高中数学人教版选修1-1习题：第3章 导数及其应用3.3.2 含解析
2016-2017学年高中数学人教版选修1-1习题：第3章 导数及其应用3.3.2 含解析
选修1-1第三章3。
33。
3.2一、选择题1．函数f（x)的定义域为开区间(a,b），导函数f′(x)在（a,b）内的图象如图所示，则函数f（x)在开区间（a，b)内有极小值点错误!(）A．1个B．2个C．3个D．4个［答案］ A［解析］极小值点应有先减后增的特点，即f′(x)〈0→f′(x）＝0→f′(x)〉0.由图象可知只有1个极小值点．2．已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝错误!（）A．－2或2 B．－9或3C．－1或1 D．－3或1[答案] A[解析]∵y′＝3x2－3，∴当y′＝0时，x＝±1,则x，y′，y的变化情况如下表：x （－∞，－1）－1(－1,1）1(1，＋∞)y′＋－＋y ↗c＋2↘c－2↗因此，当函数图象与x轴恰有两个公共点时，必有c＋2＝0或c－2＝0，∴c＝－2或c ＝2.3．（2016·四川）已知a为函数f(x）＝x3－12x的极小值点，则a＝错误!(）A．－4 B．－2C．4 D．2［答案] D［解析］f′（x）＝3x2－12，令f′（x)>0得x<－2或x〉2，令f′（x)〈0得－2〈x<2，∴f(x）在（－∞，－2），（2，＋∞）上单调递增，在（－2，2）上单调递减,∴当x＝2时，f（x）取极小值,即2是函数f（x)的极小值点，故a＝2。
4．设函数f（x）＝x e x，则错误!（)A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x）的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f（x）的极小值点[答案] D［解析]f′（x）＝e x＋x e x＝e x（1＋x），令f′（x）>0,得x>－1，令f′(x)〈0，得x<－1，∴函数f(x)在(－∞,－1)上递减，在（－1，＋∞）上递增，∴当x＝－1时，f（x）取得极小值．5．设函数f(x)＝错误!＋ln x，则错误!（）A．x＝错误!为f(x）的极大值点B．x＝错误!为f(x)的极小值点C．x＝2为f（x)的极大值点D．x＝2为f（x)的极小值点[答案] D［解析］本节考查了利用导数工具来探索其极值点问题．f′(x）＝－错误!＋错误!＝错误!(1－错误!）,由f′（x)＝0可得x＝2.当0〈x<2时，f′(x)<0,f（x)递减，当x〉2时，f′（x）〉0，∴f（x）单调递增．所以x＝2为极小值点．对于含有对数形式的函数在求导时，不要忽视定义域．6．若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于错误!（)A．2 B．3C．6 D．9［答案］ D［解析］f′（x)＝12x2－2ax－2b,由条件知f′（1)＝0，∴a＋b＝6，∴ab≤(错误!)2＝9，等号在a＝b＝3时成立，故选D．二、填空题7．函数f(x）＝－错误!x3＋错误!x2＋2x取得极小值时，x的值是________.错误![答案］－1[解析］f′（x）＝－x2＋x＋2＝－（x－2)（x＋1)，令f′（x)>0得－1<x<2，令f′(x）〈0，得x〈－1或x>2，∴函数f（x）在（－∞,－1)，(2，＋∞）上递减，在（－1，2)上递增，∴当x＝－1时,函数f(x）取得极小值．8．(2015·陕西文）函数y＝x e x在其极值点处的切线方程为________.导学号 92600689 [答案]y＝－错误![解析]∵y＝x e x，∴y′＝e x＋x e x＝e x（x＋1），当x＝－1时y有极小值,此时y｜x＝－1＝－错误!，而y′｜x＝－1＝0，∴切线方程为y＝－错误!.9．(2016·河南郑州高二检测）已知函数f(x）＝2f′(1）ln x－x,则f（x）的极大值为________.导学号 92600690[答案］2ln 2－2［解析］函数f(x）的定义域为(0，＋∞），由于函数f（x）＝2f′(1）ln x－x.则f′(x)＝2f′(1)×错误!－1(x>0）,f′（1)＝2f′（x）－1，故f′（1)＝1，得到f′（x)＝2×错误!－1＝错误!，令f′(x）〉0，解得x<2，令f′（x）〈0，解得x>2，。
【专业资料】新版高中数学人教A版选修1-1习题：第三章 导数及其应用 3.3.2 含解析
3.3.2函数的极值与导数课时过关·能力提升基础巩固1.设x0为可导函数f(x)的极值点,则下列说法正确的是()A.必有f'(x0)=0B.f(x0)为极大值C.f(x0)为极小值D.f'(x0)可能不为02.已知可导函数f(x),x∈R有唯一极值,且当x=1时,f(x)存在极小值,则()A.当x∈(-∞,1)时,f'(x)>0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0B.当x∈(-∞,1)时,f'(x)>0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0C.当x∈(-∞,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0D.当x∈(-∞,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0(x)在x=1时存在极小值,则当x<1时,f'(x)<0;当x>1时,f'(x)>0.3.下列四个函数中,能在x=0处取得极值的是()①y=x3;②y=x2+1;③y=x2-1;④y=2x.A.①②B.②③C.③④D.①③为单调函数,不存在极值.4.函数y=f(x)的定义域为(a,b),y=f'(x)的图象如图,则函数y=f(x)在开区间(a,b)内取得极小值的点有()A.1个B.2个C.3个D.4个f'(x)=0的点,左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0时,该点为极小值点.观察题图,只有一个极小值点.5.已知f (x )=x 3+ax 2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则a 的取值范围为( )A.-1<a<2B.-3<a<6C.a<-1或a>2D.a<-3或a>6(x )=3x 2+2ax+(a+6),因为f (x )既有极大值又有极小值,所以Δ=(2a )2-4×3×(a+6)>0,解得a>6或a<-3.6.已知f (x )=x 3-px 2-qx 的图象与x 轴切于(1,0),则f (x )的极值情况是( )A.极大值为f (13),极小值为f(1) B.极大值为f (1),极小值为f (13) C.极大值为f (13),没有极小值D.极小值为f (1),没有极大值7.函数y=2x 3-6x 2-18x+7的极大值为 ,极小值为 .(x )=6(x+1)(x-3),由f'(x )=0,得x=-1或x=3.进而求得f (-1)是极大值,f (3)是极小值.-478.函数f (x )=a+lnx x (a ∈R )的极大值为 .(x )=1-(a+lnx )x 2, 令f'(x )=0,得x=e 1-a . 当x<e 1-a 时,f'(x )>0;当x>e 1-a 时,f'(x )<0,所以函数的极大值为f (e 1-a )=1e 1-a =ea −1.a-19.已知函数y=ax 3+bx 2,当x=1时,有极大值3,则a= ,b= .3ax 2+2bx ,由题意,得当x=1时,y'|x=1=3a+2b=0,y|x=1=a+b=3,即{3a +2b =0,a +b =3,解得a=-6,b=9.6910.已知函数f(x)=x3-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点,求c的值.(x)=3x2-3,由f'(x)>0,得3x2-3>0,解得x<-1或x>1;由f'(x)<0,得3x2-3<0,解得-1<x<1.∴f(x)在(-∞,-1)内单调递增,在(-1,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.∴当x=-1时,f(x)取极大值c+2;当x=1时,f(x)取极小值c-2.结合图象,要使函数f(x)的图象与x轴恰有两个公共点,则c+2=0或c-2=0,即c=-2或2.能力提升1.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数f(x)在x=-2处取得极小值,则函数y=xf'(x)的图象可能是(),当x<-2时,f'(x)<0,∴xf'(x)>0;当-2<x<0时,f'(x)>0,∴xf'(x)<0.又当x=-2时,xf'(x)=0,x=0时,xf'(x)=0,故选C.2.已知函数f(x)=x2-2(-1)k ln x(k∈N*)存在极值,则k的取值集合是()A.{2,4,6,8,…}B.{0,2,4,6,8,…}C.{1,3,5,7,…}D.N*(x)=2x−2(-1)kx =2[x2-(-1)k]x,若k为奇数,则f'(x)=2(x2+1)x>0,f(x)在定义域内是增函数,无极值.若k为偶数,则f'(x)=2(x 2-1)x.f(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增,在x=1处取极小值.3.若函数y=x3-3ax+a在(1,2)内有极小值,则实数a的取值范围是()A.1<a<2B.1<a<4C.2<a<4D.a>4或a<13x 2-3a ,当a ≤0时,y'≥0,函数y=x 3-3ax+a 为单调函数,不合题意,舍去;当a>0时,y'=3x 2-3a=0⇒x=±√a,不难分析,当1<√a <2,即1<a<4时,函数y=x 3-3ax+a 在(1,2)内有极小值.4.函数y=x 3-6x+a 的极大值为 ,极小值为 .3x 2-6,令y'=0,得x=±√2. 当x<−√2或x >√2时,y'>0;当−√2<x <√2时,y'<0.故函数在x=−√2时取得极大值a+4√2,在x =√2时取得极小值a-4√2.4√2 a −4√25.若函数f (x )=a ln x+bx 2+3x 的极值点为x 1=1,x 2=2,则a= ,b= .(x )=a x +2bx +3=2bx 2+3x+a x. ∵函数的极值点为x 1=1,x 2=2,∴x 1=1,x 2=2是方程f'(x )=2bx 2+3x+ax =0的两根,也即2bx 2+3x+a=0的两根.∴由根与系数的关系知{-32b =1+2,a =1×2,解得{a =-2,b =-1.2 −12★6.若函数f (x )=x 3+x 2-ax-4在区间(-1,1)内恰有一个极值点,则实数a 的取值范围为 .(x )=3x 2+2x-a.∵f (x )在(-1,1)内恰有一个极值点,∴f'(x )在(-1,1)内有一个变号零点,∴f'(-1)f'(1)≤0,即(a-5)(a-1)≤0,∴1≤a ≤5. 当a=5时,由3x 2+2x-5=0,得x=1或x=−53,不合题意.当a=1时,由3x 2+2x-1=0,得x=-1或x =13,符合题意,∴1≤a<5.7.已知函数f (x )=ax(x+r )2(a >0,r >0).(1)求f (x )的定义域,并讨论f (x )的单调性;(2)若ar =400,求f(x)在(0,+∞)内的极值.由题意知x≠-r,所求的定义域为(-∞,-r)∪(-r,+∞).f(x)=ax(x+r)2=axx2+2rx+r2,f'(x)=a(x 2+2rx+r2)-ax(2x+2r)(x2+2rx+r2)2=a(r-x)(x+r)(x+r)4,所以当x<-r或x>r时,f'(x)<0.当-r<x<r时,f'(x)>0.因此,f(x)的单调递减区间为(-∞,-r),(r,+∞);f(x)的单调递增区间为(-r,r).(2)由(1)的解答可知f'(r)=0,f(x)在(0,r)内单调递增,在(r,+∞)内单调递减.因此,x=r是f(x)的极大值点.所以f(x)在(0,+∞)内的极大值为f(r)=ar(2r)2=a4r=4004=100.★8.当a为何值时,方程x3-3x2-a=0恰有一个实根、两个不等实根、三个不等实根?有没有可能无实根?f(x)=x3-3x2,则f(x)的定义域为R.由f'(x)=3x2-6x=0,得x=0或x=2,所以当x<0或x>2时,f'(x)>0;当0<x<2时,f'(x)<0.函数f(x)在x=0处有极大值0,在x=2处有极小值-4.如图,故当a>0或a<-4时,原方程有一个根;当a=0或a=-4时,原方程有两个不等实根;当-4<a<0时,原方程有三个不等实根;由图象可知,原方程不可能无实根.。
高中数学人教A版选修1-1习题：第三章3.3-3.3.2函数的极值与导数 Word版含答案
第三章导数及其应用3.3 导数在研究函数中的应用3.3.2 函数的极值与导数A级基础巩固一、选择题1．可导“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取得极值”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立．答案：B2．已知可导函数f(x)，x∈R，且仅在x＝1处，f(x)存在极小值，则( )A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0解析：因为f(x)在x＝1处存在极小值，所以x＜1时，f′(x)＜0，x＞1时，f′(x)＞0.答案：C3．函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有( )A．极大值5，极小值－27B．极大值5，极小值－11C．极大值5，无极小值D．极小值－27，无极大值解析：由y′＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3，当x＜－1或x＞3时，y′＞0；当－1＜x＜3时，y′＜0.故当x＝－1时，函数有极大值5；x取不到3，故无极小值．答案：C4．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为( ) A．－1＜a＜2 B．－3＜a＜6C．a＜－1或a＞2 D．a＜－3或a＞6解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，因为f(x)既有极大值又有极小值，那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)＞0，解得a＞6或a＜－3.答案：D5．设a∈R，若函数y＝e x＋ax，x∈R有大于零的极值点，则( )A．a＜－1 B．a＞－1C．a＞－1eD．a＜－1e解析：y′＝e x＋a＝0，e x＝－a，因为x＞0，所以 e x＞1，即－a＞1，所以a＜－1.答案：A二、填空题6．函数f(x)＝x3－6x＋a的极大值为________，极小值为________．解析：f′(x)＝x2－6令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2，所以f(x)极大值＝f(－2)＝a＋42，f(x)极小值＝f(2)＝a－4 2.答案：a＋42，a－4 2.7．已知函数y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处取极大值，在x＝3处取极小值，则a＝________，b＝________．解析：y′＝3x2＋2ax＋b，根据题意知，－1和3是方程3x2＋2ax＋b＝0的两根，由根与系数的关系可求得a＝－3，b＝－9.经检验，符合题意．答案：－3 －98．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1，0)，(2，0)，如图所示．则下列说法中不正确的是________．①当x ＝32时，函数取得极小值；②f (x )有两个极值点；③当x ＝2时，函数取得极小值； ④当x ＝1时，函数取得极大值．解析：由图象可知当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )有两个极值点1和2，且当x ＝2时，函数取得极小值，当x ＝1时，函数取得极大值．故只有①不正确．答案：① 三、解答题9．已知f (x )＝13x 3－12x 2－2x ，求f (x )的极大值与极小值．解：由已知得f (x )的定义域为R.f ′(x )＝x 2－x －2＝(x ＋1)(x －2)．令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：↗↘↗因此，当x ＝－1时，f (x )取得极大值，且极大值为f (－1)＝3×(－1)3－2×(－1)2－2×(－1)＝76；当x ＝2时，f (x )取得极小值，且极小值为f (2)＝13×23－12×22－2×2＝－103.从而f (x )的极大值为76，极小值为－103.10．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取极值10，求f (2)的值． 解：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝10，f ′（1）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a ＋b ＋1＝10，2a ＋b ＋3＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3. 当a ＝4，b ＝－11时，令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝－113.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗↘↗当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0， 所以 f (x )在x ＝1处没有极值，不合题意． 综上可知f (2)＝18.B 级 能力提升1．等差数列{a n }中的a 1，a 4 031是函数f (x )＝13x 3－4x 2＋6x －1的极值点，则log 2a 2 016的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：因为f ′(x )＝x 2－8x ＋6，且a 1，a 4 031是函数f (x )＝13x 3－4x 2＋6x －1的极值点，所以a 1，a 4 031是方程x 2－8x ＋6＝0的两个实数根，则a 1＋a 4 031＝8.而{a n }为等差数列，所以a 1＋a 4 031＝2a 2 016，即a 2 016＝4，从而log 2a 2 016＝log 24＝2.故选A.答案：A2．若函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是________．解析：函数f (x )为三次函数，其导函数f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)为二次函数，要使函数f (x )既有极大值又有极小值，需f ′(x )＝0有两个不等的实数根，所以Δ＝(6a )2－4×3×3(a ＋2)>0，解得a <－1或a >2.答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)3．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？ 解：(1)f ′(x )＝3x 2－2x －1. 令f ′(x )＝0，则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗↘↗所以f (x )的极大值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＝27＋a ，极小值是f (1)＝a －1.(2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1， 由此可知，x 取足够大的正数时， 有f (x )＞0，x 取足够小的负数时， 有f (x )＜0，所以曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个定点．由(1)知f (x )最大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527＋a ，f (x )极小值＝f (1)＝a －1.因为曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点， 所以f (x )极大值＜0或f (x )极小值＞0， 即527＋a ＜0或a －1＞0，所以a ＜－527或a ＞1， 所以当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点．。
高中数学选修1-1(人教A版)第三章导数及其应用3.3知识点总结含同步练习及答案
描述：例题：高中数学选修1-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第三章 导数及其应用 3.3 导数在研究函数中的应用一、学习任务1. 了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求不超过三次的多项式函数的单调区间．2. 了解函数的极大（小）值、最大（小）与导数的关系；会求函数的极大（小）值，以及在指定区间上函数的最大（小）值．二、知识清单导数与函数的图象 利用导数研究函数的单调性 利用导数求函数的极值利用导数求函数的最值三、知识讲解1.导数与函数的图象（1）导数 表示函数 在点 处的切线斜率．当切线斜率为正值时，切线的倾斜角小于 ，函数曲线呈上升状态；当切线的斜率为负值时，切线的倾斜角大于 且小于 ，函数曲线呈下降状态．（2）如果在区间 内恒有 ，那么函数 在区间 内是常函数．()f ′x 0y =f (x )(,f ()x 0x 090∘90∘180∘(a ,b )(x )=0f′y =f (x )(a ,b ) 是函数 的导函数， 的图象如图所示，则 的图象最有可能是下列选项中的（ ）解：C导函数的图象在 轴的上方，表示导函数大于零，原函数的图象呈上升趋势；导函数的图象在 轴的下方，表示导函数小于零，原函数的图象呈下降趋势．由 时导函数图象在 轴的上方，表示在此区间上，原函数图象呈上升趋势，可排除 B、D 选项；由 时导函数图象在 轴的下方，表示在此区间上，原函数的图象呈下降趋势，可排除 A 选项．(x )f ′f (x )y =(x )f ′f (x )x x x ∈(−∞,0)x x ∈(0,1)xy=f(x)已知函数 的图象如图所示，则导函数f(x)(a,b)则函数 在开区间答案：解析：3. 已知函数 ， 的导函数的图象如下图，那么 ， 的图象可能是．A．B ．C ．D ．D 和 都是单调递增的，但 增长的越来越慢， 增长的越来越快，并且在 处， 的切线的斜率应该相等．y =f (x )y =g (x )y =f (x )y =g (x )()f (x )g (x )f (x )g (x )x 0f (x ),g (x)高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
(人教版)高中数学选修1-1课件：第3章 导数及其应用3.2
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
(1) 区 分 公 式 的 结 构 特 征 ， 既 要 从 纵 的 方 面 (ln x)′ 与 (logax)′，(ex)′与(ax)′区分，又要从横的方面(logax)′与(ax)′ 区分，找出差异，记忆公式．
1．会应用导数的定义推导四种常见函数 y＝c，y＝x，y＝x2， y＝1x的导数公式．
2．掌握基本初等函数的导数公式，会求简单函数的导数． 3．掌握导数的和、差、积、商的求导法则． 4．会用导数的运算法则解决一些函数的求导问题．
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)＝xn(n∈Q*)
f(x)＝sin x f(x)＝cos x
f(x)＝ax f(x)＝ex
f(x)＝logax
f(x)＝ln x
导函数
f′(x)＝_n_x_n_－_1__
f′(x)＝__c_o_s_x _
f′(x)＝_－__s_in_x_ f′(x)＝_a_x_ln_a__(a>0且a≠1)
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
方法二：∵y＝xx＋－11＝x＋x＋1－1 2＝1－x＋2 1， ∴y′＝1－x＋2 1′＝－x＋2 1′ ＝2′x＋1x＋－122x＋1′＝x＋212.
数学 选修1-1
a－b＝0， b－2c＝0， c－1＝0，
【专业资料】新版高中数学人教A版选修1-1习题：第三章 导数及其应用 3.3.1 含解析
3.3导数在研究函数中的应用3.3.1函数的单调性与导数课时过关·能力提升基础巩固1.函数y=f(x)的图象如图,则导函数y=f'(x)的图象可能是()y=f(x)的图象可知,在区间(-∞,0)和(0,+∞)内,函数f(x)均为减函数,故在区间(-∞,0)和(0,+∞)内,f'(x)均小于0,故选D.2.函数f(x)=-x3+x在(1,+∞)内为()A.减函数B.增函数C.常数函数D.不能确定x∈(1,+∞)时,f'(x)=-3x2+1<0,故f(x)在(1,+∞)内为减函数.3.已知函数f(x)=ax3-x在R上为减函数,则()A.a≤0B.a<1C.a<2D.a≤13(x)=3ax2-1.∵f(x)在R上为减函数,∴f'(x)≤0在R上恒成立.∴a≤0.经检验a=0符合题意.故选A.的单调递增区间是()4.函数f(x)=x(1-x)2A.(-∞,1)B.(1,+∞)C.(-1,1)D.(-∞,1)∪(1,+∞)f(x)=x(1-x)2的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),f'(x)=[x(1-x)2]′=(1-x)2-x·(1-2x+x2)'(1-x)4=(1-x)2+2x(1-x)(1-x)4=1+x(1-x)3.令f'(x)=0,则1+x(1-x)3=0,即1+x=0,x=-1.当x∈(-∞,-1)时,f'(x)=1+x(1-x)3<0;当x∈(-1,1)时,f'(x)=1+x(1-x)3>0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)=1+x(1-x)3<0.故函数f(x)=x(1-x)2的单调递增区间是(-1,1).5.若函数y=f(x)在R上可导,且满足不等式xf'(x)>-f(x)恒成立,常数a,b满足a<b,则下列不等式一定成立的是()A.af(b)>bf(a)B.af(a)>bf(b)C.af(a)<bf(b)D.af(b)<bf(a)6.函数f(x)=x3-15x2-33x+6的单调递减区间是.(x)=3x2-30x-33=3(x-11)(x+1),由(x-11)(x+1)<0,得单调递减区间为(-1,11).-1,11)7.函数y=(3-x2)e x的单调递增区间是.2x e x+(3-x2)e x=(-x2-2x+3)e x,令(-x2-2x+3)e x>0,由于e x>0,则-x2-2x+3>0,解得-3<x<1,所以函数的单调递增区间是(-3,1).-3,1)8.已知函数f(x)=2ax-sin x在其定义域上是增函数,则实数a的取值范围是.(x)=2a-cos x.∵f(x)在其定义域上是增函数,∴f'(x)≥0恒成立,即2a-cos x≥0,∴a ≥cosx 2.∵cosx2≤12,∴a ≥12.[12,+∞)9.已知函数f (x )=ax −a x−2ln x,若函数f(x)在其定义域内为增函数,求a 的取值范围.(x )=a +a x 2−2x.∵f (x )在其定义域(0,+∞)内为增函数, ∴当x ∈(0,+∞)时,f'(x )≥0恒成立. ∴a +a x 2−2x ≥0,∴a ≥2xx 2+1. ∵x>0,∴2x x 2+1=2x+1x≤22=1.∴a ≥1.10.已知函数y=f (x )=x 3+bx 2+cx+d 的图象经过点P (0,2),且在点M (-1,f (-1))处的切线方程为6x-y+7=0. (1)求函数y=f (x )的解析式; (2)求函数y=f (x )的单调区间.由y=f (x )的图象经过点P (0,2),知d=2,所以f (x )=x 3+bx 2+cx+2,f'(x )=3x 2+2bx+c.由在点M (-1,f (-1))处的切线方程为6x-y+7=0,知-6-f (-1)+7=0,即f (-1)=1,f'(-1)=6. 所以{3-2b +c =6,-1+b -c +2=1,即{2b -c =-3,b -c =0,解得b=c=-3.故所求的解析式是y=f (x )=x 3-3x 2-3x+2. (2)f'(x )=3x 2-6x-3.令f'(x )>0,得x<1−√2或x>1+√2; 令f'(x )<0,得1−√2<x <1+√2.故f (x )=x 3-3x 2-3x+2的单调递增区间为(-∞,1−√2)和(1+√2,+∞),单调递减区间为(1−√2,1+√2).能力提升1.若函数y=x 3-ax 2+4在(0,2)内单调递减,则实数a 的取值范围为( ) A.a ≥3 B.a=3 C.a ≤3D.0<a<33x 2-2ax ≤0在(0,2)内恒成立,即3x 2≤2ax ,a ≥3x 22x =3x2,所以a ≥3.2.已知f(x)满足f(4)=f(-2)=1,f'(x)为其导函数,且导函数y=f'(x)的图象如图所示,则f(x)<1的解集是()A.(-2,0)B.(-2,4)C.(0,4)D.(-∞,-2)∪(0,4)3.函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f'(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为()A.(-1,1)B.(-1,+∞)C.(-∞,-1)D.(-∞,+∞)f(x)>2x+4,得f(x)-2x>4,令g(x)=f(x)-2x,则g'(x)=f'(x)-2>0,∴g(x)在R上为增函数,又g(-1)=f(-1)+2=4,即g(x)>g(-1),∴x>-1,故选B.x3+bx有三个单调区间,则b的取值范围是.4.若函数y=−43x3+bx有三个单调区间,则其导数y'=-4x2+b=0有两个不相等的实根,所以y=−43Δ=16b>0,即b>0.+∞)5.对于R上可导的任意函数,若满足(x-1)f'(x)≥0,则f(0)+f(2)与2f(1)的大小关系是.(x-1)f'(x)≥0,∴当x>1时,f'(x)≥0,∴f(2)≥f(1);当x<1时,f'(x)≤0,∴f(0)≥f(1).∴f(0)+f(2)≥2f(1).(0)+f(2)≥2f(1)★6.若函数f(x)=mx2+ln x-2x在定义域内是增函数,则实数m的取值范围是.(x)=2mx+1x−2,因为函数f(x)在其定义域(0,+∞)内为增函数,所以2mx+1x−2≥0在(0,+∞)内恒成立,即2m≥−1x2+2x在(0,+∞)内恒成立,由于函数φ(x)=−1x2+2x=−(1x-1)2+1≤1,故只要2m≥1即可,即m≥12.[12,+∞)7.已知函数f(x)=x cos x-sin x,x∈(0,π).(1)判断函数f(x)的单调性;(2)判断函数g(x)=sinxx,x∈(0,π)的单调性.f'(x)=cos x+(-x sin x)-cos x=-x sin x.∵x∈(0,π),∴sin x>0,∴f'(x)<0,∴f(x)在(0,π)内是减函数.(2)由(1)知,当x∈(0,π)时,f(x)<f(0)=0.∴g'(x)=xcosx-sinxx2<0.∴g(x)在(0,π)内是减函数.★8.设f(x)=x(e x-1)-ax2.(1)若a=12,求f(x)的单调区间;(2)若当x≥0时,f(x)≥0,求a的取值范围.当a=12时,f(x)=x(e x-1)−12x2,f′(x)=ex−1+xex−x=(ex−1)(x+1).当x∈(-∞,-1)时,f'(x)>0;当x∈(-1,0)时,f'(x)<0;当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0.故f(x)在(-∞,-1),(0,+∞)内单调递增,在(-1,0)内单调递减.(2)f(x)=x(e x-1-ax),令g(x)=e x-1-ax,则g'(x)=e x-a.若a≤1,则当x∈(0,+∞)时,g'(x)>0,g(x)为增函数,而g(0)=0,从而当x≥0时,g(x)≥0,即f(x)≥0.若a>1,则当x∈(0,ln a)时,g'(x)<0,g(x)为减函数,而g(0)=0,从而当x∈(0,ln a)时,g(x)<0,即f(x)<0,不合题意.综上可得,a的取值范围是(-∞,1].。
高中数学人教版选修1-1习题第3章 导数及其应用3.3.3 Word版含解析
选修第三章一、选择题．函数＝－－＋在[－]上的最大值、最小值分别是( )．；－．；－．；－．；－[答案][解析]′＝－－，由′＝⇒＝－或＝(舍去)．＝－时＝，＝－时＝，＝时＝－.∴＝，＝－.故选．．函数()＝－(<)( )．有最大值，但无最小值．有最大值，也有最小值．无最大值，但有最小值．既无最大值，也无最小值[答案][解析]′()＝－＝(＋)(－)，∵∈(－)，∴′()<，即函数在(－)上是减少的，∴既无最大值，也无最小值．．函数()＝－(－≤≤)的最大值为( )．．．．－[答案][解析]′()＝－，令′()＝，得＝±，－≤<－时，′()<，－<<时，′()><≤时，′()<，故函数在＝－处取极小值，在＝处取极大值．∵()＝，(－)＝－，又(－)＝，()＝－，∴[()]＝，[()]＝－.．若函数()＝－－在区间[]上的最大值、最小值分别为、，则－的值为( )．．．．[答案][解析]′()＝－＝(＋)(－)，令′()＝，得＝－，＝.()＝－, ()＝－－, ()＝－，∴()＝－，()＝－－，∴－－(－－)＝.．下列说法正确的是( )．函数的极大值就是函数的最大值．函数的极小值就是函数的最小值．函数的最值一定是极值．在闭区间上的连续函数一定存在最值[答案][解析]根据最大值、最小值的概念可知选项正确．．函数()＝－在区间[，]上的最大值为( )．－．－．－．[答案][解析]′()＝－＝，令′()>，得<<，令′()<，得<<，∴()在()上递增，在(，)上递减，∴当＝时，()取极大值，这个极大值也是最大值．∴()＝()＝－.二、填空题．当∈[－]时，函数()＝的值域是[答案][，][解析]′()＝＝，令′()＝得＝，＝.(－)＝, ()＝, ()＝，∴()＝, ()＝，故函数()的值域为[，]．．若函数()＝－＋，－≤≤的最小值为，则的值是[答案]。
高中数学 选修1-1 专题3.3.2 函数的极值与导数-高二数学(文)人教版
1．函数极值的概念若函数()y f x =在点x a =的函数值()f a 比它在点x a =附近其他点的函数值都小，()0f a '=；而且在点x a =附近的左侧________，右侧________，就把点a 叫做函数()y f x =的极小值点，()f a 叫做函数()y f x =的极小值．若函数()y f x =在点x b =的函数值()f b 比它在点x b =附近其他点的函数值都大，()0f b '=；而且在点x b =附近的左侧________，右侧________，就把点b 叫做函数()y f x =的极大值点，()f b 叫做函数()y f x =的极大值．极大值点和极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．2．可导函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件必要条件：可导函数()y f x =在0x x =处取得极值的必要条件是________．充分条件：可导函数()y f x =在0x x =处取得极值的充分条件是()f x '在0x x =两侧异号．3．函数极值的求法一般地，求函数()y f x =的极值的方法是： 解方程()0f x '=．当0()0f x '=时：（1）如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么0()f x 是________； （2）如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么0()f x 是_________．K 知识参考答案：1．()0f x '< ()0f x '> ()0f x '> ()0f x '< 2．0()0f x '= 3．极大值 极小值K —重点 利用导数求函数极值的方法 K —难点 函数极值的应用K —易错 对函数取得极值的充要条件理解不到位求函数的极值（1）求函数的极值首先要求函数的定义域，然后求()0f x '=的实数根，当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然．（2）利用导数求极值时，一定要讨论函数的单调性，涉及参数时，必须对参数的取值情况进行讨论（可从导数值为0的几个x 值的大小入手）． 已知函数323()31f x ax x a=-+-（a ∈R 且0a ≠），求函数()f x 的极大值与极小值． 【答案】见解析．【解析】由题设知0a ≠，22()363()f x ax x ax x a'=-=-． 令()0f x '=得0x =或2x a=． 当0a >时，随x 的变化，()f x '与()f x 的变化如下：x (,0)-∞0 2(0,)a2a2(,)a+∞ ()f x ' + 0 – 0 + ()f x极大值极小值则3()(0)1f x f a ==-极大值，2243()()1f x f a a a==--+极小值． 当0a <时，随x 的变化，()f x '与()f x 的变化如下：x 2(,)a-∞2a2(,0)a0 (0,)+∞()f x ' – 0 + 0 – ()f x极小值极大值则3()(0)1f x f a ==-极大值，2243()()1f x f a a a==--+极小值．故3()1f x a =-极大值，243()1f x a a=--+极小值． 【名师点睛】函数的极大值不一定大于函数的极小值，极值刻画的是函数的局部性质，反映了函数在某一点附近的大小情况，极大值也可能比极小值小．函数极值的应用解决利用函数的极值确定函数解析式中参数的值的问题时，通常是利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程，从而求出参数的值．需注意的是，可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件，所以必须对求出的参数的值进行检验，看是否符合函数取得极值的条件．已知函数21()ln (,)2f x a x x bx a b =++∈R 在12x =，23x =处取得极值． （1）求a ，b 的值；（2）求()f x 在点(1,(1))P f 处的切线方程．【答案】（1）6a =，5b =-；（2）42130x y --=．（2）21()6ln 52f x x x x =+-，则19(1)522f =-=-，得9(1,)2P -． 又由256()x x f x x-+'=，得(1)1562f '=-+=．从而，得所求切线方程为92(1)2y x +=-，即42130x y --=．已知2()ln (21),f x x x ax a x a =-+-∈R ．（1）令()()f g 'x x =，求()g x 的单调区间；（2）已知()f x 在1x =处取得极大值，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）1(,)2+∞．（2）由（1）知，()01f '=． ①当0a ≤时，()f x '单调递增．所以当(0,1)x ∈时，()0f 'x <，()f x 单调递减． 当(1,)x ∈+∞时，()0f 'x >，()f x 单调递增． 所以()f x 在x =1处取得极小值，不合题意．②当102a <<时，112a >，由(Ⅰ)知()f 'x 在1(0,)2a内单调递增， 可得当(0,1)x ∈时，()0f x '<，1(1,)2x a ∈时，()0f 'x >， 所以()f x 在(0，1)内单调递减，在(11,2)a内单调递增， 所以()f x 在1x =处取得极小值，不合题意． ③当12a =时，112a=，()f x '在(0，1)内单调递增，在(1,)+∞内单调递减， 所以当(0,)x ∈+∞时，()0f 'x ≤，()f x 单调递减，不合题意．④当12a >时，1012a <<，当1,12x a∈（）时，()0f 'x >，()f x 单调递增，当,()1x ∈+∞时，()0f 'x <，()f x 单调递减， 所以()f x 在1x =处取得极大值，合题意． 综上可知，实数a 的取值范围为1(,)2+∞．1．函数()ln f a x x x =+在1x =处取得极值，则实数a 的值为 A ．0B ．1-C ．12-D ．122．函数2n 2)3l (f x x x x =+-的极值点的个数是 A ．0 B ．1 C ．2D ．无数个3．如图是()y f x =的导函数的图象，现有四种说法： ①()f x 在(3,1)-上是增函数； ②1x =-是()f x 的极小值点；③()f x 在(2,4)上是减函数，在(1,2)-上是增函数； ④2x =是()f x 的极小值点．以上说法正确的序号为 A ．①② B ．②③ C ．③④D ．④4．函数()2cos f x x x =+在[0,π]上的极小值点为 A ．0B ．π6C ．5π6D ．π5．设a ∈R ，若函数e ,x y ax x =+∈R 有大于零的极值点，则 A ．1a <- B ．1a >- C ．1e a >-D ．1ea <-6．设a ∈R ，若函数e 2,x y ax x =-∈R 有大于0的极值点，则A ．1e a <B ．1e a >C ．12a >D ．12a <7．函数3()3f x x x =-的极小值为________________．8．已知函数32()(6)1f x ax x a x =++++有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是________________． 9．已知函数2()2ln f x x x =-，则函数()f x 的极大值为________________． 10．已知函数2()e (3)x f x x =-．（1）求曲线()y f x =在点(0,()0)f 处的切线方程； （2）求函数()y f x =的极值．11．已知函数()e 1x f x x a =--（a 为实数），()ln x g x x =-．（1）讨论函数()f x 的单调区间； （2）求函数()g x 的极值．12．已知函数2()ln f x ax b x =+在1x =处有极值12． （1）求实数,a b 的值；（2）判断函数()y f x =的单调性并求出单调区间．13．已知函数21()ln 2f x bx x x =--+存在极小值，则实数b 的取值范围为 A ．(2,)+∞ B ．[2,)+∞ C ．(0,2)D ．(0,2]14．设函数()f x 满足2e ()2()x xf xf x x x '+=，2(2e )8f =，则当0x >时函数()f xA ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值15．已知a ∈R ，若()()e xaf x xx =+在区间(0,1)上只有一个极值点，则实数a 的取值范围为A ．(0,)+∞B ．(,1]-∞C ．(1,)+∞D ．(,0]-∞16．已知函数3221()3f x x a x ax b =+++，当1x =-时，函数()f x 的极值为712-，则(2)f =________________．17212()()2ln (0)2ax f x a x x a =-++>1(,1)2a 的取值范围是________________．18．已知函数()(1)e x f x k x =--（e 为自然对数的底数，e 2.71828≈，k ∈R ）．（1）当0x >时，求函数()f x 的单调区间和极值；（2）若对于任意[1,2]x ∈，都有()4f x x <成立，求实数k 的取值范围．19．已知函数23()ln 42f x m x x x =+-． （1）若曲线()y f x =在1x =处的切线与y 轴垂直，求函数()f x 的极值；（2）设3()4g x x =-，若()()()h x f x g x =-在(1,)+∞上单调递减，求实数m 的取值范围．20．已知函数3211(),32f x ax a x =-∈R ． （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(3,()3)f 处的切线方程；（2）设函数()()()cos sin g f x a x x x x =+--，讨论()g x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．21．（2017新课标全国II ）若2x =-是函数21()(1)e x f x x ax -=+-的极值点，则()f x 的极小值为A ．1-B ．32e --C ．35e -D ．1 22．（2018北京文）设函数．（1）若曲线在点处的切线斜率为0，求a ；（2）若在处取得极小值，求a 的取值范围．23．（2018新课标全国Ⅰ文）已知函数e ln 1x a x --．（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；（2）证明：当1e a ≥时，．24．（2018新课标全国Ⅰ）已知函数1()ln f x x a x x=-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：1212()()2f x f x a x x -<--．25．（2018新课标全国Ⅲ）已知函数2()(2)ln(1)2f x x ax x x =+++-．（1）若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >； （2）若0x =是()f x 的极大值点，求a ．26．（2017江苏）已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值，且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：23b a >；（3）若()f x ，()f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围．1．【答案】B 【解析】()1,(0,)af 'x xx =+∈+∞，函数在1x =处取得极值，则()01f '=，可得1a =-．故选B ． 2．【答案】A【解析】21621()62x x f 'x x xx -+=+-=，由()0f 'x =可得26210x x -+=，该方程无解，因此函数2n 2)3l (f x x x x =+-无极值点．故选A ．3．【答案】B4．【答案】C【解析】因为()2cos f x x x =+，所以()12sin f x x '=-，令()0f x '=，得π6x =或5π6x =，由()0f x '<可得π5π66x <<；由()0f x '>可得π06x ≤<或5ππ6x ≥>，所以函数()2cos f x x x =+在区间π5π(,)66上为减函数，在区间π[0,)6和区间5π(,π]6上均为增函数，所以函数()2cos f x x x =+的极小值点为5π6．故选C ．5．【答案】A【解析】因为e ,xy ax x =+∈R ，所以e xy a '=+，由题意知，e 0x a +=有大于0的实根，可得e x a =-，因为0x >，所以e 1x >，所以1a <-，故选A ． 6．【答案】C【解析】函数e 2,xy ax x =-∈R 的导数为e 2xy a '=-，函数e 2,xy ax x =-∈R 有大于0的极值点，即e 20x a -=有大于0的实根，所以函数e xy =与函数2y a =的图象在y 轴右侧有交点，所以1212a a >⇒>，故选C ． 7．【答案】2-【解析】2()33x f 'x =-，令()0f 'x =，得1x =±，当1x <-或1x >时，()0f 'x >，当11x -<<时，()0f 'x <，所以当1x =时，函数()f x 取极小值，且极小值是3()11213f =-⨯=-．8．【答案】(,3)(6,)-∞-+∞【解析】因为32()(6)1f x ax x a x =++++，所以2()326f 'x a x ax =+++， 又因为函数()f x 有两个极值，所以()0f 'x =有两个不等的实数根，所以0∆>， 即2443(6)0a a -⨯+>，解得3a <-或6a >．故实数a 的取值范围是(,3)(6,)-∞-+∞．9．【答案】1-10．【答案】（1）033=++y x ；（2）3()6e x f -=极大值，()2e x f =-极小值．【解析】（1）由题意可得2()e (23)e (3)(1)x xf 'x x x x x =+-=+-，故()30f '=-．又(30)f =-，故曲线()y f x =在点(0,()0)f 处的切线方程为x y 33-=+，即033=++y x ．（2）由()0f 'x =可得1=x 或3-=x ，()f 'x ，()f x 随x 的变化情况如下表所示，x(,3)-∞-3- (3,1)-1(1,)+∞()f 'x +-+()f 'x↗极大值↘极小值↗3()(3)6e x f f -=-=极大值，()(1)2e f f x ==-极小值．11．【答案】（1）()f x 在(ln ,)a +∞上单调递增，在(,ln )a -∞上单调递减；（2）极大值为1-，无极小值．【解析】（1）由题意得()e x'a x f =-，当0a ≤时，()0f x'>恒成立，函数()f x 在R 上单调递增； 当0a >时，由()0f x '>可得ln x a >，由()0f x '<可得ln x a <， 故函数()f x 在(ln ,)a +∞上单调递增，在(,ln )a -∞上单调递减．12．【答案】（1）1,12a b ==-；（2）()f x 的递减区间是(0,1)，递增区间是(1,)+∞． 【解析】（1）由题可得()2b f x ax x '=+，则22011ln12a b a b +=⎧⎪⎨⋅+=⎪⎩，所以121a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩． （2）由（1）可知21()ln 2f x x x =-，则函数()f x 的定义域为(0,)+∞，211()x f x x x x--'=+=， 令()0f x '=，即210x x-=，解得1x =或1x =-（舍去）， 当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，当1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增． 所以函数()f x 的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1,)+∞． 13．【答案】A【解析】211()x bx f 'x x b x x -+-=--+=，因为()f x 存在极小值，所以方程210x bx -+-=有两个不等的正根，设为1x ，2x ．故1212210240x x b x x b b ∆⎧+=>⎪=>⇒>⎨⎪=->⎩，所以b 的取值范围为(2,)+∞，故选A ．14．【答案】D【解析】由题意得23e 2()()x xf f xx x '-=，令2()e 2()x h x x f x =-， 则22e e (2)()e 2[()2()]e x x xxx h x f xf x x x x x-''=-+=-=，因此当(0,2)x ∈时，()0h x '<；当(2,)x ∈+∞时，()0h x '>， 故2222e ()(2)e 22(2)e 2408h h f x ==-⨯=-⨯⨯=极小值，因此当0x >时，()0f 'x ≥恒成立，所以当0x >时函数()f x 既无极大值也无极小值，故选D ． 15．【答案】A16．【答案】53【解析】3221()3f x x a x ax b =+++，22()2f 'x a x a x ∴=++，)01(f '-=，12a ∴=-或1a =，当1a =时，2()210f 'x x x =++≥，此时函数()f x 没有极值，12a ∴=-，又7(1)12f -=-，1b ∴=-，32111()1342f x x x x ∴=+--，5(32)f ∴=．17．【答案】(1,2)【解析】由212()()2ln (0)2ax f x a x x a =-++>可得2(1()2)x x f 'ax a =-++，因为函数()f x 在区间1(,1)2内有极值，且0a >，所以方程0()f 'x =在在区间1(,1)2内有解，即方程2(12)ax a x-++0=在区间1(,1)2内有解，解得1x a =或2x =(舍去)．构造函数(12)x y a a =-+和2y x=-，由0a >数形结合可得1x a =为函数()f x 的极大值点，故11(,1)2a ∈，即12a <<，则实数a 的取值范围是(1,2)．18．【答案】（1）当0k ≤时，()f x 的单调递增区间是(0,)+∞，无单调递减区间，无极值；当0k >时，()f x 的单调递减区间是(0,)k ，单调递増区间是(,)k +∞，极小值为e k-，无极大值；（2）22e 8(,)e-+∞．（2）由()4f x x <，可得(1)e 40xx k x ---<，因为e 0x >，所以41e x x x k --<，即41exxk x >--对任意[1,2]x ∈恒成立， 记()1g x x =-4e x x -，则4(1)e 4(1)()1e ex x xx x x g -+-'=-=， 因为[1,2]x ∈，所以()0g x '>，即()g x 在[1,2]上单调递增，故2228e 8()()12e e x g g -≤=-=，所以实数k 的取值范围为22e 8(,)e-+∞． 19．【答案】（1）极大值为7ln 36--，极小值为52-；（2）(,4]-∞． 【解析】（1）由23()ln 42f x m x x x =+-可得()34mf x x x'=+-，由题意知(1)340f m '=+-=，解得1m =，所以23()ln 42f x x x x =+-，21341(31)(1)()34(0)x x x x f x x x x x x -+--'=+-==>．当()0f x '>时，103x <<或1x >；当()0f x '<时，113x <<． 所以()f x 的单调递增区间为1(0,),(1,)3+∞，单调递减区间为1(,1)3，所以()f x 的极大值为113117()ln 4ln 3332936f =+⨯-⨯=--，极小值为35(1)0422f =+-=-． （2）由233()()()ln 442h x f x g x m x x x x =-=+--+可得2()343mh x x x x '=+--， 由()h x 在(1,)+∞上单调递减可得2()3430m h x x x x'=+--≤在(1,)+∞上恒成立，即32334m x x x ≤-+在(1,)+∞上恒成立，令32()334x x x x ϕ=-+，则22()964(31)30x x x x ϕ'=-+=-+>， 所以32()334x x x x ϕ=-+在(1,)+∞上单调递增． 故()3344x ϕ>-+=，所以4m ≤， 故实数m 的取值范围是(,4]-∞．20．【答案】（1）390x y --=；（2）见解析．【分析】（1）根据导数的几何意义，求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程；（2）由()()(sin )g x a x x x '=--，通过讨论确定()g x 的单调性，再由单调性确定极值．（2）因为()()()cos sin g x f x x a x x =+--，所以()()cos ()sin cos g x f x x x a x x ''=+---()()sin x x a x a x =---()(sin )x a x x =--， 令()sin h x x x =-，则()1cos 0h x x '=-≥，所以()h x 在R 上单调递增， 因为(0)0h =，所以当0x >时，()0h x >；当0x <时，()0h x <． ①当0a <时，()()(sin )g x x a x x '=--，当(,)x a ∈-∞时，0x a -<，()0g x '>，()g x 单调递增； 当(,0)x a ∈时，0x a ->，()0g x '<，()g x 单调递减； 当(0,)x ∈+∞时，0x a ->，()0g x '>，()g x 单调递增．所以当x a =时()g x 取到极大值，极大值是31()sin 6g a a a =--， 当0x =时()g x 取到极小值，极小值是(0)g a =-． ②当0a =时，()(sin )g x x x x '=-，当(,)x ∈-∞+∞时，()0g x '≥，()g x 单调递增；所以()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，()g x 无极大值也无极小值．【名师点睛】（1）求函数f (x )极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数f ′(x )；③解方程f ′(x )＝0，求出函数定义域内的所有根；④检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根x 0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f (x )在x 0处取极大值，如果左负右正，那么f (x )在x 0处取极小值．（2）若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有极值，那么y ＝f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值． 21．【答案】A【解析】由题可得12121()(2)e(1)e [(2)1]e x x x f x x a x ax x a x a ---'=+++-=+++-，因为(2)0f '-=，所以1a =-，21()(1)e x f x x x -=--，故21()(2)e x f x x x -'=+-，令()0f x '>，解得2x <-或1x >，所以()f x 在(,2),(1,)-∞-+∞上单调递增，在(2,1)-上单调递减，所以()f x 的极小值为11()(111)e 11f -=--=-，故选A ．【名师点睛】（1）可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同；（2）若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．22．【答案】（1）；（2）．23．【答案】（1）212ea =；f （x ）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增；（2）证明见解析． 【分析】（1）先确定函数的定义域，对函数求导，利用f′（2）=0，求得212ea =，从而确定出函数的解析式，之后观察导函数的解析式，结合极值点的位置，从而得到函数的增区间和减区间；（2）结合指数函数的值域，可以确定当a ≥时，f （x ）≥e e x ，之后构造新函数g （x ）=e ex，利用导数研究函数的单调性，从而求得g （x ）≥g （1）=0，利用不等式的传递性，证得结果． 【解析】（1）f （x ）的定义域为，f′（x ）=a e x –．由题设知，f′（2）=0，所以212ea =． 从而21e 2e ()xf x =，21()e 2e xf x '=．当0<x <2时，()f x ' <0；当x >2时，()f x '>0．所以f （x ）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．（2）当a ≥时，f （x ）≥e e x．设g （x ）=e ex，则e 1e x x-， 当0<x <1时，g′（x ）<0；当x >1时，g′（x ）>0．所以x =1是g （x ）的最小值点．故当x >0时，g （x ）≥g （1）=0． 因此，当1ea ≥时，．24．【答案】（1）当时，在上单调递减，当时在上单调递减，在单调递增；（2）证明见解析．【分析】（1）首先确定函数的定义域，之后对函数求导，之后对进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号，从而求得函数对应的单调区间；（2）根据存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定，令，得到两个极值点是方程的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，构造新函数证得结果．（2）若2a >，令()0f x '=得，24a a x --=或24a a x +-=．当2244)()a a a a x --+-∈+∞时，()0f x '<；当2244a a a a x --+-∈时，()0f x '>，所以()f x 在2244(0,),()22a a a a -+-+∞单调递减，在2244(22a a a a -+-单调递增．（2）由（1）知，()f x 存在两个极值点当且仅当2a >．由于()f x 的两个极值点12,x x 满足210x ax -+=，所以121x x =，不妨设12x x <，则21x >．由于12121221212121222()()ln ln ln ln 2ln 11221f x f x x x x x x a a ax x x x x x x x x x ----=--+=-+=-+----， 所以1212()()2f x f x a x x -<--等价于22212ln 0x x x -+<．设函数1()2ln g x x x x=-+，由（1）知，()g x 在(0,)+∞单调递减， 又(1)0g =，从而当(1,)x ∈+∞时，()0g x <，所以22212ln 0x x x -+<，即1212()()2f x f x a x x -<--． 25．【答案】（1）证明见解析；（2）．（2）若0a ≥，由（1）知，当0x >时，()(2)ln(1)20(0)f x x x x f ≥++->=， 这与0x =是()f x 的极大值点矛盾． 若0a <，设函数22()2()ln(1)22f x xh x x x ax x ax==+-++++． 由于当1||min{}||x a <时，220x ax ++>，故()h x 与()f x 符号相同． 又(0)(0)0h f ==，故0x =是()f x 的极大值点当且仅当0x =是()h x 的极大值点．2222222212(2)2(12)(461)()1(2)(1)(2)x ax x ax x a x ax a h x x x ax x ax x ++-++++'=-=++++++．如果610a +>，则当6104a x a +<<-，且||min{x <时，()0h x '>， 故0x =不是()h x 的极大值点．如果610a +<，则224610a x ax a +++=存在根10x <，故当1(,0)x x ∈，且||min{x <时，()0h x '<，所以0x =不是()h x 的极大值点． 如果610a +=，则322(24)()(1)(612)x x h x x x x -'=+--．则当(1,0)x ∈-时，()0h x '>；当(0,1)x ∈时，()0h x '<， 所以0x =是()h x 的极大值点，从而0x =是()f x 的极大值点综上，16a =-． 26．【答案】（1）2239a b a=+，3a >；（2）证明见解析；（3）(3,6]． 【思路分析】（1）先求导函数的极值：3a x =-，再代入原函数得33()1032793a a a abf -=-+-+=，化简可得2239a b a =+，根据极值存在条件可得3a >；（2）由（1+，构造函数23()=9t g t t+，利用导数研究函数单调性，可得(g g 即2>3b a ；（3）先求证()f x 的两个极值之和为零，利用根与系数关系代入化简即得，再研究导函数极值不小于72-，构造差函数213()=9h a a a -+，利用导数研究其单调性，()h a 在(3,)+∞上单调递减．而7(6)=2h -，故可得a 的取值范围．【解析】（1）由32()1f x x ax bx =+++，得222()323()33a a f x x axb x b '=++=++-．当3a x =-时，()f x '有极小值23ab -因为()f x '的极值点是()f x 的零点，所以33()1032793a a a abf -=-+-+=，又0a >，故2239a b a=+．因为()f x 有极值，故()=0f x '有实根，从而231(27)039a b a a-=-≤，即3a ≥．当3a =时，()>0(1)f x x '≠-，故()f x 在R 上是增函数，()f x 没有极值；当3a >时，()=0f x '有两个相异的实根213=3a a b x ---，223=3a ab x -+-．列表如下：x1(,)x -∞1x12(,)x x2x2(,)x +∞()f x ' + 0 – 0 + ()f x极大值极小值故()f x 的极值点是12,x x ．从而3a >．因此2239a b a=+，定义域为(3,)+∞．（3）由（1）知，()f x 的极值点是12,x x ，且1223x x a +=-，22212469a b x x -+=．从而323212111222()()11f x f x x ax bx x ax bx +=+++++++2222121122121212(32)(32)()()23333x x x ax b x ax b a x x b x x =++++++++++ 346420.279a ab ab -=-+=记()f x ，()f x '所有极值之和为()h a ，因为()f x '的极值为221339a b a a-=-+，所以213()=9h a a a -+，3a >． 因为223()=09h a a a '--<，于是()h a 在(3,)+∞上单调递减． 因为7(6)=2h -，于是()(6)h a h ≥，故6a ≤，因此a 的取值范围为(3,6]．。
高中数学人教A版选修1-1练习第3章 导数及其应用3.3.2 Word版含解析
第三章级基础巩固一、选择题．函数()的定义域为开区间(，)，导函数′()在(，)内的图象如图所示，则函数()在开区间(，)内有极小值点( )．个．个．个．个[解析]极小值点应有先减后增的特点，即′()<→′()＝→′()>.由图象可知只有个极小值点．．已知函数＝－＋的图象与轴恰有两个公共点，则＝( )．－或．－或．－或．－或[解析]∵′＝－，∴当′＝时，＝±，则，′，的变化情况如下表：.．(·四川)已知为函数()＝－的极小值点，则＝( )．－．－．．[解析]′()＝－，令′()>得<－或>，令′()<得－<<，∴()在(－∞，－)，(，＋∞)上单调递增，在(－)上单调递减，∴当＝时，()取极小值，即是函数()的极小值点，故＝.．设函数()＝，则( )．＝为()的极大值点．＝为()的极小值点．＝－为()的极大值点．＝－为()的极小值点[解析]′()＝＋＝(＋)，令′()>，得>－，令′()<，得<－，∴函数()在(－∞，－)上递减，在(－，＋∞)上递增，∴当＝－时，()取得极小值．．设函数()＝＋，则( )．＝为()的极大值点．＝为()的极小值点．＝为()的极大值点．＝为()的极小值点[解析]本节考查了利用导数工具来探索其极值点问题．′()＝－＋＝(－)，由′()＝可得＝.当<<时，′()<，()递减，当>时，′()>，∴()单调递增．所以＝为极小值点．对于含有对数形式的函数在求导时，不要忽视定义域．．若>，>，且函数()＝－－＋在＝处有极值，则的最大值等于( )．．．．[解析]′()＝－－，由条件知′()＝，∴＋＝，∴≤()＝，等号在＝＝时成立，故选．二、填空题．函数＋()＝－＋取得极小值时，的值是－[解析]′()＝－＋＋＝－(－)(＋)，令′()>得－<<，令′()<，得<－或>，∴函数()在(－∞，－)，(，＋∞)上递减，在(－)上递增，∴当＝－时，函数()取得极小值．．(·陕西文)函数＝在其极值点处的切线方程为＝－[解析]∵＝，∴′＝＋＝(＋)，当＝－时有极小值，此时＝－＝－，而′＝－＝，∴切线方程为＝－.三、解答题．设函数＝＋＋＋的图象如图所示，且与＝在原点相切，若函数的极小值为－.()求、、的值；()求函数的递减区间[解析]()因为函数的图象经过点()，易得＝.。
高中数学人教版选修1-1 第三章 导数及其应用 函数的最大(小)值与导数
3．3.3函数的最大(小)值与导数[教材研读]，思考以下问题预习课本P96～98如图为函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象1．由图找出f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的取值位置．2．根据图象找出在闭区间[a，b]上，函数f(x)的最大(小)值与极大(小)值的关系．[要点梳理]1．函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得．2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．3．最值与极值的区别与联系(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言．(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有)．(3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点．(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点取得．如图是y＝f(x)在区间[a，b]上的函数图象．显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值．最大值y＝M＝f(x3)＝f(b)分别在x＝x3及x＝b处取得，最小值y＝m＝f(x4)在x＝x4处取得．[自我诊断]判断(正确的打“√”，错误的打“×”)1．函数y＝f(x)在闭区间的极值就是在该区间的最值．()2．函数的最小值至多有一个，但函数的极小值可能有多个．()3．若函数在开区间只有一个极大值，则该极大值就是最大值．()[答案] 1.× 2.√ 3.√题型一 利用导数求最值 思考：最值与极值的联系与区别？提示：最值是函数在整个定义域上的最大最小值，而极值是局部最大最小值．求下列各函数的最值：(1)f (x )＝－x 3＋3x ，x ∈[－3，3]； (2)f (x )＝x 2－54x (x <0)．[思路导引] 在闭区间求函数的极值以及端点值，再比较大小． [解] (1)f ′(x )＝3－3x 2＝3(1－x )(1＋x )． 令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1， 当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：＝2，f(－1)＝－2.又因为f(x)在区间端点处的取值为f(－3)＝0，f(3)＝－18，所以f(x)max＝2，f(x)min＝－18.(2)f′(x)＝2x＋54x2，令f′(x)＝0得x＝－3.当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：故f(x)的最小值为f(－3)＝27，无最大值．(1)求函数最值时，若函数f(x)的定义域是闭区间，则需比较极值点处函数值与端点处函数值的大小才能确定函数的最值；(2)若f (x )的定义域是开区间且只有一个极值点，则该极值点就是最值点．[跟踪训练]已知函数f (x )＝1－x x ＋ln x ，求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值和最小值．[解] 易知f (x )的定义域为(0，＋∞)． ∵f (x )＝1－x x ＋ln x ＝1x －1＋ln x ， ∴f ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2. 令f ′(x )＝0，得x ＝1.在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上，当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：∴在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上，当x ＝1时，f (x )取得极小值，也是最小值，且f (1)＝0.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1＋ln 12＝1－ln2，f (2)＝－12＋ln2， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－f (2)＝32－2ln2＝12×(3－4ln2)＝12ln e 316>0， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>f (2)， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－ln2，最小值为f (1)＝0.题型二 含参数的函数最值问题 思考：怎样求解析式中的参数？提示：利用极值与导数的关系，即在某点有极值，则在某点的导数为0.已知k 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x ＋k )．(1)求导函数f ′(x )；(2)若x ＝－1是函数f (x )的极值点，求f (x )在区间[－2，2]上的最大值和最小值．[思路导引] 因为在x ＝－1处取得极值，所以f ′(－1)＝0，则求出参数k .[解] (1)∵f (x )＝x 3＋kx 2－4x －4k ，∴f ′(x )＝3x 2＋2kx －4. (2)由f ′(－1)＝0，得k ＝－12.∴f (x )＝x 3－12x 2－4x ＋2，f ′(x )＝3x 2－x －4. 由f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝43.又f (－2)＝0，f (－1)＝92，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝－5027，f (2)＝0，∴f (x )在区间[－2,2]上的最大值为92，最小值为－5027.已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使问题得以解决．[跟踪训练]若f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ，x ∈[－1,2]的最大值是3，最小值是－29，求a，b的值．[解]f′(x)＝3ax2－12ax＝3a(x2－4x)．令f′(x)＝0，得x＝0，x＝4.∵x∈[－1,2]，∴x＝0.由题意知a≠0.①若a>0，则f′(x)，f(x)随x变化的情况如下表：又f(2)＝8a－24a＋3＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3>f(2)，∴当x＝2时，f(x)取最小值，－16a＋3＝－29，∴a＝2.②若a<0，则f′(x)，f(x)随x变化的情况如下表：又f (2)＝－16a －29，f (－1)＝－7a －29<f (2)， ∴当x ＝2时，f (x )取最大值，即－16a －29＝3， ∴a ＝－2.综上：⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－29.题型三 与函数最值有关的恒成立问题 思考：有关恒成立问题怎样解决？提示：与恒成立有关的问题，就是转化为求最值问题．设函数f (x )＝tx 2＋2t 2x ＋t －1(x ∈R ，t >0)．(1)求f (x )的最小值h (t )；(2)若h (t )<－2t ＋m 对t ∈(0,2)恒成立，求实数m 的取值范围．[思路导引]恒成立问题，即y＝h(t)＋2t，若t∈(0,2)的最大值小于m，所以恒成立问题即求函数的最值问题．[解](1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1.(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0得t＝1或t＝－1(不符合题意，舍去)．当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：h(t)<－2t＋m在(0,2)内恒成立等价于g(t)<0在(0,2)内恒成立，即等价于1－m<0.∴m的取值范围为(1，＋∞)．有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问题．求解时首先要确定函数，看哪一个变量的范围已知，以已知范围的变量为自变量确定函数．一般地，λ≥f (x )恒成立⇔λ≥[f (x )]max ；λ≤f (x )恒成立⇔λ≤[f (x )]min . [跟踪训练]设函数f (x )＝2x 3＋3ax 2＋3bx ＋8c 在x ＝1及x ＝2时取得极值． (1)求a ，b 的值；(2)若对于任意的x ∈[0,3]，都有f (x )<c 2成立，求c 的取值范围． [解] (1)f ′(x )＝6x 2＋6ax ＋3b ，因为函数f (x )在x ＝1及x ＝2时取得极值， 所以f ′(1)＝0，f ′(2)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 6＋6a ＋3b ＝0，24＋12a ＋3b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝4.(2)由(1)可知，f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋8c ， f ′(x )＝6x 2－18x ＋12＝6(x －1)(x －2)． 当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0； 当x ∈(1,2)时，f ′(x )<0；当x∈(2,3)时，f′(x)>0.所以，当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝5＋8c，又f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c.所以当x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c.因为对于任意的x∈[0,3]，有f(x)<c2恒成立，所以9＋8c<c2，解得c<－1或c>9.因此c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞).1.求函数的最值时，应注意以下几点(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念．(2)闭区间[a，b]上的连续函数一定有最值．开区间(a，b)内的可导函数不一定有最值，但若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值，并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值)．2．求含参数的函数最值，可分类讨论求解． 3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题.1．连续函数f (x )在[a ，b ]上有最大值是f (x )有极大值的( ) A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 因为在[a ，b ]有最大值时函数可以是单调函数，所以有最大值不一定有极大值，反之亦不成立，所以选D.[答案] D2．设函数f (x )＝2x ＋1x －1(x <0)，则f (x )( ) A ．有最大值 B ．有最小值 C ．是增函数 D ．是减函数[解析] 因为f ′(x )＝2－1x 2(x <0)，当x ＝－2时，f ′(x )＝0，当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0，当x ∈(－2，0)时，f ′(x )<0，所以当x ＝－2时，f (x )有极大值即最大值，所以选A.[答案] A3．下列说法正确的是( )A ．函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值B ．闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值C ．若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值D ．若函数在给定区间上有最值，则有且仅有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值[解析] 由极值与最值的定义知选D. [答案] D4．函数f (x )＝2x ＋1x ，x ∈(0,5]的最小值为( ) A ．2 B ．3 C.174D ．22＋12[解析] 由f ′(x )＝1x－1x 2＝＝0，得x ＝1，且x ∈(0,1)时，f ′(x )<0；x ∈(1,5]时，f ′(x )>0，∴x ＝1时f (x )最小，最小值为f (1)＝3.[答案] B5．函数f (x )＝1x ＋1＋x (x ∈[1,3]的值域为__________．[解析] f ′(x )＝－1(x ＋1)2＋1＝x 2＋2x (x ＋1)2，所以在[1,3]上f ′(x )>0恒成立，即f (x )在[1,3]上单调递增，所以f (x )的最大值是f (3)＝134，最小值是f (1)＝32.故函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，134.[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1346．已知f (x )＝13x 3－12x 2－2x ，求f (x )的极大值__________，极小值__________．[解析] f ′(x )＝x 2－x －2＝0，解得x ＝－1或x ＝2，且(－∞，－1)和(2，＋∞)时f ′(x )>0，在(－1,2)，f ′(x )<0，所以f (－1)＝76是极大值，f (2)＝－103是极小值．[答案] 76 －1037．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋2，且f (x )的导函数f ′(x )的图象关于直线x ＝1对称．(1)求导函数f ′(x )及实数a 的值；(2)求函数y ＝f (x )在[－1,2]上的最大值和最小值． [解] (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋2得： f ′(x )＝3x 2＋2ax .∵f ′(x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴－a 3＝1.∴a ＝－3，f ′(x )＝3x 2－6x . (2)由(1)知f (x )＝x 3－3x 2＋2， f ′(x )＝3x 2－6x .令f ′(x )＝0得x 1＝0，x 2＝2.当x在[－1,2]上变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x＝0时，函数有最大值2.。
高中数学人教版选修1-1习题：第3章 导数及其应用3.2.1 含解析
选修1-1 第三章 3.2 3.2.1一、选择题1．设y＝e3，则y′等于导学号 92600589( )A．3e2B．e2C．0 D．以上都不是[答案] C[解析] ∵y＝e3是一个常数，∴y′＝0.2．(2016·广西南宁高二检测)若函数f(x)＝x2，则f(x)在x＝1处的导数为导学号 92600590( )A．2x B．2C．3 D．4[答案] B[解析] f′(x)＝2x，∴f(x)在x＝1处的导数为f′(1)＝2.3．已知函数f(x)＝x3的切线的斜率等于3，则切线有导学号 92600591 ( )A．1条B．2条C．3条D．不确定[答案] B[解析] ∵f ′(x)＝3x2＝3，解得x＝±1.切点有两个，即可得切线有两条．4．给出下列结论：①若y＝1x3，则y′＝－3x4；②若y＝3x，则y′＝133x；③若y＝1x2，则y′＝－2x3；④若f(x)＝3x，则f ′(1)＝3，其中正确的个数是导学号 92600592( )A．1 B．2 C．3 D．4 [答案] B[解析] ②y′＝133x2；③y′＝－2x－3，所以只有①④是正确的．5．下列结论正确的是导学号 92600593( ) A．若y＝sin x，则y′＝cos xB．若y＝cos x，则y′＝sin xC．若y＝1x，则y′＝1x2D．若y＝x，则y′＝12x[答案] A[解析] ∵B项中，y′＝－sin x；C项中，y′＝－1x2；D项中，y′＝12x，∴选A．6．f(x)＝1x 3x2，则f ′(－1)＝导学号 92600594( )A．52B．－52C ．53D ．－53[答案] D[解析] ∵f(x)＝x －53，∴f ′(x)＝－53x －83，∴f ′(－1)＝－53(－1)－83＝－53. 二、填空题7．曲线y ＝x n 在x ＝2处的导数为12，则n 等于________.导学号 92600595 [答案] 3[解析] y ′＝nx n －1，∴y ′|x ＝2＝n ·2n －1＝12，∴n ＝3. 8．函数y ＝sin π，则y ′＝________.导学号 92600596 [答案] 0[解析] y ＝sin π＝0，∴y ′＝0.9．在曲线y ＝4x 2上求一点P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P 点坐标为________.导学号 92600597[答案] (2,1)[解析] 设P(x 0，y 0)，∵y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4x 2′＝(4x －2)′＝－8x －3，tan 135°＝－1，∴－8x －30＝－1.∴x 0＝2，y 0＝1. 三、解答题10．(2016·浙江宁波高二月考)求曲线y ＝cos x 在x ＝π6处的切线方。
高中数学(人教版选修1-1)配套课件：第3章 导数及其应用3.3.2
知识梳理
自主学习
知识点一 极值点与极值的概念 (1)极小值点与极小值
如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近 其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧 f′(x)＜0 ，右侧 f′(x)＞0 ，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数
y＝f(x)的极小值.
学习
顺序式 学习
冲刺式 学习
什么是学习力-高效学习必备习
惯
积极 主动
以终 为始
分清 主次
不断 更新
高效学习模型
高效学习模型-学习的完整过程
方向
资料
筛选
认知
高效学习模型-学习的完整过程
消化
固化
模式
拓展
小思考
TIP1：听懂看到≈认知获取； TIP2：什么叫认知获取：知道一些概念、过程、信息、现象、方法，知道它们 大概可以用来解决什么问题，而这些东西过去你都不知道； TIP3：认知获取是学习的开始，而不是结束。
解析答案
12345
2.已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于点(1,0)，则f(x)的极值 情况为( )
A.极大值为247，极小值为 0
B.极大值为 0，极小值为247
C.极大值为 0，极小值为－247
D.极大值为－247，极小值为 0
解析答案
12345
3.已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 设a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a. (1)求f(x)的极值； 解 f′(x)＝－3x2＋3，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1. 因为当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＜0， 当x∈(－1,1)时，f′(x)＞0， 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0， 所以f(x)的极小值为f(－1)＝a－2，极大值为f(1)＝a＋2.
高中数学人教版选修1-1习题第3章 导数及其应用3.2.2 Word版含解析
选修第三章一、选择题．曲线运动方程为＝＋，则＝时的速度为( )．．．．[答案][解析]′＝′＋()′＝＋，∴＝时的速度为：′＝＝＋＝.．函数＝·的导数是( )．′＝．′＝．′＝＋．′＝＋[答案][解析]′＝′·＋·()′＝＋·＝＋.．已知()＝＋＋，若′(－)＝，则的值是( )．．．．[答案][解析]′()＝＋，∵′(－)＝－，∴－＝，∴＝.．(·北京昌平高二检测)若函数()＝＋，则′()的值为( )．．．．－[答案][解析]′()＝－，∴′()＝－＝－.．(·广西南宁高二检测)曲线＝－＋在点()处的切线的倾斜角为( ) ．°．°．°．°[答案][解析]′＝－，∴切线的斜率＝－＝，∴切线的倾斜角为°.．若函数()＝′()－＋，则′()的值为( )．．－．．[答案][解析]∵′()＝′()－，∴′()＝′()－，∴′()＝.二、填空题．函数()＝＋，则′()＝[答案]－[解析]()＝＋，∴′()＝－.．(·贵州遵义一中高二检测)若曲线()＝＋在＝处的切线与直线＋＋＝互相垂直，则实数＝[答案][解析]∵′()＝()′＝′＋·()′＝＋∴′()＝＋＝.又直线＋＋＝的斜率为－，∴×(－)＝－，∴＝.．(·天津文)已知函数()＝，∈(，＋∞)，其中为实数，′()为()的导函数．若′()＝，则的值为[答案][解析]′()＝(＋)，′()＝＝.三、解答题．函数()＝－－＋的图象上有两点()和()，在区间()内求实数，使得函数()的图象在＝处的切线平行于直线[解析]直线的斜率＝－，′()＝－－，令′()＝－(<<)，。
高中数学选修1-1第三章课后习题解答
新课程标准数学选修1—1第三章课后习题解答第三章 导数及其应用 3．1变化率与导数 练习（P76）在第3 h 和5 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为1-和3. 它说明在第3 h 附近，原油温度大约以1 ℃／h 的速度下降；在第5 h 时，原油温度大约以3 ℃／h 的速率上升. 练习（P78）函数()h t 在3t t =附近单调递增，在4t t =附近单调递增. 并且，函数()h t 在4t 附近比在3t 附近增加得慢. 说明：体会“以直代曲”的思想. 练习（P79）函数()r V =(05)V ≤≤的图象为根据图象，估算出(0.6)0.3r '≈，(1.2)0.2r '≈.说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数. 习题3.1 A 组（P79）1、在0t 处，虽然1020()()W t W t =，然而10102020()()()()W t W t t W t W t t t t--∆--∆≥-∆-∆. 所以，单位时间里企业甲比企业乙的平均治污率大，因此企业甲比企业乙略好一筹. 说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵.2、(1)(1) 4.9 3.3h h t h t t t∆+∆-==-∆-∆∆，所以，(1) 3.3h '=-.这说明运动员在1t =s 附近以3.3 m ／s 的速度下降. 3、物体在第5 s 的瞬时速度就是函数()s t 在5t =时的导数.(5)(5)10s s t s t t t∆+∆-==∆+∆∆，所以，(5)10s '=. 因此，物体在第5 s 时的瞬时速度为10 m ／s ，它在第5 s 的动能213101502k E =⨯⨯= J. 4、设车轮转动的角度为θ，时间为t ，则2(0)kt t θ=>.由题意可知，当0.8t =时，2θπ=. 所以258k π=，于是2258t πθ=. 车轮转动开始后第3.2 s 时的瞬时角速度就是函数()t θ在 3.2t =时的导数.(3.2)(3.2)25208t t t t θθθππ∆+∆-==∆+∆∆，所以(3.2)20θπ'=. 因此，车轮在开始转动后第3.2 s 时的瞬时角速度为20π弧度／秒. 说明：第2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固. 5、由图可知，函数()f x 在5x =-处切线的斜率大于0，所以函数在5x =-附近单调递增. 同理可得，函数()f x 在4x =-，2-，0，2附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调递减. 说明：“以直代曲”思想的应用.6、函数（1）是一条直线，其斜率是一个小于0的常数；函数（2）的()f x '均大于0，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加；对于函数（3），当x 小于0时，()f x '小于0，当x 大于0时，()f x '大于0，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加. 以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种.说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系. 习题3.1 B 组（P80）1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻画的是速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度.2、说明：由给出的()v t 的信息获得()s t 的相关信息，并据此画出()s t 的图象的大致形状. 这个过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换.3、由题意可知，函数()f x 的图象在点(1,5)-处的切线斜率为1-，所以此点附近曲线呈下降趋势. 首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象. 同理可得（2）（3）某点处函数图象的大致形状.说明：这是一个综合性问题，包含了对导数内涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思3．2导数的计算 练习（P85）1、()27f x x '=-，所以，(2)3f '=-，(6)5f '=.2、（1）1ln 2y x '=； （2）2x y e '=； （3）41065y x x '=-+； （4）3sin 4cos y x x '=--习题3.2 A 组（P85）1、()()2S S r r S r r r r r π∆+∆-==+∆∆∆，所以，0()lim(2)2r S r r r r ππ∆→'=+∆=.2、()9.8 6.5h t t '=-+.3、()r V '=.4、（1）213ln 2y x x '=+； （2）1n x n x y nx e x e -'=+； （3）21sin y x'=-.5、()8f x '=-+. 由0()4f x '=有 048=-+，解得0x =.6、（1）ln 1y x '=+； （2）1y x =-.7、1xy π=-+.8、（1）氨气的散发速度()500ln 0.8340.834t A t '=⨯⨯.（2）(7)25.5A '=-，它表示氨气在第7天左右时，以25.5克／天的速率减少. 习题3.2 B 组（P86）1、当0y =时，0x =. 所以函数图象与x 轴交于点(0,0)P . x y e '=-，所以01x y ='=-.所以，曲线在点P 处的切线的方程为y x =-.2、()4sin d t t '=-. 所以，上午6:00时潮水的速度为0.42-m ／h ；上午9:00时潮水的速度为0.63-m ／h ；中午12:00时潮水的速度为0.83-m ／h ；下午6:00时潮水的速度为 1.24-m ／h.3．3导数在研究函数中的应用 练习（P93）当()0f x '>，即1x >时，函数2()24f x x x =-+单调递增； 当()0f x '<，即1x <时，函数2()24f x x x =-+单调递减. （2）因为()x f x e x =-，所以()1x f x e '=-.当()0f x '>，即0x >时，函数()x f x e x =-单调递增； 当()0f x '<，即0x <时，函数()x f x e x =-单调递减. （3）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-.当()0f x '>，即11x -<<时，函数3()3f x x x =-单调递增； 当()0f x '<，即1x <-或1x >时，函数3()3f x x x =-单调递减. （4）因为32()f x x x x =--，所以2()321f x x x '=--.当()0f x '>，即13x <-或1x >时，函数32()f x x x x =--单调递增；当()0f x '<，即113x -<<时，函数32()f x x x x =--单调递减.2、3、因为2()(0)f x ax bx c a =++≠，所以()2f x ax b '=+. （1）当0a >时，()0f x '>，即2bx a >-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增； ()0f x '<，即2bx a<-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减.（2）当0a <时，()0f x '>，即2bx a <-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增；()0f x '<，即2bx a>-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减.4、证明：因为32()267f x x x =-+，所以2()612f x x x '=-. 当(0,2)x ∈时，2()6120f x x x '=-<，因此函数32()267f x x x =-+在(0,2)内是减函数. 练习（P96）注：图象形状不唯一.令()1210f x x '=-=，得112x =. 当112x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；当112x <时，()0f x '<，()f x 单调递减. 所以，当112x =时，()f x 有极小值，并且极小值为211149()6()212121224f =⨯--=-.（2）因为3()27f x x x =-，所以2()327f x x '=-. 令2()3270f x x '=-=，得3x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即3x <-或3x >时；②当()0f x '<，即33x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当3x =时，()f x 有极小值，并且极小值为54-；当3x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为54.（3）因为3()612f x x x =+-，所以2()123f x x '=-. 令2()1230f x x '=-=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即22x -<<时；②当()0f x '<，即2x <-或2x >时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为10-；当2x =时，()f x 有极大值，并且极大值为22（4）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-.令2()330f x x '=-=，得1x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即11x -<<时；②当()0f x '<，即1x <-或1x >时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当1x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为2-；当1x =时，()f x 有极大值，并且极大值为22、2x ，4x 是函数()y f x =的极值点，其中2x x =是函数()y f x =的极大值点，其中4x x =是函数()y f x =的极小值点. 练习（P98）（1）在[0,2]上，当112x =时，2()62f x x x =--有极小值，并且极小值为149()1224f =-. 又由于(0)2f =-，(2)20f =.因此，函数2()62f x x x =--在[0,2]上的最大值是20、最小值是4924-. （2）在[4,4]-上，当3x =-时，3()27f x x x =-有极大值，并且极大值为(3)54f -=；当3x =时，3()27f x x x =-有极小值，并且极小值为(3)54f =-；又由于(4)44f -=，(4)44f =-.因此，函数3()27f x x x =-在[4,4]-上的最大值是54、最小值是54-.（3）在1[,3]3-上，当2x =时，3()612f x x x =+-有极大值，并且极大值为(2)22f =.又由于155()327f -=，(3)15f =.因此，函数3()612f x x x =+-在1[,3]3-上的最大值是22、最小值是5527.（4）在[2,3]上，函数3()3f x x x =-无极值. 因为(2)2f =-，(3)18f =-.因此，函数3()3f x x x =-在[2,3]上的最大值是2-、最小值是18-. 习题3.3 A 组（P98）1、（1）因为()21f x x =-+，所以()20f x '=-<. 因此，函数()21f x x =-+是单调递减函数.（2）因为()cos f x x x =+，(0,)2x π∈，所以()1sin 0f x x '=->，(0,)2x π∈.因此，函数()cos f x x x =+在(0,)2π上是单调递增函数. （3）因为()24f x x =-，所以()20f x '=>. 因此，函数()24f x x =-是单调递增函数. （4）因为3()24f x x x =+，所以2()640f x x '=+>. 因此，函数3()24f x x x =+是单调递增函数. 2、（1）因为2()24f x x x =+-，所以()22f x x '=+.当()0f x '>，即1x >-时，函数2()24f x x x =+-单调递增. 当()0f x '<，即1x <-时，函数2()24f x x x =+-单调递减. （2）因为2()233f x x x =-+，所以()43f x x '=-.当()0f x '>，即34x >时，函数2()233f x x x =-+单调递增. 当()0f x '<，即34x <时，函数2()233f x x x =-+单调递减.（3）因为3()3f x x x =+，所以2()330f x x '=+>. 因此，函数3()3f x x x =+是单调递增函数. （4）因为32()f x x x x =+-，所以2()321f x x x '=+-. 当()0f x '>，即1x <-或13x >时，函数32()f x x x x =+-单调递增. 当()0f x '<，即113x -<<时，函数32()f x x x x =+-单调递减.3、（1）图略. （2）加速度等于0.4、（1）在2x x =处，导函数()y f x '=有极大值； （2）在1x x =和4x x =处，导函数()y f x '=有极小值；（3）在3x x =处，函数()y f x =有极大值； （4）在5x x =处，函数()y f x =有极小值. 5、（1）因为2()62f x x x =++，所以()121f x x '=+. 令()1210f x x '=+=，得112x =-. 当112x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当112x <-时，()0f x '<，()f x 单调递减.所以，112x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为211149()6()212121224f -=⨯---=-. （2）因为3()12f x x x =-，所以2()312f x x '=-. 令2()3120f x x '=-=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为16；当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为16-.（3）因为3()612f x x x =-+，所以2()123f x x '=-+. 令2()1230f x x '=-+=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为22；当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为10-.（4）因为3()48f x x x =-，所以2()483f x x '=-. 令2()4830f x x '=-=，得4x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当4x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为128-；当4x =时，()f x 有极大值，并且极大值为128.6、（1）当112x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为4924-. 由于(1)7f -=，(1)9f =，所以，函数2()62f x x x =++在[1,1]-上的最大值和最小值分别为9，4924-. （2）在[3,3]-上，当2x =-时，函数3()12f x x x =-有极大值，并且极大值为16； 当2x =时，函数3()12f x x x =-有极小值，并且极小值为16-. 由于(3)9f -=，(3)9f =-，所以，函数3()12f x x x =-在[3,3]-上的最大值和最小值分别为16，16-.（3）函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上无极值.因为3()612f x x x =-+在1[,1]3-上单调递减，且1269()327f -=，(1)5f =-，所以，函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上的最大值和最小值分别为26927，5-.（4）当4x =时，()f x 有极大值，并且极大值为128.. 由于(3)117f -=-，(5)115f =，所以，函数3()48f x x x =-在[3,5]-上的最大值和最小值分别为128，128-. 习题3.3 B 组（P99）（1）证明：设()sin f x x x =-，(0,)x π∈. 因为()cos 10f x x '=-<，(0,)x π∈ 所以()sin f x x x =-在(0,)π内单调递减因此()sin (0)0f x x x f =-<=，(0,)x π∈，即sin x x <，(0,)x π∈. 图略 （2）证明：设2()f x x x =-，(0,1)x ∈. 因为()12f x x '=-，(0,1)x ∈所以，当1(0,)2x ∈时，()120f x x '=->，()f x 单调递增，2()(0)0f x x x f =->=；当1(,1)2x ∈时，()120f x x '=-<，()f x 单调递减，2()(1)0f x x x f =->=；又11()024f =>. 因此，20x x ->，(0,1)x ∈. 图略（3）证明：设()1x f x e x =--，0x ≠. 因为()1x f x e '=-，0x ≠所以，当0x >时，()10x f x e '=->，()f x 单调递增，()1(0)0x f x e x f =-->=；当0x <时，()10x f x e '=-<，()f x 单调递减，()1(0)0x f x e x f =-->=；综上，1x e x ->，0x ≠. 图略 （4）证明：设()ln f x x x =-，0x >.因为1()1f x x'=-，0x ≠ 所以，当01x <<时，1()10f x x'=->，()f x 单调递增， ()ln (1)10f x x x f =-<=-<；当1x >时，1()10f x x'=-<，()f x 单调递减， ()ln (1)10f x x x f =-<=-<；当1x =时，显然ln11<. 因此，ln x x <. 由（3）可知，1x e x x >+>，0x >.. 综上，ln x x x e <<，0x > 图略 3．4生活中的优化问题举例 习题3.4 A 组（P104）1、设两段铁丝的长度分别为x ，l x -，则这两个正方形的边长分别为4x ，4l x -，两个正方形的面积和为 22221()()()(22)4416x l x S f x x lx l -==+=-+，0x l <<.令()0f x '=，即420x l -=，2lx =.当(0,)2l x ∈时，()0f x '<；当(,)2lx l ∈时，()0f x '>.因此，2lx =是函数()f x 的极小值点，也是最小值点.所以，当两段铁丝的长度分别是2l时，两个正方形的面积和最小.2、如图所示，由于在边长为a 的正方形铁片的四角截去 四个边长为x 的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无 盖方盒的底面为正方形，且边长为2a x -，高为x .（1）无盖方盒的容积2()(2)V x a x x =-，02ax <<.（2）因为322()44V x x ax a x =-+， 所以22()128V x x ax a '=-+.令()0V x '=，得2a x =（舍去），或6a x =. 当(0,)6a x ∈时，()0V x '>；当(,)62a ax ∈时，()0V x '<.因此，6ax =是函数()V x 的极大值点，也是最大值点.所以，当6ax =时，无盖方盒的容积最大.（第2题）3、如图，设圆柱的高为h ，底半径为R ， 则表面积222S Rh R ππ=+由2V R h π=，得2V h R π=. 因此，2222()222V V S R R R R R R ππππ=+=+，0R >. 令2()40VS R R Rπ'=-+=，解得R =.当R ∈时，()0S R '<；当)R ∈+∞时，()0S R '>.因此，R =是函数()S R 的极小值点，也是最小值点.此时，22V h R R π===. 所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省.4、证明：由于211()()n i i f x x a n ==-∑，所以12()()n i i f x x a n ='=-∑.令()0f x '=，得11ni i x a n ==∑，可知，11ni i x a n ==∑是函数()f x 的极小值点，也是最小值点.这个结果说明，用n 个数据的平均值11ni i a n =∑表示这个物体的长度是合理的，这就是最小二乘法的基本原理.5、设矩形的底宽为x m ，则半圆的半径为2xm ，半圆的面积为28x π2m ，矩形的面积为28x a π-2m ，矩形的另一边长为()8a xx π-m 因此铁丝的长为22()(1)244xa x al x x x x xπππ=++-=++，0x <<令22()104al x x π'=+-=，得x =.（第3题）当x ∈时，()0l x '<；当x ∈时，()0l x '>.因此，x =()l x 的极小值点，也是最小值点.时，所用材料最省. 6、利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘价格. 由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润.收入211(25)2588R q p q q q q =⋅=-=-，利润2211(25)(1004)2110088L R C q q q q q =-=--+=-+-，0200q <<.1214L q '=-+令0L '=，即12104q -+=，84q =.当(0,84)q ∈时，0L '>；当(84,200)q ∈时，0L '<；因此，84q =是函数L 的极大值点，也是最大值点.所以，产量为84时，利润L 最大,习题3.4 B 组（P105）1、设每个房间每天的定价为x 元，那么宾馆利润21801()(50)(20)7013601010x L x x x x -=--=-+-，180680x <<.令1()7005L x x '=-+=，解得350x =.因为()L x 只有一个极值，所以350x =为最大值点.因此，当每个房间每天的定价为350元时，宾馆利润最大. 2、设销售价为x 元／件时，利润4()()(4)()(5)b x L x x a c c c x a x b b -=-+⨯=--，54ba x <<.令845()0c ac bc L x x b b +'=-+=，解得458a bx +=.当45(,)8a b x a +∈时，()0L x '>；当455(,)84a b bx +∈时，()0L x '<. 所以，销售价为458a b+元／件时，可获得最大利润.第三章 复习参考题A 组（P110）1、（1）3； （2）4y =-.2、（1）22sin cos 2cos x x x y x +'=； （3）ln x xe y e x x '=+. 3、32GMmF r'=-. 4、（1）()0f t '<. 因为红茶的温度在下降.（2）(3)4f '=-表明在3℃附近时，红茶温度约以4℃／min 的速度下降. 图略. 5、因为()f x =()f x '=.当()0f x '=>，即0x >时，()f x 单调递增；当()0f x '=<，即0x <时，()f x 单调递减.6、因为2()f x x px q =++，所以()2f x x p '=+. 当()20f x x p '=+=，即12px =-=时，()f x 有最小值. 由12p-=，得2p =-. 又因为(1)124f q =-+=，所以5q =. 7、因为2322()()2f x x x c x cx c x =-=-+， 所以22()34(3)()f x x cx c x c x c '=-+=--. 当()0f x '=，即3cx =，或x c =时，函数2()()f x x x c =-可能有极值. 由题意当2x =时，函数2()()f x x x c =-有极大值，所以0c >. 由于所以，当3c x =时，函数2()()f x x x c =-有极大值. 此时，23c=，6c =. 8、设当点A 的坐标为(,0)a 时，AOB ∆的面积最小. 因为直线AB 过点(,0)A a ，(1,1)P ，所以直线AB 的方程为001y x a x a --=--，即1()1y x a a =--.当0x =时，1a y a =-，即点B 的坐标是(0,)1aa -.因此，AOB ∆的面积21()212(1)AOBa a S S a a a a ∆===--.令()0S a '=，即2212()02(1)a aS a a -'=⋅=-. 当0a =，或2a =时，()0S a '=，0a =不合题意舍去. 由于所以，当2a =，即直线AB 的倾斜角为135︒时，AOB ∆的面积最小，最小面积为2. 9、D .10、设底面一边的长为x m ，另一边的长为(0.5)x +m. 因为钢条长为14.8m. 所以，长方体容器的高为14.844(0.5)12.88 3.2244x x xx --+-==-.设容器的容积为V ，则32()(0.5)(3.22)2 2.2 1.6V V x x x x x x x ==+-=-++.令()0V x '=，即26 4.4 1.60x x -++=，0 1.6x <<. 所以，415x =-（舍去），或1x =. 1x =是函数()V x 在(0,1.6)内唯一极值点，且为极大值点，从而是最大值点. 所以，当长方体容器的高为1 m 时，容器最大，最大容器为1.8 m 3. 11、设旅游团人数为100x +时，旅行社费用为2()(100)(10005)5500100000y f x x x x ==+-=-++(080,)x x N ≤≤∈. 令()0f x '=，即105000x -+=，50x =.又(0)100000f =，(80)108000f =，(50)112500f =. 所以，50x =是函数()f x 的最大值点.所以，当旅游团人数为150时，可使旅行社收费最多. 12、设打印纸的长为x cm 时，可使其打印面积最大.因为打印纸的面积为623.7，长为x ，所以宽为623.7x， 打印面积623.7()(2 2.54)(2 3.17)S x x x=-⨯-⨯ 23168.396655.9072 6.34x x=--，5.0898.38x <<. 令()0S x '=，即23168.3966.340x -=，22.36x ≈（负值舍去），623.727.8922.36≈. 22.36x =是函数()S x 在(5.08,98.38)内唯一极值点，且为极大值，从而是最大值点. 所以，打印纸的长、宽分别约为27.89cm ，22.36cm 时，可使其打印面积最大. 13、设每年养q 头猪时，总利润为y 元.则 21()20000100300200002y R q q q q =--=-+-(0400,)q q N <≤∈.令0y '=，即3000q -+=，300q =.当300q =时，25000y =；当400q =时，20000y =.300q =是函数()y p 在(0,400]内唯一极值点，且为极大值点，从而是最大值点. 所以，每年养300头猪时，可使总利润最大，最大总利润为25000元.第三章 复习参考题B 组（P111）1、（1）43()10210b t t '=-⨯. 所以，细菌在5t =与10t =时的瞬时速度分别为0和410-.（2）当05t ≤<时，细菌在增加；当55t <<+时，细菌在减少. 2、设扇形的半径为r ，中心角为α弧度时，扇形的面积为S .因为212S r α=，2l r r α-=，所以2lrα=-.222111(2)(2)222l S r r lr r r α==-=-，02l r <<.令0S '=，即40l r -=，4lr =，此时α为2弧度.4l r =是函数()S r 在(0,)2l内唯一极值点，且是极大值点，从而是最大值点.所以，扇形的半径为4l、中心角为2弧度时，扇形的面积最大.3、设圆锥的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，那么222r h R +=.因此，222231111()3333V r h R h h R h h ππππ==-=-，0h R <<.令22103V R h ππ'=-=，解得3h R =.h R =是函数()V h 在(0,)R 内唯一极值点，且是极大值点，从而是最大值点.把3h R =代入222r h R +=，得r =.由2R r απ=，得3α=.所以，圆心角为3α=时，容积最大. 4、由于28010k =⨯，所以45k =. 设船速为x km ／h 时，总费用为y ，则2420204805y x x x=⨯+⨯ 960016x x=+，0x >令0y '=，即29600160x -=，24x ≈.24x =是函数y 在(0,)+∞上唯一极值点，且是极小值点，从而是最小值点.当24x =时，9600162478424⨯+=（元）. 于是20780()940.824÷=（元／时） 所以，船速约为24km ／h 时，总费用最少，此时每小时费用约为941元. 5、设汽车以x km ／h 行驶时，行车的总费用2390130(3)14360x y x x =++⨯，50100x ≤≤ 令0y '=，解得53x ≈，114y ≈；当50x =，114y ≈；当100x =，138y ≈.因此，当53x ≈时，行车总费用最少.所以，最经济的车速约为53km ／h ；如果不考虑其他费用，这次行车的总费用约是114元.。
2017-2019学年高中数学人教a版选修1-1练习：第3章 导数及其应用3.3.3 含解析
第三章 3.3 3.3.3A级基础巩固一、选择题1．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是导学号 03624868( A )A．12；－8 B．1；－8C．12；－15 D．5；－16[解析] y′＝6x2－6x－12，由y′＝0⇒x＝－1或x＝2(舍去)．x＝－2时y＝1，x＝－1时y＝12，x＝1时y＝－8.∴ymax ＝12，ymin＝－8.故选A．2．函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)导学号 03624869( D )A．有最大值，但无最小值B．有最大值，也有最小值C．无最大值，但有最小值D．既无最大值，也无最小值[解析] f ′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，∵x∈(－1,1)，∴f ′(x)<0，即函数在(－1,1)上是单调递减的，∴既无最大值，也无最小值．3．函数f(x)＝3x－x3(－3≤x≤3)的最大值为导学号 03624870( B ) A．18 B．2C．0 D．－18[解析] f ′(x)＝3－3x2，令f ′(x)＝0，得x＝±1，－3≤x<－1时，f ′(x)<0，－1<x<1时，f ′(x)>0,1<x≤3时，f ′(x)<0，故函数在x＝－1处取极小值，在x＝1处取极大值．∵f(1)＝2，f(－1)＝－2，又f(－3)＝0，f(3)＝－18，∴[f(x)]max ＝2，[f(x)]min＝－18.4．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M、N，则M－N的值为导学号 03624871( D ) A．2 B．4C．18 D．20[解析] f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1.f(0)＝－a, f(1)＝－2－a, f(3)＝18－a，∴f(x)max ＝18－a，f(x)min＝－2－a，∴18－a－(－2－a)＝20.5．下列说法正确的是导学号 03624872( D )A．函数的极大值就是函数的最大值B．函数的极小值就是函数的最小值C．函数的最值一定是极值D．在闭区间上的连续函数一定存在最值[解析] 根据最大值、最小值的概念可知选项D正确．6．函数f(x)＝ln x－x在区间[0，e]上的最大值为导学号 03624873 ( A )A．－1 B．1－eC．－e D．0[解析] f′(x)＝1x－1＝1－xx，令f′(x)>0，得0<x<1，令f′(x)<0，得1<x<e，∴f(x)在(0,1)上递增，在(1，e)上递减，∴当x＝1时，f(x)取极大值，这个极大值也是最大值．∴f(x)max＝f(1)＝－1.二、填空题7．当x∈[－1,1]时，函数f(x)＝x2e x的值域是__[0，e]__.导学号 03624874[解析] f′(x)＝2x·e x－x2·e x(e x)2＝2x－x2e x，令f′(x)＝0得x1＝0，x2＝2.f(－1)＝e, f(0)＝0, f(1)＝1 e ，∴f(x)max ＝e, f(x)min＝0，故函数f(x)的值域为[0，e]．8．若函数f(x)＝3x－x3＋a，－3≤x≤3的最小值为8，则a的值是__26__.导学号 03624875[解析] f ′(x)＝3－3x2，令f ′(x)＝0，得x＝±1.f(1)＝2＋a，f(－1)＝－2＋a.又f(－3)＝a，f(3)＝－18＋a.∴f(x)min＝－18＋a.由－18＋a＝8.得a＝26.三、解答题9．(2016·福建宁德市高二检测)已知函数f(x)＝x3－2ax2＋3ax在x＝1时取得极值.导学号 03624876(1)求a的值；(2)若关于x的不等式f(x)－k≤0在区间[0,4]上恒成立，求实数k的取值范围．[解析] (1)f′(x)＝3x2－4ax＋3a，由题意得f′(1)＝3－4a＋3a＝0，∴a＝3.经检验可知，当a＝3时f(x)在x＝1时取得极值．(2)由(1)知， f(x)＝x3－6x2＋9x，∵f(x)－k≤0在区间[0,4]上恒成立，∴k≥f(x)max即可．f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x2－4x＋3)＝3(x－1)(x－3)，令f′(x)>0，得3<x<4或0<x<1，令f′(x)<0，得1<x<3.∴f(x)在(0,1)上递增，(1,3)上递减，(3,4)上递增，∴当x＝1时， f(x)取极大值f(1)＝4，当x＝3时， f(x)取极小值f(3)＝0.。
【专业资料】新版高中数学人教A版选修1-1习题：第三章 导数及其应用 3.2 含解析
3.2导数的计算课时过关·能力提升基础巩固1.函数f(x)=(2πx)2的导数是()A.f'(x)=4πxB.f'(x)=4π2xC.f'(x)=8π2xD.f'(x)=16πxf(x)=4π2x2,∴f'(x)=2×4π2x=8π2x.2.已知函数f(x)=ax2+c,且f'(1)=2,则a的值为()A.1B.√2C.−1D.0(x)=2ax,由f'(1)=2知2a=2,∴a=1.3.曲线y=x ln x在点(1,0)处的切线方程为()A.y=2x+2B.y=2x-2C.y=x-1D.y=x+1y=x ln x,∴y'=ln x+1,则切线斜率k=y'|x=1=1.∴切线方程为y=x-1.4.下列结论不正确的是()A.若y=3,则y'=0B.若f(x)=3x+1,则f'(1)=31C.若y=−√x+x,则y′=2√xD.若y=sin x+cos x,则y'=cos x+sin x.D项,∵y=sin x+cos x,∴y'=(sin x)'+(cos x)'=cos x-sin x.的点为()5.正弦曲线y=sin x上切线的斜率等于12A.(π3,√3 2)B.(-π3,-√32)或(π3,√32)C.(2kπ+π3,√32)(k∈Z)D.(2kπ+π3,√32)(k∈Z)或(2kπ-π3,-√32)(k∈Z)cos x,y′|x=x0=cos x0=12,则x0=2kπ+π3(k∈Z),y0=√32或x0=2kπ−π3(k∈Z),y0=−√32.6.已知f(x)=x2+e x,则f'(0)=;[f(1)]'=.f'(x)=2x+e x,∴f'(0)=1.∵f(1)=1+e,∴[f(1)]'=0.7.已知f(x)=cos x,g(x)=x,则关于x的不等式f'(x)+g'(x)≤0的解集为.|x=π2+2kπ,k∈Z}8.在曲线y=42上求一点P,使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°,则点P坐标为.P(x0,y0),∵y'=(4x2)′=(4x−2)′=−8x−3,∴tan 135°=-1=-8x0-3,∴x0=2.∴y0=1.9.曲线y=ln x在点M(e,1)处的切线的斜率为,切线的方程为.y'=(ln x)'=1x ,∴y′|x=e=1e.∴曲线y=ln x在点M(e,1)处的切线的斜率为k=1e.∴切线方程为y-1=1e(x−e),即x-e y=0.x−ey=010.求下列函数的导数:(1)y=sin x-x+1;(2)y=-2e x·x3;(3)y=lnxx+1−2x.y'=(sin x-x+1)'=cos x-1.(2)y'=(-2e x·x3)'=(-2e x)'x3+(-2e x)·(x3)'=-2x3e x-6x2e x.(3)y'=(lnxx+1-2x)′=(lnxx+1)′−(2x)′=1x(x+1)-lnx(x+1)2−2xln 2=1x −1x+1−lnx(x+1)2−2xln 2.11.已知两条曲线y=sin x,y=cos x,是否存在这两条曲线的一个公共点,使在这一点处两条曲线的切线互相垂直?若存在,求出此公共点的坐标;若不存在,请说明理由..理由如下:设y=sin x,y=cos x这两条曲线的一个公共点为P(x0,y0),则这两条曲线在点P(x0,y0)处的切线斜率分别为k1=cos x0,k2=-sin x0.若使两条切线互相垂直,必须有cos x0·(-sin x0)=-1,即cos x0·sin x0=1,也就是sin 2x0=2,这是不可能的,所以不存在公共点,使在这一点处两条曲线的切线互相垂直.能力提升1.当函数y=x 2+a2x(a>0)在x=x0处的导数为0时,x0的值为()A.aB.±aC.-aD.a2=(x 2+a2x)′=2x·x-(x2+a2)x2=x2-a2x2,由x02−a2=0,得x0=±a.2.已知直线y=kx是曲线y=e x的切线,则实数k的值为()A.1e B.−1eC.−eD.ee x,设切点为(x0,y0),则{y0=kx0, y0=e x0, k=e x0,∴e x0=e x0·x0,∴x0=1,∴k=e.3.观察(x2)'=2x,(x4)'=4x3,(cos x)'=-sin x,可推得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)等于()A.f(x)B.-f(x)C.g(x)D.-g(x),一个偶函数的导函数是奇函数.∵f(x)是偶函数,∴g(x)是奇函数.∴g(-x)=-g(x).4.若函数f(x)=log a x,f'(1)=-1,则a=.5.已知y=sinx1+cosx,x∈(-π,π),当y'=2时,x=.=(sinx)'(1+cosx)-sinx(1+cosx)'(1+cosx)2=cosx(1+cosx)-sinx(-sinx)(1+cosx)2=cosx+cos2x+sin2x(1+cosx)2=cosx+1(1+cosx)2=11+cosx.令11+cosx =2,则cos x=−12.又x∈(-π,π),故x=±2π3.2π36.若f0(x)=sin x,f1(x)=f0'(x),f2(x)=f1'(x),…,f n+1(x)=f n'(x),n∈N,则f2 016(x)=.f1(x)=(sin x)'=cos x,f2(x)=(cos x)'=-sin x,f3(x)=(-sin x)'=-cos x,f4(x)=(-cos x)'=sin x,f5(x)=(sin x)'=cos x,所以循环周期为4,因此f2 016(x)=f4(x)=sin x.x★7.已知f(x)=x2+2f′(-13)x,则f′(-13)=.(x)=2x+2f′(-13),令x=−13,则f′(-13)=−23+2f′(-13),所以f′(-1)=2.8.求下列函数的导数:(1)f(x)=(x3+1)(2x2+8x-5);(2)f (x )=lnx+2xx 2.∵f (x )=2x 5+8x 4-5x 3+2x 2+8x-5,∴f'(x )=10x 4+32x 3-15x 2+4x+8. (2)f'(x )=(lnx x 2+2x x 2)′=(lnx x 2)′+(2x x 2)′=1x ·x 2-lnx ·2x x 4+2x (ln2·x 2-2x )x 4=(1-2lnx )x +(ln2·x 2-2x )·2x x 4=1-2lnx +(ln2·x -2)2x x 3.★9.设曲线y=x n (1-x )(n ∈N *)在(2,-2n )处的切线与x 轴交点的横坐标为a n ,求a 1·a 2·a 3·…·a n 的值.y=x n (1-x )=x n -x n+1,∴y'=(x n )'-(x n+1)'=nx n-1-(n+1)x n .∴当x=2时,导函数值为n ·2n-1-(n+1)·2n =n ·2n-1-2(n+1)·2n-1=-(n+2)·2n-1, 即曲线在x=2处的切线斜率为-(n+2)·2n-1.∴曲线在(2,-2n )处的切线方程为y+2n =-(n+2)·2n-1(x-2). 令y=0,得a n =2(n+1)n+2.∴a 1·a 2·a 3·…·a n =2×23×2×34×2×45×…×2(n+1)n+2=2n ·2n+2=2n+1n+2.。
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选修1-1 第三章 3.3 3.3.2
一、选择题
1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f ′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点导学号 92600682( )
A．1个B．2个
C．3个D．4个
[答案] A
[解析] 极小值点应有先减后增的特点，即f ′(x)<0→f ′(x)＝0→f ′(x)>0.由图象可知只有1个极小值点．
2．已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝
导学号 92600683( )
A．－2或2 B．－9或3
C．－1或1 D．－3或1
[答案] A
[解析] ∵y′＝3x2－3，∴当y′＝0时，x＝±1，
则x，y′，y的变化情况如下表：
因此，当函数图象与x轴恰有两个公共点时，必有c＋2＝0或c－2＝0，∴c＝－2或c＝2.
3．(2016·四川)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝
导学号 92600684( )
A．－4 B．－2
C．4 D．2
[答案] D
[解析] f′(x)＝3x2－12，令f′(x)>0得x<－2或x>2，令f′(x)<0得－2<x<2，
∴f(x)在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，
∴当x＝2时，f(x)取极小值，即2是函数f(x)的极小值点，故a＝2.
4．设函数f(x)＝xe x，则导学号 92600685( )
A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点
C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点
[答案] D
[解析] f ′(x)＝e x＋xe x＝e x(1＋x)，
令f ′(x)>0，得x>－1，
令f ′(x)<0，得x<－1，
∴函数f(x)在(－∞，－1)上递减，在(－1，＋∞)上递增，∴当x＝－1时，f(x)取得极小值．
5．设函数f(x)＝2
x
＋ln x，则导学号 92600686( )
A ．x ＝1
2为f(x)的极大值点
B ．x ＝1
2为f(x)的极小值点
C ．x ＝2为f(x)的极大值点
D ．x ＝2为f(x)的极小值点
[答案] D
[解析] 本节考查了利用导数工具来探索其极值点问题． f ′(x)＝－2
x 2＋1
x ＝1
x (1－2
x )，
由f ′(x)＝0可得x ＝2.
当0<x<2时，f ′(x)<0，f(x)递减，当x>2时， f ′(x)>0，∴f(x)单调递增．所以x ＝2为极小值点． 对于含有对数形式的函数在求导时，不要忽视定义域．
6．若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于导学号 92600687( )
A ．2
B ．3
C ．6
D ．9
[答案] D
[解析] f ′(x)＝12x 2－2ax －2b ，由条件知f ′(1)＝0，∴a ＋b ＝6，∴ab ≤(a ＋b
2
)2＝9，等号在a ＝b ＝3时成立，故选D ．
二、填空题
7．函数f(x)＝－1
3x 3＋1
2x 2＋2x 取得极小值时，x 的值是
________.导学号 92600688
[答案] －1。