天津市南开中学2018届高三下学期第五次月考数学(文)试卷(扫描版)
天津南开中学高三第五次月考数学(文)试卷
天津南开中学2016届高三第五次月考数 学(文史类)本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每小题5分，共40分一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）复数212ii+-等于 A ．i B ．i - C. 1D .1-（2）已知命题p ：若a b >，则22a b >；q ：“1x ≤”是“2230x x +-≤”的必要不充 分条件，则下列命题是真命题的是A ．p q ∧B .p q ⌝∧ C.p q ⌝∧⌝ D.p q ∧⌝（3）记集合22{(,)|16}A x y x y =+≤，集合{(,)|40,(,)}B x y x y x y A =+-≤∈表 示的平面区域分别为12,ΩΩ.若在区域1Ω内任取一点(,)P x y ，则点P 落在区域2Ω中的 概率为A ．24ππ- B ．324ππ+C ．24ππ+ D ．324ππ-（4）运行如下图所示的程序，则输出的结果为A ．7B ．9C ．10D ．11（5）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积 为A ．π+B ．2π+C ．2π+D ．π+（6）已知函数sin 2y x x =-，下列结论正确的个数是 ①图象关于12x π=-对称②函数在[0，2π]上的最大值为2 ③函数图象向左平移6π个单位后为奇函数 A ．0B ．1C ．2D ．3（7）已知定义在R 上的函数2()1|1()|f x x m =---关于y 轴对称，记(2),a f m =+1251(log ),()2b fc f e ==则,,a b c 的大小关系是A ．c a b <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．a b c <<（8）已知函数||()2x f x x =+，若关于x 的方程2()f x kx =有4个不同的实数解，则k 的取值范围是 A ．1k >B ．1k ≥C ．01k <<D ．01k <≤天津南开中学2016届高三第五次月考数 学(文史类)第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
天津南开中学2018年高三数学文测试题含解析
天津南开中学2018年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知是定义在上且以3为周期的奇函数，当时，，则函数在区间上的零点个数是 ( )A．3 B．5 C．7D．9参考答案：D略2. 设满足约束条件，则的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：D3. 若抛物线上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为（）A． B． C．1 D．2参考答案：D略4. 下列说法正确的是( )(A) 命题“使得”的否定是：“”(B) “”是“”的必要不充分条件(C) 命题p：“ ”，则p是真命题(D) “”是“在上为增函数”的充要条件参考答案：D略5. 已知函数的图像向左平移个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍得函数的图像，则下列区间为的单调递增区间的是A．B．C．D．参考答案：A6. 椭圆两个焦点分别是F1，F2，点P是椭圆上任意一点，则的取值范围是（）A．[﹣1，1] B．[﹣1，0] C．[0，1] D．[﹣1，2]参考答案：C【考点】椭圆的简单性质．【专题】转化思想；向量法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设P（x，y），，，则=x2+y2﹣i=即可．【解答】解：由椭圆方程得F1（﹣1，0）F2（1，0），设P（x，y），∴，，则=x2+y2﹣1=∈[0，1]故选：C【点评】本题考查了椭圆与向量，转化思想是关键，属于中档题．7.从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字中，选出一个偶数和三个奇数，组成一个没有重复数字的四位数，这样的四位数共有（）.A.1440个B.1480个C.1140个D.1200个参考答案：答案：C8. （5分）如图在等腰直角△ABC中，点O是斜边BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若，则mn的最大值为（）A． B． 1 C． 2 D． 3参考答案：B【考点】：向量在几何中的应用；基本不等式在最值问题中的应用．【专题】：计算题．【分析】：利用三角形的直角建立坐标系，求出各个点的坐标，有条件求出M和N坐标，则由截距式直线方程求出MN的直线方程，根据点O（1，1）在直线上，求出m和n的关系式，利用基本不等式求出mn的最大值，注意成立时条件是否成立．解：以AC、AB为x、y轴建立直角坐标系，设等腰直角△ABC的腰长为2，则O点坐标为（1，1），B（0，2）、C（2，0），∵，∴，∴、，∴直线MN的方程为，∵直线MN过点O（1，1），∴=1，即m+n=2∵（m＞0，n＞0），∴，∴当且仅当m=n=1时取等号，且mn的最大值为1．故选B．【点评】：本题的考查了利用向量的坐标运算求最值问题，需要根据图形的特征建立坐标系，转化为几何问题，根据条件求出两数的和，再由基本不等式求出它们的积的最大值，注意验证三个条件：一正二定三相等，考查了转化思想．9. 已知函数满足，且是偶函数，当时，，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是(A) (B) (C) (D)参考答案：C由得，，所以函数为周期为2的周期函数，又因为函数为偶函数，有，所以有，所以函数关于对称，令，得函数，令函数，做出函数和函数的图象，如图：当直线必须过点时有4个交点，此时直线的斜率为，要使函数有四个零点，则直线的斜率，选C.10. 平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=（）A．B．C．12 D．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【分析】原式利用二次根式性质化简，再利用完全平方公式展开，利用平面向量的数量积运算法则计算即可得到结果．【解答】解：∵平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，∴|+2|=====2，故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 高三毕业时，甲，乙，丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲，乙相邻，则甲丙相邻的概率为参考答案：12. 执行如图所示的程序框图,若输入m=5则输出k的值为参考答案：本题考查程序框图.13. 已知p：﹣2≤x≤1，q：（x﹣a）（x﹣a﹣4）＞0，若p是q成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．参考答案：（﹣∞，﹣6）∪（1，+∞）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先求出q下的不等式，得到q：x＜a，或x＞a+4，而若p是q成立的充分不必要条件，即由p能得到q，而由q得不到p，所以a＞1，或a+4＜﹣2，这样便得到了a的取值范围．【解答】解：q：x＜a，或x＞a+4；∴若p是q成立的充分不必要条件，则：a＞1，或a+4＜﹣2；∴a＞1，或a＜﹣6；∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣6）∪（1，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣6）∪（1，+∞）．14. 已知函数y=a x+b（b＞0）的图象经过点P（1，3），如图所示，则+的最小值为．参考答案：【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】函数y=a x+b（b＞0）的图象经过点P（1，3），可得3=a+b，a＞1，b＞0．即（a ﹣1）+b=2．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵函数y=a x+b（b＞0）的图象经过点P（1，3），∴3=a+b，a＞1，b＞0．∴（a﹣1）+b=2．∴+===，当且仅当a﹣1=2b=时取等号．故答案为：．【点评】本题考查了函数的图象与性质、“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．15. 如果函数在区间上有且仅有一条平行于轴的对称轴，则的取值范围是．参考答案：略16. 函数f（x）=的定义域为．参考答案：{x|x}【考点】函数的定义域及其求法．【分析】利用被开方数非负，得到不等式，求解即可得到函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则：1﹣2x≥0，解得：x．函数的定义域为：{x|x}．故答案为：：{x|x}．17. （坐标系与参数方程选做题）如图，为圆O的直径，为圆O上一点，和过的切线互相垂直，垂足为，过的切线交过的切线于，交圆O于，若，，则= .参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2018年天津市南开中学高三模拟考试数学(文)(精编含解析)
2018年天津市南开中学高三模拟考试数学（文）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化简分式，分子、分母分别平方，再按照复数的除法运算法则化简可得结果.【详解】，故选：C【点睛】本题主要考查了复数代数形式的运算，是基础题．2. 命题：“”的否定形式是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】含有全称量词的命题就称为全称命题，含有存在量词的命题称为特称命题．一般形式为：全称命题：，；特称命题，．【详解】命题“”的否定形式是特称命题；“”，故选C.【点睛】通常像“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，通常用符号“”表示“对任意”；“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，通常用符号“”表示“存在”．3. 执行如图所示的程序框图，若输入的值为1，则输出的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】试题分析：程序执行的数据变化如下：成立，输出考点：程序框图4. 已知，则下列关系正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用对数的运算法则，化简，推导出的范围，然后推出与的范围并比较大小，从而可得答案．【详解】∵，，，因为，即，∴，故选A.【点睛】本题考查对数函数的单调性的应用，对数值大小的比较，着重考查对数函数的单调性，属于基础题.5. 在长为的线段上任取一点.现作一矩形，邻边长分别等于线段的长，则该矩形面积大于的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：设AC=x，则BC=12-x（0＜x＜12）矩形的面积S=x（12-x）＞20∴x2-12x+20＜0∴2＜x＜10由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于20cm2的概率考点：几何概型视频6. 已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：双曲线的一条渐近线是，则①，抛物线的准线是，因此，即②，由①②联立解得，所以双曲线方程为．故选D．考点：双曲线的标准方程．视频7. 设，若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D 【解析】试题分析：当时,,设直线与的切点为,因,故,则代入可得,所以，解之得,结合图象可知,当,即,所以当,即当时,函数与直线有三个交点,故应选D.考点：函数的图象和零点．【易错点晴】本题考查的是函数的图象与零点的综合运用问题.解答时可依据题设条件将问题进行合理有效的转化与化归,画出函数的图象,结合图象不难看出, 函数在区间上有三个零点等价于函数与直线有三个交点.然后以导数为工具,求出切点的坐标,,数形结合求出参数的取值范围是.8. 已知函数，将图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若对任意，都有成立，则的值为（ ）A.B. 1C.D. 2【答案】D【解析】【分析】利用辅助角公式化简的解析式，再利用正弦型函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得的值．【详解】，（其中，），将图象向右平移个单位长度得到函数的图象，得到，∴，，解得，故选D.【点睛】本题主要考查辅助角公式，的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于中档题．第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9. 已知集合，则__________．【答案】.【解析】【分析】由，，根据集合确定出，根据定义求出与的交集即可．【详解】∵集合中，，，∴，3，9，即，∴，故答案为.【点睛】本题主要考查了交集及其运算，熟练掌握集合的定义及交集的定义是解本题的关键.10. 若变量满足约束条件，则的取值范围是__________．【答案】.【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，通过平移求出的取值范围.【详解】作出不等式组对应的平面区域如图所示阴影部分；由得，即直线的截距最大，也最大；平移直线，可得直线经过点时，截距最大，此时最大，即；经过点A时，截距最小，由，得，即，此时最小，为；即的取值范围是，故答案为．【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.11. 某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部分为半个圆弧，则该几何体的体积为__________．【答案】.【解析】【分析】由三视图知该几何体是左边为横放的直三棱柱，右边是横放的半圆柱，结合图中数据求出它的体积．【详解】由三视图知，该几何体是由左右两部分组成的，左边的是横放的直三棱柱，高为3，底面是边长为2的等腰直角三角形，右边是一个半圆柱，高为3，底面半径为1；∴该几何体的体积为（）．故答案为.【点睛】本题考查了利用三视图求几何体的体积问题，由三视图正确恢复原几何体是解题的关键，是基础题．12. 设函数是定义在上的以5为周期的奇函数，若，则的取值范围是__________．【答案】.【解析】【分析】根据函数是以5为周期的奇函数，得，结合函数为奇函数，得由此结合建立关于的不等式，解之可得的取值范围．【详解】∵函数以5为周期，∴，又∵，函数是奇函数，∴，因此，解之得或，故答案为．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和周期性，以及不等式的解法等知识，熟练运用函数的性质是关键，属于基础题．13. 如图，已知正六边形的边长为，点为的中点，则__________．【答案】.【解析】【分析】根据题意，建立直角坐标系，进而可得、、、、、的坐标，由中点坐标公式可得的坐标，由向量的坐标公式可得向量，的坐标，进而由数量积的坐标计算公式计算可得答案【详解】根据题意，如图建立直角坐标系，则，则，，，，，，又由点为的中点，则，则有，，则，故答案为.【点睛】本题考查向量数量积的坐标计算，关键是建立直角坐标系，求出点的坐标，属于基础题. 14. 若二次函数的值域为，则的最小值为__________．【答案】.【解析】【分析】由题意可知，，，从而求出，将所求式子中的4代换成，利用裂项法进行整理，进而利用均值不等式求出最小值．【详解】∵二次函数（）的值域为，∴，，∴，，，∴，当且仅当时取等号，故答案为．【点睛】本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 在中，角的对边分别为.已知的面积为，周长为，且.（1）求及的值；（2）求的值.【答案】（1）；.（2）.【解析】【分析】（1）由已知及三角形面积公式可求，进而可求，利用余弦定理即可得解的值；（2）利用同角三角函数基本关系式可求，利用二倍角公式可求，的值，进而利用两角差的余弦函数公式即可得解．【详解】（1）∴∴∴..（2）由（1）得，，∴∴，【点睛】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角差的余弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.16. 某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：后得到如图的频率分布直方图.（1）求图中实数的值.（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校髙一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；（3）若从数学成绩在与两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.【答案】（1）.（2）544人.（3）.【解析】试题分析：（1）根据图中所有小矩形的面积之和等于1建立关于a的等式，解之即可求出所求；（2）根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率，然后根据频数=频率×总数可求出所求；（3）成绩在[40，50）分数段内的人数，以及成绩在[90，100]分数段内的人数，列出所有的基本事件，以及两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的基本事件，最后利用古典概型的概率公式解之即可．试题解析：(1)由于图中所有小矩形的面积之和等于1，所以10×(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1.解得a=0.03(2)根据频率分布直方图,成绩不低于60分的频率为1−10×(0.005+0.01)=0.85由于该校高一年级共有学生640人,利用样本估计总体的思想,可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为640×0.85=544人(3)成绩在[40,50)分数段内的人数为40×0.05=2人,分别记为A,B，成绩在[90,100]分数段内的人数为40×0.1=4人,分别记为C,D,E,F.若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生,则所有的基本事件有：(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)共15种.…(9分)如果两名学生的数学成绩都在[40,50)分数段内或都在[90,100]分数段内,那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[40,50)分数段内,另一个成绩在[90,100]分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M,则事件M包含的基本事件有：(A,B),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)共7种.所以所求概率为P(M)=.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面，，点分别为和中点.（1）求证：直线平面；（2）求证：面；（3）求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析.（2）见解析.（3）.【解析】【分析】（1）利用中点和平行四边形性质得出，利用直线平面的平行问题求解证明即可；（2）根据几何图形得出，直线平面的垂直得出，再运用判定定理求解证明即可；（3）运用直线平面所成角的定义得出夹角，转化为直角三角形中求解即可．【详解】（1）证明：作交于．∵点为中点，∴，∵，∴，∴为平行四边形，∴，∵平面，平面，∴直线平面．（2）∵底面是菱形，∴，∵平面，平面，∴∵，∴平面；（3）连接，，∵点，分别为和中点，∴，∵平面，∴平面，根据直线与平面所成角的定义可得：为与平面所成角或补角，中，，，，，∴，∴与平面所成角的正弦值为．【点睛】本题考查了空间直线平面的平行，垂直，空间夹角问题，关键是熟练掌握定理，定义，把空间问题转化为平面问题求解，直线，直线，平面之间的转化问题．18. 设数列的首项，前项和满足关系式.（1）求证：数列是等比数列；（2）设数列的公比为，作数列，使，求数列的通项公式；（3）数列满足条件（2），求和：.【答案】（1）见解析.（2）.（3）.【解析】【分析】（1）利用，求得数列的递推式，整理得，进而可推断出时，数列成等比数列，然后分别求得和，验证亦符合，进而可推断出是一个首项为1，公比为的等比数列；（2）把的解析式代入，进而可知，判断出是一个首项为1，公差为1的等差数列．进而根据等差数列的通项公式求得答案；（3）由是等差数列．进而可推断出和也是首项分别为1和2，公差均为2的等差数列，进而用分组法可求得结果．【详解】（1）因为①②，得，所以.又由，得.又因为，所以.所以是一个首项为1，公比为的等比数列.（2）由，得.所以是一个首项为1，公差为1的等差数列.于是.（3）由，可知和是首项分别为1和2，公差均为2的等差数列，于是，所以.【点睛】本题主要考查了等比关系的确定，考查了学生综合分析问题的能力，考查了利用分组求和法求数列的和.19. 已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若函数存在极小值点，且，求实数的取值范围.【答案】（1）当时，函数的单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）.【解析】试题分析：（Ⅰ）求出，分两种情况分别令得增区间，得减区间；（Ⅱ）函数存在极小值点，所以在上存在两个零点，，设为函数的极小值点，由，得，所以可得结果.试题解析：（Ⅰ）因为函数，所以其定义域为.所以.当时，，函数在区间上单调递减.当时，.当时，，函数在区间上单调递减.当时，，函数在区间上单调递增.综上可知，当时，函数的单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（Ⅱ）因为，所以（）.因为函数存在极小值点，所以在上存在两个零点，，且.即方程的两个根为，，且，所以，解得.则.当或时，，当时，，所以函数的单调递减区间为与，单调递增区间为.所以为函数的极小值点.由，得.由于等价于.由，得，所以.因为，所以有，即.因为，所以.解得.所以实数的取值范围为.20. 已知椭圆的两个焦点分别为和，过点的直线与椭圆相交与两点，且.（1）求椭圆的离心率；（2）求直线的斜率；（3）设点与点关于坐标原点对称，直线上有一点在的外接圆上，且，求椭圆方程.【答案】（1）.（2）.（3）.【解析】【分析】（1）由，，得，得到的关系式，由此能求出离心率；（2）将椭圆的方程为写为，设直线的方程为，设，，联立方程组，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出直线的斜率；（3）求出，，取，得，推导出外接圆的方程，与直线的方程联立解出，得，再由，解得，由此能求出椭圆方程．【详解】（1）由且，得，从而整理，得，故离心率.（2）由（1）得，所以椭圆的方程可写为设直线的方程为，即.由已知设，则它们的坐标满足方程组消去整理，得.依题意，，得.而①②由题设知，点为线段的中点，所以③联立①③解得将代入②中，解得.（3）由（2）可知.不妨取，得，由已知得.线段的垂直平分线的方程为，直线与轴的交点是外接圆的圆心，因此外接圆的方程为.直线的方程为，于是点的坐标满足方程组，由，解得由解得故椭圆方程为.【点睛】本题考查椭圆的离心率、直线的斜率、椭圆方程的求法，考查椭圆、直线方程、圆、根的判别式、韦达定理、两点间距离公式等基础知识，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，是中档题.。
2017-2018年天津市南开中学高三(下)第五次月考数学试卷(文科)(解析版)
2017-2018学年天津市南开中学高三（下）第五次月考数学试卷（文科）一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若复数（2+i）（a﹣2i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则|a+i|＝（）A．B．C．D．102．（5分）“lgx，lgy，lgz成等差数列”是“y2＝xz”成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z＝2x﹣y的最大值为（）A．﹣3B．C．5D．64．（5分）设a＝0.23，b＝log0.30.2，c＝log30.2，则a，b，c大小关系正确的是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a5．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x＝0，y＝1，n＝1，则输出x，y的值满足（）A．y＝2x B．y＝3x C．y＝4x D．y＝5x6．（5分）已知抛物线y2＝8x的准线与双曲线＝1相交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，△ABF为直角三角形，则双曲线的离心率为（）A．3B．2C．D．7．（5分）若关于x的不等式3﹣|x+a|＞x2至少有一个负数解，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，）B．（）C．（﹣3，3）D．[）8．（5分）已知函数f（x）＝，g（x）＝1+，若f（x）＜g（x），则实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，）∪（，+∞）B．（﹣∞，）∪（，+∞）C．（，）D．（，1）∪（1，）二.填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.9．（5分）已知集合A＝{﹣1，a}，B＝{2a，b}，若A∩B＝{1}，则A∪B＝．10．（5分）如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是．11．（5分）已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y＝lg2，则的最小值是．12．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣5）2＝5，过圆心C的直线l交圆C于A，B两点，交y轴于点P．若A恰为PB的中点，则直线l的斜率为．13．（5分）已知△ABC中，||＝10，＝﹣16，D为边BC的中点，则||等于．14．（5分）函数f（x）＝sin x（sin x+cos x）﹣在区间（）（0＜a＜1）上有且仅有一个零点，则实数a的取值范围是．三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤. 15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞c．已知•＝2，cos B＝，b＝3．求：（1）a和c的值；（2）cos（B﹣C）的值．16．（13分）有编号为A1，A2，…，A10的10个零件，测量其直径（单位：cm），得到下面数据：其中直径在区间[1.48，1.52]内的零件为一等品．（1）从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；（2）从一等品零件中，随机抽取2个．（i）用零件的编号列出所有可能的抽取结果；（ii）求这2个零件直径相等的概率．17．（13分）如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝，现以AD为一边向形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF 与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2．（1）求证：AM∥平面BEC；（2）求证：BC⊥平面BDE；（3）求直线DC与平面BEC所成角的正弦值．18．（13分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝2，S5＝30；数列{b n}的前n项和为T n，且T n＝2n﹣1．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n＝（﹣1）n（a n b n+lnS n），求数列{c n}的前2n项和W2n．19．（14分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，短轴长为4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线x＝2与椭圆C交于P，Q两点，A，B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点，且直线AB的斜率为．（i）求四边形APBQ面积的最大值；（ii）设直线P A的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，判断k1+k2的值是否为常数，并说明理由．20．（14分）设函数f（x）＝+x2+（m2﹣1）x（x∈R），其中m＞0．（1）当m＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率；（2）求函数f（x）的单调区间与极值；（3）已知函数f（x）有三个互不相同的零点0，x1，x2，且x1＜x2，若对任意的x∈[x1，x2]，f（x）＞f（1）恒成立，求m的取值范围．2017-2018学年天津市南开中学高三（下）第五次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若复数（2+i）（a﹣2i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则|a+i|＝（）A．B．C．D．10【解答】解：∵（2+i）（a﹣2i）＝（2a+2）+（a﹣4）i的实部与虚部相等，∴2a+2＝a﹣4，即a＝﹣6．∴|a+i|＝|﹣6+i|＝．故选：C．2．（5分）“lgx，lgy，lgz成等差数列”是“y2＝xz”成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：lgx，lgy，lgz成等差数列，∴2lgy＝lgx•lgz，即y2＝zx，∴充分性成立，因为y2＝zx，但是x，z可能同时为负数，所以必要性不成立，故选：A．3．（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z＝2x﹣y的最大值为（）A．﹣3B．C．5D．6【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣1，﹣1），B（2，﹣1），C（0.5，0.5）设z＝F（x，y）＝2x﹣y，将直线l：z＝2x﹣y进行平移，当l经过点B时，目标函数z达到最大值∴z最大值＝F（2，﹣1）＝5故选：C．4．（5分）设a＝0.23，b＝log0.30.2，c＝log30.2，则a，b，c大小关系正确的是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a【解答】解：a＝0.23＝0.008，b＝log0.30.2＞log0.30.3＝1，c＝log30.2＜1，∴b＞a＞c，故选：B．5．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x＝0，y＝1，n＝1，则输出x，y的值满足（）A．y＝2x B．y＝3x C．y＝4x D．y＝5x【解答】解：输入x＝0，y＝1，n＝1，则x＝0，y＝1，不满足x2+y2≥36，故n＝2，则x＝，y＝2，不满足x2+y2≥36，故n＝3，则x＝，y＝6，满足x2+y2≥36，故y＝4x，故选：C．6．（5分）已知抛物线y2＝8x的准线与双曲线＝1相交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，△ABF为直角三角形，则双曲线的离心率为（）A．3B．2C．D．【解答】解：依题意知抛物线的准线x＝﹣2，代入双曲线方程得y＝±•，不妨设A（﹣2，）．∵△F AB是等腰直角三角形，∴＝p＝4，求得a＝，∴双曲线的离心率为e＝＝＝＝3，故选：A．7．（5分）若关于x的不等式3﹣|x+a|＞x2至少有一个负数解，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，）B．（）C．（﹣3，3）D．[）【解答】解：不等式3﹣|x+a|＞x2即|x﹣a|＜﹣x2+3，在同一坐标系内画出y＝﹣x2+3（x＜0，y＞0）与y＝|x|的图象，将绝对值函数y＝|x|向右移动，当左支过点（0，3），得a＝﹣3；将绝对值函数y＝|x|向左移动，当右支与y＝﹣x2+3相切，即联立，得x2+x+a﹣3＝0，由△＝1﹣4（a﹣3）＝0，得a＝．∴要使不等式3﹣|x+a|＞x2至少有一个负数解，则﹣3＜a．故选：A．8．（5分）已知函数f（x）＝，g（x）＝1+，若f（x）＜g（x），则实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，）∪（，+∞）B．（﹣∞，）∪（，+∞）C．（，）D．（，1）∪（1，）【解答】解：当x≤0时，f（x）＜g（x）可化为：，解得：x＜，或x＞1，故x ≤0；当0＜x＜1时，f（x）＜g（x）可化为：+x，解得：＜x＜，或x＞1，故0＜x＜；当x＞1时，f（x）＜g（x）可化为：+x，解得：＜x＜1，或x＞，故x＞；综上可得：若f（x）＜g（x），则实数x的取值范围是（﹣∞，）∪（，+∞）故选：B．二.填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.9．（5分）已知集合A＝{﹣1，a}，B＝{2a，b}，若A∩B＝{1}，则A∪B＝{﹣1，1，2}．【解答】解：集合A＝{﹣1，a}，B＝{2a，b}，又∵A∩B＝{1}，∴a＝1，2a＝2，则b＝1故A＝{﹣1，1}，B＝{1，2}∴A∪B＝故答案为{﹣1，1，2}10．（5分）如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是8+6π．【解答】解：根据三视图知几何体是组合体，下面是半个圆柱、上面是一个以圆柱轴截面为底的四棱锥，圆柱的底面半径为2，母线长为3；四棱锥的高是2，底面是边长为4、3的矩形，∴该几何体的体积V＝×π×22×3+×3×4×2＝6π+8，故答案为：6π+8．11．（5分）已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y＝lg2，则的最小值是．【解答】解：x＞0，y＞0，lg2x+lg8y＝lg2，可得x+3y＝1．＝＝＝≥＝．当且仅当x＝，x+3y＝1，即y＝＝，x＝＝时取等号．的最小值是．故答案为：．12．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣5）2＝5，过圆心C的直线l交圆C于A，B两点，交y轴于点P．若A恰为PB的中点，则直线l的斜率为±2．【解答】解：根据题意，圆C：（x﹣3）2+（y﹣5）2＝5，圆心C（3，5），则直线L的斜率存在，可设直线L的方程为y﹣5＝k（x﹣3），令x＝0可得y＝5﹣3k，即P（0，5﹣3k），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与圆的方程，消去y可得（1+k2）x2﹣6（1+k2）x+9k2+4＝0，由方程的根与系数关系可得，x1+x2＝6，x1x2＝，∵A为PB的中点，∴x2＝2x1②，把②代入①可得x2＝4，x1＝2，则x1x2＝＝8，解可得：k＝±2，即直线l的斜率为±2；故答案为：±2．13．（5分）已知△ABC中，||＝10，＝﹣16，D为边BC的中点，则||等于3．【解答】解：如图，D为边BC的中点；∴＝；根据余弦定理：＝＝＝；∴．故答案为：3．14．（5分）函数f（x）＝sin x（sin x+cos x）﹣在区间（）（0＜a＜1）上有且仅有一个零点，则实数a的取值范围是（，）∪（，1）．【解答】解：f（x）＝sin x（sin x+cos x）﹣＝sin2x+sin x cos x﹣＝﹣cos2x﹣+sin2x ＝sin（2x﹣），令f（x）＝sin（2x﹣）＝0，则2x﹣＝kπ，解得x＝π+，k∈Z，当k＝0时，x＝，此时＜＜aπ，解得＜a＜，当k＝1时，x＝π，此时＜π＜aπ，解得＜a＜1，综上所述f（x）在区（，aπ）（0＜a＜1）上有且仅有一个零点，则实数a的取值范围是（，）∪（，1）故答案为：（，）∪（，1）三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤. 15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞c．已知•＝2，cos B＝，b＝3．求：（1）a和c的值；（2）cos（B﹣C）的值．【解答】解：（1）•＝2，cos B＝，b＝3，可得ca cos B＝2，即为ac＝6；b2＝a2+c2﹣2ac cos B，即为a2+c2＝13，解得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2，由a＞c，可得a＝3，c＝2；（2）由余弦定理可得cos C＝＝＝，sin C＝＝，sin B＝＝，则cos（B﹣C）＝cos B cos C+sin B sin C＝×+×＝．16．（13分）有编号为A1，A2，…，A10的10个零件，测量其直径（单位：cm），得到下面数据：其中直径在区间[1.48，1.52]内的零件为一等品．（1）从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；（2）从一等品零件中，随机抽取2个．（i）用零件的编号列出所有可能的抽取结果；（ii）求这2个零件直径相等的概率．【解答】解：（1）由10个零件直径（单位：cm）数据，得：10个零件中，一等品有6个，∴从上述10个零件中，随机抽取一个，这个零件为一等品的概率p＝．（2）①从一等品零件中，随机抽取2个，用零件的编号列出所有可能的抽取结果共15个，分别为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，A5），（A1，A6），（A2，A3），（A2，A4），（A2，A5），（A2，A6），（A3，A4），（A3，A5），（A3，A6），（A4，A5），（A4，A6），（A5，A6）．②这2个零件直径相等包含的基本事件有6个，分别为：（A1，A4），（A1，A6），（A2，A3），（A2，A5），（A3，A5），（A4，A6）．∴这2个零件直径相等的概率p＝＝．17．（13分）如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝，现以AD为一边向形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2．（1）求证：AM∥平面BEC；（2）求证：BC⊥平面BDE；（3）求直线DC与平面BEC所成角的正弦值．【解答】证明：（1）取EC中点N，连结MN，BN，在△EDC中，M，N分别为ED、EC的中点，∴MN∥CD，且MN＝CD．由已知AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABMN为平行四边形．∴BN∥AM．又∵BN⊂平面BEC，且AM⊄平面BEC，∴AM∥平面BEC．（2）在正方形ADEF中，ED⊥AD，又∵平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD＝AD，∴ED⊥平面ABCD，∴ED⊥BC，在直角梯形ABCD中，AB＝AD＝1，CD＝2，得BC＝．在△BCD中，BD＝BC＝，CD＝2，BD2+BC2＝CD2，∴BC⊥BD．∵ED∩BD＝D，∴BC⊥平面BDE．解：（3）作DH⊥平面BEC于点H，连接CH，则∠DCH为CD与平面BEC所成角，由（2）知，BC⊥BE，BC⊥BD，∴S△BCD＝，又∵ED⊥平面ABCD，＝．∴DH＝，∴sin＝＝．∴CD与平面BEC所成角的正弦值为．18．（13分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝2，S5＝30；数列{b n}的前n项和为T n，且T n＝2n﹣1．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n＝（﹣1）n（a n b n+lnS n），求数列{c n}的前2n项和W2n．【解答】解：（1）等差数列{a n}的前n项和为S n，利用：＝30，且a1＝2，解得：d＝2．故：a n＝2n．数列{b n}的前n项和为T n，且T n＝2n﹣1①．则：当n≥2时：②，①﹣②得：．当n＝1时，符合通项公式．故：．（2）由（1）得到：S n＝n（n+1），故：c n＝（﹣1）n（a n b n+lnS n）＝n•（﹣2）n+（﹣1）n•[lnn+ln（n+1）]设数列{（﹣1）n a n b n}的前2n项和为A2n，数列{（﹣1）n lnS n}的前2n项和为B2n，则：+2•（﹣2）2+…+n•（﹣2）n①．﹣2A2n＝1•（﹣2）2+2•（﹣2）3+…+n•（﹣2）n+1②．①﹣②得：3A2n＝（﹣2）1+（﹣2）2+…+（﹣2）2n﹣2n•（﹣2）2n+1解得：A2n＝，数列{（﹣1）n lnS n}的前2n项和，利用叠加法得到：B2n＝﹣（ln1+ln2）+（ln2+ln3）+…+（ln2n+ln（2n+1）），＝ln（2n+1）﹣ln1，＝ln（2n+1）．故：W2n＝ln（2n+1）．19．（14分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，短轴长为4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线x＝2与椭圆C交于P，Q两点，A，B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点，且直线AB的斜率为．（i）求四边形APBQ面积的最大值；（ii）设直线P A的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，判断k1+k2的值是否为常数，并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为．由已知b＝2，离心率e＝，a2＝b2+c2，得a＝4，所以，椭圆C的方程为．（Ⅱ）①由（Ⅰ）可求得点P、Q的坐标为P（2，3），Q（2，﹣3），则|PQ|＝6，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y＝x+t，代入，得：x2+tx+t2﹣12＝0．由△＞0，解得﹣4＜t＜4，由根与系数的关系得，四边形APBQ的面积，故当t＝0时，；②由题意知，直线P A的斜率，直线PB的斜率，则＝＝，由①知，可得，所以k1+k2的值为常数0．20．（14分）设函数f（x）＝+x2+（m2﹣1）x（x∈R），其中m＞0．（1）当m＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率；（2）求函数f（x）的单调区间与极值；（3）已知函数f（x）有三个互不相同的零点0，x1，x2，且x1＜x2，若对任意的x∈[x1，x2]，f（x）＞f（1）恒成立，求m的取值范围．【解答】解：（1）当，故f'（1）＝﹣1+2＝1，所以曲线y＝f（x）在点（1，）处的切线的斜率为1．方程为y﹣＝x﹣1，即为y＝x﹣（2分）（2）f'（x）＝﹣x2+2x+m2﹣1，令f'（x）＝0，解得x＝1﹣m或x＝1+m．∵m＞0，所以1+m＞1﹣m，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：∴f（x）在（﹣∞，1﹣m），（1+m，+∞）内是减函数，在（1﹣m，1+m）内是增函数．函数f（x）在x＝1﹣m处取得极小值f（1﹣m），且f（1﹣m）＝，函数f（x）在x＝1+m处取得极大值f（1+m），且f（1+m）＝．（6分）（3）由题设，，∴方程有两个相异的实根x1，x2，故，∵m＞0解得m，（8分）∵x1＜x2，所以2x2＞x1+x2＝3，故x2＞．（10分）①当x1≤1＜x2时，f（1）＝﹣（1﹣x1）（1﹣x2）≥0，而f（x1）＝0，不符合题意，②当1＜x1＜x2时，对任意的x∈[x1，x2]，都有x＞0，x﹣x1≥0，x﹣x2≤0，则，又f（x1）＝0，所以f（x）在[x1，x2]上的最小值为0，于是对任意的x∈[x1，x2]，f（x）＞f（1）恒成立的充要条件是f（1）＝m2﹣＜0，解得，∵由上m，综上，m的取值范围是（，）．（14分）。
天津市南开中学2018届高三第五次月考数学(文)试题(含答案)
天津南开中学2018届高三第五次月考数学（文史类）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数()2(2)i a i +-的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a i += ( ) A ．5 B ．10 C ．37 D ．1022.“lg ,lg ,lg x y z 成等差数列”是“2y xz =”成立的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3.已知实数,x y 满足,1,1.y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则目标函数2z x y =-的最大值为( )A ．-3B ．12C ．5D ．6 4.设30.330.2,log 0.2,log 0.2a b c ===，则,,a b c 大小关系正确的是( )A ．a b c >>B ．b a c >> C.b c a >> D ．c b a >> 5.执行下面的程序框图，如果输入的0,1x y ==，1n =，则输出,x y 的值满足( )A ．2y x =B ．3y x = C.4y x = D ．5y x =6.已知抛物线28y x =的准线与双曲线222116x y a -=相交于,A B 两点，点F 为抛物线的焦点，ABF ∆为直角三角形，则双曲线的离心率为( )A ．3B ．2 C.6 D ．37.若关于x 的不等式23x a x -+>至少有一个复数解，则实数a 的取值范围是( ) A ．133,4⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．1313,44-⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.()3,3- D ．13,34⎡⎫-⎪⎢⎣⎭8.已知函数(),()112x x xf xg x x +==+-，若()()f x g x <，则实数x 的取值范围是( ) A ．1515,,22⎛⎫⎛⎫---+-∞+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．1515,,22⎛⎫⎛⎫-++-∞+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.1515,22⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭ D ．1515,11,22⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.已知集合{}{}1,,2,n A a B b =-=，若{}1AB =，则A B =__________.10.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是__________.11.已知0,0,lg 2lg8lg 2xyx y >>+=，则x yxy+的最小值是__________. 12.已知圆22:(3)(5)5C x y -+-=过圆心C 的直线l 交圆C 于,A B 两点，交y 轴于点P ，若A 恰为PB 的中点，则直线l 的斜率为__________.13.已知ABC ∆中，10,16,BC AB AC D =⋅=-为边BC 的中点，则AD 等于 ．14.函数1()sin (sin cos )2f x x x x =+-在区间(),012a a a ππ⎛⎫<< ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且a c >，已知2BA BC ⋅=,1cos ,33B b ==.求： (1)a 和c 的值； (2)cos()BC -的值. 16.有编号为1210,,,A A A 的10个零件，测量其直径（单位：cm ），得到下面数据： 编号 1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A直径1.511.491.491.511.491.511.471.461.531.47其中直径在区间[]1.48,1.52内的零件为一等品.(1)从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率； (2)从一等品零件中，随机抽取2个. (i)用零件的编号列出所有可能的抽取结果； (ii)求这个零件直径相等的概率.17. 如图1，在直角梯形ABCD 中，//,AB CD AB AD ⊥，且112AB AD CD ===.现以AD 为一边向形外作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使平面ADEF 与平面ABCD 垂直，M 为ED 的中点，如图2.(1)求证：//AM 平面BEC ； (2)求证：BC ⊥平面BDE ；(3)求直线DC 与平面BEC 所成角的正弦值.18. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且152,30a S ==；数列{}n b 的前n 项和为n T ，且21nn T =-.(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)设(1)(ln )nn n n n c a b S =-+，求数列{}n c 的前2n 项和2n W .19.已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为12，短袖长为43. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)直线2x =与椭圆C 交于,P Q 两点，,A B 是椭圆C 上位于直线PQ 两侧的动点，且直线AB 的斜率为12. (i)求四边形APBQ 的面积的最大值；(ii)设直线PA 的斜率为1k ，直线PB 的斜率为2k ，判断12k k +的值是否为常数，并说明理由.20.设函数3221()(1)()2f x x x m x x R =-++-∈，其中0m >. (1)当1m =时，求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线的斜率； (2)求函数()f x 的单调区间与极值；(3)已知函数()f x 有三个互不相同的零点120,,x x ，且12x x <，若对任意的[]12,,()(1)x x x f x f ∈>恒成立，求m 的取值范围.天津南开中学2018届高三第五次月考参考答案一、选择题1-5:CACBC 6-8:AAB二、填空题9.{}1,1,2- 10.86π+ 11.234+ 12.2± 13.3 14.115,,1848⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭三、解答题15.(1)由2BA BC ⋅=得cos 2ca B =. 又1cos 3B =，所以6ac =. 由余弦定理，得2222cos a c b ac B +=+. 又3b =，所以2292213a c +=+⨯=. 解226,13,ac a c =⎧⎨+=⎩得2,3a c ==或3,2a c ==. 因为a c >，所以3,2a c ==.(2)在ABC ∆中，22122sin 1cos 133B B ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭.由正弦定理，得22242sin sin 339c C B b ==⨯=. 因为a b c =>，所以C 为锐角；因此22427cos 1sin 199C C ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭. 于是()17224223cos cos cos sin sin 393927B C B C B C -=+=⨯+⨯=. 16.(1)由所给数据可知，一等品零件共有6个.设“从10个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件A ，则63()105P A ==. (2) (1)一等品零件的编号为123456,,,,,A A A A A A ，从这6个一等品零件随机抽取2个，所有可能的结果有：{}{}{}{}{}{}{}12131415162324,,,,,,,,,,,,,A A A A A A A A A A A A A A ,{}{}{}252634,,,,,A A A A A A ,{}{}3536,,,A A A A ,{}{}{}454656,,,,,A A A A A A ,共有15种.(Ⅱ)“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”（记为事件B ）的所有可能结果有：{}{}{}{}{}{}141623253546,,,,,,,,,,,A A A A A A A A A A A A ,共有6种.所以62()155P B ==. 17.(1)取EC 中点N ，连接,MN BN .因为MN 是ECD ∆的中位线，所以//MN CD ,且12MN CD =. 由已知1//,2AB CD AB CD =, 所以//MN AB ，且MN AB =. 所以四边形ABMN 为平行四边形. 所以//BN AM .又因为BN ⊂平面BEC ，且AM ⊄平面BEC ， 所以//AM 平面BEC .(2)在正方形ADEF 中，ED AD ⊥.又因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF 平面ABCD AD =，所以ED ⊥平面ABCD ，所以ED BC ⊥.在直角梯形ABCD 中， 1.2AB AD CD ===,可得2BC =.在BCD ∆中，2BD BC ==,2CD =.所以222BD BC CD +=. 所以BC BD ⊥. 所以BC ⊥平面BDE . (3)由(2)知，BC ⊥平面BDE .又因为BC ⊂平面BCE ,所以平面BDE ⊥平面BEC . 过点D 作EB 的垂线交EB 于点G ， 则DG ⊥平面BEC .连接GC ，则DCG ∠为直线DC 与平面BEC 所成角. 在直角三角形BDE 中，1122BDE S BD DE BE DG ∆=⋅=⋅， 所以2633BD DE DG BE ⋅===, 因此6sin 6DG DCG DC ∠==.18.(1)记等差数列{}n a 的公差为d ， 依题意，得515(51)5302S a d -=+=， 结合12a =，解得2d =，所以数列{}n a 的通项公式2n a n =；因为21nn T =-，所以()11212n n T n --=-≥， 两式相减，得12n n b -=.又因为111211b T ==-=满足上式， 所以数列{}n b 的通项公式12n n b -=.(2) 由(1)可知2nn n a b n =⋅，(1)n S n n =+，则()[](1)(ln )2(1)ln ln(1)nn n n n n n c a b S n x n =-+=-+-++， 记数列(){}1nn n a b -的前2n 项和为2n A，数列(){}1ln nnS -的前2n 项和为2nB，则()()31221(2)2(2)322n n A n =⋅-+⋅-+⋅-++⋅-，()()()()21322122(2)122nn n A n n +-=⋅-+⋅-++-⋅-+⋅-，以上两式相减，得()21232123(2)+(-2)(2)22(2)nn n A n +=-+-++---()()2212122(2)1(2)nn n +⎡⎤---⎣⎦=----21261(2)33n n ++=-- 所以()212261299n n n A ++=---；又()()()[]2ln1ln 2ln 2ln3ln3ln 4ln(2)ln(21)n B n n =-+++-+++++ln(21)ln1n =+-ln(21)n =+综上数列{}n c 的前2n 项和21222261ln(21)(2)99n n n n n W A B n ++=+=+--- 19.(1)设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由已知23b =，离心率12c e a ==，222a b c =+，得4a = 所以，椭圆C 的方程为2211612x y +=. (2)(Ⅰ)由(1)可求得点,P Q 的坐标为(2,3),(2,3)P Q -,则6PQ =.设()()1122,,,A x y B x y ，设直线AB 的方程为12y x t =+，代入2211612x y += 得22120x tx t ++-=.由0∆>，解得44t -<<，由根与系数的关系得12222,12.x x t x x t +=-⎧⎨=-⎩ 四边形APBQ 的面积()2121212163434832S x x x x x x t =⨯⨯-=⨯+-=-故当max 0,123t S ==.(Ⅱ)由题意知，直线PA 的斜率11132y k x -=-，直线PB 的斜率22232y k x -=-，则1212123322y y k k x x --+=+-- 121211332222x t x t x x +-+-=+-- 121211(2)2(2)22222x t x t x x -+--+-=+--1222122t t x x --++-- ()1212122(4)12()4t x x x x x x -+-=+-++，由(1)知12212,12,x x t x x t +=-⎧⎨=-⎩可得 ()212222(4)2811110122428t t t t k k t t t t -----++=+=+=-=-+++-所以12k k +的值为常数0. 20.(1)当1m =时， 故321()3f x x x =-+， 2'()2f x x x =-+， '(1)1f =.所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的斜率为1. (2)22'()21f x x x m =-++-，令'()0f x =，解得1x m =-或1x m =+. 因为0m >，所以11m m +>-.当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下表：x(),1m -∞-1m -()1,1m m -+ 1m + ()1,m ++∞'()f x - 0 + 0 - ()f x极小值极大值所以()f x 在(),1m -∞-，()1,m ++∞内是减函数，在()1,1m m -+内是增函数.函数()f x 在1x m =-处取得极小值(1)f m -，且3221(1)33f m m m -=-+-， 函数()f x 在1x m =+处取得极大值(1)f m +，且2221(1)33f m m m +=+-.(3)由题设，221()13f x x x x m ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭121()()3x x x x x =---，所以方程221103x x m -++-=有两个相异的实根12,x x ，故123x x +=，且241(1)03m ∆=+->，解得12m <-（舍）或12m >，因为12x x <，所以21223x x x >+=，若121x x ≤<，则121(1)(1)(1)03f x x =---≥， 而1()0f x =，不合题意.若121x x <<，对任意的[]12,x x x ∈，有120,0,0x x x x x >-≥-≤，则()()121()03f x x x x x x =---≥.又1()0f x =，所以()f x 在[]12,x x 上的最小值为0.于是对任意的[]12,x x x ∈，()(1)f x f >恒成立的充要条件是21(1)03f m =-<， 解得3333m -<<. 综上，m 的取值范围是13,23⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.。
2018年天津市高三下学期第五次月考理数试题word版含解析
2018年天津市高三下学期第五次月考理数试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8个小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可知：,则：，.本题选择C选项.2. 若，满足条件则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D3. 已知命题：，；命题：，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B点睛：(1)在判断四种命题的关系时，首先要分清命题的条件与结论，当确定了原命题时，要能根据四种命题的关系写出其他三种命题．(2)当一个命题有大前提时，若要写出其他三种命题，大前提需保持不变．(3)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出反例．(4)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．4. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A. 14B. 15C. 16D. 17【答案】C5. 在等差数列中，，设数列的前项和为，则（）A. 18B. 99C. 198D. 297【答案】C【解析】解析：因，故，应选答案C。
6. 已知双曲线（，）的左右焦点分别为，，以线段为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为，若直线与圆：相切，则双曲线的渐近线方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设切点为M,则EM∥PF1,又,所以|PF1|=4r=b,所以|PF2|=2a+b,因此b2+(2a+b)2=4c2，所以b=2a，所以渐近线方程为y=±2x.本题选择D选项.7. 设函数，若方程有12个不同的根，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f(x1)－f(x2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．8. 已知圆为的内切圆，，，，过圆心的直线交圆于，两点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D代入圆的方程可得，即有，则有，由1+k2⩾1可得，则有；同理当k>0时,求得综上可得,的取值范围是.本题选择D选项.第Ⅱ卷二、填空题（共6个小题，将答案填在答题纸上）9. 用分层抽样的方法从某高中校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，已知该校高二年级共有学生300人，则该校学生总数为__________．【答案】900考点：本题主要考查分层抽样。