高一数学必修一第三章3.23.2.2函数模型的应用实例
人教版高中数学必修一第三章3.2.2函数模型的应用实例PPT教学课件
ax＋ b x<m ， y＝
cx＋ d x≥ m
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2.建立函数模型解决问题的基本过程
思考：解决函数应用问题的基本步骤是什么？
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PART 02
自主预习·探新知
S E L F S T U D YA N D E X P L O R I G N E W K N O W L E D G E
[自主预习 · 探新知 ]
1． 常 见 函 数 模 型 (1)一 次 函 数 模 型 (2)二 次 函 数 模 拟
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1 t
32－ 24＝ (88－ 24)×2 ， ∴ t＝ 30.
64 8
因 此 ， 需 要30min， 可 降 温 到32℃ .
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[规律方法] 已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要将题中的数据代入函数 模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值
它 们 发 展 到 ( )
A． 300只
B． 400只
C． 600只
D． 700只
A [将x＝ 1， y＝ 100代 入y＝ alog2(x＋ 1)得 ， 100＝ alog2(1＋ 1)， 解 得a＝ 100.所 以x＝ 7时 ， y＝ 100log2(7
＋ 1)＝ 300.]
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常 用(3)指 数 函 数 模 型 函 数(4)对 数 函 数 模 型 模 型(5)幂 函 数 模 型
数学人教A版必修一优化课件：第三章 3.2 3.2.2 函数模型的应用实例
[解析] (1)P(x)＝R(x)－C(x)＝(3 000x－20x2)－(500x＋4 000)＝－20x2＋2 500x －4 000.(1≤x≤100，x∈N)． M1(x)＝P(x＋1)－P(x)＝2 480－40x，(1≤x≤100，x∈N) (2)∵P(x)＝－20(x－1225)2＋74 125 ∴当 x＝62 或 63 时，P(x)min＝74 120 又∵M1(x)是减函数，∴当 x＝1 时 M1(x)max＝2 440 故 P(x)与 M1(x)不具有相等的最大值． (3)边际利润函数 M1(x)当 x＝1 时取最大值，说明生产第 2 台与生产第 1 台的总利 润差最大，即第 2 台报警系统利润最大，M1(x)是减函数，说明随着产量的增加， 每台利润与前一台利润相比较，利润在减少．
1＝a×0.5＋b， 1.5＝a×0.52＋b，
解得ab＝ ＝－ 2，2，
∴y＝－2×0.5x＋2，
当 x＝3 时，
y＝－2×0.125＋2＝1.75(万件)． 答案：1.75 万件
4．某地 2004 年年底人口为 500 万，人均住房面积为 6 平方米，若该地区的人口 年平均增长率为 1%，要使 2015 年年底该地区人均住房面积至少为 7 平方米，平 均每年新增住房面积至少为________万平方米(精确到 1 万平方米，参考数据： 1.019≈1.093 7,1.0110≈1.104 6，1.0111≈1.115 7)． 解析：设平均每年新增住房面积为 x 万平方米，则有550000×1＋6＋1%11x11≥7 解得 x≥82.26≈82.
答案：82
探究一 二次函数模型 [典例1] 在经济学中，函数f(x)的边际函数定义为M(x)＝f(x＋1)－f(x)，利润函 数P(x)的边际利润函数定义为M1(x)＝P(x＋1)－P(x)，某公司最多生产100台报警 系统装置，生产x台的收入函数为R(x)＝3 000x－20x2(单位：元)其成本函数为 C(x)＝500x＋4 000(单位：元)，利润是收入与成本之差． (1)求利润函数P(x)及边际利润函数M1(x)． (2)利润函数P(x)与边际利润函数M1(x)是否具有相等的最大值？ (3)你认为本题中边际利润函数M1(x)取最大值的实际意义是什么？
高一数学函数模型的应用实例
(1).;人口年平均增长率r; 经过的时间t以及1950~1959年我国的人口数据。
分析、探究
(2).描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是 确定的,确定这种函数模型需要几个因素? 是;两个,即: y0 和 r (3).根据表中数据如何确定函数模型?
练一练:P104 T1、2
限时6分钟
小结
本节内容主要是运用所学的函数知识去解 决实际问题，要求学生掌握函数应用的基本 方法和步骤．函数的应用问题是高考中的热 点内容，必须下功夫练好基本功．本节涉及 的函数模型有：一次函数、二次函数、分段 函数及较简单的指数函数和对数函数．其 中，最重要的是二次函数模型．
3.2.2 函数模型的应用实例(1)
学习目标:1、能够利用给定的函数模型或建 立确定性函数模型解决实际问题. 2、感受运用函数概念建立模型的过程和方 法,对给定的函数模型进行简单的分析评价. 3、体会数学在实际问题中的应用价值.
问题提出
一次函数、二次函数、指数函数、对数 函数以及幂函数，不只是理论上的数学问题， 它们都与现实世界有着紧密的联系，我们如 何利用这些函数模型来解决实际问题？
先求1951~1959年各年的人口增长率,再求年平 均增长率r,确定 y0 的值,从而确定人口增长模型. (4).对所确定的函数模型怎样进行检验?根据检 验结果对函数模型又应作出如何评价? 答:作出人口增长函数的图象,再在同一直角坐 标系上根据表中数据作出散点图,观察散点是否 在图象上.
(5).如何根据所确定的函数模型具体预测我国某 个时期的人口数,实质是何种计算方法? 答:已知函数值,求自变量的值. 请阅读教材P103页的解答过程
5.汽车的行驶里程与里程表度数之间有什么关系?它们 关于时间的函数图象又有何关系? 汽车的行驶里程=里程表度数-2004; 将里程表度数关于时间t的函数图象向下平移2004个 单位后,就得到汽车的行驶里程关于时间t的函数图象.
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高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作3.2.2 函数模型的应用实例【选题明细表】题号知识点、方法易中难利用已知函数模型解决问题 1 3、8自建函数模型解决问题2、6 4、9拟合函数模型解决问题7 5 10基础达标1.一辆汽车在某段路程中的行驶速度v与时间t的关系图象如图,则t=2时,汽车已行驶的路程为km.( C )(A)100 (B)125 (C)150 (D)225解析:t=2时,汽车行驶的路程为:s=50×0.5+75×1+100×0.5=25+75+50=150 km.故选C.2.某林场计划第一年造林10000亩,以后每年比前一年多造林20%,则第四年造林( D )(A)14400亩(B)172800亩(C)20736亩(D)17280亩解析:设年份为x,造林亩数为y,则y=10000×(1+20%)x-1,∴x=4时,y=17280.故选D.3.某公司招聘员工,面试人数按拟录用人数分段计算,计算公式为:y=其中,x代表拟录用人数,y代表面试人数.若应聘的面试人数为60,则该公司拟录用人数为( C )(A)15 (B)40 (C)25 (D)130解析:令y=60,若4x=60,则x=15>10,不合题意;若2x+10=60,则x=25,满足题意;若1.5x=60,则x=40<100,不合题意.故拟录用人数为25.故选C.4.(2012厦门高一检测)某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销量m(件)与售价x(元)满足一次函数:m=162-3x,若要每天获得最大的销售利润,每件商品的售价应定为( B )(A)30元(B)42元(C)54元(D)越高越好解析:设当每件商品的售价为x元时,每天获得的销售利润为y元.由题意得,y=m(x-30)=(x-30)(162-3x).上式配方得y=-3(x-42)2+432.∴当x=42时,利润最大.故选B.5.今有一组实验数据如表所示:t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12u 1.5 4.04 7.5 12 18.01则体现这些数据关系的最佳函数模型是( C )(A)u=log2t (B)u=2t-2(C)u=- (D)u=2t-2解析:由散点图可知,图象不是直线,排除D;图象不符合对数函数的图象特征,排除A;当t=3时,2t-2=23-2=6,-=-=4,由表格知当t=3时,u=4.04,模型u=-能较好地体现这些数据关系.故选C.6.由于电子技术的飞速发展,计算机的成本不断降低,每隔5年计算机的价格降低,现在价格为8100元的计算机经过15年的价格为元.解析:每隔5年价格降低,15年共降价3次,每次降价为原来的,则15年后计算机的价格为:8100×(1-)3=2400元.答案:24007.现测得(x,y)的两组值为(1,2),(2,5),现在两个拟合模型,甲:y=x2+1,乙:y=3x-1,若又测得(x,y)的一组对应值为(3,10.2),则应选用作为拟合模型较好. 解析:对于甲:x=3时,y=32+1=10,对于乙:x=3时,y=8,因此用甲作为拟合模型更好.答案:甲能力提升8.某个病毒经30分钟繁殖为原来的2倍,且知病毒的繁殖规律为y=e kt(其中k为常数,t表示时间,单位:小时,y表示病毒个数),则k= ,经过5小时,1个病毒能繁殖为个.解析:当t=0.5时,y=2,∴2=,∴k=2ln 2,∴y=e2tln 2,当t=5时,y=e10ln 2=210=1024.答案:2ln 2 10249.(2012山东省实验中学高一月考)某市一家庭今年一月份、二月份和三月份煤气用量和支付费用如表所示:月份用气量(立方米) 煤气费(元)1 4 42 25 143 35 19该市煤气收费的方法是:煤气费=基本费+超额费+保险费.若每月用气量不超过最低额度A(A>4)立方米时,只付基本费3元和每户每月定额保险费C(0<C5)元;若用气量超过A立方米时,超过部分每立方米付B元.(1)根据表格求A、B、C的值;(2)若用户第四月份用气量为30立方米,则应交煤气费多少元?解:(1)设每月用气量为x立方米,支付费用为y元,①根据题意,得y=-由题设知,A>4,0<C5,因此3+C8,从表格中可以看出第二、三月份的费用均大于8元.故用气量25立方米、35立方米均应大于最低额度A立方米,从而将x=25,x=35代入①得--解得(2)由(1)得y=把x=30代入,得y=16.5.即第四月份应交煤气费为16.5元.10.某个体经营者把开始六个月试销A、B两种商品的逐月投资金额与所获纯利润列成如表:投资A种商1 2 3 4 5 6品金额(万元)获纯利润(万元) 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40投资B种商1 2 3 4 5 6品金额(万元)获纯利润(万元) 0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51 该经营者准备第七个月投入12万元经营这两种商品,但不知投入A,B两种商品各多少万元才合算.请你帮助制定一个资金投入方案,使得该经营者能获得最大纯利润,并按你的方案求出该经营者第七个月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字).解:以投资额为横坐标,纯利润为纵坐标,在平面直角坐标系中画出散点图,如图所示.观察散点图可以看出,A种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟,如图(1)所示.取(4,2)为最高点,则y=a(x-4)2+2,再把点(1,0.65)代入,得0.65=a(1-4)2+2,解得a=-0.15,所以y=-0.15(x-4)2+2.B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律是线性的,可以用一次函数模型进行模拟,如图(2)所示.设y=kx+b,取点(1,0.25)和(4,1)代入,得解得所以y=0.25x.设第七个月投入A,B两种商品的资金分别为x A万元,x B万元,总利润为W万元,那么所以W=-0.15(x A-)2+0.15×()2+2.6.当x A=≈3.2万元时,W取最大值,约为4.1万元,此时x B=8.8万元.即该经营者第七个月把12万元中的3.2万元投资A种商品,8.8万元投资B种商品,可获得最大利润约为4.1万元.。
高中数学新人教A版必修1第三章函数的应用3.2函数模型及其应用3.2.2函数模型的应用实例
由题意:v2-v1=1,
2
1
1
− log3 1 = 1.
2
100 2
100
1
log3 2 = 1, ∴ 2 = 9, 即Q2=9Q 1.
2
1
1
即 log3
∴
故鲑鱼要想把游速提高 1 m/s,其耗氧量单位数应变为原来的 9 倍.
收集数据,画图提出假设;
依托图表,理顺数量关系;
抓住关键,建立函数模型;
精确计算,求解数学问题;
回到实际,检验问题结果.
【做一做1】 一辆汽车的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所
示,那么图象所对应的函数模型是(
)
A.一次函数模型
B.二次函数模型
C.指数函数模型
D.对数函数模型
答案:A
【做一做 2】 已知大气压强 p(单位:百帕)与海拔高度 h(单位:
反比例函数模型
f(x) = (k 为常数,k≠0)
一次函数模型
f(x)=kx+b(k,b 为常数,k≠0)
二次函数模型
f(x)=ax2+bx+c(a,b,c 为常数,a≠0)
指数函数模型
f(x)=a·bx+c(a,b,c 为常数,a≠0,b>0,b≠1)
对数函数模型
f(x)=mlogax+n(m,n,a 为常数,m≠0,
M(单位:亿元)和 N(单位:亿元),它们与投资额 t(单位:亿元)的关系有
经验公式:M=
1
3
1
6
,N= . 今该公司将用3 亿元投资这两个项目,若
设甲项目投资 x 亿元,投资这两个项目所获得的总利润为 y 亿元.
人教A版数学必修一第三章3.2.2函数模型的应用实例
[研一题] [例1] 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知， 从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关 系用图1的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的 关系用图2的抛物线段表示． (1)写出图1表示的市场售价与上市时间的函数关系式P＝f(t)， 写出图2表示的种植成本与上市时间的函数关系式Q＝g(t)；
a＝1235， 解得b＝65，
c＝－42，
则 g(x)＝1235·(65)x－42， 故 g(4)＝1235×(65)4－42＝44.4，与计划误差为 5.1. 由上可得，f(x)＝x2＋7x 模型能更好地反映该公司年销量 y(万 辆)与第 x 年的关系.
图(1)是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图(2)是 凹槽的横截面(阴影部分)示意图，其中四边形 ABCD 是矩形， 弧CmD是半圆，曲边形 ABCD 的周长为 4.已知凹槽的强度与 横截面的面积成正比，比例系数为 3，设 AB＝2x，BC＝y.
综上，由 100>87.5 可知，h(t)在区间[0,300]上可以取 得最大值 100，此时 t＝50, 即从二月一日开始的第 50 天， 上市的西红柿纯收益最大．
[悟一法] 求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示 意图表示为：
图表中的第一步：
实际问题
分析、联想 抽―象―、――转→化
建立函数模型
(2)规定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上 市的西红柿纯收益最大？
(注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时 间单位：天)
[自主解答] (1)由图 1 可得，市场售价与时间的函数关 系为 f(t)＝320t－0－30t，0，0≤200t≤<t2≤003，00.
由图 2 可得，种植成本与时间的函数关系为 g(t)＝2010(t －150)2＋100,0≤t≤300.
人教A版数学必修一第三章3.2.2《函数模型的应用实例》讲解与例题
3.2.2 函数模型的应用实例1．用已知函数模型解决实际问题解决已给出函数模型的实际应用题，关键是考虑该题考查的是哪种函数，并要注意定义域，然后结合所给模型，列出函数关系式，最后结合其实际意义作出解答． 解决此类型函数应用题的基本步骤是：第一步：阅读理解，审清题意．读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景．在此基础上，分析出已知是什么，所求是什么，并从中提炼出相应的数学问题．第二步：根据所给模型，列出函数关系式．根据问题的已知条件和数量关系，建立函数关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题．第三步：利用数学方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果． 第四步：再将所得结论转译成具体问题的解答．【例1】我国辽东半岛普兰店附近的泥炭层中，发掘出的古莲子，至今大部分还能发芽开花．经测定，古莲子出土时14C(半衰期为5 730年)的残余量占原始含量的87.9%，试推算古莲子的生活年代(经过科学鉴定，若14C 的原始含量为Q 0，则经过t 年后的残余量Q 与Q 0之间满足Q ＝Q 0·e －kt )．解析：利用半衰期求出参数k ，再根据出土的古莲子14C 的残余量求出古莲子的生活年代．解：已知残余量Q 与Q 0之间满足Q ＝Q 0·e －kt ，其中Q 0是初始量，t 是时间．因为半衰期为5 730年，即当012Q Q 时，t ＝5 730． 所以e －5 730k ＝12，解得k ≈0.000 12．所以Q ＝Q 0·e －0.000 12t ． 由题目条件得0Q Q ＝87.9%，代入上式，解得t ≈1 075． 故古莲子的生活年代约是1 075年前．2．建立函数模型解决实际问题通过收集数据直接去解决问题的一般过程如下：第一步：收集数据．第二步：根据收集到的数在平面直角坐标系内画出散点图．第三步：根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型．第四步：选择其中的几组数据求出函数模型．第五步：将已知数据代入所求出的函数模型进行检验，看其是否符合实际．若不符合实际，则重复第三、四、五步；若符合实际，则进入下一步．第六步：用求得的函数模型去解释实际问题．【例2则x ，y )A ．y ＝a ＋bxB ．y ＝b xC ．y ＝2a x ＋b D ．y ＝b x解析：散点图如图所示：由散点图可知，此函数图象不是直线，排除A 选项；此函数图象是“上升”的，因此该函数为增函数，排除C ，D 选项，故选择B ．答案：B3．已知函数模型的应用题(1)常用到的函数模型：①正比例函数模型：y ＝kx (k ≠0)；②反比例函数模型：y ＝cx d ax b++(a ≠0)； ③一次函数模型：y ＝kx ＋b (k ≠0)；④二次函数模型：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；⑤指数函数模型：y ＝m ·a x ＋b (a ＞0，且a ≠1，m ≠0)；⑥对数函数模型：y ＝m log a x ＋c (m ≠0，a ＞0，且a ≠1)；⑦幂函数模型：y ＝k ·x n ＋b (k ≠0)．(2)二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型．随着新课标的实施，指数、对数函数模型将会起到越来越重要的作用，必将在高考舞台中扮演愈来愈重要的角色．_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【例3－1】在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v (m/s)和燃料的质量M (kg)、火箭(除燃料外)的质量m (kg)的关系式为 2 000ln 1M v m ⎛⎫=+⎪⎝⎭．当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度可达12 km/s? 解：由12 000＝2 000ln 1M m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即6＝ln 1M m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 1＋M m ＝e 6，利用计算器算得M m ≈402． 故当燃料质量约是火箭质量的402倍时，火箭的最大速度可达12 km/s ．【例3－2】现有甲、乙两桶，由甲桶向乙桶输水，开始时，甲桶有a L 水，t min 后，剩余水y L 满足函数关系式y ＝a e －nt ，那么乙桶的水就是y ＝a －a e －nt ，假设经过5 min ，甲桶和乙桶的水相等，则再经过__________min ，甲桶中的水只有8a L ． 解析：由题意可得5 min 时，a e －5n ＝12a ，解得1ln 25n =． 那么剩余水y L 满足的函数关系式为1ln 25t y ae -=．由1ln 251e 8t a a -=，解得t ＝15． 因此，再经过10 min 后，甲桶中的水只有8a L ． 答案：10点技巧 解决已知函数模型应用题的方法 一般来说，若题中已给出了函数模型，通常利用条件列方程(组)，解得解析式中的参数的值，这样已知的函数模型完全确定，再将实际问题转化为求函数的函数值或最值等常见的函数问题来解．4．一次函数模型的应用现实生活中很多事例可以用一次函数模型来表示，例如：匀速直线运动的时间和位移的关系，弹簧的伸长和拉力的关系等．对一次函数来说，当一次项系数为正时，表现为匀速增长，即为增函数，一次项系数为负时为减函数．一次函数模型层次性不高，求解也较为容易，一般我们可以用“问什么，设什么，列什么”这一方法来处理．【例4】某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km ．火车出发10 min 开出13 km 后，以120 km/h 匀速行驶．试写出火车行驶的总路程s 与匀速行驶的时间t 之间的函数关系式，并求离开北京2 h 时火车行驶的路程．解析：由“匀速行驶”可知总路程s 关于时间t 的函数为一次函数，注意时间t 的范围限制．解：因为火车匀速行驶的时间为27713111205-=(h)，所以0≤t ≤115． 因为火车匀速行驶t h 所行驶的路程为120t km ，所以火车行驶的总路程s 与匀速行驶的时间t 之间的函数关系式为s ＝13＋120t 1105t ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭． 故离开北京2 h 时火车行驶的路程s ＝13＋120×116＝233(km)． 5．二次函数模型的应用(1)在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，因为根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最大、最省问题．(2)在应用题中能够列出函数的解析式解答应用题的实质是要转化题意，寻找所给条件含有相等关系的关键词，用等式把变量联系起来，然后再整理成函数的解析式的形式．常用的方法有：①待定系数法：题目给出了含参数的函数关系式，或可确定其函数模型，此种情形下应用待定系数法求出函数解析式中相关参数(未知系数)的值，就可以得到确定的函数解析式．②归纳法：先让自变量x 取一些特殊值，计算出相应的函数值，从中发现规律，再推广到一般情形，从而得到函数解析式．③方程法：用x ，y 表示自变量及其他相关的量，根据问题的实际意义，运用掌握的数学、物理等方面的知识，列出x ，y 的二元方程，把x 看成常数，解方程得y (即函数关系式)，此种方法形式上和列方程解应用题相仿，故称为方程法．______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【例5－1】有A ，B 两城相距100 km ，在A ，B 两城之间距A 城x km 的D 地建一核电站给这两城供电．为保证城市安全，核电站与城市距离不得少于10 km ．已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0.25．若A 城供电量为20亿度/月，B 城供电量为10亿度/月．(1)把月供电总费用y 表示成x 的函数，并求定义域；(2)核电站建在距A 城多远时，才能使供电费用最小？解：(1)由题意：y ＝0.25[20x 2＋10(100－x )2]＝2100500007.533x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭．∵x ≥10，且100－x ≥10，∴10≤x ≤90．∴函数的定义域为[10,90]．(2)由二次函数知当1003x =时，y 最小， 因此当核电站建在距离A 城1003 km 时，供电费用最小． 【例5－2】某企业实行裁员增效，已知现有员工a 人，每人每年可创纯收益(已扣工资等)1万元，据评估在生产条件不变的情况下，每裁员一人，则留岗员工每人每年可多创收0.01万元，但每年需付给每位下岗工人0.4万元的生活费，并且企业正常运转所需人数不得少于现有员工的34，设该企业裁员x 人后年纯收益为y 万元． (1)写出y 关于x 的函数关系式，并指出x 的取值范围．(2)当140＜a ≤280时，该企业应裁员多少人，才能获得最大的经济效益？(注：在保证能取得最大经济效益的情况下，能少裁员，应尽量少裁员)解：(1)由题意可知，y ＝(a －x )(1＋0.01x )－0.4x ＝21140100100100a x x a ⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭． ∵a －x ≥34a ，∴x ≤14a ，即x 的取值范围是区间0,4a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭中的自然数． (2)∵2211707010021002a a y x a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=---+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，且140＜a ≤280，∴当a 为偶数时，x ＝2a －70，y 取最大值． 当a 为奇数时，x ＝12a -－70，y 取最大值(∵尽可能少裁人，∴舍去1702a x =-＋)． ∴当员工人数为偶数时，裁员702a ⎛⎫- ⎪⎝⎭人，才能获得最大的经济效益； 当员工人数为奇数时，裁员1702a -⎛⎫- ⎪⎝⎭人，才能获得最大的经济效益． 6．指数函数模型的应用(1)实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型来表示，在建立函数模型时注意用区分、列举、归纳等方法来探求内在的规律．(2)当实际应用题中没有给出函数模型而函数模型又唯一时，其解题步骤是：第一步：认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景；第二步：恰当地设未知数，列出函数解析式，将实际问题转化成函数问题，即实际问题函数化；第三步：运用所学的数学知识和数学方法解答函数问题，得出函数问题的解；第四步：将所得函数问题的解还原成实际问题的结论．(3)解决函数应用题关键在于理解题意，这就要求：一要加强对常见函数模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化；二要不断拓宽知识面，提高自己的间接生活阅历；三要抓住题目中的关键词或关键量，特别是关于变量的相等关系，这是函数解析式的原型．【例6】有一种放射性元素，因放出射线，其质量在不断减少，经测算，每年衰减的百分率相同．若该元素最初的质量为50 g ，经过一年后质量变为40 g ．(1)设x (x ≥0)年后，这种放射性元素的质量为y g ，写出y 关于x 的表达式；(2)求经过多长时间，这种放射性元素的质量变为原来的一半？(精确到0.1年，参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)思路解析：本题属于降低率问题，建立指数函数模型解决．解：(1)由题意可知每经过一年该放射性元素衰减的百分率为504050-＝20%，故y ＝50(1－20%)x ，则y ＝50×0.8x (x ≥0)．(2)由题意知50×0.8x ＝25，即0.8x ＝0.5，则lg 0.8x ＝lg 0.5，从而可知x lg 0.8＝lg 0.5．因此x ＝lg 0.5lg 20.3010lg 0.83lg 210.90301--=≈--≈3.1． 故约经过3.1年这种放射性元素的质量变为原来的一半．析规律 指数函数模型的应用 在实际问题中，有关增长率(减少率)问题常常用指数函数模型表示．通常可以表示为y ＝N (1±p )x ，其中N 为基础数，p 为增长率(减少率)，x 为时间，增长率问题取“＋”，减少率问题取“－”．7．对数函数模型的应用形如y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的函数是对数函数，a ＞1时，此函数为增函数；0＜a ＜1时，此函数为减函数．虽然直接以对数函数作为模型的应用问题不是很多，但我们要知道，对数运算实际是求指数的运算，因此在指数函数模型中，也常用对数计算．______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【例7】燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝25log 10Q ，单位是m/s ，其中Q 表示燕子的耗氧量． (1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？ (2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？ 解：(1)由题意知，当燕子静止时，它的速度v ＝0，代入题给公式可得0＝25log 10Q ，解得Q ＝10．故燕子静止时的耗氧量是10个单位．(2)将耗氧量Q ＝80代入题给公式得v ＝2805log 10＝5log 28＝15(m/s)． 故当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s ．8．分段函数模型的应用由于分段函数与日常生活联系紧密，已成为考查的热点；对于分段函数，一要注意规范书写格式；二要注意各段的定义域的表示方法，对于中间的各个分点，一般是“一边闭，一边开”，以保证在各分点的“不重不漏”．例如，某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．试写出订购量与实际出厂单价的函数关系式．解：设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为100＋60510.02-＝550个． 因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元．设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为P 元，当0＜x ≤100时，P ＝60，当100＜x ＜550时，P ＝60－0.02(x －100)＝62－50x ，当x≥550时，P＝51，所以P＝f(x)＝60,0100,62,100550,5051,550.xxxx<≤⎧⎪⎪-<<⎨⎪≥⎪⎩【例8】某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4 t时，每吨为1.80元，当用水超过4 t时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x,3x．(1)求y关于x的函数；(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．解：(1)当甲的用水量不超过4 t，即5x≤4时，乙的用水量也不超过4 t，y＝(5x＋3x)×1.8＝14.4x；当甲的用水量超过4 t，乙的用水量不超过4 t，即3x≤4且5x＞4时，y＝4×1.80＋3x×1.80＋3×(5x－4)＝20.4x－4.8；当甲、乙的用水量都超过4 t，即3x＞4时，y＝24x－9.6．故414.4, 0,54420.4 4.80,,534249.6,.3x xy x xx x⎧≤≤⎪⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪->⎪⎩(2)由于y＝f(x)在各段区间上均为单调递增函数，当x∈40,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，y≤45f⎛⎫⎪⎝⎭＝11.52＜26.4；当x∈44,53⎛⎤⎥⎝⎦时，y≤43f⎛⎫⎪⎝⎭＝22.4＜26.4；当x∈4,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭时，令24x－9.6＝26.4，解得x＝1.5，因此5x＝7.5，甲户用水量为7.5 t，甲应付费s1＝4×1.80＋3.5×3＝17.70(元)．3x＝4.5，乙户用水量为4.5 t．乙应付费s2＝4×1.80＋0.5×3＝8.70(元)．点技巧分段函数解析式的求法分段函数的每一段的自变量变化所遵循的规律不同，可先将其看作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，从而写出函数的解析式．要注意各段自变量的变化范围，特别是端点值．9．拟合函数模型的应用(1)此类题目的解题步骤①作图：根据已知数据作出散点图．画散点图时，首先确定自变量和因变量，再以自变量的值为横坐标，以观察到的对应的因变量的值为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各点．当然，如果条件允许，最好借助于计算机画出最准确的散点图．②选择函数模型：根据散点图，结合基本初等函数的图象形状，利用“假设”，找出比较接近的函数模型．这要求会根据图象形状估计函数模型：图象是直线，那么函数模型是一次函数模型y＝kx＋b(k≠0)；图象是抛物线，那么函数模型是二次函数模型y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；图象位于某条垂直于y轴的直线一侧，与y轴相交，且是“上升”的或“下降”的，那么函数模型是指数函数模型；图象位于某条垂直于x 轴的直线一侧，与x 轴相交，且是“上升”的或“下降”的，那么函数模型是对数函数模型．③根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．④利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．(2)关于“假设”问题就一般的数学建模来说，是离不开“假设”的，如果在问题的原始状态下不作任何“假设”，将所有的变化因素全部考虑进去，对于稍复杂一点的问题就无法下手了．“假设”的作用主要表现在以下几个方面：①进一步明确模型中需要考虑的因素和它们在问题中的作用．通常初步接触一个问题，会觉得围绕它的因素非常多，经仔细分析筛查，发现有的因素并无实质联系，有的因素是无关紧要的，排除这些因素，问题则越发清晰明朗．在“假设”时就可以设这些因素不需考虑．②降低解题难度．经过适当的“假设”可以建立数学模型，使问题简单化，从而得到相应的解．一般情况下，最先在最简单的情形下组建模型，然后通过不断地调整假设使模型尽可能地接近实际，从而得到更满意的解．【例9】某个体经营者把开始六个月试销A ，B 两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：A 才合算．请你帮助设计一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字)．解：以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如图所示：观察散点图可以看出：A 种商品的所获纯利润y 与投资额x 之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟，如图①所示：取(4,2)为最高点，则y ＝a (x －4)2＋2，再把点(1,0.65)代入，得0.65＝a (1－4)2＋2，解得a ＝－0.15．故y ＝－0.15(x －4)2＋2．B 种商品所获纯利润y 与投资额x 之间的变化规律是线性的，可用一次函数模型模拟，如图②所示：设y ＝kx ＋b ，取点(1,0.25)和(4,1)代入得0.25,14,k b k b =+⎧⎨=+⎩ 解得0.25,0.k b =⎧⎨=⎩故y ＝0.25x ．因此前6个月所获纯利润y 关于月投资A 种商品的金额x 的函数关系式是y ＝－0.15(x －4)2＋2；前6个月所获纯利润y 关于月投资B 种商品的金额x 的函数关系式是y ＝0.25x ． 设下月投入A ，B 两种商品的资金分别为x A ，x B (万元)，总利润为W (万元)，则212,0.15(4)20.25,A B A B A B x x W y y x x +=⎧⎨=+=--++⎩ 于是W ＝－0.152196A x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋0.15×2196⎛⎫ ⎪⎝⎭＋2.6， 当x A ＝196≈3.2(万元)时，W 取最大值，约为4.1万元． 此时x B ≈8.8(万元)．故该经营者下月把12万元中的3.2万元投资A 种商品，8.8万元投资B 种商品，可获得最大利润约为4.1万元．。
人教版高中数学必修1第三章函数的应用-《3.2.2函数模型的应用实例》教案(2)
课题：§3.2.2函数模型的应用实例（Ⅱ）
教学目标：
知识与技能能够利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题．过程与方法感受运用函数概念建立模型的过程和方法，对给定的函数模型进行简单的分析评价．
情感、态度、价值观体会数学在实际问题中的应用价值．
教学重点：
重点利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题．
难点利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题，并对给定的函数模型进行简单的分析评价．
教学程序与环节设计：
实际问题引入，激发学生兴趣．
型的广泛应用．
教学过程与操作设计：。
2017-2018学年人教版高中数学必修一 第三章 3.2 3.2.2 函数模型的应用实例
5 当x＝ ，即涨价125%时，每天的营业额最大． 4 (2)要使涨价后每天的营业额比原来增加，
x 4 x 1＋ · 1－ · · 则需m· n＞m· n， 10 5 10
即2x2－5x＜0，变形得x(2x－5)<0.
5 5 又x>0，故0＜x＜ .∴x的取值范围为0，2. 2
60x，0≤x≤20， (2)依题意并结合(1)可得f(x)＝1 x200－x，20＜x≤200. 3 当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为 60×20＝1 200； 1 1 10 000 2 当20＜x≤200时，f(x)＝ x(200－x)＝－ (x－100) ＋ 3 3 3 10 000 ≤ ，当且仅当x＝100时，等号成立． 3 10 000 所以，当x＝100时，f(x)在区间(20,200]上取得最大值 . 3 10 000 综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值 3 ≈3 333. 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大 值约为3 333辆/时．
3．2.2
函数模型的应用实例
[导入新知] 1．常见的函数模型 (1)正比例函数模型：f(x)＝ kx (k 为常数，k≠0)； k (2)反比例函数模型：f(x)＝ x (k 为常数，k≠0)； (3)一次函数模型：f(x)＝ kx＋b (k，b 为常数，k≠0)；
2 ax (4)二次函数模型：f(x)＝ ＋bx＋c (a，b，c 为常数，a≠0)；
[化解疑难] 求解函数应用题的程序
二次函数模型
[例1] 已知某种商品涨价x成(1成＝10%)时，每天的销售量减
4 少 x(其中x>0)成． 5 (1)应该涨价多少，才能使每天的营业额(售出的总金额)最大？ (2)如果适当涨价，能使每天的营业额增加，求x的取值范围．
高中数学同步讲义必修一——第三章 3.2 3.2.2 函数模型的应用实例
3.2.2函数模型的应用实例学习目标1.能利用已知函数模型求解实际问题.2.能自建确定性函数模型解决实际问题.3.了解建立拟合函数模型的步骤，并了解检验和调整的必要性．知识点一几类已知函数模型知识点二应用函数模型解决问题的基本过程用函数模型解应用题的四个步骤(1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；(2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；(3)求模——求解数学模型，得出数学模型；(4)还原——将数学结论还原为实际问题．1．实际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系．(×)2．用来拟合散点图的函数图象一定要经过所有散点．(×)3．函数模型中，要求定义域只需使函数式有意义．(×)4．用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了．(×)类型一利用已知函数模型求解实际问题例1某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km.火车出发10 min开出13 km后，以120 km/h的速度匀速行驶．试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系，并求火车离开北京2 h内行驶的路程．考点函数模型的应用题点一次、二次函数模型的应用解 因为火车匀速运动的时间为(277－13)÷120 ＝115 (h)，所以0≤t ≤115.因为火车匀速行驶t h 所行驶的路程为120t km ，所以，火车运行总路程S 与匀速行驶时间t 之间的关系是S ＝13＋120t ⎝⎛⎭⎫0≤t ≤115.2 h 内火车行驶的路程S ＝13＋120×⎝⎛⎭⎫2－1060＝233(km)．反思与感悟 在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是已知函数模型，这时可借助待定系数法求出函数解析式，再根据解题需要研究函数性质．跟踪训练1 如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．则水位下降1米后，水面宽________米．考点 函数模型的应用题点 一次、二次函数模型的应用 答案 2 6解析 以拱顶为原点，过原点与水面平行的直线为x 轴，建立平面直角坐标系(如图)，则水面和拱桥交点A (2，－2)，设抛物线所对应的函数关系式为y ＝ax 2(a ≠0)，则－2＝a ·22，∴a ＝－12，∴y ＝－12x 2.当水面下降1米时，水面和拱桥的交点记作B (b ，－3)，将B 点的坐标代入到y ＝－12x 2中，得b ＝±6，因此水面宽26米．类型二自建确定性函数模型解决实际问题例2某住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境，打算建造一个八边形的休闲花园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成面积为200米2的十字形区域，且计划在正方形MNPK上建一座花坛，其造价为4 200元/米2，在四个相同的矩形上(图中的阴影部分)铺花岗岩路面，其造价为210元/米2，并在四个三角形空地上铺草坪，其造价为80元/米2.(1)设AD的长为x米，试写出总造价Q(单位：元)关于x的函数解析式；(2)问：当x取何值时，总造价最少？求出这个最小值．考点函数模型的综合应用题点函数模型中的最值问题解(1)设AM＝y，AD＝x，则x 2＋4xy ＝200，∴y ＝200－x 24x .故Q ＝4 200x 2＋210×4xy ＋80×2y 2 ＝38 000＋4 000x 2＋400 000x 2(0<x <102)．(2)令t ＝x 2，则Q ＝38 000＋4 000⎝⎛⎭⎫t ＋100t ， 且0<t <200.∵函数u ＝t ＋100t 在(0,10]上单调递减，在[10,200)上单调递增，∴当t ＝10时，u min ＝20.故当x ＝10时，Q min ＝118 000(元)．反思与感悟 自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”． 求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务．设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量． 列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等． 限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等．跟踪训练2 某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆．旅游点规定：每辆自行车的日租金不低于3元并且不超过20元，每辆自行车的日租金x 元只取整数，用y 表示出租所有自行车的日净收入．(日净收入即一日中出租的所有自行车的总收入减去管理费用后的所得) (1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？ 考点 函数模型的应用 题点 分段函数模型的应用解 (1)当3≤x ≤6时，y ＝50x －115，令50x －115＞0， 解得x ＞2.3.又因为x ∈N ，所以3≤x ≤6，且x ∈N .当6＜x ≤20，且x ∈N 时，y ＝[50－3(x －6)]x －115＝－3x 2＋68x －115， 综上可知y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧50x －115，3≤x ≤6，x ∈N ，－3x 2＋68x －115，6＜x ≤20，x ∈N .(2)当3≤x ≤6，且x ∈N 时，因为y ＝50x －115是增函数，所以当x ＝6时，y max ＝185元． 当6＜x ≤20，且x ∈N 时，y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝⎛⎭⎫x －3432＋8113， 所以当x ＝11时，y max ＝270元．综上所述，当每辆自行车日租金定为11元时才能使日净收入最多，为270元． 类型三 建立拟合函数模型解决实际问题例3 某个体经营者把开始六个月试销A ，B 两种商品的逐月投资金额与所获纯利润列成下表.该经营者准备第七个月投入12万元经营这两种商品，但不知A ，B 两种商品各投入多少万元才合算，请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大纯利润，并按你的方案求出该经营者第七个月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字)． 考点 函数拟合问题题点 据实际问题选择函数模型解 以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如图所示．观察散点图可以看出，A 种商品所获纯利润y 与投资额x 之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟，如图①所示．取(4,2)为最高点，则y ＝a (x －4)2＋2(a ≠0)，再把点(1,0.65)代入，得0.65＝a (1－4)2＋2，解得a ＝－0.15，所以y ＝－0.15(x －4)2＋2.B 种商品所获纯利润y 与投资额x 之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型进行模拟，如图②所示．设y ＝kx ＋b (k ≠0)，取点(1,0.30)和(4,1.20)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧ 0.30＝k ＋b ，1.2＝4k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝0.3，b ＝0.所以y ＝0.3x .设第七个月投入A ，B 两种商品的资金分别为x 万元，(12－x )万元，总利润为W 万元，那么W ＝y A ＋y B＝－0.15(x －4)2＋2＋0.3(12－x )， 所以W ＝－0.15(x －3)2＋0.15×9＋3.2.当x ＝3时，W 取最大值，约为4.6万元，此时B 商品的投资为9万元．故该经营者下个月把12万元中的3万元投资A 种商品，9万元投资B 种商品，可获得最大利润，约为4.6万元．反思与感悟 在建立和应用函数模型时，准确地把题目要求翻译成数学问题非常重要，另外实际问题要注意实际意义对定义域、取值范围的影响．跟踪训练3 某商场经营一批进价为每件30元的商品，在市场销售中发现此商品的销售单价x 元与日销量y 件之间有如下关系：(1)在所给坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x ，y )对应的点，并确定x 与y 的一个函数关系式y ＝f (x )．(2)设经营此商品的日销售利润为P 元，根据上述关系式写出P 关于x 的函数关系式，并指出销售单价x 为多少时，才能获得最大日销售利润． 考点 函数拟合问题题点 据实际问题选择函数模型解 实数对(x ，y )对应的点如图所示，由图可知y 是x 的一次函数．(1)设f (x )＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧60＝30k ＋b ，30＝40k ＋b ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－3，b ＝150.所以f (x )＝－3x ＋150,30≤x ≤50，检验成立． (2)P ＝(x －30)·(－3x ＋150)＝－3x2＋240x－4 500,30≤x≤50，所以对称轴x＝－240＝40∈[30,50]．2×(－3)答当销售单价为40元时，所获利润最大．1．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是()A．分段函数B．二次函数C．指数函数D．对数函数考点函数拟合问题题点函数拟合问题答案 A2．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y 的函数关系是( ) A ．1000.9576x y = B ．y ＝(0.957 6)100xC ．y ＝⎝⎛⎭⎫0.957 6100xD ．10010.042 4xy ＝-考点 函数模型的应用题点 指数、对数函数模型的应用 答案 A3．某种植物生长发育的数量y 与时间x 的关系如下表：则下面的函数关系式中，拟合效果最好的是( ) A ．y ＝2x －1 B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x －1 D ．y ＝1.5x 2－2.5x ＋2 考点 函数拟合问题 题点 函数拟合问题 答案 D4．某同学最近5年内的学习费用y (千元)与时间x (年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是( )A ．y ＝ax ＋bB ．y ＝ax 2＋bx ＋cC ．y ＝a e x ＋bD ．y ＝a ln x ＋b考点 函数拟合问题 题点 函数拟合问题答案 B5．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝x25－48x＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？考点函数模型的综合应用题点函数模型中的最值问题解设可获得总利润为R(x)万元，则R(x)＝40x－y＝40x－x25＋48x－8 000＝－x25＋88x－8 000＝－15(x－220)2＋1 680(0≤x≤210)．∵R(x)在[0,210]上是增函数，∴当x＝210时，R(x)max＝－15(210－220)2＋1 680＝1 660(万元)．∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元．解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题．一、选择题1．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )A.y ＝2x －2 B ．y ＝12(x 2－1)C ．y ＝log 2xD ．y ＝12log x考点 函数模型的应用题点 一次、二次函数模型的应用 答案 B解析 由题中表格可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y 的变化随x 的增大而增大的越来越快，分析选项可知B 符合，故选B.2．(2017·湖南衡阳、长郡中学等十三校联考)某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该民企2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( )A ．2017年B ．2018年C ．2019年D ．2020年 考点 函数模型的应用题点 指数、对数函数模型的应用 答案 D解析 设从2016年起，过了n (n ∈N *)年该民企全年投入的研发资金超过200万元，则130×(1＋12%)n ≥200，则n ≥lg2013lg 1.12≈0.30－0.110.05＝3.8，由题意取n ＝4，则n ＋2 016＝2 020.故选D.3．随着我国经济的不断发展，2014年年底某偏远地区农民人均年收入为3 000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长，那么2021年年底该地区的农民人均年收入为( ) A ．3 000×1.06×7元 B ．3 000×1.067元 C ．3 000×1.06×8元 D ．3 000×1.068元考点 函数模型的应用题点 指数、对数函数模型的应用 答案 B解析 根据题意，逐年归纳，总结规律建立关于年份的指数型函数模型，设经过x 年，该地区的农民人均年收入为y 元，依题意有y ＝3 000×1.06x ，因为2014年年底到2021年年底经过了7年，故把x ＝7代入，即可求得y ＝3 000×1.067.故选B.4．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x ，y 应为( )A ．x ＝15，y ＝12B ．x ＝12，y ＝15C ．x ＝14，y ＝10D ．x ＝10，y ＝14考点 函数模型的应用题点 一次、二次函数模型的应用 答案 A解析 由三角形相似得24－y24－8＝x20，得x ＝54(24－y )，∴S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180(8≤y <24)．∴当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15.5．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，如图记录了三次试验的数据．根据上述函数模型和试验数据，可以得到最佳加工时间为( )A ．3.50分钟B ．3.75分钟C ．4.00分钟D ．4.25分钟考点 函数模型的应用题点 一次、二次函数模型的应用 答案 B解析 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b ＋c ＝0.7，16a ＋4b ＋c ＝0.8，25a ＋5b ＋c ＝0.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2，所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2＝－0.2⎝⎛⎭⎫t －1542＋1316， 所以当t ＝3.75时，p 取得最大值，所以最佳加工时间为3.75分钟．故选B.6．据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y (只)与时间x (年)近似满足关系y ＝a log 3(x ＋2)，观测发现2012年冬(作为第1年)有越冬白鹤3 000只，估计到2018年冬有越冬白鹤( )A ．4 000只B ．5 000只C ．6 000只D ．7 000只 考点 函数模型应用题点 指数、对数函数模型的应用 答案 C解析 当x ＝1时，由3 000＝a log 3(1＋2)，得a ＝3 000，所以到2018年冬，即第7年，y ＝3 000×log 3(7＋2)＝6 000.故选C.7．某商场出售一种商品，每天可卖1 000件，每件可获利4元．据经验，若这种商品每件每降价0.1元，则比降价前每天可多卖出100件，为获得最好的经济效益，每件售价应降低的价格为( )A ．2元B ．2.5元C ．1元D ．1.5元 考点 函数模型的综合应用 题点 函数模型中最值问题 答案 D解析 设每件降价0.1x 元，则每件获利(4－0.1x )元，每天卖出商品件数为(1 000＋100x )，利润y ＝(4－0.1x )·(1 000＋100x )＝－10x 2＋300x ＋4 000＝－10(x 2－30x ＋225－225)＋4 000＝－10(x －15)2＋6 250.∴当x ＝15时，y max ＝6 250.故每件售价降低1.5元时，可获得最好的经济效益．8．在股票买卖过程中，经常用到两种曲线：一种是即时价格曲线y ＝f (x )，另一种是平均价格曲线y ＝g (x )．例如，f (2)＝3是指开始买卖2小时的即时价格为3元；g (2)＝3是指开始买卖2小时内的平均价格为3元．下图给出的四个图象中，实线表示y ＝f (x )，虚线表示y ＝g (x )，其中可能正确的是( )考点 函数拟合问题题点 据实际问题选择函数模型 答案 C解析 开始时平均价格与即时价格一致，排除A ，D ；平均价格不能一直大于即时价格，排除B. 二、填空题9．工厂生产某种产品的月产量y (万件)与月份x 满足关系y ＝a ·0.5x ＋b ，现已知该厂今年1月份，2月份生产该产品分别为1万件，1.5万件，则此工厂3月份生产该产品的产量为________万件．考点 函数模型的应用题点 指数、对数函数模型的应用 答案 1.75解析 由题意有⎩⎪⎨⎪⎧1＝0.5a ＋b ，1.5＝0.25a ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2，∴y ＝－2×0.5x ＋2，∴3月份产量为y ＝－2×0.53＋2＝1.75(万件)．10．一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg /mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL ，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过________小时才能开车．(精确到1小时，参考数据：lg 3≈0.477，lg 4≈0.602)考点 函数模型的应用题点 指数、对数函数模型的应用 答案 5解析 设至少经过x 小时才能开车，由题意得0.3(1－25%)x ≤0.09，∴0.75x ≤0.3，x ≥log 0.750.3≈4.2.11．现测得(x ，y )的两组对应值分别为(1,2)，(2,5)，现有两个待选模型，甲：y ＝x 2＋1，乙：y ＝3x －1，若又测得(x ，y )的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为函数模型． 考点 函数拟合问题题点 据实际问题选择函数模型 答案 甲解析 将x ＝3分别代入y ＝x 2＋1及y ＝3x －1中，得y ＝32＋1＝10，y ＝3×3－1＝8.由于10更接近10.2，所以选用甲模型． 三、解答题12．牧场中羊群的最大畜养量为m 只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量．已知羊群的年增长量y 只和实际畜养量x 只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k (k >0)．(1)写出y 关于x 的函数解析式，并指出这个函数的定义域； (2)求羊群年增长量的最大值；(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k 的取值范围． 考点 函数模型的综合应用 题点 函数模型中的最值问题解 (1)根据题意，由于最大畜养量为m 只，实际畜养量为x 只，则畜养率为xm ，故空闲率为1－xm ，由此可得y ＝kx ⎝⎛⎭⎫1－x m (0<x <m )． (2)对原二次函数配方，得y ＝－km (x 2－mx )＝－k m ⎝⎛⎭⎫x －m 22＋km 4. 即当x ＝m 2时，y 取得最大值km4.(3)由题意知为给羊群留有一定的生长空间，则实际畜养量与年增长量的和小于最大畜养量，即0<x ＋y <m .因为当x ＝m 2时，y max ＝km 4，所以0<m 2＋km4<m ，解得－2<k <2.又因为k >0，所以0<k <2.即k 的取值范围是(0,2)．13．季节性服装的销售当旺季来临时，价格呈上升趋势，设某服装开始时定价为10元，并且每周(7天)涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售；10周后旺季过去，平均每周减价2元，直到16周后，该服装不再销售． (1)试建立价格p 与周次t 之间的函数关系式；(2)若此服装每周进货一次，每件进价Q 与周次t 之间的关系式为Q ＝－0.125(t －8)2＋12，t ∈[0,16]，t ∈N ，试问该服装第几周每件销售利润最大？最大值是多少？ 考点 函数模型的综合应用 题点 函数模型中的最值问题解 (1)p ＝⎩⎪⎨⎪⎧10＋2t ，t ∈[0，5]，t ∈N ，20，t ∈(5，10]，t ∈N ，40－2t ，t ∈(10，16]，t ∈N .(2)设第t 周时每件销售利润为L (t )，则L (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧10＋2t ＋0.125(t －8)2－12，t ∈[0，5]，20＋0.125(t －8)2－12，t ∈(5，10]，40－2t ＋0.125(t －8)2－12，t ∈(10，16]＝⎩⎪⎨⎪⎧0.125t 2＋6，t ∈[0，5]，t ∈N ，0.125(t －8)2＋8，t ∈(5，10]，t ∈N ，0.125t 2－4t ＋36，t ∈(10，16]，t ∈N .当t ∈[0,5]，t ∈N 时，L (t )单调递增， L (t )max ＝L (5)＝9.125；当t ∈(5,10]，t ∈N 时，L (t )max ＝L (6)＝L (10)＝8.5；当t ∈(10,16]，t ∈N 时，L (t )单调递减， L (t )max ＝L (11)＝7.125.由9.125>8.5>7.125，知L (t )max ＝9.125.从而第5周每件销售利润最大，最大值为9.125元． 四、探究与拓展14．某商场在国庆促销期间规定，商场内所有商品按标价的80%出售，同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如，购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为400×0.2＋30＝110(元)．若顾客购买一件标价为1 000元的商品，则所能得到的优惠额为________元．考点函数模型的应用题点分段函数模型的应用答案330解析依题意知，得到的优惠额为1 000×(1－80%)＋130＝200＋130＝330(元)．15．某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象如图所示，假设其关系为指数函数，并给出了下列说法：①此指数函数的底数为2；②在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30 m2；③野生水葫芦从4 m2蔓延到12 m2只需1.5个月；④设野生水葫芦蔓延到2 m2,3 m2,6 m2所需的时间分别为t1，t2，t3，则有t1＋t2＝t3.其中正确的说法有________．(请把正确说法的序号都填在横线上)考点函数模型的应用题点指数、对数函数模型的应用答案①②④解析该指数函数的解析式为f(x)＝2x，所以①正确；当x＝5时，f(5)＝32>30，所以②正确；由f(x1)＝2x1＝4和f(x2)＝2x2＝12，得x1＝2，x2＝log212＝2＋log23，所以x2－x1＝log23>1.5，所以③错误；设2t1＝2,2t2＝3,2t3＝6，则t1＝1，t2＝log23，t3＝log26，则t1＋t2＝1＋log23＝log2(2×3)＝log26＝t3，所以④正确．。
人教A版高中数学必修一3.2.2函数模型的应用实例课件
第三章 函数的应用
(2)依题意并结合(1)可得
60x，0≤x≤20， f(x)＝13x200－x，20＜x≤200.
当 0≤x≤20 时，f(x)为增函数，故当 x＝20 时，f(x)在区间[0,20]
上取得最大值 60×20＝1 200；
当
20＜x≤200
时，f(x)＝13x(200－x)＝－13(x－100)2＋10
数学 必修1 配人教 A版
[解] (1)由 v＝12log310θ0可知，
第三章 函数的应用
当 θ＝900 时，
v＝12log3910000＝12log39＝1(m/s)．
所以当一条鲑鱼的耗氧量是 900 个单位时，它的游速是 1 m/s.
(2)由 v2－v1＝1， 即12log31θ020－12log31θ010＝1，
格为( )
A．0.972 元
B．0.972a 元
C．0.96 元
D．0.96a 元
答案：B
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第三章 函数的应用
3．某物体一天内的温度 T 是时间 t 的函数 T(t)＝t3－3t＋60， 时间单位是 h，温度单位是℃，t＝0 时表示中午 12：00，上午 8：00 时的温度为________℃.
答案：8
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第三章 函数的应用
4．长为 4，宽为 3 的矩形，当长增加 x，且宽减少2x时面积最
大，此时 x＝________，面积 S＝________.
答案：1
25 2
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第三章 函数的应用
5．某人从 A 地出发，开车以每小时 80 千米的速度经 2 小时 到达 B 地，在 B 地停留 3 小时，则汽车离开 A 地的距离 y(单位： 千 米 ) 是 时 间 t( 单 位 ： 小 时 ) 的 函 数 ， 则 该 函 数 的 解 析 式 为 ____________．
必修一3-2-2函数模型的应用实例
课堂讲练互动
活页规范训练
名师点睛 1．利用确定函数模型求解实际问题 这类应用题提供的变量关系是确定的，是以现实生活为原型设 计的，其目的在于考查学生对数学语言的阅读、理解、表达与 转化能力．求解时一般按以下几步进行： (1)阅读理解，认真审题，就是读懂题中的文字叙述，关键是找 准题目中确定的相等关系，特别是隐含的相等关系；
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
2．利用拟合函数模型(近似函数模型)解决实际过程． (1)这类应用题提供的变量关系是不确定的，只是给出了两个变 量的几组对应值(是搜集或用实验方法测定的)．为了降低难度， 有时采用限定函数模型范围的方法．求解这种函数模型的一般 步骤为：画散点图→选择函数模型→用待定系数法求函数模型 →检验，若符合实际，可用此函数模型解释实际问题，若不符 合实际，则继续选择函数模型，重复操作过程．利用所得函数 模型可解释有关现象，对某些发展趋势进行预测．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
3．拟合函数模型的应用题求解步骤
想一想：数据拟合时，得到的函数为什么需要检验？ 提示 因为根据已给的数据，作出散点图，根据散点图，一般 是从我们比较熟悉的、最简单的函数作模拟，但所估计的函数 有时可能误差较大或不切合客观实际，此时就要再改选其他函 数模型．
课前训练
(2)引进数学符号，建立函数模型，把第一步分析得出的相等关 系翻译成含有 x，y 的等式，即所谓建立了函数模型，这个函数 模型可能含有一些待定的系数，则需要进一步用待定系数法或 其他方法确定； (3)利用函数知识，如单调性、最值等，对函数模型予以解答， 即所谓解答函数模型； (4)翻译成具体问题作答．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【平煤高中学案必修一】32函数模型的应用实例
3.2.2函数模型的应用实例（2）
学习目标
1. 通过一些实例，来感受一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数的广泛应用，体会解决实际问题中建立函数模型的过程，从而进一步加深对这些函数的理解与应用；
2. 了解分段函数、指数函数、对数函数等函数模型的应用.
新课讲授
例1、某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示：
请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润。
例2、某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：
（1）根据上表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg与身高x cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式。
（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏重，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175 cm，体重为78 kg的在校男生的体重是否正常？
随堂训练
1. 向高为H的圆锥形漏斗内注入化学溶液（漏斗下口暂且关闭），注入溶液量V与溶液深度h的大概图象是（）.
2. 某种生物增长的数量y与时间的关系如下表：
A．21
y x
=-B．21
x
y=-
C．21
y x
=-D．2
1.5
2.52
y x x
=-+
3. 某杂志能以每本1.20的价格发行12万本，设定价每提高0.1元，发行量就减少4万本. 则杂志的总销售收入y万元与其定价x的函数关系是.
4. 某新型电子产品2002年投产，计划2004年使其成本降低36℅. 则平均每年应降低成本%.。
高一数学人教A版必修一课件：第三章3-2-3-2-2函数模型的应用实例
则当 n＝10 时，y＝1.6＋0.5×8＝5.6(元)． 答案：5.6
类型 1 图表信息迁移题(自主研析) [典例 1] (1)下面是一幅统计图，根据此图得到的以 下说法中，正确的个数是( )
①这几年生活水平逐年得到提高； ②生活费收入指数增长最快的一年是 2011 年； ③生活价格指数上涨速度最快的一年是 2012 年； ④虽然 2013 年生活费收入增长缓慢，但生活价格指 数也略有降低，因而生活水平有较大的改善． A．1 B．2 C．3 D．4
12 1 车与人之间的距离 d＝(s＋25)－6t＝ t －6t＋25＝ (t－ 2 2 6)2＋7，当 t＝6 时，d 取得最小值为 7.
答案：7
5．某音像社对外出租光盘的收费方法是：每张光盘 在租出以后的头两天每天收费 0.8 元，以后每天收费 0.5 元，那么一张光盘在租出后的第 10 天应收租金________ 元． 解析：设第 n(n∈N*)天收费 y 元， 0.8n，n≤2， 由题意得 y＝ (n∈N*)， 1.6＋0.5（n－2），n≥3
“生活价格指数”在 2012～2013 年最平缓，故③不 正确；“生活价格指数”略呈下降，而“生活费收入指 数”呈上升趋势，故④正确． (2)水深 h 越大，水的体积 V 就越大，故函数 V＝f(h) 是个增函数，一开始增长越来越快，后来增长越来越慢， 图象是先凹后凸的，曲线斜率是先增大后变小的．
第三章 函数的应用
3.2 函数模型及其应用 3．2.2 函数模型的应用实例
[ 学习目标 ] 1. 会利用已知函数模型解决实际问题 (重点)． 2.通过对数据的合理分析，能自己建立函数模 型解决实际问题(重点、难点)．
[知识提炼· 梳理] 1．函数模型应用的两个方面 (1)利用已知函数模型解决问题； (2)建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释 有关现象，对某些发展趋势进行预测． 温馨提示 利用函数模型解决实际应用题时， 要抓住 关键：选择和建立恰当的函数模型．
高中数学 第三章 §3.2.2函数模型的应用实例课件 新人教A版必修1
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小结 在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次 函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于 0)或直 线下降(自变量的系数小于 0)，构建一次函数模型，利用一次 函数模型，利用一次函数的图象与单调性求解．
年份
1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959
人数/万人 55 196 56 300 57 482 58 796 60 266 61 456 62 828 64 563 65 994 67 207
(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增
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跟踪训练 2 某游乐场每天的盈利额 y 元 与售出的门票数 x 张之间的关系如图所示， 试问盈利额为 750 元时，当天售出的门票 数为多少？ 解 根据题意，每天的盈利额 y 元与售出的门 票数 x 张之间的函数关系是：y＝31..7255xx＋0≤1 0x0≤0440000<x≤600 . ①当 0≤x≤400 时，由 3.75x＝750，得 x＝200. ②当 400<x≤600 时，由 1.25x＋1 000＝750，得 x＝－ 200(舍去)． 综合①和②，盈利额为 750 元时，当天售出的门票数为 200 张． 答 当天售出的门票数为 200 张时盈利额为 750 元．
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当 y＝10 时，解得 t≈231. 所以，1881 年世界人口约为 10 年的 2 倍．
(2)由此看出，此模型不太适宜估计跨度时间非常大的人口增长 情况.
人教A版高一数学必修一 3.2.2 函数模型的应用实例 教案
3.2.2 函数模型的应用实例一、教学目标：知识与技能：1．会分析所给出数据，画出散点图． 2．会利用选择或建立的函数模型． 3．会运用函数模型解决实际问题． 过程与方法：1．通过对给出的数据的分析，抽象出相应的确定性函数模型，并验证函数模型的合理性．2．通过收集到的数据作出散点图，并通过观察图像判断问题所适用的函数模型，在合理选择部分数据计算机的拟合功能得出具体的满意的函数解析式，并应用模型解决实际问题．情感、态度和价值观：1．经历建立函数模型解决实际问题的过程，领悟数学源自生活，服务生活，体会数学的应用价值．2．培养学生的应用意识、创新意识和探索精神，优化学生的理性思维和求真务实的科学态度． 二、重点难点重点：根据收集的数据作出散点图，并通过观察图像选择问题所适用的函数模型，利用演算或计算机数据建立具体的函数解析式．难点：怎样合理分析数据选择函数模型和建立具体的函数解析式． 三、教学方法通过让学生观察、思考、交流、讨论、展示。
四、教学过程（1）温故知新，提出问题；上节课我们已经学习了应用已知函数模型解决实际问题，主要的函数模型有y kx b =+，2y ax bx c =++，log a y x =，0rx y y e =．但在实际解决问题中，我们常常碰到没有函数模型或不能建立确切的函数模型，那我们又改如何选择和确定函数模型，如何解决实际问题呢？设计意图：从温故的角度自然地复习已经学习的函数模型内容，进入学习函数模型实际应用的情景，以及为本节课中选择函数模型作好铺垫．同时提出没有函数模型或不能建立确切的函数模型的实际问题如何解决，明确本节课的任务，以及点出本节课的课题．（2）问题探究；例1 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus,1766—1834)就提出了自然状态下的人口增长模型：y=y0e rt，其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.下表是1950~1959年我国的人口数据资料：0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；（2）如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？师生：共同完成例1 解答：（1）设1951~1959年的人口增长率分别为r1，r2，…，r9.由55196(1 + r1) = 56300，可得1951年的人口增长率，r1≈0.0200.同理可得，r2≈0.0210，r3≈0.0229，r4≈0.0250，r5≈0.0197，r6≈0.0223，r7≈0.0276，r8≈0.0222，r9≈0.0184.于是，1951~1959年期间，我国人口的年均增长率为；r(r1+r2+…+r9)÷9≈0.0221.令y0=55196，则我国在1950~1959年期间的人口增长模型为y=55196e0.0221t，t∈N.根据表中的数据作出散点图并作出函数y=55196e0.0221t(t∈N)的图象由图可以看出，所得模型与1950~1959年的实际人口数据基本吻合.（2）将y=130000代入y=55196e0.0221t，由计算器可得t≈38.76.所以，如果按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年（即1989年）我国的人口就已达到13亿.由此可以看到，如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力.例2 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表年男性体重y kg与身高x cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式.（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm，体重为78kg的在校男生的体重是否正常？解答：（1）以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图.根据点的分布特征，可考虑以y=a·b x作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型.如果取其中的两组数据(70，7.90)，(160，47.25)，代入y=a·b x得：701607.947.25a ba b⎧=⋅⎪⎨=⋅⎪⎩，用计算器算得a≈2，b≈1.02.这样，我们就得到一个函数模型：y=2×1.02x.将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系.（2）将x=175代入y=2×1.02x得y=2×1.02175，由计算器算得y≈63.98.由于78÷63.98≈1.22＞1.2，所以，这个男生偏胖.设计意图：利用问题串引导学生分析问题所提供的数据特点，由数据特点抽象出函数模型，培养学生建模能力，从而提高解决问题的能力．学生独立思考与学生小组合作，即锻炼学生的思考能力，又加强学生的小组合作，学会团结合作，为下一种选择函数模型作好必要知识和能力铺垫．利用图像发现函数模型，渗透数形结合思想，同时加深对函数的表格、解析式、图像的三种表示形式．归纳总结：通过建立函数模型，解决实际实际问题的基本过程：设计意图：回顾解题过程，系统总结一个较为完整的建立函数模型解决问题的过程，学生理解从解题过程上升为解题策略，培养学生的反思和总结能力．当堂检测：1．某商人购货，进价按原价扣去25%，他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售后可获得售价25%的纯利，则此商人经营这种货物的件数与按新价让利总额之间的函数关系是.2．已知镭经过100年，质量便比原来减少4.24%，设质量为1的镭经过年后的剩留量为，则的函数解析式为.3．某企业实行裁员增效.已知现有员工人，每人每年可创纯收益(已扣工资等)1万元，据评估在生产条件不变的条件下，每裁员一人，则留岗员工每人每年可多创收0.01万，但每年需付给每位下岗工人0.4万元的生活费，并且企业正常运转所需人数不得少于现有员工的，设该企业裁员人后年纯收益为万元.(1)写出关于的函数关系式，并指出的取值范围.(2) 当时，问该企业应裁员多少人，才能获得最大的经济效益？(注：在保证能取得最大经济效益的情况下，能少裁员，应尽量少裁.)4．某工厂今年1月，2月，3月生产某产品分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了预测以后每个月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量与月份数的关系，模拟函数可选用二次函数或指数型函数(其中，，为常数).已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问选择以上哪个函数作为模型较好？并说明理由.答案；1．(x∉N*) 2．3．(1)由题意可得y＝(a－x)(1＋0.01x)－0.4x，因为，所以.即x的取值范围是中的自然数.(2)因为，且140＜a≤280，所以当a为偶数时，，y取最大值.当a为奇数时，，y取最大值.(因为尽可能少裁人，所以舍去.)答：当员工人数为偶数时，裁员人，才能获得最大的经济效益，当员工人数为奇数时，裁员人，才能获得最大的经济效益.4．设y1＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则有；解得所以f(4)＝－0.05×42＋0.35×4＋0.7＝1.3.①设y2＝g(x)＝mn x＋p则有；解得所以g(4)＝－0.8×0.54＋1.4＝135.②比较①，②知，g(4)＝1.35更接近4月份的实际产量1.37万件.故选择y＝－0.8×0.5x＋1.4作为模型较好.五、课堂小结所谓数学模型是指对客观实际的特征或数量关系进行抽象概括，用形式化的数学语言表述的一种数学结构.数学模型剔除了事物中一切与研究目标无本质联系的各种属性，在纯粹状态下研究数量关系和空间形式，函数就是最重要的数学模型，用函数解决方程问题，使求解变得容易进行，这是数学模型间的相互转换在发挥作用.而用函数解决实际问题，则体现了数学模型是联系数学与现实世界的桥梁.六、课后作业课时练与测七、教学反思。