2020年四川省绵阳市高考数学一诊试卷(文科)

（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】
数列 满足 ，
可得 ＝ ，即 为等差数列，
＝ ， ＝ ，可得公差 ，
则 ＝ ＝ ；
数列 的前 项和 ，
可得 ＝ ＝ ＝ ；
时， ＝ ＝ ＝ ，
则 ＝ ， ；
，
则前 项和 ＝
．
【考点】
数列递推式
数列的求和
【解析】
（1）由题意可得 ＝ ，即 为等差数列，由等差数列的通项公式可得公差 ，进而得到所求通项公式；由数列的递推式： ＝ ， 时， ＝ ，化简可得所求通项公式；
A
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
求出原函数的导函数，得到 ，再求出 ，利用直线方程的点斜式求切线 ，取 ＝ 求解 在 轴上的截距．
【解答】
由 ＝ ，得 ，
∴ ＝ ，又 ＝ 时， ＝ ，
∴ 在点（ ）处的切线方程为 ＝ ，
取 ＝ ，得在 轴上截距 ＝ ＝ ．
故选： ．
10.某数学小组进行社会实践调查，了解到鑫鑫桶装水经营部在为定价发愁．进一步调研了解到如下信息；该经营部每天的房租，人工工资等固定成本为 元，每桶水的进价是 元，销售单价与日均销售量的关系如表：
【答案】
【考点】
解三角形
【解析】
先根据已知条件在 中求出 ，再在直角 中利用正切即可求出结论．
【解答】
如图由题上条件可得线 平行于东西方向
， ＝ ， ＝ ； ＝ ；
∴ ＝ ； ＝ ；
在 中， ．
如图
平面 ，在直角 中， ＝ ＝ ．
若函数 ＝ 有且仅有一个零点，则实数 的取值范围为________ 或________ ．
【考点】
对数值大小的比较
【解析】
由指数函数 在 上单调递减，可得 ， 大小关系，再利用对数函数的单调性可得： ＝ ，即可得出大小关系．
【解答】
由指数函数 在 上单调递减，又 ， ＝ ，
∴ ．
＝
∴ ．
8.已知 ， 满足线性约束条件 ，则 ＝ 的最小值为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】
C
【考点】
简单线性规划
销售单价/元
日均销售量/桶
根据以上信息，你认为该经营部的定价为多少才能获得最大利润？（）
A.每桶 元
B.每桶 元
C.每桶 元
D.每桶 元
【答案】
D
【考点】
根据实际问题选择函数类型
【解析】
根据表格可知：销售单价每增加 元，日均销售就减少 桶．设每桶水的价格为 元，公司日利润 元，则 ＝ ，整理后利用二次函数求最值．
【答案】
函数 ＝
＝
＝
，
所以函数 的最小正周期为 ，
又函数 ＝ 的单调减区间为 ， ；
令 ， ；
解得 ， ；
所以 的单调递减区间为 ， ；
若 ＝ ，则 ＝ ，
即 ，
再由 ，可得 ；
所以 ，解得 ．
【考点】
三角函数中的恒等变换应用
三角函数的周期性及其求法
【解析】
（1）化函数 余弦型函数，根据余弦函数的图象与性质求出 的最小正周期和单调减区间；
A.
B.
C.
D.
【答案】
B
【考点】
等差数列的前n项和
【解析】
利用等差数列的通项公式、前 项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出 ．
【解答】
由题意得 ，
解得 ＝ ， ＝ ，
∴ ＝ ＝ ．
5.已知函数 ，若 ＝ ，则 ＝（）
A.
B.
C.
D.
【答案】
B
【考点】
函数的求值
求函数的值
【解析】
推导出 ＝ ，由此利用 ＝ ，能求出 的值．
（2） ，又 ＝ ，可得： ， 为钝角．可得 ＝ ．又 ，利用正弦定理可得： ＝ ， ＝ ，代入 的面积 ，进而得出结论．
【解答】
∵ ． ＝ ，
∴ ＝ ，又 ＝ ，
化为： ＝ ， ．
联立解得 ．
，又 ＝ ，可得： ， 为钝角．∴ ＝ ．又 ，
∴ ，
∴ ＝ ， ＝ ，
为锐角，∴ ．
∴ 的面积 ．
∴ ∴ 的面积 为 ．
A. ＝
B.
C. ＝
D. ＝
【答案】
D
【考点】
函数单调性的性质与判断
【解析】
分别结合函数的定义域及函数的单调性分别对选项进行判断即可．
【解答】
由 的定义域为 ，不符合题意，
：函数的定义域 ，不符合题意，
＝ 在 单调递减，在 单调递增，不符合题意，
4.等差数列 的前 项和为 ，若 ＝ ， ＝ ，则 ＝（）
∴所以 ＝ ，
2.若 ，则下列结论不正确的是（）
A.
B.
C.
D.
【答案】
C
【考点】
不等式的概念
【解析】
利用不等式的基本性质、特殊值法即可得出．
【解答】
∵ ，∴ ， ，由函数 在 上单调递增，可得： ．
设 ＝ ， ＝ 时， ＝ 与 矛盾．
因此只有 错误．
3.下列函数中的定义域为 ，且在 上单调递增的是（）
解得 ．
综上所述： ．
已知函数 ＝ ， ， ．
（1）若 存在极小值，求实数 的取值范围；
（2）若 的极大值为 ，求证： ．
【答案】
＝ ， ．
∴ ＝ ＝ ，
设 ， ，
则 ＝ • ，且 ，
∵ ， ， ，
当 时，且 ， 单调递增，
当 时，且 ， 单调递减，
∴ ＝ ，其大致图象如图所示，结合图象可知，
①当 时， 在 上单调递增，没有极值，不符合题意，
【答案】
,
【考点】
函数零点的判定定理
【解析】
先令函数等于零，剥离参数，求交点．
【解答】
当 时， ， 单调递增（1）当 时， ， 单调递减（2）且 ＝ ， ， ，
大致图象如图：
可知 或 ．
故答案为： 或 ．
三、填空题：共70分．
已知函数 ＝ ．
（1）求函数 的最小正周期与单调递减区间；
（2）若 ＝ ，且 ，求 的值．
年 月 日，在庆祝新中国成立 周年阅兵中，由我国自主研制的军用飞机和军用无人机等参阅航空装备分秒不差飞越天安门，状军威，振民心，令世人瞩目．飞行员高超的飞行技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析．一次飞行训练中，地面观测站观测到一架参阅直升机以 千米/小时的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测到该飞机在北偏西 的方向上， 分钟后第二次观测到该飞机在北偏东 的方向上，仰角为 ，则直升机飞行的高度为________（结果保留根号）．
【解答】
＝ ， ．
∴ ＝ ＝ ，
设 ， ，
则 ＝ • ，且 ，
∵ ， ， ，
当 时，且 ， 单调递增，
当 时，且 ， 单调递减，
∴ ＝ ，其大致图象如图所示，结合图象可知，
①当 时， 在 上单调递增，没有极值，不符合题意，
②当 时，直线 ＝ 与 ＝ 有 个不同的交点，设其横坐标分别为 ， ，且 ，
【解答】
由题意得：命题 ：函数 ，由基本不等式成立的条件， ，知等号取不到，所以 命题是假的；
命题 ：若向量 ， ，满足 ，∴ ， ， 有可能是零向量或者 ，所以 是错误的．
∴￢ ， ， ￢ ，是假命题，￢ ￢ 为真命题；
7.若 ， ＝ ， ＝ ，则 ， ， 的大小关系（）
A.
B.
C.
D.
【答案】
B
（2）由三角函数值求角，要注意角的取值范围．
【解答】
函数 ＝
＝
＝
，
所以函数 的最小正周期为 ，
又函数 ＝ 的单调减区间为 ， ；
令 ， ；
解得 ， ；
所以 的单调递减区间为 ， ；
若 ＝ ，则 ＝ ，
即 ，
再由 ，可得 ；
所以 ，解得 ．
已知数列 满足 ，且 ＝ ， ＝ ，数列 的前 项和 ．
（1）求数列 的通项公式；
【考点】
利用导数研究函数的最值
利用导数研究函数的极值
【解析】
（1）对 求导，分析 的增减性，从而确定极值；
（2）分析函数在 上的增减性，确定出取得最值的点，从而求出 值
【解答】
＝ ，
当 时， 在 单调递增，
∴ ，
解得 ．
当 时， 在 上单调递增，
∴ 最大值为
或 ，
由 ，
由 ．
当 时， 在 单调递减，∴ ，
②当 时，直线 ＝ 与 ＝ 有 个不同的交点，设其横坐标分别为 ， ，且 ，
当 或 时， ， ， 单调递增，当 时， ， ， 单调递减，
故函数 在 ＝ 处取得极大值，在 ＝ 处取得极小值，
综上可得， 的范围 ，
结合（1），若 的极大值为 ，则 ，
＝ ，
因为 ，
所以 ，
令 ， ，
则 $${\{}$ ${= \, }$\${dfrac\{1\}\{2\}\{e\}}$^${\{x\}(1\, -\, x)}$<}$0在x∈（0，1）时恒成立，即h（x）在（0，1）上单调递减，
（1）求 ；
（2）若 ， 是角 的对边， ，求 的面积．
【答案】
∵ ． ＝ ，
∴ ＝ ，又 ＝ ，
化为： ＝ ， ．
联立解得 ．
，又 ＝ ，可得： ， 为钝角．∴ ＝ ．又 ，
∴ ，
∴ ＝ ， ＝ ，
为锐角，∴ ．
∴ 的面积 ．
∴ ∴ 的面积 为 ．
【考点】
正弦定理
【解析】
（1）由 ． ＝ ， ＝ ，又 ＝ ，化简解出．