安徽省省级示范高中名校高三数学大联考试题 理(扫描版)新人教A版
安徽省级示范高中(安庆一中等)高三数学联考试题 理 新人教A版
2014届安徽省示范高中高三第一次联考理科数学一、选择题（50分）（1）已知函数21,1()2,1xx x f x ax x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩，若f （f （1））＝4a ，则实数a 等于 A 、12 B 、43 C 、2 D 、4（2）在平面直角坐标系中，A1），N 点是以原点O 为圆心的单位圆上的动点，则||OA OB +的最大值是A 、4B 、3C 、2D 、1 （3）集合则集合S 的个数为A 、0B 、2C 、4D 、8（4）我们把形如“1324”和“3241”形式的数称为“锯齿数”（即大小间隔的数），由1，2，3，4四个数组成一个没有重复数字的四位数，则该四位数恰好是“锯齿数”的概率为A 、12B 、512C 、13D 、14（5）函数f(x)=|tanx|,则函数y ＝f （x ）＋log4x －1与x 轴的交点个数是 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 （6）若，且，则（7）已知数列{n a }的前n 项和Sn ＝n2－n ，正项等比数列{n b }中，则A 、n －1B 、2n －1C 、n －2D 、n（8）已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x2＋y2＝－2y ＋3，直线l 经过点（1,0）且与直线x －y ＋1＝0垂直，若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则△OAB 的面积为 A 、1 BC 、2D 、（9）给出下列五个命题：①某班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容易为4的样本，已知7号，33号，46号同学在样本中，那么样本另一位同学的编号为23； ②一组数据1、2、3、4、5的平均数、众数、中位数相同；③一组数据a 、0、1、2、3，若该组数据的平均值为1，则样本标准差为2；④根据具有线性相关关系的两个变量 的统计数据所得的回归直线方程为y=ax+b 中，b=2,1,3x y ==,则a ＝1；⑤如图是根据抽样检测后得出的产品样本净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克，并且小于104克的产品的个数是90。
《精编》安徽省皖南八校高三数学12月联考试题 理(含解析)新人教A版.doc
安徽省皖南八校届高三〔上〕12月联考数学试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．〔5分〕等于〔〕A．1+i B．﹣1+i C．1﹣i D．﹣1﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：直接利用两个复数代数形式的乘除法法那么，运算求得结果．解答：解：=﹣2i=1+i﹣2i=1﹣i，应选C．点评：此题主要考查两个复数代数形式的乘除法，属于根底题．2．〔5分〕集合A={1，2，3，4，5}，B={〔x，y〕|x∈A，y∈A，x＜y，x+y∈A}，那么集合B中的元素个数为〔〕A．2B．3C．4D．5考点：元素与集合关系的判断．专题：计算题．分析：通过集合B，利用x∈A，y∈A，x＜y，x+y∈A，求出x的不同值，对应y的值的个数，求出集合B中元素的个数．解答：解：因为集合A={1，2，3，4，5}，B={〔x，y〕|x∈A，y∈A，x＜y，x+y∈A}，当x=1时，y=2或y=3或y=4；当x=2时y=3；所以集合B中的元素个数为4．应选C．点评：此题考查集合的元素与集合的关系，考查根本知识的应用．3．〔5分〕各项均为正数的等差数列{a n}中，a2•a12=49，那么a7的最小值为〔〕A．7B．8C．9D．10考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由条件可得得 a7=，再利用根本不等式a7的最小值．解答：解：由等差数列的性质可得 a7=，∵等差数列{a n}中，各项均为正数，a2•a12=49，∴≥=7，当且仅当 a2 =a12 时，等号成立，故那么a7的最小值为 7，应选A．点评：此题主要考查等差数列的性质应用，根本不等式的应用，属于中档题．4．〔5分〕某8个数的平均数为5，方差为2，现又参加一个新数据5，此时这9个数的平均数为，方差为S2，那么〔〕A．B．C．D．考点：极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．专题：计算题；概率与统计．分析：由题设条件，利用平均数和方差的计算公式进行求解．解答：解：∵某8个数的平均数为5，方差为2，现又参加一个新数据5，此时这9个数的平均数为，方差为S2，∴==5，=，应选A．点评：此题考查平均数和方差的计算公式的应用，是根底题．解题时要认真审题，仔细解答．5．〔5分〕〔•东城区一模〕命题：“假设x⊥y，y∥z，那么x⊥z〞成立，那么字母x，y，z 在空间所表示的几何图形不能〔〕A．都是直线B．都是平面C．x，y是直线，z是平面D．x，z是平面，y是直线考平面与平面之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．点：分析：此题考查的知识点是空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置判断，我们可根据空间中点、线、面之间的位置关系判定或性质定理对四个答案逐一进行分析，即可得到答案．解答：解：假设字母x，y，z在空间所表示的几何图形都是直线，那么由线线夹角的定义，我们易得两条平行线与第三条直线所成夹角相等，故A不满足题意．假设字母x，y，z在空间所表示的几何图形都是平面那么由面面夹角的定义，我们易得两个平行平面与第三个平面所成夹角相等，故B不满足题意．假设字母x，y，z在空间所表示的几何图形x，y是直线，z是平面假设x⊥y，y∥z，时，x也可能与z平行，故C满足题意．假设字母x，y，z在空间所表示的几何图形x，z是平面，y是直线那么由面面垂直的判定定理易得结论正确故D不满足题意．点评：线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由想性质，由求证想判定〞，也就是说，根据条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．6．〔5分〕“2012”含有数字0，1，2，且有两个数字2，那么含有数字0，1，2，且有两个相同数字2或1的四位数的个数为〔〕A．18 B．24 C．27 D．36考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题；概率与统计．分析：分类讨论，满足题意的四位数，1、2开头的四位数各6个，即可得到结论．解答：解：由题意，1开头的四位数，其中2个1有6个，2个2有3个；2开头的四位数，其中2个2有6个，2个1有3个，故满足题意的四位数的个数为9+9=18个应选A．点评：此题考查计数原理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于根底题．7．〔5分〕〔•武汉模拟〕执行如以以下图的程序框图，假设输出的结果是9，那么判断框内m的取值范围是〔〕A．〔42，56] B．〔56，72] C．〔72，90] D．〔42，90〕考点：循环结构．专题：阅读型．分析：由中该程序的功能是计算2+4+6+…值，由循环变量的初值为1，步长为1，最后一次进入循环的终值为9，即S=72，由此易给出判断框内m的取值范围．解答：解：∵该程序的功能是计算 2+4+6+…值，由循环变量的初值为1，步长为1，最后一次进入循环的终值为9，第1次循环：S=0+2=2 k=1+1=2第2次循环：S=2+4=6 k=2+1=3第3次循环：S=6+6=12 k=3+1=4第4次循环：S=12+8=20 k=4+1=5…第7次循环：S=42+14=56 k=7+1=8第8次循环：S=56+16=72 k=8+1=9退出循环．此时S=72，不满足条件，跳出循环，输出k=9 那么判断框内m的取值范围是m∈〔56，72]．应选B．点评：此题主要考查了循环结构，是算法中重要的一种题型，同时考查了分析问题的能力，属于根底题．8．〔5分〕设命题p：〔x，y，k∈R，且k＞0〕命题q：〔x﹣3〕2+y2≤25〔x，y∈R〕，假设P是q的充分不必要条件，那么k的取值范围是〔〕A．〔0，3] B．〔0，6] C．〔0，5] D．[1，6]考简单线性规划；必要条件、充分条件与充要条件的判断．点：专题：计算题．分析：命题p：命题q：〔x﹣3〕2+y2≤25〔x，y∈R〕，p是q的充分不必要条件可得p⇒q，说明p所表示的区域在q所表示的区域内部，画出p和q的可行域，利用数形结合的方法进行求解；解答：解：由题意可得，p是q的充分不必要条件，可得p⇒q，说明p所表示的区域在q所表示的区域内部，数形结合，画出p和q的区域范围，如以以以下图：B〔k，4﹣〕，可知只需满足条件：∴，解得0＜k≤6；应选B；点评：此题主要考查线性规划问题，解题的过程中用到了数形结合的方法，解决此题的关键是能够正确画出可行域，此题是一道中档题；9．〔5分〕过双曲线的左焦点F作直线交双曲线的两条渐近线与A，B两点，假设，那么双曲线的离心率为〔〕A．B．C．2D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用向量的线性运算及数量积运算，可得∠BOF=∠AOB=∠AOx=60°，由此可求双曲线的离心率．解答：解：∵，∴，∴∵，∴B为FA的中点∴∠BOF=∠AOB=∠AOx=60°∴∴双曲线的离心率为e==2．应选C点评：此题考查双曲线的离心率，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于根底题．10．〔5分〕函数f〔x〕=1+x﹣，设F〔x〕=f〔x+4〕，且函数F〔x〕的零点均在区间[a，b]〔a＜b，a，b∈Z〕内，圆x2+y2=b﹣a的面积的最小值是〔〕A．πB．2πC．3πD．4π考点：圆的标准方程；函数的零点．专题：计算题；导数的概念及应用；直线与圆．分析：利用导数研究函数f〔x〕的单调性，得函数f〔x〕是R上的增函数．再用零点存在性定理，得f〔x〕在R上有唯一零点x0∈〔﹣1，0〕，结合函数图象的平移知识可得数F〔x〕的零点必在区间〔﹣5，﹣4〕．由此不难得到b﹣a的最小值，进而得到所求圆面积的最小值．解答：解：∵f〔x〕=1+x﹣，∴当x＜﹣1或x＞﹣1时，f'〔x〕=1﹣x+x2﹣x3+…+x=＞0．而当x=﹣1时，f'〔x〕=＞0∴f'〔x〕＞0对任意x∈R恒成立，得函数f〔x〕是〔﹣∞，+∞〕上的增函数∵f〔﹣1〕=〔1﹣1〕+〔﹣﹣〕+…+〔﹣﹣〕＜0，f〔0〕=1＞0 ∴函数f〔x〕在R上有唯一零点x0∈〔﹣1，0〕∵F〔x〕=f〔x+4〕，得函数F〔x〕的零点是x0﹣4∈〔﹣5，﹣4〕∴a≤﹣5且b≥﹣4，得b﹣a的最小值为﹣4﹣〔﹣5〕=1∵圆x2+y2=b﹣a的圆心为原点，半径r=∴圆x2+y2=b﹣a的面积为πr2=π〔b﹣a〕≤π，可得面积的最小值为π应选：A点评：此题给出关于x的多项式函数，求函数零点所在的区间长度的最小值．着重考查了函数的零点、圆的标准方程和利用导数研究函数的性质等知识点，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分.把答案填在答题卷中的横线上. 11．〔5分〕展开式中不含x3项的系数的和为0 ．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：把x=1代入可得所有项的系数的和，由二项式定理可得含X3项的系数为1，两个系数的差即为所求．解答：解：把x=1代入可得展开式中所有项的系数的和为〔1﹣2〕6=1，而含X3项为：=x3，即x3系数为1，故展开式中不含X3项的系数的和为：1﹣1=0，故答案为：0点评：此题考查二项式系数的性质，赋值是解决问题的关键，属根底题．12．〔5分〕〔•东莞二模〕某个几何体的三视图如以以下图，那么这个几何体的体积是 6 ．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由中的三视图，我们可分析出几何体的形状及底面边长高等信息，代入棱锥体积公式，可得答案．解答：解：由中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面，以2为高的四棱锥故这个几何体的体积V=Sh=•3×3×2=6故答案为：6点评：此题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据的三视图分析出几何体的形状是解答的关键．13．〔5分〕设非零向量、，，满足||=||=||，+=，那么sin＜，＞= ．考点：平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由向量式可得=﹣=﹣，而cos==，代入可得其值，进而可得要求的值．解答：解：∵+=，∴，平方可得=﹣=﹣，∴cos===，∴sin=，故答案为：点评：此题考查向量的夹角公式，涉及向量的简单运算，属根底题．14．〔5分〕函数f〔x〕=sinωx+acosωx〔a＞0，ω＞0〕的图象关于直线x=对称，点〔〕是函数图象的一个对称中心，那么a+ω的最小值是．考点：正弦函数的对称性；y=Asin〔ωx+φ〕中参数的物理意义．专题：三角函数的图像与性质．分析：由f〔x〕=sinωx+acosωx〔a＞0，ω＞0〕的图象关于直线x=对称，可得f〔﹣〕=f〔〕=0，进而得到ω=k，再由a＞0，ω＞0，可得ω=3n+1，n∈N，此时a为定值，故当ω取最小值时，a+ω取最小值解答：解：∵f〔x〕=sinωx+acosωx〔a＞0，ω＞0〕的图象关于直线x=对称，∴f〔﹣〕=f〔〕=0∴﹣sin+acos=sin+acos=0；∴a=tan=﹣tan=tan〔﹣〕∴=﹣+kπ，k∈Z即ω=k∵a＞0，ω＞0∴ω=3n+1，n∈N此时a=tan〔n+〕π=故当ω=1时，a+ω的最小值是+1故答案为：+1点评：此题考查三角函数的性质，求得a是关键，考查正弦函数的对称性，考查分析、转化与运用三角知识解决问题的能力，属于难题．15．〔5分〕假设函数y=f〔x〕对定义域的每一个值x1，都存在唯一的x2，使y=f〔x1〕f〔x2〕=1成立，那么称此函数为“滨湖函数〞．以下命题正确的选项是②③．〔把你认为正确的序号都填上〕①y=是“滨湖函数〞；②y=+sinx〔x∈[]〕I是“滨湖函数〞；③y=2x是“滨湖函数〞；④y=lnx是“滨湖函数〞；⑤y=f〔x〕，y=g〔x〕都是“滨湖函数〞，且定义域相同，那么y=f〔x〕g〔x〕是“滨湖函数〞考点：抽象函数及其应用；函数的值．专题：新定义；函数的性质及应用．分析：利用“滨湖函数〞的定义，逐个分析①②③④⑤五个函数，能够得到结果．解答：解：对于①，对应的x1，x2不唯一，∴①不一定是“滨湖函数〞；对于②，函数y=是[﹣]上的单调增函数，对[﹣，]内的每一个值∈[]，，∴在[﹣，]内存在唯一的x2，使=∈[]成立，∴②是“滨湖函数〞；对于③，∵y=2x，2x•2﹣x=1，∴③是“滨湖函数〞；对于④，y=lnx有零点，∴④一定不是y=lnx“滨湖函数〞；对于⑤，∵y=f〔x〕，y=g〔x〕都是“滨湖函数〞，且定义域相同，∴对于定义域中每一个x1，都存在唯一的x2，使y=f〔x1〕f〔x2〕=1和y=g〔x1〕g 〔x2〕=1成立，∵两个x2不一定相等，∴y=f〔x1〕g〔x1〕•f〔x2〕g〔x2〕=1不一定成立，∴⑤不是“滨湖函数〞．故答案为：②③．点评：此题考查函数的性质的根本应用，解题时要认真审题，注意理解“滨湖函数〞的概念．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卷上的指定区域内.16．〔12分〕〔•资阳二模〕△ABC中，角A、B、C对边分别是a、b、c，满足．〔Ⅰ〕求角A的大小；〔Ⅱ〕求的最大值，并求取得最大值时角B、C的大小．考点：余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦函数的定义域和值域．专题：计算题．分析：〔Ⅰ〕通过化简向量的表达式，利用余弦定理求出A的余弦值，然后求角A的大小；〔Ⅱ〕通过A利用2012年6月7日 17：54：00想的内角和，化简为C的三角函数，通过C的范围求出表达式的最大值，即可求出最大值时角B、C的大小．解答：解〔Ⅰ〕由，化为2bccosA=a2﹣b2﹣c2﹣2bc，〔2分〕由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得4bccosA=﹣2bc，∴，〔4分〕∵0＜A＜π，∴．〔6分〕〔Ⅱ〕∵，∴，．=．〔8分〕∵，∴，∴当C+=，取最大值，解得B=C=．〔12分〕点评：此题借助向量的数量积考查余弦定理以及三角函数的最值，考查计算能力．17．〔12分〕如图，平行四边形ABCD中，AD=2，CD=，∠ADC=45°，AE⊥BC，垂足为E，沿直线AE将△BAE翻折成△B′AE，使得平面B′AE⊥平面AECD．连接B′D，P是B′D上的点．〔Ⅰ〕当B′P=PD时，求证：CP⊥平面AB′D；〔Ⅱ〕当B′P=2PD时，求二面角P﹣AC﹣D的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．专题：综合题．分析：〔Ⅰ〕由，得出E′E⊥EC，建立空间直角坐标系．通过•=0，•=0得出CP⊥AB′，CP⊥AD，证出CP⊥平面AB′D；〔Ⅱ〕设P〔x，y，z〕，那么=〔x，y，z﹣1〕，=〔2﹣x，1﹣y，﹣z〕，由=2得出P〔，，〕，分别求出面PAC 的法向量，平面DAC的法向量，利用向量的夹角求出二面角P﹣AC﹣D 的大小．解答：解：〔Ⅰ〕∵AE⊥BC，平面B′AE⊥平面AECD，∴E′E⊥EC．如图建立空间直角坐标系，…〔2分〕那么A〔0，1，0〕，B′〔0，0，1〕，C〔1，0，0〕，D〔2，1，0〕，E〔0，0，0〕，P〔1，〕．=〔0，﹣1，1〕，=〔2，0，0〕，=〔0，〕．…〔4分〕∵•=0，∴CP⊥AB′•=0，∴CP⊥AD又AB′∩AD=A，∴CP⊥平面AB′D；…〔7分〕〔Ⅱ〕设P〔x，y，z〕，那么=〔x，y，z﹣1〕，=〔2﹣x，1﹣y，﹣z〕，由=2得解得x= y=，z=，∴P〔，，〕=〔，，〕，=〔1，﹣1，0〕…〔10分〕设面PAC 的法向量为=〔x，y，z〕，那么．取x=y=1，z=﹣3．，那么=〔1，1，﹣3〕，…〔12分〕又平面DAC的法向量为=〔0，0，1〕，设二面角P﹣AC﹣D的大小为θ，那么cosθ===．…〔14分〕点评：此题考查空间直线和平面垂直的判定，二面角大小求解．考查空间想象、推理论证能力．利用空间向量的方法，能降低思维难度，思路相对固定，是人们研究解决几何体问题又一有力工具．18．〔12分〕某电视台举办的闯关节目共有五关，只有通过五关才能获得奖金，规定前三关假设有失败即结束，后两关假设有失败再给一次从失败的关开始继续向前闯的时机．某人前三关每关通过的概率都是，后两关每关通过的概率都是．〔1〕求该人获得奖金的概率；〔2〕设该人通过的关数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题；概率与统计．分析：〔1〕设A n〔n=1，2，3，4，5〕表示该人通过第n关，那么该人获得奖金的概率为P=P 〔A1A2A3A4A5〕+P〔〕+P〔〕，即可求得结论；〔2〕确定变量的取值，求出相应的概率，即可求随机变量ξ的分布列及数学期望．解答：解：〔1〕设A n〔n=1，2，3，4，5〕表示该人通过第n关，那么A n〔n=1，2，3，4，5〕相互独立，且P〔A n〕=〔n=1，2，3〕，P〔A4〕=P〔A5〕=∴该人获得奖金的概率为P=P〔A1A2A3A4A5〕+P〔〕+P〔〕=+2×=；〔2〕ξ的可能取值为0，1，2，3，4，5，那么P〔ξ=0〕=；P〔ξ=1〕==；P〔ξ=2〕==；P〔ξ=3〕==；P〔ξ=4〕==；P〔ξ=5〕=，ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 4 5P∴Eξ=1×+2×+3×+4×+5×=．点评：此题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．19．〔13分〕抛物线P的方程是x2=4y，过直线l：y=﹣1上任意一点A作抛物线的切线，设切点分别为B、C．〔1〕证明：△ABC是直角三角形；〔2〕证明：直线BC过定点，并求出定点坐标．考点：恒过定点的直线；直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：〔1〕设A〔m，﹣1〕，B〔x1，y1〕，C〔x2，y2〕，利用导数的几何意义可得=x1，化简得﹣2mx1﹣4=0．同理可得﹣2mx2﹣4=0，故有 x1+x2=2m，x1•x2=﹣4．计算AB和AC的斜率之积等于﹣1，从而得到AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．〔2〕求得BC所在的直线方程为 y﹣y1=〔x﹣x1〕，化简为y=mx+1，显然过定点〔0，1〕．解答：解：〔1〕证明：设A〔m，﹣1〕，B〔x1，y1〕，C〔x2，y2〕．∵抛物线P的方程是x2=4y，∴y′=．∴=x1，∴+1=﹣mx1，∴﹣2mx1﹣4=0．同理可得，﹣2mx2﹣4=0，∴x1+x2=2m，x1•x2=﹣4．∵K AB•K AC=x1•x2==﹣1，∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．〔2〕证明：BC所在的直线方程为 y﹣y1=〔x﹣x1〕，化简可得 y﹣=〔x1+x2〕〔x1﹣x2〕，即 y=mx+1，显然，当x=0时，y=1，故直线BC过定点〔0，1〕．点评：此题主要考查函数的导数的几何意义，判断两条直线垂直的方法，直线过定点问题，属于中档题．20．〔13分〕函数f〔x〕=，其中a＞0．〔1〕求f〔x〕的单调区间；〔2〕是否存在实数a使f〔x〕＜1在x∈R+上恒成立？假设存在求出a的取值范围；假设不存在说明理由．考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．专导数的综合应用．题：分析：〔1〕在定义域内解不等式f′〔x〕＞0，f′〔x〕＜0即得到函数的单调区间；〔2〕假设f〔x〕＜1在x∈R+上恒成立，即ln〔1+x〕＜ax在R+上恒成立．构造函数h〔x〕=ln〔1+x〕﹣ax〔x∈R+〕，只需找满足不等式h〔x〕＜0的a值即可．解答：解：〔1〕f′〔x〕=，设g〔x〕==1﹣﹣ln 〔1+x〕，那么g′〔x〕=〔1+x〕﹣2﹣=．可知g〔x〕在〔﹣1，0〕上递增，在〔0，+∞〕上递减，所以f〔x〕在〔﹣1，0〕，〔0，+∞〕上是减函数，即f〔x〕的单调递减区间为〔﹣1，0〕，〔0，+∞〕．〔2〕假设f〔x〕＜1在x∈R+上恒成立，即ln〔1+x〕＜ax在R+上恒成立．设h〔x〕=ln〔1+x〕﹣ax〔x∈R+〕，那么h′〔x〕=﹣a，①假设a≥1，那么x∈R+时，h′〔x〕＜0恒成立，所以h〔x〕＜h〔0〕=0符合题意；②假设a≤0，显然不符合题意；③假设0＜a＜1，那么h′〔x〕=﹣a=0，有x=﹣1，所以x∈〔0，〕时h′〔x〕≥0，所以y=h〔x〕在[0，﹣1]上为增函数，当x∈[0，﹣1]时，h〔x〕＞h〔0〕=0，所以不符合题意．综上，a≥1．点评：此题考查应用导数研究函数的单调性、最值问题，不等式的证明问题常转化为函数的最值处理．21．〔13分〕正项数列{a n}中a1=1，前n项和S n满足2S n=a n a n+1；数列{b n}是首项和公比都等于2的等比数列．〔1〕求数列{a n}的通项公式；〔2〕求数列{a n b n}的前n项和〔3〕记f〔n〕=，T n=，求证：．考点：数列递推式；数列的求和；等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分〔1〕通过2S n=a n a n+1；推出数列的递推关系式，推出数列是等差数列，然后求数列{a n}析：的通项公式；〔2〕通过数列{b n}是首项和公比都等于2的等比数列，求出b n，利用错位相减法求解数列{a n b n}的前n项和．〔3〕通过f〔n〕=，化简T n=的表达式，求出T1，T2，当n≥3时转化T n，与T n，然后证明．解答：解：〔1〕因为2S n=a n a n+1；所以n=1时2S1=a1•a2，a1=1，所以a2=2，∵2S n=a n a n+1；∴2S n+1=a n+1a n+2；可得2a n+1=a n+1a n+2﹣a n a n+1；∵a n＞0∴a n+2﹣a n=2；∵a1=1，a2=2，∴数列{a n}是等差数列，a n=n．〔2〕数列{b n}是首项和公比都等于2的等比数列，所以b n=2n，数列{a n b n}的前n项和S n=a1b1+a2b2+…+a n b n=1×2+2×22+…+n×2n…①2S n=1×22+2×23+…+〔n﹣1〕×2n+n×2n+1…②所以②﹣①得S n=n×2n+1﹣〔2+22+…+2n〕=〔n﹣1〕2n+1+2．〔3〕证明∵f〔n〕=，T n==，T1==，T2===，当n≥3时T n=≥=又T n==综上点评：此题考查等差数列与等比数列综合应用，数列与不等式的综合应用，考查数列求和的方法，考查分析问题解决问题的能力．。
安徽省2022-2022届高三联考试题数学(理)试卷(含答案)
高三年级联考数学(理科)考生注意:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填在试卷后面的答题卡上.3.本试卷主要考试内容:高考全部内容.第Ⅰ卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={x|x2<5},B={x|1<x<4},则A∪B=A.{x|1<x<5}B.{x|-<x<4}C.{x|1<x<}D.{x|-5<x<4}2.若复数z=,则=A.3+2iB.-3+2iC.-3-2iD.3-2i3.设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的实轴长与焦距分别为2,4,则双曲线C的渐近线方程为A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±3x4.函数f(x)=的零点之和为A.-1B.1C.-2D.25.函数f(x)=cos(3x+)的单调递增区间为A.[+,+](k∈Z)B.[+,+](k∈Z)C.[-+,+](k∈Z)D.[-+,+](k∈Z)6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为A.24π-6B.8π-6C.24π+6D.8π+67.已知两个单位向量e1,e2的夹角为60°,向量m=t e1+2e2(t<0),则A.的最大值为-B.的最小值为-2C.的最小值为-D.的最大值为-28.某图形由一个等腰直角三角形,一个矩形(矩形中的阴影部分为半圆),一个半圆组成,从该图内随机取一点,则该点取自阴影部分的概率为A.B.C.D.9.已知不等式组表示的平面区域为等边三角形,则z=x+3y的最小值为A.2+3B.1+3C.2+D.1+10.若函数f(x)=a·()x(≤x≤1)的值域是函数g(x)=(x∈R)的值域的子集,则正数a的取值范围为A.(0,2]B.(0,1]C.(0,2]D.(0,]11.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知10sin A-5sin C=2,cos B=,则=A.B.C.D.12.在正方形BCDF中,A,E分别为边BF与DF上一点,且AF=EF=1,AB=2,将三角形AFE沿AE折起,使得平面AEF⊥平面ABCDE(如图所示).点M,N分别在线段DE,BC上,若沿直线MN将四边形MNCD 向上翻折,D与F恰好重合,则线段BM的长为A.B.4 C.D.第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知tan(α+)=6,则tanα=.14.若(a+)5的展开式中的系数为1,则|a|=.15.斜率为k(k<0)的直线l过点F(0,1),且与曲线y=x2(x≥0)及直线y=-1分别交于A,B两点,若|FB|=6|F A|,则k=.16.若曲线y=x3-ax2存在平行于直线y=-3x+1的切线,则a的取值范围为.三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)已知数列{a n}满足-=1,且a1=1.(1)证明:数列{+1}为等比数列.(2)求数列{+2n}的前n项和S n.18.(12分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AB=2,AC=AA1=2BC=4,且D为线段AB的中点.(1)证明:BC⊥A1D.(2)求平面A1CD与平面BCC1B1所成锐二面角的余弦值.19.(12分)某大型工厂有5台大型机器,在1个月中,1台机器至多出现1次故障,且每台机器是否出现故障是相互独立的,出现故障时需1名工人进行维修.每台机器出现故障的概率为.已知1名工人每月只有维修1台机器的能力,每台机器不出现故障或出现故障时有工人维修,就能使该厂获得10万元的利润,否则将亏损3万元.该工厂每月需支付给每名维修工人1.5万元的工资.(1)若每台机器在当月不出现故障或出现故障时有工人进行维修,则称工厂能正常运行.若该厂只有2名维修工人,求工厂每月能正常运行的概率;(2)已知该厂现有4名维修工人.(ⅰ)记该厂每月获利为X万元,求X的分布列与数学期望;(ⅱ)以工厂每月获利的数学期望为决策依据,试问该厂是否应再招聘1名维修工人?20.(12分)已知P(2,3)是椭圆C:+=1(a>b>0)上一点,F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,且a=2b.(1)证明:|PF2|,|F1F2|,|PF1|成等差数列.(2)直线l与PF1垂直,且与椭圆C相交于A,B两点,l与线段F1F2有公共点,若四边形AF1BF2的面积为,求l的方程.21.(12分)已知函数f(x)=e2x-3-2x.(1)求f(x)的单调区间与最小值.(2)是否存在实数x,y,使得f(x)+2x≤(x+y+1)(x-y-2)(x>)?若存在,求x,y的值;若不存在,请说明理由.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),圆C的参数方程为(θ为参数).(1)求l和C的普通方程;(2)将l向左平移m(m>0)个单位长度后,得到直线l',若圆C上只有一个点到l'的距离为1,求m.23.[选修4-5:不等式选讲](10分)设函数f(x)=|x-a|+|x-4|(a≠0).(1)当a=1时,求不等式f(x)<x的解集;(2)若f(x)≥-1恒成立,求a的取值范围.数学参考答案(理科)1.B∵A={x|-<x<},∴A∪B={x|-<x<4}.2.D z===3+2i,=3-2i.3.C因为2a=2,2c=4,所以a=1,c=2,b=,所以C的渐近线方程为y=±x.4.A函数f(x)=的零点为log62,-log612,故零点之和为log62-log612=-log66=-1.5.A因为f(x)=-sin3x,所以只要求y=sin3x的递减区间.令+2kπ≤3x≤+2kπ(k∈Z),解得+≤x≤+(k∈Z).6.B由三视图可知该几何体是在一个圆锥中挖掉一个长方体得到的,其中圆锥的底面圆的半径为2,高为6,挖掉的长方体的底面是边长为的正方形,高为3.故该几何体的体积为π×22×6-2×3=8π-6.7.A因为t<0,所以====-=-,当=-,即t=-4时,取得最大值,且最大值为-.8.C设矩形的长为2a,则宽为a,所以该图形的面积为a×2a+×2a×2a+π×(a)2=(4+π)a2,阴影部分的面积为×2a×2a+π×a2=(2+)a2,故该点取自阴影部分的概率为P==.9.D依题意可得k=,作出不等式组表示的平面区域如图所示,当直线z=x+3y经过点(1,)时,z取得最小值1+.10.A令y=g(x),则(y-1)x2+yx+y+1=0,当y=1时,x=-2;当y≠1时,Δ=y2-4(y-1)(y+1)≥0,则y2≤.所以g(x)的值域为[-,].因为a>0,所以f(x)的值域为[,],从而0<≤,则0<a≤2.11.C∵cos B=,∴sin B=.又10sin A-5sin C=2,∴2sin A-sin C=sin B,由正弦定理,得2a-c=b,由余弦定理,得(2a-c)2=a2+c2-2ac×,整理得5a=6c,即=.12.D取AE的中点H,连接FH,∵AF=EF,∴FH⊥AE,又平面AEF⊥平面ABCDE,∴FH⊥平面ABCDE.如图,以B为坐标原点建立空间直角坐标系B-xyz,则D(3,3,0),F(,,).设EM=x(0<x<2),则M(1+x,3,0).∵翻折后D与F重合,∴DM=FM,则(x-2)2=(x+)2+()2+,解得x=,从而,=(,3,0),||=.13.设tanα=x,则=6,解得x=.14.因为(a+)5的展开式中的项为a2()3=,所以10a2=1,则|a|=.15.-易知曲线y=x2(x≥0)是抛物线C:x2=4y的右半部分,如图,其焦点为F(0,1),准线为y=-1.过A作AH⊥准线,垂足为H,则|AH|=|AF|,因为|FB|=6|F A|,所以|AB|=5|AH|,tan∠ABH===,故直线l的斜率为-.16.(-∞,-3]∪(3,+∞)设平行于直线y=-3x+1的切线的切点为(m,m3-am2),∵y'=3x2-2ax,∴3m2-2am=-3,Δ=4a2-36≥0,解得a∈(-∞,-3]∪[3,+∞).若切点在直线y=-3x+1上,则m3-am2=-3m+1,又3m2-2am=-3,从而m3-3m+2=(m-1)2(m+2)=0,解得m=1或m=-2.当m=1时,a=3,此时方程3m2-6m+3=0有两个相等的实根,曲线y=x3-ax2不存在平行于直线y=-3x+1的切线;当m=-2时,a=-,此时方程2m2+5m+2=0有两个不等的实根,曲线y=x3-ax2仅存在一条平行于直线y=-3x+1的切线.综上,a的取值范围为(-∞,-3]∪(3,+∞).17.(1)证明:因为-=1,所以+1=2(+1), ...................................................................................................................................................... 2分又+1=2, ............................................................................................................................................................................. 3分所以数列{+1}为等比数列,且首项为2,公比为2. ............................................................................................................ 4分(2)解:由(1)知+1=2n,.......................................................................................................................................................... 6分所以+2n=2n+2n-1............................................................................................................................................................. 7分所以S n=+=2n+1+n2-2............................................................................................................ 12分18.(1)证明:因为AA1⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以AA1⊥BC. ....................................................................................................................................................................... 1分因为AB=2,AC=2BC=4,所以AB2+BC2=AC2,所以BC⊥AB........................................................................................................................................ 3分因为AB∩AA1=A,所以BC⊥平面ABB1A1............................................................................................................................. 4分又A1D⊂平面ABB1A1,所以BC⊥A1D. .................................................................................................................................. 5分(2)解:以B为坐标原点,建立空间直角坐标系B-xyz,如图所示,则C(0,0,2),D(,0,0),A1(2,4,0)........................................................................................................................................ 6分设平面A1CD的法向量为n=(x,y,z),则 .................................................................................................................................... 8分令x=4,则n=(4,-,2)...................................................................................................................................................... 9分易知平面BCC1B1的一个法向量为m=(1,0,0),.................................................................................................................... 10分则cos<m,n>==................................................................................................................................................. 11分故所求锐二面角的余弦值为.................................................................................................................................... 12分19.解:(1)因为该厂只有2名维修工人,所以要使工厂正常运行,最多只能出现2台大型机器出现故障,........................................................................................ 1分故该工厂能正常运行的概率为(1-)5+××(1-)4+()2(1-)3=. ........................................................................... 4分(2)(ⅰ)X的可能取值为31,44, ............................................................................................................................................... 6分P(X=31)=()5=,................................................................................................................................................................ 7分P(X=44)=1-=,.............................................................................................................................................................. 8分则X的分布列为X3144P9分故EX=31×+44×=. ........................................................................................................................................ 10分(ⅱ)若该厂有5名维修工人,则该厂获利的数学期望为5×10-1.5×5=42.5万元, ............................................................ 11分因为>42.5,所以该厂不应再招聘1名维修工人...................................................................................................... 12分20.(1)证明:依题意可得,解得,...................................................................................................... 2分则c2=4,c=2,F1(-2,0),F2(2,0),.................................................................................................................................................. 3分从而|PF2|=3,|F1F2|=4,|PF1|=5, ............................................................................................................................................. 4分故|PF2|,|F1F2|,|PF1|成等差数列............................................................................................................................................. 5分(2)解:因为直线PF1的斜率为,所以可设l的方程为x=-y+m. ....................................................................................... 6分将l的方程代入+=1消去x,得y2-my+3m2-48=0,.............................................................................................. 7分设A(x1,y1),B(x2,y2),所以y1+y2=,y1y2=, ........................................................................................................ 8分则|y1-y2|==,........................................................................................................ 9分所以四边形AF1BF2的面积S=|F1F2|·|y1-y2|==,.............................................................. 10分解得m=0, ............................................................................................................................................................................. 11分故l的方程为x=-y,即4x+3y=0........................................................................................................................................ 12分21.解:(1)f'(x)=2e2x-3-2, ............................................................................................................................................................ 1分令f'(x)=0,得x=; .................................................................................................................................................................. 2分令f'(x)<0,得x<;令f'(x)>0,得x>. .................................................................................................................................... 3分故f(x)的单调递减区间为(-∞,),单调递增区间为(,+∞), .................................................................................................. 4分从而f(x)min=f()=-2............................................................................................................................................................... 5分(2)易证mn≤()2,则(x+y+1)(x-y-2)≤()2=,当且仅当x+y+1=x-y-2,即y=-时,取等号........................................................................................................................... 7分f(x)+2x=e2x-3,则e2x-3≤,.......................................................................................................................................... 8分令t=2x-1(t>0),则e t-2≤t2,即t-2≤2ln t-2ln2. .......................................................................................................................... 9分设g(t)=t-2-(2ln t-2ln2)(t>0),则g'(t)=,当0<t<2时,g'(t)<0,g(t)单调递减;当t>2时,g'(t)>0,g(t)单调递增. ................................................................................... 10分故g(t)min=g(2)=0,则g(t)≥0,又t-2≤2ln t-2ln2,即g(t)≤0,从而g(t)=0,即t=2................................................................................................................................................................ 11分综上,x=,y=-..................................................................................................................................................................... 12分22.解:(1)由题意可得|a|=1, .................................................................................................................................................... 1分故l的参数方程为(t为参数),圆C的参数方程为(θ为参数),消去参数t,得l的普通方程为3x-4y-7=0, ............................................................................................................................ 3分消去参数θ,得C的普通方程为(x-1)2+(y+2)2=1.................................................................................................................. 5分(2)l'的方程为y=(x+m)-,即3x-4y+3m-7=0,..................................................................................................................... 6分因为圆C只有一个点到l'的距离为1,圆C的半径为1,所以C(1,-2)到l'的距离为2, ................................................................................................................................................. 8分即=2,解得m=2(m=-<0舍去). .................................................................................................... 10分23.解:(1)当a=1时,f(x)=, .............................................................................................................................. 3分故不等式f(x)<x的解集为(3,5). ............................................................................................................................................ 5分(2)∵f(x)=|x-a|+|x-4|≥|(x-a)-(x-4)|=|a-4|, .............................................................................................................................. 6分∴|a-4|≥-1=,................................................................................................................................................................ 7分当a<0或a≥4时,不等式显然成立; ...................................................................................................................................... 8分当0<a<4时,≤1,则1≤a<4................................................................................................................................................... 9分故a的取值范围为(-∞,0)∪[1,+∞). ..................................................................................................................................... 10分。
安徽省高三数学名校联考试题 理(含解析)新人教A版
2013安徽省省级示范高中名校高三联考数学（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第a 卷（非选择题）两部分。
第I 卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。
务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。
2.答第I 卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂．黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答第B 卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。
作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。
必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。
4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。
第I 卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i 是虚数单位，则20132 ⎪⎝⎭在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.设函数()(1)(1)f x x x x =-+，则满足'()af x dx ⎰＝0的实数a 的有（ ）A. 3个B.2个C.1个D.0个3.如图所示程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ） A. 3 B. 11 C. 38 D. 1234.为了调查学生每天零花钱的数量（钱数取整数元），以便引导学生树立正确的消费观．样本容量1000的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在［6,14)内的频数为（ ） A. 780 B. 680 C. 648 D. 460 5、“n ＝10”j “3nx x”的展开式中有常数项的（ ） A.充分不必要条件 B ．必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6、设D 是不等式组101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩表示的平面区域，则D 中的点P （x,y ）到直线2x y +＝1距离的最小值是（ ） A 、355 B 、455 C 、5 D 、655学科网学科网 7.设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2=4x 的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正方向的夹角为60°，则△OAF 的面积为（ ） A.32B.2C. 3D. 1 8、三个实数a ，b ，c 成等比数列，且a ＋b ＋c ＝3，则b 的取值范围是（ ） A 、[1,0)- B 、(0,1] C 、[1,0)-∪(0,3] D 、[3,0)-∪(0,1] 9.如图，L ，M ，N 分别为正方体对应棱的中点，则平面LMN 与平面PQR 的位置关系是A.垂直B.相交不垂直C. 平行D.重合10、在棱长分别为1，2，3的长方体上随机选取两个相异顶点，若每个顶点被选的概率相同，则选到两个顶点的距离大于3的概率为（ ） A 、47 B 、37 C 、27 D 、3142013安徽省省级示范高中名校高三联考数学（理科）第II 卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位1． 11.极坐标方程2sin 23cos ρθθ=+表示的图形的面积是＿＿＿＿12.设向量a =(x,3),b =(2，1)，若对任意的正数m, n ，向量ma + nb 始终具有固定的方向，则x=＿＿＿13、一个半径为2的球体经过切割后，剩余部分几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为14、设△ABC 的内角A 、B,C 的对边分别为a 、b 、c ， 且满足acosB －bcosA ＝35c ，则tan tanAB的值是＿＿＿＿15．如图所示，△ABC 是一个边长为3的正三角形，若在每一边的两个三等分点中，各随机．．．选取．．一点连成三角形．下列命题正确的是 ．（写出所有正确命题的编号） ①依此方法可能连成的三角形一共有8个；②这些可能连成的三角形中，恰有2个是锐角三角形；③这些可能连成的三角形中，恰有3个是直角三角形； ④这些可能连成的三角形中，恰有3个是钝角三角形； ⑤这些可能连成的三角形中，恰有2个是正三角形．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内． 16.（本小题满分12分） 设函数f (x) ＝2233sin(2)sin cos 333x x x π++-。
安徽省示范高中2022-2023学年高三上学期第二次联考数学试题(含答案)
安徽省示范高中2022-2023学年高三上学期第二次联考数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2log 1M x x =<，集合1222x N x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，则M N ⋂=（ ）． A ．()0,1B ．()0,2C ．()1,1-D ．()1,2-2．已知命题:p x ∀∈R ，2220x x -+>，则p ⌝是（ ）． A ．x ∃∈R ，2220x x -+> B ．x ∀∈R ，2220x x -+≤ C ．x ∃∈R ，2220x x -+≤D ．x ∀∈R ，2220x x -+>3．设130.6a =，1412b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，3log 0.6c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）．A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．a b c <<4．角A 是ABC △的内角，则“π3π24A <<”是“s i n c o s 0A A +>，且t a n s i n 0A A -<”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知()cos f x x 是周期为π的奇函数，则()f x 可以是（ ）． A ．cos 2xB ．cos xC ．sin 2xD ．sin x6．如图是函数()H x 的图象的一部分，设函数()sin f x x =，()1g x x=，则()H x 是（ ）．A ．()()f x x g ⋅B ．()()f xg x C ．()()f x g x - D ．()()f x g x +7．下列几个不等式中，不能取到等号的是（ ）．A ()20x≥> B ．)20x x x+≥≠C ．()41016xx x --≥< D ()2x ≥∈R8．在ABC △中，AD 是其中线，且2BC =，3AD =，则AB AC ⋅=（ ）． A ．8-B ．8C ．4-D ．49．已知函数()()πsin ,02f x A x ωϕϕω⎛⎫=+<> ⎪⎝⎭图象的一部分如图所示，则以下四个结论中，正确的是（ ）． ①π6ϕ=；②2ω=；③π12是()f x 的一个零点；④()f x 的图象关于直线5π6x =-只对称．A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④10．已知()f x 是定义在R 上的函数，()()()1212f x f x f x +-=--，且()22f =，则()2022f =（ ）．A ．2B 2C ．2+D ．2-11．在ABC △中，1AB =，3AC =，4ABC S =△，角A 是锐角，O 为ABC △的外心．若OP m OB n OC =⋅+⋅，其中[],0,1m n ∈，则点P 的轨迹所对应图形的面积是（ ）．A B C ．76D ．71212．已知函数()22log a f x x ex =-（0a >，且1a ≠）有唯一极值点，则a 的取值范围是（ ）． A ．()0,1B ．()1,eC ．()1,+∞D ．()3,+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知sin cos 3sin cos θθθθ+=-，则tan θ=______．14．若不等式13x m x+≥-对任意3x >恒成立，则实数m 的最小值是______． 15．在ABC △中，三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量()sin ,1cos m B B =-与向量()2,0n =夹角的余弦值为12，且2b =，则a c +的取值范围是______． 16．已知函数()()()()2log 123x x x m f x x m +≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，其中0m >．若存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有两个不同的实数根，则m 的整数值是______． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知关于x 的不等式()220x x a a a -+++>∈R ． （1）若此不等式的解集是()1,2-，求a 的值； （2）讨论此不等式的解集．18．（12分）已知M ，P ，N 是平面上不同的三点，点A 是此平面上任意一点，则“M ，P ，N 三点共线”的充要条件是“存在实数λ，使得()1AP AM AN λλ=+-”．此结论往往称为向量的爪子模型． （1）给出这个结论的证明；（2）在OA B △的边OA 、OB 上分别取点E 、F ，使13O E O A =，14OF OB =，连结BE 、AF 交于点G ．设OA a =，OB b =．利用上述结论，求出用a 、b 表示向量OB 的表达式．19．（12分）某房地产开发公司为吸引更多消费者购房，决定在一块扇形空地修建一个矩形花园，如图所示．已知扇形角2π3AOB ∠=，半径120OA =米，截出的内接矩形花园MNPQ 的一边平行于扇形弦AB ．设POA θ∠=，PQ y =．（1）以θ为自变量，求出y 关于θ的函数关系式，并求函数的定义域； （2）当θ为何值时，矩形花园MNPQ 的面积最大，并求其最大面积． 20．（12分）若函数()f x 满足()21log 1a a f x x a x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，其中0a >，且1a ≠．（1）若()315f =-，求函数()f x 的解析式，并判断其奇偶性和单调性； （2）若01a <<，()40f x -<在2x <时恒成立，求a 的取值范围． 21．（12分）如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，60D ∠=︒．（1）若3AC =，求ACD △周长的最大值；（2）若2CD AB =，45BCD ∠=︒，求tan DAC ∠的值． 22．（12分）已知函数()()ln 1x f x x axe -=++，a ∈R ．（1）若曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程是2y x =，求a 的值； （2）若()f x 的导函数()f x '恰有两个零点，求a 的取值范围．数学参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1．【解析】因为{}()2log 10,2M x x =<=，()1221,12x N x ⎧⎫=<<=-⎨⎬⎩⎭， 所以()0,1M N ⋂=．故选A ．2．【解析】全称量词改成存在量词，再否定结论故选C ．3．【解析】因为1300.61a <=<，14141212b -⎛⎫==> ⎪⎝⎭，3log 0.60c =<，所以c a b <<．故选B ．4．【解析】因为0πA <<，所以根据三角函数线知， 由“π3π24A <<”能推出“sin cos 0A A +>，且tan sin 0A A -<”， 反之由“sin cos 0A A +>，且tan sin 0A A -<”能推出“π3π24A <<”．故选C ． 5．【解析】因为cos 2x 和cos x 都是偶函数，所以()cos f x x 是偶函数，排除A ，B ；sin 2cos x x 是奇函数，且()()sin 22πcos πsin 2cos x x x x ++=-，所以C 错误； sin cos x x 是奇函数，且()()sin πcos πsin cos x x x x ++=，所以D 正确．故选D ．6．【解析】首先考虑函数的奇偶性，发现()()sin x f x g x x ⋅=与()()sin f x x x g x =都是偶函数，立即排除A 、B ；()()f x g x -和()()f x g x +都是奇函数，C 、D 之一正确；当x 为正数，且非常小时()()1sin f x g x x x-=-为负数，显然不符合图象特征，C 错误． 故选D ．7．【解析】对A ，当且仅当1x =等号成立；对B ，当且仅当x = 对C ，当且仅当8x =-时等号成立；对D ，当且仅当=，即24x =-时等号成立，这是不可能的，也就是说等号不成立．故选D ．8．【解析】()()22918AB AC AD DB AD DC AD DC ⋅=+⋅+=-=-=．故选B ． 9．【解析】显然2A =．将点()0,1工入()2sin y x ωϕ=+中，得12sin ϕ=，1sin 2ϕ=． 因为π2ϕ<，所以π6ϕ=． 又因为11π,012⎛⎫⎪⎝⎭是图象的第三个零点，所以11ππ2π126ω⋅+=，2ω=．因此()π2sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 当π12x =时，πππ2sin 2012126f ⎛⎫⎛⎫=⨯+≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π12不是()f x 零点．当5π6x =-时，5π5ππ2sin 22666f ⎛⎫⎛⎫-=-⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象关于直线5π6x =-对称．故选C ． 10．【解析】()()()()()()()()()1411214211412244114f x f x f x f x f x f x f x f x fx +-++---====-+---------，()()8f x f x =-，即8是函数()f x 的周期，()()()12022622f f f ==-=．故选B ． 11．【解析】因为1AB =，3AC =，113sin 42ABC S A ==⨯⨯△，所以sin 2A =，60A =︒． 因此2222cos 7BC AB AC AB AC A =+-⋅=，BC =2OB =得3OB =． 由题意知，点P 的轨迹对应图形是边长为OB 的菱形，120BOC ∠=︒．于是这个菱形的面积21722sin1202326BOC S OB =⨯⨯⋅︒=⨯=△．故选A ． 12．【解析】由()220ln f x ex x a '=-=得1ln a ex x =．令()1ln a g x x=，()h x ex =，0x >．若1a >，则10ln a>，曲线()g x 与直线()h x 在第一象限有唯一交点， 其横坐标为0x ，在0x 附近()f x '异号，因此0x 是函数()f x 的唯一极值点，满足条件． 若01a <<，则10ln a<，曲线()g x 与直线()h x 在第一象限没有交点，不满足条件． 因此a 的取值范围是()1,+∞．故选C ．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．【答案】2 【解析】由sin cos 3sin cos θθθθ+=-得，sin cos 3sin 3cos θθθθ+=-，sin 2cos θθ=，tan 2θ=． 14．【答案】5- 【解析】111333x m m x x x x x+≥⇔≥----- ()133353x x ⎡⎤=--+-≤-=-⎢⎥-⎣⎦， 当且仅当133x x -=-，即4x =时等号成立． 即13x x--的最大值是5-，5m ≥-． 15．【答案】⎛ ⎝⎦【解析】∵()sin ,1cos m B B =-，()2,0n =，∴,1cos ,2m n m n mn ==． 12=，∴22cos cos 10B B --=，解得1cos 2B =-或cos 1B =（舍）． ∵0πB <<，∴2π3B =．由上可知π3A C +=． ∴π1πsin sin sin sin sin cos sin 3223A C A A A A A ⎛⎫⎛⎫+=+-=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．∵π03A <<，∴ππ2π333A <+<． ∴πsin 32A ⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦．即sin sin 2A C ⎛⎤+∈ ⎥ ⎝⎦． ∵2b =，∴22πsin sin sin sin sin 3sin 3a b c a c A B C A C +=====+ ∴a c +的取值范围是⎛ ⎝⎦． 16．【答案】1或2【解析】当x m ≤时，()()2log 1f x x =+，是增函数． 当x m >时，()23x f x =-，也是增函数．画图可知，当“点()()2,log 1P m m +在点(),23m A m -上方”时，存在实数b ， 使直线y b =与曲线()y f x =有两个交点，即存在实数b ， 使得关于x 的方程()f x b =有两个不同的实数根． 所以()2log 123m m +>-，解得1m =，2． 三、解答题(17题10分，18-22每题12分，共70分)17．【解析】(1)由题意知，1-，2是220x x a a -+++=的两根，所以212a a -⨯=--，解得2a =-，或1a =． （2）220x x a a -+++>就是()210x x a a --+<，即()()10x a x a -++<⎡⎤⎣⎦．方程()()10x a x a -++=⎡⎤⎣⎦的两根是11x a =+，2x a =-． ①当1a a +<-，即12a <-时，此不等式的解集是()1,a a +-． ②当1a a +=-，即12a =-时，此不等式是2102x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，解集是φ．③当1a a +>-，即12a >-时，此不等式是(),1a a -+． 18．【解析】先证充分性． 若()1AP AM AN λλ=+-，则()AP AM AN AN λ=-+，()AP AN AM AN λ-=-， 即NP NM λ=，NP NM ∥，故M ，P ，N 三点共线．再证必要性．若M ，P ，N 三点共线，则存在实数λ，使得NP NM λ=， 即()AP AN AM AN λ-=-，()AP AM AN AN λ=-+， 故()1AP AM AN λλ=+-．综上知，结论成立．(2)利用A ，G ，F 和B ，G ，E 共线的充要条件，存在实数λ，μ使得，()()111143OG a b u a u b λλ⎛⎫⎛⎫=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则()131114u u λλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得311911u λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．故321111OB a b =+．19．【解析】（1）如图，过O 作OD PN ⊥，D 为垂足．OD 交MQ 于E ，OD MQ ⊥，E 为垂足．在直角三角形ODP 中，π120cos 3OD θ⎛⎫=-⎪⎝⎭，π120sin 3PD QE θ⎛⎫==- ⎪⎝⎭． 在直角三角形OEQ中，ππ3tan 3QE OE θ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．于是ππ120cos 33y PQ OD OE θθθ⎛⎫⎛⎫==-=---=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 其定义域是π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． （2）矩形花园MNPQ的面积π240sin 3S PQ QM θθ⎛⎫=⋅=⋅-⎪⎝⎭21cos sin 2θθθ⎫=-⎪⎪⎭π2sin 216θ⎤⎛⎫=+- ⎪⎥⎝⎭⎦当ππ262θ+=，π6θ=时，S取到最大值，且最大值为 20．【解析】（1）令log a x t =，则tx a =．所以()()21t ta f t a a a -=-+． 于是()()21x x af x a a a -=-+． 由()315f =-得，()12315a a a a --=-+，解得2a =． 因此函数()f x 的解析式是()()2225xx f x -=-因为x ∈R ，()()()()22222255x x x x f x f x ---=-=--=-， 2x -是减函数，2x -是减函数，且()00f =所以()f x 是R 上的奇函数和减函数． 因为01a <<，所以()()21x xa f x a a a -=-+在R 上是增函数， 因此()4f x -也是R 上的增函数．由2x <，得()()2f x f <． 要使()4f x -在(),2-∞内恒为负数，只需要()240f -≤， 即()22241a a a a --≤+，整理得2410a a +-≥，解得2a ≤-2a ≥-故a 的取值范围是)2⎡-⎣．21．【解析】（1）在ACD △中，222222cos AC AD DC AD DC D AD DC AD DC =+-⋅=+-⋅()()222332AD DC AD DC AD DC AD DC +⎛⎫=+-⋅≥+- ⎪⎝⎭，因此6AD DC +≤，当且仅当3AD DC ==时取等号． 故ACD △周长的最大值是9．（2）设DAC α∠=，则120DCA α∠=︒-，75BCA α∠=-︒． 在ACD △中，sin sin 60CD ACα=︒． 在ACB △中，()sin 75sin135AB ACα=-︒︒．两式相除得，()2sin 75sin αα-︒=，()sin 75αα=-︒，αα=，故tan tan 3DAC α∠==-- 22．【解析】（1）因为()()111x f x a x e x-'=+-+， 所以()01f a '=+．因为曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程是2y x =，所以()02f '=． 于是12a +=，故1a =．（2）由()()1101x f x a x e x -'=+-=+得，()11x e a x x =-+． 令()1xe g x x=+，()()1h x a x =-，1x >-．用导数知识可以得到()1xe g x x=+的图象，如图所示．设经过点()1,0的直线与曲线()1xe g x x =+相切于点()00,x y ，()()21x xe g x x '=+， 则切线l 的方程是()()00020011x x e xe y x x x x -=-++． 将点()1,0代入就是()()0002000111x x e xe x x x -=-++，200210x x --=，01x = 因此())1020121x l e x e k x ==+或)112e -．当)112e a >或)112e a <-时，直线()()1h x a x =-与曲线()g x 分别有两个交点，即函数()f x '恰有两个零点．故a的取值范围是))1111,,22e e ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．法2：由()()1101xf x a x e x -'=+-=+得，()11x e a x x =-+． 显然1x ≠，所以21xe a x =-．令()21xe g x x =-，1x >-且1x ≠，则()()()222211x x x e g x x --'=-． 解方程2210x x --=得1x =因此函数()g x在(1,1-和()1+∞内单增，在()1和(1,1+内单减，且极大值为()11112e g ==-，极小值为()11112e g +==，如图所示。
2025届安徽省示范高中数学高三上期末联考试题含解析
2025届安徽省示范高中数学高三上期末联考试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知:cos sin 2p x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，:q x y =则p 是q 的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知A ，B 是函数()2,0ln ,0x x a x f x x x a x ⎧++≤=⎨->⎩图像上不同的两点，若曲线()y f x =在点A ，B 处的切线重合，则实数a 的最小值是（ ） A ．1-B ．12-C ．12D ．13．将一块边长为cm a 的正方形薄铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形，且该容器的容积为3722cm ，则a 的值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．124．正方形ABCD 的边长为2，E 是正方形内部（不包括正方形的边）一点，且2AE AC ⋅=，则()2AE AC +的最小值为（ ） A ．232B ．12C ．252D ．135．下列结论中正确的个数是（ ）①已知函数()f x 是一次函数，若数列{}n a 通项公式为()n a f n =，则该数列是等差数列； ②若直线l 上有两个不同的点到平面α的距离相等，则//l α；③在ABC ∆中，“cos cos A B >”是“B A >”的必要不充分条件； ④若0,0,24a b a b >>+=，则ab 的最大值为2. A ．1B ．2C ．3D ．06．若函数()()222cos 137f x x x m x m m =+-+++-有且仅有一个零点，则实数m 的值为（ ）A ．3372-- B ．3372-+ C ．4- D ．27．已知整数,x y 满足2210x y +≤，记点M 的坐标为(,)x y ，则点M 满足5x y +≥的概率为（ ）A ．935B ．635C ．537D ．7378．函数1()1xxe f x e+=-（其中e 是自然对数的底数）的大致图像为（ ） A ． B ． C ．D ．9．如图，已知平面αβ⊥，l αβ⋂=，A 、B 是直线l 上的两点，C 、D 是平面β内的两点，且DA l ⊥，CB l ⊥，3AD =，6AB =，6CB =．P 是平面α上的一动点，且直线PD ，PC 与平面α所成角相等，则二面角P BC D--的余弦值的最小值是（ ）A．55B．32C．12D．110．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A．78B．158C．3116D．151611．有一改形塔几何体由若千个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为8，如果改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是（）A．8 B．7 C．6 D．412．已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a⊂α，b⊂β，a//β，b//α，则“a//b“是“α//β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
安徽省名校联盟2023-2024学年高三上学期实验班12月大联考数学参考答案
高三数学参考答案１．【答案】 Ｄ【解析】 依题意Ａ＝ｘｘ２－３ｘ＞０{}＝ｘｘ＜０或ｘ＞３{}，Ｂ＝ｘ１＜２ｘ＜１６{}＝ｘ０＜ｘ＜４{}，则瓓ＲＡ＝ｘ０≤ｘ≤３{}，故瓓ＲＡ()∩Ｂ＝ｘ０＜ｘ≤３{}．２．【答案】 Ｃ【解析】 ∵２ａｎ＝ａｎ－１＋ａｎ＋１，∴数列ａｎ{}是等差数列，设公差为ｄ，则ａ４－ａ２＝２ｄ＝４，可得ｄ＝２；Ｓ３＝３ａ２＝９，可得ａ２＝３，∴ａ９＝ａ２＋９－２()×２＝１７，故选Ｃ．３．【答案】 Ｂ【解析】 ∵ｂ＝２，在等式ａ＋ｂ＝ａ两边平方并化简得ｂ２＋２ａ·ｂ＝０，∴ａ·ｂ＝－ｂ２２＝－２，故选Ｂ．４．【答案】 Ｃ【解析】 有可能出现ｍ α的情况，故Ａ不正确；若α⊥γ，β⊥γ，则α与β平行或相交，故Ｂ不正确；由α∥β，ｍ α，得直线ｍ和平面β没有公共点，所以ｍ∥β，故Ｃ正确；三条直线可能重合，或相交于一点，故Ｄ不正确．５．【答案】 Ｂ【解析】 ｙ′＝１２ｃｏｓｘ＋１，所以ｙ＝１２ｓｉｎｘ＋ｘ在原点处的切线斜率为ｋ＝３２，切线方程为ｙ＝３２ｘ，当ｙ＝１２ｓｉｎｘ＋ｘ绕着原点沿逆时针方向旋转时，始终保持为函数图象，设其倾角为α，则ｔａｎα＝３２，则θ＋α≤π２，∴θ≤π２－α，显然θ为锐角，∴ｔａｎθ≤ｔａｎπ２－α()＝ｃｏｓαｓｉｎα＝１ｔａｎα＝２３，故ｔａｎθ的最大值为２３．６．【答案】 Ａ【解析】 依题意知，函数ｆｘ()在ａ，ｂ[]上是“倍增函数”；可得ｌｏｇ２（２ａ－ｔ）＝２ａ，ｌｏｇ２（２ｂ－ｔ）＝２ｂ，{即２ａ－ｔ＝２２ａ，２ｂ－ｔ＝２２ｂ，{∴ａ，ｂ是方程２２ｘ－２ｘ＋ｔ＝０的两个根；设ｍ＝２ｘ，则ｍ＞０，此时方程为ｍ２－ｍ＋ｔ＝０，即方程有两个不等的实根，且两根都大于０，可得（－１）２－４ｔ＞０，ｔ＞０，{ 解得：０＜ｔ＜１４；故满足条件ｔ的取值范围是０，１４()．７．【答案】 Ａ【解析】 设点Ｂ１到平面Ａ１ＢＣ１的距离为ｄ，ｄ为正方体对角线的１３，则ｄ＝１，∴以点Ｂ１为球心，槡２为半径的球面与平面Ａ１ＢＣ１相交的圆半径为槡２()２－１槡２＝１；∵等边△Ａ１ＢＣ１的内切圆半径为槡３×槡２×槡３２×１３＝槡２２＜１，设△Ａ１ＢＣ１的中心为Ｏ，Ｑ轨迹与Ａ１Ｂ、ＢＣ１分别交于Ｍ，Ｎ两点，如图，弧长ＭＮ的三倍即为所求；∠ＯＮＣ１＝π４，可得∠ＯＮＢ＝３π４，∠ＭＯＮ＝２π－３π４×２－π３()＝π６，故交线长为π６×１×３＝π２．８．【答案】 Ｃ【解析】 由题意有ｆｘ()＝ｅｘ－１－ｅ１－ｘ＋ｘ３－３ｘ２＋３ｘ＝ｅｘ－１－ｅ１－ｘ＋１＋ｘ－１()３，记ｇｘ()＝ｅｘ－１－ｅ１－ｘ＋１，ｈｘ()＝ｘ－１()３；显然ｈｘ()关于１，０()中心对称且为Ｒ上的增函数，ｇｘ()＋ｇ２－ｘ()＝２，ｇ′ｘ()＝ｅｘ－１＋ｅ１－ｘ＞０，故ｇｘ()是关于１，１()中心对称且为Ｒ上的增函数，得ｆｘ()也是关于１，１()中心对称且为Ｒ上的增函数；由于ｆｘ２()＋ｆ２ｙ２－１()＝２，故ｘ２＋２ｙ２－１＝２，可得ｘ２＋２ｙ２＝３；记Ａ＝ｘ１＋ｙ槡２，由基本不等式Ａ２＝ｘ２１＋ｙ２()＝１２ｘ２２＋２ｙ２()≤１２·ｘ２＋２＋２ｙ２２()２＝２５８，可得Ａ≤槡５２４，当且仅当ｘ＞０，ｘ２＝２＋２ｙ２，ｘ２＋２ｙ２＝３，{即ｘ＝槡１０２，ｙ＝±１２时，等号成立，故ｘ１＋ｙ槡２的最大值为槡５２４，选Ｃ．９．【答案】 ＢＣ【解析】 因为ｙ＝ｆｘ()是一次函数，设ｆｘ()＝ｋｘ＋ｂｋ≠０()，则ｆｆｘ()()＝ｆｋｘ＋ｂ()＝ｋｋｘ＋ｂ()＋ｂ＝ｋ２ｘ＋ｋｂ＋ｂ＝４ｘ＋９，可得ｋ２＝４，ｋｂ＋ｂ＝９，{解得ｋ＝２，ｂ＝３{或ｋ＝－２，ｂ＝－９，{所以ｆｘ()＝２ｘ＋３或ｆｘ()＝－２ｘ－９，故选项Ａ错误；选项Ｂ正确；ｆｘ()＝１２ｘ２＋２＝４，可得ｘ＝±２，所以函数ｆｘ()的定义域Ｄ可以是：－２{}或２{}或－２，２{}，满足条件的ｆｘ()有３个，故选项Ｃ正确；关于ｘ的不等式ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＞０的解集为－２，３()，则方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０的解是ｘ＝－２或ｘ＝３，且ａ＜０，由韦达定理可得－ｂａ＝－２＋３＝１，ｃａ＝－２×３＝－６， 解得ｂ＝－ａ，ｃ＝－６ａ，则不等式ｃｘ２－ｂｘ＋ａ＜０转化为－６ａｘ２＋ａｘ＋ａ＜０，因为ａ＜０，所以６ｘ２－ｘ－１＜０，解得－１３＜ｘ＜１２，则不等式ｃｘ２－ｂｘ＋ａ＜０的解集为－１３，１２()，故选项Ｄ不正确．故选ＢＣ．１０．【答案】 ＡＣＤ【解析】 依题意，ｍ＞０，ｎ＞０，由基本不等式，ｍ＋ｎ≥２槡ｍｎ＝槡２２，当且仅当ｍ＝ｎ＝槡２时，等号成立，ｍ＋ｎ有最小值槡２２，选项Ａ正确；ｍ２＋ｎ２≥２ｍｎ＝４，当且仅当ｍ＝ｎ＝槡２时，等号成立，ｍ２＋ｎ２有最小值４，选项Ｂ错误；（槡ｍ＋槡ｎ）２＝ｍ＋ｎ＋２槡ｍｎ＝ｍ＋ｎ＋槡２２≥槡４２，当且仅当ｍ＝ｎ＝槡２时，等号成立，所以槡ｍ＋槡ｎ有最小值为２５４，选项Ｃ正确；ｍ４－ｍ＋ｎ１－ｎ＝－１＋４４－ｍ＋ｍｎｍ－ｍｎ＝－１＋４４－ｍ＋２ｍ－２，４４－ｍ＋２ｍ－２()４－ｍ＋ｍ－２()×１２≥１＋槡２()２，则ｍ４－ｍ＋ｎ１－ｎ有最小值２＋槡２２，选项Ｄ正确．故选ＡＣＤ．１１．【答案】 ＡＣ【解析】 由ｆ３－ｘ()＝ｆ－１＋ｘ()得ｆ２－ｘ()＝ｆｘ()，又因为ｆｘ()为奇函数，ｆｘ()＝－ｆ－ｘ()，ｆ２－ｘ()＝－ｆ－ｘ()，ｆ４－ｘ()＝－ｆ２－ｘ()＝ｆ－ｘ()，所以ｆｘ()的周期为４，选项Ａ正确；当ｘ∈１，２[]时，２－ｘ∈０，１[]，所以ｆｘ()＝ｆ２－ｘ()＝２－ｘ()３－２２－ｘ()，选项Ｂ错误；当ｘ∈０，１[]时，ｆｘ()＝ｘ３－２ｘ，ｆ′ｘ()＝３ｘ２－２，令ｆ′ｘ()＝０，得ｘ＝２３槡时函数有最小值，又因为ｆｘ()为奇函数，故ｘ＝－２３槡时，函数ｆｘ()在区间－１，０[]有最大值，ｆ－２３槡()＝－ｆ２３槡()＝槡４６９，选项Ｃ正确；因为函数关于ｘ＝１对称，ｆ０()＝ｆ２()＝ｆ－２()，一个周期内两个零点，３，２０２３[]有５０５个周期，共１０１０个零点，总计１０１２个零点，选项Ｄ错误．故选ＡＣ．１２．【答案】 ＡＢＤ【解析】 由题意得ｅａｎ＋１＝ｅａｎ－１ａｎ，ｈｘ()＝ｅｘ－ｘ－１，ｈ′ｘ()＝ｅｘ－１，ｈｘ()在０，＋ [)单调递增，在－ ，０()单调递减，ｈｘ()≥ｈ０()＝０，当且仅当ｘ＝０时，ｅｘ－ｘ－１＝０，若ａｎ＋１＝０，又因为ａｎ·ｅａｎ＋１＝ｅａｎ－１，则ａｎ＝ｅａｎ－１，ａｎ＝０，则ａｎ＋１＝ａｎ＝…ａ１＝０，又因为ａ１＝１，所以ａｎ≠０，所以ｅａｎ＋１＝ｅａｎ－１ａｎ，设ｇｘ()＝ｅｘ－１－ｘｅｘ，可得ｇ′ｘ()＝ｅｘ－ｅｘ－ｘｅｘ＝－ｘｅｘ，当ｘ＞０时，ｇ′ｘ()＜０，ｇｘ()单调递减，当ｘ＜０时，ｇ′ｘ()＞０，ｇｘ()单调递增，所以ｘ≠０时，ｇｘ()＜ｇ（０）＝０，所以ｘｅｘ＞ｅｘ－１，所以ａｎｅａｎ＞ｅａｎ－１，由ｈｘ()＝ｅｘ－ｘ－１≥０，当ｘ＞０时，ｅｘ－１ｘ＞１，因为ａ１＝１，所以ｅａ２＝ｅａ１－１ａ１＝ｅ－１１＞１，则ａ２＞０，同理得ａ３＞０，…ａｎ＞０，当ａｎ＞０时，ｅａｎ＞ｅａｎ－１ａｎ＝ｅａｎ＋１，所以ａｎ＞ａｎ＋１，故数列ａｎ{}单调递减，选项Ａ正确；需证明ａｎ＋１ａｎ＞１２ ｌｎｅａｎ－１ａｎａｎ＞１２ ｌｎｅａｎ－１ａｎ＞１２ａｎｅａｎ－１ａｎ＞ｅ１２ａｎ，令ｂ＝ｅａｎ，ｂ－１ｌｎｂ＞ｂ１２ ｂ１２－ｂ－１２－ｌｎｂ＞０，１＜ｂ≤ｅ，令ｍｂ()＝ｂ１２－ｂ－１２－ｌｎｂ，ｂ∈１，ｅ(]，则ｍ′ｂ()＝１２ｂ槡ｂ＋１槡ｂ－２()＞０，∴ｍｂ()＞ｍ１()＝０成立，所以ａｎ＋１＞１２ａｎ，选项Ｂ正确；ａｎ＋１－ａｎ＝ｌｎｅａｎ－１()－ｌｎａｎ－ａｎ，设ａｎ＝ｘ，ｘ∈０，１(]，设ｆｘ()＝ｌｎｅｘ－１()－ｌｎｘ－ｘ，ｘ∈０，１(]，则ｆ′ｘ()＝ｅｘｅｘ－１－１ｘ－１＝１ｅｘ－１－１ｘ＜０，所以函数ｆｘ()单调递减，所以随着ａｎ减小，从而ａｎ＋１－ａｎ增大，所以ａ２ｎ＋１－ａ２ｎ＞ａ２ｎ－ａ２ｎ－１，选项Ｃ错误；当ｎ＞１时，根据选项Ｂ可知，ａｎ＋１＞１２ａｎ ａｎ＞１２()ｎ－１，当ｎ＝１时，ａ１＝１２()１－１＝１，即ａｎ≥１２()ｎ－１，选项Ｄ正确．故选ＡＢＤ．１３．【答案】 ４５【解析】 Ｍ１，２()是角α的终边上一点，由三角函数定义可得，ｓｉｎα＝２１２＋２槡２＝２槡５，ｃｏｓα＝１１２＋２槡２＝１槡５，所以ｓｉｎ２α＝２ｓｉｎαｃｏｓα＝２×２槡５×１槡５＝４５．１４．【答案】槡 １２６【解析】 设球Ｏ的外接球半径为Ｒ，则４πＲ２＝４０π，则Ｒ＝槡１０，三棱柱ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１有内切球，设内切球半径为ｒ，故高为２ｒ，连接△ＡＢＣ，△Ａ１Ｂ１Ｃ１的外心Ｏ２，Ｏ１，则Ｏ２Ｏ１的中点Ｏ即为球心，△ＡＢＣ内切圆半径为ｒ，得Ｏ２Ｃ＝２ｒ，ＡＢ＝槡２３ｒ，则２ｒ()２＋ｒ２＝Ｒ２，则ｒ＝槡２，Ｖ＝１２×槡２６×槡２６×槡３２×槡２２＝槡１２６．１５．【答案】 槡２１２【解析】 ２ＨＡ→ ＋２ＨＢ→ ＋３ＨＣ→ ＝０，得２ＨＣ→ ＋ＣＡ→ ()＋２ＨＣ→ ＋ＣＢ→ ()＋３ＨＣ→ ＝０，所以７ＣＨ→ ＝２ＣＡ→ ＋ＣＢ→ ()＝４ＣＤ→Ｄ为ＡＢ的中点()，所以垂心Ｈ在中线上，即高线与中线重合，故ａ＝ｂ；２ＨＡ→ ＋２ＨＡ→ ＋ＡＢ→ ()＋３ＨＡ→ ＋ＡＣ→ ()＝０，所以７ＡＨ→ ＝２ＡＢ→ ＋３ＡＣ→ ，又因为ＡＨ→ ·ＢＣ→ ＝０，得２ＡＢ→ ＋３ＡＣ→ ()·ＡＣ→ －ＡＢ→()＝０，化简为２ｃ２－３ｂ２＋ｂｃｃｏｓＡ＝０，ｂｃｃｏｓＡ＝ｂ２＋ｃ２－ａ２２＝３ｂ２－２ｃ２，得５ｃ２＝６ｂ２，所以ｃｏｓＣ＝ａ２＋ｂ２－ｃ２２ａｂ＝２ｂ２－６５ｂ２２ｂ２＝２５，即ｔａｎＣ＝槡２１２．１６．【答案】 槡２２【解析】 解法一：已知ｆｘ()＝ｘｅｍｘ＋１－ｍ()ｘ－ｌｎｘ，ｆ′ｘ()＝ｅｍｘ＋ｍｘｅｍｘ＋１－ｍ－１ｘ，ｆ′ｘ０()＝ｍｘ０＋１()ｅｍｘ０＋１－ｍ－１ｘ０＝１ ｍｘ０＋１()ｅｍｘ０＝ｍ＋１ｘ０＝ｍｘ０＋１ｘ０ ｍｘ０＋１()ｅｍｘ０－１ｘ０()＝０，∴ｅｍｘ０＝１ｘ０，ｍｘ０＝－ｌｎｘ０，ｍｘ０＋ｌｎｘ０＝０；切点ｘ０，ｙ０()到直线ｙ＝ｘ的距离ｄ＝ｙ０－ｘ０槡２＝ｘ０ｅｍｘ０＋１－ｍ()ｘ０－ｌｎｘ０－ｘ０槡２＝１＋１－ｍ()ｘ０＋ｍｘ０－ｘ０槡２＝槡２２．解法二：令ｗｘ()＝ｅｘ－ｘｘ∈Ｒ()，则ｗ′ｘ()＝ｅｘ－１，当ｘ∈０，＋∞()时，ｗ′ｘ()＞０，ｗｘ()＝ｅｘ－ｘ单调递增，当ｘ∈－∞，０()时，ｗ′ｘ()＜０，ｗｘ()＝ｅｘ－ｘ单调递减，故ｗｘ()＝ｅｘ－ｘ在ｘ＝０处取得极小值，也是最小值，故ｗｘ()≥ｅ０－０＝１，故ｘｅｍｘ＋１－ｍ()ｘ－ｌｎｘ－ｘ＝ｅｌｎｘ＋ｍｘ－ｌｎｘ＋ｍｘ()≥１，当且仅当ｌｎｘ＋ｍｘ＝０时，等号成立，设Ａｘ，ｘｅｍｘ＋１－ｍ()ｘ－ｌｎｘ()，Ｂｙ，ｙ()，由基本不等式得：ＡＢ２＝ｘ－ｙ()２＋ｘｅｍｘ＋１－ｍ()ｘ－ｌｎｘ－ｙ[]２≥ｙ－ｙ＋ｘｅｍｘ＋１－ｍ()ｘ－ｌｎｘ－ｘ[]２２≥０＋１()２２＝１２，当且仅当ｌｎｘ＋ｍｘ＝０时，等号成立，故ＡＢ≥槡２２，则ａ的最大值为槡２２．１７．【解析】 （１）ｆｘ()＝槡２３ｓｉｎｘｃｏｓｘ＋２ｃｏｓ２ｘ＝槡３ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ＋１＝２ｓｉｎ２ｘ＋π６()＋１，（２分）………………令２ｘ＋π６＝π２＋ｋπ，得ｘ＝π６＋ｋ２πｋ∈Ｚ()，所以函数ｆｘ()的对称轴方程为ｘ＝π６＋ｋ２πｋ∈Ｚ()；（３分）……………………………………………令－π２＋２ｋπ≤２ｘ＋π６≤π２＋２ｋπｋ∈Ｚ()，解得－π３＋ｋπ≤ｘ≤π６＋ｋπｋ∈Ｚ()，故函数ｆｘ()的单调递增区间为－π３＋ｋπ，π６＋ｋπ[]ｋ∈Ｚ()．（５分）……………………………………（２）ｆｘ０()＝１３５，即２ｓｉｎ２ｘ０＋π６()＋１＝１３５，所以ｓｉｎ２ｘ０＋π６()＝４５，（６分）……………………………………………………………………………又ｘ０∈π６，π３[]，所以２ｘ０＋π６∈π２，５π６[]，所以ｃｏｓ２ｘ０＋π６()＝－１－ｓｉｎ２２ｘ０＋π６()槡＝－３５，（８分）…………………………………………………所以ｃｏｓ２ｘ０＝ｃｏｓ２ｘ０＋π６()－π６[]＝ｃｏｓ２ｘ０＋π６()ｃｏｓπ６＋ｓｉｎ２ｘ０＋π６()ｓｉｎπ６＝４－槡３３１０．（１０分）………１８．【解析】 （１）因为ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，四边形ＡＢＣＤ为矩形，因此ＡＢ，ＡＤ，ＡＥ两两垂直，以Ａ为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Ａ－ｘｙｚ，Ｅ０，０，槡３()，Ｃ１，２，０()，Ｄ１，０，０()，Ｆ１２，１，槡３２()，Ｇ０，１２，０()，ＤＧ→ ＝－１，１２，０()，ＤＦ→ ＝－１２，１，槡３２()，ＥＣ→＝１，２，－槡３()，因为ＥＣ→ ·ＤＦ→ ＝０，所以ＥＣ→ ⊥ＤＦ→，即ＥＣ⊥ＤＦ；因为ＥＣ→ ·ＤＧ→ ＝０，所以ＥＣ→ ⊥ＤＧ→，即ＥＣ⊥ＤＧ；又ＤＦ∩ＤＧ＝Ｄ，因此ＥＣ⊥平面ＤＧＦ．（４分）……………………………（２）因为ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，所以ｎ＝０，０，１()为平面ＡＢＣＤ的一个法向量，（６分）……………………由（１）知ＥＣ→ ＝１，２，－槡３()为平面ＤＦＧ的一个法向量，（８分）…………………………………………ｃｏｓ〈ＥＣ→ ，ｎ〉＝ＥＣ→ ·ｎＥＣ→ ·ｎ＝－槡６４，（１０分）…………………………………………………………………显然二面角Ｆ－ＤＧ－Ｃ为锐二面角，所以二面角Ｆ－ＤＧ－Ｃ的余弦值为槡６４．（１２分）……………………１９．【解析】 （１）ｓｉｎＣ－ｓｉｎＡ槡３ｃ－ｂ＝ｓｉｎＢｃ＋ａ，由正弦定理得：ｃ－ａ槡３ｃ－ｂ＝ｂｃ＋ａ，即ｂ２＋ｃ２－ａ２＝槡３ｂｃ，（２分）………………………………………………………………………………由余弦定理得：ｃｏｓＡ＝ｂ２＋ｃ２－ａ２２ｂｃ＝槡３ｂｃ２ｂｃ＝槡３２，因为Ａ∈０，π()，所以Ａ＝π６．（４分）……………………………………………………………………（２）由正弦定理：ａｓｉｎＡ＝ｂｓｉｎＢ，ａ＝ｂｓｉｎＡｓｉｎＢ＝槡２３×１２ｓｉｎＢ＝槡３ｓｉｎＢ，ｃｓｉｎＣ＝ｂｓｉｎＢ，ｃ＝ｂｓｉｎＣｓｉｎＢ＝槡２３ｓｉｎＣｓｉｎＢ，（６分）…………………………………………………………………ａ＋ｃ２＝槡３ｓｉｎＢ＋槡２３ｓｉｎ５π６－Ｂ()２ｓｉｎＢ＝３２＋槡３×２＋ｃｏｓＢ２ｓｉｎＢ；（８分）…………………………………………………又因为ｓｉｎＢ＝２ｓｉｎＢ２ｃｏｓＢ２＝２ｔａｎＢ２１＋ｔａｎ２Ｂ２，ｃｏｓＢ＝ｃｏｓ２Ｂ２－ｓｉｎ２Ｂ２＝１－ｔａｎ２Ｂ２１＋ｔａｎ２Ｂ２代入得：ａ＋ｃ２＝３２＋槡３ｔａｎ２Ｂ２＋３４ｔａｎＢ２＝槡３ｔａｎＢ２４＋３４ｔａｎＢ２()＋３２≥３Ｂ＝２π３时取等()，所以ａ＋ｃ２的最小值为３．（１２分）…………………………………………………………………………２０．【解析】 （１）ｆｘ()的定义域为０，＋ ()，ｆ′ｘ()＝ｌｎｘ＋１，令ｆ′ｘ()＝０，得ｘ＝ｅ－１，由ｆ′ｘ()＜０，解得０＜ｘ＜ｅ－１；由ｆ′ｘ()＞０，解得ｘ＞ｅ－１；所以ｆｘ()的单调递减区间为０，ｅ－１(]，单调递增区间为ｅ－１，＋ ()．（４分）……………………………（２）证明：令φｘ()＝ｆｘ()－ａｅｘ－ｘ()＝ａｘ－ｅｘ()＋ｘｌｎｘ＋１，令ｋｘ()＝ｘ－ｅｘ，则ｋ′ｘ()＝１－ｅｘ，在０，＋ ()上单调递减，所以ｋｘ()≤ｋ０()＝－１＜０；由ａ≥１，可得ａｘ－ｅｘ()＋ｘｌｎｘ＋１≤ｘ－ｅｘ＋ｘｌｎｘ＋１，（８分）…………………………………………………即证ｅｘｘ－ｌｎｘ－１ｘ－１＞０，令ｇｘ()＝ｅｘｘ－ｌｎｘ－１ｘ－１ｘ＞０()，则ｇ′ｘ()＝ｘ－１()ｅｘｘ２－１ｘ＋１ｘ２＝ｘ－１()ｅｘ－１()ｘ２；（１０分）……………………………………………………由ｇ′ｘ()＝０，可得ｘ＝１（ｘ＝０舍去），因为当ｘ＞０时，ｅｘ－１＞０，所以当０＜ｘ＜１时，ｇ′ｘ()＜０，ｇｘ()在０，１()上单调递减，当ｘ＞１时，ｇ′ｘ()＞０，ｇｘ()在１，＋ ()上单调递增；所以ｇｘ()ｍｉｎ＝ｇ１()＝ｅ－１－１＝ｅ－２＞０，所以ｇｘ()＞０，则ｅｘｘ－ｌｎｘ－１ｘ－１＞０，故ｘ－ｅｘ＋ｘｌｎｘ＋１＜０，结论成立．（１２分）…………………………………………………………………２１．【解析】 （１）数列ｂｎ{}是等比数列，且ｂ１·ｂ２＝ｂ３，４ｂ１－ｂ２＝３，设数列ｂｎ{}的公比为ｑｑ≠１()，∴ｂ１·（ｂ１ｑ）＝ｂ１ｑ２，４ｂ１－ｂ１ｑ＝３，{解得ｂ１＝ｑ＝３，∴ｂｎ＝ｂ１ｑｎ－１＝３ｎ，∴数列ｂｎ{}的通项公式为：ｂｎ＝３ｎｎ∈Ｎ()；（２分）……………………………………………………∴ｄｎ＝ｂｎ＋１ｂｎ－１()ｂｎ＋１－１()＝３ｎ＋１（３ｎ－１）（３ｎ＋１－１）＝３２（１３ｎ－１－１３ｎ＋１－１）∴ｄ１＋ｄ２＋ｄ３＋…＋ｄｎ＝３２（１３－１－１３２－１）＋３２（１３２－１－１３３－１）＋…＋３２（１３ｎ－１－１３ｎ＋１－１）＝３２１３－１－１３ｎ＋１－１()＝３２１２－１３ｎ＋１－１()＜３４，∴ｄ１＋ｄ２＋ｄ３＋…＋ｄｎ＜３４．（６分）……………………………………………………………………………（２）∴ｃｎ＝１（２ｎ－１）（２ｎ＋３），ｎ＝２ｋ－１，（２ｎ－１）·３ｎ，ｎ＝２ｋ{（ｋ∈Ｎ ），∴Ｓ２ｎ＝（ｃ１＋ｃ２＋ｃ３＋ｃ４＋…＋ｃ２ｎ－１＋ｃ２ｎ）＝（ｃ１＋ｃ３＋…＋ｃ２ｎ－１）＋（ｃ２＋ｃ４＋…＋ｃ２ｎ）；令Ａｎ＝ｃ１＋ｃ３＋…＋ｃ２ｎ－１，Ｂｎ＝ｃ２＋ｃ４＋…＋ｃ２ｎ，∴Ａｎ＝１１×５＋１５×９＋…＋１（４ｎ－３）（４ｎ＋１）＝１４（１－１５）＋１４（１５－１９）＋…＋１４（１４ｎ－７－１４ｎ－３）＋１４（１４ｎ－３－１４ｎ＋１）＝１４（１－１４ｎ＋１）＝ｎ４ｎ＋１；（８分）……………………………………………………………………………Ｂｎ＝３×３２＋７×３４＋…＋（４ｎ－５）×３２ｎ－２＋（４ｎ－１）×３２ｎ，∴３２Ｂｎ＝３×３４＋７×３６＋…＋（４ｎ－５）×３２ｎ＋（４ｎ－１）×３２ｎ＋２，∴－８Ｂｎ＝３×３２＋４×３４＋４×３６＋…＋４×３２ｎ－（４ｎ－１）×３２ｎ＋２＝－３２＋［４×３２＋４×３４＋４×３６＋…＋４×３２ｎ］－（４ｎ－１）×３２ｎ＋２＝－３２＋４×［３２＋３４＋３６＋…＋３２ｎ］－（４ｎ－１）×３２ｎ＋２＝－９＋４×９（９ｎ－１）９－１－（４ｎ－１）·３２ｎ＋２＝３２－４ｎ()×９ｎ＋１－２７２，∴Ｂｎ＝４ｎ－３２８×９ｎ＋１＋２７１６；（１１分）…………………………………………………………………………∴Ｓ２ｎ＝Ａｎ＋Ｂｎ＝ｎ４ｎ＋１＋４ｎ－３２８×９ｎ＋１＋２７１６＝ｎ４ｎ＋１＋８ｎ－３１６×９ｎ＋１＋２７１６（ｎ∈Ｎ）．（１２分）……………………２２．【解析】 （１）当ａ＝１时，函数ｆ（ｘ）＝ｘｅｘ＋１－ｘ，设切点为ｘ０，ｘ０ｅｘ０＋１－ｘ０()，因为ｆ′ｘ()＝ｘ＋１()ｅｘ＋１－１，所以ｆ′ｘ０()＝ｘ０＋１()ｅｘ０＋１－１；（２分）………………………………………所以切线方程为：ｙ－ｘ０ｅｘ０＋１－ｘ０()＝ｅｘ０＋１＋ｘ０ｅｘ０＋１－１()ｘ－ｘ０()，因为切线过点１，０()，所以０－ｘ０ｅｘ０＋１－ｘ０()＝ｅｘ０＋１＋ｘ０ｅｘ０＋１－１()１－ｘ０()，化简得：ｘ２０ｅｘ０＋１－ｘ０＋１()ｅｘ０＋１＋１＝０，即ｘ２０－ｘ０－１()ｅｘ０＋１＋１＝０；记ｈ（ｘ）＝ｘ２－ｘ－１()ｅｘ＋１＋１，ｈ′（ｘ）＝ｘ２＋ｘ－２()ｅｘ＋１＝ｅｘ＋１（ｘ＋２）（ｘ－１），令ｈ′（ｘ）＝０，解得ｘ＝－２或ｘ＝１；当ｘ∈－∞，－２()时，ｈ′（ｘ）＞０，所以ｈ（ｘ）在－∞，－２()上单调递增，当ｘ∈－２，１()时，ｈ′（ｘ）＜０，所以ｈ（ｘ）在－２，１()上单调递减，当ｘ∈１，＋∞()时，ｈ′（ｘ）＞０，所以ｈ（ｘ）在１，＋∞()上单调递增；ｈ（－２）＝５ｅ－１＋１＞０，ｈ（ｘ）＝ｅｘ＋１（ｘ－１２）２－５４[]＋１，当ｘ→－∞时，ｈ（ｘ）为正数，故ｈ（ｘ）在－∞，－２()无零点，ｈ（１）＝－ｅ２＋１＜０，故ｈ（ｘ）在－２，１()内有１个零点，ｈ（２）＝ｅ３＋１＞０，故ｈ（ｘ）在１，２()内有１个零点，综上，ｈ（ｘ）有２个零点，即过点（１，０）与函数ｆｘ()相切的直线有２条．（６分）………………………（２）令ｇｘ()＝ｆｘ()－ａＦｘ()＝ｘｅｘ＋１－ａｌｎｘ＋ｘ()（ｘ＞０），则ｆｘ()＝ａＦｘ()有两个交点等价于ｇ（ｘ）有两个零点，易得ｇ′ｘ()＝ｘ＋１()ｅｘ＋１－ａ１ｘ＋１()＝ｘ＋１ｘｘｅｘ＋１－ａ()，当ａ≤０时，ｇ′ｘ()＝ｘ＋１ｘｘｅｘ＋１－ａ()＞０，所以ｇ（ｘ）在（０，＋ ）上单调递增，则ｇ（ｘ）至多有一个零点，因此ａ＞０；令φｘ()＝ｘｅｘ＋１－ａ（ｘ＞０），则φ′ｘ()＝ｘ＋１()ｅｘ＋１＞０，所以φ（ｘ）在（０，＋ ）上单调递增，因为φ０()＝－ａ＜０，φａ()＝ａｅａ＋１－ａ＞０，所以存在ｘ１∈（０，ａ），使得φｘ１()＝０，则ａ＝ｘ１ｅｘ１＋１，所以当ｘ∈０，ｘ１()时，φ（ｘ）＜０，即ｇ′（ｘ）＜０，所以ｇ（ｘ）在０，ｘ１()上单调递减，当ｘ∈ｘ１，＋ ()时，φ（ｘ）＞０，即ｇ′（ｘ）＞０，所以ｇ（ｘ）在ｘ１，＋ ()上单调递增；因此，ｇｘ()ｍｉｎ＝ｇｘ１()＝ｘ１ｅｘ１＋１－ａｌｎｘ１＋ｘ１()，由ａ＝ｘ１ｅｘ１＋１，得ｌｎａ＝ｌｎｘ１＋ｘ１＋１()，则ｌｎｘ１＋ｘ１＝ｌｎａ－１，故ｇｘ()ｍｉｎ＝ｇｘ１()＝ａ－ａｌｎａ－１()＝ａ２－ｌｎａ()；（８分）……………………………………………………当０＜ａ＜ｅ２时，ｇｘ()ｍｉｎ＝ａ２－ｌｎａ()＞０，则ｇ（ｘ）在（０，＋ ）上没有零点，当ａ＝ｅ２时，ｇｘ()ｍｉｎ＝ａ２－ｌｎａ()＝０，则ｇ（ｘ）在（０，＋ ）上只有一个零点，当ａ＞ｅ２时，ｇｘ()ｍｉｎ＝ａ２－ｌｎａ()＜０；则ｇ（ｘ）在（０，＋ ）上有两个零点；因为ａ＝ｘ１ｅｘ１＋１，所以ｘ１ｅｘ１＋１＞ｅ２，所以ｘ１＞１，因为ｇｅ－２()＝ｅ－２·ｅｅ－２＋１－ａｌｎｅ－２＋ｅ－２()＝ｅｅ－２－１＋ａ２－ｅ－２()＞０，ｇｘ１()＜０，所以ｇ（ｘ）在ｅ－２，ｘ１()上有且只有一个零点，即ｇ（ｘ）在０，ｘ１()上有且只有一个零点；（１０分）………易得ｇａ()＝ａ·ｅａ＋１－ａｌｎａ＋ａ()＝ａｅａ＋１－ｌｎａ－ａ()ａ＞ｅ２()，设ｈａ()＝ｅａ＋１－ｌｎａ－ａａ＞ｅ２()，则ｈ′ａ()＝ｅａ＋１－１ａ－１，易知ｈ′（ａ）在ｅ２，＋ ()上单调递增，则ｈ′ａ()＞ｅｅ２＋１－１ｅ２－１＞０，所以ｈ（ａ）在ｅ２，＋ ()上单调递增，则ｈａ()＞ｅｅ２＋１－２－ｅ２＞０，所以ｇ（ａ）＞０，所以ｇ（ｘ）在ｘ１，ａ()上有且只有一个零点，即ｇ（ｘ）在ｘ１，＋ ()上有且只有一个零点，综上可知，实数ａ的取值范围为ｅ２，＋ ()．（１２分）……………………………………………………。
安徽省示范高中高三数学第一次联考试题 理 新人教A版
安徽省示范高中2013届高三第一次联考数学（理）试题本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分：全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1．答题前，务必在试题卷、答题规定的地方填写自己的姓名、座位号。
2．答第I 卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．答第II 卷时，必须使用0．5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰：作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用 0．5毫米的黑色墨水签字笔描清楚：必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。
4．考试结束．务必将试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集U=R ，集合{||11},{|2,1},()xU A x x B y y x A C B =-≤==<⋂集合则=A ．{|02}x x <<B ．∅C ．{0，2}D ．{|02}x x x ≤≥或2．函数()f x =的定义域是 A ．（0，2） B ．（0，1）∪（1，2）C ．(0,2]D ．（0，1）∪(0,2]3．若函数211(),(())ln 1x x f x f f e x x ⎧+≤=⎨>⎩则=A ．0B ．1C ．2D ．2ln(1)e +4．设01,a a >≠且则“函数()xf x a =在R 上是增函数”是“函数()ag x x =在R 上是增函数”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数2||()2x f x x =-的图像为6．设121333211(),(),(),,,333a b c a b c ===则的大小关系是A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．b c a >>7．若函数32121212()1,()[()()]0f x x x mx x x R x x f x f x =+++∈-->对任意满足，则实数m 的取值范围是A ．1(,)3-∞B ．1(,)3+∞C ．1(,]3-∞D ．1[,)3+∞8．已知集合{0,1,2,3},{(,)|,,,}A B x y x A y A x y x y A ==∈∈≠+∈集合，则B 中所含元素的个数为 A ．3B ．6C ．8D ．109．若函数2()2f x x x m =++的最小值为0，则1()f x dx ⎰=A ．2B ．13C ．73D ．8310．若曲线1122(,)y x a a --=在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为9，则a=A ．8B ．16C ．32D ．64第Ⅱ卷（非选择题，共100分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试卷上作答无效。
安徽省示范高中届高三数学上学期第一次联考试题文扫描版新人教A版
安徽省示范高中届高三数学上学期第一次联考试题文扫描版新人教A版 Last updated on the afternoon of January 3, 2021安徽省示范高中2014届高三数学上学期第一次联考试题文（扫描版）新人教A版2014届安徽省示范高中高三第一次联考文科数学参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【解析】2{|20}A x x x =-≤{|02}x x =，(){|lg 10}B x x =-{}|011x x =<-＝{|12}x x <，所以A B ={|12}x x <，故选B ．【解析】f (0)＝1，f (f (0))＝f (1)＝2－1＝1．故选C ．【解析】若OA OB ⊥，结合图形可知，OA OB AB +==2=．故选C ．【解析】cos()cos παα-=-=∴cos α=，又α∈,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴sin α23=．∴sin(π＋α)＝－sin α＝－．故选B ． 【解析】圆C 的标准方程为()2214x y ++=，直线l 过定点（0,1），代入()2214x y ++=，可知直线过圆上的点，所以直线与圆相切或相交．故选D ．【解析】函数()y f x c =-与x 轴有两个不同交点，即方程()0f x c -=有两个不同的解，由()f x c =知，()y f x =与y c =有两个不同的交点，结合图形可知[)()2,0.5 1.1,1.8c ∈--．故选D ．【解析】S 6－S 2＝a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝2(a 4＋a 5)＝0，又a 4＝1，∴a 5＝－1．∴22b =，又25124b b b =，即22324b b =，∴223224b q b ==，2q =．所以889102222b b q ==⨯=，所以92102log log 29b ==． 【解析】f (x )的最小正周期54126T πππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，故22T πω==．由262ππϕ⨯+=得6πϕ=，由图可知A ＝2．故函数f (x )的解析式为()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．所以(0)2sin 16f π==．故选A ．【解析】①样本容量为39186÷=，①是假命题；②数据1,2,3,3,4,5的平均数为1(123345)35+++++=，中位数为3，众数为3，都相同，②是真命题；③56910575x ++++==乙，2s =乙15[(5－7)2＋(6－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(5－7)2]＝15×(4＋1＋4＋9＋4)＝，∵s 甲2＞s 乙2，∴乙稳定，③是假命题；④是真命题；⑤数据落在[,内的有：120,122,116,120共4个，故所求频率为＝，⑤是真命题．【解析】由f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，可得001(0)23a f a a <<⎧⎨=--⎩，化简得103a <． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上。
安徽省示范高中高三数学上学期第一次联考试题 理(扫描版)新人教A版
安徽省示范高中2014届高三数学上学期第一次联考试题理（扫描版）新人教A版2014届安徽省示范高中高三第一次联考理科数学参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．C 【解析】(1)2f ，f (f (1))＝f (2)＝4＋2a,，由已知4a ＝4＋2a ，解得a ＝2．故选C ．2．B 【解析】由题意可知向量OB 的模是不变的，所以当OB 与OA 同向时OA OB +最大，结合图形可知，max 1OA OB OA +=+=13+=．故选B ．3. C 【解析】法一：从0开始逐一验证自然数可知{}1,2,3A =，{}0,1B =，要使,S A S B φ⊆≠，S 中必含有元素1，可以有元素2,3，所以S 只有{}{}{}{}1,1,2,1,3,1,2,3.法二：31A x N x ⎧⎫=∈≥=⎨⎬⎩⎭310x N x ⎧⎫∈-≤⎨⎬⎩⎭30x x N x ⎧-⎫=∈≤⎨⎬⎩⎭{|03}x N x =∈<… {}1,2,3=，()2{|log 11}B x N x =∈+≤{}|012x N x =∈<+…＝{|11}x N x ∈-<…{}0,1=，所以集合S 中必含元素1，可以是{}{}{}{}1,1,2,1,3,1,2,3，共4个．故选C ．4．B 【解析】通过画树形图可知由1、2、3、4四个数构成的没有重复数字的四位数共有24个，四位数为“锯齿数”的有：1324,1423,2143,2314,2413,3142,3241,3412,4132,4231共10个，所以四位数为“锯齿数”的概率为1052412=．故选B ． 5.C 【解析】函数4()log 1y f x x =+-与x 轴的交点个数，为方程4()log 10f x x +-=的解的个数，即方程4()log 1f x x =-+解的个数，也即函数4()log 1y f x y x ==-+，交点个数，作出两个函数图像可知，它们有3个交点．故选C ．6.B 【解析】sin()sin παα-==，又α∈3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴cos α＝＝23=-．由2cos 2cos 12αα=-，3,224αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得cos 2α===，所以sin cos 222παα⎛⎫+== ⎪⎝⎭．故选B ．7.D 【解析】法一：因为3324a S S =-=，所以234b a ==，222log log 42b ==，验证可知A,B,C 均不符合，故答案为D.法二：因为3324a S S =-=，所以234b a ==，又2314n n n b b b +-=，即2214n n b b +=，∴22124n n b q b +==，2q =．所以数列{b n }的通项公式是222422n n n n b b q --==⨯=，所以22log log 2n n b n ==．故选D ．8.A 【解析】圆C 的标准方程为()2214x y ++=，圆心为（0,－1），半径为2；直线方程l 的斜率为1-，方程为10x y +-=．圆心到直线的距离d ==．弦长AB ===O 到AB，所以△OAB 的面积为112⨯=．故选A ． 9．B 【解析】①由系统抽样的原理知抽样的间隔为52÷4＝13，故抽取的样本的编号分别为7,7＋13,7＋13×2,7＋13×3，即7号、20号、33号、46号，①是假命题；②数据1,2,3,3,4,5的平均数为1(123345)35+++++=，中位数为3，众数为3，都相同，②是真命题；③由题可知样本的平均值为1，所以01235a ++++=，解得a ＝－1，所以样本的方差为15[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2，标准差为，③是假命题；回归直线方程为2y a x =+过点(),x y ，把（1,3）代入回归直线方程为2y a x =+可得1a =．④是真命题；⑤产品净重小于100克的频率为(0．050＋0．100)×2＝0．300，设样本容量为n ，则36n ＝0．300，所以n ＝120，净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0．100＋0．150＋0．125)×2＝0．75，所以样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0．75＝90．⑤是真命题．10．C 【解析】作出函数()f x 的图像，然后作出2()log (0)f x x x =>关于直线y x =对称的图像，与函数2()32(0)f x x x x =++…的图像有2个不同交点，所以函数的“和谐点对”有2对．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上。
安徽省名校联考2022届高三下学期教育教学质量监控理科数学试题(2)
一、单选题二、多选题1. 已知函数的图象在点处的切线过点，则（ ）A．B．C．D．2. 在的展开式中，所有项的二项式系数之和为4096，则其常数项为（ ）A ．-220B ．220C ．110D ．-1103.若，则（ ）A．B．C．D．4. 已知双曲线：的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．5.若不等式的解集为，则值是（ ）A ．-10B ．-14C ．10D ．146. ＝（ ）A ．0B．C．D ．17. 若、、，且，则下列不等式中一定成立的是（ ）A．B．C．D．8.设函数在上单调递减，则下述结论：①关于中心对称；②关于直线轴对称；③在上的值域为；④方程在有个不相同的根.其中正确结论的编号是（ ）A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④9. “杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给作出了杰出贡献.某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）近似服从正态分布.已知时，有，，.下列说法正确的是（ ）A．该地水稻的平均株高约为B ．该地水稻株高的方差约为100C ．该地株高超过的水稻约占68.27％D ．该地株高低于的水稻约占99.87％10. 如图，在矩形AEFC 中，，EF =4，B 为EF 中点，现分别沿AB 、BC 将△ABE 、△BCF 翻折，使点E 、F 重合，记为点P ，翻折后得到三棱锥P -ABC ，则（）A ．三棱锥的体积为B ．直线PA 与直线BC所成角的余弦值为安徽省名校联考2022届高三下学期教育教学质量监控理科数学试题(2)安徽省名校联考2022届高三下学期教育教学质量监控理科数学试题(2)三、填空题四、解答题C ．直线PA 与平面PBC所成角的正弦值为D ．三棱锥外接球的半径为11.将函数的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变，得到函数的图象，则关于的说法正确的是（ ）A．最小正周期为B ．偶函数C ．在上单调递减D ．关于中心对称12. 设抛物线的焦点为，为其上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于两点，点，下列结论正确的是（ ）A．抛物线的方程为B．的最小值为6C ．存在直线，使得、两点关于对称D ．当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切13.若，，则___________.14. 底面半径和高均为1的圆锥的侧面积为______．15. 的展开式中与的系数之比为___________16. 如图所示的几何体，其中底面ABCD 是以CD 为高的直角梯形，∠ADC =90°，AD =CD =1，BC =2，SA ⊥底面ABCD ，连接SC ，SB ，SD．（1）求二面角B -SA -D 的角度（2）若SA =a ，求面SAB 与面SDC 所成角的余弦值与a 的关系，并求出余弦值的取值范围17. 如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，CE ⊥AC ，EF ∥AC ，AB =，．（1）求证：CF ⊥平面BDE ；（2）求二面角A-BE-D 的大小．18.已知数列的前n项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前n项和为，且，若对于恒成立，求的取值范围．19.已知抛物线的准线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，点其中在抛物线上，且直线交轴于，直线交轴于.(1)求直线斜率的取值范围；(2)设为原点，若，求证：为定值.20.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，.(1)求角C的大小；(2)若，求面积的取值范围.21. 如图1，已知菱形的对角线交于点，点为线段的中点，，，将三角形沿线段折起到的位置，，如图2所示．（1）证明：平面平面；（2）求三棱锥的体积．。
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安徽省省级示范高中名校2014届高三数学大联考试题理（扫描版）新人教A版1B CBD1A1C 1D 2014安徽省省级示范高中名校高三联考数学（理科）试题参考答案（1）A 解析：2i (2)(2)i1i 2a a a ---+=+，由题意得222(22a a -+=-解得 6.a =- （2）C 解析：由线面、面面间的位置关系可知选C.（3）B 解析：由图知PM2.5值小于或等于75微克／立方米的频率为1(0.0004-+0.00080.00160.00240.0048)750.25+++⨯=,所以100天中空气质量达标的天数是1000.2525⨯=.（4）D 解析：228381,0,02,,3,,33949b b k b a k b a k b a a ===→=→===→=→==81,9b a a =→=循环结束，输出结果为89.（5）A 解析：α是第一象限角sin α⇒反之不一定成立，故选A. （6）D 解析：画出可行域可知，当抛物线2y zx =过点(1,3)时，2max391z ==. （7）D 解析：由24cos ρρθ=⎧⎨=⎩得π=2,3ρθ=±，故圆12,C C 交点坐标为ππ2,2.33⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，（8）B 解析：选项A 、C 中π6位于递增区间内，π()06f '>，选项B 、D 中π6位于递减区间内，π()0,6f '<结合图像可知选B.（9）C 解析：因为曲线1:111x C y x x ==+--,相当于将函数1()f x x=的图像向右平移一个单位，再向上平移一个单位，即曲线C 的图像关于点()1,1Q 成中心对称，所以Q 是线段MN 的中点，故()224ON OQ MO OQ OQ ON OM OQ ⋅-⋅=⋅+==. （10）C 解析：在正方体一个面的四个顶点中任取三个点，在与这个面平行的面中只有一个顶点与刚才的三个顶点能构成符合条件的三棱锥（如图中三棱锥1D ABC -），所以这一对平行平面的顶点共构成3428C ⨯=个符合条件的三棱锥，正方体中共有三对平行平面，所以可构成符合条件的三棱锥3824⨯=个.另外正四面体11AC BD 和正四面体11ACB D 也符合条件，故符合条件的三棱锥共有24226+=个. （11）15 解析：6622166(1)(1)r r r rrrrr r T C xxC x----+=-=-，令632rr --=，得2r =，所以3x 的系数为226(1)15.C -=（12解析：画出简图,由三角形中位线定理可知2190PF F ∠=，根据双曲线的定义2,a c ==，所以离心率e =（13）π2解析：由已知及正、余弦定理可得a b b a +22242a b c ab +-=⨯，化简得2222b a c +=，将c =代入得a b 3=，所以 222πcos 0,22a cb B B ac +-===.（14）21n a n =+ 解析：第n 个文件刚下载完时，第1n +个文件刚好下完13（速度始终是前面的13，又是同时下载的），此时它上升为第一位，因此剩下的23还需耗时2分钟，所以12,2 1.n n n a a a n +=+=+（15）①②③⑤ 解析：①由题意设3322a ab b ⎧=⎪⎨=⎪⎩,解得当0a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩0a b =⎧⎪⎨=⎪⎩a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩时,满足条件；②()f x 在(0,)+∞上单调递减，取区间[,](0,)a b ⊆+∞，由题意设1212b aa b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以只需12ab =即可，满足条件； ③()f x 在[]1,1-上单调递增，取区间[,][1,1]a b ⊆-，由题意设22421421aa ab b b ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，解得当10a b =-⎧⎨=⎩或01a b =⎧⎨=⎩或11a b =-⎧⎨=⎩时，满足条件； ④由题意设e 2e 2ab a b⎧=⎪⎨=⎪⎩，即,a b 是方程e 2xx =的两个根，由于两函数e 2x y y x ⎧=⎨=⎩没有交点，故对应方程无解，所以不满足条件；⑤()f x 在(0,)+∞上单调递增，取区间[,](0,)a b ⊆+∞，由题意设lg 22lg 22a ab b+=⎧⎨+=⎩，即,a b是方程lg 22x x +=的两个根，由于两函数lg 22y x y x=+⎧⎨=⎩有两个交点，故对应方程有两个根，即存在,a b 满足条件.所以存在“和谐区间”的是①②③⑤.（16）解析：（Ⅰ）由题意得函数π()=2sin()16f x x ω+-,其最小正周期为π， 所以2ππω=，2=ω.……………………………………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知π()=2sin(2)16f x x =+-， 令0)(=x f 得π1sin(2)62x +=，所以ππ22π66x k +=+或π5π22π,Z 66x k k +=+∈. 解得πx k =或ππ,Z 3x k k =+∈.…………………………………………………9分因为[π,0]x ∈-，所以零点有1232ππ,,03x x x =-=-=. 所以()f x 在区间[π,0]-上的所有零点之和为5π3-.……………………………………12分（17）解析：（Ⅰ）函数()f x 定义域为(,1)(1,)-∞+∞，22e (23)()(1)x x f x x -'=-， (2)分由22e (23)()0(1)x x f x x -'=>-解得32x >,由'()0f x <解得32x <且1x ≠， 故函数()f x 的单调递增区间是3(,)2+∞，单调递减区间是3(,1),(1,)2-∞.…………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知222e (23)e (1)1x xx a x x -≥⋅--恒成立，即231x a x -≤-，…………………8分 令23()1x g x x -=-，则'21()0(1)g x x =>-， 因此()g x 在[2,)+∞上单调递增，于是()(2)1g x g ≥=，故实数a 的取值范围是(,1]-∞.…………………………………………………………12分 （18）解析：（Ⅰ）∵,,,PA AB AB AD PA AD A ⊥⊥=∴AB ⊥平面,PAD ∴,AB PD ⊥又,,PD AD ABAD A ⊥=∴PD ⊥平面ABCD .…………………4分（Ⅱ）以D 为原点,,,DA DC DP 分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,D xyz -则(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,0,0),(2,2,2),(2,2,0),A B C P CB BP CA ==--=-∴(22,2,2)CE CB BE CB BP λλλλ=+=+=--.设1(,,)n x y z =是平面EAC 的一个法向量，则11n CEn CA⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，即(22)220,220.x y z x y λλλ--+=⎧⎨-=⎩令,x λ=则,21,y z λλ==-∴1(,,21)n λλλ=-. 又2(1,0,0)n =是平面PDC 的一个法向量， ∴1212πcos||,4||||nn n n ⋅=⋅=解得1,2λ=∴存在12λ=使得平面EAC 与平面PDC 所成的锐角的大小是π.4…………………12分 （19）解析：（Ⅰ）由已知可设12(0),n n a qq -=>则221214,n n n n n n a a a q a a a ++++===∴2,q = 2n n a ∴=，2114224,n n n n n a a m ++∴=⋅==⋅∴2m =. ………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知22,nn==∴122222nna n a ++⋅⋅⋅+=.…7分令212,222n n n S =++⋅⋅⋅+则231112,2222n n nS +=++⋅⋅⋅+ 两式相减得23111111121,2222222n n n n n nS +++=+++⋅⋅⋅+-=-∴222,2n n nS +=-<∴ 4.…………………………………………13分（20）解析：（Ⅰ）由题意得2221,224ba c ba c =⎧⎪-=⎨⎪+=⎩解得12abc ⎧=⎪=⎨⎪=⎩. ∴椭圆C 的方程是2215x y +=.………………………………………………………4分（Ⅱ）假设存在等腰直角三角形MAB ，由题知直角边MA ，MB 不可能平行或垂直x 轴.故设MA 所在直线的方程是1y kx =+（0k >），则MB 所在直线的方程是11y x k=-+， 由22155y kx x y =+⎧⎨+=⎩，得2221010(1)1515k k A kk --+++，， 21015MA k∴==+用1k -替换上式中的k 再取绝对值,得MB =，由MA MB =得22(5)15k k k +=+，解得1k =或2k =±.故存在三个内接等腰直角三角形MAB .直角边所在直线的方程是1y x =+、1y x =-+或(21y x =+、(21y x =-+或(21y x =+、(21y x =-++.……………………………………………………………………………………13分 （21）解析：（Ⅰ）由题意可知第二场比赛后C 为优胜者的情况为()(),C A C B C -→-→故其概率为111236⨯=；……………………………………2分由题意可知第三场比赛后C 不可能为优胜者，故其概率为0；…………………4分 由题意可知第四场比赛后C 为优胜者的情况为()()()(),C A A B B C C A C -→-→-→-→故其概率为11111.233236⨯⨯⨯=………6分（Ⅱ）第一场A 与C 的比赛结果分两种情况：①A 与C 的比赛中C 胜出，C 如果要成为优胜者，接下来的比赛按如下进行： ()1()()()()(),*,31,n C A C B B A A C C B C n n --→-→-→-→-→∈-N 回共场对*,n ∈N 以上比赛进行的概率为：11221112()(),332669n n --⨯⨯⨯=⋅此时C 在第31n -场比赛后成为优胜者；………………………………………………9分②A 与C 的比赛中A 胜出，C 如果要成为优胜者，接下来的比赛按如下进行：1()()()()()()(),n C A A B B C C A A B B C C A C --→-→-→-→-→-→-→回()*,31,n n ∈+N 共场对*,n ∈N 以上比赛进行的概率为：1111111()(),32336218n n-⨯⨯⨯=⋅ 此时C 在第31n +场比赛后成为优胜者.………………………………………………12分 综上所述，C 在第31n -场或者第31n +场比赛后能成为优胜者，在第3n 场比赛后不能成为优胜者，所以11211(),0,()*.69218n n n n n p q r n -=⋅==⋅∈N ，……………13分。