第二十七章相似三角形章节复习-25
人教版九年级下册数学册第27章 相似三角形复习
交AB于E，F在AE上，且AE2=AF×AB，
求证： △AFD∽ △AEC.
A
F
E
D
B
C
综合运用
例3、如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1, 点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合），在AC上取 一点E，使∠ADE=45°
（1）求证：△ABD∽△DCE （2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式及自变量x
P
AC
D
B
例2、如图，已知：AB⊥DB于点B ，CD⊥DB于 点D，AB=6，CD=4，BD=14.
问：在DB上是否存在P点，使以C、D、P为顶点 的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似？如 果存在，计算出点P的位置；如果不存在，请说 明理由。
A
C
6 4
D
14
B
A
C
6
4
D xP
14―x
B
解（1）假设存在这样的点P，使△ABP∽△CDP 则有AB:CD=PB:PD 设PD=x，则PB=14―x， ∴6：4=（14―x）:x
A
40°
80°
B C
A′
40 °
B′ 60 ° C′
1、根据下列条件能否判定△ABC与△A′B′C′相似？ 为什么？
(2) ∠A=40°，AB=3 ，AC=6
∠A′=40°，A′B′=7 ，A′C′=14
A
3 40° 6
B C
A′
40 7°
14
B′
C′
1、根据下列条件能否判定△ABC与△A`B`C`相似？ 为什么？
平行四边形ABCD的面积为
A
D
DE
， ？
人教版初中数学第二十七章相似知识点
第二十七章相似一、目标与要求1．掌握相似多边形的定义、表示法,并能根据定义判断两个多边形是否相似.2．能根据相似比进行计算.3．通过与相似多边形有关概念的类比,得出相似三角形的定义,领会特殊与一般的关系.4．能根据定义判断两个多边形是否相似,训练学生的判断能力.5．能根据相似比求长度和角度,培养学生的运用能力.6．通过与相似多边形有关概念的类比,渗透类比的教学思想,并领会特殊与一般的关系.二、知识框架三、重点、难点1．理解并相似三角形的判定与性质2．位似图形的有关概念、性质与作图．3．利用位似将一个图形放大或缩小．4．用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换．5．把一个图形按一定大小比例放大或缩小后,点的坐标变化的规律．四、中考所占分数与题型分布本章会出1-2道选择、填空题,简答题必有一道三角形和相似形的综合题,本章约占15-20分.第二十七章相似27.1 图形的相似1.每组图形中的两个图形形状相同,大小不同,具有相同形状的图形叫相似图形.2.相似图形强调图形形状相同,与它们的位置、颜色、大小无关.3.相似图形不仅仅指平面图形,也包括立体图形相似的情况.4.我们可以这样理解相似形：两个图形相似,其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．5.若两个图形形状与大小都相同,这时是相似图形的一种特例——全等形.例1：1.从哈哈镜和平面镜中看见不同的镜像,是否相似？2.从放大镜或者望远镜中看见不同的镜像,是否相似？6.相似多边形对应角相等,对应边的比相等.对应边的比称为相似比.例2：在比例尺为1：10000000的地图上,量的A、B两地的距离为10cm,求两地的实际距离.解：地图与实际的环境是相似的,因此地图中的1cm相当于实际10000000cm,即100km.A、B两地相距10cm,相当于1000km.例3：如图27.1-1,四边形ABCD和EFGH相似,求角α、β的大小和EH的长度x.图27.1-1解：四边形ABCD 和EFGH 相似,他们的对应角相等,因此可得83o C α∠=∠=,118o A E ∠=∠=在四边形ABCD 中,四边形ABCD 和EFGH 相似,他们的对应边相等,由此可得EH EF AD AB =,即242118x = 解得28x cm =27.2 相似三角形27.2.1 相似三角形的判定在△ABC 和△A ‘B ‘C ’中,如果''',,A A B B C C ∠=∠∠=∠∠=∠,''''''=AB BC AC k A B B C AC==,我们就说△ABC 和△A ‘B ‘C ’相似,记作△ABC ∽△A ‘B ‘C ’,k 就是他们的相似比.对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形. 成比例线段〔简称比例线段〕：对于四条线段a 、b 、c 、d,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等,即a =c b d〔或a ：b=c ：d 〕,那么,这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段. 例1.如图27.2-1,在△ABC 中,点D 是边AB 的中点,DE//BC,DE 交AC 于点E,△ADE 与△ABC 有什么关系？ 解：在△ADE 与△ABC 中,A A ∠=∠DE//BC过点E 作EF//AB,EF 交BC 于点F.在□BFED 中,DE=BF,DB=EF又1,2A C ∠=∠∠=∠∴△ADE ∽△EFCAE=EC=在此处键入公式。
(完整版)人教版第27章相似三角形知识点总结
第27章相似三角形知识点知识点1 有关相似形的概念1、形状相同的图形叫相似图形，2、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．3、相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念（1）在求线段比时，线段单位要统一。
（2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段知识点3 比例的性质（注意性质里的条件：分母不能为0）bc ad d c b a =⇔=::； a c a b c d bd b d±±=⇔= 知识点4 比例线段的有关定理1、平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等. 知识点5 相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)． 相似三角形对应角相等，对应边成比例．知识点6 三角形相似的判定方法1、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2、只看角法（AA ）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 简述为：两角对应相等，两三角形相似． 3、只看边法(SSS)：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．(HL)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．4、边角组合法(SAS)：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似B知识点7 射影定理内容：在直角三角形中，斜边上的高的平方是两直角边在斜边上射影的乘积。
九年级数学下册第二十七章【相似】重要知识点总结
九年级数学下册第二十七章【相似】重要知识点总结27.1 图形的相似1、相似的定义如果两个图形形状相同,但大小不一定相等,那么这两个图形相似。
（相似的符号：∽）2、相似的判定如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似。
3、相似比相似多边形的对应边的比叫相似比。
相似比为1时，相似的两个图形全等相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。
相似多边形的周长比等于相似比。
相似多边形的面积比等于相似比的平方。
27.2相似三角形1、相似三角形的判定（★重难点）（1）.平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似（2）三边对应成比例（3）两边对应成比例,且夹角相等（4）两个三角形的两个角对应相等★常考题型：利用三角形的相似测量塔高、河宽2、相似三角形判定的常用模型A字型、8字型、三等角模型3、相似的性质1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。
2.相似三角形周长的比等于相似比。
3.相似三角形面积的比等于相似比的平方4.多边形的面积的比等于相似比的平方，周长比等于相似比。
27.3位似1、定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。
2、位似的相关性质（1）位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。
（2）位似多边形的对应边平行或共线。
（3）位似可以将一个图形放大或缩小。
（4）位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。
（5）根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。
★易错点1、位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；2、两个位似图形的位似中心只有一个；3、两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；4、位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似；5、平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形位似。
(完整版)人教版第27章相似三角形知识点总结
第27章相似三角形知识点知识点1 有关相似形的概念1、形状相同的图形叫相似图形，2、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．3、相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念（1）在求线段比时，线段单位要统一。
a和bc和d a,b,c,a,b,c,dd叫做成比例线段，的比，那么这四条线段）在四条线段中，如果的比等于（2简称比例线段知识点3 比例的性质（注意性质里的条件：分母不能为0）aca?bc?d bc?a:b?c:d?ad???；dbdb知识点4 比例线段的有关定理1、平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.A已知AD∥BE∥CF,ABDEABDEBCEFBCEFABBC DE??或??或或?或. 可得等EFDFDEDFABDEACEFBCAC CB知识点5 相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．知识点6 三角形相似的判定方法1、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．2、只看角法（AA）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．3、只看边法(SSS)：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．(HL)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．4、边角组合法(SAS)：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似17 知识点射影定理内容：在直角三角形中，斜边上的高的平方是两直角边在斜边上射影的乘积。
九年级数学27章相似三角形复习课件人教版
性质
相似三角形和全等三角形都具有一 些共同的性质，如对应角相等、对 应边成比例等。
相似三角形与全等三角形的应用举例
相似在生活中的应用
在日常生活中，我们经常遇到一些形状相同但大小不同的 物体或图形，这些都可以用相似三角形的知识来解决。
对应边成比例
如果两个三角形对应的边成比例 ，则这两个三角形相似。
相似三角形的性质
对应角相等
相似三角形的对应角相等。
对应边成比例
相似三角形的对应边成比例，即$\frac{AB}{CD} = \frac{BC}{DE} = \frac{AC}{EF}$。
面积比等于相似比的平方
相似三角形的面积比等于其对应边长的比的平方，即 $\frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{AB}{CD}\right)^2$。
由于相似三角形的对应角相等，我们可以利用这一性质来求解角度。
相似三角形对应角相等定理的应用
通过相似三角形的对应角相等定理，我们可以将一个三角形的角度问题转化为 另一个相似三角形的角度问题，从而求解。
利用相似三角形求边长
相似三角形的边长比例
相似三角形的对应边长之间的比例是相等的，我们可以利用这一性质来求解边长 。
解题思路
利用相似三角形的性质，通过测 量可直接测量的物体的高度或宽 度，推算出不可直接测量的物体
的高度或宽度。
具体步骤
首先确定两个相似三角形，然后 根据相似三角形的性质计算出不 可直接测量的物体的高度或宽度
。
巩固练习：利用相似三角形解决实际问题
实际问题2
计算建筑物之间的距离。
九年级人教版数学第二学期第27章相似三角形整章知识详解
D
E
∴DE:BC=B′C′:BC,EA:CA=C′A′:CA.
因此DE=B′C′,EA=C′A′.
∴△ADE≌△A′B′C′
∴△A′B′C′∽△ABC B
C
九年级数学第27章相似三角形
A A′
B
B′ C
C′
A' B' B'C' A'C' AB BC AC
(1)
(2)
(3) (4)
九年级数学第27章相似三角形
将下列图形分成四块，使它们的大小、形状完全 相同，且与原图形相似,你会分吗？怎样分？
a 2a
a 2a
九年级数学第27章相似三角形
图（1）中的△A1B1C1是由正△ABC放大后得到的，观察 这两个图形，它们的对应角有什么关系？对应边呢？
对应角相等
d=6
九年级数学第27章相似三角形
1. 经过这节课的学习，你有哪些收获？ 2. 你想进一步探究的问题是什么？
九年级数学第27章相似三角形
27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定 第1课时
九年级数学第27章相似三角形
1.理解平行线分线段成比例定理； 2.知道当△ABC与△DEF的相似比为k时，△DEF与△ABC
边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几
何图形不相似的是（ D ）
九年级数学第27章相似三角形
4.在比例尺为1：10 000 000的地图上，量得甲、乙 两地的距离是30cm，求两地的实际距离.
解析：设两地的实际距离为xcm
1 30 10000000 x
x = 300000000(cm) x = 3000千米
九年级数学第27章相似三角形
数学人教版九年级下册第27章相似三角形专题复习
B
(E)
1 2
E
D
3
C
四、典例解析 综合运用
例2如图，在平面直角坐标系中，o为坐标原点，B点 坐标为（5，0），等腰梯形OBCD中，CD∥OB， OD=BC=2，DC=3，∠DOB=60°，若点E、F分别在 线段DC、CB上运动（点E与点D、C不重合），且 ∠OEF=120°，设DE=X，CF=y，求y与x的函数关 系式；当点E运动到什么位置时，CF最长。
驶向胜利的彼岸
七、星级作业 巩固提高
1、（必做题）如图，已知等边△ABC的边 长为6，D是BC边上一动点，∠EDF=60°。 求证：△BDE∽△CFD； 当BD=1，CF=3时，求BE的长。
2 、（必做题）如图（2），梯形OBCD为等 腰梯形，DO=CB=2，DC∥OB，DM⊥OB， ∠DOB=∠DMC =60°， （1）求证：OD2=OM .M单位到如图所示的位置，M落在M’点， 此时角的两边分别与DC边和CB边相交于D’和C’ 点，若BC’=n,求m与n的关系式。（提示：过Dˊ 点作DO的平行线与x轴交于N点构造“一线三等 角”基本图形） 解析： （3）若∠DMC绕点M顺时针旋转20°到∠D〞 MC〞的位置，且DD〞=m，BC〞=n，求 m与n 的关系式，
A
1 2
C
探究二、如图，已知∠A=∠BCD=∠E=60°，图中有 B D 没有相似三角形？并说明理由。
结论：△BAC∽△CED 理由： ∵∠A=∠BCD = 60 ° ∴∠1+∠B= ∠1+∠2= 120 ° ∴∠B=∠2 ∵∠A=∠E
A
1 60°
60° 2
第27章相似三角形知识点总结及典型题目精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版相似三角形知识点总结1. 比例线段的有关概念：b、d叫后项，d叫第四比例项，如果b=c，那么b叫做a、d的比例中项。
把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。
2. 比例性质：3. 平行线分线段成比例定理：①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l1∥l2∥l3。
②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
4. 相似三角形的判定：①两角对应相等，两个三角形相似②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似③三边对应成比例，两三角形相似④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似5. 相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等②相似三角形的对应边成比例③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 ④相似三角形周长的比等于相似比⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方一．选择题：1、下列各组数中，成比例的是（ ）A ．－7，－5，14，5B ．－6，－8，3，4C ．3，5，9，12D ．2，3，6，122、如果x:(x+y)＝3:5，那么x:y ＝( )A. B. C. D. 3、如图，F 是平行四边形ABCD 对角线BD 上的点，BF ∶FD=1∶3，则BE ∶EC=（ ） A 、21 B 、31 C 、32 D 、41 4、下列说法中，错误的是（ ）（A ）两个全等三角形一定是相似形 （B ）两个等腰三角形一定相似 （C ）两个等边三角形一定相似 （D ）两个等腰直角三角形一定相似5、如图，RtΔABC 中，∠C＝90°，D 是AC 边上一点，AB ＝5，AC ＝4，若ΔABC∽ΔBDC，则CD ＝ ． A ．2 B ．32 C ．43 D ．94二、填空题6、已知a ＝4，b ＝9，c 是a b 、的比例中项，则c ＝ ．7、如图，要使ΔABC∽ΔACD，需补充的条件是 ．（只要写出一种）8、如图，小东设计两个直角，来测量河宽DE ，他量得AD ＝2m ，BD ＝3m ，CE ＝9m ，则河宽DE 为ABCD（第7题）238332589、一公园占地面积约为8000002m ，若按比例尺1∶2000缩小后，其面积约为 2m ．10、如图，点P 是R tΔABC 斜边AB 上的任意一点（A 、B 两点除外）过点P 作一条直线，使截得的三角形与RtΔABC 相似，这样的直线可以作 条． 三、解答题11、如图18—95，AB 是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B 距墙80cm ，梯上点D 距墙70cm ，BD 长55cm ．求梯子的长．12、如图，已知AC⊥AB，BD⊥AB，AO ＝78cm ，BO ＝42cm ，CD ＝159cm ，求CO 和DO ．13、如图，在正方形网格上有111C B A ∆∽222A C B ∆，这两个三角形相似吗?如果相似，求出222111A C B A C B ∆∆和的面积比．CBAP（第10题）14、已知：如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在AC 、AB 、BC 边上，且四边形CDEF 是正方形，AC ＝3，BC ＝2，求△ADE、△EFB、△ACB 的周长之比和面积之比．15、如图所示,梯形ABCD 中,AD∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,试在腰AB 上确定点P 的位置,使得以P,A,D 为顶点的三角形与以P,B,C 为顶点的三角形相似.16、如图,□ABCD 中,:2:3AE EB =,DE 交AC 于F . (1)求AEF ∆与CDF ∆周长之比；(2)如果CDF ∆的面积为220cm ,求AEF ∆的面积.PAB DCABECDF。
第27章 相似(复习课件)九年级数学下册(人教版)
人教版数学九年级下册
课堂检测
人教版数学九年级下册
7.如图，某一时刻一根2m长的竹竿EF的影长GE为1.2m，此时， 小红测得一棵被风吹斜的柏树与地面成30角，树顶端B在地面上 的影子点D与B到垂直地面的落点C的距离是3.6m，求树AB的长．
D.4个
课堂检测
人教版数学九年级下册
2.△ABC 的三边长分别为 5，12，13，与它相似的△DEF 的最小边长为 15，则 △DEF 的其他两条边长为 36和39．
3.如图，△ABC 中，AB=9，AC=6，点 E 在 AB 上且 AE=3，
点 F 在 AC 上，连接 EF，若 △AEF与 △ABC 相似，则
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知识梳理
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考点4 相似三角形的应用
(1) 测高 (不能直接使用皮尺或刻度尺量的) 测量不能到达顶部的物体的高度，通常用
“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决.
(2) 测距 (不能直接测量的两点间的距离) 测量不能到达两点间的距离，常构造相似
三角形求解.
知识梳理
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考点5 位似 (1)如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交
于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做 位似中心.(这时的相似比也称为位似比)
知识梳理 考点5 位似
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(2)性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离 之比等于位似比；对应线段平行或者在一条直线上.
AF= 2或4.5 .
A E
B
C
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4.如图，在□ABCD 中，点 E 在边 BC 上，BE : EC =1 : 2，
九年级第二十七章相似知识点
九年级第二十七章相似知识点在九年级数学课程中，相似是一个重要的概念。
在第二十七章中，我们学习了一些与相似相关的知识点。
本文将深入探讨这些知识点，并为读者提供更多的理解。
相似是指两个或多个图形的形状相似，但大小可能不同。
我们可以通过以下几个方面来判断图形是否相似：比例是否相等、形状是否相同、边对应是否成比例。
此外，还有一些特殊情况需要特别注意，比如全等图形一定是相似的，但相似图形不一定是全等的。
在相似三角形方面，我们学习了一些重要的定理。
首先是“相似三角形的对应角相等”。
这一定理告诉我们，如果两个三角形的对应角相等，那么它们一定是相似的。
而如果两个三角形是相似的，它们的对应角也一定相等。
另一个重要的定理是“相似三角形的边比例相等”。
这一定理告诉我们，如果两个三角形的边对应成比例，那么它们一定是相似的。
而如果两个三角形是相似的，它们的边对应成比例。
这个定理为我们解决相似三角形的问题提供了一个重要的方法，即通过设立比例等式来求解未知量。
在实际问题中，我们可以利用相似三角形的性质解决一些实际的测量问题。
比如，在测量高楼的高度时，我们可以利用相似三角形的性质以及一个测得的长度和相应角度来计算高楼的高度。
这一应用使我们能够在没有直接测量的情况下获取一些有用的信息。
除了相似三角形，我们还学习了相似多边形的知识。
相似多边形指的是边对应成比例的多边形。
我们学习了两个重要的定理，即“相似多边形的对应角相等”和“相似多边形的边比例相等”。
这两个定理与相似三角形的定理类似，对于判断和求解相似多边形都非常有用。
相似的概念不仅仅出现在几何学中，在实际生活中也有很多与相似相关的现象。
比如，我们可以发现一些事物之间的相似之处，比如大树和小树的形状相似，山川和河流的形状也相似。
通过观察和比较，我们可以深入理解相似的概念，并将其应用到更广泛的领域中。
总而言之，在九年级数学课程中，相似是一个重要的概念。
我们学习了相似三角形和相似多边形的性质与定理，并应用这些知识解决了一些实际问题。
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【本讲教育信息】一. 教学内容：从相似变换引入相似三角形，反映了知识间的一种联系，同时也揭示相似三角形所要研究的本质就是两个三角形边角之间的关系．通过与全等三角形的比较，突出全等与相似的相互关系：既有相同之处，更有不同之处．本节的学习应突出一种对应关系，即找两个相似三角形的对应边和对应角，关键是先找到其对应顶点．（一）三角形相似的判定：（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.基本图形：C推理格式：在△ABC中，∵ DE//BC，∴△ADE∽△ABC.（2）如果两个三角形三组对应边．．．的比相等，那么这两个三角形相似.'A中，推理格式：在△ABC和△'C'B∵∠A=∠'A，∠B=∠'B，∴△ABC∽△'C'B'A.例. 如图，BC⊥AF，FD⊥AB，垂足分别为C、D，那么图中有_________对相似三角形.FCEA D B分析：观察图形，我们可以发现，图中有4个直角三角形，它们是ADF Rt ABC Rt ∆∆，，然后利用性质解题。
3. 相似多边形相似多边形是相似三角形的延伸和扩展，它与相似三角形有着必然的联系．其判定方法课本没有单独给出，只要求能依据定义作出判断即可，其性质与相似三角形类似，通常把四边形和多边形的问题转化为三角形来处理，这也是研究多边形问题的一种常用方法。
（1）相似多边形的性质：相似多边形的对应边的比相等,对应角相等。
（2）两个多边形相似的判定：两个边数相同的多边形，对应边的比都相等，对应角都相等，同时满足上述条件的两个多边形相似。
例. 如图，矩形草坪长20m，宽16m,沿草坪四周有2m宽的环形小路，小路内外边缘所形成的两个矩形相似吗？为什么？【典型例题】例题1、如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点F在BA的延长线上，连结CF交AD于点E。
（1）求证：△CDE∽△FAE；（2）当E是AD的中点，且BC=2CD时，求证：∠F=∠BCF。
EFMN 的面积。
解：∵EF ：FM=5：9．∴设EF=5x ，FM=9x ∵AD=16，∴AP=AD －PD=16－5x 由EN ∥BC 得△AEN ∽△ABC ，∴AD APBC EN =，∴16516489x x -=，x=2， ∴EN=9x=18，EF=5x=10， S 矩形EFMN =18×10=180点评：三角形内接矩形或正方形，由相似得到对应边的比等于对应高的比解题。
例题3、在梯形ABCD 中，∠A=90°，AD ∥BC ，点P 在线段AB 上从A 向B 运动， （1）是否存在一个时刻使△ADP ∽△BCP ；（2）若AD=4，BC=6，AB=10，使△ADP ∽△BCP ，则AP 的长度为多少？分析：可以把△ADP ∽△BCP 作为已知条件，根据三角形相似对应边成比例的性质，求出AP 的长，判定P 点是否存在。
解：（1）存在 （2）若△ADP ∽△BCP ，则AD BC APBP=设AP x =∴，x x-=1064∴44==AP x ，； 或AD BP AP BC =∴，6104xx =-∴4=x 或x =6 ∴AP 长度为4或6点评：条件探索型：所谓存在性问题，一般是要求确定满足特定要求的元素有或没有的问题。
解题思路是：先假定所需探究的对象存在或结论成立，以此为依据进行计算或推理，若由此推出矛盾，则假设是错误的，从而给出否定的结论，否则给出肯定的证明。
例题4、如图，有一批形状大小相同的不锈钢片，呈直角三角形，已知∠C=90°，AB=5cm ，BC=3cm ，试设计一种方案，用这批不锈钢片裁出面积达最大的正方形不锈钢片，并求出这种正方形不锈钢片的边长。
分析：要在三角形内裁出面积最大的正方形，那么这个正方形所有顶点应落在△ABC 的边上，先画出不同方案，把每种方案中的正方形边长求出。
解：如图甲，设正方形EFGH 边长为x ，由勾股定理得AC=4 而CD×AB=AC×BC=2S ABC ∆，得CD =125又△CEH ∽△CAB ，得CM CD EHAB=于是1251255-=xx，解得：x =6037如图乙，设正方形CFGH 的边长为y cm由GH ∥AC ，得：GH AC BH BC =即y y 433=-，解得：y =127，，35607123760===y x ∴x y > 即应如图乙那样裁剪，这时正方形面积达最大，它的边长为127cm点评：方案设计题型：一般是确定满足特定要求的元素。
解题思路是：根据相似的性质进行计算或推理。
解决实际问题时，首先要弄清题意，能把实际问题抽象为数学问题，然后再利用已学知识解决。
在解决实际问题时，常常是多个知识的合理运用，因此要把已学知识进行联系，做到融会贯通。
例题5、已知：在ABC ∆中，︒=∠90BAC ，,BC AD ⊥E 是AC 的中点，ED 交AB 延长线于F 。
求证：AFDFAC AB =分析：欲证DFABBAD，BE、CE交于E，连接DE分析：由已知条件∠ABD=∠CBE，∠DBC公用.所以∠DBE=∠ABC，要证的△DBE和△ABC，有一对角相等，要证两个三角形相似，或者再找一对角相等，或者找夹这个角的两对应边的比相等。
从已知条件中可看到△CBE∽△ABD，这样既有相等的角，又有对应边的比相等，问题就可以得到解决。
证明：在△CBE和△ABD中，∵∠CBE=∠ABD, ∠BCE=∠BAD ， ∴△CBE ∽△ABD. ∴BD BE AB BC =.∴BDABBE BC =. 又∵∠CBE=∠ABD ，∴∠CBE+∠DBC=∠ABD+∠DBC.即∠DBE=∠ABC∴△DBE ∽△ABC 点评：本题应用综合分析法，既用到了相似三角形的性质，又用到了相似三角形的判定，要求同学们对四种判定方法和八种基本图形要熟练掌握。
四、总结：1. 寻找基本图形，把复杂问题简单化是几何证明中一种重要思想。
2. 等线段代换、等比代换等代换方法要逐步地应用。
3. 相似三角形的判定方法：（1）相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线，截其他两边所得的三角形与原三角形相似。
（2）判定定理1：两角对应相等，两三角形相似。
（3）判定定理2：两组对应边的比相等且夹角相等，两三角形相似。
（4）判定定理3：三组对应边的比相等，两三角形相似。
4. 相似三角形的几种基本图形： （1）如图：称为“平行线型”的相似三角形.（2）如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“相交线型”的相似三角形。
（∠B=∠D ） （双垂直）（3）如图：∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形.【预习导学案】 C. 没有变化，则 A. 32 B. 35 C. 25D. 不确定6. △ABC 中，∠B=90°，则下列各式中成立的是（ ）A. sinA=ca B. cosA=c bC. a=c·tanAD. c=b·ctgA7. 如图，从电线杆距底面5m 处向地面拉一条长13m 的缆绳，则固定点A 到电线杆底部C 的距离为 m 。
8. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，则tanA= ,cosB= . 9. 在锐角△ABC 中，∠A=75°,sinC=23，则∠B= . 条 D. 4ABC ∆的面积图24. 相邻两根电线杆都用钢索在地面上固定（固定点M 、N 恰好为两电线杆的底部），如图3，一根电线杆钢索系在离地面4m 的A 处，另一根电线杆钢索系在离地面6m 的B 处，则中间两根钢索相交处点P 离地面（ ）图3A. 2.4mB. 2.8mC. 3mD. 高度不能确定5. 如图4，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图．已知桌面的直径为1.2m ，桌面距离地面1m ，若灯泡距离地面3m ，则地面上阴影部分的面积为（ ）A. 0.36πm 2B. 0.81πm 2C. 2πm 2D . 3.24πm 2图4二. 填空题：6. 已知△ABC ∽△A 1B 1C 1，AB ：A 1B 1=2：3，则S △ABC 与111C B A S ∆之比为 ．7. 如图5，一油桶AB 高1米，为测桶内余油DB 的深度，将一木棒斜插入桶底，测得木棒在桶内的长度为1.5米，浸油部分长度为1.2米，则油的深度是 米．8. 如图6，在△ABC 中，DE//BC ，若31=AB AD ，DE=2，则BC 的长为 ．9. 如图7，铁道口的栏杆短臂长1m ，长臂长16m ，当短臂端点高度下降0.5m 时，长臂端点升高 m ．10. 如图8，某测量工作人员的眼与标杆顶端F ，电视塔顶端E 在同一直线上，已知此人眼睛距地面1.6m ，标杆为3.2m ，且BC=1m ，CD=5m ，则电视塔的高ED= m ．三. 解答题：**11. 如图，梯形ABCD 中，AB//CD ，且AB=2CD ，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF 与BD 相交于点M ．（1）求证：△EDM ∽△FBM （2）若DB=9，求BM**12. 如图，小明为了测量一座高楼MN 的高，在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到C 点，正好从镜中看到楼顶M 点，若AC=1.5m ，小明的眼睛离地面的高度为1.6m ，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m ）**13. 如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、DC 的边上的点，且DE=41AD ，DF=21CD ．求证：△EFB ∽△EDF【试题答案】一. 选择题： 1. C 2. C3. D4. A5. B二. 填空题： 6. 4：97. 0.8 8. 6 9. 8 10. 11.2三. 解答题：∴BCFC DF ED = 又∵∠C=∠D=90°， ∴△EDF ∽△FCB ， ∴212===x x FC ED FB EF ，且∠2=∠3 ∵∠1+∠3=90°，∴∠1+∠2=90°∴∠EFB=90°，∴∠EFB=∠D 又∵21==DF ED FB EF ， ∴△EFB ∽△EDF。