数学分析第二十章课件重积分
《重积分定义和计算》课件
在计算两个物体之间的引力时，可以通过重积分来计算。例如，地球和月球之间的引力作用、两个电荷之间的电场力 等。
电磁学中的高斯定理
在电磁学中，高斯定理是描述电场分布的重要定理，而这个定理的证明过程中就使用了重积分。
在金融中的应用
计算概率密度函数和累积分布函数
在金融领域，重积分被用于计算概率密度函数和累积分布函数。例如，在期权定价、风 险评估和投资组合优化等领域，都需要使用重积分来计算相关概率分布。
03
重积分计算方法
矩形法
总结词：简单直观
详细描述：矩形法是一种基于几何直观的积分计算方法，通过将积分区间划分为 一系列小的矩形，然后求和计算积分值。该方法简单易懂，适用于初学者理解重 积分的概念。
蒙特卡洛方法
总结词：随机模拟
详细描述：蒙特卡洛方法是一种基于随机抽样的积分计算方法，通过在积分区间内随机生成大量点， 然后统计落在积分区域内的点数，以此估算积分值。该方法适用于复杂函数的积分计算，但精度取决 于抽样次数。
如何判断积分是否收敛
可以通过分析积分函数的性质和积分的物理意义来判断积分是否收 敛。
举例说明
以三维空间中的球体为例，如果球体内部的函数值无限增大，那么 该球体内的重积分可能不存在。
THANK YOU
解决随机过程问题
在金融领域中，许多问题涉及到随机过程，如股票价格的波动、收益率的分布等。重积 分被用于解决这些随机过程问题，以预测未来的市场走势。
精算科学中的风险评估
在精算科学中，重积分被用于评估风险。例如，可以使用重积分来计算某个事件的预期 损失或风险价值。
在工程中的应用
材料力学中的应力分析
在材料力学中，重积分被用于计 算物体内部的应力分布。通过将 物体的受力情况转化为数学模型 ，然后使用重积分进行计算，可 以确定物体在不同位置的应力大 小和方向。
高等数学-重积分PPT课件
重积分的性质
线性性质
若α、β为常数，则∫[αf+βg]=α∫f+β∫g。
积分区域的可加性
若D1、D2是两个不相交的区域，则∫[D1∪D2]f=∫[D1]f+∫[D2]f。
保序性
若在D上，f(x,y)≤g(x,y)，则∫[D]f≤∫[D]g。
绝对可积性
若f在D上可积，则|f|在D上也可积，且|∫[D]f|≤∫[D]|f|。
课件内容与结构
课件内容
本课件主要介绍重积分的基本概念、性质、计算方法和应用实例，包括二重积分和三重积分的定义、性质、计算 方法和应用等。
课件结构
课件按照“概念引入-性质探讨-计算方法-应用实例”的逻辑顺序进行编排，层次分明，条理清晰，便于学生理解 和掌握。
02
重积分的定义与性质
重积分的定义
二重积分的定义
计算消费者剩余和生产者剩余
02 重积分可用于计算消费者剩余和生产者剩余，通过对
需求函数和供给函数进行积分得到。
计算社会福利
03
重积分可用于计算社会福利，通过对消费者剩余和生
产者剩余进行加总得到。
06
重积分的数值计算方法
矩形法则与梯形法则
矩形法则
将积分区间划分为若干个小矩形，每个小矩形的面积近似等于其底边长度与高的乘积，将所有小矩形 的面积相加得到积分的近似值。
计算转动惯量
重积分可用于计算物体绕某轴的 转动惯量，通过对物体质量分布 和到轴距离的平方进行积分得到。
计算引力
重积分可用于计算两个物体之间 的引力，通过对两物体间的质量 分布和距离进行积分得到。
在工程学中的应用
计算面积和体积
重积分可用于计算平面图形或立体图形的面积和体积，通过对图形 的边界函数进行积分得到。
重积分说课PPT课件
的密度。
计算质心
三重积分可用于计算三维物体的质 心坐标，其中被积函数表示物体的 密度与坐标的乘积。
计算转动惯量
通过三重积分可以计算三维物体绕 某轴的转动惯量，其中被积函数表 示物体的密度与到轴距离的平方的 乘积。
05
重积分的数值计算方法
矩形区域上的数值积分法
体积计算
二重积分可用于计算立体 体积，如旋转体、柱体等。
曲面面积计算
通过二重积分可以计算曲 面的面积，如球面、柱面 等。
二重积分在物理中的应用
质心计算
通过二重积分可以求出物体的质 心坐标。
引力计算
在万有引力定律中，利用二重积 分可以计算两物体之间的引力。
01
02
质量计算
在密度不均匀的物体中，利用二 重积分可以计算物体的质量。
球面坐标系下的三重积分
当积分区域为球体或球壳时，可将三重积分转化为球面坐标系下的 累次积分。
三重积分在几何中的应用
计算体积
通过三重积分可以计算三 维空间中任意形状的体积。
计算面积
三重积分可用于计算三维 空间中曲面的面积。
计算重心
通过三重积分可以计算三 维物体的重心坐标。
三重积分在物理中的应用
计算质量
重积分说课ppt课件
目录
• 课程介绍 • 重积分基本概念与性质 • 二重积分的计算与应用 • 三重积分的计算与应用 • 重积分的数值计算方法 • 课程总结与展望
01
课程介绍
课程目标与要求
掌握重积分的概念、 性质及计算方法
培养学生的数学素养 和解决问题的能力
理解重积分在物理学、 工程学等领域的应用
重积分课件
详细描述
在计算电场时，我们需要对电荷的分布和位置进行积分 ，以确定电荷对其他电荷的作用力。这个积分过程也是 重积分。通过重积分，我们可以得到电荷之间的电场强 度和电势，进一步得到整个电场的分布情况。
05
重积分的数学性质
重积分的可加性
总结词
重积分具有可加性，即对于可加函数，其在两个不相交区域的积分之和等于其在整个区 域的积分。
微分方程的数值解法
欧拉方法
一种简单而常用的数值解法，通过迭代的方式逐步逼近微分方程的 解。
龙格-库塔方法
一种高精度的数值解法，适用于求解非刚性问题，具有更高的计算 精度和稳定性。
谱方法
利用傅里叶变换或小波变换将微分方程转化为频域或时域中的多项 式方程，通过求解多项式方程得到原微分方程的数值解。
THANKS。
04
重积分的物理应用Biblioteka 质量分布的计算总结词
质量分布是物理学中一个重要的概念，它描 述了物体内部各点的质量分布情况。
详细描述
在计算物体质量时，我们需要对物体的密度 函数进行积分，以确定物体内部所有点的质 量总和。这个积分过程就是重积分。通过重 积分，我们可以得到物体的总质量、质心位
置等重要物理量。
引力场的计算
详细描述
重积分的可乘性是指，如果函数在两个区域上进行积分 ，那么这些积分的结果之积等于函数在它们所围成的区 域上的积分结果。这个性质在处理多变量函数的积分问 题时非常有用，因为它允许我们将问题简化为更简单的 形式，从而更容易计算出积分的结果。同时，这个性质 也为我们提供了一种计算多变量函数积分的有效方法。
体积的计算
总结词
重积分是计算三维空间中物体体积的有 效工具，通过重积分可以计算出各种形 状的物体体积。
《重积分的运算》课件
汇报人：PPT
单击输入目录标题 重积分的概念 重积分的运算规则 重积分的应用实例 重积分的注意事项
添加章节标题
重积分的概念
定义与性质
重积分的定义：对 多元函数在某一区 域内的积分
重积分的性质：线 性性、可加性、绝 对收敛性等
重积分的应用：计 算体积、面积、质 量等
重积分的计算方法 ：直接积分法、换 元积分法、分部积 分法等
合理选择积分区域：选择合适的积分区域可以简化计算过程 利用对称性：利用积分区域的对称性可以简化计算过程 利用积分变换：利用积分变换可以简化计算过程 利用数值积分：利用数值积分可以快速得到近似解，提高计算效率
注意事项总结
确定积分区域：选择合适的积分区域， 避免积分区域过大或过小
确定积分变量：选择合适的积分变量， 避免积分变量过多或过少
确定积分顺序：选择合适的积分顺序， 避免积分顺序错误
确定积分方法：选择合适的积分方法， 避免积分方法不当
确定积分结果：确定积分结果是否正 确，避免积分结果错误
注意积分技巧：注意积分技巧的使用， 提高积分效率
THANK YOU
汇报人：PPT
避免计算错误的方法
仔细阅读题目， 理解题意
正确使用积分 符号和积分区
间
避免积分区间 错误，如积分 区间的端点和
区间内的值
避免积分变量 错误，如积分 变量的取值范 围和积分变量
的值
避免积分函数 错误，如积分 函数的定义域 和积分函数的
值
避免积分计算 错误，如积分 计算的步骤和 积分计算的结
果
提高计算效率的技巧
几何意义
重积分可以看作是积分的推 广，将积分从一维扩展到二 维或三维
重积分是积分的一种，用于 计算曲面或曲面上的曲线的 体积或面积
《重积分概念与性质》课件
重积分的几何意义可以用于计算曲面或曲面上的 积分，也可以用于计算曲面或曲面上的平均值
03
重积分的性质
性质1：线性性质
添加标题
线性性质的定义：如果f(x)和g(x)是定义在[a,b]上的可积函数，c和d是常数，那么f(x)+g(x)和cf(x)+dg(x)也是 定义在[a,b]上的可积函数，且满足∫(f(x)+g(x))dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx， ∫(cf(x)+dg(x))dx=c∫f(x)dx+d∫g(x)dx。
应用3：表面积计算
重积分在表面积计算中的 应用
计算曲面的表面积
计算旋转体的表面积
计算球体的表面积
YOUR LOGO
THANK YOU
汇报人：PPT
矩形法的步骤：确定积分区域、划分矩形、计算每个矩形的面积、求和得到积分值。
矩形法的优点：简单直观，易于理解。
矩形法的缺点：当积分区域不规则时，划分矩形比较困难，计算误差较大。
方法3：梯形法
梯形法的基本思想： 将积分区域划分为若 干个梯形，然后计算 每个梯形的面积，最 后求和得到积分值。
梯形法的计算公式：
添加标题
线性性质的应用：在计算重积分时，可以将被积函数分解为两个或更多的部分，分别计算每个部分的积分，然后相加得到整个 被积函数的积分。
添加标题
线性性质的证明：利用积分的定义和性质，可以证明线性性质的正确性。
添加标题
线性性质的重要性：线性性质是重积分的一个重要性质，它使得我们可以将复杂的被积函数分解为简单的部分，从而简化计算 过程。
性质4：比较定理
比较定理：如果 f(x)≤g(x)在 [a,b]上恒成立， 则∫(a到 b)f(x)dx≤∫(a 到b)g(x)dx
重积分高等数学课件.ppt
于是 ln(x2 y2 ) d x d y 0
x y 1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
第三节 三重积分
一、三重积分的概念 二、三重积分的计算
第九章
机动 目录 上页 下页 返回 结束
一、三重积分的概念
引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的
物质, 密度函数为(x, y, z) C,求分布在 内的物质的
的正负号.
y
D3 D2 o 1 32 x
D1
舍去此项
猜想结果为负
D1 d x d y
但不好估计 .
3 2 (4 3) (1 3 2) 0
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3. 估计下列积分之值
I
D
dxd y 100 cos2 x cos2
y
D : x y 10
y
解: D 的面积为 (10 2)2 200
体积, 则存在 ( ,, ) , 使得
f (x, y, z) d v f ( ,, )V
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、三重积分的计算
1. 利用直角坐标计算三重积分 先假设连续函数 f (x, y, z) 0, 并将它看作某物体
的密度函数 , 通过计算该物体的质量引出下列各计算 方法:
n
M
lim
0 k 1
(k , k
) k
(k ,k )
x
k
机动 目录 上页 下页 返回 结束
两个问题的共性：
(1) 解决问题的步骤相同 “大化小, 常代变, 近似和,取极限”
(2) 所求量的结构式相同
曲顶柱体体积:
n
V
lim
0 k 1
重积分应用PPT课件
01
球面坐标系的建立
以原点为球心，以r为半径的球面将空间划分为若干个球面区域。
02
球面坐标系下三重积分的计算
将三重积分转化为球面坐标系下的二重积分，再对r、θ和φ进行积分。
03
典型例题解析
通过具体例题展示球面坐标系下三重积分的计算过程。
典型例题解析
01
02
03
04
例题1
计算球体体积（直角坐标系下 ）。
典型例题解析
例题一
求解二重积分$int_{0}^{1}int_{0}^{1}e^{-(x^2+y^2)}dxdy$， 分别采用矩形法、梯形法和Simpson法进行求解，并比较各方 法的精度和计算量。
例题二
求解二重积分$int_{0}^{pi}int_{0}^{pi}sin(x+y)dxdy$，分别 采用矩形法、梯形法和Simpson法进行求解，并分析各方法的 适用性。
03
三重积分计算方法
直角坐标系下三重积分计算
投影法
将三重积分投影到三个坐标面上， 分别计算每个投影区域上的二重
积分，再相加得到最终结果。
截面法
通过平行于坐标面的平面截取积 分区域，对每个截面上的二重积 分进行计算，再对截面进行积分
得到最终结果。
先一后二法
先对其中一个变量进行积分，将 三重积分转化为二重积分，再对
剩余两个变量进行积分。
柱面坐标系下三重积分计算
1 2
柱面坐标系的建立
以原点为顶点，以z轴为对称轴的圆柱面将空间 划分为若干个柱面区域。
柱面坐标系下三重积分的计算
将三重积分转化为柱面坐标系下的二重积分，再 对r和θ进行积分。
3
典型例题解析
《重积分的》课件
积分区域的可加性是重积分的一个重要性质，它使得我们可以将复杂的积分区域分解为若干个简单的积分区域， 从而简化积分的计算。
积分区域的可加性还可以用于证明一些积分公式，例如格林公式、高斯公式等。
积分区域的可加性在实际应用中也有广泛的应用，例如在物理、工程等领域中，经常需要对复杂的积分区域进行 积分，利用积分区域的可加性可以大大简化计算过程。
PPT,a click to unlimited possibilities
汇报人：PPT
目录
定义与公式
重积分：对多元函数在某一区 域内的积分
积分区域：多元函数在某一区 域内的积分区域
积分变量：多元函数在某一区 域内的积分变量
积分公式：多元函数在某一区 域内的积分公式
计算方法
确定积分区域和被积函数 计算积分上限和下限 使用积分公式进行计算 验证计算结果是否正确
引力势能的应用：在物理学、天文学、地球科学等领域都有广泛的应用
引力势能的计算方法：可以通过积分的方法来计算引力势能，例如使用重积分进行计算
地球引力场的计算
地球引力场的计算需要利用 重积分公式
地球引力场的计算需要考虑 地球的密度分布
地球引力场的计算是重积分 的实际应用之一
地球引力场的计算需要利用地 球的半径和自转角速度等信息
桥梁结构稳定性分析的基 本原理
重积分在桥梁结构稳定性 分析中的具体应用
重积分在桥梁结构稳定性 分析中的优缺点
重积分在桥梁结构稳定性 分析中的发展趋势
汇报人：PPT
质量计算公式：m=ρV
质量计算
ρ：密度，单位为kg/m³
数学分析多重积分 .ppt
b
bd
a I( x)dx a (c f ( x, y)dy)dx .
此积分称为累次积分.
记为
b
d
dx f ( x, y)dy.
a
c
类似理解 :
d
b
db
c dya f ( x, y)dx c (a f ( x, y)dx)dy .
问题 :
? f (x, y)d
D
且
c
a
f ( x, y)d
d
dy
b
f ( x, y)dx.
D
c
a
定理 3.
设f ( x, y)在矩形区域 D [a,b][c,d ]上连续,
则有
b
d
f ( x, y)d a dxc f ( x, y)dy
D
d
b
c dya f ( x, y)dx.
累次积分交换顺序的充分条件 :
D
y
解 因为f ( x, y)满足定理 3
1
x y1
的条件, 所以
0
x 1x
1
1
f ( x, y)d 0 dx0 f ( x, y)dy
D
而
1
1 x
1
f ( x, y)dy f ( x, y)dy
f ( x, y)dy
0
0
1 x
所以
1 x
1
(1 x y)dy 0dy
, (1,1),
y x2
( x 2
y)dxdy
1
dx
0
x
x
2
(
x
2
《重积分概念性质》课件
积分的极限性质
积分的极限性质是指积分的极限值与被积函数的极限值之间的关系 积分的极限性质是重积分的一个重要性质，它反映了重积分的稳定性和连续性
积分的极限性质可以用于求解一些复杂的积分问题，如积分的极限值、积分的收敛性等
积分的极限性质还可以用于证明一些重要的定理，如积分的极限定理、积分的连续性定理等
添加副标题
重积分概念性质
汇报人：
目录
CONTENTS
01 重积分的概念
02 重积分的性质
03 重积分的计算
04 重积分的应用
重积分的概念
定义与公式
重积分的定义：对多元函 数在某一区域内的积分
重积分的公式： ∫∫f(x,y)dxdy
重积分的性质：线性性、 可加性、绝对收敛性等
重积分的应用：计算体积、 面积、质量等
重积分的几何意义在于，它可以用来计算曲面或曲面上的面积、体积等几何量
重积分的几何意义还可以用来计算曲面或曲面上的曲率、挠率等几何量
重积分的性质
积分区间可加性
积分区间可加性：如果f(x)在[a,b]上可积，且[a,b]可分成两个不相交的子区间[a,c]和[c,b]，则 f(x)在[a,b]上的积分等于f(x)在[a,c]和[c,b]上的积分之和。
计算方法
直接计算法： 直接计算积分
值
换元法：将积 分变量替换为
另一个变量
分部积分法： 将积分分为两 部分，分别计
算
积分表法：利 用积分表直接
查找积分值
数值积分法： 通过数值方法 近似计算积分
值
蒙特卡洛法： 通过随机采样 方法近似计算
积分值
几何意义
重积分是积分的一种，用于计算曲面或曲面上的函数值 重积分是将曲面或曲面上的函数值进行积分，得到曲面或曲面上的积分值
《重积分计算方法》课件
计算引力场中的力
01
在物理学中，重积分常用于计算物体在引力场中所受的力。例
如，地球上物体的重力就是地球质量的重积分结果。
弹性力学中的应力分析
02
在弹性力学中，重积分用于分析物体在受力后内部的应力分布
情况。
电场和磁场中的高斯定理和安培环路定理
03
重积分在电场和磁场理论中有重要应用，如高斯定理和安培环
路定理的证明。
重积分计算方法
目录
• 重积分概述 • 重积分的基本计算方法 • 重积分的换元法 • 重积分的分部积分法 • 重积分的近似计算方法 • 重积分的应用实例
01
重积分概述
重积分的定义
定义
重积分是定积分概念的推广，用于计 算多元函数在某个区域上的累积值。
记号
设 $f(x, y)$ 为定义在 $D$ 上的函数 ，$D$ 是二维平面上的一区域，则 $f(x, y)$ 在 $D$ 上的重积分表示为 $int_{D} f(x, y) dsigma$。
∫∫(x^2+y^2)dxdy=∫(x^2+y^2)dy ∫dx=π/2*∫(x^2+y^2)dy，其中D是 积分区域。
∫∫∫(x^2+y^2+z^2)dxdydz=∫(x^2 +y^2+z^2)dz∫(x^2+y^2)dy∫dx= π^2/6*∫(x^2+y^2+z^2)dz，其中 Ω是积分区域。
体积
当 $f(x, y) = z$ 时，$int_{D} dsigma$ 表示以 $D$ 为底面，高为 $f(x, y)$ 的立体的体积。
02
重积分的基本计算方法
直角坐标系下的计算方法
直角坐标系下，重积分可以通过将积 分区域划分为若干个小矩形，然后对 每个小矩形进行积分，最后求和得到 结果。
重积分的概念和性质4课件.ppt
4
f(x ,y )的 最 小 值 m
1 1 3242 5
(x1,y2)
故2I 2 54
0 .4 I 0 .5 .
例 3判 断 ln x 2 (y 2 )dx 的 符 d 号 . y
r x y 1
解 当 r x y 1 时 , 0 x 2 y 2 (x y )2 1 ,
故 ln x 2 (y 2 ) 0 ;
对D 区域具有可加D 1 性
D 2
(D D 1D 2)
性质４ 若 为D的面积，1dd.
D
D
性质５ 若在D上 f(x ,y ) g (x ,y ),
则有 f(x,y)dg (x,y)d.
D
D
特殊地 f(x,y)df(x,y)d.
D
D
性质６ 设 M 、 m 分 别 是 f(x,y)在 闭 区 域 D上 的
2 , ， n ， 其 中 i 表 示 第i 个 小 闭 区 域 ，
也 表 示 它 的 面 积 ， 在 每 个 i 上 任 取 一 点
( i , i )，
作乘积 f ( i , i ) i ，
(i 1,2, , n)，
n
并作和 f ( i , i ) i ，
i1
如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零
(2 )当 f(x ,y )在 闭 区 域 上 连 续 时 ， 定 义 中 和 式
的 极 限 必 存 在 ， 即 二 重 积 分 必 存 在 .
二重积分的几何意义
当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．
当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的 负值．
由二重积分的定义可知 若二重积分
n
f(x,y)dli m f(i,i)i 存在
第二十章重积分
S F 01（数）Ch 2 0 重积分计划课时： 1 2 时237Ch 20 重积分 ( 1 2 时 )§ 1 二重积分概念 ( 2 时 )一. 矩形域上的二重积分 : 从曲顶柱体的体积引入. 用直线网分割 .定义 二重积分 .例1 用定义计算二重积分⎰⎰]1,0;1,0[2σyd x .用直线网),1( , , n j i njy n i x ≤≤==分割该正方形 , 在每个正方形上取其右上顶点 为介点 .解∑∑∑∑⎰⎰==∞→==∞→==⋅⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=n i nj n n i nj n Dj in n n n j n i 11251121lim 11lim∑∑=∞→=∞→=+⋅++⋅=⋅=n i n nj n n n n n n n j i 1512612)1()12)(1(611limlim.二. 可积条件 : D = ] , ; , [d c b a . 大和与小和.Th 1 )(D R f ∈, ⇔--⎰⎰=-DD.Th 2 )(D R f ∈, ⇔ εσωε<∆∍∃>∀∑iiT, , 0.Th 3 f 在D 上连续 , ⇒ f 在D 上可积 .Th 4 设] , [] , [b a ⊂βα, R →] , [ :βαϕ为] , [βα上的可积函数.]}, [ , )(|),( {⊂∈==βαϕx x y y x E D, ( 或⊂⊂∈==]} , [] , [ , )(|),( {d c y y x y x E μλϕ D ) . 若f 在D 上有界 , 且在 D \ E 上连续 , 则f 在D 上可积 .例2[1]P 261 E1238三． 一般域上的二重积分：1． 定义： 一般域上的二重积分.2． 可求面积图形: 用特征函数定义.例3 ( 不可求面积图形的例 ) [1]P 262 E2四. 二重积分的性质 :性质1⎰⎰=DDf k kf .性质2 关于函数可加性 .性质3 . , int int 2121D D D D D ⋃==⋂φ则f 在D 上可积 ⇔ f 在1D 和2D 可积 , 且⎰⎰⎰+=21D D D.性质4 关于函数单调性 .性质5 ⎰⎰≤DDf f || ||.性质6 D M f D m M f m D∆≤≤∆⇒≤≤⎰ , .性质7 中值定理 .例4 [1]P 263 E3.Th 若区域 D 的边界是由有限条连续曲线 ( ],[ , )(b a x x y ∈=ϕ或],[ , )(d c y y x ∈=ψ)组成 , f 在D 上连续 , 则f 在D 上可积 .例5去掉积分⎰⎰-]1,0;1,0[2||dxdy y x中的绝对值 .Ex [1]P 264 1，2，6，7.239§ 2 二重积分的计算 ( 6 时 )一. 含参积分: 以实例⎰102xydy 和⎰222x xxydy 引入.定义含参积分 ⎰=dcdy y x f x I ),()(和⎰=)()(21),()(x y x y dy y x f x G .含参积分提供了表达函数的又一手段 .我们称由含参积分表达的函数为含参积分.1. 含参积分的连续性:Th 20.5 若函数),(y x f 在矩形域] , [ ] , [d c b a D ⨯=上连续 , 则函数⎰=dcdy y x f x I ),()(在] , [b a 上连续 . ( 证 ) [1]P 265Th 20.8 若函数),(y x f 在矩形域] , [ ] , [d c b a D ⨯=上连续, 函数)(1x y 和)(2x y 在] , [b a 上连续 , 则函数⎰=)()(21),()(x y x y dy y x f x G 在] , [b a 上连续. ( 证 ) [1]P 2702. 含参积分的可微性及其应用:Th 20.10 若函数),(y x f 及其偏导数x f 都在矩形域] , [ ] , [d c b a D ⨯=上连续, 则 函数⎰=dcdy y x f x I ),()(在] , [b a 上可导 , 且⎰⎰=dcd c x dy y x f dy y x f dx d ),(),(. ( 即积分和求导次序可换 ) . ( 证 ) [1]P 282Th 20.11 设函数),(y x f 及其偏导数x f 都在矩形域] , [ ] , [d c b a D ⨯=上连续, 函数)(1x y 和)(2x y 定义在] , [b a , 值域在] , [d c 上 , 且可微 , 则含参积分⎰=)()(21),()(x y x y dy y x f x G 在] , [b a 上可微 , 且()())()(,)()(,),()(1122)()(21x y x y x f x y x y x f dy y x f x G x y x y x '-'+='⎰. ( 证 )[1]P 283 例1 计算积分 dx x x I ⎰++=1021)1ln(. [1]P 283—284 E11.例2 设函数)(x f 在点0=x 的某邻域内连续 . 验证当||x 充分小时 , 函数240⎰---=x n dt t f t x n x 01)()()!1(1)(φ 的1-n 阶导数存在 , 且 )()()(x f x n =φ. [1]P 284 E12.二. 化二重积分为累次积分:1.矩形域] , [ ] , [d c b a D ⨯=上的二重积分:用“ 体积为幂在势上的积分”推导公式. 一般结果为[1]P 266Th20.6和Th20.7. 例3 ⎰⎰⨯+]1,0[]1,0[2)(dxdy y x . [1]P 268 E1.例4⎰⎰]3,1;2,0[xydxdy( 8 )2. 简单域上的二重积分: 简推公式, 一般结果为[1]P 270Th20.9.例5⎰⎰Ddxdy , 3 , 2 , 2 :=+==y x y x x y D .解法一 [1]P 272解法二 D 为三角形, 三个顶点为) 1 , 2 ( , ) 2 , 1 ( , ) 0 , 0 (,⎰⎰Ddxdy 2311212110021||===D . Ex [1]P 285—286 1 ，2*， 3⑴，5⑴―⑶，10⑴.例6 ⎰⎰-=Dy dxdy e x I 22, x y y x D === , 1 , 0 :. [1]P 272 E3. 例7 求底半径为R 的两直交圆柱所围立体的体积 . [1]P 273 E4.三. 二重积分换元:1. 换元公式: 设变换),( , ),(v u y y v u x x ==的Jacobi0),(),(≠∂∂v u y x , 则241()⎰⎰⎰⎰'∂∂=DD dudv v u y x v u y v u x f dxdy y x f ),(),(),( , ),(),(,其中D '是在该变换的逆变换),( , ),(y x v v y x u u ==下XY 平面上的区域D 在UV 平面上的象. 由条件0),(),(≠∂∂v u y x , 这里的逆变换是存在的.一般先引出变换),( , ),(y x v v y x u u ==, 由此求出变换),( , ),(v u y y v u x x ==.而 1),(),(),(),(-⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=∂∂y x v u v u y x . 例8⎰⎰+-Dyx yx dxdy e, 1 , 0 , 0 :=+==y x y x D . [1]P 280 E9.註 当被积函数形如) ( ) , (1221222111b a b a c y b x a c y b x a f ≠++++, 积分区域 为直线型时, 可试用线性变换 222111 , c y b x a v c y b x a u ++=++=. 例9⎰⎰Ddxdy y x 22, xy x y x y x y D 3 , 1 , 2 , 21 :====. 解 设xy v x y u ==,. 则] 3 , 1 ; 2 , 21[) , (∈v u .x y xy xx y y x v u 21),(),(2=-=∂∂ ， ⇒ u y x v u y x 212),(),(==∂∂. 因此 , ⎰⎰⎰⎰⎰⎰'=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋅=⋅==D D u v u du dv v dudv u v 31221221313222ln 326ln 3212121. 註 若区域D 是由两组“相似”曲线 ( 即每组中的两条曲线仅以一个参数不同的取值相区别 ) 围成的四线型区域 , 可引进适当的变换使其变成矩形区域 . 设区域D 由以下两组曲线围成 :242第一组: ) ( , 0),,( , 0),,(q p q y x F p y x F <==; 第二组: ) ( , 0),,( , 0),,(b a b y x G a y x G <==.可试用变换 0),,( , 0),,(==v y x G u y x F . ] , ; , [) , (b a q p v u ∈. 从中解出),( , ),(v u y y v u x x ==. 在此变换之下, 区域D 变成UV 平面上的矩形区域 ] , [ ] , [b a q p ⨯.例10 求由抛物线 ) 0 ( , 22n m nx y mx y <<== 和 直线 x y x y βα== ,) 0 (βα<<所围平面区域D 的面积 . [1]P 281 E10.2. 极坐标与广义极坐标变换:极坐标变换: θθs i n, cos r y r x ==, r r y x =∂∂),(),(θ.广义极坐标变换: θθsin , cos br y ar x ==,abr r y x =∂∂),(),(θ.例11⎰⎰≤+--4122221y x yx dxdy. [1]P 276 E5.例12( Viviani 问题 ) 求球体2222R z y x ≤++被圆柱面Rx y x =+22所割下立体的体积 . [1]P 276 E6.例13 应用二重积分求广义积分⎰+∞-02dx ex . [1]P 277 E7.例14 求橢球体1222222≤++cz b y a x 的体积 . [1]P 279 E8.四. 积分换序:例15f 连续 . 对积分⎰⎰e xdy y x f dx 1ln 0),(换序. ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰10),(e e y dx y x f dy .243例16f 连续 . 对积分⎰⎰411),(dx y x f dy yy换序.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰⎰⎰141412142),(),(x xdy y x f dx dy y x f dx . 例17 计算积分⎰⎰1012yx dx e dy . ⎪⎭⎫ ⎝⎛-)1(21e . 例18 求积分⎰>>-=1) 0 ( . ln a b dx xx x I ab . [1]P 285 E13. Ex [1]P 286—287 4⑴⑵，5⑷⑸，7，8，9⑴ .§ 3三重积分简介 ( 3 时 )一． 三重积分的定义：1． 长方体],[],[],[h k d c b a ⨯⨯上的积分： 2． 一般可求体积立体V 上的积分：二． 三重积分的计算：1． 长方体],[],[],[h k d c b a ⨯⨯上的积分：⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Vb ad chkdz z y x f dy dx dxdydz z y x f ),,(),,(.2. -Z 型体上的积分:⑴ 内一外二 :⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(= ⎰⎰⎰Dy x z y x z dz z y x f dxdy ),(),(21),,(,其中}),( , ),(),(|),,( {21D y x y x z z y x z z y x V ∈≤≤=,D 为V 在XY 平面上的投影. 就函数),,(z y x f 为点密度的情况解释该公式 .244⑵ 内二外一 :⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(=⎰⎰⎰hkD zdxdy z y x f dz ),,( ,其中V 介于平面k z =和h z =之间 , z D 是用平面z Z =截V 所得的截面. 内二外一 多用于围成V 的闭合曲面由一个方程给出的情况. 例1⎰⎰⎰+V yx dxdydz22, V : y z x y z x x ===== , , 0 , 2 , 1. [1]P 293 E1. 解 } 21 , 0 , 0|),,( {≤≤≤≤≤≤=x x y y z z y x V ,⎰⎰⎰=V⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤≤≤≤≤≤≤≤=+=+=+21,0021,021*******x x y yx x y x y x ydydx yx ydxdy y x dz dxdy ⎰⎰==+===2121022.2ln 212ln 21)ln(21dx dx y x x y y 例2 ⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++V dxdydz c z b y a x 222222, V : 1222222≤++c z b y a x .解 ⎰⎰⎰=V ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++V V V dxdydz cz dxdydz b y dxdydz a x 222222.法一 ( 内二外一 参阅[1]P 294 )⎰⎰⎰⎰⎰⎰=V aD xdydz dx a x dxdydz a x 022222,其中x D 为椭圆域 2222221ax c z b y -≤+, 即椭圆域11122222222≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-a x c z a x b y , 其面积为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-222222111a x bc a x c a x b ππ. 因此 ⎰⎰⎰⎰=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=V aabc dx a x x abc dxdydz a x 022*******12ππ.245同理得 ⎰⎰⎰=V abc dV by π15422 ,⎰⎰⎰=V abc dV cz π15422. 因此⎰⎰⎰=⋅=abc abc ππ541543. 法二 ( 内一外二 ) V 上下对称, 22ax 为z 的偶函数, ⇒⎰⎰⎰⎰⎰⎰'=V V dxdydz a x 222, 其中V '为V 在XOY 平面上方的部分, 其在XOY 平面上的 投影为椭圆 12222≤+by a x . 于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=--==≤+--≤+V b y ax b y ax c b y a x dxdy by a x a x cdz dxdy a x dxdydz a x 22222211022122122222222222222 ⎰⎰-==============201232sin , cos 1cos 8πθθθθdr r rd abc br y ar x .⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2020242sin 2121cos πππθθθθd , ⎰⎰=-=====--=101022123152)1(12dt t t dr r r r t . 因此 ⎰⎰⎰=⋅⋅=V abc abc dxdydz ax ππ1541524822. 同理 …….于是⎰⎰⎰=⋅=abc abc ππ541543. 例3 设⎰=12)(dx x f . 计算积分⎰⎰⎰Vdxdydzz f y f x f )()()(, V : x z x y x ≤≤≤≤≤≤0 , 0 , 10.246 解 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤≤≤≤===Vx y x x xx dz z f dy y f dx x f dz z f y f x f 0,1010000)()()()()()( ⎰⎰⎰⎰==⎰========⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==20203210)(020232|31)()(0t dt t dy y f d dy y f xdy y f t x x .三. 三重积分换元公式:Th 20.13 [1]P 295.1. 柱坐标: [1]P 296.例4 ⎰⎰⎰+V dxdydz y x)(22, V : 4 , )(222==+z z y x . [1]P 297 E32. 球坐标: [1]P 297.例4[1]P 299 E4.Ex [1]P 300—301 1⑴—⑶，3⑴，4⑴.§ 3 曲面的面积 ( 1 时 )设曲面方程为D y x y x f z ∈=),( , ),(. f 有连续的一阶偏导数 . 推导曲面面积公式 ⎰⎰=D z n dxdy S |),cos(|, 或 d x d y y x f y x f S D y x ⎰⎰++=),(),(122.例1 [1]P 303 E1`.Ex [1]P 311 1，2. P 312—313 2，3⑴，7，8.。
§1 二重积分概念与性质
积为 k ， k 的质量为 mk ，可得， mk f (Qk ) k ，进而
n
n
m mk f (Qk ) k 。
k 1
k 1
第三步（通过近似值的逼近求得 D 的质量）：记 T maxdiam k k 1, 2,, n 称为分
割T 的模，则平面块 D 的质量为
n
m
lim
T 0
k 1
f
具体来讲：注意到密度函数 f (P) f (x, y) 在 D 上连续，分三步进行：
第一步（对平面块 D 进行分割）：任取光滑曲线族作为分割线，将 D 分割成有限个直径 足够小的有面积的小平面块：
1, 2,, k ,, n 。 （记为T ，称为对区域 D 的分割）
第二步（求 D 的质量的近似值）：在每个小平面块 k 上，任取一点 Qk k ，记 k 的面
具体来讲：注意到函数 z f (x, y) 在 D 上连续，分三步进行：
第一步（对底面区域 D 进行分割）：任取光滑曲线族作为分割线，将 D 分割成有限个直 径足够小的有面积的闭区域：
1, 2,, k ,, n ， （记为T ，称为对区域 D 的分割） 此时，以这小区域为底面，曲顶柱体V 就被相应地分割成了有限个可近似看成柱体的小 曲顶柱体：
表示区域 D 的质量。
m D f (P)d D f (x, y)dxdy
（几何意义）若 f (P) f (x, y) 0 ，且 f (P) f (x, y) 在区域 D 上连续，则
V D f (P)d D f (x, y)dxdy ，
表示以曲面 z f (x, y) 为顶面，区域 D 为底面的曲顶柱体V 的体积。
的二重积分（如 D Adxdy A D ）---简化二重积分计算的方法之一：面积法。