椭圆和双曲线练习题及答案.docx
椭圆双曲线练习卷(含答案)(最新整理)
由于－6≤ m ≤6, ∴当 x = 9 时,d 取得最小值 15 2
x2
25．椭圆
m2
y2
1m
1与双曲线 x 2
n2
y2
1n
0 有公共焦点 F1, F2 ，P 是两曲线
的一个交点，求 F1PF2 的面积。
解答：由椭圆和双曲线的对称性，不妨设点 P 在第一象限，F1 是左焦点，F2 是右焦点， 由椭圆和双曲线的定义可知
PF1 PF2 2m,
PF1
PF2
2n
解得
PF1 PF2
m n, m n.
PF1 2 PF2 2 2 m2 n2 。
椭圆 x 2 y 2 1m 1与双曲线 x 2 y 2 1n 0 有公共焦点，
|
1 2
为定值．
法二：设 M (x3,
y3 ), N (x4 ,
y4 ) ，则
k1＝
y3 x3
， 2x32
4 y32
1，
于是
2x
2 3
+4k
2 1
x
2 3
＝1，x
2 3
＝
2
1 4k12
，y
2 3
＝
2
k12 4k12
,同理，x
2 4
b 0) 有相同的焦点 F1, F2
，P 是两条曲线的一个公共点，则 PF1 PF2 的值是 m a 。
二、解答题
19．求经过椭圆 x2+2y2=4 的左焦点且倾斜角为 的直线教椭圆于 A、B 两点，求弦 AB 的
3
长度。
16
长度为：
椭圆、双曲线(含答案)
2017-11-11【双曲线】1.双曲线方程为，则它的右焦点坐标为 （ ）CA 、B 、C 、D 、【解析】双曲线的，，，所以右焦点为. 【误区警示】本题考查双曲线的交点，把双曲线方程先转化为标准方程，然后利用求出c 即可得出交点坐标.但因方程不是标准形式，很多学生会误认为或，从而得出错误结论.2.已知直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，||AB 为C 的实轴长的2倍，C 的离心率为 (B ) （A（B（C ） 2 （D ） 33.若双曲线-=1(b>0)的渐近线方程式为y=，则ｂ等于 。
【答案】1 【解析】由题意知，解得b=1。
【命题意图】本小题考查双曲线的几何性质、待定系数法，属基础题。
4.已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆221259x y +=的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 。
答案：（，0）【提高】5.已知、为双曲线C:的左、右焦点，点P 在C 上，∠=，则（ ） (A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8B 【命题意图】本小题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力. 【解析1】.由余弦定理得cos ∠P =4【解析2】由焦点三角形面积公式得：46.已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=＞＞与双曲线222:14y C x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则（C ）A ．2132a =B ．213a =C ．212b = D ．22b =7.设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（A ） （B ） （C ） （D ）解析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a 与b 之间的等量关系，可知答案选C ，本题主2221x y -=2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭)2211,2a b ==232c =2c =⎫⎪⎪⎝⎭222c a b =+21b =22b =22y b 2x 41x 2±122b =22221x y a b-=4±0y =1F 2F 221x y -=1F P 2F 06012||||PF PF =1F 2F 222121212||||||2||||PF PF F F PF PF +-()(22221212121212122221cos60222PF PF PF PF PF PF F F PF PF PF PF +--+-⇒=⇒=12||||PF PF = 1202201216011cot 1cot sin 602222F PF S b PF PF PF PF θ∆====12||||PF PF = 1F 2F 22221(0,0)x y a b a b-=＞＞P 212PF FF =2F 1PF 340x y ±=350x y ±=430x y ±=540x y ±=要考察三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考察，属中档题 8.设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 （ ）（A（B（C（D 解析：选D.不妨设双曲线的焦点在轴上，设其方程为：，则一个焦点为一条渐近线斜率为：，直线的斜率为：，， ，解得. 9.设O 为坐标原点，,是双曲线（a ＞0，b ＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P ，满足∠P =60°，∣OP ∣,则该双曲线的渐近线方程为（）（A ）（B y=0 （C ）=0 （D ±y=0解析：选D ，本题将解析几何与三角知识相结合，主要考察了双曲线的定义、标准方程，几何图形、几何性质、渐近线方程，以及斜三角形的解法，属中档题 【椭圆】10.已知椭圆x y +=221169的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为 9411．已知椭圆C 的方程x y +=22143，试确定m 的取值范围，使得对于直线yx m =+4，椭圆C 上有不同两点关于直线对称．分析：椭圆上两点(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，相减得31212()()x x x x +-+412()y y +()y y 120-=又x x x +=122，y yy +=122，y y k x x -==--121214，代入得y x =3。
椭圆、双曲线测试题(含答案)
章末综合测评(二) 圆锥曲线与方程(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值是()A.14B.12C ．2D ．4 A [由题意可得21m ＝2×2，解得m ＝14.]2．下列双曲线中，渐近线方程为y ＝±2x 的是( )A ．x 2－y24＝1 B.x 24－y 2＝1 C ．x 2－y22＝1D.x 22－y 2＝1【解析】 法一 由渐近线方程为y ＝±2x ，可得y2＝±x ，所以双曲线的标准方程可以为x 2－y 24＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫或y 24－x 2＝1，舍去. 法二 A 中的渐近线方程为y ＝±2x ；B 中的渐近线方程为y ＝±12x ；C 中的渐近线方程为y ＝±2x ；D 中的渐近线方程为y ＝±22x .故选A.【答案】 A3．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.73B.54C.43D.53【解析】 由双曲线的渐近线过点(3，－4)知b a ＝43， ∴b 2a 2＝169.又b 2＝c 2－a 2，∴c 2－a 2a 2＝169，即e 2－1＝169，∴e 2＝259，∴e ＝53.【答案】 D4．平面内有定点A 、B 及动点P ，设命题甲是“|P A |＋|PB |是定值”，命题乙是“点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆”，那么甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [点P 在线段AB 上时|PA |＋|PB |是定值，但点P 轨迹不是椭圆，反之成立，故选B.]5．已知动圆E 与圆A ：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆B ：(x －4)2＋y 2＝2内切，则动圆圆心E 的轨迹方程是( )A ．x 22－y 214＝1(x ≥2). B. x 22－y 214＝1(x ≤-2).C ．x 22－y 214＝1 D. y 214－x 22＝1(x ≤-2). 【解析】x 22－y 214＝1(x ≥2).6.设椭圆x 2m 2＋y 2m 2－1＝1 (m >1)上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则椭圆的离心率为( )A.22B.12C.2－12D.34 B [2a ＝3＋1＝4.∴a ＝2， 又∵c ＝m 2－(m 2－1)＝1，∴离心率e ＝c a ＝12.]7．设F 1，F 2是双曲线x 23－y 2＝1的两个焦点，P 在双曲线上，当△F 1PF 2的面积为2时，PF 1→·PF 2→的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．6【解析】 设P (x 0，y 0)，又F 1(－2,0)，F 2(2,0)， ∴PF 1→＝(－2－x 0，－y 0)，PF 2→＝(2－x 0，－y 0)．|F 1F 2|＝4. S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y 0|＝2， ∴|y 0|＝1.又x 203－y 20＝1，∴x 20＝3(y 20＋1)＝6，∴PF 1→·PF 2→＝x 20＋y 20－4＝6＋1－4＝3. 【答案】 B8．AB 为过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的中心的弦,F 1为一个焦点，则△ABF 1的最大面积是(c 为半焦距)( )A ．acB ．abC ．bcD ．b 2【解析】 △ABF 1的面积为c ·|y A |，因此当|y A |最大， 即|y A |＝b 时，面积最大．故选C. 【答案】 C9.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F( ,0),直线y=x-1与其相交于M,N 两点,MN 中点的横坐标为-,则此双曲线的方程是 ( )A. -=1 B. - =1 C. -=1D. -=1 【解析】选B.设双曲线方程为 -=1,将y=x-1代入 -=1,整理得(b 2-a 2)x 2+2a 2x-a 2-a 2b 2=0, 由根与系数的关系得x 1+x 2=,则 = =- .又c 2=a 2+b 2=7,解得a 2=2,b 2=5, 所以双曲线的方程为 -=1.10．若F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为( )A ．7 B.72 C.74D.752【解析】 |F 1F 2|＝22，|AF 1|＋|AF 2|＝6， 则|AF 2|＝6－|AF 1|，|AF 2|2＝|AF 1|2＋|F 1F 2|2－2|AF 1|·|F 1F 2|cos 45° ＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8，即(6－|AF 1|)2＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8， 解得|AF 1|＝72，所以S ＝12×72×22×22＝72. 【答案】 B11．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( )A ．±12B ．±22 C ．±1D ．±2【解析】 由题设易知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a .∵A 1B ⊥A 2C ，∴b 2a c ＋a ·－b 2a c －a ＝－1，整理得a ＝b . ∵渐近线方程为y ＝±ba x ，即y ＝±x ， ∴渐近线的斜率为±1. 【答案】 C12．设F 1、F 2分别是双曲线x 25－y 24＝1的左右焦点。
椭圆、双曲线解答题综合练习(含答案)
椭圆、双曲线解答题综合练习1.中心在坐标系原点O，焦点F1,F2在坐标轴上，离心率e=√2的双曲线C过点P(4,−√10).（1）求C的方程；（2）若点M(3,m)在C上，求ΔMF1F2的面积.2.若椭圆C：x2a2+y2b2=1是以双曲线x23−y2=1的顶点为焦点，以其焦点为顶点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若P是椭圆C上的一点，F1、F2是椭圆C的两焦点，且∠F1PF2＝90°，求△PF1F2的面积．3.分别求出满合下列条件的圆锥曲线的标准方程：(1)离心率为√74，且短轴长为6的椭圆C1；(2)过点(3,−√2)，且与椭圆5x2+9y2=45有相同焦点的双曲线C2；4. 如图，点F 1,F 2分别是椭圆C:x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)的左、右焦点．点A 是椭圆C 上一点，且满足AF 1⊥x 轴，∠AF 2F 1=30∘，直线AF 2与椭圆C 相交于另一点B ．（1）求椭圆C 的离心率e ；（2）若ΔABF 1的周长为4√3，求椭圆C 的标准方程.5. 设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，离心率e =√22，已知以坐标原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线x -y +2=0相切． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过F 1的直线l 与椭圆相交于不同的两点A 、B ，若F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =6，求直线l 的方程．6. 已知椭圆x2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，且经过点M （2，1），直线y =12x -1与椭圆交于A ，B 两点．（1）求椭圆方程；（2）求线段AB 中点的横坐标．7. 椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)长轴为8离心率e =√32. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 内一点M (2,1)引一条弦，使弦被点M 平分，求这条弦所在的直线方程.8. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2=1(a >b >0)上一点与两焦点构成的三角形的周长为4＋2√3,离心率为√32. (1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 的右顶点和上顶点分别为A 、B ，斜率为12的直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点（点P 在第一象限）.若四边形APBQ 面积为√7，求直线l 的方程.9. 若椭圆经过两点(−32,52)，(√3,√5)，求椭圆的标准方程．10. 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线D 的渐近线方程为y =±√3x,且经过点(2,3),直线l:y =x −2交双曲线于A,B 两点，连结OA,OB ．（1）求双曲线方程； （2）求OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值.11.已知双曲线C的中心在原点，对称轴为坐标轴，根据下列条件分别求双曲线C的标准方程．(1)渐近线方程为y=±53x，且过点(3，10)；(2)与双曲线x2−y2=1的离心率相同，与x25+y2=1共焦点．12.（1）求焦点在x轴，焦距为4，并且经过点(52,−32)的椭圆的标准方程；（2）已知双曲线的渐近线方程为y=±12x，且与椭圆x210+y25=1有公共焦点，求此双曲线的方程．13.设椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P（a，b）满足|PF2|=|F1F2|．（1）求椭圆的离心率e；（2）设直线PF2与椭圆相交于A、B两点，若椭圆的长轴长为4√2，求△ABF1的面积．14.命题P：方程x2k−2+y2k−1=1表示双曲线，命题q：不等式x2-2x+k2-1＞0对一切实数x恒成立．（1）求命题P中双曲线的焦点坐标；（2）若命题“p且q”为真命题，求实数k的取值范围．15. 已知椭圆C 的右焦点为F （1，0），且点P(1，32)在椭圆上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知定点M （-4，0），直线y =kx +1与椭圆C 相交与A ，B 两点，若∠AMO =∠BMO （O 为坐标原点），求k 的值．16. 设F 1,F 2分别是椭圆E ：x 2a 2+yb22=1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A,B 两点，|AF 1|=3|BF 1|（1）若|AB |=4,ΔABF 2的周长为16，求|AF 2|； （2）若cos∠AF 2B =35，求椭圆E 的离心率.17. 已知椭圆C 与双曲线y 24−x 23=1有共同的焦点，椭圆C 的离心率为√74，点P(2,−3)与椭圆C 上的两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)构成的三角形△PAB 的面积为10，且OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求证：直线AB 过椭圆的顶点.18. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦距为4，且过点(−3,2√6)．(1)求双曲线方程和其渐近线方程；(2)若直线l:y =kx +2与双曲线C 有且只有一个公共点，求实数k 的取值范围．19.已知直线y=kx−1和双曲线C:x2−y2=1交于A,B两点.（Ⅰ）求实数k的取值范围；（Ⅱ）若k=−√62,求ΔAOB的面积.20.已知直线l：y=kx+1与双曲线C：3x2-y2=1．（1）当k=√3时，直线l与双曲线C的一渐近线交于点P，求点P到另一渐近线的距离；（2）若直线l与双曲线C交于A，B两点，若|AB|=4√3，求k的值．21.曲线C上的点M(x,y)到定点F(2,0)的距离和它到直线x=12的距离的比是常数2.（Ⅰ）求曲线C的轨迹的方程；（Ⅱ）直线l与曲线C交于A,B两点，且点P(1,3)为线段AB的中点，求直线l的方程.22.双曲线的方程是x24-y2=1．（1）直线l的倾斜角为π4，被双曲线截得的弦长为83√11，求直线l的方程；（2）过点P（3，1）作直线l′，使其被双曲线截得的弦恰被P点平分，求直线l′的方程．答案和解析1.【答案】解：（1）由离心率e =ca =√2，解得a =b ，设方程为x 2-y 2=λ，又双曲线过点(4，−√10)， ∴16-10=λ， 解得λ=6， ∴双曲线方程为x 26−y 26=1，（2）由点（3，m ）在双曲线上，得96−m 26=1，解得m =±√3，又|F 1F 2|=2c =2√a 2+b 2=4√3，所以△MF 1F 2的面积为S =12×4√3×√3=6．【解析】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用．解答的关键是对双曲线标准方程的理解和向量运算的应用，难度适中.（1）由离心率e =ca =√2，解得a =b ，设双曲线方程为x 2-y 2=λ，点代入求出参数λ的值，从而求出双曲线方程，（2）把点M （3，m ）代入双曲线，可解得m =±√3，即可得其面积．2.【答案】解：（Ⅰ）根据题意，双曲线的方程为x 23−y 2=1，其顶点为（±√3，0），焦点为（±2，0）， 则椭圆Cx 2a 2+y 2b 2=1的焦点为（±√3，0），顶点为（±2，0）， 则a =2，c =√3，则b =√a 2−b 2=1， 故椭圆的方程为x 24+y 2=1；（Ⅱ）根据题意，∠F 1PF 2=90°，即△F 1PF 2为直角三角形，则有{|PF 1|+|PF 2|=2a =4|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=12⇒|PF 1|⋅|PF 2|=2； 故△PF 1F 2的面积S =12|PF 1|⋅|PF 2|=1．【解析】本题考查椭圆的几何性质，涉及椭圆、双曲线的标准方程，属于中档题．（Ⅰ）根据题意，由双曲线的方程分析焦点、顶点坐标，即可得椭圆C 的焦点、顶点坐标，据此分析可得答案；（Ⅱ）根据题意，分析可得{|PF 1|+|PF 2|=2a =4|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=12，变形可得|PF 1|•|PF 2|的值，由三角形面积公式计算可得答案．3.【答案】解：(1)∵短轴长为6，∴b=3，∵离心率为√74，∴ca =√74，又∵a2=b2+c2，∴a=4，∴椭圆C1的标准方程为x216+y29=1或y216+x29=1；(2)∵双曲线与椭圆5x2+9y2=45有相同焦点，∴焦点坐标为（±2,0），又∵双曲线过点，∴2a=3√3−√3=2√3，即a=√3，∴b=1，∴双曲线C2的标准方程为x23−y2=1；【解析】本题考查圆锥曲线的标准方程，属于基础题.(1)由椭圆的性质得到b，由离心率得到a和c的关系，再由a2=b2+c2解得a，b，就求得椭圆方程；(2)求出椭圆的焦点得到c，再把点的坐标代入双曲线方程，结合a2+b2=c2，解得a和b，就求得双曲线方程;4.【答案】解：（1）设AF1=m，∵AF1⊥x轴，∠AF2F1=30°，∴AF2=2m，，由椭圆的定义及几何性质知2a=AF1+AF2=3m,2c=F1F2=√3m，e=2c2a =√3m3m=√33;（2）由△ABF1的周长为4√3得4a=4√3，∴a=√3，由（1）得c=1，b2=a2-c2=3-1=2，∴椭圆的标准方程为x23+y22=1.【解析】本题考查椭圆的方程的求法，椭圆的性质及三角形的周长，注意运用椭圆的定义，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力．（1）由已知条件及2a=PF1+PF2，2c=F1F2，直接求解即可；（2）由椭圆的定义及性质知：ΔABF1的周长等于4a=4√3，算出a，再由（1）得到c、b，从而求出椭圆标准方程.5.【答案】解：（Ⅰ）由椭圆的离心率e=ca =√1−b2a2=√22，则a=√2b，由b=√12+12=√2，则a=2，∴椭圆的标准方程为：x24+y22=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：椭圆的焦点F1（-√2，0），F2（√2，0），当直线l 斜率不存在时，则x =-√2，则A （-√2，1），B （-√2，-1），则F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-2√2，-1）（-2√2，1）=7≠6，不符合题意，舍去，当直线l 的斜率存在，且不为0，设直线l 的方程为：y =k （x +√2），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立{y =k(x +√2)x 24+y 22=1，消去y 得，（2k 2+1）x 2+4√2k 2x +4k 2-4=0， x 1+x 2=-4√2k22k 2+1，x 1x 2=4k 2−42k 2+1，y 1y 2=k 2（x 1+√2）（x 2+√2）=k 2（x 1x 2+√2（x 1+x 2）+2）=-2k 22k 2+1，则F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（x 1-√2，y 1）（x 2-√2，y 2）=x 1x 2-√2（x 1+x 2）+2+y 1y 2=4k2−4+8k 2−2k 22k 2+1+2=6，则k 2=4，解得：k =±2， ∴直线l 的方程为y =±2（x +√2）．【解析】（Ⅰ）根据椭圆的离心率公式及点到直线的距离公式即可求得a 和b 的值，求得椭圆的方程；（Ⅱ）分类讨论，设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得k 的值，即可求得直线l 的方程．本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及向量的坐标运算，考查转化思想，属于中档题．6.【答案】解：（1）∵椭圆x 2a 2+y2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32， 且经过点M （2，1），∴{ a 2−b 2a 2=344a 2+1b 2=1，∴a 2=8，b 2=2， ∴椭圆方程方程为x 28+y 22=1；（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），线段AB 中点坐标为（a ，b ），则x 12+4y 12=8，x 22+4y 22=8，两式相减得 (x 1−x 2)(x 1+x 2)+4(y 1−y 2)(y 1+y 2)=0， 结合直线y =12x -1可得{4×(−12)=ab b =a2−1∴a =1，即线段AB 中点的横坐标为1．【解析】本题考查椭圆方程的求法和直线与椭圆位置关系的综合运用，考查点差法的运用，属于中档题． （1）由题意，椭圆经过点M （2，1），离心率为√32，建立方程组，求出a ，b ，由此可得椭圆的方程；（2）利用点差法，结合直线的斜率，即可求线段AB 中点的横坐标．7.【答案】解：（1）∵椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)长轴为8，离心率e ＝√32， ∴{2a =8c a=√32，∴a =4,c =2√3,b =√16−12=2， ∴椭圆C 的标准方程为x 216+y 24=1 ；（2）设所求直线方程为y -1=k （x -2），代入椭圆方程并整理得：（4k 2+1）x 2-8（2k 2-k ）x +4（2k -1）2-16=0， 又设直线与椭圆的交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则x 1，x 2是方程的两个根， ∴x 1+x 2=8(2k 2−k )4k 2+1，又M 为AB 的中点， ∴x 1+x 22=4(2k 2−k )4k 2+1=2，解得k =−12，故所求直线方程为x +2y -4=0.【解析】本题考查直线与圆锥曲线的关系，椭圆的标准方程，椭圆的简单性质. （1）由椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)长轴为8，离心率e ＝√32，得出{2a =8ca=√32，由此能求出椭圆C 的标准方程；（2）设所求直线方程为y -1=k （x -2），代入椭圆方程并整理得：（4k 2+1）x 2-8（2k 2-k ）x +4（2k -1）2-16=0，设直线与椭圆的交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=8(2k 2−k )4k 2+1，由M 为AB 的中点，知x 1+x 22=4(2k 2−k )4k 2+1=2，由此能求出直线方程.8.【答案】解：（1）由题设得2a +2c =4＋2√3，又e =√32=ca， 解得a =2,c =√3,∴b =1， 故椭圆ℎ(x)的方程为x 24+y 2=1.（2）设直线l 方程为：y =12x +m ， 代入椭圆C:x 24+y 2=1并整理得：x 2+2mx +2m 2−2=0，设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)，则{x 1+x 2=−2mx 1x 2=2m 2−2.∵|PQ|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√1+k 2|x 2−x 1|=√1+14⋅√(x 2+x 1)2−4x 1x 2=√52⋅√8−4m 2，B 到直线PQ 的距离为d 1=√5，A 到直线PQ 的距离为d 2=√5，又因为P 在第一象限, 所以−1<m <1，所以d 1+d 2=√5√5=√5，所以S APBQ =12(d 1+d 2)⋅PQ =√8−4m 2=√7， 解得m =±12，所以直线方程为y =12x ±12．【解析】本题考查椭圆的标准方程，弦长问题，涉及离心率，点到直线的距离公式，属中档题（1）根据焦点三角形的周长，利用椭圆的定义得到a +c 的值，结合离心率，求出a ,c 的值，进而得b ; （2）设直线l 方程为：y =12x +m ，联立方程组消去y 并整理得：x 2+2mx +2m 2−2=0，借助于韦达定理，利用弦长公式得到|PQ |,利用点到直线的距离公式得到A ,B 到直线PQ 的距离，进一步根据P 在第一象限，得出m 的取值范围，从而得出四边形APBQ 面积关于m 的函数表达式，并根据已知面积求得m 的值，即得所求直线的方程,由于包含了弦长问题，对应方程的判别式自然大于0，可免除检验.9.【答案】解：设椭圆方程为mx 2+ny 2=1（m,n >0,m ≠n ），由{m(−32)2+n(52)2=13m +5n =1, 得m =16,n =110， 所以，椭圆的方程为y 210+x 26=1．【解析】本题主要考查椭圆的标准方程，属于基础题.设椭圆的一般方程mx 2+ny 2=1（m,n >0,m ≠n ），把点代入解答即得.10.【答案】解： （1）设双曲线方程为mx 2−ny 2=1,由双曲线渐近线方程为y =±√3x,且经过点(2,3),可得{mn=34m −9n =1,解得m =1,n =13, 故双曲线方程为x 2−y 23=1（2）联立{y =x −2x 2−y 23=1得2x 2+4x −7=0 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−2，x 1x 2=−72 y 1y 2=(x 1−2)(x 2−2)=x 1x 2−2(x 1+x 2)+4=−72+4+4=92∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ •OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=−72+92=1.【解析】本题考查了双曲线方程，直线与双曲线方程的位置关系.（1）设双曲线方程为mx 2−ny 2=1,由题意可得{mn =34m −9n =1，解得m ,n 即可得双曲线方程.(2)联立{y =x −2x 2−y 23=1得2x 2+4x −7=0,设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，结合韦达定理和数量积的运算可得答案.11.【答案】解：（1）设双曲线的方程为x 29−y 225=λ(λ≠0)，将点(3，10)代入可得99−10025=−3=λ，故双曲线的方程为x29−y225=−3，即双曲线C的标准方程为y275−x227=1．（2）由题意知双曲线C的离心率为√2，焦点坐标为(-2，0)，(2，0)，所以可设双曲线C的标准方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，则a2+b2=4，√a2+b2a=√2，解得a2=b2=2，所以双曲线C的标准方程为x22−y22=1．【解析】本题考查双曲线的标准方程.几何意义.12.【答案】解：（1）设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，两焦点坐标分别为(2,0),(-2,0)，由椭圆定义知2a=√(52+2)2+(−32)2+√(52−2)2+(−32)2=2√10，得a=√10，又因为c=2，所以b2=a2−c2=10−4=6，故所求椭圆标准方程为x210+y26=1．（2）设双曲线方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，因为椭圆的焦点为(√5,0),(−√5,0)，所以双曲线的半焦距c=√5，由题意知ba =12，所以a2=4b2，又c2=a2+b2，故5b2=5，所以b2=1,a2=4，所以双曲线的方程x24−y2=1．【解析】本题考查椭圆的概念及标准方程、双曲线的性质及及几何意义的知识点，属于基础题.（1）设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，两焦点坐标分别为(2,0),(-2,0)，由椭圆定义得到a的值，从而得到椭圆的标准方程；（2）设双曲线方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，根据椭圆的焦点得到双曲线的半焦距，再根据已知条件得到答案.13.【答案】解：（1）∵椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P（a，b），|PF2|=|F1F2|，∴√(a−c)2+b2=2c，可得a2-2ac+c2+a2-c2=4c2，e=ca，∴2e2+e-1=0，又∵e∈(0，1)∴e=12．（2）∵2a=4√2∴a=2√2又∵e=12∴c=√2，∵b2=a2-c2=6∴椭圆的方程为x28+y26=1，∴AB方程为：y=√3x−√6设A（x1，y1），B（x2，y2），联立{y=√3x−√63x2+4y2=24得：5y2+2√6y+8=0，∴y1+y2=−2√65，y1y2=−185，∴S△ABF1=12F1F2⋅|y1−y2|=√2√(y1+y2)2−4y1y2=16√35．△ABF1的面积为：16√35．【解析】（1）利用已知条件，结合椭圆的性质，求解椭圆的离心率即可．（2）利用椭圆的长轴长求出a，得到c，然后求解b，求出椭圆方程，求出AB的方程，联立直线与椭圆的方程，通过韦达定理，转化求解三角形的面积．本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆的标准方程的求法，椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．14.【答案】解：（1）因为k-1＞k-2，所以a2=k-1，b2=k-2…（2分）所以c2=1，且焦点在y轴上，…（4分）所以双曲线的焦点坐标为（0，±1）．…（6分）（2）命题p：（k-2）（k-1）＜0，1＜k＜2；…（8分）命题q：△=4-4（k2-1）＜0，k＜-√2或k＞√2．…（10分）因为命题“p且q”为真命题，所以{1＜k＜2k＜−√2或k＞√2即√2＜k＜2．…（14分）（注：若第（1）问分类讨论答案对也算对）【解析】（1）直接利用双曲线方程为x2k−2+y2k−1=1，可得a2=k-1，b2=k-2以及焦点在y轴上；再利用a，b，c之间的关系求出c即可求出结论．（2）命题p为真命题，得方程x2k−2+y2k−1=1表示双曲线，说明x2的分母与y2的分母的积为负数．联列不等式组，解之即得实数k的取值范围；再利用根的判别式找出命题q真时，实数k的取值范围，再由p∧q 为真命题，说明“p真q真”成立，可得实数k的取值范围．本题以命题真假的判断为载体，着重考查了双曲线的标准方程和一元二次不等式的解集等知识点，属于基础题．15.【答案】（1）由题意得椭圆两焦点分别为（-1，0），（1，0），又因为M(1，32)在椭圆上，所以2a=|MF1|+|MF2|=√(1+1)2+94+32=4，即a=2，又因为c=1，所以b2=a2-c2=3，所以椭圆的方程是x24+y23=1；（2）若∠AMO=∠BMO，则k MA+k MB=0．设A（x1，kx1+1），B（x2，kx2+1），∴kx1+1 x1+4+kx2+1x2+4=0即2kx1x2+（4k+1）（x1+x2）+8=0．联立{y=kx+1x24+y23=1，消去y得到（3+4k2）x2+8kx-8=0，∴x1+x2=−8k3+4k2，x1x2=−83+4k2，∴−16k 3+4k2+(4k+1)−8k3+4k2+8=0，即-16k-32k2-8k+24+32k2=0，∴k=1．【解析】（1）由题可知焦点坐标分别为（1，0），（-1，0），根据椭圆定义得MF1+MF2=2a，求出a，b；（2）∠AMO=∠BMO，得k MA+k MB=0．设A（x1，kx1+1），B（x2，kx2+1），则kx1+1x1+4+kx2+1x2+4=0，联立{y=kx+1x24+y23=1，消去y得到（3+4k2）x2+8kx-8=0，再利用韦达定理代入求出k即可．本题考查椭圆标准方程，涉及直线与椭圆的位置关系等知识点，属于中档题．16.【答案】解:(1)∵|AB|=4，|AF1|=3|F1B|，∴|AF1|=3，|F1B|=1，∵△ABF2的周长为16，∴4a=16，∴|AF1|+|AF2|=2a=8，∴|AF2|=5；(2)设|F1B|=k（k＞0），则|AF1|=3k，|AB|=4k，∴|AF2|=2a−3k，|BF2|=2a−k，∵cos∠AF2B=35，在△ABF2中，由余弦定理得，|AB|2=|AF2|2+|BF2|2−2|AF2|•|BF2|cos∠AF2B，∴（4k）2=（2a−3k）2+（2a−k）2−65（2a−3k）（2a−k），化简可得（a+k）（a−3k）=0，而a+k＞0，故a=3k，∴|AF2|=|AF1|=3k，|BF2|=5k，∴|BF2|2=|AF2|2+|AB|2，∴AF1⊥AF2，∴△AF1F2是等腰直角三角形，∴c=√22a，∴e=ca =√22．【解析】本题考查了椭圆的概念及标准方程、几何性质和余弦定理，考查计算能力，属中档题.(1)利用|AB|=4，△ABF 2的周长为16，|AF 1|=3|F 1B|，结合椭圆的定义，即可求|AF 2|；(2)设|F 1B|=k （k ＞0），则|AF 1|=3k ，|AB|=4k ，由cos∠AF 2B =35，利用余弦定理，可得a =3k ，从而△AF 1F 2是等腰直角三角形，即可求椭圆E 的离心率.17.【答案】解：（1）∵双曲线y 24−x23=1的焦点坐标为（0，±√7），∴c =√7， 设椭圆C 的方程为y 2a2+x 2b2=1，（a ＞b ＞0），由e =ca =√7a=√74，解得a =4，则b =3，∴椭圆C 的标准方程为x 29+y 216=1．证明：（2）∵OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又k OP =-32，∴k AB =23， 设AB 的方程为y =23x +m ，由{y =23x +m x 29+y 216=1，得16x 2+9（23x +m ）2-144=0，即20x 2+12mx +9m 2-144=0， ∵A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， ∴x 1+x 2=−35m ，x 1x 2=9m 2−14420，|AB |=√(1+49)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=√139×(925m 2−4×9m2−14420)=25√13(20−m 2)，点P 到AB 的距离d =√13=√13，∴△PAB 的面积S △PAB =12×√13×25√13(20−m 2)=10， ∴|13+3m |√20−m 2=50，解得m =4， ∴直线AB 的方程为y =23x +4， ∴直线AB 过椭圆的顶点（0，4）．【解析】（1）由椭圆C 与双曲线y 24−x 23=1有共同的焦点，椭圆C 的离心率为√74，列方程求出a =4，b =3，由此能求出椭圆C 的标准方程．（2）由OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而k AB =23，设AB 的方程为y =23x +m ，由{y =23x +m x 29+y 216=1，得20x 2+12mx +9m 2-144=0，由此利用韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形面积公式，推导出直线AB 的方程为y =23x +4，由此能证明直线AB 过椭圆的顶点（0，4）．本题考查椭圆的标准方程的求法，考查直线过椭圆的顶点坐标的证明，考查椭圆、直线方程、韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18.【答案】解：(1)由题意得{a 2+b 2=49a 2−24b 2=1 ,解得{a 2=1b 2=3， ∴双曲线方程为x 2−y 23=1，其渐近线方程为y =±√3x ；(2)由{y =kx +2x 2−y 23=1 ,得(3－k 2)x 2－4kx －7＝0，由题意得{3−k 2≠0Δ=16k 2+28(3−k 2)=0， ∴k 2＝7，∴k ＝±√7 ，当3－k 2=0时，直线l 与双曲线C 的渐近线y =±√3x 平行， 即k =±√3时，直线l 与双曲线C 只有一个公共点， 综上，k =±√7或k =±√3.【解析】本题考查直线与双曲线的位置关系，考查计算能力．（1）由双曲线的焦距及双曲线一点，联立方程组，求出a 和b ，可得双曲线C 的方程与渐近线方程． （2）联立直线与双曲线的方程组，通过消元，利用方程解的个数，求出k 的值即可． 19.【答案】解：（Ⅰ）因为双曲线C 与直线有两个不同的交点, 则方程组{x 2−y 2=1y =kx +1有两个不同的实数根,整理得(1-k 2)x 2+2kx -2=0,∴ {1−k 2≠0Δ=4k 2+8(1−k 2)>0, 解得−√2<k <√2且k ≠±1，故双曲线C 与直线有两个不同的交点时, k 的取值范围是(-√2,-1)∪(-1,1)∪(1,√2)； （Ⅱ）当k =−√62,直线方程为y =−√62x −1，联立{x 2−y 2=1y =−√62x −1,消去y ，可得x²+2√6x +4=0，△>0 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=−2√6,x 1x 2=4，所以|AB |=√1+k²×√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√5,圆心O 到直线y =−√62x −1距离为d =√1+32=√25， 所以ΔAOB 的面积12×√25×2√5=√2.【解析】本题考查直线与双曲线的位置关系，考查点到直线的距离，涉及弦长公式，属于中档题.（Ⅰ）直线方程和双曲线方程联立，消去y ，利用△>0求解即可；（Ⅱ）利用弦长公式求出|AB |,再利用点到直线的距离公式求出AB 边上的高，代入面积公式求解.20.【答案】（1）解：双曲线C ：3x 2-y 2=1渐近线方程为y =±√3x ．由{y =√3x +1y =−√3x得P （-√36，12）则P 到y =√3x 的距离为d =12−√3×(−√36)√1+3=12；（2）解：联立方程组{y =kx +13x 2−y 2=1，消去y 得（3-k 2）x 2-2kx -2=0， ∵直线与双曲线有两个交点，∴{3−k 2≠0△=4k 2+8(3−k 2)>0，解得k 2＜6且k 2≠3， ．x 1x 2=−23−k 2，x 1+x 2=2k3−k 2|AB |=√1+k 2|x 1-x 2|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2 =2√−k 4+5k 2+6√(k 2−3)2=4√3 （k 2＜6且k 2≠3）．k 4-77k 2+102=0， 解得k 2=2，或k 2=5113，∴k =±√2，k =±√66313．【解析】（1）写出双曲线C ：3x 2-y 2=1渐近线方程，求得P （-√36，12），即可求P 到y =√3x 的距离．（2）直接联立直线与双曲线方程，化为关于x 的一元二次方程，利用根与系数关系求得两交点A ，B 的横坐标的和与积，由弦长公式求得弦长；本题主要考查了直线与双曲线的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，是中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）由题意有，√(x−2)2+(y−0)2|12−x|=2，将上式两边平方，并化简得，3x 2−y 2=3，即x 2−y 23=1，所以曲线C 的轨迹的方程为x 2−y 23=1;（Ⅱ）设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则有x 12−y 123=1, x 22−y 223=1，两式相减得x 12− x 22=y 12−y 223，即有(x 1+x 2)(x 1−x 2)=(y 1+y 2)(y 1−y 2)3,所以，k =y 1−y2x 1−x 2=3(x 1+x 2)y 1+y 2，又因为点P(1,3)为线段AB 的中点， 所以x 1+x 2=2,y 1+y 2=6故k =1，所以直线l 得方程为y −3=x −1，即x −y +2=0【解析】本题考查轨迹方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查弦长的计算，正确求出双曲线的方程是关键,考查推理能力和计算能力，属于中档题.（Ⅰ）利用点M(x,y)到定点F(2,0)的距离和它到直线x =12的距离的比是常数2，建立方程，化简可得结论； （Ⅱ）利用点差法即可求解.22.【答案】解 （1）设直线l 的方程为y =x +m ，代入双曲线方程，得3x 2+8mx +4（m 2+1）=0，△=（8m ）2-4×3×4（m 2+1）=16（m 2-3）＞0， ∴m 2＞3．设直线l 与双曲线交于A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点， 则x 1+x 2=-83m ，x 1x 2=4(m 2+1)3．由弦长公式|AB |=√1+k 2|x 1-x 2|，得√2⋅√(−83m)2−16(m2+1)3=83√11，∴4√2⋅√m2−33=83√11，即m =±5，满足m 2＞3，∴直线l 的方程为y =x ±5． （2）设直线l ′与双曲线交于A ′（x 3，y 3）、B ′（x 4，y 4）两点， 点P （3，1）为A ′B ′的中点，则x 3+x 4=6，y 3+y 4=2．由x 32−4y 32=4，x 42−4y 42=4， 两式相减得（x 3+x 4）（x 3-x 4）-4（y 3+y 4）（y 3-y 4）=0， ∴y 3−y 4x 3−x 4=34，∴l ′的方程为y -1=34（x -3），即3x -4y -5=0． 把此方程代入双曲线方程，整理得5y 2-10y +114=0， 满足△＞0，即所求直线l ′的方程为3x -4y -5=0．【解析】（1）设直线l 的方程为y =x +m ，代入双曲线方程，得3x 2+8mx +4（m 2+1）=0，利用判别式的符号，设直线l 与双曲线交于A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点，利用韦达定理，弦长公式，转化求解即可． （2）设直线l ′与双曲线交于A ′（x 3，y 3）、B ′（x 4，y 4）两点，通过平方差法转化求解即可． 本题考查直线与双曲线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．。
椭圆双曲线练习题参考答案
椭圆练习题参考答案一、选择题：ACDD ADBD BBDC二、 填空题13、3或31614、 4 ， 1 15、5382 16、121425422=+y x三、解答题 17、3)(x 15922±≠=+y x 18、解：（1）当为长轴端点时，，， 椭圆的标准方程为：；（2）当 为短轴端点时，，，椭圆的标准方程为：；19、设椭圆：12222=+by ax （a ＞b ＞0），则a 2＋b 2=50…① 又设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），弦AB 中点（x 0，y 0） ∵x 0=21，∴y 0=23－2=－21由220022212122221222212222222212213311b a y x b a x x y y k b x x a y y b x ay b x a y AB =⇒=•-=--=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-⇒=+=+…② 解①，②得：a 2=75，b 2=25，椭圆为：257522x y +=120、 ∵e 2==ba ab a b a243)(12222=⇒=-=- ∴椭圆方程可设为：)0(142222 b b y b x =+设A （x ，y ）是椭圆上任一点，则：│PA │2=x 2+（y －23）2=－3y 2－3y+4b 2+49∆f （y ）（－b ≤y ≤b ） 讨论：1°、－b ＞－21⇒0＜b ＜21时，│PA │2max = f （－b ）=（b ＋23）2=237)7(2-=⇒b但b ＞21，矛盾。
不合条件。
2°、－b ≤－21⇒b ≥21时，│PA │2max = f （－21）=4b 2+3=7⇒ b 2=1∴所求椭圆为：1422=+y x双曲线练习答案一、选择题CBCCD AACCA 二、填空题11、4 ， ()),， ()()2,0,2,0-，， y x =。
12、2212016y x -=。
13、 -1 。
高二数学椭圆双曲线练习题
高二数学椭圆双曲线练习题1. 已知椭圆的焦点F₁、F₂分别为(-2,0)和(2,0)，离心率为3/4。
求椭圆的方程。
解答：设椭圆的长轴为2a，短轴为2b，则焦距为2ae。
根据离心率的定义可知 3/4 = ae/a，化简得 e = 3/4。
椭圆的方程为：(x + 2)² / a² + y² / b² = 12. 求椭圆 9x² + 25y² - 90x + 450y + 729 = 0 的标准方程，并求出椭圆的离心率和焦距。
解答：将方程展开得：9(x - 5)² + 25(y + 9)² = 144标准方程为：(x - 5)² / 16 + (y + 9)² / 9 = 1由方程可知，a = 4，b = 3。
因此，离心率e = √(1 - b²/a²) = √(1 - 9/16) = √(7/16) = √7/4。
焦距f = √(a² - b²) = √(16 - 9) = √7。
3. 求椭圆 4x² + 25y² + 8x - 150y - 44 = 0 的标准方程，并求出椭圆的离心率和焦距。
解答：将方程展开得：4(x + 1)² + 25(y - 3)² = 400标准方程为：(x + 1)² / 100 + (y - 3)² / 16 = 1由方程可知，a = 10，b = 4。
因此，离心率e = √(1 - b²/a²) = √(1 - 16/100) = √(84/100) = √21/10。
焦距f = √(a² - b²) = √(100 - 16) = √84 = 2√21。
4. 求双曲线 25x² - 9y² + 50x - 18y = 9 的标准方程，并判断其所属类型。
椭圆和双曲线练习题及答案
圆锥曲线测试题一、选择题1已知椭圆125222=+y ax )5(>a 的两个焦点为1F 、2F ，且8||21=F F ，弦AB 过点1F ，则△2ABF 的周长为（ ）（A ）10 （B ）20 （C ）241（D ） 4142椭圆13610022=+y x 上的点P 到它的左准线的距离是10，那么点P 到它的右焦点的距离是（ ）（A ）15 （B ）12 （C ）10 （D ）83椭圆192522=+y x 的焦点1F 、2F ，P 为椭圆上的一点，已知21PF PF ⊥，则△21PF F 的面积为（ ）（A ）9 （B ）12 （C ）10 （D ）84 如果椭圆193622=+y x 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） （A ）02=-y x （B ）042=-+y x （C ）01232=-+y x （D ）082=-+y x5 中心在原点，焦点在y 轴的椭圆方程是 22sin cos 1x y αα+= ，(0,)2πα∈，则 α∈ （ ） A ．(0,)4πB ．(0,]4πC ．(,)42ππD ．[,)42ππ6、已知方程ax2-ay2=b,且a 、b 异号，则方程表示（ ） A 、焦点在x 轴上的椭圆 B 、焦点在y 轴上的椭圆 C 、焦点在x 轴上的双曲线 D 、焦点在y 轴上的双曲线二、填空题6. 与椭圆22143x y +=具有相同的离心率且过点（2，的椭圆的标准方程是 。
7.离心率35=e ，一条准线为3=x 的椭圆的标准方程是 。
8.如图，F 1，F 2分别为椭圆22221x y a b+=的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2的值是 .三、解答题9. 已知椭圆C 的焦点F 1（－22，0）和F 2（22，0），长轴长6，设直线2+=x y 交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标。
10．已知一动直线2y x m =+与椭圆224936x y +=相交于A 、B 两点，动弦AB 的中点为 M ，求动点M 的轨迹方程。
椭圆、双曲线测试含答案
椭圆、双曲线测试（含答案）一、单选题1．已知双曲线C 与椭圆E ：221925x y +=有共同的焦点，它们的离心率之和为145，则双曲线 C 的标准方程为 A ．221124x y -=B ．221412x y -=C ．221412y x -=D ．221124y x -=【答案】C 【解析】 【分析】由椭圆方程求出双曲线的焦点坐标，及椭圆的离心率，结合题意进一步求出双曲线的离心率，从而得到双曲线的实半轴长，再结合隐含条件求得双曲线的虚半轴长得答案． 【详解】由椭圆221925x y +=，得225a =，29b =， 则22216c a b =-=，∴双曲线与椭圆的焦点坐标为()10,4F -，()20,4F ， ∴椭圆的离心率为45，则双曲线的离心率为144255-=． 设双曲线的实半轴长为m ，则42m=，得2m =， 则虚半轴长224223n -= ∴双曲线的方程是221412y x -=． 故选C ． 【点睛】本题考查双曲线方程的求法，考查了椭圆与双曲线的简单性质，是中档题． 2．已知椭圆22143x y +=，F 是椭圆的左焦点，P 是椭圆上一点，若椭圆内一点A (1,1)，则PA PF +的最小值为（ ） A ．3B 10C 152D 51【答案】A 【解析】【分析】由椭圆定义把PF 转化为P 到右焦点的距离，然后由平面上到两定点的距离之差最小的性质可得. 【详解】设椭圆的右焦点为2F (1,0)，21AF =，22||||||4||4||||PA PF PA PF PA PF +=+-=+-， 又2||||PA PF -≤2||AF ，222||||||||AF PA PF AF --≤≤，当2P A F ，，三点共线时取等号，||||PA PF +的最小值为3（取最小值时P 是射线2F A 与椭圆的交点）， 故选：A.3．“01t <<”是“曲线2211x y t t+=-表示椭圆”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据曲线表示椭圆，可求得t 的范围，根据充分、必要条件的定义，即可得答案. 【详解】因为曲线2211x y t t+=-为椭圆， 所以0101t t t t>⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，解得01t <<且12t ≠，所以“01t <<”是“01t <<且12t ≠”的必要而不充分条件. 故选：B4．已知1F ､2F 是椭圆C ：22221x ya b+=(0a b >>)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且12PF PF ⊥.若12PF F △的面积为9，则b =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【解析】 【分析】根据12PF F △的面积以及该三角形为直角三角形可得1218PF PF ⋅=，22212||||4PF PF c +=，然后结合12||||2PF PF a +=，简单计算即可.【详解】依题意有12||||2PF PF a +=，所以2121222|||||2||4|PF PF PF PF a +⋅+=又12PF PF ⊥，1212192PF F S PF PF =⋅=△，所以1218PF PF ⋅=， 又22212||||4PF PF c +=，可得224364c a +=，即229a c -=，则3b =， 故选：B.5．如图，椭圆的中心在坐标原点,O 顶点分别是1212,,,A A B B ，焦点分别为12,F F ，延长12B F 与22A B 交于Р点，若12B PA ∠为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．⎫⎪⎪⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎫⎪⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】由题意，12B PA ∠就是22B A 与21F B 的夹角，所以22B A 与21F B 的夹角为钝角，从而有22210B A F B ⋅<，结合222b a c =-即可求椭圆离心率的取值范围．【详解】解：由题意，设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a ，b ，c ，则22(,)B A a b =-，21(,)F B c b =--，因为12B PA ∠就是22B A 与21F B 的夹角，所以22B A 与21F B 的夹角为钝角， 所以22210B A F B ⋅<，即20ac b -+<，又222b a c =-，所以220a ac c --<，两边同时除以2a ，得210e e --<，即210e e +->，解得e e >，又01e <<，1e <<，所以椭圆离心率的取值范围为⎫⎪⎪⎝⎭，故选：D ． 二、填空题6．与双曲线221x y -=有相同的渐近线，且过点(1,2)的双曲线的标准方程为_________.【答案】22133y x -=【解析】 【分析】根据给定条件，设出所求双曲线的方程，利用待定系数法求解作答. 【详解】依题意，设双曲线方程为：22(0)x y λλ-=≠，于是得22123λ=-=-，则有223x y -=-，所以双曲线的标准方程为22133y x -=.故答案为：22133y x -=7．椭圆22110036x y +=上一点P 满足到左焦点1F 的距离为8，则12F PF ∆的面积是________.【答案】【解析】根据椭圆的定义再利用余弦定理求出12cos F PF ∠，最后由面积公式计算可得； 【详解】解：由椭圆的定义得12||||220PF PF a +==，18PF =，∴212PF =，22222212121212||||812161cos 281242PF PF F F F PF PF PF +-+-∠===-⨯⨯⋅，∴21n si F PF ∠==1218122PF F S =⨯⨯=△.故答案为：8．已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y+=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据椭圆的定义可得126MF MF +=，结合基本不等式即可求得12MF MF ⋅的最大值. 【详解】 ∴M 在椭圆C 上 ∴12236MF MF +=⨯=∴根据基本不等式可得126MF MF +=≥129MF MF ⋅≤，当且仅当123MF MF ==时取等号.故答案为：9.9．已知椭圆2214x y +=，过11,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭点作直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且点P 是AB的中点，则直线l 的方程是__________. 【答案】220x y +-= 【解析】 【分析】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，利用“点差法”、线段中点坐标公式、斜率计算公式即可得出． 【详解】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则221144x y +=，222244x y +=，12121212((4)0)))((x x x x y y y y ∴+-++-=．1(1,)2P 恰为线段AB 的中点，即有122x x +=，121y y +=，1212()2()0x x y y ∴-+-=，∴直线AB 的斜率为121212y y k x x -==--， ∴直线AB 的方程为11(1)22y x -=--， 即220x y +-=．由于P 在椭圆内，故成立． 故答案为：220x y +-=． 三、解答题10．已知定点(1,0)F ，动点(,)(0)P x y x ≥到点F 的距离比它到y 轴的距离大1． (1)求动点P 的轨迹方程；(2)过(1,2)Q 的直线1l ，2l 分别与点P 的轨迹相交于点M ，N （均异于点Q ），记直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，若120k k +=，求证：直线MN 的斜率为定值．【答案】(1)24y x =； (2)证明见解析. 【解析】 【分析】（1||1x =+，整理即可得轨迹方程.（2）根据题设令11(,)M x y 、22(,)N x y ，1l 为2(1)y k x -=-，2l 为2(1)y k x -=--，联立抛物线方程求,M N 的坐标，再应用两点式求MN k 即可证结论. (1)||1x =+，则22(||)y x x =+，又0x ≥， ∴24y x =，故动点P 的轨迹方程为24y x =. (2)由题设，令1l 为2(1)y k x -=-，2l 为2(1)y k x -=--，1l 联立抛物线，可得：22222(22)(2)0k x k k x k --++-=，若11(,)M x y ，22(,)N x y ，∴212()k x k -=，则142y k =-，同理可得222()k x k +=，则242y k=--，∴2121818MNy yk k x x k--===--，为定值.11．已知椭圆C 的标准方程为：22221(0)x y a b a b +=>>，若右焦点为F且离心率为（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是C 上的两点，直线MN 与曲线222x y b +=相切且M ，N ，F 三点共线，求线段MN 的长．【答案】（1）2213x y +=；（2【解析】 【分析】（1）根据椭圆的焦点、离心率求椭圆参数，写出椭圆方程即可.（2）由（1）知曲线为221(0)x y x +=>，讨论直线MN 的存在性，设直线方程联立椭圆方程并应用韦达定理求弦长即可. 【详解】（1）由题意，椭圆半焦距c =c e a =，则a =2221b a c =-=， ∴椭圆方程为2213x y +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不合题意：当直线MN 的斜率存在时，设()11,M x y ，()22,N x y 又M ，N ，F 三点共线，可设直线:(MN y k x =，即0kx y -=，由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，解得1k =±，联立22(13y x x y ⎧=±⎪⎨+=⎪⎩，得2430x -+=，则12x x +=，1234x x ⋅=，∴||MN ==12．双曲线221124x y -=，1F ､2F 为其左右焦点，C 是以2F 为圆心且过原点的圆.(1)求C 的轨迹方程；(2)动点P 在C 上运动，M 满足12F M MP =，求M 的轨迹方程. 【答案】(1)22(4)16x y -+= (2)22464()39x y -+=【解析】 【分析】（1）由双曲线的右焦点作为圆心，以半焦距为半径的圆，可以直接写出圆的标准方程即可.（2）求解轨迹方程求谁设谁，设(,)M x y ，00)(P x y ，用点M 的坐标表示点P 的坐标，带入方程即可得到答案. (1)由已知得212a =，24b=，故4c =，所以1(4,0)F -､2(4,0)F ， 因为C 是以2F 为圆心且过原点的圆，故圆心为(4,0)，半径为4， 所以C 的轨迹方程为22(4)16x y -+=； (2)设动点(,)M x y ，00)(P x y ，， 则1(4,)F M x y =+，00(,)MP x x y y =--，由12F M MP =，得(4x +，0)2(y x x =-，0)y y -， 即0042()2()x x x y y y +=-⎧⎨=-⎩，解得0034232x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因为点P 在C 上，所以2200(4)16x y -+=， 代入得22343(4)()1622x y+-+=， 化简得22464()39x y -+=.13．已知双曲线2214x y -=，P 是双曲线上一点.(1)求证：点P 到双曲线两条渐近线的距离的乘积是一个定值.(2)已知点(3,0)A ，求PA 的最小值. 【答案】(1)证明见解析【解析】 【分析】（1）根据题意求得11(,)P x y 到两条渐近线的距离分别为1d =2d =得到22112154d d x y -⋅=，结合双曲线的定义，即可求解.（2）设P 的坐标为(,)x y ，求得2225124(3)()455PA x y x =-+=-+，结合2x ≥，即可求解. (1)证明：设11(,)P x y 是双曲线2214x y -=上的任意一点，则221144x y -=， 该双曲线的两条渐近线方程分别为20x y -=和20x y +=，点11(,)P x y 到两条渐近线的距离分别为1d =和2d =则2211124554y x d d -⋅===， 所以点P 到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数. (2)解：设P 的坐标为(,)x y ，则()()22222251243314455x PA x y x x ⎛⎫=-+=-+-=-+ ⎪⎝⎭，因为2x ≥，所以当125x =时，2PA 的最小值为45，即PA。
椭圆、双曲线测试题(含答案)
椭圆、双曲线测试题(含答案)章末综合测评(二)：圆锥曲线与方程本次测评共分为一、二两大题，时间为120分钟，满分150分。
一、选择题1.椭圆 $x^2+my^2=1$ 的焦点在 $y$ 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则 $m$ 的值是（）A。
1.B。
2.C。
4.D。
11/4解析：由题意可得 $2=2\times2$，解得 $m=11/4$。
故选D。
2.下列双曲线中，渐近线方程为 $y=\pm2x$ 的是（）A。
$x^2-4y=1$。
B。
$4x^2-y=1$。
C。
$x^2-2y=1$。
D。
$2x^2-y=1$解析：由渐近线方程为 $y=\pm2x$，可得 $2=\pm x$，所以双曲线的标准方程可以为 $x^2/4-y^2/1=1$ 或 $-x^2/4+y^2/1=1$，舍去 C。
故选 A。
3.若双曲线 $a^2-b^2=1$ 的一条渐近线经过点 $(3,-4)$，则此双曲线的离心率为（）A。
$\sqrt{3}/5$。
B。
$4/3$。
C。
$\sqrt{5}/3$。
D。
$3/2\sqrt{2}$解析：由双曲线的渐近线过点 $(3,-4)$，知 $a=3$，又$b^2=c^2-a^2=16-9=7$，故$e=\sqrt{1+b^2/a^2}=\sqrt{16/9+7/9}=\sqrt{23}/3$，故选 D。
4.平面内有定点 $A$、$B$ 及动点 $P$，设命题甲是“$|PA|+|PB|$ 是定值”，命题乙是“点 $P$ 的轨迹是以 $A$、$B$ 为焦点的椭圆”，那么甲是乙的（）A。
充分不必要条件。
B。
必要不充分条件。
C。
充要条件。
D。
既不充分也不必要条件解析：点 $P$ 在线段 $AB$ 上时，$|PA|+|PB|$ 是定值，但点 $P$ 的轨迹不一定是椭圆，反之成立，故选 B。
5.已知动圆 $E$ 与圆 $A$：$(x+4)^2+y^2=2$ 外切，与圆$B$：$(x-4)^2+y^2=2$ 内切，则动圆圆心 $E$ 的轨迹方程是（）A。
椭圆、双曲线、抛物线习题(有答案)
1．双曲线222x y -=的焦距为（ ）A. 1B. 4C. 2D. 2．抛物线22y x =的焦点坐标是（ ）A. 102⎛⎫ ⎪⎝⎭，B. 102⎛⎫ ⎪⎝⎭，C. 108⎛⎫ ⎪⎝⎭，D 108⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 3．椭圆22143x y +=的焦距为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 44．双曲线2214x y -=的渐近线方程为（ ）A. 2xy =±B. 2y x =±C. 2y x =±D. y = 5．方程22121x y m m +=-为椭圆方程的一个充分不必要条件是（ ） A. 12m >B. 12m >且1m ≠ C. 1m > D. 0m >6且过点()2,0的椭圆的标准方程是( ) A. 2214x y += B. 2214x y +=或2214y x += C. 2241x y += D.2214x y +=或221416x y +=7．若点(P m 为椭圆22:12516x y C +=上一点，则m =（ ） A. 1± B. 12±C. 32±D. 52± 8．若坐标原点到抛物线2y mx = 的准线的距离为2 ，则m = （ ） A. 1+8 B. 1+4C. 4±D. 8±9．【2018届福建省福州市高三3月质量检测】已知双曲线 的两顶点间的距离为4，则的渐近线方程为( ) A.B.C.D.10．已知m 是2，8的等比中项，则圆锥曲线221y x m+=的离心率是（ ） A.32或52 B. 32 C. 5 D. 32或5 11．若圆22:2210M x y x y +-++=与x 轴的交点是抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，则p =（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 812．已知是椭圆：的左焦点，为上一点，，则的最大值为（ ）A.B. 9C.D. 1013.【2018届山东省泰安市高三上学期期末】若抛物线24x y =上的点A 到焦点的距离为10，则A 到x 轴的距离是_________.14．已知椭圆的两焦点坐标分别是()20-， 、()20， ，并且过点(233， ，则该椭圆的标准方程是__________．15．【2018届河北省武邑中学高三上学期期末】已知抛物线()220y px p =>的准线与圆()22316x y -+=相切，则p 的值为__________．16．【2018届北京市朝阳区高三第一学期期末】已知双曲线C 的中心在原点，对称轴为坐标轴，它的一个焦点与抛物线28y x =的焦点重合，一条渐近线方程为0x y +=，则双曲线C 的方程是________． 1.【答案】B【解析】双曲线的标准方程即： 22122x y -=，则：222222,4,2a b c a b c ==∴=+==， 双曲线的焦距为： 24c =. 本题选择B 选项. 2． 【答案】D【解析】转化为标准方程， 212x y =，所以焦点为10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选D.3．【答案】B【解析】在椭圆22143x y +=中， 224,3a b ==，所以21,1c c == ，故焦距22c =，选B.4．【答案】A【解析】Q 双曲线2214x y -=∴渐近线方程为2204x y -=，即2x y =±故选A . 5．【答案】C【解析】方程22121x y m m +=-表示椭圆的充要条件是0{210 21m m m m >->≠-，即12m >且1m ≠，所以方程22121x y m m +=-为椭圆方程的一个充分不必要条件是1m >，故选C.6．【答案】D【解析】当椭圆的焦点在x 轴上，设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由离心率为3，∴222214b a c a =-=∵椭圆过点（2，0），∴2222201a b +=，∴a2=4，∴b2=1，∴椭圆标准方程为2214x y += 当椭圆的焦点在y 轴上，同理易得： 221416x y += 故选D.7．【答案】D【解析】由题意可得： (22312516m+=，则： 22125,2544m m ==，据此可得： 52m =±. 本题选择D 选项. 8． 【答案】A9．【答案】B【解析】由双曲线的方程可知：，即，∴，解得： 令，得到 故选：B.10．【答案】D【解析】由m 是2，8的等比中项得2264m m =⨯∴=±因此当4m =时,342,413,,c a c e a ===-===当4m =-时, 1,415,5,ca c e a ==+===所以离心率是3或5,选D.11．【答案】B【解析】圆M 的方程中，令0y =有： 2210,1x x x -+=∴=，据此可得抛物线的焦点坐标为()1,0， 则： 1,22pp =∴=. 本题选择B 选项.12．【答案】A【解析】连接P 点和另一个焦点即为E ，=. 故答案为：A.13.【答案】9【解析】根据抛物线方程可求得焦点坐标为()0,1，准线方程为1y =-∵抛物线24x y =上的点A 到焦点的距离为10 ∴点A 到x 轴的距离是1019-= 故答案为9.14．【答案】2211612x y +=15．【答案】2【解析】抛物线的准线为2p x =-，与圆相切，则342p+=， 2p =．16．【答案】22122x y -=【解析】抛物线28y x =的焦点坐标为20（，），所以双曲线C 的右焦点坐标为20（，），因为双曲线的一条渐近线方程为0x y +=，所以a b = ，所以224a a += ，所以22a = ，所以双曲线方程为22122x y -=．。
椭圆、双曲线测试题参考答案
椭圆、双曲线测试题一． 选择题（每题5分，共60分）1. 椭圆192522=+y x 上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ） A.5 B.6 C.4 D.102. 椭圆11692522=+y x 的焦点坐标是（ ） A.(±5，0) B.(0，±5) C.(0，±12) D.(±12，0)3.已知椭圆的方程为18222=+my x ，焦点在x 轴上，则其焦距为（ ） A.228m - B.2m -22 C.282-m D.222-m4.已知椭圆方程为1112022=+y x ,那么它的焦距是 （ A.6 B.3 C.331 D.31 .5 椭圆：4422=+y x 的准线方程为：（ ） A. 334±=x B. 433±=x C. 334±=y D. 433±=y 6. 设双曲线191622=-y x 上的点P 到点)0,5(的距离为15，则P 点到)0,5(-的距离是（ ） A ．7 B.23 C.5或23 D.7或237. 椭圆134222=+n y x 和双曲线116222=-y nx 有相同的焦点，则实数n 的值是 （） A 5± B 3± C 5 D 98. 若方程ak 4y a k 3x 22-++=1表示双曲线，其中a 为负常数，则k 的取值范围是( ) (A)(3a ,-4a ) (B)(4a ,-3a ) (C)(-3a ,4a ) (D)(-∞,4a )∪(-3a ,+∞)9. 双曲线2kx 2-ky 2=1的一焦点是F(0，4)，则k 等于 ( )(A)-3/32 (B)3/32 (C)-3/16 (D)3/1610. 下列方程中，以x±2y=0为渐近线的双曲线方程是 ( )12)(12)(1164)(1416)(22222222=-=-=-=-y x D y x C y x B y x A 11. 双曲线22134x y -=的两条准线间的距离等于（ ） （A ）767 （B ）737 （C ）185 （D ）165 12.方程1)42sin(322=+-παy x 表示椭圆，则α的取值范围是（ ） .838παπ≤≤- Ｂ.k k k (838ππαππ+<<-∈Ｚ） Ｃ.838παπ<<- Ｄ. k k k (83282ππαππ+<<-∈Ｚ） 二． 填空题（每题5分，共20分）13. 1,6==c a ,焦点在x 轴上的椭圆的标准方程是14. 方程11222=--m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是___ 15.过点A （-1，-2）且与椭圆19622=+y x 的两个焦点相同的椭圆标准方程是____16 已知21,F F 是双曲线191622=-y x 的焦点，PQ 是过焦点1F 的弦，且PQ 的倾斜角为600，那么PQ QF PF -+22的值为________ 三．解答题：（ 第17题10分，第18---22题每题12分）17. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴两个焦点坐标分别是(0，-4)、（0，4），椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10；⑵两个焦点坐标分别是（－2，0）和（2，0）且过（25，23-）18. 已知双曲线两个焦点的坐标为)0,5()0,5(21F F ，-，双曲线上一点P 到)0,5()0,5(21F F ，-的距离之差的绝对值等于8，求双曲线标准方程19. 求双曲线1422=-y x 的顶点坐标、焦点坐标，实半轴长、虚半轴长和渐近线方程。
椭圆及双曲线练习题(含详解)
椭圆练习题一、选择题1．已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是( D ) A ．x －2y ＝0 B ．x ＋2y －4＝0 C ．2x ＋3y ＋4＝0 D ．x ＋2y －8＝02.(2014²福州高二检测)椭圆+=1上一点A 到焦点F 的距离为2,B 为AF 的中点,O 为坐标原点,则|OB |的值为( B )A.8B.4C.2D. 3.已知椭圆+y 2=1的焦点为F 1,F 2,点M 在该椭圆上,且²=0,则点M 到x 轴的距离为( C ) A. B. C. D. 4.(2014²衡水高二检测)如果AB 是椭圆+=1的任意一条与x 轴不垂直的弦,O 为椭圆的中心,e 为椭圆的离心率,M 为AB 的中点,则k AB ²k OM 的值为( C )A.e-1B.1-eC.e 2-1D.1-e 25.若点O 和点F 分别为椭圆的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ）A.2B.3C.6D.8二、填空题 6．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝__________，∠F 1PF 2的大小为________．答案：2 120°7．(2011²浙江高考)设F 1，F 2分别为椭圆x 23＋y 2＝1的左，右焦点，点A ，B 在椭圆上，若F 1A →＝5F 2B →，则点A 的坐标是________．答案：(0，±1)8．(2010·天津高考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.求椭圆的方程________．答案：x 24＋y 2＝1. 三、解答题9.设F 1,F 2分别是椭圆E:x 2+=1(0<b<1)的左、右焦点,过F 1的直线l 与E 相交于A,B 两点,且|AF 2|,|AB|,|BF 2|成等差数列.(1)求|AB|.(2)若直线l 的斜率为1,求b 的值.双曲线练习题一、选择题1．已知双曲线x 26－y 23＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在双曲线上，且MF 1⊥x 轴，则F 1到直线F 2M 的距离为( C )A.365B.566C.65D.562．(2013·岳阳质检)等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6,0)，则其标准方程为( D ) A.x 29－y 29＝1 B.y 29－x 29＝1 C.y 218－x 218＝1 D.x 218－y 218＝1 3．(2012·高考湖南卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( A )A.x 220－y 25＝1B.x 25－y 220＝1C.x 280－y 220＝1D.x 220－y 280＝1 4．以双曲线x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( D ) A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216＝1 5．(2010²新课标全国卷)已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( B )A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1C.x 26－y 23＝1D.x 25－y 24＝1 6．(2011²课标全国高考)设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( B ) A. 2 B. 3 C ．2 D ．37．过椭圆x 24＋y 22＝1的右焦点作x 轴的垂线交椭圆于A 、B 两点，已知双曲线的焦点在x 轴上，对称中心在坐标原点且两条渐近线分别过A 、B 两点，则双曲线的离心率e 为( C )A.12B.22C.62D.328．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线方程为( A ) A ．y ＝±22x B ．y ＝±2x C ．y ＝±2x D ．y ＝±12x 9．焦点为(0,6)且与双曲线x 22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程是( B ) A.x 212－y 224＝1 B.y 212－x 224＝1 C.y 224－x 212＝1 D.x 224－y 212＝1 10．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 2m 2＋y 2b2＝1(a ＞0，m ＞b ＞0)的离心率互为倒数，那么以a 、b 、m 为边长的三角形一定是( C )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形二、填空题 11.已知F 是双曲线的左焦点，A （1，4），P 是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为__________． 12．若双曲线的渐近线方程为y ＝±13x ，它的一个焦点是(10，0)，则双曲线的标准方程是________．答案：x 29－y 2＝1 13．已知双曲线C ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为C 右支上的一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则△PF 1F 2的面积等于__________．答案：4814．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 以直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于________．答案：2三、解答题15．经过点M (2,2)作直线l 交双曲线x 2－y 24＝1于A ，B 两点，且M 为AB 中点． (1)求直线l 的方程；(2)求线段AB 的长．16. 已知曲线C x 2-y 2=1及直线l ：y=kx-1．（1）若l 与C 左支交于两个不同的交点，求实数k 的取值范围；（2）若l 与C 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为 ，求实数k 的值．。
椭圆和双曲线 标准方程 习题及答案
椭圆一、选择题1．已知点M 到两个定点A （-1，0）和B （1，0）的距离之和是定值2，则动点M 的轨迹是 （ ）A ．一个椭圆B ．线段ABC ．线段AB 的垂直平分线D ．直线AB2．已知椭圆1422=+my x 上的点到它的两个焦点的距离之和是6，则=m （ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．93．已知方程122=+by ax 表示焦点在y 轴上的椭圆，则下列关系正确的是 （ ）A ．b a >B ．b a <C ．0>>b aD ．b a <<0二、填空题 5．已知椭圆12122=-+-ay a x 的焦点在x 轴上，则实数a 的取值范围是_______________． 6．过椭圆12422=+y x 的一个焦点F 1的弦AB 与另一个焦点F 2所构成的三角形ABF 2的周长是_____________．7．已知椭圆过点A （1，2）和点B （32，-），则椭圆的标准方程是______________．三、解答题8．求中心在原点，一个焦点为)250(，，且被直线23-=x y 截得的弦的中点横坐标为21的 椭圆方程．9．已知椭圆822=+y mx 与椭圆10025922=+y x 有相同的焦距，求椭圆822=+y mx 的标准方程．双曲线一、选择题 1．双曲线1251622=-y x 的焦距是 （ ） A ．3 B ．6 C ．41 D ．2412．已知双曲线12222=-a y a x 上的一点P 到左、右两个焦点的距离的差是-4，则实数=a （ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．83．已知)2(ππα，∈，则方程αααcos sin sin 22=-y x 表示的曲线是 （ ）A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在y 轴上的椭圆C ．焦点在x 轴上的双曲线D ．焦点在y 轴上的双曲线4．已知双曲线191622=-y x 上点P 到双曲线的一个焦点的距离是2，则P 点到另一个焦点的距离为 （ ）A ．10B ．8C ．6D ．45．已知P 为双曲线191622=-y x 的右支上一点，P 到左焦点距离为12，则P 到右准线距离为______. 6．双曲线(2k +1)x 2+(2k +10)y 2=14的一个焦点为(0,3)，则k =________．7．平面内有一条长为10的线段AB ，动点P 满足|PA |-|PB |=6，O 为AB 的中点，则|OP |的最小值为_______．三、解答题8．已知焦点在x 轴上的双曲线上一点P 到双曲线两个焦点的距离分别为4和8，直线y =x -2被双曲线截得的弦长为2.1.1 椭圆及其标准方程（1）1．提示：定值2等于|AB|，选B ；2．提示：即3=a ，而2a m =，选D ；3．提示：标准方程即11122=+by a x ，所以011>>ab ，选C ； 4．提示：两定点距离2c ，当2a ＞2c 时，为椭圆．当2a =2c 时，为线段．当2a ＜2c 时，无轨迹，选B ．二、填空题5．答案：}223|{<<a a ，提示：依题意有021>->-a a ． 6．答案：22提示：由于A 、B 两点到两个焦点的距离都为a 2，且标准方程是1214122=+y x ， 所以212=a ，=a 22，∴22l a =⨯=． 7．答案：13131322=+y x ， 提示：设方程是122=+by ax ，则14=+b a ，且134=+b a ，解得．三、解答题8．解：依题意，设椭圆方程为)0(12222>>=+b a bx a y ，则50)25(222==-b a ， 将直线方程与椭圆方程联立，消去y 得0412)9(2222222=-+-+b a b x b x b a ， 设弦的两个端点为A )(11y x ，，B )(22y x ，，则2196222221=+=+b a b x x ，即223b a =，代入5022=-b a ，解得257522==b a ，，故方程1257522=+x y 为所求． 9． 解：∵10025922=+y x 即14910022=+y x ， 由于=-491002c ，且有相同的焦距即有相同的c ， 化方程822=+y mx 为标准形式，得18822=+y mx ， 当焦点在x 轴上时，有4910088-=-m ，∴179=m ， 此时所求的标准方程是18913622=+y x ； 当焦点在y 轴上时，有4910088-=-m ，解得9=m ，此时所求的标准方程是189822=+y x ，也即198822=+x y ． 一、选择题1．提示：222c b a =+=25+16，求的是c 2，选D ．2．提示：设实半轴长为1a ，则421=a ，且4221==a a ，选B ．3．提示：此时0cos 0sin <>αα，，选D ． 4．提示：设所求的距离是d ，则|82|2==-a d ），选A. 二、填空题5．答案：516改为5486．答案：-4或32-提示：∵双曲线的焦点在y 轴上，∴2k +1<0且2k +10>0，15,2k ∴-<<-于是双曲线方程化为221,141421021y x k k -=-++又焦点为(0,3), 14149,21021k k ∴-=++解得k =-4或3.2k =- 7．答案：3提示：以AB 所在的直线为x 轴，AB 的中点为原点建立直角坐标系，则P 点的轨迹为双曲线221916x y -=的右支,画图可知， 此双曲线右支上的点到原点的最小距离|OP |=3．三、解答题8．解：由2a =8-4=4，得a =2，设双曲线的标准方程为2221,4x y b -= 由2222,14y x x y b=-⎧⎪⎨-=⎪⎩得(b 2-4)x 2+16x -16-4b 2=0．1222|105,3x x b b ∴==-===弦长解得或∴ 所求的双曲线的标准方程为222231 1.45410x y x y -=-=或。
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圆锥曲线测试题一、选择题（共12题，每题5分）2 21已知椭圆二11（a 5）的两个焦点为F I、F2 ,且∣F1F2∣=8 ,弦a 25AB过点F i ,则△ ABF2的周长为（）（A）10 （B）20 （C） 2 -41（D） 4 412 22椭圆丄丄J上的点P到它的左准线的距离是10，那么点P 100 36到它的右焦点的距离是（）（A）15 （B）12 （C）10 （D） 82 23椭圆—y 1的焦点F1、F2 ,P为椭圆上的一点，已知PF^ PF2，25 9则厶F1PF2的面积为（）（A）9 （B）12 （C）10 （D）84以坐标轴为对称轴、渐近线互相垂直、两准线间距离为2的双曲线方程是（）（A）X2-y2=2 （B）y2-x2=2（C）X2- y2= 4 或y2 _ X2= 4 （D）X2 -y2 = 2或y2 -X2 = 22 25双曲线--y 1右支点上的一点P到右焦点的距离为2,则P16 9点到左准线的距离为（）（A） 6 （B）8 （C）10 （D）126过双曲线X2—y2 =8的右焦点F2有一条弦PQ ∣PQ∣=7,F 1是左焦点，那么△ F1PQ的周长为（）（A）28 （B）14-8、2 （C）14 8 2 （D）8 27双曲线虚轴上的一个端点为M,两个焦点为F1、F2, ∙F1MF2 =120 ,则双曲线的离心率为（）（A）3（B）兰（C）H （D）三2 3 328在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为,2 ,焦点到相应准线的距离为1 ,则该双曲线的离心率为（）(A) — ( B) 2( C) 2 ( D) 2 222 29如果椭圆2L L "的弦被点(4 , 2)平分，则这条弦所在的直 36 9 线方程是( )(A ) X — 2y =O ( B ) X 2y — 4 =0 ( C ) 2x 3y - 12 =0 ( D ) x 2y — 8 = 0那么点P 到y 轴的距离是（）π:(0,2)，π (0,—] 4 2 3y2=1 a 0,b 0的右焦点为F ,过F 且斜率为(A)(B)竽(C) 2」6(D) 2 311中心在原点，焦点在 y 轴的椭圆方程是 2 2X Sin l " y cos ： -1 ，则C 的离心率为（ )w.w.w.k.s.5.u.c.o. mA 、6B 、 7C 、5D 、 55895二 _填空题（20)■3的直线交C 于A 、B 两点，若AF =4FB , 102如果双曲线-42y 2=1上一点P 到双曲线右焦点的距离是 2,A.π (0,—)4BD. [J) 4 212 已知双曲线(Z,F )则 (2 213与椭圆Z 丄=1具有相同的离心率且过点(2, - 3 )的椭圆的43标准方程是是 __________________ 。
2 215以知F 是双曲线—=1的左焦点，A(1,4), P 是双曲线右支上的412动点，贝S PF I +∣ PA 的最小值为 __________________2 216已知双曲线x 2-^2 =1(a 0,b 0)的左、右焦点分别为a bFC G O), F 2(c,O),若双曲线上存在一点P 使Sin PFIF^a,则该双曲线Sin PF 2F 1 C的离心率的取值范围是 _________ .三、解答题(70)17)已知椭圆C 的焦点F 1 (— 242 , 0)和F 2 (2迈,0),长轴 长6,设直线y=χ 2交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点 坐标。
2 218)已知双曲线与椭圆 -y 1共焦点，它们的离心率之和为92514'求双曲线方程.19)求两条渐近线为X — 2y =0且截直线X - y - 3 = 0所得弦长为 的双曲线方程。
20 . (1)椭圆C:a2 ⅛=1(a > b > 0)上的点A(1,号)到两焦点的距离 之和为4,求椭圆的方程；O14离心率-T ，一条准线为-3的椭圆的标准方程83 3(2)设K是⑴中椭圆上的动点，F1是左焦点，求线段F1K的中点的轨迹方程；⑶已知椭圆具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两点，P 是椭圆上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都 存在并记为k PM 、k PN 时，那么k pM ∙k pN 是与点P 位置无关的定值。
试对双曲线 ⅛ -⅛ -i写出具有类似特性的性质，加以证明。
解：(i)24 ∙ Ji(2)设中点为(X,y), F i (-i,o) K(-2-X,-y)在刍 与詔上- *i⑶设 M(x ι,y ι), N(-x ι,-y ι), P(x o ,y o ) , X o≠xι为定值。
没有交点。
(2)过点P ( i ，2)的直线交双曲线于 A 、B 两点，若P 为弦 AB 的中点，求直线AB 的方程；2 2X 2 y(X 2)2--2则y θ =b 2(4-i)22 2 X iyi(a ∑ -i)kPM kPNy o —yi y o y i 2 2 y o —yi b£)aX o -X i X o X i2 2 X o —Xi2 2 X o —Xi21 (1)当k 为何值时， 直线I 与双曲线有一个交点， 两个交点，(3)是否存在直线I，使Q (1, 1)为1被双曲线所截弦的中点。
若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。
解：(1)当直线I的斜率不存在时，I的方程为x=1,与曲线C有一个交点.当I的斜率存在时，设直线I的方程为y —2=k(x - 1),代入 C 的方程，并整理得(2 —k2)x2+2(k2-2k)x —k2+4k —6=0(*) ()当2 —k2=0,即k= ±、2时，方程(*)有一个根，I与C有一个交占∕ΛJ八、、・(i)当2 —k2≠0,即k ≠±2 时Δ= :2(k2—2k) ] 2—4(2 —k2)( —k2+4k —6)=16(3 —2k)①当△ =0,即3 —2k=0,k= I时，方程(*)有一个实根，I与C有一个交占I ∕ΛJ八、、・②当△>0,即k V号,又k≠±2 ,故当k v—2或一2 V k v 2 或2 V k V I时，方程(*)有两不等实根，I与C有两个交点.③当Δv 0，即k > I时，方程(*)无解，I与C无交点.综上知：当k= ±'∙ 2 ,或k= 1，或k不存在时，I与C只有一2个交占.I 八、、)当、2 V k V -,或一,2 V k V .2 ,或k V—2时，I与C有两个2交点；当k> 3时，I与C没有交点.2(2)假设以P为中点的弦为AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2xι2—yι2=2,2x 2—y22=2 两式相减得：2(xι—x2)(x1+x2)=(y ι—y2)(y1+y2)又Tχ1+x2=2,y 1+y2=4 ∙'∙2(xι —X2)=y1 —yι即k AB=Xγι=1X i —X2但渐近线斜率为±2,结合图形知直线AB与有交点，所以以P为中点的弦为：y=x+1.(3)假设以Q为中点的弦存在，设为AB,且A(xι,y ι),B(x 2,y 2)，贝U 2x i2—yι2=2,2x 22—y∑2=2 两式相减得：2(x 1 —X2)(x 1+x2)=(y 1 —y2)(y 1+y2)又τ x1+x2=2,y 1+y2=2 二2(x 1 —x2)=y 1 —y1 即k AB= y1 一y2 =2X1 _ X2但渐近线斜率为±,2,结合图形知直线AB与C无交点，故假设不正确，即以Q 为中点的弦不存在2 213)与椭圆L y=1具有相同的离心率且过点4 32 2 o 2 .2的标准方程是D 1或空.竺i 。
8 6 25255 20 解:设双曲线方程为χ2-4y 2= •.22C联立方程组得:X -4yR ,消去y 得，3χ2-24x+(36+ )=0X _ y _3 = O设直线被双曲线截得的弦为AB,且A(x ι,yJ ,B( X 2,y 2)，那么：X 1 +X 2 =836 + λ<X1X2=——I32.：=24 -12(36) 0那么：|AB|= J (l +k 2)[(x 1 +X 2)2-4χ1x 2] =J (1+1)(82 -=^812^ =竽2解得：=4,所以，所求双曲线方程是：^-y 2=1417) 已知椭圆C 的焦点F 1 (- 2/2 , 0)和F 2 ( 242 , 0),长轴长 6,设直线y=χ∙2交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标。
(8分)解：由已知条件得椭圆的焦点在 X 轴上,其中c=2.2,a=3,从而b=1,所以其标准方程是:2 2Z + y 2=1.联立方程组 行y,消去y 得，10X 2 +36X + 27 = 0.9[ y = x+2设 A( χ1y ),B( X 2,y 2 ),AB 线段的中点为 M( x °,y ° )则: 18x 1 +x 2 9 为 X2一亏，χo= 丁 1 所以y 0 =χ0+2=1.也就是说线段AB 中点坐标为(--,1).55 52, - 3)的椭圆14)离心率「于一条准线为X = 3的椭圆的标准方程是 9y * 2 *第11页共8页2 218) 已知双曲线与椭圆 H 1共焦点，它们的离心率之和为9 25匕，求双曲线方程.(10分) 5解:由于椭圆焦点为F(0, _4),离心率为e=4 5,所以双曲线的焦点5为F(0, -4),离心率为2,从而 c=4,a=2,b=2 .3.2 2所以求双曲线方程为:Z-Z=1.4 1220)求两条渐近线为x-2y=0且截直线x-y-3=0所得弦长为 竽 的双曲线方程。
(10分)。