最新微积分专题讲座(2)
微积分疑难分析讲座
初等
函数极限的性质Fra bibliotek局局 部部 有保 界号 性性
四复
则合
运 算
运
算
闭区间连续函数性质
有界性定理 介值定理
最值定理
零点定理
二、“函数”这一部分应重点掌握什么？
1 .正 确 理 解 函 数 的 概 念 ：
定义：设 X 和 Y 为两个非空实数集,如果存在 某一确定的法则 f，使得对于 X 中的每一x， 在Y 中都有惟一的 y 与它对应，则称 f 为定 义在 X上的函数，记为 f : XY
教材P.60,例2: (ai 0,i 1,2,…,m)
limn
n
a1n
a2n
…am n
max
a1,a2,…,am
,
a ,b ,c 0 ,lim n a n b n c n m a x a ,b ,c n
f(x)maxn
1xn
x2 2
n
y
y x2 2
y x
1,
x, x2 2
x 0
x 2 x 0
x 2 x 0
x
3 .熟 悉 几 个 重 要 的 非 初 等 函 数 .
1, x 0
sgn
x
0,
x0
1, x 0
取整函数y[x]
符 号 函 数 x sgn x | x |
狄 里 克 莱 (D ir ic h le t)函 数 D (x ) 1 0 ,,x x为 为 有 无 理 理 数 数
时，你就会感到这本书变薄了。
一、第一章的知识结构与框架是什么？
第一章 知识框图
无穷小的运算与比较
反 函
复 合 函
四 种 性
数数态
微积分讲义(高中物理竞赛辅导)
高等数学初步之一
微积分
物理学研究的是物质的运动规律,因此我们以常遇到的物理量大多数是变量,而我们要研究的正是一些变量彼此间的联系.这样,微积分这个数学工具就成为必要的了.读者在学习基础物理课时若能较早地掌握微积分的一些基本知识,对于物理学的一些基本概念和规律的深入理解是非常有好处的.所以我们在这里先简单地介绍一下微积分中最基本的概念和简单的计算方法,在讲述方法上较多地借助于直观并密切地结合物理课的需要.这里的讲解为将为读者更系统和更深入地掌握微积分的知识和方法奠定坚实的基础.
§1 函数
本节中的不少内容读者在初等数学及中学物理课中已经学过了,现在我们只是把它们联系起来复习一下.
1.1 函数 自变量和因数量 绝对常量和任意常量
在数学中函数的功能是这样定义的:有两个互相联系的变量x 和y,如果每当变量x 取定了某个数值后,按照一定的规律就可以确定y 的对应值,我们就称y 是x 的函数,并记作:
()y f x = (A.1) 其中x 叫做自变量,y 叫做因变量,f 是一个函数记号,它表示y 和x 数值的对应关系.有时把()y f x =也记作()y y x =,如果在同一个问题中遇到几个不同形式的函数,我们也可以用其它字母作为函数记号,如()x ϕ、()x ψ等等.
常见的函数可以用公式来表达,例如:。
微积分讲座---Z3.15 单位阶跃响应与单位脉冲响应的关系
k
(k) (i) i
k
g(k) h(i) i
由于
(k) (k) (k) (k 1)
那么
h(k) g(k) g(k) g(k 1)
2
3.2 基本信号与基本响应
第三章 离散系统的时域分析
例3 某离散系统的差分方程如下，求单位脉冲响应h(k) 和单位阶跃响应g(k)。
y(k) y(k 1) 2y(k 2) f (k)
解：(1)先求h(k)
h(k) h(k 1) 2h(k 2) (k)
初始条件：h(1) h(2) 0
由迭代得：
h(0) 1，h(1)=1
代入初始值求： h(k) C1(1)k C2(2)k，k 0
h(k) 1 (1)k 2 响应
第三章 离散系统的时域分析
(2)再求g(k)
h(k) 1 (1)k 2 (2)k，k 0
3
3
g(k) k h(i) 1 k (1)i 2 k (2)i
i
3 i0
3 i0
由级数求和公式得：
k (1)i 1 (1)k1 1 [1 (1)k ]
i0
3.2 基本信号与基本响应
知识点Z3.15
第三章 离散系统的时域分析
单位阶跃响应与单位脉冲响应的关系
主要内容：
单位阶跃响应与单位脉冲响应之间的关系
基本要求：
掌握 g(k) 和 h(k) 之间的关系
1
3.2 基本信号与基本响应
第三章 离散系统的时域分析
Z3.15 单位阶跃响应与单位脉冲响应的关系
由于 那么
1 (1) 2
k (2)i 1 (2)k1 2(2)k 1
i0
1 2
得单位阶跃响应为：
微积分ppt课件
和趋势。
02
微积分在机器学习中的应用
利用微积分优化算法，提高机器学习的效率和准确性。
03
微积分在金融工程中的应用
研究微积分在金融衍生品定价、风险管理等领域的应用，推动金融工程
的发展。
THANKS
感谢观看
用微积分解决经济学问题
总结词
微积分在经济学中用于研究经济现象的变化规律和优 化资源配置。
详细描述
在经济学中，微积分被用于分析边际成本、边际收益、 边际效用等问题，以及研究经济增长、通货膨胀、供需 关系等经济现象的变化规律。此外，微积分还可以用于 优化生产和分配资源，提高经济效率。
06
微积分的未来发展与展望
微积分与其他学科的交叉研究
微积分与物理学的交叉
01
研究微积分在解决物理问题中的应用，如流体力学、电磁学等
领域的数学模型。
微积分与经济学的交叉
02
探讨微积分在经济学理论和应用方面的作用，如最优控制理论
、动态规划等。
微积分与计算机科学的交叉
03
研究微积分在算法设计、数据科学、人工智能等领域的应用。
微积分的未来发展方向
上的整体性质，如求面积、体积等。
微积分提供了研究函数和解决实际问题的有效工具， 是高等数学的重要基础。
微积分的发展历史
17世纪，牛顿和莱布尼茨分别独立地创立了微 积分学，为微积分的发展奠定了基础。
19世纪，柯西、黎曼等数学家对微积分的概念和基 础进行了深入的研究和探讨，进一步完善了微积分理
论。
微积分的发展经历了漫长的过程，最早可以追 溯到古代数学家对面积、体积等问题的研究。
1 2
微积分的理论深化
进一步探索微积分的数学原理，发展新的理论和 方法。
大学微积分课件(PPT幻灯片版)pptx
高阶导数计算
高阶导数的计算一般采用归纳法 或莱布尼茨公式等方法进行求解。 需要注意的是，在计算过程中要 遵循求导法则和运算顺序。
应用举例
高阶导数在物理学、工程学等领 域有着广泛的应用。例如，在物 理学中，加速度是速度的一阶导 数，而速度是位移的一阶导数； 在工程学中，梁的挠度是荷载的 一阶导数等。
03 一元函数积分学
VS
几何意义
函数$y = f(x)$在点$x_0$处的导数 $f'(x_0)$在几何上表示曲线$y = f(x)$在点 $(x_0, f(x_0))$处的切线的斜率。
求导法则与技巧总结
基本求导法则
包括常数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导 数、三角函数的导数、反三角函数的导数等。
求导技巧
连续性与可微性关系
连续性
函数在某一点连续意味着函数在 该点有定义，且左右极限相等并 等于函数值。连续性是函数的基 本性质之一。
可微性
函数在某一点可微意味着函数在 该点的切线斜率存在，即函数在 该点有导数。可微性反映了函数 局部变化的快慢程度。
连续性与可微性关
系
连续不一定可微，但可微一定连 续。即函数的连续性是可微性的 必要条件，但不是充分条件。
历史发展
微积分起源于17世纪，由牛顿和莱布尼 茨独立发展。经过数百年的完善，已成 为现代数学的重要基础。
极限思想与运算规则
极限思想
极限是微积分的基本概念，表示函数在某一点或无穷远处的变 化趋势。通过极限思想，可以研究函数的局部和全局性质。
运算规则
极限的运算包括极限的四则运算、复合函数的极限、无穷小量 与无穷大量的比较等。这些规则为求解复杂函数的极限提供了 有效方法。
数学建模(微积分)二
，不难求得 （4）
2c1 r c2
T
2c1 rc 2
再根据（1）有，
Q
（5）
宁波职业技术学院数学教研室
数学建模讲座
Q
2c1 r c2
（5）
这就是经济理论中著名的经济订货批量公式（EOQ公式） 货物本身的价格可不考虑，这是因为若记每吨货 的价格为k，则一周期的总费用 C 中应添加kQ，由于
Q rT
（1）
订货后贮存量由Q均匀地下降，记任意时刻t的贮 存量为q，则q(t)的变化规律可以用图1表示
宁波职业技术学院数学教研室
数学建模讲座 q
Q A r T 图1 t
0
考察一个订货周期的总费用：订货费为c1;贮存费是
c2 q(t )dt 其中积分恰等于图中三角形的面积为A，显然
0 T
1 A QT 2
实例十一、森林救火数学模型
宁波职业技术学院数学教研室
数学建模讲座
贮存模型 背景 不允许缺货的贮存数学模型 知识 工厂要定期地订购各种原料，在仓库里供生产
之用。商店要成批地购进各种商品，放在货柜中以 备零售。水库在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和航运。 无论是原料、商品还是水的贮存，都有贮存多少的 问题。原料、商品贮存得太多，贮存费用高；贮存 得太少，则无法满足需求。水库雨季蓄水过量，更 可能危及安全。当影响贮存量的因素包含随机性时， 如顾客对商品的需求，天气对蓄水的影响，需要建 立贮存模型。
Q rT 所以公式（3）中增加一常数项kr，对求解结果
式（4）、（5）没有影响。 （5）式表明，订货费c1越高，需求量越大，订货批量 Q应越大；贮存费c2越高，订货批量Q应越小，这些关系 当然是符合常识的，不过公式在定量上表明的平方关系 却是凭常识方法得到的
微积分讲座---Z4.5 周期信号波形对称性和谐波特性
知识点Z4.5
第四章 傅里叶变换与频域分析
周期信号波形对称性和谐波特性
主要内容：
1.奇函数、偶函数、奇谐函数和偶谐函数 2.谐波特性
基本要求：
了解奇函数、偶函数、奇谐函数和偶谐函数的谐波特性
1
4.2周期信号的傅里叶级数
第四章 傅里叶变换与频域分析
Z4.5周期信号波形的对称性和谐波特性
1 . f(t)为偶函数——对称于纵轴 f(t) =f(-t)
an
2 T
T
2 T
2
f (t) cos(nt) d t
bn
2 T
T
2 T
2
f (t)sin(nt) d t
bn =0，展开为余弦级数。
f(t) 1
-T/2 0 T/2
t
f (t) 1 4 [cos(t) 1 cos(3t) 1 cos(5t) 1 cos(nt) ], n 1,3,5,
TT
3T
t
2
2
ห้องสมุดไป่ตู้
2
1
f (t) 4 [sin(t) 1 sin(3t) 1 sin(5t) 1 sin(nt) ], n 1,3,5,
3
5
n
3
4.2周期信号的傅里叶级数 3 . f(t)为奇谐函数——f(t) = –f(t±T/2)
第四章 傅里叶变换与频域分析
其傅里叶级数中只含奇次谐波分量，而不含偶次 谐波分量，即：
a0=a2=…=b2=b4=…=0
f (t)
1
T T 0
TT
3T
t
2
2
2
1
f (t) 4 [sin(t) 1 sin(3t) 1 sin(5t) 1 sin(nt) ], n 1,3,5,
微积分讲座---Z3.2 差分方程的模拟框图
知识点Z3.2
第三章 离散系统的时域分析
差分方程的模拟框图
主要内容：
1. 基本部件 2. 由框图建立差分方程
基本要求：
掌握框图和差分方程之间的转换方法
1
3.1 差分方程的建立及经典解法 Z3.2 差分方程的模拟框图
第三章 离散系统的时域分析
1.基本部件单元 数乘器
a
3
D
D
5
∑
f (k)
y(k)
2
3
解：设辅助变量x(k)如图 x(k)=f(k)–2x(k-1)–3x(k-2)
即：
x(k)+2x(k-1)+3x(k-2)=f(k)
右端加法器的方程为：y(k)=4x(k-1)+5x(k-2)
利用LTI特性，消去辅助变量x(k)，得：
(how?)
y(k)+2y(k-1)+3y(k-2)=4f(k-1)+5f(k-2)
f (k) 或
af (k) a
加法器
f 1(k) f 2(k)
f 1(k) - f 2(k) ∑
迟延单元(移位器)
D
f (k)
f (k-1)
2
3.1 差分方程的建立及经典解法
第三章 离散系统的时域分析
2. 由框图建立差分方程
例 已知框图，写出系统的差分方程。
4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x(k) x(k-1) x(k-2)
∑
未定式的极限
f(x)
f (ξ )
lim lim
A.
x x0 g(x) ξ x0 g'(ξ )
注： 如果 f (x) 仍属 0 型，且 f (x),g'(x)满足
g'(x) 0 定 理 的 条 件 ， 可 以 继 续使 用 洛 必 达 法 则 ， 即
lim f(x) lim f (x) lim f (x) A(或).
lim
x0
cos bx cos ax
1.
例 求 lim tan x .( ) x tan 3 x
2
解
原式
lim
x
sec2 3 sec 2
x 3
x
1 3
lim
x
cos2 3x cos2 x
2
2
1 lim 6cos3x sin 3x
3 x 2cos x sin x
2
lim sin 6x x sin 2 x
(1)lim f ( x) x x0
lim g( x)
x x0
(2) f (x) 和 g( x) 在x0的某一去心邻域内存在,且
g(x) 0
(3) lim f (x) A(或) xx0 g(x)
型
则有 lim f (x) lim f (x) A(或） xx0 g ( x) xx0 g( x)
微积分讲课提纲
微积分（I） 浙江大学理学院 讲课人：朱静芬 E-mail:jfzhu@
第三章 微分中值定理及导数的应用
第二节 未定式的极限
一、0 型 未 定 式 的 极 限 0
二 、 型 未 定 式 的 极 限
三、其他类型未定式的极限
我们知道：两个无穷小量或两个无穷 大量的商的极限，随着无穷小量或无穷大 量的形式不同，极限值可能存在、也可能 不存在、可能是无穷小量、也可能是无穷 大量，为此，我们称这类极限为“不定型”, 记为:0 或 .
北京交通大学龚漫奇微积分讲座课件
x2
2 2
(e口 )x e口 口x 解 : dy y dx, 其中 x
d口 口x dx 口u du
x 而（e ） (e口 )x x2 f 2 ( x) 口 f 2 ( x) y [ f (e )e ]x e 口x e ( f 2 ( x ))x x 利用 的求导公式 (下略)
有关极限的概念(应背)
1. f 在x0 连续 lim f ( x ) f ( x0 ). (不连续 间断)
x x0
2.间断点类型：一类 ( x0 )、f ( x0 )(相等为可去型不相等 f , 为跳跃型 );否则为二类 .
3.如lim lim 0, 则
称是比 高阶的无穷小且 o( ) , 0, 称与 是等价的无穷小且 ~ , 1, lim , 称是比 低阶的无穷小 C 0, 称与 是同阶的无穷小 4.导数定义: (换元 x x x0 )(左, 右导数换 口为 口 ,口 ) f ( x ) f ( x0 ) f ( x 0 x ) f ( x 0 ) f ( x0 ) lim lim x x0 x 0 x x0 x 5.微分定义: 如 y Ax o(x ) (x 0) 则 dy Ax y dx x
11nxunx或令时或???axuax???令时????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????不不非不不非不不有界如的运算不有界反不三对指例幂基初边连续
参考资料
1.电子资料:参考卷(手写后照片(G1到G4,期中1份,期末 1份.本讲座讲稿,在本电脑.想要的课后到前面复制). 2.参考书.本校出版社(在东区最高楼7层)的《微积分辅 导》上、下，《全国研究生入学考试数学复习指南》
数学文化系列讲座2
祝福可导且导数大于零,祝大家一生活在永远没有
最大值的快乐和幸福的复合函数中!
（二）念奴娇.数学怀古
大江东去，浪淘尽，千古风流人物。 文明天空，吾敬仰，历代数学大师。 刘徽冲之，牛顿欧拉，还有代沙格。 英贤辈出，数学多少豪杰。 遥观数学之树，枝繁叶茂，大师之本色。
代数情深，几何奇特，分析功效卓越。
数域流连，过客笑问我，什么感觉？
万语千言道不尽，百无聊赖十凭栏，重九登高看孤雁，八月 中秋月圆人不圆。七月半，烧香秉烛问苍天，六月伏天人人 摇扇我心寒，五月榴花如火偏遇阵阵冷雨浇，四月枇杷未黄 我欲对镜心欲乱，三月桃花随流水，二月风筝线儿断。噫！
郎呀郎，巴不得下一世你为女来我为男。"
（七）双曲线与其渐近线之悲情绝唱
有缘共平面，双方努力见。
（一 ）数学中的祝福
数学的祝福：
祝大家烦恼高阶无穷小,好运连续且可导,理想
一定洛必达,拉格朗日天天照,道路不凸凹,生活不调,
f (心情) 0 ,xlim g ( x) (其中 g ( x) 是关于时
间 x 的快乐函数)!忧愁可微分,快乐可积分,在趋向于 正无穷的日子里,你们的幸福是连续的,我对你们的
人生有限，应当勤研数学。
（二）诗歌中的高等数学
拉格朗日， 傅立叶旁，
我凝视你凸凹函数般的脸庞。
微分了忧伤， 积分了希望， 我要和你追逐黎曼最初的梦想。 感情已发散，
收敛难挡，
没有你的极限， 柯西抓狂，
我的心已成自变量， 函数因你波起波荡。 低阶的有限阶的，
一致的不一致的，
是我想你的皮亚诺余项。
狄利克雷，
三次数学危机
3.罗素悖论与第三次数学危机
（1）康托尔的集合论
（2）罗素悖论与第三次数学危机的出现
多元函数微分学讲座.
第八章 多元函数微分学 第一节 基本概念、定理与公式一、二元函数的定义及定义域 1 二元函数的定义定义1 设x ，y ，z 是三个变量．如果当变量x ，y 在在一定范围D 内任意取定一对数值时，变量z 按照一定的法则f 总有确定的数值与它们对应，则称变量z 是变量x ，y 的二元函数，记为(,)zf x y =.其中x ，y 称为自变量，z 称为因变量.自变量x ，y 的取值范围D 称为函数的定义域.二元函数在点()00,x y 所取得的函数值记为00x x y y z==，(,)x y z 或00(,)f x y2 二元函数的定义域二元函数的定义域一般为平面区域上的点集．二元函数的定义域较复杂，它可以是一个点，也可能是一条曲线或几条曲线所围成的部分平面，甚至可能是整个平面．整个平面或由曲线围成的部分平面称为区域；围成区域的曲线称为该区域的边界；边界上的点称为边界点，边界内的点称为内点．不包括边界的区域称为开区域，连同边界在内的区域称为闭区域，部分包括边界的区域称为半开半闭区域．能用封闭曲线围成的区域称为有界区域，反之称为无界区域．开区域如: {}22(,)14x y x y <+<闭区域 如:{}22(,)14x y xy ≤+≤注：和一元函数一样，二元和二元以上的函数也只与定义域和对应关系有关，，与用什么字母表示自变量与因变量无关．例1 求下列函数的定义域，并画出的图形．(1)ln z = （2）arcsin()zx y =+解（1） 要使函数有意义，应有2210x y --> 即221x y +<，定义域为有界开区域{}22(,)1x y x y +< （2）要使函数有意义，应有1x y +≤，即11x y -≤+≤xx定义域为无界闭区域{}(,)11x y x y -≤+≤3 二元函数的几何意义设(,)P x y 是二元函数(,)z f x y =的定义域D 内的任一点,则相应的函数值为(,)z f x y =,有序数组x ，y ，z 确定了空间一点(,,)M x y z ,称点集{}(,,)(,),(,)x y z z f x y x y D =∈为二元函数的图形. 二元函数(,)zf x y =的图形通常是一张曲面.注：和一元函数一样，二元和二元以上的函数也只与定义域和对应关系有关，与用什么字母表示自变量与因变量无关.二、二元函数的极限与连续 1．二元函数的极限以点000(,)P x y 为中心，δ为半径的圆内所有点的集合{}2200(,)()()x y x x y y δ-+-<称为点0P 的δ邻域，记作0(,)U P δ．定义2 设二元函数(,)zf x y =在点000(,)P x y 的某一邻域内有定义（点0P 可以除外）,点(,)P x y 是该领域内异于0P 的任意一点．如果当点(,)P x y 沿任意路径趋于点000(,)P x y 时,函数(,)f x y 总无限趋于常数A ，那么称A 为函数(,)z f x y =当00(,)(,)x y x y →时的极限，记为0lim (,)x x y y f x y A →→= 或 00(,)(,)lim(,)x y x y f x y A →=说明：（1）定义中0P P →的方式可能是多种多样的，方向可能任意多，路径可以是千姿百态的，所谓极限存在是指当动点从四面八方以可能有的任何方式和任何路径趋于定点时，函数都趋于同一常数.（2）倘若沿两条不同的路径，0lim (,)x x y y f x y →→不相等，则可断定0lim (,)x x y y f x y →→不存在，这是证明多元函数极限不存在的有效方法．（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似，如局部有界性、局部保号性、夹逼准则、无穷小、等价无穷小代换等.例2 求极限22200sin()lim x y x y x y →→+解 22200sin()lim x y x y x y →→+2222200sin()lim x y x y x y x y x y →→=+ 其中 22212x y x x y ≤+ 22200sin()lim 0x y x y x y →→∴=+ 例3 证明 36200lim x y x y x y →→+不存在．证明：设3y kx =，则36200lim x y x y x y →→+6626200lim 1x y kx k x k x k →→==++其值随k 的不同而变化，故极限不存在．确定极限不存在的方法：（1）令点(,)P x y 沿y kx =趋向于000(,)P x y ，若极限值与k 有关，则(,)f x y 在点000(,)P x y 处极限不存在;（2）找出两种不同趋近方式，使0lim (,)x xy y f x y →→存在，但两者不相等，则此时(,)f x y 在点000(,)P x y 处极限不存在;2．二元函数的连续性 定义 3 设函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域内有定义，如果000lim (,)(,)x xy y f x y f x y →→=,则称函数(,)f x y 在点000(,)P x y 处连续.定义4 设函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域内有定义，分别给自变量x ，y 在0x ，0y 处以增量x ∆，y ∆，得全增量0000(,)(,)z f x x y y f x y ∆=+∆+∆-如果极限 00lim 0x y z ∆→∆→∆=则称(,)z f x y =在000(,)P x y 处连续．如果函数(,)z f x y =在区域D 内每一点都连续,则称函数(,)f x y 在区域D 内连续.如果函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 不连续，则称点000(,)P x y 是函数(,)f x y 的间断点. 例4 求23limx y x yxy→→+． 解 因为函数(,)x y f x y xy+=是初等函数,且点(2,3)在该函数的定义域内,故235lim (2,3)6x y x y f xy →→+==. 例5 讨论函数222222,0(,)0,0xy x y x yf x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩的连续性．解 当(,)(0,0)x y ≠时，(,)f x y 为初等函数,故函数在(,)(0,0)x y ≠点处连续.当(,)(0,0)x y =时，由例6知00lim (,)x y f x y →→=22lim x y xyx y →→+不存在,所以函数(,)f x y 在点(0,0)处不连续，即原点(0,0)是函数的间断点．3．有界闭区域上连续函数的性质性质1（最值定理） 在有界闭区域上连续的二元函数，在该区域上一定有最大值和最小值．性质2（介值定理） 在有界闭区域上连续的二元函数，必能取得介于函数的最大值与最小值之间的任何值．三、偏导数 1.偏导数的定义 定义 5 设函数(,)z f x y =在000(,)P x y 的某邻域内有定义, 固定0y y =,在0x 处给自变量x 以增量x ∆,相应地得到函数z 关于x 的得增量(称为偏增量):0000(,)(,)x z f x x y f x y ∆=+∆-如果极限000000(,)(,)limlimx x x z f x x y f x y x x∆→∆→∆+∆-=∆∆ 存在, 则称此极限值为函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对x 的偏导数,记为00x x y y zx==∂∂，00x x y y f x==∂∂，00x x xy y z =='或00(,)x f x y '.类似地,函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处对y 的偏导数定义为:00000(,)(,)limlimy y y z f x y y f x y yy∆→∆→∆+∆-=∆∆，记为 00x x y y zy==∂∂，00x x y y fy==∂∂，00x x yy y z =='或00(,)y f x y '.例6 求223z x xy y =++在点(1, 2)处的偏导数. 解 把 y 看成常数,得23zx y x∂=+∂，则1221328x y z x ==∂=⨯+⨯=∂；把x 看成常数,得32z x y y ∂=+∂，则1231227x y z y==∂=⨯+⨯=∂.例7 求函数(,)arctan x f x y y=的偏导数． 解:222111z y xy x y x y ∂==∂+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，222211z x x xy x yx y ⎛⎫∂-=-= ⎪∂+⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭例8设u =，证明2221u u u x y z ⎛⎫∂∂∂⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 证明：因为u xx u∂=∂，u y y u ∂=∂，u zz u∂=∂， 所以2222222221u u u x y z u x y z u u ⎛⎫∂∂∂++⎛⎫⎛⎫++=== ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 例9 已知理想气体的状态方程(R 为常数).求证：1P V TV T P∂∂∂⋅⋅=∂∂∂ 证: 因为RT P V=,2P RT V V∂=-∂；RTV P=,V RT P∂=∂；PV T R=,T VP R∂=∂.所以P V T V T P ∂∂∂⋅⋅∂∂∂2RTV ⎛⎫=- ⎪⎝⎭R P ⋅1VRT RPV ⋅=-=-． 注：偏导数的记号z x ∂∂,zy∂∂是一个整体,不能看成微商,否则导致运算错误．例10 求222222,0(,)0,0xy x y x yf x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在点(0,0)处的偏导数. 解:220000(0,0)(0,0)()0(0,0)lim lim 0x x x x f x f x f x x∆→∆→∆⋅-+∆-∆+===∆∆ 220000(0,0)(0,0)()0(0,0)lim lim 0y y y y f y f y f y y∆→∆→∆⋅-+∆-∆+===∆∆. 注意: (1)二元函数在某点存在偏导数,并不能保证函数在该点连续,与一元函数可导必连续是不相同的．(2)在分界点处的偏导数，用偏导数定义求． (3)由偏导数的概念可知，(,)f x y 在点00(,)x y 处关于x 的偏导数00(,)x f x y '显然就是偏导数(,)x f x y '在点00(,)x y 处的函数值；00(,)y f x y '是偏导数(,)y f x y '在点00(,)x y 处的函数值．从偏导数的定义中可以看出，偏导数的实质就是把一个自变量固定，而将二元函数看作另一自变量的一元函数的导数．2.偏导数的几何意义：设00000(,,(,))P x y f x y 为曲面(,)z f x y =上的一点，过0P 作平面0y y =截此曲面(,)z f x y =得一曲线，其方程为0(,)z f x y =，则导数00(,)x f x y '就是曲线0(,)z f x y =在点00000(,,(,))P x y f x y 处的切线对x 轴的斜率（设切线与x 轴的倾斜角为α，则00(,)tan x f x y α'=）．同样，偏导数00(,)y f x y '是曲面(,)z f x y =与平面0x x =的交线在点00000(,,(,))P x y f x y 处的切线对y 轴的斜率（设切线与y 轴的倾斜角为β，则00(,)tan y f x y β'=）． 3、高阶偏导数 函数(,)z f x y =的两个偏导数(,)x zf x y x∂'=∂，(,)y z f x y y ∂'=∂它们都是x ，y 的二元函数,如果这两个函数关于x ，y 的偏导数也存在, 即z x x ∂∂⎛⎫ ⎪∂∂⎝⎭，z y x ∂∂⎛⎫ ⎪∂∂⎝⎭，z x y ⎛⎫∂∂ ⎪∂∂⎝⎭，z y y ⎛⎫∂∂ ⎪∂∂⎝⎭，称它们为二元函数(,)z f x y =的的二阶偏导数．二元函数的二元偏导数最多有4个．将z x x ∂∂⎛⎫⎪∂∂⎝⎭表为22z x ∂∂或(,)xxf x y ''或xx z ''； z y x ∂∂⎛⎫⎪∂∂⎝⎭表为2z x y ∂∂∂或(,)xy f x y ''或xy z ''； z x y ⎛⎫∂∂ ⎪∂∂⎝⎭表为2z y x ∂∂∂或(,)yxf x y ''或yx z ''； z y y ⎛⎫∂∂ ⎪∂∂⎝⎭表为22z y ∂∂或(,)yyf x y ''或yy z ''． 其中，2(,)xy xy z z f x y z y x x y ∂∂∂⎛⎫''''=== ⎪∂∂∂∂⎝⎭，2(,)yx yx z zf x y z x y y x⎛⎫∂∂∂''''=== ⎪∂∂∂∂⎝⎭是二阶混合偏导数类似地,二阶偏导数的偏导数，称为原来函数的三阶偏导数，二元函数(,)z f x y =的三阶偏导数最多有8个：xxxf '''，xxy f '''，xyx f '''，xyy f '''，yxx f '''，yxy f '''，yyx f '''，yyy f ''' 一般地，1n -阶偏导数的偏导数，称为原来函数的n 阶偏导数，二元函数(,)z f x y =的n 阶偏导数最多有2n 个．二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数，而z x∂∂和z y∂∂称为函数的一阶偏导数．注：二阶偏导数的计算方法是逐次求偏导数． 定理１（求偏导数次序无关的定理） 如果函数(,)z f x y =的两个二阶混合偏导数2z x y∂∂∂，2z y x∂∂∂在区域D 内连续,则对任何(,)x y D ∈有2z x y ∂∂∂2zy x ∂=∂∂. 即二阶混合偏导数连续的条件下,混合偏导数与求导的次序无关,对更高阶的偏导数也有类似的结论．4.全导数的定义 设(,)z f u v =，()u t ϕ=，()v t ψ=，且f、ϕ、ψ均可导，则关于t 的一元函数[(),()]z f t t ϕψ=也可导，且有dz f du f dvdt u dt v dt∂∂=+∂∂ z 对t 的导数叫全导数．四、全微分 1.定义 设函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某邻域内有定义,给x ，y 在00(,)x y 分别以增量x ∆、y ∆，相应地得到函数的全增量z ∆，若其可表示为()z A x B y o ρ∆=∆+∆+其中A 、B 与x ∆、y ∆无关．ρ=()o ρ为0x ∆→，0y ∆→时ρ的高阶无穷小．则称函数(,)f x y 在000(,)P x y 处可微．A x B y ∆+∆称为(,)f x y 在000(,)P x y 处的全微分，记为00(,)(,)x y dz df x y A x B y ==∆+∆当(,)z f x y =在000(,)P x y 可微时，0000(,)x x x y y zA f x y x==∂'==∂,0000(,)y x x y y z B f x y y==∂'==∂，于是000(,)x y x x x x y y y y z z dz x y xy====∂∂=∆+∆∂∂注意：规定自变量的增量等于自变量的微分，即x dx ∆=，y dy ∆=，则全微分又可记为z zdz dx dy x y∂∂=+∂∂. 五、二元函数的连续、偏导数及全微分之间的关系 定理 2 若函数(,)z f x y =在点(,)P x y 处可微，则函数在点(,)P x y 连续．定理3 （可微的必要条件）如果函数(,)z f x y =在点(,)P x y 处可微，则在该点处的两个偏导数zx∂∂、z y∂∂必都存在，且z zdz dx dy x y∂∂=+∂∂． 定理4 （可微的充分条件）若函数(,)z f x y =的两个偏导数z x∂∂、z y ∂∂在点(,)P x y 的某领域存在，并且在点(,)P x y 处连续，则函数(,)z f x y =在点(,)P x y 处必可微．注：若(,)z f x y =在(,)P x y 处,z x∂∂、z y∂∂都存在,不能保证(,)z f x y =在(,)P x y 处可微分.例如：222222,0(,)0,0xyx y x yf x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在点(0,0)处(0,0)0x f =，(0,0)0y f '=但它在点(0,0)处不可微分.注：（1）关于二元函数全微分的定义及可微分的充分条件可以完全类似地推广到三元和三元以上的多元函数.（2）函数(,)z f x y =的偏导数存在与否与函数是否连续毫无关系．六、多元复合函数微分定理(复合函数的偏导数)设函数(,)u x y ϕ=，(,)v x y ψ=在点(,)x y 处有偏导数，函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 处有连续偏导数,，则复合函数((,),(,))z f x y x y ϕψ=在点(,)x y 处的偏导数存在,且z z u z v x u x v x∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂z z u z v y u y v y∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂七、隐函数微分zu vxy1.一元隐函数求导公式方程 (,)0()F x y y y x =⇒=，(,())0F x y x ≡，链式图两边对x 求导，得：0F F dy x y dx∂∂+⋅=∂∂， 则xy FFdy x F dx F y∂∂=-=-∂∂2.二元隐函数求导公式方程(,,)0(,)F x y z z z x y =⇒=得(,,(,))0F x y z x y ≡ 两边对x 求导：0F F z x z x∂∂∂+⋅=∂∂∂ 两边对y 求导：0F F z y z y∂∂∂+⋅=∂∂∂ 得x zF zx F ∂=-∂ y zFz yF ∂=-∂7.2 偏导数在几何上的应用一、空间曲线的切线与法平面空间曲线()()()x x t y y t z z t =⎧⎪Γ=⎨⎪=⎩，下面给出曲线Γ的切线的定义．定义：设点0000(,,)M x y z 是空间曲线Γ上的一个定点，M 是曲线Γ上的一个动点，当点M 沿着曲线Γ趋近于0M 时，割线0M M 的极限位置0M T （如果存在）称为曲线Γ在点0M 的切线，并称过点0M 而且垂直于切线0M T的平面为曲线Γ在点0M 的法平面．下面推导曲线Γ在点0M 的切线和法平面方程．Fxyx设对应于定点0M 的参数为0t ，令00()x x t =，00()y y t =，00()z z t =，则点0M 的坐标为000(,,)x y z ，设曲线Γ上对应于参数为0t t +∆的点M 的坐标为000(,,)x x y y z z +∆+∆+∆，根据解析几何知识，割线0M M 的方向向量为{,,}x y z ∆∆∆，也可取为{,,}x y zt t t∆∆∆∆∆∆，当0t ∆→时，点M 沿着曲线Γ趋于0M ，割线0M M 的极限位置就是曲线Γ在点0M 的切线，若()x t ，()y t ，()z t 在0t 处可导且导数不同时为零，那么此时切线的方向向量为000{(),(),()}x t y t z t '''，从而曲线Γ在点0000(,,)M x y z 处的切线方程为000000()()()x x y y z z x t y t z t ---=='''曲线Γ在点0M 的法平面方程为000000()()()()()()0x t x x y t y y z t z z '''-+-+-=二、曲面的切平面与法线设曲面方程为(,,)0F x y z =，过点0000(,,)M x y z 且完全在曲面上的曲线为Γ，其参数方程为()()()x x t y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩，因此((),(),())0F x t y t z t =．对t 求导，在0t t =处（即在点0M 处）有000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0x y z F x y z x t F x y z y t F x y z z t ''''''++=向量000{(),(),()}x t y t z t '''是曲线Γ在点0M 的切线的方向向量，向量000000000{(,,),(,,),(,,)}x y z F x y z F x y z F x y z '''和这些切线垂直，又由于所取曲线Γ的任意性，可知曲面上任意一条过0M 的曲线，它在点0M 的切线皆垂直于向量000000000{(,,),(,,),(,,)}x y z F x y z F x y z F x y z '''，因此这些切线应位于同一平面上，这个平面称为曲面在点0M 处的切平面，向量000000000{(,,),(,,),(,,)}x y z F x y z F x y z F x y z '''是切平面的法向量．曲面在点0M 处的切平面方程为000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0x y z F x y z x x F x y z y y F x y z z z '''-+-+-=曲面在点0M 处的法线方程为000000000000(,,)(,,)(,,)x y z x x y y z z F x y z F x y z F x y z ---=='''． 7.3 二元函数的极值一、二元函数的极值 定义1：设函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某个邻域内有定义，若该邻域内00(,)(,)f x y f x y ≤，点00(,)x y 为极大点，00(,)f x y 为极大值；00(,)(,)f x y f x y ≥，点00(,)x y 为极小点，00(,)f x y 为极小值.极小值点和极大值点统称为极值点，极小值和极大值通称为极值． 定义2：方程组(,)0(,)0x yf x y f x y '=⎧⎨'=⎩的解，称为函数(,)z f x y =的驻点． 定理1（取极值的必要条件）：若函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 一阶偏导数存在，且000(,)P x y 是(,)z f x y =的极值点，则该点的偏导数必为零，即0000(,)0(,)0x y f x y f x y '=⎧⎨'=⎩．定理2（极值存在的充分条件）：设点000(,)P x y 是函数(,)z f x y =的驻点，且函数在点000(,)P x y 的某邻域内二阶偏导数连续，令00(,)xxA f x y ''=00(,)xyB f x y ''=00(,)yyC f x y ''= 则 (1)当20B AC -<时,点000(,)P x y 是极值点,且（i ）当0A <(或0C <)时,点000(,)P x y 是极大值点；()当0A >(或0C >)时,点000(,)P x y 是极小值点.（2）当20B AC ->时，点000(,)P x y 不是极值点.（3）当20B AC -=时，点000(,)P x y 可能是极值点也可能不是极值点.例1 求函数322(,)421f x y x x xy y =-+-+的极值. 解: （1）求偏导数2(,)382x f x y x x y '=-+，(,)22y f x y x y '=-，(,)68xxf x y x '=-，(,)xy f x y y '=，(,)2yy f x y '=-（2）解方程组2(,)3820(,)220x y f x y x x y f x y x y '⎧=-+=⎪⎨'=-=⎪⎩得驻点(0,0)及(2,2) 在(0,0)处，8A =-,2B =,2C =-,20B AC ∆=-< 在(2,2)处，4A =,2B =,2C =-,20B AC ∆=->结论： 函数在(0,0)处取得极大值(0,0)1f =，在(2,2)无极值. 注意：对一般函数,可能的极值点包括驻点或至少一个偏导数不存在的点.二、条件极值与无条件极值 1.求二元函数无条件极值步骤如下： （1）求(,)x f x y '，(,)y f x y '，并解方程组(,)0(,)0x y f x y f x y '=⎧⎨'=⎩，求得所有驻点；（2）对于每一个驻点(,)x y ，求出二阶偏导数的值00(,)xxA f x y ''=，00(,)xyB f x y ''=，00(,)yyC f x y ''=； （3）定出2B AC -的符号，利用极值存在的充分条件判断驻点(,)x y 是否为极值点，若是，是极大值点还是极小值点，并求出极值．2.求二元函数(,)z f x y =在约束条件(,)0x y ϕ=下的极值的方法和步骤如下：方法一：条件极值⇒无条件极值 （1）从约束条件(,)0x y ϕ=中求出()y x ψ=；（2）将()y x ψ=代入二元函数(,)f x y 中化为一元函数(,())f x x ψ，变为无条件极值；（3）求出一元函数(,())f x x ψ的极值即为所求．方法二：条件极值不能转化为无条件极值（运用拉格朗日乘数法）.(1)构造辅助函数(,,)(,)F x y f x y λ=(,)x y λϕ+,称为拉格朗日函数,其中参数λ称为拉格朗日乘数；(2)由(,,)F x y λ的一阶偏导数组成如下方程组：(,)(,)(,)0(,)(,)(,)0(,)0x x x y y y F x y f x y x y F x y f x y x y x y λϕλϕϕ'''=+=⎧⎪'''=+=⎨⎪=⎩（3）结上述方程组得驻点00(,)x y ，则00(,)x y 就是函数的极值点，依题意判断00(,)f x y 是极大值还是极小值．上述方法即拉格朗日乘数法可平行地推广到多元函数、多个限制条件上去．例2 求表面积为2a ，而体积为最大的长方体的体积. 解：设长方体长、宽、高分别为x ，y ，z ，则长方体体积为V xyz =，约束条件为22()xy yz xz a ++=即2(,,)2()0x y z xy yz xz a ϕ=++-=构造辅助函数2(,,)2()2a F x y z xyz xy yz xz λ=+++-解联立方程组2(,,)2()0(,,)2()0(,,)2()02()0x yz F x y z yz y z F x y z xz x z F x y z xy x y xy yz xz a λλλ'=++=⎧⎪'=++=⎪⎨'=++=⎪⎪++-=⎩解得x y z ===λ=因为是唯一可能的极值点，所以由问题的实际意义知3max 36V a =. 三、最值的求解在有界闭区域D 上连续的函数一定在该区域D 上取得最大值和最小值，最值点可能在D 的内部也可能在D 的边界点上，如果假定函数在D 上连续，在D 内可微分且只有有限个驻点，这时如果函数在D 的内部取得最大值（最小值），那么这个最大值（最小值）也是函数的极大值（极小值）.因此在上述假定下，求函数的最大值和最小值的一般方法是：将函数(,)f x y 在D 内的所有驻点处的函数值及在D 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值.但是这种做法并不简单，因为求函数在边界上的最大值和最小值一般来说仍然是相当复杂的，在通常遇到的实际问题中，如果根据问题的性质，知道函数(,)f x y 的最大值（最小值）一定在D 的内部取得，而函数在D 内只有一个驻点，那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数(,)f x y 在D 上的最大值（最小值）.例 3 要做一个容积为V 的长方体箱子，问箱子各边的尺寸多大时，所用材料最省？解 设箱子的长、宽分别为, x y ，则高为Vxy ．箱子所用材料的表面积为2()V VS xy y x xy xy=+⋅+⋅2()V V xy x y =++ (0x >,0y >)．当面积S 最小时，所用材料最省．为此求函数(, )S x y 的驻点，222()0,2()0,SV y x x S V x yy ∂⎧=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=∂⎪⎩解这个方程组，得唯一驻点． 根据实际问题可以断定，S 一定存在最小值且在区域D 内取得．而在区域D内只有唯一驻点，则该点就是其最小值点，即当===z y x 3V 时，所用的材料最省．最新文件仅供参考已改成word文本。
微积分讲座---Z2.13 卷积公式
f1(t) * f2 (t)
f1( )
f2 (t
)d
e ( ) (t )d
e (t- )d 0
[ t e d ] (t) 0
e t (t) 0
(1 et ) (t)
4
h(t)
LTI系统 零状态
由时不变性： δ(t-τ)
h(t-τ)
由齐次性：f (τ)δ(t-τ)
f (τ) h(t-τ)
yzs(t)?
由叠加性：
f (τ)δ (tτ )dτ ǁ
f (τ ) h (t τ )d τ ǁ
f (t)
yzs (t)
y zs (t )
f ( )h(t ) d 卷积积分
量，t为参变量。结果仍为t 的函数。可演变其他上下限.
yzs (t)
f ( )h(t ) d f (t) * h(t)
3
2.3 卷积积分
第二章 连续系统的时域分析
例1：f1 (t) =e-tε(t) ， f2 (t) = ε(t)，求f (t) = f1 (t)* f2 (t)。
解： f (t)
2
2.3 卷积积分
第二章 连续系统的时域分析
[定义] 卷积积分
已知定义在区间(–∞,∞)上的两个函数f1(t)和f2(t)，则
定义积分
f (t)
f1(
)
f2 (t
)d
为f1(t)与f2(t)的卷积积分，简称卷积；记为 f(t)= f1(t)*f2(t)
注意：积分是在虚设的变量τ下进行的，τ为积分变
2.3 卷积积分
知识点Z2.13
第二章 连续系统的时Байду номын сангаас分析
卷积公式
主要内容：
微积分讲座---Z2.22 矩形脉冲的卷积产生三角形和梯形脉冲
g (t) g
t
2
3
2.3 卷积积分
(4) 0≤ t≤τ 时：
g (t) g (t)
2
t
(11)dx
t
2
整理：
0
g (t) g (t) t t
t ，t t 0 0t
第二章 连续系统的时域分析
4
2.3 卷积积分
第二章 连续系统的时域分析
2.3 卷积积分
知识点Z2.22
第二章 连续系统的时域分析
矩形脉冲的卷积产生三角形和梯形脉冲
主要内容：
1. 同门宽矩形脉冲的卷积结果 2. 不同门宽矩形脉冲的卷积结果
基本要求：
掌握同门宽矩形脉冲的卷积产生三角形脉冲
1
2.3 卷积积分
第二章 连续系统的时域分析
Z2.22 矩形脉冲的卷积产生三角形和梯形脉冲
例2 两个门函数gτ1(t)和gτ2(t)，其幅度为1，宽度分别为τ1 和
τ2 ，求卷积积分 g 1 (t ) g 2 (t )。
结论：两个不同宽的门函数卷积时，其结果为梯形函数，梯 形函数的高度为窄门的门宽（面积），其上底为两个门函数宽 度之差绝对值，下底为两个门函数宽度之和。
5
例1 如图所示门函数gτ(t) ，在电子技术中称为矩形脉冲，其幅
度为1，宽度为τ ，求卷积积分 g (t) g (t)。
解：图解法
(1) 对gτ(t) 换元反折
2
2.3 卷积积分
(2) t <-τ 或 t >τ 时：
gτ(t) ﹡gτ(t) =0；
第二章 连续系统的时域分析
(3) -τ ≤ t< 0 时：
微积分讲座---Z2.2 微分方程的模拟框图
解：该方程右端含f(t)的导数，引入辅助函数画出框图。
设辅助函数x(t)满足
x”(t) + 3x’(t)+ 2x(t) = f(t)
移项整理得： x”(t) = -3x’(t)-2x(t) + f(t)
可推导出:
y(t) = 4x’(t) + x(t)。(由LTI特性)
4
∑ f(t)
x"(t) ∫
3
2
2.1 LTI连续系统的响应
第二章 连续系统的时域分析
y”(t) = f(t) –ay’(t) –by(t)
y''(t)
y'(t)
y(t)
∑
∫
∫
f(t)
a
b
3
2.1 LTI连续系统的响应
第二章 连续系统的时域分析
例2 已知y”(t) + 3y’(t)+ 2y(t) = 4f’(t) + f(t)，画框图。
熟练掌握框图和微分方程的关系21lti连续系统的响应第二章连续系统的时域分析z22微分方程的模拟框图1
2.1 LTI连续系统的响应
知识点Z2.2
第二章 连续系统的时域分析
微分方程的模拟框图
主要内容：
1. 基本部件的模型 2. 框图和方程之间的转换
基本要求：
1. 掌握框图的作图方法 2. 熟练掌握框图和微分方程的关系
f1 (t )
加法器：
f2 (t)
f1(t) f2 (t) ∑
a
数乘器： f(t)
af(t)
或a
积分器：
f (t)
∫
积分器的抗干扰性比微分器好
t
f (x)d x
《微积分》课件
微积分的历史背景
01
微积分的发展可以追溯到古代数 学，如希腊数学家阿基米德在求 面积和体积时已经有了积分学的 萌芽。
02
微积分的真正奠基人是牛顿和莱 布尼茨，他们分别独立地发展出 了微积分的基本理论，为后来的 数学发展奠定了基础。
《微积分》PPT课件
contents
目录
• 微积分的定义与历史 • 微积分的基本概念 • 微积分的应用 • 微积分的解题技巧 • 微积分的重点与难点解析 • 微积分的习题与答案解析
01
微积分的定义与历史
微积分的定义
微积分是研究函数、极限和连续性的 数学分支，通过微分和积分的方法来 研究函数的性质和变化规律。
极限的运算性质与法则
1 2
极限的运算性质
极限的四则运算法则、复合函数的极限运算法则 等。
极限的法则
极限的保号性、极限的局部有界性等。
3
注意事项
理解极限的运算法则和性质是解决极限问题的关 键，需要注意运算过程中的等价变换和放缩技巧 。
导数的几何意义与运算性质
导数的几何意义
切线的斜率、函数图像的变化率等。
习题一：极限的运算
$lim_{x to infty} frac{1}{x}$
判断下列叙述是否正 确，并说明理由
$lim_{x to 0} (1 + x)^{1/x}$
习题一：极限的运算
$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$
$lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0$
$lim_{x to 0} (1 + x)^{1/x} = e$
主讲教师陈殿友
要使自己的专业
知识漫到其它领域.
1984年来中国矿业大学视察时给
给师生题词: “ 学而优则用, 学而优则创 ”.
三、高等数学 的性质与作用
高等数学是数学的一个分支，是数学的基础理论课之一，它是理工科大学生必修的数学基础理论课程，也是学习后续数学的必修课，还是学习其他专业的必修课。
解:
当
时,
则
当
时,
则
当
时,
则
反函数
定义域为
内容小结
1. 集合的概念
定义域 对应规律
3. 函数的特性
有界性, 单调性, 奇偶性, 周期性
4. 初等函数的结构
作业 练习题1.1
2. 函数的定义及函数的二要素
且
备用题
证明
证: 令
则
由
消去
得
时
其中
a, b, c 为常数,
定义3. 对于自变量x变化范围内的每一个值x0，函数y有一个确定的值y 0与之对应，我们称函数在点x0处是有定义的，使函数有定义的全体的点的全体（也就是x的变化范围）称为函数的定义域。
定义域
自变量
因变量
f ( D ) 称为值域
函数图形:
(对应规则)
(值域)
(定义域)
例如, 反正弦主值
2) 函数
与其反函数
的图形关于直线
对称 .
例如 ,
对数函数
互为反函数 ,
它们都单调递增,
其图形关于直线
对称 .
指数函数
(2) 复合函数
则
两个函数的所谓复合，实际上就是中间变量介入自变量到因变量的变化过程.设有如下两个函数
称为由①, ②确定的复合函数 ,
暑期讲座2微分方程的解法
当精度较低时，计算时 间比ode15s短
优秀课件，精彩无限！
20
参数说明
[T,Y] = solver(odefun,tspan,y0)
odefun 为显式常微分方程，可以用命令 inline 定义，或 在函数文件中定义，然后通过函数句柄调用。
例
4：求初值问题
dy
dx
2 y
2x2
2x
'x(0)=1', 'y(0)=1','t')
r = dsolve('Dx+5*x=0','Dy-3*y=0', ... 'x(0)=1', 'y(0)=1','t')
这里返回的 r 是一个 结构类型 的数据
r.x %查看解函数 x(t) r.y %查看解函数 y(t)
dsolve的输出个数只能为一个 或 与方程个数相等。
度均可到 10-3～10-6
ode23t 适度刚性 采用梯形算法
适度刚性情形
ode15s 刚性 多步法；Gear’s 反向数值微 若 ode45 失效时，可
分；精度中等
尝试使用
ode23s 刚性 单步法；2 阶Rosebrock 算 当精度较低时，计算时
法；低精度
间比 ode15s 短
ode23tb 刚性 梯形算法；低精度
2x
2
1/
3
3
解析解
近似解
优秀课件，精彩无限！
7
Runge-Kutta 方法
为了减小误差，可采用以下方法：
让步长 h 取得更小一些； 改用具有较高精度的数值方法：
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微积分专题讲座(2)«Skip Record If...»微积分专题讲座（下）一、向量代数和空间解析几何向量代数«Skip Record If...»1、设为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»为单位向量，且«SkipRecord If...»+«Skip Record If...»+«Skip Record If...»=«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»+«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»+«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»=______。
（—«Skip Record If...»）2、设（«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»）«Skip Record If...»«SkipRecord If...»=2，则[(«Skip Record If...»+«Skip Record If...»)«Skip Record If...» («Skip Record If...»+«Skip Record If...»)]«Skip Record If...»(«Skip Record If...»+«Skip RecordIf...»)=_______。
（4）3、若«Skip Record If...»=1，«Skip Record If...»=4，且«Skip Record If...»«Skip Record If...»（«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»）=«Skip Record If...»—3«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»与«Skip Record If...»的夹角«Skip RecordIf...»=________。
（arccos«Skip Record If...»）4、若«Skip Record If...»=«Skip Record If...»，«Skip Record If...»=1，且«Skip Record If...»与«Skip Record If...»的夹角«Skip Record If...»=«Skip Record If...»，求：（1）«Skip Record If...»+«Skip Record If...»与«Skip Record If...»—«Skip Record If...»的夹角；【arccos«Skip Record If...»】；（2）以«Skip Record If...»+2«Skip Record If...»与«Skip Record If...»—3«Skip Record If...»为邻边的平行四边形的面积。
【«Skip Record If...»】；5、设（«Skip Record If...»+3«Skip Record If...»）«Skip Record If...»（7«Skip Record If...»—5«Skip Record If...»），（«Skip Record If...»—4«Skip Record If...»）«Skip Record If...»（7«Skip Record If...»—2«Skip Record If...»），求«Skip Record If...»与«Skip Record If...»的夹角«Skip Record If...»。
【«Skip Record If...»=«Skip Record If...»】空间解析几何6、设有直线«Skip Record If...»：«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»，«Skip Record If...»：«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»，求过«Skip Record If...»且平行于«Skip Record If...»的平面方程。
7、求经过点P（2，-3,1）并且与直线L：«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»垂直相交的直线方程。
8、求直线L：«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»在平面«Skip Record If...»：x-y+2z-1=0上的投影直线«Skip Record If...»的方程，并求«Skip Record If...»绕y轴旋转一周所成的曲面方程。
二、多元微分学概念及其关系1、讨论f（x，y）=«Skip Record If...»在点（0,0）处的连续性、可导性。
2、讨论f（x，y）=«Skip Record If...»在点（0,0）处的连续性、可导性和可微性。
3、讨论f（x，y）=«Skip Record If...»在点（0,0）处连续性、可导性和可微性。
4、设函数f（x,y）在点（«Skip Record If...»）的两个偏导数都存在，则（）【C】（A）f（x，y）在点（«Skip Record If...»）连续；（B）f（x，y）在点（«Skip Record If...»）可微；（C）«Skip Record If...»f（x，«Skip Record If...»）与«Skip Record If...»f（«Skip Record If...»，y）都存在；（D）«Skip Record If...»f（x，y）存在。
5、二元函数f（x，y）在点（0,0）处可微的一个充分条件是（）【C】（A）«Skip Record If...»[f(x,y)-f(0,0)]=0; ( B) «Skip Record If...»«Skip Record If...»且«Skip Record If...»«Skip Record If...»；（C）«Skip Record If...»«Skip Record If...»；（D）«Skip Record If...»[«Skip Record If...»(x,0)—«Skip Record If...»(0,0)]=0,且«Skip Record If...»[«Skip Record If...»(0,y)—«Skip Record If...»（0,0）]=0。
偏导数与全微分6、设z=（«Skip Record If...»+«Skip Record If...»）«Skip Record If...»，求«Skip Record If...»与«Skip Record If...»。
7、设z=«Skip Record If...»，u=ln«Skip Record If...»，v=arctan«Skip Record If...»，求«Skip Record If...»。