河南省洛阳市2019届高中高三第一次统一考试数学理试卷试题.docx
洛阳市2018-2019学年高中三年级第一次统一考试数学(理)试题+答案
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2019年河南省洛阳市高考一模数学试卷含参考答案(理科)
2019年河南省洛阳市高考一模数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题, 每小题5分, 共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{x∈N*|x2﹣x﹣2≤0}, B＝{2, 3}, 则A∪B＝（）A．{﹣1, 0, 1, 2, 3}B．{1, 2, 3}C．[﹣1, 2]D．[﹣1, 3]2．（5分）若复数z为纯虚数且（1+i）z＝a﹣i（其中i是虚数单位, a∈R）, 则|a+z|＝（）A．B．C．2D．3．（5分）函数y＝（x≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．4．（5分）在区间[﹣1, 1]内随机取两个实数x, y, 则满足y≥x2﹣1的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）4名大学生到三家企业应聘, 每名大学生至多被一家企业录用, 则每家企业至少录用一名大学生的情况有（）A．24种B．36种C．48种D．60种6．（5分）某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为（）A．πB．πC．πD．π7．（5分）已知双曲线C：（a＞0, b＞0）, 过左焦点F1的直线切圆x2+y2＝a2于点P, 交双曲线C右支于点Q, 若＝, 则双曲线C的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±D．y＝8．（5分）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数, 以十六乘之, 九而一, 所得开立方除之, 即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V, 求其直径d的一个近似公式, 人们还用过一些类似的近似公式, 根据π＝3.14159…判断, 下列近似公式中最精确的一个是（）A．B．C．D．9．（5分）已知实数x, y满足约束条件, 则的取值范围为（）A．B．C．D．10．（5分）如图, 设A、B是半径为2的圆O上的两个动点, 点C为AO中点, 则的取值范围是（）A．[﹣1, 3]B．[1, 3]C．[﹣3, ﹣1]D．[﹣3, 1] 11．（5分）已知函数y＝f（x）对任意的x∈（﹣, ）满足f′（x）cos x+f（x）sin x ＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数）, 则下列不等式成立的是（）A．f（﹣）＜f（﹣）B．f（）＜f（）C．f（0）＞2f（）D．f（0）＞f（）12．（5分）已知球O是正三棱锥（底面为正三角形, 顶点在底面的射影为底面中心）A﹣BCD的外接球, BC＝3, , 点E在线段BD上, 且BD＝6BE, 过点E作球O 的截面, 则所得截面圆面积的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分, 满分20分, 将答案填在答题纸上）13．（5分）已知, 则＝．14．（5分）数列{a n}首项a1＝2, 且, 令b n＝log3（a n+1）, 则的前2019项的和S2019＝．15．（5分）（3x+2y）2（x﹣y）7的展开式中含有x5y4的项的系数为．16．（5分）若函数在（0, +∞）上仅有一个零点, 则a＝．三、解答题（本大题共5小题, 共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）如图, D是直角△ABC斜边BC上一点, AC＝．（1）若∠CAD＝30°, 求角B的大小；（2）若BD＝2DC, 且AD＝2, 求CD的长．18．（12分）如图, 已知多面体P ABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形, P A⊥底面ABCD, ED∥P A, 且P A＝2ED＝2．（1）证明：平面P AC⊥平面PCE；（2）若直线PC与平面ABCD所成的角为45°, 求二面角P﹣CE﹣D的余弦值．19．（12分）已知椭圆C中心在原点, 焦点在坐标轴上, 直线与椭圆C在第一象限内的交点是M, 点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F2, 椭圆C另一个焦点是F1, 且．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线l过点（﹣1, 0）, 且与椭圆C交于P, Q两点, 求△F2PQ的内切圆面积的最大值．20．（12分）为了引导居民合理用电, 国家决定实行合理的阶梯电价, 居民用电原则上以住宅为单位（一套住宅为一户）．阶梯级别第一阶梯第二阶梯第三阶梯月用电范围（度）（0, 210]（210, 400]（400, +∞）某市随机抽取10户同一个月的用电情况, 得到统计表如下：居民用电户编号12345678910用电量（度）538690124132200215225300410（1）若规定第一阶梯电价每度0.5元, 第二阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6元, 第三阶梯超出第二阶梯的部分每度0.8元, 试计算A居民用电户用电410度时应交电费多少元？（2）现要在这10户家庭中任意选取3户, 求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望；（3）以表中抽到的10户作为样本估计全市的居民用电, 现从全市中依次抽取10户, 若抽到k户用电量为第一阶梯的可能性最大, 求k的值．21．（12分）已知函数f（x）＝e x+ax+ln（x+1）﹣1．（1）求f（x）在x＝0处的切线方程；（2）若x≥0时, f（x）≥0恒成立, 求实数a的取值范围；（3）求证：e．请考生在22、23两题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中, 曲线C1的参数方程为（α为参数）, 以原点O为极点, x轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ, 曲线C1、C2的公共点为A、B．（Ⅰ）求直线AB的斜率；（Ⅱ）若点C、D分别为曲线C1、C2上的动点, 当|CD|取最大值时, 求四边形ACBD 的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣m|（m∈R）．（1）当m＝1时, 解不等式f（x）≥2；（2）若关于x的不等式f（x）≥|x﹣3|的解集包含[3, 4], 求m的取值范围．2019年河南省洛阳市高考一模数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题, 每小题5分, 共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{x∈N*|x2﹣x﹣2≤0}, B＝{2, 3}, 则A∪B＝（）A．{﹣1, 0, 1, 2, 3}B．{1, 2, 3}C．[﹣1, 2]D．[﹣1, 3]【解答】解：A＝{x∈N*|﹣1≤x≤2}＝{1, 2}, B＝{2, 3}；∴A∪B＝{1, 2, 3}．故选：B．2．（5分）若复数z为纯虚数且（1+i）z＝a﹣i（其中i是虚数单位, a∈R）, 则|a+z|＝（）A．B．C．2D．【解答】解：由（1+i）z＝a﹣i, 得,∵复数z为纯虚数,∴, 解得a＝1．∴z＝﹣i,则|a+z|＝|1﹣i|＝．故选：A．3．（5分）函数y＝（x≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：函数y＝（x≠0）是奇函数, 排除C, D．当x＝时, y＝＜0．排除B,故选：A．4．（5分）在区间[﹣1, 1]内随机取两个实数x, y, 则满足y≥x2﹣1的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得, 的区域为边长为2的正方形, 面积为4,满足y≥x2﹣1的区域为图中阴影部分, 面积为2+＝∴满足y≥x2﹣1的概率是＝．故选：D．5．（5分）4名大学生到三家企业应聘, 每名大学生至多被一家企业录用, 则每家企业至少录用一名大学生的情况有（）A．24种B．36种C．48种D．60种【解答】解：分两类, 第一类, 有3名被录用, 有＝24种, 第二类, 4名都被录用, 则有一家录用两名, 有＝36,根据分类计数原理, 共有24+36＝60（种）故选：D．6．（5分）某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为（）A．πB．πC．πD．π【解答】解：由三视图可得, 直观图为圆锥的与圆柱的组合体,由图中数据可得几何体的体积为＝,故选：A．7．（5分）已知双曲线C：（a＞0, b＞0）, 过左焦点F1的直线切圆x2+y2＝a2于点P, 交双曲线C右支于点Q, 若＝, 则双曲线C的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±D．y＝【解答】解：∵过双曲线C：（a＞0, b＞0）, 左焦点F引圆x2+y2＝a2的切线, 切点为P,∴丨OP丨＝a,设双曲线的右焦点为F′,∵P为线段FQ的中点,∴|QF′|＝2a, |QF|＝2b,由双曲线的定义知：2b﹣2a＝2a,∴b＝2a．∴双曲线C：（a＞0, b＞0）的渐近线方程为bx±ay＝0,即2ax±ay＝0,∴2x±y＝0．故选：B．8．（5分）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数, 以十六乘之, 九而一, 所得开立方除之, 即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V, 求其直径d的一个近似公式, 人们还用过一些类似的近似公式, 根据π＝3.14159…判断, 下列近似公式中最精确的一个是（）A．B．C．D．【解答】解：由V＝π（）3, 解得d＝,选项A代入得π＝＝3.1；选项B代入得π＝＝3；选项C代入得π＝＝3.2；选项D代入得π＝＝3.142857由于D的值最接近π的真实值故选：D．9．（5分）已知实数x, y满足约束条件, 则的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：作出的可行域为三角形（包括边界）,把,看作点（x, y）和C（5, 0）之间的斜率,记为k, 由可行域可知A（2, 2）, B（2, ﹣4）,则﹣≤k≤．故选：A．10．（5分）如图, 设A、B是半径为2的圆O上的两个动点, 点C为AO中点, 则的取值范围是（）A．[﹣1, 3]B．[1, 3]C．[﹣3, ﹣1]D．[﹣3, 1]【解答】解：如图所示,可得O（0, 0）, A（﹣2, 0）, C（﹣1, 0）, 设B（2cosθ, 2sinθ）．θ∈[0, 2π）．＝（1, 0）•（2cosθ+1, 2sinθ）＝2cosθ+1∈[﹣1, 3]．故选：A．11．（5分）已知函数y＝f（x）对任意的x∈（﹣, ）满足f′（x）cos x+f（x）sin x ＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数）, 则下列不等式成立的是（）A．f（﹣）＜f（﹣）B．f（）＜f（）C．f（0）＞2f（）D．f（0）＞f（）【解答】解：构造函数g（x）＝,则g′（x）＝＝（f′（x）cos x+f（x）sin x）, ∵对任意的x∈（﹣, ）满足f′（x）cos x+f（x）sin x＞0,∴g′（x）＞0, 即函数g（x）在x∈（﹣, ）单调递增,则g（﹣）＜g（﹣）, 即,∴, 即f（﹣）＜f（﹣）, 故A正确．g（0）＜g（）, 即,∴f（0）＜2f（）,故选：A．12．（5分）已知球O是正三棱锥（底面为正三角形, 顶点在底面的射影为底面中心）A﹣BCD的外接球, BC＝3, , 点E在线段BD上, 且BD＝6BE, 过点E作球O 的截面, 则所得截面圆面积的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：如图, 设△BDC的中心为O1, 球O的半径为R,连接O1D, OD, O1E, OE,则O1D＝3sin60°×＝, AO1＝＝＝3,在Rt△OO1D中, R2＝3+（3﹣R）2, 解得R＝2,∵BD＝6BE, ∴DE＝2.5,在△DEO1中, O1E＝＝,∴OE＝＝＝,过点E作圆O的截面, 当截面与OE垂直时, 截面的面积最小,此时截面圆的半径为＝, 最小面积为π,当截面过球心时, 截面面积最大, 最大面积为4π．故选：A．二、填空题（每题5分, 满分20分, 将答案填在答题纸上）13．（5分）已知, 则＝．【解答】解：∵, 则＝＝2, ∴解得：tanα＝,∴＝＝＝．故答案为：．14．（5分）数列{a n}首项a1＝2, 且, 令b n＝log3（a n+1）, 则的前2019项的和S2019＝．【解答】解：数列{a n}首项a1＝2, 且,则：a n+1+1＝3（a n+1）,即：（常数）,所以：数列{a n+1}是以a1+1＝3为首项, 3为公比的等比数列,故：,令b n＝log3（a n+1）＝,故：＝＝．所以：S n＝b1+b2+…+b n,＝,＝,＝．所以：,故答案为：15．（5分）（3x+2y）2（x﹣y）7的展开式中含有x5y4的项的系数为﹣21．【解答】解：多项式（3x+2y）2（x﹣y）7＝（9x2+12xy+4y2）（x﹣y）7,设（x﹣y）7的通项公式为T r+1＝x7﹣r（﹣y）r,令r＝4, 则T5＝＝35x3y4,令r＝3, 则T4＝＝﹣35x4y3,令r＝2, 则T3＝x5（﹣y）2＝21x5y2．∴多项式（3x+2y）2（x﹣y）7的展开式中含有x5y4项的系数为：35×9﹣35×12+21×4＝﹣21．故答案为：﹣21．16．（5分）若函数在（0, +∞）上仅有一个零点, 则a＝5ln2﹣4．【解答】解：函数f（x）的零点满足e x+a﹣x3+2x2＝0, 即a＝ln（x3﹣2x2）﹣x,则原问题等价于函数y＝a与函数g（x）＝ln（x3﹣2x2）﹣x有且只有一个交点．注意到函数g（x）的定义域为（2, +∞）, 且,在区间（2, 4）上, g’（x）＞0, g（x）单调递增,在区间（4, +∞）上, g’（x）＜0, g（x）单调递减,则函数g（x）的最大值为g（4）＝5ln2﹣4,据此可得, 实数a的值为5ln2﹣4．故答案为：5ln2﹣4．三、解答题（本大题共5小题, 共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）如图, D是直角△ABC斜边BC上一点, AC＝．（1）若∠CAD＝30°, 求角B的大小；（2）若BD＝2DC, 且AD＝2, 求CD的长．【解答】解：（1）在△ABC中, 根据正弦定理, 有．∵,∴．又,∴,∴,∴；（2）设DC＝x, 则,∴．在△ABD中, AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BD•cos B,即,得．故．18．（12分）如图, 已知多面体P ABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形, P A⊥底面ABCD, ED∥P A, 且P A＝2ED＝2．（1）证明：平面P AC⊥平面PCE；（2）若直线PC与平面ABCD所成的角为45°, 求二面角P﹣CE﹣D的余弦值．【解答】证明：（1）连接BD, 交AC于点O, 设PC中点为F,连接OF, EF, ∵O, F分别为AC, PC的中点,∴OF∥P A, 且OF＝P A,∵DE∥P A, 且, ∴OF∥DE, 且OF＝DE．…（1分）∴四边形OFED为平行四边形, ∴OD∥EF, 即BD∥EF．…（2分）∵P A⊥平面ABCD, BD⊂平面ABCD, ∴P A⊥BD．∵ABCD是菱形, ∴BD⊥AC．∵P A∩AC＝A, ∴BD⊥平面P AC．…（4分）∵BD∥EF, ∴EF⊥平面P AC．…（5分）∵FE⊂平面PCE, ∴平面P AC⊥平面PCE．…（6分）解：（2）解法1：因为直线PC与平面ABCD所成角为45°,∴∠PCA＝45°, ∴AC＝P A＝2．…（7分）∴AC＝AB, 故△ABC为等边三角形．设BC的中点为M, 连接AM, 则AM⊥BC．以A为原点, AM, AD, AP分别为x, y, z轴, 建立空间直角坐标系A﹣xyz（如图）．则P（0, 0, 2）, C（）, E（0, 2, 1）, D（0, 2, 0）, ＝（）, ＝（﹣, 1, 1）, ＝（0, 0, 1）．…（9分）设平面PCE的法向量为n＝{x1, y1, z1},则, 即令y1＝1, 则, ∴＝（）．…（10分）设平面CDE的法向量为＝（x2, y2, z2）,则, 即令x2＝1, 则, ∴＝（1,）．…（11分）设二面角P﹣CE﹣D的大小为θ, 由于θ为钝角,∴cosθ＝﹣|cos＜＞|＝﹣．∴二面角P﹣CE﹣D的余弦值为﹣．…（12分）解法2：因为直线PC与平面ABCD所成角为45°, 且P A⊥平面ABCD,所以∠PCA＝45°, 所以AC＝P A＝2．…（7分）因为AB＝BC＝2, 所以△ABC为等边三角形．因为P A⊥平面ABCD, 由（1）知P A∥OF,所以OF⊥平面ABCD．因为OB⊂平面ABCD, OC⊂平面ABCD, 所以OF⊥OB且OF⊥OC．在菱形ABCD中, OB⊥OC．以点O为原点, OB, OC, OF分别为x, y, z轴, 建立空间直角坐标系O﹣xyz（如图）．则,则．…（9分）设平面PCE的法向量为n＝（x1, y1, z1）,则即令y1＝1, 则, 则法向量n＝（0, 1, 1）．…（10分）设平面CDE的法向量为m＝（x2, y2, z2）,则即令x2＝1, 则则法向量．…（11分）设二面角P﹣CE﹣D的大小为θ, 由于θ为钝角,则．∴二面角P﹣CE﹣D的余弦值为．…（12分）19．（12分）已知椭圆C中心在原点, 焦点在坐标轴上, 直线与椭圆C在第一象限内的交点是M, 点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F2, 椭圆C另一个焦点是F1, 且．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线l过点（﹣1, 0）, 且与椭圆C交于P, Q两点, 求△F2PQ的内切圆面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）根据直线与椭圆C在第一象限内的交点是M, 点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F2,可知焦点在x轴上且M点坐标（c, ）．F1（﹣c, 0）, F2（c, 0）．∵,∴, ∴c＝1．设椭圆C方程：M点坐标（1, ）代入椭圆C方程得,∵c＝﹣1,∴a＝2, b＝．∴椭圆C方程为（Ⅱ）直线l过点（﹣1, 0）, 且与椭圆C交于P, Q两点,则△F2PQ的周长为4a＝8, 则＝•4a•r（r为三角形内切圆半径）,要使△F2PQ的内切圆面积最大, 即使△F2PQ的面积最大,∵F2F1为定长, △F2PQ的面积为•2|y1﹣y2|, （y1, y2分别为P, Q的纵坐标）, 可设直线l的方程为x＝my﹣1, 代入椭圆方程可得（4+3m2）y2﹣6my﹣9＝0,y1+y2＝, y1y2＝﹣,|y1﹣y2|2＝（y1+y2）2﹣4y1y2＝＝,显然m＝0上式取得最大值,∴当且仅当直线L过（﹣1, 0）, 与x轴垂直时△F2PQ的面积最大．此时P（﹣1, ）, Q（﹣1, ﹣）∴|F2P|＝|F2Q|＝, |PQ|＝3．设△F2PQ的内切圆半径为r, 则∴r＝, 其面积S＝．20．（12分）为了引导居民合理用电, 国家决定实行合理的阶梯电价, 居民用电原则上以住宅为单位（一套住宅为一户）．阶梯级别第一阶梯第二阶梯第三阶梯月用电范围（度）（0, 210]（210, 400]（400, +∞）某市随机抽取10户同一个月的用电情况, 得到统计表如下：居民用电户编号12345678910用电量（度）538690124132200215225300410（1）若规定第一阶梯电价每度0.5元, 第二阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6元, 第三阶梯超出第二阶梯的部分每度0.8元, 试计算A居民用电户用电410度时应交电费多少元？（2）现要在这10户家庭中任意选取3户, 求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望；（3）以表中抽到的10户作为样本估计全市的居民用电, 现从全市中依次抽取10户, 若抽到k户用电量为第一阶梯的可能性最大, 求k的值．【解答】解：（1）210×0.5+（400﹣210）×0.6+（410﹣400）×0.8＝227元…（2分）（2）设取到第二阶梯电量的用户数为ξ, 可知第二阶梯电量的用户有3户, 则ξ可取0, 1, 2, 3故ξ的分布列是ξ0123p所以…（7分）（3）可知从全市中抽取10户的用电量为第一阶梯, 满足X∽B（10, ）,可知（k＝0, 1, 2, 3…, 10）, 解得, k∈N*所以当k＝6时, 概率最大, 所以k＝6…（12分）21．（12分）已知函数f（x）＝e x+ax+ln（x+1）﹣1．（1）求f（x）在x＝0处的切线方程；（2）若x≥0时, f（x）≥0恒成立, 求实数a的取值范围；（3）求证：e．【解答】解：（1）f′（x）＝e x+a+,f′（0）＝2+a, 又f（0）＝0,∴f（x）在x＝0处的切线方程为：y＝（a+2）x；（2）若x≥0时, 则f′（x）＝e x+a+, ,在[0, +∞）上单调递增, f″（x）≥f″（0）＝0．则f′（x）在[0, +∞）上单调递增, f′（x）≥f′（0）＝a+2,①当a+2≥0, 即a≥﹣2时, f′（x）≥0, 则f（x）在[0, +∞）上单调递增此时f′（x）≥f（0）＝0, 满足题意②若a＜﹣2, 由f′（x）在[0, +∞）上单调递增由于f′（0）＝2+a＜0, x→+∞时, f′（x）＞0．故∃x0∈（0, +∞）, 使得f′（x0）＝0．则当0＜x＜x0时, f′（x）＜f′（x0）＝0．∴函数f（x）在（0, x0）上单调递减．∴f（x0）＜f（0）＝0, 不恒成立．舍去综上所述, 实数a的取值范围是[﹣2, +∞）．（3）证明：由（1）知, 当a＝﹣2时, f′（x）＝e x﹣2x+ln（x+1）﹣1在[0, +∞）上单调递增．则f（）＞f（0）, 即e﹣1+ln（）﹣1＞0．∴ln．∴,即e请考生在22、23两题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中, 曲线C1的参数方程为（α为参数）, 以原点O为极点, x轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ, 曲线C1、C2的公共点为A、B．（Ⅰ）求直线AB的斜率；（Ⅱ）若点C、D分别为曲线C1、C2上的动点, 当|CD|取最大值时, 求四边形ACBD 的面积．【解答】解：（I）曲线C1的参数方程为（α为参数）, 消去参数化为：x2+（y﹣1）2＝1．曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ, 即ρ2＝4ρcosθ, 化为普通方程：x2+y2＝4x．上述两个方程相减可得：2x﹣y＝0．则直线AB的斜率为2．（Ⅱ）当且仅当直线CD经过两个圆的圆心时, 线段CD取得最大值, 此时|CD|＝3+＝+3．|AB|＝2＝．直线C1•C2的方程为：y＝﹣x+1, 可得C1•C2⊥AB．∴当|CD|取最大值时, 四边形ACBD的面积S＝|AB|•|CD|＝××（3+）＝2+．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣m|（m∈R）．（1）当m＝1时, 解不等式f（x）≥2；（2）若关于x的不等式f（x）≥|x﹣3|的解集包含[3, 4], 求m的取值范围．【解答】解：（1）当时, f（x）＝﹣2x﹣1+（x﹣1）＝﹣x﹣2,由f（x）≥2解得x≤﹣4, 综合得x≤﹣4；当时, f（x）＝（2x+1）+（x﹣1）＝3x,由f（x）≥2解得, 综合得；当x≥1时, f（x）＝（2x+1）﹣（x﹣1）＝x+2,由f（x）≥2解得x≥0, 综合得x≥1．所以f（x）≥2的解集是．（2）∵f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣m|≥|x﹣3|的解集包含[3, 4],∴当x∈[3, 4]时, |2x+1|﹣|x﹣m|≥|x﹣3|恒成立原式可变为2x+1﹣|x﹣m|≥x﹣3, 即|x﹣m|≤x+4,∴﹣x﹣4≤x﹣m≤x+4即﹣4≤m≤2x+4在x∈[3, 4]上恒成立,显然当x＝3时, 2x+4取得最小值10,即m的取值范围是[﹣4, 10]．。
河南省洛阳市高三数学第一次统一考试试题 理(含解析)
数学试卷（理A ）【试卷综析】试题在重视基础，突出能力，体现课改，着眼稳定，实现了新课标高考数学试题与老高考试题的尝试性对接.纵观新课标高考数学试题，体现数学本质，凸显数学思想，强化思维量，控制运算量，突出综合性，无论是在试卷的结构安排方面，还是试题背景的设计方面以全新的面貌来诠释新课改的理念.【题文】第I 卷（选择题，共60分）【题文】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】 l.集合 {}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,|,A B C z z xy x A y B ====∈∈且，则集合C 中的元素个数为A.3 B ．4 C ．11 D ．12【知识点】集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性. A1 【答案】【解析】C 解析：{1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15}C =，故选C. 【思路点拨】利用已知求得集合C 即可.【题文】 2．已知i 为虚数单位，复数123,12z ai z i =-=+，若12z z 复平面内对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围为 A. {}|6a a <- B ． 3|62a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ C ．3|2a a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭ D ． 3|62a a a ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或 【知识点】复数的运算；复数的几何意义. L4 【答案】【解析】B 解析：12z z ()()()()312332612121255ai i ai a a i i i i ----+===-++-，因为12zz 复平面内对应的点在第四象限，所以32036602a a a ->⎧⇒-<<⎨+>⎩，故选 B.【思路点拨】先把复数z 化为最简形式，在利用复数的几何意义求解.【题文】3．已知θ为第二象限角， sin ,cos θθ是关于x 的方程22x R)∈ 的两根，则 sin -cos θθ的等于 A ．12+ B ．12- C ．．【知识点】已知三角函数式的值，求另一个三角函数式的值. C7【答案】【解析】A 解析：由已知得1sin cos 2θθ+=2sin cos 2θθ⇒=-又θ为第二象限角，所以sin -cos θθ=，故选 A.【思路点拨】由已知得sin cos θθ+=2sin cos θθ⇒=θ为第二象限角，所以sin -cos θθ=. 【题文】4.下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是A ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π丌是无理数；结论：π是无限不循环小数B ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提： π是无限不循环小数；结论： π是无理数C.大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论： π是无理数D.大前提： π是无限不循环小数；小前提： π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数 【知识点】演绎推理的定义及特点. M1【答案】【解析】B 解析：A ：小前提不正确；C 、D 都不是由一般性命题到特殊性命题的推理，所以A 、C 、D 都不正确，只有B 正确，故选 B.【思路点拨】演绎推理是由一般性命题到特殊性命题的推理，及其推理的一般模式---“三段论”，由三段论的含义得出正确选项.【题文】5．某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为 A ．38 B ． 82π- C ． 43π D ． 283π-【知识点】几何体的三视图；几何体的结构. G1 G2【答案】【解析】D 解析：由三视图可知此几何体是：棱长为2 的正方体挖去了一个圆锥而形成的新几何体，其体积为3212212833ππ-⨯⨯⨯=-，故选 D. 【思路点拨】由几何体的三视图得此几何体的结构，从而求得此几何体的体积.【题文】6．已知 ()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在(],0-∞上单调递增，设333(sin )(cos ),(tan )555a fb fc f πππ===，则a,b,c 的大小关系是，A ．a<b<cB ．b<a<cC ．c<a<bD ．a<c<b【知识点】函数奇偶性，单调性的应用. B3 B4【答案】【解析】C 解析：∵()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在(],0-∞上单调递增， ∴()f x 在[)0,+∞上单调递减，且22coscos 55b f f ππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 22tantan 55c f f ππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，又∵2sin 5a f π⎛⎫=⎪⎝⎭，且2220cos sin tan 555πππ<<<，∴ c<a<b ，故选 C.【思路点拨】由已知得函数()f x 在[)0,+∞上单调递减，而2sin5a f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 22coscos 55b f f ππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，22tan tan 55c f f ππ⎛⎫⎛⎫=-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以只需比较 222cos,sin ,tan 555πππ的大小关系即可. 【题文】7.执行如图的程序，则输出的结果等于 A ．9950 B ．200101 C ．14950 D ． 15050【知识点】对程序框图描述意义的理解. L1【答案】【解析】A 解析：根据框图中的循环结构知，此程序是求下式的值：1111136104950T =+++++222222612209900=+++++1111212233499100⎛⎫=++++⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭1111111212233499100⎛⎫=-+-+-++- ⎪⎝⎭1992110050⎛⎫=-=⎪⎝⎭，故选A. 【思路点拨】由程序框图得其描述的算法意义.【题文】 8．在△ABC 中，D 为AC 的中点，3BC BE =，BD 与 AE 交于点F ，若 AF AE λ=，则实数λ的值为 A ．12 B ． 23 C ． 34 D ． 45【知识点】平面向量的线性运算. F1 【答案】【解析】C 解析：作EFAC 交BD 于G ，因为13BE BC =,所以13EG DC =，因为 D 为AC 的中点，所以13EG AD =，所以1334EF AF AE FA =⇒=，故选C.【思路点拨】画出几何图形，利用平行线分线段成比例定理求得结论.【题文】9．设 12,F F 分别为双曲线 221x y -=的左，右焦点，P 是双曲线上在x 轴上方的点， 1F PF ∠为直角，则 12sin PF F ∠的所有可能取值之和为A ．83 B ．2 C ．．【知识点】双曲线的性质. H6【答案】【解析】D 解析：设P 是第一象限点，且12,PF m PF n ==，则222181m n m m n n ⎧-==⎧⎪⇒⎨⎨+==⎩⎪⎩，所以所求= 2m n c +== D. 【思路点拨】根据双曲线的定义及勾股定理，求得P 到两焦点的距离，这两距离和与焦距的比值为所求. 【题文】10.曲线 1(0)y x x=>在点 00(,)P x y 处的切线为 l ．若直线l 与x ，y 轴的交点分别为A ，B ，则△OAB 的 周长的最小值为A. 4+5+【知识点】导数的几何意义；基本不等式求最值. B11 E6 【答案】【解析】A 解析：∵21y x '=-，∴00201:()l y y x x x -=--即20020x x y x +-=， 可得A(02x ,0)，B(0,02x )，∴△OAB的周长00224l x x =++当01x =时等号成立.故选 A.【思路点拨】由导数的几何意义得直线l 的方程，从而求得A 、B 的坐标，进而用0x 表示△OAB 的周长，再用基本不等式求得周长的最小值.【题文】11．若直线(31)(1)660x y λλλ++-+-= 与不等式组 70,310,350.x y x y x y +-<⎧⎪-+<⎨⎪-->⎩，表示的平 面区域有公共点，则实数λ的取值范围是 A ． 13(,)(9,)7-∞-+∞ B ． 13(,1)(9,)7-+∞ C ．(1，9) D ． 13(,)7-∞-【知识点】简单的线性规划. E5【答案】【解析】A 解析：画出可行域，求得可行域的三个顶点A(2,1)，B(5,2)，C(3,4) 而直线(31)(1)660x y λλλ++-+-=恒过定点P(0,-6),且斜率为311λλ+-，因为 7810,,253PA PB PC k k k ===,所以由8317512λλ+<<-得λ∈13(,)(9,)7-∞-+∞，故选A.【思路点拨】：画出可行域，求得可行域的三个顶点, 确定直线过定点P(0,-6)，求得直线PA 、PB 、PC 的斜率，其中最小值85，最大值72，则由8317512λλ+<<-得λ的取值范围. 【题文】12．在平面直角坐标系中，点P 是直线 1:2l x =-上一动点，点 1(,0)2F ，点Q 为PF 的 中点，点M 满MQ ⊥PF ，且 ()MP OF R λλ=∈.过点M 作圆 22(3)2x y -+= 的切线，切点分别为S ，T ，则 ST 的最小值为A ．5． 5C ． 72 D. 52【知识点】曲线与方程；距离最值问题. H9 【答案】【解析】A 解析：设M(x,y)，1(,2)2P b -，则Q(0,b),由QM ⊥FP 得 (,)(1,2)02()0x y b b x b y b -⋅-=⇒-+-=.由()MP OF R λλ=∈得y=2b,所以点M 的轨迹方程为22y x =，M 到圆心距离=d 去最小ST 取最小值，此时MT ==，由三角形面积公式得：11222ST ST ==5,故选A. 【思路点拨】先求得点M 的轨迹方程22y x =，分析可知当M 到圆心距离最小时ST 最小，所以求M 到圆心距离d 得最小值，再用三角形面积公式求得ST 的最小值.【题文】 第Ⅱ卷（非选择题，共90分），【题文】二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 【题文】13.设随机变量 2(,)N ξμσ，且 (1)(1),(2)0.3P P P ξξξ<-=>>=，则(20)P ξ-<<= _____________．【知识点】正态分布的意义. I3【答案】【解析】0.2 解析：因为(1)(1)P P ξξ<-=>，所以正态分布曲线关于y 轴对称， 又因为(2)0.3P ξ>=，所以(20)P ξ-<<=120.30.22-⨯= 【思路点拨】根据正态分布的性质求解.【题文】14.若正四梭锥P- ABCD 的底面边长及高均为2，刚此四棱锥内切球的表面积为_______．【知识点】组合体的意义；几何体的结构. G1【答案】【解析】2(3π 解析：根据题意得正四梭锥的底面面积为4，一个侧面面积为R ，则由等体积法得，()111442332R R =⨯⨯⇒=,所以球的表面积为2(3π.【思路点拨】由等体积法求得此四棱锥内切球的半径，再由球的表面积公式求得结论. 【题文】15．将函数 ()sin()223y sin x x ωωπ=+的图象向右平移3π个单位，所得图象关于y 轴对称，则正数 ω的最小值为________．【知识点】sin()y A x ωϕ=+的图像与性质. C4 【答案】【解析】 1 解析：函数()sin()223y sin x x ωωπ=+=1sin()sin())2222x x x ωωω⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭=21sin ()sin()cos()2222x x x ωωω+=11sin()264x πω-+，向右平移3π个单位后为：1111sin[()]sin 23642364y x x πππωπωω⎡⎤⎛⎫=--+=-++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，这时图像关于y 轴对称，所以31362k k πωπππω+=+⇒=+，k Z ∈,所以正数 ω的最小值为1.【思路点拨】先利用两角和与差的三角函数，二倍角公式，把已知函数化为： y=11sin()264x πω-+,再由其平移后关于y 轴对称得31k ω=+，k Z ∈，所以正数 ω的最小值为1.【题文】 16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b=l ，a= 2c ，则当C 取最大值时，△ABC 的面积为________．【知识点】余弦定理；三角形的面积公式. C8【答案】【解析】6解析：当C 取最大值时，cosC 最小，由22223111cos 32442a b c c C c ab c c +-+⎛⎫===+≥⎪⎝⎭得，当且仅当C 最大，且此时 sinC=12，所以△ABC的面积为111sin 21222ab C c =⨯⨯⨯=【思路点拨】由余弦定理求得C 最大的条件，再由三角形面积公式求解.【题文】三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【题文】17．（本小题满分10分） 已知 {}{},n n a b 均为等差数列，前n 项和分别为 ,n n S T ．(1)若平面内三个不共线向量 ,,OA OB OC 满足 315OC a OA a OB =+，且A ，B ，C 三点共线．是否存在正整数n ，使 n S 为定值？若存在，请求出此定值；若不存在，请说明理由。
河南省洛阳市2019-2020学年高三上学期第一次统一考试(1月)数学(理)试题(解析版)
洛阳市2019--2020学年高中三年级第一次统一考试数学试卷(理)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}20|M x x x =-<，{}2,1,0,1,2N =--，则MN =（ ）A. {}0,1B. {}2,1--C. {}1D. {}0,1,2【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得集合M ，由此求得两个集合的交集. 【详解】由()20x x -<，解得{}|02M x x =<<，所以M N ={}1.故选：C【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题.2.已知复数z 在复平面中对应的点(),x y 满足()2211x y -+=，则1z -=（ ）A. 0B. 1C.D. 2【答案】B 【解析】 【分析】根据复数对应点的坐标以及复数模的几何意义，判断出正确选项. 【详解】由于复数z 在复平面中对应点(),x y 满足()2211x y -+=，即复数z 对应点在圆心为()1,0，半径为1的圆上，1z -表示复数对应的点到()1,0的距离，也即圆上的点到圆心的距离，所以11z -=. 故选：B【点睛】本小题主要考查复数对应点的坐标以及复数模的几何意义，考查圆的方程，属于基础题.3.为了节能减排，发展低碳经济，我国政府从2001年起就通过相关政策推动新能源汽车产业发展.下面的图表反映了该产业发展的相关信息:根据上述图表信息，下列结论错误的是（）A. 2017年3月份我国新能源汽车的产量不超过3.4万辆B. 2017年我国新能源汽车总销量超过70万辆C. 2018年8月份我国新能源汽车的销量高于产量D. 2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量低于2万辆【答案】D【解析】【分析】根据图表对选项逐一分析，由此确定结论错误的选项.【详解】对于A选项，2017年3月份我国新能源汽车的产量6.8 6.83.32 3.41 1.05 2.05=≈<+，故A选项结论正确.对于B选项，2017年我国新能源汽车总销量125.6125.677.677010.617 1.617=≈>+，故B选项结论正确.对于C选项，2018年8月份我国新能源汽车的销量10.1万量，高于产量9.9万量，故C选项结论正确.对于D 选项，2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量9.60.25 2.42⨯=>，故D 选项结论错误. 故选：D【点睛】本小题主要考查图表数据分析，考查阅读与理解能力，属于基础题.4.已知正项等比数列{}n a 中，354a a =，且467,1,a a a +成等差数列，则该数列公比q 为（ ） A.14B.12C. 2D. 4【答案】C 【解析】 【分析】结合等差中项的性质，将已知条件转化为1,a q 的形式，由此求得q 的值.【详解】由于467,1,a a a +成等差数列，所以()64721a a a +=+，所以()64735214a a a a a ⎧+=+⎨=⎩，即()5361112411214a q a q a q a q a q ⎧+=+⎪⎨⋅=⎪⎩，解得11,24a q ==. 故选：C【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查等差中项的性质，属于基础题.5.我国数学家陈最润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就.哥德巴赫猜想简述为“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”(注:如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数)，如40337=+.在不超过40的素数，随机选取2个不同的数，这两个数的和等于40的概率是（ ） A.126B.122C.117D.115【答案】B 【解析】 【分析】先求得40以内的素数的个数，然后根据古典概型概率计算公式，计算出所求的概率.【详解】40以内的素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37共12个，任选两个的方法数有21212116621C ⨯==⨯种，和为40的有33740,112940,172340+=+=+=共3种，所以不超过40的素数，随机选取2个不同的数，这两个数的和等于40的概率是316622=. 故选：B【点睛】选本小题主要考查古典概型的计算，考查组合数的计算，考查素数的知识，属于基础题. 6.圆222410x y x y +-++=关于直线()300,0ax by a b --=>>对称，则12a b+的最小值是（ ） A. 1 B. 3 C. 5D. 9【答案】B 【解析】 【分析】求得圆心，代入直线30ax by --=，利用基本不等式求得12a b+的最小值. 【详解】圆222410x y x y +-++=的圆心为()1,2-，由于圆关于直线30ax by --=对称，圆心坐标满足直线方程，所以23a b +=，所以12a b +()1122123253b a a b b b a a +⎛⎫⎛⎫=⋅⋅+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()11554333⎛≥+=+= ⎝，当且仅当22,1b aa b a b===时等号成立. 故选：B【点睛】本小题主要考查圆的几何性质，考查基本不等式求最小值.7.函数()()23xx e e cos x f x x-⋅-=（e 为自然对数的底数）的大致图象为（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和特殊值，排除错误选项，由此得出正确选项.【详解】由于()()f x f x -=-，所以()f x 为奇函数，图像关于原点对称，由此排除B,D 两个选项. 当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x >，由此排除A 选项. 故选：C【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性，属于基础题. 8.正三棱锥的三视图如下图所示，则该正三棱锥的表面积为（ ）A. B. 9 C. D.92【答案】A 【解析】 【分析】通过三视图还原出立体图，通过条件可求得底面正三角形边长为则可求侧面积为.【详解】如图所示，底面正三角的高AD=3，所以223AH AD==，AB=AC=BC=ABCS =又SH为侧视图中的高，所以SH=3，则AS=,则在等腰SAB中12SABS=⨯=所以侧面积为A.【点睛】本题考查已知三视图求几何体的表面积，准确的还原出立体图是解题的关键，属中档题.9.已知点12,F F分别是双曲线()2222:10,0x yC a ba b-=>>的左，右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，且满足12212,4F F OP tan PF F=∠=，则双曲线C的离心率为（）B. 5D.179【答案】C【解析】【分析】根据122F F OP=判断出三角形12F F P是直角三角形，利用214tan PF F∠=、双曲线的定义和勾股定理列方程组，化简后求得离心率.【详解】由于1222F F OP c==，所以三角形12F F P是直角三角形.所以12121222221212424PFtan PF FPFPF PF aPF PF F F c⎧∠==⎪⎪⎪-=⎨⎪+==⎪⎪⎩，化简得22179ca=，即cea==故选：C【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查双曲线的定义，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.10.设()f x 是定义在R 上函数，满足条件()()11f x f x +=-+，且当1x ≤时，()3xf x e-=-，则()27a f log =，()2 1.533,3b f c f --⎛⎫⎪⎝⎭==的大小关系是（ ）A. a b c >>B. a c b >>C. b a c >>D. c b a >>【答案】B 【解析】 【分析】利用已知条件将()27a f log =转换为247a f log ⎛=⎫⎪⎝⎭，根据1x ≤时()f x 的单调性，比较出,,a b c 的大小关系.【详解】依题意()()11f x f x +=-+，所以()22277log 1log 1227a f log f f ⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎝⎭⎝=⎪⎭24l o g 7f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.因为21.5324log 03317--<<<<，且当(],1x ∈-∞时，()3x f x e -=-为减函数，所以a cb >>.故选：B【点睛】本小题主要考查利用函数的单调性比较大小，考查对数运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.11.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 为棱1CC 的中点.下列结论:①线段BD 上存在点F ，使得//CF 平面1AD E ；②线段BD 上存在点F ，使CF ⊥得平面1AD E ；③平面1AD E 把正方体分成两部分，较小部分的体积为724，其中所有正确的序号是（ ） A. ① B. ③C. ①③D. ①②③【答案】C 【解析】的【分析】利用线面平行的判定定理，作出F 点的位置，判断①正确.利用面面垂直的判定定理，判断②错误.计算较小部分的体积，判断③正确.【详解】设1A D 交1AD 于P ，过P 作PQ AD ⊥，交AD 于Q ，连接CQ 交BD 于F ，由于//,PQ CE PQ CE =，所以四边形PQCE 为平行四边形，所以//CQ EP ，所以//CQ 平面1AED .故线段BD 上存在点F ，使得//CF 平面1AD E ，即①正确.若CF ⊥平面1AD E ，CF ⊂平面ABCD ，则平面1AD E ⊥平面ABCD ，这不成立，所以②错误. 延展平面1AD E 为1AMED 如图所示，其中M 是BC 的中点.根据正方体的几何性质可知，1,,D E AM DC 相交于一点， 1CEMDD A ∆∆,所以多面体1CEM DD A -是棱台.且体积为(113CEM DD A S S CD ∆∆⋅+⋅1117138224⎛=⋅++⋅= ⎝.故③正确. 综上所述，正确的序号为①③. 故选：C【点睛】本小题主要考查空间线面平行、线面垂直有关定理，考查台体体积计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.12.已知正项数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a >，且2632n n n S a a =++.若对于任意实数[]2,2a ∈-.不等式2*1()211n a t at n N n +<+-∈+恒成立，则实数t 的取值范围为（ ） A. ][(),22,⋃∞-+∞- B. ,21,(][)∞⋃+∞--C. ,12[),(]-∞⋃+∞-D. []22-,【答案】A 【解析】 【分析】 求得11n a n ++的范围，转化主参变量列不等式组，解不等式组求得t 的取值范围. 【详解】由2632n n n S a a =++①.当1n =时，2111632a a a =++，解得12a =.当2n ≥时，2111632n n n S a a ---=++②，①-②得2211633n n n n n a a a a a --=-+-，()()1130n n n n a a a a --+--=，所以13n n a a --=，所以数列{}n a 是首项为12a =，公差为3d =的等差数列，所以31n a n =-，所以()1311133111n n a n n n ++-==-<+++，所以2213t at +-≥恒成立，即2240t at +-≥，转换为2240ta t +-≥，在[]2,2a ∈-恒成立，所以2222402240t t t t ⎧-+-≥⎨+-≥⎩，解得][,2()2,t ∈⋃∞-+∞-. 故选：A【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.平面向量a 与b 的夹角为60，且()3,0a =，1b =，则2a b += __________．【解析】 【分析】利用()222a b a b +=+来求得2a b +.【详解】依题意()222a b a b+=+224494a ab b =+⋅+=+=【点睛】本小题主要考查平面向量模的运算，考查平面向量数量积的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.14.若实数,x y 满足约束条件,4, 3,y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最小值是__________．【答案】9- 【解析】 【分析】画出可行域，平移基准直线20x y +=到可行域边界位置，由此求得z 的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，平移基准直线20x y +=到可行域边界点()3,3A --位置，此时z 取得最小值为()2339⨯--=-. 故答案为：9-【点睛】本小题主要考查线性规划求最小值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.15.已知椭圆()2222:10,x y C a b A a b+=>>为右顶点.过坐标原点O 的直线交椭圆C 于,P Q 两点，线段AP 的中点为M ，直线QM 交x 轴于()2,0N ，椭圆C 的离心率为23，则椭圆C 的标准方程为__________． 【答案】2213620x y += 【解析】【分析】设出,P Q 两点的坐标，求得M 点坐标，由,,Q M N 三点共线列方程，结合椭圆的离心率求得,a b 的值，进而求得椭圆的标准方程.【详解】设()()0000,,,P x y Q x y --，(),0A a ，所以00,22a x y M +⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于,,Q M N 三点共线，所以00002222y y a x x =++-，解得6a =.由于椭圆离心率23c a =，所以4c =，所以22220,b a c b =-==.所以椭圆方程为2213620x y +=. 故答案为：2213620x y += 【点睛】本小题主要考查根据椭圆的离心率求椭圆标准方程，考查运算求解能力，属于基础题. 16.已知函数()()12,f lnx ax a x g x x=+=-，且()()0f x g x ≤在定义域内恒成立，则实数a 的取值范围为__________． 【答案】{2|a a e =或12a e ⎫≤-⎬⎭【解析】分析】 先求得()()f x g x 的定义域，然后对()f x 和()g x 的符合进行分类讨论，由此求得实数a 的取值范围.【详解】依题意()()()1ln 2f x g x x ax a x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，定义域为()0,∞+. 由于()()0f x g x ≤在定义域内恒成立，则 ①，1ln 20,0x ax a x +≤-≥恒成立，即ln 12,x a a x x ≤-≤在()0,∞+恒成立.令()ln x h x x=-，()'ln 1x h x x -=，故()h x 在()0,e 上递减，在(),e +∞上递增，故()()1h x h e e≥=-.所以，由ln 12,x a a x x ≤-≤可得12,0a a e ≤-≤，即12a e≤-. ②，1ln 20,0x ax a x +≥-≤恒成立，即ln 12,x a a x x≥-≥在()0,∞+恒成立，不存在这样的a . ③，当0a >时，由于()f x 在()0,∞+上递增，()g x 在()0,∞+上递减，要使()()0f x g x ≤在定义域内恒成立，则需()f x 和()g x 有相同的零点.由ln 2010x ax a x+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得22,a e x e -==. 综上所述，实数a 的取值范围是{2|a a e =或12a e ⎫≤-⎬⎭. 【故答案为：{2|a a e =或12a e ⎫≤-⎬⎭【点睛】本小题主要考查不等式恒成立问题的求解策略，考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC 中，角,,A B C 对应边分别为,,a b c .(1)若ABC 的面积S 满足222,4c a b c a +=+==且b c >，求b 的值；(2)若3a A π==且ABC 为锐角三角形.求ABC 周长的范围.【答案】（1）b =（2）3(+【解析】【分析】（1）结合三角形面积公式和余弦定理，求得tan C 的值，由此求得C 的大小，利用余弦定理列方程求得b 的值.（2）利用正弦定理表示出,b c ，用三角形内角和定理和三角恒等变换求得b c +的取值范围，由此求得a b c ++即三角形ABC 周长的取值范围.【详解】(1)由条件和三角形的面积公式得2222c c a b +=+=+，即222a b c =+-.将余弦定理2222a b c abcosC +-=.cosC =，即tanC =，因为(0,)C π∈，所以6C π=将4,6c a C π===，代入2222c a b abcosC =+-，得290b -+=结合条件b c >得b =(2)由正弦定理得2sin sin sin a b c A B C=== 所以()2b c sinB sinC +=+()22233sinB sin B sinB sin B πππ⎡⎡⎤⎛⎫=--+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎤=⎢⎥⎣⎦⎦+322(6)2sinB cosB B π⎛⎫ ⎪ ⎪⎭==+⎝+ 因为A B C π++=，且3A π=及锐角三角形得0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且20,32B ππ⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以62B ππ<<，所以2363B πππ<+<，即sin 126B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，所以(3,b c +∈所以周长a b c ++范围是3(+.【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查三角恒等变换，考查运算求解能力，属于中档题.18.如图，已知四边形ABCD 为等腰梯形，BDEF 为正方形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，//,1AD BC AD AB ==，60ABC ∠=︒.(1)求证:平面CDE ⊥平面BDEF ；(2)点M 为线段EF 上一动点，求BD 与平面BCM 所成角正弦值的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）12⎤⎥⎣⎦ 【解析】【分析】（1）利用等腰梯形的性质证得BD CD ⊥，由面面垂直的性质定理证得CD ⊥平面BDEF ，由此证得平面CDE ⊥平面BDEF .（2）建立空间直角坐标系，设出EM 的长，利用直线BD 的方向向量和平面BCM 的法向量，求得BD 与平面BCM 所成角正弦值的表达式，进而求得BD 与平面BCM 所成角正弦值的取值范围.【详解】在等腰梯形ABCD 中，// ,1AD BC AD AB ==， 60ABC ∠=︒，120,30BAD CDA ADB ∴∠=∠=︒∠=︒，90CDB ∠=︒. 即.BD CD⊥BD =2BC =. 又平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF ⋂平面,ABCD BD CD =⊂平面ABCD ，∴CD ⊥平面BDEFCD ⊂平面CDE ，∴平面CDE ⊥平面BDEF（2）解:由(1)知，分别以直线,,DB DC DE 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设0(EM m m =≤≤，则()(),0,1,0,000),,B C D，((),3,1,0M m BC =-，()3,0,3,3,0,()0BM m DB =-=设平面BMC 的法向量为(),,n x y x = 00n BC n BM ⎧⋅=∴⎨⋅=⎩，即(10y m x ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩令3x =，则3,y z m ==，平面BMC 的一个法向量为3,3,()n m =.设BD 与平面BCM 所成角为θ，,sin cos n BD θ∴=<>(,n BDn BD m ==∴当0m =m 时取最大值12故BD 与平面BCM 所成角正弦值的取值范围为12⎤⎥⎣⎦. 【点睛】本小题主要考查面面垂直的判定定理和性质定理，考查向量法计算线面角正弦值的取值范围，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19.过点()0,2P 的直线与抛物线2:4C x y =相交于,A B 两点. (1)若2AP PB =，且点A 在第一象限，求直线AB 的方程；(2)若,A B 在直线2y =-上的射影分别为11,A B ，线段11A B 的中点为Q ， 求证1//BQ PA .【答案】（1）240x y -+=.（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设出直线AB 的方程，联立直线AB 的方程和抛物线方程，化简后写出韦达定理，利用2AP PB =，结合平面向量相等的坐标运算、韦达定理，求得直线AB 的斜率，进而求得直线AB 的方程.（2）由（1）求得11,,A B Q 的坐标，通过计算10BQ PA k k -=，证得1//BQ PA .【详解】(1)设AB 方程为()20y kx k =+>，()()11221,,,,0A x y B x y x > ，联立方程24 2.x y y kx ⎧=⎨=+⎩，，消去y 得:2480x kx --=，216320k =+>，121248x x k x x +=⎧⎨⋅=-⎩① 又()1122(),2,,2AP x y PB x y =--=- 由2AP PB =得:122x x =-代人①解得12k = ∴直线AB 的方程为:122y x =+，即240x y -+=.(2)由(1)得，()111122,2,,2(()2),,2x A x B x Q x +--- 114PA k x =-， ()22221221228422BQ x x k x x x x x ++==+-- ()()()122121212211121888422BQ PA x x x x x x k k x x x x x x ++-+-=+=-- ()()()221212************x x x x x x x x x x x x ++===-- 1BQ PA k k ∴=1//PA BQ ∴【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查向量的坐标运算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.20.设函数()()3211232x f x e x kx kx =--+. (1)若1k =，求()f x 的单调区间；(2)若()f x 存在三个极值点123,,x x x ，且123x x x <<，求k 的取值范围，并证明:1 3 22x x x >+.【答案】（1）单调减区间为(,1)-∞，单调增区间为(1,)+∞.（2）k e >，证明见解析【解析】【分析】（1）当1k =时，利用导数求得()f x 的单调区间.（2）先求得()f x 的导函数()()()'1x e x f x kx --=，则()x g x e kx =-有两个不同的零点，且都不是1.对k 分成0,0k k ≤>两种情况分类讨论，利用导数研究()g x 的单调性和零点，由此求得k 的取值范围. 由上述分析可得12301x x x <<=<，利用导数证得312313131ln ln 221x x x x x x x x x -=>=-++，从而证得1 3 22x x x >+.【详解】(1)()32()11232x f x e x x x =--+()()() 1x f x e x x '∴=--.令()(),'1x x h x e x h x e =-=-，()'0h x >得0x >，()'0h x <得0x <，()h x 在(,0)-∞上递减，在(0,)+∞上递增.()()010h x h ∴≥=>即0x e x ->，∴解()'0f x >得1x >，解()'0f x <得1x <，()f x ∴的单调减区间为(,1)-∞，单调增区间为(1,)+∞.(2)()()()()2'21x x x f x e x e kx kx e kx x =-+-+=--，()f x 有三个极值点，∴方程0-=x e kx 有两个不等根，且都不是1，令()x g x e kx =-，0k ≤时，()g x 单调递增，()0g x =至多有一根，0k ∴>解()'0g x >得x lnk >，解()'0g x <得x lnk <.()g x ∴在(n ),l k -∞上递减，在(ln ,)k +∞上递增，()()ln 10,k g lnk e klnk k lnk k e =-=-<>∴此时，()010g =>，()1,10lnk g e k >=-<，x →+∞时()g x →+∞.k e ∴>时，()'0f x =有三个根123,,x x x ，且12301x x x <<=<，由11x e kx =得11x lnk lnx =+，由33xe kx =得33x lnk lnx =+，3131ln ln 1x x x x -∴=-下面证明:313131ln ln 2x x x x x x ->-+，可变形为331311121x x x ln x x x ->+ 令311x t x =>，()()21ln 1t x t t ϕ-=-+ ()()()()222114011t x t t t t ϕ-'=-=>++，()x ϕ∴在(1)+∞，上递增， ()()10t ϕϕ∴>= ∴313131ln ln 21x x x x x x -=>-+，3122.x x x ∴+> 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求解函数极值有关问题，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题.21.“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.每次考试过后，考生最关心的问题是:自己的考试名次是多少?自已能否被录取?能获得什么样的职位? 某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)录用300名，其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.(一般地，对于一次成功的考试来说，考试成绩应服从正态分布. )考试后考试成绩的部分统计结果如下:考试平均成绩是180分，360分及其以上的高分考生30名.(1)最低录取分数是多少?(结果保留为整数)(2)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位?若不能被录取，请说明理由.参考资料:(1)当2~(,)X N μσ时，令X Y μσ-=，则()~0,1Y N .(2)当()~0,1Y N 时， 2.17()0.985P Y ≤≈， 1.280.900, 1.()09()0.863P Y P Y ≤≈≤≈，1.04()0.85P Y ≤≈.【答案】（1）266分或267分.（2）能获得高薪职位.见解析【解析】【分析】（1）利用考试的平均成绩、高分考生的人数，以及题目所给正态分布的参考资料，求得考生成绩X 的分布()~180,832X N ，利用录取率3002000列方程，由此求得最低录取分数线. （2）计算出不低于考生甲的成绩的人数约为200，由此判断出甲能获得高薪职位.【详解】(1)设考生成绩为X ，则依题意X 应服从正态分布，即()2~180,X N σ. 令180X Y σ-=，则()~0,1Y N .由360分及其以上的高分考生30名可得()303602000P X ≥=即()3036010.9852000P X <=-≈，亦即3601800.985P Y σ-⎛⎫<≈ ⎪⎝⎭. 则3601802.17σ-=，解得()83180,832N σ≈∴，， 设最低录取分数线为o x ，则0180300832(0)00o x P X x P Y -⎛⎫≥=≥= ⎪⎝⎭ 则018030010.85832000x P Y -⎛⎫<=-≈ ⎪⎝⎭，0180 1.0483x -∴= 266.32o x ∴≈.即最低录取分数线为266分或267分.(2)考生甲的成绩286267>，所以能被录取.()()286180()286 1.280.9083P X P Y P Y -<=<=<≈， 表明不低于考生甲的成绩的人数约为总人数的10.900.10,20000.1200-=⨯≈，即考生甲大约排在第200名，排在275名之前，所以他能获得高薪职位.【点睛】本小题主要考查正态分布在实际生活中的应用，考查化归与转化的数学思想方法，考查阅读理解能力，属于中档题.请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B 铅笔在答题卡.上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.22.在极坐标系中，已知圆的圆心6,3C π⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径3r =，Q 点在圆C 上运动.以极点为直角坐标系原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系.（1）求圆C 参数方程；（2）若P 点在线段OQ 上，且:2:3OP PQ =，求动点P 轨迹的极坐标方程.【答案】（1）33cos 3sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）；（2）225120sin 10806πρρθ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭【解析】分析】（1）已知得，圆心6,3C π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标为(C ，3r =，则可求得圆的标准方程；（2）结合（1）得，圆C 的极坐标方程为212sin 276πρρθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，再设(),P ρθ，()1,Q ρθ，则1:2:5ρρ=，将152ρρ=代入C 的极坐标方程即可得解.【详解】（1）由已知得，圆心6,3C π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标为(C ，3r =，所以C 的直角坐标方程为()(2239x y -+-=，所以圆C 的参数方程为33cos 3sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）．（2）由（1）得，圆C的极坐标方程为()26cos 270ρρθθ-+=， 即212sin 276πρρθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．设(),P ρθ，()1,Q ρθ，根据:2:3OP PQ =，可得1:2:5ρρ=， 将152ρρ=代入C 的极坐标方程，得225120sin 10806πρρθ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，即动点p 轨迹的极坐标方程为225120sin 10806πρρθ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了直角坐标方程、极坐标方程及参数方程的互化，重点考查了运算能力，属基础题. 23.设函数()211f x x x =-++.【(1)画出()y f x =的图象；(2)若不等式()1f x a x >-+对x ∈R 成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）见解析（2）(,3)-∞【解析】【分析】（1）利用零点分段法将()f x 表示为分段函数的形式，由此画出()f x 的图形.（2）将不等式() 1f x a x >-+转化为21 22a x x -++>.利用绝对值不等式求得21 22x x -++的最小值，由此求得a 的取值范围.【详解】(1)根据绝对值的定义，可得()3,112,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩所以() y f x =的图象如图所示:(2)() 1f x a x >-+，即21 22a x x -++>|21 2 2 2122|3x x x x -++≥---=，3a ∴<，即实数a 的取值范围是(,3)-∞.【点睛】本小题主要考查分段函数的图像，考查含有绝对值的不等式恒成立问题的求解，属于基础题.。
2019届河南省洛阳市高三上学期第一次统一考试数学(理)试卷及答案
洛阳市2019届高三上学期第一次统一考试数学（理）试卷本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)商部分。
第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至 4页.共150分.考试时间120分钟。
第I 卷（选择题，共60分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2.考试结束，将答题卡交回。
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={02|2≤--∈*x x N x }，B={2,3}，则=B A =A. {-1,0,1,2,3}B. {1,2,3}C. [-1,2]D.[-1,3]2.若复数z 为纯虚数，且i a z i -=+)1( (其中R a ∈)，则=+||z a A. 2 B. 3 C. 2 D. 53.函数||ln sin x x y =的图象大致为4.在区间[-1,1]内随机取两个实数y x ,,则满足12-≥x y 的概率是 A. 92 B. 97 C. 61 D. 65 5.4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有A. 24种B. 36种C. 48种D. 60种6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. π939+B. π636+ C.π633+ D. π6312+ 7.已知双曲线C: 12222=-by a x （a>0,b>0)，过左焦点F 1的直线切圆222a y x =+于点P,交双曲线C 右支于点Q ，若PQ P F =1，则双曲线 C 的渐近线方程为 A. x y 21= B. x y ±= C. x y 2±= D. x y 23±= 8.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式3916V d ≈,人们还用过一些类似的近似公式，根据14159.3=π… 判断下列近似公式中最精确的一个是 A. 33160V d ≈ B. 32V d ≈ C. 3818V d ≈ D. 31121V d ≈ 9.已知实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥++≥+-≤020222y x y x x ，则5-=x y z 的取值范围为 A. ]34,32[- B. ]32,34[- C. ),43[]32,(+∞--∞ D. ),23[]43,(+∞--∞ 10.设A ，B 是半径为2的圆0上的两个动点，点C 为AO 中点，则CB CO ⋅筋的取值范围是A. [-1,3] B, [1,3] C.[-3，-1] D.[-3，1]11.已知函数)(x f y =对任意的)2,2(ππ-∈x 满足0>sin )(cos )('x x f x x f +(其中)('x f 是函数)(x f y =的导函数），则下列不等式成立的是。
河南省洛阳市2019-2020学年高三上学期第一次统一考试(1月)数学(理)试题(教师版)
洛阳市2019--2020学年高中三年级第一次统一考试数学试卷(理)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}20|M x x x =-<，{}2,1,0,1,2N =--，则M N =（ ）A. {}0,1B. {}2,1--C. {}1D. {}0,1,2【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得集合M ，由此求得两个集合的交集. 【详解】由()20x x -<，解得{}|02M x x =<<，所以M N ={}1.故选：C【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题. 2.已知复数z 在复平面中对应的点(),x y 满足()2211x y -+=，则1z -=（ ）A. 0B. 1D. 2【答案】B 【解析】 【分析】根据复数对应点的坐标以及复数模的几何意义，判断出正确选项.【详解】由于复数z 在复平面中对应点(),x y 满足()2211x y -+=，即复数z 对应点在圆心为()1,0，半径为1的圆上，1z -表示复数对应的点到()1,0的距离，也即圆上的点到圆心的距离，所以11z -=. 故选：B【点睛】本小题主要考查复数对应点的坐标以及复数模的几何意义，考查圆的方程，属于基础题. 3.为了节能减排，发展低碳经济，我国政府从2001年起就通过相关政策推动新能源汽车产业发展.下面的图表反映了该产业发展的相关信息:根据上述图表信息，下列结论错误的是（ ） A. 2017年3月份我国新能源汽车的产量不超过3.4万辆 B. 2017年我国新能源汽车总销量超过70万辆 C. 2018年8月份我国新能源汽车的销量高于产量D. 2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量低于2万辆 【答案】D 【解析】 【分析】根据图表对选项逐一分析，由此确定结论错误的选项. 【详解】对于A 选项，2017年3月份我国新能源汽车的产量 6.8 6.83.32 3.41 1.05 2.05=≈<+，故A 选项结论正确.对于B 选项，2017年我国新能源汽车总销量125.6125.677.677010.617 1.617=≈>+，故B 选项结论正确.对于C 选项，2018年8月份我国新能源汽车的销量10.1万量，高于产量9.9万量，故C 选项结论正确. 对于D 选项，2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量9.60.25 2.42⨯=>，故D 选项结论错误. 故选：D【点睛】本小题主要考查图表数据分析，考查阅读与理解能力，属于基础题.4.已知正项等比数列{}n a 中，354a a =，且467,1,a a a +成等差数列，则该数列公比q 为（ ） A.14B.12C. 2D. 4【解析】 【分析】结合等差中项的性质，将已知条件转化为1,a q 的形式，由此求得q 的值. 【详解】由于467,1,a a a +成等差数列，所以()64721a a a +=+，所以()64735214a a a a a ⎧+=+⎨=⎩，即()5361112411214a q a q a q a q a q ⎧+=+⎪⎨⋅=⎪⎩，解得11,24a q ==. 故选：C【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查等差中项的性质，属于基础题.5.我国数学家陈最润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就.哥德巴赫猜想简述为“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”(注:如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数)，如40337=+.在不超过40的素数，随机选取2个不同的数，这两个数的和等于40的概率是（ ）A.126 B.122C.117D.115【答案】B 【解析】 【分析】先求得40以内的素数的个数，然后根据古典概型概率计算公式，计算出所求的概率.【详解】40以内的素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37共12个，任选两个的方法数有21212116621C ⨯==⨯种，和为40的有33740,112940,172340+=+=+=共3种，所以不超过40的素数，随机选取2个不同的数，这两个数的和等于40的概率是316622=. 故选：B【点睛】选本小题主要考查古典概型的计算，考查组合数的计算，考查素数的知识，属于基础题. 6.圆222410x y x y +-++=关于直线()300,0ax by a b --=>>对称，则12a b+的最小值是（ ） A. 1 B. 3 C. 5D. 9【答案】B 【解析】求得圆心，代入直线30ax by --=，利用基本不等式求得12a b+的最小值. 【详解】圆222410x y x y +-++=的圆心为()1,2-，由于圆关于直线30ax by --=对称，圆心坐标满足直线方程，所以23a b +=，所以12a b +()1122123253b a a b b b a a +⎛⎫⎛⎫=⋅⋅+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()11554333⎛≥+=+= ⎝，当且仅当22,1b a a b a b===时等号成立. 故选：B【点睛】本小题主要考查圆的几何性质，考查基本不等式求最小值. 7.函数()()23xx e e cos x f x x-⋅-=（e 为自然对数的底数）的大致图象为（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和特殊值，排除错误选项，由此得出正确选项.【详解】由于()()f x f x -=-，所以()f x 为奇函数，图像关于原点对称，由此排除B,D 两个选项. 当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x >，由此排除A 选项. 故选：C【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性，属于基础题.8.正三棱锥的三视图如下图所示，则该正三棱锥的表面积为（ ）A. B. 9 C. 92【答案】A 【解析】 【分析】通过三视图还原出立体图，通过条件可求得底面正三角形边长为则可求侧面积为.【详解】如图所示，底面正三角的高AD=3，所以223AH AD ==，AB=AC=BC=ABCS =又SH 为侧视图中的高，所以SH=3，则AS =则在等腰SAB 中12SABS=⨯=所以侧面积为 A. 【点睛】本题考查已知三视图求几何体的表面积，准确的还原出立体图是解题的关键，属中档题.9.已知点12,F F 分别是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左，右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线C的右支上，且满足1221 2,4F F OP tan PF F =∠=，则双曲线C 的离心率为（ ）B. 5D.179【解析】 【分析】根据12 2F F OP =判断出三角形12F F P 是直角三角形，利用214tan PF F ∠=、双曲线的定义和勾股定理列方程组，化简后求得离心率.【详解】由于12 22F F OP c ==，所以三角形12F F P 是直角三角形.所以12121222221212424PF tan PF F PF PF PF a PF PF F F c ⎧∠==⎪⎪⎪-=⎨⎪+==⎪⎪⎩，化简得22179c a =，即c e a ==故选：C【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查双曲线的定义，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.10.设()f x 是定义在R 上的函数，满足条件()()11f x f x +=-+，且当1x ≤时，()3xf x e-=-，则()27a f log =，()2 1.533,3b f c f --⎛⎫⎪⎝⎭==的大小关系是（ ）A. a b c >>B. a c b >>C. b a c >>D. c b a >>【答案】B 【解析】 【分析】利用已知条件将()27a f log =转换为247a f log ⎛=⎫⎪⎝⎭，根据1x ≤时()f x 的单调性，比较出,,a b c 的大小关系. 【详解】依题意()()11f x f x +=-+，所以()22277log 1log 1227a f log f f ⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎝⎭⎝=⎪⎭24log 7f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.因为21.5324log 03317--<<<<，且当(],1x ∈-∞时，()3x f x e -=-为减函数，所以a c b >>.【点睛】本小题主要考查利用函数的单调性比较大小，考查对数运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.11.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 为棱1CC 的中点.下列结论:①线段BD 上存在点F ，使得//CF 平面1AD E ；②线段BD 上存在点F ，使CF ⊥得平面1AD E ；③平面1AD E 把正方体分成两部分，较小部分的体积为724，其中所有正确的序号是（ ） A. ① B. ③C. ①③D. ①②③【答案】C 【解析】 【分析】利用线面平行的判定定理，作出F 点的位置，判断①正确.利用面面垂直的判定定理，判断②错误.计算较小部分的体积，判断③正确.【详解】设1A D 交1AD 于P ，过P 作PQ AD ⊥，交AD 于Q ，连接CQ 交BD 于F ，由于//,PQ CE PQ CE =，所以四边形PQCE 为平行四边形，所以//CQ EP ，所以//CQ 平面1AED .故线段BD 上存在点F ，使得//CF 平面1AD E ，即①正确.若CF ⊥平面1AD E ，CF ⊂平面ABCD ，则平面1AD E ⊥平面ABCD ，这不成立，所以②错误.延展平面1AD E 为1AMED 如图所示，其中M 是BC 的中点.根据正方体的几何性质可知，1,,D E AM DC 相交于一点， 1CEMDD A ∆∆,所以多面体1CEM DD A -是棱台.且体积为(113CEM DD A S S CD ∆∆⋅+⋅1117138224⎛=⋅++⋅= ⎝.故③正确. 综上所述，正确的序号为①③. 故选：C【点睛】本小题主要考查空间线面平行、线面垂直有关定理，考查台体体积计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.12.已知正项数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a >，且2632n n n S a a =++.若对于任意实数[]2,2a ∈-.不等式2*1()211n a t at n N n +<+-∈+恒成立，则实数t 的取值范围为（ ） A. ][(),22,⋃∞-+∞- B. ,21,(][)∞⋃+∞--C. ,12[),(]-∞⋃+∞-D. []22-,【答案】A 【解析】 【分析】 求得11n a n ++的范围，转化主参变量列不等式组，解不等式组求得t 的取值范围. 【详解】由2632n n n S a a =++①.当1n =时，2111632a a a =++，解得12a =.当2n ≥时，2111632n n n S a a ---=++②，①-②得2211633n n n n n a a a a a --=-+-，()()1130n n n n a a a a --+--=，所以13n n a a --=，所以数列{}n a 是首项为12a =，公差为3d =的等差数列，所以31n a n =-，所以()1311133111n n a n n n ++-==-<+++，所以2213t a t +-≥恒成立，即2240t a t +-≥，转换为2240ta t +-≥，在[]2,2a ∈-恒成立，所以2222402240t t t t ⎧-+-≥⎨+-≥⎩，解得][,2()2,t ∈⋃∞-+∞-. 故选：A【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.平面向量a 与b 的夹角为60，且()3,0a =，1b =，则2a b += __________．【解析】 【分析】 利用()222a b a b+=+来求得2a b +.【详解】依题意()222a b a b+=+224494a ab b =+⋅+=+=【点睛】本小题主要考查平面向量模的运算，考查平面向量数量积的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.14.若实数,x y 满足约束条件,4, 3,y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最小值是__________．【答案】9- 【解析】 【分析】画出可行域，平移基准直线20x y +=到可行域边界位置，由此求得z 的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，平移基准直线20x y +=到可行域边界点()3,3A --位置，此时z 取得最小值为()2339⨯--=-. 故答案为：9-【点睛】本小题主要考查线性规划求最小值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.15.已知椭圆()2222:10,x y C a b A a b+=>>为右顶点.过坐标原点O 的直线交椭圆C 于,P Q 两点，线段AP的中点为M ，直线QM 交x 轴于()2,0N ，椭圆C 的离心率为23，则椭圆C 的标准方程为__________． 【答案】2213620x y += 【解析】 【分析】设出,P Q 两点的坐标，求得M 点坐标，由,,Q M N 三点共线列方程，结合椭圆的离心率求得,a b 的值，进而求得椭圆的标准方程.【详解】设()()0000,,,P x y Q x y --，(),0A a ，所以00,22a x y M +⎛⎫⎪⎝⎭，由于,,Q M N 三点共线，所以00002222y y a x x =++-，解得6a =.由于椭圆离心率23c a =，所以4c =，所以22220,b a c b =-==所以椭圆方程为2213620x y +=. 故答案为：2213620x y += 【点睛】本小题主要考查根据椭圆的离心率求椭圆标准方程，考查运算求解能力，属于基础题.16.已知函数()()12,f lnx ax a x g x x =+=-，且()()0f x g x ≤在定义域内恒成立，则实数a 的取值范围为__________．【答案】{2|a a e =或12a e ⎫≤-⎬⎭【解析】【分析】先求得()()f x g x 的定义域，然后对()f x 和()g x 的符合进行分类讨论，由此求得实数a 的取值范围. 【详解】依题意()()()1ln 2f x g x x ax a x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，定义域为()0,∞+. 由于()()0f x g x ≤在定义域内恒成立，则 ①，1ln 20,0x ax a x +≤-≥恒成立，即ln 12,x a a x x ≤-≤在()0,∞+恒成立.令()ln x h x x=-，()'ln 1x h x x -=，故()h x 在()0,e 上递减，在(),e +∞上递增，故()()1h x h e e≥=-.所以，由ln 12,x a a x x ≤-≤可得12,0a a e ≤-≤，即12a e≤-. ②，1ln 20,0x ax a x +≥-≤恒成立，即ln 12,x a a x x≥-≥在()0,∞+恒成立，不存在这样的a . ③，当0a >时，由于()f x 在()0,∞+上递增，()g x 在()0,∞+上递减，要使()()0f x g x ≤在定义域内恒成立，则需()f x 和()g x 有相同的零点.由ln 2010x ax a x+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得22,a e x e -==. 综上所述，实数a 的取值范围是{2|a a e =或12a e ⎫≤-⎬⎭.故答案为：{2|a a e =或12a e ⎫≤-⎬⎭【点睛】本小题主要考查不等式恒成立问题的求解策略，考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC 中，角,,A B C 对应边分别为,,a b c .(1)若ABC 的面积S 满足222,4c a b c a +=+==且b c >，求b 的值；(2)若3a A π==且ABC 为锐角三角形.求ABC 周长的范围.【答案】（1）b =（2）3(+【解析】【分析】（1）结合三角形面积公式和余弦定理，求得tan C 的值，由此求得C 的大小，利用余弦定理列方程求得b 的值.（2）利用正弦定理表示出,b c ，用三角形内角和定理和三角恒等变换求得b c +的取值范围，由此求得a b c ++即三角形ABC 周长的取值范围.【详解】(1)由条件和三角形的面积公式得2222c c a b +=+=+，即222a b c =+-.将余弦定理2222a b c abcosC +-=.cosC =，即3tanC =，因为(0,)C π∈，所以6C π=将4,6c a C π===，代入2222c a b abcosC =+-，得290b -+=结合条件b c >得b =(2)由正弦定理得2sin sin sin a b c A B C=== 所以()2b c sinB sinC +=+()22233sinB sin B sinB sin B πππ⎡⎡⎤⎛⎫=--+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎤=⎢⎥⎣⎦⎦+32(6)2sinB B π⎛⎫ ⎪ ⎪⎭==+⎝+ 因为A B C π++=，且3A π=及锐角三角形得0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且20,32B ππ⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以62B ππ<<，所以2363B πππ<+<sin 16B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，所以(3,b c +∈所以周长a b c ++范围是3(+.【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查三角恒等变换，考查运算求解能力，属于中档题.18.如图，已知四边形ABCD 为等腰梯形，BDEF 为正方形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，//,1AD BC AD AB ==，60ABC ∠=︒.(1)求证:平面CDE ⊥平面BDEF ；(2)点M 为线段EF 上一动点，求BD 与平面BCM 所成角正弦值的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）1,52⎤⎥⎣⎦ 【解析】【分析】（1）利用等腰梯形的性质证得BD CD ⊥，由面面垂直的性质定理证得CD ⊥平面BDEF ，由此证得平面CDE ⊥平面BDEF .（2）建立空间直角坐标系，设出EM 的长，利用直线BD 的方向向量和平面BCM 的法向量，求得BD 与平面BCM 所成角正弦值的表达式，进而求得BD 与平面BCM 所成角正弦值的取值范围.【详解】在等腰梯形ABCD 中，// ,1AD BC AD AB ==， 60ABC ∠=︒，120,30BAD CDA ADB ∴∠=∠=︒∠=︒，90CDB ∠=︒. 即.BD CD⊥BD =，2BC =. 又平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF ⋂平面,ABCD BD CD =⊂平面ABCD ，∴CD ⊥平面BDEFCD ⊂平面CDE ，∴平面CDE ⊥平面BDEF（2）解:由(1)知，分别以直线,,DB DC DE 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设0(EM m m =≤≤，则()(),0,1,0,000),,B C D，((),3,1,0M m BC =-，()3,0,3,3,0,()0BM m DB =-=设平面BMC 的法向量为(),,n x y x = 00n BC n BM ⎧⋅=∴⎨⋅=⎩，即(100y m x ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩ 令3x =，则3,y z m ==，平面BMC 的一个法向量为3,3,()n m =.设BD 与平面BCM 所成角为θ，,sin cos n BD θ∴=<>(,nBDn BD m ==∴当0m =m 时取最大值12故BD 与平面BCM 所成角正弦值的取值范围为12⎤⎥⎣⎦. 【点睛】本小题主要考查面面垂直的判定定理和性质定理，考查向量法计算线面角正弦值的取值范围，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19.过点()0,2P 的直线与抛物线2:4C x y =相交于,A B 两点. (1)若2AP PB =，且点A 在第一象限，求直线AB 的方程；(2)若,A B 在直线2y =-上的射影分别为11,A B ，线段11A B 的中点为Q ， 求证1//BQ PA .【答案】（1）240x y -+=.（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设出直线AB 的方程，联立直线AB 的方程和抛物线方程，化简后写出韦达定理，利用2AP PB =，结合平面向量相等的坐标运算、韦达定理，求得直线AB 的斜率，进而求得直线AB 的方程.（2）由（1）求得11,,A B Q 的坐标，通过计算10BQ PA k k -=，证得1//BQ PA .【详解】(1)设AB 方程为()20y kx k =+>，()()11221,,,,0A x y B x y x > ，联立方程24 2.x y y kx ⎧=⎨=+⎩，，消去y 得:2480x kx --=，216320k =+>，121248x x k x x +=⎧⎨⋅=-⎩① 又()1122(),2,,2AP x y PB x y =--=-由2AP PB =得:122x x =-代人①解得12k = ∴直线AB 的方程为:122y x =+，即240x y -+=. (2)由(1)得，()111122,2,,2(()2),,2x A x B x Q x +---114PA k x =-， ()22221221228422BQ x x k x x x x x ++==+-- ()()()122121212211121888422BQ PA x x x x x x k k x x x x x x ++-+-=+=-- ()()()221212************x x x x x x x x x x x x ++===-- 1BQ PA k k ∴=1//PA BQ ∴【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查向量的坐标运算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.20.设函数()()3211232x f x e x kx kx =--+. (1)若1k =，求()f x 的单调区间；(2)若()f x 存在三个极值点123,,x x x ，且123x x x <<，求k 的取值范围，并证明:1 3 22x x x >+.【答案】（1）单调减区间为(,1)-∞，单调增区间为(1,)+∞.（2）k e >，证明见解析【解析】【分析】（1）当1k =时，利用导数求得()f x 的单调区间.（2）先求得()f x 的导函数()()()'1x e x f x kx --=，则()x g x e kx =-有两个不同的零点，且都不是1.对k 分成0,0k k ≤>两种情况分类讨论，利用导数研究()g x 的单调性和零点，由此求得k 的取值范围. 由上述分析可得12301x x x <<=<，利用导数证得312313131ln ln 221x x x x x x x x x -=>=-++，从而证得1 3 22x x x >+.【详解】(1)()32()11 232x f x e x x x =--+()()() 1x f x e x x '∴=--.令()(),'1x xh x e x h x e =-=-， ()'0h x >得0x >，()'0h x <得0x <，()h x 在(,0)-∞上递减，在(0,)+∞上递增.()()010h x h ∴≥=>即0x e x ->，∴解()'0f x >得1x >，解()'0f x <得1x <，()f x ∴的单调减区间为(,1)-∞，单调增区间为(1,)+∞.(2)()()()()2'21x x x f x e x e kx kx e kx x =-+-+=--，()f x 有三个极值点，∴方程0-=x e kx 有两个不等根，且都不是1，令()xg x e kx =-， 0k ≤时，()g x 单调递增，()0g x =至多有一根，0k ∴>解()'0g x >得x lnk >，解()'0g x <得x lnk <.()g x ∴在(n ),l k -∞上递减，在(ln ,)k +∞上递增，()()ln 10,k g lnk e klnk k lnk k e =-=-<>∴此时，()010g =>，()1,10lnk g e k >=-<，x →+∞时()g x →+∞.k e ∴>时，()'0f x =有三个根123,,x x x ，且12301x x x <<=<，由11x e kx =得11x lnk lnx =+，由33x e kx =得33x lnk lnx =+，3131ln ln 1x x x x -∴=- 下面证明:313131ln ln 2x x x x x x ->-+，可变形为331311121x x x ln x x x ->+令311x t x =>，()()21ln 1t x t t ϕ-=-+ ()()()()222114011t x t t t t ϕ-'=-=>++，()x ϕ∴在(1)+∞，上递增， ()()10t ϕϕ∴>= ∴313131ln ln 21x x x x x x -=>-+，3122.x x x ∴+> 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求解函数极值有关问题，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题.21.“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.每次考试过后，考生最关心的问题是:自己的考试名次是多少?自已能否被录取?能获得什么样的职位? 某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)录用300名，其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.(一般地，对于一次成功的考试来说，考试成绩应服从正态分布. )考试后考试成绩的部分统计结果如下:考试平均成绩是180分，360分及其以上的高分考生30名.(1)最低录取分数是多少?(结果保留为整数)(2)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位?若不能被录取，请说明理由.参考资料:(1)当2~(,)X N μσ时，令X Y μσ-=，则()~0,1Y N .(2)当()~0,1Y N 时， 2.17()0.985P Y ≤≈， 1.280.900, 1.()09()0.863P Y P Y ≤≈≤≈，1.04()0.85P Y ≤≈.【答案】（1）266分或267分.（2）能获得高薪职位.见解析【解析】【分析】（1）利用考试的平均成绩、高分考生的人数，以及题目所给正态分布的参考资料，求得考生成绩X 的分布()~180,832X N ，利用录取率3002000列方程，由此求得最低录取分数线. （2）计算出不低于考生甲的成绩的人数约为200，由此判断出甲能获得高薪职位.【详解】(1)设考生成绩为X ，则依题意X 应服从正态分布，即()2~180,X N σ.令180X Y σ-=，则()~0,1Y N .由360分及其以上的高分考生30名可得()303602000P X ≥=即()3036010.9852000P X <=-≈，亦即3601800.985P Y σ-⎛⎫<≈ ⎪⎝⎭. 则3601802.17σ-=，解得()83180,832N σ≈∴，， 设最低录取分数线为o x ，则0180300832(0)00o x P X x P Y -⎛⎫≥=≥= ⎪⎝⎭ 则018030010.85832000x P Y -⎛⎫<=-≈ ⎪⎝⎭，0180 1.0483x -∴= 266.32o x ∴≈.即最低录取分数线为266分或267分.(2)考生甲的成绩286267>，所以能被录取.()()286180()286 1.280.9083P X P Y P Y -<=<=<≈， 表明不低于考生甲的成绩的人数约为总人数的10.900.10,20000.1200-=⨯≈，即考生甲大约排在第200名，排在275名之前，所以他能获得高薪职位.【点睛】本小题主要考查正态分布在实际生活中的应用，考查化归与转化的数学思想方法，考查阅读理解能力，属于中档题.请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B 铅笔在答题卡.上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.22.在极坐标系中，已知圆的圆心6,3C π⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径3r =，Q 点在圆C 上运动.以极点为直角坐标系原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系.（1）求圆C 参数方程； （2）若P 点在线段OQ 上，且:2:3OP PQ =，求动点P 轨迹的极坐标方程.【答案】（1）33cos 3sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）；（2）225120sin 10806πρρθ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】（1）已知得，圆心6,3C π⎛⎫ ⎪⎝⎭的直角坐标为(C ，3r =，则可求得圆的标准方程；（2）结合（1）得，圆C 的极坐标方程为212sin 276πρρθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，再设(),P ρθ，()1,Q ρθ，则1:2:5ρρ=，将152ρρ=代入C 的极坐标方程即可得解. 【详解】（1）由已知得，圆心6,3C π⎛⎫ ⎪⎝⎭的直角坐标为(C ，3r =， 所以C 的直角坐标方程为()(2239x y -+-=，所以圆C 的参数方程为33cos 3sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）． （2）由（1）得，圆C 的极坐标方程为()26cos 270ρρθθ-+=，即212sin 276πρρθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． 设(),P ρθ，()1,Q ρθ，根据:2:3OP PQ =，可得1:2:5ρρ=，将152ρρ=代入C 的极坐标方程，得225120sin 10806πρρθ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭， 即动点p 轨迹的极坐标方程为225120sin 10806πρρθ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了直角坐标方程、极坐标方程及参数方程的互化，重点考查了运算能力，属基础题.23.设函数()211f x x x =-++.(1)画出()y f x =的图象；(2)若不等式()1f x a x >-+对x ∈R 成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）见解析（2）(,3)-∞【解析】【分析】（1）利用零点分段法将()f x 表示为分段函数的形式，由此画出()f x 的图形.（2）将不等式() 1f x a x >-+转化为21 22a x x -++>.利用绝对值不等式求得21 22x x -++的最小值，由此求得a 的取值范围.【详解】(1)根据绝对值的定义，可得()3,112,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩所以() y f x =的图象如图所示:(2)() 1f x a x >-+，即21 22a x x -++>|21 2 2 2122|3x x x x -++≥---=，3a ∴<，即实数a 的取值范围是(,3)-∞.【点睛】本小题主要考查分段函数的图像，考查含有绝对值的不等式恒成立问题的求解，属于基础题.。
河南省洛阳市2019届高三上学期第一次统一考试 数学(理)试题 Word版含答案
洛阳市2018—2019学年高中三年级第一次统一考试数学试卷（理）本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)商部分。
第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至 4页.共150分.考试时间120分钟。
第I 卷（选择题，共60分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2.考试结束，将答题卡交回。
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={02|2≤--∈*x x N x }，B={2,3}，则=B A = A. {-1,0,1,2,3} B. {1,2,3} C. [-1,2]D.[-1,3]2.若复数z 为纯虚数，且i a z i -=+)1( (其中R a ∈)，则=+||z a A. 2 B. 3 C. 2 D. 53.函数||ln sin x xy =的图象大致为4.在区间[-1,1]内随机取两个实数y x ,,则满足12-≥x y 的概率是 A.92 B. 97 C. 61 D. 65 5.4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有 A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 60种6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.π939+ B. π636+C.π633+ D.π6312+ 7.已知双曲线C: 12222=-by a x （a>0,b>0)，过左焦点F 1的直线切圆222a y x =+于点P,交双曲线C 右支于点Q ，若PQ P F =1，则双曲线 C 的渐近线方程为 A. x y 21=B. x y ±=C. x y 2±=D. x y 23±= 8.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式3916V d ≈,人们还用过一些类似的近似公式，根据14159.3=π… 判断下列近似公式中最精确的一个是 A. 33160V d ≈ B. 32V d ≈ C. 3818V d ≈ D. 31121V d ≈ 9.已知实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥++≥+-≤020222y x y x x ，则5-=x y z 的取值范围为A. ]34,32[-B. ]32,34[-C. ),43[]32,(+∞--∞D. ),23[]43,(+∞--∞10.设A ，B 是半径为2的圆0上的两个动点，点C 为AO 中点，则⋅筋的取值范围是 A. [-1,3] B, [1,3] C.[-3，-1] D.[-3，1] 11.已知函数)(x f y =对任意的)2,2(ππ-∈x 满足0>sin )(cos )('x x f x x f +(其中)('x f 是函数)(x f y =的导函数），则下列不等式成立的是A. )4(2>)0(πf f B. )4(＜)3(2ππf fC. )3(2>)0(πf f D. )4(＜)3(2ππ--f f12.已知球O 是正三棱锥(底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心)的外接球，BC=3，AB=32，点五在线段BD 上，且BD=6BE ，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是A. ]4,43[ππ B. ]4,45[ππC. ]4,47[ππD. ]4,411[ππ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分。
河南省洛阳市2019届高三下学期第一次月考数学(理)试题
理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合的范围，然后求的交集，由此得出正确结论.【详解】对于集合，由，解得，故，故选D.【点睛】本小题主要考查两个集合的交集，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.2.已知复数，其中，为虚数单位，且，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由商的模等于模的商求解b的值．【详解】由z，得|z|，即，得b＝±25．故选：A．【点睛】本题考查复数模的求法，是基础题．3.等差数列中，为其前项和，若，，则（）A. 32B. 18C. 14D. 10【答案】B【解析】【详解】设等差数列的公差为 ,首项为,因为，，解得，，故选B.【点睛】本题主要考查等差数列的前项公式，以及方程思想的应用，属于基础题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.4.哈六中数学兴趣小组的同学们为了计算六中数学组二维码中黑色部分的面积，在如图一个边长为的正方形区域内随机投掷个点，其中落入黑色部分的有个点，据此可估计黑色部分的面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设黑色部分的面积为，利用几何概型概率计算公式列出方程能估计黑色部分的面积.【详解】设黑色部分的面积为，正方形二维码边长为4,在正方形区域内随机投掷400个点，其中落入黑色部分的有225个点，，解得，据此可估计黑色部分的面积为9，故选C.【点睛】本题主要考查几何概型概率公式以及模拟实验的基本应用，属于简单题，求不规则图形的面积的主要方法就是利用模拟实验，列出未知面积与已知面积之间的方程求解.5.若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则此双曲线的实轴长为（）A. 1B. 2C. 9D. 18【答案】D【解析】【分析】先求出渐近线的一般方程，利用斜率乘积为得到的值后可得实轴长.【详解】渐近线的方程为，因，故渐近线与直线垂直，故，解得，所以双曲线的实轴长为，故选D.【点睛】如果双曲线的方程为，那么求其渐近线的方法就是把变成零后所得两个二元一次方程就是渐近线方程.另外表示一类双曲线，它们具有共同的渐近线（俗称共渐近线的双曲线系）.6.某三棱锥的三视图如图所示，此三棱锥的体积为，则三棱锥的所有棱中，最长棱的长度为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由三棱锥的三视图知该三棱锥是三棱锥P﹣ABC，其中平面PAC⊥底面ABC，结合体积明确底面形状，由此能求出在该三棱锥中，最长的棱长．【详解】由三棱锥的三视图知该三棱锥是三棱锥P﹣ABC，其中平面PAC⊥底面ABC，取AC中点为E，则PE⊥底面ABC，且PE=3，AC=2由，即∴△ABC为等边三角形，AB=BC=CA=2，PB，PB，∴最长棱的长度为故选：B【点睛】本题考查三棱锥中最长棱长的求法，考查三棱锥性质及其三视图等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．7.已知函数，则的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用特殊值，对函数图像进行排除，由此得出正确选项.【详解】由于，排除B选项.由于，，函数单调递减，排除C选项.由于，排除D选项.故选A. 【点睛】本小题主要考查已知具体函数的解析式，判断函数的图像，属于基础题.8.已知函数的极大值和极小值分别为，，则（）A. 0B. 1C. 2D. 4【答案】D【解析】【分析】本道题计算导函数，得到的值，然后利用根与系数关系，计算，即可。
河南省洛阳市2019届高三数学上学期第一次统一考试(12月)试题 理
河南省洛阳市2019届高三上学期第一次统一考试（12月）数学试卷(理)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U R =，集合{}2log 1A x x =≤，{}220B x x x =+-≥，则U A C B =（ ）A ．(0,1]B ．(2,2]-C ．(0,1)D ．[2,2]-2.若()12m i i ni +=+⋅（,,m n R i ∈是虚数单位），则n m -等于（ ） A ．3 B ．2 C ．0 D ．-13.若函数同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美丽数”： （1）对x R ∀∈，都有()()0f x f x -+=； （2）对12,x x R ∀∈，且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-．①()sin f x x =；②()32f x x =-；③()1f x x =-；④())f x x =以上四个函数中，“优美函数”的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34.已知向量(),2a m =，()3,6b =-，若||||a b a b +=-，则实数m 的值是（ ） A ．-4 B ．-1 C. 1 D ．45.已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（ ）A ．求首项为1，公差为2 的等差数列前2017项和B ．求首项为1，公差为2 的等差数列前2019项和 C. 求首项为1，公差为4 的等差数列前1009项和 D ．求首项为1，公差为4 的等差数列前1010项和6.设,x y 满足约束条件30103x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =+的最小值与最大值的和为（ ）A ．7B ．8 C. 13 D ．147.已知函数()()sin f x x x x R =∈，先将()y f x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的13（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平移()0θθ>个单位长度，得到的图象关于y 轴对称，则θ的最小值为（ ） A ．9π B ．3πC. 518π D ．23π8.一个几何体的三视图如图所示，图中的三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为（ ）A ．283π-B ．43π- C. 83π- D ．243π- 9.若0sin a xdx π=⎰，则二项式61()x的展开式中的常数项为（ ）A ．-15B ．15 C. -240 D ．24010.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若,,a b c 成等比数列，且22a c ac bc =+-，则sin cb B=（ ）A11.已知F 是抛物线()21:20C y px p =>的焦点，曲线2C 是以F 为圆心，以2p为半径的圆，直线4320x y p --=与曲线12,C C 从上到下依次相交于点,,,A B C D ，则||ABCD=（ ） A ．16 B ．4 C.83 D ．5312.已知函数()f x 满足()()()()111f x f x f x x R -=+=-∈，且当01x ≤≤时，()21x f x =-，则方程|cos()|()0x f x π-=在[]1,3-上的所有根之和为（ ）A ．8B ．9 C. 10 D ．11第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知sin cos 2αα+=，则cos4α= ． 14.某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每人只选报1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法数有 种（用数字作答）．15.在半径为4的球面上有不同的四点,,,A B C D ，若4AB AC AD ===，则平面BCD 被球所截得图形的面积为 ．16.已知12,F F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，00(,)P x y 是双曲线C 右支上的一点，连接1PF 并过1F 作垂直于1PF 的直线交双曲线左支于,R Q ，其中00(,)R x y --，1QF P 为等腰三角形．则双曲线C 的离心率为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知各项均不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意n N *∈，满足11(1)3n n S a a =-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足2log n n n a b a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：89n T <． 18.甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表： 甲公司送餐员送餐单数频数表乙公司送餐员送餐单数频数表（1）现从甲公司记录的50天中随机抽取3天，求这3天送餐单数都不小于40的概率； （2）若将频率视为概率，回答下列两个问题：①记乙公司送餐员日工资为X （单位：元），求X 的分布列和数学期望；②小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由．19.如图，在四棱锥P ABCD -中，,E F 分别是,PC PD 的中点，底面ABCD 是边长为2的正方形，2PA PD ==，且平面PAD ⊥平面ABCD ．（1）求证：平面AEF ⊥平面PCD ；（2）求平面AEF 与平面ACE 所成锐二面角的余弦值．20.已知短轴长为2的椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，直线n 的横、纵截距分别为,1a -，且原点到直线n 的距离为2． （1）求椭圆E 的方程；（2）直线l 经过椭圆的右焦点2F 且与椭圆E 交于,A B 两点，若椭圆E 上存在一点C 满足320OA OB OC +-=，求直线l 的方程．21.已知函数()ln m x f x n x =+，21()(())2ag x x f x x =--（,,m n a R ∈），且曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-．（1）求实数,m n 的值及函数()f x 的最大值；（2）当1(,)a e e∈-时，记函数()g x 的最小值为b ，求b 的取值范围． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为x ty m t=⎧⎨=+⎩（t 为参数，m R ∈），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为()223032cos ρθπθ=≤≤-．（1）写出曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）已知点P 是曲线2C 上一点，若点P 到曲线1C 的最小距离为m 的值． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()()1||3f x x a a R =-∈. （1）当2a =时，解不等式()1||13x f x -+≥；（2）设不等式()1||3x f x x -+≤的解集为M ，若11[,]32M ⊆，求实数a 的取值范围．试卷答案一、选择题1-5: CABDC 6-10: DCADB 11、12：AD 二、填空题 13.7814. 36 15. 12π16. 2三、解答题17.（1）当1n =时，2111111111(1)333a S a a a a ==-=-， ∵10a ≠，∴14a =. ∵4(1)3n n S a =-，∴当2n ≥时，114(a 1)3n n S --=-，两式相减得1a 4a n n -=， ∴数列{}a n 是首项为4，公比为4的等比数列，∴a 4nn =.（2）∵2a log a 2n n n b n ==，∴24n nn b =， ∴12324624444n n nT =++++， 234112462+++44444n n n T +=+， 两式相减得234132222224444444n n n n T +=+++++-23411111122()444444n n n+=+++++-111(1)2244214314n n n +-=-=--1122268344334n n n n n +++-=-. ∴86889949n n n T +=-<.18.（1）记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件M ，则32535023()196C P M C ==.（2）①设乙公司送餐员送餐单数为a ，则当38a =时，386228X =⨯=，当39a =时，396234X =⨯=，当40a =时，406240X =⨯=，当41a =时，40617247X =⨯+⨯=，当42a =时，40627254X =⨯+⨯=.所以X 的所有可能取值为228，234，240，247，254.故X 的分布列为：∴()228234105E X =⨯+⨯+240247254241.85510⨯+⨯+⨯=.②依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为380.2390.3400.2410.2420.139.7⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.所以甲公司送餐员日平均工资为80439.7238.8+⨯=元. 由①得乙公司送餐员日平均工资为241.8元. 因为238.8241.8<，故推荐小王去乙公司应聘.19.（1）由题PA PD AD ==，F 为PD 的中点，可得AF PD ⊥， ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，CD AD ⊥， ∴CD ⊥平面PAD . 又∵AF ⊂平面PAD ， ∴CD AF ⊥.CDPD D =∴AF ⊥平面PCD . ∴平面AEF ⊥平面PCD .（2）取AD 的中点O ，BC 的中点F ，连接,OP OF ， ∵PA PD AD ==，∴OP AD ⊥.∵平面PAD ⊥平面,ABCD OP ⊂平面PAD ， ∴OP ⊥平面ABCD .分别以,,OA OF OP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(1,0,0)A ，(1,2,0)C -，1(2E -，1(2F -，3(2AF =-，(0,1,0)FE =设平面AEF 的法向量为(,,)m x y z =，则0m AF m FE ⎧=⎪⎨=⎪⎩.即3020x z y ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩.可取=1,0,m （. 同理，可得平面ACE 的法向量(3,3,1)n =.cos ,||||m n m n m n <>==7=. 所以平面AEF 与平面ACE 所成锐二面角余弦值为7.20.（1）因为椭圆E 的短轴长为2，故1b =. 依题意设直线n 的方程为：1xy a-==.解得a = 故椭圆的方程为2213x y +=. （2）设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y当直线l 的斜率为0时，显示不符合题意.当直线l的斜率不为0时，2F ，设其方程为x ty =由2213x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22(3)10t y ++-=，所以1223y y t +=-+，1221,3y y t =-+，① 因为320OA OB OC +-=，所以31212x x x=+，31212y y y = 又点C 在椭圆E 上，∴222331211()332x y xx +=+2121()2y y + 2222121213()()4343x xy y =+++12121)123x x y y ++= 又∵221113x y +=，22213xy += ∴1212103x x y y+=，② 将11x ty =22x ty =21t =，即1t =或1t =-. 故直线l 的方程为0x y +=或0x y -=. 21.（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()21ln m x f x x -'=，因不()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-，所以(1)1ln1(1)01f m m f n '==⎧⎪⎨=+=⎪⎩.解得1,0m n ==. 所以()ln x f x x =．故()21ln xf x x-'=． 令()0f x '=，得x e =，当0x e <<时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当x e >时，()0f x '<，()f x 单调递减．所以当x e =时，()f x 取得最大值()1f e e=． （2）∵()221(())ln 22a ax g x x f x x x x x =--=--， ∴()ln ln ()xg x x ax x a x'=-=-， ∵1e a e-<<， ∴1()f e a e=-<，()1f e a e=>， 所以存在()1(,),0t e g t e'∈=即ln t at =，当()0,x t ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，当(,]x t e ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增， 所以()g x 的最小值为2ln ln 22a t tb t t t t t =--=-， 令()ln 2t tb t h t =-=， 因为()ln 102t h t -'=<，所以()h t 在1(,)e e 单调递减，从而3()(,)22e h t e ∈--，即b 的取值范围是3(,)22e e--22.（1）由曲线1C 的参数方程，消去参数t ，可得1C 的普通方程为：0x y m -+=． 由曲线2C 的极坐标方程得22232cos 3ρρθ-=，[]0,θπ∈，∴曲线2C 的直角坐标方程为()221013x y y +=≤≤ （2）设曲线2C 上任意一点P为[],sin ),0,αααπ∈，则点P 到曲线1C的距离为d=|2cos()|m πα++=∵[]0,απ∈∴cos()[1,62πα+∈-，2cos()[6πα+∈-，当0m <时，4m =-，即4m =-； 当20m ->时，24m -=，即6m =．∴4m =-6m =．中小学最新教育资料中小学最新教育资料 23.（1）当2a =时，原不等式可化为|31||2|3x x -+-≥． ①当13x ≤时，原不等式可化为3123x x -++-≥，解得0x ≤，所以0x ≤； ②当123x <<时，原不等式可化为3123x x -+-≥，解得1x ≥，所以12x ≤<； ③当2x ≥时，原不等式可化为3123x x --+≥，解得32x ≥，所以2x ≥． 综上所述，当2a =时，不等式的解集为{|01}x x x ≤≥或．（2）不等式()1||3x f x x -+≤可化为|31|||3x x a x -+-≤， 依题意不等式|31|||3x x a x -+-≤在11[,]32恒成立， 所以31||3x x a x -+-≤，即||1x a -≤，即11a x a -≤≤+，所以113112a a ⎧-≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩． 解得1423a -≤≤，故所求实数a 的取值范围是14[,]23-．。
河南省洛阳市2019-2020学年高三上学期第一次统一考试数学(理)试题(带答案)
河南省洛阳市2019-2020学年高三上学期第一次统一考试数学（理)试题第I 卷（选择题)一、单选题1．已知集合(){}20|M x x x =-<，{}2,1,0,1,2N =--，则M N =I （ ） A ．{}0,1B ．{}2,1--C ．{}1D ．{}0,1,22．已知复数z 在复平面中对应的点(),x y 满足()2211x y -+=，则1z -=（ ） A ．0B ．1CD ．23．为了节能减排，发展低碳经济，我国政府从2001年起就通过相关政策推动新能源汽车产业发展.下面的图表反映了该产业发展的相关信息:1-12月 127 59.9 125.6 61.7 2019年1月 9.1 113 9.6 138 2月5.950.95.353.6根据上述图表信息，下列结论错误的是（ ） A ．2017年3月份我国新能源汽车的产量不超过3.4万辆B ．2017年我国新能源汽车总销量超过70万辆C ．2018年8月份我国新能源汽车的销量高于产量D ．2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量低于2万辆4．已知正项等比数列{}n a 中，354a a =，且467,1,a a a +成等差数列，则该数列公比q 为（ ） A ．14B ．12C ．2D ．45．我国数学家陈最润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就.哥德巴赫猜想简述为“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”(注:如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数)，如40337=+.在不超过40的素数，随机选取2个不同的数，这两个数的和等于40的概率是（ ） A ．126B ．122C ．117D ．1156．圆222410x y x y +-++=关于直线()300,0ax by a b --=>>对称，则12a b+的最小值是（ ） A ．1 B ．3C ．5D ．97．函数()()23xx e e cos x f x x-⋅-=（e 为自然对数的底数）的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．8．正三棱锥的三视图如下图所示，则该正三棱锥的表面积为（ ）A ．33033+B ．3309+C ．123D ．991022+9．已知点12,F F 分别是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左，右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足1221 2,4F F OP tan PF F =∠=，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．5B ．5C ．173D ．17910．设()f x 是定义在R 上的函数，满足条件()()11f x f x +=-+，且当1x ≤时，()3xf x e -=-，则()27a f log =，()2 1.533,3b f c f --⎛⎫⎪⎝⎭==的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a >>11．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 为棱1CC 的中点.下列结论:①线段BD 上存在点F ，使得//CF 平面1AD E ；②线段BD 上存在点F ，使CF ⊥得平面1AD E ；③平面1AD E 把正方体分成两部分，较小部分的体积为724，其中所有正确的序号是（ ） A ．① B ．③ C ．①③ D ．①②③12．已知正项数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a >，且2632n n n S a a =++.若对于任意实数[]2,2a ∈-.不等式2*1()211n a t at n N n +<+-∈+恒成立，则实数t 的取值范围为（ ） A ．][(),22,⋃∞-+∞- B ．,21,(][)∞⋃+∞--C ．,12[),(]-∞⋃+∞-D ．[]22-,第II 卷（非选择题)二、填空题13．平面向量a v 与b v 的夹角为60o，且()3,0a =v ，1b =v ，则2a b +=v v __________．14．若实数,x y 满足约束条件,4, 3,y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最小值是__________．15．已知椭圆()2222:10,x y C a b A a b +=>>为右顶点.过坐标原点O 的直线交椭圆C 于,P Q 两点，线段AP 的中点为M ，直线QM 交x 轴于()2,0N ，椭圆C 的离心率为23，则椭圆C 的标准方程为__________． 16．已知函数()()12,f lnx ax a x g x x=+=-，且()()0f x g x ≤在定义域内恒成立，则实数a 的取值范围为__________．三、解答题17．在ABC V 中，角,,A B C 对应边分别为,,a b c . (1)若ABC V 的面积S 满足22243,7,4S c a b c a +=+==且b c >，求b 的值；(2)若3,3a A π==且ABC V 为锐角三角形.求ABC V 周长的范围.18．如图，已知四边形ABCD 为等腰梯形，BDEF 为正方形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，//,1AD BC AD AB ==，60ABC ∠=︒.(1)求证:平面CDE ⊥平面BDEF ；(2)点M 为线段EF 上一动点，求BD 与平面BCM 所成角正弦值的取值范围.19．过点()0,2P 的直线与抛物线2:4C x y =相交于,A B 两点. (1)若2AP PB =u u u v u u u v，且点A 在第一象限，求直线AB 的方程；(2)若,A B 在直线2y =-上的射影分别为11,A B ，线段11A B 的中点为Q ， 求证1//BQ PA .20．设函数()()3211232xf x ex kx kx =--+. (1)若1k =，求()f x 的单调区间；(2)若()f x 存在三个极值点123,,x x x ，且123x x x <<，求k 的取值范围，并证明:1 3 22x x x >+.21．“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.每次考试过后，考生最关心的问题是:自己的考试名次是多少?自已能否被录取?能获得什么样的职位? 某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)录用300名，其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.(一般地，对于一次成功的考试来说，考试成绩应服从正态分布. )考试后考试成绩的部分统计结果如下: 考试平均成绩是180分，360分及其以上的高分考生30名. (1)最低录取分数是多少?(结果保留为整数)(2)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位?若不能被录取，请说明理由.参考资料:(1)当2~(,)X N μσ时，令X Y μσ-=，则()~0,1Y N .(2)当()~0,1Y N 时， 2.17()0.985P Y ≤≈，1.280.900, 1.()09()0.863P Y P Y ≤≈≤≈， 1.04()0.85P Y ≤≈.22．在极坐标系中，已知圆的圆心6,3C π⎛⎫⎪⎝⎭，半径3r =，Q 点在圆C 上运动.以极点为直角坐标系原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系. （1）求圆C 的参数方程；（2）若P 点在线段OQ 上，且:2:3OP PQ =，求动点P 轨迹的极坐标方程.23．设函数()211f x x x =-++.(1)画出()y f x =的图象；(2)若不等式()1f x a x >-+对x ∈R 成立，求实数a 的取值范围.参考答案1．C 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得集合M ，由此求得两个集合的交集. 【详解】由()20x x -<，解得{}|02M x x =<<，所以M N =I {}1. 故选：C 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题. 2．B 【解析】 【分析】根据复数对应点的坐标以及复数模的几何意义，判断出正确选项. 【详解】由于复数z 在复平面中对应的点(),x y 满足()2211x y -+=，即复数z 对应点在圆心为()1,0，半径为1的圆上，1z -表示复数对应的点到()1,0的距离，也即圆上的点到圆心的距离，所以11z -=. 故选：B 【点睛】本小题主要考查复数对应点的坐标以及复数模的几何意义，考查圆的方程，属于基础题. 3．D 【解析】 【分析】根据图表对选项逐一分析，由此确定结论错误的选项. 【详解】对于A 选项，2017年3月份我国新能源汽车的产量 6.8 6.83.32 3.41 1.05 2.05=≈<+，故A 选项结论正确.对于B 选项，2017年我国新能源汽车总销量125.6125.677.677010.617 1.617=≈>+，故B 选项结论正确.对于C 选项，2018年8月份我国新能源汽车的销量10.1万量，高于产量9.9万量，故C 选项结论正确.对于D 选项，2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量9.60.25 2.42⨯=>，故D 选项结论错误. 故选：D 【点睛】本小题主要考查图表数据分析，考查阅读与理解能力，属于基础题. 4．C 【解析】 【分析】结合等差中项的性质，将已知条件转化为1,a q 的形式，由此求得q 的值. 【详解】由于467,1,a a a +成等差数列，所以()64721a a a +=+，所以()64735214a a a a a ⎧+=+⎨=⎩，即()5361112411214a q a q a q a q a q ⎧+=+⎪⎨⋅=⎪⎩，解得11,24a q ==. 故选：C 【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查等差中项的性质，属于基础题. 5．B 【解析】 【分析】先求得40以内的素数的个数，然后根据古典概型概率计算公式，计算出所求的概率.【详解】40以内的素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37共12个，任选两个的方法数有21212116621C ⨯==⨯种，和为40的有33740,112940,172340+=+=+=共3种，所以不超过40的素数，随机选取2个不同的数，这两个数的和等于40的概率是316622=. 故选：B 【点睛】选本小题主要考查古典概型的计算，考查组合数的计算，考查素数的知识，属于基础题. 6．B 【解析】 【分析】求得圆心，代入直线30ax by --=，利用基本不等式求得12a b+的最小值. 【详解】圆222410x y x y +-++=的圆心为()1,2-，由于圆关于直线30ax by --=对称，圆心坐标满足直线方程，所以23a b +=，所以12a b +()1122123253b a a b b b a a +⎛⎫⎛⎫=⋅⋅+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()11554333⎛≥+=+= ⎝，当且仅当22,1b aa b a b ===时等号成立. 故选：B 【点睛】本小题主要考查圆的几何性质，考查基本不等式求最小值. 7．C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和特殊值，排除错误选项，由此得出正确选项. 【详解】由于()()f x f x -=-，所以()f x 为奇函数，图像关于原点对称，由此排除B,D 两个选项.当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x >，由此排除A 选项. 故选：C 【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性，属于基础题. 8．A 【解析】 【分析】通过三视图还原出立体图，通过条件可求得底面正三角形边长为，. 【详解】如图所示，底面正三角的高AD=3，所以223AH AD ==，AB=AC=BC=ABC S =V ,又SH 为侧视图中的高，所以SH=3，则AS =则在等腰SAB V 中12SAB S =⨯=V所以侧面积为A . 【点睛】本题考查已知三视图求几何体的表面积，准确的还原出立体图是解题的关键，属中档题. 9．C 【解析】 【分析】根据12 2F F OP =判断出三角形12F F P 是直角三角形，利用214tan PF F ∠=、双曲线的定义和勾股定理列方程组，化简后求得离心率.由于12 22F F OP c ==，所以三角形12F F P 是直角三角形.所以12121222221212424PF tan PF F PF PF PF a PF PF F F c ⎧∠==⎪⎪⎪-=⎨⎪+==⎪⎪⎩，化简得22179c a =，即c e a ==故选：C 【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查双曲线的定义，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 10．B 【解析】 【分析】利用已知条件将()27a f log =转换为247a f log ⎛=⎫⎪⎝⎭，根据1x ≤时()f x 的单调性，比较出,,a b c 的大小关系. 【详解】依题意()()11f x f x +=-+，所以()22277log 1log 1227a f log f f ⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎝⎭⎝=⎪⎭24log 7f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.因为21.5324log 03317--<<<<，且当(],1x ∈-∞时，()3x f x e -=-为减函数，所以a c b >>. 故选：B 【点睛】本小题主要考查利用函数的单调性比较大小，考查对数运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 11．C【分析】利用线面平行的判定定理，作出F 点的位置，判断①正确.利用面面垂直的判定定理，判断②错误.计算较小部分的体积，判断③正确. 【详解】设1A D 交1AD 于P ，过P 作PQ AD ⊥，交AD 于Q ，连接CQ 交BD 于F ，由于//,PQ CE PQ CE =，所以四边形PQCE 为平行四边形，所以//CQ EP ，所以//CQ 平面1AED .故线段BD 上存在点F ，使得//CF 平面1AD E ，即①正确.若CF ⊥平面1AD E ，CF ⊂平面ABCD ，则平面1AD E ⊥平面ABCD ，这不成立，所以②错误.延展平面1AD E 为1AMED 如图所示，其中M 是BC 的中点.根据正方体的几何性质可知，1,,D E AM DC 相交于一点， 1CEM DD A ∆∆:,所以多面体1CEM DD A -是棱台.且体积为(113CEM DD A S S CD ∆∆⋅+⋅1117138224⎛=⋅++⋅= ⎝.故③正确. 综上所述，正确的序号为①③. 故选：C【点睛】本小题主要考查空间线面平行、线面垂直有关定理，考查台体体积计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题. 12．A 【解析】 【分析】 求得11n a n ++的范围，转化主参变量列不等式组，解不等式组求得t 的取值范围. 【详解】由2632n n n S a a =++①.当1n =时，2111632a a a =++，解得12a =.当2n ≥时，2111632n n n S a a ---=++②，①-②得2211633n n n n n a a a a a --=-+-，()()1130n n n n a a a a --+--=，所以13n n a a --=，所以数列{}n a 是首项为12a =，公差为3d =的等差数列，所以31n a n =-，所以()1311133111n n a n n n ++-==-<+++，所以2213t at +-≥恒成立，即2240t at +-≥，转换为2240ta t +-≥，在[]2,2a ∈-恒成立，所以2222402240t t t t ⎧-+-≥⎨+-≥⎩，解得][,2()2,t ∈⋃∞-+∞-. 故选：A【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.13【解析】 【分析】利用2a b +=r r 2a b +r r.【详解】依题意2a b +=r r===【点睛】本小题主要考查平面向量模的运算，考查平面向量数量积的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 14．9- 【解析】 【分析】画出可行域，平移基准直线20x y +=到可行域边界位置，由此求得z 的最小值. 【详解】画出可行域如下图所示，平移基准直线20x y +=到可行域边界点()3,3A --位置，此时z 取得最小值为()2339⨯--=-. 故答案为：9-【点睛】本小题主要考查线性规划求最小值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.15．2213620x y +=【解析】 【分析】设出,P Q 两点的坐标，求得M 点坐标，由,,Q M N 三点共线列方程，结合椭圆的离心率求得,a b 的值，进而求得椭圆的标准方程. 【详解】设()()0000,,,P x y Q x y --，(),0A a ，所以00,22a x y M +⎛⎫⎪⎝⎭，由于,,Q M N 三点共线，所以0002222y y a x x =++-，解得6a =.由于椭圆离心率23c a =，所以4c =，所以22220,b a c b =-==所以椭圆方程为2213620x y +=.故答案为：2213620x y += 【点睛】本小题主要考查根据椭圆的离心率求椭圆标准方程，考查运算求解能力，属于基础题. 16．{2|a a e =或12a e ⎫≤-⎬⎭【解析】 【分析】先求得()()f x g x 的定义域，然后对()f x 和()g x 的符合进行分类讨论，由此求得实数a 的取值范围. 【详解】依题意()()()1ln 2f x g x x ax a x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，定义域为()0,∞+. 由于()()0f x g x ≤在定义域内恒成立，则①，1ln 20,0x ax a x +≤-≥恒成立，即ln 12,x a a x x≤-≤在()0,∞+恒成立.令()ln x h x x =-，()'ln 1x h x x-=，故()h x 在()0,e 上递减，在(),e +∞上递增，故()()1h x h e e ≥=-.所以，由ln 12,x a a x x ≤-≤可得12,0a a e ≤-≤，即12a e ≤-.②，1ln 20,0x ax a x +≥-≤恒成立，即ln 12,x a a x x≥-≥在()0,∞+恒成立，不存在这样的a .③，当0a >时，由于()f x 在()0,∞+上递增，()g x 在()0,∞+上递减，要使()()0f xg x ≤在定义域内恒成立，则需()f x 和()g x 有相同的零点.由ln 2010x ax a x+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得22,a e x e -==.综上所述，实数a 的取值范围是{2|a a e =或12a e ⎫≤-⎬⎭. 故答案为：{2|a a e =或12a e ⎫≤-⎬⎭【点睛】本小题主要考查不等式恒成立问题的求解策略，考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.17．（1）b =（2）3( 【解析】 【分析】（1）结合三角形面积公式和余弦定理，求得tan C 的值，由此求得C 的大小，利用余弦定理列方程求得b 的值.（2）利用正弦定理表示出,b c ，用三角形内角和定理和三角恒等变换求得b c +的取值范围，由此求得a b c ++即三角形ABC 周长的取值范围. 【详解】(1)由条件和三角形的面积公式得2222c c a b +=+=+，即222a b c =+-. 将余弦定理2222a b c abcosC +-=.cosC =，即tanC =，因为(0,)C π∈，所以6C π=将4,6c a C π===，代入2222c a b abcosC =+-，得290b -+=结合条件b c >得b =(2)由正弦定理得2sin sin sin a b cA B C=== 所以()2b c sinB sinC +=+()22233sinB sin B sinB sin B πππ⎡⎡⎤⎛⎫=--+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎤=⎢⎥⎣⎦⎦+322(6)2sinB cosB B π⎛⎫ ⎪ ⎪⎭==+⎝+ 因为A B C π++=，且3A π=及锐角三角形得0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且20,32B ππ⎛⎫⎛⎫-∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以62B ππ<<，所以2363B πππ<+<，即sin 126B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，所以(3,b c +∈所以周长a b c ++范围是3(+. 【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查三角恒等变换，考查运算求解能力，属于中档题.18．（1）证明见解析（2）152⎤⎥⎣⎦【解析】 【分析】（1）利用等腰梯形的性质证得BD CD ⊥，由面面垂直的性质定理证得CD ⊥平面BDEF ，由此证得平面CDE ⊥平面BDEF .（2）建立空间直角坐标系，设出EM 的长，利用直线BD 的方向向量和平面BCM 的法向量，求得BD 与平面BCM 所成角正弦值的表达式，进而求得BD 与平面BCM 所成角正弦值的取值范围. 【详解】在等腰梯形ABCD 中，// ,1AD BC AD AB ==， 60ABC ∠=︒，120,30BAD CDA ADB ∴∠=∠=︒∠=︒，90CDB ∠=︒. 即.BD CD ⊥BD =2BC =.又Q 平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF ⋂平面,ABCD BD CD =⊂平面ABCD ，∴CD ⊥平面BDEF Q CD ⊂平面CDE ，∴平面CDE ⊥平面BDEF（2）解:由(1)知，分别以直线,,DB DC DE 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设0(EM m m =≤≤，则()(),0,1,0,000),,B C D，((),3,1,0M m BC =-u u u r，(,)0BM m DB ==u u u u r u u u r设平面BMC 的法向量为(),,n x y x =r00n BC n BM ⎧⋅=∴⎨⋅=⎩u u u v v u u u u v v，即(100y m x ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩令x =3,y z m ==，平面BMC的一个法向量为)n m =r.设BD 与平面BCM 所成角为θ，,sin cos n BD θ∴=<>r u u u r,n BD n BD==r u u u r r u u u r g∴当0m =m 时取最大值12故BD 与平面BCM所成角正弦值的取值范围为1,52⎤⎥⎣⎦. 【点睛】本小题主要考查面面垂直的判定定理和性质定理，考查向量法计算线面角正弦值的取值范围，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题. 19．（1）240x y -+=.（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设出直线AB 的方程，联立直线AB 的方程和抛物线方程，化简后写出韦达定理，利用2AP PB =u u u r u u u r，结合平面向量相等的坐标运算、韦达定理，求得直线AB 的斜率，进而求得直线AB 的方程.（2）由（1）求得11,,A B Q 的坐标，通过计算10BQ PA k k -=，证得1//BQ PA . 【详解】(1)设AB 方程为()20y kx k =+>，()()11221,,,,0A x y B x y x > ，联立方程24 2.x y y kx ⎧=⎨=+⎩，，消去y 得:2480x kx --=，216320k =+>V ，121248x x k x x +=⎧⎨⋅=-⎩①又()1122(),2,,2AP x y PB x y =--=-u u u r u u u r由2AP PB =u u u r u u u r得:122x x =- 代人①解得12k =∴直线AB 的方程为:122y x =+，即240x y -+=. (2)由(1)得，()111122,2,,2(()2),,2x A x B x Q x +--- 114PA k x =-， ()22221221228422BQx x k x x x x x ++==+--()()()122121212211121888422BQ PA x x x x x x k k x x x x x x ++-+-=+=-- ()()()221212212112188022x x x x x x x x x x x x ++===-- 1BQ PA k k ∴=1//PA BQ ∴【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查向量的坐标运算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.20．（1）单调减区间为(,1)-∞，单调增区间为(1,)+∞.（2）k e >，证明见解析 【解析】 【分析】（1）当1k =时，利用导数求得()f x 的单调区间. （2）先求得()f x 的导函数()()()'1x e x fx kx --=，则()x g x e kx =-有两个不同的零点，且都不是1.对k 分成0,0k k ≤>两种情况分类讨论，利用导数研究()g x 的单调性和零点，由此求得k 的取值范围. 由上述分析可得12301x x x <<=<，利用导数证得312313131ln ln 221x x x x x x x x x -=>=-++，从而证得1 3 22x x x >+.【详解】(1)()32()11232xf x e x x x =--+ ()()() 1x f x e x x '∴=--.令()(),'1xxh x e x h x e =-=-，()'0h x >得0x >，()'0h x <得0x <， ()h x 在(,0)-∞上递减，在(0,)+∞上递增.()()010h x h ∴≥=>即0x e x ->，∴解()'0f x >得1x >，解()'0f x <得1x <，()f x ∴的单调减区间为(,1)-∞，单调增区间为(1,)+∞.(2)()()()()2'21xx x f x ex e kx kx e kx x =-+-+=--，()f x Q 有三个极值点，∴方程0-=x e kx 有两个不等根，且都不是1，令()xg x e kx =-，0k ≤时，()g x 单调递增，()0g x =至多有一根，0k ∴>解()'0g x >得x lnk >，解()'0g x <得x lnk <. ()g x ∴在(n ),l k -∞上递减，在(ln ,)k +∞上递增，()()ln 10,k g lnk e klnk k lnk k e =-=-<>∴此时，()010g =>，()1,10lnk g e k >=-<，x →+∞时()g x →+∞.k e ∴>时，()'0f x =有三个根123,,x x x ，且12301x x x <<=<，由11xe kx =得11x lnk lnx =+，由33x e kx =得33x lnk lnx =+，3131ln ln 1x x x x -∴=-下面证明:313131ln ln 2x x x x x x ->-+，可变形为331311121x x x ln x x x ->+令311x t x =>，()()21ln 1t x t t ϕ-=-+ ()()()()222114011t x t t t t ϕ-'=-=>++，()x ϕ∴在(1)+∞，上递增， ()()10t ϕϕ∴>=∴313131ln ln 21x x x x x x -=>-+，3122.x x x ∴+>本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求解函数极值有关问题，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题. 21．（1）266分或267分.（2）能获得高薪职位.见解析 【解析】 【分析】（1）利用考试的平均成绩、高分考生的人数，以及题目所给正态分布的参考资料，求得考生成绩X 的分布()~180,832X N ，利用录取率3002000列方程，由此求得最低录取分数线. （2）计算出不低于考生甲的成绩的人数约为200，由此判断出甲能获得高薪职位. 【详解】(1)设考生成绩为X ，则依题意X 应服从正态分布，即()2~180,X N σ.令180X Y σ-=，则()~0,1Y N .由360分及其以上的高分考生30名可得()303602000P X ≥= 即()3036010.9852000P X <=-≈，亦即3601800.985P Y σ-⎛⎫<≈ ⎪⎝⎭.则3601802.17σ-=，解得()83180,832N σ≈∴，， 设最低录取分数线为o x ，则0180300832(0)00o x P X x P Y -⎛⎫≥=≥=⎪⎝⎭ 则018030010.85832000x P Y -⎛⎫<=-≈ ⎪⎝⎭，01801.0483x -∴= 266.32o x ∴≈.即最低录取分数线为266分或267分. (2)考生甲的成绩286267>，所以能被录取.()()286180()286 1.280.9083P X P Y P Y -<=<=<≈， 表明不低于考生甲的成绩的人数约为总人数的10.900.10,20000.1200-=⨯≈， 即考生甲大约排在第200名，排在275名之前，所以他能获得高薪职位.本小题主要考查正态分布在实际生活中的应用，考查化归与转化的数学思想方法，考查阅读理解能力，属于中档题.22．（1）33cos 3sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）；（2）225120sin 10806πρρθ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）已知得，圆心6,3C π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标为(C ，3r =，则可求得圆的标准方程；（2）结合（1）得，圆C 的极坐标方程为212sin 276πρρθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，再设(),P ρθ，()1,Q ρθ，则1:2:5ρρ=，将152ρρ=代入C 的极坐标方程即可得解. 【详解】（1）由已知得，圆心6,3C π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标为(C ，3r =， 所以C 的直角坐标方程为()(2239x y -+-=，所以圆C的参数方程为33cos 3sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）．（2）由（1）得，圆C的极坐标方程为()26cos 270ρρθθ-+=， 即212sin 276πρρθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． 设(),P ρθ，()1,Q ρθ，根据:2:3OP PQ =，可得1:2:5ρρ=， 将152ρρ=代入C 的极坐标方程，得225120sin 10806πρρθ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，即动点p 轨迹的极坐标方程为225120sin 10806πρρθ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了直角坐标方程、极坐标方程及参数方程的互化，重点考查了运算能力，属基础题. 23．（1）见解析（2）(,3)-∞ 【解析】 【分析】（1）利用零点分段法将()f x 表示为分段函数的形式，由此画出()f x 的图形. （2）将不等式() 1f x a x >-+转化为21 22a x x -++>.利用绝对值不等式求得21 22x x -++的最小值，由此求得a 的取值范围.【详解】(1)根据绝对值的定义，可得()3,112,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩所以() y f x =的图象如图所示:(2)() 1f x a x >-+， 即21 22a x x -++>|21 2 2 2122|3x x x x -++≥---=Q ，3a ∴<，即实数a 的取值范围是(,3)-∞.【点睛】本小题主要考查分段函数的图像，考查含有绝对值的不等式恒成立问题的求解，属于基础题.。
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（
为参数），以原点
y
1 sin
半轴为极轴建立极坐标系，曲线
C2的极坐标方程为
4cos，曲线C1，C2的公共点为A, B.
（1）求直线AB的斜率；
（2）若点C , D分别为曲线C1，C2上的动点，当| CD |取最大值时，求四边形ACBD的面积.
23.选修4-5：不等式选讲
14.
15. -21
3
4039
三、解答题
17.（1）在
ABC中，根据正弦定理，有
AC
DC
，
sin ADC
sin DAC
∵AC
3DC，
∴sin
ADC
3 sin DAC
3
，
2
又ADC
y)7的展开式中含有
x5y4的项的系数为
．
16.
若函数f ( x)
ex
a
x2
2x在(0,
)上仅有一个零点，则
a
．
x
三、解答题
（本大题共
6小题，共70
分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
.）
17.如图，D是直角ABC斜边BC上一点，AC3DC.
（1）若DAC300，求角B的大小；
（2）若BD2DC，且AD2 3，求DC的长.
）
A．d360VB．d
32V
C.
d
315VD．d
321V
31
8
11
x
2
y
9.已知实数x, y满足约束条件x
2y
2
0，则z
的取值范围为（
）
x 5
x
y
2
0
A．[2,4
]
3
3
B
．[
4,2]
C.
( ,
2]
[3, )
D
．( ,3] [3, )
3
3
3
4
4
2
10.设A, B是半径为2的圆O上的两个动点，点C为AO中点，则CO CB的取值范围是（）
A．[1,3]B．[1,3]C.[ 3, 1]D．[3,1]
2
11.已知函数y
f ( x)对任意的x (
, )满足f '( x)cos x
f (x)sin x 0（其中f '( x)是函数f (x)的
2
2
导函数），则下列不等式成立的是（
）
A．f (0)2 f ( )
B．2 f ( )
f ( )
C.f (0) 2 f (
4
某市随机抽取10户同一个月的用电情况，得到统计表如下：
（1）若规定第一阶梯电价每度0.5元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6元，第三阶梯超出第二阶梯每
度0.8元，试计算A居民用电户用电410度时应交电费多少元？
（2）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望；
（3）以表中抽到的10户作为样本估计全市居民用电，现从全市中依次抽取10户，若抽到k户用电量为第一
)
D．2 f () f (
)
4
3
4
3
3
4
12.已知球O是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）
A BCD的外接球，BC
3，
AB 2 3，点E在线段BD上，且BD
6BE，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是
（
）
A．[3, 4 ]
B．[5, 4 ]
C.[7
,4 ]
D．[11, 4 ]
）
1
x
B
．y
x
C.
y2x
D
．y
3
x
A．y
2
2
8.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，
即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积
V，求其直径d的一个近似公式
d
3
16
V，人们还用
9
过一些类似的近似公式，根据
3.14159
，判断下列近似公式中最精确的一个是（
阶梯的可能性最大，求k的值.
21.已知函数f (x)
ex
ax
ln( x 1) 1
.
（1）若x 0时，f ( x)
0恒成立，求实数
a的取值范围；
（2）求证：e2
e
3
.
2
请考生在22、23
两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分
.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
x
cos
O为极点，以x轴正
在平面直角坐标系
洛阳市2018-2019学年高三年级第一次统一考试
数学试卷（理）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
1.设集合A{ xN*| x2x20}，B{2,3}，则AB（）
A．{1,0,1,2,3}B．{1,2,3}C．[1,2]D．[1,3]
2.若复数z为纯虚数，且(1i) zai（其中aR），则| az |（）
A．2
B．3C．2 D．5
3.函数y
sin x
）
的图像大致为（
ln | x |
4.在区间[
1,1]内随机取两个实数
x, y，则满足y
x21的概率是（
）
A．2
B．7
C.
1
D．5
9
9
6
6
5.4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有
M，点M在x
2
轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F2，椭圆C另一个焦点是
F1，且MF1MF2
9
.
4
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l过点(1,0)，且与椭圆C交于P, Q两点，求F2PQ的内切圆面积的最大值.
20.为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为单位（一套住宅为一户）.
4
4
4
4
第Ⅱ卷（共90
分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知tan(
) 2，则
2sin
．
3sincos
4
14.
数列{ an}首项a1
2，且an 13an
2(n N*)，令bn
log3( an
1)，则{
1
}的前2019
项的
b2n
1b2n
1
和S2019
．
15.
(3x
2 y)2(x
已知函数f (x)| 2x1|| xm | ( mR).
（1）当m1时，解不等式f ( x)2；
5
（2）若关于x的不等式f ( x)| x3|的解集包含[3, 4]，求m的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5:BABDD6-10: ACDAA11、12：DB
二、填空题
13.
1
2019
16.
5ln 2 4
（）
1
A．24种B．36种C. 48种D．60种
6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．93
B
．6 3
C.
3 3
D
．12 3
6
6
6
6
7.已知双曲线C :
x2
y2
0, b
0)
，过左焦点F1的直线切圆x
2
y
2
2
C右支
a
2
b
21(a
a于点P，交双曲线
于点Q，若F1P
PQ，则双曲线C的渐近线方程为（
3
18.如图，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，PA底面ABCD，ED / / PA，且
PA2ED2.
（1）求证：平面PAC平面PCE；
（2）若直线PC与平面ABCD所成的角为450，求在原点， 焦点在坐标轴上， 直线y
3x与椭圆C在第一象限内的交点是