08_11西南大学数学系复试真题版

09年复试真题
10年复试真题
11年复试真题 《近世代数》
1.（25分）简答题
（1）给出一个8阶非交换群；
（2）给出一个有单位元但无零因子的环； （3）给出一个有单位元也有零因子的环；
（4）给出一个无单位元的环；
（5）给出一个4元域，并给出其加法和乘法表；
2.（25分）设V 是数域P 上的n 维线性空间，()V L 表示V 的所有线性变换的集合，()V N 表示V 的所有可逆线性变换的集合。

（1）证明()V L 关于线性变换的加法和乘法构成环； （2）证明()V L 关于线性变换的乘法不构成群； （3）证明()V N 关于线性变换的乘法构成群。

《常微分方程》
求方程或方程组的解（每小题10分，共30分） 1.
)1(K
r
rx dt dx -=，其中K r ,为正常数； 1.0)52()34(3
2
4
=+++dy xy x dx y xy ;
2.求方程组
Ax dt dx
=的标准基解矩阵()At ex p ，其中⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=2110A 解答或证明（每小题10分，共20分）
1.求
x dt
dx
ln 1+=满足初始条件的0)1(=y 的解的存在区间； 2.证明方程x e t dt
dx t
201120112011-=-的所有解均在[)+∞,0上有界。

《实变函数》
一．设(){}x f k 是E 上一列..e a 有限的可测函数，若对任意的,0,0>>εσ存在正整数N ，使当N m n >,时，有[]
,εσ<>-m n f f mE 试证明：存在E 上..e a 有限的可测函数()x f ，使得(){}x f k 在E 上依测度收敛于()x f 。

（25分）
二．设(){}x f n 和(){}x g k 是E 上两个可测函数列，满足如下条件：
()(),,2,1,,Λ=∈≤n E x x g x f n n ()()()(),,lim ,lim E x x g x g x f x f n n n n ∈==∞
→∞
→
()()+∞<=⎰⎰∞→dx x g dx x g E
E
n n lim
试证明:()()+∞<=⎰⎰∞→dx x f dx x f E
E
n
n lim
，
（25分） 《概率论》
设二维概率变量()Y X ,的联合密度函数 ()⎩⎨
⎧<<<=else or x y x y x p ,
0,,10,1,， （1）求边际密度函数()(),,y P x P X X X 与Y 是否独立？ （2）求.,21,21EXY Y P X P ⎪⎭
⎫
⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛
<
（25分） 1.设()x F 为连续型随机变量X 的分布函数，().x F Y = （1）求Y 的分布函数；
（2）若,ln 2Y Z -=求其密度函数；
（3）设n X X ,,1Λ是连续型随机变量X 的n 次观测值，则()i
n
i X F ∑=-1
ln 2服从自由度为2n
的2
χ分布。

（25分）
《微分几何》
（每个大题25分，每小题5分，共50分）
一、切线与固定方向成固定角的曲线称为一般螺线。

1.证明：空间曲线是一般螺线的充要条件是主法线和一个固定方向垂直；
2.证明：空间曲线是一般螺线的充要条件是副法线和一个固定方向成固定角；
3.证明：空间曲线是一般螺线的充要条件是曲率与挠率是定值；
4.设曲线C 的副法向量为
{}1,cos ,sin 2
1
t t -=
γ
求曲线C 的单位切向量和主法向量； 5.证明曲线C 是一般螺线。

二、给定半径为()0>R R 的球面
(){},sin ,sin cos ,cos cos ,θϕθϕθϕθR R R r =
1.计算球面的第一基本形式；
2.计算球面的第二基本形式；
3.证明球面上的测地线必为球面上的大圆；
4.证明具有常高斯曲率21
R
K =
的曲面必与所给球面等距； 5.证明球极投影是球面到平面的一个保角变换。