18.1.2平行四边形的判定(第3课时)中位线
人教版八年级数学下册_2021春《第3课时_平行四边形的判定》教学设计
人教版八下18.1.2平行四边形判定(第3课时)教学设计教学流程图地位与作用本节内容是在学习平行四边形性质与判定后进行的，是平行四边形性质的应用．在研究平行四边形性质时，我们借助三角形的有关知识进行研究，在学习了平行四边形后，也可以利用平行四边形来研究三角形，体现了辩证与联系的思想．三角形中位线定理是三角形中重要的定理，它揭示了连结三角形任意两边中点所得的线段与第三边的位置关系和倍分关系，与相似等内容有着密切的联系，在图形证明和计算中具有广泛的应用．概念解析三角形的中位线平行于第三边并且等于等三边的一半，在同一个题设下，有两个结论，一个结论表明位置关系，另一个结论表明数量关系，两者在这里得到完美呈现．应用这个定理时，不一定同时用到两个结论，有时用到平行关系，有时用到倍分关系，根据具体情况，灵活使用．思想方法三角形的中位线定理的探索和证明，可以完整地体现“合情推理，提出猜想——演绎推理，证明猜想”的几何探究过程，引导学生经历这样的过程，有利于他们体会两种推理功能不同、相辅相成；三角形中位线定理的发现和证明过程体现了归纳、类比、转化等思想方法，核心是通过构造平行四边形，把三角形的问题转化为平行四边形问题．知识类型三角形中位线定理属于原理与规则类知识，需要学生在经历探索、猜想、证明的过程中理解新知识，在联系与应用中将知识转化为能力．教学重点基于以上分析，本课的教学重点是：探索并证明三角形的中位线定理.教学目标解析教学目标1．通过作图、猜想、验证等得出三角形的中位线定理，并能给出证明．2．会利用三角形的中位线定理解决有关问题．目标解析达成目标1的标志是：理解三角形中位线的概念，明确三角形中位线与中线的区别；能通过作图测量等手段猜想三角形中位线与第三边的数量关系与位置关系；能抓住中点这个关键信息，利用对角线互相平分构造平行四边形进行定理的证明.达成目标2的标志是：明确三角形中位线定理的条件与结论；对于题目中存在两个中点的问题能自动联想中位线定理是否可用；在只有一个中点的情况下，根据题目信息（包括结论信息）添加辅助线；能在复杂图形中能敏捷感知中位线并灵活运用三角形中位线定理解决问题．教学问题诊断分析具备的基础学生已经掌握了三角形全等、平行线、平行四边形的性质和判定等知识，在前面的学习中积累了较丰富的几何猜想与论证的经验，并且具备一定的分析思维能力.与本课目标的差距分析八年级学生知识的迁移能力有限，数学思想方法的运用也不够灵活，三角形的中位线定理既要证明线段的位置关系，又要证明线段的倍分关系，对于几何逻辑思维尚不成熟的八年级学生来讲，难度较大．存在的问题三角形的中位线定理的证明的突破口在于添加辅助线，学生在前面的学习中，添加辅助线的练习相对较少，因此，如何适当添加辅助线、是学生的困难所在.应对策略教学中，教师让学生通过观察和动手测量，作出初步猜想，再引导学生去证明猜想，重点分析辅助线是如何想到的．通过问题串的策略让学生意识到所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，结合结论与条件的中点信息，联想已学过的知识，在追问与交流中发现构造平行四边形来证明的方法，同时及时回顾与多种证法来深化认识加深体会．教学难点基于以上分析，本课的教学难点是：证明三角形的中位线定理时添加辅助线．教学支持条件分析可印发练习纸以便于学生构造不同的平行四边形添加辅助线，可用实物投影或希沃授课软件展示学生的成果；用ppt展示定理的证明；可用常用统计软件统计显示测评结果；根据测评结果，对没有达标的部分内容、没有达标的部分同学，用点对点技术推送相应的训练资源．教学支持条件分析可印发练习纸以便于学生构造不同的平行四边形添加辅助线，可用实物投影或希沃授课软件展示学生的成果；用ppt展示定理的证明；可用常用统计软件统计显示测评结果；根据测评结果，对没有达标的部分内容、没有达标的部分同学，用点对点技术推送相应的训练资源．教学过程设计课前检测1．四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD，从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有()A．3种B．4种C．5种D．6种答案：B2．A，B，C是平面内不在同一条直线上的三点，点D是平面内任意一点，若A，B，C，D四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点D有() A．1个B．2个C．3个D．4个答案：C3．如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连结DE并延长，交AB的延长线于点F，AB＝BF.添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形．你认为下面四个条件中可选择的是()A．AD＝BC B．CD＝BF C．∠A＝∠C D．∠F＝∠CDE答案：D4．四个点A，B，C，D在同一平面内，现有下列四个条件：①AB＝CD；②AD＝BC；③AB∥CD；④AD∥BC，从这些条件中任选两个能使四边形ABCD是平行四边形的选法有()A．3种B．4种C．5种D．6种答案：B5．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC的周长是（）A. 8B. 10C. 12D. 14答案：C设计意图：本组课前检测题主要检查学生对于平行四边形判定掌握的情况．前4题是关于平行四边形的判定，最后一题是关于三角形中位线定理的问题，设计此问题的意图是检查学生对于三角形中位线定理的直观感知．这些知识都是本节课学生所需要的，如果学生这些知识不完整，必将影响本节的学习，需要进行适当的复习．新课学习1.掌握概念，明确区别如图1，△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE．像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.问题1：（1）三角形有几条中位线？（2）三角形的中位线与中线有什么区别？师生活动设计：教师直接提出问题，让学生通过作图，观察得出中位线与中线的区别：三角形的中位线的两端点都是三角形边的中点，而三角形的中线只有一个端点是边的中点，另一个端点是三角形的一个顶点．设计意图：让学生理解三角形中位线的概念，明确三角形中位线与中线的区别.2.提出问题，观察猜想问题2：观察图1，你能发现△ABC的中位线DE与边BC的位置关系吗？度量一下，DE与BC之间有什么数量关系？师生活动设计：教师直接提出问题，让学生通过观察和动手测量DE，BC的长度，作出初步猜想．设计意图：让学生通过观察测量，提出猜想.3.分析问题，寻找思路问题3：要确定猜想正确，必须进行证明，这首先要对照图形写出已知、求证．请试一试！（已知：在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点.求证：DE∥BC且DE=BC）追问1：怎样分析证明思路？师生活动设计：教师引导学生分析，判断两直线平行，可以用平行线的判定，也可以用平行四边形性质，由于已知条件是线段关系（中点导致出现线段相等），而从线段相等出发证线段平行，应该用平行四边形判定，图中没有平行四边形，因此需要构造一个平行四边形.另外证明线段的倍分可以进行截长或补短.根据以上分析，让学生构造不同的平行四边形如图2(1)---（5）．设计意图：让学生运用化三角形问题为平行四边形问题的思想，构造出不同的联系条件和结论的几何模型——平行四边形，形成不同的解题方案．追问2：请各自试一试，上面的五种方案是否都可行，如可行，说出辅助线的画法，如不可行，请说明原因．师生活动设计：学生在独立思考的基础上分小组讨论，教师进行必要的启发．设计意图：在上述方案中，图2中的（1）（2）（3）无法实施，因为根据现有的知识无法判定平行四边形．而方案（4）(5)可行．让学生经历从失败到成功的过程，让学生体会数学问题的解决过程伴随着挫折，需要持之以恒地理性思考．4.推理论证，形成定理问题4：请用适当的方法证明猜想．师生活动设计1：教师引导学生针对方案4，5进行证明．方案4有以下两种证明方法（方案5证明方法与方案4相类似）．方法1：如图3，延长DE到F，使EF=DE，连接CF，由△ADE≌△CFE，可得AD∥FC，且AD=FC，因此有BD∥FC，BD=FC，所以四边形BCFD是平行四边形．所以DF∥BC，DF=BC，因为DE=DF，所以DE∥BC且DE=BC．（也可以过点C作CF∥AB交DE的延长线于F点，证明方法与上面大体相同）方法2：如图4，延长DE到F，使EF=DE，连接CF、CD和AF，又AE=EC，所以四边形ADCF是平行四边形．所以AD∥FC，且AD=FC．因为AD=BD，所以BD∥FC，且BD=FC．所以四边形BCFD是平行四边形．所以DF∥BC，且DF=BC，因为DE=DF，所以DE∥BC且DE=BC．问题5 ：请用自己的语言说出得到的结论．师生活动设计：教师引导学生用文字语言和符号语言描述定理内容：（1）三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．（2）结合图形给出数学表达形式：在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE∥BC，且DE=BC .设计意图：用演绎推理证明结论，培养学生严谨的科学态度．由学生讨论得到添加辅助线的方法，提升学生分析与解决问题的能力．目标检测1：如图5，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8，D，E，F，分别是边BC，AC，AB的中点，斜边上的中线是线段_______，直角△ABC的中位线分别是____________，∠CED=______°，四边形AEDF的周长为__________.设计意图：辨别三角形中位线与中线的区别，能直接应用中位线定理.如果学生能够顺利完成，则进行例1的教学，如果存在问题，则引导学生结合图形再次理解三角形中位线定理.5.尝试运用，掌握定理例1 已知：在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．师生活动设计：教师引导学生分析，因为已知点E、F、G、H分别是线段的中点，可以设法应用三角形中位线性质找到四边形EFGH的边之间的关系．由于四边形的对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加辅助线，连接AC或BD，构造“三角形中位线”的基本图形后，此题便可得证．证明：如图6，连结AC，△DAC中，∵AH=HD，CG=GD，∴HG∥AC，HG=AC（三角形中位线性质）．同理EF∥AC，EF=AC．∴HG∥EF，且HG=EF．∴四边形EFGH是平行四边形．设计意图：例1是三角形中位线性质与平行四边形的判定的综合应用，通过巧妙构造三角形，并运用三角形的中位线定理来解题，体会三角形中位线定理的魅力，巩固新知识．可以借助与多媒体或教具把辅助线的添加方法讲清楚，证明完成后，可得出一般认识：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形．这个结论今后也会经常会用到．目标检测2：如图7，点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点.求证：(1)∠A=∠DEF；(2)四边形AFED的周长等于AB+AC.设计意图：能运用三角形中位线定理以及平行四边形的判定解决有关问题．如果学生能顺利完成，则展开追问1，如果存在困难，则引导学生关注“点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点.”这个条件，从而应用三角形中位线定理解决问题.追问1：图中有哪些平行四边形？设计意图：通过找平行四边形让学生进一步巩固新知识．课堂小结问题6：通过本节课的研究，你感悟到什么？还有什么疑惑？师生活动设计：让学生回顾课堂中学到的知识，并畅谈由此受到的启发，教师在倾听学生的回答的同时注意适时的归纳总结.设计意图：学生自主小结，提高学生的数学概括表达能力，增强学生学习过程中的反思意识．有助于学生在归纳过程中把所学的知识条理化、系统化．目标检测设计1．如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC，并分别找出AC 和BC的中点M，N，如果测得MN＝20m，那么A，B两点间的距离是____m.2．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A＝50°，∠ADE＝60°，则∠C的度数为()A．50°B．60°C．70°D．80°3．一个三角形的周长是120cm，过三角形各边的中点作对边的平行线，则这三条平行线所组成的三角形的周长是_______cm．4．如图，AD是△ABC的中线，EF是中位线. 求证：AD与EF互相平分.5．已知：如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH 是平行四边形．。
18.1.2_平行四边形的判定(1---3)
教学重难点
重点：
平行四边形的判定方法及应用．
难点：
平行四边形的判定定理与性质定理的灵 活应用．
探究
张师傅手中有一些木条，他想通过适当的测量、 割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出 一些办法来吗？并说明理由． A● AB＝CD AD＝BC
角
两组对角分别相等
对角线： 对角线互相平分
• 1、下列条件中，不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（ D ） • A、∠A=∠C，∠B=∠D • ∠A=∠B=∠C=90 • ∠A+∠B=180 ，∠B+∠C=180 • ∠A+∠B=180 ，∠C+∠D=180
A D
B
C
• 下列条件中能判定一个四边形是平行四边形的条件 是（D ） • ①一组对边相等，且一组对角相等，②一组对边相 等且一条对角线平分另一条对角线，③一组对角相 等，且这一组对角的顶点所连结的对角线被另一条 对角线平分，④一组对角相等，且这一组对角的顶 点所连结的对角线平分这组对角。 • A、①和② B、②和③ • C、②和④ D、只有④ D A
新课导入
回顾旧知
下面图片中，哪些是平行四边形？你是 怎样判断的？
平行四边形的主要特征
1．边： a．平行四边形两组对边分别平行． b．平行四边形两组对边分别相等． 2．角：平行四边形两组对角分别相等． 3．对角线： 平行四边形对角线互相平分 .
怎样证明对边相等或对角 线相等或对角线互相平分的四 边形是不是平行四边形？
证明：作对角线BD，交AC于点O．
A
E O F B C
18.1.2平行四边形的判定(3)
学习目标
1.掌握并识记三角形的中位线定义及中 位线定理; 2.会证明三角形的中位线定理与应用中 位线定理进行计算和证明
自学指导
1.阅读课本P47练习下的内容,识记并掌握三 角形的中位线的定义;
2.思考P48“思考云图”中的问题;
3.思考P48的探究,解决探究中的问题,并证明 三角形的中位线定理; 4.请用文字及符号语言叙述三角形的中位线 定理（注意P48的黄色书签）. 9分钟时间内看哪些同学能快速完成并熟背 定理
选做题：
3.已知：如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、 DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．
当堂检测
请在6分钟内完成教材第49页的练习题1、3两 题，看哪一组完成的又快又好。
必做题：
当堂训练
第 3题 C
1.△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点，∠A=50°, ∠B=70°,则∠AED=_____ ；BC=10cm，则 A DE=______.
D E
B
第 1题
2.求证顺次连结任意四边形各边中点所得的四边 形是平行四边形。
18.1.2 平行四边形的判定(3)
边形吗？
不一定。如右图
定义
平 行 四 边 形
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 对边平行 边的性质 对边相等 对角相等 性质 角的性质 邻角互补 对角线的性质 对角线互相垂直平分 对称性 中心对称图形 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 判定 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
平分的四边形是平行四边形。）
平行四边形判定方法4：
两组对角分别相等的四边形是 平行四边形。
数学语言：
A B C
D
∵∠A=∠C，∠B=∠D（已知）
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对角分
别相等的四边形是平行四边形。）
方法三：如图，将两根同样长的木条 AB，CD平行放置，再用木条AD，BC加固，得 到的四边形ABCD就是平行四边形，为什么？ A
一组对边平行，另一组对边相
等的四边形一定是等的
四边形是平行四边形吗？
A. D
△ABE为等腰三角形
作△DCA≌△EAC ∴ ∠B = ∠E = ∠D
B
C
E
AB = AE = DC
显然,四边形ABCD不是平 行四边形.
有两条边相等，并且另外的两 条边也相等的四边形一定是平行四
3、不能判定四边形ABCD是平行四边形 的条件是（ A. AB=CD ） AD=BC
B. AB∥CD AB=CD
C. AB=CD AD∥BC
A B C
D
D. AB∥CD AD∥ BC
结合图形进行判断。
4、在四边形ABCD中，从①AB∥CD；②
BC∥AD；③AB=CD；④BC=AD；这四个条件
【最新版】八年级数学下册课件：18.1.2平行四边形的判定
求证：四边形ABCD是平行四边形
证明：∵∠A=∠C，∠B=∠D（已知）
A
D
又∵∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D =360 °
∴ 2∠A+ 2∠B=360 °
B
C
即∠A+ ∠B=180 °
∴ AD∥BC （同旁内角互补，两直线平行）
同理可证AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别平行的 四边形是平行四边形)
A
D
A
D
几何语言：
在四边形ABCD中，
B
B
C
C
∵AB=CD,AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
探究新知
18.1 平行四边形/
素养考点 1 利用两组对边分别相等识别平行四边形 例1 如图，在Rt△MON中，∠MON＝90°.求证： 四边形PONM是平行四边形．
证明：在Rt△MON中，
由勾股定理得(x－5)2＋42＝(x－3)2，
探究新知
18.1 平行四边形/
知识点 2 平行四边形的判定定理2 一天，八年级的李明同学在生物实验室做实验时，不小心 碰碎了实验室的一块平行四边形的实验用的玻璃片,只剩下如图 所示部分,他想去割一块赔给学校，带上玻璃剩下部分去玻璃店 不安全，于是他想把原来的平行四边形重新在纸上画出来，然 后带上图纸去就行了，可原来的平行四边形怎么画出来呢？
由上面的过程你得到了什么结论？
是平行四边形
B
两组对边分别相等的四边形是平行四边形 如何证明这
个结论呢？
探究新知
18.1 平行四边形/
已知： 四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC. 你能用平行
求证： 四边形ABCD是平行四边形.
内鄂尔多斯市康巴什新区第二中学八年级数学下册 18.1.2 平行四边形的判定(第3课时)课件 (新版)新人教版
D
B
E
C
已知，如图，D、E分别是△ABC的边AB、
1 AC的中点. 求证：DE∥BC， DE BC ． 2
A
D
E
C
分析1：
平行 角
B
一条线段是另一条线段 的一半
倍长短线
或 平行四边形
线段相等
A
分析2：
倍长 DE 互相 平分
D
B
E
C
构 造
平行 四边 形
证法1：
A 证明： 延长DE到F，使EF=DE． D E 连接AF、CF、DC ． C B ∵AE=EC，DE=EF ， ∴四边形ADCF是平行四边形． ∴CF // AD ． ∴CF // BD ． ∴四边形BCFD是平行四边形．
A
E
C
F
三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于三角形的 D 第三边且等于第三边的一半．
B
A
E
C
符号语言： △ABC中，若D、E分别是边AB、AC的中点，
1 则DE∥BC，DE= BC． 2
三角形中位线定理：
D
A
E
三角形的中位线 平行
B
一条线段是另一条线段的2倍或
1 2
1. 如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC中点． （1） 若DE=5，则BC= 10 ． （2） 若∠B=65°，则∠ADE= 65 °． （3） 若DE+BC=12，则BC= 8 ．
B
A
E
C
分析： 猜想：
两条线段的关系 DE 与BC的关系 位置关系 DE∥BC
1 ？ BC 数量关系 DE 2
问题4： 度量一下你手中的三角形，看看是 否有同样的结论？并用文字表述这一结论．
18.1.2平行四边形的判定-三角形中位线(教案)
其次，在新课讲授环节，我尝试用理论介绍、案例分析和重点难点解析的方式，帮助学生理解三角形中位线与平行四边形之间的关系。但在这个过程中，我发现有些学生在分析案例时仍然存在困难。这可能是因为我讲解得不够透彻，或者课堂实践环节还不够充分。针对这个问题，我打算在接下来的课程中增加一些互动环节，让学生更多地参与到课堂实践中来，以提高他们的理解和应用能力。
举例：通过绘制具体图形，让学生观察并理解三角形中位线的定义；讲解如何利用中位线判定平行四边形，强调步骤和条件；设计实际情境题，让学生将所学知识应用于解决具体问题。
2.教学难点
-难点内容：三角形中位线判定平行四边形的逻辑推理过程，以及在实际问题中的应用。
-难点突破方法：
a.使用直观教具，如模型、图形等，帮助学生形成直观认识。
4.培养学生的合作交流意识：通过小组合作、讨论交流等形式，促进学生分享观点，提高合作解决问题的能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心知识：三角形中位线的性质及其与平行四边形的关系。
-重点细节：
a.理解并掌握三角形中位线的定义。
b.学会运用三角形中位线判定平行四边形。
c.掌握三角形中位线与平行四边形之间的关系，并能应用于解决实际问题。
二、核心素养目标
1.培养学生的逻辑推理能力：通过探究三角形中位线性质，使学生能够运用逻辑推理，理解并掌握平行四边形的判定方法。
2.提升学生的空间想象力：借助实物模型、图形绘制等手段，帮助学生形成对三角形中位线和平行四边形的空间想象，培养空间思维能力。
人教版八年级数学下册优秀作业课件(RJ) 第十八章 平行四边形 第3课时 三角形的中位线
8．(8分)如图所示，在四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G分别是AB，CD， AC的中点．求证：△EFG是等腰三角形．
证明：∵在△ADC 中，F，G 分别是 CD，CA 的中点，∴FG＝21 AD.同理可得 GE＝12 BC.又∵AD＝BC，∴FG＝GE，∴△EFG 是等腰三角形
一、选择题(每小题5分，共10分) 9．如图，周长为36的▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，若 BD＝12，则△DOE的周长为( B ) A．10 B．15 C．20 D．24
解：(1)证明：∵E，F，G，H 分别是 AB，AC，CD，BD 的中点，∴EH＝ FG＝12 AD，EF＝GH＝12 BC，∴四边形 EFGH 是平行四边形
(2)∵BD⊥CD，BD＝4，CD＝3，∴BC＝ BD2＋DC2 ＝ 42＋32 ＝5，∴由 (1)可知 C▱EFGH＝EH＋GH＋FG＋EF＝AD＋BC＝6＋5＝11
解：四边形 ADEF 是平行四边形，证明如下：∵点 D，E 分别是边 BC，AC 的中点，∴DE∥BF，DE＝12 AB＝AF，∴四边形 ADEF 是平行四边形
14．(14分)如图，点D是△ABC内的一点，且BD⊥CD，点E，F，G，H分别是 线段AB，AC，CD，BD的中点．
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形； (2)若AD＝6，BD＝4，CD＝3，求四边形EFGH的周长．
10．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且AN⊥BN于点N，若 AB＝8，MN＝3，则AC的长是( B )
A．12 B．14 C．1Fra bibliotek D．18二、填空题(每小题5分，共10分) 11．吴伯伯家有一块如图所示的等边三角形空地(△ABC)，点E，F分别是边AB， AC的中点，量得EF＝5 m，现在要把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，则 需要篱笆的长是____m．25
平行四边形的判定课件人教版数学八年级下册2
∵点G是AB的中点，BE=EF
G
∴GE是△ABF的一条中位线，
A
∴GE∥AF，即CE∥AF，
C
E O F
H
D
同理可得 CF∥AE， ∴四边形AFCE是平行四边形． ∴OA=OC，OE=OF， 又∵BE=DF， ∴OB=OD， ∴四边形ABCD是平行四边形．
B G A
C
E O F
H
D
归纳新知
平 行 四 边 形 的 判 定
D
A
B
O
C
2.如图， 在平行四边形 ABCD 中，EF 过对角线 BD 的中
点 O. 求证：四边形 BFDE 是平行四边形.
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形
A
FD
∴OB=OD，AD//BC
O
∵ AD//BC ∴∠FDO=∠EBO
BE
C
∵ ∠FDO=∠EBO，OD=OB， ∠FOD=∠EOB
∴△FDO≌△EBO，OF=OE
(1)求证：四边形DEBF是平行四边形； (2)当DE＝DF时，求EF的长．
解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠DFO＝∠BEO，又∵∠DOF＝ ∠BOE，OD＝OB，∴△DOF≌△BOE(AAS)，∴DF＝BE，又∵DF∥BE，∴四边形 DEBF是平行四边形
(2)∵DE＝DF，四边形 DEBF 是平行四边形，∴四边形 DEBF 是菱形，∴ DE＝BE，EF⊥BD，OE＝OF，设 AE＝x，则 DE＝BE＝8－x，在 Rt△ADE 中，根据勾股定理，有 AE2＋AD2＝DE2，∴x2＋62＝(8－x)2，解得 x＝74 ，∴ DE＝8－74 ＝245 ，在 Rt△ABD 中，根据勾股定理，有 AB2＋AD2＝BD2，∴BD ＝ 62＋82 ＝10，∴OD＝12 BD＝5，在 Rt△DOE 中，根据勾股定理，有 DE2 － OD2＝OE2，∴OE＝ （245）2－52 ＝145 ，∴EF＝2OE＝125
三角形的中位线优质课教学设计一等奖及点评
《三角形的中位线》教学设计课题：18.1.2 平行四边形的判定第3课时三角形的中位线一、教学内容解析《三角形的中位线》是人教版八年级（下）平行四边形的判定第3课时的教学内容，教材安排一个学时完成。
本节课的教学内容包括三角形的中位线定义，三角形中位线的定理两部分。
三角形中位线是三角形中又一条重要的线段，要注意与三角形的中线的区别。
三角形的中位线定理是三角形中一个重要性质定理。
它揭示了线与线之间的位置关系，线段与线段间的数量关系，这为证明线段之间的位置关系和数量关系（倍分关系）提供了新的思路。
在初中阶段的几何教学中起到了承上启下的重要作用。
二、教学目标设置依据课程标准要求：探索并证明三角形的中位线定理。
结合对教学内容的分析，融合三维目标，本节课的教学目标如下：1、理解三角形中位线的定义，能辨析三角形中位线与中线的异同，掌握三角形的中位线定理及其应用，能够应用三角形的中位线定理进行有关的计算和证明，逐步提高学生分析问题和解决问题的能力。
2、经历三角形中位线定理探索的过程中的由特殊到一般的推广过程，通过观察、测量、推广过程获得猜想，并进一步验证猜想，发展学生的合情推理能力和逻辑演绎能力。
3、利用剪纸拼接活动，直观感悟、类比出证明三角形中位线定理的辅助线的作法，体会归纳、转化等数学思想方法。
4、在探索和证明的过程中，提高自主探究、合作交流的能力，培养学生的探索意识和求知欲。
三、学生学情分析三角形的中位线是在学生学完了平行线、全等三角形以及平行四边形判定之后，作为三角形和平行四边形知识的综合应用及其深化所引出的一个重要性质定理。
平行线、全等三角形以及平行四边形的判定等相关知识是学生经历猜想、验证等环节的基础，是体会“转化”数学思想的关键。
本节课中，三角形中位线的定义、简单的应用三角形中位线定理进行计算证明等，对于大部分学生而言，均能掌握。
但在本课的学习中，学生在获得三角形中位线与第三边关系的猜想后，证明三角形中位线定理存在一定的困难。
八年级数学下册第十八章平行四边形平行四边形平行四边形的判定三三角形的中位线教案新人教
18.1.2（三）平行四边形的判定——三角形的中位线一、教学目的：1．理解三角形中位线的概念，掌握它的性质．2．能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算．3．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力．4．能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论．理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法．二、重点、难点1．重点：掌握和运用三角形中位线的性质．2．难点：三角形中位线性质的证明（辅助线的添加方法）．三、例题的意图分析例1是是三角形中位线性质的证明题，教材采用的是先证明后引出概念与性质的方法，它一是要练习巩固平行四边形的性质与判定，二是为了降低难度，因此教师们在教学中要把握好度．建议讲完例1，引出三角形中位线的概念和性质后，马上做一组练习，以巩固三角形中位线的性质，然后再讲例2．例2是一道补充题，选自老教材的一个例题，它是三角形中位线性质与平行四边形的判定的混合应用题，题型挺好，添加辅助线的方法也很巧，结论以后也会经常用到，可根据学生情况适当的选讲例2．教学中，要把辅助线的添加方法讲清楚，可以借助与多媒体或教具．四、课堂引入1．平行四边形的性质；平行四边形的判定；它们之间有什么联系？2．你能说说平行四边形性质与判定的用途吗？（答：平行四边形知识的运用包括三个方面：一是直接运用平行四边形的性质去解决某些问题．例如求角的度数，线段的长度，证明角相等或线段相等等；二是判定一个四边形是平行四边形，从而判定直线平行等；三是先判定一个四边形是平行四边形，然后再眼再用平行四边形的性质去解决某些问题．）3．创设情境实验：请同学们思考：将任意一个三角形分成四个全等的三角形，你是如何切割的？（答案如图）图中有几个平行四边形？你是如何判断的？五、例习题分析例1（教材P98例4）如图，点D、E、分别为△ABC边AB、AC的中点，求证：DE ∥BC且DE=BC．分析：所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，联想已学过的知识，可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中，利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立，从而使问题得到解决，这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形．方法1：如图（1），延长DE到F，使EF=DE，连接CF，由△ADE≌△CFE，可得AD∥FC，且AD=FC，因此有BD∥FC，BD=FC，所以四边形BCFD是平行四边形．所以DF∥BC，DF=BC，因为DE=DF，所以DE∥BC且DE=BC．（也可以过点C作CF∥AB交DE的延长线于F点，证明方法与上面大体相同）方法2：如图（2），延长DE到F，使EF=DE，连接CF、CD和AF，又AE=EC，所以四边形ADCF是平行四边形．所以AD∥FC，且AD=FC．因为AD=BD，所以BD∥FC，且BD=FC．所以四边形ADCF是平行四边形．所以DF∥BC，且DF=BC，因为DE=DF，所以DE∥BC且DE=BC．定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．【思考】：（1）想一想：①一个三角形的中位线共有几条？②三角形的中位线与中线有什么区别？（2）三角形的中位线与第三边有怎样的关系？（答：（1）一个三角形的中位线共有三条；三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不同．中位线是中点与中点的连线；中线是顶点与对边中点的连线．（2）三角形的中位线与第三边的关系：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．）三角形中位线的性质：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．〖拓展〗利用这一定理，你能证明出在设情境中分割出来的四个小三角形全等吗？（让学生口述理由）例2（补充）已知：如图（1），在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．分析：因为已知点E、F、G、H分别是线段的中点，可以设法应用三角形中位线性质找到四边形EFGH的边之间的关系．由于四边形的对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加辅助线，连接AC或BD，构造“三角形中位线”的基本图形后，此题便可得证．证明：连结AC（图（2）），△DAG中，∵ AH=HD，CG=GD，∴ HG∥AC，HG=AC（三角形中位线性质）．同理EF∥AC，EF=AC．∴ HG∥EF，且HG=EF．∴四边形EFGH是平行四边形．此题可得结论：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形．六、课堂练习1．（填空）如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，如果测得MN=20 m，那么A、B两点的距离是m，理由是．2．已知：三角形的各边分别为8cm 、10cm和12cm ，求连结各边中点所成三角形的周长．3．如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，（1）若EF=5cm，则AB= cm；若BC=9cm，则DE= cm；（2）中线AF与DE中位线有什么特殊的关系？证明你的猜想．七、课后练习1．（填空）一个三角形的周长是135cm，过三角形各顶点作对边的平行线，则这三条平行线所组成的三角形的周长是 cm．2．（填空）已知：△ABC中，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，如果△DEF的周长是12cm，那么△ABC 的周长是 cm．3．已知：如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确） 1．下列各式：2a b -，3x x +，5y π+，a b a b +-，1m （x+y ）中，是分式的共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】3x x +，a b a b +-，()1x y m +分母中含有字母，因此是分式； 2a b-，5yπ+的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．故分式有3个．故选C ． 【点睛】本题主要考查了分式的定义，注意判断一个式子是否是分式的条件是：分母中是否含有未知数，如果不含有字母则不是分式． 2．已知 21x y =⎧⎨=⎩是方程组 1,{ 5.ax by x by -=+=的解，则a 、b 的值分别为（ ）A ．2 , 7B ．－1 , 3C ．2 , 3D ．－1 , 7【答案】C 【解析】把 2{1x y ==代入方程组 1,{5.ax by x by -=+=，得 21,{2 5.a b b -=+=，解得2{3a b ==. 故选C.3 ） A ．﹣3 B ．3或﹣3C ．9D ．3【答案】D【分析】本题考查二次根式的化简，(0)(0)a a a a ⎧=⎨-<⎩．|3|3=-=． 故选D ． 【点睛】本题考查了根据二次根式的意义化简．二次根式2a 化简规律：当a ≥0时，2a ＝a ；当a ≤0时，2a ＝﹣a ． 4．如图，在44⨯的正方形网格中，123∠∠∠，，的大小关系是（ ）A ．123∠>∠>∠B ．123∠=∠>∠C ．123∠<∠=∠D ．123∠=∠=∠【答案】B【分析】利用“边角边”证明△ABG 和△CDH 全等，根据全等三角形对应角相等求出∠ABG=∠DCH ，再根据两直线平行，内错角相等求出∠CBG=∠BCH ，从而得到∠1=∠2，同理求出∠DCH=∠CDM ，结合图形判断出∠BCH>∠EDM ，从而得到∠2>∠3，即可得解．【详解】解：如图，∵BG=CH ，AG=DH ，∠AGB=∠CHD=90°， ∴△ABG ≌△CDH ， ∴∠ABG=∠DCH ， ∵BG//CH ， ∴∠CBG=∠BCH ， ∴∠1=∠2，同理可得：∠DCH=∠CDM ， 但∠BCH>∠EDM ， ∴∠2>∠3， ∴∠1=∠2>∠3， 故选B ． 【点睛】本题考查平行线的性质和全等三角形的判定和性质；把∠1、∠2、∠3拆成两个角，能利用全等三角形和平行线得出相关角相等，是解题关键．5．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设鸡x只，兔y只，可列方程组为（）A．352294x yx y+=⎧⎨+=⎩B．354294x yx y+=⎧⎨+=⎩C．354494x yx y+=⎧⎨+=⎩D．352494x yx y+=⎧⎨+=⎩【答案】D【分析】等量关系为：鸡的只数+兔的只数=35，2×鸡的只数+4×兔的只数=94，把相关数值代入即可得到所求的方程组．【详解】解：∵鸡有2只脚，兔有4只脚，∴可列方程组为：35 2494x yx y+=⎧⎨+=⎩，故选D.【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组.如何列出二元一次方程组的关键点在于从题干中找出等量关系.6．如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示大长方形面积的多项式：①（2a + b）(m + n)；②2a(m + n)+b(m + n)；③m(2a+ b)+n(2a + b)；④2am+2an+bm+bn．你认为其中正确的有（）A．①②B．③④C．①②③D．①②③④【答案】D【分析】①大长方形的长为2a+b，宽为m+n，利用长方形的面积公式，表示即可；②长方形的面积等于左边，中间及右边的长方形面积之和，表示即可；③长方形的面积等于上下两个长方形面积之和，表示即可；④长方形的面积由6个长方形的面积之和，表示即可．【详解】①（2a+b）（m+n），本选项正确；②2a（m+n）+b（m+n），本选项正确；③m（2a+b）+n（2a+b），本选项正确；④2am+2an+bm+bn，本选项正确，则正确的有①②③④．故选D ． 【点睛】此题考查了整式乘法，灵活计算面积是解本题的关键． 7．若m ＞n ，下列不等式不一定成立的是（ ） A ．m+2＞n+2 B ．2m ＞2nC ．＞D ．m 2＞n 2【答案】D【解析】试题分析：A 、不等式的两边都加2，不等号的方向不变，故A 正确； B 、不等式的两边都乘以2，不等号的方向不变，故B 正确； C 、不等式的两条边都除以2，不等号的方向不变，故C 正确；D 、当0＞m ＞n 时，不等式的两边都乘以负数，不等号的方向改变，故D 错误； 故选D ．【考点】不等式的性质．8．用反证法证明命题：“在△ABC 中，∠A 、∠B 对边分别是a 、b ，若∠A>∠B ，则a>b”时第一步应假设（ ）． A ．a < b B ．a = bC ．a ≥ bD ．a ≤ b【答案】D【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行判断即可．【详解】解：用反证法证明，“在ABC 中，A ∠、B ∠对边是a 、b ，若A B ∠>∠，则.a b >” 第一步应假设a b ≤， 故选：D. 【点睛】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 9．将100个数据分成①-⑧组，如下表所示： 组号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 频数4812241873那么第④组的频率为（ ） A ．0.24 B ．0.26 C ．24 D ．26【答案】A【分析】先根据数据总数和表格中的数据，可以计算得到第④组的频数；再根据频率＝频数÷总数进行计算．【详解】解：根据表格中的数据，得第④组的频数为100−（4＋8＋12＋1＋18＋7＋3）＝1，所以其频率为1÷100＝0.1． 故选：A ． 【点睛】本题考查频数、频率的计算方法．用到的知识点：各组的频数之和等于数据总数；频率＝频数÷总数． 10．若方程322133x mxx x-++=---无解，则m 的值为（ ） A ．-1 B ．-1或53- C ．3 D ．-1或3【答案】B【分析】将分式方程化为整式方程后，分析无解的情况，求得m 值．【详解】方程两边乘最简公分母3x -后，合并同类项，整理方程得()12m x +=-，若原分式方程无解，则10m +=或3x =， 解得1m =-或53-． 【点睛】本题考查分式方程无解的两种情况，即：1.解为增根．2.整式方程无解 二、填空题11．在实数范围内，使得3x +有意义的x 的取值范围为______． 【答案】3x ≥-【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案． 【详解】解：在实数范围内，使得3x +有意义， 则1+x≥0， 解得：x≥-1． 故答案为：x≥-1． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．12．如图是“赵爽弦图”，△ABH 、△BCG 、△CDF 和△DAE 是四个全等的直角三角形，四边形ABCD 和EFGH 都是正方形，如果AB ＝10，EF ＝2，那么AH 等于【答案】6【解析】试题分析：由全等可知：AH ＝DE ，AE ＝AH ＋HE ，由直角三角形可得：222AE DE AB +=，代入可得.考点：全等三角形的对应边相等，直角三角形的勾股定理，正方形的边长相等 13．若2·8n ·16n ＝222，求n 的值等于_______． 【答案】1【分析】将8和16分别看成342,2 代入，然后再根据同底数幂的运算法则运算即可求解． 【详解】解：由题意可知：34222(2)(2)2nn ，即：1342222n n，∴172222n ，∴1722n，解得：3n =， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了幂的乘方及同底数幂的运算法则，熟练掌握运算法则是解决本题的关键．14．如图，在四边形ABCD 中，AD BC =且//AD BC ，8AB =，5AD =，AE 平分DAB ∠交BC 的延长线于F 点，则CF =_________．【答案】3 ；【分析】由//AD BC ，AE 平分DAB ∠，得到∠EAB=∠F ，则AB=BF=8，然后即可求出CF 的长度. 【详解】解：∵//AD BC ， ∴∠DAE=∠F ， ∵AE 平分DAB ∠， ∴∠DAE=∠EAB ， ∴∠EAB=∠F ， ∴AB=BF=8，∵5AD BC ==，∴853CF CF BC =-=-=； 故答案为：3. 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，以及等角对等边，解题的关键是熟练掌握所学的性质，得到AB=BF.15．一次函数y kx b =+（0k ≠，k ，b 是常数）的图像如图所示．则关于x 的方程4kx b +=的解是_______．【答案】x=1【分析】根据一次函数y=kx+b 与y=4轴的交点横坐标即为对应方程的解． 【详解】∵一次函数y=kx+b 与y=4的交点坐标是（1，4）， ∴关于x 的方程kx+b=4的解是：x=1 故答案为x=1． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，理解两条直线交点的横坐标即为对应方程的解是解答本题的关键．16．如图，∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合，点P 是OA 上的一动点，点N （3，0）是OB 上的一定点，点M 是ON 的中点，∠AOB =30°，要使PM +PN 最小，则点P 的坐标为______．【答案】（323【解析】解：作N 关于OA 的对称点N′，连接N′M 交OA 于P ，则此时，PM+PN 最小，∵OA 垂直平分NN′，∴ON=ON′，∠N′ON=2∠AON=60°，∴△NON′是等边三角形，∵点M 是ON 的中点，∴N′M ⊥ON ，∵点N （3，0），∴ON=3，∵点M 是ON 的中点，∴OM=1.5，∴PM=32，∴P （3232）．故答案为：（32，3）．点睛：本题考查了轴对称﹣最短路线问题，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，关键是确定P的位置．17．如图，AB＝6cm，AC＝BD＝4cm．∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B 运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．设点Q的运动速度为xcm/s，若使得△ACP与△BPQ全等，则x的值为_____．【答案】1或83．【分析】“与”字型全等，需要分△ACP≌△BPQ和△ACP≌△BQP两种情况讨论，当△ACP≌△BPQ时，P，Q运动时间相同，得x值；当△ACP≌△BQP时，由PA=PB，得出运动时间t，由AC=BQ得出x值【详解】当△ACP≌△BPQ，∴AP＝BQ，∵运动时间相同，∴P，Q的运动速度也相同，∴x＝1．当△ACP≌△BQP时，AC＝BQ＝4，PA＝PB，∴t＝1.5，∴x＝41.5＝83故答案为1或83．【点睛】本题要注意以下两个方面：①“与”字全等需要分类讨论；②熟练掌握全等时边与边，点与点的对应关系是分类的关键；③利用题干条件，清晰表达各边长度并且列好等量关系进行计算三、解答题18．解方程组（1）212x y y x -=⎧-=⎨⎩（2）()12513xy x y⎧+=⎪⎨⎪+=-⎩【答案】（1）{35x y ==；（2）2343x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【解析】（1）先用①+②算出x,再带入求y 即可；（2）先用②×2-①算出x,再带入求y 即可.【详解】（1）212x y y x -=⎧⎨-=⎩①②①+②，得x=3，把x=3代入②得：y-3=2，解得：y=5，所以原方程组的解为：{35x y ==；（2）整理得：2252x y x y ①②+=⎧⎨+=-⎩②×2-①得：9x=-6，解得：x=23-，把x=23-代入①得：-23+2y=2，解得：y=4 3所以方程组的解为：2343xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【点睛】本题考查的是二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组是解题的关键.19．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，P，Q分别在BC，CA上，AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的角平分线．求证：BQ+AQ=AB+BP．【答案】证明见解析．【分析】延长AB到D，使BD=BP，连接PD，由题意得：∠D=∠1=∠4=∠C=40°，从而得QB=QC，易证△APD≌△APC，从而得AD=AC，进而即可得到结论．【详解】延长AB到D，使BD=BP，连接PD，则∠D=∠1．∵AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的平分线，∠BAC=60°，∠ACB=40°，∴∠1=∠2=30°，∠ABC=180°-60°-40°=80°，∠3=∠4=40°=∠C，∴QB=QC，又∠D+∠1=∠3+∠4=80°，∴∠D=40°．在△APD与△APC中，21D CAP AP∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△APD≌△APC（AAS），∴AD=AC．∴AB+BD=AQ+QC，∴AB+BP=BQ+AQ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质定理，添加合适的辅助线，构造等腰三角形和全等三角形，是解题的关键．20．老陶手机店销售A 型和B 型两种型号的手机，销售一台A 型手机可获利1200元，销售一台B 型手机可获利1400元．手机店计划一次购进两种型号的手机共100台，其中B 型手机的进货量不超过A 型手机的3倍设购进A 型手机x 台，这100台手机的销售总利润为y 元．（1）求y 与x 的关系式．（2）该手机店购进A 型、B 型手机各多少台，才能使销售利润最大．【答案】（1）200140000y x =-+，（2）25台A 型手机，75台B 型手机．【分析】（1）由总利润等于销售A ，B 型手机获得的利润之和，从而可得答案；（2）由B 型手机的进货量不超过A 型手机的3倍列不等式求解x 的范围，再利用函数的性质求解最大的销售利润即可得到答案．【详解】解：（1）由题意得：()12001400100200140000y x x x =+-=-+．（2）根据题意得：1003x x -≤，解得25x ≥，200140000y x =-+，2000-<，y ∴随x 的增大而减小， x 为正整数，∴当25x =时，y 取最大值，则10075x -=，即商店购进25台A 型手机，75台B 型手机才能使销售利润最大．【点睛】本题考查的是一次函数的应用，一元一次不等式的应用，利用函数的性质求最大利润，掌握以上知识是解题的关键．21．如图，已知正比例函数12y x =和一个反比例函数的图像交于点(2A ，)m ．（1）求这个反比例函数的解析式；（2）若点B 在x 轴上，且△AOB 是直角三角形，求点B 的坐标．【答案】（1）2y x =；（2）点B 的坐标为（2，0）或5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）先由点A 在正比例函数图象上求出点A 的坐标，再利用待定系数法解答即可；（2）由题意可设点B 坐标为（x ，0），然后分∠ABO=90°与∠OAB=90°两种情况，分别利用平行于y 轴的点的坐标特点和勾股定理建立方程解答即可．【详解】解：（1）∵正比例函数12y x =的图像过点（2，m ）， ∴m=1，点A （2，1），设反比例函数解析式为k y x=， ∵反比例函数图象都过点A （2，1），∴12k =，解得：k=2， ∴反比例函数解析式为2y x=； （2）∵点B 在x 轴上，∴设点B 坐标为（x ，0），若∠ABO=90°，则B （2，0）；若∠OAB=90°，如图，过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，则222OA AB OB +=，∴()2222121x x ++-+=，解得：52x =，∴B 5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭； 综上，点B 的坐标为（2，0）或5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题是正比例函数与反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、函数图象上点的坐标特点以及勾股定理等知识，属于常考题型，熟练掌握正比例函数与反比例函数的基本知识是解题的关键． 22．在利用构造全等三角形来解决的问题中，有一种典型的利用倍延中线的方法，例如：在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，点D 是BC 边上的中点，怎样求AD 的取值范围呢？我们可以延长AD 到点E ，使AD ＝DE ，然后连接BE （如图①），这样，在△ADC 和△EDB 中，由于AD DE ADC EDB BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△EDB ，∴AC＝EB ，接下来，在△ABE 中通过AE 的长可求出AD 的取值范围．请你回答：（1）在图①中，中线AD 的取值范围是 ．（2）应用上述方法，解决下面问题①如图②，在△ABC 中，点D 是BC 边上的中点，点E 是AB 边上的一点，作DF ⊥DE 交AC 边于点F ，连接EF ，若BE ＝4，CF ＝2，请直接写出EF 的取值范围．②如图③，在四边形ABCD 中，∠BCD ＝150°，∠ADC ＝30°，点E 是AB 中点，点F 在DC 上，且满足BC ＝CF ，DF ＝AD ，连接CE 、ED ，请判断CE 与ED 的位置关系，并证明你的结论．【答案】（1）1＜AD ＜7；（2）①2＜EF ＜6；②CE ⊥ED ，理由见解析【分析】（1）在△ABE 中，根据三角形的三边关系定理即可得出结果；（2）①延长ED 到点N ，使ED DN =，连接CN 、FN ，由SAS 证得NDC EDB ∆≅∆，得出4BE CN ==，由等腰三角形的性质得出EF FN =，在△CFN 中，根据三角形的三边关系定理即可得出结果；②延长CE 与DA 的延长线交于点G ，易证DG ∥BC ，得出GAE CBE ∠=∠，由ASA 证得GAE CBE ∆≅∆，得出,GE CE AG BC ==，即可证得CD GD =，由GE CE =，根据等腰三角形的性质可得出CE ED ⊥．【详解】（1）在△ABE 中，由三角形的三边关系定理得：AB BE AE AB BE -<<+8686AE ∴-<<+，即214AE <<2214AD ∴<<，即17AD <<故答案为：17AD <<；（2）①如图②，延长ED 到点N ，使ED DN =，连接CN 、FN∵点D 是BC 边上的中点BD CD ∴=在△NDC 和△EDB 中，CD BDCDN BDE DN ED=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()NDC EDB SAS ∴∆≅∆4BE CN ∴==,DF DE ED DN ⊥=EFN ∴∆是等腰三角形，EF FN =在△CFN 中，由三角形的三边关系定理得：CN CF FN CN CF -<<+4242FN ∴-<<+，即26FN <<26EF ∴<<；②CE ED ⊥；理由如下：如图③，延长CE 与DA 的延长线交于点G∵点E 是AB 中点BE AE ∴=150,30BCD ADC ∠=︒∠=︒//DG BC ∴GAE CBE ∴∠=∠在△GAE 和△CBE 中，GAE CBEAE BE AEG BEC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()GAE CBE ASA ∴∆≅∆,GE CE AG BC ∴==,BC CF DF AD==CF DF BC AD AG AD∴+=+=+，即CD GD=GE CE=CE ED∴⊥．（等腰三角形的三线合一）【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、三角形的三边关系定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2）②，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．23．如图1，已知矩形ABCD，连接AC，将△ABC沿AC所在直线翻折，得到△AEC，AE交CD于点F．（1）求证：DF=EF；（2）如图2，若∠BAC=30°，点G是AC的中点，连接DE，EG，求证：四边形ADEG是菱形．【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解．【分析】(1)根据矩形的性质得到AD=BC，∠D=∠B=90°，由折叠的性质得到∠E=∠B=90°，CE=BC.根据全等三角形的性质即可得到结论；(2)根据折叠的性质得到∠AEC=∠B=90°，CE=BC，根据直角三角形的性质得到CE= 12 AC，CE=AG=EG=AD，根据菱形的判定定理即可得到结论．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠D=∠B=90°．∵将△ABC沿AC所在直线翻折，得到△AEC，∴∠E=∠B=90°，CE=BC，∴∠D=∠E，AD=CE．∵∠AFD=∠CFE ，∴△ADF ≌△CEF(AAS)，∴DF=EF ；（2）∵四边形ABCD 是矩形，∴AD=BC ，∠ADC=∠B=90°．∵将△ABC 沿AC 所在直线翻折，得到△AEC ，∴∠AEC=∠B=90°，CE=BC ．∵∠CAB=30°，∴∠CAE=30°，∴CE 12=AC ． ∵点G 是AC 的中点，∴CE=AG=EG=AD ，∴∠AEG=∠EAG=30°，∴∠DAE=30°，∴∠DAE=∠AEG ，∴AD ∥GE ，∴四边形ADEG 是菱形．【点睛】本题考查了翻折变换((折叠问题))，矩形的性质，菱形的判定，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．24．先化简（22444a a a -+-﹣2a a +）÷12a a -+，再从a≤2的非负整数解中选一个适合的整数代入求值． 【答案】21a --，1 【分析】先将分式的分子和分母分解因式，再根据分式的化简求值的过程计算即可求解． 【详解】解：原式＝2(2)2(2)(2)21a a a a a a a ⎡⎤-+-⋅⎢⎥-++-⎣⎦， 22()221a a a a a a -+=-⋅++-， 2221a a a +=-⋅+-， 21a =--. ∵a≤1的非负整数解有0，1，1，又∵a≠1，1，∴当a ＝0时，原式＝1．【点睛】此题考察分式的化简求值，化简时需先分解因式约去公因式得到最简分式，求值时选的数需满足分母不为0的数才可代入求值.25．已知一次函数y=2x+b.(1)它的图象与两坐标轴所围成的图形的面积等于4,求b 的值;(2)它的图象经过一次函数y=-2x+1、y=x+4图象的交点,求b 的值.【答案】（1）±4；（2）5【解析】（1）分别求出一次函数y=2x+b 与坐标轴的交点，然后根据它的图象与坐标轴所围成的图象的面积等于4列出方程即可求出b 的值；（2）由题意可知：三条直线交于一点，所以可先求出一次函数y=-2x+1与y=x+4的交点坐标，然后代入y=2x+b 求出b 的值．【详解】解：（1）令x=0代入y=2x+b ，∴y=b ，令y=0代入y=2x+b ，∴x=-2b ， ∵y=2x+b 的图象与坐标轴所围成的图象的面积等于4， ∴12×|b|×|-2b |=4， ∴b 2=16，∴b=±4；（2）联立214y x y x =-+⎧⎨=+⎩， 解得：13x y =-⎧⎨=⎩， 把（-1，3）代入y=2x+b ，∴3=-2+b ，∴b=5，【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，图形与坐标的性质，待定系数求一次函数的解析式，解题的关键是根据条件求出b 的值，本题属于基础题型．八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如图，在ABC 中，AB AC =，D 是BC 的中点，P 是AD 上任意一点，连接BP 、CP 并延长分别交AC 、AB 于点E 、F ，则图中的全等三角形共有（ ）A ．7对B ．6对C ．5对D ．4对【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质，全等三角形的判断及性质可知有以下7对三角形全等：△ABD ≌△ACD 、△ABP ≌△ACP 、△ABE ≌△ACF 、△APF ≌△APE 、△PBD ≌△PCD 、△BPF ≌△CPE 、△BCF ≌△CBE ．【详解】①∵AB AC =，D 是BC 的中点，由等腰三角形三线合一可知：BAD CAD ∠=∠，AD BC ⊥，∴()ABD ACD AAS ≌②由AB AC =，BAD CAD ∠=∠,AP AP =，∴(ABP ACP SSS ≌）③由②可知，ABE ACF ∠=∠，∵ABE ACF ∠=∠，AB AC =，BAE CAF ∠=∠，∴()ABE ACF ASA ≌④由③可知，AFP AEP ∠=∠，∵AFP AEP ∠=∠，BAD CAD ∠=∠，AP AP =∴()APF APE AAS ≌⑤由①可知，ADB ADC ∠=∠，BD CD =，又∵PD PD =，∴()PBD PCD SAS ≌⑥由③⑤可知，AFP AEP ∠=∠，BP CP =，∴BFP CEP ∠=∠ ，又∵BPF CPE ∠=∠ ，()BPF CPE AAS ≌⑦由⑤可知BCF CBE ∠=∠，由⑥可知BFP CEP ∠=∠，又∵BC CB =∴()BCF CBE AAS ≌∴共7对全等三角形，故选A ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的性质及判定，熟练掌握全等三角形的判定定理（SSS SAS AAS ASA HL 、、、、）是解题的关键．2．周长38cm 的三角形纸片ABC （如图甲），AB AC =,将纸片按图中方式折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE （如图乙），若DBC ∆的周长为25cm ，则BC 的长为（ ）A ．10 cmB ．12cmC ．15cmD ．13cm【答案】B 【分析】由折叠的性质可得AD=BD ，由△ABC 的周长为38cm ，△DBC 的周长为25cm ，可列出两个等式，可求解．【详解】∵将△ADE 沿DE 折叠，使点A 与点B 重合，∴AD=BD ，∵△ABC 的周长为38cm ，△DBC 的周长为25cm ，∴AB+AC+BC=38cm ，BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC=25cm ，∴AB=13cm=AC∴BC=25-13=12cm故选：B ．【点睛】本题考查了翻折变换，熟练运用折叠的性质是本题的关键．32，26，210，…，10，按下列方式进行排列：，2，；4，，…若2的位置记为（1，2），的位置记为（2，1 ）A ．（5，4）B ．（4，4）C ．（4，5）D ．（3，5）【答案】B…∵19×2＝38，4行，第4个数字．故选：B ．【点睛】此题考查的是数字的变化规律，找出其中的规律是解题的关键．4．下列算式中，正确的是（ ）A ．a 4•a 4＝2a 4B ．a 6÷a 3＝a 2C ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣b 2D ．（﹣3a 2b ）2＝9a 4b 2【答案】D【分析】根据同底数相乘（或相除），底数不变指数相加（或相减）；幂的乘方：底数不变，指数相乘；完全平方公式，对各选项分析判断后利用排除法即可求解．【详解】解：A 、原式＝a 8，故A 错误．B 、原式＝a 3，故B 错误．C 、原式＝a 2﹣2ab+b 2，故C 错误．D 、原式＝9a 4b 2，故D 正确故选：D ．【点睛】本题考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法，完全平方公式，幂的乘方，解题的关键是熟练掌握运算法则和公式．5．如图，在OAB 和OCD 中，,,,40OA OB OC OD OA OC AOB COD ==>∠=∠=︒，连接,AC BD交于点M ，连接OM ．下列结论：①AC BD =；②40AMB ∠=︒；③OM 平分BOC ∠；④MO 平分BMC ∠．其中正确的个数为（ ）．A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【分析】根据题意逐个证明即可，①只要证明()AOC BOD SAS ≌，即可证明AC BD =;②利用三角形的外角性质即可证明; ④作OG MC ⊥于G ，OH MB ⊥于H ,再证明()OCG ODH AAS ≌即可证明MO 平分BMC ∠.【详解】解：∵40AOB COD ∠=∠=︒，∴AOB AOD COD AOD ∠+∠=∠+∠，即AOC BOD ∠=∠，在AOC △和BOD 中，OA OBAOC BOD OC OD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AOC BOD SAS ≌，∴,OCA ODB AC BD ∠=∠=，①正确；∴OAC OBD ∠=∠，由三角形的外角性质得：,AMB OAC AOB OBD ∠+∠=∠+∠∴40AMB AOB ∠=∠=°，②正确；作OG MC ⊥于G ，OH MB ⊥于H ，如图所示：则90OGC OHD ∠=∠=°，在OCG 和ODH 中，OCA ODBOGC OHD OC OD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()OCG ODH AAS ≌，∴OG OH =，∴MO 平分BMC ∠，④正确；正确的个数有3个；故选B ．【点睛】本题是一道几何的综合型题目，难度系数偏上，关键在于利用三角形的全等证明来证明线段相等，角相等. 6．用科学记数法表示0.0000018=（ ）A ．61.810-⨯B ．61.810⨯C ．51.810-⨯D ．71810-⨯【答案】A【分析】绝对值小于1的数可以利用科学记数法表示，一般形式为a ×10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】0.0000018=61.810-⨯．故选A.【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．7．如图，在ABC 中，点D 是BC 延长线上一点，70A ∠=︒，120ACD ∠=︒，则B 等于（ ）．A ．60°B ．80°C ．70°D ．50°【答案】D 【分析】利用外角的性质解答即可．【详解】∵ ∠ACD ＝∠B ＋∠A ，∴∠B ＝∠ACD －∠A ＝120°－70°＝50°，故选：D ．【点睛】本题考查外角的性质，属于基础题型．8．如图，为了弘扬中华民族的传统文化，我校开展了全体师生学习“弟子规”活动．对此学生会就本校“弟子规学习的重要性”对1000名学生进行了调查，将得到的数据经统计后绘制成如图所示的扇形统计图，可知认为“很重要”的人数是（ ）。
18.1.2平行四边形的判定3___三角形中位线导学案
18.1.2 平行四边形的判定3 -----三角形中位线【学习目标】1．．理解三角形中位线的概念，掌握它的性质；2．能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算．【重、难点】重点：掌握和运用三角形中位线的性质。
难点：三角形中位线性质的证明（辅助线的添加方法）。
【学习过程】一、上节知识回顾我们共学习了 种证明平行四边形的方法，用数学语言表示：①∵ __， __∴ __ __②∵ __， __∴ __ __③∵ __， __∴ __ __④∵ __， __∴ __ __⑤∵ __， __∴ __ __二、合作探究：1. 三角形中位线定义:（1）画一个三角形记为△ABC ； （2）分别取AB 、AC 的中点D 、E ，连接DE ； 像DE 这样，连结三角形___________的线段叫做三角形的中位线．想一想：①一个三角形的中位线共有 条。
②三角形的中位线与中线有什么区别？中位线 ；中线 ；2.三角形中位线定理:（1）动手操作:沿DE 将△ABC 剪成两部分，将△ADE 绕点E 旋转180°，得四边形BCFD ，如图1，（2）观察思考:①四边形BCFD 是平行四边形吗？为什么？②线段DE 、BC 有何数量关系和位置关系?图1（3）归纳：三角形中位线定理： ． 符号语言：三、新知运用1、 在三角形△ABC 中；D 、E 、F 分别死AB 、BC 、CA 的中点，一这些点为顶点，在图中你能画出几个平行四边形？为什么?2．如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 的中点，（1）若EF=5cm ，则AB= cm ；若BC=9cm ，则DE= cm ；（2）中线AF 与中位线DE 有什么特殊的关系？证明你的猜想．四、当堂训练1．如图所示，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A ，B 间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A ，B 的点C ，找到AC ，BC 的中点D ，E ，并且测出DE 的长为10m ，则A ，B 间的距离为（ ）．A ．15mB ．25mC ．30mD ．20m2．如图,在△ABC 中，E ，D ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，AB=6，AC=4，则四边形AEDF•的周长是（ ）．A ．10B ．20C ．30D ．403.已知三角形的各边分别为8cm 、10cm 和12cm ，求连结各边中点所成三角形的周长 ．4、 已知：如图，四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点． 求证：四边形EFGH 是平行四边形．BC五、回眸学习过程，清点学习收获本节课我们学习了…….六、布置作业:1、必做题：习题18.1 第5题。
平行四边形的判定(3)中位线
D
G
C
∴四边形EFGH是平行四边形.
课堂小结
（1）本节课你学习了什么定理？ （2）定理的内容是什么？ （3）你是怎样得到定理的？ （4）你有什么新的体会？
三角形中位线定理： 连接三角形两边中点的线段平行于第三边，且等于 第三边的一半．
我们既可以用三角形知识研究平行四边形的问题， 又可以用平行四边形知识研究三角形的问题.
课后作业
作业：教科书第49页练习第1，2，3题； 习题18.1第11，12题．
• 学习重点： 探索并证明三角形中位线定理．
提出猜想
我们在研究平行四边形时，经常采用把平行四边形 转化为三角形的问题，能否用平行四边形研究三角形呢？
如图，△ABC中，D，E分别是边AB，AC 的中点， 连接DE. 像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做 三角形的中位线．
A
D
E
B
C
A
D
E
一个三角形有几 条中位线？中位 线和三角形的中 线一样吗？
在△ABC中，
∵ D，E分别是边AB，AC的中点， D
∴ DE∥BC，且DE= 1 BC . 2
B
A
E C
基础训练
如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，CB=6，D， E，F分别是BC，AC，AB的中点，则四边形AEDF的周 长为____1_8___；Rt△ABC的中位线分别是___D_E_，__D__F__； 斜边上的中线是___C__F__，其长为___5___.
DC、AF.
∵ AE=CE，
A
∴四边形ADCF是平行四边形，D
E
F
CF/ /DA,
CF//BD.
B
∴四边形DBCF是平行四边形.
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5.2
㎝.
C
D
E
F
B
学以致用
例：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分 别是AB、BC、CD、DA中点． 求证：四边形EFGH是平行四边形． D 四边形问题 H A G 连接对角线 E
B A
E
C
符号语言： △ABC中，若D、E分别是边AB、AC的中点，
1 则DE∥BC，DE= BC． 2
探究思考
三角形中位线定理：
D
A
E
C
三角形的中位线 平行
B
1 一条线段是另一条线段的2倍或 2
学以致用
1. 如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC中点． （1） 若DE=5，则BC= 10 ． （2） 若∠B=65°，则∠ADE= 65 °． （3） 若DE+BC=12，则BC= 8 ．
F
探究思考
证明：
证法：
A
延长DE到F，使EF=DE． D 连接FC． B ∵∠AED=∠CEF，AE=CE， ∴△ADE≌△CFE． ∴∠ADE=∠F ，AD // CF． ∴BD // CF． ∴四边形BCFD是平行四边形． (下面证明同证法1)
E
C
F
探究思考
三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于三角形的 D 第三边且等于第三边的一半．
Z```x``xk
探究思考
A
D
B
E
C
已知，如图，D、E分别是△ABC的边AB、
1 AC的中点. 求证：DE∥BC， DE BC ． 2
探究思考
证法1：
A 证明： 延长DE到F，使EF=DE． D E 连接AF、CF、DC ． C B ∵AE=EC，DE=EF ， ∴四边形ADCF是平行四边形． ∴CF // AD ． ∴CF // BD ． ∴四边形BCFD是平行四边形．
x+2x=12 x=4
A C E
x
D
2x
B
学以致用
2. 如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点 C，连接AC和BC，怎样量出A、B两点间的距离？ 根据是什么？ A
M
C
N
B
分别画出AC、BC中点M、N， 量出M、N两点间距离，则AB=2MN. 根据是三角形中位线定理．
3.如图,已知△ABC中,
三角形问题 （三角形中位线定理）
B F C
归纳小结
知识方面：三角形中位线概念； 三角形中位线定理．
思想方法方面：转化思想．
D
B
E
C
定义：像DE这样，连接三角形两边中点 的线段叫做三角形的中位线．
探究思考
问题1： 一个三角形有几条中位线？
三条
B A
D F
E
C
问题2： 三角形中位线与三角形中线有什么区别？
A
端点不同
E
C B
A
D
B
D
C
探究思考
问题3： 如图，DE是△ABC的中位线， D DE与BC有怎样的关系？
B A
E
C
分析： 猜想：
两条线段的关系 DE 与BC的关系
1 ？ BC 位置关系 DE∥BC DE 数量关系 2 问题4： 度量一下你手中的三角形，看看是 否有同样的结论？并用文字表述这一结论．
探究思考
猜想： 三角形的中位线平行于三角形的 D 第三边且等于第三边的一半．
B AEC问题5：如何证明你的猜想？
18.1.2 平行四边形的判定(3) 中位线
温故知新
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
平 行 四 边 形 的 判 定
边
两组对边分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
角
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
对角线
对角线互相平分的四边形是平行四边形
探究思考
请同学们按要求画图： 画任意△ABC中，画AB、AC边中点D、E， 连接DE． A