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【高考热点】2018年高考数学热门考点与解题技巧：考点3-函数的图象与性质(Word版,含解析)

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2018年高考数学热门考点与解题技巧：考点3-函数的图象与性质(Word版,含解析)

2018年高考数学热门考点与解题技巧：考点3-函数的图象与性质(Word版,含解析)

函数的奇偶性题型1 函数的单调性（单调区间）例1 判断函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上的单调性．法二：y ＝x ＋2x ＋1＝1＋1x ＋1.因为y ＝x ＋1在(－1，＋∞)上是增函数，所以y ＝1x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数，所以y ＝1＋1x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数．即函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数．【解题技巧】判断函数的单调性一般有四种方法：定义法、图像法、复合函数单调性法和导数法.变式1.（2017山东理15）若函数()e x f x （e 2.71828= 是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 .①()2x f x -= ②()3x f x -=③()3f x x = ④()22f x x =+解析 ①()e =e e 22xx x x y f x -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R 上单调递增，故()2xf x -=具有M 性质；②()e =e e 33xxxxy f x -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，故()3xf x -=不具有M 性质；③()3=e e xxy f x x =⋅，令()3e xg x x =⋅，则()()322e e 3e3xxxg x x x x x '=⋅+⋅=+，所以当3x >-时，()0g x '>；当3x <-时，()0g x '<，所以()3=e e xxy f x x =⋅在(),3-∞-上单调递减，在()3,-+∞上单调递增，故()3f x x =不具有M 性质；④()()2=e e 2x x y f x x =+.令()()2e 2x g x x =+，则()()()22e2e 2e 110xx x g x x x x ⎡⎤'=++⋅=++>⎣⎦，所以()()2=e e 2x x y f x x =+在R 上单调递增，故()22f x x =+具有M 性质．综上所述，具有M 性质的函数的序号为①④.例2. 已知函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a 的取值范围．变式1. 已知f (x )是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )，求x 的取值范围．解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x －2≤1－1≤1－x ≤1，解得1≤x ≤2，①因为f (x )是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )， 所以x －2<1－x ，解得x <32.②由①②得，1≤x <32. 所以满足题设条件的x 的取值范围为[1，32)．题型2函数的奇偶性 【例3】判断下列函数的奇偶性.3|3|36)(2-+-=x x x f ； 11)(22-+-=x x x f ； )1(log )(22++=x x x f ； 2|2|)1(log )(22---=x x x f ； ⎩⎨⎧>+-<+=)0()0()(22x x x x x x x f .因为对任意实数x ，都有0||12≥+>++x x x x ，故定义域为R.且)()1(log 11(log )1(log )(222222x f x x xx x x x f -=++-=++=-+=-），故)(x f 为奇函数.由100102|2|012<<<<-⇒⎩⎨⎧≠-->-x x x x 或，定义域关于原点对称. 此时，xx x x x f --=---=)1(log 2|2|)1(log )(2222，故有)()(x f x f -=-，所以)(x f 为奇函数.当<x 时，)()(,02x f x x x f x -=--=->-；当>x 时，)()(,02x f x x x f x -=-=-<-.故)(x f 为奇函数.【解题技巧】判断函数的奇偶性，常用以下两种方法：（1）定义法.①首先看定义域是否关于原点对称；②若)()(x f x f -=-，则函数)(x f 为奇函数；若)()(x f x f =-，则函数)(x f 为偶函数.（2）图像法.根据函数图像的对称性进行判断，若函数)(x f 的图像关于原点中心对称，则)(x f 为奇函数；若函数)(x f 的图像关于y 轴对称，则)(x f 为偶函数.题型3函数的奇偶性和单调性的综合题型3 单调性与奇偶性的综合应用【2017，5】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是（ ）A ．[2,2]-B ． [1,1]-C ． [0,4]D ． [1,3]变式1..（2017江苏11）已知函数()312e e xxf x x x =-+-， 其中e 是自然对数的底数．若()()2120f a f a -+…，则实数a 的取值范围是 ．解析 易知()f x 的定义域为R . 因为()()()312e e xx f x x x ---=---+-()312e e xxx x f x =-+-+=-，所以()f x 是奇函数．又()2213e 3e02x x f x x x +'=-+……，且()0f x '=不恒成立，所以()f x 在R 上单调递增． 因为()()2120f a f a -+…，所以()()()22122f a f a f a --=-…，于是212a a --…，即2210a a +-…，解得11,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．故填11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．变式2.（2015湖南理5）设函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，则()f x 是（ ）.A.奇函数，且在()0,1上是增函数B.奇函数，且在()0,1上是减函数C.偶函数，且在()0,1上是增函数 D.偶函数，且在()0,1上是减函数题型4 函数的周期性例 5 已知函数)(x f 对任意实数x 都满足)(1)1(x f x f =+，若8)1(=f ，则(2018)f =________. 解析1)(1(,)(1)1(=⋅+=+x f x f x f x f ），有1)2()1(=+⋅+x f x f ，所以)2()(+=x f x f ，故2=T ，所以11(2018)(0)(1)8f f f ===.题型5 识图(知式选图、知图选式) 例6 函数22xy x =-的图像大致是（）分析观察四个选项给出的图像，区别在于函数零点的个数及单调性不同.解析解法一：当0x ≤时，函数2x y =单调递增，同时函数2y x =-单调递增，故函数()f x 在(],0-∞上单调递增，排除,C D ；当0x >时，()f x 存在两个零点122,4x x ==，所以排除选项B .故选A .解法二：如图2-22所示，有图像可知，函数2x y =与函数2y x =的交点有3个，说明函数22x y x =-的零点有3个，故排除选项,B C ；当0x x <时，22xx >成立，即220x y x =-<，故排除选项D ，故选A .【解题技巧】利用函数的性质（如定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、特殊点等）排除错误选项，从而筛选出正确答案题型6 函数图像的应用例7 函数0.5()2log 1xf x x =-的零点个数为（ ）.1A.2B.3C.4D【解题技巧】利用函数图像判断方程解的个数.由题设条件作出所研究对象的图像，利用图像的直观性得到方程解的个数.例8.（2017全国3理15）设函数()1020x x x f x x +⎧=⎨>⎩，，…，则满足()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭的x 的取值范围是_______.1)2-)【解题技巧】利用函数图像求解不等式的解集及参数的取值范围.先作出所研究对象的图像，求出它们的交点，根据题意结合图像写出答案变式1. 设函数1221(0)()(0)x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩，若0()1f x >，则0x 的取值范围是（）.(1,1)A - .(1,)B -+∞ .(,2)(0,C -∞+∞.(,1)(1,)D -∞-+∞分析作出函数()y f x =与1y =的图像，由图像得不等式的解集.解析作出函数()y f x =与1y =的图像，如图所示，得0()1f x >所对应的0x 的取值范围是(,1)(1,)-∞-+∞ ，故选D.【高考真题链接】1.（2014 天津理4）函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间是（ ）.A.()0,+¥B.(),0-¥C.()2,+?D.(),2-?解析：选D.2.（2014 北京理 2）下列函数中，在区间()0,+∞上为增函数的是（ ）.A.y =B.()21y x =- C.2x y -= D.()0.5log 1y x =+解析：选A3.（2014 陕西理 7）下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ）.A.()12f x x = B.()3f x x = C. ()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D. ()3xf x =解析：选D.5.(2015四川理9)如果函数()()()()212810,02f x m x n x m n =-+-+厖在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，那么mn 的最大值为（ ）.A. 16B. 18C. 25D.812292m n +剟，所以812mn …. 由2n m =且218m n +=，得92m =>，故应舍去. 要使得mn 取得最大值，应有()2182,8m n m n +=<>.所以()()1821828816mn n n =-<-⨯⨯=.所以最大值为18.故选B. 6.（2015北京理5）已知,x y ∈R ，且0x y >>，则（ ）.A.110x y ->B.sin sin 0x y ->C.11022x y⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.ln ln 0x y +>选项C正确：由指数函数1()2tf t ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，可得110022xyx y ⎛⎫⎛⎫>>⇒<<⇒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11022xy⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；选项D 错误：举一个反例如，e x =，1ey =.,x y 满足0x y >>，但ln ln 0x y +=. 故选C.7.（2015安徽理2）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）.A.cos y x =B.sin y x =C.ln y x =D.21y x =+解析 对于选项A ，cos y x =是偶函数，且由cos 0x =得2x k π=+π，k ∈Z ， 故A 正确；对于选项B ，sin y x =是奇函数，故B 错误；对于选项C ，ln y x =的定义域为()0,+∞，故ln y x =不具备奇偶性，故C 错误；对于选项D ，21y x =+是偶函数，但210x +=在实数范围内无解，即21y x =+不存在零点，故D 错误．故选A ．8.（2015福建理2）下列函数为奇函数的是（ ）.A ．yB ．sin y x =C ．cos y x =D ．e e x xy -=-解析 函数y 是非奇非偶函数；sin y x =和cos y x =是偶函数；e e x x y -=-是奇函数．故选D ．9.（2015广东理3）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）.A ．y =B ．1y x x =+C ．122xx y =+ D ．e x y x =+ 解析 令()e xf x x =+，则()11e f =+，()111e f --=-+，即()()11f f ≠-，()()11f f -≠-，所以e xy x =+既不是奇函数也不是偶函数，而A,B,C 依次是偶函数、奇函数、偶函数．故选D ．10.（2015全国I 理13）若函数()(ln =f x x x 为偶函数，则=a .解析 由题意可知函数(ln y x =是奇函数，所以(ln x +(ln 0x -=，即 ()22ln ln 0a x x a +-==，解得1a =．11.（2016全国丙理15）已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点()13-，处的切线方程是______________.解析：210x y ++=解法二：由函数性质来求切线方程.因为()f x 为偶函数，所以若()f x 在点()()00,x f x 处的切线方程为y kx b =+，则()f x 在点()()00,x f x --处的切线方程为y kx b =-+.因此，先求出()y f x =在点()1,3--处的切线方程.又()()'130f x x x=+<，得()'12f -=，所以()f x 在点()1,3--处的切线方程为21y x =-， 所以()f x 在点3（1，-）处的切线方程为21y x =--，即210x y ++=. 12.（2014 新课标 2 理 15）已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =. 若()10f x ->，则x 的取值范围是 .解析：(1,3)-13.（2014 福建理7）已知函数()21,0cos ,0x x f x x x ⎧+>=⎨⎩…则下列结论正确的是（ ）.A. ()f x 是偶函数B. ()f x 是增函数C. ()f x 是周期函数D. ()f x 的值域为[)+∞-,114.（201 4 湖北理10）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x …时，()()2221232f x x a x a a =-+--.若()(),1x f x f x ∀∈-R …，则实数a 的取值范围为（ ）.A.11,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B.⎡⎢⎣⎦ C. 11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D.⎡⎢⎣⎦15.（2014 湖南理3）已知()f x ，()g x 分别是定义在N 上的偶函数和奇函数，且()()321f x g x x x -=++，则()()11f g +=（ ）.A.3-B.1-C. 1D. 316.（2014 湖南理10）已知函数()21e 2xf x x =+-()0x <与()()2ln g x x x a =++图像上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）.A.⎛-∞ ⎝B.(-∞C.⎛ ⎝D.⎛⎝17.（2017天津理6）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）.A.a b c <<B.c b a <<C.b a c <<D.b c a <<18.(2017北京理5)已知函数()133xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x （ ）. A.是奇函数，且在R 上是增函数 B.是偶函数，且在R 上是增函数 C.是奇函数，且在R 上是减函数D.是偶函数，且在R 上是减函数解析 由题知()133xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()113333xx x x f x f x --⎛⎫-=-=-=- ⎪⎝⎭，所以()f x 为奇函数.又因为3x 是增函数，13x⎛⎫- ⎪⎝⎭也是增函数，所以()f x 在R 上是增函数.故选A.19.（2017全国1理5）函数()f x 在(),-∞+∞单调递减，且为奇函数．若()11f =-，则满足()211x f --剟的x 的取值范围是（ ）. A ．[2,2]-B ． [1,1]-C ． [0,4]D ． [1,3] 解析 因为()f x 为奇函数，所以()()111f f -=-=，于是()121f x --剟等价于()()()121f f x f --剟，又()f x 在()-∞+∞，单调递减，所以121x --剟，所以3x 1剟. 故选D.20.（2016浙江理5）设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期（ ）. A.与b 有关，且与c 有关 B.与b 有关，但与c 无关 C.与b 无关，且与c 无关 D.与c 无关，但与c 有关21.（2016江苏11）设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[)1,1-上(),102,015x a x f x x x +-<⎧⎪=⎨-<⎪⎩……，其中a ∈R ，若5922f f ⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()5f a 的值是 .25- 解析 由题意得511222f f a ⎛⎫⎛⎫-=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，91211225210f f ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得35a =，则()()()531f a f f ==-215a =-+=-.22.（2017江苏14）设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[)0,1上，()2,,x x D f x x x D⎧∈=⎨∉⎩．其中集合*1,n D x x n n ⎧⎫-==∈⎨⎬⎩⎭N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ．从而10nmqp =，则10mn q p ⎛⎫= ⎪⎝⎭，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ，于是lg x 不可能与x D ∈内的部分对应相等，所以只需要考虑lg x 与每个周期内x D ∉部分的交点.如图所示，通过函数的草图分析，图中交点除()1,0外，其它交点均为x D ∉的部分． 且当1x =时，()1111lg 1ln10ln10x x x x =='==<，所以在1x =附近只有一个交点， 因而方程解的个数为8个．故填8．23.(2015安徽理9)函数()()2ax bf x x c +=+的图像如图所示，则下列结论成立的是（ ）.A.0a >，0b >，0c <B.0a <，0b >，0c >C.0a <，0b >，0c <D.0a <，0b <，0c <24.（2016全国乙理7）函数22e xy x =-在[]2,2-的图像大致为（ ）.A. B. C. D. D 分析 对于函数图像识别题一般是利用函数性质排除不符合条件的选项. 解析 设()22exf x x =-，由()228e f =-∈()0,1，可排除A （小于0），B （从趋势上超过1）；又()0,2x ∈时，()4e x f x x '=-，()()()014e 0f f ''⋅=--<， 所以()f x 在()0,1上不是单调函数，排除C.故选D. 25.(2013重庆理6）若a b c<<，则函数()()()()()()()f x x a x b xb xc x c x a=--+--+--的两个零点分别位于区间（ ）. A. ()a b ，和()b c ，内 B. ()a -∞，和()a b ，内 C. ()b c ，和()c +∞，内 D. ()a -∞，和()c +∞，内 解析：A26.（2014 山东理 8）已知函数()21f x x =-+,()kxx g =.若方程()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( ).A.102⎛⎫ ⎪⎝⎭，B.112⎛⎫⎪⎝⎭， C.()1,2 D.()2+∞，解析：B27.（2014 江苏理 13）已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[)0,3x ∈时，()2122f x x x =-+．若函数()y f x a =-在区间[]3,4-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是 ． 解析：102⎛⎫ ⎪⎝⎭，28.（2014 天津理 14）已知函数()23f x x x =+，x R Î.若方程()10f x a x --=恰 有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为__________. 解析：(0,1)(9,)+?29.（2014 浙江理 15）设函数()22,0,0x x x f x x x ⎧+<⎪=⎨-⎪⎩…，若()()2f f a …，则实数a 的取值范围是______.解析：(-?30.（2015湖南理15）已知()32,,x x af x x x a⎧=⎨>⎩…，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则实数a 的取值范围是.图（1） 图（2） 图（3）31.（2015天津理8）已知函数()()22,22,2x x f x x x ⎧-⎪=⎨->⎪⎩… ，函数()()2g x b f x =-- ， 其中b ∈R ，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ）. A.7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B.7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C.70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.7,24⎛⎫⎪⎝⎭即2220()(2)202582x x x y f x f x x x x x ⎧++<⎪=+-=⎨⎪-+>⎩，，，剟()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--，所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图像的4个公共点，由图像可知724b <<.32.（2015山东理10）设函数311()21xx x f x x -<⎧=⎨⎩≥，，,则满足()()()2f a f f a =的a 的取值范围是( ). A ．213⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．[]01，C ．23⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，D ．[)1+∞，.解析 因为()()()2=f af f a ，所以()1f a ?．①当1a <时，()311=-f a a …， 解得213a <…；②当1a …时，()21=a f a …，解得1a …． 综上所述，23a …．故选C ．33.（2015全国I 理12）设函数()()e 21x f x x ax a=--+，其中1a <，若存在唯一的整数x 使得()00f x <，则a 的取值范围是（ ）.A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭则()()1010f f -⎧⎪⎨⎪⎩……，即13e 20e 0a -⎧-+⎨⎩……，解得32e a …，又1a <，所以a 的取值范围是3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选D. 34.（2017山东理10）已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图像与y m =的图像有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（ ）. A.(])0,1⎡+∞⎣B.(][)0,13,+∞C.()⎡+∞⎣D.([)3,+∞解析 解法一：()222121y mx m x mx =-=-+过点()0,1且对称轴为1x m=.当01m <<时，11m>，从而2221y m x mx =-+在区间()0,1上单调递减，函数()21y mx =-与y m 的草图如图所示，此时有一个交点；当1m >时，11m <，所以2221y m x mx =-+在区间10m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在区间1,1m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.若函数()21y m x=-与y m =有一个交点，草图如图所示，则()211m m ⨯-?，解得3m …；解法二：若m =，则)[]21,0,1y x =-∈的值域为[]0,1；[]0,1y x =∈的值域为+，所以两个函数的图像无交点，故排除C 、D ；若3m =，则点()1,4是两个函数的公共点.故选B.。

2018届高考理科数学二轮专题复习讲义 函数的图象与性质

2018届高考理科数学二轮专题复习讲义 函数的图象与性质

第1讲 函数的图象与性质考情考向分析1.高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下． 2．对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题．3．对函数性质的考查，主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合在一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以选择题、填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大．热点分类突破热点一 函数的性质及应用1．单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则． 2．奇偶性(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．(2)在公共定义域内：①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数； ②两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数； ③一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数． (3)若f (x )是奇函数且在x ＝0处有定义，则f (0)＝0. (4)若f (x )是偶函数，则f (x )＝f (－x )＝f (|x |)．(5)图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称． 3．周期性定义：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f (a ＋x )＝f (x )(a ≠0)，则其一个周期T ＝|a |. 常见结论：(1)f (x ＋a )＝－f (x )⇒函数f (x )的最小正周期为2|a |，a ≠0. (2)f (x ＋a )＝1f (x )⇒函数f (x )的最小正周期为2|a |，a ≠0.(3)f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于x ＝a ＋b2对称．例1 (1)(2017届河北省衡水中学六调)已知f (x )是奇函数，且f (2－x )＝f (x )，当x ∈[2,3]时，f (x )＝log 2(x －1)，则f ⎝⎛⎭⎫13等于( ) A ．2－log 23 B ．log 23－log 27 C ．log 27－log 23 D ．log 23－2答案 D解析 因为f (x )是奇函数，且f (2－x )＝f (x )， 所以f (x －2)＝－f (x )，所以f (x －4)＝f (x )， 所以f ⎝⎛⎭⎫13＝f ⎝⎛⎭⎫2－13＝f ⎝⎛⎭⎫53＝－f ⎝⎛⎭⎫4－53＝－f ⎝⎛⎭⎫73. 又当x ∈[2,3]时，f (x )＝log 2(x －1)， 所以f ⎝⎛⎭⎫73＝log 2⎝⎛⎭⎫73－1＝log 243＝2－log 23， 所以f ⎝⎛⎭⎫13＝log 23－2，故选D.(2)(2017届四川省资阳市期末)已知函数f (x )＝x 3＋3x (x ∈R )，若不等式f (2m ＋mt 2)＋f (4t )<0对任意实数t ≥1恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫－∞，－22 C ．(－2，－2) D ．(－∞，－2)答案 D解析 由题意得f (－x )＝－f (x )，则f (x )为奇函数且f (x )在R 上单调递增，不等式f (2m ＋mt 2)＋f (4t )<0对任意实数t ≥1恒成立，则2m ＋mt 2<－4t 在t ≥1时恒成立，分离参数m <－4t t 2＋2＝－4t ＋2t.又t ＋2t ≥22(当且仅当t ＝2时，取等号)，则m <－2，故选D.思维升华 (1)可以根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值．(2)利用函数的单调性解不等式的关键是化成f (x 1)<f (x 2)的形式．跟踪演练1 (1)(2017届河南南阳一中月考)已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，设a ＝ln 1π，b ＝(ln π)2，c ＝ln π，当对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)时，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0，则( )A ．f (a )>f (b )>f (c )B ．f (b )>f (a )>f (c )C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (a )>f (b ) 答案 D解析 由(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x 1)－f (x 2)(x 1－x 2)<0，所以y ＝f (x )在(0，＋∞)上单调递减．又因为函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，所以y ＝f (x )在(－∞，0)上单调递增，由于a ＝ln 1π＝－ln π<－1，b ＝(ln π)2，c ＝ln π＝12lnπ，所以|b |>|a |>|c |， 因此f (c )>f (a )>f (b )，故选D.(2)(2017届安徽省池州市东至县联考)设偶函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋3)＝－1f (x )，且当x ∈[－3，－2]时，f (x )＝4x ，则f (2 018)＝________. 答案 －8解析 由条件可得f (x ＋6)＝f (x )，函数的周期为6， f (2 018)＝f (6×336＋2)＝f (2)＝f (－2)＝－8. 热点二 函数图象及应用1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点． 例2 (1)(2017·深圳调研)函数y ＝f (x )＝2x ＋12x －1·cos x 的图象大致是( )答案 C解析 易知函数定义域为{x |x ≠0}，且f (－x )＝－f (x )，因此函数图象关于原点对称．当自变量从原点右侧x →0时，y →＋∞，故选C.(2)(2017届菏泽期末)若函数y ＝f (x )的图象上存在两个点A ，B 关于原点对称，则称点对[A ，B ]为y ＝f (x )的“友情点对”，点对[A ，B ]与[B ，A ]可看作同一个“友情点对”，若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x <0，－x 3＋6x 2－9x ＋a ，x ≥0恰好有两个“友情点对”，则实数a 的值为( ) A ．－2 B ．2C ．1D ．0答案 B解析 首先注意到(0，a )没有对称点．当x >0时，f (x )＝－x 3＋6x 2－9x ＋a ，则－f (－x )＝－x 3－6x 2－9x －a ，即－x 3－6x 2－9x －a ＝2(x <0)有两个实数根，即a ＝－x 3－6x 2－9x －2(x <0)有两个实数根．画出y ＝－x 3－6x 2－9x －2(x <0)的图象如图所示，由图可知当a ＝2时有两个解．思维升华 (1)根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是判断函数图象问题的基本方法．(2)判断复杂函数的图象，常借助导数这一工具，先对原函数进行求导，再利用导数判断函数的单调性、极值或最值，从而对选项进行筛选．要注意函数求导之后，导函数发生了变化，故导函数和原函数定义域会有所不同，我们必须在原函数的定义域内研究函数的极值和最值．跟踪演练2 (1)(2017届山西晋中榆社中学月考)函数f (x )＝(16x －16－x )log 2|x |的图象大致为( )答案 A解析 由定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (－x )＝－f (x )⇒f (x )是奇函数，可排除B ，C ，由f ⎝⎛⎭⎫14＝⎝⎛⎭⎫2－12log 214＝－3>－154＝⎝⎛⎭⎫4－14log 212＝f ⎝⎛⎭⎫12⇒f ⎝⎛⎭⎫14>f ⎝⎛⎭⎫12，排除D ，故选A. (2)已知函数f (x )＝ax 33＋ax －x 2＋32，g (x )＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a (a ∈R )．在同一直角坐标系中，函数f ′(x )与g (x )的图象不可能是( )答案 B解析 因为f (x )＝ax 33＋ax －x 2＋32，所以f ′(x )＝ax 2－x ＋a2，若a ＝0，则选项D 是正确的，故排除D.若a <0，选项B 中的二次函数的判别式Δ＝1－4a ·a 2＝1－2a 2<0，所以a 2>12，又a <0，所以a <－22. 二次函数f ′(x )的图象的对称轴为x ＝12a .三次函数g (x )＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a ，所以g ′(x )＝3a 2x 2－4ax ＋1＝3a 2⎝⎛⎭⎫x －1a ⎝⎛⎭⎫x －13a ， 令g ′(x )>0，得x <1a 或x >13a ，令g ′(x )<0，得1a <x <13a，所以函数g (x )＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a 的极大值点为x ＝1a ，极小值点为x ＝13a .由选项B 中的图象知13a <12a ，但a <－22，所以13a >12a ，所以选项B 的图象错误，故选B. 热点三 基本初等函数的图象和性质1．指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分0<a <1，a >1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质． 2．幂函数y ＝x α的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，12，－1五种情况．例3 (1)(2017·深圳调研)设a ＝0.23，b ＝log 0.30.2，c ＝log 30.2，则a ，b ，c 大小关系正确的是( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．b >c >a D ．c >b >a答案 B解析 根据指数函数和对数函数的增减性知，因为0<a ＝0.23<0.20＝1，b ＝log 0.30.2>log 0.30.3＝1，c ＝log 30.2<log 31＝0，所以b >a >c ，故选B.(2)(2017届云南曲靖一中月考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x <0，(a －3)x ＋4a ，x ≥0满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，14 B ．(1,2] C ．(1,3) D.⎝⎛⎭⎫12，1答案 A解析 f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0⇒f (x )是减函数⇒⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a －3<0，4a ≤1⇒a ∈⎝⎛⎦⎤0，14，故选A. 思维升华 (1)指数函数、对数函数、幂函数是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力． (2)比较代数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性． 跟踪演练3 (1)(2017·全国Ⅰ)设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z ，则( ) A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2x D ．3y <2x <5z 答案 D解析 令t ＝2x ＝3y ＝5z ， ∵x ，y ，z 为正数，∴t >1.则x ＝log 2t ＝lg t lg 2，同理，y ＝lg t lg 3，z ＝lg tlg 5.∴2x －3y ＝2lg t lg 2－3lg t lg 3＝lg t (2lg 3－3lg 2)lg 2×lg 3＝lg t (lg 9－lg 8)lg 2×lg 3>0，∴2x >3y .又∵2x －5z ＝2lg t lg 2－5lg t lg 5＝lg t (2lg 5－5lg 2)lg 2×lg 5＝lg t (lg 25－lg 32)lg 2×lg 5<0，∴2x <5z ， ∴3y <2x <5z .故选D.(2)(2017届四川雅安中学月考)对任意实数a ，b 定义运算“Δ”：a Δb ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤2，b ，a －b >2，设f (x )＝3x ＋1Δ(1－x )，若函数f (x )与函数g (x )＝x 2－6x 在区间(m ，m ＋1)上均为减函数，则实数m 的取值范围是( ) A ．[－1,2] B ．(0,3] C ．[0,2] D ．[1,3]答案 C解析 由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x >0，3x ＋1，x ≤0，∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，函数g (x )＝(x －3)2－9在(－∞，3]上单调递减，若函数f (x )与g (x )在区间(m ，m ＋1)上均为减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ＋1≤3，得0≤m ≤2，故选C.真题体验1．(2017·全国Ⅲ改编)函数y ＝1＋x ＋sin xx2的部分图象大致为________．(填序号)答案 ④解析 当x →＋∞时，sin x x 2→0,1＋x →＋∞，y ＝1＋x ＋sin xx 2→＋∞，故排除②；当0＜x ＜π2时，y ＝1＋x ＋sin xx 2＞0，故排除①③.故填④.2．(2017·天津改编)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为____________． 答案 b <a <c解析 依题意a ＝g (－log 25.1) ＝(－log 25.1)·f (－log 25.1) ＝log 25.1f (log 25.1)＝g (log 25.1)．因为f (x )在R 上是增函数，可设0＜x 1＜x 2， 则f (x 1)＜f (x 2)．从而x 1f (x 1)＜x 2f (x 2)，即g (x 1)＜g (x 2)． 所以g (x )在(0，＋∞)上亦为增函数． 又log 25.1＞0,20.8＞0,3＞0， 且log 25.1＜log 28＝3,20.8＜21＜3， 而20.8＜21＝log 24＜log 25.1，所以3＞log 25.1＞20.8＞0，所以c ＞a ＞b .3．(2017·山东改编)设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，2(x －1)，x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝________. 答案 6解析 若0＜a ＜1，由f (a )＝f (a ＋1)， 得a ＝2(a ＋1－1)，∴a ＝14，∴f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6. 若a ≥1，由f (a )＝f (a ＋1)， 得2(a －1)＝2(a ＋1－1)，无解． 综上，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝6.4．(2017·全国Ⅱ)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝________. 答案 12解析 方法一 令x ＞0，则－x ＜0. ∴f (－x )＝－2x 3＋x 2.∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )． ∴f (x )＝2x 3－x 2(x ＞0)． ∴f (2)＝2×23－22＝12.方法二 f (2)＝－f (－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.押题预测1．在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ≥0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )押题依据 指数、对数函数的图象识别问题是高考命题的热点，旨在考查其基本性质的灵活运用，题目难度一般不大，位于试卷比较靠前的位置． 答案 D解析 方法一 分a >1,0<a <1两种情形讨论．当a >1时，y ＝x a 与y ＝log a x 均为增函数，但y ＝x a 递增较快，排除C ；当0<a <1时，y ＝x a 为增函数，y ＝log a x 为减函数，排除A.由于y ＝x a 递增较慢，故选D. 方法二 幂函数f (x )＝x a 的图象不过(0,1)点，排除A ；B 项中由对数函数f (x )＝log a x 的图象知0<a <1，而此时幂函数f (x )＝x a 的图象应是增长越来越慢的变化趋势，故B 错，D 正确；C 项中由对数函数f (x )＝log a x 的图象知a >1，而此时幂函数f (x )＝x a 的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C 错．2．(2017届甘肃肃南裕固族自治县一中月考)设函数y ＝f (x )(x ∈R )为偶函数，且∀x ∈R ，满足f ⎝⎛⎭⎫x －32＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12，当x ∈[2,3]时，f (x )＝x ，则当x ∈[－2,0]时，f (x )等于( ) A ．|x ＋4| B ．|2－x | C ．2＋|x ＋1| D ．3－|x ＋1|押题依据 利用函数的周期性、奇偶性求函数值是高考的传统题型，较好地考查学生思维的灵活性． 答案 D解析 由f ⎝⎛⎭⎫x －32＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12，可得f (x ＋2)＝f (x )，则当x ∈[－2，－1]时，x ＋4∈[2,3]，f (x )＝f (x ＋4)＝x ＋4＝x ＋1＋3；当x ∈[－1,0]时，－x ∈[0,1]，2－x ∈[2,3]，f (x )＝f (－x )＝f (2－x )＝2－x ＝3－x －1，故选D.3．已知函数f (x )＝1ln (x ＋1)－x，则y ＝f (x )的图象大致为( )押题依据 图象的识别和变换是高考的热点，此类问题既考查了基础知识，又考查了学生的灵活变换能力． 答案 B解析 方法一 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x ≠0，解得f (x )的定义域为{x |x >－1，且x ≠0}． 令g (x )＝ln(x ＋1)－x ，则g ′(x )＝1x ＋1－1＝－x x ＋1，当－1<x <0时，g ′(x )>0；当x >0时，g ′(x )<0.∴f (x )在区间(－1,0)上为减函数，在区间(0，＋∞)上为增函数，对照各选项，只有B 符合． 方法二 本题也可取特值，用排除法求解： f (2)＝1ln 3－2<0，排除A.f ⎝⎛⎭⎫－12＝1ln 12＋12＝1ln e 2<0， 排除C ，D ，故选B.4．已知函数h (x )(x ≠0)为偶函数，且当x >0时，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 24，0<x ≤4，4－2x ，x >4，若h (t )>h (2)，则实数t 的取值范围为________．押题依据 分段函数是高考的必考内容，利用函数的单调性求解参数的范围，是一类重要题型，是高考考查的热点．本题恰当地应用了函数的单调性，同时考查了函数的奇偶性的性质．答案 (－2,0)∪(0,2)解析 因为当x >0时，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 24，0<x ≤4，4－2x ，x >4.易知函数h (x )在(0，＋∞)上单调递减， 因为函数h (x )(x ≠0)为偶函数，且h (t )>h (2)， 所以h (|t |)>h (2)，所以0<|t |<2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ t ≠0，|t |<2，即⎩⎪⎨⎪⎧t ≠0，－2<t <2，解得－2<t <0或0<t <2.综上，所求实数t 的取值范围为(－2,0)∪(0,2)．A 组 专题通关1．(2017届陕西黄陵中学月考)下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A ．y ＝x －2B ．y ＝x －1C ．y ＝x 2D ．y ＝x 13答案 A解析 B ，D 是奇函数，C 在(0，＋∞)上单调递增，故选A. 2．(2017·北京)已知函数f (x )＝3x －⎝⎛⎭⎫13x，则f (x )( ) A ．是偶函数，且在R 上是增函数 B ．是奇函数，且在R 上是增函数 C ．是偶函数，且在R 上是减函数 D ．是奇函数，且在R 上是减函数 答案 B解析 ∵函数f (x )的定义域为R ， f (－x )＝3－x －⎝⎛⎭⎫13－x ＝⎝⎛⎭⎫13x －3x ＝－f (x )， ∴函数f (x )是奇函数．∵函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上是减函数，∴函数y ＝－⎝⎛⎭⎫13x在R 上是增函数． 又∵y ＝3x 在R 上是增函数，∴函数f (x )＝3x －⎝⎛⎭⎫13x 在R 上是增函数．故选B.3．(2017·全国Ⅰ)已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( ) A ．[－2,2] B ．[－1,1] C ．[0,4] D ．[1,3] 答案 D解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )． ∵f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1.故由－1≤f (x －2)≤1，得f (1)≤f (x －2)≤f (－1)． 又f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，∴－1≤x －2≤1， ∴1≤x ≤3，故选D.4．(2017届福建福州外国语学校期中)设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫13<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫12 B ．f ⎝⎛⎭⎫12<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫13 C ．f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫13<f (2) D ．f (2)<f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫13答案 C解析 ∵f (2－x )＝f (x )，∴函数的对称轴为x ＝1.∵当x ≥1时，f (x )＝ln x ，∴函数以x ＝1为对称轴且左减右增，故当x ＝1时函数有最小值，离x ＝1越远，函数值越大，故选C. 5．(2017届湖南师大附中月考)函数y ＝2xln|x |的图象大致为( )答案 B解析 采用排除法，函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，排除A ；当x >1时，ln|x |>0，y ＝2xln|x |>0，排除D ；当x <－1时，ln|x |>0，y ＝2xln|x |<0，排除C ，故选B.6．(2017届安徽百校论坛联考)已知函数f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝－x 2＋x .若不等式f (x )－x ≤2log a x (a >0且a ≠1)对∀x ∈⎝⎛⎦⎤0，22恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，14 B.⎣⎡⎭⎫14，1C.⎝⎛⎦⎤0，12D.⎣⎡⎦⎤14，12∪(1，＋∞)答案 B解析 由已知得当x >0时，f (x )＝x 2＋x ，故x 2≤2log a x 对∀x ∈⎝⎛⎦⎤0，22恒成立，即当x ∈⎝⎛⎦⎤0，22时，函数y ＝x 2的图象不在y ＝2log a x 图象的上方，由图(图略)知0<a <1且2log a22≥12，解得14≤a <1.故选B. 7．(2017届安徽省池州市东至县联考)如图可能是下列哪个函数的图象( )A ．y ＝2x－x 2－1 B ．y ＝2x sin x4x ＋1C ．y ＝x ln xD ．y ＝(x 2－2x )e x答案 D解析 函数过原点，所以C 排除；当x >0时，函数只有一个零点，而y ＝2x sin x4x ＋1是以x 轴为中心的波浪线，所以B 排除；当x →－∞时，y ＝2x －x 2－1→－∞，所以A 排除；函数y ＝(x 2－2x )e x 的图象在x →－∞时，y →0，在0<x <2时，y <0，在x →＋∞时，y →＋∞，故选D. 8．(2017届甘肃天水一中月考)德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数称为狄利克雷函数，则关于函数f (x )有以下四个命题：①f (f (x ))＝1； ②函数f (x )是偶函数；③任意一个非零有理数T ，f (x ＋T )＝f (x )对任意x ∈R 恒成立；④存在三个点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，C (x 3，f (x 3))，使得△ABC 为等边三角形． 其中真命题的个数是( ) A ．4 B ．3C ．2D ．1 答案 A解析 由f (x )是有理数⇒f (f (x ))＝1，故命题①正确；易得f (－x )＝f (x )⇒f (x )是偶函数，故②正确；易得f (x ＋T )＝f (x )，故③正确；取A ⎝⎛⎭⎫1－33，0，B ()1，1，C ⎝⎛⎭⎫1＋33，0，可得△ABC 为等边三角形，故④正确，综上真命题的个数为4.9．(2017·全国Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是___． 答案 ⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 解析 由题意知，可对不等式分x ≤0,0＜x ≤12，x ＞12三段讨论．当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12＞1，解得x ＞－14，∴－14＜x ≤0.当0＜x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12＞1，显然成立．当x ＞12时，原不等式为2x ＋2x －12＞1，显然成立．综上可知，x ＞－14.10．(2017届江西吉安一中段考)若函数f (x )是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫416＝________. 答案 14解析 f ⎝⎛⎭⎫416＝f ⎝⎛⎭⎫－76＝－f ⎝⎛⎭⎫76＝－sin 7π6＝12，f ⎝⎛⎭⎫12＝12×⎝⎛⎭⎫1－12＝14. 11．(2017届云南省师范大学附属中学月考)已知函数f (x )＝e x ＋x 3，若f (x 2)<f (3x －2)，则实数x 的取值范围是________． 答案 (1,2)解析 因为f ′(x )＝e x ＋3x 2>0，所以函数f (x )为增函数，所以不等式f (x 2)<f (3x －2)等价于x 2<3x －2，即x 2－3x ＋2<0⇔1<x <2，故x ∈(1,2)．12．(2017届陕西黄陵中学月考)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ＋a ，x <12，4x－3，x ≥12的最小值为－1，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎭⎫－14，＋∞ 解析 当x ≥12时，4x －3为增函数，最小值为f ⎝⎛⎭⎫12＝－1，故当x <12时，x 2－2x ＋a ≥－1.分离参数得a ≥－x 2＋2x －1＝－(x －1)2，函数y ＝－(x －1)2开口向下，且对称轴为x ＝1，故在⎝⎛⎭⎫－∞，12上单调递增，所以函数在x ＝12处有最大值，最大值为－⎝⎛⎭⎫12－12＝－14，即a ≥－14. B 组 能力提高13．(2017届河南息县第一高级中学段测)下列函数中，可以是奇函数的为( ) A ．f (x )＝(x －a )|x |，a ∈R B ．f (x )＝x 2＋ax ＋1，a ∈R C ．f (x )＝log 2(ax －1)，a ∈R D ．f (x )＝ax ＋cos x ，a ∈R答案 A解析 对于A ，f (－x )＝(－x －a )|－x |＝(－x －a )|x |，若f (－x )＋f (x )＝(－2a )|x |＝0，则a ＝0，A 满足；对于B ，f (－x )＝(－x )2－ax ＋1，若f (－x )＋f (x )＝2x 2＋2＝0，则方程无解，B 不满足；对于C ，由ax －1>0，不管a 取何值，定义域均不关于原点对称，则C 不满足；对于D ，f (－x )＝－ax ＋cos(－x )＝－ax ＋cos x ，若f (－x )＋f (x )＝2cos x ＝0，则不满足x 为一切实数，D 不满足．故选A.14．(2017届合肥一模)已知函数f (x )＝(x 2－2x )sin(x －1)＋x ＋1在[－1,3]上的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m 等于( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．0 答案 A解析 设t ＝x －1，则f (x )＝(x 2－2x )sin(x －1)＋x ＋1＝(t 2－1)sin t ＋t ＋2，t ∈[－2,2]，记g (t )＝(t 2－1)sin t ＋t ＋2，则函数y ＝g (t )－2＝(t 2－1)sin t ＋t 是奇函数，由已知y ＝g (t )－2的最大值为M －2，最小值为m －2，所以M －2＋(m －2)＝0，即M ＋m ＝4，故选A.15．(2017届湖北省部分重点中学联考)已知函数f (x )＝2x －12x ＋1＋x ＋sin x ，若正实数a ，b 满足f (4a )＋f (b －9)＝0，则1a ＋1b 的最小值为________．答案 1解析 因为f (－x )＝－f (x )，故由题设可得当4a ＋b ＝9，即4a 9＋b 9＝1时，则1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫4a 9＋b 9⎝⎛⎭⎫1a ＋1b＝19⎝⎛⎭⎫4＋1＋4a b ＋b a ≥19(5＋4)＝1，当且仅当b ＝2a 时取等号．16．(2017届河南南阳一中月考)如图放置的边长为1的正方形P ABC 沿x 轴滚动，点B 恰好经过原点．设顶点P (x ，y )的轨迹方程式为y ＝f (x )(x ∈R )，则对函数y ＝f (x )有下列判断：①函数y ＝f (x )是偶函数；②对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x －2)； ③函数y ＝f (x )在区间[2,3]上单调递减； ④ʃ20f (x )d x ＝π＋12. 其中判断正确的序号是________． 答案 ①②④解析 当－2≤x ≤－1时，P 的轨迹是以A 为圆心，1为半径的14圆；当－1≤x ≤1时，P 的轨迹是以B 为圆心，2为半径的14圆；当1≤x ≤2时，P 的轨迹是以C 为圆心，1为半径的14圆；当2≤x ≤3时，P 的轨迹是以A 为圆心，1为半径的14圆，所以函数的周期为4，图象如图所示．根据其对称性可知y ＝f (x )是偶函数，所以①正确；因为最小正周期为4，所以②正确；函数f (x )在[2,3]上单调递增，所以③错误；根据定积分的几何意义可知ʃ20f (x )d x ＝18×π×(2)2＋12×1×1＋14×π×12＝π＋12，所以④正确，故正确答案为①②④.。

2018届高三理科数学答题模板 三角函数的图象与性质

2018届高三理科数学答题模板 三角函数的图象与性质

三角函数的图象与性质知识梳理【正弦、余弦函数的图象与性质】（定义域、值域、单调性、奇偶性等）正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数y=sinx（x∈R）和余弦函数y=cosx（x∈R）的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线，1．正弦函数2．余弦函数函数图像的性质正弦、余弦函数图象的性质：由上表知，正弦与余弦函数的定义域都是R，值域都是[-1，1]，对y=sinx，当时，y取最大值1，当时，y取最小值-1；对y=cosx，当x=2kπ（k∈Z）时，y取最大值1，当x=2kπ+π（k∈Z）时，y取最小值-1。

【正切余切函数的图像与性质】正切函数的图像：余切函数的图像：正切函数的性质：（1）定义域：（2）值域是R，在上面定义域上无最大值也无最小值；（3）周期性：是周期函数且周期是π，它与直线y=a的两个相邻交点之间的距离是一个周期π；（4）奇偶性：是奇函数，对称中心是无对称轴；（5）单调性：正切函数在开区间内都是增函数。

但要注意在整个定义域上不具有单调性。

余切函数的性质:（1）定义域：{x|x≠kπ，k∈Z}（2）值域：实数集R；（3）周期性：是周期函数，周期为kπ（k∈Z且k≠0），最小正周期T=π（4）奇偶性：奇函数，图像关于（，0）（k∈z）对称，实际上所有的零点都是它的对称中心（5）单调性：在每一个开区间（kπ，（k+1）π），（k∈Z）上都是减函数，在整个定义域上不具有单调性示范例题【2017年高考全国1卷，理9】 已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【答案】D【考点】三角函数图像变换.【点拨】对于三角函数图像变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用诱导公式，需要重点记住sin cos(),cos sin()22ππαααα=-=+；另外，在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩，而先伸缩后平移在考试中经常出现，无论哪种变换，记住每一个变换总是对变量x 而言.答题思路【命题意图】高考主要考查函数y ＝Asin (ωx ＋φ)的图象变换,考查函数y ＝Asin(ωx ＋φ)解析式中参数φ的求法。

2018高考数学(理)专题突破—三角函数的图象与性质

2018高考数学(理)专题突破—三角函数的图象与性质

三角函数的图象与性质【考点梳理】1.常用三种函数的图象性质(下表中k ∈Z )(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得. (2)y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得. (3)y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数. 3.三角函数的两种常见变换(1)y ＝sin x ――――――――――――――――→向左（φ＞0）或向右（φ＜0）平移|φ|个单位y ＝sin(ωx ＋φ)――――――――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0).y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0). 【题型突破】题型一、三角函数的图象变换【例1】 某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1) (2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象.若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值. 【解析】(1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝⎭⎪⎫2x －6.(2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，根据图象平移变换，得g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6.因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋2θ－π6＝k π，k ∈Z ， 解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，令k π2＋π12－θ＝5π12，k ∈Z ，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z .由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6. 【类题通法】 1.“五点法”作图设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点、连线可得.2.在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换.变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向. 【对点训练】设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值.【解析】(1)f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2 ＝23sin 2x －(1－2sin x cos x ) ＝3(1－cos 2x )＋sin 2x －1 ＝sin 2x －3cos 2x ＋3－1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3－1，令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )， 解得，k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z ).所以，f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ). (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3－1，经过变换后，g (x )＝2sin x ＋3－1，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin π6＋3－1＝ 3.题型二、由函数的图象特征求解析式【例2】 (1)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A.f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6B.f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3C.f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π12D.f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6(2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A.1B.12C.22D.32【答案】(1)B (2)D【解析】(1)由题意知A ＝2，T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－π6＝π，ω＝2，因为当x ＝5π12时取得最大值2， 所以2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋φ， 所以2×5π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，解得φ＝2k π－π3，k ∈Z ， 因为|φ|<π2，得φ＝－π3. 因此函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.(2)观察图象可知，A ＝1，T ＝π，则ω＝2. 又点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0是“五点法”中的始点，∴2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝0，φ＝π3.则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.函数图象的对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12. 又x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，所以x 1＋x 22＝π12，则x 1＋x 2＝π6， 因此f (x 1＋x 2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32.【类题通法】已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置. 【对点训练】(1)偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，其中△EFG 是斜边为4的等腰直角三角形(E ，F 是函数与x 轴的交点，点G 在图象上)，则f (1)的值为( )A.22B.62C. 2D.2 2(2)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示. ①求函数f (x )的解析式；②将函数y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12倍，再把所得的函数图象向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8上的最小值.【答案】(1) C【解析】(1)依题设，T2＝|EF |＝4，T ＝8，ω＝π4. ∵函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，且0<φ<π. ∴φ＝π2，在等腰直角△EGF 中，易求A ＝2. 所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π2＝2cos π4x ，则f (1)＝ 2.(2)①设函数f (x )的最小正周期为T ，由题图可知 A ＝1，T 2＝2π3－π6＝π2， 即T ＝π，所以π＝2πω，解得ω＝2， 故f (x )＝sin(2x ＋φ).由0＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ可得π3＋φ＝2k π，k ∈Z ，则φ＝2k π－π3，k ∈Z ，因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3，故函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.②根据条件得g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8时，4x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6，所以当x ＝π8时，g (x )取得最小值，且g (x )min ＝12.题型三、三角函数性质【例3】已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期； (2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性.【解析】(1)f (x )的定义域为{x |x ≠π2＋k π，k ∈Z }， f (x )＝4tan x cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ， 得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4.所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减. 【类题通法】1.讨论三角函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数.2.求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间，是将ωx ＋φ作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间)，求出的区间即为y ＝A sin(ωx ＋φ)的增区间(或减区间)，但是当A ＞0，ω＜0时，需先利用诱导公式变形为y ＝－A sin(－ωx －φ)，则y ＝A sin(－ωx －φ)的增区间即为原函数的减区间，减区间即为原函数的增区间. 【对点训练】函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________.【答案】1【解析】f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f (x )＝1－cos 2x ＋3cos x －34， 令cos x ＝t 且t ∈[0，1]，y ＝－t 2＋3t ＋14＝－⎝⎛⎭⎪⎫t －322＋1，则当t ＝32时，f (x )取最大值1.题型四、三角函数性质的应用【例4】把函数f (x )＝2sin(x ＋2φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象向左平移π2个单位长度之后，所得图象关于直线x ＝π4对称，且f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－φ，则φ＝( )A.π8 B.3π8C.－π8D.－3π8【答案】 C【解析】把函数f (x )＝2sin(x ＋2φ)的图象向左平移π2个单位长度之后，得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋2φ＝2cos(x ＋2φ)＝g (x )的图象，根据所得图象关于直线x ＝π4对称，可得g (0)＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，即2cos 2φ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2φ＝－2sin 2φ，即tan 2φ＝－1.又f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－φ，故有2sin 2φ<2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝2cos φ，即sin φ<12，结合选项，φ＝－π8.【类题通法】此类题属于三角函数性质的逆用，解题的关键是借助于三角函数的图象与性质列出含参数的不等式，再根据参数范围求解.或者，也可以取选项中的特殊值验证. 【对点训练】已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R ). (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间. 【解析】(1)f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x ＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋π6＝2.(2)f (x )的最小正周期为π. 由正弦函数的性质得令2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ， 得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z .所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z . 题型五、三角函数图象与性质的综合应用【例5】已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx －3(ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数f (x )的单调递增区间.(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )在[0，b ](b >0)上至少含有10个零点，求b 的最小值. 【解析】(1)f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋3(2sin 2ωx －1) ＝sin 2ωx －3cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.由最小正周期为π，得ω＝1， 所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 整理得k π－π12≤x ≤kx ＋5π12，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z . (2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到y ＝2sin 2x ＋1的图象； 所以g (x )＝2sin 2x ＋1.令g (x )＝0，得x ＝k π＋7π12或x ＝k π＋11π12(k ∈Z )，所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y ＝g (x )在[0，b ]上有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可. 所以b 的最小值为4π＋11π12＝59π12. 【类题通法】1.研究三角函数的图象与性质，关键是将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋B )的形式，利用正余弦函数与复合函数的性质求解.2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期T ＝2π|ω|.应特别注意y ＝|A sin(ωx ＋φ)|的最小正周期为T ＝π|ω|. 【对点训练】设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，其中0＜ω＜3，已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0. (1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值.【解析】(1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π2， 所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3. 由题设知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0， 所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z ，故ω＝6k ＋2，k ∈Z .又0＜ω＜3，所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， 所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3， 当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.。

2018年高考数学高频考点--函数 精品

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2018年高考数学高频考点2、函数命题动向函数既是高中数学最重要的基础知识又是高中数学的主干知识，还是高中数学的主要工具，在高考中占有举足轻重的地位，其考查的内容是丰富多彩的，考查的方式是灵活多变的，既有以选择题、填空题形式出现的中低档试题，也有以解答题形式出现的中高档试题，更有以综合了函数、导数、不等式、数列而出现的压轴题．在试卷中往往是以选择题、填空题的形式考查函数的基础知识和基本方法，以解答题的形式考查函数的综合应用．押猜题3已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且对于任意的∈x R 都有),()2(x f x f -=+若当]2,0[∈x 时，),1lg()(+=x x f 则有（ ）A ．)27()1()23(f f f >>-B ．)1()27()23(f f f >>-C ．)27()23()1(f f f >->D ．)23()1()27(->>f f f 解析 )(),()2()22()()2(x f x f x f x f x f x f ∴=+-=++⇒-=+Θ的最小正周期为 4.因为)(x f 是定义在R 上的偶函数，则),()(x f x f =-则),23()23(f f =- ),21()21()27(f f f =-=因为当]2,0[∈x 时，)1lg()(+=x x f 为增函数，故).27()1()23(f f f >>-故选A. 点评 本题集函数的周期性、奇偶性、单调性等于一体考查，是高考命题者惯用的手法，充分体现了高考选择题的“小、巧、精、活”的特点，是一道难得的好题.押猜题4（理）已知函数.)1ln()1()(22x x x f +-+=（1）求函数)(x f 的单调区间；（2）若当]1,11[--∈e ex 时（其中Λ71828.2=e ），不等式m x f <)(恒成立，求实数m 的取值范围；（3）若关于x 的方程a x x x f ++=2)(在区间]2,0[上恰好有两个相异的实根，求实数a 的取值范围.解析 因为,)1ln()1()(22x x x f +-+=所以.12)1(2)(x x x f +-+=' （1）令120]11)1[(212)1(2)(-<<-⇒>+-+=+-+='x xx x x x f 或0>x ，所以)(x f 的单调增区间为)1,2(--和),0(+∞；令010]11)1[(212)1(2)(<<-⇒<+-+=+-+='x xx x x x f 或,2-<x 所以)(x f 的单调减区间为)0,1(-和).2,(--∞（2）令0012)1(20)(=⇒=+-+⇒='x xx x f 或,2-=x Θ函数)(x f 在]1,11[--e e 上是连续的，又,2)1(,1)0(,21)11(22-=-=+=-e e f f ee f 所以，当]1,11[--∈e ex 时，)(x f 的最大值为.22-e 故]1,11[--∈e e x 时，若使m x f <)(恒成立，则.22->e m （3）原问题可转化为：方程2)1ln()1(x x a +-+=在区间]2,0[上恰好有两个相异的实根.令,)1ln()1()(2x x x g +-+=则,121)(xx g +-='令,0)(='x g 解得：,1=x 当)1,0(∈x 时，)(,0)(x g x g ∴<'在区间)1,0(上单调递减，当)2,1(∈x 时，)(,0)(x g x g ∴>'在区间)2,1(上单调递增.)(x g Θ在0=x 和2=x 处连续，又,9ln 3)2(,4ln 2)1(,1)0(-=-==g g g且,19ln 34ln 2<-<-∴当]2,0[∈x 时，)(x g 的最大值是)(,1x g 的最小值是.4ln 2-∴在区间]2,0[上方程a x x x f ++=2)(恰好有两个相异的实根时，实数a 的取值范围是：.9ln 34ln 2-≤<-a点评 本题考查导数在研究函数性质，不等式恒成立，参数取值范围等方面的应用，充分体现了导数的工具和传接作用.作为一道代数推理题，往往处在“把关题”或“压轴题”的位置，具有较好的区分和选拔功能.（文）已知函数)(x f y =与函数)(1x f y -=互为反函数，且函数)1(+=x f y 与函数)1(1+=-x f y 也互为反函数，若0)1(=f ，则)2010(1-f =（ ）A ．0B ．1C ．2009-D ．2010-解析 求得函数)1(+=x f y 的反函数为,1)(1-=-x f y 又函数)1(+=x f y 与函数)1(1+=-x f y 也互为反函数，所以)2010(,1)()1(111---∴-=+f x f x f .2009201012010)0(2)2008(1)2009(111-=-=-==-=-=---f f f Λ故选C.点评 本题是以“年份”为背景的代数推理题，挖掘出1)()1(11-=-+--x f x f 是解题的关键，是推理的基础，结合累加法和反函数的有关知识可使问题圆满解决.此题对文科考生而言有相当的难度.。

2018年高考理科数学考纲解读与题型示例 (1)函数的图象与性质

2018年高考理科数学考纲解读与题型示例 (1)函数的图象与性质

2018年高考理科数学考纲解读与题型示例 (1) 函数的图象与性质【2018年高考考纲解读】(1)函数的概念和函数的基本性质是B级要求，是重要题型；(2)指数与对数的运算、指数函数与对数函数的图象和性质都是考查热点，要求都是B级；(3)幂函数是A级要求，不是热点题型，但要了解幂函数的概念以及简单幂函数的性质。

【重点、难点剖析】1．函数及其图象(1)定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，是一个整体，研究函数问题时务必须“定义域优先”．(2)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换．2．函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则；(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性；(3)周期性：周期性也是函数在定义域上的整体性质．若函数满足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，则其周期T＝ka(k∈Z)的绝对值．3．求函数最值(值域)常用的方法(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数；(2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数；(3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数；(4)导数法：适合于可求导数的函数．4．指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质(1)指数函数y ＝a x(a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象和性质，分0<a <1和a >1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质；(2)幂函数y ＝x α的图象和性质，分幂指数α>0和α<0两种情况． 5．函数图象的应用函数的图象和解析式是函数关系的主要表现形式，它们的实质是相同的，在解题时经常要互相转化．在解决函数问题时，尤其是较为繁琐的(如分类讨论，求参数的取值范围等)问题时，要注意充分发挥图象的直观作用.高考题型 1、函数的性质及其应用【例1】 【2017北京，理5】已知函数1()3()3x x f x =-，则()f x （A ）是奇函数，且在R 上是增函数（B ）是偶函数，且在R 上是增函数 （C ）是奇函数，且在R 上是减函数（D ）是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A【解析】()()113333x x x x f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以该函数是奇函数，并且3x y =是增函数， 13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，根据增函数−减函数=增函数，可知该函数是增函数，故选A. 【举一反三】【2016年高考四川理数】已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，()4x f x =，则5()(1)2f f -+= .【答案】-2【举一反三】(1)(2015·重庆卷)函数f (x )＝log 2(x 2＋2x －3)的定义域是( )A ．[－3,1]B ．(－3,1)C ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ lg x ，x >0，x ＋3，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值为( )A ．－3B ．－1或3C ．1D ．－3或1(1)答案：D解析：要使函数有意义，只需x 2＋2x －3>0，即(x ＋3)(x －1)>0，解得x <－3或x >1.故函数的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．(2)答案：D解析：f (1)＝lg 1＝0，所以f (a )＝0.当a >0时，则lg a ＝0，a ＝1；当a ≤0时，则a ＋3＝0，a ＝－3.所以a ＝－3或1.【变式探究】 (1)(2014·江西)函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( )A ．(0,1)B ．[0,1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)(2)(2014·浙江)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0.若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________．【命题意图】(1)本题主要考查函数的定义域求法以及不等式的解法．通过定义域的求法考查考生的运算求解能力及转化意识．(2)本题主要考查分段函数和不等式恒成立问题，可结合函数图象进行分析求解．【方法技巧】1．已知函数解析式，求解函数定义域的主要依据有：(1)分式中分母不为零；(2)偶次方根下的被开方数大于或等于零；(3)对数函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)的真数x ＞0；(4)零次幂的底数不为零；(5)正切函数y ＝tan x 中，x ≠k π＋π2(k ∈Z )．如果f (x )是由几部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的自变量的集合．根据函数求定义域时：(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．2．函数的值域是由函数的对应关系和函数的定义域所唯一确定的，具有相同对应关系的函数如果定义域不同，函数的值域也可能不相同．函数的值域是在函数的定义域上求出的，求解函数的值域时一定要与函数的定义域联系起来，从函数的对应关系和定义域的整体上处理函数的值域．题型 2、函数的图象及其应用【例2】【2016高考新课标1卷】函数2y x e=-在[]2x-的图像大致为2,2（A）（B）（C）（D）【答案】D【感悟提升】(1)根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是解决函数图象判断类试题的基本方法．(2)研究函数时，注意结合图象，在解方程和不等式等问题时，借助图象能起到十分快捷的作用．【举一反三】(1)(2015·四川卷)函数y ＝x 33x －1的图象大致是( )(2)函数y ＝f (x )的图象如图所示，在区间[a ，b ]上可找到n (n ≥2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得f x 1 x 1＝f x 2 x 2＝…＝f x n x n，则n 的取值范围是( )A.{3,4} B ．{2,3,4}C ．{3,4,5}D ．{2,3}(1)答案：C解析：由已知3x－1≠0⇒x ≠0，排除A ； 又∵x <0时，3x －1<0，x 3<0，∴y ＝x 33x －1>0，故排除B ； 又y ′＝x 2[3x 3－x ln 3 －3]3x －1 2，当3－x ln 3<0时，x >3ln 3>0，y ′<0，所以D 不符合．故选C. (2)答案：B解析：f x 1 x 1＝f x 1 －0x 1－0表示(x 1，f (x 1))与原点连线的斜率； f x 1 x 1＝f x 2 x 2＝…＝f x n x n表示(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))，…，(x n ，f (x n ))与原点连线的斜率相等，而(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))，…，(x n ，f (x n ))在曲线图象上，故只需考虑经过原点的直线与曲线的交点个数有几种情况．如图所示，数形结合可得，有2,3,4三种情况，故选B.【变式探究】 (1)若函数f (x )＝(k －1)·a x －a －x (a >0且a ≠1)在R 上既是奇函数，又是减函数，则g (x )＝log a (x －k )的图象是( )(2)(2014·山东)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1,2) D ．(2，＋∞)【命题意图】(1)本题主要考查函数的奇偶性，单调性的概念以及指数、对数函数的图象．(2)本题主要考查方程的根与函数的零点，意在考查考生的数形结合思想、化归与转化思想及运算求解能力．【方法技巧】1．关于判断函数图象的解题思路(1)确定定义域；(2)与解析式结合研究单调性、奇偶性；(3)观察特殊值．2．关于函数图象应用的解题思路主要有以下两点(1)方程f(x)＝g(x)解的个数可以转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)交点的个数；(2)不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))解集为函数y＝f(x)位于y＝g(x)图象上方(下方)的那部分点的横坐标的取值范围．题型 3、函数性质的综合应用例3、【2017山东，理10】已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图象与y m =的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（A ）(])0,1⎡+∞⎣ （B ）(][)0,13,+∞（C ）()⎡+∞⎣（D ）([)3,+∞ 【答案】B【解析】当01m <≤时，11m≥ ，2(1)y mx =- 单调递减，且22(1)[(1),1]y mx m =-∈-，y m =单调递增，且[,1]y m m m =∈+ ，此时有且仅有一个交点；当1m >时，101m<< ，2(1)y mx =-在1[,1]m上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需2(1)13m m m -≥+⇒≥ 选B. 【变式探究】【2017天津，理6】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（A ）a b c << （B ）c b a <<（C ）b a c << （D ）b c a <<【答案】C 【解析】因为()f x 是奇函数且在R 上是增函数，所以在0x >时，()0f x >，从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是增函数，22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<，则22log 5.13<<，所以即0.8202log 5.13<<<，0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<，所以b a c <<，故选C ．【举一反三】【2016年高考北京理数】设函数33,()2,x x x a f x x x a⎧-≤=⎨->⎩.①若0a =，则()f x 的最大值为______________；②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是________.【答案】2，(,1)-∞-.【感悟提升】(1)指数函数、对数函数、幂函数是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力．(2)比较数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性．【举一反三】(2015·全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 答案：1解析：∵ f (x )为偶函数，∴ f (－x )－f (x )＝0恒成立，∴ －x ln(－x ＋a ＋x 2)－x ln(x ＋a ＋x 2)＝0恒成立，∴ x ln a ＝0恒成立，∴ ln a ＝0，即a ＝1.【变式探究】(1)(2014·湖南)已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3(2)(2014·湖北)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时， f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)．若∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，16B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－66，66 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 【命题意图】(1)本题主要考查函数的解析式、奇偶性和求函数的值，意在考查考生的转化思想和方程思想．求解此题的关键是用“－x ”代替“x ”，得出f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1.(2)本题主要考查奇函数的性质、分段函数以及函数的最值与恒成立问题，意在考查考生应用数形结合思想，综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力．【答案】(1)C (2)B【解析】(1)用“－x ”代替“x ”，得f (－x )－g (－x )＝(－x )3＋(－x )2＋1，化简得f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1，令x ＝1，得f (1)＋g (1)＝1，故选C.(2)当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ，0≤x ≤a 2，－a 2，a 2<x ≤2a 2，x －3a 2，x >2a 2，又f (x )为奇函数，可得f (x )的图象如图所示，由图象可得，当x ≤2a 2时，f (x )max ＝a 2，当x >2a 2时，令x －3a 2＝a 2，得x ＝4a 2，又∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，可知4a 2－(－2a 2)≤1⇒a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－66，66，故选B. 【方法技巧】函数性质的综合应用主要是指利用函数的单调性、奇偶性、周期性等性质来相互转化解决相对综合的问题．主要的解析：奇偶性主要转化方向是f (－x )与f (x )的关系，图象对称问题；单调性主要转化方向是最值、方程与不等式的解；周期性主要转化方向是利用f (x )＝f (x ＋a )把区间外的函数转化到区间内，并结合单调性、奇偶性解决相关问题．。

2018届数学高考知识点

2018届数学高考知识点

2018届数学高考知识点数学是一门需要掌握基本知识并运用于解决实际问题的学科。

在高考中，数学作为一门重要科目，占据了一定的分值比例。

因此，熟练掌握数学知识点对于考生来说尤为重要。

下面将针对2018届数学高考的考点进行讨论和总结。

一、函数与方程在函数与方程的知识点中，高考常考的包括一次函数、二次函数、指数函数和对数函数等。

其中，一次函数是最基础的函数形式之一，可以用来描述直线的特征。

二次函数则在图像的形状上更为复杂，包括抛物线和开口方向等有趣特性。

指数函数和对数函数则涉及到指数和对数的性质与运算规则。

在方程的知识点中，高考考察的包括一元一次方程、一元二次方程、一元高次方程和一元代数方程组等。

解方程是数学解题的关键环节，需要学生掌握运用各种方法进行方程的解。

二、几何与立体几何几何与立体几何是数学中的一个重要分支，常见的高考考点包括直线和平面的性质、三角形和四边形的相关定理以及立体图形的计算等。

在几何方面，高考关注三角形和四边形的性质和定理。

例如，三角形的内角和为180度，同位角是相等的，以及勾股定理等。

对于四边形，高考常考察平行四边形的性质、矩形的性质和正方形的性质等。

在立体几何方面，高考考察的内容与体积和表面积相关。

例如，正方体、长方体和圆柱体的体积公式和表面积公式。

三、概率与统计概率与统计是数学领域中的另一个重要分支，高考常考的知识点包括排列与组合、概率计算和统计图表等。

在排列与组合的知识点中，高考经常考察的内容包括从n个元素中取m个元素的组合和排列的计算。

概率计算是指通过实验或推理确定某件事情发生的可能性的过程。

高考考察的内容主要包括样本空间、事件和事件概率的计算等。

统计图表是对数据进行可视化展示的方式，包括条形图、折线图、饼图和散点图等。

高考考察的内容主要包括数据的收集、整理和处理等。

综上所述，2018届数学高考的知识点主要集中在函数与方程、几何与立体几何以及概率与统计三个方面。

掌握这些知识点，并能够熟练运用于解决实际问题，是高考数学考试取得好成绩的关键。

【高考复习】2018年高考数学总复习：第4章 第3讲 三角函数的图象与性质 (含解析)

【高考复习】2018年高考数学总复习：第4章 第3讲 三角函数的图象与性质 (含解析)

第3讲 三角函数的图象与性质最新考纲 1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性；2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性.知 识 梳 理1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)， ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0). (2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1). 2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2π3＝sin π6知，2π3是正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的一个周期.( )(2)余弦函数y ＝cos x 的对称轴是y 轴.( ) (3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数.( ) (4)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( ) (5)y ＝sin|x |是偶函数.( )解析 (1)函数y ＝sin x 的周期是2k π(k ∈Z ).(2)余弦函数y ＝cos x 的对称轴有无穷多条，y 轴只是其中的一条.(3)正切函数y ＝tan x 在每一个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.(4)当k >0时，y max ＝k ＋1；当k <0时，y max ＝－k ＋1. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√2.(2015·四川卷)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( ) A.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2B.y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C.y ＝sin 2x ＋cos 2xD.y ＝sin x ＋cos x解析 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x 是最小正周期为π的偶函数；y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x 是最小正周期为π的奇函数；y ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4是最小正周期为π的非奇非偶函数；y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4是最小正周期为2π的非奇非偶函数. 答案 B3.(2017·郑州模拟)若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0，2π])是偶函数，则φ＝( )A.π2B.2π3C.3π2D.5π3解析 由已知f (x )＝sin x ＋φ3是偶函数，可得φ3＝k π＋π2，即φ＝3k π＋3π2(k ∈Z )，又φ∈[0，2π]，所以φ＝3π2. 答案 C4.函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A.－1B.－22C.22D.0解析 由已知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，故函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为－22.答案 B5.(必修4P47B2改编)函数y ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为________. 解析 因为y ＝tan x 的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )，所以由－π2＋k π＜2x －3π4＜π2＋k π， 得π8＋k π2＜x ＜5π8＋k π2(k ∈Z )，所以y ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z ). 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z ) 6.(2017·绍兴调研)设函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0，x ∈R )，最小正周期T ＝π，则实数ω＝________，函数f (x )的图象的对称中心为________，单调递增区间是________.解析 由T ＝2πω＝π，∴ω＝2，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，令2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝0，得2x＋π6＝k π(k ∈Z )，∴x ＝k π2－π12，对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，0(k ∈Z )，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，∴单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ).答案 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，0(k ∈Z ) ⎝⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )考点一 三角函数的定义域及简单的三角不等式 【例1】 (1)函数f (x )＝－2tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的定义域是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠π6B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠－π12C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠k π＋π6（k ∈Z ）D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠k π2＋π6（k ∈Z ）(2)不等式3＋2cos x ≥0的解集是________.(3)函数f (x )＝64－x 2＋log 2(2sin x －1)的定义域是________. 解析 (1)由正切函数的定义域，得2x ＋π6≠k π＋π2， 即x ≠k π2＋π6(k ∈Z )，故选D.(2)由3＋2cos x ≥0，得cos x ≥－32，由余弦函数的图象，得在一个周期[－π，π]上，不等式cos x ≥－32的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |－5π6≤x ≤56π， 故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z .(3)由题意，得⎩⎨⎧64－x 2≥0，①2sin x －1>0，②由①得－8≤x ≤8，由②得sin x >12，由正弦曲线得π6＋2k π<x <56π＋2k π(k ∈Z ). 所以不等式组的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝⎛⎦⎥⎤13π6，8.答案 (1)D(2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8 规律方法 (1)三角函数定义域的求法①以正切函数为例，应用正切函数y ＝tan x 的定义域求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的定义域.②转化为求解简单的三角不等式求复杂函数的定义域. (2)简单三角不等式的解法 ①利用三角函数线求解. ②利用三角函数的图象求解.【训练1】 (1)函数y ＝tan 2x 的定义域是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠k π＋π4，k ∈ZB.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠k π2＋π8，k ∈ZC.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠k π＋π8，k ∈ZD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠k π2＋π4，k ∈Z(2)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________.解析 (1)由2x ≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π4，k ∈Z ， ∴y ＝tan 2x的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠k π2＋π4，k ∈Z .(2)法一 要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示.在[0，2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .法二 利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示). 所以定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z. 法三 sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4≥0，将x －π4视为一个整体，由正弦函数y ＝sin x 的图象和性质可知2k π≤x －π4≤π＋2k π(k ∈Z )， 解得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z ).所以定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .答案 (1)D(2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z考点二 三角函数的值域【例2】 (1)函数y ＝－2sin x －1，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫76π，136π的值域是( ) A.[－3，1]B.[－2，1]C.(－3，1]D.(－2，1](2)(2016·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( )A.4B.5C.6D.7(3)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________.解析 (1)由正弦曲线知y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫76π，136π上，－1≤sin x <12，所以函数y ＝－2sin x －1，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫7π6，136π的值域是(－2，1].(2)由f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，所以当sin x ＝1时函数的最大值为5，故选B. (3)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ， sin x cos x ＝1－t 22，且－2≤t ≤ 2. ∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1. 当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2. ∴函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1.答案 (1)D (2)B (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1规律方法 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型：(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)；(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；(3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值).【训练2】 (1)(2017·杭州调研)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A.2－ 3B.0C.－1D.－1－ 3(2)(2017·金华检测)函数y ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3＋1的最大值是________，此时x 的取值集合为________.解析 (1)因为0≤x ≤9，所以－π3≤π6x －π3≤7π6， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.所以y ∈[－3，2]， 所以y max ＋y min ＝2－ 3.选A. (2)y max ＝－2×(－1)＋1＝3， 此时，12x －π3＝2k π＋π， 即x ＝4k π＋8π3(k ∈Z ). 答案 (1)A (2)3⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＝4k π＋8π3，k ∈Z考点三 三角函数的性质(多维探究) 命题角度一 三角函数的奇偶性与周期性【例3－1】 (1)(2017·宁波调研)函数y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4－1是( )A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为π2的奇函数 D.最小正周期为π2的偶函数 (2)(2017·衡水中学金卷)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|<π2的图象关于y 轴对称，则θ＝( ) A.－π6B.π6C.－π3D.π3解析 (1)y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝sin 2x ，则函数为最小正周期为π的奇函数. (2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－π3，由题意可得f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±2，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±1，∴θ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，∴θ＝5π6＋k π(k ∈Z )，∵|θ|<π2，∴k ＝－1时，θ＝－π6.故选A. 答案 (1)A (2)A规律方法 (1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则 ①f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )； ②f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z ).(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)与y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝2π|ω|，y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝π|ω|.命题角度二 三角函数的单调性【例3－2】 (1)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调递减区间为________.(2)若f (x )＝2sin ωx ＋1(ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3上是增函数，则ω的取值范围是________.解析 (1)由已知可得函数为y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，欲求函数的单调减区间，只需求y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调增区间.由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故所求函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ). (2)法一 由2k π－π2≤ωx ≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得f (x )的增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k πω－π2ω，2k πω＋π2ω(k ∈Z ). 因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3上是增函数，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω，π2ω. 所以－π2≥－π2ω且2π3≤π2ω，所以ω∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34.法二 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3，ω>0.所以ωx ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－ωπ2，2πω3， 又f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3上是增函数，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－ωπ2，2πω3⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，则⎩⎪⎨⎪⎧－ωπ2≥－π2，2πω3≤π2，又ω>0，得0<ω≤34.法三 因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3上是增函数，故原点到－π2，2π3的距离不超过T 4，即⎩⎪⎨⎪⎧π2≤T4，2π3≤T4，得T ≥8π3，即2πω≥8π3，又ω>0，得0<ω≤34.答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) (2)⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34规律方法 (1)求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y ＝A sin(ωx ＋φ)形式，再求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.(2)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷. 命题角度三 三角函数的对称轴或对称中心【例3－3】 (1)(2017·浙江适应性测试)若函数f (x )＝2sin(4x ＋φ)(φ<0)的图象关于直线x ＝π24对称，则φ的最大值为( ) A.－5π3B.－2π3C.－π6D.－5π6(2)(2016·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( ) A.11B.9C.7D.5解析 (1)由题可得，4×π24＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，∴φ＝π3＋k π，k ∈Z ，∵φ<0，∴φmax ＝－2π3.(2)因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝T4＋kT ，即π2＝4k ＋14T ＝4k ＋14·2πω，所以ω＝4k ＋1(k ∈N *)，又因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，所以5π36－π18＝π12≤T 2＝2π2ω，即ω≤12，由此得ω的最大值为9，故选B.答案 (1)B (2)B规律方法 (1)对于可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x 即可.(2)对于可化为f (x )＝A cos(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x 即可；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可.【训练3】 (1)(2017·昆明二检)函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2的图象关于( )A.原点对称B.y 轴对称C.直线x ＝5π2对称D.直线x ＝－5π2对称(2)已知ω>0，函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递增，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，74 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，94D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，74 解析 (1)因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝－sin 2x ，f (－x )＝－sin(－2x )＝sin 2x ＝－f (x )，所以f (x )＝－sin 2x 是奇函数，所以f (x )的图象关于原点对称.故选A.(2)函数y ＝cos x 的单调递增区间为[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z ，则⎩⎪⎨⎪⎧ωπ2＋π4≥－π＋2k π，ωπ＋π4≤2k π(k ∈Z )，解得4k －52≤ω≤2k －14，k ∈Z ，又由4k －52－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14≤0，k ∈Z 且2k －14>0，k ∈Z ， 得k ＝1，所以ω∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，74.答案 (1)A (2)D[思想方法]1.讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式.2.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质.3.数形结合是本讲的重要数学思想. [易错防范]1.闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.2.要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时A 和ω的符号，尽量化成ω＞0时情况，避免出现增减区间的混淆.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( ) A.①②③ B.①③④ C.②④D.①③解析 ①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，最小正周期为π；②由图象知y ＝|cos x |的最小正周期为π； ③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的最小正周期T ＝2π2＝π；④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的最小正周期T ＝π2，因此选A.答案 A2.(2017·温州模拟)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )D.⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) 解析 当k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3单调递增，解得k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )，故选B.答案 B3.(2016·成都诊断)函数y ＝cos 2x －2sin x 的最大值与最小值分别为( ) A.3，－1B.3，－2C.2，－1D.2，－2解析 y ＝cos 2x －2sin x ＝1－sin 2x －2sin x ＝－sin 2x －2sin x ＋1，令t ＝sin x ，则t ∈[－1，1]，y ＝－t 2－2t ＋1＝－(t ＋1)2＋2， 所以y max ＝2，y min ＝－2. 答案 D4.(2016·银川模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2(x ∈R )，下面结论错误的是( ) A.函数f (x )的最小正周期为π B.函数f (x )是偶函数C.函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称 D.函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数解析 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2＝－cos 2x ，故其最小正周期为π，故A 正确；易知函数f (x )是偶函数，B 正确；由函数f (x )＝－cos 2x 的图象可知，函数f (x )的图象不关于直线x ＝π4对称，C 错误；由函数f (x )的图象易知，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，D 正确. 答案 C5.(2017·安徽江南十校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为4π，且∀x ∈R ，有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3成立，则f (x )图象的一个对称中心坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，0解析 由f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝12.因为f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3恒成立，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即12×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，由|φ|<π2，得φ＝π3，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3.令12x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝2k π－2π3(k ∈Z )，故f (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，0(k ∈Z )，当k ＝0时，f (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0，故选A.答案 A 二、填空题6.(2017·台州调研)若函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π3(0<φ<π)是奇函数，则φ＝________；f (x )取最大值时，x 的取值集合为________.解析 因为f (x )为奇函数，所以φ－π3＝π2＋k π，φ＝5π6＋k π，k ∈Z .又因为0<φ<π，故φ＝5π6.由f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x (x ∈R )，∴当2x ＝2k π－π2，即x ＝k π－π4(k ∈Z )时，f (x )得最大值1.答案 5π6 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＝k π－π4，k ∈Z7.(2016·哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考)函数y ＝12sin x ＋32cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的单调递增区间是________.解析 ∵y ＝12sin x ＋32cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，由2k π－π2≤x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )， 解得2k π－5π6≤x ≤2k π＋π6(k ∈Z ).∴函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－5π6，2k π＋π6(k ∈Z )， 又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π68.(2016·承德模拟)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________. 解析 法一 由于函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知，π3为函数f (x )的14周期，故2πω＝4π3，解得ω＝32. 法二 由题意，得f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3ω＝1.由已知并结合正弦函数图象可知，π3ω＝π2，解得ω＝32. 答案 32三、解答题9.(2015·安徽卷)已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值.解 (1)因为f (x )＝sin 2 x ＋cos 2 x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)由(1)的计算结果知，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，由正弦函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4上的图象知， 当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )取最大值2＋1； 当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f (x )取最小值0. 综上，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2＋1，最小值为0.10.(2017·昆明调研)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 4－π6－2cos 2πx 8＋1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，求当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43时，y ＝g (x )的最大值.解 (1)f (x )＝sin πx 4cos π6－cos πx 4sin π6－cos πx4 ＝32sin πx 4－32cos πx 4＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 4－π3，故f (x )的最小正周期为T ＝2ππ4＝8.(2)法一 在y ＝g (x )的图象上任取一点(x ，g (x ))， 它关于x ＝1的对称点(2－x ，g (x )).由题设条件，知点(2－x ，g (x ))在y ＝f (x )的图象上， 从而g (x )＝f (2－x )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4（2－x ）－π3＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－πx 4－π3＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 4＋π3.当0≤x ≤43时，π3≤πx 4＋π3≤2π3， 因此y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43上的最大值为g (x )max ＝3cos π3＝32.法二 区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43关于x ＝1的对称区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2，且y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称， 故y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43上的最大值为 y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2上的最大值.由(1)知f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 4－π3，当23≤x ≤2时，－π6≤πx 4－π3≤π6. 因此y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43上的最大值为g (x )max ＝3sin π6＝32.能力提升题组 (建议用时：25分钟)11.已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23B.32C.2D.3解析 ∵ω>0，－π3≤x ≤π4， ∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4.由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32. 答案 B12.(2015·安徽卷)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( ) A.f (2)<f (－2)<f (0) B.f (0)<f (2)<f (－2) C.f (－2)<f (0)<f (2)D.f (2)<f (0)<f (－2)解析 由于f (x )的最小正周期为π，∴ω＝2，即f (x )＝A sin(2x ＋φ)，又当x ＝2π3时，2x ＋φ＝4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，∴φ＝2k π－11π6(k ∈Z )，又φ>0，∴φmin ＝π6，故f (x )＝A sin(2x ＋π6).于是f (0)＝A sin π6，f (2)＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋π6＝A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋π6＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－4，f (－2)＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4＋π6＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6－4＝A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6－4＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－7π6. 又∵－π2＜5π6－4＜4－7π6＜π6＜π2. 又f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递增，∴f (2)<f (－2)<f (0)，故选A. 答案 A13.(2017·湖州调研)若x ＝π6是函数f (x )＝sin 2x ＋a cos 2x 的一条对称轴，则函数f (x )的最小正周期是________；函数f (x )的最大值是________.解析 ∵f (x )＝sin 2x ＋a cos 2x ＝1＋a 2sin(2x ＋θ)(tan θ＝a )， 又x ＝π6是函数的一条对称轴，∴2×π6＋θ＝π2＋k π，即θ＝π6＋k π，k ∈Z . 则f (x )＝1＋a 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋k π.T ＝2π2＝π；由a ＝tan θ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋k π＝tan π6＝33，得1＋a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝233. ∴函数f (x )的最大值是233. 答案 π23314.(2017·武汉调研)已知函数f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 2＋sin x ＋b .(1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调增区间；(2)若x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5，8]，求a ，b 的值. 解 f (x )＝a (1＋cos x ＋sin x )＋b ＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a ＋b .(1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋b －1，由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )， 得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )，∴f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z ). (2)∵0≤x ≤π，∴π4≤x ＋π4≤5π4， ∴－22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1，依题意知a ≠0.(ⅰ)当a >0时，⎩⎨⎧2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，∴a ＝32－3，b ＝5.(ⅱ)当a <0时，⎩⎨⎧b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5，∴a ＝3－32，b ＝8.综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8. 15.设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 3－π6－2cos 2πx 6.(1)求y ＝f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，求当x ∈[0，1]时，函数y ＝g (x )的最大值.解 (1)由题意知f (x )＝32sin πx 3－32cos πx 3－1＝3·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 3－π3－1，所以y ＝f (x )的最小正周期T ＝2ππ3＝6. 由2k π－π2≤π3x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得6k －12≤x ≤6k ＋52，k ∈Z ， 所以y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤6k －12，6k ＋52，k ∈Z .(2)因为函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以当x ∈[0，1]时，y ＝g (x )的最大值即为x ∈[3，4]时，y ＝f (x )的最大值， 当x ∈[3，4]时，π3x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23π，π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，即此时y ＝g (x )的最大值为12.。

三角函数的图象与性质 2018届高考数学文科高频考点解析

三角函数的图象与性质 2018届高考数学文科高频考点解析

三角函数的图象与性质 2018届高考数学文科高频考点解析解密高考考点1 三角函数的定义、同角三角函数的基本关系式和诱导公式 题组一 利用三角函数的定义求三角函数的值 调研1 已知角α的终边经过点()3,4-,则1sin cos αα+= A ．15- B ．3715 C ．3720D ．1315【答案】D【解析】因为角α的终边经过点()3,4-,所以5r ==,则43sin ,cos 55αα=-=,即113sin cos 15αα+=.故选D ． ☆技巧点拨☆任意角的三角函数值的求解策略（1）确定三个量：角的终边上异于原点的点的横、纵坐标及该点到原点的距离；（2）若已知角的大小，只需确定出角的终边与以坐标原点为圆心的单位圆的交点的坐标，即可求出该角的三角函数值；（3）检验时，注意各象限三角函数值的正号规律：一全二正弦，三切四余弦. 题组二 利用同角三角函数的基本关系式和诱导公式化简求值调研2 已知()0,πα∈,且sin cos αα+则sin cos αα-的值为 .【答案】2【解析】因为21(sin cos )12sin cos 2αααα+=+=,所以12sin cos 2αα=-， 又()0,πα∈，所以sin 0,cos 0αα><,则sin cos 0αα->.因为()23sin cos 12sin cos 2αααα-=-=,所以sin cos αα-. 调研3 若πsin 4x ⎛⎫-⎪⎝⎭=15-,则5πcos 4x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值等于A ．5-B ．15-C ．15D ．5【答案】C 【解析】因为5ππ3π442x x ++-=,所以5π3ππ424x x ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭.所以5π3ππcos cos 424x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=π1sin 45x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭.故选C ．☆技巧点拨☆1．应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断．求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角”→“正角化锐角”→求值． 2．巧用相关角的关系能简化解题的过程． 常见的互余关系有π3α-与π6α+，π3α+与π6α-，π4α+与π4α-等； 常见的互补关系有π3θ+与2π3θ-，π4θ+与3π4θ-等. 考点2 三角函数的图象题组一 已知三角函数的图象求函数的解析式调研1 某函数的部分图象如图所示,则它的函数解析式可能是A ．y =sin(B ．yC ．y x+)D ．y =-cos(x+【答案】C【解析】方法一：不妨令该函数解析式为y =A sin(ωx+φ)(A >0,ω>0),由题图知A 即ω是函数的图象递减时经过的零点,于是φ=2k π+π,k ∈Z ,所以φ方法二：由图象知过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，代入选项可排除A 、D ．又过点⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，－1，代入B ，C 知C 正确．题组二 三角函数的图象变换调研2 函数f (x )=A sin(ωx+φ)(A >0,ω>0,0<φ<π)的图象如图所示,为了得到g (x )=-A cos ωx 的图象,可以将f (x )的图象A ．向右平移π12个单位长度 B ．向右平移5π12个单位长度 C ．向左平移π12个单位长度D ．向左平移5π12个单位长度【答案】B【解析】由题图知A =1,7π412T =-ππ34=,所以T =2πω=π,所以ω=2.故f (x )=sin(2x+φ). 因为f (π3)=0,0<φ<π,所以2×π3+φ=π,解得φ=π3, 所以f (x )=sin(2x+π3). 又g (x )=-cos 2x =sin(2x-π2)=sin[ 2(x-5ππ)]123+,所以要想得到g (x )的图象,只需将函数f (x )的图象向右平移5π12个单位长度.故选B. +的图象向右平移A ．(2+4,2)(k ∈Z ) B ．(2+4,0)(k ∈Z ) C ．(π2k ,12)(k ∈Z ) D ．(π2k ,0)(k ∈Z ) +=3sin ☆技巧点拨☆作三角函数图象左右平移变换时，平移的单位数是指单个变量x 的变化量，因此由y ＝sin ωx (ω＞0)的图象得到y ＝sin(ωx ＋φ)的图象时，应将图象上所有点向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|ω个单位，而非|φ|个单位．考点3 三角函数的性质题组一三角函数的单调性调研 1.(1)求(2)(3).【解析】(1)由题意得∴是它的一个对称中心，∴,(2)由(3)又在上是减函数,，即的最大值为☆技巧点拨☆1．求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性“同增异减”的规律. 2．对于三角函数的定义域有范围限制时，在求单调区间时应给予关注，一定要在定义域范围内研究其单调区间．3．已知三角函数的单调区间求参数的问题，一般先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解. 题组二三角函数的值域与最值调研2 求函数f (x )=2sin 2x+2sin x ∈[π,5π6]的值域.【解析】令t =sin x ,因为x ∈[π6,5π],x t ≤1.则g (t )=2t 2+22-1,t ∈且该函数在上是增加的,所以g (t )的最小值为g 最大值为g即函数f (x )的值域为☆技巧点拨☆求解三角函数的值域（最值）的类型与方法：（1）形如sin cos y a x b x c =++的三角函数，可先化为()sin y A x ωϕ=+的形式，再求解； （2）形如c x b x a y ++=sin sin 2的三角函数，可先设sin x=t ，转化为关于t 的二次函数求解. （3）形如sin cos (sin cos )y a x x b x x c =+±+的三角函数,可先设sin cos ,t x x =±得212sin cos t x x =±,把原解析式化为关于t 的二次函数，再求解.题组三 三角函数的奇偶性、周期性、对称性调研3 已知函数f (x )=sin(ωx x ∈R ,ω>0)的最小正周期为π,将()y f x =的图象向左平移|φ|个单位长度,所得图象关于y 轴对称,则φ的一个值是A ．π2B ．3π8 C ．π4D ．π8【答案】D【解析】由最小正周期为π得ω=2,于是f (x )=sin(2x 其图象向左平移|φ|个单位长度后所对应的函数的解析式为y =sin(2x φ|),由于该函数的图象关于y 轴对称,所以它是偶函数,φ|=k πk ∈Z ,所以|φk ∈Z ,故选D ．调研4 已知函数f (x )＝2sin 2x ＋b sin x cos x 满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2.(1)求实数b 的值以及函数f (x )的最小正周期；(2)记g (x )＝f (x ＋t )，若函数g (x )是偶函数，求实数t 的值．【解析】(1)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2，得2×14＋b ×12×32＝2， 解得b ＝2 3.则f (x )＝2sin 2x ＋23sin x cos x ＝1－cos 2x ＋3sin 2x ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由(1)得π()2sin[2()]16f x t x t +=+-+，所以g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2t －π6＋1， 又函数g (x )是偶函数，则对于任意的实数x ，均有g (－x )＝g (x )成立． 所以sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －π6＋2x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －π6－2x ，整理得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －π6sin 2x ＝0.则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －π6＝0，解得2t －π6＝k π＋π2，k ∈Z ， 所以t ＝k π2＋π3，k ∈Z . ☆技巧点拨☆1．整体思想在三角函数性质中的应用在求解y ＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性、单调性、对称性及已知区间上的最值问题时往往将ωx ＋φ看作整体，利用y ＝A sin x 的图象与性质进行求解．2．三角函数最小正周期的变化仅与自变量x 的系数有关，与其他因素无关. 3．研究三角函数性质时注意数形结合思想的运用． 强化训练1．（2017-2018学年安徽省六安市第一中学高三上学期第二次月考）若边位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B2．（2017-2018则A ．BCD【答案】B所以2π1cos 2π1sin212cos 42210ααα⎛⎫++ ⎪-⎛⎫⎝⎭+=== ⎪⎝⎭. 3．（2017-2018学年广东省广州市华南师范大学附属中学高三综合测试）为了得到函数1π3sin 25y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象,只要把13sin 2y x =图象上所有的点 A ．向右平移π5个单位长度 B ．向左平移π5个单位长度 C ．向右平移2π5个单位长度 D ．向左平移2π5个单位长度 【答案】C4．（2017-2018学年广西柳州市高三毕业班上学期摸底联考）②图象关于直线;;④一个对称中心为ABCD【答案】C【解析】由最小正周期可排除A;,函数值为0的只有C,排除B,D ．故选C ．5．(2017河西五市联考)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是 A ．π12 B ．π6C ．π3D ．5π6【答案】B【解析】y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin(x ＋π3)，将其图象向左平移m 个单位后，得到的图象对应的函数解析式为y ＝2sin(x ＋m ＋π3)，由题意得m ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ，则m ＝π6＋k π，k ∈Z ，故取k ＝0时，m min ＝π6，故选B ．6．（2017-2018学年辽宁省大连市旅顺中学、旅顺第二高级中学、大连市第三中学高三第二次联考）若函,A ．()f x 在5ππ,1212⎛⎫-⎪⎝⎭上是减函数 B ．()f x 在π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数C ．()f x 在5ππ,1212⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数 D ．()f x 在π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数 【答案】C7．（2018届江苏省泰州中学高三10月月考）已知角值为__________. 【答案】【解析】依题意,4 cos5α==-8．（2017-2018学年上海市师范大学附属中学高三上学期期中考试）化简:()()5πsinπtan2πcos2πcot2αααα⎛⎫-+⎪⎝⎭=⎛⎫--⎪⎝⎭__________．【答案】【解析】()()5πsinπtansin cot2cotπcos tancos2πcot2ααααααααα⎛⎫-+⎪-⎝⎭==-⎛⎫--⎪⎝⎭.9．（2017-2018学年江苏省苏州市高三上学期期中调研）是π12x=,的值是__________．【答案】10．（2017-2018学年河北省衡水中学高三上学期二调考试）已知1211sinπ2sinπ0 510θθ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,【答案】11．（2017-2018学年天津市南开中学高三上学期第一次月考）已知函数()2sin2(0y xϕ=+π)ϕ≤<,它们的图象有一个横坐标为,则ϕ的值是__________.，所以2π2sin13ϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭,所以2π15πsin sin326ϕ⎛⎫+==⎪⎝⎭,解得ϕ的值是12．（2017-2018数的部分图象如图所示,．13．（2017-2018学年河北省邢台市高三上学期第二次月考）的部分图象如图所示.(1);(2)当π,π3x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,.【答案】(1) ()12π3sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭；(2) ()332f x -≤≤-.从而()332f x -≤≤-. 14．（2017-2018学年天津市南开中学高三上学期第一次月考）已知函数()2sin cos f x x x x =+⋅(1);(2)的所有.【答案】(1) 最小正周期T 为π，单调递增区间为5πππ,π,1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z . (2)13π 3.15．（2017-2018学年黑龙江省佳木斯市第一中学高三上学期第五次调研）已知函数(0)b a+≠.(1);(2)2,最大值是4,.【答案】(1)π5π()212kx k=+∈Z；(2)1,3,ab=⎧⎨=⎩或1,3.ab=-⎧⎨=⎩16．（2017-2018学年广东省中山市第一中学高三第二次统测）已知函数()21cos 22f x x x =-+. (1)当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,求函数()f x 的取值范围;(2)将()f x 的图象向左平移π6个单位得到函数()g x 的图象,求()g x 的单调递增区间. 【答案】(1)1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦;(2)πππ,π,36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z .【解析】(1)()211πcos cos2sin 2226f x x x x x x ⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭, 因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,ππ5π2,666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦, 所以π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,所以函数()f x 的取值范围为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.(2)因为()ππππsin 2sin 26666g x f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 所以令πππ2π22π,262k x k k -≤+≤+∈Z ,得ππππ,36k x k k -≤≤+∈Z ， 故()g x 的单调递增区间为πππ,π,36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z . 17．（2017-2018学年江苏省苏州市高三上学期期中调研）已知函数()π1242f x ax ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭(0,0)b a b >>的图象与x 轴相切,且图象上相邻两个最高点之间的距离为π2． (1)求,a b 的值;(2)求()f x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．【答案】(1)2a =，12b =；(2) 0．(2)由(1)可得()π4242f x x ⎛⎫=-++⎪⎝⎭,∵π0,4x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,∴ππ5π4,444x⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,∴当π5π444x+=,即π4x=时,()f x当ππ442x+=,即π16x=时,()f x取得最小值，为0．真题对接1．（2017新课标全国Ⅱ文科）函数π()sin(2)3f x x=+的最小正周期为A．4πB．2πC．πD．π2【答案】C2．（2017新课标全国Ⅲ文科）函数1ππ()sin()cos()536f x x x=++-的最大值为A．65B．1C．35D．15【答案】A【解析】由诱导公式可得ππππcos cos sin 6233x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 则()1ππ6πsin sin sin 53353f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 函数()f x 的最大值为65.所以选A. 3．（2016新课标全国I 文科）若将函数y =2sin (2x +6π)的图象向右平移14个周期后,所得图象对应的函数为A ．y =2sin(2x +4π) B ．y =2sin(2x +3π) C ．y =2sin(2x –4π) D ．y =2sin(2x –3π) 【答案】D4．（2015新课标全国I 文科）函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为A ．13(,),44k k k π-π+∈ZB ．13(2,2),44k k k π-π+∈Z C ．13(,),44k k k -+∈ZD ．13(2,2),44k k k -+∈Z【答案】D5．（2016新课标全国Ⅰ文科）已知θ是第四象限角,且sin(θ+π4)=35,则tan(θ–π4)= . 【答案】43-【解析】由题意得sin sin 442θθπππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦3cos 45θπ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭, 因为2222k k θ3ππ+<<π+π()k ∈Z ,所以722444k k θ5ππππ+<-<π+()k ∈Z , 从而4sin 45θπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭, 因此4tan 43θπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．故填43-．。

2018高考理科数 第二轮复习专题一 第一讲 函数的图像与性质

2018高考理科数 第二轮复习专题一 第一讲 函数的图像与性质

1 (a 0且f ( x) 0), 则f ( x)是周期函数， 4 若f x a f ( x) 2a是它的一个周期；
1+f ( x) (a 0且f ( x) 1), 则f ( x)是周期函数， 5 若f x a 1 f ( x) 4a是它的一个周期；
3、周期性是函数的整体性质，一般地，对于函数f(x), 如果对于定义域中任意一个x的值： (1)若f(x+T)=f(x)(T≠0)，则f(x)是周期函数，T是它的一 个周期； (2)对f(x+a)=f(x+b)（a≠0）, 则f(x)是周期函数，∣ba∣是它的一个周期； (3)若f(x+a)=f(x-a)(a≠0),则f(x)是周期函数，2a是它的 一个周期;
在积累、归纳、提炼中升华
——二轮专题复习的有效策略

通过第一轮复习，大家能够较为系统地掌 握高中数学知识，并初步形成知识体系， 积累比较丰富的解题经验.
第二轮复习应该做什么？怎么做？
关键是要弄清楚自己目前的水平离高 考的要求还有多大差距。具体地说，二轮 复习就是针对高考的重点、难点，以专题 的形式进行知识与方法的横、纵向联系， 以强化综合能力、思维能力、运算能力和 应试能力为主要目标的一种复习方式.
(-2,2/3) f ( x) 0恒成立，则x的取值范围为 ____________ .

总结：函数性质的综合应用主要包括求值 与解不等式两个方面：求值的关键是利用 函数的奇偶性、对称性以及函数的周期性 将自变量转化到指定区间内，然后代入函 数解析式求值。解不等式问题主要利用函 数的奇偶性与单调性将函数值的大小转化 为自变量之间的大小关系.
2、对称性与周期性之间的关系 周期性与对称性是相互联系、紧密相关的， 一般地，若f（x）的图像有两条对称轴x=a和 x=b(a≠b),则f(x)必为周期函数，且2∣b-a∣是 它的一个周期；若f(x)的图像有两个对称中心 （a,0）和（b,0）(a≠b)，则f(x)必为周期函数 ，2∣b-a∣为它的一个周期;若f(x)的图像有一 条对称轴x=a和一个对称中心（b,0）(a≠b)， 则f(x)必为周期函数，且它的一个周期是4∣ba∣.

2018高考数学文科一轮复习讲义 8.3 第三节 三角函数的图象与性质

2018高考数学文科一轮复习讲义 8.3 第三节 三角函数的图象与性质

第三节 三角函数的图象与性质【考点点知】知己知彼，百战不殆考点一: 正余弦函数的图象与性质1.正弦函数y =sin x ，x ∈[0，2π]的图象．x2. 正弦曲线与余弦曲线．3. “五点法”作草图．正弦曲线，它们是（0，0），（2π，1），（π，0），（23π，－1），（2π，0）；对于余弦曲线，它们是（0，1），（2π，0），（π，－1），（23π，0），（2π，1）.在精确度要求不太高时，可先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连结起来，就得到函数的简图.这种方法称为“五点法”5. 一般地，对于函数f （x ），如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f （x +T ）=f （x ），那么函数f （x ）就叫做周期函数，非零常数T 就叫做这个函数的周期.6. 奇、偶函数的定义.①奇函数：一般地，如果对于函数f （x ）的定义域内的任意一个x ，都有f （－x ）=－f （x ），则称f （x ）为这一定义域内的奇函数. ②偶函数：一般地，如果对于函数f （x ）的定义域内的任意一个x ，都有f （－x ）=f （x ），则称f （x ）为这一定义域内的偶函数.7. 单调性.正弦函数在每一个闭区间 [－2π+2k π，2π+2k π]（k ∈Z ）上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间[2π+2k π，23π+2k π]（k ∈Z ）上都是减函数，其值从1减小到－1. 余弦函数在每一个闭区间 [（2k －1）π，2k π]（k ∈Z ）上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间[2k π，（2k +1）π]（k ∈Z ）上都是减函数，其值从1减小到－1.考点二: 正切函数的图象和性质1. 正切函数y =tan x ,x ∈（－2π,2π）的图象.2. 正切函数的性质.①定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ，②值域：R ;当x 从小于()z k k ∈+2ππ，2π+π−→−k x 时，∞−→−x t a n,当x 从大于()z k k ∈+ππ2，ππk x +−→−2时，-∞−→−x tan ;③周期性：正切函数是周期函数,周期是,()k k Z π∈,其最小正周期是π;④奇偶性：()x x t a n t a n -=-奇函数.⑤单调性：在开区间,,22k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭内，函数单调递增.⑥对称性:正切函数即是中心对称图形,点(,02k ππ+),(k Z ∈)和(,0)k π,(k Z ∈)都是对称中心．考点三: 函数y=Asin(ωx+φ) 的图象1. 函数y =A sin x ，A >0且A ≠1与y =sin x 的图象间的关系.一般地，函数y =A sin x ，x ∈R （A >0且A ≠1）的图象可以看作是把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长（A >1）或缩短（0<A <1）到原来的A 倍（横坐标不变）而得到的.这种变换叫做振幅变换，它是由A 的变化而引起的，A 叫做函数的振幅，函数y =A sin x ，x ∈R 的值域是[－A ，A ]，最大值是A ，最小值是－A .2. 函数y =sin ωx 与y =sin x 的图象间的关系. 一般地，函数y =sin ωx （ω>0且ω≠1），x ∈R 的图象，可以看作是把正弦曲线上所有点的横坐标伸长（0<ω<1）或缩短（ω>1）到原来的ω1倍（纵坐标不变）而得到的，这种变换称为周期变换，它是由ω的变化而引起的，ω与周期T 的关系是T =ωπ2.3. 函数y =sin （x +ϕ）与y =sin x 图象间的关系. 一般地，函数y =sin （x +ϕ）（ϕ≠0），x ∈R 的图象，可以看作是把正弦曲线上所有点向左（ϕ>0）或向右（ϕ<0）平行移动|ϕ|个单位长度而得到的，这种变换叫做相位变换.4. 函数y =A sin （ωx +ϕ）与y =sin x 图象间的关系. 一般地，函数y =A sin （ωx +ϕ）（其中A >0，ω>0），x ∈R 的图象，可以看作是用下面的方法而得到的：先把正弦曲线上所有的点向左（ϕ>0）或向右（ϕ<0）平行移动|ϕ|个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短（ω>1）或伸长（0<ω<1）到原来的ω1倍（纵坐标不变），再把所得各点的纵坐标伸长（A >1）或缩短（0<A <1）到原来的A 倍（横坐标不变）.5. 过函数y =A sin （ωx +ϕ），x ∈R 的图象的最值点作x 轴的垂线，可得该函数图象的对称轴.对称轴可由ωx +ϕ=k π+2π，k ∈Z 解出，显然对称轴有无数条. 【考题点评】分析原因，醍醐灌顶例1.(基础·2007宁夏卷理科3文科3)函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的简图是（ ）思路透析:取0x =可得sin()3y π=-=, 可排除BD; 取6x π=,可得sin()033y ππ=-=, 可排除C, 故应选A. 点评:考试过程中少数考会按要求进行五点作图,大多数考生均利用特殊值法代入判断特殊点的位置来求解,错误情况也较为明显,其一代入的点坐标各函数的图象上不容易定位,其二由于图象已经经过了变换,其周期性的规律还容易快速定位.解题中对于坐标轴上的点坐标是首要考虑的位置关系,把握了这一点,再结合周期性规律即可得出结论.例 2.(基础·2007山东卷文科4)要得到函数sin y x =的图象，只需将函数xＡ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象（ ）A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π3个单位D ．向左平移π6个单位思路透析:∵cos()sin()sin()3326y x x x ππππ=-=-+=+, ∴只需要cos()sin()36y x x ππ=-=+的图象向右平移6π个单位即可得函数sin y x=的图象,故应选A.点评:多数考生在平移方向上搞错,而选择D.少部分考看错题意而选择了C.在三角函数图象的平移问题中首先要搞清楚是哪个函数图象变换到哪个函数图象,分析清楚自变量变化的过程,灵活选择口决“左+右-上+下-”左右平移变换的仅为变量x ,上下变换时要在函数解析式的右边进行加减.例3.(综合·2007湖北八校联考)曲线sin 2(0,0)y M x N M N ω=+>>在区间[0,]πω上截直线4y =与2y =-所得的弦长相等且不为0，则下列描述中正确的是 （ ）A ．1,3N M =>B ．1,3N M =≤C ．32,2N M =>D ．32,2N M =≤ 思路透析:由已知可得在一个周期内两直线4y =与2y =-必在平衡位置对称, 即得4(2)12N +-==, 又由直线4y =在一个周期内截得的弦长不为0可得413M >-=, 故应选A.点评:通过作正弦函数的一个周期内的函数图象可以得到各个字母的参数值的变化趋势,对于曲线sin 2(0,0)y M x N M N ω=+>>中各个字母的几何意义通过图形也要能够正确的识别.例 4.(综合·2006江苏)为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点( )A.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变） B.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变） C.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） D.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）思路透析:把函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点向左平移6π个单位长度，可得2sin(),6y x x R π=+∈, 再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）,可得R x x y ∈+=),63sin(2π, 故应选C.点评:先将解析式按步骤分解,再根据解析式的分解要求写出变换的步骤.本题考查了三角函数图象的平移变换及伸缩变换.要注意无论是平移变换还是伸缩变换均是对于变量“x ”而言的,要认真体会.例5.(创新探究·2007苏、锡、常、镇模)若函数()y f x =同时具有下列三个性质：（1）最小正周期为π；（2）图象关于直线3x π=对称；（3）在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数．则()y f x =的解析式可以是A ．sin()26x y π=+B ．cos(2)3y x π=+C ．sin(2)6y x π=-D ．cos(2)6y x π=- 思路透析:由最小正周期为π,可排除A, 由图象关于直线3x π= 对称,可排除B, 由在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数可得答案应为C. 点评:在三角恒等变换的复习中，可以引导考生利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，并由此公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，引导考生推导积化和差、和差化积、半角公式，以此作为三角恒等变换的基本训练.例6.(创新探究·2008华南师大附中综合测试二) 已知函数)0(cos sin )(>++=b x c x b a x f 其中的图象经过点A （0，1）、B （1,2π）. 当]2,0[π∈x 时，)(x f 的最大值为.122- （Ⅰ）求)(x f 的解析式；（Ⅱ）由x y sin =的图象经过怎样的变换可得到)(x f 的图象. 思路透析:（Ⅰ）∵函数图象过点A （0，1）、B （2π，1） ⎩⎨⎧=+=+②①1 1b a c a ∴b=c ∴)0( )4sin(2 cos sin )(>+=++=b x b a x b x b a x f π∵当.122)(]2,0[-∈的最大值为时，x f x π∴1222-=+a b ③ 联立②③得 ⎩⎨⎧=-=21b a 1)4s i n (22)(-+=πx x f （Ⅱ）①由x y sin =图象上所有点向左平移4π个单位得到)4sin()(π+=x x f 的图象②由)4sin()(π+=x x f 的图象上所有点的纵坐标变为原来的22倍，得到 )4sin(22)(π+=x x f 的图象③由)4sin(22)(π+=x x f 的图象上所有点向下平移一个单位，得到1)4sin(22)(-+=πx x f 的图象点评:近年来高考降低了对三角变换的考查要求,势必会加大对三角函数图象与性质的考查力度，从而使三角函数的图象和性质成为高考的一个热点，是三角解答题的主要题型，具有一定的灵活性和综合性.【画龙点睛】探索规律，豁然开朗 1.规律总结:(1)利用正弦线端点连线作函数图象时，份数越多，图象越精确.取6的倍数最为适宜，它既保证了点的个数足够多，又取到了图象上关键的最值点和图象与坐标轴的交点.(2)在区间[0，2π]上，正、余弦函数图象上起关键作用的五个点分别是它的最值点及其与坐标轴的交点（平衡点）.(3)把“ωx +ϕω>0”，视为一个整体，利用基本初等函数的性质去研究函数，是化未知为已知的化归思想的具体应用，是研究函数问题的重要方法.(4)求三角函数的二次型最值，要注意对称轴与给定区间的关系，当对称轴在给定的区间内时，在对称轴处取一最值，在离对称轴较远的端点处取另一最值；当对称轴不在给定的区间内时，在区间的两个端点处取最值.(5)周期函数的理解要把握以下几点：①以T （T ≠0）为周期的函数f （x ），对于定义域D 内的任意一个x ，x +T 也必属于D ，否则f （x +T ）没有意义，因此，若某一周期函数的周期T >0，则其定义域无上界；若T <0，则其定义域必无下界.②周期函数与周期的定义中，“当x 取值定义域内的每一个值时”的“每一个”是指定义域内的所有x 值，如果存在一个x 0，使得f （x 0+T ）≠f （x 0），那么T 就不是函数f （x ）的周期. ③对于一个周期函数f （x ），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f （x ）的最小正周期.今后涉及到的周期，如未加特别说明，一般都是指函数的最小正周期.对于某些周期函数，不一定存在最小正周期.(6)奇、偶函数的图象特征.①奇函数的图象关于原点成中心对称图形，反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的对称图形，则这个函数是奇函数，即若f （x ）为奇函数，（x ，f （x ））在它的图象上，（－x ，－f （x ））也在它的图象上，也就是说，若f （x ）是奇函数，把f （x ）的图象绕原点旋转180°后，曲线与f （x ）的图象重合.②偶函数的图象关于y 轴对称，反之，如果一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数是偶函数.即若f （x ）是偶函数，（x ，f （x ））在它的图象上，（－x ，f （x ））也在它的图象上，也就是说，若f （x ）是偶函数，把f （x ）的图象沿y 轴对折，曲线与f （x ）的图象重合.(7)移图与移轴是相对的，把图象向右（左）平移ϕ（ϕ>0）个单位，相当于把y 轴向左（右）平移ϕ（ϕ>0）个单位；把图象向上（下）平移k （k >0）个单位，相当于把x 轴向下（上）平移k （k >0）个单位，移轴比移图更容易作出函数的图象.2.学以致用:(1)函数22cos y x =的一个单调增区间是 A ．(,)44ππ-B ．(0,)2π C ．3(,)44ππ D ．(,)2ππ (2)已知函数x x x f sin )(⋅=的图象是下列两个图象中的一个，请你选择后再根据图象作出下面的判断：若)2,2(,21ππ-∈x x 且)()(21x f x f <，则（ ）A ．1x ＞2xB ．1x ＋2x ＞0C ．1x ＜2xD ．2221x x <(3)要得到y x 的图象，只需将函数24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有的点的( )A.横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）,再向左平行移动π个单位长度 B.横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平行移动π个单位长度C.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度 D.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度(4)已知函数2π()cos 12f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，1()1sin 22g x x =+． （I ）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值． （II ）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间． 答案:(1)D 解析: 22cos cos21y x x ==+, 令222,k x k k Z πππ-≤≤∈,解之得,2k x k k Z πππ-≤≤∈, 取1k =可得函数的单调增区间为[,]2ππ, 故应选D.(2)D 解析:x x x f sin )(⋅= 是偶函数, ∴选取如下图象：当2<<x 时,有,21x x <则12()()f x f x <当12120,()()2x x x f x f x π-<<><时有则而题意),2,2(,21ππ-∈x x 且)()(21x f x f <,则应有2221x x <,故选D. (3)C 解析:cos y x =的周期是24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期的2倍，从周期的变化上知道横坐标应该伸长.排除A 、B.24y x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的横坐标伸长2倍后变成了14y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将y x 化成正弦形式为22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据口诀“左加由减”得2y 由1y 向右移动4π.本题答案选C(4)解析:（I ）由题设知1π()[1cos(2)]26f x x =++． 因为0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，所以0π26x +πk =， 即0 π2π6x k =-（k ∈Z ）． 所以0011π()1sin 21sin(π)226g x x k =+=+-．当k 为偶数时，01π13()1sin 12644g x ⎛⎫=+-=-= ⎪⎝⎭， 当k 为奇数时，01π15()1sin 12644g x =+=+=． （II ）1π1()()()1cos 21sin 2262h x f x g x x x ⎡⎤⎛⎫=+=++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1π3113cos 2sin 2sin 2262222x x x x ⎫⎡⎤⎛⎫=+++=++⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭ 1π3sin 2232x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． 当πππ2π22π232k x k -++≤≤，即5ππππ1212k x k -+≤≤（k ∈Z ）时， 函数1π3()sin 2232h x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是增函数， 故函数()h x 的单调递增区间是5ππππ1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，（k ∈Z ）． 3.易错分析:(1)图像变换要特别注意是“变量”的变化，而不是角的变化.(2)图像变化时,要注意先相位变换后周期变换与先周期变换后相位变换的差异. (3)求三角函数式的值域或最值时，要特别注意三角函数本身的有界性.(4)求三角函数式的最小正周期时,要尽可能的化为只含一个三角函数的式子,否则很容易出现错误.判断函数的奇偶性,要首先判断函数的定义域是否关于原点对称,若不对称,则函数不具有奇偶性.(5)求三角函数的最小正周期和单调区间,要注意等价变换和化归思想的运用.【能力训练】学练结合，融会贯通一、选择题:1.下列函数中，图像的一部分如右图所示的是( )A sin()6y x π=+ B.sin(2)6y x π=- C.cos(4)3y x π=- D.cos(2)6y x π=-2.函数y ＝sin(2x +3π)的图象可由函数y =sin2x 的图象经过平移而得到，这一平移过程可以是 ( )A ．向左平移6π B ．向右平移6π C ．向左平移12π D ．向右平移12π 3.函数sin y x =的一个单调增区间是（ ） A ．ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭， B ．3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭，C ．3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，D ．32π⎛⎫π⎪2⎝⎭， 4.函数)24sin(lg x y -=π的单调增区间是（ ）A ．)(]8,85(Z k k k ∈--ππππB ．)()8,8[Z k k k ∈+-ππππ()y f x = C ．)(]8,83(Z k k k ∈--ππππD ．)()83,8[Z k k k ∈+-ππππ 5.将函数y =sin x －3cos x 的图象沿x 轴向右平移a 个单位(a >0)，所得图象关于y 轴对称，则a 的最小值为（ ）A ．76π B ．2π C ．6π D ．3π6.已知函数()f x 是定义在)3,3(-上的奇函数，当30<<x 时，)(x f 的图象如图所示，则不等式0cos )(<x x f 的解集是 ( )A ．(3,)(0,1)(,3)22ππ--⋃⋃B ．(,1)(0,1)(,3)22ππ--⋃⋃C ．(3,1)(0,1)(1,3)--⋃⋃D ．(3,)(0,1)(1,3)2π--⋃⋃二、填空题:7.函数),(cos sin 2ππ-∈+=x xx y 有最 值是 .8.函数[]π2,0|,sin |2sin )(∈+=x x x x f 的图象与直线k y =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是__________9.若()sin()sin()(0)44f x a x b x ab ππ=++-≠是偶函数,则有序实数对(,a b )可以是 . (写出你认为正确的一组数即可).10.规定一种运算：⎩⎨⎧>≤=⊗b a b ba ab a ,,，例如：1⊗2=1，3⊗2=2，则函数x x x f cos sin )(⊗=的值域为 .三、解答题:11.已知函数22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++，R x ∈. (Ⅰ)求函数()f x 图象的对称中心坐标； (Ⅱ)若11()25x f =，且π<<x 0，求x x sin cos -的值.12.已知集合}0,|||{><-=a ax a x x A ，若x x x f ππcos sin )(-=在A 上是增函数，求a 的取值范围．13.已知函数sin cos y a x b x c =++的图象上有一个最低点11(,1)6π，如果图象上每点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的3π倍，然后向左平移１个单位可得()y f x =的图象，又知()3f x =的所有正根依次为一个公差为３的等差数列，求()f x 的解析式，最小正周期和单调递减区间．14.如图，函数2cos()(y x x ωθ=+∈R ，π00)2>ωθ，≤≤的图象与y轴相交于点(0，且该函数的最小正周期为π．（Ⅰ）求θ和ω的值；（Ⅱ）已知点π02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，点P 是该函数图象上一点，点00()Q x y ，是PA的中点，当02y =，0ππ2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求0x 的值．【能力训练】参考答案 一、选择题:1. D2. A3. C4. C5. C6. B 二、填空题:7. 大458. 31<<k 9. (1,-1) (只要填满足0a b +=的一组数即可) 10. ]22,1[- 三、解答题: 11. 解析:)2cos 1(232sin 22cos 1)(x x x x f +++-=22cos 2sin ++=x x 2)42sin(2++=πx .令ππk x =+42 知 82ππ-=k x ， Z k ∈.故函数)(x f 的图象的对称中心的坐标为)2,82(ππ-k （Z k ∈）.（II ）由11()25x f =, 得1sin cos 5x +=, 平方得 242sin cos 25x x =- .又).,0(π∈x 故 0s i n>x ， 0cos <x∴7cos sin 5x x -==- 即7cos sin 5x x -=-. 12.解析:由||x a ax -<得ax x a ax -<-<,所以(1)(1)a x aa x a+>⎧⎨-<⎩.当01a <<时,(,)11a a A a a =+-; 当a ≥1时,(,)1a A a=+∞+,又()sin cos )4f x x x x ππππ=-=-的单调递增区间为13[2,2],()44k k k Z -+∈,显然,当a ≥1时,()f x 在A 上不可能是增函数, 因此, 当01a <<,要使()f x 在(,)11a a A a a =+-上是增函数,只有13(,)[,]1144a a a a ⊆-+-, 所以01314a a a <<⎧⎪⎨≤⎪-⎩,解得0a <≤37,故a 的范围为0a <≤37.13.解析:由已知有sin cos )y a x b x c x c ϕ=++=++． 而函数sin cos y a x b x c =++的图象上有一个最低点11(,1)6π，所以得112a c c -+==即2221()2a b a b +=-+⇒=，故12||c a -=． 代入得2sin()3y a x c π=-+.经变换后有()2sin3f x a x c π=+．故()f x 最小正周期为6T =．当0a >时，则12c a -=，且()(1)sin3f x c x c π=-+．又知()3f x =的所有正根依次为一个公差为３的等差数列，故曲线()y f x =与曲线3y =的相邻交点间的距离都相等． 故由三角函数图象的性质得直线3y =要么与曲线()y f x =相切，即过()y f x =的最高点或最低点，要么过曲线()y f x =的所有对称中心． 而又已知函数sin cos y a x b x c =++的图象上有一个最低点11(,1)6π，故直线3y =与曲线()y f x =相切时只可能在最高点处相切．但此时公差为一个周期６，这与已知矛盾．又当sin03x π=时，310c a =⇒=>，此时的公差为半个周期３，这与已知相符合．故()2sin 33f x π=+．令33922,[6,6]()23222k x k k Z x k k k Z πππππ+≤≤+∈⇒∈++∈．故此时()f x 的单调递减区间为39[6,6]()22k k k Z ++∈．当0a <时，则12c a -=-，且()(1)sin 3f x c x c π=-+．同理当sin03x π=时，310c a =⇒=-<，此时的公差为半个周期３，这与已知相符合．故()2sin 33f x π=-+．令3322,[6,6]()23222k x k k Z x k k k Z πππππ-≤≤+∈⇒∈-+∈．故此时()f x 的单调递减区间为33[6,6]()22k k k Z -+∈．当0a =时，与已知矛盾．综合以上有()2sin33f x π=+或()2sin 33f x π=-+．14.解析:（Ⅰ）将0x =，y =2cos()y x ωθ=+中得cos θ=， 因为π02θ≤≤，所以π6θ=． 由已知πT =，且0ω>，得2π2π2T πω===．（Ⅱ）因为点π02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，00()Q x y ，是PA 的中点，02y =．所以点P 的坐标为0π22x ⎛-⎝．又因为点P 在π2cos 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上，且0ππ2x ≤≤，所以05πcos 46x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 07π5π19π4666x -≤≤，从而得05π11π466x -=或05π13π466x -=， 即02π3x =或03π4x =．。

高考数学函数答题方法和技巧

高考数学函数答题方法和技巧

高考数学函数答题方法和技巧作为高考数学中的一大难点，函数题一直是考生们头疼的问题。

在解题过程中不仅需要掌握相关的知识，还要有一定的答题技巧和方法。

下面将从函数的定义、图像、性质、思路和答题技巧等方面，详细介绍高考数学函数答题方法和技巧。

一、函数的定义函数是数学中的一个概念，是指一个自变量和对应的因变量之间的关系。

一般来说，函数可以用符号f(x)来表示，其中x为自变量，f(x)为因变量。

函数在数学中有着非常广泛的应用，无论是代数、几何还是概率等等都会涉及到函数的使用。

二、函数图像函数图像是指将函数在坐标系中绘制出来的图形。

绘制函数图像需要掌握函数图像的画法和变形规律。

在绘制函数图像时，具体步骤可以分为以下几步：1.确定坐标系：在平面坐标系中确定横、纵坐标轴及刻度值。

2.确定函数的定义域和值域。

3.确定函数的基本型：包括一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

4.画出基本函数的图像。

5.根据题目给出的变形规律，对基本函数进行变形。

6.根据给定的点或者函数值，在图像中定位点。

三、函数性质函数性质是高考数学中的重要内容，它涉及到函数的连续性、单调性、奇偶性、周期性等等。

掌握函数性质可以在解题时更快更准确地作出判断。

下面分别介绍一下各种函数性质。

1.连续性：如果函数在一个区间内的每一点与其邻近点之差可以趋近于零，则该函数在该区间内是连续的。

2.单调性：若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增，则在同一区间内任取两个实数x1和x2，有f(x1)<f(x2)。

3.奇偶性：如果满足f(-x)=-f(x)，则称函数f(x)是奇函数；如果满足f(-x)=f(x)，则称函数f(x)是偶函数。

4.周期性：如果存在正常数T使得对于任意x，都满足f(x+T)=f(x)，则函数称为周期函数。

周期T称为函数的周期。

四、函数思路在解题时掌握正确的思考方法，是解决难题的关键。

下面介绍一些常用的函数思路。

1.分段讨论法对于复杂函数，可以将其拆分成多段，分别处理每一段，最后再进行综合。

2018年高考数学热门考点与解题技巧考点3函数的图象与性质

2018年高考数学热门考点与解题技巧考点3函数的图象与性质

考点3 函数的图象与性质函数的奇偶性题型1 函数的单调性（单调区间） 例1 判断函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上的单调性．法二：y ＝x ＋2x ＋1＝1＋1x ＋1. 因为y ＝x ＋1在(－1，＋∞)上是增函数，所以y ＝1x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数， 所以y ＝1＋1x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数．即函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数． 【解题技巧】判断函数的单调性一般有四种方法：定义法、图像法、复合函数单调性法和导数法.变式1.（2017山东理15）若函数()e x f x （e 2.71828= 是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 .①()2x f x -=②()3x f x -=③()3f x x =④()22f x x =+解析 ①()e =e e 22xxxxy f x -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R 上单调递增，故()2xf x -=具有M 性质；②()e =e e 33xx x x y f x -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，故()3xf x -=不具有M 性质；③()3=e e xxy f x x =⋅，令()3e xg x x =⋅，则()()322e e 3e3xxxg x x x x x '=⋅+⋅=+，所以当3x >-时，()0g x '>；当3x <-时，()0g x '<，所以()3=e e xx y f x x =⋅在(),3-∞-上单调递减，在()3,-+∞上单调递增，故()3f x x =不具有M 性质；④()()2=e e 2x x y f x x =+.令()()2e 2x g x x =+，则()()()22e2e 2e 110xx x g x xx x ⎡⎤'=++⋅=++>⎣⎦，所以()()2=e e 2x x y f x x =+在R 上单调递增，故()22f x x =+具有M 性质．综上所述，具有M 性质的函数的序号为①④.例2. 已知函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a 的取值范围．变式1. 已知f (x )是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )，求x 的取值范围．解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x －2≤1－1≤1－x ≤1，解得1≤x ≤2，①因为f (x )是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )， 所以x －2<1－x ，解得x <32.②由①②得，1≤x <32. 所以满足题设条件的x 的取值范围为[1，32)．题型2函数的奇偶性【例3】判断下列函数的奇偶性.3|3|36)(2-+-=x x x f ； 11)(22-+-=x x x f ； )1(log )(22++=x x x f ； 2|2|)1(log )(22---=x x x f ； ⎩⎨⎧>+-<+=)0()0()(22x x x x x x x f .因为对任意实数x ，都有0||12≥+>++x x x x ，故定义域为R.且)()1(log 11(log )1(log )(222222x f x x xx x x x f -=++-=++=-+=-），故)(x f 为奇函数.由100102|2|012<<<<-⇒⎩⎨⎧≠-->-x x x x 或，定义域关于原点对称. 此时，xx x x x f --=---=)1(log 2|2|)1(log )(2222，故有)()(x f x f -=-，所以)(x f 为奇函数.当<x 时，)()(,02x f x x x f x -=--=->-；当>x 时，)()(,02x f x x x f x -=-=-<-.故)(x f 为奇函数.【解题技巧】判断函数的奇偶性，常用以下两种方法：（1）定义法.①首先看定义域是否关于原点对称；②若)()(x f x f -=-，则函数)(x f 为奇函数；若)()(x f x f =-，则函数)(x f 为偶函数.（2）图像法.根据函数图像的对称性进行判断，若函数)(x f 的图像关于原点中心对称，则)(x f 为奇函数；若函数)(x f 的图像关于y 轴对称，则)(x f 为偶函数.题型3函数的奇偶性和单调性的综合题型3 单调性与奇偶性的综合应用【2017，5】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是（ ）A ．[2,2]-B ． [1,1]-C ． [0,4]D ． [1,3]变式1..（2017江苏11）已知函数()312e e xxf x x x =-+-， 其中e 是自然对数的底数．若()()2120f a f a -+…，则实数a 的取值范围是 ．解析 易知()f x 的定义域为R . 因为()()()312e e xx f x x x ---=---+-()312e exx x x f x =-+-+=-，所以()f x 是奇函数．又()2213e 3e02xx f x x x +'=-+……，且()0f x '=不恒成立，所以()f x 在R 上单调递增． 因为()()2120f a f a -+…，所以()()()22122f a f a f a --=-…，于是212a a --…，即2210a a +-…，解得11,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．故填11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．变式2.（2015湖南理5）设函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，则()f x 是（ ）.A.奇函数，且在()0,1上是增函数B.奇函数，且在()0,1上是减函数C.偶函数，且在()0,1上是增函数 D.偶函数，且在()0,1上是减函数题型4 函数的周期性例 5 已知函数)(x f 对任意实数x 都满足)(1)1(x f x f =+，若8)1(=f ，则(2018)f =________. 解析1)(1(,)(1)1(=⋅+=+x f x f x f x f ），有1)2()1(=+⋅+x f x f ，所以)2()(+=x f x f ，故2=T ，所以11(2018)(0)(1)8f f f ===.题型5 识图(知式选图、知图选式) 例6 函数22xy x =-的图像大致是（）分析观察四个选项给出的图像，区别在于函数零点的个数及单调性不同.解析解法一：当0x ≤时，函数2x y =单调递增，同时函数2y x =-单调递增，故函数()f x 在(],0-∞上单调递增，排除,C D ；当0x >时，()f x 存在两个零点122,4x x ==，所以排除选项B .故选A .解法二：如图2-22所示，有图像可知，函数2xy =与函数2y x =的交点有3个，说明函数22x y x =-的零点有3个，故排除选项,B C ；当0x x <时，22xx >成立，即220x y x =-<，故排除选项D ，故选A .【解题技巧】利用函数的性质（如定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、特殊点等）排除错误选项，从而筛选出正确答案题型6 函数图像的应用例7 函数0.5()2log 1xf x x =-的零点个数为（ ）.1A.2B.3C.4D【解题技巧】利用函数图像判断方程解的个数.由题设条件作出所研究对象的图像，利用图像的直观性得到方程解的个数.例8.（2017全国3理15）设函数()1020x x x f x x +⎧=⎨>⎩，，…，则满足()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭的x 的取值范围是_______.1)2-)【解题技巧】利用函数图像求解不等式的解集及参数的取值范围.先作出所研究对象的图像，求出它们的交点，根据题意结合图像写出答案变式1. 设函数1221(0)()(0)x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩，若0()1f x >，则0x 的取值范围是（）.(1,1)A - .(1,)B -+∞ .(,2)(0,)C -∞+∞.(,1)(1,)D -∞-+∞分析作出函数()y f x =与1y =的图像，由图像得不等式的解集.解析作出函数()y f x =与1y =的图像，如图所示，得0()1f x >所对应的0x 的取值范围是(,1)(1,)-∞-+∞ ，故选D.【高考真题链接】1.（2014 天津理4）函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间是（ ）.A.()0,+¥B.(),0-¥C.()2,+?D.(),2-?解析：选D.2.（2014 北京理 2）下列函数中，在区间()0,+∞上为增函数的是（ ）.A.y =()21y x =- C.2x y -= D.()0.5log 1y x =+解析：选A3.（2014 陕西理 7）下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ）.A.()12f x x = B.()3f x x = C. ()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D. ()3x f x =解析：选D.5.(2015四川理9)如果函数()()()()212810,02f x m x n x m n =-+-+厖在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，那么mn 的最大值为（ ）.A. 16B. 18C. 25D.812292m n+剟，所以812mn….由2n m=且218m n+=，得92m=>，故应舍去.要使得mn取得最大值，应有()2182,8m n m n+=<>.所以()()1821828816mn n n=-<-⨯⨯=.所以最大值为18.故选B.6.（2015北京理5）已知,x y∈R，且0x y>>，则（）.A.11x y-> B.sin sin0x y-> C.1122x y⎛⎫⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.ln ln0x y+>选项C正确：由指数函数1()2tf t⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，可得110022x yx y⎛⎫⎛⎫>>⇒<<⇒⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1122x y⎛⎫⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；选项D错误：举一个反例如，ex=，1ey=.,x y满足0x y>>，但ln ln0x y+=.故选C.7.（2015安徽理2）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）.A.cosy x= B.siny x= C.lny x= D.21y x=+解析 对于选项A ，cos y x =是偶函数，且由cos 0x =得2x k π=+π，k ∈Z ， 故A 正确；对于选项B ，sin y x =是奇函数，故B 错误；对于选项C ，ln y x =的定义域为()0,+∞，故ln y x =不具备奇偶性，故C 错误；对于选项D ，21y x =+是偶函数，但210x +=在实数范围内无解，即21y x =+不存在零点，故D 错误．故选A ．8.（2015福建理2）下列函数为奇函数的是（ ）.A ．y ．sin y x = C ．cos y x = D ．e e x xy -=-解析 函数y 是非奇非偶函数；sin y x =和cos y x =是偶函数；e e x x y -=-是奇函数．故选D ．9.（2015广东理3）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）.A ．y =．1y x x =+ C ．122xx y =+ D ．e x y x =+ 解析 令()e xf x x =+，则()11e f =+，()111e f --=-+，即()()11f f ≠-，()()11f f -≠-，所以e xy x =+既不是奇函数也不是偶函数，而A,B,C 依次是偶函数、奇函数、偶函数．故选D ．10.（2015全国I 理13）若函数()(ln =f x x x 为偶函数，则=a .解析 由题意可知函数(ln y x =是奇函数，所以(ln x +(ln 0x -=，即 ()22ln ln 0a x x a +-==，解得1a =．11.（2016全国丙理15）已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点()13-，处的切线方程是______________.解析：210x y ++=解法二：由函数性质来求切线方程.因为()f x 为偶函数，所以若()f x 在点()()00,x f x 处的切线方程为y kx b =+，则()f x 在点()()00,x f x --处的切线方程为y kx b =-+.因此，先求出()y f x =在点()1,3--处的切线方程.又()()'130f x x x=+<，得()'12f -=，所以()f x 在点()1,3--处的切线方程为21y x =-， 所以()f x 在点3（1，-）处的切线方程为21y x =--，即210x y ++=. 12.（2014 新课标 2 理 15）已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =. 若()10f x ->，则x 的取值范围是 .解析：(1,3)-13.（2014 福建理7）已知函数()21,0cos ,0x x f x x x ⎧+>=⎨⎩…则下列结论正确的是（ ）.A. ()f x 是偶函数B. ()f x 是增函数C. ()f x 是周期函数D. ()f x 的值域为[)+∞-,114.（201 4 湖北理10）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x …时，()()2221232f x x a x a a =-+--.若()(),1x f x f x ∀∈-R …，则实数a 的取值范围为（ ）.A.11,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.66⎡-⎢⎣⎦C. 11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D.33⎡-⎢⎣⎦15.（2014 湖南理3）已知()f x ，()g x 分别是定义在N 上的偶函数和奇函数，且()()321f x g x x x -=++，则()()11f g +=（ ）.A.3-B.1-C. 1D. 316.（2014 湖南理10）已知函数()21e 2xf x x =+-()0x <与()()2ln g x x x a =++图像上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）.A.⎛-∞ ⎝B.(-∞C.⎛ ⎝D. ⎛⎝17.（2017天津理6）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）.A.a b c <<B.c b a <<C.b a c <<D.b c a <<18.(2017北京理5)已知函数()133xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x （ ）. A.是奇函数，且在R 上是增函数 B.是偶函数，且在R 上是增函数 C.是奇函数，且在R 上是减函数 D.是偶函数，且在R 上是减函数解析 由题知()133x x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()113333xx x x f x f x --⎛⎫-=-=-=- ⎪⎝⎭，所以()f x 为奇函数.又因为3x 是增函数，13x⎛⎫- ⎪⎝⎭也是增函数，所以()f x 在R 上是增函数.故选A.19.（2017全国1理5）函数()f x 在(),-∞+∞单调递减，且为奇函数．若()11f =-，则满足()211x f --剟的x 的取值范围是（ ）. A ．[2,2]-B ． [1,1]-C ． [0,4]D ． [1,3] 解析 因为()f x 为奇函数，所以()()111f f -=-=，于是()121f x --剟等价于()()()121f f x f --剟，又()f x 在()-∞+∞，单调递减，所以121x --剟，所以3x 1剟. 故选D.20.（2016浙江理5）设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期（ ）. A.与b 有关，且与c 有关 B.与b 有关，但与c 无关 C.与b 无关，且与c 无关 D.与c 无关，但与c 有关21.（2016江苏11）设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[)1,1-上(),102,015x a x f x x x +-<⎧⎪=⎨-<⎪⎩……，其中a ∈R ，若5922f f ⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()5f a 的值是 .25- 解析 由题意得511222f f a ⎛⎫⎛⎫-=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，91211225210f f ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得35a =，则()()()531f a f f ==-215a =-+=-.22.（2017江苏14）设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[)0,1上，()2,,x x D f x x x D⎧∈=⎨∉⎩．其中集合*1,n D x x n n ⎧⎫-==∈⎨⎬⎩⎭N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ．从而10nmqp =，则10mn q p ⎛⎫= ⎪⎝⎭，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ，于是lg x 不可能与x D ∈内的部分对应相等，所以只需要考虑lg x 与每个周期内x D ∉部分的交点.如图所示，通过函数的草图分析，图中交点除()1,0外，其它交点均为x D ∉的部分． 且当1x =时，()1111lg 1ln10ln10x x x x =='==<，所以在1x =附近只有一个交点， 因而方程解的个数为8个．故填8．23.(2015安徽理9)函数()()2ax bf x x c +=+的图像如图所示，则下列结论成立的是（ ）.A.0a >，0b >，0c <B.0a <，0b >，0c >C.0a <，0b >，0c <D.0a <，0b <，0c <24.（2016全国乙理7）函数22e xy x =-在[]2,2-的图像大致为（ ）.A. B. C. D. D 分析 对于函数图像识别题一般是利用函数性质排除不符合条件的选项. 解析 设()22exf x x =-，由()228e f =-∈()0,1，可排除A （小于0），B （从趋势上超过1）；又()0,2x ∈时，()4e x f x x '=-，()()()014e 0f f ''⋅=--<， 所以()f x 在()0,1上不是单调函数，排除C.故选D. 25.(2013重庆理6）若a b c<<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a=--+--+--的两个零点分别位于区间（ ）. A. ()a b ，和()b c ，内 B. ()a -∞，和()a b ，内 C. ()b c ，和()c +∞，内 D. ()a -∞，和()c +∞，内 解析：A26.（2014 山东理 8）已知函数()21f x x =-+,()kxx g =.若方程()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( ).A.102⎛⎫ ⎪⎝⎭，B.112⎛⎫⎪⎝⎭， C.()1,2 D.()2+∞，解析：B27.（2014 江苏理 13）已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[)0,3x ∈时，()2122f x x x =-+．若函数()y f x a =-在区间[]3,4-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是 ． 解析：102⎛⎫ ⎪⎝⎭，28.（2014 天津理 14）已知函数()23f x x x =+，x R Î.若方程()10f x a x --=恰 有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为__________. 解析：(0,1)(9,)+?29.（2014 浙江理 15）设函数()22,0,0x x x f x x x ⎧+<⎪=⎨-⎪⎩…，若()()2f f a …，则实数a 的取值范围是______.解析：(-?30.（2015湖南理15）已知()32,,x x af x x x a⎧=⎨>⎩…，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则实数a 的取值范围是.图（1） 图（2） 图（3）31.（2015天津理8）已知函数()()22,22,2x x f x x x ⎧-⎪=⎨->⎪⎩… ，函数()()2g x b f x =-- ， 其中b ∈R ，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ）. A.7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B.7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C.70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.7,24⎛⎫⎪⎝⎭即2220()(2)202582x x x y f x f x x x x x ⎧++<⎪=+-=⎨⎪-+>⎩，，，剟()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--，所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图像的4个公共点，由图像可知724b <<.32.（2015山东理10）设函数311()21xx x f x x -<⎧=⎨⎩≥，，,则满足()()()2f a f f a =的a 的取值范围是( ). A ．213⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．[]01，C ．23⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，D ．[)1+∞，.解析 因为()()()2=f af f a ，所以()1f a ?．①当1a <时，()311=-f a a …， 解得213a <…；②当1a …时，()21=a f a …，解得1a …． 综上所述，23a …．故选C ．33.（2015全国I 理12）设函数()()e 21x f x x ax a=--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x 使得()00f x <，则a 的取值范围是（ ）.A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭则()()1010f f -⎧⎪⎨⎪⎩……，即13e 20e 0a -⎧-+⎨⎩……，解得32e a …，又1a <，所以a 的取值范围是3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选D. 34.（2017山东理10）已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图像与y m =的图像有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（ ）.A.(])0,1⎡+∞⎣B.(][)0,13,+∞C.()⎡+∞⎣D.([)3,+∞解析 解法一：()222121y mx m x mx =-=-+过点()0,1且对称轴为1x m=.当01m <<时，11m>，从而2221y m x mx =-+在区间()0,1上单调递减，函数()21y mx =-与y m 的草图如图所示，此时有一个交点；当1m >时，11m <，所以2221y m x mx =-+在区间10m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在区间1,1m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.若函数()21y mx =-与y m 有一个交点，草图如图所示，则()211m m ⨯-?，解得3m …；解法二：若m =，则)[]21,0,1y x =-∈的值域为[]0,1；[]0,1y x =∈的值域为+，所以两个函数的图像无交点，故排除C 、D ；若3m =，则点()1,4是两个函数的公共点.故选B.。

2018高考数学知识点复习：函数

2018高考数学知识点复习：函数

2018 年高考数学知识点复习：函数
1、函数定义域、值域求法综合
2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略
3、恒成立问题的求解策略
4、反函数的几种题型及方法
5、二次函数根的问题——一题多解
指数函数 y=a^x
a^a*a^b=a^a+b（a0,a 、b 属于 Q ）
（a^a ）^b=a^ab （a0,a 、b 属于 Q）
（a b ）^a=a^a*b^a （a0,a 、b 属于 Q）
指数函数对称规律：
1、函数 y=a^x与 y=a^-x关于 y 轴对称
2、函数 y=a^x与 y=-a^x关于 x 轴对称
3、函数 y=a^x与 y=-a^-x关于坐标原点对称对数函数 y=loga^x
假如，且，那么：
○1?+;
○2-;
○3.
注意：换底公式
（，且；，且；）。

幂函数 y=x^a （a 属于 R）
1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，此中为常数。

2、幂函数性质归纳。

（1）全部的幂函数在（0，+∞）都有定义而且图象都过点（1 ，1）；
（2）时，幂函数的图象经过原点，而且在区间上是增函数。

特
别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；
（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数。

在第一象限内，当
从右侧趋势原点时，图象在轴右方无穷地迫近轴正半轴，当趋于时，
图象在轴上方无穷地迫近轴正半轴。

精心整理，仅供学习参照。

备战2018年高考数学(理)之高频考点解密-解密03 函数及其性质 含解析

备战2018年高考数学(理)之高频考点解密-解密03 函数及其性质 含解析

备战2018年高考数学（理）之高频考点解密考点1 函数的定义域与值域题组一求函数的定义域调研1 函数y =的定义域是 A ．(0,1] B ．()0,+∞ C ．()1,+∞ D ．[)1,+∞【答案】D【解析】由题意知2log x 0,1x ≥∴≥，则函数2log y x =的定义域是[)1,+∞.故选D. 调研2 已知函数=的定义域是,则的定义域是 A ． B ． C ．D ．【答案】A 【解析】因为=的定义域是,所以,由,解得, 故的定义域为.选A ．☆技巧点拨☆求函数的定义域求解函数的定义域时要注意三式——分式、根式、对数式，分式中的分母不为零，偶次方根中的被开方数非负，对数的真数大于零．解决此类问题的关键在于准确列出不等式(或不等式组)，求解即可．确定条件时应先看整体，后看部分，约束条件一个也不能少． 对于抽象函数，（1）若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出． （2）若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．题组二 求函数的值域 调研3 函数的值域是A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】依题意，令，则，得，由，得，，则，即函数的值域是，故选A ．调研4 函数的最小值为 .【答案】14-【解析】()()()2222222111log 2log 1log log log 224f x x x x x x ⎛⎫⎡⎤=+=+=+- ⎪⎣⎦⎝⎭, 当21log 2x =-时,()f x 取得最小值，为14-，故填14-.☆技巧点拨☆求函数值域的常用方法求函数的值域，应根据各个式子的不同结构特点，选择不同的方法： ①观察法：对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到；②配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即通过配方把函数转化为能直接看出其值域的方法.求值域时一定要注意定义域的影响；③分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域.分离常数的目的是为了减少“变量”，变换后x 仅出现在分母上，这样x 对函数的影响就比较清晰了；④换元法：对于一些无理函数(如()f x ax b cx d =±±±)，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域； ⑤利用常见函数的值域；⑥数形结合法：作出函数图象，找出自变量对应的范围或分析条件的几何意义，在图上找出值域； ⑦单调性法； ⑧基本不等式法； ⑨判别式法； ⑩导数法.题组三 由函数的值域求参调研5A ，若[)0,A ⊂+∞，则实数a 的取值范围是________． 【答案】(],2-∞ 【解析】因为1e 2e xxy a =+-≥-a ,所以[)[)2,0,,A a =-+∞⊂+∞则20,2a a -≥≤. 考点2 分段函数 题组一 求函数值调研1 已知函数()()21222,3log 3,3m x x f x x x +⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，其中m ∈R ，则()34m f +=A ．2mB ．6C ．mD ．2m 或6【答案】A【解析】因为函数()()21222,3log 3,3m x x f x x x +⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，343m +>，所以()234log 42m m f m +==，故选A ．题组二 由函数值求参调研2 设函数()21,02,0ax x f x x x a x -≤⎧=⎨++>⎩，若()()11f f =，则a =__________．【答案】-3或-2【解析】由题意得()13f a =+，故可得()()()131ff f a =+=．①当30a +≤时，可得()131a a -+=，即()30a a +=，解得3a =-或0a =（舍去）．②当30a +>时，可得()()23231a a a ++++=，即29140a a ++=，解得2a =-或7a =-（舍去）． 综上，可得3a =-或2a =-．☆技巧点拨☆解决分段函数问题的注意事项分段函数易被误认为是多个函数，其实质是一个函数，其定义域为各段的并集，其最值是各段函数最值中的最大者与最小者，处理分段函数问题时，首先确定自变量的取值属于哪个区间，再选取相应的对应关系，离开分段区间讨论分段函数是毫无意义的.考点3 函数的图象 题组一 函数图象的辨识调研1 已知函数e ,e(=ln ,e x x f x x x ⎧≤⎨>⎩），则函数()e y f x =-的大致图象是A B C D【答案】B【解析】令()()e g x f x =-，则()()e e ,e e ln e ,e e x x g x x x -⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，化简得()()e e ,0ln e ,0xx g x x x -⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，因此()g x 在()()0,,,0+∞-∞上都是减函数.又()e 0eln e 0->-，故选B ．☆技巧点拨☆函数图象的识别与判断技巧1．方法1：特殊点法用特殊点法破解函数图象问题需寻找特殊的点，即根据已知函数的图象或已知函数的解析式，取特殊点，判断各选项的图象是否经过该特殊点，从而得正确的选项．在求函数值的过程中运算一定要认真，从而准确进行判断． 2．方法2：性质检验法已知函数解析式，判断其图象的关键：由函数解析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，根据这些性质对函数图象进行具体的分析和判断，即可得出正确选项．若能熟记基本初等函数的性质，则此类题就不攻自破． 3．方法3：导数法判断复杂函数的图象，常借助导数这一工具，先对原函数进行求导，再利用导数判断函数的单调性、极值或最值，从而对选项进行筛选．要注意函数求导之后，导函数和原函数的定义域会有所不同，我们必须在原函数的定义域内研究函数的极值和最值． 4．方法4：图象变换法有关函数y ＝f (x )与函数y ＝af (bx ＋c )＋h 的图象问题的判断，熟练掌握图象的平移变换(左加右减，上加下减)、对称变换、伸缩变换等，便可顺利破解此类问题．题组二 函数图象的应用 调研2 已知函数的图象如图所示,则函数的解析式可能是A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】易知函数的图象关于轴对称,则函数为偶函数,故排除选项B,又,故排除选项D, 又,故排除选项C.故选A ．考点4 函数的性质 题组一 函数的单调性调研1 ()f x =()212log 2x x -的单调递增区间是A ．()1,+∞B ．()2,+∞C ．(),0-∞D ．(),1-∞【答案】C【解析】令220t x x =->得x>2或x <0,且在(),0-∞上是减函数,而12log y t =是减函数,由复合函数的单调性可知,()f x =()212log 2x x -的单调递增区间是(),0-∞.选C ．调研2 已知函数()f x =()35,12,1a x x a x x-+≤>⎧⎪⎨⎪⎩是(),-∞+∞上的减函数,那么a 的取值范围是A ．(0,3)B ．(]0,3C ．(0,2)D ．(]0,2 【答案】D【解析】∵()f x 为R 上的减函数，∴1x ≤时，()f x 单调递减，即30a -<，则3a <；1x >时，()f x 单调递减，即0a >,即2a ≤. 综上，a 的取值范围是02a <≤,故选D. 题组二 函数的奇偶性和周期性调研3 已知函数f (x )＝2×4x－a 2x的图象关于原点对称，g (x )＝ln(e x＋1)－bx 是偶函数，则log a b ＝ A ．1 B ．－1 C ．－12D ．14【答案】B【解析】由题意得f (0)＝0，∴a ＝2.∵g (1)＝g (－1)，∴ln(e ＋1)－b ＝ln (1e ＋1)＋b ，∴b ＝12，∴log 2 12＝－1.故选B ．调研4 已知f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x＋log 2x ，则f (2015)＝ A ．－2 B ．12C ．2D ．5【答案】A【解析】因为f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，所以()4f x +＝f (x )，f (－x )＝－f (x )，f (1)＝21＋log 21=2，∴f (2015)＝f (-1)＝－f (1)＝－2，故选A ． 题组三 函数性质的综合应用 调研5 已知奇函数在上单调递减,且,则不等式的解集为________.【答案】【解析】因为奇函数在上单调递减,且,所以函数在上单调递减,且, 由得或,解得或,即不等式的解集为.故填.调研6 函数y ＝f (x )在区间[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，则下列结论成立的是 A ．f (1)<f (52)<f (72)B ．f (72)<f (1)<f (52)C ．f (72)<f (52)<f (1)D ．f (52)<f (1)<f (72)【答案】B【解析】因为函数f (x ＋2)是偶函数，所以f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，即函数f (x )的图象关于x ＝2对称， 又因为函数y ＝f (x )在区间[0,2]上单调递增，所以函数y ＝f (x )在区间[2,4]上单调递减． 因为f (1)＝f (3)，72>3>52，所以f (72)<f (3)<f (52)，即f (72)<f (1)<f (52)，故选B ．☆技巧点拨☆将函数的周期性与奇偶性、单调性综合在一起考查逐渐成为高考的一个热点，解决此类问题需掌握： 1．判断函数单调性的一般规律对于选择、填空题，若能画出图象一般用数形结合法；而对于由基本初等函数通过加、减运算或复合运算而成的函数常转化为基本初等函数单调性的判断问题；对于解析式为分式、指数函数式、对数函数式等较复杂的函数，用导数法；对于抽象函数，一般用定义法． 2．函数的奇偶性(1)确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称． (2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称． 3．记住几个周期性结论(1)若函数f (x )满足f (x ＋a )＝－f (x )(a ＞0)，则f (x )为周期函数，且2a 是它的一个周期． (2)若函数f (x )满足1()()a x f x f =+(a ＞0)，则f (x )为周期函数，且2a 是它的一个周期．考点5 指数函数、对数函数、幂函数 题组一 指数函数 调研1 已知函数的定义域和值域都是,则.【答案】4【解析】当01a <<时,()f x 单调递减,此时()()110011f a b f b -⎧-=+=⎪⎨=+=-⎪⎩,解得122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩,即4b a =;当1a >时,()f x 单调递增,此时()()111010f a b f b -⎧-=+=-⎪⎨=+=⎪⎩,无解.所以4b a =. 题组二 对数函数 调研2 已知,则 A ． B ． C ．D ．【答案】B【解析】,即.又=,所以.选B ．题组三 幂函数与二次函数 调研3 已知幂函数在上是增函数,则实数m 的值是_________．【答案】1 【解析】因为幂函数在上是增函数,所以,解得,又因为,所以.故填1.调研4 已知()2f x ax bx c =++（,,a b c ∈R ）.（1）若()11f =-，且()0f x <的解集为()0,2，求函数()f x 的解析式；（2）若关于x 的不等式()1204f x->对一切实数恒成立，求实数a 的取值范围.【解析】（1）由()0f x <的解集为()0,2可知0a >且()()2f x ax x =-. 则()111f a =-⇒=()22f x x x ⇒=-.（2）()()22120224f x ax x --->⇔>2220ax ax ⇔-+>的解集为R .当0a =时，满足题意； 当0a ≠时，由202480a a a a ∆>⇒<<=-<⎧⎨⎩.综上，[)0,2a ∈.☆技巧点拨☆1．利用指数函数与对数函数的性质比较大小（1）底数相同、指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较；底数相同、真数不同的对数值用对数函数的单调性进行比较．（2）底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数，可以引入中间量或结合图象进行比较． 2．对于含参数的指数、对数问题，在应用单调性时，要注意对底数进行讨论，解决对数问题时，首先要考虑定义域，其次利用性质求解．1． （山东省济宁市2017-2018学年度高三上学期期末考试）已知函数()()()log 320,1a g x x a a =-+>≠的图象经过定点M ，若幂函数()f x x α=的图象过点M ，则α的值等于A ．1-B ．12C ．2D ．3【答案】B此时()42g =,所以函数()()4,2g x M 的图象经过定点. 由题意得24α=，解得12α=.选B ． 2．（2017-2018学年山西省康杰中学高三上学期第一次月考）定义在R 上的函数()f x 满足()()()(),4f x f x f x f x -=-=+,且()1,0x ∈-时,()125x f x =+,则()2log 20f =A ．1B ．45C ．1-D ．45-【答案】C3．（2017-2018学年甘肃省天水市第一中学高三上学期第二学段期中考试）函数的单调递增区间是A．B．C．D．【答案】C【解析】令，解得∵函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，∴根据复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间是4．（重庆市巴蜀中学2017届高三上学期第一次月考）函数的最大值为,最小值为,则A．2 B．3C．6 D．12【答案】C5．（2017-2018学年上海市师范大学附属中学高三上学期期中考试）已知函数，则A．是奇函数,且在上是增函数B．是偶函数,且在上是增函数C．是奇函数,且在上是减函数D．是偶函数,且在上是减函数【答案】A【解析】因为函数,所以该函数是R上的增函数,又,所以函数是奇函数,故选A．6．（宁夏银川一中2018届高三第五次月考数学）已知点(),8m 在幂函数()()1nf x m x=-的图象上，设,,a b c 的大小关系为A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．b a c <<【答案】A【解析】∵点(),8m 在幂函数()()1nf x m x =-的图象上，∴()1118nm m m ⎧=-=⎪⎨⎪⎩-,解得23m n ==⎧⎨⎩, ∴()3f x x =,且()f x 在(),-∞+∞上单调递增,∴a c b <<,故选A. 7．（江西省K12联盟2018届高三教育质量检测）函数()()2244log x xf xx -=-的图象大致为A BC D【答案】B8．（2017-2018学年山东省曲阜市高三上学期期中考试）已知函数,,若,使得,则实数的取值范围是A．B．C．D．【答案】A9．（2017-2018学年安徽省六安市第一中学高三上学期第二次月考）计算:_____________.【答案】26【解析】==,故填.10．（2017-2018学年福建省德化一中、永安一中、漳平一中高三上学期三校联考数学）若函数,则函数的值域是_____________.【答案】【解析】当时,,所以=;当时,,所以.所以函数的值域是.11．（2018届江苏省泰州中学高三10月月考）已知函数若对任意的都有则实数的取值范围是_____________.【答案】12．（北京市丰台区2018届高三上学期期末考试数学）设函数()()f x x ∈R 的周期是3，当[)2,1x ∈-时，①132f ⎛⎫=⎪⎝⎭_____________； ②若()f x 有最小值，且无最大值，则实数a 的取值范围是_____________．【答案】①22；②51,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】①函数()()f x x ∈R 的周期是3，所以12131112622222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+===⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭; ②当20x -≤<时，() f x x a =+为增函数，所以()[)2,f x a a ∈-, 当01x ≤<时，()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，所以()1,12f x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.若()f x 有最小值，且无最大值，则1221a a -≤>⎧⎪⎨⎪⎩，解得512a <≤.故实数a 的取值范围是51,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.13．（2017-2018学年四川省成都外国语学校高三11月月考）已知函数.(1)若的值域为,求实数的取值范围; (2)若在内为增函数,求实数的取值范围【答案】(1)；(2)14．（2017-2018学年广东省深圳市高级中学高三11月月考）若二次函数满足,且.(1)求的解析式;(2)设,求在上的最小值的表达式．【答案】(1)()223f x x x =++；(2)()23,248,264112,6k k k k k k k ϕ<⎧⎪-++⎪=≤≤⎨⎪->⎪⎩. 【解析】(1)设()2(0)f x ax bx c a =++≠,由()03f =得3c =,故()23f x ax bx =++．因为()()123f x f x x +-=+,所以()()()22113323a x b x ax bx x ++++-++=+,即2ax a b ++23x =+,所以223a ab =⎧⎨+=⎩,解得1,2a b ==,所以()223f x x x =++.(2)()()()223g x f x kx x k x =-=+-+的图象是开口向上,以直线22k x -=为对称轴的抛物线,15．（2017-2018学年湖北省咸宁市高三重点高中联考）设函数且是定义域为的奇函数. (1)求的值; (2)若不等式对恒成立,求实数的最小值.【答案】(1)1；(2) 2 【解析】(1)因为是定义在上的奇函数,所以解得.(2)由(1)知因为所以解得或舍去),故则易知函数是上的减函数,因为,所以即在上恒成立,则即实数的最小值是2.16．（2017-2018学年安徽省六安市第一中学高三上学期第二次月考）已知函数是偶函数.(1)求的值;(2)若函数()y f x =的图象与直线12y x a =+没有交点,求a 的取值范围; (3)若函数()()[]122421,0,log 3f x xx h x m x +=+⋅-∈,是否存在实数m 使得()h x 的最小值为0,若存在,求出m 的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)1 2-；(2)(] ,0-∞；(3) 存在1m =-，使得()h x 的最小值为0.当12m-≤,即2m ≥-时，()()min 110,1t m m ϕϕ==+==-； 当132m <-<,即62m -<<-时,()2min 0,024m m t m ϕϕ⎛⎫=-=-== ⎪⎝⎭(舍去)； 当32m-≥,即6m ≤-时，()()min 3930,3t m m ϕϕ==+==-(舍去), ∴存在1m =-，使得()h x 的最小值为0.1．（2016新课标全国III 理科）已知432a =，254b =，1325c =，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b <<【答案】A【解析】因为422335244a b ==>=，1223332554c a ==>=，所以b a c <<，故选A ．【技巧点拨】比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；如果涉及对数，则联系对数的单调性来解决．2．（2017新课标全国Ⅰ理科）设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z【答案】D3．（2016新课标全国Ⅰ理科）若101a b c >><<，，则A ．c c a b <B ．c c ab ba <C ．log log b a a c b c <D ．log log a b c c <【答案】C4．（2017新课标全国Ⅰ理科）函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]- B ．[1,1]- C ．[0,4] D ．[1,3]【答案】D【解析】因为()f x 为奇函数且在(,)-∞+∞单调递减，要使1()1f x -≤≤成立，则x 满足11x -≤≤，从而由121x -≤-≤得13x ≤≤，即满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围为[1,3]，选D ．【名师点睛】奇偶性与单调性的综合问题，要充分利用奇、偶函数的性质与单调性解决不等式和比较大小问题，若()f x 在R 上为单调递增的奇函数，且12()()0f x f x +>，则120x x +>，反之亦成立.5．（2016新课标全国Ⅰ理科）函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图象大致为A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】函数f (x )=2x 2–e |x |在[–2,2]上是偶函数，其图象关于y 轴对称，因为22(2)8e ,08e 1f =-<-<，所以排除A,B 选项；当[]0,2x ∈时，()=4e xf x x '-有一零点，设为0x ，当0(0,)x x ∈时，()f x 为减函数，当0(2)x x ,∈时，()f x 为增函数．故选D ．【名师点睛】函数中的识图题多次出现在高考试题中,也可以说是高考的热点问题,这类题目一般比较灵活,对解题能力要求较高,故也是高考中的难点,解决这类问题的方法一般是利用间接法,即由函数性质排除不符合条件的选项. 6．(2015新课标全国Ⅰ理科)若函数f (x )=2ln()x x a x +为偶函数，则a =_______________. 【答案】1【解析】由题知2ln(y x a x =+是奇函数，所以22ln()ln()x a x x a x ++-+ =22ln()ln 0a x x a +-==，解得a =1.【名师点睛】本题主要考查已知函数奇偶性求参数值的问题，常用特殊值法，如函数是奇函数，在x=0处有意义，常用f(x)=0求参数,否则用其他特殊值，利用特殊值法可以减少运算量.7．（2017新课标全国Ⅲ理科）设函数10()20xx xf xx+≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x+->的x的取值范围是 .【答案】1 (,)4-+∞。

2018届高考数学黄金考点精析精训考点12三角函数的图象与性质理

2018届高考数学黄金考点精析精训考点12三角函数的图象与性质理

考点12 三角函数的图像和性质【考点剖析】1.最新考试说明：(1)考查三角函数的值域与最值 (2)考查三角函数的单调性(3)利用三角函数的值域和单调性求参数的值 2.命题方向预测：(1)三角函数的最值以及三角函数的单调性是历年高考的重要考点. (2)利用三角函数的单调性求最值、利用单调性求参数是重点也是难点.(3)题型不限，选择题、填空题、解答题都有可能出现，常与多个知识点交汇命题. 3.课本结论总结：(1)由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象，有两种变换方式：①先相位变换再周期变换(伸缩变换)：；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值．(2)的性质：①定义域为R ，值域为；②是周期函数，最小正周期为；③在单调递增，在单调递减；④当时，；当时，；⑤其对称轴方程为,对称中心坐标为.(3)的性质：①定义域为R ，值域为；②是周期函数，最小正周期为；③在单调递增，在单调递减；④当时，；当时，；⑤其对称轴方程为,对称中心坐标为.（4）的性质：①定义域为，值域为；②是周期函数，最小正周期为；③在单调递增；④其对称中心坐标为.4.名师二级结论：（1）由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值．（2）在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M ，最小值为m ，则A ＝M －m2，k ＝M ＋m2，ω由周期T 确定，即由2πω＝T 求出，φ由特殊点确定．(3)作正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时应注意： ①首先要确定函数的定义域；②对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象.(4)求三角函数值域(最值)的方法： ①利用sin x 、cos x 的有界性；②形式复杂的函数应化为的形式逐步分析的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域； ③换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题． 5.、、的性质： ①周期性函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|. ②奇偶性三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx ，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．③研究函数的单调性、最值、对称性等问题，要注意整体意识，即将看作一个整体. 5.课本经典习题：(1)新课标A 版第147 页，第 A9 题（例题）已知. ①求它的递减区间；②求它的最大值和最小值.【解析】x x x x x x x x y 2cos 2sin 22cos 1cos sin 21cos 2)cos (sin 22++=+++=++=①令，解得，即函数的单调区间为 ;②由题意得，，.【经典理由】综合考查三角恒等变换与三角函数的图像与性质 (2)新课标A 版第 147 页，第 A10题（例题）已知函数.①求的最小正周期；②当时，求的最小值以及取得最小值时的集合.【经典理由】综合考查三角恒等变换与三角函数的图像与性质 6.考点交汇展示： (1)与不等式的交汇【2017北京，文16】已知函数. （I ）f (x )的最小正周期； （II ）求证：当时，．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析. 【解析】试题解析：（Ⅰ）31π()2sin 2sin 2sin 22sin(2)223f x x x x x x x =+-=+=+. 所以的最小正周期.（Ⅱ）因为， 所以. 所以.所以当时，.(2)与平面向量的交汇【2018届河南省洛阳市高三期中】已知向量. （I ）若，求的值;（II）令，把函数的图象上每一点的横坐标都缩小为原来的一半（纵坐标不变），再把所得图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象，求函数的单调增区间及图象的对称中心.【答案】（I）；（II），.试题解析：（I），即，，（II）由（I）得，从而，解得，的单调增区间时.由得即函数图象的对称中心为.(3)与解三角形的交汇【2017届天津市耀华中学一模】已知向量，设函数.（1）求在上的最值；（2）在中，分别是角的对边，若，的面积为，求的值.【答案】（1）；（2）（2）.【考点分类】热点一三角函数的图象1.【2017课标3，理6】设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是A．f(x)的一个周期为−2πB．y=f(x)的图像关于直线x=对称C．f(x+π)的一个零点为x= D．f(x)在(,π)单调递减【答案】D【解析】2.【2017课标1，理9】已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【答案】D 【解析】3.某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数的解析式； （Ⅱ）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象. 若图象的一个对称中心为，求的最小值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得. 数据补全如下表：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，得. 因为的对称中心为，. 令，解得， .由于函数的图象关于点成中心对称，令， 解得，. 由可知，当时，取得最小值. 【方法规律】1.用“五点法”作图应抓住四条：①将原函数化为或的形式；②求出周期T ＝2πω；③求出振幅A ；④列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点．2.的图象有无穷多条对称轴，可由方程解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与x 轴的交点，可由，解得x ＝k π－φω(k ∈Z)，即其对称中心为(k π－φω，0)(k ∈Z)．3.相邻两对称轴间的距离为T 2，相邻两对称中心间的距离也为T2.【解题技巧】根据的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑： (1)A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点2；(2)k 的确定：根据图象的最高点和最低点，即k ＝最高点＋最低点2；(3)ω的确定：结合图象，先求出周期T ，然后由T ＝2πω(ω>0)来确定ω； (4)φ的确定：法一：代入图像的最高点坐标或最低点坐标，则或，求值．法二：由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 最开始与x 轴的交点的横坐标为－φω(即令ωx ＋φ＝0，x ＝－φω)确定φ．如 ：将函数f (x )＝sin ωx (其中ω＞0)的图象向右平移个单位长度，所得图象关于对称，则ω的最小值是 A .6 B . C . D .【答案】D【易错点睛】研究三角函数图像的变换时，要注意由的图像变换成的图像的变换过程:的图像由的图像向左（）或向右（）平移个单位长度.如：为了得到函数的图像，可以将函数的图像（ ） A.向右平移个单位 B.向左平移个单位 C.向右平移个单位 D.向左平移个单位 【答案】D【解析】，故只需将向左平移个单位． 热点二 三角函数的最值1.【2016高考新课标2文数】函数的最大值为（）（A）4 （B）5 （C）6 （D）7【答案】B【解析】因为，而，所以当时，取最大值5，选B.2. 【2018届安徽省滁州市高三9月联考】若函数的值域是，则的最大值是___________．【答案】【解析】令,作出的图象，使其值域为，则定义域最长为即，最大为，即的最大值是.3.【2018届江苏省泰州中学高三10月月考】已知函数.（1）将化简为的形式，并求最小正周期；（2）求在区间上的最大值和最小值及取得最值时的值.【答案】（1），；（2）时，，时，.【解析】试题分析：（1）由三角函数的公式化简可得，由周期公式可得答案；（2）由x的范围可得的范围，可得f（x）的范围，结合三角函数在该区间的单调性，可得最值及对应的x值．试题解析：（1所以.【方法规律】求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法：(1)利用sin x、cos x的有界性；(2)形式复杂的函数应化为y＝A sin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题.【解题技巧】求三角函数的最值问题，最主要的题型是：通过三角恒等变形将所给解析式化为的形式，再进行求解.①当时，，；②当时，则先求的范围，再利用正弦函数的图像写出函数的最值，再进一步求解.如：函数的最大值为_________.【答案】1【解析】由题意知： =====，即，因为，所以的最大值为1.【易错点睛】在求函数的最值时，一般思路通过三角恒等变换化成的形式，但不要忽视变形中的等价性，如定义域的变化.如：函数的值域是（）A．[－4，0] B． C． D．【答案】D1.【2017山东，文7】函数最小正周期为A. B. C. D.【答案】C【解析】因为,所以其周期,故选C.2.【2018届辽宁省鞍山市第一中学高三上第一次模拟】已知函数，（1）求的对称中心；（2）讨论在区间上的单调性.【答案】（1）对称中心为，；（2）增区间为，减区间为.【解析】试题分析：利用降幂公式和辅助角公式将已知函数解析式转化为正弦型函数，根据正弦函数的性质来求对称中心,其对称中心能使函数值为0，从而角的终边在x轴上；（2）首先求出函数的单调区间，再根据自变量的取值范围来求落在给定范围上的的单调区间．Array试题解析：1令，得，对称中心为，.【方法规律】 、、的性质： ①周期性函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|. ②奇偶性三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx ，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．③研究函数的单调性、最值、对称性等问题，要注意整体意识，即将看作一个整体. 如：已知函数． (Ⅰ) 求的最小正周期； (Ⅱ) 求在区间上的最小值． 【答案】（1），（2）【解析】 (Ⅰ) 211cos ()sincossin sin 22222xxxxf x x -=-=⋅-⋅=(1)的最小正周期为； (2)，当时，取得最小值为：【解题技巧】研究函数的单调性、最值、对称性等问题，要注意整体意识，即将看作一个整体.如（上例）【易错点睛】求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ωx＋φ(ω>0)”视为一个“整体”；②A>0(A<0)时，所列不等式的方向与y＝sin x(x∈R)，y＝cos x(x∈R)的单调区间对应的不等式方向相同(反)．如：求的单调递增区间（教材第39页）【热点预测】1.【2017天津，文理】设函数，其中.若且的最小正周期大于，则（A）（B）（C）（D）【答案】【解析】2.【2016高考天津文理】已知函数，.若在区间内没有零点，则的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）【答案】D3.【百强校】2017届三省高三上学期百校大联考】将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则函数的一个单调递减区间是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，则在上递减．4. 【【百强校】2017届广东海珠区高三上学期调研测试一】已知函数，给出下列四个说法：①函数的周期为；②若，则；③在区间上单调递增；④的图象关于点中心对称.其中正确说法的个数是（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【答案】C【解析】①因为函数的周期为,不正确；②若,即,则时也成立,故不正确；③在区间上,单调递增,正确；④函数函数是奇函数,所以的图象关于点成中心对称，点不是函数的对称中心，故不正确,故选C.5.若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是（）A. B. C. D.【答案】C.6.【【百强校】2017届河北武邑中学高三上学期周考】已知函数的部分图象如图所示，则（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由图象得，所以由得，故选D.7. 【2018届四川省达州市高级中学高三上学期同步测试】给出如下四个结论：①存在使②存在区间（）使为减函数而＜0③在其定义域内为增函数④既有最大、最小值，又是偶函数⑤最小正周期为π其中正确结论的序号是______________.【答案】④【解析】对于①,，∵，∴，∴sinα+cosα>1.命题①错误；对于②,若y=cosx为减函数,则x∈[2kπ,2kπ+π]，k∈Z，sinx⩾0.命题②错误；对于③，y=tanx在其定义域内不是增函数，在其定义域内有无数增区间。

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热门题型题型1函数的单调性（单调区间） 题型2 函数的奇偶性题型3函数的奇偶性和单调性的综合题型4 函数的周期性题型5 识图(知式选图、知图选式) 题型6 函数图像的应用题型1 函数的单调性（单调区间）例1 判断函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上的单调性．法二：y ＝x ＋2x ＋1＝1＋1x ＋1.因为y ＝x ＋1在(－1，＋∞)上是增函数，所以y ＝1x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数，所以y ＝1＋1x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数．即函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数．【解题技巧】判断函数的单调性一般有四种方法：定义法、图像法、复合函数单调性法和导数法.变式1.（2017山东理15）若函数()e x f x （e 2.71828=是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 .①()2x f x -= ②()3x f x -=③()3f x x = ④()22f x x =+解析 ①()e =e e 22xx x xy f x -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R 上单调递增，故()2x f x -=具有M 性质； ②()e =e e 33xxxxy f x -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，故()3xf x -=不具有M 性质；③()3=e e xxy f x x =⋅，令()3e xg x x =⋅，则()()322e e 3e3xxxg x x x x x '=⋅+⋅=+，所以当3x >-时，()0g x '>；当3x <-时，()0g x '<，所以()3=e e xxy f x x =⋅在(),3-∞-上单调递减，在()3,-+∞上单调递增，故()3f x x =不具有M 性质；④()()2=e e 2x x y f x x =+.令()()2e 2x g x x =+， 则()()()22e2e 2e 110xx x g x x x x ⎡⎤'=++⋅=++>⎣⎦，所以()()2=e e 2x x y f x x =+在R 上单调递增，故()22f x x =+具有M 性质．综上所述，具有M 性质的函数的序号为①④.例2. 已知函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a 的取值范围．变式1. 已知f (x )是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )，求x 的取值范围．解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x －2≤1－1≤1－x ≤1，解得1≤x ≤2，①因为f (x )是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )， 所以x －2<1－x ，解得x <32.②由①②得，1≤x <32. 所以满足题设条件的x 的取值范围为[1，32)．题型2函数的奇偶性 【例3】判断下列函数的奇偶性.3|3|36)(2-+-=x x x f ； 11)(22-+-=x x x f ； )1(log )(22++=x x x f ；2|2|)1(log )(22---=x x x f ； ⎩⎨⎧>+-<+=)0()0()(22x x x x x x x f .因为对任意实数x ，都有0||12≥+>++x x x x ，故定义域为R.且)()1(log 11(log )1(log )(222222x f x x xx x x x f -=++-=++=-+=-），故)(x f 为奇函数.由100102|2|012<<<<-⇒⎩⎨⎧≠-->-x x x x 或，定义域关于原点对称. 此时，xx x x x f --=---=)1(log 2|2|)1(log )(2222，故有)()(x f x f -=-，所以)(x f 为奇函数.当<x 时，)()(,02x f x x x f x -=--=->-；当>x 时，)()(,02x f x x x f x -=-=-<-.故)(x f 为奇函数.【解题技巧】判断函数的奇偶性，常用以下两种方法：（1）定义法.①首先看定义域是否关于原点对称；②若)()(x f x f -=-，则函数)(x f 为奇函数；若)()(x f x f =-，则函数)(x f 为偶函数.（2）图像法.根据函数图像的对称性进行判断，若函数)(x f 的图像关于原点中心对称，则)(x f 为奇函数；若函数)(x f 的图像关于y 轴对称，则)(x f 为偶函数.题型3函数的奇偶性和单调性的综合题型3 单调性与奇偶性的综合应用【2017，5】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是（ ）A ．[2,2]-B ． [1,1]-C ． [0,4]D ． [1,3]变式1..（2017江苏11）已知函数()312e e xxf x x x =-+-， 其中e 是自然对数的底数．若()()2120f a f a -+，则实数a 的取值范围是 ．解析 易知()f x 的定义域为R . 因为()()()312e e xx f x x x ---=---+-()312e e xxx x f x =-+-+=-，所以()f x 是奇函数．又()2213e 3e02x x f x x x +'=-+，且()0f x '=不恒成立，所以()f x 在R 上单调递增． 因为()()2120f a f a -+，所以()()()22122f a f a f a --=-，于是212a a --，即2210a a +-，解得11,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．故填11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．变式2.（2015湖南理5）设函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，则()f x 是（ ）.A.奇函数，且在()0,1上是增函数B.奇函数，且在()0,1上是减函数C.偶函数，且在()0,1上是增函数 D.偶函数，且在()0,1上是减函数题型4 函数的周期性例 5 已知函数)(x f 对任意实数x 都满足)(1)1(x f x f =+，若8)1(=f ，则(2018)f =________.解析1)(1(,)(1)1(=⋅+=+x f x f x f x f ），有1)2()1(=+⋅+x f x f ，所以)2()(+=x f x f ，故2=T ，所以11(2018)(0)(1)8f f f ===.题型5 识图(知式选图、知图选式) 例6 函数22xy x =-的图像大致是（）分析观察四个选项给出的图像，区别在于函数零点的个数及单调性不同.解析解法一：当0x ≤时，函数2xy =单调递增，同时函数2y x =-单调递增，故函数()f x 在(],0-∞上单调递增，排除,C D ；当0x >时，()f x 存在两个零点122,4x x ==，所以排除AxOxyO y xx yO O y BCD选项B .故选A .解法二：如图2-22所示，有图像可知，函数2xy =与函数2y x =的交点有3个，说明函数22x y x =-的零点有3个，故排除选项,B C ；当0x x <时，22x x >成立，即220x y x =-<，故排除选项D ，故选A .【解题技巧】利用函数的性质（如定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、特殊点等）排除错误选项，从而筛选出正确答案题型6 函数图像的应用例7 函数0.5()2log 1xf x x =-的零点个数为（ ）.1A.2B.3C.4D【解题技巧】利用函数图像判断方程解的个数.由题设条件作出所研究对象的图像，利用图像的直观性得到方程解的个数.例8.（2017全国3理15）设函数()1020x x x f x x +⎧=⎨>⎩，，，则满足()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭的x 的取值范围是_______.12-1211(,)44-1()2y f x =-1()y f =-yxO【解题技巧】利用函数图像求解不等式的解集及参数的取值范围.先作出所研究对象的图像，求出它们的交点，根据题意结合图像写出答案变式 1. 设函数1221(0)()(0)x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩，若0()1f x >，则0x 的取值范围是（）.(1,1)A - .(1,)B -+∞ .(,2)(0,)C -∞+∞.(,1)(1,)D -∞-+∞分析作出函数()y f x =与1y =的图像，由图像得不等式的解集.解析作出函数()y f x =与1y =的图像，如图所示，得0()1f x >所对应的0x 的取值范围是(,1)(1,)-∞-+∞，故选D .【高考真题链接】 1.（2014 天津理4）函数212log 4f x x 的单调递增区间是（ ）.A.0,B.,0 C.2, D.,2解析：选D.2.（2014 北京理 2）下列函数中，在区间()0,+∞上为增函数的是（ ）. A.1y x =+ B.()21y x =- C.2x y -= D.()0.5log 1y x =+解析：选A3.（2014 陕西理 7）下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ）.A.()12f x x = B.()3f x x = C. ()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D. ()3xf x =解析：选D.5.(2015四川理9)如果函数()()()()212810,02f x m x n x mn=-+-+在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，那么mn 的最大值为（ ）.A. 16B. 18C. 25D.812因为2292m n mn+，所以812mn. 由2n m =且218m n +=，得92m =>，故应舍去. 要使得mn 取得最大值，应有()2182,8m n m n +=<>.所以()()1821828816mn n n =-<-⨯⨯=.所以最大值为18.故选B. 6.（2015北京理5）已知,x y ∈R ，且0x y >>，则（ ）.A.110x y ->B.sin sin 0x y ->C.11022x y⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.ln ln 0x y +>选项C正确：由指数函数1()2tf t ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，可得110022xyx y ⎛⎫⎛⎫>>⇒<<⇒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11022xy⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；选项D 错误：举一个反例如，e x =，1ey =.,x y 满足0x y >>，但ln ln 0x y +=. 故选C.7.（2015安徽理2）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）. A.cos y x = B.sin y x = C.ln y x = D.21y x =+ 解析 对于选项A ，cos y x =是偶函数，且由cos 0x =得2x k π=+π，k ∈Z ， 故A 正确；对于选项B ，sin y x =是奇函数，故B 错误；对于选项C ，ln y x =的定义域为()0,+∞，故ln y x =不具备奇偶性，故C 错误；对于选项D ，21y x =+是偶函数，但210x +=在实数范围内无解，即21y x =+不存在零点，故D 错误．故选A ．8.（2015福建理2）下列函数为奇函数的是（ ）. A ．y x =B ．sin y x =C ．cos y x =D ．e e x x y -=-解析 函数y x =sin y x =和cos y x =是偶函数；e e x x y -=-是奇函数．故选D ．9.（2015广东理3）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）. A ．21y x + B ．1y x x =+ C ．122x x y =+ D ．e x y x =+ 解析 令()e xf x x =+，则()11e f =+，()111e f --=-+，即()()11f f ≠-，()()11f f -≠-，所以e xy x =+既不是奇函数也不是偶函数，而A,B,C 依次是偶函数、奇函数、偶函数．故选D ．10.（2015全国I 理13）若函数()(2ln =+f x x x a x 为偶函数，则=a . 解析 由题意可知函数(2ln y x a x =+是奇函数，所以(2ln x a x ++(2ln 0x a x -+=，即 ()22ln ln 0a x x a +-==，解得1a =．11.（2016全国丙理15）已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点()13-，处的切线方程是______________.解析：210x y ++=解法二：由函数性质来求切线方程.因为()f x 为偶函数，所以若()f x 在点()()00,x f x 处的切线方程为y kx b =+，则()f x 在点()()00,x f x --处的切线方程为y kx b =-+.因此，先求出()y f x =在点()1,3--处的切线方程.又()()'130f x x x=+<，得()'12f -=，所以()f x 在点()1,3--处的切线方程为21y x =-， 所以()f x 在点3（1，-）处的切线方程为21y x =--，即210x y ++=. 12.（2014 新课标 2 理 15）已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =. 若()10f x ->，则x 的取值范围是 .解析：(1,3)-13.（2014 福建理7）已知函数()21,0cos ,0x x f x x x ⎧+>=⎨⎩则下列结论正确的是（ ）.A. ()f x 是偶函数B. ()f x 是增函数C. ()f x 是周期函数D. ()f x 的值域为[)+∞-,114.（201 4 湖北理10）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x 时，()()2221232f x x a x a a =-+--.若()(),1x f x f x ∀∈-R ，则实数a 的取值范围为（ ）.A.11,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B.66⎡⎢⎣⎦ C.11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D.3333⎡-⎢⎣⎦15.（2014 湖南理3）已知()f x ，()g x 分别是定义在N 上的偶函数和奇函数，且()()321f x g x x x -=++，则()()11f g +=（ ）.A.3-B.1-C. 1D. 3 16.（2014 湖南理10）已知函数()21e 2x f x x =+-()0x <与()()2ln g x x x a =++图像上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）. A.1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B.(),e -∞ C.1,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D.1e,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭17.（2017天津理6）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）. A.a b c <<B.c b a <<C.b a c <<D.b c a <<18.(2017北京理5)已知函数()133xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x （ ）. A.是奇函数，且在R 上是增函数 B.是偶函数，且在R 上是增函数 C.是奇函数，且在R 上是减函数D.是偶函数，且在R 上是减函数解析 由题知()133xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()113333xx xx f x f x --⎛⎫-=-=-=- ⎪⎝⎭，所以()f x 为奇函数.又因为3x 是增函数，13x⎛⎫- ⎪⎝⎭也是增函数，所以()f x 在R 上是增函数.故选A.19.（2017全国1理5）函数()f x 在(),-∞+∞单调递减，且为奇函数．若()11f =-，则满足()211x f --的x 的取值范围是（ ）. A ．[2,2]-B ． [1,1]-C ． [0,4]D ． [1,3] 解析 因为()f x 为奇函数，所以()()111f f -=-=，于是()121f x --等价于()()()121f f x f --，又()f x 在()-∞+∞，单调递减，所以121x --，所以3x 1.故选D.20.（2016浙江理5）设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期（ ）. A.与b 有关，且与c 有关 B.与b 有关，但与c 无关 C.与b 无关，且与c 无关 D.与c 无关，但与c 有关21.（2016江苏11）设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[)1,1-上(),102,015x a x f x x x +-<⎧⎪=⎨-<⎪⎩，其中a ∈R ，若5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()5f a 的值是 .25- 解析 由题意得511222f f a ⎛⎫⎛⎫-=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，91211225210f f ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得35a =，则()()()531f a f f ==-215a =-+=-.22.（2017江苏14）设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[)0,1上，()2,,x x D f x x x D⎧∈=⎨∉⎩．其中集合*1,n D x x n n ⎧⎫-==∈⎨⎬⎩⎭N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ．从而10nmqp =，则10mn q p ⎛⎫= ⎪⎝⎭，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ，于是lg x 不可能与x D ∈内的部分对应相等，所以只需要考虑lg x 与每个周期内x D ∉部分的交点.如图所示，通过函数的草图分析，图中交点除()1,0外，其它交点均为x D ∉的部分． 且当1x =时，()1111lg 1ln10ln10x x x x =='==<，所以在1x =附近只有一个交点， 因而方程解的个数为8个．故填8．xy O12134567891023.(2015安徽理9)函数()()2ax bf x x c +=+的图像如图所示，则下列结论成立的是（ ）.PNM Oy xA.0a >，0b >，0c <B.0a <，0b >，0c >C.0a <，0b >，0c <D.0a <，0b <，0c <24.（2016全国乙理7）函数22e xy x =-在[]2,2-的图像大致为（ ）.-221Oxy-221Oxy-221Oxy-221OxyA. B. C. D. D 分析 对于函数图像识别题一般是利用函数性质排除不符合条件的选项. 解析 设()22exf x x =-，由()228e f =-∈()0,1，可排除A （小于0），B （从趋势上超过1）；又()0,2x ∈时，()4e x f x x '=-，()()()014e 0f f ''⋅=--<， 所以()f x 在()0,1上不是单调函数，排除C.故选D. 25.(2013重庆理6）若a b c<<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间（ ）.A. ()a b ，和()b c ，内B. ()a -∞，和()a b ，内C. ()b c ，和()c +∞，内D. ()a -∞，和()c +∞，内 解析：A26.（2014 山东理 8）已知函数()21f x x =-+,()kxx g =.若方程()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( ).A.102⎛⎫ ⎪⎝⎭，B.112⎛⎫⎪⎝⎭， C.()1,2 D.()2+∞，解析：B27.（2014 江苏理 13）已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[)0,3x ∈时，()2122f x x x =-+．若函数()y f x a =-在区间[]3,4-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是 ． 解析：102⎛⎫ ⎪⎝⎭，28.（2014 天津理 14）已知函数23f xx x ，x R .若方程10f x a x 恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为__________. 解析：(0,1)(9,)29.（2014 浙江理 15）设函数()22,0,0x x x f x x x ⎧+<⎪=⎨-⎪⎩，若()()2f f a ，则实数a 的取值范围是______. 解析：(,2]30.（2015湖南理15）已知()32,,x x af x x x a⎧=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则实数a 的取值范围是 .xyOy=b11Oyx11y=bxyO图（1） 图（2） 图（3）31.（2015天津理8）已知函数()()22,22,2x x f x x x ⎧-⎪=⎨->⎪⎩ ，函数()()2g x b f x =-- ， 其中b ∈R ，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ）. A.7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B.7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C.70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.7,24⎛⎫⎪⎝⎭即2220()(2)202582x x x y f x f x x x x x ⎧++<⎪=+-=⎨⎪-+>⎩，，， ()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--，所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图像的4个公共点，由图像可知724b <<.2O yx32.（2015山东理10）设函数311()21xx x f x x -<⎧=⎨⎩≥，，,则满足()()()2f a f f a =的a 的取值范围是( ). A ．213⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．[]01，C ．23⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，D ．[)1+∞，.解析 因为()()()2=f af f a ，所以()1f a ．①当1a <时，()311=-f a a ，解得213a <；②当1a 时，()21=a f a ，解得1a ．综上所述，23a．故选C ． 33.（2015全国I 理12）设函数()()e 21x f x x ax a=--+，其中1a <，若存在唯一的整数x 使得()00f x <，则a 的取值范围是（ ）.A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭则()()1010f f -⎧⎪⎨⎪⎩，即13e 20e 0a -⎧-+⎨⎩，解得32ea，又1a <， 所以a 的取值范围是3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选D. 34.（2017山东理10）已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图像与y x m =的图像有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（ ）. A.(])0,123,⎡+∞⎣B.(][)0,13,+∞C.()223,⎡+∞⎣D.([)23,+∞解析 解法一：()222121y mx m x mx =-=-+过点()0,1且对称轴为1x m=.当01m <<时，11m>，从而2221y m x mx =-+在区间()0,1上单调递减，函数()21y mx =-与y x m =+的草图如图所示，此时有一个交点；1m 1Oy x当1m >时，11m <，所以2221y m x mx =-+在区间10m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在区间1,1m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.若函数()21y mx =-与y x m =+有一个交点，草图如图所示，则()2111m m ⨯-+，解得3m ；1m1mO y x解法二：若2m =，则)[]221,0,1y x x =-∈的值域为[]0,1；[]2,0,1y x x =∈的值域为2,12⎡⎣，所以两个函数的图像无交点，故排除C 、D ；若3m =，则点()1,4是两个函数的公共点.故选B.。

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