a的最大整数解为2,那么a 2≤a<3 的取值范围是_________
3 不等式x>a的负整数解有3个,那么a -4≤a<-3 不等式x≤a 的取值范围是_______; 的非负整数解有3个,那么a的取值 2≤a<3 范围是___________ 4不等式x≥a的负整数解有3个,那么 4< a≤ -3 a的取值范围是-_______; 不等式x<a 的非负整数解有3个,那么a的取值 2<a≤3 范围是___________
(1) 不等式x-3>0和x-4<0的解各 有多少个？ (2)不等式的解与方程的解有什么 不同？
可以举例说明
一个含有未知数的不等式的解 的全体叫做这个不等式的解的集合， 简称为这个不等式的解集 。 不等式x-3>0和x-4<0的解集分别 是什么？
什么叫解不等式?
可类比什么 叫解方程 ？
求不等式的解集的过程， 叫做解不等式。
什么叫不等式? 常用的不等号有哪些? 什么叫方程？ 什么是方程的解?
情境引入
一天，小王和他的爸爸去动物园玩，10：20从 鸟的天堂出发赶往离这50千米的熊猫馆，可熊猫 馆要在11：00以前才能够进去，否则要等到下午， 可下午爸爸有事。问：爸爸的车速应该具备什么 条件，才能在11：00前赶到？若设车速为每小时x 千米，能用一个式子表示吗？
2 不等式x<1的最大整数解是_;不等式x≤1的最大
整数解是_;
3 不等式x>-3.5的负整数解为_;不等式x>-4的非 正整数解为_; 4 不等式x<4的正整数解是__;不等式x≤4的非负整 数解是__;
5 不等式-2.5<x≤3.6的整数解是__
例1 比较两个不等式x≥2和 x≤2的解集，它们有什么不同? 在数轴上表示它们的不同。
(5)一个两位数的十位数字是x，个位数字 比十位数字小4，这个两位数不小于55。
1 当x的值分别取-1、0、 、2、3、 2 3.5、5时，
能使不等式x-3>0和x-4<0分别成立吗?
能使不等式成立的未知数的值 叫做不等式的解
例如，x=3.5、5都是不等式 1 x-3>0的解；x=-1、0、 、 2 2、3、3.5都是不等式x-4<0 的解。
尝试应用
练习:1、 下列说法正确的是( D ) A. x=3是2x>1的解集 B. x=3不是2x>1的解
C. x=3是2x>1的唯一解
D. x=3是2x>1的解
注意:不等式的解和不等式的解集是一样的吗?
不一样
2 、下列数值哪些是不等式 x+3> 6的解?哪 些不是?
-4,
4.8,
-2.5,
8, 12
2 以这个速度行驶 3
2 3
小时,
这是等式吗？
从路程上看,汽车要在11:00之前赶到熊猫馆 ,则
小时的路程要超过50千米,即:
2 x>50 3
探究交流
用适当的式子表示下列关系: ⑴ a是正数 a>0
a+5<7 ⑵ a与5的和小于7; ⑶ y的4倍大于8 4y>8
⑷ a+2不等于a-2. a+2≠a-2
(1) x>1 (2)x≥-2 (3)
x<-2 (4)
x≤3
(1) x>1 (2)x≥-2 (3) x<-2 (4) x≤3有 什么区别?
空无实有，左小右大
同步练习：在数轴表示下列不等式的解集
(1)x≤4
(2)x﹥-3
(3)-1﹤x≤2
拓展训练(一)
1 不等式x>1的最小整数解是_;不等式x≥1的最小 整数解是_;