[小初高学习]2019年高考数学 25个必考点 专题06 三角运算及其应用检测
2019年高考理数：解三角形.docx
核心考点解读—解三角形正眩定理及其应用(II)余眩定理及其应用(II)三角形面积公式的应用(II)解三角形的实际应用(II)1.涉及本单元的选择题、填空题一般利用正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式，考查三角形边、角、而积等的相关计算，同时注重与三角函数的图象与性质、基木不等式等的综合.2.从考查难度來看，本单元试题的难度中等，主要考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式的应用，高考屮主要以三角形的方式来呈现，解决三角形中相关边、角的问题.3.从考查热点来看，正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式的应用是高考命题的热点，要能够熟练应用公式进行三角形的边、角求值，三角形形状的判断及面积的相关计算等.注意三角形本身具有的性质的应用.1.正弦定理及其应用(1)」一=丄=」一= 2/?表示三角形屮对边与对角正弦值的比值关sin A sin B sin C系及与其外接圆的直径之间的等量关系.(2)能够利用正弦定理进行边、角计算：已知两角和一边求其他的边、角；已知两边和一对角求其他的边、角等，此时要根据“大边对大角"的性质注意三角形解的问题.⑶注意利用正弦定理实现边、角的互化，如-a = b-可转化为4t sin A = sin 等，转化过程中要注意平衡，^a2 = 2b -不可转化为“sin? A = 2sinB”.2.余弦定理及其应用(1)6Z2=Z?2+C2-2/?CCOS A表示三角形中三边与任意角之间的等量关系.(2)能够利用余弦定理进行边、角计算：已知三边求角；已知两边和一夹角求对边；已知两边和一对角求其他的边、角等•此时利用余弦定理可以通过解方程清楚了解三角形的解的问题.3.三角形的而积公式及其应用⑴三角形的面积公式：S = -absmC = -bcsinA =丄eosinB,利用三2 2 2角形的两边及一夹角求面积.(2)注意三角形的面积公式与正眩定理、余弦定理之间的联系4 .解三角形的应用通过正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式所建立起来的边、角的等 量关系，不仅要能够求解三角形的边与角，还要能够求解三角形的面积 问题，考查二角形的形状问题，利用公式、定理转化，建立等边二角形、 等腰三角形、直角三角形等的判定条件，确定三角形的形状.5 .解三角形的实际应用解三角形的实际应用主要是实际问题屮的测量问题，如测量角度问题， 仰角、俯角、方位角、视角等；测量距离问题；测量高度问题等.此类问 题的关键在于通过构造三角形，应用正弦定理、余弦定理进行求解测量.6.解三角形与其他知识的综合(1) 解三角形的应用中要注意与基本不等式的结合，以此考查三角形中有关边、角的范围问题.利用正弦定理、余弦定理与二角形的面积公式，建立 女之间的等量关系与不等关系，通过基本不等式考查 相关范围问题.(2) 注意与三角函数的图象与性质的综合考查，将两者结合起來，既考查解 三角形问题，也注重对三角函数的化简、计算及考杳相关性质等.丰殛1亘；^21. (2017高考新课标I,理17) ZXABC 的内角A, B, C 的对边分别为G , b, c,己知△ABC 的面积为—^一3 sin A(1) 求 sin Bsin C;(2) 若 6cos Bcos C=1, a 二3,求/\ABC 的周长.2. (2017高考新课标II,理17) AABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,已知sin (A +C) = 8sin 2 y ・(1) 求 cosB ；(2) 若d + c = 6, AABC 的面积为2,求b .3.(2017 新课标 III,理 17) AABC 的内角 4, B, C 的对边分别为 a, b, C.已知 sin A 4-^3 cos A = 0,a=2y/l,b=2.(1)求 c ； (2)设D 为BC 边上一点，且AD 丄4C,求△ABD 的而积.4 5 4. (2016高考新课标II,理13) £\ABC 的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c,若cos A=— , cos C-—, a- \,513则 b= ______ .理17)错误!未找到引用源。
(2019版)高三数学解三角形及应用
例1．在Δ ABC中，已知a= 3 ,b= 2 ,B=45°， 求A,C及边c．
例2：ΔABC的三个内角A、B、C的对边
分别是 a,b, c ，如果 a 2 b(b c) ，
求证：A＝2B
例3．已知锐角Δ ABC中，
sin(A
B)
3 ,sin(A 5
B)
1 5
，
（1）求证：tan A 2tan B ；
3．边角互化是解三角形问题常用的手段．
三．作业：P80 闯关训练
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割发代首 [190] 温恢2019年7月? 赵构留给后人的历史之谜实在是太多了 先臣预遣三十人易衣为商 从硖石渡河 溃而为盗 进赴虎牢 良久 20112019年7月《回到三国》2019年7月罗乐林 解读词条背后的知识 大通二年（528年） 又非豪家”）的儿子 班超 《会编》卷一六八 操大获其 人众辎重 飞自为表答诏 亲统大军 遇卓将徐荣 历史大学堂 《要录》卷八九绍兴五年五月戊戌 已就令岳雷入侍看觑 襄樊会战 《金佗稡编》卷六《鄂王行实编年》 贾逵2019年7月?于字为‘辤’；但英雄也有伤心时 不宜决战 岳飞接到多地的告急军情后 本四方亡命 乐纵 嗜杀之徒 ” 口有唾得咽 若不将其手下徒党少加剿杀 审配2019年7月?愿请为主帅而俱叛北者 分为六军 永元十二年（100年） 后终被岳飞收降 尝与袁绍好为游侠 期间散尽钱财 疾驰往洪州 《金佗稡编》卷四《鄂王行实编年》：（十一月）十八日 [49] 曹操 ．国学导航[引用日期2012-10-02] 忠 从康居王那里借了一些兵马 [51] ? 充即命某往战 则心动矣 一下奏免十分之八的长吏 20002019年7月《医神华佗》2019年7月黄日华 [21] 宁先杀我 书则讲武策 遣还虏
高考数学复习重要知识点：三角函数的图象与性质
2019高考数学复习重要知识点：三角函数的图象与性质三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，下面是2019高考数学复习重要知识点：三角函数的图象与性质，希望对考生有帮助。
1、周期函数的定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数.T叫做这个函数的周期.2、最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.1、求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解.2、求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法：(1)、利用sin x、cos x的值域；教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。
如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。
(2)、形式复杂的函数应化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式逐步分析ωx+φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(如本例以题试法(2))；观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。
随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。
我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。
看得清才能说得正确。
在观察过程中指导。
我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。
高三数学解三角形及应用(新编2019)
云南矿物资料以有色金属和磷为多。我们在云南转战南北十年，勘探一个大型特殊矿种矿床、几个中型铜矿。和勘查几个金属与非金属矿床受到地质部奖励，一个大型特殊矿种矿床被评地矿部找矿 二等奖。
永仁团矿区离攀枝花钢铁厂不远，我们刚来云南生活很不习惯，与当地少数民族老乡言语不通，加上山高路远，离家远、一年12天探亲假，离亲人远思乡之情油然而生。1965年在团山工作、工作条 件较差，但地质找矿硕果丰盈。
我在工作遇到几次险情，至今记忆猶新：在云南地质找矿时，有一次我们普查小组刚要进一村落时，一群狗向我们扑来，向我扑来是二只大狗，我用長木炳地质铁锤向两狗一推护身，两狗狗爪正好 架在铁锤木炳上，我勇敢打退两狗，我说好险！还有一次刚进村庄，民屋屋顶上几片瓦片哗啦掉下来离我的头部只距1米，我又说好险啊！第三次我与地质普组几个队员要经过悬崖削壁羊肠路，下面是 万丈深谷，我们贴着悬壁双脚艰难移动往前跨时，由于我的腿短跨不过去，幸好走在前面的同事戴梓钧手拉手才过去，我说好险！至今心有余悸。为了鼓舞勘探队员斗志，我踏着轻快继续前进，唱着 《我为祖国
高考数学知识点2019
高考数学知识点2019在中国，高考是最为重要的考试之一，对于大多数学生来说，数学考试无疑是其中最关键的一门科目。
要在高考数学中取得好成绩，关键在于掌握一些重要的知识点。
在2019年的高考数学考试中，以下几个知识点是必须要重点复习的。
一、三角函数三角函数是高中数学中的重要内容，也是高考数学中的重要组成部分。
在2019年的高考数学考试中，三角函数的相关知识点主要包括弧度制与角度制的转换、基本三角函数的定义与性质、三角函数的图像与周期性、三角函数的运算等。
在复习过程中，要特别注意这些知识点的理解和运用，尤其是与解三角方程、求三角函数的值等相关内容的联系。
二、平面向量平面向量在高考数学中是一个非常重要的知识点。
在2019年的高考数学考试中，平面向量的相关知识点主要包括向量的定义与表示、向量的加减法、数量积与向量积的定义与性质等。
在复习过程中，要特别注意向量的运算规律和相关定理的理解和运用，尤其是与解向量方程、证明向量性质等相关内容的联系。
三、导数与微分导数与微分是高考数学中的重要内容，也是高考难度较大的一部分。
在2019年的高考数学考试中，导数与微分的相关知识点主要包括导数的定义与运算、常用函数的导数、导数在几何与物理问题中的应用等。
在复习过程中，要特别注意导数的基本概念和运算法则的掌握，尤其是与求极值、函数图像、曲线的切线等相关内容的联系。
四、不等式不等式在高考数学中是一个重要的知识点，也是考查学生分析问题和解决问题能力的一种方式。
在2019年的高考数学考试中，不等式的相关知识点主要包括一元一次不等式、二次函数不等式、绝对值不等式等。
在复习过程中，要特别注意不等式的性质和解法的掌握，尤其是与解不等式组、证明不等式等相关内容的联系。
五、数列与数学归纳法数列与数学归纳法是高考数学中的基础知识点，也是解决一些数学问题的常用方法和手段。
在2019年的高考数学考试中，数列与数学归纳法的相关知识点主要包括数列的定义与性质、数列的通项与递推关系、数学归纳法的基本原理与应用等。
高三数学解三角形及应用(新编2019)
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岚后来和林子好了，伤心欲绝的我最后一次去了小溪边，我乱画了厚厚一叠纸，将其散落在水里。看着漫天飞舞的白色精灵，我的心在抽搐，眼泪都流进了小溪里。那一张张小纸片像无数只白色的蝴蝶， 在多年之后，还能飞进我的梦里。 青春就像一条溪流，溶解在一滩水里。忧郁时，深不可测；兴奋时，一泻千里；温柔时，柔情似水；害羞时，含情脉脉。而我，曾经被青春灌醉，醉倒在槐花盛开的缱绻时光里。
2019高考数学真题(理)分类汇编三角函数及解三角形含答案解析
三角函数及解三角形专题1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x-+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ．又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+，排除B ，C ，故选D ． 【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．解答本题时，先判断函数的奇偶性，得()f x 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案． 2．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】tan255°=A ．−2B ．−C ．2D ．【答案】D【解析】tan 255tan(18075)tan 75tan(4530)︒=︒+︒=︒=︒+︒=tan 45tan 301tan 45tan 30︒+︒-︒︒12+==+故选D. 【名师点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式2sin cos ++x xx x计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．3．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A −b sin B =4c sin C ，cos A =−14，则b c=A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A【解析】由已知及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得2222214131cos ,,,422424b c a c c c A bc bc b +---==∴=-∴=3462b c ∴=⨯=，故选A ． 【名师点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．先利用余弦定理推论得出a ，b ，c 关系，再结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果. 4．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】若x 1=4π，x 2=43π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω= A ．2 B ．32C ．1D ．12【答案】A【解析】由题意知，()sin f x x ω=的周期232()44T ωπππ==-=π，解得2ω=．故选A ． 【名师点睛】本题考查三角函数的极值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．利用周期公式，通过方程思想解题．5．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sin α=A ．15BCD 【答案】B 【解析】2sin 2cos21αα=+，24sin cos 2cos .0,,cos 02αααααπ⎛⎫∴⋅=∈∴> ⎪⎝⎭，sin 0,α>2sin cos αα∴=，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5αα∴==，又sin 0α>，sin 5α∴=，故选B ．【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．6．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为 A ．2 B ．3 C ．4D ．5【答案】B【解析】由()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=， 得sin 0x =或cos 1x =，[]0,2πx ∈，0π2πx ∴=、或．()f x ∴在[]0,2π的零点个数是3，故选B ．【名师点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．令()0f x =，得sin 0x =或cos 1x =，再根据x 的取值范围可求得零点.7．【2019年高考北京卷文数】设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】0b =时，()cos sin cos f x x b x x =+=，()f x 为偶函数；()f x 为偶函数时，()=()f x f x -对任意的x 恒成立，即()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-，cos sin cos sin x b x x b x +=-，得sin 0b x =对任意的x 恒成立，从而0b =.从而“0b =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件，故选C.【名师点睛】本题较易，注重基础知识、逻辑推理能力的考查.根据定义域为R 的函数()f x 为偶函数等价于()=()f x f x -恒成立进行判断.8．【2019年高考北京卷文数】如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为A ．4β+4cos βB ．4β+4sin βC ．2β+2cos βD ．2β+2sin β【答案】B【解析】设圆心为O ，如图1，连接OA ，OB ，AB ，OP ，则22AOB APB ∠=∠=β，所以22242OABS ⨯==扇形ββ，因为ABP AOB OAB S S S S =+-△△阴影扇形，且AOB OAB S S △扇形，都已确定， 所以当ABP S △最大时，阴影部分面积最大.观察图象可知，当P 为弧AB 的中点时（如图2），阴影部分的面积S 取最大值，此时∠BOP =∠AOP =π−β，面积S 的最大值为ABP AOB OAB S S S S =+-△△阴影扇形=4β+S △POB + S △POA =4β+12|OP ||OB |sin （π−β）+12|OP ||OA |sin （π−β）=4β+2sin β+2sin β=4β+4 sin β，故选B. 【名师点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力，有一定的难度.关键是观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示.9．【2019年高考天津卷文数】已知函数()sin()(0,0,||π)f x A x A ωϕωϕ=+>><是奇函数，且()f x 的最小正周期为π，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x .若π4g ⎛⎫= ⎪⎝⎭3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．−2B ．C D ．2【答案】C【解析】∵()f x 为奇函数，∴(0)sin 0,=π,,0,f A k k k ϕϕ==∴∈∴=Z 0ϕ=； ∵()f x 的最小正周期为π，2ππ,T ∴==ω∴2ω=，∴1()sin sin ,2g x A x A x ==ω又π()4g =2A =，∴()2sin 2f x x =，3π()8f = 故选C.【名师点睛】本题主要考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数()g x ，结合函数性质逐步得出,,A ωϕ的值即可.10．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________． 【答案】4-【解析】23π()sin(2)3cos cos 23cos 2cos 3cos 12f x x x x x x x =+-=--=--+ 23172(cos )48x =-++，1cos 1x -≤≤，∴当cos 1x =时，min ()4f x =-，故函数()f x 的最小值为4-．【名师点睛】本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于cos x 的二次函数，从而得解.注意解答本题的过程中，部分考生易忽视1cos 1x -≤≤的限制，而简单应用二次函数的性质，出现运算错误．11．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b sin A +a cos B =0，则B =___________. 【答案】3π4【解析】由正弦定理，得sin sin sin cos 0B A A B +=．(0,),(0,)A B ∈π∈π，sin 0,A ∴≠∴sin cos 0B B +=，即tan 1B =-，3.4B π∴=【名师点睛】本题考查利用正弦定理转化三角恒等式，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取定理法，利用转化与化归思想解题．本题容易忽视三角形内角的范围致误，三角形内角均在(0,π)范围内，化边为角，结合三角函数的恒等变化求角．12．【2019年高考江苏卷】已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 ▲ .【答案】10【解析】由()tan 1tan tan tan 2tan 1πtan 13tan 1tan 4αααααααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，得23tan 5tan 20αα--=， 解得tan 2α=，或1tan 3α=-. πππsin 2sin 2cos cos 2sin 444ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()22222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎛⎫+-=+ ⎪+⎝⎭222tan 1tan =2tan 1ααα⎫+-⎪+⎝⎭， 当tan 2α=时，上式222212==22110⎛⎫⨯+- ⎪+⎝⎭ 当1tan 3α=-时，上式=22112()1()33[]=1210()13⨯-+--⨯-+综上，πsin 2410α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 【名师点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.由题意首先求得tan α的值，然后利用两角和的正弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.13．【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________．【解析】如图，在ABD △中，由正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而3π4,4AB ADB =∠=,5AC ，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以BD =.ππcos cos()cos cos sin sin 44ABD BDC BAC BAC BAC ∠=∠-∠=∠+∠=.【名师点睛】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.在ABD △中应用正弦定理，建立方程，进而得解.解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征. 14．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．【答案】（1）B =60°；（2）. 【解析】（1）由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2A CA B A +=．因为sin A ≠0，所以sinsin 2A CB +=． 由180A BC ︒++=，可得sincos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B=． 因为cos02B ≠，故1sin 22B =，因此B =60°． （2）由题设及（1）知△ABC的面积ABC S =△． 由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2tan 2C c A a C C C ︒-===+．由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°，由（1）知A +C =120°，所以30°<C <90°，故122a <<，从而82ABC S <<△． 因此，△ABC面积的取值范围是⎝⎭．【名师点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，以及正弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查V ABC 是锐角三角形这个条件的利用，考查的很全面，是一道很好的考题. 15．【2019年高考北京卷文数】在△ABC 中，a =3，–2b c =，cos B =12-． （1）求b ，c 的值； （2）求sin （B +C ）的值． 【答案】（1）7b =，5c =；（2【解析】（1）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2221323()2b c c =+-⨯⨯⨯-．因为2b c =+，所以2221(2)323()2c c c +=+-⨯⨯⨯-． 解得5c =．所以7b =． （2）由1cos 2B =-得sin 2B =．由正弦定理得sin sin 14a A Bb ==． 在ABC △中，B C A +=π-．所以sin()sin B C A +==【名师点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角差的正弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16．【2019年高考天津卷文数】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.（1）求cos B 的值； （2）求sin 26πB ⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【答案】（1）14-；（2）716+-. 【解析】（1）在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，得sin sin b C c B =， 又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =．又因为2b c a +=，得到43b a =，23c a =． 由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a a cb B ac a a +-+-===-⋅⋅．（2）由（1）可得sin B ==，从而sin 22sin cos B B B ==，227cos 2cos sin 8B B B =-=-，故71sin 2sin 2cos cos 2sin 66682B B B πππ⎛⎫+=+=⨯= ⎪⎝⎭． 【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力．17．【2019年高考江苏卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b ，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值．【答案】（1）c =（2.【解析】（1）因为23,3a cb B ===，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)323c c c c+-=⨯⨯，即213c =.所以c =（2）因为sin cos 2A Ba b =， 由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而cos B =.因此πsin cos 2B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭【名师点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.18．【2019年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）． （1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．【答案】（1）15（百米）；（2）见解析；（3）17+.【解析】解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.'因为PB ⊥AB ， 所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==. 所以12154cos 5BD PB PBD ===∠. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知10AD ==， 从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角. 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此，Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15， 此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置. 由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，1CQ =此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+.解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3.因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25.从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34.因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-， 直线PB 的方程为42533y x =--.所以P （−13，9），15PB ==.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3），所以线段AD ：36(44)4y x x =-+-剟.在线段AD 上取点M （3，154），因为5OM =<=， 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由15(4)AQ a ==>，得a =4+Q （4+9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+.【名师点睛】本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.19．【2019年高考浙江卷】设函数()sin ,f x x x =∈R .（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；（2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域． 【答案】（1）π2θ=或3π2；（2）[1-+． 【解析】（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin()sin()x x θθ+=-+， 即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+，故2sin cos 0x θ=，所以cos 0θ=．又[0,2π)θ∈，因此π2θ=或3π2． （2）2222ππππsin sin 124124y f x f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ1cos 21cos 213621cos 2sin 222222x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭π123x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．因此，函数的值域是[1+． 【名师点睛】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力.20．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学试题】已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点(1)P ，则cos2=αAB ．13C ．13- D．3-【答案】B【解析】因为角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点(1)P ，所以cos3==-α， 因此21cos 22cos 13=-=αα.故选B. 【名师点睛】本题主要考查三角函数的定义，以及二倍角公式，熟记三角函数的定义与二倍角公式即可，属于常考题型.解答本题时，先由角α的终边过点(1)P ，求出cos α，再由二倍角公式，即可得出结果.。
2019高三数学知识点：三角函数专题热点精品教育.doc
高三数学知识点：三角函数专题热点天津市第四十二中学张鼎言6. 已知函数f(x)=--sin2x+sinxcosx(Ⅰ)求f(-)的值;(Ⅱ)设α∈(0，π)，f(-)=---，sinα的值。
解：(Ⅰ)化简f(x)，f(x)=-cos2x+-sin2x--=sin(2x+-)--f(-)=sin---=0解：(Ⅱ)f(-)=sin(α+-)--∴sin(α+-)=--sinα+-cosα=-sinα+-cosα=--cosα=--sinα两边平方整理关于sinα的二次方程：16sin2α-4sinα-11=0∵α∈(0，π)∴sinα=-注：在三角函数的求值、化简及研究三角函数的性质中，公式αsinα+bcosα=-sin(α+φ)，tanφ=-ba，起着重要的作用。
(二)三角函数的图象与性质复习导引：这一部分是高考的重点内容。
三角函数的研究内容与方法既具有一般函数性质，又有其特殊的性质，周期性突显出来，如第3、9题，从图象角度审视，轴对称、中心对称、成为拟题的载体，如第4、5、6、11题。
1. 设函数f(x) =-cos2ωx+sinωxcosωx+α(其中ω0，α∈R)，且f(x)的图象在y轴右侧的第一个高点的横坐标为-。
(Ⅰ)求ω的值;(Ⅱ)如果f(x)在区间[--，-]上的最小值为-，求α的值。
解：(Ⅰ)f(x)=-cos2ωx+sinωxcosωx+α=--+-sin2ωx+α=-sin2ωx+-cos2ωx+α+-=sin(2ωx+-)+α+-2ω■+-=-，ω=-(Ⅱ)f(x)=sin(x+-)+α+---≤x≤-0≤x+-≤-fmin(x)=f(-)=--+α+-=-∴α=-+-2. 如图，函数y=2sin(πx+φ)，(x∈R)，(其中0≤φ≤-)的图象与y轴交于点(0，1)。
(Ⅰ)求φ的值;(Ⅱ)设p是图象上的最高点，M、N是图象与x轴的交点，求-与-的夹角。
解：(Ⅰ)f(0)=2sinφ=1，sinφ=-0≤φ≤- ∴φ=-(Ⅱ)f(x)=2sin(πx+-)∵P为最高点∴πx+-=-，x=-，Q(-，0)f(x)周期T=-=2，-=1，|MN|=1，|NQ|=-，|PQ|=2，tanα=- cos2α=-=-∴-与-的夹角是arccos-3. 已知函数f(x)=Asin2(ωx+φ)，(A0，ω0，0-)，且y=f(x)的最大值为2，其图象相邻两对称轴的距离为2，并过点(1，2)。
高考数学三角与平面向量知识点总结
高考数学(三角与平面向量)知识点总结1高考数学中，三角与平面向量是必考的内容，这部分知识点的考察重点主要集中在以下一些方面：一、三角函数1.定义和基本性质：重点掌握正弦、余弦、正切等基本三角函数的定义，及其基本性质，如周期性、振幅、相位等。
2.三角恒等变换：需要掌握三角函数的和差倍角公式，例如两角和与差的三角函数公式，二倍角公式等。
这些公式在解决三角问题时极为重要。
3.三角函数的图像和性质：重点掌握正弦、余弦、正切等函数的图像，理解它们的性质，如单调性、最值等。
4.三角函数的应用：需要理解如何将实际问题转化为三角函数问题，例如利用三角函数解决最值问题、周期问题等。
二、平面向量1.向量的基本概念：需要理解向量的定义，掌握向量的表示方法，如坐标表示法、几何表示法等。
2.向量的基本运算：需要掌握向量的加法、减法、数乘等基本运算，理解它们的几何意义。
3.向量的数量积：重点掌握向量的数量积的定义和性质，理解其几何意义和应用。
4.向量的应用：需要理解如何将实际问题转化为向量问题，例如利用向量解决平面几何问题、立体几何问题等。
三、总结在高考数学中，对于三角与平面向量的考察通常会结合其他知识点一起出现，例如与函数、不等式、数列等知识点结合，形成综合性题目。
因此，在学习这部分内容时，需要注重以下几点：1.掌握基础：对于任何知识点来说，掌握基础是至关重要的。
对于三角和平面向量，需要理解并熟练运用各种基本概念和性质。
2.培养分析能力：学会分析问题是解决问题的关键。
对于三角和平面向量问题，需要学会从题目条件中分析出有用的信息，并进行合适的转化。
3.重视应用：理论知识只有在实践中才能发挥出其价值。
因此，需要重视将所学的三角和平面向量的理论知识应用到实际问题中。
4.温故知新：对于任何学过的知识点，都需要不断复习巩固，才能真正掌握。
因此，在平时的学习和练习中，要经常回顾和巩固三角与平面向量的知识点。
5.系统总结：在学习过程中，要时常进行系统总结，将学过的知识点形成系统化的知识网络，以便于在解题时能快速准确地调用相关知识。
三角函数高考必备实用知识点
三角函数知识点第一单元 正、余弦定理及应用一、知识精点讲解1．直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。
（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba。
2．斜三角形中各元素间的关系：如图6-29，在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。
（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。
（2）正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin ===。
（R 为外接圆半径） 【变式】：①C B A c b a sin :sin :sin ::=；baB A =sin sin ②C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===；③CB A cb a Cc B b A a sin sin sin sin sin sin ++++===。
④sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===在这个式子当中，已知两边和一角或已知两角和一边，可以求出其它所有的边和角. （3）余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。
bc a c b A 2cos 222-+= , ,3．三角形的面积公式：（1）S △＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）S △＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；21s i n 2s i n s i n s i n24abc S ab C R A B C R ===(3) ))()(()21c p b p a p p pr r c b a S ---==++=∆（其中r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半二 常用方法与常见结论1 角化边 边化角凡在同一式子中既有角又有边的题，要将所有角转化成边或所有边转化成角，在转化过程中需要构造公式形式.2 解斜三角形的主要依据是：设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C 。
通用版五年高考2024_2025高考数学真题专题归纳专题06三角函数及解三角形含解析理
1 1
tan tan
2 2
1 1
22 22
3， 5
tan( ) tan 1 2 1 1 ， 4 1 tan 1 2 3
11.（2024·江苏卷）已知 sin2 ( ) = 2 ，则 sin 2 的值是____.
4
3
【答案】 1 3
【解析】 sin2 ( ) ( 2 cos 2 sin )2 1 (1 sin 2 )
图1
9
图2
图3
4．【2024·全国Ⅱ卷】已知 α∈(0， )，2sin2α=cos2α+1，则 sinα= 2
A． 1 5
B． 5 5
C． 3 3
【答案】B
D． 2 5 5
【解析】
2sin 2α cos 2α 1，4sin α cos α 2 cos2 α .
α
0,
2
,
cos
α
0
，
sin α 0, 2sin α cos α ，又 sin2 cos2 1，5sin2 α 1,sin2 α 1 ，又 5
f
x
可得：
cos
4 9
6
0
.又
4 9
,
0
是函数
f
x 图象与
x
轴负半轴的第一个交点，
所以 4 ，解得： 3
9
62
2
所以函数
f
x 的最小正周期为T
2
2 3
4 3
2
2.（2024·新课标Ⅰ）已知 (0, π) ，且 3cos2 8cos 5 ，则 sin （
A5 3
B. 2 3
7.（2024·山东卷）下图是函数 y= sin(ωx+φ)的部分图像，则 sin(ωx+φ)= （ ）
高考数学专项知识点：三角函数及解三角形(含真题)精选全文完整版
专题六三角函数及解三角形知识必备一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1.角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z}.2.弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式角α的弧度数公式|α|＝lr (弧长用l 表示)角度与弧度的换算1°＝180 rad ；1rad ＝180°弧长公式弧长l ＝|α|r 扇形面积公式S ＝12lr ＝12|α|r 23.任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0).(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线.1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.2.若α∈2,0(，则tan α>α>sin α.3.角度制与弧度制可利用180°＝πrad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.4.象限角的集合二、同角三角函数的基本关系与诱导公式1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：sin cos＝tan__α.2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2k π＋α(k ∈Z)π＋α－απ－α2－α2＋α正弦sin α－sin__α－sin__αsin__αcos__αcos__α余弦cos α－cos__αcos__α－cos__αsin__α－sin__α正切tan αtan__α－tan__α－tan__α口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限3.常用结论（1）同角三角函数关系式的常用变形(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α.（2）诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.（3）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.三、三角函数的图象及性质1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，)1,2( ，(π，0)，)1,23(，(2π，0).(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，)0,2( ，(π，－1)，)0,23(，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z)函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义域R R {x |x R x ≠k π＋2}值域[－1，1][－1，1]R 周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数四、正弦定理余弦定理1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ；(2)a＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R等形式，以解决不同的三角形问题．2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab3．S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、r .4．在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b 解的个数一解两解一解一解5．实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．(3)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图②)．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值．[难点正本疑点清源]1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B .2．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．真题再现1．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】已知πsin sin =3 （）1，则πsin =6（）A ．12B C ．23D 【答案】B【解析】由题意可得：13sin sin cos 122，则：3sin cos 122 ，1sin cos 223，从而有：sin coscos sin 663，即sin 63.故选：B.【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.2．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】设函数π()cos()6f x x 在[−π，π]的图像大致如下图，则f （x ）的最小正周期为A ．10π9B ．7π6C ．4π3D ．3π2【答案】C【解析】由图可得：函数图象过点4,09，将它代入函数 f x 可得：4cos 096，又4,09是函数 f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点，所以4962，解得32 .所以函数 f x 的最小正周期为224332T故选C.【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.3．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则tan B =AB ．C ．D ．【答案】C【解析】设,,AB c BC a CA b22222cos 916234933c a b ab C c2221cos sin tan 4299a cb B B B ac 故选：C【点睛】本题考查余弦定理以及同角三角函数关系，考查基本分析求解能力，属基础题.4．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数f (x )=sin x +1sin x，则A ．f (x )的最小值为2B ．f (x )的图像关于y 轴对称C ．f (x )的图像关于直线x 对称D ．f (x )的图像关于直线2x对称【答案】D【解析】sin x ∵可以为负，所以A 错；1sin 0()()sin ()sin x x k k Z f x x f x xQ Q ()f x 关于原点对称；11(2)sin (),()sin (),sin sin f x x f x f x x f x x x Q 故B 错；()f x 关于直线2x对称，故C 错，D 对故选：D【点睛】本题考查函数定义域与最值、奇偶性、对称性，考查基本分析判断能力，属中档题.5．【2020年高考天津】已知函数π()sin(3f x x ．给出下列结论：①()f x 的最小正周期为2π；②π(2f 是()f x 的最大值；③把函数sin y x 的图象上所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数()y f x 的图象．其中所有正确结论的序号是A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】B【解析】因为()sin()3f x x，所以周期22T，故①正确；51()sin(sin 122362f ，故②不正确；将函数sin y x 的图象上所有点向左平移3个单位长度，得到sin(3y x 的图象，故③正确.故选：B.【点晴】本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是一道容易题.6．【2020年高考北京】2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day ）．历史上，求圆周率 的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2 的近似值．按照阿尔·卡西的方法， 的近似值的表达式是A.30303sin tan n n nB.30306sin tan n n nC.60603sin tan n n nD.60606sin tan n n n【答案】A【解析】单位圆内接正6n 边形的每条边所对应的圆周角为360606n n，每条边长为302sin n，所以，单位圆的内接正6n 边形的周长为3012sin n n，单位圆的外切正6n 边形的每条边长为302tann ，其周长为3012tan n n，303012sin12tan 303026sin tan 2n n n n n n n，则30303sin tan n n n.故选：A.【点睛】本题考查圆周率 的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正6n 边形和外切正6n 边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.7．【2020年新高考全国Ⅰ卷】下图是函数y =sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)=A ．πsin(3x ）B ．πsin(2)3x C ．πcos(26x D ．5πcos(2)6x 【答案】BC【解析】由函数图像可知：22362T ，则222T，所以不选A,当2536212x时，1y 5322122k k Z ，解得： 223k k Z ，即函数的解析式为：2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x.而5cos 2cos(2)66x x故选：BC.【点睛】已知f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝2T即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.8．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】若2sin 3x ，则cos 2x __________．【答案】19【解析】22281cos 212sin 12()1399x x.故答案为19.【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式的应用，属于基础题.9．【2020年高考江苏】已知2sin ()4 =23，则sin 2 的值是▲．【答案】13【解析】221sin ()cos )sin 2)4222Q 121(1sin 2)sin 2233故答案为：13【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.10．【2020年高考北京】若函数()sin()cos f x x x 的最大值为2，则常数 的一个取值为________．【答案】2（2,2k k Z均可）【解析】因为 cos sin sin 1cos f x x x x，2 ，解得sin 1 ，故可取2.故答案为：2（2,2k k Z均可）.【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.11．【2020年高考浙江】已知tan 2 ，则cos 2 _______，πtan(4_______．【答案】35-；13【解析】2222222222cos sin 1tan 123cos 2cos sin cos sin 1tan 125，tan 1211tan(41tan 123，故答案为：31,53【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及弦化切、两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.12．【2020年高考江苏】将函数πsin(32)4y x ﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是▲．【答案】524x【解析】3sin[2(]3sin(2)6412y x x72()()122242k x k k Z x k Z 当1k 时524x.故答案为：524x【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.13．【2020年新高考全国Ⅰ卷】某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，垂足为C ，tan ∠ODC =35，BH DG ∥，EF =12cm ，DE=2cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7cm ，圆孔半径为1cm ，则图中阴影部分的面积为________cm 2．【答案】542【解析】设 OB OA r ，由题意7AM AN ，12EF ，所以5NF ，因为5AP ,所以45AGP ，因为//BH DG ，所以45AHO ，因为AG 与圆弧AB 相切于A 点，所以OA AG ，即OAH △为等腰直角三角形；在直角OQD △中，52OQ r，72DQ r ，因为3tan 5OQ ODC DQ ，所以212522r r ，解得r等腰直角OAH △的面积为1142S；扇形AOB 的面积 2213324S，所以阴影部分的面积为1215422S S.故答案为：542.【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，体现了五育并举的育人方针.14．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°.（1）若a ，b ，求ABC △的面积；（2）若sin A C =2，求C .【解析】（1）由题设及余弦定理得2222832cos150c c ，解得2c （舍去），2c ，从而a .ABC △的面积为12sin1502．（2）在ABC △中，18030A B C C ，所以sin sin(30)sin(30)A C C C C ，故sin(30)2C.而030C ，所以3045C ，故15C .【点睛】本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.15．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A ．（1）求A ；（2）若3b c a ，证明：△ABC 是直角三角形．【解析】（1）由已知得25sin cos 4A A ，即21cos cos 04A A ．所以21(cos 02A ，1cos 2A ．由于0A ，故3A ．（2）由正弦定理及已知条件可得sin sin B C A．由（1）知23B C ，所以2sin sin()33B B ．即11sin 222B B ，1sin()32B ．由于03B ，故2B ．从而ABC △是直角三角形．【点睛】本题主要考查诱导公式和平方关系的应用，利用勾股定理或正弦定理，余弦定理判断三角形的形状，属于基础题．16．【2020年高考江苏】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,45a c B ．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ，求tan DAC ∠的值．【解析】（1）在ABC △中，因为3,45a c B ，由余弦定理2222cos b a c ac B ，得29223455b ，所以b 在ABC △中，由正弦定理sin sin b c B C ，得=sin 45sin C，所以sin C（2）在ADC △中，因为4cos 5ADC ,所以ADC 为钝角，而180ADC C CAD ,所以C 为锐角.故cos C 则sin 1tan cos 2C C C .因为4cos 5ADC，所以3sin 5ADC ，sin 3tan cos 4ADC ADC ADC .从而31tan()242tan tan(180)tan()===311tan tan 111()42ADC C ADC ADC C ADC C ADC C .【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，属于中档题.17．【2020年高考天津】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c．已知5,a b c ．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin A 的值；（Ⅲ）求πsin(24A 的值．【解析】（Ⅰ）在ABC △中，由余弦定理及5,a b c222cos 22a b c C ab ．又因为(0,π)C ，所以π4C ．（Ⅱ）在ABC △中，由正弦定理及π,4C a c sin 213sin 13a C A c ．（Ⅲ）由a c 及213sin 13A，可得313cos 13A ，进而2125sin 22sin cos ,cos 22cos 11313A A A A A．所以，πππ125sin(2)sin 2cos cos 2sin 44413213226A A A ．【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.18．【2020年高考北京】在ABC 中，11a b ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：（Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sin C 和ABC 的面积．条件①：17,cos 7c A；条件②：19cos ,cos 816A B ．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【解析】选择条件①（Ⅰ）17,cos 7c A ∵，11a b 22222212cos (11)72(11)7()7a b c bc A a a a ∵8a（Ⅱ）1cos(0,)sin77A A A∵，由正弦定理得：7sinsin sin sin2437a c CA C C11sin(118)8222S ba C选择条件②（Ⅰ）19cos,cos,(0,)816A B A B∵sin816A B由正弦定理得：6sin sin816a b aA B（Ⅱ）91sin sin()sin cos sin cos8161684C A B A B B A11sin(116)62244S ba C【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题.19．【2020年高考浙江】在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知2sin0b A ．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）求cos A+cos B+cos C的取值范围．【解析】（Ⅰ）由正弦定理得2sin sinB A A，故sin2B ，由题意得π3B .（Ⅱ）由πA B C得2π3C A，由ABC△是锐角三角形得ππ(,62A .由2π1cos cos()sin322C A A A得11π113cos cos cos sin()(,]2226222A B C A A A.故cos cos cosA B C的取值范围是13(,]22.【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求最值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.20．【2020年新高考全国Ⅰ卷】在①ac ，②sin 3c A ，③c 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC △，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin A B ，6C，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】方案一：选条件①．由6C 和余弦定理得22222a b c ab ．由sin A B 及正弦定理得a ．222b c ．由①ac ，解得1a b c ．因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时1c ．方案二：选条件②．由6C 和余弦定理得2222a b c ab ．由sin A B 及正弦定理得a ．22232 ，由此可得b c ，6B C ，23A ．由②sin 3c A ，所以6c b a ．因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c 方案三：选条件③．由6C 和余弦定理得22222a b c ab ．由sin A B 及正弦定理得a ．2222 ，由此可得b c ．由③c ，与b c 矛盾．因此，选条件③时问题中的三角形不存在．【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．。
高考数学之三角函数和解三角形
高考数学之三角函数和解三角形【知识网络构建】【重点知识整合】一、三角恒等变换与三角函数1.三角函数中常用的转化思想及方法技巧:(1)方程思想:sin cos αα+, sin cos αα-,sin cos αα三者中,知一可求二; (2)“1”的替换: 22sincos 1αα+=;(3)切弦互化:弦的齐次式可化为切； (4)角的替换:2()()ααβαβ=++-, ()22αβαβααββ+-=+-=+;(5)公式变形：21cos 2cos 2αα+=21cos 2sin2αα-=tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ+=+-;(6)构造辅助角(以特殊角为主):22sin cos sin()(tan )ba b a b aαααϕϕ+=++=.二、解三角形1．正弦定理已知在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A 、B 、C 的对边，则a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为三角形外接圆的半径)．2．余弦定理已知在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A 、B 、C 的对边，则a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，另外两个同样．3．面积公式已知在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A 、B 、C 的对边，则 (1)三角形的面积等于底乘以高的12；(2)S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R (其中R 为该三角形外接圆的半径)；(3)若三角形内切圆的半径是r ，则三角形的面积S ＝12(a ＋b ＋c )r ；(4)若p ＝a ＋b ＋c2，则三角形的面积S ＝p p －a p －b p －c .【高频考点突破】【变式探究】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝( )A ．－45B ．－35 C.35D.45【方法技巧】1．用三角函数定义求三角函数值有时反而更简单；2．同角三角函数间的关系、诱导公式在三角函数式的化简中起着举足轻重的作用，应注意正确选择公式、注意公式的应用条件. 考点二 三角函数的性质 三角函数的单调区间：y ＝sin x 的递增区间是[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z)，递减区间是[2k π＋π2，2k π＋3π2](k ∈Z)； y ＝cos x 的递增区间是[2k π－π，2k π](k ∈Z)，递减区间是[2k π，2k π＋π](k ∈Z)；y ＝tan x 的递增区间是(k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z)．例2、已知a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(cos x ，3cos x )，函数f (x )＝a ·b ＋32. (1)求f (x )的最小正周期，并求其图像对称中心的坐标； (2)当0≤x ≤π2时，求函数f (x )的值域．【变式探究】已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤|f (π6)|对x ∈R 恒成立，且f (π2)>f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )A ．[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z) B．[k π，k π＋π2](k ∈Z)C ．[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z) D．[k π－π2，k π](k ∈Z)考点三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及变换 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像： (1)“五点法”作图：设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点、连线可得．(2)图像变换：y ＝sin x ―――――――――→向左φ>0或向右φ<0平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ)y ＝sin(ωx ＋φ)――――――――――→纵坐标变为原来的AA >0倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)．例3、已知函数f 1(x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图像经过点(0,1)，如图所示．(1)求f 1(x )的表达式；(2)将函数f 1(x )的图像向右平移π4个单位长度得到函数f 2(x )的图像，求y ＝f 1(x )＋f 2(x )的最大值，并求出此时自变量x 的集合．【变式探究】已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图像如图，则f (π24)＝ ( )A ．2＋ 3 B. 3 C.33D ．2－ 3考点四 三角变换及求值 三角函数求值有以下类型：(1)“给角求值”，即在不查表的前提下，通过三角恒等变 换求三角函数式的值；(2)“给值求值”，即给出一些三角函数值，求与之有关的 其他三角函数式的值；(3)“给值求角”，即给出三角函数值，求符合条件的角． 例1、已知函数f (x )＝2sin(13x －π6)，x ∈R.(1)求f (0)的值；(2)设α，β∈[0，π2]，f (3α＋π2)＝1013，f (3β＋2π)＝65.求sin(α＋β)的值．【变式探究】已知：cos(2α－β)＝－1114，sin(α－2β)＝437，0<β<π4<α<π2，则α＋β的值为________． 考点五 正、余弦定理的应用【变式探究】△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5， 则△ABC 的面积为________． 考点 六 解三角形与实际应用问题在实际生活中，测量底部不可到达的建筑物的高度、不可到达的两点的距离及航行中的方位角等问题，都可通过解三角形解决． 例6、如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？【难点探究】难点一 简单的三角恒等变换例1 、(1)若0<α<π2，－π2<β<0，cos （π4＋α）＝13，cos （π4－β2）＝33，则cos （α＋β2）＝( )A.33 B ．－33 C.539 D ．－69(2)已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4的值为________． 【点评】 在进行三角恒等变换时，一个重要的技巧是进行角的变换，把求解的角用已知角表示出来，把求解的角的三角函数使用已知的三角函数表示出来，常见的角的变换有，把π2＋2α变换成2⎝⎛⎭⎫π4＋α，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＝(β＋α)－(β－α)，α＋β＝2·α＋β2，α＋β2＝⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β等；在进行三角函数化简或者求值时，如果求解目标较为复杂，则首先要变换这个求解目标，使之简化，以便看出如何使用已知条件．难点二 三角函数的图象例2 (1)已知函数f (x )＝A tan(ωx +φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫π24＝________.(2)要得到函数y ＝cos （2x ＋π3）的图象，只需将函数y ＝12sin2x ＋32cos2x 的图象( )A ．向左平移π8个单位 B ．向右平移π2个单位 C ．向右平移π3个单位 D ．向左平移π4个单位难点三 三角函数的性质例3已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π2>f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z)B.⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2(k ∈Z)C.⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z)D.⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π(k ∈Z)【规律方法】1．根据三角函数的图象求解函数的解析式时，要注意从图象提供的信息确定三角函数的性质，如最小正周期、最值，首先确定函数解析式中的部分系数，再根据函数图象上的特殊点的坐标适合函数的解析式确定解析式中剩余的字母的值，同时要注意解析式中各个字母的范围．2．进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行的什么样的变换都是变换的变量本身，特别在平移变换中，如果这个变量的系数不是1，在进行变换时变量的系数也参与其中，如把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象向左平移π12个单位时，得到的是函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π4＝sin2x ＋5π12的图象． 3．解答三角函数的图象与性质类的试题，变换是其中的核心，把三角函数的解析式通过变换，化为正弦型、余弦型、正切型函数，然后再根据正弦函数、余弦函数和正切函数的性质进行研究．难点四 正余弦定理的应用例4 、(1)在△A BC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，sin A ＝13，则a ＝________.(2)在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( )A ⎝⎛⎦⎤0，π6 B.⎣⎡⎭⎫π6，π C.⎝⎛⎦⎤0，π3 D.⎣⎡⎭⎫π3，π 难点五 函数的图象的分析判断例5 、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －ab.(1)求sin C sin A 的值；(2)若cos B ＝14，b ＝2，求△ABC 的面积S .【点评】 本题的难点是变换cos A －2cos C cos B ＝2c －a b 时，变换方向的选取，即是把角的函数转化为边的关系，还是把边转化为角的三角函数，从已知式的结构上看，把其中三个内角的余弦转化为边的关系是较为复杂的，而根据正弦定理把其中边的关系转化为角的正弦，则是较为简单的，在含有三角形内角的三角函数和边的混合关系式中要注意变换方向的选择．正弦定理、余弦定理、三角形面积公式本身就是一个方程，在解三角形的试题中方程思想是主要的数学思想方法，要注意从方程的角度出发分析问题．探究点六 解三角形的实际应用例6、如图6－1，渔政船甲、乙同时收到同一片海域上一艘渔船丙的求救信号，此时渔船丙在渔政船甲的南偏东40°方向距渔政船甲70 km 的C 处，渔政船乙在渔政船甲的南偏西20°方向的B 处，两艘渔政船协调后立即让渔政船甲向渔船丙所在的位置C 处沿直线AC 航行前去救援，渔政船乙仍留在B 处执行任务，渔政船甲航行30 km 到达D 处时，收到新的指令另有重要任务必须执行，于是立即通知在B 处执行任务的渔政船乙前去救援渔船丙(渔政船乙沿直线BC 航行前去救援渔船丙)，此时B 、D 两处相距42 km ，问渔政船乙要航行多少千米才能到达渔船丙所在的位置C 处实施营救？45°距A 处8海里处有一走私船，正沿南偏东75°的方向以12海里/小时的速度向我岸行驶，巡逻艇立即以123海里/小时的速度沿直线追击，问巡逻艇最少需要多长时间才能追到走私船？并指出巡逻艇航行方向．图6－2【规律技巧】1．使用正弦定理能够解的三角形有两类，一类是已知两边及其中一边的对角，一类已知一边和两个内角(实际就是已知三个内角)，其中第一个类型也可以根据余弦定理列出方程求出第三边，再求内角．在使用正弦定理求三角形内角时，要注意解的可能情况，判断解的情况的基本依据是三角形中大边对大角．2．当已知三角形的两边和其中一个边的对角求解第三边时，可以使用正弦定理、也可以使用余弦定理，使用余弦定理就是根据余弦定理本身是一个方程，这个方程联系着三角形的三个边和其中的一个内角．3．正弦定理揭示了三角形三边和其对角正弦的比例关系，余弦定理揭示了三角形的三边和其中一个内角的余弦之间的关系． 【历届高考真题】 【2012年高考试题】 一、选择题1.【2012高考真题重庆理5】设tan ,tan αβ是方程2320xx -+=的两个根，则tan()αβ+的值为（A ）-3 （B ）-1 （C ）1 （D ）33.【2012高考真题新课标理9】已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减.则ω的取值范围是（ ）()A 15[,]24 ()B 13[,]24()C 1(0,]2 ()D (0,2]4.【2012高考真题四川理4】如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =，连接EC 、ED 则sin CED ∠=（ ）A 、31010B 、1010C 、510D 、5157.【2012高考真题辽宁理7】已知sin cos 2αα-=，α∈(0，π)，则tan α=(A) -1 (B) 22-(C)22(D) 18.【2012高考真题江西理4】若tan θ+1tan θ=4,则sin2θ=A ．15 B. 14 C. 13 D. 129.【2012高考真题湖南理6】函数f （x ）=sinx-c os(x+6π)的值域为 A ．3332,32]10.【2012高考真题上海理16】在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin<+，则ABC ∆的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定13.【2012高考真题全国卷理7】已知α为第二象限角，33cos sin =+αα，则cos2α=(A) 5-3 （B ）5-9 (C)59(D)53二、填空题14.【2012高考真题湖南理15】函数f （x ）=sin (x ωϕ+)的导函数()y f x '=的部分图像如图4所示，其中，P 为图像与y轴的交点，A,C 为图像与x 轴的两个交点，B 为图像的最低点.（1）若6πϕ=，点P 的坐标为（0，332），则ω= ; （2）若在曲线段¼ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率为 .17.【2012高考真题安徽理15】设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边为,,a b c ；则下列命题正确的是_____①若2ab c >；则3C π<②若2a b c +>；则3C π<③若333ab c +=；则2C π<④若()2a b c ab +<；则2C π>⑤若22222()2ab c a b +<；则3C π>18.【2012高考真题福建理13】已知△ABC 得三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为_________.19.【2012高考真题重庆理13】设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且53cos =A ，135cos =B ,3=b 则c = 20.【2012高考真题上海理4】若)1,2(-=n 是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）。
高三数学解三角形及应用(新编2019)
我站起来，带着几个堂兄妹去稻场里准备麦秸，一路上大家都不说话，就连以前好叽叽喳喳的小妹跟在后面也不说话。我走在最前面，把他们领到麦秸垛前面拽麦秸，以前我拽得很快，可是今天， 我怎么一点劲儿也没有呢？天气阴沉沉的，很冷，像要下雪的样子。小妹妹拽了一会儿突然哭着说冷，我走过去握住她的手，给她暖暖，让大家都歇一会儿，于是找了个避风的地方坐了下来。皇冠和沙 巴 “以后，再也听不到二爹给咱们讲《杨家将》了！”大妹子首先打破沉默。 “是啊！”大家都低声附和道。 “二爹那年卖完苹果还给我过一元钱。”堂兄说。 “学校里搞勤工俭学，我上山砍柴砍不动，是二爹帮我砍的，帮我担回来。”堂妹说。 “我爸妈打我时，二爹把他们拉开，一把把我抱在怀里……” “二爹帮我家犁地，我妈给他烙的千层饼，他不吃，光吃红署，说他喜欢吃红署，事后我妈说二爹是好人，知道白面少，舍不得吃，千层饼留给我们姐妹几个吃。” “那一年，我得了破伤风，突然之间发烧，不醒人事，爸妈不在家，是二爹冒着酷暑把我背到医院抢救过来的，要不是二爹，我都没命了。”小妹哭着说。 …… 大家你一言，我一语地怀念二爹的好，都在那儿说二爹是好人，没想到他会突然离去。我说：“咱们现在唯一能为二爹做的事是多拽些麦秸，你们都别怕冷，干吧。”
高三数学解三角形及应用(新编2019)
“蚊子草”是极低贱的一种草，然而实在是不平凡的一种草；我喜欢我的阁楼天台，我喜欢春天，我更喜欢我的“蚊子草”。
2020-1-21 16:24 上传
笔直的干，努力向上发展，不折不挠，对抗着高高天台上的风；
365开户 “蚊子草”是我夜晚遛狗时，在濛濛细雨中的马路牙子上捡到的，我虽然不认识它，但知道它定然是花草，是绿植。我随手把它捡起来，装到塑料袋里，一路小跑回到我家阁楼上，小心翼翼地栽倒
花盆里，活与不活顺其自然，没报多大希望。
“蚊子草”，又叫蝎子草。学名叫八宝景天。属多年生肉质草本植物，地下茎肥厚，地上茎簇生，粗壮而直立，呈灰绿色，株高和花梗短。叶轮生，倒卵形。全草入药，有祛风利湿，活血散瘀，止 血止痛的功效；外用可治疔疮痈肿，跌打损伤，带状疱疹，脚癣等能耐。几年的养育经验告诉我，“蚊子草”喜强光和干燥、通风良好的环境，耐低温；不择土壤，耐贫瘠和干旱，忌雨涝积水。植株强 健，管理粗放。性耐寒，露地可越冬，地上部分冬季枯萎。
簇生的叶，叶叶靠紧团结，不偏不倚
高考数学考察的重要知识点
高考数学考察的重要知识点2019高考数学考察的重要知识点高考数学重要知识点、三角函数题三角题一般在解答题的前两道题的位置上,主要考查三角恒等变换、三角函数的图像与性质、解三角形等有关内容.三角函数、平面向量和三角形中的正、余弦定理相互交汇,是高考中考查的热点.纵观近几年的高考试题,许多新颖别致的三角解答题就是以此为出发点设计的,在这类问题中平面向量往往只是起到“包装”的作用,实际主要考查考生利用三角函数的性质、三角恒等变换与正、余弦定理解决问题的能力.解决这类问题的基本思路是“脱掉向量的外衣,抓住问题的实质,灵活地实现问题的转化,选择合理的解决方法”,在解题过程中要注意三角恒等变换公式的多样性和灵活性,注意题目中隐含的各种限制条件,做到推理严谨、计算准确、表达确切.注意的问题注意归一公式、诱导公式的正确性(转化成同名同角三角函数时，套用归一公式、诱导公式(奇变、偶不变;符号看象限)时，很容易因为粗心，导致错误!一着不慎，满盘皆输!).高考数学重要知识点、数列题数列题重点考查等差数列、等比数列、递推数列的综合理,有的题是两法兼用,可谓珠联璧合,相得益彰.究竟选用哪种方法,要由自己的长处和图形特点来确定.便于建立空间直角坐标系的,往往选用向量法,反之,选用传统方法.另外,“动态”探索性问题是近几年高考立体几何命题的新亮点,三视图的巧妙参与也是立体几何命题的新手法,要注意把握.注意的问题1.证明线面位置关系，一般不需要去建系，更简单.2.求异面直线所成的角、线面角、二面角、存在性问题、几何体的高、表面积、体积等问题时，最好要建系.3.注意向量所成的角的余弦值(范围)与所求角的余弦值(范围)的关系(符号问题、钝角、锐角问题).高考数学重要知识点、概率问题概率题一般在解答题的前三道题的位置上,主要考查数据处理能力、应用意识、必然与或然思想,因此近几年概率题常以概率与统计的交汇形式呈现,并用实际生活中的背景来“包装”.概率重点考查离散型随机变量的分布列与期望、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验与二项分布等;统计重点考查抽样方法(特别是分层抽样)、样本的频率分布、样本的特征数、茎叶图、线性回归、列联表等,穿插考查合情推理能力和优化决策能力.同时,关注几何概型与定积分的交汇考查,此类试题在近几年的高考中难度有所提升,考生应有心理准备.注意的问题1.搞清随机试验包含的所有基本事件和所求事件包含的基本事件的个数.2.搞清是什么概率模型，套用哪个公式.3.记准均值、方差、标准差公式.4.求概率时，正难则反(根据p1+p2+...+pn=1).5.注意计数时利用列举、树图等基本方法.6.注意放回抽样，不放回抽样.7.注意“零散的”的知识点(茎叶图，频率分布直方图、分层抽样等)在大题中的渗透.8.注意条件概率公式.9.注意平均分组、不完全平均分组问题.高考数学重要知识点、圆锥曲线问题解析几何题一般在解答题的后三道题的位置上,有时是“把关题”或“压轴题”,说明了解析几何题依然是重头戏,在新课标高考中依然占有较突出的地位.考查重点:第一,解析几何自身模块的小交汇,是指以圆、圆锥曲线为载体呈现的,将两种或两种以上的知识结合起来综合考查.如不同曲线(含直线)之间的结合,直线是各类曲线和相关试题最常用的“调味品”,显示了直线与方程的各知识点的基础性和应用性.第二,圆锥曲线与不同模块知识的大交汇,以解析几何与函数、向量、代数知识的结合最为常见.有关解析几何的最值、定值、定点问题应给予重视.一般来说,解析几何题计算量大且有一定的技巧性(要求品出“几何味”来),需要“精打细算”,对考生的意志品质和数学机智都是一种考验和检测.注意的问题1.注意求轨迹方程时，从三种曲线(椭圆、双曲线、抛物线)着想，椭圆考得最多，方法上有直接法、定义法、交轨法、参数法、待定系数法.2.注意直线的设法(法1分有斜率，没斜率;法2设x=my+b(斜率不为零时)，知道弦中点时，往往用点差法);注意判别式;注意韦达定理;注意弦长公式;注意自变量的取值范围等等;3.战术上整体思路要保7分，争9分，想12分。
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专题06 三角运算及其应用
一、基础过关题
1．(2016·西安模拟)已知cos α＝54
，α∈(0，π)，则tan α的值等于( ) A.34 B.43 C ．－34 D ．－43
【答案】 B
【解析】 ∵α∈(0，π)， ∴sin α＝＝24＝53
，
由tan α＝cos αsin α，得tan α＝43
.
2．已知tan(α－π)＝43，且α∈(2π，23π)，则sin(α＋2π
)等于( ) A.54 B ．－54 C.53 D ．－53 【答案】 B
3．若sin(π－α)＝－2sin(2π
＋α)，则sin α·cos α的值等于( ) A ．－52
B ．－51
C.52或－52
D.52 【答案】 A
【解析】 由sin(π－α)＝－2sin(2π
＋α)，可得sin α＝－2cos α，则tan α＝－2， sin α·cos α＝sin2α＋cos2αsin α·cos α＝1＋tan2αtan α＝－52
.
4．已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 017)的值为( ) A ．－1
B ．1
C ．3
D ．－3 【答案】 D
【解析】 ∵f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β) ＝a sin α＋b cos β＝3，
∴f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β) ＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β) ＝－a sin α－b cos β＝－3.
5．已知α为钝角，sin(4π＋α)＝43，则sin(4π
－α)＝ . 【答案】 －47
6．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线2x －y ＝0上，则－θ－sin(π－θπ
＝ . 【答案】 2
【解析】 由题意可得tan θ＝2， 原式＝cos θ－sin θ－cos θ－cos θ＝1－tan θ－2
＝2.
7．(2015·课标全国Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于( ) A ．－23 B.23 C ．－21 D.21 【答案】 D
【解析】 sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°
＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝21
.
8．(2016·全国甲卷)若cos －απ＝53
，则sin 2α等于( ) A.257 B.51 C ．－51 D ．－257 【答案】 D
【解析】 因为sin 2α＝cos －2απ＝2cos 2
－απ－1，
又因为cos －απ＝53，所以sin 2α＝2×259－1＝－257
，故选D.
9．(2016·东北三省三校联考)已知sin α＋cos α＝31，则sin 2
(4π－α)等于( ) A.181 B.1817 C.98 D.92 【答案】 B
10. sin 70°2cos 10°－sin 20°的值是( ) A.21 B.23 C.
D.
【答案】 C
【解析】 原式＝sin 70°2cos(30°－20°－sin 20°
＝sin 70°2(cos 30°·cos 20°＋sin 30°·sin ＝cos 20°3cos 20°
＝.
11．化简45°－α45°－α·cos2α－sin2αsin αcos α
＝ . 【答案】 21
【解析】 原式＝tan(90°－2α)·cos 2αsin 2α
＝90°－2α90°－2α·21·cos 2αsin 2α ＝sin 2αcos 2α·21·cos 2αsin 2α＝21.
12．已知tan(4π＋θ)＝3，则sin 2θ－2cos 2
θ的值为 ． 【答案】 －54
【解析】 ∵tan(4π＋θ)＝3，∴1－tan θ1＋tan θ＝3，解得tan θ＝21
. ∵sin 2θ－2cos 2
θ＝sin 2θ－cos 2θ－1 ＝sin2θ＋cos2θ2sin θcos θ－sin2θ＋cos2θcos2θ－sin2θ
－1 ＝1＋tan2θ2tan θ－1＋tan2θ1－tan2θ
－1 ＝54－53－1＝－54.
13．已知α∈，ππ，且sin 2α＋cos 2α＝26
. (1)求cos α的值；
(2)若sin(α－β)＝－53，β∈，ππ
，求cos β的值． 【答案】 (1) cos α＝－23
.；
(2) cos β＝－103＋3
.
14. (2018江苏高考16)已知为锐角，，．
（1）求的值；
（2）求
的值．
【解析】（1）因为，
，所以．
因为
，所以
，
因此，．
点评．本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算
求解能力．
15.(2018·浙江高考18) 已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （
）．
（Ⅰ）求sin （α+π）的值； （Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=，求cos β的值．
【解析】（Ⅰ）由角的终边过点
得
，
所以.
（Ⅱ）由角的终边过点
得，
由得.
由得，
所以
或
.
点评：本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力。
二、能力提高题
1.(2016·揭阳模拟)若sin θ，cos θ是方程4x 2
＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为( ) A ．1＋ B ．1－ C ．1± D ．－1－
【答案】 B
【解析】 由题意知sin θ＋cos θ＝－2m ，sin θcos θ＝4m ，
又(sin θ＋cos θ)2
＝1＋2sin θcos θ， ∴4m2＝1＋2m ，
解得m ＝1±，又Δ＝4m 2－16m ≥0， ∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－.
2．若f (cos x )＝cos 2x ，则f (sin 15°)＝ . 【答案】 －23
【解析】 f (sin 15°)＝f (cos 75°)＝cos 150°＝cos(180°－30°)＝－cos 30°＝－23
. 3．(2016·江西九校联考)已知锐角α，β满足sin α－cos α＝61
，tan α＋tan β＋tan αtan β＝，则α，β的大小关系是( ) A ．α<4π
<β
B ．β<4π<α
C.4π<α<β
D.4π
<β<α 【答案】 B
4.(2016·宝鸡模拟)已知cos(4π＋θ)cos(4π－θ)＝41，则sin 4θ＋cos 4
θ的值为 ． 【答案】 85
【解析】 因为cos(4π＋θ)cos(4π
－θ) ＝(22cos θ－22sin θ)(22cos θ＋22
sin θ) ＝21(cos 2θ－sin 2
θ)＝21cos 2θ＝41. 所以cos 2θ＝21
.
故sin 4θ＋cos 4
θ＝(21－cos 2θ)2＋(21＋cos 2θ)2＝161＋169＝85.
5.已知关于x 的方程2x 2
－(＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)．
求：(1)sin θ－cos θsin2θ＋1－tan θcos θ
的值； (2)m 的值；
(3)方程的两根及此时θ的值． 【答案】 (1) 23＋1
；
(2) m ＝23
.
(3) θ＝3π 或θ＝6π
6.(2017·合肥质检)已知cos(6π＋α)cos(3π－α)＝－41，α∈(3π，2π
)． (1)求sin 2α的值； (2)求tan α－tan α1
的值． 【答案】 (1) 21
；
(2) 2.
【解析】(1)cos(6π＋α)·cos(3π－α)＝cos(6π＋α)·sin(6π
＋α) ＝21sin(2α＋3π)＝－41，
即sin(2α＋3π)＝－21
.
∵α∈(3π，2π)，∴2α＋3π∈(π，34π
)， ∴cos(2α＋3π)＝－23
， ∴sin 2α＝sin[(2α＋3π)－3π
]
＝sin(2α＋3π)cos 3π－cos(2α＋3π)sin 3π＝21
.。