导入_二次根式的加减-优质公开课-人教8下精品
最新人教版初中数学八年级下册16.3《二次根式的加减》(1)优质课教案
《二次根式的加减》第一课时◆教材分析本章内容“二次根式”是《数学课程标准》中“数与代数”领域的重要内容，它与已学内容“实数”“整式”“勾股定理”紧密联系，同时也是以后将要学习的“解直三角形”、“一元二次方程”、“二次函数”等内容的重要基础，并为学习高中数学的不等式、函数以及解析几何等大部分做好准备.通过本章通过对二次根式的概念、性质和运算法则、运算规律等探究，发现学生的思维能力，有效改变学生的学习方式，使学生掌握认识事物的一般规律。
本章内容无论在知识、数学思考方法上，还是在对学生的能力培养上都是非常重要的.◆教学目标【知识与能力目标】1.理解同类二次根式的概念.2.掌握合并同类二次根式的法则，能正确进行同类二次根式的合并.3.会进行二次根式的加减法运算.【过程与方法】1.学生经历由实际问题引入数学问题的过程，发展学生的抽象概括能力.2.通过加减法运算，培养学生的运算能力.【情感态度与价值观】1.通过二次根式的加减法运算解决生活中实际问题，体会数学知识应用的价值，激发和发展学生学习的兴趣.2.通过探究活动，培养学生求实、创新、严谨、合作的科学品质，集体协作的团队精神.◆教学重难点【教学重点】b>0）b>0）及利用它们进行计算和化简．【教学难点】b>0）b>0）及利用它们进行计算和化简．◆课前准备教学PPT◆课时安排1课时◆教学过程（一）知识回顾1.二次根式计算、化简的结果符合什么要求？(二)情境引入问题：现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个分别是8dm²和18dm²的正方形木板？+，如何计算这个式子呢？如所要截取的两个正方形的边长之和是818果这个式子的值小于7.5，则说明可以截取两个分别是8dm²和18dm²的正方形木板.（三）探索新知观察思考：观察下列二次根式有什么共同特征：（1-（2-（3归纳总结1.几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式.2.判断同类二次根式的关键是什么？(1)化成最简二次根式;(2)被开方数相同,根指数相同 (都等于2).小试牛刀1.在下列各组根式中，是同类二次根式的是（）C解决问题==+=7.5，(2所以在这块木板上可以截出两个分别是8dm²和18dm²的正方形木板。
八年级下数学人教版《二次根式的加减》优质教案
16．3二次根式的加减第1课时二次根式的加减1.知识与技能掌握同类二次根式的概念;掌握二次根式的加减法法则,并能够利用法则进行有关计算.2.过程与方法经历探索二次根式加减法法则的过程,理解掌握二次根式的加减法法则.3.情感、态度与价值观经历探索二次根式加减法法则的过程,类比的数学思想方法.掌握二次根式的加减法法则,并能够利用法则进行有关计算.类比合并同类项的法则得出二次根式加减法法则的推导过程.（一）复习引入问题 1 满足什么条件的根式是最简二次根式?1.二次根式计算、化简的结果符合什么要求?(1)被开方数不含分母;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 2.问题:现有一块长7.5 dm,宽5 dm的木板,能否采用如图的方式,在这块木板上截出两个分别是8 dm2和18 dm2的正方形木板?（二）讲授新课1.二次根式的加减运算在七年级我们就已经学过单项式加单项式的法则.观察下图并思考.由上图，易得2a+3a=5a.当a=时，分别代入左右得;当a=时，分别代入左右得; ......你发现了什么？前面依次往下推导，由特殊到一般易知二次根式的被开方数相同可以合并.继续观察下面的过程：由前面知两者可以合并. 你又有什么发现吗?名师归纳：将二次根式化成最简式，如果被开方数相同，则这样的二次根式可以合并.注意：判断几个二次根式是否可以合并，一定都要化为最简二次根式再判断.合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数(式)相加，根指数和被开方数(式)不变.如：思考现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个分别是8 dm2和18 dm2的正方形木板？问题1 怎样列式求两个正方形边长的和?问题2 所列算式能直接进行加减运算吗?如果不能,把式中各个二次根式化成最简二次根式后，再试一试(说出每步运算的依据）.解：列式如下：∴在这块木板上可以截出两个分别是8 dm2和18 dm2的正方形木板．二次根式的加减法法则:一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.加减法的运算步骤：(1)化——将非最简二次根式的二次根式化简；(2)找——找出被开方数相同的二次根式；(3)并——把被开方数相同的二次根式合并.简称：“一化简二判断三合并”依据：二次根式的性质、分配律和整式加减法则.基本思想：把二次根式加减问题转化为整式加减问题．例题---学用11页例1【例1】计算：解析：第一步,将二次根式先化为最简二次根式；第二步,将被开方数相同的最简二次根式进行合并．解：总结：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并时系数相加减，根式不变．练习--学用22页2.二次根式的加减混合运算合并被开方数相同的二次根式与合并同类项类似,把被开方数相同的二次根式的系数相加减,作为结果的系数,根号及根号内部都不变.在进行二次根式的加减运算时,一定要注意各项系数的符号.例题-----学用12页例2解析：第一步,将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步,将被开方数相同的最简二次根式进行合并．解：3. 二次根式加减运算的应用利用二次根式来解决生活中的问题，应认真分析题意，注意计算的正确性与结果的要求．例题-----学用12页例3解析：根据三角形三边关系分类讨论来确定周长. 答案：名师总结：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况,分类进行讨论,还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答,这点非常重要,也是解题的关键.练习-----学用12页（三）课堂小结（四）板书设计1．被开方数相同的最简二次根式2．二次根式的加减一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化简成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．在授课过程中，要以学生为主体，进行探究性学习，让学生自己发现规律，得出结论．在例题的选择上可由简到难，符合学生的认知规律，便于学生掌握知识．在得到定义、法则的过程中，让学生经历发现、思考、探究的过程，体会学习知识的成功与快乐．。
人教版数学八年级下册16.3《二次根式的加减》说课稿
人教版数学八年级下册16.3《二次根式的加减》说课稿一. 教材分析人教版数学八年级下册16.3《二次根式的加减》这一节，是在学生已经掌握了二次根式的性质和运算法则的基础上进行讲解的。
本节内容主要让学生学会如何进行二次根式的加减运算，进一步培养学生的运算能力和数学思维能力。
教材通过例题和练习题的形式，让学生在实际操作中掌握二次根式加减的计算方法，并能够灵活运用。
二. 学情分析在教学这一节之前，学生已经学习了二次根式的性质，包括根号下的数可以分为完全平方数和非完全平方数，以及二次根式的乘除运算。
但是，对于二次根式的加减运算，学生可能还存在一定的困难，特别是在处理含有同类项和非同类项的二次根式加减时，容易出错。
因此，在教学过程中，需要引导学生理清思路，明确二次根式加减的规则。
三. 说教学目标1.让学生掌握二次根式的加减运算法则，能够正确进行二次根式的加减运算。
2.培养学生的运算能力和数学思维能力，使学生在解决实际问题时，能够灵活运用二次根式的加减运算法则。
3.通过二次根式的加减运算，让学生体会数学的规律性和逻辑性，提高学生的数学素养。
四. 说教学重难点1.教学重点：让学生掌握二次根式的加减运算法则，能够正确进行二次根式的加减运算。
2.教学难点：如何引导学生理解并处理含有同类项和非同类项的二次根式加减问题。
五. 说教学方法与手段1.采用启发式教学法，引导学生通过观察、分析、归纳总结，发现二次根式加减的规律。
2.使用多媒体教学手段，通过动画、图片等形式，直观地展示二次根式的加减过程，帮助学生理解。
3.学生进行小组讨论和合作交流，让学生在讨论中解决问题，提高学生的团队协作能力。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引出二次根式的加减运算，激发学生的学习兴趣。
2.新课讲解：讲解二次根式的加减运算法则，并通过例题演示如何进行二次根式的加减运算。
3.学生练习：让学生独立完成一些二次根式的加减运算题目，巩固所学知识。
人教版八年级下册数学《二次根式的加减》说课教学课件
二次根式的加减
目录
学习目标
01
LEARNING OBJEC
1、了解同类二次根式的意义。
2、能熟练进行二次根式的加减运算。
3、在探索中培养学生分析、转化、归纳、总结的能力。
02
03
重点
A KEY
二次根式加减法的运算。
难点
DIFFICUL
熟练进行二次根式加减法的运算。
学习目标
01
= (2 + 1) 3 + (2 − 1) 5
=3 3+ 5
02
练一练
1．下列各式中，与 是同类二次根式的是（
A．
B．
C．
D．
） 2．下列计算中正确的是（ ）
A． + =
C． ÷ =
B．
−
【答案】D
【详解】
【详解】
A、 9＝3，与 3不是同类二次根式；
= 14 3
1
3
4)( 12+ 20)+( 3- 5)
+ 3 48
+ 3 48
6× 1
+ 3 16
3
6× 1× 3
+3
3× 3
×3
16 × 3
4)( 12+ 20)+( 3- 5)
= 12+ 20+ 3- 5
= 4 × 3+ 4 × 5 + 3- 5
= 2 3+2 5 + 3- 5
= 2 3 + 3 +2 5 - 5
3.14 −
42 =4
52 =5
2
新人教版数学初中八年级下册16.3《二次根式的加减》公开课优质课教学设计
《16.3二次根式的加减》本课在学习二次根式乘除运算及化简的基础上，从算术平方根的运算出发，研究二次根式的加减运算．二次根式的运算方法与数的运算方法本质上是一致的．实数的运算律对二次根式的运算仍然适用．结合二次根式的化简、乘除和加减运算，利用交换律、结合律、分配律及多项式乘法公式进行二次根式的混合运算．1. 探索二次根式加减运算的方法和步骤；2. 会进行二次根式的加减运算．3.通过探究二次根式的加减运算体会数学中的类比思想.4. 类比有理数混合运算和整式混合运算，探索二次根式的加、减、乘、除混合运算顺序的步骤和方法.5. 能熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算.6. 通过学习二次根式的加、减、乘、除混合运算的学习，培养学生的运算能力、推理能力．1. 在化简二次根式的基础上，应用分配律进行二次根式的加减运算．2. 熟练并准确地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算.课件第一课时一、复习引入：问题1：什么叫最简二次根式？你能将18，8，23化为最简二次根式吗？ 问题2：现有一块长7.5dm,宽5dm 的木板,能否采用如图的方式,在这块木板上截出两个面积分别是8dm 2和18dm 2的正方形木板? 提问:①大、小正方形木板的边长分别为18dm 和8dm,木板是否够宽?②木板是否够长呢?③怎样计算818+的结果呢?问题3：计算下列各式：（1）a+2a ；（2）3x-2x ；解：（1）a+2a=(1+2)a=3a ；（2）3x-2x=(3-2)x=x ；【设计意图】回顾整式的加减及合并同类项法则，为后续学习二次根式的合并做准备.二、新课讲解：1.探究二次根式的加法.问题4：请类比整式的加减，计算下列各式：（1）323+；（2）52-53.解：（1）333)21(323=+=+；（2）55)23(52-53=-=.【点拨】最简二次根式中，被开方数相同的二次根式的加减，直接把系数相加减，根号和根号内的数不变.问题5：53+能合并吗？为什么？82+呢？解：53+不能合并，因为它们被开方数不相同；232)21(22282=+=+=+.【小结】（1）二次根式能够进行合并的条件：①首先将二次根式化成最简二次根式；②观察被开方数是否相同.（2）二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并.练习1：下列各组二次根式中，能够合并的一组二次根式是（ ）A ．xy 与y x 2B ．22y x +与22y x -C ．mn 与n m +D ．ab 2与ba 2 练习:2：（教材P13练习）下列计算是否正确？为什么？（1）3838-=-；（2）9494+=+；（3）22223=-.解：（1）∵228=和3的被开方数不相同，∴不能合并,故错误.（2）∵53294=+=+，1394=+， 故9494+≠+，故错误；（3）∵22)23(2223=-=-，故正确.[点拨]化为最简二次根式后，只有被开方数相同的二次根式才能合并.2.二次根式加法的运用.问题7：（教材例题）计算：（1）4580-；（2）a a 259+；（3）483316122+-；（4）)53()2012(-++.解：（1）553-544580==-； （2）a a a a a 853259=+=+；（3）3102831232-28483316122+=+=+-； （4）533535232)53()2012(+=-++=-++.练习3：（教材P13练习2）计算：（1）4580-；（2）a a 9194+； （3）52080+-；（4）)2798(18-+；（5）)681()5.024(--+. 解：（1）553-544580==-；（2）a a a a a =+=+31329194； （3）535525452080=+-=+-；（4）33210332723)2798(18-=-+=-+；.42636422262)642()2262()681()5.024(5+=+-+=--+=--+）（问题6：前面问题2中，怎样计算818+的结果呢?木板长7.5dm,宽5dm ，是否够长？解：818+ =2223+···化为最简二次根式 =2)23(+···乘法分配率 =25≈7.07＜7.5故木板够长.练习4：（教材P13练习3）如果两个圆的圆心相同，他们的面积分别是12.56和25.12，求圆环的宽度d （π取3.14，结果保留小数点后两位）.解：∵S 圆=πr 2， ∴d=r 大圆-r 小圆=2224814.356.1214.312.25-=-=-=-ππ小圆大圆S S ≈0.83 答：圆环的宽度d 为0.83.三、课堂小结：1. 知识梳理：（1）二次根式合并的前提：化成最简二次根式之后，被开方数相同.（2）二次根式加减的实质：合并被开方数相同的最简二次根式.2.二次根式加减的实质是二次根式的合并，计算过程中容易出现以下错误：①化成最简二次根式后，如果被开方数不相同，则不能进行合并；②合并被开方数相同的最简二次根式时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变.3. 二次根式加减运算的步骤：①去括号；②化简；③判断并合并．4.二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别四、随堂测试：1.下列各式计算正确的是 ( ) A.532=+ B.13334=- C.363332=⨯ D.3327=÷解析:A.不是同类二次根式，不能合并，故错误；B.合并同类二次根式时根号及根号下的被开方数不能丢掉，故错误；C.应为18363332=⨯=⨯⨯，故错误；D.39327327==÷=÷，故正确.故选D.2.以下二次根式:①12,②22,③32,④27中, 化简后能合并成一项的是( ) A.①和② B.②和③ C.①和④ D.③和④解析：①3212=；②222=；③3632=；④3327=. 3. 计算：2-23的值是（ ） A.2 B.3 C.2 D.22解析：.222)13(2-23=-=.4. 一个等腰三角形的两边长分别为2332，, 则三角形的周长为.解析：分两种情况讨论：（1）当32为腰长，23为底边长时，周长为3423+；（2）当23为腰长，为32底边长时，周长为3226+.5. 若最简二次根式14232+a 与16322-a 的被开方数相同,则a= . 解析：由题意得4a 2+1=6a 2-1，解得a=±1.6. 计算：（1）233-2332++；（2）101015-40+.第二课时 一、复习引入：1. 计算：（1）728+；（2）68⨯；（3）324÷.解：（1）282622728=+=+；（2）34486868==⨯=⨯；（3）228324324==÷=÷.【设计意图】复习二次根式的加减、乘除法则，为下面研究四则混合运算做准备.2. 计算：（1）(2x-y)·zx ；（2）(2x 2y+3xy 2)÷xy ；（3）(2x+y)(x-3y)（3）(2x+3y)(2x-3y);（4）(2x+1)2+(2x-1)2.解：（1）(2x-y)·zx=2x 2z-xyz ；（2）(2x 2y+3xy 2)÷xy=2x 2y ÷xy+3xy 2÷xy=2x+2y ；（3）(2x+y)(x-3y)=2x 2-6xy+xy-3y 2=2x 2-5xy-3y 2;（4）(2x+3y)(2x-3y)=(2x)2-(3y)2=4x 2-9y 2;（5）(2x+1)2+(2x-1)2=4x 2+4x+1+4x 2-4x+1=8x 2+2.提问：上面的运算用到了哪些法则和公式？学生回顾：多项式乘单项式，多项式除以单项式、多项式乘多项式法则和平方差、完全平方公式.【设计意图】复习整式的四则运算和乘法公式，类比学习二次根式的混合运算.二、新课讲解：问题1：如果把上面的x ，y ，z 改成二次根式呢？以上的运算法则是否仍然成立？例1.（教材P14例题3）计算：（1）6)38(⨯+；（2）226324÷-）（.解：（1）6)38(⨯+ =6368⨯+⨯=1848+ =2334+；（2）2263-24÷）（ =22632224÷-÷ =3232-. 【点拨】类比多项式乘单项式和多项式除以单项式法则计算，这里运用了分配率.练习1：（教材P14练习1）计算：（1）)53(2+；（2）5)4080(÷+；解：（1）)53(2+ =5232⨯+⨯ =106+；（2）5)4080(÷+ =540580÷+÷ =816+ =224+.【小结】（1）与有理数、实数运算一样，在混合运算中先乘除，后加减；（2）最终的结果一定要化为最简二次根式.问题2.（教材P14面例4）例2. 计算：（1）)52()32(-⋅+；（2）)35)(35(-+.解：（1）)52()32(-⋅+ =152523)2(2--+ =15222-- =2213--；（2）)35)(35(-+ =22)3()5(-=5-3=2.提问：你能说出上面两道题中每一步的依据是什么吗？【小结】乘法公式使计算准确、简便，因此能用运算公式的，尽可能用运算公式．因为二次根式表示数，二次根式的运算也是实数的运算．练习2：计算：（1）)17(72--=；（2）)2332)(2332(+-=. 答案为：7214+-；6.练习3：计算2)322215324(⋅+-的结果是（ ） A.303-3320 B.30-3320 C.332303- D.332302- 练习3 计算：（1）)2762)(6227(-+；（2）2)377(-；（3）22)632()632(-+--+解：（1）)2762)(6227(-+ =222762）（）（- =24-98=-74；（2）2)377(- =22)37(3772)7(+⨯⨯-=2114154-；（3）22)632()632(++--+ =)]632()632)][(632()632[(++--++++-+ =)62()3222(-⋅+ =21238--.练习4：已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求下面式子的值. )1()(2yx y x y x y y x x +-+ 解：由4x 2+y 2-4x-6y+10=0得到(2x-1)2+(y-3)2=0,∴2x-1=0,y-3=0.解得，x=21，y=3. )1()(2yx y x y x y y x x +-+ =yx x y y x 12--+ =y y xx y y y x--+ =x y -当x=21，y=3时， 原式=223213-=-. 三、课堂小结：师生共同回顾本节课所学主要内容:关于二次根式的四则混合运算,实质上就是实数的混合运算.(1)运算顺序与有理式的运算顺序相同;(2)运算律仍然适用;(3)与多项式的乘法和因式分解类似,可以利用乘法公式与因式分解的方法来简化二次根式的有关运算.四、随堂检测：1. 下列二次根式中可以进行合并的是( ) A. ab 与2ab B. 22n m + 与22n m - C. mn 与nm 11+ D. 438b a 与432b a 【知识点：同类二次根式】【参考答案】D【思路点拨】先化简成最简二次根式，再看被开方数是否相同.2.计算：)12)(12(-+的结果是（ ）. A. 23+ B.23- C.1D.3【知识点：二次根式的混合运算】【参考答案】C【思路点拨】在整式运算中使用的公式在二次根式运算中照样适用，因此，本题利用平方差公式直接计算即可.3.若矩形相邻两边长分别是cm 20和cm 125，则它们的周长是.【知识点：二次根式混合运算】 【参考答案】cm 514【思路点拨】矩形的周长=（长+宽）×24. 计算：)4831375(12-+⨯的结果是（ ） A. 23 B.32 C. 6D. 12【知识点：二次根式的混合运算】【参考答案】D 【思路点拨】123232)34335(12)4831375(12=⨯=-+⨯=-+⨯ 5. 计算：3)4841311527(÷+- 【知识点：二次根式的混合运算】【参考答案】1-【解析】原式=1333)33533(-=÷-=÷+-略。
16.3 二次根式的加减(第1课时)(课件)八年级数学下册(人教版)
知识点一 同类二次根式
活动1 观察下列二次根式的被开数有什么共同特征：
（1） 2，3 2，-
2
5
1
2，
3
2 ···
2
（2） 3，17 3，- 5 3， ·
3··
13
每组的二次根式的被开方数相同
活动2 思考下列二次根式具有的被开数以上特征吗？你怎样发现的？：
9
（3） 2， 8， 18， 32， 0.5，2
2 10
8
2
3
5
3
2
ab
2
b
(1) 75 =____；(2) 8a b =_______；(3) =_____.
5
5
问题 现有一块长 7.5 dm、宽 5 dm 的木板，能否采用如图的方式，在这
块木板上截出两个分别是 8 dm2 和 18 dm2 的正方形木板？
5 dm
5 dm
8 18
8
18
2
2
2
5
2
1 4.
课堂总结
一般地，二次根式的
法
则
加减时，可以先将二次根
式化成最简二次根式，再
将被开方数相同的二次根
二次根
式加减
式进行合并.
注
运算原理
运算律仍然适用
运算顺序
与实数的运
算顺序一样
意
(乘法分配律逆用)
5 2
(有理数的加减)
归纳知识
2.二次根式的加减法法则
将二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式进行合并.
简记：一化、二找、三合并
典例精析
【例3】计算:
(1) 80 45;
1
人教版八年级数学下册优质课课件《二次根式的加减》
3 5 7 13.7
如图：平行四边形ABCD中，DE⊥AB，E 点在AB上，DE=AE=EB=5。求平行四边形 D C ABCD的周长？
解：∵ DE⊥AB
2
A
2 2
E
2
B
∴ AD= AE DE 5 5 5 2 ∴周长 =AB+BC+CD+AD= 10+10+ 5 2 5 2 = 20+ 10 2 答：周长为２０＋10 2
2、利用二次根式解决实际问题
再见
8m + 18m
∴在这块木板上可以截出两个分别是8m2和18m2的正方形木板．
二次根式加减运算的步骤:
(1)把各个二次根式化成最简二次 根式 (2)把被开方数相同的二次根式合 并.(只能合并被开方数相同的二次
根式）
例1 计算
12
2 3 2
2 3 2 5 2
25
34
a 6 a 5 6 a a
21.3二次根式的加减
(第1课时)
1、什么是最简二次根式？
被开方数不含分母
被开方数不含能开得尽方的因数或因式
2、下面哪些根式是最简二次根式，哪些不是？ 不是最简二次根式的，把它化简成最简二次根 式。
9 5
最简
20
2 5
1 5
5 5
80 4 5
5a a 0
2
a 5
问题引入：
有一个三角形,它的 两边长分别为 20 和 80 ,
9 5 ( 1)( 80 1 ) ( 3 45 ) 5 5 5 5
4
1
4
ab 3 a (2 ) 2 a 3ab ( 27 a 2 ab a) 2 6 4
(最新)数学八年级下册第十六章《二次根式的加减 》省优质课一等奖教案
《二次根式的加减》教学设计（1）【教学内容】：教材P12-13【教学目标】：1.能进行二次根式的加减运算，掌握其运算步骤.2.通过实际问题理解并掌握二次根式的加减法法则，通过与整式的加减法进行比较及动手练习掌握二次根式的加减法的运算技巧.3.通过二次根式的加减法与整式的加减法比较，感受知识之间的迁移与联系.【教学重点】：二次根式加减法的运算.【教学难点】：找出能合并的最简二次根式（同类二次根式），快速准确进行二次根式加减法的运算.【教法学法】：使用导学法、讨论法；运用合作学习的方式，分组学习和讨论；运用多媒体辅助教学.【教具准备】：多媒体课件【教学过程】：一、自主明标复习引入1.什么是同类项？2.合并同类项方法是什么？3.计算：（1）2x+5x （2）2x-5x明标预习1.板书目标：能进行二次根式的加减运算2.自主预习：（1）阅读教材p12 思考：如何进行二次根式加减运算？（2）预习自测：2+22= 33-53=2+18= 27-75= 二、互动达标探究一：二次根式的加减运算法则观察下列各组式子，你有什么发现？（1）2322与 （2）32与 （3）205与 （4）1218与归纳：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做 同类二次根式.（1）类比迁移 学习新知计算： （1）323+； （2）5253-（口答） （3）8+18（思考）结论：在进行二次根式加减时，首先把不是最简二次根式的二次根式化简成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并. （2）反思总结 巩固新知问题：53+能合并吗？为什么？82+呢？ 结论：53+不能合并；2322282=+=+ 归纳：二次根式能够进行合并的条件：（1）首先将二次根式化成最简二次根式；（2）观察被开方数是否相同. 判定：（1）2，8，18 （2）3，27，48 （3）实际练习 深化新知有一个三角形，它的两边长分别为cm 20和cm 80，如果该三角形的周长为cm 59，你能求出第三边长吗？探究二：二次根式的加减运算运用例1. 计算（1）80-45 （2）a 9+a 25练习： （1）32+50 （2）a 24-a 54 例2. 计算（1）212-631+348 (2)(12+20)+(3-5) 练习：(48+20)+(12-5) （80-311）-（1051+27）归纳小结（1）二次根式合并的前提：化成最简二次根式之后，被开方数相同. （2）二次根式加减的实质：合并被开方数最简二次根式. 三、多元测标当堂检测（对抗组1,2号互换，1-3每题2分，4题各2分） 1.下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）A ．xy 与y x 2B ．22y x +与22y x -C ．mn 与n m +D ．ab 2与ba 2 2.下列下列计算正确的有（ ）①532=+；②552332=+；③xy xy xy 532=+；④223218=- A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3.计算：1231-的结果是（ ） A ．337-B ．2333-C ．3D ．335- 4.计算（1）348-913+312 （2）（48+20）+（12-5）拓展练习1. 下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）．A BC D2. 是同类二次根式的是（ ）． A ．①和② B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④3.计算 （1）)27131(12-- （2）（3（4）7672- （5）52080+- （6）)2798(18-+（7）)681()5.024(--+8）（9） （10）yyx y x x 1241+-+ （11）232282xy x x +-4. 已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求（23+y -（x。
人教版八年级数学下《16.3 二次根式的加减 二次根式的混合运算》优质课教学设计_21
16.3 二次根式的加减教学目标知识与技能目标：理解和掌握二次根式加减的方法, 使用二次根式、化简解应用题．过程与方法目标：先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式实行加减的方法的理解．再总结经验，用它来指导根式的计算和化简．情感与价值目标：通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的水平．重难点关键1．重点：二次根式化简为最简根式．2．难点关键：会判定是否是最简二次根式,会计算二次根式的混合运算教法：1、引导发现法：通过教师精心设计的问题链，使学生产生认知冲突，感悟新知，建立分式的模型，引导学生观察、类比、参与问题讨论并解决。
2、讲练结合法：在例题教学中，引导学生阅读，与同类项实行类比，获得解决问题的方法后配以精讲，并实行分层练习，培养学生的阅读习惯和规范的解题格式。
学法：类比的方法，阅读的方法，分组讨论法，练习法教学用具：多媒体课件，教材。
课时安排：1课时。
教学过程：一、复习引入学生活动：计算下列各式．（1）2x+3x；（2）2x2-3x2+5x2；（3）x+2x+3y；（4）3a2-2a2+a3 教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并．同类项合并就是字母不变，系数相加减．二、探索新知学生活动：计算下列各式．（1）（2）（3老师点评：（1x，不就转化为上面的问题吗？（2+3（2y；（2-3+5（3z；（1+2+3所以，二次根式的被开方数相同是能够合并的，如但它们能够合并吗？能够的．例如：（1）（2）所以，二次根式加减时，能够先将二次根式化成最简二次根式，•再将被开方数相同的二次根式实行合并．例1．计算：（1（2分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式实行合并．解：（1（2+3（2（4+8例2．计算：（1）（2）+解：（1）（12-3+6（2）+同学们，下面我们看一下二次根式里面的混合运算的计算方法.例3.计算（1）（2）（分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可用整式的运算规律．解：（1）解：（3 2例4.计算 （1））（ （2）分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．解：（1））（2（2）=2- 2=10-7=3三、应用拓展：1.已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求（23+y -（x ）的值． 分析：本题首先将已知等式实行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0，即x=12，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，•再合并同类二次根式，最后代入求值．解：∵4x 2+y 2-4x-6y+10=0∵4x 2-4x+1+y 2-6y+9=0∴（2x-1）2+（y-3）2=0∴x=12，y=3原式=23+y当x=12，y=3时，原式=1242. 3.先化简，再求值．（-（，其中x=32，y=27．原式（=（6+3-4-6当x=32，y=27时，原式92四、归纳小结：本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式实行合并．五、布置作业：1.选择题1.以下二次根式：（）．A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④2.下列各式：①17中错误的有（）．A．3个 B．2个 C．1个 D．0个2.填空题：1．在、是同类二次根式的有________．2.计算二次根式________．板书设计：。
新人教版八年级数学下《16.3 二次根式的加减 二次根式的混合运算》优质课教学设计_4
二次根式混合运算教学设计
（人教2019课标版第十六章第3节）
一、内容和内容分析
1、内容
二次根式混合运算
2、内容分析
在学习了二次根式性质和加减乘除运算的基础上，片段教学通过例4学习二次根式的混合运算。
在实行二次根式混合运算时，例4在运算过程中用到了多项式的乘法法则和整式的乘法公式，要注意应用类比的思想让学生形成知识的迁移，同时这也说明了前后知识之间的内在联系，教学中要让学生体会二次根式的运算与整式的运算的联系。
二次根式的混合运算是本章所学内容的综合使用，关键是准确使用多项式乘法法则与整式的乘法公式，然后把二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并，解题当中要注重解题的步骤与格式的规范性。
二、教学目标
【知识与技能目标】
片段教学中通过把例4与多项式乘法实行类比，使学生了解二次根式的混合运算与整式乘法的联系，在类比中掌握方法，熟练地使用多项式乘法法则与整式的乘法公式解答二次根式混合运算中的相关试题。
【过程与方法目标】
1、把二次根式的混合运算与整式中的多项式乘法作比较，要注意多项式乘法法则及乘法公式在计算过程中的作用。
2、引导学生体会用类比的思想研究二次根式混合运算的运算法则与相关乘法公式，体验研究数学问题的常用方法与解题思想。
【情感、态度与价值观目标】
经历探索二次根式混合运算的解题过程，培养学生的探究精神和合作交流的习惯；同时注意培养学生的类比思想，形成知识的迁移水平。
三、教学重点、难点
1、重点：掌握二次根式混合运算法则，会用多项式乘法法则与整式的乘法公式解决二次根式混合运算中的同类问题。
2、难点：整式的多项式乘法法则和乘法公式的迁移。
四、教学过程设计：。
2022年人教版八年级下册《二次根式的加减》公开课教案
16.3 二次根式的加减第1课时教学目标【知识与技能】会进行二次根式的加减运算，利用二次根式的加减法解决生活实际问题.【过程与方法】经历由实际问题引入数学问题的过程，提高学生的抽象概括能力，进而掌握二次根式的加减运算方法.【情感态度】培养学生认真观察、思考的习惯，锻炼严谨细致、一丝不苟的科学精神.教学重难点【教学重点】二次根式的加减法运算方法.【教学难点】二次根式的加减法的实际应用.课前准备无教学过程一、情境导入,初步认识问题现有一块长7.5dm，宽5dm的木板，能否采用如下图的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板？【教学说明】可借助多媒体〔或幻灯片〕展示木板，尝试截取两个正方形木块，并引导学生思考.解决问题的关键在哪里？如何解决？激发学生的学习兴趣和求知欲望.二、思考探究，获取新知让学生相互讨论，共同探究，寻求解决问题的方案.与此同时，教师可设置如下问题帮助学生进行理解和分析：1.两个正方形木块的边长分别是多少？2.最大正方形木板的边长与原长方形木板的宽5dm的大小如何？3.两个正方形木板的边长之和与长方形木板的长7.5dm的大小关系如何？你认为用什么方法来得出结论的？4.谈谈你获得结论的过程中的想法，你有哪些新的认识？在学生充分交流，初步形成认知后，师生共同探讨：上述实际问题中，实质是求8与18这两个二次根式的和，我们可以这样来计算：【教学说明】本环节教师要放手让学生自主探究，自主发现问题，并尝试解决问题，并能总结规律，形成认知.同时，教师应关注学生的完成情况，能否正确进行二次根式的化简，能否运用分配律将二次根式合并.【归纳结论】二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.三、典例精析，掌握新知【教学说明】以上两例，应让学生先独立完成，并分别选派两名中等成绩同学上黑板进行演算.教师巡视，了解全班学生的掌握情况，并对有困难的同学及时予以点拨，帮助他们加深对新知的理解.最后，师生共同评析黑板上的作业，教师还可适时将巡视中发现的问题展示给全班同学，到达理解新知的目的.例3 如图，实验中学方案在校园内修建一个正方形的花坛，在花坛中央还要修一个正方形的小喷水池，设计者需要考虑有关的周长，如果小喷水池的面积为8m2，花坛的绿化面积为10m2,那么花坛的外周与小喷水池的周长一共是多少米？分析：利用正方形的面积公式求出边长，再根据周长公式即可得解..【教学说明】本例展示了二次根式的加减在实际问题中的应用，在实际教学过程中，教师应引导学生进行合理分析，理清解题思路与步骤，再让学生自主完成解答过程.最后教师可以给出示范性解题过程，也可以用幻灯片展示学生的优秀作业及有代表性问题作业，让学生通过观察与反思，加深对知识的理解.四、运用新知，深化理解1.以下计算是否正确？为什么？5.先化简，再求值：【教学说明】学生自主完成上面前3个题，教师巡视，后两个题稍难，教师适当予以点拨.【答案】1.〔1〕不正确，两边不相等；〔2〕不正确，两边不相等；〔3〕正确.2.①和④；五、师生互动，课堂小结师生共同回忆本节主要知识点及需要注意的问题.〔1〕知识要点：二次根式加减的一般思路,①不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；②相同的二次根式一定要进行合并.〔2〕需注意的问题：①应能将化简的二次根式化简后再进行计算，不要出82是最后结果的类似错误；②相同的二次根式合并时，只需把它们的系数相加减，根式不变，不相同的二次根式不能进行加减，防止出现52=〔3-2〕52〕52的错误.课后作业1.布置作业：从教材“〞中选取.2.完成练习册中本课时练习.教学反思1.创设情境，给出实例.由学生主动参与，经过思考、讨论、分析的过程，老师加以启发和引导，类比得出二次根式的加减运算法那么.2.三个例题，旨在帮助学生理解二次根式的加减运算.尤其是例2，要按照两个步骤进行计算，培养了学生利用概念、法那么进行计算和化简的严谨态度和科学精神，此外，例3还展示了二次根式的加减在实际问题中的应用.第1课时教学目标【知识与技能】1.理解方差的意义，掌握方差计算公式并会运用方差解决实际问题.2.理解方差作为刻画一组数据离散程度的统计量的特征.【过程与方法】1.经历画图、观察，探索如何表示一组数据的离散程度，开展合情推理能力，开展统计观念.2.通过实践观察，掌握衡量一组数据的离散程度的方法，感受数学来源于实践，又作用于实践，感知数学知识的抽象美，提高参与数学学习的积极性.【情感态度】经历探索如何表达一组数据的离散程度，增强数学应用的意识，激发学数学的热情. 教学重难点【教学重点】方差的意义及用方差度量数据波动大小的规律.【教学难点】方差意义的理解.课前准备无教学过程一、 情境导入，初步认识探究思考 在一次女子排球比赛中，甲、乙两队参赛选手的年龄如下：甲队：26 25 28 28 24 28 26 28 27 29乙队：28 27 25 28 27 26 28 27 27 26〔1〕两队参赛选手的平均年龄分别是多少？〔2〕怎样用图表来分析两队参赛选手的年龄分布情况？〔3〕分析图表，你能得出哪些结论？〔4〕能否用一个统计量来刻画你从图表中观察到的结论？【教学说明】教师提出问题，让学生逐一进行探究，相互交流.教师深入学生中，参与讨论，形成认知.为了刻画一组数据的波动大小，通常计算这组数据的方差，根据方差的大小来确定数据的大小.1.方差：设有n 个数据x 1，x 2，…x n ，各数据与它们的平均数的差的平方分别是：()()()22212,,,n x x x x x x --⋯-，我们用()()()222122n x x x x x x s n-+-+⋯+-=来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差，记为s 2.2.从方差的计算公式可以看出：当数据分布比拟分散〔即数据在平均数附近波动较大〕时，方差就越大；当数据分布比拟集中时，方差越小，故有方差越大，数据波动越大；方差越小，数据波动越小.【教学说明】教师可引导学生完成探究思考中〔4〕的结论，与〔3〕比拟，体会用来刻画数据波动大小的方法.二、典例精析，掌握新知例 在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，参加表演的女演员的身高〔单位：cm〕分别是：甲团 163 164 164 165 165 166 166 167乙团 163 165 165 166 166 167 168 168哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐？【教学说明】教师出例如题，引导分析，板书解题过程.学生思考，与老师一起进行计算、判断，解决问题.让学生从中体会用方差衡量一组数据波动的大小的方法，掌握方差计算公式，学会计算方差.三、运用新知，深化理解教材P126练习1、2【教学说明】通过练习，使学生更好地掌握方差的计算方法和根据方差衡量数据波动大小的规律，同时也能锻炼学生的计算能力和解题的标准性.【答案】1.解：〔1〕x＝6，s2=0；〔2〕x＝6，s2=47;〔3〕x＝6，s2=447.〔4〕x＝6，s2=547.2甲＜s 2乙.四、师生互动，课堂小结这节课学习了哪些新知识？你有哪些收获和体会？【教学说明】让学生在互相交流活动中，通过归纳总结，更加清楚地理解方差的意义以及方差在统计学中的作用.课后作业1.布置作业：从教材“〞中选取.2.完成练习册中本课时练习.教学反思“正负抵消〞的问题.。
新人教版八年级数学下《16.3 二次根式的加减 二次根式的混合运算》优质课教学设计_115
16．2．1分式的乘除(三)一、教学目标：理解分式乘方的运算法则，熟练地实行分式乘方的运算.二、重点、难点1．重点：熟练地实行分式乘方的运算.2．难点：熟练地实行分式乘、除、乘方的混合运算.讲解分式乘方的运算法则之前，根据乘方的意义和分式乘法的法则，计算 2)(b a =⋅b a b a =b b a a ⋅⋅=22ba ，3)(b a =⋅b a ⋅b a b a =b b b a a a ⋅⋅⋅⋅=33b a ，…… 顺其自然地推导可得： n b a )(=⋅b ⋅⋅⋅⋅b a b a =b b b a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n nba ，即nb a )(=n n b a . （n 为正整数） 归纳出分式乘方的法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方.三、例、习题的意图分析1． P17例5第（1）题是分式的乘方运算，它与整式的乘方一样应先判 断乘方的结果的符号，在分别把分子、分母乘方.第（2）题是分式的乘除与乘方的混合运算，应对学生强调运算顺序：先做乘方，再做乘除..2．教材P17例5中象第（1）题这样的分式的乘方运算只有一题，对于初学者来说，练习的量显然少了些，故教师应作适当的补充练习.同样象第（2）题这样的分式的乘除与乘方的混合运算，也应相对应的增加几题为好.分式的乘除与乘方的混合运算是学生学习中重点，也是难点，故补充例题，强调运算顺序，不要盲目地跳步计算，提升准确率，突破这个难点.四、课堂引入计算下列各题：（1）2)(b a =⋅b a b a =（ ） (2) 3)(b a =⋅b a ⋅b a ba =（ ） （3）4)(b a =⋅b a ⋅b a b a ba ⋅=（ ） [提问]由以上计算的结果你能推出nb a )(（n 为正整数）的结果吗？ 五、例题讲解（P17）例5.计算[分析]第（1）题是分式的乘方运算，它与整式的乘方一样应先判断乘方的结果的符号，再分别把分子、分母乘方.第（2）题是分式的乘除与乘方的混合运算，应对学生强调运算顺序：先做乘方，再做乘除.六、随堂练习n 个 n 个n 个 n 个1．判断下列各式是否成立，并改正.（1）23)2(a b =252a b （2）2)23(a b -=2249a b - （3）3)32(x y -=3398xy （4）2)3(b x x -=2229bx x - 2．计算 (1) 22)35(y x （2）332)23(c b a - （3）32223)2()3(xay xy a -÷ （4）23322)()(z x zy x -÷- 5))()()(422xy x y y x -÷-⋅- (6)232)23()23()2(ayx y x x y -÷-⋅- 七、课后练习计算 (1) 332)2(a b - (2) 212)(+-n ba (3)4234223)()()(c a ba cb ac ÷÷ (4) )()()(2232b a a b a ab b a -⋅--⋅-。
新人教版八年级数学下《16.3 二次根式的加减 二次根式的混合运算》优质课教学设计_61
课题：二次根式的混合运算一、教学任务分析1、教学目标基础知识：掌握二次根式混合运算法则、运算律、多项式乘法法则和乘法公式. 基本技能：能准确、熟练地实行二次根式的混合运算.思想方法：类比和转化的数学思想.活动经验：积累准确、熟练地实行二次根式混合运算的解题经验.2、教学重点熟练使用混合运算法则、运算律、多项式乘法法则和乘法公式实行运算.3、教学难点掌握运算法则、运算律和公式的基础上，养成良好的运算习惯.4、学情分析学生对二次根式的化简较为熟练，但对乘法公式有所遗忘.学案卷、教学设计、电脑课件四、教学过程设计1、 教学内容目标展示会用二次根式的加、减、乘、除法则实行二次根式的混合运算.师生活动：学生表述设计意图：出示本节课的学习目标，能够让学生明确本节课学习的主要内容以及达成的标准。
时间分配：1分钟目标实施[活动1]知识表现出示投影片.求它的面积.学生求解：面积为观察这个式子中都有哪些运算？通过本节课的学习就能很容易解决这个类问题.你会计算吗？发挥你的聪明才智，说说你的想法.师生活动：教师出示问题，学生思考，教师巡视学生的解题情况.设计意图：通过一道学生非常熟悉的实际问题引入，学生很容易列出式子，并能引出本节课所有讨论的问题.==⨯==5315==23+336915=⨯⨯=+=师生活动：教师引导学生采用不同的方法实行计算，通过结果的比较发现乘法分配率仍然能够应用.设计意图：给学生一些思考时间，让学生思考做题的方法，教师在巡视过程中找出学生不同的解题方法，并记录.由此推出，运算率在二次根式的混合运算中仍然能够应用.时间分配：5分钟2、教学内容[活动2]典例引练例：计算5)÷解：(4)26÷=62-÷=4师生活动：(1)教师出示问题,请学生口述计算过程，教师板书.(2)(3)学生黑板讲解解题过程，并实行板书书写.(4)教师出示问题，学生思考给出解题方法.设计意图：通过例题展示，明确二次根式混合运算的具体步骤，明确书写格式，掌握计算方法，注意计算中的细节.计算时要让学生明确“先观察”，看括号内的二次根式是否能够合并；“后计算”，即让学生弄清楚运算级别，如不能合并要明确括号内有几项，结果就为几项.通过学生讲解，激发学生的好胜心，锻炼学生分析问题、表达问题的水平，提升学生学习的兴趣和注意力.同时让学生类比整式乘法的计算方法来计算二次根式的混合运算.时间分配：10分钟3、教学内容[活动3]自主练习1.计算：(2)2)师生活动：学生黑板板书计算，教师巡视面批面改。
最新人教版初中数学八年级下册16.3《二次根式的加减》优质课教案
《16.3二次根式的加减》本课在学习二次根式乘除运算及化简的基础上，从算术平方根的运算出发，研究二次根式的加减运算．二次根式的运算方法与数的运算方法本质上是一致的．实数的运算律对二次根式的运算仍然适用．结合二次根式的化简、乘除和加减运算，利用交换律、结合律、分配律及多项式乘法公式进行二次根式的混合运算．1. 探索二次根式加减运算的方法和步骤；2. 会进行二次根式的加减运算．3. 通过探究二次根式的加减运算体会数学中的类比思想.4. 类比有理数混合运算和整式混合运算，探索二次根式的加、减、乘、除混合运算顺序的步骤和方法.5. 能熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算.6. 通过学习二次根式的加、减、乘、除混合运算的学习，培养学生的运算能力、推理能力．1. 在化简二次根式的基础上，应用分配律进行二次根式的加减运算．2. 熟练并准确地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算.课件第一课时一、复习引入：问题1：什么叫最简二次根式？你能将18，8，23化为最简二次根式吗？问题2：现有一块长7.5dm,宽5dm的木板,能否采用如图的方式,在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板? 提问:①大、小正方形木板的边长分别为18dm和8dm,木板是否够宽?②木板是否够长呢?③怎样计算818+的结果呢?问题3：计算下列各式：（1）a+2a；（2）3x-2x；解：（1）a+2a=(1+2)a=3a；（2）3x-2x=(3-2)x=x；【设计意图】回顾整式的加减及合并同类项法则，为后续学习二次根式的合并做准备.二、新课讲解：1.探究二次根式的加法.问题4：请类比整式的加减，计算下列各式：（1）323+；（2）52-53.解：（1）333)21(323=+=+；（2）55)23(52-53=-=.【点拨】最简二次根式中，被开方数相同的二次根式的加减，直接把系数相加减，根号和根号内的数不变.问题5：53+能合并吗？为什么？82+呢？ 解：53+不能合并，因为它们被开方数不相同；232)21(22282=+=+=+.【小结】（1）二次根式能够进行合并的条件：①首先将二次根式化成最简二次根式；②观察被开方数是否相同.（2）二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并.练习1：下列各组二次根式中，能够合并的一组二次根式是（ ）A ．xy 与y x 2B ．22y x +与22y x -C ．mn 与n m +D ．ab 2与ba 2 练习:2：（教材P13练习）下列计算是否正确？为什么？（1）3838-=-；（2）9494+=+；（3）22223=-.解：（1）∵228=和3的被开方数不相同，∴不能合并,故错误.（2）∵53294=+=+，1394=+， 故9494+≠+，故错误；（3）∵22)23(2223=-=-，故正确.[点拨]化为最简二次根式后，只有被开方数相同的二次根式才能合并.2.二次根式加法的运用.问题7：（教材例题）计算：（1）4580-；（2）a a 259+；（3）483316122+-；（4）)53()2012(-++. 解：（1）553-544580==-； （2）a a a a a 853259=+=+；（3）3102831232-28483316122+=+=+-； （4）533535232)53()2012(+=-++=-++.练习3：（教材P13练习2）计算：（1）4580-；（2）a a 9194+；（3）52080+-；（4）)2798(18-+；（5）)681()5.024(--+. 解：（1）553-544580==-；（2）a a a a a =+=+31329194； （3）535525452080=+-=+-；（4）33210332723)2798(18-=-+=-+；.42636422262)642()2262()681()5.024(5+=+-+=--+=--+）（问题6：前面问题2中，怎样计算818+的结果呢?木板长7.5dm,宽5dm ，是否够长？解：818+ =2223+···化为最简二次根式 =2)23(+···乘法分配率 =25≈7.07＜7.5故木板够长.练习4：（教材P13练习3）如果两个圆的圆心相同，他们的面积分别是12.56和25.12，求圆环的宽度d （π取3.14，结果保留小数点后两位）.解：∵S 圆=πr 2，∴d=r 大圆-r 小圆=2224814.356.1214.312.25-=-=-=-ππ小圆大圆S S ≈0.83 答：圆环的宽度d 为0.83.三、课堂小结：1. 知识梳理：（1）二次根式合并的前提：化成最简二次根式之后，被开方数相同.（2）二次根式加减的实质：合并被开方数相同的最简二次根式.2.二次根式加减的实质是二次根式的合并，计算过程中容易出现以下错误： ①化成最简二次根式后，如果被开方数不相同，则不能进行合并； ②合并被开方数相同的最简二次根式时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变.3. 二次根式加减运算的步骤：①去括号；②化简；③判断并合并．4.二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别四、随堂测试：1.下列各式计算正确的是 ( )A.532=+B.13334=-C.363332=⨯D.3327=÷ 解析:A.不是同类二次根式，不能合并，故错误；B.合并同类二次根式时根号及根号下的被开方数不能丢掉，故错误；C.应为18363332=⨯=⨯⨯，故错误；D.39327327==÷=÷，故正确. 故选D.2.以下二次根式:①12,②22,③32,④27中, 化简后能合并成一项的是( )A.①和②B.②和③C.①和④D.③和④ 解析：①3212=；②222=；③3632=；④3327=. 3. 计算：2-23的值是（ ）A.2B.3C.2D.22解析：.222)13(2-23=-=. 4. 一个等腰三角形的两边长分别为2332，, 则三角形的周长为.解析：分两种情况讨论：（1）当32为腰长，23为底边长时，周长为3423+； （2）当23为腰长，为32底边长时，周长为3226+.5. 若最简二次根式14232+a 与16322-a 的被开方数相同,则a= .解析：由题意得4a 2+1=6a 2-1，解得a=±1.6. 计算：（1）233-2332++；（2）101015-40+.第二课时一、复习引入：1. 计算：（1）728+；（2）68⨯；（3）324÷.解：（1）282622728=+=+；（2）34486868==⨯=⨯；（3）228324324==÷=÷.【设计意图】复习二次根式的加减、乘除法则，为下面研究四则混合运算做准备.2. 计算：（1）(2x-y)·zx ；（2）(2x 2y+3xy 2)÷xy ；（3）(2x+y)(x-3y)（3）(2x+3y)(2x-3y);（4）(2x+1)2+(2x-1)2.解：（1）(2x-y)·zx=2x 2z-xyz ；（2）(2x 2y+3xy 2)÷xy=2x 2y ÷xy+3xy 2÷xy=2x+2y ；（3）(2x+y)(x-3y)=2x 2-6xy+xy-3y 2=2x 2-5xy-3y 2;（4）(2x+3y)(2x-3y)=(2x)2-(3y)2=4x 2-9y 2;（5）(2x+1)2+(2x-1)2=4x 2+4x+1+4x 2-4x+1=8x 2+2.提问：上面的运算用到了哪些法则和公式？学生回顾：多项式乘单项式，多项式除以单项式、多项式乘多项式法则和平方差、完全平方公式.【设计意图】复习整式的四则运算和乘法公式，类比学习二次根式的混合运算.二、新课讲解：问题1：如果把上面的x ，y ，z 改成二次根式呢？以上的运算法则是否仍然成立？ 例1.（教材P14例题3）计算：（1）6)38(⨯+；（2）226324÷-）（. 解：（1）6)38(⨯+ =6368⨯+⨯ =1848+ =2334+；（2）2263-24÷）（ =22632224÷-÷ =3232-. 【点拨】类比多项式乘单项式和多项式除以单项式法则计算，这里运用了分配率. 练习1：（教材P14练习1）计算：（1）)53(2+；（2）5)4080(÷+； 解：（1）)53(2+ =5232⨯+⨯ =106+；（2）5)4080(÷+ =540580÷+÷ =816+ =224+.【小结】（1）与有理数、实数运算一样，在混合运算中先乘除，后加减；（2）最终的结果一定要化为最简二次根式.问题2.（教材P14面例4）例2. 计算：（1）)52()32(-⋅+；（2）)35)(35(-+.解：（1）)52()32(-⋅+ =152523)2(2--+ =15222-- =2213--；（2）)35)(35(-+ =22)3()5(-=5-3=2.提问：你能说出上面两道题中每一步的依据是什么吗？【小结】乘法公式使计算准确、简便，因此能用运算公式的，尽可能用运算公式．因为二次根式表示数，二次根式的运算也是实数的运算．练习2：计算：（1）)17(72--=；（2）)2332)(2332(+-=. 答案为：7214+-；6.练习3：计算2)322215324(⋅+-的结果是（ ） A.303-3320 B.30-3320 C.332303- D.332302- 练习3 计算：（1）)2762)(6227(-+；（2）2)377(-；（3）22)632()632(-+--+解：（1）)2762)(6227(-+ =222762）（）（-=24-98=-74；（2）2)377(- =22)37(3772)7(+⨯⨯- =2114154-；（3）22)632()632(++--+ =)]632()632)][(632()632[(++--++++-+ =)62()3222(-⋅+ =21238--.练习4：已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求下面式子的值. )1()(2yx y x y x y y x x +-+ 解：由4x 2+y 2-4x-6y+10=0得到(2x-1)2+(y-3)2=0,∴2x-1=0,y-3=0.解得，x=21，y=3. )1()(2yx y x y x y y x x +-+ =yx x y y x 12--+ =y y xx y y y x--+ =x y -当x=21，y=3时， 原式=223213-=-.三、课堂小结：师生共同回顾本节课所学主要内容:关于二次根式的四则混合运算,实质上就是实数的混合运算.(1)运算顺序与有理式的运算顺序相同;(2)运算律仍然适用;(3)与多项式的乘法和因式分解类似,可以利用乘法公式与因式分解的方法来简化二次根式的有关运算.四、随堂检测：1. 下列二次根式中可以进行合并的是( ) A. ab 与2ab B. 22n m + 与22n m - C. mn 与nm 11+ D. 438b a 与432b a 【知识点：同类二次根式】【参考答案】D【思路点拨】先化简成最简二次根式，再看被开方数是否相同.2.计算：)12)(12(-+的结果是（ ）. A. 23+ B.23- C.1D.3【知识点：二次根式的混合运算】【参考答案】C【思路点拨】在整式运算中使用的公式在二次根式运算中照样适用，因此，本题利用平方差公式直接计算即可.3.若矩形相邻两边长分别是cm 20和cm 125，则它们的周长是.【知识点：二次根式混合运算】 【参考答案】cm 514【思路点拨】矩形的周长=（长+宽）×24. 计算：)4831375(12-+⨯的结果是（ ） A. 23 B.32 C. 6D. 12【知识点：二次根式的混合运算】【参考答案】D 【思路点拨】123232)34335(12)4831375(12=⨯=-+⨯=-+⨯5. 计算：3)4841311527(÷+- 【知识点：二次根式的混合运算】【参考答案】1-【解析】原式=1333)33533(-=÷-=÷+-略。
新人教版八年级数学下《16.3 二次根式的加减 二次根式的混合运算》优质课教学设计_53
课题：二次根式的混合运算
学习目标：
熟练应用二次根式的加减乘除法法则及乘法公式实行二次根式的混合运算。
学习重难点：
重点：熟练实行二次根式的混合运算。
难点：混合运算的顺序、乘法公式的综合使用。
学习活动：
1、填空
（1）整式混合运算的顺序是：
（2）二次根式的乘除法法则是：
（3）二次根式的加减法法则是：
（4）写出已经学过的乘法公式：
① ②
2、计算：
（1）6·a 3·
b 31 （2）16141÷ （3）505
11221832++- 活动二：合作交流
1、探究计算：
（1）（38+）×6 （2）22)6324(÷-
2、自学课本14页例3后，依照例题探究计算：
（1）)52)(32(++ （2）2)232(-
活动三：展示反馈
计算：
（1）12)3
23242731(⋅-- （2）)32)(532(+- （3）2)3223(+ （4）（10-7）（-10-7）
活动四：精讲点拨
整式的运算法则和乘法公式中的字母意义非常广泛，能够是单项
式、多项式，也能够代表二次根式，所以整式的运算法则和乘法公式适用于二次根式的运算。
达标检测：
1、计算：
（1）5)9080(÷+ （2）326324⨯-÷
（3）)()3(33ab ab ab b a ÷+-（a>0,b>0）
（4）(2652)(2652)---
2、已知121,121+=-=
b a ，求1022++b a 的值。
学习反思：。
新人教版八年级数学下《16.3 二次根式的加减 二次根式的混合运算》优质课教学设计_30
二次根式的运算学习内容最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念实行二次根式的化简运算．学习目标理解最简二次根式的概念，并使用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．学习过程一、自主学习（一）复习引入1．计算（1==，（2==，（32．现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是h1km，h2km，•那么它们的传播半径的比是_________．（二）、探索新知观察上面计算题1的最后结果，能够发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：1．被开方数不含分母；2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式．2==例1．化简：(1)(2)(3)== == ==例2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长．二、巩固练习教材练习三、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展1、观察下列各式，通过度母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：121=-，=，从计算结果中找出规律，并利用这个规律计算+）的值． ==2、归纳小结（1）．重点：最简二次根式的使用．（2）．难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式．四、课堂检测（一）、选择题1y>0）化为最简二次根式是（ ）．Ay>0） B y>0） C （y>0） D ．以上都不对2．把（a-1a-1）移入根号内得（ ）．A ．．3的结果是（ ） A ．-3 B ． C ． D ．二、填空题 1=_________．（x ≥0）2．化简二次根式号后的结果是_________． 三、综合提升题若x 、y 为实数，且y x y -的值．。
新人教版八年级数学下《16.3 二次根式的加减 二次根式的混合运算》优质课教学设计_31
一.学习目标：1．掌握二次根式的运算方法，明确数的运算顺序、运算律及乘法公式在根式的运算中仍然适用；2．准确使用二次根式的性质及运算法则实行二次根式的混合运算．二．学习重点：准确使用二次根式的性质及运算法则实行二次根式的混合运算．学习难点：二次根式计算的结果要是最简二次根式．三．教学过程知识准备1．满足下列条件的二次根式是最简二次根式．①根号中不含能开的尽方的因式或因数 .②根号中不含分母 .③分母中不含根号 .2．回忆有理数，整式混合运算的顺序.3．回忆并整理整式的乘法公式.★方法探究1⑴(512＋23)×15 ⑵(3＋10)(2－5)归纳： .尝试练习：⑴(3＋22)×6 ⑵(827－53)•6⑶(6－3＋1)×23⑷(3－22)(33－2) ⑸(22－3)(3＋2) ⑹(5－6)(3＋2)★方法探究2⑴(3＋2)(3－2) ⑵(3＋25)2归纳： .尝试练习：⑴(5＋1)(5－1) ⑵(7＋5)(5－7) ⑶(25－32)(25＋32) ⑷(a＋b)(a－b)⑸(3－2)2 ⑹(32－45)2 ⑺(3－22)(22－3) ⑻(a－b)2⑼(1－23)(1＋23)－(1＋3)2 ⑽(3＋2－5)(3―2―5)例题解析1. 计算：(22－3)2019( 22＋3)2019.2. 若x＝10－3，求代数式x2＋6x＋11的值.3. 若x＝11＋72，y＝11—72，求代数式x2－xy＋y2的值.课内反馈1. 计算12(2－3)＝ .2. 计算⑴(2＋3)(2－3)＝；⑵(5－2)2019( 5＋2)2019＝ .3. 计算：⑴12(75＋313－48) ⑵(1327－24－323)•12⑶(23－5)(2＋3)⑷(5－3＋2)(5＋3－2) ⑸(312－213＋48)÷234. 已知a＝3＋2 ，b＝3－2，求下列各式的值.⑴a2－b2 ⑵1a－1b ⑶a2－ab＋b25. 若x＝3＋1，求代数式x2－2x－3的值.课堂小结二次根式的混合运算中①能化简的先化简②当化简后被开方数相同时可象合并同类项那样合并③在二次根式的运算中要注意使用乘法公式和乘法法则，使运算简便。
新人教版八年级数学下《16.3 二次根式的加减 二次根式的混合运算》优质课教学设计_32
集体备课
【教学过程】
一、情境创设
1．二次根式的乘除法是怎样实行的？二次根式的加减法是怎样实行的？
2．什么叫同类二次根式？举例说明。
3．回顾整式的乘法公式：多项式乘法公式、平方差公式、完全平方公式。
二、探索活动。
1．怎样计算： ？
小组讨论，全班交流。
类比：怎样计算（a-b）（a+2b）？
２．怎样计算： ？
2.运算律同样适用于二次根式的运算.
3.计算结果要最简.
六、课后作业
1、计算：
（1）（2 - ）× ；（2）5 ×（ + ）；
（3）（ - + ）×2 ；
2、计算：
（1）（2 -5 ）（ -2 ）；（2）（ - ）（ + ）
（3） + ；（4）（ ）（ ）；
（5）（ ）+（ ）（ -4ac≥0，a≠0）；
(1)． (2)．
(3)． (4)． （a>0,b>0）
四、思维拓展
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB= ,AC=
求Rt△ABC的周长和面积.
2.
3.比较大小,并说明理由.
五、小结
本节课学习了二次根式的运算，在实行运算时要注意什么？
1.二次根式四则混合运算的顺序和整式的四则混合运算的顺序是一样的,含相同二次根式的项要合并.
回顾：（a-b）（a+b）＝________
３． 呢？
小结：在实行二次根式的混合运算时，我们曾学过的整式运算的运算律仍然适用。
三、例题教学
1.例３、计算：（１） （２）
2.例4、计算：（１） （２）
3.小结：多项式的乘法法则和乘法公式同样适用于二次根式的多项式乘法