2020年四川省绵阳市高考数学一诊试卷(文科)

销售单价/元
日均销售量/桶
根据以上信息，你认为该经营部的定价为多少才能获得最大利润？（）
A.每桶 元
B.每桶 元
C.每桶 元
D.每桶 元
【答案】
D
【考点】
根据实际问题选择函数类型
【解析】
根据表格可知：销售单价每增加 元，日均销售就减少 桶．设每桶水的价格为 元，公司日利润 元，则 ＝ ，整理后利用二次函数求最值．
A
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
求出原函数的导函数，得到 ，再求出 ，利用直线方程的点斜式求切线 ，取 ＝ 求解 在 轴上的截距．
【解答】
由 ＝ ，得 ，
∴ ＝ ，又 ＝ 时， ＝ ，
∴ 在点（ ）处的切线方程为 ＝ ，
取 ＝ ，得在 轴上截距 ＝ ＝ ．
故选： ．
10.某数学小组进行社会实践调查，了解到鑫鑫桶装水经营部在为定价发愁．进一步调研了解到如下信息；该经营部每天的房租，人工工资等固定成本为 元，每桶水的进价是 元，销售单价与日均销售量的关系如表：
【解答】
＝ ， ．
∴ ＝ ＝ ，
设 ， ，
则 ＝ • ，且 ，
∵ ， ， ，
当 时，且 ， 单调递增，
当 时，且 ， 单调递减，
∴ ＝ ，其大致图象如图所示，结合图象可知，
①当 时， 在 上单调递增，没有极值，不符合题意，
②当 时，直线 ＝ 与 ＝ 有 个不同的交点，设其横坐标分别为 ， ，且 ，
又${h(0)}$＝${1}$，${h(1) = \dfrac{1}{2}e}$，
故${h(x) \in (1,\dfrac{1}{2}e)}$，
即${1
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】
（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系讨论函数的单调性，进而可求出满足题意的 的范围，
（2）结合（1）的讨论可知 ＝ ，构造函数，结合函数的单调性可求 的取值范围，即可证明．
年 月 日，在庆祝新中国成立 周年阅兵中，由我国自主研制的军用飞机和军用无人机等参阅航空装备分秒不差飞越天安门，状军威，振民心，令世人瞩目．飞行员高超的飞行技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析．一次飞行训练中，地面观测站观测到一架参阅直升机以 千米/小时的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测到该飞机在北偏西 的方向上， 分钟后第二次观测到该飞机在北偏东 的方向上，仰角为 ，则直升机飞行的高度为________（结果保留根号）．
【考点】
对数值大小的比较
【解析】
由指数函数 在 上单调递减，可得 ， 大小关系，再利用对数函数的单调性可得： ＝ ，即可得出大小关系．
【解答】
由指数函数 在 上单调递减，又 ， ＝ ，
∴ ．
＝
∴ ．
8.已知 ， 满足线性约束条件 ，则 ＝ 的最小值为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】
C
【考点】
简单线性规划
（2）由三角函数值求角，要注意角的取值范围．
【解答】
函数 ＝
＝
＝
，
所以函数 的最小正周期为 ，
又函数 ＝ 的单调减区间为 ， ；
令 ， ；
解得 ， ；
所以 的单调递减区间为 ， ；
若 ＝ ，则 ＝ ，
即 ，
再由 ，可得 ；
所以 ，解得 ．
已知数列 满足 ，且 ＝ ， ＝ ，数列 的前 项和 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】
数列 满足 ，
可得 ＝ ，即 为等差数列，
＝ ， ＝ ，可得公差 ，
则 ＝ ＝ ；
数列 的前 项和 ，
可得 ＝ ＝ ＝ ；
时， ＝ ＝ ＝ ，
则 ＝ ， ；
，
则前 项和 ＝
．
【考点】
数列递推式
数列的求和
【解析】
（1）由题意可得 ＝ ，即 为等差数列，由等差数列的通项公式可得公差 ，进而得到所求通项公式；由数列的递推式： ＝ ， 时， ＝ ，化简可得所求通项公式；
（1）求 ；
（2）若 ， 是角 的对边， ，求 的面积．
【答案】
∵ ． ＝ ，
∴ ＝ ，又 ＝ ，
化为： ＝ ， ．
联立解得 ．
，又 ＝ ，可得： ， 为钝角．∴ ＝ ．又 ，
∴ ，
∴ ＝ ， ＝ ，
为锐角，∴ ．
∴ 的面积 ．
∴ ∴ 的面积 为 ．
【考点】
正弦定理
【解析】
（1）由 ． ＝ ， ＝ ，又 ＝ ，化简解出．
【解答】
∵ ，
∴ ，
∵ ＝ ，∴ ＝ ．
6.已知命题 ：函数 的最小值为 ；命题 ：若向量 ， ，满足 ，则 ．下列正确的是（）
A.￢
B.
C. ￢
D.￢ ￢
【答案】
D
【考点】
复合命题及其真假判断
【解析】
由基本不等式成立的条件知，可求得函数 的最小值不为 ，可判断命题 的真假；由向量的数量积没有约去律，可判断命题 的真假，再由复合命题真假表判断正误即可．
②当 时，直线 ＝ 与 ＝ 有 个不同的交点，设其横坐标分别为 ， ，且 ，
当 或 时， ， ， 单调递增，当 时， ， ， 单调递减，
故函数 在 ＝ 处取得极大值，在 ＝ 处取得极小值，
综上可得， 的范围 ，
结合（1），若 的极大值为 ，则 ，
＝ ，
因为 ，
所以 ，
令 ， ，
则 $${\{}$ ${= \, }$\${dfrac\{1\}\{2\}\{e\}}$^${\{x\}(1\, -\, x)}$<}$0在x∈（0，1）时恒成立，即h（x）在（0，1）上单调递减，
∴ ＝ ＝ ．
故答案为： ．
已知向量 ，向量 的模为 ，且 ＝ ，则 与 的夹角为________．
【答案】
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
由题意利用两个平面向量的数量积的定义，求得 与 的夹角的余弦值，可得 与 的夹角．
【解答】
由已知得： ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ，
∴设 与 的夹角为 ， ， ＝ ，∴ ， ，
【解答】
由题意得：命题 ：函数 ，由基本不等式成立的条件， ，知等号取不到，所以 命题是假的；
命题 ：若向量 ， ，满足 ，∴ ， ， 有可能是零向量或者 ，所以 是错误的．
∴￢ ， ， ￢ ，是假命题，￢ ￢ 为真命题；
7.若 ， ＝ ， ＝ ，则 ， ， 的大小关系（）
A.
B.
C.
D.
【答案】
B
A. ＝
B.
C. ＝
D. ＝
【答案】
D
【考点】
函数单调性的性质与判断
【解析】
分别结合函数的定义域及函数的单调性分别对选项进行判断即可．
【解答】
由 的定义域为 ，不符合题意，
：函数的定义域 ，不符合题意，
＝ 在 单调递减，在 单调递增，不符合题意，
4.等差数列 的前 项和为 ，若 ＝ ， ＝ ，则 ＝（）
∴所以 ＝ ，
2.若 ，则下列结论不正确的是（）
A.
B.
C.
D.
【答案】
C
【考点】
不等式的概念
【解析】
利用不等式的基本性质、特殊值法即可得出．
【解答】
∵ ，∴ ， ，由函数 在 上单调递增，可得： ．
设 ＝ ， ＝ 时， ＝ 与 矛盾．
因此只有 错误．
3.下列函数中的定义域为 ，且在 上单调递增的是（）
【解析】
根据函数递增，求出 的范围，根据题意，求出 的范围，再根据图象关于 ＝ 对称，确定出 ．
【解答】ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
要使函数 的递增，
则 ，化简得： ，
已知在 单增，所以 ．
又因为图象关于 ＝ 对称， ，所以 ，
因为 ，此时 ＝ ，所以 ，
12.在 中，角 为 ，角 的平分线 交 于点 ，已知 ，且 ，则 在 方向上的投影是（）
（2） ，又 ＝ ，可得： ， 为钝角．可得 ＝ ．又 ，利用正弦定理可得： ＝ ， ＝ ，代入 的面积 ，进而得出结论．
【解答】
∵ ． ＝ ，
∴ ＝ ，又 ＝ ，
化为： ＝ ， ．
联立解得 ．
，又 ＝ ，可得： ， 为钝角．∴ ＝ ．又 ，
∴ ，
∴ ＝ ， ＝ ，
为锐角，∴ ．
∴ 的面积 ．
∴ ∴ 的面积 为 ．
【答案】
,
【考点】
函数零点的判定定理
【解析】
先令函数等于零，剥离参数，求交点．
【解答】
当 时， ， 单调递增（1）当 时， ， 单调递减（2）且 ＝ ， ， ，
大致图象如图：
可知 或 ．
故答案为： 或 ．
三、填空题：共70分．
已知函数 ＝ ．
（1）求函数 的最小正周期与单调递减区间；
（2）若 ＝ ，且 ，求 的值．
解得 ．
综上所述： ．
已知函数 ＝ ， ， ．
（1）若 存在极小值，求实数 的取值范围；
（2）若 的极大值为 ，求证： ．
【答案】
＝ ， ．
∴ ＝ ＝ ，
设 ， ，
则 ＝ • ，且 ，
∵ ， ， ，
当 时，且 ， 单调递增，
当 时，且 ， 单调递减，
∴ ＝ ，其大致图象如图所示，结合图象可知，
①当 时， 在 上单调递增，没有极值，不符合题意，
【考点】
利用导数研究函数的最值
利用导数研究函数的极值
【解析】
（1）对 求导，分析 的增减性，从而确定极值；
（2）分析函数在 上的增减性，确定出取得最值的点，从而求出 值
【解答】
＝ ，
当 时， 在 单调递增，
∴ ，
解得 ．
当 时， 在 上单调递增，
∴ 最大值为
或 ，
由 ，
由 ．
当 时， 在 单调递减，∴ ，
故 ，
∴ 在 上的投影为 ．
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分．共20分．
已知函数 的定义域为 ，且满足 ＝ ，当 时， ＝ ，则 ＝________．
【答案】
【考点】
函数的求值
求函数的值
【解析】
求出周期 ＝ ，利用当 时， ＝ ， ＝ ，能求出结果．
【解答】
因为 ＝ ，周期 ＝ ，
当 时， ＝ ，
【解析】
作出不等式组对应的平面区域，通过目标函数 ＝ 的几何意义，利用数形结合即可的得到结论．
【解答】
先根据 ， 满足线性约束条件 画出可行域，
平移直线 ＝ ，当直线 ＝ 过点 时， 取最小值为 ．
9.设函数 ＝ （其中常数 ）的图象在点（ ）处的切线为 ，则 在 轴上的截距为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】
（2）求得 ，再由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和．
【解答】
数列 满足 ，
可得 ＝ ，即 为等差数列，
＝ ， ＝ ，可得公差 ，
则 ＝ ＝ ；
数列 的前 项和 ，
可得 ＝ ＝ ＝ ；
时， ＝ ＝ ＝ ，
则 ＝ ， ；
，
则前 项和 ＝
．
已知 中三个内角 ， ， 满足 ．
A.
B.
C.
D.
【答案】
D
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算
【解析】
根据 ， ， 三点共线求出 ，建系计算 ， 两点坐标，得出 ，再计算投影即可．
【解答】
由 可得： ，
∵ ， ， 三点共线，故 ，即 ．
∴ ．
以 为原点，以 为 轴建立平面直角坐标系如图所示，则 ，
设 ， ，
由 得： ，解得 ＝ ， ＝ ．
已知函数 ．
（1）当 ＝ 时，求函数 的极值；
（2）是否存在实数 ，使得函数 在区间 上的最大值是 ，若存在，求出 的值；不存在，请说明理由
【答案】
＝ ，
当 时， 在 单调递增，
∴ ，
解得 ．
当 时， 在 上单调递增，
∴ 最大值为
或 ，
由 ，
由 ．
当 时， 在 单调递减，∴ ，
解得 ．
综上所述： ．
【答案】
【考点】
解三角形
【解析】
先根据已知条件在 中求出 ，再在直角 中利用正切即可求出结论．
【解答】
如图由题上条件可得线 平行于东西方向
， ＝ ， ＝ ； ＝ ；
∴ ＝ ； ＝ ；
在 中， ．
如图
平面 ，在直角 中， ＝ ＝ ．
若函数 ＝ 有且仅有一个零点，则实数 的取值范围为________ 或________ ．
A.
B.
C.
D.
【答案】
B
【考点】
等差数列的前n项和
【解析】
利用等差数列的通项公式、前 项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出 ．
【解答】
由题意得 ，
解得 ＝ ， ＝ ，
∴ ＝ ＝ ．
5.已知函数 ，若 ＝ ，则 ＝（）
A.
B.
C.
D.
【答案】
B
【考点】
函数的求值
求函数的值
【解析】
推导出 ＝ ，由此利用 ＝ ，能求出 的值．
【解答】
根据表格可知：销售单价每增加 元，日均销售就减少 桶．
设每桶水的价格为 元，公司日利润 元，
则： ＝ ，
＝ ，
∵ ，
∴当 ＝ 时函数 有最大值，
因此，每桶水的价格为 元，公司日利润最大，
11.函数 在 上单调递增，且图象关于 ＝ 对称，则 的值为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】
A
【考点】
正弦函数的图象
【答案】
函数 ＝
＝
＝
，
所以函数 的最小正周期为 ，
又函数 ＝ 的单调减区间为 ， ；
令 ， ；
解得 ， ；
所以 的单调递减区间为 ， ；
若 ＝ ，则 ＝ ，
即 ，
再由 ，可得 ；
所以 ，解得 ．
【考点】
三角函数中的恒等变换应用
三角函数的周期性及其求法
【解析】
（1）化函数 余弦型函数，根据余弦函数的图象与性质求出 的最小正周期和单调减区间；
2020年四川省绵阳市高考数学一诊试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知 ＝ ， ＝ ，则 ＝（）
A.
B.
C.
D.
【答案】
A
【考点】
交集及其运算
【解析】
先求出集合 ，解一元二次不等式 解出集合 ，从而求出 ．
【解答】
由题意得： ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，