奥数教程高一P275勘误

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高一数学错题和知识点

高一数学错题和知识点

高一数学错题和知识点对于许多高一学生来说,数学常常是一门令人头疼的科目。

尤其是在课堂上,老师提出的问题似乎总是与自己所学知识背离。

在高一时期,学生面临着许多新的数学概念和技巧,因此错题也时常发生。

本文将讨论一些常见的高一数学错题,并介绍相应的知识点以帮助学生改进。

1. 说出函数f(x) = |x|的定义域和值域。

错题分析:许多学生在这个问题上犯了错误,因为它涉及到绝对值函数。

他们可能会误以为绝对值只能保持为正数,因此定义域只包含正数。

解决方法:绝对值函数的定义域是整个实数集(即负无穷到正无穷),而值域是非负实数。

2. 解方程:2x - 5 = x + 3。

错题分析:这是一道简单的一次方程题,但是一些学生会犯以下错误:他们在解方程过程中将变量移到等式的另一侧时,忘记同时改变符号。

解决方法:正确的解题步骤是将x的系数移到等号的另一侧,并进行运算。

在这个例子中,可以通过将x的系数减去5和3,得到x = 8。

3. 求解三角形的面积:已知a = 5,b = 6,c = 8。

错题分析:这道题目需要学生运用海伦公式或正弦定理求解三角形的面积。

有些学生可能忘记其中一个公式,或者在应用公式时计算错误。

解决方法:学生需要记住海伦公式(s = (a + b + c) / 2)和正弦定理((a / sinA) = (b / sinB) = (c / sinC))。

应用这些公式,可以计算出三角形的面积。

4. 计算函数f(x) = (x + 1)²的导数。

错题分析:这个错误涉及到函数的导数概念。

许多学生会误以为在计算函数的导数时只需要直接计算平方。

解决方法:函数f(x) = (x + 1)²的导数可以通过应用链式法则计算。

首先求导数公式为d(u²) / dx = 2u,其中u = (x + 1)。

因此,函数f(x)的导数为f'(x) = 2(x + 1)。

5. 确定下列集合的并集:A = {1, 2, 3},B = {3, 4, 5},C = {5, 6}。

高一上数学纠错知识点

高一上数学纠错知识点

高一上数学纠错知识点高一上学期数学纠错知识点高一是学习数学的关键一年,对于学习数学的基础知识和方法的掌握至关重要。

在这个阶段,很多学生容易出现一些常见的错误。

本文将针对高一上学期数学中的常见错误进行分析和纠正,帮助同学们更好地掌握数学知识。

误区一:运算符号的理解不清很多同学在算式中常常犯错的一个问题是对运算符号的理解不清。

比如,乘号和加号的混淆。

乘号表示两个数相乘,而加号则表示两个数相加。

同样,减号表示两个数相减,除号表示两个数相除。

在做题的时候,同学们要注意仔细辨别运算符号的含义,避免因为这个简单而常见的错误导致答案错误。

误区二:分式的运算错误分式是高一上学期数学中的一个重点和难点,也是容易出错的地方之一。

很多同学在进行分式的运算时,容易漏写括号或者忽略运算规则。

例如,分式的乘法是将分子和分母分别相乘,分式的除法是将分子和分母分别倒置,然后进行乘法运算。

在运算分式时,同学们应该仔细按照运算规则进行计算,注意每一步的细节,避免运算错误。

误区三:函数图像的绘制错误在高一上学期数学中,学生需要学习函数的概念和函数图像的绘制。

然而,很多同学容易在绘制函数图像时出现错误。

比如,没有正确读取函数的定义域和值域,或者没有理解函数的性质和规律。

在绘制函数图像时,同学们要仔细读取题目中给出的函数定义,并根据定义来确定函数图像的形状和特点。

此外,在绘制图像时,也要注意适当选择坐标轴的刻度和范围,以便更好地展示函数的特点。

误区四:无规律的计算次序在解决数学问题时,同学们有时候会采取无规律的计算次序,导致答案错误或者花费不必要的时间。

比如,在多项式运算中,同学们应该按照乘法和除法的次序进行计算,先算乘法,再算除法。

又如,在解方程时,同学们应该按照从左到右的次序进行计算,先算等式左边,再算等式右边。

在解决数学问题时,同学们要有合理的计算次序,遵循数学运算的法则,避免因为计算次序的错误而导致答案错误。

误区五:数学符号的混淆在数学中,有很多种不同的符号和记号,容易引起混淆。

高一上数学纠错知识点汇总

高一上数学纠错知识点汇总

高一上数学纠错知识点汇总数学作为一门学科,对于高中生来说是一门必修课程,也是考试成绩的重要组成部分。

然而,由于知识点的复杂性和学习方法的不当,很多同学在学习数学时容易出现一些错误。

为了帮助大家更好地掌握数学知识,以下是高一上学期常见的数学纠错知识点汇总。

一、代数与函数1. 二项式展开错误在展开一个二项式时,有些同学容易出现错误。

例如,将(a+b)^2错误地展开为a^2+b^2,而正确应该是(a+b)(a+b)=a^2+2ab+b^2。

2. 分式运算错误在分式的运算中,有些同学容易丢失括号或错误地进行通分、约分等操作。

因此,在进行分式运算时,要特别注意每一步的准确性。

3. 函数图像绘制错误在绘制函数的图像时,有些同学容易忽视关键点的坐标信息,或者忽略函数在不同区间的增减性等重要特征。

为了正确绘制函数的图像,需要细致地分析函数的性质,并将其正确地反映在图像上。

二、几何与三角学1. 角度误解在解题时,有些同学会将角度的度数和弧度弄混。

例如,将60度误认为是π/6弧度。

因此,在解题时,要清楚地理解角度的度数和弧度之间的关系,避免出现错误。

2. 几何证明缺乏严谨性在几何证明过程中,有些同学容易遗漏步骤或者缺乏严谨性。

例如,在证明两条线段等长时,对等长线段的定义和性质不够理解。

因此,在几何证明时,要严谨地书写每一步骤,避免出现错误。

3. 平面几何问题处理错误在解决平面几何问题时,有些同学容易将平行线和垂直线的性质混淆。

例如,将两条平行线的内角定义为180度,而实际上应该是两条平行线的内角相等。

因此,在解决平面几何问题时,要准确理解每个概念的定义和性质。

三、数列与数系1. 数列求和错误在求解数列的和时,有些同学容易忽略求和上下限,或者公式的正确性。

因此,在求解数列的和时,要认真审题,理解数列的求和公式,并正确地运用。

2. 分数的性质不熟悉在数系的学习中,有些同学对分数的运算性质不够熟悉,如分数的化简、分数的乘除法等。

高中必修1-5错解分析--第1-3章修改稿

高中必修1-5错解分析--第1-3章修改稿

第一章 集合与常用逻辑用语§1.1 集合的概念与运算一、知识导学1.集合:一般地,一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.2.元素:集合中的每一个对象称为该集合的元素,简称元.3.子集:如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素(若A a ∉则B a ∈),则称 集合A 为集合B 的子集,记为A ⊆B 或B ⊇A ;如果A ⊆B ,并且A ≠B ,这时集合A 称为集合B 的真子集,记为A B 或B A.4.集合的相等:如果集合A 、B 同时满足A ⊆B 、B ⊇A ,则A=B.5.补集:设A ⊆S ,由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集,记 为 A C s .6.全集:如果集合S 包含所要研究的各个集合,这时S 可以看做一个全集,全集通常 记作U.7.交集:一般地,由所有属于集合A 且属于B 的元素构成的集合,称为A 与B 的交集, 记作A ⋂B.8.并集:一般地,由所有属于集合A 或者属于B 的元素构成的集合,称为A 与B 的并 集,记作A ⋃B.9.空集:不含任何元素的集合称为空集,记作Φ.10.有限集:含有有限个元素的集合称为有限集.11.无限集:含有无限个元素的集合称为无限集.12.集合的常用表示方法:列举法、描述法、图示法(Venn 图).13.常用数集的记法:自然数集记作N ,正整数集记作N +或N *,整数集记作Z ,有理数集记作Q ,实数集记作R .二、疑难知识导析1.符号⊆,,⊇,,=,表示集合与集合之间的关系,其中“⊆”包括“”和“=”两种情况,同样“⊇”包括“”和“=”两种情况.符号∈,∉表示元素与集合之间的关系.要注意两类不同符号的区别.2.在判断给定对象能否构成集合时,特别要注意它的“确定性”,在表示一个集合时,要特别注意它的“互异性”、“无序性”.3.在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质.4.对由条件给出的集合要明白它所表示的意义,即元素指什么,是什么范围.用集合表示不等式(组)的解集时,要注意分辨是交集还是并集,结合数轴或文氏图的直观性帮助思维判断.空集是任何集合的子集,但因为不好用文氏图形表示,容易被忽视,如在关系式中,B =Φ易漏掉的情况.5.若集合中的元素是用坐标形式表示的,要注意满足条件的点构成的图形是什么,用数形结合法解之.6.若集合中含有参数,须对参数进行分类讨论,讨论时既不重复又不遗漏.7.在集合运算过程中要借助数轴、直角坐标平面、Venn 图等将有关集合直观地表示出来.8.要注意集合与方程、函数、不等式、三角、几何等知识的密切联系与综合使用.9.含有n 个元素的集合的所有子集个数为:n 2,所有真子集个数为:n 2-1三、经典例题导讲[例1] 已知集合M={y |y =x 2+1,x∈R },N={y|y =x +1,x∈R },则M∩N=( )A .(0,1),(1,2)B .{(0,1),(1,2)}C .{y|y=1,或y=2}D .{y|y≥1}错解:求M∩N 及解方程组⎩⎨⎧+=+=112x y x y 得⎩⎨⎧==10y x 或 ⎩⎨⎧==21y x ∴选B错因:在集合概念的理解上,仅注意了构成集合元素的共同属性,而忽视了集合的元素是什么.事实上M 、N 的元素是数而不是实数对(x,y ),因此M 、N 是数集而不是点集,M 、N 分别表示函数y =x 2+1(x∈R ),y =x +1(x∈R )的值域,求M∩N 即求两函数值域的交集.正解:M={y |y =x 2+1,x∈R }={y |y ≥1}, N={y|y=x +1,x∈R }={y|y∈R }.∴M∩N={y |y ≥1}∩{y|(y∈R)}={y |y ≥1}, ∴应选D .注:集合是由元素构成的,认识集合要从认识元素开始,要注意区分{x |y =x 2+1}、{y |y =x2+1,x ∈R }、{(x ,y )|y =x 2+1,x ∈R },这三个集合是不同的.[例2] 已知A={x |x 2-3x +2=0},B={x |ax -2=0}且A∪B=A,求实数a 组成的集合C . 错解:由x 2-3x +2=0得x =1或2.当x =1时,a =2, 当x =2时,a=1.错因:上述解答只注意了B 为非空集合,实际上,B=时,仍满足A∪B=A .当a =0时,B=,符合题设,应补上,故正确答案为C={0,1,2}.正解:∵A∪B=A ∴B A 又A={x |x 2-3x +2=0}={1,2}∴B=或{}{}21或 ∴C={0,1,2}[例3]已知m ∈A,n ∈B, 且集合A={}Z a a x x ∈=,2|,B={}Z a a x x ∈+=,12|,又C={}Z a a x x ∈+=,14|,则有: ( )A .m +n ∈A B. m +n ∈B C.m +n ∈C D. m +n 不属于A ,B ,C 中任意一个错解:∵m ∈A ,∴m =2a ,a Z ∈,同理n =2a +1,a ∈Z, ∴m +n =4a +1,故选C错因是上述解法缩小了m +n 的取值范围.正解:∵m ∈A, ∴设m =2a 1,a 1∈Z , 又∵n B ∈,∴n =2a 2+1,a 2∈ Z ,∴m +n =2(a 1+a 2)+1,而a 1+a 2∈ Z , ∴m +n ∈B, 故选B.[例4] 已知集合A={x|x 2-3x -10≤0},集合B={x|p +1≤x≤2p-1}.若BA ,求实数p 的取值范围.错解:由x 2-3x -10≤0得-2≤x≤5. 欲使B A ,只须3351212≤≤-⇒⎩⎨⎧≤-+≤-p p p ∴ p 的取值范围是-3≤p≤3.错因:上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"这一结论,即B=时,符合题设. 正解:①当B≠时,即p +1≤2p-1p≥2.由B A 得:-2≤p+1且2p -1≤5.由-3≤p≤3.∴ 2≤p≤3②当B=时,即p +1>2p -1p <2.由①、②得:p≤3.点评:从以上解答应看到:解决有关A∩B=、A∪B=,A B 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解,这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题.[例5] 已知集合A={a,a +b,a +2b},B={a,ac,ac 2}.若A=B ,求c 的值.分析:要解决c 的求值问题,关键是要有方程的数学思想,此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性,无序性建立关系式.解:分两种情况进行讨论.(1)若a +b=ac 且a +2b=ac 2,消去b 得:a +ac 2-2ac=0,a=0时,集合B 中的三元素均为零,和元素的互异性相矛盾,故a≠0.∴c 2-2c +1=0,即c=1,但c=1时,B 中的三元素又相同,此时无解.(2)若a +b=ac 2且a +2b=ac ,消去b 得:2ac 2-ac -a=0,∵a≠0,∴2c 2-c -1=0,即(c -1)(2c +1)=0,又c≠1,故c=-21. 点评:解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解,这需要解题后进行检验. [例6] 设A 是实数集,满足若a∈A,则a -11∈A ,1≠a 且1∉A. ⑴若2∈A,则A 中至少还有几个元素?求出这几个元素.⑵A 能否为单元素集合?请说明理由.⑶若a∈A,证明:1-a1∈A. ⑷求证:集合A 中至少含有三个不同的元素.解:⑴2∈A ⇒ -1∈A ⇒21∈A ⇒ 2∈A ∴ A 中至少还有两个元素:-1和21 ⑵如果A 为单元素集合,则a =a -11 即12+-a a =0该方程无实数解,故在实数范围内,A 不可能是单元素集⑶a∈A ⇒ a -11∈A ⇒ a --1111∈A ⇒111---a a ∈A ,即1-a 1∈A ⑷由⑶知a∈A 时,a-11∈A, 1-a 1∈A .现在证明a,1-a 1, a -11三数互不相等.①若a=a -11,即a2-a+1=0 ,方程无解,∴a ≠a-11 ②若a=1-a 1,即a 2-a+1=0,方程无解∴a ≠1-a1 ③若1-a 1 =a -11,即a2-a+1=0,方程无解∴1-a 1≠a -11. 综上所述,集合A 中至少有三个不同的元素.点评:⑷的证明中要说明三个数互不相等,否则证明欠严谨.[例7] 设集合A={a |a =12+n ,n ∈N +},集合B={b |b =542+-k k ,k ∈N +},试证:A B .证明:任设a ∈A,则a =12+n =(n +2)2-4(n +2)+5 (n ∈N +), ∵ n∈N*,∴ n +2∈N*∴ a∈B 故 ①显然,1{}*2,1|Nn n a a A ∈+==∈,而由 B={b |b =542+-k k ,k ∈N +}={b |b =1)2(2+-k ,k ∈N +}知1∈B,于是A≠B②由①、② 得A B .点评:(1)判定集合间的关系,其基本方法是归结为判定元素与集合之间关系.(2)判定两集合相等,主要是根据集合相等的定义.四、典型习题导练1.集合A={x|x 2-3x -10≤0,x ∈Z},B={x|2x 2-x -6>0, x ∈ Z},则A ∩B 的非空真子集的个数为( )A .16B .14C .15D .322.数集{1,2,x 2-3}中的x 不能取的数值的集合是( )A .{2,-2 }B .{-2,-5 }C .{±2,±5 }D .{5,-5}3. 若P={y|y=x 2,x∈R},Q={y|y=x 2+1,x∈R},则P∩Q 等于( )A .PB .QC .D .不知道4. 若P={y|y=x 2,x∈R},Q={(x ,y)|y=x 2,x∈R},则必有( )A .P∩Q=B .P QC .P=QD .PQ5.若集合M ={11|<xx },N ={x |2x ≤x },则M N = ( ) A .}11|{<<-x x B .}10|{<<x xC .}01|{<<-x xD .∅6.已知集合A={x|x 2+(m +2)x +1=0,x∈R },若A∩R +=,则实数m 的取值范围是_________.7.(06高考全国II 卷)设a R ∈,函数2()22.f x ax x a =--若()0f x >的解集为A ,{}|13,B x x A B φ=<<≠,求实数a 的取值范围。

高一下学期数学北师大版必修第二册第一章三角函数易错题精析课件

高一下学期数学北师大版必修第二册第一章三角函数易错题精析课件
sin − cos = −
13
13
12
5
∴ tan = − 或 .
5
12
12
5
sin =
sin = −
13
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5
12
cos = −
cos = −
13
13
四、忽视角的范围致错
【例5】已知 ∈ 0 , + =
【正解】∵ + =
7

13
7
,求tanα的值.

11

2
三、复合函数单调区间时忽视自变量的符号
【例3】求函数 = 2sin

4
− 2 的递增区间.

4
【错解】令 = − 2 ,则 = 2sin在 2 −

8
∴ − ≤ ≤ +
∴函数 = 2sin

4
3
8

2
2 +

2
上是增函数,
∈ .
− 2 的递增区间为 −

8
+
3
8
∈ .
三、复合函数单调区间时忽视自变量的符号
【例3】求函数 = 2sin

4
− 2 的递增区间.

4

4
【正解】令 = − 2 ,则 = − 2在R上是减函数,要求 = 2sin

4
− 2 的增区间,
只需求y=2sin u的递减区间.

2

4
∴2 + ≤ − 2 ≤ 2 +
1
7
1
3
【例4】已知tan = , tan = , 、 均为锐角,求 α+2β 的值.

理科高中一年级数学常见错误分析

理科高中一年级数学常见错误分析

理科高中一年级数学常见错误分析在理科高中一年级的数学学习中,学生们常常犯下一些常见的错误。

这些错误不仅令他们在学术上遇到困难,也可能影响他们对数学的整体理解和兴趣。

通过深入分析这些常见错误,我们可以更好地理解学生思维中的困惑,并提供有效的教学策略来帮助他们克服这些障碍。

首先,让我们来谈谈“公式混淆”这一常见问题。

公式在数学中是解题的基础,但学生们有时会将公式应用在不适合的情境中。

例如,他们可能会错误地使用线性方程的求解公式来解决二次方程问题,这导致了解答的错误和理解的混乱。

这类错误通常源于对公式用途和条件的理解不足,因此需要通过具体案例的解析和实际应用来帮助学生明确不同公式的使用场景。

其次,我们需要关注“概念混淆”这一问题。

数学中的许多概念是相互关联的,但学生们有时会混淆它们或者误解它们的本质。

例如,在代数学习中,学生可能会混淆因式分解和方程求解的步骤,导致最终答案不正确。

这类误解往往需要通过清晰的概念讲解和实际的示范问题来加以纠正,帮助学生建立起正确的数学思维模式和逻辑推理能力。

另一个常见的问题是“运算错误”。

尽管数学运算看似简单,但学生们常常在加减乘除等基本运算中出现粗心或计算错误。

例如,在长算术或者代数计算中,小的运算错误可能会导致整个问题的答案错误。

为了帮助学生提高运算准确性,教师可以倡导反复检查和使用辅助工具,如计算器或者草稿纸,来降低这类错误的发生率。

最后,还有一个重要的问题是“问题理解不透彻”。

数学问题通常需要学生充分理解题目中的条件和要求,然后才能正确地进行解答。

然而,学生有时会因为对问题的理解不透彻而在解答中偏离主题或者丢失关键信息。

为了解决这个问题,教师可以通过引导性问题、讨论和实际案例来帮助学生提升问题理解能力,从而更有效地解决数学问题。

总结而言,理科高中一年级的数学学习中常见的错误涵盖了公式混淆、概念混淆、运算错误以及问题理解不透彻等方面。

针对这些问题,教师可以通过详细分析学生的具体错误,并采用适当的教学策略和方法来帮助他们克服困难,提升数学学习的效果和深度。

《数学奥林匹克小丛书》(第三版)高中卷A辑勘误图示(2020.9.22更新) (1)

《数学奥林匹克小丛书》(第三版)高中卷A辑勘误图示(2020.9.22更新) (1)

《数学奥林匹克小丛书》(第三版)高中卷A辑勘误图示高中卷A辑 2 函数与函数方程
1.75页例10勘误如图
2.159页第9题解析勘误如图
高中卷A辑 3 三角函数1.6页例4解析勘误如图
2.29页例2解法一勘误如图
3.74页例14解析勘误如图
5.128页例1解析勘误如图
6.137页例12勘误如图
8.156页第1题勘误如图
9.174页第16题勘误如图
高中卷A辑 4 平均值不等式与柯西不等式1.4页证法三说明勘误如图
高中卷A辑 6 复数与向量1.11页勘误如图
2.23页例3解析勘误如图
高中卷A辑7 解析几何1.33页第7题勘误如图
2.86页例14图4.16勘误如图
3.88页例17图
4.20勘误如图
4.96页例5解析勘误如图
5.141页例3解析勘误如图
6.176页第一段勘误如图
高中卷A辑8 高中数学竞赛中的解题方法与策略1.168页例9解析。

考试指导从书正文内容勘误.docx

考试指导从书正文内容勘误.docx

考试指导从书正文内容勘误1.P28第1题D选项改为“物体的温度升高,它的内能增加”2.P41第8题原实物图上的电阻忌改为川,原&改为忌3.P68 第28 题表格屮最高车速是36km/h;电动机的额定功率:500W,电池规格:48V/20Ah第3问广电动自行车的正常工作电流徴为“电动自行车的工作电流二参考答案第一单元声现象l.D 2.D 3.A 4.A 5.B 6.C 7.A &D 9.A 10.A 11.阻隔噪音传播到人耳12.声音能在水屮传播空气13.狗狗海豚钢琴的最低音14.响度音色音调15.较好16.信息能量17.大高1&声的反射笫二单元光现彖l.B 2.D 3.D 4.B 5.D 6.C 7.A 8.B 9.这是由于光的直线传播所形成的太阳的像正立等大虚倒立缩小实10.玄线传播反射虚像11.漫反射黑12•光的反射光的折射虚13.远近14.(提示:作出球心关于镜面的对称点,再以相同的半径作圆,作出的圆用虚线表示)15.略16.略笫三单元热现象l.A 2.B 3.B 4.A 5.C 6.D 7.C 8.D 9.D 10.液化液化液化需要放热11.液化吸热12.(1)温度现象(2)B A(3)85°C丙(4)降低杯内气压降低使杯内水的沸点降低笫四单元热和能l.D 2.C 3.B 4.B 5.C 6.C 7.A 8.C 9.D 10.热值11. 8.4x10’14°C 28 12.机械内内机械做功惯性13.化学机械14.热传递水的比热容较大高温蒸汽对壶盖做功(或内能转换为机械能)15. (1)做功(2)热传递(3)热传递16.1.84X107J4.6x107J/kg 17.2.1X107J1.05X107J50%1. C2. A3. B4.C 5 .正 电路电阻第六单元 欧姆定律l.B 2.B 3.A 4.A 5.0.9A 50Q 6.12Q 12Q 0.25A 12Q7. (1)电阻一定时,导体中的电流跟导体两端的电压成正比电压一定时,导体中的电流跟导休的电阻成反比 (2) 大于右8. (1)电压表可能与滑动变阻器并联,测虽滑动变阻器两端的电压 (2) 8.3(3)灯丝的电阻随温度升高而变人 容易(4)电路如右图,步骤:按图连接电路,断开S 测出滑动变阻器两端的电压 II — IIU"闭合s,测出总电压U 。

高一数学常见错误总结

高一数学常见错误总结

高一数学常见错误总结高一是一个学习数学的重要阶段,学生在这个阶段常常会犯一些常见的错误。

本文将总结一些高一学生经常犯的数学错误,并提供正确的解决方案。

一、基础知识错误1. 未掌握基本运算规则:一些学生没有熟练掌握加减乘除等基本运算的规则,导致在计算中出现错误。

解决方案是多进行题目练习,加强对基本运算规则的理解和掌握。

2. 混淆数字的含义:有些学生容易混淆常用数字的表示方式,如小数、分数和百分数等。

解决方案是通过大量的练习和实际应用来加深对这些数字表示方式的理解。

3. 未正确理解数学概念:有些学生对于数学概念的理解不够深入,导致在解决问题时出现错误。

解决方案是通过阅读教材和参考书籍,加深对数学概念的理解,并进行实际应用。

二、解题方法错误1. 盲目套用公式:一些学生在解题时过于依赖公式,盲目套用而不考虑具体问题的条件。

解决方案是仔细分析问题,根据具体条件选择合适的解题方法。

2. 计算错误:部分学生在解题时出现计算错误,如漏算、错算或计算过程不清晰。

解决方案是在计算过程中注重细节,避免粗心错误,并在解答过程中给出清晰的计算步骤。

3. 不善于建立数学模型:有些学生在解决实际问题时没有建立恰当的数学模型,导致解答错误。

解决方案是在解题过程中培养建立数学模型的能力,注重问题的抽象和数学化。

三、思维方法错误1. 机械记忆:一些学生只注重记忆公式和方法,缺乏对数学思想的理解。

解决方案是注重理解数学的本质和思维方法,而不仅仅把数学当成一门死记硬背的学科。

2. 缺乏实际应用:部分学生只将数学作为一门抽象的学科,缺乏与实际应用的联系。

解决方案是鼓励学生运用数学知识解决实际问题,增强数学的实用性和兴趣。

四、注意力不集中和粗心大意1. 粗心大意:有些学生由于粗心或匆忙,经常在计算中出现简单的错误,如搬错数字、写错符号等。

解决方案是在解题过程中保持专注和耐心,仔细检查和审查答案。

2. 解题步骤混乱:部分学生在解题时,步骤不清晰,容易跳过重要的中间过程,影响最终结果的正确性。

高数上册勘误

高数上册勘误

高等数学上册勘误第19页 第19行, “曲线”删去。

第44页 第14行, “221ln(2)1ln(21)1lim 4arctan 4arctan1x x x x π→+---==”改为“221ln(2)1ln(21)1lim 4arctan 4arctan1x x x x π→+-+-==”。

第49页 习题1.7 B 组第2题, “()f x 在[0,1]上为连续函数,”删去。

第50页 第5行将“的定义域”删去。

第60页 第2题的(2)删去,题号顺延。

第63页 倒数第3行,等式中间式子前面的负号去掉。

第77页 第1题的(3)删去,题号顺延。

第78页 B 组 第1题的(1)题目改为2cos 0;x y y ++=第5题“将水注入深8m ,上顶直径8m 的”改为“将水注入一”。

第82页 第6行等式右端dx 删去。

第83页 倒数第7行, “用x 弧度表示”改为“x 用弧度表示” 第90页 例9加条件“0a >”。

第92页 第4行,“,”改为“;”,然后换行。

第92页 倒数第7行, “若把0x x →换成0x x +→,0x x -→,x →∞,x →+∞ 或x →-∞时,只需对其中的假设(2)作相应的修改,”改为“若把0x x →换成0x x +→或0x x -→,把x →∞换成x →+∞或x →-∞时,只需对其中的假设作相应的修改,”。

第95页 第2题删去,题号顺延。

第96页 第2行第(4)小题删去,题号顺延。

第98页 第3行右端0x x -要加绝对值。

倒数第6行最后的1(1)!(1)n n x +-+改为(1)!(1)nn x -+ 第99页 第6行“3sin ()x x o x =+”改为“2sin ()x x o x =+”第100页 B 组的极限过程由“x →∞”改为“0x →”。

第104页 第16行,“18x =±”后面加上“(舍负)”。

第105页 第2题;第4题两题删去,题号顺延。

《高等数学解题方法技巧归纳(上册)》(第11次印刷勘误)勘误汇总表

《高等数学解题方法技巧归纳(上册)》(第11次印刷勘误)勘误汇总表
《高等数学解题方法技巧归纳(上册)》勘误汇总表 第二版第 11 次印刷
注:此为读者(QQ:54605167)个人修改意见,非毛纲源老师修改意见,如有不同看法,欢迎讨论。 序号 1 2新 位置 8页 2行 57 页 3 行 118 页习题 2.2 第一题 (附录对应部分还没 有改) 246 页第 2 题(新) 246 页第 3 题(新) 254 页例 2 题 287 页公式 4.6.3(新 版勘误错误) 300 页倒数 5 行 303 页习题 5.2 第 1 题 311 页例 10
x0

x 2 a 2 dx

x 2 a2 x a x 2 arcsin C 2 2 a
2 arcsin C 2 2 a

2 0

2 0
f sin x (漏了 dx)

f sin x dx
题号前添加[1997 年 2] [2002 年 1,2](不是数 1 真题) [2002 年 2]
2
习题 3.12
2. y 2 x 2 / 1 x 2 改为 y 2 x 2 / 1 x (注:11 次印刷新错误)
2
3 4 5 6
习题 4.4 新 习题 4.5 新 习题 7.4 习题 7.7
9. 原式
1 dx 2 1 dx 2 原式 改为 2 x 3 1 x 4 1 2 x 4 1 x 4 1
F ' x f x
F x f 2
13
393 页
图 6.3.5 画错
习题答案或提示勘误汇总表
序号 1 章节 习题 3.1 修改
1 1 a1 x n 1 (最后一项还没修改) 1. F ( x) a0 x a1 x 2 2 n 1

高一奥数竞赛试题及答案

高一奥数竞赛试题及答案

高一奥数竞赛试题及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 若实数a、b满足a^2 + b^2 = 1,则下列不等式中恒成立的是()。

A. a + b ≤ √2B. a + b ≥ √2C. a + b ≤ 1D. a + b ≥ 1答案:A解析:根据柯西-施瓦茨不等式(Cauchy-Schwarz Inequality),对于任意实数a和b,有(a^2 + b^2)(1^2 + 1^2) ≥ (a + b)^2。

因为a^2 + b^2 = 1,所以1 × 2 ≥ (a + b)^2,即a + b ≤ √2。

2. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 1,求f(-1)的值()。

A. 3B. -3C. -1D. 1答案:A解析:将x = -1代入函数f(x) = x^3 - 3x + 1,得到f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3。

3. 已知数列{an}满足a1 = 1,an+1 = 2an + 1,求a5的值()。

A. 15B. 31C. 63D. 127答案:B解析:根据递推关系an+1 = 2an + 1,可以逐步计算得到:a2 = 2a1 + 1 = 2 × 1 + 1 = 3a3 = 2a2 + 1 = 2 × 3 + 1 = 7a4 = 2a3 + 1 = 2 × 7 + 1 = 15a5 = 2a4 + 1 = 2 × 15 + 1 = 314. 已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c,且a^2 + b^2 = c^2,求角C的大小()。

A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案:D解析:根据勾股定理,若a^2 + b^2 = c^2,则三角形ABC为直角三角形,且角C为直角,即C = 90°。

二、填空题(每题5分,共20分)5. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3,求f(x)的最小值。

新高一数学纠错知识点总结

新高一数学纠错知识点总结

新高一数学纠错知识点总结一、函数与方程在高一数学学习的初期,函数与方程的概念是基础中的基础。

然而,由于对这些概念的理解不深入,学生们容易犯以下几个常见错误。

错误1:函数与方程的混淆函数和方程是两个不同的数学概念。

函数是一个或多个输入值(自变量)通过某个确定的规则映射到一个或多个输出值(因变量)的关联关系;而方程则是关于未知数的等式。

因此,当题目要求求解方程时,我们应该使用方程解法,而不是函数的方法。

错误2:未区分线性函数和线性方程线性函数和线性方程又是两个常常混淆的概念。

线性函数是一个自变量和因变量之间呈现线性关系的函数,可表示为y = ax + b;而线性方程则是未知数为一次的方程,常表达为ax + b = 0。

学生们应该在运用这些概念时注意区分,不要将其混淆。

二、数列与级数数列与级数是进一步学习数学的重要内容。

在学习过程中,我们常常会犯以下两个错误。

错误1:没有掌握数列的通项公式数列的通项公式是计算数列各项的便捷方法。

许多数列都存在一定的规律,通过这些规律我们可以找到数列的通项公式。

然而,有些学生在应用数列时较为纠结于计算每一项,而忽略了寻找通项公式的重要性。

因此,我们在学习数列时,应该注重培养寻找通项公式的能力。

错误2:混淆数列与级数之间的关系数列和级数之间有着密切的联系,但它们也是两个不同的概念。

数列是有序排列的一系列数,级数是数列各项之和。

误用这两个概念将导致解题错误。

在解决数列和级数问题时,我们要仔细分析题目的要求,确保使用正确的概念和方法。

三、解三角函数方程解三角函数方程是高中数学的一大难点。

在解题过程中,我们常常会犯以下两个错误。

错误1:没有熟练掌握三角函数的性质三角函数的性质是解三角函数方程的重要基础。

例如,正弦函数和余弦函数的值域在[-1,1]之间,正切函数的周期为π,等等。

只有熟练掌握这些性质,我们才能更好地理解和解决三角函数方程。

错误2:忽略特殊解在解三角函数方程时,我们应该特别注意特殊解。

高一奥数定理知识点

高一奥数定理知识点

高一奥数定理知识点高一是数学学科的重要阶段,奥数定理是其中的核心知识点之一。

本文将介绍高一奥数定理知识点,帮助同学们对相关定理有更深入的理解。

1. 同余定理(Congruence Theorem)同余定理是数论中的重要概念,表示两个整数在某个模数下具有相同的余数。

同余定理有如下几种形式:- 欧拉定理:若a与n互质,则a^φ(n)≡1(mod n)。

其中φ(n)表示小于n且与n互质的正整数的个数。

- 费马小定理:若p为素数,且a为不是p的倍数的整数,则a^(p-1)≡1(mod p)。

- 中国剩余定理:设n1,n2,...,nk互质,且m1,m2,...,mk为任意整数,则对于任意整数a,同余方程组x≡m1(mod n1),x≡m2(modn2),...,x≡mk(mod nk)在模n1,n2,...,nk下有唯一解。

同余定理在密码学和模运算等领域有广泛应用。

2. 路数定理(Fermat's Little Theorem)费马小定理是和同余定理相关的重要定理,是中国剩余定理的特例。

费马小定理表明,对于任意素数p和不是p的倍数的整数a,a^(p-1)≡1(mod p)。

这一定理在密码学中常用于素数测试和模运算的简化。

3. 欧拉函数(Euler's Totient Function)欧拉函数是一个重要的数论函数,用φ(n)表示。

欧拉函数φ(n)定义为小于n且与n互质的正整数的个数。

根据欧拉函数的性质,可以得到:- 对于质数p,φ(p) = p - 1。

- 对于两个互质的整数m和n,有φ(mn) = φ(m)φ(n)。

- 对于任意正整数n,有n = ∏(p^k * φ(p^k))。

其中p为n的不同质因数,k为其对应的指数。

欧拉函数在密码学和数论中起到重要的作用,与同余定理、费马小定理等联系密切。

4. 二项式定理(Binomial Theorem)二项式定理是代数中的重要定理,用于展开(x+a)^n的幂,其中x和a为实数,n为非负整数。

高中必修1-5错解分析--第11-13章修改稿

高中必修1-5错解分析--第11-13章修改稿

第十一章 数系的扩充与复数§11.1 数系的扩充与复数的概念一、知识导学1. 复数:形如bi a +的数(b a ,R ∈),复数通常有小写字母z 表示,即bi a z +=,其中a 叫做复数的实部、b 叫做复数的虚部,i 称做虚数单位.2. 分类:复数bi a +(b a ,R ∈)中,当0=b 时,就是实数;除了实数以外的数,即当b 0≠时,bi a +叫做虚数;当0=a ,b 0≠时,叫做纯虚数.3. 复数集:全体复数所构成的集合.4. 复数相等:如果两个复数bi a +与di c +的实部与虚部分别相等,记作:bi a +=di c +.5. 复平面、实轴、虚轴:建立直角坐标系来表示复数的平面.在复平面内,x 轴叫做实轴,y 轴叫做虚轴.6. 复数的模:设oz =bi a +,则向量oz 的长度叫做复数bi a +的模(或绝对值),记作bi a +. (1)22b a bi a z +=+=; (2)21z z +=12z z +; (3)2121z z z z =; 7.共扼复数:如果两个复数的实部相等,而虚部互为相反数,则这两个复数互为共扼复数.二、疑难知识导析1.两个实数可以比较大小,而不全是实数的两个复数不能比较大小2.,R z ∈则02≥z ,而C z ∈,则02≥z 不一定成立,如i z =时012<-=i ;3.22,z z R z =∈,而C z ∈则22z z =不一定成立; 4.若,,,321C z z z ∈0)()(232221=-+-z z z z 不一定能推出321z z z ==;5.若R z z ∈21,,则21z z -=212214)(z z z z -+,但若,,21C z z ∈则上式不一定成立.三、经典例题导讲[例1]两个共扼复数的差是( )A .实数B .纯虚数C .零D .零或纯虚数错解:当得到bi z z 2=-时就错误的选B ,忽略了b 可以为零的条件.正解:设互为共扼的两复数分别为bi a z +=及),(R b a bi a z ∈-=则bi z z 2=- 或bi z z 2=-当0≠b 时,z z -,z z -为纯虚数当0=b 时,0=-z z ,0=-z z ,因此应选D.注:要认真审题,看清题设条件,结论. 学会全面辩证的思考问题,准确记 忆有关概念性质.[例2]判断下列命题是否正确(1)若C z ∈, 则02≥z(2)若,,21C z z ∈且021>-z z ,则21z z >(3)若b a >,则i b i a +>+错解:(1)认为任何一个实数的平方大于零可推广到复数中,从而(1)是正确的(2)认为两实数之差大于零等价于前一个大于后一个实数,也可推到复数中来.认为两复数差为实数则这两个复数也为实数.而认为命题(2)是正确的.(3)把不等式性质错误的推广到复数中,忽略不等式是在实数中成立的前提条件.正解:(1)错,反例设i z =则0122<-==i z(2)错,反例设i z +=21,i z +=12,满足0121>=-z z ,但1z 2z不能比较大小.(3)错,b a > ,R b a ∈∴,,故i a +,i b +都是虚数,不能比较大小. [例3]实数a 分别取什么值时,复数i a a a a a z )152(3622--++--=是(1)实数; (2)虚数;(3)纯虚数.解:实部3)3)(2(362+-+=+--a a a a a a ,虚部)5)(3(1522-+=--a a a a . (1)当时,z 是实数; (2)当 ,且 时,z 是虚数;(3) 当 或时是纯虚数. [例4] 设i z R m i m m m m z 35),()34()32(2221+=∈+-+--=,当m 取何值时,(1) 21z z =; (2)01≠z .分析:复数相等的充要条件,提供了将复数问题转化为实数问题的依据,这是解复数问题常用的思想方法,这个题就可利用复数相等的充要条件来列出关于实数 的方程,求出 的值.解:(1)由可得:⎪⎩⎪⎨⎧=+-=--33453222m m m m 解之得4=m , 即:当时(2)当 可得:或 ,即 时01≠z .[例5]21,z z 是两个不为零的复数,它们在复平面上分别对应点P 和Q ,且024222121=+-z z z z ,证明△OPQ 为直角三角形(O 是坐标原点),并求两锐角的度数.分析 本题起步的关键在于对条件024222121=+-z z z z 的处理.等式左边是关于21,z z 的二次齐次式,可以看作二次方程求解,也可配方.解:由024222121=+-z z z z (,不为零),得⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛±+⎪⎭⎫ ⎝⎛±=±=±=3s i n 3c o s 21431832221221ππi z z z i z i z 即向量与向量的夹角为3π, 在图中,3π=∠POQ ,又||21||21z z =,设r z r z 2||,||21==, 在△OPQ 中,由余弦定理△OPQ 为直角三角形,.四、典型习题导练1. 设复数z 满足关系i z z +=+2||,那么z 等于( ).A .B .C .D . 2.复数系方程062)1()1(2=----+i x i x i 有实数根,则这个实数是_________.3. 实数m 取何值时,复数是(1)纯虚数;(2)在复平面上的对应点位于第二象限.4.已知z z z f -+=1)(且,310)(i z f +=-求复数z5.设复数z 满足5=z 且z i )43(+在复平面上对应的点在第二象限、四象限的角平分线上,),(252R m m z ∈=-求m z 和的值§11.2 复数的运算一、知识导学1.复数加、减法的几何意义(1)加法的几何意义复数21z z + 是以→1oz 、→2oz 为两邻边的平行四边形对角线→oz 所对应的复数.(2)复数减法的几何意义复数21z z -是连接向量1OZ 、2OZ 的终点,并指向被减数的向量21z z 所对应的复数.2. 重要结论(1) 对复数z 、1z 、2z 和自然数m 、n ,有 n m n m z z z +=∙,mn n m z z =)(,n n n z z z z 2121)(∙=∙(2) i i =1,12-=i ,i i -=3,14=i ;114=+n i ,124-=+n i ,i i n -=+34,14=n i .(3) i i 2)1(2±=±,i i i -=+-11,i ii =-+11. (4)设231i +-=ω,ϖω=2,ωω=2,012=++ωω,n n 33ωω=,021=++++n n n ωωω二、疑难知识导析1.对于22z z z z ==⋅,是复数运算与实数运算相互转化的主要依据,也是把复数看作整体进行运算的主要依据,在解题中加以认识并逐渐体会.2.在进行复数的运算时,不能把实数的某些法则和性质照搬到复数集中来,如下面的结论.当C z ∈时,不总是成立的.(1)),()(为分数时不成立n m zz mn n m =; (2))1(时不成立==⇒=z n m z z n m ;(3)),(0021212221是虚数时不成立z z z z z z ==⇔=+; (4))(22为虚数时不成立z z z =; (5))(为虚数时不成立z a z a a z <<-⇔<三、经典例题导讲[例1] 满足条件512=++-z i z 的点的轨迹是( )A.椭圆B.直线C.线段D.圆错解:选A 或B.错因:如果把i z 2-看作动点Z 到定点(0,2)的距离,由上式表示到两个定点(0,2)与(-1,0)的距离之和为常数5∴动点的轨迹符合椭圆的定义,但是,有一定的前提的就是两点间的距离小于定常数. 正解: 点(0,2)与(-1,0)间的距离为5,∴动点在两定点(0,-2)与(-1,0)之间,选C评注:加强对概念的理解加深,认真审题.[例2] 求值:.)1()1(6n n i i --⋅+ 错解:原式=1368)2()11()1(+=⋅-=-+-n n n i i i ii i 82-==时,原式当n83==时,原式当n错因:上面的解答错在没有真正理解Z n ∈的含义,只是用了三个特殊整数代替了所有整数,犯了用特殊代替一般的错误.另外还可以看出对虚数单位i 的整数幂的运算不熟悉,没有掌握虚数单位i 整数幂的运算结果的周期性.正解:原式=n i i i )11()1(6-+- =138)2(+=⋅-n n i i i=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=-+=-).4(8,348)(),24(8),14(8k n ik n k k n i k n )(为非负整数 评注:虚数单位i 整数幂的值具有以4为周期的特点,根据时,求n i n 必须按被4整除余数为0、1、2、3四种情况进行分类讨论.[例3]已知i z 312+-=,求200021z z z +++ 的值.分析:结论是等比数列的求和问题,所以应联想到求和公式qq a S n n --=1)1(1,若直接将条件代入求和公式,则显得较为麻烦,不妨先将条件化简. ω=+-=--=+-=i i i z 23214)31(2312原式=01111111667*32001=--=--=--ωωωz z 评注:由于数列中的数可以是复数,所以数列的诸性质在复数集中仍成立.[例4] (06年上海春卷)已知复数w 满足i (i )23(4w w -=-为虚数单位),|2|5-+=w wz ,求一个以z 为根的实系数一元二次方程. 解法一: i 2i21i 34,i 34)i 21(-=++=∴+=+w w , i 3|i |i25+=-+-=∴z . 若实系数一元二次方程有虚根i 3+=z ,则必有共轭虚根i 3-=z .10,6=⋅=+z z z z , ∴ 所求的一个一元二次方程可以是01062=+-x x .解法二:设i b a w +=R)(∈b a 、b a b a 2i 2i 34i +-=-+,得 ⎩⎨⎧-==-,23,24a b b a ∴ ⎩⎨⎧-==,1,2b a i 2-=∴w , 以下解法同解法一.[例5].211<<-+=ωω是实数,且是虚数,设zz z .的实部的取值范围的值及求z z解析 是虚数z yix yi x z z +++=+=∴1)(1ω可设 i yx y y y x x x y x yi x yi x )()(222222+-+++=+-++= ,0≠y 是实数,且ω 1,0112222=+=+-∴y x y x 即 ,1=∴z x 2=ω此时22121<<-<<-x 得由ω)1,21(,121-<<-∴的实部的范围是即z x 四、典型习题导练1.(06年四川卷)非空集合G 关于运算⊕满足:(1)对任意,a b G ∈,都有a b G ⊕∈;(2)存在e G ∈,使得对一切a G ∈,都有a e e a a ⊕=⊕=,则称G 关于运算⊕为“融洽集”;现给出下列集合和运算:①{},G =⊕非负整数为整数的加法②{},G =⊕偶数为整数的乘法③{},G =⊕平面向量为平面向量的加法④{},G =⊕二次三项式为多项式的加法⑤{},G =⊕虚数为复数的乘法其中G 关于运算⊕为“融洽集”__________;(写出所有“融洽集”的序号) 2.______)11(1993=-+ii 3.计算4.计算5.解下列方程:(1); (2).第十二章 统计12.1抽样方法一、 知识导学1.抽签法:(1)将总体中的所有个体编号(号码可以从1到N );(2)将1到N 这N 个号码写在形状、大小相同的号签上(号签可以用小球、卡片、纸条等制作);(3)将号签放在同一箱中,并搅拌均匀;(4)从箱中每次抽出1个号签,并记录其编号,连续抽取k 次;(5)从总体中将与抽到的签的编号相一致的个体取出.2.随机数表法:(1)对总体中的个体进行编号(每个号码位数一致);(2)在随机数表中任选一个数作为开始;(3)从选定的数开始按一定的方向读下去,得到的数码若不在编号中,则跳过;若在编号中,则取出;如果得到的号码前面已经取出,也跳过;如此继续下去,直到取满为止;(4) 根据选定的号码抽取样本.3.系统抽样(等距抽样):(1)采用随机的方式将总体中的个体编号;(2)将整个的编号按一定的间隔(设为k )分段,当n N (N 为总体中的个体数,n 为样本容量)是整数时,n N k =;当n N 不是整数时,从总体中剔除一些个体,使剩下的总体中个体的个数N /能被n 整除,这时nN k /=,并将剩下的总体重新编号; (3)在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号l ;(4)将编号为k n l k l k l l )1(.,,.........2,,-+++的个体抽出. 4.分层抽样:(1)将总体按一定标准分层;(2)计算各层的个体数与总体的个数的比;(3)按各层个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量;(4)在每一层进行抽样(可用简单随机抽样或系统抽样).二.疑难知识导析1.简单随机抽样是从总体中逐个不放回地抽取.2.简单随机抽样和系统抽样都是一种等概率抽样,即每个个体被抽到的可能性都是相同的.3.简单随机抽样适用于总体中个体较少的情况;系统抽样适用于总体中个体数较多的情形;分层抽样用于总体由几个差异明显的部分组成的情况.4. 分层抽样时,在每一层内进行抽样时可根据具体情况,采用简单随机抽样或系统抽样.5. 在使用分层抽样时,在每一层内抽样的比例相同.三.经典例题导讲[例1]某工厂生产A,B,C,D 四种不同型号的产品,产品数量之比依次为2:3:5:1,现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本,样本中A 型号有16件,那么此样本容量n 是多少? 错解:样本容量1615322+++⨯=2(件) 错因:混淆了A 型号产品与样本容量的比例关系.正解:在分层抽样中,每一层所抽的个体数的比例与总体中各层个体数的比例是一致的,所以,样本容量为881621532=⨯+++=n 答:此样本容量为88件.[例2]从1002名学生中选取100名进行抽样检查.请用系统抽样法设计一种方案,叙述其步骤.解:(1)将1002名学生进行编号,号码分别为1,2, (1002)(2)用随机数表法剔除2个个体,并将剩下的学生重新编号,号码分别为1,2,……1000;(3)将1000个号码平均分成100组,并在第一组1,2,……,10中用简单随机抽样法确定一个号码(如l );(2) 将号码为l l l l +++990,......20,10,的个体抽出.[例3]某学校有2005名学生,从中选取20人参加学生代表大会,采用简单随机抽样方法进行抽样,是用抽签法还是随机数表法?如何具体实施?分析:由于学生人数较大,制作号签比较麻烦,所以决定用随机数表法解:采用随机数表法实施步骤:(1) 对2005名同学进行编号,0000-2004(2) 在随机数表中随机地确定一个数作为开始,如21行45列的数字9开始的4位:9706;依次向下读数,5595,4904,………,如到最后一行,转向左边的四位数字号码,并向上读,凡不在0000-2004范围内的,则跳过,遇到已读过的数也跳过,最后得到号码为:0011,0570,1449,1072,1338,0076,1281,1866,1349,0864,0842,0161,1839,0895,1326,1454,0911,1642,0598,1855的学生组成容量为20的样本.[例4]某工厂有3条生产同一产品的流水线,每天生产的产品件数分别是3000件,4000件,8000件.若要用分层抽样的方法从中抽取一个容量为150件产品的样本,应该如何抽样? 解:总体中的个体数N=3000+4000+8000=15000样本容量n=150 抽样比例为100115000150==N n 所以应该在第一条流水线生产的产品中随机抽取30001001⨯=30件产品 在第二条流水线生产的产品中随机抽取:40001001⨯=40件产品在第三条流水线生产的产品中随机抽取:50001001⨯=50件产品 这里因为每条流水线所生产的产品数都较多,所以,在每条流水线的产品中抽取样品时,宜采用系统抽样方法四.典型习题导练1.为了解某班50名同学的会考及格率,从中抽取10名进行考查分析,则在这次考查中,考查的总体内个体总数为 样本容量为 .2.采用系统抽样从含有2000个个体的总体(编号为0000,0001,……,1999)中抽取一个容量为100的样本,则第一段的编号为 若在第一段中用简单随机抽样得到起始个体编号为0013,则前6个入样编号为 .3.某市为了了解职工的家庭生活状况,先将职工所在的国民经济行业分成13类,然后每个行业抽1001的职工家庭进行调查,这种抽样方法是 . 4.用分层抽样的方法在一个企业中抽取一个样本容量为50的样本,其中在管理营销部门抽了15人,技术部门10人,其余在生产工人中抽取,已知该企业有生产工人375人,那么这个企业共有多少职工?5.采用简单随机抽样从含有5个人的身高的总体{}173,171,161,167,162中抽取一个容量为2的样本,写出全部样本,并计算各个样本的平均值,各样本平均值的平均值.12.2频率分布直方图、折线图与茎叶图一、知识导学1.频率分布表:反映总体频率分布的表格.2.一般地,编制频率分布表的步骤如下:(1)求全距,决定组数和组距,组距=组数全距;(2)分组,通常对组内数值所在区间取左闭右开区间,最后一组取闭区间;(3)登记频数,计算频率,列出频率分布表.3. 频率(分布)直方图:利用直方图反映样本的频率分布规律.4. 一般地,作频率分布直方图的方法为:(1)把横轴分成若干段,每一线段对应一个组的组距;(2)以此线段为底作矩形,它的高等于该组的组距频率,这样得出一系列的矩形;(3)每个矩形的面积恰好是该组上的频率.5. 频率折线图:如果将频率分布直方图中各相邻的矩形的上底边的中点顺次连接起,就得到一条折线,称这条折线为本组数据的频率折线图.6. 制作茎叶图的方法是:将所有两位数的十位数字作为“茎”,个位数字作为“叶”,茎相同者共用一个茎,茎按从小到大的顺序从上向下列出,共茎的叶一般按从大到小(或从小到大)的顺序同行列出.二、疑难知识导析1. 在编制频率分布表时,要选择适当的组距和起始点才可以使频率分布表更好地反映数据的分布情况.2. 在编制频率分布表时,如果取全距时不利于分组(如不能被组数整除),可适当增大全距,如在左右两端各增加适当范围(尽量使两端增加的量相同).3. 频率折线图的优点是它反映了数据的变化趋势,如果将样本容量取得足够大,分组的组距取得足够小,则这条折线将趋于一条曲线,我们称这一曲线为总体分布的密度曲线. 4. 茎叶图对于分布在0~99的容量较小的数据比较合适,此时,茎叶图比直方图更详尽地表示原始数据的信息.5. 在茎叶图中,茎也可以放两位,后面位数多可以四舍五入后再制图. 三、典型例题导讲[例1](06全国卷)一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人,并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如下图).为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系,要从这10000人用再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查,则在[)3000,2500(元)月收入段应抽出 人.解析:由直方图可得[2500,3000)(元)月收入段共有100000.00055002500⨯⨯=人, 按分层抽样应抽出10025002510000⨯=人.故答案 25点评:频率分布直方图中,关健要理解图中数据的意义,特别是图中每个小矩形的面积才是这一组距内个体的频率.[例2]从有甲乙两台机器生产的零件中各随机抽取15个进行检验,相关指标的检验结果为: 甲:534,517,528,522,513,516,527,526,520,508,533,524,518,522,512 乙:512,520,523,516,530,510,518,521,528,532,507,516,524,526,514 画出上述数据的茎叶图 错解:甲 乙 8 0 787632 1 024668 8764220 2 013468 43 3 02 4错因:对于两位数是将两位数的十位数字作为“茎”,个位数字作为“叶”,茎相同者共用一个茎,茎按从小到大的顺序从上向下列出,共茎的叶一般按从大到小(或从小到大)的顺序同行列出,对于三位数字,应该把前两位数字作为茎,最后一位数字作为叶,然后从图中观察数据的分布情况,而不是仍考虑两位数,尽管此题的效果一样.正解:用前两位数作为茎,茎叶图为甲 乙 8 50 787632 51 024668 8764220 52 013468 43 53 02 54从图中可以看出,甲机床生产的零件的指标分布大致对称,平均分在520左右,中位数和众数都是522,乙机床生产的零件的指标分布也大致对称,平均分也在520左右,中位数和众数分别是520和516,总的看,甲的指标略大一些. [例3]在绘制频率分布直方图的第三个矩形时,矩形高度① 与这个矩形的宽度(组距)有关; ② 与样本容量n 无关; ③ 与第三个分组的频数有关; ④ 与直方图的起始点无关. 以上结论中正确的共有()A .0个 B.1个 C. 2个 D.3个错解:D.错因:起始点与组距均影响第三组的频数,所以矩形高度与以上各因素均有关,①③正确,正解:C.[例4]根据中国银行的外汇牌价,2005年第一季度的60个工作日中,欧元的现汇买入价(100欧元的外汇可兑换的人民币)的分组与各组频数如下:〔1050,1060〕:1,〔1060,1070〕:7,〔1070,1080〕:20,〔1080,1090〕:11,〔1090,1100〕:13,〔1100,1110〕:6,〔1110,1120〕:2.(1)列出欧元的现汇买入价的频率分布表;(2)估计欧元的现汇买入价在区间1065~1105内的频率;(3)如果欧元的现汇买入价不超过x 的频率的估计值为0.95,求此x 解:(1)欧元的现汇买入价的频率分布表为:(2)欧元现汇买入价在区间1065~1105内的频率的估计值为84.01100111011001105100.0217.0183.0333.01060107010651070117.0=--⨯++++--⨯(3)因为0.017+0.117+0.333+0.183+0.217=0.867〈0.95,0.017+……+0.217+0.100=0.967〉0.95,所以x 在[1100,1110]内,且满足0.867+0.1003.1108,95.0110011101100≈∴=--⨯x x 即欧元现汇买入价不超过1108.3的频率的估计为0.95 [例如果80分以上(包括80分)定为成绩优秀,60分以上(包括60分)定为成绩及格.那么,在这个班级的这次成绩统计中,成绩不及格的频率是多少?成绩及格的频率是多少?成绩优秀的频率是多少?解:被统计的对象(参加这次考试的本班学生)共有2+6+12+21+7+2=50个.60分以上的有48个,80分以上的有20个,所以成绩不及格的频率是04.0502=,成绩及格的频率是96.05048=,成绩优秀的频率是4.05020=. 说明 要计算一组数据中某个对象的频率,要先计算数据的总的个数,再计算符合这个对象要求的数据的个数.某个对象可以是一个确定的数据,也可以是在某一范围内数据的总数.[例6]在英语单词frequency 和英语词组relative frequency 中,频数最大的各是哪个字母?它们的频数和频率各是多少?解:在frequency 和英语词组relative frequency 中,频数最大的字母都是e ,在单词frequency 中,e 的频数是2,频率是92;在词组relative frequency 中,e 的频数是4,频率是174.点评:在两组数据中,同一个对象的频数相等,但频率不一定相等,频数大,不一定频率大.在同一组数据中,某两个对象的频数相等,频率也相等;频数大,频率也大. 二、典型习题导练1.(06年重庆卷)为了了解某地区高三学生的身体发育情况,抽查了该地区100名年龄为185.17-岁的男生体重kg ,得到频率分布直方图如下:根据上图可得这100名学生中体重在]5.64,5.56[的学生人数是( ). A . 20 B.30 C.40 D. 502. 一个容量为800的样本,某组的频率为6.25%,则这一组的频数是 3. 某校随机抽取了20名学生,测量得到的视力数据如下:4.7,4.2,5.0,4.1,4.0,4.9,5.1,4.5,4.8,5.2,5.0,4.0,4.5,4.8,4.7,4.8,4.6,4.9,5.3,4.0(1) 列出频率分布表(共分5组)(2) 估计该校学生的近视率(视力低于4.9) 4. 用一个容量为200的样本制作频率分布直方图时,共分13组,组距为6,起始点为10,第4组的频数为25,则直方图中第4个小矩形的宽和高分别是多少? 5. 200名学生某次考试的成绩的分组及各组频率如下表:则及格率,优秀率()的估计分别是6.某地随机检查了140名成年男性红细胞(/1012L ),数据的分组及频率如下表:(1)完成上面的频率分布表(2)根据上面的图表,估计成年男性红细胞数在正常值(4.0~5.5)内的百分比7.名著《简爱》的中英文版本中,第一节部分内容每句句子所含单词(字)数如下:英文句子所含单词数10,52,56,40,79,9,23,11,10,21,30,31;中文句子所含字数11,79,7,20,63,33,45,36,87,9,11,37,17,18,71,75,51. (1)作出这些数据的茎叶图;(2)比较茎叶图,你能得到什么结论?12.3平均数、方差与标准差一、知识导学1.n 个数据1a ,2a ,…….n a 的平均数或平均值一般记为-a =na a a n+++........21.2.一般地,若取值n x x x ,......,,21的频率分别为n p p p ,......,,21,则其平均数为n n p x p x p x +++......2211.3.把一组数据的最大值与最小值的差称为极差.4. 一般地,设一组样本数据n x x x ,......,,21,其平均数为-x ,则称212)(1∑=--=n i i x x n s 为这个样本的方差,算术平方根21)(1∑=--=ni i x x n s 为样本的标准差,分别简称样本方差,样本标准差. 二、疑难知识导析1.平均数,中位数和众数都是总体的数字特征,从不同角度反映了分布的集中趋势,平均数是最常用的指标,也是数据点的“重心”位置,它易受极端值(特别大或特别小的值)的影响,中位数位于数据序列的中间位置,不受极端值的影响,在一组数据中,可能没有众数,也可能有多个众数.2.方差和标准差是总体的数字特征,反映了分布的分散程序(波动大小),标准差也会受极端值(特别大或特别小的值)的影响.3.分布的分散程序还可以用极差来描述,但较粗略.4.样本方差也可以用公式21221x x n s n i i -=∑=计算.三、经典例题导讲[例1](06年江苏卷)某人5次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为.9,11,10,,y x 已知这组数据的平均数为10,方差为2,则y x -的值为( ) A .1 B.2 C.3 D.4 解:由平均数公式为10,得1051)91110(=⨯++++y x ,则20=+y x ,又由于方差为2,则()()()()()[]25110910111010101022222=⨯-+-+-+-+-y x 得 20822=+y x 1922=xy所以有()42222=-+=-=-xy y x y x y x ,故选D.[例2]数据n x x ,,1 是一名运动员的n 次射击的命中环数,则他的平均命中环数的估计是( ).A .样本平均数均值∑==ni i x n x 11 B .样本极差),,m in(),,m ax (11n n x x x x R -=C .样本方差212)(1x x n s n i i -=∑= D .样本平均差AD=∑=-n i i x x n 11错解:C.错因:后三个选项都表示了样本的波动程度,不能用于总体平均值的估计. 正解:A.[例3]某房间中10个人的平均身高为1.74米,身高为1.85米的第11个人,进入房间后,这11个人的平均身高是多少?解:原来的10个人的身高之和为17.4米,所以,这11个人的平均身高为1185.11074.1+⨯=1.75.即这11个人的平均身高为1075米[例4]若有一个企业,70%的人年收入1万,25%的人年收入3万,5%的人年收入11万,求这个企业的年平均收入及年收入的中位数和众数解:年平均收入为12%511%253%70=⨯+⨯+⨯(万);中位数和众数均为1万(1)计算所有人员的月平均收入;(2)这个平均收入能反映打工人员的月收入的一般水平吗?为什么?(3)去掉老板的收入后,再计算平均收入,这能代表打工人员的月收入的水平吗? (4)根据以上计算,以统计的观点对(3)的结果作出分析 解:(1)平均收入711=-x (3000+450+350+400+320+320+410)=750元 (2)这个平均收入不能反映打工人员的月收入水平,可以看出打工人员的收入都低于平均收入,因为老板收入特别高,这是一个异常值,对平均收入产生了较大的影响,并且他不是打工人员(3)去掉老板后的月平均收入612=-x (450+350+400+320+320+410)=375元.这能代表打工人员的月收入水平(4)由上可见,个别特殊数据可能对平均值产生大的影响,因此在进行统计分析时,对异常值要进行专门讨论,有时应剔除之 四、典型习题导练1. 在一次知识竞赛中,抽取20名选手,成绩分布如下:则选手的平均成绩是 ( ) A .4 B.4.4 C.8 D.8.82.8名新生儿的身长(cm )分别为50,51,52,55,53,54,58,54,则新生儿平均身长的估计为 ,约有一半的新生儿身长大于等于 ,新生儿身长的最可能值是 .用上述分组资料计算得病人平均等待时间的估计值-x = ,病人等待时间的标准差的估计值s =4.样本1021,......,,x x x 的平均数为5,方差为7,则3()()()13,......,13,11021---x x x 的平均数、方差,标准差分别为5.下面是一个班级在一次测验时的成绩(已按从小到大的次序排列),分别计算男生和女生的成绩和平均值,中位数以及众数,试问中位数的含义是什么?对比两个平均值和中位数,你分析一下这个班级的学习情况男生:55,55,61,65,68,71,72,73,74,75,78,80,81,82,87,94女生:53,66,70,71,73,73,75,80,80,82,82,83,84,85,87,88,90,93,94,976.某工厂甲,乙两个车间包装同一产品,在自动包装传送带上每隔30min 抽一包产品,称其重量是否合格,分别记录抽查数据如下:甲车间:102,101,99,103,98,99,98;乙车间:110,105,90,85,75,115,110. (1)这样的抽样是何种抽样方法?(2)估计甲、乙两车间的均值与方差,并说明哪个车间的产品较稳定.12.4线性回归方程一、知识导学1. 变量之间的常见关系有如下两类:一类是确定性函数关系,变量之间的关系可以用函数表示;一类是相关关系,变量之间有一定的联系,但不能完全用函数来表达 2. 能用直线方程a bx y +=^近似表示的相关关系叫做线性相关关系当a,b 使2222211)(......)()(a bx y a bx y a bx y Q n n --++--+--=取得最小值时,就称a bx y +=∧为拟合这n 对数据的线性回归方程,将该方程所表示的直线称为回归直线.4.线性回归方程a bx y +=∧中的系数b a ,满足:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑∑∑∑∑=====ni i ni i ni ii n i i n i i y na b x y x a x b x 111112 由此二元一次方程组便可依次求出a b ,的值:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=--=====∑∑∑∑∑x b y a x x n y x y x n b ni i n i i n i i n i i n i i i 2112111(*) 5.一般地,用回归直线进行拟合的一般步骤为: (1)作出散点图,判断散点是否在一条直线附近;(2)如果散点在一条直线附近,用公式(*)求出b a ,,并写出线性回归方程.二、疑难知识导析1.现实世界中两个变量的关系中更多的是相关关系而不是确定性关系,许多物理学中公式看起来是确定性关系,实际上由于公式的使用范围,测量误差等的影响,试验得到的数据之间是相关关系.2.用最小二乘估计方法计算得到的b a ,使函数()b a Q ,达到最小3.还有其他寻找较好的回归直线的原则(如使y 方向的偏差和最小,使各点到回归直线的距离之和最小等)4. 比较相关关系绝对值的大小可以比较一组变量之间哪两个变量有更强的(线性)相关关系.5. “最好的”直线方程中“最好”可以有多种解释,也就有不同的求解方法,现在广泛采用的最小二乘法所用的思想是找到使散点到直线a bx y +==在垂直方向上的距离的平方和最小的直线a bx y +=,用这个方法,b a ,的求解最简单 三、经典例题导讲问y 与x 的(样本)相关系数r 是多少?这是否说明y 与x 没有关系? 错解:040707))((7171=⨯⨯-=-=--∑∑==xy y x y y x xi i i i i i。

高中必修1-5错解分析--第6-10章修改稿

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第六章 立体几何初步§6.1 两条直线之间的位置关系一、知识导学1. 平面的基本性质.公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线.公理3:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.推论1:经过一条直线和这条直线外的一点,,有且只有一个平面.推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.2. 空间两条直线的位置关系,包括:相交、平行、异面.3. 公理4:平行于同一条直线的两条直线平行.定理4:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等.推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.4. 异面直线.异面直线所成的角;两条异面直线互相垂直的概念;异面直线的公垂线及距离.5. 反证法.会用反证法证明一些简单的问题.二、疑难知识导析1.异面直线是指不同在任何一个平面内,没有公共点.强调任何一个平面.2.异面直线所成的角是指经过空间任意一点作两条分别和异面的两条直线平行的直线所成的锐角(或直角).一般通过平移后转化到三角形中求角,注意角的范围.3.异面直线的公垂线要求和两条异面直线垂直并且相交,4.异面直线的距离是指夹在两异面直线之间公垂线段的长度.求两条异面直线的距离关键是找到它们的公垂线.5.异面直线的证明一般用反证法、异面直线的判定方法:如图,如果b α⊂,A α∈且A b ∉,a A =⋂α,则a 与b 异面.三、经典例题导讲[例1]在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,O 是底面ABCD 的中心,M 、N 分别是棱DD 1、D 1C 1的中点,则直线OM( ).A .是AC 和MN 的公垂线.B .垂直于AC 但不垂直于MN.C .垂直于MN ,但不垂直于AC.D .与AC 、MN 都不垂直.错解:B.错因:学生观察能力较差,找不出三垂线定理中的射影.正解:A.[例2]如图,已知在空间四边形ABCD 中,E,F 分别是AB,AD 的中点,G,H分别是BC,CD 上的点,且2==HC DH GC BG ,求证:直线EG,FH,AC 相交于一点.错解:证明:E 、F 分别是AB,AD 的中点,EF ∴∥BD,EF=21BD,又2==HC DH GC BG,∴ GH ∥BD,GH=31BD,∴四边形EFGH 是梯形,设两腰EG,FH 相交于一点T, 2=HC DH,F 分别是AD.∴AC 与FH 交于一点.∴直线EG,FH,AC 相交于一点正解:证明:E 、F 分别是AB,AD 的中点,EF ∴ ∥BD,EF=21BD, 又2==HC DH GC BG,∴ GH ∥BD,GH=31BD,∴四边形EFGH 是梯形,设两腰EG,FH 相交于一点T,⊂EG 平面ABC,FH ⊂平面ACD,∴T ∈面ABC,且T ∈面ACD,又平面ABC 平面ACD=AC,AC T ∈∴,∴直线EG,FH,AC 相交于一点T.[例3]判断:若a,b 是两条异面直线,P 为空间任意一点,则过P 点有且仅有一个平面与a,b 都平行.错解:认为正确.错因:空间想像力不够.忽略P 在其中一条线上,或a 与P 确定平面恰好与b 平行,此时就不能过P 作平面与a 平行.正解:假命题.[例4] 如图,在四边形ABCD 中,已知AB ∥CD ,直线AB ,BC ,AD ,DC 分别与平面α相交于点E ,G ,H ,F .求证:E ,F ,G ,H 四点必定共线(在同一条直线上). 分析:先确定一个平面,然后证明相关直线在这个平面内,最后证明四点共线.证明 ∵ AB//CD , AB ,CD 确定一个平面β.又∵AB ∩α=E ,AB β,∴ E ∈α,E ∈β,即 E 为平面α与β的一个公共点.同理可证F ,G ,H 均为平面α与β的公共点.∵ 两个平面有公共点,它们有且只有一条通过公共点的公共直线,∴ E,F ,G ,H 四点必定共线.点 评:在立体几何的问题中,证明若干点共线时,先证明这些点都是某两平面的公共点,而后得出这些点都在二平面的交线上的结论.[例5]如图,已知平面α,β,且α∩β=l .设梯形ABCD 中,AD∥BC,且ABα,CD β,求证:AB ,CD ,l共点(相交于一点).分析:AB,CD是梯形ABCD的两条腰,必定相交于一点M,只要证明M在l上,而l是两个平面α,β的交线,因此,只要证明M∈α,且M∈β即可.证明:∵梯形ABCD中,AD∥BC,∴AB,CD是梯形ABCD的两条腰.∴ AB,CD必定相交于一点,设AB ∩CD=M.又∵ ABα,CDβ,∴ M∈α,且M∈β.∴ M∈α∩β.l,∴ M∈l,又∵α∩β=l共点.即 AB,CD,点评:证明多条直线共点时,与证明多点共线是一样的.[例6]已知:a,b,c,d是不共点且两两相交的四条直线,求证:a,b,c,d共面.分析:弄清楚四条直线不共点且两两相交的含义:四条直线不共点,包括有三条直线共点的情况;两两相交是指任何两条直线都相交.在此基础上,根据平面的性质,确定一个平面,再证明所有的直线都在这个平面内.证明 1º若当四条直线中有三条相交于一点,不妨设a,b,c相交于一点 A ∴ 直线d 和A确定一个平面α.又设直线d与a,b,c分别相交于E,F,G,则 A,E,F,G∈α.∵ A,E∈α,A,E∈a,∴ aα.同理可证 bα,cα.∴ a,b,c,d在同一平面α内.2º当四条直线中任何三条都不共点时,如图.∵ 这四条直线两两相交,则设相交直线a,b确定一个平面α.设直线c与a,b分别交于点H,K,则 H,K∈α.又∵ H,K∈c,∴ cα.同理可证 dα.∴ a,b,c,d四条直线在同一平面α内.点评:证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是:首先由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后再证明其余的线(或点)均在这个平面内.本题最容易忽视“三线共点”这一种情况.因此,在分析题意时,应仔细推敲问题中每一句话的含义.[例7]在立方体ABCD-A1B1C1D1中,(1)找出平面AC的斜线BD1在平面AC内的射影;(2)直线BD1和直线AC的位置关系如何?(3)直线BD1和直线AC所成的角是多少度?解:(1)连结BD, 交AC 于点O 上的射影在平面就是斜线平面AC BD BD AC DD 11,∴⊥ .(2)BD 1和AC 是异面直线.(3)过O 作BD 1的平行线交DD 1于点M ,连结MA 、MC ,则∠MOA 或其补角即为异面直线AC 和BD 1所成的角.不难得到MA =MC ,而O 为AC 的中点,因此MO ⊥AC ,即∠MOA =90°,∴异面直线BD 1与AC 所成的角为90°.[例8] 已知:在直角三角形ABC 中,∠A 为直角,PA⊥平面ABC ,BD⊥PC,垂足为D ,求证:AD⊥PC证明:∵ PA ⊥平面ABC∴ PA⊥BA又∵ BA⊥AC ∴ BA⊥平面PAC∴ AD 是BD 在平面PAC 内的射影又∵ BD ⊥PC ∴ AD ⊥PC .(三垂线定理的逆定理)四、典型习题导练1.如图, P 是△ABC 所在平面外一点,连结PA 、PB 、PC 后,在包括AB 、BC 、CA 的六条棱所在的直线中,异面直线的对数为( )A.2对B.3对C.4对D.6对2. 两个正方形ABCD 、ABEF 所在的平面互相垂直,则异面直线AC 和BF所成角的大小为 .3. 在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,体对角线DB 1与面对角线BC 1所成的角是 ,它们的距离是 .4.长方体ABCD A B C D -1111中,BC CD DD ===2214251,,,则A C B D 111和所成角的大小为_ ___.5.关于直角AOB 在定平面α内的射影有如下判断:①可能是0°的角;②可能是锐角;③可能是直角;④可能是钝角;⑤可能是180°的角.其中正确判断的序号是_____.(注:把你认为正确的序号都填上).6.在空间四边形ABCD 中,AB ⊥CD ,AH ⊥平面BCD ,求证:BH ⊥CD7.如图正四面体中,D 、E 是棱PC 上不重合的两点;F 、H 分别是棱PA 、PB 上的点,且与P 点不重合.求证:EF 和DH 是异面直线.§6.2直线与平面之间的位置关系一、知识导学1.掌握空间直线与平面的三种位置关系(直线在平面内、相交、平行).2.直线和平面所成的角,当直线与平面平行或在平面内时所成的角是 0,当直线与平面垂直时所成的角是9 0,当直线与平面斜交时所成的角是直线与它在平面内的射影所成的锐角.3.掌握直线与平面平行判定定理(如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和平面平行)和性质定理(如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行).4.直线与平面垂直的定义是:如果一条直线和一个平面内所有直线垂直,那么这条直线和这个平面垂直;掌握直线与平面垂直的判定定理(如果一条直线和平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面)和性质定理(如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行).5.直线与平面的距离(一条直线和一个平面平行时,这条直线上任意一点到这个平面的距离,叫做这条直线和这个平面的距离).6.三垂线定理(在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直)、逆定理(在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在这个平面内的射影垂直).7.从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中:①射影相等的两条斜线段相等,射影较长的斜线段也较长;②相等的斜线段的射影相等,较长的斜线段的射影也较长;③垂线段比任何一条斜线段都短.二、疑难知识导析1.斜线与平面所成的角关键在于找射影,斜线与平面所成的角,是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角.2.在证明平行时注意线线平行、线面平行及面面平行判定定理和性质定理的反复运用.3.在证明垂直时注意线线垂直、线面垂直及面面垂直判定定理和性质定理的反复运用,同时还要注意三垂线定理及其逆定理的运用.要注意线面垂直的判定定理中的“两条相交直线”,如果用“无数”或“两条”都是错误的.4.直线与平面的距离一般是利用直线上某一点到平面的距离.“如果在平面的同一侧有两点到平面的距离(大于0)相等,则经过这两点的直线与这个平面平行.”要注意“同一侧”、“距离相等”.三、经典例题导讲l⊂平面α,点P∈直线l,平面α、β间的距离为8,则[例1]已知平面α∥平面β,直线l的距离为9的点的轨迹是()在β内到点P的距离为10,且到A.一个圆B.四个点C.两条直线 D .两个点错解:A.错因:学生对点线距离、线线距离、面面距离的关系掌握不牢.正解:B.[例2] a 和b 为异面直线,则过a 与b 垂直的平面( ).A .有且只有一个B .一个面或无数个C .可能不存在D .可能有无数个错解:A.错因:过a 与b 垂直的平面条件不清.正解:C.[例3]由平面α外一点P 引平面的三条相等的斜线段,斜足分别为A,B,C ,O 为⊿ABC 的外心,求证:OP α⊥.错解:因为O 为⊿ABC 的外心,所以OA =OB =OC ,又因为PA =PB =PC ,PO 公用,所以⊿POA ,⊿POB ,⊿POC 都全等,所以∠POA =∠POB =∠POC =2π,所以OP α⊥. 错因:上述解法中∠POA =∠POB =∠POC =RT ∠,是对的,但它们为什么是直角呢?这里缺少必要的证明.正解:取BC 的中点D ,连PD 、OD ,,,,,,,AB PO PO .PB PC OB OC BC PD BC OD BC POD BC PO α==∴⊥⊥∴⊥∴⊥⊥∴⊥面同理,[例4]如图,在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB=3,AA 1=4,M 为AA 1的中点,P 是BC 上一点,且由P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到M 点的最短路线长为29,设这条最短路线与C 1C 的交点为N,求: (1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长;(2)PC 和NC 的长;(3)平面NMP 和平面ABC 所成二面角(锐角)的大小(用反三角函数表示)错因:(1)不知道利用侧面BCC 1 B 1展开图求解,不会找29 的线段在哪里;(2)不会找二面角的平面角.正解:(1)正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧面展开图是一个长为9,宽为4的矩形,其对角线长为974922=+(2)如图,将侧面BC 1旋转 120使其与侧面AC 1在同一平面上,点P 运动到点P 1的位置,连接MP 1 ,则MP 1就是由点P沿棱柱侧面经过CC 1到点M 的最短路线.设PC =x ,则P 1C =x , 在2,292)3221==+∆x x MAP Rt +中,(54,5211=∴==∴NC A P C P MA NC (3)连接PP 1(如图),则PP 1就是平面NMP 与平面ABC 的交线,作NH 1PP ⊥于H ,又CC 1⊥平面ABC ,连结CH ,由三垂线定理的逆定理得,1PP CH ⊥.所成二面角的平面角。

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奥数教程(高一年级)P275页 习题第7题答案有误,题目也有误。

设有(7)n n ≥个圆,其中任意3个圆都不两两相交(包括相切),求证:一定可以找到一个圆,它至多能与5个圆相交.
原解答如下: 设这n 个圆中半径最小的圆(如有多个,任取其中一个即可)为1
O .

1
O 与6个(或多于6个)的圆
234567
,,,,,O O O O O O 都相交,则连接
121317
,,,O O O O O O ,如图2所示,于是1,2,,6∠∠∠中至少有一个不大于60,不妨设
213160O O O ∠=∠≤,连接
23
O O ,设
123,,O O O 的半径分别为
123
,,R R R ,
1213
,R R R R ≤≤.
因为
12
,O O 相交,故它们的连心距不超过两圆半径之和,即
1212
O O R R ≤+
23
R R ≤+.同理
131323
O O R R R R ≤+≤+.
又在
123O O O ∆中,160∠≤,故在
23
,O O ∠∠中必有
一个大于等于60. 设2601
O ∠≥≥∠,则
1323
O O O O ≥,

2323
R R O O +≥,所以
2
O 与
3O 相交,从而
123
,,O O O 两两相交,这与题设矛盾
注:这里逻辑不正确,有可能是内含,证明有误。

事实上,本题为错误结论,反例如下:取两组同心圆,每组6个圆,使得不同组的任意两圆均相交。

by 北京十一学校 高一年级 何翰韬。

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