高考数学一轮复习第八章立体几何第5讲空间向量及其运算练习理

【创新设计】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第5讲 空间向量及其运算练习 理基础巩固题组 (建议用时：30分钟)一、填空题1.空间直角坐标系中，A (1，2，3)，B (－2，－1，6)，C (3，2，1)，D (4，3，0)，则直线AB 与CD 的位置关系是________.解析 由题意得，AB →＝(－3，－3，3)，CD →＝(1，1，－1)， ∴AB →＝－3CD →，∴AB →与CD →共线，又AB →与CD →没有公共点. ∴AB ∥CD . 答案 平行2.有以下命题：①如果向量a ，b 与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么a ，b 的关系是共线；②O ，A ，B ，C 为空间四点，且向量OA →，OB →，OC →不构成空间的一个基底，那么点O ，A ，B ，C 一定共面；③已知向量a ，b ，c 是空间的一个基底，则向量a ＋b ，a －b ，c 也是空间的一个基底.其中所有正确命题的序号是________.解析 对①易知a ，b 与空间任何向量共面，所以a ，b 共线，①正确；②显然正确；对③可结合平行六面体说明其正确性. 答案 ①②③3.(2015·济南月考)O 为空间任意一点，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则A ，B ，C ，P 四点________(填序号).①一定不共面；②一定共面；③不一定共面；④无法判断.解析 ∵OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，且34＋18＋18＝1.∴P ，A ，B ，C 四点共面. 答案 ②4.已知a ＝(－2，1，3)，b ＝(－1，2，1)，若a ⊥(a －λb )，则实数λ的值为________. 解析 由题意知a ·(a －λb )＝0，即a 2－λa ·b ＝0， ∴14－7λ＝0，∴λ＝2. 答案 25.已知a ＝(2，－1，3)，b ＝(－1，4，－2)，c ＝(7，5，λ)，若a ，b ，c 三个向量共面，则实数λ等于________.解析 ∵a ，b ，c 共面，且显然a ，b 不共线， ∴c ＝x a ＋y b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧7＝2x －y ， ①5＝－x ＋4y ， ②λ＝3x －2y ， ③由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝337，y ＝177，代入③得λ＝657.答案6576.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为________.解析 如图，设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝a ，且a ，b ，c 三向量两两夹角为60°.AE →＝12(a ＋b )，AF →＝12c ，∴AE →·AF →＝12(a ＋b )·12c＝14(a ·c ＋b ·c )＝14(a 2cos 60°＋a 2cos 60°)＝14a 2. 答案 14a 27.已知2a ＋b ＝(0，－5，10)，c ＝(1，－2，－2)，a ·c ＝4，|b |＝12，则以b ，c 为方向向量的两直线的夹角为________.解析 由题意得，(2a ＋b )·c ＝0＋10－20＝－10. 即2a ·c ＋b·c ＝－10，又∵a·c ＝4，∴b·c ＝－18， ∴cos 〈b ，c 〉＝b·c |b|·|c|＝－1812×1＋4＋4＝－12，∴〈b ，c 〉＝120°，∴两直线的夹角为60°. 答案 60°8.(2016·徐州模拟)已知O 点为空间直角坐标系的原点，向量OA →＝(1，2，3)，OB →＝(2，1，2)，OP →＝(1，1，2)，且点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB →取得最小值时，OQ →的坐标是__________.解析 ∵点Q 在直线OP 上， ∴设点Q (λ，λ，2λ)，则QA →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，QA →·QB →＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6⎝⎛⎭⎪⎫λ－432－23.即当λ＝43时，QA →·QB →取得最小值－23.此时OQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83 二、解答题9.已知空间中三点A (－2，0，2)，B (－1，1，2)，C (－3，0，4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)若|c |＝3，且c ∥BC →，求向量c . (2)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值.解 (1)∵c ∥BC →，BC →＝(－3，0，4)－(－1，1，2)＝(－2，－1，2)， ∴c ＝mBC →＝m (－2，－1，2)＝(－2m ，－m ，2m )， ∴|c |＝（－2m ）2＋（－m ）2＋（2m ）2＝3|m |＝3， ∴m ＝±1.∴c ＝(－2，－1，2)或(2，1，－2). (2)∵a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)， ∴a·b ＝(1，1，0)·(－1，0，2)＝－1， 又∵|a |＝12＋12＋02＝2， |b |＝（－1）2＋02＋22＝5， ∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a|·|b|＝－110＝－1010，即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－1010. 10.如图，在棱长为a 的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，G 为△BC 1D 的重心， (1)试证：A 1，G ，C 三点共线； (2)试证：A 1C ⊥平面BC 1D .证明 (1)CA1→＝CB →＋BA →＋AA1→＝CB →＋CD →＋CC1→，可以证明CG →＝13(CB →＋CD →＋CC1→)＝13CA1→，∴CG →∥CA1→，又CG →与CA1→有公共点C ，即A 1，G ，C 三点共线.(2)设CB →＝a ，CD →＝b ，CC1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝a ， 且a·b ＝b·c ＝c·a ＝0， ∵CA1→＝a ＋b ＋c ，BC1→＝c －a ，∴CA1→·BC1→＝(a ＋b ＋c )·(c －a )＝c 2－a 2＝0， 因此CA1→⊥BC1→，即CA 1⊥BC 1，同理CA 1⊥BD ， 又BD 与BC 1是平面BC 1D 内的两相交直线， 故A 1C ⊥平面BC 1D .能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.在四面体O －ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________(用a ，b ，c 表示).解析 OE →＝OA →＋12AD →＝OA →＋12×12(AB →＋AC →) ＝OA →＋14×(OB →－OA →＋OC →－OA →) ＝12OA →＋14OB →＋14OC →＝12a ＋14b ＋14c . 答案 12a ＋14b ＋14c12.已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，{a ＋b ，a －b ，c }是空间的另一个基底，一向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(4，2，3)，则向量p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标是________.解析 设p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标为x ，y ，z .则p ＝x (a ＋b )＋y (a －b )＋z c ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ＋z c ，①因为p 在{a ，b ，c }下的坐标为(4，2，3)， ∴p ＝4a ＋2b ＋3c ，②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，x －y ＝2，z ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，z ＝3，即p 在{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标为(3，1，3).答案 (3，1，3)13.(2016·北京西城区模拟)如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若动点P 在线段BD 1上运动，则DC →·AP →的取值范围是________. 解析 由题意，设BP →＝λBD1→，其中λ∈[0，1]，DC →·AP →＝AB →·(AB→＋BP →)＝AB →·(AB →＋λBD1→)＝AB →2＋λAB →·BD1→＝AB →2＋λAB →·(AD1→－AB →)＝(1－λ)AB →2＝1－λ∈[0，1].因此DC →·AP →的取值范围是[0，1]. 答案 [0，1]14.如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，计算：(1)EF →·BA →；(2)EG 的长；(3)异面直线AG 与CE 所成角的余弦值. 解 设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c .则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， (1)EF →＝12BD →＝12c －12a ，BA →＝－a ，DC →＝b －c ，EF →·BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12c －12a ·(－a )＝12a 2－12a·c ＝14， (2)EG →＝EB →＋BC →＋CG →＝12a ＋b －a ＋12c －12b ＝－12a ＋12b ＋12c ，|EG →|2＝14a 2＋14b 2＋14c 2－12a·b ＋12b·c －12c·a ＝12，则|EG →|＝22. (3)AG →＝12b ＋12c ，CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋12a ，cos 〈AG →，CE →〉＝AG →·CE →|AG →||CE →|＝－23，由于异面直线所成角的范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π2， 所以异面直线AG 与CE 所成角的余弦值为23.。