高二数学上学期期末复习试卷 (2)
2021年高二数学上学期期末复习模拟六(选择性必修一、选择性必修第二册数列)
高二期末模拟试题六高二数学期末模拟六范围(选择性必修一+数列)一、单选题1．已知直线l ：(3)(2)20m x m y m ++---=，点()21A --，，(22)B -，，若直线l 与线段AB 相交，则m 的取值范围为（）A ．(4][4)-∞-⋃+∞，，B ．(22)-，C ．3[8]2-，D ．(4)+∞，2．已知等差数列{}n a 的公差为正数，且3712a a ⋅=-，464a a +=-，则20S 为（）A ．90-B ．180-C ．90D ．1803．设O ABC -是正三棱锥，1G 是ABC 的重心，G 是1OG 上的一点，且13OG GG =，若OG xOA yOB zOC =++，则x y z ++=（）．A ．14B ．12C ．34D ．14．已知(123)A -，，、(211)B -，，两点，则直线AB 与空间直角坐标系中的yOz 平面的交点坐标为（）A ．(000)，，B ．(057)-，，C ．51(0)33，D ．71(0)44，5．已知圆C 与直线0x y -=及40x y --=都相切，圆心在直线0x y +=上，则圆C 的方程为（）A ．22(1)(1)2x y ++-=B ．22(1)(1)2x y -++=C ．22(1)(1)2x y -+-=D ．22(1)(1)2x y +++=6．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点1F ，过点1F 作倾斜角为030的直线与圆222x y b +=，则椭圆的离心率为（）A ．12B．2C ．34D ．327．已知数列{}n a 的前n 项和为11,2,4n n n n S a S a S +==+，则n a =（）A ．432n -B ．212n -C ．212n +D ．42n8．已知双曲线22214x y b-=()0b >的左右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的直线交双曲线右支于A 、B 两点，若1ABF ∆是等腰三角形，且120A ∠=︒．则1ABF ∆的周长为（）A．83+B．)41-C．83+D．)22-二、多选题9．（多选题）在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩．《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪．书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”．其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”．已知1匹4=丈，1丈=10尺，若这一个月有30天，记该女子这一个月中的第n 天所织布的尺数为n a ，2n an b =，对于数列{}n a 、{}n b ，下列选项中正确的为（）A ．1058b b =B ．{}n b 是等比数列C ．130105a b =D ．357246209193a a a a a a ++=++10．记数列{a n }的前n 项和为S n ，若存在实数H ，使得对任意的n ∈N +，都有n S <H ，则称数列{a n }为“和有界数列”.下列说法正确的是（）A ．若{a n }是等差数列，且公差d =0，则{a n }是“和有界数列”B ．若{a n }是等差数列，且{a n }是“和有界数列”，则公差d =0C ．若{a n }是等比数列，且公比q <l ，则{a n }是“和有界数列”D ．若{a n }是等比数列，且{a n }是“和有界数列”，则{a n }的公比q <l11．定义空间两个向量的一种运算sin ,a b a b a b ⊗=⋅，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（）A ．()()a b a bλλ⊗=⊗B ．a b b a⊗=⊗ C ．()()()a b c a c b c+⊗=⊗+⊗D ．若()11,a x y =，()22,b x y = ，则122a b x y x y⊗=-12．已知P 是椭圆C ：2216x y +=上的动点，Q 是圆D ：221(1)5x y ++=上的动点，则（）A ．CB ．C 的离心率为6C ．圆D 在C 的内部D ．||PQ 的最小值为第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题13．已知过点()4,1P 的直线l 与x 轴，y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当AOB 的面积最小时，直线l 的方程为______．14．一条光线从点()2,1-射出，经x 轴反射后与圆()()22341x y -+-=相切，则反射光线所在直线的斜率为________.15．如图所示，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA =，1AB BC ==，动点P 、Q 分别在线段1C D 、AC 上，则线段PQ 长度的最小值是______．16．已知数列{}n a 与{}n b 前n 项和分别为n S ，n T ，且0n a >，22n n n S a a =+，n *∈N ，()()112122n n n n n n b a a +++=++，对任意的n *∈N ，n k T >恒成立，则k 的取值范围是______.四、解答题17．已知直线:3260l x y --=.（1）若直线1l 过点()1,2M -，且1l l ⊥，求直线1l 的方程；（2）若直线，且直线2l 与直线l2l 的方程.18．已知圆221:2610C x y x y +---=和222:1012450.C x y x y +--+=(1)求证：圆1C 和圆2C 相交；(2)求圆1C 和圆2C 的公共弦所在直线的方程和公共弦长．19．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知95S a =-．（1）若34a =，求{}n a 的通项公式；（2）若10a >，求使得n n S a ≥的n 的取值范围．20．设等比数列{}n a 的公比为q ，n S 是{}n a 的前n 项和，已知12a +，22a ，31a +成等差数列，且3241S a =-，1q >．(1)求{}n a 的通项公式；(2)记数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若4(2)n n T n S -=+成立，求n ．21．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在线段AB上．（1）求异面直线1D E 与1A D 所成的角；（2）若二面角1D EC D --的大小为45 ，求点B 到平面1D EC 的距离．22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，且椭圆C的右顶点到直线0x y -=的距离为3．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(2,0)P 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求OAB 面积的最大值(O 为坐标原点）．参考答案1．C 【详解】直线l 方程变形得：(1)(322)0x y m x y +-+--=.由103220x y x y +-=⎧⎨--=⎩得4515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线l 恒过点4155C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，11354725ACk +==+，121154625BC k +==--，由图可知直线l 的斜率k 的取值范围为：116k ≤-或37k ≥，又32m k m +=--，∴11263m m ≤--+-或3273m m -≥+-，即28m <≤或322m -≤<，又2m =时直线的方程为45x =，仍与线段AB 相交，∴m 的取值范围为382⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，.故选：C.2．D解：由等差数列{}n a 的公差为正数可得等差数列{}n a 为递增数列，464a a +=- ，374a a ∴=-+，与3712a a ⋅=-联立，由于公差为正数，∴解方程组可得376,2a a =-=，73273a a d -∴==-，13262210a a d =-=--⨯=-，()20120192019202010218022S a d ⨯⨯∴=+=⨯-+⨯=.故选：D.【点睛】本题考查等差数列性质的应用，考查等差数列基本量的计算及前n 项和的计算，是基础题.3．C 【详解】如下图所示，连接1AG 并延长交BC 于点D ，则点D 为BC 的中点，1G 为ABC 的重心，可得123AG AD =，而()()111222OD OB BD OB BC OB OC OB OB OC =+=+=+-=+，()1122123333OG OA AG OA AD OA OD OA OA OD=+=+=+-=+()()12113323OA OB OC OA OB OC =+⋅+=++，所以，13311111144333444OG OG OA OB OC OA OB OC ⎛⎫==++=++ ⎪⎝⎭，所以，14x y z ===，因此，34x y z ++=.故选：C.4．B解：设直线AB 与平面yOz 的交点为11(0)P y z ，，，（方法一）∵A 、B 、1P 三点共线，则1//APAB，∵(123)A -，，、(211)B -，，，∴111(1,2),3AP y z +-=- ，(1,3,4)AB =- ，则11231134y z +--==-，解得1157y z =-⎧⎨=⎩，则(057)P -，，，（方法二）∵A 、B 、1P 三点共线，则1(1)OPOA OB λλ=⋅+-⋅ ，则11(0,)(1,2,3)(1)(2,1,1),y z λλ=⋅-+-⋅-，则11022221133141y z λλλλλλλλλ=+-=-⎧⎪=-+-=-⎨⎪=-+=-⎩，解得11257y z λ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩，则(057)P -，，，故选：B ．5．B 【详解】圆心在0x y +＝上，圆心的纵横坐标值相反，显然能排除C 、D ；验证：A 中圆心(11)-，到两直线0x y -=的距离是=；圆心(11)-，到直线40x y --==≠A 错误．故选：B ．6．B 【解析】过点1F 倾斜角为030的直线方程为：)3y x c =+，即0x c +=，则圆心()0,0到直线的距离：2c d ==，由弦长公式可得：=，整理可得：2222222,,2b c a c c a c =∴-==则：212,22e e ==.本题选择B 选项.7．B【详解】因为14n n n S a S +=+，所以14n n n S S a +-=，即14n n a a +=，且12a =，所以数列{}n a 是以2为首项，4为公比的等比数列，所以121242n n n a --=⨯=，故选：B.8．A【详解】双曲线的焦点在x 轴上，则2,24a a ==；设2||AF m =，由双曲线的定义可知：12||||24AF AF a m =+=+，由题意可得：1222||||||||||AF AB AF BF m BF ==+=+，据此可得：2||4BF =，又，∴12||2||8BF a BF =+=，1ABF 由正弦定理有:11||||sin120sin 30BF AF =︒︒,即11||||BF AF =所以8)m =+，解得：83123m -=，所以1ABF ∆的周长为：11||||||AF BF AB ++=83121632(4)8162833m -++=+⨯=+故选：A 9．BD【详解】由题意可知，数列{}n a 为等差数列，设数列{}n a 的公差为d ，15a =，由题意可得130********d a ⨯+=，解得1629d =，116129(1)29n n a a n d +∴=+-=，2n a n b =Q ，1112222n n n n a a a d n a n b b ++-+∴===（非零常数），则数列{}n b 是等比数列，B 选项正确；16805532929d =⨯=≠ ，()553105222d d b b ==≠，1058b b ∴≠，A 选项错误；3012951621a a d =+=+=，2113052105a b ∴=⨯>，C 选项错误；41161933532929a a d =+=+⨯=，51162094542929a a d =+=+⨯=，所以，357552464432093193a a a a a a a a a a ++===++，D 选项正确.故选：BD 10．BC【详解】{}n a 是等差数列，公差为d ，则1(1)2n n n S na d -=+，A ．0d =，则1n S na =，若10a ≠，则n →+∞时，n S →+∞，{a n }不是“和有界数列”，A 错；B ．若{a n }是“和有界数列”，则由21(22n d d S n a n H =+-<知10,022d da =-=，即10a d ==，B 正确；C ．{a n }是等比数列，公比是q ，则1(1)1-=-nn a q S q，若1q <，则n →+∞时，11n a S q →-，根据极限的定义，一定存在0H >，使得n S H <，对于任意*n N ∈成立，C 正确；D．若1q =-，10a ≠，则1,21,(*)0,2n a n k S k N n k=-⎧=∈⎨=⎩，∴12n S a <，{a n }是“和有界数列”，D 错．故选：BC．11．BD解：对于A ：()()sin ,a b a b a bλλ⊗=⋅，()sin ,a b a b a b λλλ⊗=⋅，故()()a b a b λλ⊗=⊗不会恒成立；对于B ，sin ,a b a b a b ⊗=⋅ ，=sin ,b a b a b a ⊗⋅ ，故a b b a ⊗=⊗ 恒成立；对于C ，若λa b = ，且0λ>，()()1sin ,a b c b c b c λ+⊗=+⋅，()()()sin ,sin ,1sin ,a c b c b c b c b c b c b c b c λλ⊗+⊗=⋅+⋅=+⋅，显然()()()a b c a c b c +⊗=⊗+⊗不会恒成立；对于D ，1212cos ,x x y y a b a b +=⋅，sin ,a b =即有a b a b a ⊗=⋅⋅==1221x y x y =-.则1221a b x y x y ⊗=-恒成立.故选：BD.12．BC 【详解】由2216x y +=可知，2226,1,5a bc ===，则焦距2c =，离心率6c e a ===；设(),P x y ，圆心()1,0D -，半径为55r =，则PD ===>，故圆D 在C的内部；当PD时，||PQ的最小值为5-=，综上所述，选项BC 正确，故选：BC 13．480x y +-=【详解】由题意可知，直线l 的斜率存在且不为零，可设直线l 的方程为()14y k x -=-，即14y kx k =+-.在直线l 的方程中，令0x =，可得14y k =-；令0y =，可得41k x k-=.即点41,0k A k -⎛⎫⎪⎝⎭、()0,14B k -，由题意可得410140k k k -⎧>⎪⎨⎪->⎩，解得0k <，AOB 的面积为()1411111481688222AOBk S k k k k⎛-⎛⎫=⨯⨯-=--≥+= ⎪ ⎝⎭⎝△，当且仅当()1160k k k-=-<时，即当14k =-时，等号成立，所以，直线l 的方程为()1144y x -=--，即480x y +-=.故答案为：480x y +-=.14．43或34【详解】点()2,1-关于x 轴的对称点为()2,1--，则反射光线过点()2,1--，设反射光线所在直线为()12y k x +=+，即210kx y k -+-=，∴圆心到直线距离1d ==，解得：43k =或34k =，∴反射光线所在直线的斜率为43或34.故答案为：43或34.15．13【详解】由题意可知，线段PQ 长度的最小值为异面直线1C D 、AC 的公垂线的长度.如下图所示，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则点()1,0,0A 、()0,1,0C 、()10,1,2C 、()0,0,0D ，所以，()1,1,0AC =- ，()10,1,2= DC ，()1,0,0DA =，设向量(),,n x y z = 满足n AC ⊥ ，1⊥ n DC ，由题意可得1020n AC x y n DC y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，解得2x y y z =⎧⎪⎨=-⎪⎩，取2y =，则2x =，1z =-，可得()2,2,1n =-，因此，min23DA n PQn⋅== .故答案为：23.16．13k ≥【详解】因为22n n n S a a =+，所以当2,n n N *≥∈时，21112n n n S a a ---=+，两式相减得:22112n n n n n a a a a a --=+--，整理得，()()1101n n n n a a a a --+--=，由0n a >知，10n n a a -+≠，从而110n n a a ---=，即当2,n n N *≥∈时，11n n a a --=，当1n =时，21112a a a =+，解得11a =或0（舍），则{}n a 首项为1，公差为1的等差数列，则()111n a n n =+-⨯=.所以112111(2)(21)221n n n n n n b n n n n +++==-++++++，则121111111 (36611221)n n n n T b b b n n +=+++=-+-++-+++11311213n n +=<++-所以13k ≥.故答案为：13k ≥.17．【详解】（1）因为直线l 的方程为3260x y --=，所以直线l 的斜率为32.因为1l l ⊥，所以直线1l 的斜率为23-.因为直线1l 过点()1,2M -，所以直线1l 的方程为()2213y x +=--，即2340x y ++=.（2）因为直线2l 与直线l，所以可设直线2l 的方程为320x y m -+=，=7m =或19m =-.故直线2l 的方程为3270x y -+=或32190x y --=.18．【详解】(1)圆1C 的圆心()113C ，，半径1r =，圆2C 的圆心()256C ，，半径24r =，两圆圆心距121212d 544C C r r r r ==+=-=-，，所以1212d r r r r -<<+，圆1C 和2C 相交；(2)圆1C 和圆2C 的方程相减，得43230x y +-=，所以两圆的公共弦所在直线的方程为43230x y +-=，圆心()256C ，到直线43230x y +-=的距离为：d 3==，故公共弦长为=19．【详解】（1）设{}n a 的公差为d ．由()19955992a a S a a +===-得：50a =，5324d a a ∴=-=-，解得：2d =-，()()33423210n a a n d n n ∴=+-=--=-+；（2）由（1）知：50a =，即140a d +=，14a d ∴=-，又10a >，0d ∴<，()()()11415n a a n d d n d n d ∴=+-=-+-=-，()()1922n n n a a n n S d +-∴==，由n n S a ≥得：()()952n n d n d -≥-，由0d <得：211100n n -+≤，解得：110n ≤≤，又n *∈N ，n ∴的取值范围为{}110,n n n N *≤≤∈.20．【详解】因为12a +，22a ，31a +成等差数列，所以213134213a a a a a =+++=++，即211143a q a a q =++，①由3241S a =-可得2111141a a q a q a q ++=-，即2111310a a q a q -++=，②联立①②及1q >解得11a =，2q =，所以12n n a -=．(2)由(1)知12n n n n a -=，所以01211232222n n n T -=++++ ，121112122222n n n n n T --=++++ ，两式相减得012111111222222n n n n T -=++++- 所以111222122212n n n n n n T -+=-=--，所以1242n n n T -+=-．又因为122112nn n S -==--，所以4(2)n n T n S -=+可化为11212nn -=-，即()12211n n -⋅-=，可变形为()22220nn --=，整理得()()22210n n-+=，解得1n =．21．【详解】分别以DA 、DB 、1DD 为x 轴、y 轴、z轴，建立空间直角坐标系，（1）由()11,0,1A ，得()11,0,1DA =，设()1,,0E a ，又()10,0,1D ，则()11,,1D E a =-，111010DA D E ⋅=+-= ，11DA D E ∴⊥，则异面直线1D E 与1A D 所成的角为90 ；（2）平面DEC 的一个法向量为()0,0,1m = ，设平面1CED 的一个法向量为(),,n x y z = ，设点()1,,0E a ，其中02a ≤≤，则()0,2,0C ，()10,2,1CD =- ，()1,2,0CE a =- ，由()12020n CD y z n CE x a y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，令1y =，则2x a =-，2z =，()2,1,2n a ∴=- ，cos ,2m n m n m n ⋅<>===⋅ ，02a≤≤ ，解得2a =-，所以，平面1D EC 的一个法向量为)2n = ，又()1,0,0CB = ，所以，点B 到平面1D EC的距离64CB n d n⋅=== ．22．【详解】（1）由椭圆的方程可得右顶点(,0)a ，所以右顶点到直线0x y -=的距离为3d ==，0a >可得：a=由离心率2c e a ===，可得c =，所以222862b a c =-=-=，所以椭圆C 的方程为：22182x y +=；（2）由题意显然直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为：2x my =+，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线l 与椭圆的方程可得：222{182x my x y =++=，整理可得：22(4)440m y my ++-=，12244m y y m -+=+，12244y y m -=+所以122114··2·224OAB S OP y y m =-=+，设2t =，取等号时，0m =，即斜率不存在，这时24AOB S == ，当0m ≠，2t >，则2222t m =-，所以2442422AOB t S t t t ==++- 令2()f t t t =+，2t >，则22222()10t f t t t-=-+=>'恒成立，所以()f t 在2t >单调递增，无最小值，也无最大值，所以2442422AOB t S t t t ==++- 无最大值，综上所述当且仅当2t =，即0m =时，所以OAB 面积的最大值为2．。
山东日照实验高中高二上学期期末数学复习(必修5+选修2-1)理科练习三
山东日照实验高中高二上学期期末数学复习理科练习三数 学（理） 第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题纸的相应位置. 1. △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A. 6 B ． 2 C. 3 D. 22. 已知平面α的法向量是()2,3,1-，平面β的法向量是()4,,2λ-，若//αβ， 则λ的值是（ ） A ．103-B ．6-C ．6D ．1033．已知, , a b c 满足c b a <<，且0ac <，那么下列选项中一定成立的是( ) A. ab ac > B. ()0c b a -< C. 22cb ab < D. ()0ac a c ->4. 等差数列}{n a 中，已知前15项的和9015=S ，则8a 等于（ ） A ．245 B ．12 C ．445D ．6 5. 下列有关命题的说法正确的是( )A ．命题“若21x =，则1=x ”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”． B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件．C ．命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈， 均有210x x ++<”． D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题6. (2010年浙江)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝( )A ．11B ．5C ．－8D ．－117. 若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)23,25(-，则椭圆方程是 （ ）A ．14822=+x y B ．161022=+x y C ．18422=+x y D ．161022=+y x8. 若ABC ∆的内角,,A B C 所对的边,,a b c 满足22()4a b c +-=，且060C =，则a b +的最小值为( )A B ．C ．43D ．8-9. 已知正方体1111D C B A ABCD -中，E 为11D C 的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为A. 0B.21 C. 32 D. 32- 10.若不等式ax 2＋8ax ＋21<0的解集是{x |－7<x <－1}，那么a 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．411．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过F 且倾斜角为︒60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率e 的取值范围是（ ） A ．[]2,1B ．()2,1C ．()+∞,2D ． [)+∞,212.若抛物线24y x =的焦点是F ,准线是l ,则经过点F 、M （4，4）且与l 相切的圆共有（ ）．A.4个B.2个C.1个D.0个第2卷（非选择题 共100分）二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，满分16分.请把答案填在答题纸的相应位置. 13．等差数列{}n a 中，若34512,a a a ++=则71a a += .14. 已知向量)0,1,1(=→a ，)2,0,1(-=→b ，且→→+b a k 与→→-b a 2互相垂直，则k 的值是 15. 设0>x ，0>y ，且1116x y+=，则x y +的最小值为 ． 16. 点P 是抛物线x y 42=上一动点，则点P 到点)1,0(-A 的距离与P 到直线1-=x 的距离和的最小值是 .三、解答题:本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且n a 是n S 与2的等差中项，⑴求12,a a 的值；⑵求数列{}n a 的通项公式。
高二第二学期期末数学复习试卷2
高二期末数学复习试卷一、选择题1.(理)点M(6,5π)关于极点并垂直于极轴的直线的对称点的极坐标(取ρ<0,-2π<θ<2π)是( )(A) (32,5π--) (B)( 65,5π--) (C)( 6,5π--) (D)( 34,5π--) (文)若)0,2(πθ-∈则方程θθ2sin )(sin 22=+y x 所表示的曲线是( )(A)焦点在X 轴上的椭圆 (B) 焦点在Y 轴上的椭圆(C)焦点在X 轴上的双曲线 (D) 焦点在Y 轴上的双曲线 2.ii 31)3(3+-+的值是( )(A)i 232+ (B) i 232- (C) i 232+- (D) i 232-- 3.(理)θρcos 8-=在极坐标系中,与圆相切的一条直线方程是( ) (A)4cos =θρ (B) 4cos -=θρ (C) 4sin =θρ (D) 4sin -=θρ(文)方程0||2=+x x 在复数集内的解集是( )(A){0} (B){0,i} (C){0,i,-i} (D){0,1,-1}4.(理)已知方程022=+-a ix x 有实根,则复数α在复平面内对应的点的轨迹是( )(A)一个点 (B)一条直线 (C)半个平面 (D)抛物线 (文)复数a+|b|i 和c+|d|i 相等的充要条件是( )(A)a=c,b=d (B)a=c,b=-d (C)a=c,b 2+d 2=0 (D) a=c,b 2=d 25.(理)椭圆⎩⎨⎧+-=+=θθsin 51cos 33y x (t 为参数)的两个焦点是( )(A)(-3,5),(-3,3) (B) (7,1),(-1,-1) (C)(1,1),(-7,1) (D) (3,3),(3,5)(文)五本不同的书分给4位同学每人至少1本不同的分法共有多少种( )(A)48 (B)60 (C)120 (D)2406. 设复平面内的点Z 1,Z 2分别对应复数z 1=1,z 2=3i ,将向量21Z Z 绕点Z 1逆时针方向旋转90°,得向量32Z Z ,则点Z 3对应的复数是( )(A)-3-i (B)3+i (C)-2-i (D)3+4i7.(理)以双曲线⎩⎨⎧==θθtg y x 3sec 4(θ为参数)的右焦点为顶点,左顶点为焦点的抛物线方程是( )(A) y 2= -36(x-5) (B) y 2= -36(x+5) (C) y 2= -18(x-5) (D) y 2= -4(x-5)(文)以双曲线13422=-y x 的右焦点为顶点,左顶点为焦点的抛物线方程是( )(A) y 2= -36(x-5) (B) y 2= -36(x+5) (C) y 2= -18(x-5) (D) y 2= -4(x-5) 8.已知|z|≤1则:arg(z-2i)的最大值是( )(A)34π (B) 35π (C) 611π (D) 32π 9.双曲线2mx 2-my 2=1的一条准线方程是y=1,则m 的值是( ) (A) 31- (B) 34- (C)31 (D) 55 10.某人射击8枪,命中4枪, 命中4枪恰有3枪连在一起的种数是( )(A) 20 (B) 224 (C) 480 (D) 72011.若动点P 到定点(0,-3)的距离比他到x 轴的距离多3则点P 的轨迹方程是( )(A) x 2= -12y (B) x 2=12y(C) y 2=-12x 或y=0(x ≥0) (D) x 2=-12y 或x=0(y ≥0)12.身高互不相同的6个人排成2横行3纵列,在第一行的每一个人都比他同列的身后的人个子矮,则所有不同的排法种数是( )(A)15 (B)84 (C)90 (D)54013.过双曲线2x 2-y 2-8x+6=0的右焦点作直线l 交双曲线于A,B 两点若|AB|=4,则这样的直线l 的条数是( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)414. 3男2女5个小孩排在一排照像,儿女孩之间有且仅有1个男孩的不同排法种数是( )(A)36 (B)18 (C)12 (D)6高二期末数学复习试卷15.(理)若点是圆⎩⎨⎧==θθsin 3cos 3y x (θ为参数)上到直线的距离最小的点,则点的坐标是 .(文) 双曲线18422=-y x 的两渐近线的夹角的正切值是 .16.若抛物线的顶点在原点,焦点在y 轴上,抛物线上的一个点的纵坐标是–3,且该点与焦点的距离是5,则该抛物线的准线方程是 .17.若11+-z z 是纯虚数,则|z 2 – z+1|的最大值是 . 18.(1+5x )15展开式中系数最大的项是 .19.如果曲线x 2–y 2 – 2x –2y –1=0,平移坐标轴后的新方程是 ,1''22=-y x 那么新坐标系的原点在就坐标系下的坐标是 .三、 解答题20. 已知: | z 1|=| z 2|=2,arg z 1≠2π,arg(z 1-32)=65π,且221z z ⋅的对应点在虚轴的负半轴上,求z 1和z 2.21.设z 1,z 2为非0复数,且z 12 -k z 1z 2+z 22=0(k ∈R),21z z 为虚数 (1) 求证:| z 1|=| z 2|(2) 若 k ∈N, z 2=1+ai,arg(z 1+ z 2)=4π,求实数a 的值 22. 已知双曲线0)b 0,(a by a x >>=-12222的离心率e=332,过点A(0,-b),和B(a,0)的直线与原点间的距离为23,(1)求双曲线的方程(2)是否存在实数k,使直线y=kx+1使直线与双曲线的两个交点C,D 关于y=2x 对称?若存在求出k, 若不存在,说明理由.23.(理)已知抛物线4322+-=x x y ,过其焦点F 作抛物线交抛物线于A,B 两点,且满足AF:FB=1:2. (1) 求此直线方程.(2) 求弦AB 中点到抛物线准线的距离.(文) 点M 是抛物线y 2=x 上的一动点,定点A(0,a)关于点M 的对称点是P(a ≠0).(1) 求点P 的轨迹方程；(2) 设(1)中轨迹与抛物线y 2=x 交于B,C 两点,则当AB ⊥AC 时,求a 的值.。
(某某市区中学)高二(上学期)数学(理)期末复习质量监测模拟考试试题卷(附答案解析)
（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）题号一二三四总分得分一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.直线y=kx+b经过第二、三、四象限，则斜率k和在y轴上的截距b满足的条件为（）A. k＞0，b＞0B. k＜0，b＜0C. k＞0，b＜0D. k＜0，b＞02.已知F为双曲线C：的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为（）A. 11B. 22C. 33D. 443.“a=2”是“l1：ax+4y-1=0与l2：x+ay+3=0平行”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知抛物线x2=2py和-y2=1的公切线PQ（P是PQ与抛物线的切点，未必是PQ与双曲线的切点）与抛物线的准线交于Q，F（0，），若|PQ|=|PF|，则抛物线的方程是（）A. x2=4yB. x2=2yC. x2=6yD. x2=2y5.已知m，n是两条不重合的直线，α，β是不重合的平面，则下列说法正确的是（）A. 若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nB. 若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥βC. 若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥βD. 若m⊥α，n⊥α，则m∥n6.直线l：y=x与圆x2+y2-2x-6y=0相交于A，B两点，则|AB|=（）A. 2B. 4C. 4D. 87.椭圆5x2+ky2=5的一个焦点为（0，2），那么k的值为（）A. B. 2 C. D. 18.直线y=-2x-3与曲线的公共点的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.矩形ABCD中，AB=4，BC=3，将△ABD沿BD折起，使A到A′的位置，A′在平面BCD的射影E恰落在CD上，则（）A. 三棱锥A′-BCD的外接球直径为5B. 平面A′BD⊥平面A′BCC. 平面A′BD⊥平面A′CDD. A′D与BC所成角为60°10.设O为坐标原点，F1，F2是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点.在双曲线的右支上存在点P满足∠F1PF2=60°，且线段PF1的中点B在y轴上，则（）A. 双曲线的离心率为B. 双曲线的方程可以是-y2=1C. |OP|=aD. △PF1F2的面积为11.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，∠A1AB=∠A1AD，则有（）A. A1M∥B1QB. AA1⊥PQC. A1M∥面D1PQB1D. PQ⊥面A1ACC112.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于两点P（x1，y1），Q（x2，y2），点P在l上的射影为P1，则（）A. |PQ|的最小值为4B. 已知曲线C上的两点S，T到点F的距离之和为10，则线段ST的中点横坐标是（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）4C. 设M（0，1），则|PM|+|PP1|≥D. 过M（0，1）与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知A（0，1），B（1，0），C（t，0），点D在直线AC上，若|AD|≤|BD|恒成立，则t的取值范围是______．14.直线2x+y-1=0的倾斜角是______．15.湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下一个直径为12cm，深为2cm的空穴，则该球的半径为______ cm，表面积是______ ．16.已知双曲线C：的右焦点为F，O为坐标原点.过F的直线交双曲线右支于A，B两点，连结AO并延长交双曲线C于点P.若|AF|=2|BF|，且∠PFB=60°，则该双曲线的离心率为______ .四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知圆的圆心在直线上，且与轴交于两点,.（I）求圆的方程；（II）过点的直线与圆交于两点，且，求直线的方程．18.已知圆C：（x-1）2+（y-2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）．（1）证明：不论m为何值时，直线l恒过定点；（2）求直线l被圆C截得的弦长最小时的方程．19.如图，为圆的直径，点．在圆上，且，矩形所在的平面和圆所在的平面互相垂直，且，.（1）设的中点为，求证：平面；（2）求四棱锥的体积．20.在平面直角坐标系中，直线l与抛物线y2=2x相交于A，B两点．求证：“如果直线l过（3，0），那么=3”是真命题．（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）21.如图，四棱锥中，底面是菱形，其对角线的交点为，且．（1）求证：平面；（2）设，，是侧棱上的一点，且∥平面，求三棱锥的体积．22.（本题满分16分）已知椭圆的两焦点分别为 , 是椭圆在第一象限内的一点，并满足，过作倾斜角互补的两条直线分别交椭圆于两点.（1）求点坐标；（2）当直线经过点时，求直线的方程；（3）求证直线的斜率为定值.（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）1.【答案】B【解析】解：要使直线y=kx+b经过第二、三、四象限，则斜率k和在y轴上的截距b 满足的条件，故选：B．由题意利用确定直线的位置的几何要素，得出结论．本题主要考查确定直线的位置的几何要素，属于基础题．2.【答案】D【解析】由双曲线C的方程，知a＝3，b＝4，c＝5，∴点A(5,0)是双曲线C的右焦点，且|PQ|＝|QA|＋|PA|＝4b＝16，由双曲线定义，|PF|－|PA|＝6，|QF|－|QA|＝6.∴|PF|＋|QF|＝12＋|PA|＋|QA|＝28，因此△PQF的周长为|PF|＋|QF|＋|PQ|＝28＋16＝44，选D.3.【答案】A【解析】解：若a=2．则两条直线的方程为2x+4y-1=0与x+2y+3=0满足两直线平行，即充分性成立．当a=0时，两直线等价为4y-1=0与x+3=0不满足两直线平行，故a≠0，若“l1：ax+4y-1=0与l2：x+ay+3=0平行”，则，解得a=2或a=-2，即必要性不成立．故“a=2”是“l1：ax+4y-1=0与l2：x+ay+3=0平行”的充分不必要条件，故选：A（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）根据直线平行的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线平行的等价条件是解决本题的关键．4.【答案】B【解析】解：如图过P作PE⊥抛物线的准线于E，根据抛物线的定义可知，PE=PF∵|PQ|=|PF|，在Rt△PQE中，sin，∴，即直线PQ的斜率为，故设PQ的方程为：y=x+m（m＜0）由消去y得．则△1=8m2-24=0，解得m=-，即PQ：y=由得，△2=8p2-8p=0，得p=．则抛物线的方程是x2=2y．故选：B．如图过P作PE⊥抛物线的准线于E，根据抛物线的定义可知，PE=PF可得直线PQ的斜率为，故设PQ的方程为：y=x+m（m＜0）再依据直线PQ与抛物线、双曲线相切求得p．本题考查了抛物线、双曲线的切线，充分利用圆锥曲线的定义及平面几何的知识是关键，属于中档题．5.【答案】D【解析】解：当m⊥α，n∥β，α⊥β时，直线m与n可能异面不垂直，故选项A错误；当m⊥n，m⊥α，n∥β时，比如n平行于α与β的交线，且满足m⊥n，m⊥α，但α与β可能不垂直，故选项B错误；当m∥n，m∥α，n∥β时，比如m与n都平行于α与β的交线，且满足m∥n，m∥α，但α与β不平行，故选项C错误；垂直于同一个平面的两条直线平行，故选项D正确．故选：D．直接利用空间中线、面之间的关系进行分析判断即可．本题考查了空间中线面位置关系的判断，此类问题一般都是从反例的角度进行考虑，属于基础题．6.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，掌握直线和圆相交的弦长公式是解决本题的关键，属于基础题．根据直线和圆相交的弦长公式进行求解即可．【解答】解：圆的标准方程为（x-1）2+（y-3）2=10，圆心坐标为（1，3），半径R=，则圆心到直线x-y=0的距离d=，则|AB|===4.故选C．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查椭圆的简单性质，是基础题．把椭圆化为标准方程后，找出a与b的值，然后根据a2=b2+c2，表示出c，并根据焦点坐标求出c的值，两者相等即可列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．【解答】解：把椭圆方程化为标准方程得：x2+=1，因为焦点坐标为（0，2），所以长半轴在y轴上，（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）则c==2，解得k=1．故选D．8.【答案】B【解析】解：当x≥0时，曲线的方程为，一条渐近线方程为：y=-x，当x＜0时，曲线的方程为，∴曲线的图象为右图，在同一坐标系中作出直线y=-2x-3的图象，可得直线与曲线交点个数为2个．故选：B．分x大于等于0，和x小于0两种情况去绝对值符号，可得当x≥0时，曲线为焦点在y轴上的双曲线，当x＜0时，曲线为焦点在y轴上的椭圆，在同一坐标系中作出直线y=-2x-3与曲线的图象，就可找到交点个数．本题主要考查图象法求直线与曲线交点个数，关键是去绝对值符号，化简曲线方程．9.【答案】AB【解析】解：对于A，取BD中点E，连接A′E，CE，则A′E=BE=DE=CE==．∴三棱锥A′-BCD的外接球直径为5，故A正确；对于B，∵DA′⊥BA′，BC⊥CD，A′F⊥平面BCD，∴BC⊥A′F，又A′F∩CD=F，A′F、CD⊂平面A′CD，∴BC⊥平面A′CD，∵A′D⊂平面A′CD，∴DA′⊥BC，∵BC∩BA′=B，∴DA′⊥平面A′BC，∵DA′⊂平面A′BD，∴平面A′BD⊥平面A′BC，故B正确；对于C，BC⊥A′C，∴A′B与A′C不垂直，∴平面A′BD与平面A′CD不垂直，故C错误；对于D，∵DA∥BC，∴∠ADA′是A′D与BC所成角（或所成角的补角），∵A′C==，∴A′F=，DF==，AF==，AA′==3，∴cos∠ADA′==0，∴∠ADA′=90°，∴A′D与BC所成角为90°，故D错误．故选：AB．对于A，取BD中点E，连接A′E，CE，推导出A′E=BE=DE=CE=，从而三棱锥A′-BCD 的外接球直径为5；对于B，推导出DA′⊥BA′，BC⊥CD，A′F⊥平面BCD，BC⊥A′F，BC⊥平面A′CD，DA′⊥BC，DA′⊥平面A′BC，从而平面A′BD⊥平面A′BC；对于C，A′B与A′C不垂直，从而平面A′BD与平面A′CD不垂直；对于D，由DA∥BC，得∠ADA′是A′D与BC所成角（或所成角的补角），推导出A′D与BC所成角为90°．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等数学核心素养，是中档题．10.【答案】AC【解析】解：如图，F1（-c，0），F2（c，0），∵B为线段PF1的中点，O为F1F2的中点，∴OB∥PF2，∴∠PF2F1=90°，由双曲线定义可得，|PF1|-|PF2|=2a，设|PF1|=2m（m＞0），则|PF2|=m，，∴2m-m=2a，即a=，又，∴c=，则e=，故A正确；，则b=，双曲线的渐近线方程为y=，选项B的渐近线方程为y=，故B错误；对于C，∵O为F1F2的中点，∴，（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）则，即=，即，①而|PF1|-|PF2|=2a，两边平方并整理得，，②联立①②可得，，，即|PO|=，故C正确；=，故D错误．故选：AC．由已知可得∠PF2F1=90°，设|PF1|=2m（m＞0），再由已知结合双曲线定义可得a，b，c 与m的关系，即可求得双曲线的离心率及渐近线方程，从而判断A与B；由O为F1F2的中点，得，两边平方后结合双曲线定义联立求得|PO|判断C；进一步求出△PF1F2的面积判断D．本题考查双曲线的几何性质，考查运算求解能力，是中档题．11.【答案】BCD【解析】解：连接MP，可得MP AD A1D1，可得四边形MPA1D1是平行四边形∴A1M∥D1P，又A1M⊄平面DCC1D1，D1P⊂平面DCC1D1，A1M∥平面DCC1D1，连接DB，由三角形中位线定理可得：PQ DB，DB D1B1，可得四边形PQB1D1为梯形，QB1与PD1不平行，因此A1M与B1Q不平行，又A1M∥D1P，A1M⊄平面D1PQB1，D1P⊂平面D1PQB1，∴A1M∥平面D1PQB1.故A不正确，C正确；连接AC，由题意四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵P，Q分别为棱CD，BC的中点，∴PQ∥BD，∴PQ⊥AC，∵平行六面体的所有棱长都相等，且∠A1AB=∠A1AD，∴直线AA1在平面ABCD内的射影是AC，且BD⊥AC，∴AA1⊥BD，∴AA1⊥PQ，故B正确；∵AA1∩AC=A，∴PQ⊥面A1ACC1，故D正确．故选：BCD．连接MP，推导出四边形MPA1D1是平行四边形，从而A1M∥D1P，连接DB，推导出四边形PQB1D1为梯形，A1M与B1Q不平行，推民出A1M∥平面D1PQB1；连接AC，推导出四边形ABCD是菱形，AC⊥BD，从而PQ⊥AC，由平行六面体的所有棱长都相等，且∠A1AB=∠A1AD，推志出AA1⊥PQ，从而PQ⊥面A1ACC1．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.【答案】ABC【解析】解：对于A，设直线PQ的方程为x=ty+1,联立解方程组,可得y2-4ty-4=0，x1x2==1，|PQ|=x1+x2+p=x1+x2+2+2=4，故A正确；对于B,根据抛物线的定义可得，|SF|+|TF'|=x S+x T+p=10,则x S+x T=8,则线段ST的中点横坐标是=4,故B成立；对于C，M（0，1），|PM|+|PP1|=|MP|+|PF|≥|MF|=，所以C正确；对于D,过M（0，1）相切的直线有2条，与x轴平行且与抛物线相交且有一个交点的直线有一条，所以最多有三条．所以D不正确；故选：ABC．设出直线方程与抛物线联立，利用弦长公式判断A，结合抛物线的定义，判断B；利用抛物线的性质判断C；直线与抛物线的切线情况判断D．考查抛物线的性质，抛物线与直线的位置关系的应用，是中档题．13.【答案】（-∞，0]【解析】解：设D（x，y），由D在AC上，得+y=1，即x+ty-t=0，由|AD|≤|BD|得≤•，化为（x-2）2+（y+1）2≥4，依题意，线段AD与圆（x-2）2+（y+1）2=4至多有一个公共点，（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）∴≥2，解得：t≤0，则t的取值范围为（-∞，0]，故答案为：（-∞，0]．先设出D（x，y），得到AD的方程为：x+ty-t=0，由|AD|≤|BD|得到圆的方程，结合点到直线的距离公式，解不等式即可得到所求范围．本题考查直线与圆的方程，考查点到直线距离公式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14.【答案】π-arctan【解析】解：直线2x+y-1=0的斜率为，设直线2x+y-1=0的倾斜角为θ（0≤θ＜π），则tan，∴θ=．故答案为：π-arctan．由直线方程求直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求解．本题考查由直线方程求直线的斜率，考查直线的斜率与倾斜角的关系，是基础题．15.【答案】10；400π【解析】解：设球的半径为r，依题意可知36+（r-2）2=r2，解得r=10，∴球的表面积为4πr2=400π故答案为10，400π先设出球的半径，进而根据球的半径，球面上的弦构成的直角三角形，根据勾股定理建立等式，求得r，最后根据球的表面积公式求得球的表面积．本题主要考查了球面上的勾股定理和球的面积公式．属基础题．16.【答案】【解析】【分析】本题考查双曲线的定义以及几何性质的应用，余弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力．属于中档题.设双曲线C的左焦点为F'，连结AF'，BF'，设|BF|=t，则|AF|=2t，推出∠F'AB=60°．在△F'AB 中，由余弦定理求解．结合双曲线的定义，求出，．在△F'AF中，由余弦定理推出a，c关系，得到离心率即可．【解答】解：设双曲线C的左焦点为F'，连结AF'，BF'，设|BF|=t，则|AF|=2t，所以|AF'|=2a+2t，|BF'|=2a+t．由对称性可知，四边形AF'PF为平行四边形，故∠F'AB=60°．在△F'AB中，由余弦定理得（2a+t）2=（2a+2t）2+（3t）2-2×（2a+2t）×3t×cos60°，解得．故，．在△F'AF中，由余弦定理得，，解得：．故答案为：．17.【答案】解：（I）因为圆与轴交于两点,，所以圆心在直线上，由，得，即圆心的坐标为．半径，所以圆的方程为；（II）若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时可得，不符合题意；（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，即，过点作于点，则D为线段MN中点，∴，∴，即点C到直线l的距离，解得或k=-3；综上，直线的方程为x-3y+3=0或3x+y-11=0．【解析】本题考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，属于中档题．（I）根据题意，即可得解；（II）分类讨论，进行求解即可.18.【答案】（1）证明：将直线化为直线束方程：x+y-4+（2x+y-7）=0．联立方程x+y-4=0与2x+y-7=0，得点（3，1）；将点（3，1）代入直线方程，不论m为何值时都满足方程，所以直线l恒过定点（3，1）；（2）解：当直线l过圆心与定点（3，1）时，弦长最大，代入圆心坐标得m=．当直线l垂直于圆心与定点（3，1）所在直线时弦长最短，斜率为2，代入方程得m=此时直线l方程为2x-y-5=0，圆心到直线的距离为，所以最短弦长为．【解析】（1）通过直线l转化为直线系，求出直线恒过的定点；（2）说明直线l被圆C截得的弦长最小时，圆心与定点连线与直线l垂直，求出斜率即可求出m的值，再由勾股定理即可得到最短弦长．本题考查直线系方程的应用，考查直线与圆的位置关系，考查平面几何知识的运用，考查计算能力，属于中档题．19.【答案】（1）证明详见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）要证平面，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证与平面内一直线平行即可，设的中点为，则为平行四边形，则，又平面，不在平面内，满足定理所需条件；（2）过点作于，根据面面垂直的性质可知平面，即正的高，然后根据三棱锥的体积公式进行求解即可.试题解析：（1）设的中点为，则又，∴∴为平行四边形∴又平面，平面∴平面(2)过点作于平面平面，∴平面，即正的高∴∴∴.考点：1.空间中的平行关系；2.空间中的垂直关系；3.棱锥的体积计算.20.【答案】证明：设过点T（3，0）的直线l交抛物线y2=2x于点A（x1，y1）、B（x2，y2）．当直线l的钭率不存在时，直线l的方程为x=3，（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）此时，直线l与抛物线相交于点A（3，）、B（3，-）．∴=3当直线l的钭率存在时，设直线l的方程为y=k（x-3），其中k≠0，由得ky2-2y-6k=0⇒y1y2=-6，又∵x1=y12，x2=y22，∴x1x2=9，∴=x1x2+y1y2=3，综上所述，命题“如果直线l过点T（3，0），那么=3”是真命题；综上，命题成立．【解析】设出A，B两点的坐标根据向量的点乘运算求证即可得到：“如果直线l过（3，0），那么=3”是真命题．本题考查了真假命题的证明，抛物线的简单性质，向量数量积，是抛物线与平面向量的综合应用，难度中档．21.【答案】（1）证明：∵底面是菱形，∴．又平面．又又平面．（2）连接，∵SB平面，平面，平面平面，SB∥平面APC，∴SB∥OP．又∵是的中点，∴是的中点．由题意知△ABD为正三角形．．由（1）知平面，∴．又，∴在Rt△SOD中，．∴到面的距离为.【解析】主要考查了线面垂直的判定和三棱锥的体积.(1)要证明线面垂直，证明SO与平面ABCD中两条相交直线垂直即可，应用已知条件与等腰三角形的三线合一即可得到证明；(2)由SB∥平面APC的性质定理证明得SB∥OP，由(1)得高为PO，利用三棱锥的体积公式即可求出结果.22.【答案】（1）（2）（3），证明略.【解析】解：（1）设P((x，y)，由题意可得，解得，∴P．（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）（2）∵，两条直线PA，PB倾斜角互补，∴k PA+k PB=0，解得k PB=1．因此直线PA，PB，的方程分别为，，化为，．联立，解得(舍去)，，即A．同理解得B．∴k AB= = ，∴直线AB的方程为，化为．（3）S设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，设直线PA的方程为：，则直线PB 的方程为．联立，解得A．同理B，∴k AB= = ．即直线AB的斜率为定值．。
2018-2019学年上海市曹杨第二中学高二上学期期末复习(二)数学试题(解析版)
上海市曹杨第二中学高二上学期期末复习数学试题一、单选题1．下面是关于三棱锥的四个命题：①底面是等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥；②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；③底面是等边三角形,侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥；④侧棱与底面所成的角都相等,且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥。
其中真命题的编号是（）A.③④B.①②C.①③④D.①④【答案】D【解析】根据正三棱锥的定义，结合二面角判断①的正误；侧棱与底面所成的角判断④的正误；找出反例否定②，找出反例对选项③否定可得正确结论．【详解】解：①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．可推出底面中心是棱锥顶点在底面的射影，所以是正确的．②显然不对，比如三条侧棱中仅有一条不与底面边长相等的情况，侧面都是等腰三角形的三棱锥但不是正三棱锥．③底面是等边三角形，侧面的面积都相等，说明顶点到底面三边的距离（斜高）相等，根据射影长的关系，可以得到顶点在底面的射影（垂足）到底面三边所在直线的距离也相等，由于在底面所在的平面内，到底面三边所在直线的距离相等的点有4个：内心（本题的中心）1个、旁心3个，因此不能保证三棱锥是正三棱锥．④侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．是正确的．正确的为：①④故选：D【点睛】本题考查棱锥的结构特征，二面角及其度量，考查作图能力，是基础题．2．下列命题中，错误的是 ( )A ．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B ．平行于同一平面的两个不同平面平行C ．如果平面不垂直平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面D ．若直线不平行平面，则在平面内不存在与平行的直线 【答案】D【解析】若直线与另外一个平面不相交，则直线与该平面平行，由此可得直线与该平面平行的平面也平行，矛盾，所以命题A 正确； 命题B 显然正确； 若存在有，则根据面面垂直判定可得，矛盾，所以命题C 正确；不平行于平面，则相交或。
高二数学上学期期末复习题2(理科)答案
高二数学上学期期末复习题二（理科）（2013.12）1．命题“存在0x ∈R ，02x ≤0”的否定是（ ）A.不存在0x ∈R, 02x >0B.存在0x ∈R, 02x ≥0C.对任意的x ∈R, 2x≤0 D.对任意的x ∈R, 2x>0 【答案】D2．如图，若图中直线l 1, l 2, l 3的斜率分别为k 1, k 2, k 3，则A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2 C.k 3<k 2<k 1 D.k 1<k 3<k 2 【答案】B3．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>，则C 的渐近线方程为（ ）（A ）14y x =± （B ）13y x =± （C ）12y x =± （D ）y x =±【答案】C ；4．若直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则实数m 等于( )A ．1B ．2C ．－12D ．2或－12解析：当2m 2＋m －3≠0时，在x 轴上截距为4m －12m 2＋m －3＝1，即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－12.答案：D5．已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，离心率是63，则椭圆C 的方程为 ( )．A.x 23＋y 2＝1 B ．x 2＋y 23＝1 C.x 23＋y 22＝1 D.x 22＋y23＝1 解析 因为c a ＝63，且c ＝2，所以a ＝3，b ＝a 2－c 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 23＋y2 ＝1. 答案 A6．如图，在正方体1111D C B A ABCD -，若11AA z AB y AD x BD ++=，则x y z ++的值为 （ ）A ．3 B ．1 C ．－1 D ．－3【答案】B7．设a R ∈，则“1a =”是“直线1:210l ax y +-=与直线2:(1)40l x a y +++=平行”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】A8．给出下列互不相同的直线l 、m 、n 和平面α、β、γ的三个命题： ①若l 与m 为异面直线，l ⊂α，m ⊂β，则α∥β. ②若α∥β，l ⊂α，m ⊂β，则l ∥m .③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n . 其中真命题的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0解析：①中α与β也可能相交，∴①错；在②中l 与m 也可能异面，∴②错，③正确． 答案：C9．设m ，n 为两条直线，α，β为两个平面，则下列四个命题中，正确的命题是( ) A ．若m ⊂α，n ⊂α，且m ∥β，n ∥β，则α∥β B ．若m ∥α，m ∥n ，则n ∥α C ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nD ．若m ，n 为两条异面直线，且m ∥α，n ∥α，m ∥β，n ∥β，则α∥β答案：D10．长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为( ) A.1010 B.3010 C.21510 D.31010答案：B11．已知抛物线22y px =的焦点F 与双曲线22179x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K ，点A在抛物线上且||||AK AF =，则△AFK 的面积为 （A ）4 （B ）8 （C ）16 （D ）32 【答案】D【解析】双曲线的右焦点为(4,0)，抛物线的焦点为(,0)2p ，所以42p=，即8p =。
数学高二上期末经典复习题(含答案解析)(1)
一、选择题1．(0分)[ID ：13328]在区间[]0,1上随机取两个数x ，y ，记P 为事件“23x y +≤”的概率，则(P = ) A ．23B ．12C ．49D ．292．(0分)[ID ：13318]某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的1120名学生中随机抽取了100 名学生的数学成绩，发现都在[80，150]内现将这100名学生的成绩按照 [80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分组后，得到的频率 分布直方图如图所示则下列说法正确的是（ ）A ．频率分布直方图中a 的值为 0.040B ．样本数据低于130分的频率为 0.3C ．总体的中位数（保留1位小数）估计为123.3分D ．总体分布在[90，100）的频数一定与总体分布在[100，110）的频数不相等 3．(0分)[ID ：13311]我国古代数学著作《九章算术》中，其意是：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问：米几何？右图是源于其思想的一个程序框图，若输出的2S =（单位：升），则输入k 的值为A ．6B ．7C ．8D ．94．(0分)[ID ：13310]如图是把二进制的数11111化成十进制数的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是( )A ．4i >？B ．5i >？C ．4i ≤？D ．5i ≤？5．(0分)[ID ：13305]执行如图的程序框图，如果输入72m =，输出的6n =，则输入的n 是（ ）A ．30B ．20C ．12D ．86．(0分)[ID ：13295]如果数据12,,,n x x x 的平均数为x ，方差为28，则152x +，252x +，…，52n x +的平均数和方差分别为（ ）A ．x ，28B ．52x +，28C ．52x +，2258⨯D ．x ，2258⨯7．(0分)[ID ：13294]随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市1月至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面四种说法正确的是（ ）．①1月至8月空气合格天数超过20天的月份有5个②第二季度与第一季度相比，空气合格天数的比重下降了 ③8月是空气质量最好的一个月 ④6月的空气质量最差 A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④8．(0分)[ID ：13290]从区间0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 A ．4n mB ．2n mC ．4mnD ．2mn9．(0分)[ID ：13288]执行如图的程序框图，那么输出的S 的值是（ ）A ．﹣1B ．12C ．2D ．110．(0分)[ID ：13278]执行如图所示的程序框图，如果输入x ＝5，y ＝1，则输出的结果是（ ）A．261B．425C．179D．54411．(0分)[ID：13277]在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，，18的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为（）．A．151B．168C．1306D．140812．(0分)[ID：13259]运行如图所示的程序框图，若输出的S的值为480，则判断框中可以填()A．60i>B．70i>C．80i>D．90i>13．(0分)[ID ：13245]定义运算a b ⊗为执行如图所示的程序框图输出的S 值，则式子π2πtan cos 43⎛⎫⎛⎫⊗ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是A ．－1B ．12C ．1D ．3214．(0分)[ID ：13243]执行如图所示的程序框图，若输入2x =-，则输出的y =（ ）A ．8-B ．4-C ．4D ．815．(0分)[ID ：13320]一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，从中任意取出一个，则取出的小正方体两面涂有油漆的概率是( ) A ．127B ．29C ．49D ．827二、填空题16．(0分)[ID ：13412]执行如图所示的程序框图若输人x 的值为3，则输出y 的值为______．17．(0分)[ID ：13395]一个算法的伪代码如下图所示，执行此算法，若输出的y 值为1，则输入的实数x 的值为________.18．(0分)[ID ：13388]某单位有职工900人，其中青年职工450人，中年职工270人，老年职工180人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中的青年职工为10人，则样本容量为________．19．(0分)[ID ：13376]某公司的广告费支出x 与销售额y （单位：万元）之间有下列对应数据：由资料显示y 对x 呈线性相关关系。
山东日照实验高中高二上学期期末数学复习(必修5+选修2-1)理科练习二
山东日照实验高中高二上学期期末数学复习理科练习二本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分120分．测试时间120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页.第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案标号．不能答在试题卷上．一.选择题：本大题共12个小题. 每小题5分；共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．x>2是24x >的 A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 既充分也必要条件 D.既不充分也不必要条件2．（理）在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，用向量1,,AB AD AA 来表示向量1AC A. 11AC AB AD AA =-+B. 11AC AB AD AA =++C. 11AC AB AD AA =+-D. 11AC AB AD AA =--（文）若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程 A.450x y +-= B.430x y --= C.430x y -+= D.430x y ++= ３．已知“220a b +≠”，则下列命题正确的是 A ．a 、b 都不为0 B ．a 、b 至少有一个为0 C ．a 、b 至少有一个不为0 D ．a 不为0且b 为0，或b 不为0且a 为0A1第2题图４．若不等式022>++bx ax的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121|x x ，则a －b 的值是A.－10B.－14C.10D.14５．（理）四面体ABCD 中，设M 是CD 的中点，则1()2AB BD BC ++化简的结果是A ．AMB ．BMC ．CMD ．DM（文）若()x x f 1=，则()=2'f （ ） A.4 B.41 C.4- D.41- ６．在3和9之间插入两个正数,使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,则插入的这两个正数之和为 A.227 B. 445 C. 225 D. 4477．若01a <<，01b <<，b a ≠，则a b +，2ab ，22a b +，2ab 中最大的一个是 A ．a b + B ．2ab C ．22ab + D ． 2ab８．在双曲线822=-y x 的右支上过右焦点F 2有一条弦PQ ，|PQ|=7,F 1是左焦点，那么 △F 1PQ 的周长为A ． 28B ．2814-C ． 2814+D ． 28 9．等比数列{}n a 的各项均为正数，且965=a a ，则1032313log log log a a a +++ 的值为A ． 12B ． 10C ． 8D ．5log 23+１０．在同一坐标系中，方程12222=+y b x a 与02=+by ax )0(>>b a 的图象大致是１１．在△ABC 中1,60==∠b A，其面积为3，则角A 的对边的长为Ａ．57 Ｂ．37 Ｃ．21 Ｄ．1312．一艘船向正北方向航行，看见正西方有两个灯塔恰好与它在一条直线上，两塔相距10海里，继续航行半小时后，看见一塔在船的南偏西60°，另一塔在船的南偏西45°，则船速（海里/小时）是A ．5B ．53C ．10D ．103＋10第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二．填空题：本大题共4个小题. 每小题4分；共16分．将答案填 在题中横线上．13. （理）已知向量()1,2,k OA =，()1,5,4=OB5=则k= ． （文）曲线2)(3-+=x x x f 在点P 0处的切线平行于直线14-=x y ，则P 0点的坐标为 ．14．已知⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤+-≥022011y x y x x 求22y x +的最小值_____________．15．过抛物线px y 22=（p >0）的焦点F 作一直线l 与抛物线交于P 、Q 两点，作PP 1、QQ 1垂直于抛物线的准线，垂足分别是P 1、Q 1，已知线段PF 、QF 的长度分别是4，9，那么|P 1Q 1|= ．16．把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图三角形数表（每行比上一行多一个数）：设,i j a （i 、j ∈*N ）是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如4,2a ＝8．则4,11a为 ．12 34 5 67 8 9 10……………………………………三．解答题：本大题共6个小题. 共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知102:≤≤-x p ；22:210(0)q x x m m -+-≤> ，若p ⌝是q ⌝的必要非充分条件，求实数m 的取值范围。
第四章数列期末复习卷高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
期末复习4 数列姓名： 分数：一、选择题(共8题)1．在等比数列{}n a 中，251,9a a ==-，则8a =（ ） A ．27±B ．81±C ．27D ．812．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若369a a +=，则8S =（ ） A ．12B ．24C ．36D ．483．已知数列{}n a 满足11(1),1n n n a na a ++==，则15=a （ ） A ．111B ．113C ．115D ．1174．已知数列{}n a ，如果121321,,,...,,...n n a a a a a a a ----是首项为1，公比为12的等比数列，则n a =( ) A ．1212n ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11212n -⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11122n⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．111122n -⎛⎫- ⎪⎝⎭5．已知等差数列{}n a 满足2584a a a -+=，则数列{}n a 的前9项和9S =（ ） A ．9B ．18C ．36D ．726．已知等差数列{}n a 的各项均为正数，且225959236a a a a ++=，则其前13项之和为（ ） A ．21B ．26C ．36D ．397．利用数学归纳法证明不等式11112321nn +++⋅⋅⋅+<-（2n ≥，n *∈N ）的过程中，由n k =到1n k =+时，左边增加了（ ）A ．1项B ．k 项C ．21k -项D ．2k 项8.已知等差数列{}n a 的公差为d ，则“0d >”是“数列{}n a 为单调递增数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件二、多选题（共4题）.9．等差数列{}n a的前n 项和为n S ，10a <，613S S =，则（ ）A ．100a =B ．1n n a a +<C ．当0n S >时，n 的最小值为20D ．216<S S10．在等差数列{}n a 中，410a a =，公差0d >，则使其前n 项和n S 取得最小值的正整数n 是（ ） A ．4B ．5C ．6D ．711.对于公差为1的等差数列{}n a ，11a =，公比为2的等比数列{}n b ，12b =，则下列说法正确的是（ ） A ．n a n =B ．12n n b -=C ．数列{}ln n b 为等差数列D ．数列{}n n a b 的前n 项和为()1122n n +-+12．已知等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项之积为n T ，且满足101a <<，2020202110a a ->，20202021101a a -<-，则（ ）A ．1q >B ．2019202110a a -<C ． 2021T 的值是n T 中最小的D ．使1n T <成立的最大正整数n 的值为4039三、填空题（共4题）13．等差数列{}n a 中，若34a =，公差2d =-，则5a =________. 14．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠， 且1a 、3a 、9a 成等比数列，15921018a a a a a a ++=++_____.15．在正项数列{}n a 中，1238a a a =，且21121log log 2n n a a ++=，令1log log n n n a a b +=则数列{}n b 的前2020项和2020S =___________．16．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第41项为 _________．四、解答题(共4题)17.已知数列{}n a 满足11a =，121n n a a +=+，数列{}n b 的前n 项的和为2n S n =.(1)证明：数列{}1n a +是等比数列；(2)设c n =b n .(a n +1)，求数列{}n c 的前n 项的和n T .18．设数列{}n a 的前n 项和为n S ， 已知2103n S n n =-+. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项的和n T .19．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n Sn a 和1a 的等差中项． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若n =2nn a b ，求{}n b 的前n 项和nT ．20.在等差数列{}n a 中，35a =，且221n n a a =+. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)已知数列{}n b 的前n 项和为n S ，且231n n S b =-.令13nn n n n b c a a +=，求数列{}n c 的前n 项和nT .(21n ++-(21n ++-)(322n ++-6+.18．设数列n 的前项和为n S ， 已知n .（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项的和n T . 【答案】（1）6,1211,2n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩（2）22103,51047,6n n n n T n n n ⎧-+-≤=⎨-+≥⎩ 【分析】 （1）由11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求得数列{}n a 的通项公式；（2）化简n a 的表达式，分25n ≤≤、6n ≥两种情况求n T 的表达式，综合即可得解. （1）解：当1n =时，116a S ==-，当2n ≥时，()()()22110311013211n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+----+=-⎣⎦. 16a =-不满足211n a n =-，因此，6,1211,2n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩.（2）解：6,1112,25211,6n n a n n n n =⎧⎪=-≤≤⎨⎪-≥⎩.当25n ≤≤时，()()27112161032n n n T n n +--=+=-+-，16T =满足2103n T n n =-+-；当6n ≥时，()()()2251211552210472n n n T T n n n +--=+=-+=-+.综上所述，22103,51047,6n n n n T n n n ⎧-+-≤=⎨-+≥⎩.19．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n Sn a 和1a 的等差中项． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若n=2nn a b ，求{}n b 的前n 项和nT ． 【答案】（1）21n a n =-； （2）13(23)2n nT n =-+﹒ 【分析】(1)根据n a 和n S 关系可求{}n a 的通项公式；(2)根据{}n b 通项公式可知，其前n 项和采用错位相减法求解﹒ （1）12n a a +，①当1n =，11a =①2(1)4n n a S +=，211(1)4n n a S --+=(2)n ≥， 因此当2n ≥时：2211(1)(1)4n n n n n a a a S S --+-+=-=2211224n n n n a a a a ---+-=，①11()(2)0n n n n a a a a --+--=， ①10n n a a ->+，①2n ≥时120n n a a ---=，即12n n a a --= ①数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，12(1)21n a n n =+-=-；（2）211=(21)222n n n n n a n b n -==-⋅， 1231111=135(21)2222n nT n ⨯+⨯+⨯+-⨯……① 234111111=135(21)22222n n T n +⨯+⨯+⨯+-⨯……① ①－①得：1231111111=222(21)222222n n n T n ++⨯+⨯+⨯--⨯ 1111(1)1122=(21)12212n n n -+-+--⨯-11111=1(21)222n n n -++---⨯①1131(23)222n n T n +=-+ ∴13(23)2n nT n =-+﹒20.在等差数列{}n a 中，35a =，且221n n a a =+. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)已知数列{}n b 的前n 项和为n S ，且231n n S b =-.令13nn n n n b c a a +=，求数列{}n c 的前n 项和n T .n c ++1113521n ⎫⎛-++⎪ -⎭⎝。
(某某市县区中学)高二(上学期)文科数学期末复习质量监测模拟考试试题卷(附答案解析)
（某某市县区中学）高二（上学期）文科数学期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）一、单选题（本大题共12小题，共48.0分）1.命题“∀x∈R，x2-x≥0”的否定是（）A. ∀x∈R，x2-x≥0B. ∃x∈R，x2-x≥0C. ∀x∈R，x2-x＜0D. ∃x∈R，x2-x＜02.下列求导运算正确的是（）A. （cos x）′=sin xB.C. （2x）′=2x log2eD.3.若a，b∈R，则|a|+|b|＞1是|a+b|＞1的（）条件A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件4.曲线y=-x3+3x2在点（1，2）处的切线方程为（）A. y=3x-1B. y=-3x+5C. y=3x+5D. y=2x5.从1，2，3，4这四个数中一次随机选取两个数，所取两个数之和为5的概率是（）A. B. C. D.6.过定点P（0，2）作直线l，使l与曲线y2=4x有且仅有1个公共点，这样的直线l共有（）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条7.函数的导数是( )A. B. C. D.8.某天，由重庆八中渝北校区发往沙坪坝校区的三辆校车分别在，，发车，何老师在至之间到达乘车地点乘坐校车，且何老师到达乘车地点的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ )A. B. C. D.9.若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则p的值为（）A. B. 2 C. D. 410.设函数，f'（x）为f（x）的导函数，若函数g（x）=f（x）+f'（x）的图象关于原点对称，则cosθ的值是（）A. B. C. D.11.设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()A. B. C. D.12.已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时xf′（x）＞f（x），且f（3）=0，则不等式f（x）≥0的解集为（）A. （-∞，-3]∪[3，+∞）B. [-3，3]C. （-∞，-3]∪[0，3]D. [-3，0]∪[3，+∞）二、单空题（本大题共4小题，共16.0分）13.一个骰子连续投2次，点数和为4的概率______ ．14.若直线l与曲线C满足下列两个条件：（i）直线l在点P（x0，y0）处与曲线C相切；（ii）曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C.下列命题正确的是______ （写出所有正确命题的编号）①直线l：y=0在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=x3.②直线l：y=x-1在点P（1，0）处“切过”曲线C：y=ln x.③直线l：y=-x+π在点P（π，0）处“切过”曲线C：y=sin x.④直线l：y=x+1在点P（0，1）处“切过”曲线C：y=e x.15.已知过双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的焦点的直线l与C交于A，B两点，且使|AB|=4a的直线l恰好有3条，则双曲线C的离心率为______．16.函数f（x）=x3+ax2+bx+a2（a，b∈R）在x=1处有极值为10，则b的值为______．三、解答题（本大题共6小题，共56.0分）17.若双曲线C与曲线x2-3y2=3有相同的渐近线，且过点（-6，3），试求C的方程．18.设函数f（x）=ln x-x（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数y=f（x）的极值．19.某商场举行抽奖活动,从装有编号为0,1,2,3四个小球的抽奖箱中同时抽出两个小球,两个小球号码相加之和等于5中一等奖,等于4中二等奖,等于3中三等奖.(1)求中三等奖的概率;(2)求中奖的概率.20.袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个，已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是.(1)求n的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个球，记第一次取出小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.①记“a＋b＝2”为事件A，求事件A的概率；②在区间[0,2]内任取2个实数x，y，求事件“x2＋y2>(a－b)2恒成立”的概率．21.已知斜率为1的直线l过椭圆+y2=1的右焦点F交椭圆于A、B两点，（1）求焦点F的坐标及其离心率（2）求弦AB的长．22.（Ⅰ）设函数f（x）定义域为I，叙述函数f（x）在定义域I内某个区间D上是减函数的定义；（Ⅱ）用单调性的定义证明函数f（x）=在x∈[2，6]的单调性；（Ⅲ）当x∈[2，6]时，求函数f（x）=的值域．（某某市县区中学）高二（上学期）文科数学期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）1.【答案】D【解析】【分析】本题考查全称命题的否定形式，属于基础题目．全称命题“∀x∈M，p（x）”的否定为特称命题“∃x∈M，￢p（x）”．【解答】解：命题“∀x∈R，x2-x≥0”的否定是“∃x∈R，x2-x＜0”．故选：D．2.【答案】B【解析】解：（cos x）′=-sin x，，（2x）′=2x ln2，．故选：B．根据基本初等函数和复合函数的导数的求导公式求导即可．本题考查了基本初等函数和复合函数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：∵|a|+|b|≥|a+b|，∴若|a+b|＞1，则|a|+|b|＞1成立，即必要性成立，反之不一定成立，即充分性不成立即|a|+|b|＞1是|a+b|＞1必要不充分条件，故选：B．根据绝对值不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合绝对值不等式的性质是解决本题的关键．4.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，属于基础题．根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可．【解答】解：∵y=-x3+3x2，∴y'=-3x2+6x，∴y'|x=1=（-3x2+6x）|x=1=3，∴曲线y=-x3+3x2在点（1，2）处的切线方程为y-2=3（x-1），即y=3x-1，故选：A．5.【答案】C【解析】解：从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，其基本事件共有以下6个：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）．其中两个数的和为5的共有两个（1，4），（2，3）．故所求事件的概率P==，故选：C．从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，其基本事件共有以下6个，其中两个数的和为5的共有两个（1，4），（2，3）．据此可得出答案．把所有的基本事件一一列举出来，再找出所要求的事件包含的基本事件个数即可．6.【答案】C【解析】解：由题意可知过点p与x轴平行时直线与抛物线有一个交点；当过点p与x轴不平行时设直线方程为y=kx+2，与抛物线方程联立消去y得k2x2+（4k-4）x+4=0要使直线与曲线有且仅有1个公共点需△=（4k-4）2-16k2=0，解得k=，同时抛物线与y轴也只有一个交点，故y轴也符合；故选：C．通过图象可知当直线与抛物线相切时，与x轴平行时和y轴时直线与抛物线有且仅有1个公共点．本题主要考查了抛物线的应用．本题可采用数形结合方法解决．7.【答案】C【解析】试题分析：考点：函数求导公式点评：本题考查的是幂函数的导数：若则8.【答案】C【解析】【分析】本题考查与长度有关的几何概型,求出何老师等车时间不超过10分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：设何老师到达时间为y，当y在17：50至18：00，或18：20至18：30时，何老师等车时间不超过10分钟，故.故选C .9.【答案】D【解析】【分析】本题考查椭圆及抛物线的简单几何性质，考查转化思想，属于基础题．求得椭圆的焦点坐标，由题意可得=2，即可求得p的值．【解答】解：由椭圆a=，b=，c2=a2-b2=4，则椭圆的焦点右焦点F（2，0），由抛物线y2=2px的焦点为，则=2，则p=4，故选：D．10.【答案】D【解析】【分析】本题考查了导数的运法和三角函数的化简，属于中档题．先求导，再利用两角差的正弦公式可得可得g（x）=-4sin（x+θ-），再根据函数的性质即可求出θ=，问题得以解决．【解答】解：f（x）=2cos（x+θ），（0＜θ＜π）∴f′（x）=-2sin（x+θ），∴g（x）=f（x）+f'（x）=2cos（x+θ）-2sin（x+θ）=-4sin（x+θ-），∵函数g（x）=f（x）+f'（x）的图象关于原点对称，∴θ-=kπ，k∈Z，∵0＜θ＜π，∴θ=，∴cosθ=，故选：D．11.【答案】D【解析】【分析】本题考查了双曲线的焦点、虚轴、渐近线、离心率，考查了两条直线垂直的条件，考查了方程思想，属于基础题.先设出双曲线方程，则F，B的坐标可得，根据直线FB与渐近线y=垂直，得出其斜率的乘积为-1，进而求得b和a，c的关系式，进而根据双曲线方程a，b和c的关系进而求得a和c的等式，则双曲线的离心率可得．【分析】解：设双曲线方程为，则F（c，0），B（0，b）直线FB：bx+cy-bc=0与渐近线y=垂直，所以，即b2=ac所以c2-a2=ac，即e2-e-1=0，所以或（舍去）.故选D .12.【答案】D【解析】解：根据题意，设g（x）=，（x＞0），则其导数g′（x）=，而当x＞0时xf′（x）＞f（x），必有g′（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）上为增函数，又由f（3）=0，则g（3）==0，在区间（0，3）上，g（x）＜0，在区间（3，+∞）上，g（x）＞0，而g（x）=，则在区间（0，3）上，f（x）＜0，在区间（3，+∞）上，f（x）＞0，又由f（x）是定义在R上的奇函数，则f（0）=0，f（-3）=-f（3）=0，且在区间（-∞，-3）上，f（x）＜0，在区间（-3，0）上，f（x）＞0，综合可得：不等式f（x）≥0的解集为[-3，0]∪[3，+∞）；故选：D．根据题意，设g（x）=，（x＞0），求出其导数，分析可得g（x）在（0，+∞）上为增函数，又由f（3）=0可得g（3）=0，分析可得g（x）的符号，进而分析f（x）在（0，+∞）上的符号规律，结合函数的奇偶性分析可得答案．本题考查函数的单调性与导数的应用，涉及函数的奇偶性、单调性的综合应用，属于中档题．13.【答案】【解析】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件共6×6=36个，满足条件的事件是点数和为4的可以列举出有（1，3）、（2，2）、（3，1）共3个，∴故答案为：本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件共6×6个，满足条件的事件是点数和为4的可以列举出有（1，3）、（2，2）、（3，1）共3个，根据古典概型概率公式得到结果．本题考查古典概型，古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型．14.【答案】①③【解析】解：①，由y=x3，得y′=3x2，则y′|x=0=0，直线y=0是过点P（0，0）的曲线C的切线，又当x＞0时y＞0，当x＜0时y＜0，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=0两侧，故命题①正确；②由y=ln x，得y′=，则y′|x=1=1，曲线在P（1，0）处的切线为y=x-1，由g（x）=x-1-ln x，得g′（x）=1-，当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0．则g（x）在（0，+∞）上有极小值也是最小值，为g（1）=0．即y=x-1恒在y=ln x的上方，不满足曲线C在点P附近位于直线l的两侧，故命题②错误，③由y=sin x，得y′=cos x，则y′|x=π=-1，直线y=-x+π是过点P（0，0）的曲线的切线，又x∈（-，0）时x＜sin x，x∈（0，）时x＞sin x，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=-x+π两侧，故命题③正确；④函数y=e x的导数f′（x）=y=e x，则f′（0）=1，则切线方程为y=x+1，设g（x）=e x-（x+1），则g′（x）=e x-1，当x＞0，g′（x）＞0，函数g（x）递增，当x＜0时，g′（x）＜0，函数g（x）递减，则当x=0时，函数取得极小值同时也是最小值g（0）=1-1=0，则g（x）≥g（0）=0，即e x≥x+1，则曲线不在切线的两侧，故④错误．故答案为：①③分别求出每一个命题中曲线C的导数，得到曲线在点P出的导数值，求出曲线在点P 处的切线方程，再由曲线在点P两侧的函数值与对应直线上点的值的大小判断是否满足（ii），则正确的选项可求．本题考查命题的真假判断与应用，考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，综合考查导数的应用．15.【答案】【解析】解：由|AB|=4a的直线1恰好有3条，由双曲线的对称性可得，必有一条与x轴垂直，另两条关于x轴对称，令x=c，代入双曲线C：=1（a＞0，b＞0），可得y=±b=±，即有此时|AB|==4a，即为b2=2a2=c2-a2，e＞1，可得e=．故答案为：．由|AB|=4a的直线1恰好有3条，由双曲线的对称性可得，必有一条与x轴垂直，另两条关于x轴对称，令x=c，代入双曲线方程，计算即可得到双曲线的离心率．本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用双曲线的对称性，考查运算能力，属于中档题．16.【答案】-11【解析】解：函数f（x）=x3+ax2+bx+a2，则f'（x）=3x2+2ax+b，因为f（x）在x=1处有极值为10，则，解得a=4，b=-11或a=-3，b=3，当a=4，b=-11时，f'（x）=3x2+8x-11，Δ=64+132＞0，所以函数有极值点；当a=-3，b=3时，f'（x）=3（x-1）2≥0，所以函数无极值点．综上所述，b的值为-11．故答案为：-11．利用极值以及极值点的定义，列出方程组，求出a，b的值，然后进行检验即可．本题考查了利用导数研究函数极值的理解与应用，函数极值点的理解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．17.【答案】解：设所求双曲线方程为x2-3y2=λ，λ≠0，把点（-6，3）代入，得：36-27=λ，即λ=9，∴双曲线C的方程为．【解析】设所求双曲线方程为x2-3y2=λ，λ≠0，把点（-6，3）代入，能求出双曲线C的方程．本题考查双曲线方程的求法，是基础题，解题时要注意双曲线性质的合理运用．18.【答案】解：（Ⅰ）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0得x＞1，∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）在x=1处取得极大值，f（x）极大值=f（1）=-1．【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）根据函数的单调性求出函数的极值即可．本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道基础题．19.【答案】解：从袋中同时抽两个小球共有（0，1）,（0，2）,（0，3）,（1，2）,（1，3）,（2，3）六种情况.（1）设抽出两个球的号码之和为3为事件A，事件A共包含（0，3）（1，2）两种情况,∴.（2）设抽出两球的号码之和为5为事件B，两球的号码之和为4为事件C，由上知,.∴中奖概率为P=.【解析】本题考查古典概型及其计算，互斥事件的概率，属于基础题.求古典概型事件的概率，首先要求出各个事件包含的基本事件，求基本事件个数的常用方法有：列举法、排列、组合法、图表法．（1）先列举出从袋中同时抽两个小球的所有情况，得到号码之和为3的所有情况，据古典概型概率公式求出中三等奖的概率．（2）先列举出从袋中同时抽两个小球的所有情况，得到号码之和为4，5的所有情况，据古典概型概率公式求出中一等奖，中二等奖的概率，利用互斥事件的概率公式求出中奖概率．20.【答案】(1)n＝2(2) 1－【解析】(1)由题意可得＝，解得n＝2.(2)①由于是不放回抽取，事件A只有两种情况：第一次取0号球，第二次取2号球；第一次取2号球，第二次取0号球．所以P(A)＝.②记“x2＋y2>(a－b)2恒成立”为事件B，则事件B等价于“x2＋y2>4恒成立”．(x，y)可以看成平面中的点，则全部结果所构成的区域为Ω＝{(x，y)|0≤x≤2,0≤y≤2，x，y∈R}，而事件B构成的区域B＝{(x，y)|x2＋y2>4，(x，y)∈Ω}，所以P(B)＝＝1－.21.【答案】（1）解：∵a2=4，b2=1∴…（2分）∴…（4分）离心率e==…（6分）（2）解：由斜率为1的直线l过椭圆+y2=1的右焦点F得直线l的方程为设A（x1，y1），B（x2，y2），…（7分）由得：…（8分）∴…（9分）所以：…（10分）=…（11分）=…（12分）【解析】（1）利用椭圆的标准方程，求出a，b，c即可求出椭圆的焦点坐标，以及椭圆的离心率．（2）设出AB坐标，求出直线方程，联立椭圆与直线方程，利用韦达定理以及弦长公式求解即可．本题考查椭圆的标准方程的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．22.【答案】解：（Ⅰ）减函数的定义为：一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＞x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．（Ⅱ）证明：设2≤x1＜x2≤6，==，∵2≤x1＜x2≤6，∴x2-x1＞0，x1-1＞0，x2-1＞0，∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）；则f（x）在x∈[2，6]上单调递减；（Ⅲ）由（Ⅱ）f（x）在x∈[2，6]上单调递减，则，f max（x）=f（2）=5，故f（x）在x∈[2，6]上的值域为[，5]．【解析】（Ⅰ）根据题意，由减函数的定义可得答案；（Ⅱ）根据题意，由作差法分析可得结论，（Ⅲ）根据题意，利用函数的单调性求出函数的最大值和最小值，即可得答案．本题考查函数单调性的判断以及性质的应用，注意函数单调性的定义，属于基础题．。
024-期末复习卷3不等式(含答案)
期末复习卷2（不等式）一、单选题1.(2021河南高二期末)设a=x2-2x+2,b=1-x,则实数a与b的大小关系为()A.a>bB.a=bC.a<bD.与x有关2.不等式2+x-x2<0的解集为()A.(-∞,-1)∪(2,+∞)B.(-2,1)C.(-1,2)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)3.(2021福建泉州高一期末)若不等式ax2+bx-1≥0的解集是x-12≤x≤-13,则a=()A.-6B.-5C.65D.64.(2021安徽黄山高一期末)下列不等式正确的是()A.若a<b,则a2<b2B.若a>b,则ac>bcC.若a>b>0,c>d>0,e>f>0,则ace>bdfD.若a>b>c>0,d>e>f>0,则>>5.已知>0，则=2−4r1的最小值为()A.−2B.12C.1D.26.(2021云南高三期末)如果两个正方形的边长分别为x,y,且x+y=1,那么它们的面积之和的最小值是()A.14B.12C.1D.27.(2021湖北高三一模)已知正数a,b是关于x的函数y=x2-(m2+4)x+m的两个零点,则1+1的最小值为()A.2B.22C.4D.428.设>0，>0，+=1，则下列说法错误的是．()A.B的最大值为14B.2+2的最小值为12C.4+1的最小值为9D.+的最小值为2二、多选题9.若1<1<0,则下列说法正确的是()A.a<bB.a>bC.a2<b2D.ab<b210.(2021湖北高三月考)若非零实数a,b满足a>b,则下列结论正确的是()A.a+b≥2BB.a2+b2>2abC.|a+b|<2(2+2)D.(a+b)1+1>411.(2020广东高一期中)已知y=ax2+bx+c,不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|1<x<3},下列说法正确的是()A.a>0B.a+b+c=0C.关于x的不等式cx2+bx+a>0的解集是x13<x<1D.如果am2+bm+c>0,则a(m+2)2+b(m+2)+c<012.已知正数，，则下列不等式中恒成立的是()A.+≥22B.(+p(1+1)≥4 C.≥2B D.2B r>B三、填空题13.(2021山东日照高一期末)不等式-1>0的解集为.14.(2020天津,14)已知a>0,b>0,且ab=1,则12+12+8r的最小值为.15.(2021上海黄浦格致中学高一期末)定义区间[a,b](a<b)的长度为b-a,若关于x的不等式x2-4x+m≤0的解集的区间长度为2,则实数m的值为.16.某校要建一个面积为200 2的长方形花园，并且在四周要修建出宽为2 和4 的小路(如图所示).要使得花园和小路占地总面积最小，则花园的长应为；最小面积为2．四、解答题17.(10分)解下列不等式：(1)2+3−22>0．(2)o3−p≤o+2)−1．(3)2−2+3>0．18.(12分)(2021吉林高一期末)已知x>0,y>0,且x+4y=40.(1)求xy的最大值;(2)求1+1的最小值.19.(12分)(2021云南昆明高二期末)已知函数y=x+1-1(x≠1).(1)解不等式(x-1)x+1-1>3;(2)当x>1时,求x+1-1的最小值.20.(12分)如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度没有限制)的矩形生态种植园.设生态种植园的长为B，宽为B．(1)若生态种植园面积为722，则，为何值时，可使所用篱笆总长最小?(2)若使用的篱笆总长度为30，求1+2的最小值．21.(12分)(2021山东济宁高一期末)设函数y=ax2+(b-2)x+3.(1)若不等式ax2+(b-2)x+3>0的解集为(-1,1),求实数a,b的值;(2)若b=-a-1,且存在x∈R,使ax2+(b-2)x+3>4成立,求实数a的取值范围.22.(12分)(2021云南曲靖第二中学高一期末)设y=x2-(a-1)x+a-2(a∈R).(1)若不等式x2-(a-1)x+a-2≥-2对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围;(2)解关于x的不等式x2-(a-1)x+a-2<0.期末复习卷2（不等式）参考答案1a-b=x2-x+1=x-122+34>0恒成立,所以a>b.故选A.2x2-x-2>0,即(x-2)(x+1)>0,解得x<-1或x>2,所以不等式2+x-x2<0的解集为(-∞,-1)∪(2,+∞).故选A.3不等式ax2+bx-1≥0的解集为x-12≤x≤-13,∴-12,-13为方程ax2+bx-1=0的两个根,∴根据根与系数的关系可得-12×-13=-1,解得a=-6.故选A.4A,若a=-3,b=2,则a2>b2,错误;对于B,若c=0,则ac=bc,错误;对于C,若a>b>0,c>d>0,e>f>0,由不等式的基本性质可得ace>bdf,正确;对于D,若a=3,b=2,c=1,d=3,e=2,f=1,则===1,错误.故选C.5.【答案】A解：>0，则=2−4r1=+1−4≥4=−2，当且仅当=1，即=1时，等号成立，则=2−4r1的最小值为−2．故选A．6x2+y2≥2xy,所以2(x2+y2)≥x2+y2+2xy=(x+y)2=1,所以x2+y2≥12,当且仅当x=y=1时,等号成立.因此,两个正方形的面积之和x2+y2的最小值为12.故选B.7,正数a,b是关于x的方程x2-(m2+4)x+m=0的两根,可得a+b=m2+4,ab=m>0,则1+1=r B=m+4≥4,当且仅当m=4,即m=2时等号成立.经检验知当m=2时,方程x2-(m2+4)x+m=0有两个正实数解.所以1+1的最小值为4.故选C.8.【答案】D【解析】解：由题意，对各选项依次进行分析：对，因为正实数，满足+=1，所以1=+≥2B，当且仅当==12时等号成立，所以B≤14，当且仅当==12时等号成立，故B有最大值14，故A 正确;对，因为(+p2=2+2+2B=1，所以2+2=1−2B≥1−2×112，当且仅当==12时等号成立，所以2+2有最小值12，故B正确．对，利用基本不等式，有4+1=+=4++5=9=1=，即=23=13时等号成立，故4+1有最小值9，故C正确；对，由题意，得(+p2=++2B=1+2B≤1+=2，故+≤2，当且仅当==12时等号成立，即+有最大值2，故D错误．故选D．9.答案BCD解析因为1<1<0,故a<0,b<0,b<a,即b<a<0,故B正确,A错误.对于C,a2-b2=(a-b)(a+b),而a+b<0,a-b>0,故a2-b2<0,即a2<b2,故C正确.对于D,ab-b2=b(a-b)<0,故ab<b2,故D正确.故选BCD.10.答案BC解析对于A,若a,b均为负数,则不等式显然不成立,故A错误;对于B,显然成立,故B正确;对于C,在a2+b2>2ab两边同时加上a2+b2,得2(a2+b2)>(a+b)2,则|a+b|<2(2+2)成立,故C正确;对于D,取a=2,b=-1,则(a+b)1+1=(2-1)×12+1-1=-12<4,则(a+b)1+1>4不成立,故D错误.故选BC.11.答案BCD解析对于A,ax2+bx+c>0的解集是{x|1<x<3},则a<0,故A不正确;对于B,由题意知x=1是方程ax2+bx+c=0的一个实数根,故a+b+c=0,故B正确;对于C,由题意知x=1和x=3是方程ax2+bx+c=0的两个实数根,则由根与系数的关系得=-4,=3,则不等式cx2+bx+a>0变为x2+x+1<0,即3x2-4x+1<0,解不等式得x的取值范围为x13<x<1,故C正确;对于D,如果am2+bm+c>0,则1<m<3,故3<m+2<5,则a(m+2)2+b(m+2)+c<0,故D正确.故选BCD.12.【答案】ABC【解析】解：因为，均为正数，所以++1B≥2B+1B≥22，当且仅当==22时，等号成立，A正确;因为，均为正数，所以(+p(1+1)=++2≥2·+2=4，当且仅当=时，等号成立，B正确;因为，均为正数，所以2+2≥2B>0，∴2+2B≥2B，当且仅当=时，等号成立，C正确;因为，均为正数，所以+≥2B，∴2B r≤1，所以2B r≤B，当且仅当=时，等号成立，不正确．故选ABC．13.(2021山东日照高一期末)不等式-1>0的解集为.答案(-∞,0)∪(1,+∞)解析由-1>0,解得x<0或x>1,即原不等式的解集为(-∞,0)∪(1,+∞).14.(2020天津,14)已知a>0,b>0,且ab=1,则12+12+8r的最小值为.答案4解析∵ab=1,∴b=1.∴12+12+8r=12+2+8r1=121++8r1.令1+a=t>0,则原式=2+8≥22·8=24=4.当且仅当t2=16,即t=4时,等号成立,此时1+a=4.15.(2021上海黄浦格致中学高一期末)定义区间[a,b](a<b)的长度为b-a,若关于x的不等式x2-4x+m≤0的解集的区间长度为2,则实数m的值为.答案3解析设x1,x2是方程x2-4x+m=0的两个根,则x1+x2=4,x1x2=m,∴|x1-x2|=(1+2)2-412=16-4=2,解得m=3.16.某校要建一个面积为200 2的长方形花园，并且在四周要修建出宽为2 和4 的小路(如图所示).要使得花园和小路占地总面积最小，则花园的长应为；最小面积为2．【答案】20,392解：设花园的长为B，则花园的宽为200，又设花园占地面积为B2，依题意，得=(+ 8)(200+4)=232+4(+400)⩾232+4×2b400=392，当且仅当=400，即=20时取“=”．所以花园的长为20，宽为10时，占地总面积最小为392 2．故答案为20；392．17.(10分)解下列不等式：(1)2+3−22>0．(2)o3−p≤o+2)−1．(3)2−2+3>0．【答案】解：(1)原不等式可化为22−3−2<0，所以(2+1)(−2)<0，故原不等式的解集是{U−12< <2}．(2)原不等式可化为22−−1≥0．所以(2+1)(−1)≥0，故原不等式的解集为{U≤−12或≥1}．(3)由2−2+3=(−1)2+2>0对任意的∈恒成立，故原不等式的解集是．18.(12分)(2021吉林高一期末)已知x>0,y>0,且x+4y=40.(1)求xy的最大值;(2)求1+1的最小值.解(1)因为x>0,y>0,所以40=x+4y≥24B=4B(当且仅当x=4y,即x=20,y=5时,等号成立).所以xy≤100,因此xy的最大值为100.(2)因为x+4y=40,即140(x+4y)=1,所以1+1=140(x+4y)1+1=1405+4+≥1405+24·=940当且仅当x=2y,即x=403,y=203时,等号成立.所以1+1的最小值为940.19.(12分)(2021云南昆明高二期末)已知函数y=x+1-1(x≠1).(1)解不等式(x-1)x+1-1>3;(2)当x>1时,求x+1-1的最小值.解(1)由(x-1)x+1-1>3,得x2-x-2>0.又x≠1,所以解得x>2或x<-1,即原不等式的解集为(-∞,-1)∪(2,+∞). (2)当x>1时,x-1>0,y=x+1-1=x-1+1-1+1≥2+1=3,当且仅当x-1=1-1,即x=2或x=0(舍)时,等号成立.所以x+1-1的最小值是3.20.(12分)如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度没有限制)的矩形生态种植园.设生态种植园的长为B，宽为B．(1)若生态种植园面积为722，则，为何值时，可使所用篱笆总长最小?(2)若使用的篱笆总长度为30，求1+2的最小值．【答案】解：(1)由已知可得B=72，其中>0，>0，篱笆总长为(+2p．又因为+2≥22B=24，当且仅当=2，即=12，=6时等号成立．所以当=12，=6时，可使所用篱笆总长最小．(2)由已知得+2=30，>0，>0，又因为(1+2)(+2p=5+2+2≥5+=9，所以1+2≥310，当且仅当2=2，即=，即=10，=10时等号成立．所以1+2的最小值是310．21.(12分)(2021山东济宁高一期末)设函数y=ax2+(b-2)x+3.(1)若不等式ax2+(b-2)x+3>0的解集为(-1,1),求实数a,b的值;(2)若b=-a-1,且存在x∈R,使ax2+(b-2)x+3>4成立,求实数a的取值范围.由题意可知,方程ax2+(b-2)x+3=0的两根是-1,1,=0,1,解得=-3,=2.(2)存在x∈R,使ax2+(b-2)x-1>0成立,将b=-a-1代入上式可得ax2-(a+3)x-1>0成立.当a≥0时,显然存在x∈R使得上式成立;当a<0时,需使方程ax2-(a+3)x-1=0有两个不相等的实根,所以Δ=(a+3)2+4a>0,即a2+10a+9>0,解得a<-9或-1<a<0.综上可知,a的取值范围是(-∞,-9)∪(-1,+∞).22.(12分)(2021云南曲靖第二中学高一期末)设y=x2-(a-1)x+a-2(a∈R).(1)若不等式x2-(a-1)x+a-2≥-2对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围;x的不等式x2-(a-1)x+a-2<0.由题意,不等式x2-(a-1)x+a-2≥-2对于一切实数x恒成立,等价于x2-(a-1)x+a≥0对于一切实数x恒成立.所以Δ=(a-1)2-4a≤0,解得3-22≤a≤3+22.故实数a的取值范围为[3-22,3+22].(2)不等式x2-(a-1)x+a-2<0,即[x-(a-2)](x-1)<0.当a-2>1,即a>3时,不等式的解集为{x|1<x<a-2};当a-2=1,即a=3时,不等式的解集为⌀;当a-2<1,即a<3时,不等式的解集为{x|a-2<x<1}.综上所述,当a<3时,不等式的解集为{x|a-2<x<1};当a=3时,不等式的解集为⌀;当a>3时,不等式的解集为{x|1<x<a-2}.。
湖南省衡阳县第四中学2014-2015学年高二上学期期末复习数学文试题(2) Word版含答案
2014-2015年度衡阳县四中高二数学（文）期末复习测试题一．选择题（本题10小题，每小题5分，共50分，只有一项是符合题目要求的） 1. 设命题甲为：05x <<,命题乙为23x -<,则甲是乙的：（ A ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件2.已知命题p ：所有有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是负数， 则下列命题中为真命题的是 （ D ） A ．q p ∨⌝)( B ．q p ∧ C ．)()(q p ⌝∧⌝ D ． )()(q p ⌝∨⌝3. 命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( C )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π44、双曲线2214x y -=的渐近线的方程为（ A ） A ．2xy =±B ．y x =±C ．2y x =±D ．4y x =± 5. 设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为( B )A ．e 2B ．eC.ln 22D ．ln 26.双曲线13622=-y x 的渐近线与圆)0()3(222>=+-r r y x 相切，则r =( A ) A.3 B. 2 C. 3 D. 67.设1F 、2F 分别为双曲线22221(0x y a a b-=>，0)b >的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得12||||3PF PF b +=，129||||4PF PF ab ⋅=，则该双曲线的离心率为( B )A.43B.53C.94 D.3 8. 设椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，212PF F F ⊥，1230PF F ∠=，则C 的离心率为（ D ）A.6 B.13 C.12 D.39.已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是( A )A.2B.3C.115 D.371610. ABC ∆的顶点(5,0),(5,0)A B -，ABC ∆的内切圆圆心在直线3x =上，则顶点C 的轨迹方程是( C )A.221916x y -= B. 221169x y -= C.)3(116922>=-x y x D.221(4)169x y x -=>二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. “若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是__2______．12.“p 或q ”为真命题是“p 且q ”为真命题的___必要不充分_____条件．13、已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x 轴，且过点(P -，则抛物线的方程为24y x =-14. 若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是___[2，＋∞)_____15. 椭圆 22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则12F PF ∠的大小为 32π. 三、解答题：本大题共6小题, 共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题12分)命题p ：实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a <，命题q ：实数x满足260x x --≤或2280x x +->，且 p ⌝是q ⌝的必要不充分条件， 求a 的取值范围.解：设A ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2＜0(a ＜0)}＝{x |3a ＜x ＜a }，……………………………2分B ＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8＜0}＝{x |x 2－x －6＜0}∪{x |x 2＋2x －8＞0}＝{x |－2≤x ≤3}∪{x |x ＜－4或x ＞2}＝{x |x ＜－4或x ≥－2}. …………………5分 因为 ⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，所以 q q P ,⇒推不出p ，由B A ⊂得 ……………………………8分320a a -⎧⎨⎩≥<或40a a -⎧⎨⎩≤< …………………………10分 即－23≤a ＜0或a ≤－4. ……………………………12分17．(本小题12分)如图, 直线y=21x 与抛物线y=81x 2－4交于A 、B 两点, 线段AB的垂直平分线与直线y=－5交于Q 点. （1）求点Q 的坐标；（2）当P 为抛物线上位于线段AB 下方（含A 、B ）的动点时, 求ΔOPQ 面积的最大值.【解】(1) 解方程组 481212-==x y xy 得 2411-=-=y x 或 4822==y x 即A(－4,－2),B(8,4), 从而AB 的中点为M(2,1).由k AB ==21,直线AB 的垂直平分线方程y －1=21(x －2). 令y=－5, 得x =5, ∴Q(5,－5)．(2) 直线OQ 的方程为x +y=0, 设P(x , 81x 2－4).∵点P 到直线OQ 的距离d=24812-+x x =3282812-+x x ,25=OQ ,∴S ΔOPQ =21d OQ =3281652-+x x . ∵P 为抛物线上位于线段AB 下方的点, 且P 不在直线OQ 上, ∴－4≤x <43－4或43－4<x ≤8.∵函数y=x 2+8x －32在区间[－4,8] 上单调递增, ∴当x =8时, ΔOPQ 的面积取到最大值30．18(本小题12分).已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的点P 到左右两焦点12,F F 的距离之和为2. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过右焦点2F 的直线l 交椭圆于A B 、两点，若y轴上一点M 满足 ||||MA MB =，求直线l 的斜率k 的值.解：（Ⅰ）|212PF |+|PF |a ==a =-----------------------1分2c e a ==，∴12c ==， -----------------------2分∴222211b a c =-=-= -----------------------3分椭圆的标准方程为2212x y += -----------------------4分 （Ⅱ）已知2(1,0)F ,设直线的方程为(1)y k x =-，1122(,)(,)A x y B x y ----------5分联立直线与椭圆的方程22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得：2222(12)4220k x k x k +-+-= -----------------------6分∴2122412k x x k +=+，121222()212k y y k x x k k -+=+-=+ ∴AB 的中点坐标为2222(,)1212k kk k -++ -----------------------7分 ①当0k ≠时，AB 的中垂线方程为22212()1212k k y x k k k --=--++ --------------8分 ∵||||MA MB =，∴点M 在AB 的中垂线上，将点M 的坐标代入直线方程得：2221212k k k k+=++，即270k -=解得k =k =-----------------------10分②当0k =时，AB 的中垂线方程为0x =，满足题意. -----------------------11分 ∴斜率k的取值为0，. -----------------------12分 19、(本小题13分)已知二次函数f(x)满足： ①在x=1时有极值； ②图象过点(0,-3)，且在该点处的切线与直线2x+y=0平行. （1）求f(x)的解析式；（2）求函数g(x)=f(x 2)的单调递增区间.解：（1）设f(x)=ax 2+bx+c ，则f '(x)=2ax+b ．由题设可得：⎪⎩⎪⎨⎧-=-='=',3)0(,2)0(,0)1(f f f 即⎪⎩⎪⎨⎧-=-==+.3,2,02c b b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-==.3,2,1c b a所以f(x)=x 2-2x-3． （2）g(x)=f(x 2)=x 4－2x 2－3，g '(x)=4x 3－4x=4x(x －1)(x+1)．列表：由表可得：函数g(x)的单调递增区间为(-1,0)，(1,+∞)．20. (本小题13分)若函数4)(3+-=bx ax x f ，当2=x 时，函数)(x f 有极值34-， （1）求函数的解析式；（2）若函数k x f =)(有3个解，求实数k 的取值范围． 解：()b ax x f -='23（1）由题意：()()⎪⎩⎪⎨⎧-=+-==-='3442820122b a f b a f解得⎪⎩⎪⎨⎧==431b a∴所求解析式为()44313+-=x x x f （2）由（1）可得：()()()2242+-=-='x x x x f令()0='x f ，得2=x 或2-=x 当x 变化时，()x f '、()x f 的变化情况如下表：21．(本小题13分) 已知1x =是函数32()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点，其中,,0m n R m ∈<，（I ）求m 与n 的关系式；（II ）求()f x 的单调区间； （III ）当[]1,1x ∈-时，函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值范围.解：(I)2()36(1)f x mx m x n '=-++，因为1x =是函数()f x 的一个极值点,所以(1)0f '=,即36(1)0m m n -++=，所以36n m =+（II ）由（I ）知，2()36(1)36f x mx m x m '=-+++=23(1)1m x x m ⎡⎤⎛⎫--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当0m <时，有211m >+，当x 变化时，()f x 与()f x '的变化如下表：()f x 在2,1m ⎛⎫-∞+⎪⎝⎭单调递减，在2(1,1)m+单调递增，在(1,)+∞上单调递减. （III ）由已知得()3f x m '>，即22(1)20mx m x -++>又0m <所以222(1)0x m x m m -++<即[]222(1)0,1,1x m x x m m -++<∈-① 设212()2(1)g x x x mm=-++，其函数开口向上，由题意知①式恒成立， 所以22(1)0120(1)010g m m g ⎧-<+++<⎧⎪⇒⎨⎨<⎩⎪-<⎩解之得43m -<又0m <所以403m -<<即m 的取值范围为4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭。
2022-2023学年北京大学附属中学高二上学期期末考复习数学试卷(2)含详解
期末复习二一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知a R ∈，()13ai i i +=+，(i 为虚数单位)，则=a （）A .1- B.1C.3- D.32.已知直线20l y ++=，下列说法中正确的是（）A.直线l 的倾斜角为120︒B.(是直线l 的一个方向向量C.直线lD.)1-是直线l 的一个法向量3.的是（）A.22142x y += B.221x y -= C.2213y x -= D.24y x=4.设a R ∈，则“a =1”是“直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件,5.若直线l ：0x y m --=经过抛物线28y x =的焦点，且与抛物线交于A ，B 两点，则下列说法中错误的是（）A.抛物线的焦点为()2,0B.2m =C.抛物线的准线为4x =- D.16AB =6.下列关于圆C ：22(1)4x y +-=的说法中正确的个数为（）①圆C 的圆心为(0,1)C ，半径为2②直线l ：3410x y -+=与圆C 相交③圆C 与圆1C ：22(1)(2)9x y ++-=相交④过点2)作圆C 50y --=A.1B.2C.3D.47.公元前4世纪，古希腊数学家梅内克缪斯利用垂直于母线的平面去截顶角分别为锐角、钝角和直角的圆锥，发现了三种圆锥曲线.之后，数学家亚理士塔欧、欧几里得、阿波罗尼斯等都对圆锥曲线进行了深入的研究.直到3世纪末，帕普斯才在其《数学汇编》中首次证明：与定点和定直线的距离成定比的点的轨迹是圆锥曲线，定比小于、大于和等于1分别对应椭圆、双曲线和抛物线.已知,A B 是平面内两个定点，且|AB |=4，则下列关于轨迹的说法中错误的是（）A.到,A B 两点距离相等的点的轨迹是直线B.到,A B 两点距离之比等于2的点的轨迹是圆C.到,A B 两点距离之和等于5的点的轨迹是椭圆D.到,A B 两点距离之差等于3的点的轨迹是双曲线8.已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若点P 满足1311534AP AB AD AA =++，则点P 到直线AB 的距离为（）A.25144 B.512C.1320D.159.已知椭圆1C ：222116x y m +=和双曲线2C ：22214x yn-=有公共的焦点F 1(−3，0)，F 2(3，0)，点P 是C 1与C 2在第一象限内的交点，则下列说法中错误的个数为（）①椭圆的短轴长为；②双曲线的虚轴长为③双曲线C 2的离心率恰好为椭圆C 1离心率的两倍；④ PF 1F 2是一个以PF 2为底的等腰三角形.A.0B.1C.2D.310.已知动圆C 经过点1(0)F ，，并且与直线1y =-相切，若直线50l y -+=与圆C 最多有一个公共点，则圆C 的面积（）A.有最小值为16π9B.有最大值为16π9C.有最小值为16πD.有最大值为16π二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）11.若直线l 与直线2x-y-1=0垂直，且不过第一象限，试写出一个直线l 的方程：________.12.与双曲线224312y x -=有相同焦点，且长轴长为6的椭圆标准方程为_________.13.已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）中，1F ，2F 为椭圆的左、右焦点，1B ，2B 为椭圆的上、下顶点，若四边形1122F B F B 是一个正方形，则椭圆的离心率为__________.14.过点()2,5作圆22:(1)4C x y +-=的切线，则切线方程为__________.15.已知O 为坐标原点，抛物线的焦点F 在x 轴上，且过点(1,2)-，P 为抛物线上一点，||3PF =，则抛物线的标准方程为___________，OPF △的面积为_____________.16.若点()2,0到直线l 的距离小于1，则在下列曲线中：①28y x =；②()2234x y -+=；③22195x y +=；④2213y x -=；与直线l 一定有公共点的曲线的序号是_________.(写出你认为正确的所有序号)三、解答题（共3题，共36分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，,M N 分别为棱,PD BC 的中点，2PA AB ==.(1)求证：//MN 平面PAB ；(2)求直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值.18.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为,A B ，且AB 4=，离心率为12，O 为坐标原点.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上不同于,A B 的一点，直线,PA PB 与直线4x =分别交于点,M N .证明：以线段MN 为直径作圆被x 轴截得的弦长为定值，并求出这个定值.19.已知抛物线2:4C y x =，O 为坐标原点，过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于不同两点,A B .（1）记AFO V 和BFO V 的面积分别为12,S S ，若212S S =，求直线l 的方程；（2）判断在x 轴上是否存在点M ，使得四边形OAMB 为矩形，并说明理由.期末复习二一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知a R ∈，()13ai i i +=+，(i 为虚数单位)，则=a （）A.1-B.1C.3- D.3C【分析】首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数a 的值.【详解】()213ai i i ai i a a i i +=-=-+=++=，利用复数相等的充分必要条件可得：3,3a a -=∴=-.故选：C.2.已知直线20l y ++=，下列说法中正确的是（）A.直线l 的倾斜角为120︒B.(是直线l 的一个方向向量C.直线lD.)1-是直线l 的一个法向量A【分析】先根据方程得斜率，进而得到直线的倾斜角，以及方向向量和方法向量，从而判断各选项.【详解】因为直线:20l y ++=，所以斜率k =120︒，故A 正确，C 不正确；因为直线l 经过点()0,2A -，()B ，所以直线l 的一个方向向量为()AB =，因向量(与()AB =不共线，故(不是直线l 的一个方向向量，故B 不正确；又因为)13360AB -⋅=--=-≠，所以)1-不是直线l 的一个法向量，故D 不正确.故选：A.3.的是（）A.22142x y += B.221x y -= C.2213y x -= D.24y x=B【分析】根据标准方程逐个求出离心率，即可得到.【详解】对于A ：22142x y +=中2,a b c ===22c e a ==，所以A 错误；对于B ：221x y -=中1,1,a b c ====，则ce a==B 正确；对于C ：2213y x -=中1,2a b c ===，则2c e a ==，所以C 错误；对于D ：24y x =中1e =，所以D 错误；故选：B4.设a R ∈，则“a =1”是“直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,C【详解】若直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行，则21a =,且11a-≠解得1a =故选C点睛：这是一道关于充分条件和必要条件判断的题目．考查的主要是充分条件，必要条件，熟练掌握掌握充分条件和必要条件的判定方法．本题中，利用直线平行的条件是解决问题的关键．5.若直线l ：0x y m --=经过抛物线28y x =的焦点，且与抛物线交于A ，B 两点，则下列说法中错误的是（）A.抛物线的焦点为()2,0B.2m =C.抛物线的准线为4x =-D.16AB =C【分析】求出抛物线的焦点坐标、准线方程，将焦点坐标代入直线方程求出实数m ，将直线方程与抛物线方程联立，求出焦点弦长，依次判断选项即可.【详解】设抛物线方程为22y px =（0p >），则焦点坐标为,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为2px =-，∵抛物线方程为28y x =，∴4p =，22p=，∴抛物线的焦点坐标()2,0F ，准线方程为2x =-，将焦点()2,0F 代入直线l 的方程：0x y m --=得200m --=，∴2m =，∴直线l 的方程为20x y --=，设直线l 与抛物线28y x =两交点坐标为()11,A x y ，()22,B x y ，点A ，B 到准线的距离分别为A d ，B d ，由2820y x x y ⎧=⎨--=⎩消去y ，化简得21240x x -+=（0∆>），∴1212x x +=，∴由抛物线的定义，12A p AF d x ==+，22B p BF d x ==+，∴1212416AB AF BF x x p =+=++=+=.对于A ，抛物线的焦点坐标()2,0F ，选项A 正确；对于B ，实数m 的值为2m =，选项B 正确；对于C ，抛物线的准线方程为2x =-，选项C 错误；对于D ，弦长16AB =，选项D 正确，故以上说法中，错误的是C 选项.故选：C.6.下列关于圆C ：22(1)4x y +-=的说法中正确的个数为（）①圆C 的圆心为(0,1)C ，半径为2②直线l ：3410x y -+=与圆C 相交③圆C 与圆1C ：22(1)(2)9x y ++-=相交④过点2)作圆C 50y --=A.1 B.2C.3D.4C【分析】对于①，根据圆的标准方程求出圆心坐标和半径，可知①正确；对于②，根据圆心到直线的距离小于半径，可知②正确；对于③，根据圆心距与两圆半径之间的关系，可知③正确；对于④，点2)在圆C ，可知点2)在圆C ，求出切线的斜率，根据点斜式可求出切线方程，可知④不正确.【详解】对于①，由22(1)4x y +-=可知，圆心为(0,1)C ，半径为2，故①正确；对于②，圆心(0,1)C 到直线3410x y -+=的距离35d ==2<，所以直线l ：3410x y -+=与圆C 相交，故②正确；对于③，圆1C ：22(1)(2)9x y ++-=的圆心1(1,2)C -，半径为3，因为圆心距1||CC ==，且3232-<<+，所以圆C 与圆1C ：22(1)(2)9x y ++-=相交，故③正确；对于④，因为点2)在圆C ：22(1)4x y +-=上，所以点2)为切点，所以切点与圆心C3=，所以切线的斜率为，所以切线方程为：2y x -=-50y +-=，故④不正确.故选：C7.公元前4世纪，古希腊数学家梅内克缪斯利用垂直于母线的平面去截顶角分别为锐角、钝角和直角的圆锥，发现了三种圆锥曲线.之后，数学家亚理士塔欧、欧几里得、阿波罗尼斯等都对圆锥曲线进行了深入的研究.直到3世纪末，帕普斯才在其《数学汇编》中首次证明：与定点和定直线的距离成定比的点的轨迹是圆锥曲线，定比小于、大于和等于1分别对应椭圆、双曲线和抛物线.已知,A B 是平面内两个定点，且|AB |=4，则下列关于轨迹的说法中错误的是（）A.到,A B 两点距离相等的点的轨迹是直线B.到,A B 两点距离之比等于2的点的轨迹是圆C.到,A B 两点距离之和等于5的点的轨迹是椭圆D.到,A B 两点距离之差等于3的点的轨迹是双曲线D【分析】判断到,A B 两点距离相等的点的轨迹是,A B 连线的垂直平分线，判断A;建立平面直角坐标系，求出动点的轨迹方程，可判断B;根据椭圆以及双曲线的定义可判断C,D .【详解】对于A ，到,A B 两点距离相等的点的轨迹是,A B 连线的垂直平分线，正确；对于B ，以AB 为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则()()2,0,2,0A B -，设动点(,)P x y ，由题意知||2||PA PB =,2=，化简为221064(39x y -+=，即此时点的轨迹为圆，B 正确；对于C ，不妨设动点P 到,A B 两点距离之和等于5，即5PA PB +=，由于54>，故到,A B 两点距离之和等于5的点的轨迹是以,A B 为焦点的椭圆，C 正确；对于D ，设动点P 到,A B 两点距离之差等于3，即||||3-=PA PB ,由于34<，故到,A B 两点距离之差等于3的点的轨迹是双曲线靠近B 侧的一支，D 错误，故选：D8.已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若点P 满足1311534AP AB AD AA =++，则点P 到直线AB 的距离为（）A.25144 B.512C.1320D.10515B【分析】过P 作PM ⊥平面ABCD 于点M ，过M 作NM AB ⊥于点N ，连接PN ，则PN 即为所求，【详解】解：如图，过P 作PM ⊥平面ABCD 于点M ，过M 作NM AB ⊥于点N ，连接PN ，则PN 即为所求，因为满足1311534AP AB AD AA =++，所以35AN =，13MN =，14MP =，所以512PN ==，故选：B ．【点睛】本题考查了求点到直线的距离的方法，属于基础题．9.已知椭圆1C ：222116x y m +=和双曲线2C ：22214x yn-=有公共的焦点F 1(−3，0)，F 2(3，0)，点P 是C 1与C 2在第一象限内的交点，则下列说法中错误的个数为（）①椭圆的短轴长为；②双曲线的虚轴长为③双曲线C 2的离心率恰好为椭圆C 1离心率的两倍；④ PF 1F 2是一个以PF 2为底的等腰三角形.A.0 B.1C.2D.3A【分析】根据椭圆1C ：222116x y m +=和双曲线2C ：22214x yn-=有公共的焦点F 1(−3，0)，F 2(3，0)，求得m ,n ,再逐项判断.【详解】解：因为椭圆1C ：222116x y m +=和双曲线2C ：22214x yn-=有公共的焦点F 1(−3，0)，F 2(3，0)，所以2216949m n ⎧-=⎨+=⎩，解得m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩则①椭圆的短轴长为，故正确；②双曲线的虚轴长为③双曲线C 2的离心率32e =，椭圆C 1离心率的34e =，故正确；④由22221167145x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得833P ⎛ ⎝⎭，则16PF =，211222,6PF a PF F F =-==，所以 PF 1F 2是一个以PF 2为底的等腰三角形，故正确.故选：A10.已知动圆C 经过点1(0)F ，，并且与直线1y =-相切，若直线50l y -+=与圆C 最多有一个公共点，则圆C 的面积（）A.有最小值为16π9B.有最大值为16π9C.有最小值为16πD.有最大值为16πD【分析】已知直线:50l y -+=与圆C 最多有一个公共点，则直线l 与圆相切或相离，而圆C 经过点1(0)F ，，并且与直线1y =-相切，则直线l 与圆相切时圆最大，直线l 与圆相离时圆最小，数形结合求出半径即可得到圆C 的面积.【详解】解：已知直线50l y -+=与圆C 最多有一个公共点，则直线l 与圆相切或相离，当直线l 与圆相离时圆最小，满足经过点1(0)F ，，并且与直线1y =-相切的圆如图所示，此时以原点O 为圆心，1为半径，圆C 的面积2min π1πS =⋅=，故A ，C 选项错误；当直线l 与圆相切时圆最大，满足经过点1(0)F ，，并且与直线1y =-相切的圆如图所示，此时直线l 与直线1y =-为圆2C 的公切线，则圆心需在两直线所成角的角平分线上，因为直线l 60︒，所以角平分线的倾斜角为30︒，斜率为33，联立501y y -+==-⎪⎩，可得63,13A ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭所以角平分线的方程为133y x ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，即13y x =+，恰好点1(0)F ，在角平分线上，则222r AF r =+，所以222224r r r r ===+，解得24r =，圆C 的面积2max π416πS =⋅=，故B 选项错误；故选：D.二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）11.若直线l 与直线2x-y-1=0垂直，且不过第一象限，试写出一个直线l 的方程：________.112y x =--（答案不唯一）【详解】由直线l 与直线210x y --=垂直，设直线l 的方程为12y x c =-+∵直线l 不经过第一象限∴0c ≤∴可令1c =-，即直线l 的方程为112y x =--故答案为112y x =--（答案不唯一）.12.与双曲线224312y x -=有相同焦点，且长轴长为6的椭圆标准方程为_________.22129x y +=【分析】双曲线化为标准形式，求出焦点，即可由共焦点进一步求出椭圆短半轴，即可求得标准方程.【详解】224312y x -=即22134y x -=，焦点为(0,，椭圆长轴26a =，即3a =，故短半轴b ==22129x y +=.故答案为：22129x y +=.13.已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）中，1F ，2F 为椭圆的左、右焦点，1B ，2B 为椭圆的上、下顶点，若四边形1122F B F B 是一个正方形，则椭圆的离心率为__________.22【分析】四边形1122F B F B 是个正方形，则其对角线12F F 与12B B 相等，即22c b =，由此结合a ，b ，c 的关系，即可求出离心率.【详解】∵四边形1122F B F B 是一个正方形，∴正方形1122F B F B 的对角线相等，1212F F B B =，∵焦距122F F c =，短轴长122B B b =，∴22c b =即c b =，∴a ===，∴离心率22c e a ===.故答案为：2.14.过点()2,5作圆22:(1)4C x y +-=的切线，则切线方程为__________.2x =或34140x y -+=【分析】当斜率不存在时，检验即可；当斜率存在时，设出直线，利用圆心到直线的距离等于半径列方程求解即可.【详解】圆22:(1)4C x y +-=的圆心为()0,1，半径2r =过点()2,5的直线，当斜率不存在时，直线方程为2x =，符合与圆C 相切；当斜率存在时，设直线方程为()25y k x =-+，即250kx y k --+=，2=，解得34k =，此时直线方程为34140x y -+=.故答案为：2x =或34140x y -+=.15.已知O 为坐标原点，抛物线的焦点F 在x 轴上，且过点(1,2)-，P 为抛物线上一点，||3PF =，则抛物线的标准方程为___________，OPF △的面积为_____________.①.24y x =②.【分析】设抛物线方程为22y ax =(0)a ≠，将点(1,2)-代入求出a ，可得抛物线的标准方程；设00(,)P x y ，根据||3PF =以及抛物线的定义求出0x 和0y ，根据三角形的面积公式可求出结果.【详解】依题意，设抛物线方程为22y ax =(0)a ≠，因为抛物线过点(1,2)-，所以2(2)2a -=，所以2a =，所以抛物线的标准方程为：24y x =.由24y x =可知，准线方程为：=1x -，设00(,)P x y ，则0||1PF x =+，因为||3PF =，所以013x +=，即02x =.所以2004428y x ==⨯=，所以0||y =，所以OPF △的面积为：011||||122OF y ⋅=⨯⨯=.故答案为：24y x =.16.若点()2,0到直线l 的距离小于1，则在下列曲线中：①28y x =；②()2234x y -+=；③22195x y +=；④2213y x -=；与直线l 一定有公共点的曲线的序号是_________.(写出你认为正确的所有序号)①②③④【分析】将问题转化为直线l 必经过圆()2221x y -+=的内的点，分别作出每个选项与圆()2221x y -+=的图象，根据包含关系可确定结果.【详解】若点()2,0到直线l 的距离小于1，则直线l 必经过以()2,0为圆心，1为半径的圆的内部，即直线l 必经过圆()2221x y -+=的内的点；对于①，作出28y x =与()2221x y -+=图象如下图所示，则过圆()2221x y -+=内的点的所有直线与28y x =都有交点，①正确；对于②，作出()2234x y -+=与()2221x y -+=图象如下图所示，则过圆()2221x y -+=内的点的所有直线与()2234x y -+=都有交点，②正确；对于③，作出22195x y +=与()2221x y -+=图象如下图所示，则过圆()2221x y -+=内的点的所有直线与22195x y +=都有交点，③正确；对于④，作出2213y x -=与()2221x y -+=图象如下图所示，则过圆()2221x y -+=内的点的所有直线与2213y x -=都有交点，④正确.故答案为：①②③④.【点睛】关键点点睛：本题考查圆锥曲线中各种曲线图象之间的关系，解题关键是能够将问题转化为经过圆内部的点的直线与曲线永远有公共点，从而根据曲线方程作出图象，根据图象包含关系来确定结果.三、解答题（共3题，共36分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，,M N 分别为棱,PD BC 的中点，2PA AB ==.(1)求证：//MN 平面PAB ；(2)求直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值.(1)证明见解析；(2)1010.【分析】(1)证明线面平行，用线面平行的判定定理，在面PAB 内找一条直线与MN 平行；(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角．【详解】(1)在四棱锥P ABCD -中，取PA 的中点E ，连接EB 、EM ，因为M 是PD 的中点，所以EM AD ，且12EM AD =．又因为底面ABCD 是正方形，N 是BC 的中点，所以BN AD ∥，且12=BN AD ，所以EM BN ∥且=EM BN ，所以四边形MNBE 是平行四边形．所以MN BE ∥．由于EB ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以//MN 平面PAB .(2)因为底面ABCD 是正方形，所以AB ⊥AD ．又因为PA ⊥平面ABCD ，所以可以以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴，如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ,(0,0,2)P ，(0,1,1)M ,(2,1,0)N ．(2,2,2),(2,0,0)PC CD →→=-=-，设平面PCD 的法向量为(,,)m x y z =，有：0,0,m PC m CD ⎧⋅=⎨⋅=⎩即0,0,x y z x +-=⎧⎨=⎩，令1y =，则=1z ，所以(0,1,1)m = ．(2,0,1)MN =- ，设直线MN 与平面PCD 所成角为θ，有：sin cos ,MN m θ= =MN m MN m⋅⋅10．所以直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值为1010．【点睛】立体几何解答题的基本结构：(1)第一问一般是几何位置关系的证明，通常用判定定理；(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以建立空间直角坐标系，利用向量法计算．18.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为,A B ，且AB 4=，离心率为12，O 为坐标原点.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上不同于,A B 的一点，直线,PA PB 与直线4x =分别交于点,M N .证明：以线段MN 为直径作圆被x 轴截得的弦长为定值，并求出这个定值.（1）22143x y +=（2）证明见解析，定值为6【分析】（1）根据24AB a ==、离心率和椭圆,,a b c 之间关系可直接求得结果；（2）设(),P m n ，可得直线,PA PB 方程，进而确定,M N 两点坐标，设椭圆右焦点为F ，利用平面向量数量积的坐标运算可证得FM FN ⊥，可知以MN 为直径的圆过点()1,0F ，由此可确定线段MN 为直径作圆被x 轴截得的弦长.【小问1详解】由题意知：24AB a ==，解得：2a =，又离心率12c e a ==，1c ∴=，2223b a c ∴=-=，∴椭圆C 的方程为：22143x y +=.【小问2详解】由（1）得：()2,0A -，()2,0B ，设(),P m n ，则223412m n +=，即224123n m =-；直线():22n PA y x m =++，直线():22n PB y x m =--，M ∴点纵坐标62M n y m =+，N 点纵坐标22N n y m =-，即64,2n M m ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，24,2n N m ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，又椭圆右焦点为()1,0F ，63,2n FM m ⎛⎫∴= ⎪+⎝⎭ ，23,2n FN m ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，()()22222231239412999990444m m n FM FN m m m --∴⋅=+=+=+=-=--- ，即FM FN ⊥，∴以MN 为直径的圆过点()1,0F ，又圆心横坐标为4，∴以MN 为直径的圆被x 轴截得的弦长为()2416⨯-=.即以线段MN 为直径作圆被x 轴截得的弦长为定值6.【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定值问题的求解，本题求解定值问题的关键是能够利用平面向量数量积的坐标运算说明椭圆右焦点即为所求圆与x 轴的其中的一个交点，由圆的对称性可确定定值.19.已知抛物线2:4C y x =，O 为坐标原点，过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于不同两点,A B .（1）记AFO V 和BFO V 的面积分别为12,S S ，若212S S =，求直线l 的方程；（2）判断在x 轴上是否存在点M ，使得四边形OAMB 为矩形，并说明理由.（1）440x -=；（2）不存在，理由见详解.【分析】（1）设直线l 方程为1x ty =+，()()1122,,,A x y B x y ，利用韦达定理及212y y =-计算可得答案；（2）假设存在点M ，使得四边形OAMB 为矩形，根据抛物线的性质推出OA OB ⊥不成立，则可得不存在点M ，使得四边形OAMB 为矩形.【小问1详解】设直线l 方程为1x ty =+，()()1122,,,A x y B x y 联立241y x x ty ⎧=⎨=+⎩，消去x 得2440y ty --=，得124y y t +=①，124y y =-②，又因为212S S =，则212y y =-③由①②③解得24t =±，即直线l 的方程为14x y =±+，即440x ±-=【小问2详解】假设存在点M ，使得四边形OAMB 为矩形，则,OM AB 互相平分所以线段AB 的中点在x 上，则AB x ⊥轴，此时()()1,2,1,2A B -41OA OB k k ∴=-≠-则OA OB ⊥不成立.故在x 轴上不存在点M ，使得四边形OAMB 为矩形。
高二数学期末复习题及答案
高二数学期末复习题及答案SANY GROUP system office room 【SANYUA16H-高二理科数学期末复习训练题（一）命题人：张泉清 （增城市仙村中学）注意：本试卷满分150分，分为Ⅰ卷和Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷的答案涂在答题卡上，第Ⅱ卷的答案按要求写在答题纸上。
Ⅰ卷（满分40分）一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分，每题只有一个正确答案，答案涂在答题卡上。
1. 在复平面内，复数1ii+对应的点位于 ( ) A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限2. 函数f(x)=ax 3+3x 2+2,若(1)4f '-=,则a 的值是（ ）A.319 B. 316 C. 313 D. 3103.120(23)x x dx -=⎰（ ）A 1B 0C 0或1D 以上都不对。
4．在某一试验中事件A 出现的概率为p ，则在n 次试验中A 出现k 次的概率为（ ）A 1－k pB ()k n k p p --1C 1－()k p -1D ()k n k kn p p C --1 个人站成一排，其中甲不在左端也不和乙相邻的排法种数是（ ）。
A 48 B 54 C 60 D 666.若3322103)45(x a x a x a a x +++=+，则=+-+)()(3120a a a a （ ） A 1- B 1 C 2 D 2-7. 如图是函数32()f x x bx cx d =+++的大致图象，则2212x x +等于（ ）。
A. 32B. 34C. 38D. 3128图：x 解密密钥密加密密钥密明密密发送明现在加密密钥为 log (2)a y x =+ ,如上所示，明文“6”通过加密后得到密文“3”，再发送，接受方通过解密密钥解密得到明文“6”。
问：若接受方接到密文为“4”，则解密后得到明文为（ ）。
A. 12B. 13C. 14D. 15 二、填空题（每小题5分，共30分，请将正确答案填写到答题卡上） 9.函数1y x=的导函数是 ； 10．(ax －x1)8的展开式中2x 的系数为70，则a 的值为；11．实数x 、y 满足(1-i)x+(1+i)y=2,则 xy 的值是 _________ ； 12. 设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如下:则q= ；13. 一同学在电脑中打出如下若干个圆，○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么在前100个圆中有_ ___ 个●；14．函数2()276f x x x =-+-与()g x x =-的图象所围成封闭图形的面积为 . 三、解答题（共80分，请写到答题卡上）15(14分)已知函数321()252f x x x x =--+( 1 ) 求函数的单调区间。
2021年高二数学上学期期末复习选择性必修第一册 第2章(2)直线和圆的方程 基础过关卷
10.解： A ．因为圆 O : x2 y2 9 和圆 M : x2 y2 6x 4y 9 0 相交于 P 、 Q 两点， 所以两圆有两条公切线，故正确； B ．圆 O : x2 y2 9 和圆 M : x2 y2 6x 4y 9 0 的方程相减得： 3x 2 y 9 0 ，所
d 211 2 5 2 ，所以直线 l 与圆相离．依圆的知识可知，四点 A, P, B, M 22 12
四点共圆，且 AB MP ，所以
PM
AB
4SPAM
4 1 PA AM 2
4 PA
，而
PA MP 2 4 ，
当直线 MP l 时， MP min 5 ， PA min 1，此时 PM AB 最小．
12．若圆 C 过点(0,2)及直线 x－2y＝0 与圆 x2＋y2＋2x－4y－4＝0 的交点，则圆 C 的方程为__________．
13.(2020•天津卷）已知直线
和圆
相交于
两点．若
，则 的值为_________．
14．已知直线 ax－y－1＝0 与圆 x2＋y2＋2x＋2by－4＝0 相交于 A，B 两点，若线 段 AB 中点为(1,1)，则 a＝________，b＝________.
6
18.解 (1)把圆 C1 与圆 C2 都化为标准方程形式，得(x＋2)2＋(y－2)2＝13，(x－ 4)2＋(y＋2)2＝13.
圆心与半径长分别为 C1(－2,2)，r1＝ 13；
C2(4，－2)，r2＝ 13.
因为|C1C2|＝ －2－4 2＋ 2＋2 2＝2 13＝r1＋r2，
所以圆 C1 与圆 C2 相切．
高二数学期末复习一(不等式2)
高二数学期末复习一（不等式2） 一、选择题1.若a 、b 、c 为实数；则下列命题正确的是( )A.若a ＞b ；则ac 2＞bc 2B.若a ＜b ＜0；则a 2＞ab ＞b 2C.若a ＜b ＜0；则a 1＜b 1D.若a ＜b ＜0；则a b ＞ba 2.若a 1<b 1<0；则下列不等式:①a +b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④a b +ba>2.正确的不等式有( ) 个个个个3.若a ＞b ＞1；P =b a lg lg ⋅；Q =21(lg a +lg b )；R =lg(2ba +)；则( ) A.R ＜P ＜QB.P ＜Q ＜RC.Q ＜P ＜RD.P ＜R ＜Q4.角x ；y 满足－2π＜x ＜y ＜2π；则x －y 的取值范围是( ) A.(－π；0) B.(－π；π) C.(－2π；0) D.(－2π；2π)5.下列命题中；真命题有( )①若a +b ＞0且ab ＞0；则a ＞0且b ＞0 ②若a ＞b 且ab ＞0；则a ＞b ＞0 ③若b a ＞dc ⇒ad ＞bc ④a ＞b 是2c a ＞2cb成立的必要条件 A.①③ B.②③ C.②④ D.①④6.两次购买同一种物品；可以有两种不同的策略.第一种是不考虑物品价格的升降；每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降；每次购买这种物品所花的钱数一定.若两次购买这种物品时价格不相同；则两种策略中比较经济的情况为( )A.第一种策略经济B.第二种策略经济C.两种策略同样经济D.不能判断7.函数f (x )=x +x4+3在(－∞；－2]上( ) A.无最大值；有最小值7 B.无最大值；有最小值－1 C.有最大值7；有最小值－1 D.有最大值－1；无最小值8.一批救灾物资随26辆汽车从某市以v km/h 速度匀速直达灾区；已知两地公路线长 400 km ；为了安全起见；两辆汽车的间距不得小于(20v )2km ；那么这批物资全部到达灾区；最少需要( )9.已知h ＞0；设甲:两实数a 、b 满足|a －b |＜2h ；乙:两实数a 、b 满足|a －1|＜h 且|b －1|＜h ；则( )A.甲是乙的充分但不必要条件B.甲是乙的必要但不充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件；也不是乙的必要条件10.若x ＞0；y ＞0且y x +≤a ·(x +y )成立；则a 的最小值是( ) A.22B.2 2二、填空题11.设0＜x ＜1；则a =2x ；b =1+x ；c =x -11中最大的一个是__________. 12.已知不等式:①a 2+3＞2a (a ∈R )；②aa 1+≥2；③a 5+b 5＞a 3b 2+a 2b 3；④a 2+b 2≥2(a －b －1)(a ；b ∈R ).其中正确的不等式的序号是__________.13. b g 糖水中有a g 糖(b >a >0)；若再添上m g 糖(m >0)；则糖水就变甜了.试根据这个事实；提炼一个不等式:__________.14.已知三个不等式:①ab ＞0；②－a c ＜－bd；③bc ＜ad .以其中两个作为条件；余下一个作为结论；则可以组成__________个正确的命题.三、解答题15设x 、y 、z ∈R ；比较5x 2+y 2+z 2与2xy +4x +2z －2的大小. 16.比较下列两个数的大小:(1)2－1与2－3； (2)2－3与6－5；(3)从以上两小题的结论中；你能否得出更一般的结论？并加以证明.17求证:ab b a +≥b a +(a ＞0；b ＞0). 18某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)；高度恒定；它的后墙利用旧墙不花钱；正面用铁栅；每米长造价40元；两侧墙砌砖；每米造价45元；顶部每平方米造价20元；试算:仓库底面积S 的最大允许值是多少？此时铁栅长为多少？19.设f (x )=x 2－x +B ；实数a 满足|x －a |＜1；求证:|f (x )－f (a )|＜2(|a |+1).20 经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内；某公路段汽车的车流量y (千辆/小时)与汽车的平均速度v (km/h)之间的函数关系为y =160039202++v v v(v >0). (1)在该时段内；当汽车的平均速度v 为多少时；车流量最大?最大车流量为多少?(精确到千辆/小时)(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时；则汽车的平均速度应在什么范围内?21.已知a >b >0；求证:a b a 8)(2-<2b a +－ab <b b a 8)(2-不等式(一)(A 卷)一、选择题1.若a 、b 、c 为实数；则下列命题正确的是( )A.若a ＞b ；则ac 2＞bc 2B.若a ＜b ＜0；则a 2＞ab ＞b 2C.若a ＜b ＜0；则a 1＜b 1 D.若a ＜b ＜0；则a b ＞ba 解析:A.因为c 2≥0；所以只有c ≠0时才正确.c =0时；ac 2=bc 2；所以A 是假命题.变式:若ac 2＞bc 2；则a ＞b ；命题是真命题.B.a ＜b ；a ＜0⇒a 2＞ab ；a ＜b ；b ＜0⇒ab ＞b 2；B 是真命题.C.由性质定理a ＜b ＜0⇒a 1＞b 1；C 是假命题. D.例如－3＜－2＜0；32＜23；D 是假命题.答案:B 2.若a 1<b 1<0；则下列不等式:①a +b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④a b +ba >2.正确的不等式有( ) 个个个个分析:本题主要考查不等式的性质及均值不等式的适用条件. 解:由a 1<b1<0可知b <a <0；③不正确；②不正确. ∴a +b <0；ab >0.∴a +b <ab ；①正确. 由a b >0； b a >0；而a ≠b ；∴a b +ba>2；④正确. 答案:B3.若a ＞b ＞1；P =b a lg lg ⋅；Q =21(lg a +lg b )；R =lg(2ba +)；则( ) A.R ＜P ＜Q B.P ＜Q ＜R C.Q ＜P ＜RD.P ＜R ＜Q分析:本题主要考查均值不等式与对数函数的单调性. 解:a ＞b ＞1⇒lg a ＞0；lg b ＞0.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=>+==⋅>+=Q b a ab b a R P b a b a Q )lg (lg 21lg )2lg(lg lg )lg (lg 21⇒ R ＞Q ＞P . 答案:B4.角x ；y 满足－2π＜x ＜y ＜2π；则x －y 的取值范围是( ) A.(－π；0) B.(－π；π) C.(－2π；0) D.(－2π；2π)分析:本题主要考查负数在不等式中的变化；不等式的性质.解:由x ＜y ；得x －y ＜0.又－π＜x －y ＜π；∴－π＜x －y ＜0. 答案:A5.下列命题中；真命题有( )①若a +b ＞0且ab ＞0；则a ＞0且b ＞0 ②若a ＞b 且ab ＞0；则a ＞b ＞0 ③若b a ＞dc ⇒ad ＞bc ④a ＞b 是2c a ＞2cb成立的必要条件 A.①③ B.②③ C.②④ D.①④ 分析:本题主要考查不等式的性质；用排除法. 解:∵ab ＞0；∴a 、b 同号.又a +b ＞0； ∴a ＞0且b ＞0.①正确；排除B 、C. 由③b a －dc ＞0；得bd bc ad -＞0；不能保证ad ＞bc .③不正确.故应选D. 答案:D6.两次购买同一种物品；可以有两种不同的策略.第一种是不考虑物品价格的升降；每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降；每次购买这种物品所花的钱数一定.若两次购买这种物品时价格不相同；则两种策略中比较经济的情况为( )A.第一种策略经济B.第二种策略经济C.两种策略同样经济D.不能判断分析:本题主要考查不等式的应用.本题关键是比较两种不同的购买方式的平均价格的 大小. 解:(1)按第一种策略购物；设第一次购物时价格为p 1；购n (kg)；第二次购物时价格为p 2；仍购n (kg).按这种策略购物时两次购物的平均价格为n n p n p 221+=221p p +. (2)若按第二种策略购物；第一次花m 元钱；能购1p m (kg)物品；第二次仍花m 元钱；能购2p m (kg)物品；两次购物的平均价格为212p mp m m +=21112p p +.比较两次购物的平均价格221p p +－21112p p +=221p p +－21212p p p p +=)(24)(2121221p p p p p p +-+=)(2)(21221p p p p +->0(∵p 1≠p 2)；∴第一种策略的平均价格高于第二种策略的平均价格. 因而；用第二种策略比较经济. 答案:B 7.函数f (x )=x +x4+3在(－∞；－2]上( ) A.无最大值；有最小值7 B.无最大值；有最小值－1 C.有最大值7；有最小值－1 D.有最大值－1；无最小值解析:f (x )=x +x 4+3=－(－x +x-4)+3≤－4+3=－1. 故选D.答案:D8.一批救灾物资随26辆汽车从某市以v km/h 速度匀速直达灾区；已知两地公路线长 400 km ；为了安全起见；两辆汽车的间距不得小于(20v )2km ；那么这批物资全部到达灾区；最少需要( )A.5 hB.10 hC.15 hD.20 h解析:时间t =［400+25(20v )2］÷v =v 400+40025v≥225=10.答案:B9.已知h ＞0；设甲:两实数a 、b 满足|a －b |＜2h ；乙:两实数a 、b 满足|a －1|＜h 且|b －1|＜h ；则( )A.甲是乙的充分但不必要条件B.甲是乙的必要但不充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件；也不是乙的必要条件 分析:本题主要考查含绝对值不等式|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |+|b |；充要条件. 解:|a －b |=|(a －1)－(b －1)|≤|a －1|+|b －1|＜2h .故应选B. 答案:B10.若x ＞0；y ＞0且y x +≤a ·(x +y )成立；则a 的最小值是( ) A.22B.2 2分析:本题主要考查222b a +≥(2b a +)2；参数隔离法.解:由2)()(22y x +≥(2y x +)2；∴2y x +≥2y x +；即a ≥22；a min =22.故应选A.答案:A二、填空题11.设0＜x ＜1；则a =2x ；b =1+x ；c =x-11中最大的一个是__________. 解析:∵b －c =(1+x )－x-11=x x ---1112=－xx -12＜0；∴b ＜c .又b =1+x ＞2x =a ；∴c 最大. 答案:c12.已知不等式:①a 2+3＞2a (a ∈R )；②aa 1+≥2；③a 5+b 5＞a 3b 2+a 2b 3；④a 2+b 2≥2(a －b －1) (a ；b ∈R ).其中正确的不等式的序号是__________. 分析:本题考查比较法；综合法证明不等式；凑平方. 解:①a 2+3－2a =(a －1)2+2＞0. ②a 为负值不正确.③a 5+b 5－a 3b 2－a 2b 3=a 3(a 2－b 2)－b 3(a 2－b 2)=(a 3－b 3)(a 2－b 2)=(a +b )(a －b )2(a 2+ab +b 2)；其值大于零不一定成立.当a ≠b 且均为负值或一负值一零值时；其值为负值；当a =b 时其值为零.不正确.④a 2+b 2－2a +2b +2=(a －1)2+(b +1)2≥0. 答案:①④13. b g 糖水中有a g 糖(b >a >0)；若再添上m g 糖(m >0)；则糖水就变甜了.试根据这个事实；提炼一个不等式:__________.分析:本题主要考查应用数学知识解决实际问题的能力.加糖以后；糖水变甜了；说明浓度变大了.解:加糖以前；糖水的浓度为b a ；而加入m g 糖以后；糖水浓度为mb m a ++；糖水变甜了；说明浓度变大了；即m b m a ++>b a. 答案: m b m a ++> ba14.已知三个不等式:①ab ＞0；②－a c ＜－bd；③bc ＜ad .以其中两个作为条件；余下一个作为结论；则可以组成__________个正确的命题.分析:本题考查综合运用不等式的性质；证明不等式.解:由②；abadbc -＞0；又ab ＞0⇒bc －ad ＞0； 即bc ＞ad ；说明由①②③.同理可证明其他情况. 答案:0三、解答题15设x 、y 、z ∈R ；比较5x 2+y 2+z 2与2xy +4x +2z －2的大小. 分析:本题考查不等式的性质与比较法.解:(5x 2+y 2+z 2)－(2xy +4x +2z －2)=(x －y )2+(2x －1)2+(z －1)2≥0. ∴5x 2+y 2+z 2≥2xy +4x +2z －2 (当且仅当x =y =21且z =1时等号成立). 16.比较下列两个数的大小: (1)2－1与2－3； (2)2－3与6－5；(3)从以上两小题的结论中；你能否得出更一般的结论？并加以证明. 解法一:(变形后利用平方求差) (1)(2+3)2－(2+1)2=26－4＞0.故2+3＞2+1；即2－1＞2－3.(2)(2+5)2－(6+3)2=45－218=220－218＞0. 故2+5＞6+3；即2－3＞6－5.(3)一般结论:若n 是正整数； 则有1+n －n ＞3+n －2+n .证明过程与(1)(2)类似；从略. 解法二:(利用分子有理化)(1)∵2－1=121+；2－3=321+；而121+＞321+；故2－1＞2－3.(2)∵2－3=321+； 6－5=561+；而321+＞561+；故2－3＞6－5. (3)同解法一.注:本题的结论可推广到对一切n ∈R +都成立.17求证:ab b a +≥b a +(a ＞0；b ＞0). 思路一:从结论入手；探求、分析上一步成立的充分条件.证法一:(分析法)要证a b b a +≥b a +； 只要证a a +b b ≥a b +b a ； 即证3a +3b ≥ab (b a +).需证(b a +)(a －ab +b )≥ab (b a +)； 即a －ab +b ≥ab ；也就是要证a +b ≥2ab 成立.a +b ≥2ab 显然成立；∴原不等式成立. 思路二:从条件入手；利用已知不等式；逐次推理. 证法二:(综合法)∵a 、b 为正实数；∴a +b ≥2ab .又ba +b ≥2a ； ① a +ab ≥2b ；②①+②得b a +b +a +ab ≥2a +2b ；即abb a+≥b a +成立. 证法三:(作差比较法) (a b b a +)－(b a +) =(b a －b )+(ab －a )=b b a -+a a b -=abb a b a ))((--=abb a b a 2))((-+.∵a 、b 为正实数；∴b a +＞0；ab ＞0；(a －b )2≥0.于是有abb a b a 2))((-+≥0.∴ab ba +≥b a +.18某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)；高度恒定；它的后墙利用旧墙不花钱；正面用铁栅；每米长造价40元；两侧墙砌砖；每米造价45元；顶部每平方米造价20元；试算:仓库底面积S 的最大允许值是多少？此时铁栅长为多少？分析:本题考查不等式在实际中的应用.解:设铁栅长x m ；一堵墙长y m ；则有S =xy . 由题意得40x +2×45y +20xy =3200.应用二元均值不等式；得3200≥229040y x ⋅+20xy =120xy +20xy =120S +20S . ∴S +6S ≤160.∴(S －10)(S +16)≤0.由于S +16＞0；∴S －10≤0；即S ≤100.因此S 的最大允许值是100 m 2；当且仅当40x =90y ； 而xy =100；解得x =15； 即铁栅的长应为15 m.19.设f (x )=x 2－x +B ；实数a 满足|x －a |＜1；求证:|f (x )－f (a )|＜2(|a |+1). 分析:本题考查绝对值不等式|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |+|b |的应用.证明:∵f (x )－f (a )=x 2－x +B －a 2+a －B =x 2－a 2－(x －a )=(x －a )(x +a －1)； 又∵|x －a |＜1；∴|f (x )－f (a )|=|x －a |·|x +a －1|＜|x +a －1|=|x －a +2a －1|≤|x －a |+|2a －1|＜1+|2a |+1=2(|a |+1). ∴|f (x )－f (a )|＜2(|a |+1).20 经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内；某公路段汽车的车流量y (千辆/小时)与汽车的平均速度v (km/h)之间的函数关系为y =160039202++v v v(v >0). (1)在该时段内；当汽车的平均速度v 为多少时；车流量最大?最大车流量为多少?(精确到千辆/小时)(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时；则汽车的平均速度应在什么范围内? 分析:本题主要考查函数、不等式等基本知识；考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力.解:(1)依题意；y =)1600(3920vv ++≤160023920+=83920； 当且仅当v =v 1600；即v =40时；上式等号成立. 所以y max =83920≈11.1(千辆/小时).(2)由条件得160039202++v v v>10；整理得v 2－89v +1600<0； 即(v －25)(v －64)<0. 解得25<v <64.答:当v =40 km/h 时；车流量最大；最大车流量约为千辆/小时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/小时；则汽车的平均速度应大于25 km/h 且小于64 km/h.21已知a >b >0；求证:a b a 8)(2-<2b a +－ab <b b a 8)(2-.分析:本题主要考查利用分析法证明不等式. 证明:要证原不等式；只需证 a b a 4)(2-<a +b －2ab <b b a 4)(2- ⇔(a b a 2-)2<(a －b )2<(b b a 2-)2⇔a b a 2-<a －b <bba 2-⇔a b a 2+<1<b ba 2+⇔1+a b <2<b a +1 ⇔ a b <1<ba ⇔a b <1<ba . (*)由题设知不等式(*)成立；以上过程可逆；原不等式成立.。
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2017学年七宝中学高二上期末复习卷一． 填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）． 1.若42021x x=，则x =___________．2.已知一个关于x y 、的二元一次方程组的增广矩阵是，则+=x y ___________． 3.若数列{}n a 的前n 项和2321n S n n =-++*(N )n ∈，则lim 3n n an→∞=___________．4．已知圆22:1O x y +=与圆'O 关于直线5x y +=对称，则圆'O 的方程是___________．5．在坐标平面xOy 内，O为坐标原点，已知点1(2A -，将OA 绕原点按顺时针方向 旋转2π，得到'OA ，则'OA 的坐标为___________． 6．抛物线的焦点与双曲线的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近线的夹角为___________．7．若公差为d 的等差数列(){}n a n N *∈满足0143=+a a ，则公差d 的取值范围是___________．8．设P 是抛物线x y 82=上的点，F 为焦点，若5=PF ，则P 点坐标是 ___________．9．著名的斐波那契数列{}:1,1,2,3,5,8,n a …，满足()12211,n n n a a a a a n N *++===+∈，那么357920171a a a a a ++++++…是斐波那契数列中的第___________项．10．若不等式1)1(3)1(1+-+<⋅-+n a n n对任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是___________．11．在ABC ∆中，90A ∠=︒，ABC ∆的面积为1．若BM MC =，4BN NC =，则AM AN ⋅的最小值为___________．12．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且11=a ,12+=n n n a a S （*N ∈n ），若112)1(++-=n n nn a a n b ,则数列}{n b 的前n 项和=n T ___________． 二、选择题(本大题满分20分) 13．下列命题中，假命题的是( ) (A) 若z 为实数，则z z =(B)若z z =，则z 实数 (C) 若z 为实数，则z z ⋅为实数(D)若z z ⋅为实数，则z 为实数⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21021128y x =-2221x y a-=14、已知椭圆12222=+b y a x ，b a >，和双曲线12222=-ny m x 有相同的焦点21,F F ，若P 是两曲线的一个交点，则21PF PF ⋅等于( )A.22m a -B.22a m - C.b a - D.)(2122m a - 15．直线2x =与双曲线22:14x C y -=的渐近线交于,A B 两点，设P 为双曲线上任一点，若OP aOA bOB =+（,,a b R O ∈为坐标原点），则下列不等式恒成立的是( )A ．221a b +≥B ．1ab ≥C ．1a b +≥D ．2a b -≥16. 已知曲线1:2C y x -=与曲线222:4C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是( ) A. (,1][0,1)-∞-B. (1,1]-C. [1,1)-D. [1,0](1,)-+∞三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17(14分)．求过点A )1,0(-，且和双曲线122=-y x 只有一个公共点的直线l 的方程。
18、（14分）设虚数21,z z 满足221z z =（1）若21,z z 是一个实系数一元二次方程的两个根，求21,z z ； （2）若)0(11>+=m mi z 且21≤z ，复数32+=z ω，求ω的取值范围。
λ19. （14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,0)(2,0)(2,1)A B C --、、.设k 为非零实数，矩阵001,0110k M N ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，点A B C 、、在矩阵MN 对应的变换下得到点分别为1A 、1B 、1C ，111A B C ∆的面积是ABC ∆面积的2倍，求k 的值.20. （16分）已知椭圆2222:1x y a bΓ+=(0>>b a )的左、右焦点分别为1F 、2F ，且1F 、2F 与短轴的一个端点Q 构成一个等腰直角三角形，点)23,22(P 在椭圆Γ上，过点2F 作互相垂直且与x 轴不重合的两直线AB 、CD 分别交椭圆Γ于A 、B 、C 、D ，且M 、N 分别是弦AB 、CD 的中点． (1)求椭圆Γ的标准方程；(2)求证：直线MN 过定点2,03R ⎛⎫ ⎪⎝⎭； (3)求2MNF ∆面积的最大值．21. （18分）设等差数列}{n a 的公差为1d ，等差数列}{n b 的公差为2d ，记},,,max{2211n a b n a b n a b c n n n ---= ( ,3,2,1=n )，其中},,,max{21s x x x 表示s x x x ,,,21 这s 个数中最大的数．（1）若2n a n =，42n b n =-，求321,,c c c 的值，并猜想数列{}n c 的通项公式（不必证明）；（2）设n a n -=，2+-=n b n ，若不等式nc c c n n 221212132⋅<-++-+-λ 对不小于2的一切自然数n 都成立，求λ的取值范围；（3）试探究当无穷数列}{n c 为等差数列时，1d 、2d 应满足的条件并证明你的结论．2017学年七宝中学高二上期末复习卷二． 填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）． 1.若42021x x=，则x =________1_____．2.已知一个关于x y 、的二元一次方程组的增广矩阵是，则+=x y 6 ． 3.若数列{}n a 的前n 项和2321n S n n =-++*(N )n ∈，则lim 3n n an→∞= _ .4．已知圆22:1O x y +=与圆'O 关于直线5x y +=对称，则圆'O 的方程是__22(5)(5)1x y -+-=_____．5．在坐标平面xOy 内，O为坐标原点，已知点1(2A -，将OA 绕原点按顺时针方向 旋转2π，得到'OA ，则'OA 的坐标为___1)2____． 6．抛物线的焦点与双曲线的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近线的夹角为3π． 7．若公差为d 的等差数列(){}n a n N *∈满足0143=+a a ，则公差d 的取值范围是______(][),2 2.-∞-+∞_．8．设P 是抛物线x y 82=上的点，F 为焦点，若5=PF ，则P 点坐标是 )62,3(±9．著名的斐波那契数列{}:1,1,2,3,5,8,n a …，满足()12211,n n n a a a a a n N *++===+∈，那么357920171a a a a a ++++++…是斐波那契数列中的第___2008__项．10．若不等式1)1(3)1(1+-+<⋅-+n a n n对任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是_83,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭_____．11．在ABC ∆中，90A ∠=︒，ABC ∆的面积为1．若=，4=，则⋅的最小值为 45．12．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且11=a ,12+=n n n a a S （*N ∈n ），若112)1(++-=n n nn a a n b ,则数列}{n b 的前n 项和=n T __ 1)1(1+-+-n n 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-++-为偶数，为奇数n n nn n n ,1,12_____________.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21021128y x =-2221x y a-=二、选择题(本大题满分20分)13．下列命题中，假命题的是--------------------------------------------------------( D ) (A) 若z 为实数，则z z =(B)若z z =，则z 实数 (C) 若z 为实数，则z z ⋅为实数(D)若z z ⋅为实数，则z 为实数14、已知椭圆12222=+b y a x ，b a >，和双曲线12222=-ny m x 有相同的焦点21,F F ，若P 是两曲线的一个交点，则21PF PF ⋅等于（ A ）A.22m a -B.22a m -C.b a -D.)(2122m a - 15．直线2x =与双曲线22:14x C y -=的渐近线交于,A B 两点，设P 为双曲线上任一点，若OP aOA bOB =+（,,a b R O ∈为坐标原点），则下列不等式恒成立的是 CA ．221a b +≥B ．1ab ≥C ．1a b +≥D ．2a b -≥16. 已知曲线1:2C y x -=与曲线222:4C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是CA. (,1][0,1)-∞-B. (1,1]-C. [1,1)-D. [1,0](1,)-+∞三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17(14分)．求过点A )1,0(-，且和双曲线122=-y x 只有一个公共点的直线l 的方程。
解：当直线l 斜率不存在时，直线l 方程为0=x ，和双曲线没有公共点。
当直线l 斜率存在时，设斜率为k ，则直线l 方程为1-=kx y022)1(112222=-+-⇒⎩⎨⎧-==-kx x k kx y y x 当1±=k 时，直线l 和双曲线的渐近线平行，和双曲线只有一个公共点， 方程为1-±=x y当1±≠k 时，由0=∆得2±=k ，直线方程为12-±=x y 综上所述，所求直线方程为1-±=x y 或12-±=x y18、（14分）设虚数21,z z 满足221z z =（1）若21,z z 是一个实系数一元二次方程的两个根，求21,z z ；（2）若)0(11>+=m mi z 且21≤z ，复数32+=z ω，求ω的取值范围。
λ解：（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=i z i z 2321232121或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--=i z iz 2321232121 （2）)4,13[ 19. （14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,0)(2,0)(2,1)A B C --、、.设k 为非零实数，矩阵001,0110k M N ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，点A B C 、、在矩阵MN 对应的变换下得到点分别为1A 、1B 、1C ，111A B C ∆的面积是ABC ∆面积的2倍，求k 的值. 解：由题设得0010011010k k MN ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 由00220010001022k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，可知111(0,0)(0,-2)(,2)A B C k -、、.计算得ABC ∆面积的面积是1，111A B C ∆的面积是||k ，则由题设知：||212k =⨯=. 所以k 的值为2或2-.20. （16分）已知椭圆2222:1x y a bΓ+=(0>>b a )的左、右焦点分别为1F 、2F ，且1F 、2F 与短轴的一个端点Q 构成一个等腰直角三角形，点)23,22(P 在椭圆Γ上，过点2F 作互相垂直且与x 轴不重合的两直线AB 、CD 分别交椭圆Γ于A 、B 、C 、D ，且M 、N 分别是弦AB 、CD 的中点． (1)求椭圆Γ的标准方程；(2)求证：直线MN 过定点2,03R ⎛⎫ ⎪⎝⎭； (3)求2MNF ∆面积的最大值．【解】(1)因为21F QF ∆是等腰直角三角形，所以c b =，则b a 2=，把点)23,22(P 代入椭圆方程，得2=a ，1=b ，故椭圆C 的标准方程为1222=+y x ------------------4分 (2)设直线AB 的方程为1+=my x ，不妨设0>m ，点),(11y x A 、),(22y x B由⎪⎩⎪⎨⎧+==+11222my x y x ，得12)2(22=-++my y m ，则22221+-=+m my y ，242)(22121+=++=+m y y m x x ，则)2,22(22+-+m mm M ------------------7分 解法一、()()22222130332,,22212112123MR NR m m m m m k k m m m m ⎛⎫--- ⎪⎝⎭+====⎡⎤--⎛⎫---⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以MR NR k k =，故直线MN 恒过定点2(,0)3R ． ----------------------------------10分解法二、同理，可得)21,212(222mmm m N ++， 所以直线MN 的方程为2)22()1(23222+-+--=m mm x m m y 即)23)(2()2(2324-+=-+x m m y m m ，故直线MN 恒过定点2(,0)3R ． 10分(3)22222)2()122(||++-+=m m m MF 2224++=m m m ，同理2)1()1()1(||2242+--+-=mm m NF 2MNF ∆面积||||2122NF MF S ==2)1(412+++mm mm ，设21≥+=m m t ， 9141242≤+=+=tt t t S ，当且仅当2=t 即1=m 时，2MNF ∆面积取最大值91． 16分21. （18分）设等差数列}{n a 的公差为1d ，等差数列}{n b 的公差为2d ，记},,,m a x {2211n a b n a b n a b c n n n ---= ( ,3,2,1=n )，其中},,,max{21s x x x 表示s x x x ,,,21 这s 个数中最大的数．（1）若2n a n =，42n b n =-，求321,,c c c 的值，并猜想数列{}n c 的通项公式（不必证明）；（2）设n a n -=，2+-=n b n ，若不等式nc c c n n 221212132⋅<-++-+-λ 对不小于2的一切自然数n 都成立，求λ的取值范围；（3）试探究当无穷数列}{n c 为等差数列时，1d 、2d 应满足的条件并证明你的结论． 【解】(1)1231232,4,6,2,6,10a a a b b b ====== 当1n =时，{}{}111max max 00c b a =-==当2n =时，{}{}21122max 2,2max 2,22c b a b a =--=--=-当3n =时，{}{}3112233max 3,3,3max 4,6,84c b a b a b a =---=---=-1230,2,4c c c ∴==-=-，猜想()22n c n n N *=-+∈． ----------------4分(2) 当k N *∈，且2k n ≤≤时，()1110k k k k b na b na n -----=->所以},,,max{2211n a b n a b n a b c n n n ---= n a b n n -==2)1(+-n n 故nn c c c n )1(132121121212132-++⋅+⋅=-++-+- n 11-=----7分 由题意得n n n 211⋅<-λ即n n 21->λ对不小于2的一切自然数n 都成立．设n n n p 21-=，则022212111≤-=--=-+++n nn n n nn n p p 故max 231()4n p p p ===，所以λ的取值范围为14λ>． ----------------10分(3) 当k N *∈，且2k n ≤≤时，()()111121k k k k k k k k b na b na b b n a a d nd -------=---=-．下面分1110,0,0d d d =><三种情况进行讨论， ① 若10d =，则()112k k k k b na b na d -----= 于是当20d ≤时，()1120k k k k b na b na d -----=≤，则对于任意给定的正整数n ，()11111,1n n c b na c b n a +=-=-+，此时11n n c c a +-=-,∴数列{}n c 是等差数列--------11分；当20d >时，()1120k k k k b na b na d -----=>则对于任意给定的正整数n ，()1111,1n n n n n n c b na b na c b n a ++=-=-=-+，此时121n n c c d a +-=-，∴数列{}n c 是等差数列；----------------------12分② 若10d >，若212d d ≤，则必有21d nd ≤对任意()2n n N *≥∈成立．此时()11111,1n n c b na c b n a -=-=--，11n n c c a --=-，∴{}n c 是等差数列；14分若212d d >，则当213d d ≥时，111222333,2,3c b a c b a c b a =-=-=- 于是()2131220c c c d -+=≠，∴数列{}n c 不是等差数列；----------15分 当12123d d d <<时，111222311,2,3c b a c b a c b a =-=-=-于是()()213212220c c c d d -+=-≠，∴数列{}n c 不是等差数列；-------16分③ 若10d <，则必存在s N *∈，使得当n s ≥时，21d n d >，此时就有21d nd >， 即210d nd ->，此时()()121111n n n c b a n b n d a n d n =-⋅=+--+-⋅⎡⎤⎣⎦()()112111n c b nd a nd n +=+-+⋅+，所以11212n n c c n d d a +-=-⋅+-与正整数n 有关， ∴数列{}n c 不是等差数列．综合得，若}{n c 为等差数列，则有01>d 且212d d ≤或01=d ． -----18分。