2018数学高考高三下学期高考模拟卷数学(理)试题：(1) Word版含答案
高三数学-2018年高考模拟试题-数学(理) 精品
2018年 高 考 模 拟 考 试数学（理工农医类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.第I 卷（选择题 共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A 、B 相互独立，那么 P(A·B)=P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()(球的表面积公式 24R S π= 其中R 表示球的半径 球的体积公式 334R V π=球 其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12个小题：每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的. 1．设P={3,4,5},Q={4,5,6,7},定义P ※Q={(a , b) |a ∈P ，b ∈Q}，则P ※Q=中元素的个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．7 D ．122．种植两株不同的花卉，它们的存活率分别为p 和q ，则恰有一株存活的概率为 （ ） A ．p+q －2pq B ．p+q －pq C ．p+q D ．pq 3．1>ab是a (a －b)<0成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．在棱长为a 的正方体中，以各面的中心为顶点的多面体是一个正八面体，则这个正八面体 的体积是 （ ）A ．33aB ．43aC ．63aD ．123a5．如果复数ibi212+-（其中i 为虚数单位，b 为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b 等于（ ）A ．2B ．32 C ．－32 D ．26．如图，△ABO 为正三角形，直线x=t 截三角形得△ABO 左侧的阴影图形，当直线l 自左向 右匀速移动时（0≤t ≤a ），则：阴影图形面积S 关于t 的函数图象大致是 （ ）A B C D7．函数)2cos(3)2sin()(θθ+++=x x x f 的图象关于原点对称的充要条件是 （ ） A ．Z k k ∈-=,62ππθ B ．Z k k ∈-=,6ππθC ．Z k k ∈-=,32ππθD ．Z k k ∈-=,3ππθ8．在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 中，P 为底面ABCD 所在平面内一动点，点P 到直线BC 的距离是它到直线AA 1的距离的2倍，则P 点的轨迹是 （ ） A ．直线 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线9．已知双曲线]2,2[),(,12222∈∈=-+e R b a by a x 的离心率，在两条渐近线所构成的角中，以实轴为角平分线的角为θ，则θ的取值范围是（ ）A ．]2,6[ππ B ．]2,3[ππ C ．]32,2[ππ D ．),32[ππ 10．边圆)23,25(522P y x 内点=+ 有n 条弦，这n 条弦的长度成等差数列}{n a ，如果过P 点的圆的最短的弦长为a 1，最长的弦长为a n ,且公差),31,61(∈d 那么n 的取值集合为（ ）A ．{5，6，7}B ．{4，5，6}C ．{3，4，5}D ．{3，4，5，6}11．设m 、n 都是不大于6的自然数，则方程12626=-y C x C y m 表示的双曲线的个数是（ ） A ．16 B ．15 C ．12 D ．612．对某种产品的6件不同正品和4件不同次品，一一进行测试，到区分出所有次品为止.若所有次品恰好在第五次测试被全部发现，则这样的测试方法有 （ ）第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13．已知f (x )=x 3+b x 2+c x +d 在（－∞，0）上是增函数，在[0，2]上是减函数，则c 的值为 .14．已知在同一平面内向量b a 与垂直，向量c 与向量a 的夹角为60°，且c b a r c b a ++====则向量,2||,3||,1||的模等于 .15．设椭机变量ξ的概率分布为： 则ξ的数学期望E ξ的最大 值是16．设f (x )=x 2+ax +b,且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4,则点(a , b)在a Ob 平面上的区域的面积是 三、解答题：本大题共6小题：共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）对5副不同的手套进行不放回抽取，甲先任取一只，乙再任取一只，然后甲又任取一只，最后乙再任取一只.（I ）求下列事件的概率：①A ：甲正好取到两只配对手套； ②B ：乙正好取到两只配对手套；（II ）A 与B 是否独立？并证明你的结论.18．（本小题满分12分）命题p:不等式};331|{|12|<<-+<-x x a x x 的解集是 命题q:不等式.1442φ的解集是+≥ax x 若“p 或q ”为真命题，试求a 的值集取值范围.19．（本小题满分12分）如图，ABCD是边长为a的正方形，M，N分别在AD、BC上滑动，且MN//AB，设AC 与MN相交于O点，把平面MNCD沿MN折起到MNEF的位置，使面MNEF与面MNBA成120°的二面角.（I）试推断∠AOE是否为定值？说明你的理由；（II）当A、E两点间的距离最小时，证明：平面AOE⊥平面ABE.20．（本小题满分12分）已知平面向量)23,21(),1,3(=-=b a ，若存在不同时为零的实数k 和t ，使 .,,)3(2t k t ⊥+-=-+=且（I ）试求函数关系式k=f (t)；（II ）讨论关于t 的方程f (t)－m=0解的个数情况.21．（本小题满分12分）在周长为定值的△ABC 中，已知AB=6，且当顶点C 位于定点P 时，cosC 有最小值为257. （I ）建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程；（II ）过点A 作直线与（I ）中的曲线交于M ，N 两点，求|BM|·|BN|的最小值的集合.22．（本小题满分14分）已知函数R a xa ax x f ∈--+=,1)(（I ）构造数列{x n }:x 1在定义域内，x 2=f (x 1), x 3=f (x 2)…x n =f (x n －1)…在上述过程中，若x i (i=1,2…)在定义域内，构造数列的过程继续下去；若x i 不在定义域内，构造数列的过程停止.试求a 的值使{x n }为无穷数列：（II ）)]([)()]([)()],([)(),()(,1)()(123121x g g x g x g g x g x g g x g x g x g x f x g n n -====+= …对于定义域内的任意x 值，均有g 3(x )=g 6(x )，试求a 的值.2018年 高 考 模 拟 考 试数学（理工农医类）参考答案DABCC ADBCA AC 13．0； 14．4或2 ； 15．2316．1 17．（I ）①P(A)=9124102815=⋅⋅A A C …………………………………………4分 ②P(B)= 9124102815=⋅⋅A A C ……………………………………………8分 （II ）P(AB)=,811)()(,631224101225==⋅⋅⋅B P A P A C C ∴P(A)P(B)≠P(AB),故A 与B 是不独立的.…………………………12分 18．（1）P ：|2x －1|<x +a ,可转化为2x －1<x +a 且2x －1>－x －a ，即,131a x a+<<- 与2,313131:}331|{==+-=-<<-a a a x x 得到且比较 （2）q:0144,14422≤+-+≥x ax ax x φ的解集是的解集是φ，得到a >0且 =16－16a <0，推出a >1（3）因为“p 或q ”为真命题，所以a =2或a >1即a >1 19．解法一：（I ）设BN=x (o ∠x ∠a ),EN=a －x ,易知MN ⊥平面BEN.∴∠BNE=120°在△BNE 中，据余弦定理可得BE 2=x 2－ax+a 2 又AB//MN ，∴AB ⊥平面BEN ，∴AB ⊥BE 在Rt △ABE 中，AE 2=AB 2+BE 2=x 2－ax +2a 2∵AC=2a ,OE=OC=2(a －x ), AO=AC －OC=2x43)(4332cos ,2222-=--=⋅-+=∠∆∴x a x ax x OE AO AE OE AO AOE AOE 中在)43arccos(-=∠∴AOE 为定值. 6分（II ）)0(47)2(222222a x a a x a ax x AE <<+-=+-=∴a AE a x 47,2有最小值时=，此时，M ，N 分别为AD 、BC 的中点.∴BN=CN=EN ，连CE ，则CE ⊥BE.又AB ⊥平面BCE ，∴CE ⊥AB ，从而CE ⊥平面ABE.∵CE ⊂平面AOE ，∴平面AOE ⊥平面ABE ，………………12分 解法二：（I ）易知MN ⊥平面BEN ，∴∠BNE=120°以AB 为x 轴，BC 为y 轴，B 为原点建立空间直角坐标系，设CN=x ，则EN=x ，BN=a －x .过E 点作EH ⊥BC 于H ，则22360x a NH BN BH x ENSin EH -=+====∵AB//MN ，∴AB ⊥平面BEN ，∴E 点在平面yBZ 内O O a a O a a O a a O CEo a o C a a O E a AE a x a x O a a x a ax x x x a a AE II AOE xx x a x x a x x a x OE OA AOE COS x x x OE O a x a x OA O x a x O x x a o E o o a A ⊥⊥∴=⋅=⋅∴==-==∴<<+-++-=+-+=-=∠∴-=++⋅-⋅-+-=⋅=∠∴=--=∴----∴且则连又此时有最小值时当分为定值,)43,43,(),43,43,(),43,4,(),,(),43,43,(,47,2)(47)2(243)2(||)(6.)43arccos(43434)(22)()(||||)23,2,(),,,(),,(),23,2,(),,,(222222222222∴CE ⊥平面ABE ∵CE ⊂平面AOE∴平面AOE ⊥平面ABE …………………………………………12分 20．（I ）1）0=⋅∴⊥ 0)3()]3([2222=-+⋅--+-∴b t t b a t k t a k1||4||0222=====⋅)3(4103423-==-+-∴t t K t t K 即 ……6分 （II ）)3(41)(3t t t f -= )1)(1(434343)(2-+=-='t t t t f令110)(>-<>'t t t f 或得 ∴当)(11t f t t 时或>-<是增函数又令110)(<<-<'t t f 得 )()1,1(t f t 时当-∈∴是单调递减，构造y=m ，)3(41)(3t t t f -=的图象（图略） ∴当m>21或m<－21时，方程一解；当m=21或m=－21时，方程二解；当－21<m<21时，方程三解.…………………………………………12分21．（I ）以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，设PA+PB=2a（a ＞0）为定值，所以P 点的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，62==∴AB c 焦距（2分）11822362)(26cos 22222-⋅-=⋅-⋅-+=⋅-+=PA PB a PA PB PA PB PA PB PA PB PA PB C 又)4,0(,181cos )22(222±-≥∴=≤⋅p a C a a PA PB 此时，由题意得 C a a ∴=∴=-,25,25718122点的轨迹方程为)0(1162522≠=+y y x ……4分（II ）设M(x 1, y 1), N(x 2, y 2)，当直线MN 的倾斜角不为90°时，设其方程为y=k(x+3)代入椭圆方程化简得.25/16531/14425/161,25/16531/1442516144531252516144812516450256259)(325)535)(535(||||2516400225,25161500,0)1169(83)16251(222222222212121222122212222的最小值即考虑的最小值只考虑分而由椭圆第二定义可得显然有++-+-+-+=+-+++=++-=--=⋅+-=⋅+-=+∴≥∆=-+++k k k k k k k k k x x x x x x BN BM k k x x k k x x k x k x k易知当k=0时，25/16531/14425/1612++-k 取最小值 此时|BM|·|BN|取最小值16 当直线MN 的倾斜角为90°时，x 1=x 2=－3得|BM|·|BN|=16)534(2>；…………10分但)0(1162522≠=+y y x ，故这样的M ，N 不存在，即|BM|·|BN|=的最小值集合为空集……12分22．（I ）由已知，即不存在f (x )=a 的解.要求a xa ax =--+1无解，即x +1－a =a 2－ax 无解，即(1+a )x =a 2+a －1无解，∴a =－1………………………………………………6分 （II ）xa x g -=1)(，设g 3(x )=t, 因为g 3(x )=g 6(x ),所以t=g 3(t) 22232232232222321221212111)()]([)(111)1()]([)(t at t a t a at a t ta t a a at a t a t a a at a at a t a a tat a ta g t g g t g at a t a ta a ta g t g g t g +--=--∴=+----+----=----=---==---=--=-== ,0)1()1()1(2222=-+---a t a a t a 对对于定义域内的任意t 均成立，必须1－a 2=0,得到a =±1 …………………………………………14分。
高三数学-2018年高考模拟试1(答案) 精品
2018年高考模拟试卷(数学)答案 第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.B2.D3.A4.B5.A6.B7.C8.C9.D 10.B 11.A 12.D第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二 .填空题：本大题共4个小题，没小题4分，共16分。
把答案填在题中横线上。
13. e 114.496 15. 5416.1,3三、解答题17．（1）依题意，随机变量ξ的取值是2、3、4、5、6.因为64983)2(22===ξP ；6418832)3(22=⨯==ξP ； 642182323)4(22=⨯⨯+==ξP ；64128232)5(2=⨯⨯==ξP ； 64482)6(22===ξP ；所以，当4=ξ 时，其发生的概率6421)4(==ξP 最大。
6分（2）41564466412564214641836492=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 8分 644)4156(6412)4155(6421)4154(6418)4153(649)4152(22222⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=ξD =10241248=3239 所以，所求期望为415，所求方差为3239. 12分 18解：（1）)3sin ,(cos ),sin ,3(cos -=-=αααα ， 2分αααcos 610sin )3(cos ||22-=+-=∴AC ，αααsin 610)3(sin cos ||22-=-+=BC . 4分由||||=得ααcos sin =. 又45),23,2(παππα=∴∈ . 6分 （2）由.1)3(sin sin cos )3(cos ,1-=-+--=⋅αααα得.32cos sin =+∴αα① 7分又.cos sin 2cos sin 1cos sin 2sin 2tan 12sin sin 222αααααααααα=++=++ 9分 由①式两分平方得,94cos sin 21=+αα .95tan 12sin sin 2.95cos sin 22-=++∴-=∴ααααα 12分19.(1)连BD AC 、相交于O ，则O 为ABCD 的中心，ABCD PO ABCD P 面为正四棱锥，⊥∴- ，且 60=∠PAO ；;22,6,2,2===∴=PA PO AO AB 2分过O 作 OM ⊥AB,连PM ，由三垂线定理，得 PM ⊥AB,所以PMO ∠为所求二面角的平面角，6t a n ,6,1=∠∴==P MO PO OM ，即侧面与底面所成二面角的大小为6arctan .6分(2)假设存在点E ，使得PC AE ⊥,设x BE =,在平面PBC 中，过E 作PC EF //交BC于F ，连AF,在221cos =∠∆EBA BEA 中，，221222222x x AE ⨯⨯-+==4+x x 22-在PBC ∆中，由PC EF //，得PC EF BC BF BP BE == ，即22222EFBF x ==， 2xBF =∴,x EF =. 2422x AF ABF +=∆中，在在222AF EF AE AEF Rt =+∆中，，2424222x x x x +=+-+∴，解得，舍去）或(0322==x x . 12分 20.（1）（i ）当n=1时，1)1(11=-+=+a a b a ，命题成立.(ii)假设k n =时命题成立，即1=+k k b a ，那么当1+=k n 时，111)1(112221111==-=-+=-+-⋅=+⋅=+++++kk k k kk k kk kk k k k k k k b ba b a a b a b a b a b b a b a.1时，命题成立当+=∴k n综上，1=+n n b a ，对一切正整数均成立。
2018年全国普通高等学校高考高三数学模拟试卷及解析高三理科数学(一)
2018年全国普通高等学校高考数学模拟理科数学试题及解析一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合A＝{x|﹣x2＋4x≥0},,C＝{x|x＝2n,n∈N},则(A∪B)∩C＝()A.{2,4}B.{0,2}C.{0,2,4}D.{x|x＝2n,n∈N}2.(5分)设i是虚数单位,若,x,y∈R,则复数x＋yi的共轭复数是()A.2﹣iB.﹣2﹣iC.2＋iD.﹣2＋i3.(5分)已知等差数列{a n}的前n项和是S n,且a4＋a5＋a6＋a7＝18,则下列命题正确的是()A.a5是常数B.S5是常数C.a10是常数D.S10是常数4.(5分)七巧板是我们祖先的一项创造,被誉为“东方魔板”,它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点,则此点取自黑色部分的概率是()A. B. C. D.5.(5分)已知点F为双曲线C：(a＞0,b＞0)的右焦点,直线x＝a与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A,若AF的中点在双曲线上,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.6.(5分)已知函数则()A.2＋πB.C.D.7.(5分)执行如图所示的程序框图,则输出的S的值为()A. B. C. D.8.(5分)已知函数(ω＞0)的相邻两个零点差的绝对值为,则函数f(x)的图象()A.可由函数g(x)＝cos4x的图象向左平移个单位而得B.可由函数g(x)＝cos4x的图象向右平移个单位而得C.可由函数g(x)＝cos4x的图象向右平移个单位而得D.可由函数g(x)＝cos4x的图象向右平移个单位而得9.(5分)的展开式中剔除常数项后的各项系数和为()A.﹣73B.﹣61C.﹣55D.﹣6310.(5分)某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中六边形ABCDEF是边长为1的正六边形,点G为AF的中点,则该几何体的外接球的表面积是()A. B. C. D.11.(5分)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F,过点F分别作两条直线l1,l2,直线l1与抛物线C交于A、B两点,直线l2与抛物线C交于D、E两点,若l1与l2的斜率的平方和为1,则|AB|＋|DE|的最小值为()A.16B.20C.24D.3212.(5分)若函数y＝f(x),x∈M,对于给定的非零实数a,总存在非零常数T,使得定义域M内的任意实数x,都有af(x)＝f(x＋T)恒成立,此时T为f(x)的类周期,函数y＝f(x)是M上的a级类周期函数.若函数y＝f(x)是定义在区间[0,＋∞)内的2级类周期函数,且T＝2,当x∈[0,2)时,函数.若∃x1∈[6,8],∃x2∈(0,＋∞),使g(x2)﹣f(x1)≤0成立,则实数m的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.(5分)已知向量,,且,则＝.14.(5分)已知x,y满足约束条件则目标函数的最小值为.15.(5分)在等比数列{a n}中,a2•a3＝2a1,且a4与2a7的等差中项为17,设b n＝a2n﹣1﹣a2n,n∈N*,则数列{b n}的前2n项和为.16.(5分)如图,在直角梯形ABCD中,AB⊥BC,AD∥BC,,点E是线段CD 上异于点C,D的动点,EF⊥AD于点F,将△DEF沿EF折起到△PEF的位置,并使PF ⊥AF,则五棱锥P﹣ABCEF的体积的取值范围为.三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(12分)已知△ABC的内角A,B,C的对边a,b,c分别满足c＝2b＝2,2bcosA＋acosC ＋ccosA＝0,又点D满足.(1)求a及角A的大小；(2)求的值.B1C1D1中,底面ABCD是正方形,且,∠18.(12分)在四棱柱ABCD﹣AA1AB＝∠A1AD＝60°.(1)求证：BD⊥CC1；(2)若动点E在棱C1D1上,试确定点E的位置,使得直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为.19.(12分)“过大年,吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2018年春节前夕,A 市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺,检测其某项质量指标,(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)①由直方图可以认为,速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),利用该正态分布,求Z落在(14.55,38.45)内的概率；②将频率视为概率,若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺,记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X,求X的分布列和数学期望.附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；②若,则P(μ﹣σ＜Z≤μ＋σ)＝0.6826,P(μ﹣2σ＜Z≤μ＋2σ)＝0.9544.20.(12分)已知椭圆C：的离心率为,且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：y＝kx＋2与椭圆C相交于A,B两点,在y轴上是否存在点D,使直线AD与BD的斜率之和k AD＋k BD为定值？若存在,求出点D坐标及该定值,若不存在,试说明理由.21.(12分)已知函数f(x)＝e x﹣2(a﹣1)x﹣b,其中e为自然对数的底数.(1)若函数f(x)在区间[0,1]上是单调函数,试求实数a的取值范围；(2)已知函数g(x)＝e x﹣(a﹣1)x2﹣bx﹣1,且g(1)＝0,若函数g(x)在区间[0,1]上恰有3个零点,求实数a的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,圆C1的参数方程为(θ为参数,a 是大于0的常数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C2的极坐标方程为.(1)求圆C1的极坐标方程和圆C2的直角坐标方程；(2)分别记直线l：,ρ∈R与圆C1、圆C2的异于原点的焦点为A,B,若圆C1与圆C2外切,试求实数a的值及线段AB的长.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数f(x)＝|2x＋1|.(1)求不等式f(x)≤10﹣|x﹣3|的解集；(2)若正数m,n满足m＋2n＝mn,求证：f(m)＋f(﹣2n)≥16.2018年全国普通高等学校高考数学模拟理科数学试题及解析(一)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合A＝{x|﹣x2＋4x≥0},,C＝{x|x＝2n,n∈N},则(A∪B)∩C＝()A.{2,4}B.{0,2}C.{0,2,4}D.{x|x＝2n,n∈N}【试题解答】解：A＝{x|﹣x2＋4x≥0}＝{x|0≤x≤4},＝{x|3﹣4＜3x＜33}＝{x|﹣4＜x＜3},则A∪B＝{x|﹣4＜x≤4},C＝{x|x＝2n,n∈N},可得(A∪B)∩C＝{0,2,4},故选C.2.(5分)设i是虚数单位,若,x,y∈R,则复数x＋yi的共轭复数是()A.2﹣iB.﹣2﹣iC.2＋iD.﹣2＋i【试题解答】解：由,得x＋yi＝＝2＋i,∴复数x＋yi的共轭复数是2﹣i.故选：A.3.(5分)已知等差数列{a n}的前n项和是S n,且a4＋a5＋a6＋a7＝18,则下列命题正确的是()A.a5是常数B.S5是常数C.a10是常数D.S10是常数【试题解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和是S n,且a4＋a5＋a6＋a7＝18,∴a4＋a5＋a6＋a7＝2(a1＋a10)＝18,∴a1＋a10＝9,∴＝45.故选：D.4.(5分)七巧板是我们祖先的一项创造,被誉为“东方魔板”,它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点,则此点取自黑色部分的概率是()A. B. C. D.【试题解答】解：设AB＝2,则BC＝CD＝DE＝EF＝1,∴S＝××＝,△BCIS平行四边形EFGH＝2S△BCI＝2×＝,∴所求的概率为P＝＝＝.故选：A.5.(5分)已知点F为双曲线C：(a＞0,b＞0)的右焦点,直线x＝a与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A,若AF的中点在双曲线上,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.【试题解答】解：设双曲线C：的右焦点F(c,0),双曲线的渐近线方程为y＝x,由x＝a代入渐近线方程可得y＝b,则A(a,b),可得AF的中点为(,b),代入双曲线的方程可得﹣＝1,可得4a2﹣2ac﹣c2＝0,由e＝,可得e2＋2e﹣4＝0,解得e＝﹣1(﹣1﹣舍去),故选：D.6.(5分)已知函数则()A.2＋πB.C.D.【试题解答】解：∵,＝∫cos2tdt＝＝＝,∴＝()＋(﹣cosx)＝﹣2.故选：D.7.(5分)执行如图所示的程序框图,则输出的S的值为()A. B. C. D.【试题解答】解：第1次循环后,S＝,不满足退出循环的条件,k＝2；第2次循环后,S＝,不满足退出循环的条件,k＝3；第3次循环后,S＝＝2,不满足退出循环的条件,k＝4；…第n次循环后,S＝,不满足退出循环的条件,k＝n＋1；…第2018次循环后,S＝,不满足退出循环的条件,k＝2019第2019次循环后,S＝＝2,满足退出循环的条件,故输出的S值为2,故选：C8.(5分)已知函数(ω＞0)的相邻两个零点差的绝对值为,则函数f(x)的图象()A.可由函数g(x)＝cos4x的图象向左平移个单位而得B.可由函数g(x)＝cos4x的图象向右平移个单位而得C.可由函数g(x)＝cos4x的图象向右平移个单位而得D.可由函数g(x)＝cos4x的图象向右平移个单位而得【试题解答】解：函数＝sin(2ωx)﹣•＋＝sin(2ωx﹣)(ω＞0)的相邻两个零点差的绝对值为,∴•＝,∴ω＝2,f(x)＝sin(4x﹣)＝cos[(4x﹣)﹣]＝cos(4x﹣).故把函数g(x)＝cos4x的图象向右平移个单位,可得f(x)的图象,故选：B.9.(5分)的展开式中剔除常数项后的各项系数和为()A.﹣73B.﹣61C.﹣55D.﹣63【试题解答】解：展开式中所有各项系数和为(2﹣3)(1＋1)6＝﹣64；＝(2x﹣3)(1＋＋＋…),其展开式中的常数项为﹣3＋12＝9,∴所求展开式中剔除常数项后的各项系数和为﹣64﹣9＝﹣73.故选：A.10.(5分)某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中六边形ABCDEF是边长为1的正六边形,点G为AF的中点,则该几何体的外接球的表面积是()A. B. C. D.【试题解答】解：如图,可得该几何体是六棱锥P﹣ABCDEF,底面是正六边形,有一PAF侧面垂直底面,且P在底面的投影为AF中点,过底面中心N作底面垂线,过侧面PAF的外心M作面PAF的垂线,两垂线的交点即为球心O,设△PAF的外接圆半径为r,,解得r＝,∴,则该几何体的外接球的半径R＝,∴表面积是则该几何体的外接球的表面积是S＝4πR2＝.故选：C.11.(5分)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F,过点F分别作两条直线l1,l2,直线l1与抛物线C交于A、B两点,直线l2与抛物线C交于D、E两点,若l1与l2的斜率的平方和为1,则|AB|＋|DE|的最小值为()A.16B.20C.24D.32【试题解答】解：抛物线C：y2＝4x的焦点F(1,0),设直线l1：y＝k1(x﹣1),直线l2：y＝k2(x﹣1),由题意可知,则,联立,整理得：k12x2﹣(2k12＋4)x＋k12＝0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1＋x2＝,设D(x3,y3),E(x4,y4),同理可得：x3＋x4＝2＋,由抛物线的性质可得：丨AB丨＝x1＋x2＋p＝4＋,丨DE丨＝x3＋x4＋p＝4＋,∴|AB|＋|DE|＝8＋＝＝,当且仅当＝时,上式“＝”成立.∴|AB|＋|DE|的最小值24,故选：C.12.(5分)若函数y＝f(x),x∈M,对于给定的非零实数a,总存在非零常数T,使得定义域M内的任意实数x,都有af(x)＝f(x＋T)恒成立,此时T为f(x)的类周期,函数y＝f(x)是M上的a级类周期函数.若函数y＝f(x)是定义在区间[0,＋∞)内的2级类周期函数,且T＝2,当x∈[0,2)时,函数.若∃x1∈[6,8],∃x2∈(0,＋∞),使g(x2)﹣f(x1)≤0成立,则实数m的取值范围是()A. B. C. D.【试题解答】解：根据题意,对于函数f(x),当x∈[0,2)时,,分析可得：当0≤x≤1时,f(x)＝﹣2x2,有最大值f(0)＝,最小值f(1)＝﹣,当1＜x＜2时,f(x)＝f(2﹣x),函数f(x)的图象关于直线x＝1对称,则此时有﹣＜f(x)＜,又由函数y＝f(x)是定义在区间[0,＋∞)内的2级类周期函数,且T＝2；则在∈[6,8)上,f(x)＝23•f(x﹣6),则有﹣12≤f(x)≤4,则f(8)＝2f(6)＝4f(4)＝8f(2)＝16f(0)＝8,则函数f(x)在区间[6,8]上的最大值为8,最小值为﹣12；对于函数,有g′(x)＝﹣＋x＋1＝＝,分析可得：在(0,1)上,g′(x)＜0,函数g(x)为减函数,在(1,＋∞)上,g′(x)＞0,函数g(x)为增函数,则函数g(x)在(0,＋∞)上,由最小值f(1)＝＋m,若∃x1∈[6,8],∃x2∈(0,＋∞),使g(x2)﹣f(x1)≤0成立,必有g(x)min≤f(x)max,即＋m≤8,解可得m≤,即m的取值范围为(﹣∞,]；故选：B.二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.(5分)已知向量,,且,则＝.【试题解答】解：根据题意,向量,,若,则•＝2sinα﹣cosα＝0,则有tanα＝,又由sin2α＋cos2α＝1,则有或,则＝(,)或(﹣,﹣),则||＝,则＝2＋2﹣2•＝；故答案为：14.(5分)已知x,y满足约束条件则目标函数的最小值为.【试题解答】解：由约束条件作出可行域如图,联立,解得A(2,4),＝,令t＝5x﹣3y,化为y＝,由图可知,当直线y＝过A时,直线在y轴上的截距最大,t有最小值为﹣2.∴目标函数的最小值为.故答案为：.15.(5分)在等比数列{a n}中,a2•a3＝2a1,且a4与2a7的等差中项为17,设b n＝a2n﹣1﹣a2n,n∈N*,则数列{b n}的前2n项和为.【试题解答】解：等比数列{a n}中,a2•a3＝2a1,且a4与2a7的等差中项为17,设首项为a1,公比为q,则：,整理得：,解得：.则：,﹣a2n＝＝﹣22n﹣4,所以：b n＝a2n﹣1则：T 2n ＝＝.故答案为：.16.(5分)如图,在直角梯形ABCD 中,AB ⊥BC,AD ∥BC,,点E 是线段CD上异于点C,D 的动点,EF ⊥AD 于点F,将△DEF 沿EF 折起到△PEF 的位置,并使PF ⊥AF,则五棱锥P ﹣ABCEF 的体积的取值范围为 (0,) .【试题解答】解：∵PF ⊥AF,PF ⊥EF,AF ∩EF ＝F, ∴PF ⊥平面ABCD.设PF ＝x,则0＜x ＜1,且EF ＝DF ＝x.∴五边形ABCEF 的面积为S ＝S 梯形ABCD ﹣S △DEF ＝×(1＋2)×1﹣x 2＝(3﹣x 2).∴五棱锥P ﹣ABCEF 的体积V ＝(3﹣x 2)x ＝(3x ﹣x 3),设f(x)＝(3x ﹣x 3),则f′(x)＝(3﹣3x 2)＝(1﹣x 2), ∴当0＜x ＜1时,f′(x)＞0,∴f(x)在(0,1)上单调递增,又f(0)＝0,f(1)＝. ∴五棱锥P ﹣ABCEF 的体积的范围是(0,). 故答案为：.三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(12分)已知△ABC 的内角A,B,C 的对边a,b,c 分别满足c ＝2b ＝2,2bcosA ＋acosC＋ccosA＝0,又点D满足.(1)求a及角A的大小；(2)求的值.【试题解答】解：(1)由2bcosA＋acosC＋ccosA＝0及正弦定理得﹣2sinBcosA＝sinAcosC＋cosAsinC,即﹣2sinBcosA＝sin(A＋C)＝sinB,在△ABC中,sinB＞0,所以.又A∈(0,π),所以.在△ABC中,c＝2b＝2,由余弦定理得a2＝b2＋c2﹣2bccosA＝b2＋c2＋bc＝7,所以.(2)由,得＝,所以.18.(12分)在四棱柱ABCD﹣AB1C1D1中,底面ABCD是正方形,且,∠A1AB＝∠A1AD＝60°.(1)求证：BD⊥CC1；(2)若动点E在棱C1D1上,试确定点E的位置,使得直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为.【试题解答】解：(1)连接A1B,A1D,AC,因为AB＝AA1＝AD,∠A1AB＝∠A1AD＝60°,所以△A1AB和△A1AD均为正三角形,于是A1B＝A1D.设AC与BD的交点为O,连接A1O,则A1O⊥BD,又四边形ABCD是正方形,所以AC⊥BD,而A1O∩AC＝O,所以BD⊥平面A1AC.又AA1⊂平面A1AC,所以BD⊥AA1,又CC1∥AA1,所以BD⊥CC1.(2)由,及,知A 1B⊥A1D,于是,从而A1O⊥AO,结合A1O⊥BD,AO∩AC＝O,得A1O⊥底面ABCD,所以OA、OB、OA1两两垂直.如图,以点O为坐标原点,的方向为x轴的正方向,建立空间直角坐标系O﹣xyz,则A(1,0,0),B(0,1,0),D(0,﹣1,0),A1(0,0,1),C(﹣1,0,0),,,,由,得D1(﹣1,﹣1,1).设(λ∈[0,1]),则(x E＋1,y E＋1,z E﹣1)＝λ(﹣1,1,0),即E(﹣λ﹣1,λ﹣1,1),所以.设平面B 1BD的一个法向量为,由得令x＝1,得,设直线DE与平面BDB1所成角为θ,则,解得或(舍去),所以当E为D1C1的中点时,直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为.19.(12分)“过大年,吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2018年春节前夕,A 市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺,检测其某项质量指标,(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)①由直方图可以认为,速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),利用该正态分布,求Z落在(14.55,38.45)内的概率；②将频率视为概率,若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺,记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X,求X的分布列和数学期望.附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；②若,则P(μ﹣σ＜Z≤μ＋σ)＝0.6826,P(μ﹣2σ＜Z≤μ＋2σ)＝0.9544.【试题解答】解：(1)所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为.(2)①∵Z 服从正态分布N(μ,σ2),且μ＝26.5,σ≈11.95,∴P(14.55＜Z ＜38.45)＝P(26.5﹣11.95＜Z ＜26.5＋11.95)＝0.6826, ∴Z 落在(14.55,38.45)内的概率是0.6826.②根据题意得X ～B(4,),；；；；.∴X 的分布列为∴.20.(12分)已知椭圆C ：的离心率为,且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与椭圆C 相交于A,B 两点,在y 轴上是否存在点D,使直线AD 与BD 的斜率之和k AD ＋k BD 为定值？若存在,求出点D 坐标及该定值,若不存在,试说明理由.【试题解答】解：(1)由已知可得解得a2＝2,b2＝c2＝1,所求椭圆方程为.(2)由得(1＋2k2)x2＋8kx＋6＝0,则△＝64k2﹣24(1＋2k2)＝16k2﹣24＞0,解得或.设A(x1,y1),B(x2,y2),则,,设存在点D(0,m),则,,所以＝＝.要使k AD＋k BD为定值,只需6k﹣4k(2﹣m)＝6k﹣8k＋4mk＝2(2m﹣1),k与参数k无关,故2m﹣1＝0,解得,当时,k AD＋k BD＝0.综上所述,存在点,使得k AD＋k BD为定值,且定值为0.21.(12分)已知函数f(x)＝e x﹣2(a﹣1)x﹣b,其中e为自然对数的底数.(1)若函数f(x)在区间[0,1]上是单调函数,试求实数a的取值范围；(2)已知函数g(x)＝e x﹣(a﹣1)x2﹣bx﹣1,且g(1)＝0,若函数g(x)在区间[0,1]上恰有3个零点,求实数a的取值范围.【试题解答】解：(1)根据题意,函数f(x)＝e2﹣2(a﹣1)x﹣b,其导数为f'(x)＝e x﹣2(a﹣1),当函数f(x)在区间[0,1]上单调递增时,f'(x)＝e x﹣2(a﹣1)≥0在区间[0,1]上恒成立,∴2(a﹣1)≤(e x)min＝1(其中x∈[0,1]),解得；当函数f(x)在区间[0,1]单调递减时,f'(x)＝e x﹣2(a﹣1)≤0在区间[0,1]上恒成立,∴2(a﹣1)≥(e x)max＝e(其中x∈[0,1]),解得.综上所述,实数a的取值范围是.(2)函数g(x)＝e x﹣(a﹣1)x2﹣bx﹣1,则g'(x)＝e x﹣2(a﹣1)x﹣b,分析可得f(x)＝g'(x).由g(0)＝g(1)＝0,知g(x)在区间(0,1)内恰有一个零点,设该零点为x0,则g(x)在区间(0,x0)内不单调,所以f(x)在区间(0,x0)内存在零点x1,同理,f(x)在区间(x0,1)内存在零点x2,所以f(x)在区间(0,1)内恰有两个零点.由(1)知,当时,f(x)在区间[0,1]上单调递增,故f(x)在区间(0,1)内至多有一个零点,不合题意.当时,f(x)在区间[0,1]上单调递减,故f(x)在(0,1)内至多有一个零点,不合题意；所以.令f'(x)＝0,得x＝ln(2a﹣2)∈(0,1),所以函数f(x)在区间[0,ln(2a﹣2)]上单调递减,在区间(ln(2a﹣2),1]上单调递增.记f(x)的两个零点为x1,x2(x1＜x2),因此x1∈(0,ln(2a﹣2)],x2∈(ln(2a﹣2),1),必有f(0)＝1﹣b＞0,f(1)＝e﹣2a＋2﹣b＞0.由g(1)＝0,得a＋b＝e,所以,又f(0)＝a﹣e＋1＞0,f(1)＝2﹣a＞0,所以e﹣1＜a＜2.综上所述,实数a的取值范围为(e﹣1,2).请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,圆C1的参数方程为(θ为参数,a 是大于0的常数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C2的极坐标方程为.(1)求圆C1的极坐标方程和圆C2的直角坐标方程；(2)分别记直线l：,ρ∈R与圆C1、圆C2的异于原点的焦点为A,B,若圆C1与圆C2外切,试求实数a的值及线段AB的长.【试题解答】解：(1)圆C1：(θ是参数)消去参数θ,得其普通方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝a2,将x＝ρcosθ,y＝ρsinθ代入上式并化简,得圆C1的极坐标方程,由圆C2的极坐标方程,得ρ2＝2ρcosθ＋2ρsinθ.将x＝ρcosθ,y＝ρsinθ,x2＋y2＝ρ2代入上式,得圆C2的直角坐标方程为(x﹣1)2＋(y﹣1)2＝2.(2)由(1)知圆C1的圆心C1(﹣1,﹣1),半径r1＝a；圆C 2的圆心C2(1,1),半径,,∵圆C1与圆C2外切,∴,解得,即圆C1的极坐标方程为.将代入C1,得,得；将代入C2,得,得；故.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数f(x)＝|2x＋1|.(1)求不等式f(x)≤10﹣|x﹣3|的解集；(2)若正数m,n满足m＋2n＝mn,求证：f(m)＋f(﹣2n)≥16.【试题解答】解：(1)此不等式等价于或或解得或或3＜x≤4.即不等式的解集为.(2)证明：∵m＞0,n＞0,m＋2n＝mn,,即m＋2n≥8,当且仅当即时取等号.∴f(m)＋f(﹣2n)＝|2m＋1|＋|﹣4n＋1|≥|(2m＋1)﹣(﹣4n＋1)|＝|2m＋4n|＝2(m＋2n)≥16,当且仅当﹣4n＋1≤0,即时,取等号.∴f(m)＋f(﹣2n)≥16.。
2018届高三普通高校统一招生考试仿真卷(一)数学(理)试卷(含答案)
绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（一）本试题卷共2页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合(){},2M x y x y =+=，(){},2N x y x y =-=，则集合M N =I （ ） A ．{}0,2B ．()2,0C ．(){}0,2D ．(){}2,02．若复数2i 1i z ⎛⎫= ⎪-⎝⎭（为虚数单位），则z =（ ） A ． B ．C ．12D ．2 3．如图所示的阴影部分是由轴及曲线sin y x =围成，在矩形区域OABC 内随机取一点，班级 姓名 准考证号 考场号 座位号则该点取自阴影部分的概率是（）A．2πB．12C．1πD．3π4．已知()cos2cos2ααπ⎛⎫+=π-⎪⎝⎭，则tan4απ⎛⎫-=⎪⎝⎭（）A．4-B．C．13-D．135．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为（）A．2 B．422+C．42+D．42+6．已知实数，y满足2210x yxy+-⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≥，若z x my=+的最大值为10，则m=（）A．B．C．D．7．已知()201720162018201721f x x x x=++++L，下列程序框图设计的是求()0f x的值，在“ ”中应填的执行语句是（）开始i =1,n =2018结束i ≤2017？是否输入x 0S =2018输出SS =Sx 0S =S+ni =i +1A ．2018n i =-B ．2017n i =-C ．2018n i =+D ．2017n i =+8．若函数()24x f x a =--存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则的取值范围为（ ） A ．()0,4B ．()0,+∞C ．()3,4D ．()3,+∞9．阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数（0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B，当P ，A ，B不共线时，PAB △面积的最大值是（ ） A ．B CD 10．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率e =，右焦点为F ，点A 是双曲线C 的一条渐近线上位于第一象限内的点，AOF OAF ∠=∠，AOF △的面积为，则双曲线C 的方程为（ ）A ．2213612x y -=B ．221186x y -=C ．22193x y -=D ．2213x y -=11．设锐角ABC △的三个内角A ，B ，C的对边分别为a ，b ，c ，且1c =，2A C =，则ABC △周长的取值范围为（ ） A．(0,2B ．(0,3C ．(2+D ．(2+12．若关于的方程e 0e exx xx m x ++=+有三个不相等的实数解1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，其中m ∈R ，e 2.71828=L 为自然对数的底数，则3122312111e e e x x x xx x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（ ） A ．1 B ． C ．1m - D ．1m +第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2018年高考理科数学模拟试卷(共三套)(含答案)
2018年高考理科数学模拟试卷（一）（考试时间120分钟满分150分）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合S={1，2}，设S的真子集有m个，则m=（）A．4 B．3 C．2 D．12．已知i为虚数单位，则的共轭复数为（）A．﹣+i B． +i C．﹣﹣i D．﹣i3．已知、是平面向量，如果||=3，||=4，|+|=2，那么|﹣|=（）A． B．7 C．5 D．4．在（x﹣）10的二项展开式中，x4的系数等于（）A．﹣120 B．﹣60 C．60 D．1205．已知a，b，c，d都是常数，a＞b，c＞d，若f（x）=2017﹣（x﹣a）（x﹣b）的零点为c，d，则下列不等式正确的是（）A．a＞c＞b＞d B．a＞b＞c＞d C．c＞d＞a＞b D．c＞a＞b＞d6．公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率π，他从圆内接正六边形算起，令边数一倍一倍地增加，即12，24，48，…，192，…，逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形，…，正一百九十二边形，…的面积，这些数值逐步地逼近圆面积，刘徽算到了正一百九十二边形，这时候π的近似值是3.141024，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．刘徽这种想法的可贵之处在于用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限来逼近无穷，这种思想及其重要，对后世产生了巨大影响，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，若运行改程序（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305），则输出n的值为（）A．48 B．36 C．30 D．247．在平面区域内随机取一点（a，b），则函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数的概率为（）A． B．C．D．8．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若a=bcosC+csinB，且△ABC的面积为1+．则b的最小值为（）A．2 B．3 C．D．9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．12 B．18 C．24 D．3010．已知常数ω＞0，f（x）=﹣1+2sinωxcosωx+2cos2ωx图象的对称中心得到对称轴的距离的最小值为，若f（x0）=，≤x0≤，则cos2x0=（）A．B．C．D．11．已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在表面积为16π的球O的球面上，AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，设二面角P﹣AB﹣C的大小为θ，则sinθ=（）A． B．C．D．12．抛物线M的顶点是坐标原点O，抛物线M的焦点F在x轴正半轴上，抛物线M的准线与曲线x2+y2﹣6x+4y﹣3=0只有一个公共点，设A是抛物线M上的一点，若•=﹣4，则点A的坐标是（）A．（﹣1，2）或（﹣1，﹣2）B．（1，2）或（1，﹣2）C．（1，2） D．（1，﹣2）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．某校1000名高三学生参加了一次数学考试，这次考试考生的分数服从正态分布N（90，σ2），若分数在（70，110]内的概率为0.7，估计这次考试分数不超过70分的人数为人．14．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，若|AB|≥|CD|，则双曲线离心率的取值范围为．15．计算=（用数字作答）16．已知f（x）=，若f （x﹣1）＜f（2x+1），则x的取值范围为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．设数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，当n≥2时，a n=2a n S n﹣2S n2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）是否存在正数k，使（1+S1）（1+S2）…（1+S n）≥k对一切正整数n都成立？若存在，求k的取值范围，若不存在，请说明理由．18．云南省20XX年高中数学学业水平考试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制，各登记划分标准为：85分及以上，记为A等，分数在[70，85）内，记为B等，分数在[60，70）内，记为C等，60分以下，记为D等，同时认定等级分别为A，B，C都为合格，等级为D为不合格．已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50，100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分别作出甲校如图1所示样本频率分布直方图，乙校如图2所示样本中等级为C、D的所有数据茎叶图．（1）求图中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；（2）在选取的样本中，从甲、乙两校C等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用X表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量X的分布列和数学期望．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面SBC，SB=SC，M是BC的中点，AB=1，BC=2．（1）求证：AM⊥SD；（2）若二面角B﹣SA﹣M的正弦值为，求四棱锥S﹣ABCD的体积．20．已知椭圆E的中心在原点，焦点F1、F2在y轴上，离心率等于，P 是椭圆E上的点，以线段PF1为直径的圆经过F2，且9•=1．（1）求椭圆E的方程；（2）做直线l与椭圆E交于两个不同的点M、N，如果线段MN被直线2x+1=0平分，求l的倾斜角的取值范围．21．已知e是自然对数的底数，实数a是常数，函数f（x）=e x﹣ax﹣1的定义域为（0，+∞）．（1）设a=e，求函数f（x）在切点（1，f（1））处的切线方程；（2）判断函数f（x）的单调性；（3）设g（x）=ln（e x+x3﹣1）﹣lnx，若∀x＞0，f（g（x））＜f（x），求a 的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．已知直线L的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=．（Ⅰ）直接写出直线L的极坐标方程和曲线C的普通方程；（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与L夹角为的直线l，设直线l与直线L的交点为A，求|PA|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的定义域为实数集R．（Ⅰ）当a=5时，解关于x的不等式f（x）＞9；（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）≤|x﹣4|的解集为A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}，如果A∪B=A，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．解：∵集合S={1，2}，∴S的真子集的个数为：22﹣1=3．故选：B．2．解：∵=，∴的共轭复数为．故选：C．3．解：根据条件：==4；∴；∴=9﹣（﹣21）+16=46；∴．故选：A．==（﹣1）r x10﹣2r，4．解：通项公式T r+1令10﹣2r=4，解得r=3．∴x4的系数等于﹣=﹣120．故选：A5．解：由题意设g（x）=（x﹣a）（x﹣b），则f（x）=2017﹣g（x），所以g（x）=0的两个根是a、b，由题意知：f（x）=0 的两根c，d，也就是g（x）=2017 的两根，画出g（x）（开口向上）以及直线y=2017的大致图象，则与f（x）交点横坐标就是c，d，f（x）与x轴交点就是a，b，又a＞b，c＞d，则c，d在a，b外，由图得，c＞a＞b＞d，故选D．6．解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：D．7．解：作出不等式组对应的平面区域如图：对应的图形为△OAB，其中对应面积为S=×4×4=8，若f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数，则满足a＞0且对称轴x=﹣≤1，即，对应的平面区域为△OBC，由，解得，∴对应的面积为S1=××4=，∴根据几何概型的概率公式可知所求的概率为=，故选：B．8．解：由正弦定理得到：sinA=sinCsinB+sinBcosC，∵在△ABC中，sinA=sin[π﹣（B+C）]=sin（B+C），∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinBcosC，∴cosBsinC=sinCsinB，∵C∈（0，π），sinC≠0，∴cosB=sinB，即tanB=1，∵B∈（0，π），∴B=，=acsinB=ac=1+，∵S△ABC∴ac=4+2，由余弦定理得到：b2=a2+c2﹣2accosB，即b2=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=4，当且仅当a=c时取“=”，∴b的最小值为2．故选：A．9．解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，切去一个三棱锥所得的组合体，其底面面积S=×3×4=6，棱柱的高为：5，棱锥的高为3，故组合体的体积V=6×5﹣×6×3=24，故选：C10．解：由f（x）=﹣1+2sinωxcosωx+2cos2ωx，化简可得：f（x）=sin2ωx+cos2ωx=2sin（2ωx+）∵对称中心得到对称轴的距离的最小值为，∴T=π．由，可得：ω=1．f（x0）=，即2sin（2x0+）=∵≤x0≤，∴≤2x0+≤∴sin（2x0+）=＞0∴cos（2x0+）=．那么：cos2x0=cos（2x0+﹣）=cos（2x0+）cos+sin（2x0+）sin=故选D11．解：如图所示：由已知得球的半径为2，AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，△ABC为等腰直角三角形，P在面ABC上的射影为圆心O，过圆心O作OD⊥AB于D，连结PD，则∠PDO为二面角P﹣AB﹣C的平面角，在△ABC△中，PO=2，OD=BC=，∴，sinθ=．故选：C12．解：x2+y2﹣6x+4y﹣3=0，可化为（x﹣3）2+（y+2）2=16，圆心坐标为（3，﹣2），半径为4，∵抛物线M的准线与曲线x2+y2﹣6x+4y﹣3=0只有一个公共点，∴3+=4，∴p=2．∴F（1，0），设A（，y0）则=（，y0），=（1﹣，﹣y0），由•=﹣4，∴y0=±2，∴A（1，±2）故选B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．解：由X服从正态分布N（90，σ2）（σ＞0），且P（70≤X≤110）=0.35，得P（X≤70）=（1﹣0.35）=．∴估计这次考试分数不超过70分的人数为1000×=325．故答案为：325．14．解：设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为（c，0），当x=c时代入双曲线﹣=1得y=±，则A（c，），B（c，﹣），则AB=，将x=c代入y=±x得y=±，则C（c，），D（c，﹣），则|CD|=，∵|AB|≥|CD|，∴≥•，即b≥c，则b2=c2﹣a2≥c2，即c2≥a2，则e2=≥，则e≥．故答案为：[，+∞）．15．解：由===．故答案为：．16．解：∵已知f（x）=，∴满足f（﹣x）=f（x），且f（0）=0，故f（x）为偶函数，f（x）在[0，+∞）上单调递增．若f（x﹣1）＜f（2x+1），则|x﹣1|＜|2x+1|，∴（x﹣1）2＜（2x+1）2，即x2+2x＞0，∴x＞0，或x＜﹣2，故答案为：{x|x＞0，或x＜﹣2}．三、解答题（共5小题，满分60分）17．解：（1）∵当n≥2时，a n=2a n S n﹣2S n2，∴a n=，n≥2，∴（S n﹣S n﹣1）（2S n﹣1）=2S n2，∴S n﹣S n﹣1=2S n S n﹣1，∴﹣2，n≥2，∴数列{}是以=1为首项，以2为公差的等差数列，∴=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∴S n=，∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣=﹣，∵a1=S1=1，∴a n=，（2）设f（n）=，则==＞1，∴f（n）在n∈N*上递增，要使f（n）≥k恒成立，只需要f（n）min≥k，∵f（n）min=f（1）=，∴0＜k≤18．解：（1）由频率分布直方图可得：（x+0.012+0.056+0.018+0.010）×10=1，解得x=0.004．甲校的合格率P1=（1﹣0.004）×10=0.96=96%，乙校的合格率P2==96%．可得：甲乙两校的合格率相同，都为96%．（2）甲乙两校的C等级的学生数分别为：0.012×10×50=6，4人．X=0，1，2，3．则P（X=k）=，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．∴X的分布列为：X0123PE（X）=0+1×+2×+3×=．19．证明：（1）∵SB=SC，M是BC的中点，∴SM⊥BC，∵平面ABCD⊥平面SBC，平面ABCD∩平面SBC=BC，∴SM⊥平面ABCD，∵AM⊂平面ABCD，∴SM⊥AM，∵底面ABCD是矩形，M是BC的中点，AB=1，BC=2，∴AM2=BM2==，AD=2，∴AM2+BM2=AD2，∴AM⊥DM，∵SM∩DM=M，∴AM⊥平面DMS，∵SD⊂平面DMS，∴AM⊥SD．解：（2）∵SM⊥平面ABCD，∴以M为原点，MC为x轴，MS为y轴，过M作平面BCS的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设SM=t，则M（0，0，0），B（﹣1，0，0），S（0，t，0），A（﹣1，0，1），=（0，0，1），=（1，t，0），=（﹣1，0，1），=（0，t，0），设平面ABS的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣，0），设平面MAS的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，0，1），设二面角B﹣SA﹣M的平面角为θ，∵二面角B﹣SA﹣M的正弦值为，∴sinθ=，cosθ==，∴cosθ===，解得t=，∵SM⊥平面ABCD，SM=，∴四棱锥S﹣ABCD的体积：V S﹣=== ABCD．20．解：（1）由题意可知：设题意的方程：（a＞b＞0），e==，则c=a，设丨PF1丨=m，丨PF2丨=n，则m+n=2a，线段PF1为直径的圆经过F2，则PF2⊥F1F2，则n2+（2c）2=m2，9m•n×cos∠F1PF2=1，由9n2=1，n=，解得：a=3，c=，则b==1，∴椭圆标准方程：；（2）假设存在直线l，依题意l交椭圆所得弦MN被x=﹣平分，∴直线l的斜率存在．设直线l：y=kx+m，则由消去y，整理得（k2+9）x2+2kmx+m2﹣9=0∵l与椭圆交于不同的两点M，N，∴△=4k2m2﹣4（k2+9）（m2﹣9）＞0，即m2﹣k2﹣9＜0①设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=﹣∴=﹣=﹣，∴m=②把②代入①式中得（）2﹣（k2+9）＜0∴k＞或k＜﹣，∴直线l倾斜角α∈（，）∪（，）．21．解：（1）a=e时，f（x）=e x﹣ex﹣1，f（1）=﹣1，f′（x）=e x﹣e，可得f′（1）=0，故a=e时，函数f（x）在切点（1，f（1））处的切线方程是y=﹣1；（2）f（x）=e x﹣ax﹣1，f′（x）=e x﹣a，当a≤0时，f′（x）＞0，则f（x）在R上单调递增；当a＞0时，令f′（x）=e x﹣a=0，得x=lna，则f（x）在（﹣∞，lna]上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．（3）设F（x）=e x﹣x﹣1，则F′（x）=e x﹣1，∵x=0时，F′（x）=0，x＞0时，F′（x）＞0，∴F（x）在[0，+∞）递增，∴x＞0时，F（x）＞F（0），化简得：e x﹣1＞x，∴x＞0时，e x+x3﹣1＞x，设h（x）=xe x﹣e x﹣x3+1，则h′（x）=x（e x﹣ex），设H（x）=e x﹣ex，H′（x）=e x﹣e，由H′（x）=0，得x=1时，H′（x）＞0，x＜1时，H′（x）＜0，∴x＞0时，H（x）的最小值是H（1），x＞0时，H（x）≥H（1），即H（x）≥0，∴h′（x）≥0，可知函数h（x）在（0，+∞）递增，∴h（x）＞h（0）=0，化简得e x+x3﹣1＜xe x，∴x＞0时，x＜e x+x3﹣1＜xe x，∴x＞0时，lnx＜ln（e x+x3﹣1）＜lnx+x，即0＜ln（e x+x3﹣1）﹣lnx＜x，即x＞0时，0＜g（x）＜x，当a≤1时，由（2）得f（x）在（0，+∞）递增，得f（g（x））＜f（x）满足条件，当a＞1时，由（2）得f（x）在（0，lna）递减，∴0＜x≤lna时，f（g（x））＞f（x），与已知∀x＞0，f（g（x））＜f（x）矛盾，综上，a的范围是（﹣∞，1]．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．解：（Ⅰ）直线L的参数方程为（t为参数），普通方程为2x+y﹣6=0，极坐标方程为2ρcosθ+ρsinθ﹣6=0，曲线C的极坐标方程为ρ=，即ρ2+3ρ2cos2θ=4，曲线C 的普通方程为=1；（Ⅱ）曲线C上任意一点P（cosθ，2sinθ）到l的距离为d=|2cosθ+2sinθ﹣6|．则|PA|==|2sin（θ+45°）﹣6|，当sin（θ+45°）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．[选修4-5：不等式选讲]23．解：（Ⅰ）当a=5时，关于x的不等式f（x）＞9，即|x+5|+|x﹣2|＞9，故有①；或②；或③．解①求得x＜﹣6；解②求得x∈∅，解③求得x＞3．综上可得，原不等式的解集为{x|x＜﹣6，或x＞3}．（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）=|x+a|+|x﹣2|≤|x﹣4|的解集为A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}={x|﹣1≤x≤2 }，如果A∪B=A，则B⊆A，∴，即，求得﹣1≤a≤0，故实数a的范围为[﹣1，0]．2018年高考理科数学模拟试卷（二）（考试时间120分钟满分150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．复数z满足方程=﹣i（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合A={x|x2+x﹣2＜0}，集合B={x|（x+2）（3﹣x）＞0}，则（∁R A）∩B 等于（）A．{x|1≤x＜3}B．{x|2≤x＜3}C．{x|﹣2＜x＜1}D．{x|﹣2＜x≤﹣1或2≤x＜3}3．下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（）A．f（x）=B．f（x）=C．f（x）=2﹣x﹣2x D．f（x）=﹣tanx 4．已知“x＞2”是“x2＞a（a∈R）”的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，4）B．（4，+∞）C．（0，4]D．（﹣∞，4]5．已知角α是第二象限角，直线2x+（t anα）y+1=0的斜率为，则cosα等于（）A． B．﹣C．D．﹣6．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为（）A．16 B．8 C．4 D．27．（﹣）8的展开式中，x的系数为（）A．﹣112 B．112 C．56 D．﹣568．在△ABC中，∠A=60°，AC=3，面积为，那么BC的长度为（）A．B．3 C．2D．9．记曲线y=与x轴所围成的区域为D，若曲线y=ax（x ﹣2）（a＜0）把D的面积均分为两等份，则a的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣10．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分的中位数为m e，众数为m0，平均值为，则（）A．m e=m0=B．m e=m0＜C．m e＜m0＜D．m0＜m e＜11．已知矩形ABCD的顶点都在半径为5的球O的球面上，且AB=6，BC=2，则棱锥O﹣ABCD的侧面积为（）A．20+8B．44 C．20 D．4612．函数f（x）=2sin（2x++φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后关于y轴对称，则以下判断不正确的是（）A．是奇函数 B．为f（x）的一个对称中心C．f（x）在上单调递增D．f（x）在（0，）上单调递减二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为．14．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为．15．已知抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，点P是抛物线y2=8x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为．16．已知向量，的夹角为θ，|+|=2，|﹣|=2则θ的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，S6=51，a5=13．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}的通项公式是b n=，求数列{b n}的前n项和S n．18．袋中有大小相同的四个球，编号分别为1、2、3、4，从袋中每次任取一个球，记下其编号．若所取球的编号为偶数，则把该球编号改为3后放同袋中继续取球；若所取球的编号为奇数，则停止取球．（1）求“第二次取球后才停止取球”的概率；（2）若第一次取到偶数，记第二次和第一次取球的编号之和为X，求X的分布列和数学期望．19．在三棱椎A﹣BCD中，AB=BC=4，AD=BD=CD=2，在底面BCD内作CE ⊥CD，且CE=．（1）求证：CE∥平面ABD；（2）如果二面角A﹣BD﹣C的大小为90°，求二面角B﹣AC﹣E的余弦值．20．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为．且过点（3，﹣1）．（1）求椭圆C的方徎；（2）若动点P在直线l：x=﹣2上，过P作直线交椭圆C于M，N两点，使得PM=PN，再过P作直线l′⊥MN，直线l′是否恒过定点，若是，请求出该定点的坐标；若否，请说明理由．21．已知函数f（x）=m（x﹣1）2﹣2x+3+lnx（m≥1）．（1）求证：函数f（x）在定义域内存在单调递减区间[a，b]；（2）是否存在实数m，使得曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l与曲线C有且只有一个公共点？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．[选修4-1：几何证明选讲]22．选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B、C两点，D是OC 的中点，连接AD并延长交⊙O于点E，若PA=2，∠APB=30°．（Ⅰ）求∠AEC的大小；（Ⅱ）求AE的长．[选修4-4：极坐标与参数方程]23．选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系x0y中，动点A的坐标为（2﹣3sinα，3cosα﹣2），其中α∈R．在极坐标系（以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线C的方程为ρcos （θ﹣）=a．（Ⅰ）判断动点A的轨迹的形状；（Ⅱ）若直线C与动点A的轨迹有且仅有一个公共点，求实数a的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．（1）若a=2，解不等式f（x）≥2；（2）若a＞1，∀x∈R，f（x）+|x﹣1|≥1，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．解：由=﹣i，得，即z=1+i．则复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，1）．位于第一象限．故选：A．2．解：∵集合A={x|x2+x﹣2＜0}={x|﹣2＜x＜1}，集合B={x|（x+2）（3﹣x）＞0}={x|﹣2＜x＜3}，∴（C R A）∩B={x|x≤﹣2或x≥1}∩{x|﹣2＜x＜3}={x|1≤x＜3}．故选：A．3．解：A中，f（x）=是奇函数，但在定义域内不单调；B中，f（x）=是减函数，但不具备奇偶性；C中，f（x）2﹣x﹣2x既是奇函数又是减函数；D中，f（x）=﹣tanx是奇函数，但在定义域内不单调；故选C．4．解：由题意知：由x＞2能得到x2＞a；而由x2＞a得不出x＞2；∵x＞2，∴x2＞4；∴a≤4；∴a的取值范围是（﹣∞，4]．故选：D．5．解：由题意得：k=﹣=，故tanα=﹣，故cosα=﹣，故选：D．6．解：开始条件i=2，k=1，s=1，i＜8，开始循环，s=1×（1×2）=2，i=2+2=4，k=1+1=2，i＜8，继续循环，s=×（2×4）=4，i=6，k=3，i＜8，继续循环；s=×（4×6）=8，i=8，k=4，8≥8，循环停止，输出s=8；故选B：=（﹣2）r C8r x4﹣r，7．解：（﹣）8的展开式的通项为T r+1令4﹣r=1，解得r=2，∴展开式中x的系数为（﹣2）2C82=112，故选：B．8．解：在图形中，过B作BD⊥ACS△ABC=丨AB丨•丨AC丨sinA，即×丨AB丨×3×sin60°=，解得：丨AB丨=2，∴cosA=，丨AD丨=丨AB丨cosA=2×=1，sinA=，则丨BD丨=丨AB丨sinA=2×=，丨CD丨=丨AC丨﹣丨AD丨=3﹣1=2，在△BDC中利用勾股定理得：丨BC丨2=丨BD丨2+丨CD丨2=7，则丨BC丨=，故选A．9．解：由y=得（x﹣1）2+y2=1，（y≥0），则区域D表示（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，而曲线y=ax（x﹣2）（a＜0）把D的面积均分为两等份，∴=，∴（﹣ax2）=，∴a=﹣，故选：B．10．解：根据题意，由题目所给的统计图可知：30个得分中，按大小排序，中间的两个得分为5、6，故中位数m e=5.5，得分为5的最多，故众数m0=5，其平均数=≈5.97；则有m0＜m e＜，故选：D．11．解：由题意可知四棱锥O﹣ABCD的侧棱长为：5．所以侧面中底面边长为6和2，它们的斜高为：4和2，所以棱锥O﹣ABCD的侧面积为：S=4×6+2=44．故选B．12．解：把函数f（x）=2sin（2x++φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后，得到y=2sin（2x++φ+π）=﹣2sin（2x++φ）的图象，再根据所得关于y轴对称，可得+φ=kπ+，k∈Z，∴φ=，∴f（x）=2sin（2x++φ）=2cos2x．由于f（x+）=2cos（2x+）=﹣sin2x是奇函数，故A正确；当x=时，f（x）=0，故（，0）是f（x）的图象的一个对称中心，故B正确；在上，2x∈（﹣，﹣），f（x）没有单调性，故C不正确；在（0，）上，2x∈（0，π），f（x）单调递减，故D正确，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（4，2），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线y=2x﹣z过点A时，直线在y 轴上的截距最小，z有最大值为6．故答案为：6．14．解：由三视图得到几何体如图：其体积为；故答案为：15．解：抛物线y2=8x的焦点F（2，0），双曲线C：﹣=1（a＞0，b ＞0）一条渐近线的方程为ax﹣by=0，∵抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，∴，∴2b=a，∵P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，∴FF1=3，∴c2+4=9，∴c=，∵c2=a2+b2，a=2b，∴a=2，b=1，∴双曲线的方程为﹣x2=1．故答案为：﹣x2=1．16．解：由|+|=2，|﹣|=2，可得：+2=12，﹣2=4，∴=8≥2，=2，∴cosθ=≥．∴θ∈．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则∵S6=51，∴×（a1+a6）=51，∴a1+a6=17，∴a2+a5=17，∵a5=13，∴a2=4，∴d=3，∴a n=a2+3（n﹣2）=3n﹣2；（2）b n==﹣2•8n﹣1，∴数列{b n}的前n项和S n==（8n﹣1）．18．解：（1）记“第二次取球后才停止取球”为事件A．∴第一次取到偶数球的概率为=，第二次取球时袋中有三个奇数，∴第二次取到奇数球的概率为，而这两次取球相互独立，∴P（A）=×=．（2）若第一次取到2时，第二次取球时袋中有编号为1，3，3，4的四个球；若第一次取到4时，第二次取球时袋中有编号为1，2，3，3的四个球．∴X的可能取值为3，5，6，7，∴P（X=3）=×=，P（X=5）=×+×=，P（X=6）=×+×=，P（X=7）=×=，∴X的分布列为：X3567P数学期望EX=3×+5×+6×+7×=．19．（1）证明：∵BD=CD=2，BC=4，∴BD2+CD2=BC2，∴BD⊥CD，∵CE⊥CD，∴CE∥BD，又CE⊄平面ABD，BD⊂平面ABD，∴CE∥平面ABD；（2）解：如果二面角A﹣BD﹣C的大小为90°，由AD⊥BD得AD⊥平面BDC，∴AD⊥CE，又CE⊥CD，∴CE⊥平面ACD，从而CE⊥AC，由题意AD=DC=2，∴Rt△ADC中，AC=4，设AC的中点为F，∵AB=BC=4，∴BF⊥AC，且BF=2，设AE中点为G，则FG∥CE，由CE⊥AC得FG⊥AC，∴∠BFG为二面角B﹣AC﹣E的平面角，连接BG，在△BCE中，∵BC=4，CE=，∠BCE=135°，∴BE=，在Rt△DCE中，DE==，于是在Rt△ADE中，AE==3，在△ABE中，BG2=AB2+BE2﹣AE2=，∴在△BFG中，cos∠BFG==﹣，∴二面角B﹣AC﹣E的余弦值为﹣．20．解：（1）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为．且过点（3，﹣1），∴，解得a2=12，b2=4，∴椭圆C的方程为．（2）∵直线l的方程为x=﹣2，设P（﹣2，y0），，当y0≠0时，设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意知x1≠x2，联立，∴，∴，又∵PM=PN，∴P为线段MN的中点，∴直线MN的斜率为，又l′⊥MN，∴l′的方程为，即，∴l′恒过定点．当y0=0时，直线MN为，此时l′为x轴，也过点，综上，l′恒过定点．21．（1）证明：令f′（x）=0，得mx2﹣（m+2）x+1=0．（*）因为△=（m+2）2﹣4m=m2+4＞0，所以方程（*）存在两个不等实根，记为a，b （a＜b）．因为m≥1，所以a+b=＞0，ab=＞0，所以a＞0，b＞0，即方程（*）有两个不等的正根，因此f′（x）≤0的解为[a，b]．故函数f（x）存在单调递减区间；（2）解：因为f′（1）=﹣1，所以曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l为y=﹣x+2．若切线l与曲线C只有一个公共点，则方程m（x﹣1）2﹣2x+3+lnx=﹣x+2有且只有一个实根．显然x=1是该方程的一个根．令g（x）=m（x﹣1）2﹣x+1+lnx，则g′（x）=．当m=1时，有g′（x）≥0恒成立，所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，所以x=1是方程的唯一解，m=1符合题意．当m＞1时，令g′（x）=0，得x1=1，x2=，则x2∈（0，1），易得g（x）在x1处取到极小值，在x2处取到极大值．所以g（x2）＞g（x1）=0，又当x→0时，g（x）→﹣∞，所以函数g（x）在（0，）内也有一个解，即当m＞1时，不合题意．综上，存在实数m，当m=1时，曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l与C 有且只有一个公共点．[选修4-1：几何证明选讲]22．解：（Ⅰ）连接AB，因为：∠APO=30°，且PA是⊙O的切线，所以：∠AOB=60°；∵OA=OB∴∠AB0=60°；∵∠ABC=∠AEC∴∠AEC=60°．（Ⅱ）由条件知AO=2，过A作AH⊥BC于H，则AH=，在RT△AHD中，HD=2，∴AD==．∵BD•DC=AD•DE，∴DE=．∴AE=DE+AD=．[选修4-4：极坐标与参数方程]23．解：（Ⅰ）设动点A的直角坐标为（x，y），则，利用同角三角函数的基本关系消去参数α可得，（x﹣2）2+（y+2）2=9，点A的轨迹为半径等于3的圆．（Ⅱ）把直线C方程为ρcos（θ﹣）=a化为直角坐标方程为+=2a，由题意可得直线C与圆相切，故有=3，解得a=3 或a=﹣3．[选修4-5：不等式选讲]24．解：（1）当a=2时，，由于f（x）≥2，则①当x＜1时，﹣2x+3≥2，∴x≤；②当1≤x≤1时，1≥2，无解；③当x＞2时，2x﹣3≥2，∴x≥．综上所述，不等式f（x）≥2的解集为：（﹣∞，]∪[，+∞）；（2）令F（x）=f（x）+|x﹣1|，则，所以当x=1时，F（x）有最小值F（1）=a﹣1，只需a﹣1≥1，解得a≥2，所以实数a的取值范围为[2，+∞）．2018年高考理科数学模拟试卷（三）（考试时间120分钟满分150分）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知复数z满足z（1﹣i）2=1+i（i为虚数单位），则z=（）A． +i B．﹣i C．﹣+i D．﹣﹣i2．已知集合A={x|（x﹣1）2≤3x﹣3，x∈R}，B={y|y=3x+2，x∈R}，则A∩B=（）A．（2，+∞）B．（4，+∞）C．[2，4]D．（2，4]3．甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布N（μ1，σ12）及N（μ2，σ22），其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（）A．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2=1.99B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中C．甲类水果的平均质量μ1=0.4kgD．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小4．已知数列{a n}的前n项和S n满足S n+S m=S n（n，m∈N*）且a1=5，则a8=（）+mA．40 B．35 C．12 D．55．设a=（），b=（），c=ln，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b6．执行如图所示的程序框图，则输出b的值为（）A．2 B．4 C．8 D．167．若圆C：x2+y2﹣2x+4y=0上存在两点A，B关于直线l：y=kx﹣1对称，则k的值为（）A．﹣1 B．﹣C．﹣D．﹣38．某同学在运动场所发现一实心椅子，其三视图如图所示（俯视图是圆的一部分及该圆的两条互相垂直的半径，有关尺寸如图，单位：m），经了解，建造该类椅子的平均成本为240元/m3，那么该椅子的建造成本约为（π≈3.14）（）A．94.20元 B．240.00元C．282.60元D．376.80元9．当函数f（x）=sinx+cosx﹣t（t∈R）在闭区间[0，2π]上，恰好有三个零点时，这三个零点之和为（）A．B． C． D．2π10．有5位同学排成前后两排拍照，若前排站2人，则甲不站后排两端且甲、乙左右相邻的概率为（）A．B．C．D．11．某工厂拟生产甲、乙两种实销产品．已知每件甲产品的利润为0.4万元，每件乙产品的利润为0.3万元，两种产品都需要在A，B两种设备上加工，且加工一件甲、乙产品在A，B设备上所需工时（单位：h）分别如表所示．甲产品所需工时乙产品所需工时A设备23B设备41若A设备每月的工时限额为400h，B设备每月的工时限额为300h，则该厂每月生产甲、乙两种产品可获得的最大利润为（）A．40万元B．45万元C．50万元D．55万元12．若函数g（x）满足g（g（x））=n（n∈N）有n+3个解，则称函数g（x）为“复合n+3解”函数．已知函数f（x）=（其中e是自然对数的底数，e=2.71828…，k∈R），且函数f（x）为“复合5解”函数，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣e，e）C．（﹣1，1）D．（0，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，若BC=6，CD=5，则•=．14．有下列四个命题：①垂直于同一条直线的两条直线平行；②垂直于同一条直线的两个平面平行；③垂直于同一平面的两个平面平行；④垂直于同一平面的两条直线平行．其中正确的命题有（填写所有正确命题的编号）．15．若等比数列{a n}的公比为2，且a3﹣a1=2，则++…+=．16．设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A在C上，若|AF|=，以线段AF为直径的圆经过点B（0，1），则p=．三、解答题（共5小题，满分60分）17．在△ABC中，设内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且sin（A﹣）﹣cos（A+）=．（1）求角A的大小；（2）若a=，sin2B+cos2C=1，求△ABC的面积．18．某大学有甲、乙两个图书馆，对其借书、还书的等待时间进行调查，得到下表：甲图书馆12345借（还）书等待时间T1（分钟）频数1500 1000 500 500 1500乙图书馆12345借（还）书等待时间T2（分钟）频数100050020001250250以表中等待时间的学生人数的频率为概率．（1）分别求在甲、乙两图书馆借书的平均等待时间；（2）学校规定借书、还书必须在同一图书馆，某学生需要借一本数学参考书，并希望借、还书的等待时间之和不超过4分钟，在哪个图书馆借、还书更能满足他的要求？19．如图所示，在Rt△ABC中，AC⊥BC，过点C的直线VC垂直于平面ABC，D、E分别为线段VA、VC上异于端点的点．（1）当DE⊥平面VBC时，判断直线DE与平面ABC的位置关系，并说明理由；（2）当D、E、F分别为线段VA、VC、AB上的中点，且VC=2BC时，求二面角B ﹣DE﹣F的余弦值．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）过点P（2，1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足=，直线PM、PN分别交椭圆于A，B．（i）求证：直线AB过定点，并求出定点的坐标；（ii）求△OAB面积的最大值．21．已知函数f（x）=lnx﹣2ax（其中a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的图象在x=1处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）≤1恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）设g（x）=f（x）+x2，且函数g（x）有极大值点x0，求证：x0f（x0）+1+ax02＞0．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，双曲线E的参数方程为（θ为参数），设E的右焦点为F，经过第一象限的渐进线为l．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l的极坐标方程；（2）设过F与l垂直的直线与y轴相交于点A，P是l上异于原点O的点，当A，O，F，P四点在同一圆上时，求这个圆的极坐标方程及点P的极坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+a|﹣2a，其中a∈R．（1）当a=﹣2时，求不等式f（x）≤2x+1的解集；（2）若x∈R，不等式f（x）≤|x+1|恒成立，求a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．解：∵z（1﹣i）2=1+i，∴，故选：C．2．解：集合A={x|（x﹣1）2≤3x﹣3，x∈R}={x|（x﹣1）（x﹣4）≤0}={x|1≤x ≤4}=[1，4]；B={y|y=3x+2，x∈R}={y|y＞2}=（2，+∞），则A∩B=（2，4]．故选：D．3．解：由图象可知，甲类水果的平均质量μ1=0.4kg，乙类水果的平均质量μ2=0.8kg，故B，C，D正确；乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2=，故A 不正确．故选：A．4．解：数列{a n}的前n项和S n满足S n+S m=S n+m（n，m∈N*）且a1=5，令m=1，则S n+1=S n+S1=S n+5．可得a n+1=5．则a8=5．故选：D．5．解：b=（）=＞（）=a＞1，c=ln＜1，∴b＞a＞c．故选：B．6．解：第一次循环，a=1≤3，b=2，a=2，第二次循环，a=2≤3，b=4，a=3，第三次循环，a=3≤3，b=16，a=4，第四次循环，a=4＞3，输出b=16，故选：D．7．解：圆C：x2+y2﹣2x+4y=0的圆心（1，﹣2），若圆C：x2+y2﹣2x+4y=0上存在两点A，B关于直线l：y=kx﹣1对称，可知直线经过圆的圆心，可得﹣2=k﹣1，解得k=﹣1．故选：A．8．解：由三视图可知：该几何体为圆柱的．∴体积V=．∴该椅子的建造成本约为=×240≈282.60元．故选：C．9．解：f（x）=2sin（x+）﹣t，令f（x）=0得sin（x+）=，做出y=sin（x+）在[0，2π]上的函数图象如图所示：∵f（x）在[0，2π]上恰好有3个零点，∴=sin=，解方程sin（x+）=得x=0或x=2π或x=．∴三个零点之和为0+2π+=．故选：B．10．解：由题意得：p===，故选：B．11．C解：设甲、乙两种产品月的产量分别为x，y件，约束条件是目标函数是z=0.4x+0.3y由约束条件画出可行域，如图所示的阴影部分由z=0.4x+0.3y，结合图象可知，z=0.4x+0.3y在A处取得最大值，由可得A（50，100），此时z=0.4×50+0.3×100=50万元，故选：C．12．解：函数f（x）为“复合5解“，∴f（f（x））=2，有5个解，设t=f（x），∴f（t）=2，∵当x＞0时，f（x）=，∴f（x）=，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x＞1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，∴f（x）min=f（1）=1，∴t≥1，∴f（t）=2在[1，+∞）有2个解，当x≤0时，f（x）=kx+3，函数f（x）恒过点（0，3），当k≤0时，f（x）≥f（0）=3，∴t≥3∵f（3）=＞2，∴f（t）=2在[3，+∞）上无解，当k＞0时，f（x）≤f（0）=3，∴f（t）=2，在（0，3]上有2个解，在（∞，0]上有1个解，综上所述f（f（x））=2在k＞0时，有5个解，故选：D二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．解：在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，若BC=6，CD=5，可得AD=BD=5，即AB=10，由勾股定理可得AC==8，则•=﹣•=﹣||•||•cosA=﹣5×8×=﹣32．14．解：如图在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，对于①，AB⊥BB′，BC⊥BB′，AB、BC不平行，故错；对于②，两底面垂直于同一条侧棱，两个底面平面平行，故正确；对于③，相邻两个侧面同垂直底面，这两个平面不平行，故错；对于④，平行的侧棱垂直底面，侧棱平行，故正确．故答案为：②④15．解：∵等比数列{a n}的公比为2，且a3﹣a1=2，∴=2，解得a1=．∴a n==．∴=．则++…+=3×==1﹣．故答案为：1﹣．16．解：由题意，可得A（，），AB⊥BF，∴（，﹣1）•（，﹣1）=0，∴﹣+1=0，∴p（5﹣p）=4，∴p=1或4．三、解答题（共5小题，满分60分）17．解：（1）sin（A﹣）﹣cos（A+）=sin（A﹣）﹣cos（2π﹣A）=sin（A﹣）﹣cos（A+）=sinA﹣cosA﹣cosA﹣sinA=即cosA=，∵0＜A＜π，∴A=．（2）由sin2B+cos2C=1，可得sin2B=2sin2C，由正弦定理，得b2=2c2，即．a=，cosA==，解得：c=1，b=∴△ABC的面积S=bcsinA=．18．解：（1）根据已知可得T1的分布列：T1（分钟）12345P0.30.20.10.10.3T1的数学期望为：E（T1）=1×0.3+2×0.2+3×0.1+4×0.1+5×0.3=2.9．T2（分钟）12345P0.20.10.4 0.250.05T2的数学期望为：E（T1）=1×0.2+2×0.1+3×0.4+4×0.25+5×0.05=2.85．因此：该同学甲、乙两图书馆借书的平均等待时间分别为：2.9分钟，2.85分钟．（2）设T11，T12分别表示在甲图书馆借、还书所需等待时间，设事件A为“在甲图书馆借、还书的等待时间之和不超过4分钟”．T11+T12≤4的取值分别为：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）．。
【高三数学试题精选】2018年高考数学理科模拟试卷(附答案)
2018年高考数学理科模拟试卷（附答案）
5 x2) f(x)，则实数x的取值范围是
(A) (B)
(c) (D)
7．从如图所示的正方形ABc区域内任取一个点，则点取自阴影部分的概率为
(A) (B) (c) (D)
8．对于定义域和值域均为[0，1]的函数f(x)，定义，，…，，n=1，2，3，…．满足的点x∈[0，1]称为f的阶周期点．设则f的阶周期点的个数是
(A) 2n (B) 2(2n-1) (c) 2n (D) 2n2
第Ⅱ卷（非选择题共110分）
二、填空题本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．如图所示，在平面直角坐标系x中，角α的终边与单位圆交于点A，
点A的纵坐标为，则csα= ．
10．双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，离心率为3，则该双曲线的标准方程为，渐近线方程为．
11．已知圆x2+2-2x-4+1=0，则圆心到直线（t为参数）的距离为．
12．如图所示，过⊙外一点A作一条直线与⊙交于c，D两点，AB切⊙
于B，弦N过cD的中点P．已知Ac=4，AB=6，则P·NP= ．
13．对某种花卉的开放花期追踪调查，调查情况如下
花期（天）11～1314～1617～19ABcD中，底面ABcD为直角梯形，AD//Bc，∠ADc=90°，
平面PAD⊥底面ABcD，Q为AD的中点，是棱Pc上的点，PA=PD=2，。
全国新高考2018届高三月考数学理试卷 含答案 精品
2018年全国新高考月考数学（理）试题数学学科（理）高三年级第I 卷（选择题）一．选择题：共12题，每小题5分，共60分，每道小题只有一个正确的答案，把你选的答案涂在答题卡上.1．“a = 1”是“复数21(1)a a i -++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 2.函数x y 216-=的定义域和值域分别是A 和B ，则B A = A.[0,)+∞ B.[0,4] C.[0,4) D.(0,4)3.设变量x ，y 满足约束条件3,1,1,x y x y y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩则目标函数42z x y =+的最大值为A.12B.10C.8D.24．若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于 A ．4π-B ．6π C ．4π D ．43π 5．在一次国际学术会议上，来自四个国家的五位代表被安排坐在一张圆桌，为了使他们能够自由交谈，事先了解到的情况如下： 甲是中国人，还会说英语； 乙是法国人，还会说日语； 丙是英国人，还会说法语； 丁是日本人，还会说汉语； 戊是法国人，还会说德语； 则这五位代表的座位顺序应为Ａ．甲丙丁戊乙 B ．甲丁丙乙戊 Ｃ．甲丙戊乙丁 Ｄ．甲乙丙丁戊 6．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关。
”则下列说法错误的是Ａ．此人第二天走了九十六里路 Ｂ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里. Ｃ．此人第三天走的路程占全程的81Ｄ．此人后三天共走了42里路 7．在斜ABC ∆中，31tan tan ,cos cos 3sin -=-=C B C B A ,则角A 等于 A.4π B.6π C. 43π D.3π 8．阅读如图所示的程序框图，若输入的9=k ，则该算法的功能是A ．计算数列{}12n -的前10项和B ．计算数列{}12n -的前9项和C ．计算数列{}21n -的前10项和 D ．计算数列{}21n -的前9项和9．某几何体的三视图如右上图，则该几何体的表面积为A ．3+ B ．8+ C ．6+ D ．8+10．如图,在直三棱柱111C B A ABC -中，1AC AB AA ==,112AE BC ==,则异面直线AE 与C A 1所成的角是 A ．π6 B ．π4 C ．π3 D ．π211.三棱锥BCD A -的外接球为球O ，球O 的直径是AD ，且ABC ∆、BCD ∆都是边长为1的等边三角形，则三棱锥BCD A -的体积是（第10题图）A ．122 B ．81 C ．61D ．82 12.已知函数x ae x x x f -=ln )((e 为自然对数的底数）有两个极值点，则实数a 的取值范围是A ．)1,0(eB ．),0(eC ．),1(e eD ．),(e -∞第II 卷（非选择题）二．填空题：共4题，每小题5分，共20分，把每道小题的答案写在答题纸相应的位置上. 13.已知曲线x x y C 2:2+=在点（0，0）处的切线为l ，则由l C ,及直线1=x 围成的区域面积等于______________.14.已知1=，m =，π43=∠AOB ，点C 在AOB ∠内且0=∙OC OA 若)0(2≠+=λλλ则m = ．15．已知函数xx y --=112的图像与函数y kx =的图像恰有两个交点,则实数k 的取值范围是________.16．若数列}{n a )(*N n ∈是等差数列，则有数列)(*21N n na a ab nn ∈+++=也为等差数列，类比上述性质，相应地：若数列}{n c 是等比数列，且)(0*N n c n ∈>，则有=n d __________)(*N n ∈也是等比数列.三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）已知函数()sin()(0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的图象与y 轴的交点为(0,1)，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别 为0(,2)x 和0(2,2)x π+-．（Ⅰ）求()f x 的解析式及0x 的值； （Ⅱ）若锐角θ满足31cos =θ，求)4(θf 的值．18.（本小题满分12分）如图,矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，CF BE //，CF BC ⊥,4,3,2,3====CF BE EF AD .（Ⅰ）求证：⊥EF 平面DCE ;（Ⅱ）当AB 的长为何值时,二面角C EF A --的大小为60°．19.（本小题12分）数列{}n a 为递增的等比数列,{}⊆321,,a a a {}27,16,9,4,1,0,2,3,8---， 数列{}n b 满足112,28n n n b b b a +=-=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）求证：⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b 2是等差数列； （Ⅲ）设数列{}n c 满足14+⋅=n n n n b b c ，且数列{}n c 的前n 项和n T ，并求使得1n m T a >对任意*∈N n 都成立的正整数m 的最小值.20.（本小题满分12分）ABC ∆中，内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，已知a b c 、、成等比数列，且3cos 4B =（Ⅰ）求cot cot A C +的值;（Ⅱ）设32BA BC ⋅=，求a c +的值.21.（本小题满分12分）设函数2()f x x =，()ln (0)g x a x bx a =+>． （Ⅰ）若(1)(1),'(1)'(1)f g f g ==，求()()()F x f x g x =-的极小值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，是否存在实常数k 和m ，使得()f x kx m ≥+和()g x kx m ≤+？若存在，求出k 和m 的值．若不存在，说明理由；（Ⅲ）设()()2()G x f x g x =+-有两个零点12,x x ，且102,,x x x 成等差数列，试探究0'()G x 值的符号．请考生在22、23三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
2018年全国一般高等学校招生高考数学模拟试卷理科一及答案
2018年全国一般高等学校招生高考数学模拟试卷（理科）（一）一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|2﹣x＞0}，B={x|（）x＜1}，那么（）A．A∩B={x|0＜x≤2} B．A∩B={x|x＜0} C．A∪B={x|x＜2} D．A∪B=R2．（5分）已知i为虚数单位，a为实数，复数z知足z+3i=a+ai，假设复数z 是纯虚数，那么（）A．a=3 B．a=0 C．a≠0 D．a＜03．（5分）我国数学家邹元治利用如图证明勾股定理，该图顶用勾（a）和股（b）别离表示直角三角形的两条直角边，用弦（c）表示斜边，现已知该图中勾为3，股为4，假设从图中随机取一点，那么此点不落在中间小正方形中的概率是（）A． B．C．D．4．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S9=6π，那么tan a5=（）A． B．C．﹣D．﹣5．（5分）已知函数f（x）=x+（a∈R），那么以下结论正确的选项是（）A．∀a∈R，f（x）在区间（0，+∞）内单调递增B．∃a∈R，f（x）在区间（0，+∞）内单调递减C．∃a∈R，f（x）是偶函数D．∃a∈R，f（x）是奇函数，且f（x）在区间（0，+∞）内单调递增6．（5分）（1+x）（2﹣x）4的展开式中x项的系数为（）A．﹣16 B．16 C．48 D．﹣487．（5分）如图是某个几何体的三视图，那么那个几何体的表面积是（）A．π+4+4 B．2π+4+4 C．2π+4+2 D．2π+2+4 8．（5分）假设a＞1，0＜c＜b＜1，那么以下不等式不正确的选项是（）A．log2018a＞log2018b B．log b a＜log c aC．（a﹣c）a c＞（a﹣c）a b D．（c﹣b）a c＞（c﹣b）a b9．（5分）执行如下图的程序框图，假设输出的n值为11，那么判定框中的条件能够是（）A．S＜1022？B．S＜2018？C．S＜4095？D．S＞4095？10．（5分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的部份图象如下图，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象与函数y=g （x）的图象重合，那么（）A．g（x）=2sin（2x+）B．g（x）=2sin（2x+）C．g（x）=2sin2x D．g（x）=2sin（2x﹣）11．（5分）已知抛物线C：y2=4x的核心为F，过点F作斜率为1的直线l交抛物线C与P、Q两点，那么+的值为（）A．B．C．1 D．212．（5分）已知数列{an }中，a1=2，n（an+1﹣an）=an+1，n∈N*，假设关于任意的a∈[﹣2，2]，n∈N*，不等式＜2t2+at﹣1恒成立，那么实数t的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．[﹣2，2]二、填空题（每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量=（1，λ），=（3，1），假设向量2﹣与=（1，2）共线，那么向量在向量方向上的投影为．14．（5分）假设实数x，y知足，那么z=x﹣3y+1的最大值是．15．（5分）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的下核心F1作y轴的垂线，交双曲线于A，B两点，假设以AB为直径的圆恰好于其上核心F2，那么双曲线的离心率为．16．（5分）一底面为正方形的长方体各棱长之和为24，那么当该长方体体积最大时，其外接球的体积为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤.）17．（12分）如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边别离为a，b，c，假设2acosA=bcosC+ccosB．（1）求角A的大小；（2）假设点D在边AC上，且BD是∠ABC的平分线，AB=2，BC=4，求AD的长．18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱CC1⊥地面ABC，且CC1=2AC=2BC，AC⊥BC，D是AB的中点，点M在侧棱CC1上运动．（1）当M是棱CC1的中点时，求证：CD∥平面MAB1；（2）当直线AM与平面ABC所成的角的正切值为时，求二面角A﹣MB1﹣C1的余弦值．19．（12分）第一届“一带一路”国际合作顶峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，这是2017年我国重要的主场外交活动，对推动国际和地域合作具有重要意义．某高中政教处为了调查学生对“一带一路”的关注情形，在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试，并从中随机抽取了12份问卷，取得其测试成绩（百分制），如茎叶图所示．（1）写出该样本的众数、中位数，假设该校共有3000名学生，试估量该校测试成绩在70分以上的人数；（2）从所抽取的70分以上的学生中再随机选取1人．①记X表示选取4人的成绩的平均数，求P（X≥87）；②记ξ表示测试成绩在80分以上的人数，求ξ的散布和数学期望．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右核心为F1，F2，离心率为，点P在椭圆C上，且△PF1F2的面积的最大值为2．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y=kx+2（k≠0）与椭圆C交于不同的两点M，N，假设在x轴上存在点G，使得|GM|=|GN|，求点G的横坐标的取值范围．21．（12分）设函数f（x）=e x﹣2a﹣ln（x+a），a∈R，e为自然对数的底数．（1）假设a＞0，且函数f（x）在区间[0，+∞）内单调递增，求实数a的取值范围；（2）假设0＜a＜，试判定函数f（x）的零点个数．请考生在2二、23两题中任选一题作答，若是多做，那么按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为+=1，以O 为极点，x轴的非负半轴为极轴，取相同的长度单位成立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=3．（1）求直线l的直角坐标方程和椭圆C的参数方程；（2）设M（x，y）为椭圆C上任意一点，求|2x+y﹣1|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣2|．（1）求不等式f（x）+f（2+x）≤4的解集；（2）假设g（x）=f（x）﹣f（2﹣x）的最大值为m，对任意不相等的正实数a，b，证明：af（b）+bf（a）≥m|a﹣b|．2018年全国一般高等学校招生高考数学模拟试卷（理科）（一）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|2﹣x＞0}，B={x|（）x＜1}，那么（）A．A∩B={x|0＜x≤2} B．A∩B={x|x＜0} C．A∪B={x|x＜2} D．A∪B=R【解答】解：集合A={x|2﹣x＞0}={x|x＜2}，B={x|（）x＜1}={x|x＞0}，那么A∩B={x|0＜x＜2}，A∪B=R．应选：D．2．（5分）已知i为虚数单位，a为实数，复数z知足z+3i=a+ai，假设复数z 是纯虚数，那么（）A．a=3 B．a=0 C．a≠0 D．a＜0【解答】解：由z+3i=a+ai，得z=a+（a﹣3）i，又∵复数z是纯虚数，∴，解得a=0．应选：B．3．（5分）我国数学家邹元治利用如图证明勾股定理，该图顶用勾（a）和股（b）别离表示直角三角形的两条直角边，用弦（c）表示斜边，现已知该图中勾为3，股为4，假设从图中随机取一点，那么此点不落在中间小正方形中的概率是（）A． B． C．D．【解答】解：设直角三角形的长直角边为a=4，短直角边为b=3，由题意c=5，∵大方形的边长为a+b=3+4=7，小方形的边长为c=5，那么大正方形的面积为49，小正方形的面积为25，∴知足题意的概率值为：1﹣=．应选：B．4．（5分）已知等差数列{an }的前n项和为Sn，且S9=6π，那么tan a5=（）A． B．C．﹣D．﹣【解答】解：由等差数列的性质可得：S9=6π==9a5，∴a=．5=tan=﹣．那么tan a5应选：C．5．（5分）已知函数f（x）=x+（a∈R），那么以下结论正确的选项是（）A．∀a∈R，f（x）在区间（0，+∞）内单调递增B．∃a∈R，f（x）在区间（0，+∞）内单调递减C．∃a∈R，f（x）是偶函数D．∃a∈R，f（x）是奇函数，且f（x）在区间（0，+∞）内单调递增【解答】解：当a≤0时，函数f（x）=x+在区间（0，+∞）内单调递增，当a＞0时，函数f（x）=x+在区间（0，]上单调递减，在[，+∞）内单调递增，故A，B均错误，∀a∈R，f（﹣x）=﹣f（x）均成立，故f（x）是奇函数，故C错误，应选：D．6．（5分）（1+x）（2﹣x）4的展开式中x项的系数为（）A．﹣16 B．16 C．48 D．﹣48【解答】解：∵（2﹣x）4展开式的通项公式为 T=•24﹣r（﹣x）r，r+1∴（1+x）（2﹣x）4的展开式中x项的系数为﹣•23+24=﹣16，应选：A．7．（5分）如图是某个几何体的三视图，那么那个几何体的表面积是（）A．π+4+4 B．2π+4+4 C．2π+4+2 D．2π+2+4【解答】解：由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体．其直观图如下所示：其表面积S=2×π•12+2××2×1++﹣2×1=2π+4+4，应选：B8．（5分）假设a＞1，0＜c＜b＜1，那么以下不等式不正确的选项是（）A．log2018a＞log2018b B．logba＜logcaC．（a﹣c）a c＞（a﹣c）a b D．（c﹣b）a c＞（c﹣b）a b【解答】解：依照对数函数的单调性可得log2018a＞log2018b正确，logba＜logca正确，∵a＞1，0＜c＜b＜1，∴a c＜a b，a﹣c＞0，∴（a﹣c）a c＜（a﹣c）a b，故C不正确，∵c﹣b＜0，∴（c﹣b）a c＞（c﹣b）a b正确，应选：C．9．（5分）执行如下图的程序框图，假设输出的n值为11，那么判定框中的条件能够是（）A．S＜1022？B．S＜2018？C．S＜4095？D．S＞4095？【解答】解：第1次执行循环体，S=3，应不知足输出的条件，n=2，第2次执行循环体，S=7，应不知足输出的条件，n=3，第3次执行循环体，S=15，应不知足输出的条件，n=4，第4次执行循环体，S=31，应不知足输出的条件，n=5，第5次执行循环体，S=63，应不知足输出的条件，n=6，第6次执行循环体，S=127，应不知足输出的条件，n=7，第7次执行循环体，S=255，应不知足输出的条件，n=8，第8次执行循环体，S=511，应不知足输出的条件，n=9，第9次执行循环体，S=1023，应不知足输出的条件，n=10，第10次执行循环体，S=2047，应不知足输出的条件，n=11第11次执行循环体，S=4095，应知足输出的条件，故判定框中的条件能够是S＜4095？，应选：C．10．（5分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的部份图象如下图，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象与函数y=g （x）的图象重合，那么（）A．g（x）=2sin（2x+）B．g（x）=2sin（2x+）C．g（x）=2sin2x D．g（x）=2sin（2x﹣）【解答】解：依照函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的部份图象，可得==+，∴ω=2，依照+φ=2•（﹣）+φ=0，∴φ=，故f（x）=2sin（2x+）．将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象与函数y=g（x）的图象重合，故g（x）=2sin（2x++）=2sin（2x+）．应选：A．11．（5分）已知抛物线C：y2=4x的核心为F，过点F作斜率为1的直线l交抛物线C与P、Q两点，那么+的值为（）A．B．C．1 D．2【解答】解：抛物线C：y2=4x的核心为F（1，0），过点F作斜率为1的直线l：y=x﹣1，可得，消去y可得：x2﹣6x+1=0，可得xP +xQ=6，xPxQ=1，|PF|=xP +1，|QF|=xQ+1，|PF||QF|=xQ +xP+xPxQ+1=6+1+1=8，则+===1．应选：C．12．（5分）已知数列{an }中，a1=2，n（an+1﹣an）=an+1，n∈N*，假设关于任意的a∈[﹣2，2]，n∈N*，不等式＜2t2+at﹣1恒成立，那么实数t的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．[﹣2，2]【解答】解：依照题意，数列{a n }中，n （a n+1﹣a n ）=a n +1， 即na n+1﹣（n+1）a n =1，那么有﹣==﹣，那么有=（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（a 2﹣a 1）+a 1=（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（1﹣）+2=3﹣＜3，＜2t 2+at ﹣1即3﹣＜2t 2+at ﹣1，∵关于任意的a ∈[﹣2，2]，n ∈N *，不等式＜2t 2+at ﹣1恒成立，∴2t 2+at ﹣1≥3， 化为：2t 2+at ﹣4≥0，设f （a ）=2t 2+at ﹣4，a ∈[﹣2，2]， 可得f （2）≥0且f （﹣2）≥0，即有即，可得t ≥2或t ≤﹣2，那么实数t 的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）． 应选：A ．二、填空题（每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量=（1，λ），=（3，1），假设向量2﹣与=（1，2）共线，那么向量在向量方向上的投影为0 ．【解答】解：向量=（1，λ），=（3，1），向量2﹣=（﹣1，2λ﹣1），∵向量2﹣与=（1，2）共线，∴2λ﹣1=﹣2，即λ=．∴向量=（1，﹣），∴向量在向量方向上的投影为||•cos＜，＞===0．故答案为：0．14．（5分）假设实数x，y知足，那么z=x﹣3y+1的最大值是．【解答】解：实数x，y知足，对应的可行域如图：线段AB，z=x﹣3y+1化为：y=，若是z最大，那么直线y=在y轴上的截距最小，作直线l：y=，平移直线y=至B点时，z=x﹣3y+1取得最大值，联立，解得B（，）．因此z=x﹣3y+1的最大值是：．故答案为：﹣．15．（5分）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的下核心F作y轴的垂线，交1，那么双曲线的双曲线于A，B两点，假设以AB为直径的圆恰好于其上核心F2离心率为．作y轴的垂线，【解答】解：过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的下核心F1交双曲线于A，B两点，那么|AB|=，，以AB为直径的圆恰好于其上核心F2可得：，∴c2﹣a2﹣2ac=0，可得e2﹣2e﹣1=0，解得e=1+，e=1﹣舍去．故答案为：1+．16．（5分）一底面为正方形的长方体各棱长之和为24，那么当该长方体体积最大时，其外接球的体积为4．【解答】解：设该项长方体底面边长为x米，由题意知其高是：=6﹣2x，（0＜x＜3）那么长方体的体积V（x）=x2（6﹣2x），（0＜x＜3），V′（x）=12x﹣6x2=6x（2﹣x），由V′（x）=0，得x=2，且当0＜x＜2时，V′（x）＞0，V（x）单调递增；当2＜x＜3时，V′（x）＜0，V（x）单调递减．∴体积函数V（x）在x=2处取得唯一的极大值，即为最大值，现在长方体的高为6﹣2x=2，∴其外接球的直径2R==2，∴R=，∴其外接球的体积V==4．故答案为：4．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤.）17．（12分）如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边别离为a，b，c，假设2acosA=bcosC+ccosB．（1）求角A的大小；（2）假设点D在边AC上，且BD是∠ABC的平分线，AB=2，BC=4，求AD的长．【解答】解：（1）∵2acosA=bcosC+ccosB，∴2sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA，∵sinA≠0，∴cosA=，∴A=．（2）在△ABC中，由余弦定理的cosA==，解得AC=1+或AC=1﹣（舍）．∵BD是∠ABC的平分线，∴=，∴AD=AC=．18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱CC1⊥地面ABC，且CC1=2AC=2BC，AC⊥BC，D是AB的中点，点M在侧棱CC1上运动．（1）当M是棱CC1的中点时，求证：CD∥平面MAB1；（2）当直线AM与平面ABC所成的角的正切值为时，求二面角A﹣MB1﹣C1的余弦值．【解答】证明：（1）取线段AB的中点E，连接DE，EM．∵AD=DB，AE=EB，∴DE∥BB1，ED=，又M为CC1的中点，∴．∴四边形CDEM是平行四边形．∴CD∥EM，又EM⊂MAB1，CD⊄MAB1∴CD∥平面MAB1；解（2）∵CA，CB，CC1两两垂直，∴以C为原点，CA，CB，CC1所在直线别离为x、y、z轴成立空间直角坐标系．∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱CC1⊥地面ABC，可得∠MAC为直线AM与平面ABC所成的角，设AC=1，tan，得CM=∴C（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），B1（0，1，2），M（0，0，）设AMB1的法向量为，可取又平面B1C1CB的法向量为．cos==．∵二面角A﹣MB1﹣C1为钝角，∴二面角A﹣MB1﹣C1的余弦值为﹣．19．（12分）第一届“一带一路”国际合作顶峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，这是2017年我国重要的主场外交活动，对推动国际和地域合作具有重要意义．某高中政教处为了调查学生对“一带一路”的关注情形，在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试，并从中随机抽取了12份问卷，取得其测试成绩（百分制），如茎叶图所示．（1）写出该样本的众数、中位数，假设该校共有3000名学生，试估量该校测试成绩在70分以上的人数；（2）从所抽取的70分以上的学生中再随机选取1人．①记X表示选取4人的成绩的平均数，求P（X≥87）；②记ξ表示测试成绩在80分以上的人数，求ξ的散布和数学期望．【解答】解：（1）众数为76，中位数为76，抽取的12人中，70分以下的有4人，不低于70分的有8人，故从该校学生中任选1人，那个人测试成绩在70分以上的概率为=，∴该校这次测试成绩在70分以上的约有：3000×=2000人．（2）①由题意知70分以上的有72，76，76，76，82，88，93，94，当所选取的四个人的成绩的平均分大于87分时，有两类：一类是：82，88，93，94，共1种；另一类是：76，88，93，94，共3种．∴P（X≥87）==．②由题意得ξ的可能取值为0，1，2，3，4，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，P（ξ=4）==，∴ξ的散布列为：ξ 0 1 2 3 4P∴E（ξ）==2．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右核心为F1，F2，离心率为，点P在椭圆C上，且△PF1F2的面积的最大值为2．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y=kx+2（k≠0）与椭圆C交于不同的两点M，N，假设在x轴上存在点G，使得|GM|=|GN|，求点G的横坐标的取值范围．【解答】解：（1）显然当点P位于短轴端点时，△PF1F2的面积取得最大值，∴，解得，∴椭圆的方程为=1．（2）联立方程组，消元得（8+9k2）x2+36kx﹣36=0，∵直线l恒过点（0，2），∴直线l与椭圆始终有两个交点，设M（x1，y1），N（x2，y2），那么x1+x2=，设MN的中点为E（x0，y），那么x=，y=kx+2=．∵|GM|=|GN|，∴GE⊥MN，设G（m，0），那么kGE==﹣，∴m==，当k＞0时，9k+≥2=12．当且仅当9k=，即k=时取等号；∴﹣≤m＜0，当k＜0时，9k+≤﹣2=﹣12，当且仅当9k=，即k=﹣时取等号；∴0＜m≤．∴点G的横坐标的取值范围是[﹣，0）∪（0，]．21．（12分）设函数f（x）=e x﹣2a﹣ln（x+a），a∈R，e为自然对数的底数．（1）假设a＞0，且函数f（x）在区间[0，+∞）内单调递增，求实数a的取值范围；（2）假设0＜a＜，试判定函数f（x）的零点个数．【解答】解：（1）∵函数f（x）在区间[0，+∞）内单调递增，∴f′（x）=e x﹣≥0在区间[0，+∞）恒成立，即a≥e﹣x﹣x在[0，+∞）恒成立，记g（x）=e﹣x﹣x，那么g′（x）=﹣e﹣x﹣1＜0恒成立，故g（x）在[0，+∞）递减，故g（x）≤g（0）=1，a≥1，故实数a的范围是[1，+∞）；（2）∵0＜a＜，f′（x）=e x﹣，记h（x）=f′（x），那么h′（x）=e x+＞0，知f′（x）在区间（﹣a，+∞）递增，又∵f′（0）=1﹣＜0，f′（1）=e﹣＞0，，∴f′（x）在区间（﹣a，+∞）内存在唯一的零点x即f′（x）=﹣=0，于是x0=﹣ln（x+a），当﹣a＜x＜x时，f′（x）＜0，f（x）递减，当x＞x时，f′（x）＞0，f（x）递增，故f（x）min =f（x）=﹣2a﹣ln（x+a）=x+a+﹣3a≥2﹣3a，当且仅当x+a=1时取“=”，由0＜a＜得2﹣3a＞0，∴f（x）min =f（x）＞0，即函数f（x）无零点．请考生在2二、23两题中任选一题作答，若是多做，那么按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为+=1，以O 为极点，x轴的非负半轴为极轴，取相同的长度单位成立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=3．（1）求直线l的直角坐标方程和椭圆C的参数方程；（2）设M（x，y）为椭圆C上任意一点，求|2x+y﹣1|的最大值．【解答】解：（1）依照题意，椭圆C的方程为+=1，那么其参数方程为，（α为参数）；直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=3，变形可得ρsinθcos+ρcosθsin =3，即ρsinθ+ρcosθ=3，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得x+y﹣6=0，即直线l的一般方程为x+y﹣6=0；（2）依照题意，M（x，y）为椭圆一点，那么设M（2cosθ，4sinθ），|2x+y﹣1|=|4cosθ+4sinθ﹣1|=|8sin（θ+）﹣1|，分析可得，当sin（θ+）=﹣1时，|2x+y﹣1|取得最大值9．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣2|．（1）求不等式f（x）+f（2+x）≤4的解集；（2）假设g（x）=f（x）﹣f（2﹣x）的最大值为m，对任意不相等的正实数a，b，证明：af（b）+bf（a）≥m|a﹣b|．【解答】（1）解：不等式f（x）+f（2+x）≤4，即为|x﹣2|+|x|≤4，当x≥2时，2x﹣2≤4，即x≤3，那么2≤x≤3；当0＜x＜2时，2﹣x+x≤4，即2≤4，那么0＜x＜2；当x≤0时，2﹣x﹣x≤4，即x≥﹣1，那么﹣1≤x≤0．综上可得，不等式的解集为{x|﹣1≤x≤3}；（2）证明：g（x）=f（x）﹣f（2﹣x）=|x﹣2|﹣|x|，由|x﹣2|﹣|x|≤|x﹣2﹣x|=2，当且仅当x≤0时，取得等号，即g（x）≤2，那么m=2，任意不相等的正实数a，b，可得af（b）+bf（a）=a|b﹣2|+b|a﹣2|=|ab﹣2a|+|ab﹣2b|≥|ab﹣2a﹣ab+2b|=|2a﹣2b|=2|a﹣b|=m|a﹣b|，当且仅当（a﹣2）（b﹣2）≤0时，取得等号，即af（b）+bf（a）≥m|a﹣b|．。
2018年高考数学(理科)模拟试卷一含答案解析.doc
2018年高考数学(理科)模拟试卷(一) (本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分150分，考试时间120分钟)第Ⅰ卷(选择题满分60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2016年四川)设集合A＝{x|1≤x≤5}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是() A．6 B.5C．4D．31.B解析：由题意，A∩Z＝{1,2,3,4,5}，故其中的元素的个数为5.故选B.2．(2016年山东)若复数z满足2z＋z＝3－2i,其中i为虚数单位，则z＝()A．1＋2i B．1－2iC．－1＋2i D．－1－2i2．B解析：设z＝a＋b i(a，b∈R)，则2z＋z＝3a＋b i＝3－2i，故a＝1，b＝－2，则z＝1－2i.故选B.3．(2015年北京)某四棱锥的三视图如图M1-1，该四棱锥最长棱的棱长为()图M1-1A．1 B.2 C.3D．23．C解析：四棱锥的直观图如图D188：由三视图可知，SC⊥平面ABCD，SA是四棱锥最长的棱，SA＝SC2＋AC2＝SC2＋AB2＋BC2＝3.故选C.图D1884．曲线y＝x3－2x＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为()A. B. C. D.4．C解析：f′(x)＝3x2－2，f′(1)＝1，所以切线的斜率是1，倾斜角为.进入循环体，a＝－，否，k＝1，a＝－2，否，k＝2，a＝1，ππππ6342π4 5．设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数.若存在实数t，使得[t]＝1，[t2]＝2，…，[t n]＝n同时成立，则正整数n的最大值是() A．3B．4C．5D．65．B解析：因为[x]表示不超过x的最大整数．由[t]＝1，得1≤t<2，由[t2]＝2，得2≤t2<3.由[t3]＝3，得3≤t3<4.由[t4]＝4，得4≤t4<5.所以2≤t2<5.所以6≤t5<45.由[t5]＝5，得5≤t5<6，与6≤t5<45矛盾，故正整数n的最大值是4.6．(2016年北京)执行如图M1-2所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为()图M1-2A．1B．2C．3D．46．B解析：输入a＝1，则k＝0，b＝1；12此时a＝b＝1，输出k，则k＝2.故选B.7．某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图M1-3，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m＋n的值是()7．C解析：由题意，得＝88，n＝9.所以m＋n＝12.⎪⎩x≥0，图M1-3A．10B．11C．12D．1378＋88＋84＋86＋92＋90＋m＋957故选C.8．(2015年陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知分别生产1吨甲、乙产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为()项目A/吨B/吨甲31乙22原料限额128A.12万元B．16万元C．17万元D．18万元8．D解析：设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x吨、y吨，则利润z＝3x＋4y.⎧⎪3x＋2y≤12，由题意可得⎨x＋2y≤8，y≥0.其表示如图D189阴影部分区域：图D189当直线3x＋4y－z＝0过点A(2,3)时，z取得最大值，所以zmax＝3×2＋4×3＝18.故选D.9．(2016年新课标Ⅲ)定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有() A．18个B．16个C．14个D．12个9．C解析：由题意，必有a1＝0，a8＝1，则具体的排法列表如下：10．(2016 年 天 津 )已知函数f(x)＝sin 2ω x ＋ sin ωx － (ω>0)，x ∈ ⎛ 1⎤ ⎛ 1⎤ ⎡5 ⎫ A. 0， ⎥ B. 0， ⎥∪⎢ ，1⎪ ⎛5⎤ ⎛ 1⎤ ⎡1 5⎤ C. 0， ⎥ D. 0， ⎥∪⎢ ， ⎥ 1－cos ω x sin ω x 1 2 ⎛ ⎛π ⎫ 10.D 解析：f(x)＝ ＋ － ＝ sin ω x － ⎪，f(x)＝0⇒sin ω x － ⎪ k π ＋⎛1 1⎫ ⎛5 5⎫ ⎛9 9⎫ ⎛1 1⎫ ⎛5 ⎫ ⎛ 1⎤ ⎡1 5⎤因此 ω ， ⎪∪ ， ⎪∪ ， ⎪∪…＝ ， ⎪∪ ，＋∞⎪⇒ω∈ 0， ⎥∪⎢ ， ⎥.故选4 ⎭ A ．3 B. C ．23 D. ∥PA ，所以 OE ⊥底面 ABCD ，则 O 到四棱锥的所有顶点的距离相等，即 O 为球心， PC ＝1 1 4 ⎛1 ⎫ 243π 7 PA2＋AC2＝ PA2＋8，所以由球的体积可得 π PA2＋8⎪3＝ ，解得 PA ＝ .故选1 12 2 2R.若f(x)在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是()⎝ 8⎦ ⎝ 4⎦ ⎣8 ⎭⎝ 8⎦ ⎝ 8⎦ ⎣4 8⎦2 2 2 2 ⎝ ⎝ 4 ⎭ ＝0，π4所以 x ＝ (π，2π)，(k ∈Z)．ω⎝8 4⎭ ⎝8 4⎭ ⎝8 4⎭ ⎝8 4⎭ ⎝8 ⎭ ⎝ 8⎦ ⎣4 8⎦D.11．四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为正方形，PA底面ABCD ，AB ＝2，若该四棱锥的所有顶点都在体积为⊥243π 16的同一球面上，则P A ＝()729211．B 解析：如图 D190，连接 AC ，BD 交于点 E ，取 PC 的中点 O ，连接 OE ，则 OE122 23 ⎝2 ⎭ 16 2B.12．已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A 、B 在该抛物线上且位于x 轴两侧，若 OA ·OBA ．4 B. C. D. 10OA · OB ＝6，所以 x 1· x 2＋y 1· y 2＝6，从而(y 1· y 2)2＋y 1· y 2－6＝0，因为点 A ，B 位于 x 轴的两侧， 所以 y 1· y 2＝－3，故 m ＝3，不妨令点 A 在 x 轴上方，则 y 1>0，又 F ，0⎪，所以 △S ABO ＋△S ⎝4⎭8 2 y1 2 8×3×(y 1－y 2)＋ × y 1＝ y 1＋，即 y 1＝ 时取等号，故其最小值为 .故选 B.|c|·|a| |c|·|b| 5a2 －y214．设F 是双曲线C ：x2b图D190→→＝6(O 为坐标原点△)，则 ABO 与△AOF 面积之和的最小值为()3 1317 2 2412．B 解析：设直线 AB 的方程为 x ＝ty ＋m ，点 A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，直线 AB 与 x轴的交点为 M (m,0)，将直线方程与抛物线方程联立，可得 y 2－ty －m ＝0，根据韦达定理有 y 1· y 2＝－m ，因为 →→⎛1 ⎫AFO 1 1 1 13 9 ＝2 2 4 8 2y1 ≥213 9 1 313 13y1 ·y1· · ＝ ，当且仅当 ＝9 6 13 3 132y1 13 2第Ⅱ卷(非选择题 满分90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第 13～21 题为必考题，每个试题考生必须作答．第22～23 题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．13．平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R)，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.13．2 解析：a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，则 c ＝m a ＋b ＝(m ＋4,2m ＋2)，|a |＝ 5，|b |＝2 5，c·a c·b 5m ＋8a · c ＝5m ＋8，· c ＝8m ＋20.∵c 与 a 的夹角等于 c 与b 的夹角，∴ ＝ .∴8m ＋20 ＝ .解得 m ＝2.2 5b2＝1的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为__________．16．在区间[0，π]上随机地取一个数x ，则事件“sin x ≤ ”发生的概率为________．⎛π ⎫ ⎛5π ⎫ 6⎝ 6 ⎭ 1－0 ＋ π － ⎪ ⎪17．解：(1)设{a n }的公比为 q ，{b n }的公差为 d ，由题意知 q >0.由已知，有⎨c,2b )在双曲线上，有 － ＝1，则 e 2＝5，e ＝ 5. 11⎡ ⎤0，16.解析：由正弦函数的图象与性质知，当 x ∈⎢∪⎢ ，π ⎥时，sin x ≤ .⎥π 36 ⎦ ⎣ 6 ⎩14. 5 解析：根据双曲线的对称性，不妨设 F(c,0)，虚轴端点为(0，b )，从而可知点(－c2 4b2a2 b215．(2016 年北京)在(1－2x)6的展开式中，x 2的系数为________．(用数字作答)15．60 解析：根据二项展开的通项公式 T r ＋1＝C r6·(－2)r x r 可知，x 2 的系数为 C 26(－2)2＝60，故填 60.123⎣ ⎦ 2⎭ ⎝ 所以所求概率为 ＝ .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分 )已知{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 1＝b 1＝1，b 2＋b 3＝2a 3，a 5 －3b 2＝7.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n b n ，n ∈N *，求数列{c n }的前n 项和．⎧⎪2q2－3d ＝2， ⎪q4－3d ＝10. 消去 d ，得 q 4－2q 2－8＝0.解得 q ＝2，d ＝2.所以{a n }的通项公式为 a n ＝2n －1，n ∈N *， {b n }的通项公式为 b n ＝2n －1，n ∈N *.(2)由(1)有 c n ＝(2n －1)2n －1，设{c n }的前 n 项和为 S n ， 则 S n ＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n －1)×2n －1， 2S n ＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n －1)×2n .两式相减，得－S n ＝1＋22＋23＋…＋2n －(2n －1)×2n ＝－(2n －3)×2n －3. 所以 S n ＝(2n －3)·2n ＋3，n ∈N *.18．( 本 小 题 满 分 12 分 )(2014 年 大纲 )设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5,0.4，各人 是否需使用设备相互独立．(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望．18．解：记 A 1 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有 i 人需使用设备，i ＝0,1,2. B 表示事件：甲需使用设备． C 表示事件：丁需使用设备．D 表示事件：同一工作日至少 3 人需使用设备．(1)因为 P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(A i )＝C i2×0.52，i ＝0,1,2，∠P AB＝90°，BC＝CD＝AD，E为边AD的中点，异面直线P A与CD所成的角为90°.所以P(D)＝P(A1·B·C＋A2·B＋A2·B·C)＝P(A1·B·C)＋P(A2·B)＋P(A2·B·C)＝P(A1)P(B)P(C)＋P(A2)P(B)＋P(A2)P(B)P(C)＝0.31.(2)X的可能取值为0,1,2,3,4，其分布列为P(X＝0)＝P(B·A·C)＝P(B)P(A0)P(C)＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4)＝0.06，P(X＝1)＝P(B·A·C＋B·A·C＋B·A1·C)＝P(B)P(A)P(C)＋P(B)P(A)P(C)＋P(B)P(A1)P(C)＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25，P(X＝4)＝P(A2·B·C)＝P(A2)P(B)P(C)＝0.52×0.6×0.4＝0.06，P(X＝3)＝P(D)－P(X＝4)＝0.25，P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－0.06－0.25－0.25－0.06＝0.38，所以E(X)＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＋4×P(X＝4)＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2.19．(本小题满分12分)(2016年四川)如图M1-4，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝12(1)在平面P AB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；(2)若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线P A与平面PCE所成角的正弦值．图M1-419．解：(1)在梯形ABCD中，AB与CD不平行．延长AB，DC，相交于点M(M∈平面P AB)，点M即为所求的一个点．理由如下：由已知，BC∥ED，且BC＝ED，所以四边形BCDE是平行四边形．所以CD∥EB.从而CM∥EB.又EB平面PBE，CM平面PBE，所以CM∥平面PBE.(说明：延长AP至点N，使得AP＝PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)方法一，由已知，CD⊥P A，CD⊥AD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面P AD.从而CD⊥PD.所以∠PDA是二面角P-CD-A的平面角．所以∠PDA＝45°.所以AH＝.在△Rt P AH中，PH＝PA2＋AH2＝，所以sin∠APH＝＝.作Ay⊥AD，以A为原点，以AD，AP的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图D192所以PE＝(1,0，－2)，EC＝(1,1,0)，AP＝(0,0,2)PEEC→则sinα＝＝|n|·|AP|2×22＋－＋123所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为.设BC＝1，则在Rt△P AD中，P A＝AD＝2.如图D191，过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH.易知P A⊥平面ABCD，从而P A⊥CE.于是CE⊥平面P AH.所以平面PCE⊥平面P AH.过A作AQ⊥PH于Q，则AQ⊥平面PCE.所以∠APH是PA与平面PCE所成的角．在△Rt AEH中，∠AEH＝45°，AE＝1，22322AH1PH3图D191图D192方法二，由已知，CD⊥P A，CD⊥AD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面P AD.于是CD⊥PD.从而∠PDA是二面角P-CD-A的平面角．所以∠PDA＝45°.由PA⊥AB，可得PA⊥平面ABCD.设BC＝1，则在△Rt P AD中，P A＝AD＝2.→→所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(2,1,0)，E(1,0,0)，→→→设平面PCE的法向量为n＝(x，y，z)，⎧⎪n·→＝0，由⎨⎪⎩n·→＝0，⎧⎪x－2z＝0，得⎨⎪⎩x＋y＝0.设x＝2，解得n＝(2，－2,1)．设直线PA与平面PCE所成角为α，|n·AP|2→1＝.1320．(本小题满分12分)(2016年新课标Ⅲ)设函数f(x)＝ln x－x＋1.(2)证明当x ∈(1，＋∞)时，1< <x ；20．解：(1)由题设，f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝ －1，令 f ′(x)＝0，解得 x ＝1.故当 x ∈(1，＋∞)时，ln x <x －1，ln < －1，即 1< <x.ln c 令 g ′(x)＝0，解得 x 0＝ .21．解：(1)设椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1(a >b >0)，因为点 B(2， 2)在椭圆 C 上，所以 ＋ ＝1.②所以椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1.因为直线 y ＝kx(k ≠0)与椭圆 ＋ ＝1 交于两点 E ，F ，(1)讨论f(x)的单调性；x －1ln x(3)设c >1，证明当x ∈(0,1)时，1＋(c －1)x >c x .1x当 0<x <1 时，f ′(x)>0，f(x)单调递增； 当 x >1 时，f ′(x)<0，f(x)单调递减．(2)由(1)知，f(x)在 x ＝1 处取得最大值，最大值为 f(1)＝0. 所以当 x ≠1 时，ln x <x －1.1 1 x －1x x ln x(3)由题设 c >1，设 g (x)＝1＋(c －1)x －c x ， 则 g ′(x)＝c －1－c x ln c.c －1 lnln c当 x <x 0 时，g ′(x)>0，g (x)单调递增； 当 x >x 0 时，g ′(x)<0，g (x)单调递减．c －1由(2)知，1<ln c <c ，故 0<x 0<1.又 g (0)＝g (1)＝0，故当 0<x <1 时，g (x)>0. 所以 x ∈(0,1)时，1＋(c －1)x >c x .21．( 本 小 题 满 分 12 分 )(2016 年 广 东 广 州 综 合 测 试一)已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为F 1(－2,0)，点B(2， 2 )在椭圆C 上，直线y ＝kx(k ≠0)与椭圆C 交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N .(1)求椭圆C 的方程；(2)以MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理 由．x2 y2a2 b2因为椭圆的左焦点为 F 1(－2,0)，所以 a 2－b 2＝4.①4 2a2 b2由①②，解得 a ＝22，b ＝2. x2 y28 4(2)因为椭圆 C 的左顶点为 A ，则点 A 的坐标为(－2 2，0)．x2 y28 4设点 E(x 0，y 0)(不妨设 x 0>0)，则点 F(－x 0，－y 0)．⎪⎩ 84 .所以 x 0＝ 2，则 y 0＝ .－ ⎝ 2⎫2⎫2⎪ ，即 x 2＋y 2＋ y ＝4.⎛ 4π ⎫(2，π)、B 2， ⎪.⎛4π 4π ⎫ 22．解：(1)将 A 、B 化为直角坐标为 A(2cos π，2sin π)，B 2cos ，2sin ⎪，即 A ，⎪⎨ d ＝ ＝⎧⎪y ＝kx ，联立方程组⎨x2 y2＋ ＝1消去 y ，得 x 2＝81＋2k22 1＋2k2 2 2k 1＋2k2k所以直线 AE 的方程为 y ＝ (x ＋2 2)．1＋ 1＋2k2因为直线 AE ，AF 分别与 y 轴交于点 M ，N ，2 2k ⎛ 2 2k ⎫令 x ＝0 得 y ＝ ，即点 M 0， ⎪.1＋ 1＋2k2 ⎝ 1＋ 1＋2k2⎭ ⎛ 2 2k ⎫同理可得点 N 0， ⎪.⎝ 1－ 1＋2k2⎭⎪ 2 2k 2 2k ⎪ 2 所以|MN |＝⎪ ⎪＝⎪1＋ 1＋2k2 1－ 1＋2k2⎪⎛ 设 MN 的中点为 P ，则点 P 的坐标为 P 0，－ ⎝＋|k|2⎫⎪.k ⎭.⎛ ⎛ 则以 MN 为直径的圆的方程为 x 2＋ y ＋ ⎪ ＝k ⎭ ⎝＋ |k| 2 2⎭ k令 y ＝0，得 x 2＝4，即 x ＝2 或 x ＝－2.故以 MN 为直径的圆经过两定点 P 1(2,0)，P 2(－2,0)，请考生在第(22)(23)两题中任选一题作答．注意：只能作答在所选定的题目上．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．(本小题满分 10 分)选修4-4：极坐标与参数方程已知曲线C 的参数方程是⎧x ＝2cos θ ， ⎪⎩y ＝sin θ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A 、B 的极坐标分别为A⎝ 3 ⎭(1)求直线AB 的直角坐标方程；(2)设M 为曲线C 上的动点，求点M 到直线AB 距离的最大值．⎝ 3 3 ⎭ B 的直角坐标分别为 A(－2,0)，B(－1，－ 3)，k AB ＝ － 3－0 －1＋2＝－ 3，∴直线 AB 的方程为 y －0＝－ 3(x ＋2)， 即直线 AB 的方程为 3x ＋y ＋2 3＝0.(2)设 M (2cos θ，sin θ)，它到直线 AB 的距离|2 3cos θ ＋sin θ ＋2 3| | 13 2θ ＋φ2＋2 3|，2 ⎧⎪x≤ ， ⎩ 解得 1<x ≤ ，或 <x < . ⎧⎪ ⎪ 5 所以原不等式的解集为⎨x ⎪1<x< ⎪⎩ ⎪∴d max ＝13＋2 3 .23．(本小题满分 10 分)选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)＝|x －2|－|2x －a|，a ∈R .(1)当a ＝3时，解不等式f(x)>0；(2)当x ∈(－∞，2)时，f(x)<0恒成立，求a 的取值范围． 23．解：(1)当 a ＝3 时，f(x)>0，即|x －2|－|2x －3|>0， 3 等价于⎨ 2 ⎪⎩x －1>0， ⎧⎪3<x<2， 或⎨2 ⎪⎩－3x ＋5>0，⎧⎪x≥2， 或⎨ ⎪－x ＋1>0. 3 3 5 2 2 33 ⎫⎪ ⎬. ⎪⎭ (2)f(x)＝2－x －|2x －a|，所以 f(x)<0 可化为|2x －a|>2－x ， ①即 2x －a >2－x ，或 2x －a <x －2.①式恒成立等价于(3x －2)min >a 或(x ＋2)max <a ， ∵x ∈(－∞，2)，∴a ≥4.。
高三数学全真模拟考试试题(一)理(含解析)
荆州中学2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(模拟一)选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合,则Ａ、 B、C、 D、【答案】D【解析】【分析】分别求出集合,,再利用交集定义就可求出结果【详解】则故选【点睛】本题主要考查了集合的交集及其运算,属于基础题、2、欧拉公式(为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里特别重要,被誉为“数学中的天桥"、依照欧拉公式可知,表示的复数位于复平面中的A、第一象限 B。
第二象限 C、第三象限 D、第四象限【答案】Ｂ【解析】【分析】由欧拉公式(为虚数单位)可得:,再利用诱导公式化简,即可得到答案【详解】由欧拉公式(为虚数单位)可得:表示的复数对应的点为,此点位于第二象限故选【点睛】本题主要考查的是欧拉公式的应用,诱导公式,复数与平面内的点的一一对应关系,考查了学生的运算能力,转化能力。
3、要得到函数的图象,只需将函数的图象Ａ。
向左平移个周期Ｂ、向右平移个周期Ｃ、向左平移个周期D、向右平移个周期【答案】D【解析】【分析】利用函数的图象变换规律,三角函数的周期性,得出结果【详解】将函数的图象向右平移个单位,可得的图象,即向右平移个周期故选【点睛】本题考查了三角函数图像的平移,运用诱导公式进行化简成同名函数,然后运用图形平移求出结果,本题较为基础。
4。
某地区空气质量监测表明,一天的空气质量为优良的概率是,连续两天为优良的概率是,已知某天的空气质量为优良,则随后一天空气质量为优良的概率是A。
B。
C、 D、【答案】A【解析】试题分析:记“一天的空气质量为优良”,“第二天空气质量也为优良”,由题意可知,因此,故选Ａ、考点:条件概率。
视频5、如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体各面中直角三角形的个数是A、 2 B。
普通高等学校2018届高三招生全国统一考试模拟试题(一)数学(理)试题word含答案
普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理科数学(一)本试卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题纸上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分。
共60分．在每小题给出的四个选项中。
只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}260,,1,0,1,2,A x x x x N B A B =-++>∈=-⋂=则A ．{1，2}B ．{0，1，2)C ．(0，1}D ．{－1，0，1，2}2．已知i 为虚数单位，复数z z z ==A ．2--B ．2-+C ．4-+D ．1--3．已知双曲线C ：()2210C x my m -=>：的一条渐近线方程为x =2y ，则该双曲线的实轴长与虚轴长之差为 A ．12-B ．12C ．1-D ．14．已知随机变量X ～N(2，1)，其正态分布密度曲线如图所示，若向长方形ABCD 中随机投掷一点，则该点恰好落在阴影部分的概率为(附：若随机变量()2~,N ξμσ，则()(0.6827,2P P μσξμσμσξ-≤≤+≈-≤≤)20.9545.μσ+≈A ．0.1359B ．0.170625C ．0.829325D ．0.86415．执行如图所示的程序框图，若输入的4x =，则输出的n 的值为 A ．5 B ．6 C ．7 D ．86．杨辉是中国南宋时期的一位杰出的数学家、数学教育家，杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，按从上到下、从左到右的顺序数，把第1个1记为(1，1)，第2个1记为(2，1)，第3个1记为(2，2)，第4个1记为(3，1)，第5个1记为(3，2)，依次类推，第21个1应记作A ．(10，2)B ．(11，1)C ．(11，2)D ．(12，1)7．已知命题2:,210p x R mx mx ∀∈-+>，命题q ：指数函数()()0,1x f x m m m =>≠且为减函数，则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知函()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则函数4f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的图像的一个对称中心是A ．,03π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．,012π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．7,012π⎛⎫⎪⎝⎭D ．3,04π⎛⎫⎪⎝⎭9．已知一个几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为8163π+，则正视图中线段AB 的长为 A ．2B ．4C ．6D ．810．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆C 上，且212PF F F ⊥，过点P 作1F P 的垂线交x 轴于一点A ，若212AF c =，记椭圆C 的离心率为e ，则2e =AB．3C ．12D111．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为,,4,3,sin cos a b c b c a A C ==+，且sin cos cos c A A A =，点M 在边BC 上，且AB AC AM xyxy ABAC=+，则的最大值为 A.3B.4C.8D.912．已知函数()3291,0,1,0,x x x x f x ex -⎧-++≤⎪=⎨->⎪⎩若函数()()()222g x f x f x t =-+⎡⎤⎣⎦恰有8个不同的零点，则实数t 的取值范围为 A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,32⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,43⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题。
2018年理科数学高考模拟试卷
高考模拟数学试卷（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}252140A x x x =-+-<，{}36B x Z x =∈-<<，则()U C A B I 的元素的个数为（ ） A.3B.4C.5D.62.若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”.已知() 12az bi a b R i=+∈-，为“理想复数”，则（ ） A.350a b +=B.350a b -=C.50a b +=D.50a b -=3.已知角α的终边经过点(3 m m ，，若73πα=，则m 的值为（ ） A.27B.127C.9D.194.已知()f x 为奇函数，当0x <时，()()2log f x a x x =++-，其中()4 5a ∈-，，则()40f >的概率为（ ）A.13B.49C.59D.235.若直线22py x =+与抛物线()220x py p =>相交于 A B ，两点，则AB 等于（ ） A.5pB.10pC.11pD.12p6.《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即222222142c a b S c a ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦现有周长为225ABC △满足))sin :sin :sin 21521A B C =，试用以上给出的公式求得ABC △的面积为（ ） 33 5 5 7.某程序框图如图所示，其中t Z ∈，该程序运行后输出的2k =，则t 的最大值为（ ）A.11B.2057C.2058D.20598.已知函数()sin432sin23xf xxππ⎛⎫+⎪⎝⎭=⎛⎫+⎪⎝⎭的图象与()g x的图象关于直线12xπ=对称，则()g x的图象的一个对称中心可以为（）A. 06π⎛⎫⎪⎝⎭， B. 03π⎛⎫⎪⎝⎭， C. 04π⎛⎫⎪⎝⎭， D. 02π⎛⎫⎪⎝⎭，9.设0a>，若关于x y，的不等式组202020ax yx yx-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，表示的可行域与圆()2229x y-+=存在公共点，则2z x y=+的最大值的取值范围为（）A.[]8 10， B.()6 +∞， C.(]6 8， D.[)8 +∞，10.过双曲线()2222:10 0x yC a ba b-=>>，的右焦点F作x轴的垂直，交双曲线C于M N，两点.A为左顶点，设MANθ∠=，双曲线C的离心率为()fθ，则233f fππ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭等于（）A.23B.3C.3D.611.某几何体的三视图如图所示，已知三视图中的圆的半径均为2，则该几何体的体积为（）A.203πB.12πC.443πD.16π12.若函数()()12ln x f x a x e x x=-++在()0 2，上存在两个极值点，则a 的取值范围是（ ）A.21 4e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，B.()21 1 4e e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭U ，，C.1 e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，D.2111 4e e e ⎛⎫⎛⎫-∞--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ，，第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.在()()54123x x ---的展开式中，常数项为 ．14.某设备的使用年数x 与所支出的维修总费用y 的统计数据如下表：根据上表可得回归直线方程为$1.3y x a =+.若该设备维修总费用超过12万元就报废，据此模型预测该设备最多可使用 年．15.设向量 a b r r ，满足3a b +=r r ，2a b -=r r，则aa b⋅r r r 的取值范围为 ． 16.在底面是菱形的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，120BAD ∠=︒，点E 为棱PB 的中点，点F 在棱AD 上，平面CEF 与PA 交于点K ，且3PA AB ==，2AF =，则点K 到平面PBD 的距离为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列，且233 5a a ==，.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设3n n n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.以下是新兵训练时，某炮兵连8周中炮弹对同一目标的命中情况的柱状图：（1）计算该炮兵连这8周中总的命中频率0p ，并确定第几周的命中频率最高；（2）以（1）中的0p 作为该炮兵连炮兵甲对同一目标的命中率，若每次发射相互独立，且炮兵甲发射3次，记命中的次数为X ，求X 的数学期望；（3）以（1）中的0p 作为该炮兵连炮兵对同一目标的命中率，试问至少要用多少枚这样的炮弹同时对该目标发射一次，才能使目标被击中的概率超过0.99？（取lg0.40.398=-） 19.如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAB ⊥底面ABCD ，PAB △为正三角形，AB AD ⊥，CD AD ⊥，点E ，M 分别为线段BC 、AD 的中点，F 、G 分别为线段PA 、AE 上一点，且2AB AD ==，2PF FA =.（1）确定点G 的位置，使得FG ∥平面PCD ；（2）试问：直线CD 上是否存在一点Q ，使得平面PAB 与平面PMQ 所成锐二面角的大小为30︒，若存在，求DQ 的长；若不存在，请说明理由.20.已知焦距为2的椭圆()2222:10x y W a b a b +=>>的左、右顶点分别为12 A A ，，上、下顶点分别为12 B B ，.点()00 M x y ，为椭圆W 上不在坐标轴上的任意一点，且四条直线1212 MA MA MB MB ，，，的斜率之积为14.（1）求椭圆W 的标准方程；（2）如图所示，点 A D ，是椭圆W 上两点，点A 与点B 关于原点对称，AD AB ⊥，点C 在x 轴上，且AC 与x 轴垂直，求证： B C D ，，三点共线.21.已知函数221284x m f x x m ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，()()22112cos 2g x x mx a x x x m =-++++-.（1）若曲线()y f x =仅在两个不同的点()()11 A x f x ，，()()22 B x f x ，处的切线都经过点()2 t ，，求证：38t m =-，或2212273t m m m =-+-； （2）当[]0 1x ∈，时，若()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为23815y x x =+-+-（1）写出曲线C 的一个参数方程；（2）在曲线C 上取一点P ，过点P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为 A B ，，求矩形OAPB 的周长的取值范围.23.已知函数()252f x x x x =+--+. （1）求不等式()0f x <的解集；（2）若关于x 的不等式()f x m ≤的整数解仅有11个，求m 的取值范围.高三数学试卷参考答案（理科）一、选择题1.C ∵()(){}()14150 5 4A x x x ⎛⎫=--<=-∞+∞ ⎪⎝⎭U ，，，∴1 54R C A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，，∴(){}1 2 3 4 5R C A B =I ，，，，. 2.A ∵()12212555a i a a a z bi bi b i i +⎛⎫=+=+=++ ⎪-⎝⎭，∴2055a a b ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，∴350a b +=. 3.B∵1113267tan 3m m π--===，16m -=，∴6127m -==，∴127m =. 4.D ∵()244log 42f a a -=-+=-，∴()()44202f f a a =--=->⇒<，故由几何概型可知所求概率为()()242543--=--. 5.B 联立22py x =+与22x py =得2240x px p --=，设()11 A x y ，，()22 B x y ，，则124x x p +=，∴12249y y p p p +=⨯+=，又直线22py x =+过抛物线的焦点，∴1210AB y y p p =++=. 6.A因为))sin :sin :sin 11A B C =，所以由正弦定理得))::11a b c =+，又a b c ++=所以1a =，b =1c =，则211ac =-=，222651c a b +-=-=，故S ==.7.C 10k =，1S =，8k =；3S =，6k =；11S =，4k =，2059S =，2k =，由于输出的2k =，故计算结束，所以t 的最大值为2058.8.C ∵()sin 4sin 4332sin 2 662sin 2cos 2626x x k f x x x k Z x x ππππππππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭===+≠+∈ ⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，∴()2sin 22cos 2 6662k g x f x x x x k Z ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=≠-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，的图象的一个对称中心为 04π⎛⎫⎪⎝⎭，.9.D 作出不等式组大致表示的可行域，当直线20ax y-+=经过点()2 3，时，12a=，数形结合可得12a≥，当直线2z x y=+经过点()2 22A a+，时，z取得最大值46a+，∵12a≥，∴8z≥.10.A ∵22bMNa=，AF c a=+，∴()()22212tan12MN b c a c aeAF a c a a c a aθ--=====-++，∴()tan12e fθθ==+，∴232331133f fππ⎫⎛⎫⎛⎫-=-=⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.11.B 由三视图可知，该几何体由半径为2的球的34及两个14圆柱组成，它的直观图如图所示，故其体积32341222212434Vπππ=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=.12.D ()()()2211'11x xxf x a x e x aex x-⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭，令()'0f x=，得1x=或21xax e=-，设()21xg xx e=-，则()()()2222'xxe x xg xx e+=，当0x>时，()'0g x>，∴()g x在()0 2，上递增，当0x→时，()g x∞→-，又()2124ge=-，∴()214g xe⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭，，∴214ae<-，又()1a g≠，∴1ae≠-，∴21114ae e e⎛⎫⎛⎫∈-∞---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U，，.二、填空题13.27-，因为()523x -的展开式中4x 的系数为()3353270C -=-，所以()()54123x x ---的展开式中常数项为()5270327024327---=-+=-.14.9，∵ 4 5x y ==，，∴$5 1.34a =⨯+，∴$0.2a=-，∴$ 1.30.2y x =-，由$12y ≤得5913x ≤. 15.2 25⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，∵224945a b a b a b +--=⋅=-=r r r r r r ，∴54a b ⋅=r r .∵[][]23 2 32 1 5a a b a b =++-∈-+=r r r r r ，，，∴15 22a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦r ，，∴2 25a a b ⎡⎤∈⎢⎥⋅⎣⎦r r r ，. 16.95，延长CF 交BA 的延长线于点Q ，连接QE 交PA 于点K ，设QA x =，由AD BC ∥得QBC QAF △∽△，则233x x =+，∴6x =，取AB 的中点M ，则PA EM ∥，∴QAK QME △∽△，则323662AK =+，∴65AK =，∴633535PK PA -==，设BD AC O =I ，连接PO ，过A 作AH PO ⊥于H ，易证AH ⊥平面PBD ，在菱形ABCD 中，120BAD ∠=︒，3AB =，则32AO =，故2233352332AH ⨯==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴点K 到平面PBD 的距离为3955AH =.三、解答题17.解：（1）∵32132S S -=， ∵11353132a a +++-=，∴11a =， ()111nS n n n=+-⨯=，∴2n S n =，∴()1212n n n a S S n n -=-=-≥，∵11a =，∴21n a n =-. （2）∵()213n n b n =-⋅，∴()21333213n n T n =⨯+⨯++-⋅…， ∴()23131333213n n T n +=⨯+⨯++-⋅…，∴()()231332333213n n n n T T n +-=+⨯+++--⋅…，即()()()2111133323221336123223613n n n n n n T n n n ++++-⨯-=+⨯--⋅=-+-⋅=-⋅--，故()1133n n T n +=-⋅+.18.解：（1）这8周总命中炮数为4045464947495352381+++++++=， 总未命中炮数为3234303235333028254+++++++＝， ∴03810.6381254p ==+.∵52532830>，∴根据表中数据易知第8周的命中频率最高. （2）由题意可知()3 0.6X B ～，， 则X 的数学期望为()30.6 1.8E X =⨯=.（3）由()0110.99np -->即10.40.99n ->得0.40.01n <， ∴0.4lg0.0122log 0.01 5.025lg0.4lg0.40.398n >==-=≈， 故至少要用6枚这样的炮弹同时对该目标发射一次，才能使目标被击中的概率超过0.99. 19.解：（1）G 为线段AE 的靠近E 的三等分点.在线段AD 上取一点N ，使得2DN AN =，因为2PF FA =，∴FN PD ∥， 因为M 为AD 中点，∴23AN AM =， 当G 为线段AE 靠近E 的三等分点时，即23AG AE =，NG AE ∥，又易知ME CD ∥，∴NG CD ∥.又FN NG N =I ，所以平面FNG ∥平面PCD ，因为FG ⊂平面FNG ，所以FG ∥平面PCD .（2）取AB中点O，连接PO，因为PAB△为正三角形，所以PO AB⊥，又侧面PAB⊥底面ABCD，所以PO⊥底面ABCD，以OA为x轴，AB的中垂线为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系O xyz-，如图所示，则(0 0 3P，，，()1 1 0M，，，设()2 0Q t，，，则(1 1 3PM=u u u u r，，，( 2 3PQ t=u u u r，，，设平面PMQ的法向量为()n x y z=r，，，则0PM n PQ n⋅=⋅=u u u u r r u u u r r，即3230x y z tx y z+=+=，令3x=PMQ的一个法向量为))3 31 2n t t=--r，，.易得平面PAB的一个法向量为()0 1 0m=u r，，，所以()()22313cos cos303312tm nt t-<>==︒=+-+-u r r，，解得3t=，故存在点Q，且312DQ=-=.20.解：（1）由题可得22c=，∴1c=，∴221a b-=，∵点()00M x y，为椭圆W上不在坐标轴上任意一点，∴2200221x ya b+=，∴()2222002by a xa=-，()2222002ax b yb=-，∴1212222000000222000000MA MA MB MBy y y b y b y y bk k k kx a x a x x x a x-+-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅+--()()222222202022222200214b a x y b b a a x a a b y b -⎛⎫-=⋅== ⎪-⎝⎭-，∴222a b =. 又221a b -=，∴22a =，21b =，故椭圆W 的标准方程为2212x y +=.（2）证明：设()11 A x y ，，()22 D x y ，，则()11 B x y --，，()1 0C x ，， ∵A ，D 都在M 上，∴221122222222x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， ∴()()()()1212121220x x x x y y y y -++-+=，即()121212122y y x xx x y y -+=--+，又AB AD ⊥，∴1AB AD k k ⋅=-， 即1121121y y y x x x -⋅=--，∴()11211212y x xx y y +⋅=+， ∴()1211122y y y x x x +=+，又1211212121121202BD BC y y y y y y y k k x x x x x x x +++-=-=-=+++，∴BD BC k k =，∴ B C D ，，三点共线.21.（1）证明：∵321284x m f x x m ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，∴()32f x x mx m =-+-，∴()2'32f x x mx =-+，则曲线()y f x =在 A B ，两点处的切线的方程分别为：()()()3221111132y x mx m x mx x x --+-=-+-， ()()()3222222232y x mx m x mx x x --+-=-+-.将()2 t ，代入两条切线方程，得 ()()()32211111322t x mx m x mx x --+-=-+-， ()()()32222222322t x mx m x mx x --+-=-+-.由题可得方程()()()322322t x mx m x mx x --+-=-+-即()32264t x m x mx m =-++-有且仅有两个不相等的两个实根.设()()32264h x x m x mx m =-++-，()()()()2'6264232h x x m x m x m x =-++=--.①当6m =时，()()2'620h x x =-≥，∴()h x 单调递增，显然不成立. ②当6m ≠时，()'0h x =，解得2x =或3m x =. ∴()h x 的极值分别为()238h m =-，32123273m h m m m ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭.要使得关于x 的方程()32264t x m x mx m =-++-有且仅有两个不相等的实根， 则38t m =-或3212273t m m m =-+-. （2）解：()()()312cos 2x f x g x a x x x -=-+--212cos 2x x a x ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭，设()22cos 2x G x x =+，则()'2sin G x x x =-，记()2sin H x x x =-，则()'12cos H x x =-，当[]0 1x ∈，时，()'0H x <，于是()'G x 在[]0 1，上是减函数， 从而当[]0 1x ∈，时，()()''00G x G ≤=，故()G x 在[]0 1，上是减函数， 于是()()02G x G ≤=，从而()13a G x a ++≤+，所以当30a +≤时，()()0f x g x -≥. 所以，当3a ≤-时，()()f x g x ≥在[]0 1，上恒成立， 因此，a 的取值范围是(] 3-∞-，.22.解：（1）由3y =()()()223143y x y -=--≥，即()()()224313x y y -+-=≥，故曲线C 的一个参数方程为4cos 3sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数，且[]0 θπ∈，）. （2）由（1）可知点P 的坐标为()4cos 3sin θθ++，，[]0 θπ∈，，则矩形OAPB 的周长为()24cos 3sin 144C πθθθ⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭，∵[]0 θπ∈，，∴5 444πππθ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，，∴sin 14πθ⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，，∴12 C ⎡∈⎣，.23.解：（1）()2223 02 3 057 5x x f x x x x x x ⎧-≤⎪=+-<<⎨⎪+≥⎩，，，，由不等式()0f x <，得2300x x ⎧-<⎨≤⎩或223005x x x ⎧+-<⎨<<⎩或2705x x ⎧+<⎨≥⎩，即0x ≤或01x <<或x ∈∅， 故不等式()0f x <的解集为()1，.（2）由（1）知()22222 3 3 02 3 012 3 157 5x x x x f x x x x x x x x x ⎧-≤⎪-<≤⎪⎪=--+<<⎨⎪+-≤<⎪⎪+≥⎩，，，，，，当()532m f ==时，不等式()f x m ≤的整数解为5-，4-，…，4，5共有11个， 当33m =时，不等式()f x m ≤的整数解为6-，5-，…，4，5共有12个，故[)32 33m ∈，.。
2018年高考数学(理科)模拟试卷及答案
注意事项: 201年高三数学试卷1 •本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间为120分2•本试卷分试题卷和答题卷，第I卷（选择题）的答案应填在答题卷卷首相应的空格内，做在第I卷第I卷（选择题共60 分）选择题：本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目1 .已知集合A—>1 \ , B = {x(x +2)( x —1)>0}L x J则A n B等于()A . (0 ,2)B .(1, 2)C . (—2,2)D .(, _2 ) U(0要求的.2. 设(1 • 2i)x =x yi，其中x, y是实数，则上+i =()xA. 1B. ■. 2C. 、3 D . ■,53. 下面框图的S的输出值为 ()A. 5B. 6C. 8D. 134.已知随机变量X服从正态分布 2N (2,二)且P (x _ 4) = 0.8 8 ，贝U P (0 ：：: x ：：: 4)=(A . 0.8 8B . 0.7 6C . 0.2 4D . 0.1 25 .在各项不为零的等差数列"n f中，2日2017 - a：018 ■ 2日2019 = 0，数列｛b n｝是等比数列，且b2 0 18 = a 20 1 8，贝U lO g2 ( b2 01 7b2 01 9 )的值为( )C. 4D. 86.下列命题正确的个数是（）（1）函数y = cos' ax _sin ' ax的最小正周期为二"的充分不必要条件是 a = 11（2）设a三｛4! ,3- ，则使函数y =x°的定义域为R且为奇函数的所有a的值为_1,1, 3 .2A. 1 B . 2 C . 3 D . 04•屮 4 47.已知向量 a =（x2,x - 2）, b =（—3 -1）, c =（1,巧）, 若a // b，则a与c夹角为（）A n r 71- 2兀 5 二A.— B .— C .- D .-6336（3）已知函数f （x）=2x • a In x在定义域上为增函数，则 a _ 0 .&如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线所画出的是某几何体的三视图，则该几何体的■ TT rr r rr rT T n m"rr r r T -T nT T 1 一L厂厂ITTT r i inr rrr FT THT T 1-1r r i-i-LL各条棱中最长的棱长为A. 2 , 5B. 4 2C. 6D. 4 -. 329.若关于x的不等式（a a - 6） x ::: sin a无解，则a = （）A.「3B. -2C.2D. 3210.若A 1,2 ,B x1,y1,C x2, y2是抛物线y =4x上不同的点，且AB _ BC，则y?的取值范围是（）B . （-：：,- 6 ]_.（ 8, +：：）D . （-：：,- 5] _. [ 10, +：：）|2 x 亠y ：：： 411.已知动点P（x,y）满足：x 一°，则x2• y2+4y的最小值为（）2x■ 3y_2C. -1■ Xe12. 已知函数f (x) = e，x一0，( e为自然对数的底数)，则函数y = f (f (x)) 一f(X)2x +5x 亠4, x ::: 0.的零点的个数为()A . 2B . 3 C. 4 D . 5第II卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题,每小题5分，共20分.1 1 313. ____________________________________________ (x • )(2x_ )的展开式中的常数项为.x x14 .已知F2为双曲线的焦点，过F2作垂直于实轴的直线交双曲线于A、B两点，BF 1交y 轴于点C,若AC丄BF1,则双曲线的离心率为______________ .15.已知矩形ABCD 的两边长分别为AB =3 , BC =4, O是对角线BD的中点,囹15題E是AD边上一点，沿BE将.■:ABE折起，使得A点在平面BDC上的投影恰为O (如右图所示)，则此时三棱锥A —BCD的外接球的表面积是_________________ .sin A 1 —b cos A16.在.'ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c , b ,a =2sin C cos B1则有如下结论：(1) c =1 ; ( 2) S -ABC的最大值为;4(3)当S .，ABC取最大值时,则上述说法正确的结论的序号为____________三、解答题：共70分。
2018年普通高等学校招生全国统一考试高中数学模拟测试试题一理【word版】.doc
2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A ＝{x |x 2-2x ＜0}，B ＝{x ||x |＜2}，则 A ．A ∩B ＝∅ B ．A ∩B ＝AC ．A ∪B ＝AD ．A ∪B ＝R2.下面是关于复数2z i =-的四个命题：1:||5p z =；2:p z 的共轭复数为2+i ；23:34p z i =-；4121:33p i z =+.其中真命题为 A. 12p p ， B. 23p p ， C. 24p p ， D. 34p p ，3．已知双曲线()221my x m R -=∈与抛物线28x y =有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为A ．13y x =± B ．3y x =±C ．3y x =±D ．33y x =±4.甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A B C 、、三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去A 社区，乙不去B 社区，则不同的安排方法种数为A ． 8B ．7 C. 6 D ．55．已知ABC ∆中，10=AB ,6=AC ,8=BC ,M 为AB 边上的中点，则=⋅+⋅CB CM CA CM A ．0B ．25C ．50D ．1006．已知函数f （x ）＝32x x ＋4，则f （x ）的大致图象为7.已知数列{a n}为等比数列，S n是它的前n项和.若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为54，则S5＝A. 35B. 33C. 31D. 298．根据如下程序框图，运行相应程序，则输出S的值为A．32B．3C．23D．39．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A．83B．163C．203D．810.如果6314ax xx x⎛⎫⎛⎫-+⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为16，则展开式中3x项的系数为A. 392B.392- C.212- D.21211．已知直三棱柱ABC—A1B1C1的底面为等边三角形，且底面积为34，体积为34，点P，Q分别为线段A1B，B1C上的动点，若直线PQ∩平面ACC1A1＝∅，点M为线段PQ的中点，则点M的轨迹长度为A．24B．34C．22D．3212．已知点P（x0，y0）（x0≠a±）在椭圆C：22221x ya b＋＝（a＞b＞0）上，若点M为椭圆C的右顶点，且PO⊥PM （O为坐标原点），则椭圆C的离心率e的取值范围是A ．（0） B ．1） C ．，1） D ．（0） 二、填空题: 本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．13．若实数x ，y 满足不等式组0,2,0,x x ⎧⎪⎨⎪⎩≥y ≤－y ≤则x ＋y 的最小值等于____________．14．在△ABC 中，A ，B ，C 所对应的边分别是a 、b 、c ，若其面积S ＝14（b 2＋c 2－a 2），则A ＝____________．15．已知关于x 的不等式21log ()2m mx x －＋＞0在[1，2]上恒成立，则实数m 的取值范围为___________16．已知首项为2的正项数列{n a }的前n 项和为n S ，且当n≥2时，3n S －2＝2na －31n S －．若12nn S ＋≤m 恒成立，则实数m 的取值范围为_______________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知函数()1cos cos 223f x x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. (Ⅰ)求函数()f x 图象的对称轴方程； (Ⅱ)将函数()f x 图象向右平移4π个单位，所得图象对应的函数为()g x .当0 2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求函数()g x 的值域.18. (本小题满分12分)某理财公司有两种理财产品A 和B ，这两种理财产品一年后盈亏的情况如下（每种理财产品的不同投资结果之间相互独立）： 产品A投资结果 获利40%不赔不赚亏损20%概率131216产品B投资结果 获利20%不赔不赚亏损10%概率p13q注：p ＞（Ⅰ）已知甲、乙两人分别选择了产品A 和产品B 投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于35，求实数p 的取值范围；（Ⅱ）若丙要将家中闲置的10万元人民币进行投资，以一年后投资收益的期望值为决策依据，则选用哪种产品投资较理想？19. (本小题满分12分)如图，在空间四边形PABC 中，AC PA ⊥，AC PA =22=PC ，2=BC ，ο90=∠ACB ，且平面⊥PAC 平面ABC（Ⅰ）求证：BC PA ⊥；（Ⅱ）若直线PC 与平面ABM 所成角的余弦值为33，求PM .20. (本小题满分12分)设动圆P (圆心为P )经过定点(0，2)、(t +2，0)、(t －2，0)三点，当t 变化时，P 的轨迹为曲线C （Ⅰ） 求C 的方程（Ⅱ） 过点(0，2)且不垂直于坐标轴的直线l 与C 交于A 、B 两点，B 点关于y 轴的对称点为D ，求证：直线AD 经过定点.20. (本小题满分12分)已知函数()()()2212ln 21f x x a x ax x a a R =-++++∈. （Ⅰ）2a =-时，求()f x 在()0,2上的单调区间； （Ⅱ）0x ∀>且1x ≠，2ln 211ax xa x x >+--均恒成立，求实数a 的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题做答。
2018年全国普通高等学校高考数学模拟试卷(理科)(一(带答案)
2018年全国普通高等学校高考数学模拟试卷（理科）（一）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|-x2+4x≥0}，，C={x|x=2n，n∈N}，则（A∪B）∩C=（）A. {2，4}B. {0，2}C. {0，2，4}D. {x|x=2n，n∈N}2.设i是虚数单位，若，x，y∈R，则复数x+yi的共轭复数是（）A. 2-iB. -2-iC. 2+iD. -2+i3.已知等差数列{a n}的前n项和是S n，且a4+a5+a6+a7=18，则下列命题正确的是（）A. a5是常数B. S5是常数C. a10是常数D. S10是常数4.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A. B. C. D.5.已知点F为双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点，直线x=a与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A，若AF的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.6.已知函数则（）A. 2+πB.C.D.7.执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）A. B. C. D.8.已知函数（ω＞0）的相邻两个零点差的绝对值为，则函数f（x）的图象（）A. 可由函数g（x）=cos4x的图象向左平移个单位而得B. 可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位而得C. 可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位而得D. 可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位而得9.的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（）A. -73B. -61C. -55D. -6310.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形ABCDEF是边长为1的正六边形，点G为AF的中点，则该几何体的外接球的表面积是（）A. B. C. D.11.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F分别作两条直线l1，l2，直线l1与抛物线C交于A、B两点，直线l2与抛物线C交于D、E两点，若l1与l2的斜率的平方和为1，则|AB|+|DE|的最小值为（）A. 16B. 20C. 24D. 3212.若函数y=f（x），x∈M，对于给定的非零实数a，总存在非零常数T，使得定义域M内的任意实数x，都有af（x）=f（x+T）恒成立，此时T为f（x）的类周期，函数y=f（x）是M上的a级类周期函数．若函数y=f（x）是定义在区间[0，+∞）内的2级类周期函数，且T=2，当x∈[0，2）时，函数．若∃x1∈[6，8]，∃x2∈（0，+∞），使g（x2）-f（x1）≤0成立，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，，且，则=______．14.已知x，y满足约束条件则目标函数的最小值为______．15.在等比数列中，，且与的等差中项为17，设，，则数列的前2n项和为______．16.如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，，点E是线段CD上异于点C，D的动点，EF⊥AD于点F，将△DEF沿EF折起到△PEF的位置，并使PF⊥AF，则五棱锥P-ABCEF的体积的取值范围为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知△ABC的内角A，B，C的对边a，b，c分别满足c=2b=2，2b cos A+a cos C+c cos A=0，又点D满足．（1）求a及角A的大小；（2）求的值．18.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，且，∠A1AB=∠A1AD=60°．（1）求证：BD⊥CC1；（2）若动点E在棱C1D1上，试确定点E的位置，使得直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为．19.“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗，2018年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标.（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），利用该正态分布，求Z落在（14.55，38.45）内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于（10，30）内的包数为X，求X的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；②若，则P（μ-σ＜Z≤μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜Z≤μ+2σ）=0.9544．20.已知椭圆C：的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2．求椭圆C的标准方程；若直线l：与椭圆C相交于A、B两点，在y轴上是否存在点D，使直线AD与BD的斜率之和为定值？若存在，求出点D坐标及该定值，若不存在，试说明理由．21.已知函数f（x）=e x-2（a-1）x-b，其中e为自然对数的底数．（1）若函数f（x）在区间[0，1]上是单调函数，试求实数a的取值范围；（2）已知函数g（x）=e x-（a-1）x2-bx-1，且g（1）=0，若函数g（x）在区间[0，1]上恰有3个零点，求实数a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，圆C1的参数方程为（θ为参数，a是大于0的常数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为．（1）求圆C1的极坐标方程和圆C2的直角坐标方程；（2）分别记直线l：，ρ∈R与圆C1、圆C2的异于原点的交点为A，B，若圆C1与圆C2外切，试求实数a的值及线段AB的长．23 已知函数f（x）=|2x+1|．（1）求不等式f（x）≤10-|x-3|的解集；（2）若正数m，n满足m+2n=mn，求证：f（m）+f（-2n）≥16．2018年全国普通高等学校高考数学模拟试卷（理科）（一）答案和解析【答案】1. C2. A3. D4. A5. D6. D7. C8. B9. A10. C11. C12. B13.14.15.16. （0，）17. 解：（1）由2b cos A+a cos C+c cos A=0及正弦定理得-2sin B cos A=sin A cos C+cos A sin C，即-2sin B cos A=sin（A+C）=sin B，在△ABC中，sin B＞0，所以．又A∈（0，π），所以．在△ABC中，c=2b=2，由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A=b2+c2+bc=7，所以．（2）由，得=，所以．18. 解：（1）连接A1B，A1D，AC，因为AB=AA1=AD，∠A1AB=∠A1AD=60°，所以△A1AB和△A1AD均为正三角形，于是A1B=A1D．设AC与BD的交点为O，连接A1O，则A1O⊥BD，又四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，而A1O∩AC=O，所以BD⊥平面A1AC．又AA1⊂平面A1AC，所以BD⊥AA1，又CC1∥AA1，所以BD⊥CC1．（2）由，及，知A1B⊥A1D，于是，从而A1O⊥AO，结合A1O⊥BD，AO∩AC=O，得A1O⊥底面ABCD，所以OA、OB、OA1两两垂直．如图，以点O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz，则A（1，0，0），B（0，1，0），D（0，-1，0），A1（0，0，1），C（-1，0，0），，，，由，得D1（-1，-1，1）．设（λ∈[0，1]），则（x E+1，y E+1，z E-1）=λ（-1，1，0），即E（-λ-1，λ-1，1），所以．设平面B1BD的一个法向量为，由得令x=1，得，设直线DE与平面BDB1所成角为θ，则，解得或（舍去），所以当E为D1C1的中点时，直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为．19. 解：（1）根据频率分布直方图可得各组的频率为：（0,10]的频率为：0.01010=0.1；（10,20]的频率为：0.02010=0.2；（20,30]的频率为：0.03010=0.3；（30,40]的频率为：0.02510=0.25；（40,50]的频率为：0.01510=0.15，所以所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为．（2）①∵Z服从正态分布N（μ，σ2），且μ=26.5，σ≈11.95，∴P（14.55＜Z＜38.45）=P（26.5-11.95＜Z＜26.5+11.95）=0.6826，∴Z落在（14.55，38.45）内的概率是0.6826．②根据题意得每包速冻水饺的质量指标值位于(10,30]内的概率为0.2+0.3=0.5，所以X～B（4，），X的可能取值分别为：0，1,2,3,4，，，，，，X01234P∴．20. 解：（1）由已知可得，解得a2=2，b2=c2=1，所求椭圆方程为；（2）由,得（1+2k2）x2+8kx+6=0，则=64k2-24（1+2k2）=16k2-24＞0，解得或．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，设存在点D（0，m），则，，所以==,要使k AD+k BD为定值，只需6k-4k(2-m)=6k-8k+4mk=2k(2m-1)与参数k无关，故2m-1=0，解得，当时，k AD+k BD=0．综上所述，存在点，使得k AD+k BD为定值，且定值为0．21. 解：（1）根据题意，函数f（x）=e x-2（a-1）x-b，其导数为f'（x）=e x-2（a-1），当函数f（x）在区间[0，1]上单调递增时，f'（x）=e x-2（a-1）≥0在区间[0，1]上恒成立，∴2（a-1）≤（e x）min=1（其中x∈[0，1]），解得；当函数f（x）在区间[0，1]单调递减时，f'（x）=e x-2（a-1）≤0在区间[0，1]上恒成立，∴2（a-1）≥（e x）max=e（其中x∈[0，1]），解得．综上所述，实数a的取值范围是．（2）函数g（x）=e x-（a-1）x2-bx-1，则g'（x）=e x-2（a-1）x-b，分析可得f（x）=g'（x）．由g（0）=g（1）=0，知g（x）在区间（0，1）内恰有一个零点，设该零点为x0，则g（x）在区间（0，x0）内不单调，所以f（x）在区间（0，x0）内存在零点x1，同理，f（x）在区间（x0，1）内存在零点x2，所以f（x）在区间（0，1）内恰有两个零点．由（1）知，当时，f（x）在区间[0，1]上单调递增，故f（x）在区间（0，1）内至多有一个零点，不合题意．当时，f（x）在区间[0，1]上单调递减，故f（x）在（0，1）内至多有一个零点，不合题意；所以．令f'（x）=0，得x=ln（2a-2）∈（0，1），所以函数f（x）在区间[0，ln（2a-2）]上单调递减，在区间（ln（2a-2），1]上单调递增．记f（x）的两个零点为x1，x2（x1＜x2），因此x1∈（0，ln（2a-2）]，x2∈（ln（2a-2），1），必有f（0）=1-b＞0，f（1）=e-2a+2-b ＞0．由g（1）=0，得a+b=e，所以，又f（0）=a-e+1＞0，f（1）=2-a＞0，所以e-1＜a＜2．综上所述，实数a的取值范围为（e-1，2）．22. 解：（1）圆C1：（θ是参数）消去参数θ，得其普通方程为（x+1）2+（y+1）2=a2，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式并化简，得圆C1的极坐标方程，由圆C2的极坐标方程，得ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ．将x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2代入上式，得圆C2的直角坐标方程为（x-1）2+（y-1）2=2．（2）由（1）知圆C1的圆心C1（-1，-1），半径r1=a；圆C2的圆心C2（1，1），半径，，∵圆C1与圆C2外切，∴，解得，即圆C1的极坐标方程为．将代入C1，得，得；将代入C2，得.得.故．23. （1）解：即求|2x+1|+|x-3|≤10，则原不等式等价于，或，或，解得或或3＜x≤4．即不等式的解集为．（2）证明：∵m＞0，n＞0，m+2n=mn，，即m+2n≥8，当且仅当，即时取等号．∴f（m）+f（-2n）=|2m+1|+|-4n+1|≥|（2m+1）-（-4n+1）|=|2m+4n|=2（m+2n）≥16，∴f（m）+f（-2n）≥16．【解析】1. 解：A={x|-x2+4x≥0}={x|0≤x≤4}，={x|3-4＜3x＜33}={x|-4＜x＜3}，则A∪B={x|-4＜x≤4}，C={x|x=2n，n∈N}，可得（A∪B）∩C={0，2，4}，故选：C．由二次不等式的解法和指数不等式的解法，化简集合A，B，再由并集和交集的定义，即可得到所求集合．本题考查集合的混合运算，注意运用二次不等式和指数不等式的解法，以及定义法解题，考查运算能力，属于中档题．2. 【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．【解答】解：由，得x+yi==2+i，∴复数x+yi的共轭复数是2-i．故选A．3. 解：∵等差数列{a n}的前n项和是S n，且a4+a5+a6+a7=18，∴a4+a5+a6+a7=2（a1+a10）=18，∴a1+a10=9，∴=45．故选：D．推导出a1+a10=9，从而=45．本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．4. 解：设AB=2，则BC=CD=DE=EF=1，∴S△BCI=××=，S平行四边形EFGH=2S△BCI=2×=，∴所求的概率为P===．故选：A．设边长AB=2，求出△BCI和平行四边形EFGH的面积，计算对应的面积比即可．本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．5. 解：设双曲线C：的右焦点F（c，0），双曲线的渐近线方程为y=x，由x=a代入渐近线方程可得y=b，则A（a，b），可得AF的中点为（，b），代入双曲线的方程可得-=1，可得4a2-2ac-c2=0，由e=，可得e2+2e-4=0，解得e=-1（-1-舍去），故选：D．设出双曲线的右焦点和渐近线方程，可得将交点A的坐标，运用中点坐标公式，可得中点坐标，代入双曲线的方程，结合离心率公式，计算即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，考查渐近线方程的运用，以及中点坐标公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．6. 解：∵，=∫cos2tdt===，∴=（）+（-cos x）=-2．故选：D．由=∫cos2tdt==，得到=（）+（-cos x），由此能求出结果．本题考查函数的定积分的求法，考查导数、不定积分、定积分等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．7. 解：第1次循环后，S=，不满足退出循环的条件，k=2；第2次循环后，S=，不满足退出循环的条件，k=3；第3次循环后，S==2，不满足退出循环的条件，k=4；…第n次循环后，S=，不满足退出循环的条件，k=n+1；…第2018次循环后，S=，不满足退出循环的条件，k=2019第2019次循环后，S==2，满足退出循环的条件，故输出的S值为2，故选：C．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．8. 解：函数=sin（2ωx）-•+=sin（2ωx-）（ω＞0）的相邻两个零点差的绝对值为，∴•=，∴ω=2，f（x）=sin（4x-）=cos[（4x-）-]=cos（4x-）．故把函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位，可得f（x）的图象，故选：B．利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的零点求出ω，可得函数解析式，再利用y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的零点，y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．9. 【分析】求出展开式中所有各项系数和，以及展开式中的常数项，再求展开式中剔除常数项后的各项系数和．本题考查了二项式展开式的所有项系数和以及常数项的计算问题，是基础题．【解答】解：展开式中所有各项系数和为（2-3）（1+1）6=-64；=（2x-3）（1+++…），其展开式中的常数项为-3+12=9，∴所求展开式中剔除常数项后的各项系数和为-64-9=-73．故选：A．10. 解：如图，可得该几何体是六棱锥P-ABCDEF，底面是正六边形，有一PAF侧面垂直底面，且P在底面的投影为AF中点，过底面中心N作底面垂线，过侧面PAF的外心M作面PAF的垂线，两垂线的交点即为球心O，设△PAF的外接圆半径为r，，解得r=，∴，则该几何体的外接球的半径R=，∴表面积是则该几何体的外接球的表面积是S=4πR2=．故选：C．可得该几何体是六棱锥，底面是正六边形，有一条侧面垂直底面．过底面中心N作底面垂线，过侧面PAF的外心M作面PAF的垂线，两垂线的交点即为球心，根据三视图的数据求出球的半径即可．本题考查几何体的外接球的体积的求法，考查几何体三视图等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，是中档题．11. 解：抛物线C：y2=4x的焦点F（1，0），设直线l1：y=k1（x-1），直线l2：y=k2（x-1），由题意可知，则，联立，整理得：k12x2-（2k12+4）x+k12=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，设D（x3，y3），E（x4，y4），同理可得：x3+x4=2+，由抛物线的性质可得：丨AB丨=x1+x2+p=4+，丨DE丨=x3+x4+p=4+，∴|AB|+|DE|=8+==，当且仅当=时，上式“=”成立．∴|AB|+|DE|的最小值24，故选：C．设直线l1，l2的方程，则，将直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理及抛物线的焦点弦性质，即可求得|AB|+|DE|，利用基本不等式的性质，即可求得|AB|+|DE|的最小值．本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，考查基本不等式的应用，考查转化思想，属于中档题．12. 解：根据题意，对于函数f（x），当x∈[0，2）时，，分析可得：当0≤x≤1时，f（x）=-2x2，有最大值f（0）=，最小值f（1）=-，当1＜x＜2时，f（x）=f（2-x），函数f（x）的图象关于直线x=1对称，则此时有-＜f （x）＜，又由函数y=f（x）是定义在区间[0，+∞）内的2级类周期函数，且T=2；则在∈[6，8）上，f（x）=23•f（x-6），则有-12≤f（x）≤4，则f（8）=2f（6）=4f（4）=8f（2）=16f（0）=8，则函数f（x）在区间[6，8]上的最大值为8，最小值为-12；对于函数，有g′（x）=-+x+1==，分析可得：在（0，1）上，g′（x）＜0，函数g（x）为减函数，在（1，+∞）上，g′（x）＞0，函数g（x）为增函数，则函数g（x）在（0，+∞）上，由最小值f（1）=+m，若∃x1∈[6，8]，∃x2∈（0，+∞），使g（x2）-f（x1）≤0成立，必有g（x）min≤f（x）max，即+m≤8，解可得m≤，即m的取值范围为（-∞，]；故选：B．根据题意，由函数f（x）在[0，2）上的解析式，分析可得函数f（x）在[0，2）上的最值，结合a级类周期函数的含义，分析可得f（x）在[6，8]上的最大值，对于函数g（x），对其求导分析可得g（x）在区间（0，+∞）上的最小值；进而分析，将原问题转化为g（x）min≤f（x）max的问题，即可得+m≤8，解可得m的取值范围，即可得答案．本题考查函数的最值问题，注意将题目中“∃x1∈[6，8]，∃x2∈（0，+∞），使g（x2）-f （x1）≤0成立”转化为函数的最值问题．13. 【分析】根据题意，由向量数量积的坐标计算公式可得•=2sinα-cosα=0，则有tanα=，结合同角三角函数的基本关系式分析可得sinα、cosα的值，即可得的坐标，向量模的计算公式计算可得答案．本题考查向量数量积的坐标计算，涉及向量模的计算，关键是掌握向量数量积的坐标计算公式．【解答】解：根据题意，向量，，若，则•=2sinα-cosα=0，则有tanα=，又由sin2α+co s2α=1，则有或，则=（，）或（-，-），则||=，则=2+2-2•=；故答案为：14. 解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，4），=，令t=5x-3y，化为y=，由图可知，当直线y=过A时，直线在y轴上的截距最大，t有最小值为-2．∴目标函数的最小值为．故答案为：．由约束条件作出可行域，令t=5x-3y，化为y=，求出其最小值，即可求得目标函数的最小值．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．15. 【分析】首先求出数列的通项公式，进一步利用等比数列的前n项和公式求出结果．本题考查的知识要点：利用已知条件求出数列的通项公式，等比数列的前n项和的通项公式的应用．【解答】解：等比数列{a n}中，a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为17，设首项为a1，公比为q，则：，整理得：，解得：．则：，所以：b n=a2n-1-a2n==-22n-4，则：T2n==．故答案为：．16. 【分析】本题考查了棱锥的体积计算，属于中档题．设PF=x，得出棱锥的体积V关于x的函数，再根据函数单调性和x的范围得出结论．【解答】解：∵PF⊥AF，PF⊥EF，AF∩EF=F，∴PF⊥平面ABCD．设PF=x，则0＜x＜1，且EF=DF=x．∴五边形ABCEF的面积为S=S梯形ABCD-S△DEF=×（1+2）×1-x2=（3-x2）．∴五棱锥P-ABCEF的体积V=（3-x2）x=（3x-x3），设f（x）=（3x-x3），则f′（x）=（3-3x2）=（1-x2），∴当0＜x＜1时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，1）上单调递增，又f（0）=0，f（1）=．∴五棱锥P-ABCEF的体积的范围是（0，）．故答案为．17. （1）运用正弦定理和诱导公式、两角和的正弦公式，化简可得角A的值，再由余弦定理，可得a；（2）运用向量数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值．本题考查三角形中的正弦定理和余弦定理的运用，考查向量数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，考查化简整理的运算能力，属于中档题．18. （1）连接A1B，A1D，AC，则△A1AB和△A1AD均为正三角形，设AC与BD的交点为O，连接A1O，则A1O⊥BD，由四边形ABCD是正方形，得AC⊥BD，从而BD⊥平面A1AC．进而BD⊥AA1，由此能证明BD⊥CC1．（2）推导出A1B⊥A1D，A1O⊥AO，A1O⊥BD，从而A1O⊥底面ABCD，以点O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出当E为D1C1的中点时，直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为．本题考查线线垂直的证明，考查满足线面角的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．19. 本题考查了统计的基础知识，正态分布，属于中档题．（1）根据频率分布直方图分别计算各组的频率，再计算平均值即可；（2）①直接由正态分布的性质及题目所给可得；②根据题意得X～B（4，），根据二项分布的性质即可求得X的分布列、期望值．20. 本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，关键是求出椭圆的标准方程,属于较难题.（1）根据题意，由椭圆的几何性质分析可得，解可得a、b的值，将a、b的值代入椭圆的方程，即可得答案；（2）联立直线与椭圆的标准方程可得（1+2k2）x2+8kx+6=0，分析可得和k的范围，设存在点D（0，m），由此表示K AD与K BD，由根与系数的关系分析可得只需6k-4k（2-m）=6k-8k+4mk=2k（2m-1）与参数k无关，据此分析可得答案．21. （1）根据题意，由函数的解析式计算可得f'（x），由函数的导数与函数单调性的关系，分2种情况分析讨论，求出a的取值范围，综合即可得答案；（2）根据题意，对g（x）求导分析可得f（x）=g'（x），由g（0）=g（1）=0，知g （x）在区间（0，1）内恰有一个零点，由（1）的结论，分析g（x）的极值，综合即可得答案．本题考查函数导数的应用，涉及利用导数判定函数的单调性以及函数极值的应用，注意讨论参数的取值范围．22. 本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，极径的应用．属于中档题.（1）直接把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．（2）直接利用圆与圆的位置关系求出a，并求出极径的长．23. 本题考查了解绝对值不等式以及绝对值不等式的性质，考查分类讨论思想，转化思想，属于中档题．（1）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；（2）求出m+2n≥8，求出f（m）+f（-2n）的最小值即可．。
2018年高考数学(理) 押题卷及详解答案
2018年高考数学 预测卷及详解答案理科数学本试题卷共19页，23题(含选考题)。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}(,)|1,01A x y y x x ==+≤≤，集合{}(,)|2,010B x y y x x ==≤≤，则集合AB ＝（ ）A ．{}1,2B ．{}|01x x ≤≤C ．(){}1,2D ．∅【答案】C【解析】根据题意可得，12y x y x =+⎧⎨=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，满足题意01x ≤≤，所以集合A B ＝(){}1,2．故选C ．2．已知复数z 满足11i 12z z -=+，则复数z 在复平面内对应点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】设复数i z a b=+，(),a b ∈R ，则i z a b =-，因为11i 12z z -=+，所以()()211i z z -=-，所以2(1)2i a b --()1i a b =+-，所以可得2221a bb a -=-⎧⎨-=+⎩，解得5343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以54i 33z =-，所以复数z 在复平面内对应点54,33⎛⎫- ⎪⎝⎭在第四象限上．故选D ．3．《九章算术》中“开立圆术”曰：“置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径”．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d ，公式为d =如果球的半径为13，根据“开立圆术”的方法求球的体积为（ ） A ．481π B ．6π C ．481D ．61【答案】D【解析】根据公式d =23=，解得16V =．故选D ．4．已知函数()()π17πsin cos 0326f x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=+--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，满足π364f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则满足题意的ω的最小值为（ ） A ．13B ．12C ．1D ．2【答案】C 【解析】根据题意可得，()π17ππ1πsin cos sin sin 326323f x x x x x ωωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=+++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭3πsin 23x ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为π364f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以3ππ3sin 2634ω⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2636k ωπππ⎛⎫-+=+π ⎪⎝⎭或52,6k k π+π∈Z ，解得121k ω=-+或123k -+，又0ω>，显然min 1ω=．故选C ．5．某几何体的三视图如图所示，设正方形的边长为a ，则该三棱锥的表面积为（ ）A ．2aB 2C ．26a D ．2【答案】D【解析】如图所示，该几何体是正方体的内接正三棱锥，所以三棱锥的棱长为，因此此几何体的表面积)2214sin 602S =⨯⨯︒=．故选D ．6．某工厂生产了一批颜色和外观都一样的跳舞机器人，从这批跳舞机器人中随机抽取了8个，其中有2个是次品，现从8个跳舞机器人中随机抽取2个分配给测验员，则测验员拿到次品的概率是（ ） A ．328B ．128C ．37D ．1328【答案】D【解析】根据题意可得1126222288C C C 13C C 28P =+=．故选D ． 7．如图所示，在梯形ABCD 中，∠B ＝π2，AB =，BC ＝2，点E 为AB 的中点，若向量CD 在向量BC 上的投影为12-，则CE BD ⋅=（ ）A ．－2B ．12-C ．0D 【答案】A【解析】以B 为原点，BC 为x 轴，AB 为y 轴建系如图，∵AB =，BC ＝2，∴(A ，()0,0B ，()2,0C ，D∵点E 为AB 的中点，∴E ⎛ ⎝⎭，若向量CD 在向量BC 上的投影为12-，设向量CD 与向量BC 的夹角为θ，所以1cos 2CD θ=-，过D 作DF ⊥BC ，垂足为F ，在Rt △DFC中，()cos πFC CD-θ=，所以12CF =，所以32D ⎛ ⎝，所以CE ⎛=- ⎝⎭，32BD ⎛= ⎝，所以312CE BD ⋅=-+=-．8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，且S 2＝4，S 4＝16，数列{}n b 满足1n n n b a a +=+，则数列{}n b 的前9和9T 为（ ） A ．80 B ．20C ．180D ．166【答案】C ．【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为1n n n b a a +=+，所以112n n n b a a +++=+，两式相减1n n b b +-=1212n n n n a a a a d ++++--=为常数，所以数列{}n b 也为等差数列．因为{}n a 为等差数列，且S 2＝4，S 4＝16，所以11224b a a S =+==，3344212b a a S S =+=-=，所以等差数列{}n b 的公差31242b b d -==，所以前n 项和公式为()1442n n n T n -=+⨯222n n =+，所以9180T =．故选C ．9．2015年12月16日“第三届世界互联网大会”在中国乌镇举办．为了保护与会者的安全，将5个安保小组全部安排到指定三个区域内工作，且这三个区域每个区域至少有一个安保小组，则这样的安排的方法共有（ ） A ．96种 B ．100种 C ．124种 D ．150种【答案】D【解析】∵三个区域至少有一个安保小组，所以可以把5个安保小组分成三组，一种是按照1、1、3，另一种是1、2、2；当按照1、1、3来分时共有11335431322C C C A 60A N ==，当按照1、2、2来分时共有22135312322C C C A 90A N ==，根据分类计数原理知共有，故12150N N N =+=，选D ．10．已知函数cos y x x =+，有以下命题： ①()f x 的定义域是()2π,2π2πk k +； ②()f x 的值域是R ； ③()f x 是奇函数；④()f x 的图象与直线y x =的交点中有一个点的横坐标为π2， 其中推断正确的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】根据题意可以得到函数的定义域为R ，值域为R ，所以①不正确，②正确；由于()cos f x x x =+，所以()cos f x x x -=-+，所以()()f x f x -≠，且()()f x f x -≠-，故此函数是非奇非偶函数，所以③不正确；当π2x =时，cos x x x +=，即()f x 的图象与直线y x =的交点中有一个点的横坐标为π2；所以④正确．故选C ． 11．已知椭圆的标准方程为22154x y +=，12,F F 为椭圆的左右焦点，O 为原点，P 是椭圆在第一象限的点，则12PF PF PO-的取值范围（ ）A．0,5⎛ ⎝⎭B．0,5⎛ ⎝⎭ C．0,5⎛ ⎝⎭ D．0,5⎛ ⎝⎭【答案】B【解析】设P ()00,x y ，则00x <<，e ==，10PF x =，2PF=0x，PO ==，则12x PF PF PO -==，因为00x <<所以20445x >，1>，所以05<<，所以1205PF PF PO -<<B ． 12．已知正方体1111ABCD A BCD -的棱长为1，E 为棱1CC 的中点，F 为棱1AA 上的点，且满足1:1:2A F FA =，点F 、B 、E 、G 、H 为面MBN 过三点B 、E 、F 的截面与正方体1111ABCD A BC D -在棱上的交点，则下列说法错误的是（ ）A ．HF //BE B．BM =C ．∠MBND ．五边形FBEGH【答案】C【解析】因为面11//AD BC 面，且面1AD 与面MBN 的交线为FH ，1BC 面与面MBN 的交线为BE ，所以HF //BE ，A 正确；因为11//A F BB ，且1:1:2A F FA=，所以111:1:2MA A B =，所以112MA =，所以132B M =，在Rt △1BB M 中，BM ==所以B 正确；在Rt △1BB N 中，E 为棱1CC 的中点，所以1C为棱1NB 上的中点，所以11C N =，在Rt △1C EN 中， EN ==BN =；因为52MN ==，在△BMN中，22co s 2B M BN N M B NBM B +-∠==⋅5C 错误；因为cos MBN ∠=，所以sin MBN ∠=，所以BMN S =△12BM ⨯sin BN MBN ⨯⨯∠=得，14GE NB M N S S =△△，19MFH BMN S S =△△，所以BE S =面261144BMNGEN MFH S S S --=△△△．故选C ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
最新人教版高中数学2018高考数学理科模拟试卷含答案
人教版高中数学2018高考数学（理）仿真模拟试题含答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．已知集合2{|430}A x x x =+->，{|21}xB y y ==+，则A ∩B =A ．(1，2)B ．(1，4)C ．(2，4)D ．(1，+∞) 2．已知复数z 满足i z =|2−i|+i(i 为虚数单位)，则复数z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知向量a =(3，-1)，b =(-1，2)，若|a -λb |=5，则实数λ=A ．1或-3B ．1C ．-3D ．24．设随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，则函数2()24f x x x ξ=-+不存在零点的概率为A ．12 B ．13 C ．15 D ．255．执行如图所示的程序框图，则输出n 的值是A ．5B ．6C ．7D ．8 6．若函数()f x =sin(2x +φ)(|φ|<2π)的图象向左平移6π个单位长度后关于原点对称，则函数()f x 在[0，2π]上的最小值为 A ．-B ．12-C ．12D7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的所有表面中，面积最大的表面的面积是ABCD ．8．已知实数x 、y 满足不等式组10302x y x y x -+⎧⎪+-⎨⎪⎩≥≥≤，若22x y +的最大值为m ，最小值为n ，则m n -=A ．252B ．172C ．8D ．99．已知抛物线Ω：22y px =(p >0)，斜率为2的直线l 与抛物线Ω交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，若点M 到抛物线Ω的焦点F 的最短距离为1，则p =A ．1B ．2C ．4D ．810．设n T 为等比数列{}n a 的前n 项之积，且16a =-，434a =-，则当n T 最大时，n 的值为 A ．4 B ．6 C ．8 D ．1011．在三棱锥S ABC -中，SB ⊥BC ，SA ⊥AC ，SB =BC ，SA =AC ，AB =12SC ，且三棱锥S ABC -，则该三棱锥的外接球的半径为A ．1B ．2C ．3D ．412．已知定义在(0，+∞)上的函数()f x 的导函数()f x '满足ln ()()xxf x f x x'+=，且()f e =1e ，其中e 为自然对数的底数，则不等式()f x +e >x +1e的解集是A ．(0，e )B ．(0，1e )C ．(1e，e ) D ．(e ，+∞)二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．已知二项式5(1)ax -(a >0)的展开式的第四项的系数为-40，则1ax d x -⎰的值为 ．14．已知各项均不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若211m m m a a a -++=(m ≥2，m ∈N *)，21m S -=218，则m = ．15．已知函数||()||x f x e x =+．若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是 ．16．已知抛物线C ：22y px =(p >0)，A (异于原点O 为抛物线上一点，过焦点F 作平行于直线OA 的直线，交抛物线C 于P ，Q 两点．若过F 且垂直于x 轴的直线交直线OA 于点B ，则|FP |·|FQ |-|OA |·|OB |= ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知向量m x −cos x ，1)，n =(cos x ，12)，函数()f x =m ·n ． (1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)若a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，a ，c =4，且()f A =1，求△ABC 的面积．18．(本小题满分12分)一个袋中有大小、质地完全相同的4个红球和1个白球，共5个球，现从中每次随机取出2个球，若取出的有白球必须把白球放回去，红球不放回，然后取第二次，第三次，…，直到把红球取完只剩下1个白球为止．以ξ表示终止时取球的次数． (1)求 ξ=2的概率；(2)求 ξ的分布列及数学期望． 19．(本小题满分12分)如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为直角梯形，其中AD ∥BC 且224AD BC AB ===，AB ⊥AD ，侧面11ABB A ⊥平面ABCD ，且四边形11ABB A 是菱形，∠1B BA =3π，M 为1A D 的中点．(1)证明：CM ∥平面11AA B B ； (2)求二面角1A CD A --的余弦值． 20．(本小题满分12分)已知椭圆22221x y a b+=(a >b >0)经过点M (2)，且其右焦点为2F (1，0)．(1)求椭圆的方程；(2)若点P 在圆222x y b +=上，且在第一象限，过P 作圆222x y b +=的切线交椭圆于A ，B 两点，问：2AF B ∆的周长是否为定值?如果是，求出该定值；如果不是，说明理由．21．(本小题满分12分)已知函数2()ln f x ax bx x =-+，a ，b ∈R ． (1)当b =2a +1时，讨论函数()f x 的单调性；(2)当a =1，b >3时，记函数()f x 的导函数()f x '的两个零点分别是1x 和2x (1x <2x )，求证：12()()f x f x ->34−ln 2． 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4─4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为2cos sin x t y t ϕϕ=+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数，φ∈[0，3π])，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的圆心C 的极坐标为(2，3π)，半径为2，直线l 与圆C 交于M ，N 两点．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)当φ变化时，求弦长|MN |的取值范围． 23．(本小题满分10分)选修4─5：不等式选讲已知函数()|3|f x x =-，()|4|g x x m =-++． (1)已知常数a <2，解关于x 的不等式()2f x a +->0；(2)若函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，求实数m 的取值范围．2018高考数学（理）仿真模拟试题（8） 参考答案1．B 【解析】解不等式2430x x +->，可得{|14}A x x =-<<，由函数21xy =+的值域可得{|1}B y y =>，故A ∩B ={x |1<x <4}，故选B ．2．D 【解析】解法一 由i z =|2−i|+i 得z =ii，所以复数z 在复平面内对应的点为(1，位于第四象限，故选D ．解法二 设z =a +b i(a ，b ∈R )，由i z =|2−i|+i 可得−b +a +i ，所以a =1，b ，即z ，所以复数z 在复平面内对应的点为(1，位于第四象限，故选D ． 3．A 【解析】解法一 因为a =(3，-1)，b =(-1，2)，所以a -λb =(3+λ，-1-2λ)，又|a -λb |=5，所以(3+λ)2+(-1-2λ)2=25， 解得λ=1或λ=-3．解法二 由已知得|a | b a ·b =-5，所以|a -λb 5==，解得λ=1或λ=-3． 4．A 【解析】由函数2()24f x x x ξ=-+不存在零点，令()0f x =得Δ=16-8ξ<0，解得ξ>2，又随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，∴P (ξ>2)=12，即函数2()24f x x x ξ=-+不存在零点的概率为12，故选A ． 5．B 【解析】依题意，循环时S ，n 的值依次为S =3，n =2；S =8，n =3；S =19，n =4；S =42，n =5；S =89，n =6；S =184>100，此时不再计算n ，而是直接输出n 的值6．故选B ．6．A 【解析】函数()f x =sin(2x +φ)的图象向左平移6π个单位长度得()g x =sin[2(x +6π)+φ]= sin(2x +3π+φ)的图象，又()g x 为奇函数，则3π+φ=k π，k ∈Z ，解得φ=k π-3π， k ∈Z ．又|φ|<2π，令k =0，得φ=-3π，∴()g x =sin2x ，()f x =sin(2x -3π)．又x ∈[0，2π]，∴2x -3π∈[-3π，23π]，故当x =0时，()f x min =-A ．7．C 【解析】由三视图还原直观图(如图)可以看出，三棱锥的所有表面中，面积最大的三角形的一边长为3=，所以面积132S =⨯=．8．B 【解析】先作出满足约束条件的平面区域，然后根据22x y +的几何意义求解．作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，22x y +表示平面区域内的点与原点的距离的平方，观察图形可知，原点到直线x +y -3=0的距离|OD |的平方等于n ，|OA |2=m ，经过计算可得m =13，n =92，则m n -=172，故选B ． 9．B 【解析】设直线l ：12x y b =+，代入抛物线方程，得220y py pb --=，Δ=2p +8pb >0，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M x y ，则12y y p +=，所以1222y y p y +==．把2py =代入抛物线方程，得08p x =，故点M 的轨迹方程为2p y =(x >8p)，故点M 到抛物线的焦点F 的最短距离为2p=1，所以p =2．10．A 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，∵16a =-，434a =-，∴3364q -=-，解得12q =，∴116()2n n a -=-⨯．∴n T =012(1)1(6)()2nn +++⋅⋅⋅+--⨯=(1)21(6)()2n n n--⨯，当n 为奇数时，n T <0，当n 为偶数时，n T >0，故当n 为偶数时，n T 才有可能取得最大值．(21)2136()2k k k k T -=⨯．1(1)(21)4122(21)2136()1236()1236()2k k k k k k k k kT T +++++-⨯==⨯⨯，当k =1时，42918T T =>；当k ≥2时，2221k kT T +<． ∴2T <4T ，4T >6T >8T >⋅⋅⋅，则当n T 最大时，n 的值为4． 11．C 【解析】如图，取SC 的中点O ，连接OB ，OA ，因为SB ⊥BC ，SA ⊥AC ，SB =BC ，SA =AC ，所以OB ⊥SC ，OA ⊥SC ，OB =12SC ，OA =12SC ，所以SC ⊥平面OAB ，O 为外接球的球心，SC 为球O 的直径，设球O 的半径为R ，则AB =12SC =R ，所以△AOB 为正三角形，所以∠BOA =60°， 所以V S-ABC =V S-OAB +V C-OAB =2×12R 2sin 60°×13×R=2，解得R =3，故选C ．12．A 【解析】令()g x =x ()f x ，则()f x =()g x x ，ln ()xg x x'=， ∴22()()ln ()()g x x g x x g x f x x x '⋅--'==，令()ln ()h x x g x =-，则11ln ()()xh x g x x x-''=-=，当0<x <e 时，()h x '>0，当x >e 时，()h x '<0，∴()()1()1()0h x h e g e ef e =-=-=≤，∴()f x '≤0． 令()()x f x x ϕ=-，则()()1x f x ϕ''=-≤-1<0，∴()x ϕ为减函数，又不等式()f x +e >x +1e可化为()x ϕ>()e ϕ，∴0<x <e ，故选A ． 13．32【解析】二项式5(1)ax -(a >0)的展开式的第四项为3232245C ()(1)10T ax a x =⨯-=-，其系数为2210a x -=-40，又a >0，∴a =2，1axdx -⎰=221213122xdx x -==-⎰． 14．55【解析】根据等差数列的性质，有211m m m a a a -++==2m a ，因为m a ≠0，所以m a =2．依题意21m S -=1a +2a +…+22m a -+21m a -=12(1a +21m a -)(2m −1)=(2m −1)m a =2(2m −1)=218，所以m =55． 15．(1，+∞)【解析】易知函数||()||x f x e x =+为偶函数，故只需求函数()f x 在(0，+∞)上的图象与直线y k =有唯一交点时k 的取值范围．当x ∈(0，+∞)时，()xf x e x =+，此时()10xf x e '=+>，所以函数()f x 在(0，+∞)上单调递增，从而当x >0时，()x f x e x =+>(0)f =1，所以要使函数()f x 在(0，+∞)上的图象与直线y k =有唯一交点，只需k >1，故所求实数k 的取值范围是(1，+∞)．16．0【解析】由题意得直线OA 的斜率存在且不为0，设直线OA 的斜率为k (k ≠0)，则直线OA 的方程为y kx =，由22y k x y px =⎧⎨⎩解得A 222(,)p p k k ，易知B (,22p kp)，直线PQ 的方程为()2p y k x =-，联立方程得2()22p y k x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩消去x 得，2022ky kp y p --=， 设P (1x ，1y )，Q (2x ，2y )，由根与系数的关系得，212y y p =-，根据弦长公式得，|FP |·|FQ212122211||(1)||(1)y y y y p k k =+=+， 而|OA |·|OB221(1)p k =+， 所以|FP |·|FQ |-|OA |·|OB |=0．17．【解析】(1)()f x =m ·nx cos x −2cos x +121cos 21222x x +-+=12cos 2sin(2)26x x x π-=- 由222262k x k πππππ--+≤≤，k ∈Z ，得63k x k ππππ-+≤≤，k ∈Z ，故函数()f x 的单调递增区间为[k π−6π，k π+3π](k ∈Z)．（5分） (2)由题意得()f A =sin(2A −6π)=1， ∵A ∈(0，π)，∴2A −6π∈(−6π，116π)，∴2A −6π=2π，得A =3π．由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得12=2b +16−2×4b ×12， 即2b −4b +4=0，∴b =2． ∴△ABC 的面积11sin 2422S bc A ==⨯⨯⨯sin 3π（12分） 【备注】三角函数与解三角形类解答题的主要考查方式有三个：一是考查三角函数的图象和性质，三角恒等变换是主要工具；二是考查三角形中的三角恒等变换，正、余弦定理和三角函数的性质是主要工具；三是考查解三角形的实际应用，正、余弦定理是解决问题的主要工具．考生在备考时要注意这几个命题点．18．【解析】(1)∵随机变量ξ=2表示从袋中随机取球2次且每次取的都是红球，∴P (ξ=2)=22422253C C 1C C 5⨯=，即ξ=2的概率为15．（4分） (2)由题意知随机变量ξ的所有可能取值为2，3，4，由(1)知P (ξ=2)=15． 又P (ξ=4)=111111113141211122225432C C C C C C C C 2C C C C 15⨯⨯⨯=， ∴P (ξ=3)=102153=，∴ξ的分布列为E ξ=2×15+3×23+4×215=15．（12分） 【备注】数学期望是离散型随机变量中重要的数学概念，反映了随机变量取值的平均水平．求解离散型随机变量的分布列、数学期望时，首先要分清事件的构成与性质，确定离散型随机变量的所有取值，然后根据概率类型选择公式，计算变量取每个值的概率，列出对应的分布列，最后根据数学期望的计算公式求解．19．【解析】(1)解法一 如图，取AD 的中点N ，连接MN ，CN ．在1ADA ∆中，AN ND =，1A M MD =， 所以MN ∥1A A ．（2分）在直角梯形ABCD 中，BC ∥AD ，且BC =12AD =AN ， 所以四边形ABCN 是平行四边形， 所以AB ∥CN ．（4分）又AB ∩1AA =A ，CN ∩MN =N ， 所以平面11AA B B ∥平面CMN ．又CM ⊂平面CMN ，所以CM ∥平面11AA B B ．（5分）解法二 如图，取1AA 的中点E ，连接BE ，ME ．在1ADA ∆中，AE =1EA ，1A M =MD ， 所以EM ∥AD 且EM =12AD ．（2分） 在直角梯形ABCD 中，BC ∥AD ，且BC =12AD ， 所以EM ∥BC ，且EM =BC ， 所以四边形BCME 是平行四边形， 所以MC ∥EB ．（4分）又MC ⊄平面11AA B B ，EB ⊂平面11AA B B ， 所以MC ∥平面11AA B B ．（5分）解法三 如图，在梯形ABCD 中，延长DC ，AB 交于点F ，连接1A F ．在梯形ABCD 中，BC ∥AD 且BC =12AD ， 所以DC =CF ． 又DM =1MA ， 所以MC ∥1A F ．又MC ⊄平面11AA B B ，1A F ⊂平面11AA B B ，所以MC ∥平面11AA B B ．（5分） (2)取11A B 的中点P ，连接AP ，1AB ． 因为在菱形11AA B B 中，∠1B BA =3， 所以AB =1AA =1AB =11A B ， 所以AP ⊥11A B ． 又AB ∥11A B ，所以AP ⊥AB ．（7分）又侧面11ABB A ⊥平面ABCD ，侧面11ABB A ∩平面ABCD =AB ， 所以AP ⊥平面ABCD ， 又AB ⊥AD ，故以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A -xyz (如图所示)．则A (0，0，0)，D (0，4，0)，C (2，2，0)，P (0，0，1A (−1，0，CD =(−2，2，0)，1CA =(−3，−2． 因为AP ⊥平面ABCD ，（8分）所以AP =(0，0)为平面ABCD 的一个法向量．设平面1A CD 的法向量为n =(x ，y ，z )，由1CD CA ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n，可得1220320CD x y CA x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩n n ，即0320x y x y -=⎧⎪⎨--+=⎪⎩， 令x =1，则y =1，z，所以n =(1，1)为平面1A CD 的一个法向量， 所以cos<AP ，n>=|||AP AP |⋅==⋅nn设二面角1A CD A --的大小为θ，由图可知θ∈(0，2π)， 所以cos θ=cos<AP ，n >=31．（12分） 【备注】解决此类问题的关键是根据几何体的结构特征合理建立空间直角坐标系，空间平行与垂直的证明也可转化为空间向量的坐标运算；空间角的求解主要是直线的方向向量与平面的法向量的相关运算，转化为向量夹角即可，要注意向量夹角与所求角之间的关系，正确进行转化．20．【解析】(1)解法一 由题意，得2222144019a b a b⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得2298a b ⎧=⎨=⎩， ∴椭圆的方程为22198x y +=．（4分） 解法二 设椭圆的左焦点为1F ，∵右焦点为2F (1，0)，∴c =1，1F (−1，0)， 又点M (2，3)在椭圆上，∴2a= |MF1|+|MF2|= 6=，∴a=3，b，∴椭圆的方程为22198x y+=．（4分）(2) 解法一由题意，设AB的方程为y kx m=+(k<0，m>0)，∵直线AB与圆22x y+=8相切，=m=，由22198y kx mx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得(8+92k)2x+18kmx+92m−72=0，设A(1x，1y)(0<1x 3)，B(2x，2y)(0<2x 3)，则1x+2x=21889kmk-+，1x·2x=2297289mk-+，（7分）∴|AB|1x−2x2689kmk-=+．（9分）又22||AF=(1x−1)2+21y=(1x−1)2+8(1−219x)=19(1x−9)2，∴|AF2|=13(9−1x)=3−131x，同理|BF2|=13(9−2x)=3−132x．∴|AF2|+|BF2|=6−13(1x+2x)=6+2689kmk+，∴|AF2|+|BF2|+|AB|=6+2689kmk+−2689kmk+=6，即2AF B∆的周长为定值6．（12分）解法二设A(1x，1y)，B(2x，2y)，则2211198x y+==1(0<1x 3)，∴|AF2=13(9−1x)=3−131x，（7分）连接OP，OA，由相切条件，得|AP ==131x ，（10分）∴|AF 2|+|AP |=3−131x +131x =3， 同理|BF 2|+|BP |=3−132x +132x =3，∴|AF 2|+|BF 2|+|AB |=3+3=6，即2AF B ∆的周长为定值6．（12分）【备注】解析几何是高考的重点、难点和热点，对考生的解题能力要求较高，突出考查考生的分析、推理、转化等数学能力，因此在解决圆锥曲线问题时，如何避免繁杂、冗长的计算成为处理这类问题的难点与关键，解析几何题目常用的简化运算的技巧有：利用圆锥曲线的概念将条件等价转化、数形结合、设而不求． 21．【解析】(1)因为b =2a +1，所以()f x =2(21)ln ax a x x -++，从而()f x '=12(21)ax a x-++=22(21)1(21)(1)ax a x ax x x x -++--=，x >0．（2分）当a 0时，由()f x '>0得0<x <1，由()f x '<0得x >1， 所以()f x 在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，+∞)上单调递减．当0<a <12时，由()f x '>0得0<x <1或x >12a ，由()f x '<0得1<x <12a， 所以()f x 在区间(0，1)和区间(12a，+∞)上单调递增，在区间(1，12a )上单调递减．（3分）当a =12时，因为()f x ' 0(当且仅当x =1时取等号)，所以()f x 在区间(0，+∞)上单调递增．（4分）当a >12时，由()f x '>0得0<x <12a 或x >1，由()f x '<0得12a<x <1，（5分） 所以()f x 在区间(0，12a )和区间(1，+∞)上单调递增，在区间(12a，1)上单调递减．综上，当a 0时，()f x 在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，+∞)上单调递减；当0<a <12时，()f x 在区间(0，1)和区间(12a ，+∞)上单调递增，在区间(1，12a)上单调递减；当a =12时，()f x 在区间(0，+∞)上单调递增，无单调递减区间； 当a >12时，()f x 在区间(0，12a )和区间(1，+∞)上单调递增，在区间(12a，1)上单调递减．（6分）(2)解法一 因为a =1，所以()f x =2ln x bx x -+(x >0)，从而()f x '=221x bx x-+ ，由题意知1x ，2x 是方程221x bx -+=0的两个根，故1212x x =．（8分） 记()g x =221x bx -+，因为b >3，所以1()2g =32b-<0，(1)g =3−b <0， 所以1x ∈(0，12)，2x ∈(1，+∞)，且b 1x =221x +1，b 2x =222x +1，（9分）12()()f x f x -=(21x −22x )− (b 1x −b 2x )+12lnx x =− (21x −22x )+12ln x x ，因为1x 2x =12，所以12()()f x f x -=22x −2214x −ln(222x )，2x ∈(1，+∞)．令t =222x ∈(2，+∞)，()t ϕ=12()()f x f x -=1ln 22t t t--． 因为当t >2时，()t ϕ'=22(1)2t t ->0，所以()t ϕ在区间(2，+∞)上单调递增，所以()t ϕ>(2)ϕ=34−ln 2，即12()()f x f x ->34−ln 2．（12分） 解法二 因为a =1，所以()f x =2ln x bx x -+(x >0)，从而()f x '=221x bx x-+，由题意知1x ，2x 是方程221x bx -+=0的两个根，故1212x x =．（8分）记()g x =221x bx -+，因为b >3，所以1()2g =32b-<0，(1)g =3−b <0， 所以1x ∈(0，12)，2x ∈(1，+∞)，且()f x 在(1x ，2x )上是减函数， 所以12()()f x f x ->1()(1)2f f -)=(11ln 422b -+)−(1−b )=−34+2b−ln 2，因为b >3，所以12()()f x f x ->−34+2b −ln 2>34−ln 2．（12分）22．【解析】(1)由已知，得圆心C 的直角坐标为(1，半径为2，∴圆C 的直角坐标方程为22(1)(4x y -+=，即2220x y x +--=，∵x =ρcos θ，y =ρsin θ，∴ρ2-2ρcos θ−sin θ=0， 故圆C 的极坐标方程为ρ=4cos(3π−θ)．（5分）(2)由(1)知，圆C 的直角坐标方程为2220x y x +--=，将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程中得，(2+t cos φ)2t sin φ)2−2(2+t cos φ+t sin φ)=0， 整理得，t 2+2t cos φ−3=0，设M ，N 两点对应的参数分别为1t ，2t ，则1t +2t =−2cos φ，1t ·2t =−3，∴|MN |=|1t −2t =，∵φ∈[0，3π]，∴cos φ∈[12，1]，∴|MN |∈4]．（10分）【备注】在将曲线的参数方程化为普通方程时，不仅仅是要把其中的参数消去，还要注意其中的x ，y 的取值范围，也即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性；将极坐标方程化为直角坐标方程时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验．23．【解析】(1)由()2f x a +->0得|x −3|>2−a ，∴x −3>2−a 或x −3<a −2． ∴x >5−a 或x <a +1，故不等式的解集为(−∞，a +1)∪(5−a ，+∞)．（5分） (2)∵函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方， ∴()f x >()g x 恒成立， 则m <|x −3|+|x +4|恒成立， ∵|x −3|+|x +4| |(x −3)−(x +4)|=7， ∴m 的取值范围为(−∞，7)．（10分）精品文档精品文档。
人教版高中数学2018高考数学理科模拟试卷含答案
教习网-免费精品课件试卷任意下载人教版高中数学2018高考数学（理）仿真模拟试题含答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．已知集合A {x|4 3xx20}，B{y|y 2x1}，则A∩B=A．(1，2) B．(1，4) C．(2，4) D．(1，+∞)2．已知复数z满足iz=|2-i|+i(i 为虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知向量a=(3，1)，b=(1，2)，若|aλb|=5，则实数λ=A．1或3 B．1 C．3 D．24．设随机变量ξ服从正态分布N(2, 2)，则函数f(x) 2x24x不存在零点的概率为1 1 1 2A．B．C．D．2 3 5 55．执行如图所示的程序框图，则输出n的值是A．5 B．6 C．7 D．86．若函数f(x)=sin(2x+φ)(|φ|< )的图象向左平移个单位长度后关于原点对称，则函2 6教习网-课件试卷试题含解析免费下载教习网-免费精品课件试卷任意下载数f(x)在[0，]上的最小值为23 1 1 3A．B．C．D．2 2 2 27．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的所有表面中，面积最大的表面的面积是A． 5 B．5 C．35D．3 52 2x y 1≥08．已知实数x、y满足不等式组x y 3≥0，若x2y2的最大值为m，最小值为n，则x≤2m n=25 17C．8D．9A．B．2 29．已知抛物线Ω：y22px(p>0)，斜率为2的直线l与抛物线Ω交于A，B两点，M为AB的中点，若点M到抛物线Ω的焦点F的最短距离为1，则p=A．1 B．2 C．4 D．810．设T n为等比数列{a n}的前n项之积，且a16，a43，则当T n最大时，n的值为4A．4 B．6 C．8D．1011．在三棱锥SABC中，SB⊥BC，SA⊥AC，SB=BC，SA=AC，AB= 1SC，且三棱锥2SABC的体积为9 3，则该三棱锥的外接球的半径为2教习网-课件试卷试题含解析免费下载教习网-免费精品课件试卷任意下载A．1 B．2 C．3 D．412．已知定义在(0，+∞)上的函数f(x)的导函数f(x)满足xf (x)f(x) lnx，且xf(e)= 1，其中e为自然对数的底数，则不等式f(x)+e>x+ 1的解集是e eA．(0，e)11D．(e，+∞) B．(0，) C．(，e)e e二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．已知二项式(ax 1)5(a>0) 40，则axdx的值的展开式的第四项的系数为1 为．14．已知各项均不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a m1a m1a m2(m≥2，m∈N*)，S2m1=218，则m= ．15．已知函数f(x) e|x||x|．若关于x的方程f(x) k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是．16 ．已知抛物线C y22px( >0)(异于原点O为抛物线上一点，过焦点F作平行于直：p ，A线OA的直线，交抛物线C于P，Q两点．若过F且垂直于x轴的直线交直线OA于点B，则|FP|·|FQ|OA|·|OB|=．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)1已知向量m=( 3sinx-cosx，1)，n=(cosx，)，函数f(x)=m·n．2(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)若a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，a=2 3，c=4，且f(A)=1，求△ABC的面积．18．(本小题满分12分)教习网-课件试卷试题含解析免费下载教习网-免费精品课件试卷任意下载一个袋中有大小、质地完全相同的 4个红球和 1个白球，共 5个球，现从中每次随机取 出2个球，若取出的有白球必须把白球放回去， 红球不放回，然后取第二次，第三次，⋯， 直到把红球取完只剩下 1个白球为止．以 ξ表示终止时取球的次数． (1) 求ξ=2的概率；(2) 求ξ的分布列及数学期望． 19．(本小题满分 12分)如图，在四棱柱 ABCDABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，其中AD ∥BC且1 1 1 1AD2BC2AB4，AB ⊥AD ，侧面ABB 1A 1⊥平面ABCD ，且四边形ABB 1A 1是菱形，∠B 1BA=，M 为A 1D 的中点． 3(1) 证明：CM ∥平面AA 1B 1B ； (2) 求二面角A 1CDA 的余弦值． 20．(本小题满分 12分)x 2y 22 10 F 2(1，0)．已知椭圆2 b 21(a>b>0)经过点M(2， )，且其右焦点为a3(1) 求椭圆的方程； (2)若点P 在圆x 2y 2b 2上，且在第一象限，过 P 作圆x 2y 2b 2的切线交椭圆于教习网-课件试卷试题含解析免费下载教习网-免费精品课件试卷任意下载A，B两点，问：AF2B的周长是否为定值?如果是，求出该定值；如果不是，说明理由．21．(本小题满分12分)已知函数 f(x) ax2bx lnx，a，b∈R．(1)当b=2a+1时，讨论函数f(x)的单调性；(2)当a=1，b>3 时，记函数f(x)的导函数f(x)的两个零点分别是x1和x2(x1<x2)，求证：f(x1)3-ln2．f(x2)>4请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4─4：坐标系与参数方程x 2 tcos在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为3 (t为参数，φ∈[0，y tsin])，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心C 3的极坐标为(2，)，半径为2，直线l与圆C交于M，N两点．3(1)求圆C的极坐标方程；(2)当φ变化时，求弦长|MN|的取值范围．23．(本小题满分10分)选修4─5：不等式选讲已知函数f(x)|x3|，g(x) |x4| m ．(1) 已知常数a<2，解关于x的不等式f(x) a 2>0；(2) 若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，求实数m的取值范围．教习网-课件试卷试题含解析免费下载教习网-免费精品课件试卷任意下载2018高考数学（理）仿真模拟试题（8）参考答案1．B【解析】解不等式43xx20，可得A {x| 1 x4}，由函数y2x1的值域可得B{y|y1}，故A∩B={x|1<x<4}，故选B．2．D【解析】解法一由iz=|2-i|+i5 i5 i，所以复数z在复平面内对应的得z= =1-i教习网-课件试卷试题含解析免费下载教习网-免费精品课件试卷任意下载点为(1，-5)，位于第四象限，故选D ．解法二 设z=a+bi(a ，b ∈R)，由iz=|2-i|+i 可得-b+ai= 5+i ，所以a=1，b=- 5，即z=1-5i ，所以复数z 在复平面内对应的点为(1，- 5)，位于第四象限，故选 D ．3．A 【解析】解法一因为a=(3，1)，b=(1，2)，所以a λb=(3+ λ，1 2λ)， 又| a λ|=5，所以(3+ λ)2+( 12λ)2=25，解得λ=1 或λ=3．b 解法二 由已知得|a|= 10，|b|=5 ，a ·b= 5，所以|a λb|=a 2ab2b 2 10 10525，解得λ=1 或λ= 3．4．A 【解析】由函数 f(x) 2x 24x不存在零点，令 f(x) 0得=168ξ<0，解得 ξ>2，又随机变量ξ服从正态分布N(2, 2) (>2)=1 ，即函数 f(x) 2x 24x，∴P ξ 1 2 ，故选A ．不存在零点的概率为25．B 【解析】依题意，循环时S ，n 的值依次为 S=3，n=2；S=8，n=3；S=19，n=4；S=42，n=5；S=89，n=6；S=184>100，此时不再计算n ，而是直接输出 n 的值6．故选B ．6．A 【解析】函数 f(x) =sin(2 x+φ)的图象向左平移个单位长度得6 g(x)=sin[2( x + )+ φ]= 6sin(2x++φ)的图象，又g(x)为奇函数，则+φ=k π，k ∈Z ，解得φ=k π， 3 33k ∈Z ．又|φ|< 2 ，令 k=0，得φ=，∴g(x)=sin2x ，f(x)=sin(2x)．3 3又x ∈[0，]，∴2x ∈[ ， 232 ]，故当x=0时，f(x)min= ，故选A ．33 3 27．C 【解析】由三视图还原直观图 (如图)可以看出，三棱锥的所有表面中，面积最大的三角形的一边长为 3，这条边上的高为12 225，所以面积S13 535． 22教习网-课件试卷试题含解析免费下载教习网-免费精品课件试卷任意下载8．B 【解析】先作出满足约束条件的平面区域，然后根据x 2y 2的几何意义求解．作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，x 2y 2表示平面区域内的点与原点的距离的平方，观察图形可知，原点到直线x+y 3=0 的距离|OD|的平方等于n ，|OA|2=m ，经过计算可得9，则m n= 17m=13，n=，故选B ．2 29．B 【解析】设直线l ：x 1y b ，代入抛物线方程，得y 2 py 2pb 0 ，=p 2+8pb>0，2设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，M(x,y)，则y 1 y 2 p ，所以y y 1 y 2 pp 2 ．把y2 2代入抛物线方程，得x 0 p，故点M 的轨迹方程为yp(x>p)，故点M 到抛物线的p 82 8 焦点F 的最短距离为=1，所以p=2．23 3 110．A 【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1 6 ，a 4 ，∴ 6q 3，解得q ，44 21n1∴a n 6 ( ) ．∴T=(6)n(1)012 (n1)=(6)n (1) n 2 2n(n1)2 ，当n 为奇数时，T n <0 ，当n 为偶数时，T>0，故当n 为偶数时， T 才有可能取得最大值．T 2k 36k(1)k(2k1)． nn2教习网-课件试卷试题含解析免费下载教习网-免费精品课件试卷任意下载T2k2 36k1 (1)(k1)(2k1)36(1)4k1，2T2k36 k 1 )k(2k 1) 2(2当k=1 时， T 491 T2k 2 1 ． T 28 ；当k ≥2时，T2k∴T 2<T 4，T 4>T 6>T 8>，则当T n 最大时，n 的值为4．11 ．C 【解析】如图，取SC 的中点O ，连接OB ，OA ，因为SB ⊥BC ，SA ⊥AC ，SB=BC ，SA=AC ，1 SC ，OA= 1所以OB ⊥SC ，OA ⊥SC ，OB= SC ，所以SC ⊥平面OAB ，O 为外接球2 2 1的球心， SC 为球 O 的直径，设球 O 的半径为 ，则 AB = =，所以△ AOB 为正三 R 2 SCR角形，所以∠BOA=60°，所以VS-ABC=VS-OAB+VC-OAB=2× 1 21 9 32 Rsin60°××R = ，解得R=3，故选C ．3 212．A 【解析】令g(x)=xf(x)，则f(x)= g(x) ，g(x) lnxx x ，∴f(x) g(x) xg(x)lnx g(x)，x 2 x 2令h(x) lnx g(x)，则h(x) 11 lnxg(x)，当0<x<e 时，h(x)>0，xx当x>e时，h(x)<0，∴h(x)≤h(e)1g(e)1 ef(e) 0，∴f(x)≤0．令(x) f(x) x，则(x) f (x) 1≤1<0，∴(x) 为减函数，教习网-课件试卷试题含解析免费下载教习网-免费精品课件试卷任意下载又不等式f(x)+e>x+1可化为 (x)> (e)，∴0<x<e ，故选A ．3e13． 【解析】二项式(ax 1)5(a>0)的展开式的第四项为 T 4 C 53(ax)2(1)310a 2x 2， 2其系数为2 2 ，又 a ，∴a ， a 2 1 2 23 ．10a = 40 >0 xdx= x x =2 1 xdx 1 1 2 214．55【解析】根据等差数列的性质，有a m1 am1 a m 2=2a m ，因为a m ≠0，所以a m =2．依题意 S2m1 = a 1 + a 2 +⋯ +a 2m2+a2m1 = 1 (a 1+a 2m1)(2m- 1)=(2 m- 1)a m =2(2 m-1)=218 ，所以m=55．215．(1，+∞)【解析】易知函数f(x) e |x| |x|为偶函数，故只需求函数 f(x)在(0，+∞)上的图象与直线 y k 有唯一交点时 k 的取值范围．当 f(x) e x ， x ∈(0，+∞)时， x 此时f (x) e x1 0，所以函数 f(x)在(0，+∞)上单调递增，从而当 x>0 时，f(x) e xx> f(0)=1，所以要使函数f(x)在(0，+∞)上的图象与直线 yk 有唯一 交点，只需k>1，故所求实数 k 的取值范围是(1，+∞)．16．0【解析】由题意得直线OA 的斜率存在且不为 0，设直线OA 的斜率为k(k ≠0) ，则直线OA 的方程为y kx ，由 ykx 2p 2p pkp y 2 2px 解得A( 2 , )，易知B( ,)，直线PQ 的方k k 2 2 程为y k(x p y k(x p ) ky 2y kp0， )，联立方程得2 消去x 得， 2p 22 y 2 2px设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，由根与系数的关系得， y 1y 2p 2，根据弦长公式得，|FP|·|FQ |= 11 1121 k 2|y 1|1k 2|y 2|(1k 2)|y 1y2 |(1 k2)p ，而 | OA | ·|OB 2p 22p 2 p 2 kp 2 (1 1 2，|= (k 2)( k ) (2) (2) k 2)p所以|FP|·|FQ |OA|·|OB|=0．教习网-课件试卷试题含解析免费下载教习网-免费精品课件试卷任意下载17．【解析】(1) f(x)=m ·n= 3sinxcosx-cos 2x+1 = 3 sin2x 1cos2x12 2 2 2 31 cos2x sin(2x )sin2x 2 2 6由2k≤2x≤2k，k ∈Z ，得k6≤x ≤k，k ∈Z ， 262 3故函数f(x)的单调递增区间为 [k π- ，k π+](k ∈Z)．（5分）6 3 (2)由题意得f(A)=sin(2 A- )=1，6 11∵A(0，π)，∴2A- (- )，，6 6 6∴2A-= ，得A= 3 ． 62由余弦定理a 2 b 2c 22bccosA ，得12= b 2+16-2×4b ×1 ，2即 b 2-4b+4=0，∴b=2．1 1 =23．（12分）∴△ABC 的面积SbcsinA24sin 2 23【备注】三角函数与解三角形类解答题的主要考查方式有三个：一是考查三角函数的图象和性质，三角恒等变换是主要工具；二是考查三角形中的三角恒等变换，正、余弦定理和 三角函数的性质是主要工具；三是考查解三角形的实际应用，正、余弦定理是解决问题 的主要工具．考生在备考时要注意这几个命题点．18．【解析】(1)∵随机变量ξ=2 表示从袋中随机取球2次且每次取的都是红球，C 42C 221 的概率为 1∴P(ξ=2)=C 32，即ξ=2．（4分） C 525 5(2)由题意知随机变量1 ξ的所有可能取值为2，3，4，由(1)知P(ξ=2)=．5 C 14C 11C 13C 11C 12C 11C 11C 112又P(ξ=4)= C 42C 32C 22， C 5215 102 ∴P(ξ=3)=，15 3教习网-课件试卷试题含解析免费下载教习网-免费精品课件试卷任意下载∴ξ的分布列为ξ 2 3 41 2 2P5 3 151 2 2 44Eξ=2×+3×+4×= ．（12分）5 3 15 15【备注】数学期望是离散型随机变量中重要的数学概念，反映了随机变量取值的平均水平．求解离散型随机变量的分布列、数学期望时，首先要分清事件的构成与性质，确定离散型随机变量的所有取值，然后根据概率类型选择公式，计算变量取每个值的概率，列出对应的分布列，最后根据数学期望的计算公式求解．19．【解析】(1)解法一如图，取AD的中点N，连接MN，CN．在ADA1中，AN ND，A1M MD，所以MN∥A1A．（2分）在直角梯形ABCD中，BC∥AD，且BC= 1 AD=AN，2所以四边形ABCN是平行四边形，所以AB∥CN．（4 分）又AB∩AA1=A，CN∩MN=N，所以平面AA1B1B∥平面CMN．又CM 平面CMN，所以CM∥平面AA1B1B．（5分）解法二如图，取AA1的中点E，连接BE，ME．教习网-课件试卷试题含解析免费下载教习网-免费精品课件试卷任意下载在ADA1中，AE=EA1，A1M=MD，所以EM∥AD且EM=1AD．（2分）21在直角梯形 ABCD中，BC∥AD，且BC= AD，所以EM∥BC，且EM=BC，所以四边形BCME是平行四边形，所以MC∥EB．（4分）又MC 平面AA1B1B，EB 平面AA1B1B，所以MC∥平面AA1B1B．（5分）解法三如图，在梯形ABCD中，延长DC，AB交于点F，连接A1F．1在梯形ABCD中，BC∥AD且BC= AD，所以DC=CF．又DM=MA1，所以MC∥A1F．又MC 平面AA1B1B，A1F 平面AA1B1B，教习网-课件试卷试题含解析免费下载教习网-免费精品课件试卷任意下载所以MC∥平面AA1B1B．（5分）(2)取A1B1的中点P，连接AP，AB1．因为在菱形AA1B1B中，∠B1BA=，3所以AB=AA1=AB1=A1B1，所以AP⊥A1B1．又AB∥A1B1，所以AP⊥AB．（7分）又侧面ABB1A1⊥平面ABCD，侧面ABB1A1∩平面ABCD=AB，所以AP⊥平面ABCD，又AB⊥AD，故以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系A-xyz(如图所示)．则A(0，0，0)，D(0，4，0)，C(2，2，0)，P(0，0，3)，A1(-1，0，3)，CD=(-2 ，2，0)，CA1=(-3 ，-2，3)．因为AP⊥平面ABCD，（8分）所以AP=(0，0，3)为平面ABCD的一个法向量．教习网-课件试卷试题含解析免费下载教习网-免费精品课件试卷任意下载设平面ACD 的法向量为n =( x ，y ，z ， 1 ) n CD n CD 2x 2y 0由 ，可得， n CA 1 n CA 1 3x2y3z 0 x y 0即2y3z， 3x 0令x=1，则y=1，z= 53，所以n=(1，1，53 )为平面ACD 1 的一个法向量，33AP n3 5 3 531 所以cos<AP ，n>= 3 |AP||n |． 3 12 12(5 313)23设二面角A 1 CD A 的大小为θ，由图可知θ∈(0， )， 2 所以cos θ=cos< AP ，n>= 531．（12 分）31【备注】解决此类问题的关键是根据几何体的结构特征合理建立空间直角坐标系，空间平行与垂直的证明也可转化为空间向量的坐标运算；空间角的求解主要是直线的方向向量与 平面的法向量的相关运算， 转化为向量夹角即可， 要注意向量夹角与所求角之间的关系， 正确进行转化．20．【解析】(1)解法一 由题意，得a 2b 21 a 294 40 ，解得 b 2 ，18a 29b 2x 2y 21．（4分）∴椭圆的方程为89解法二 设椭圆的左焦点为F 1，∵右焦点为F 2(1，0)，∴c=1，F 1(-1，0)，又点M(2，210)在椭圆上，3教习网-课件试卷试题含解析免费下载教习网-免费精品课件试卷任意下载∴2a=|MF 1|+|MF2 |= (21)2 ( 2 10 )2 (2 1)2 ( 2 10 )26 ，3 3 ∴a=3，b=2 2 ， ∴椭圆的方程为 x 2y 21．（4分）9 8(2)解法一由题意，设AB 的方程为y kx m(k<0，m>0)，∵直线AB 与圆x 2y 2=8 相切， ∴|m|22，即m221k 2，1 k 2y kx m 由x 2y 2，得(8+9 k 2)x 2+18 kmx+9m 2-72=0， 98 1设A(x 1，y 1)(0< x 1 3)，B(x 2 ，y 2)(0< x 2 3)，则x+x= 18km ，x ·x = 9m 272 ，（7 分）1 2 8 9k 2 1 2 8 9k 2∴|AB|= 1 k 2|x - x |= 1 k 2·(x 1 x 2)24x 1x 2 6km．（9分）1 2 8 9k 2又|AF |2=(x-1)2+y2=(x-1)2 +8(1- x 12)= 1(x-9)2， 2 1 1 1 9 9 1 ∴ 2 |= 1 (9- x 1)=3- 1 x 1 ，同理 | BF2 |= 1 (9-x 2)=3- 1 x 2 ．|AF 3 3 3 3 ∴|AF2|+|BF2|=6- 1 (x 1+ x 2)=6+ 8 6km 2 ，3 9k∴|AF 2 2 AB|=6+ 6km - 6km =6，即AF 2B 的周长为定值 6．（12分）|+|BF |+| 8 9k 2 8 9k 2x 2y 2解法二 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则1 11=1(0< x 1 3)， 9 82 2 2x 1211∴|AF2|= (x11) y1(x11) 8(1 9 )=3 (9- x1)=3- 3 x1，（7分）连接OP，OA，由相切条件，得教习网-课件试卷试题含解析免费下载教习网-免费精品课件试卷任意下载2 2 2 28 28(1x2 1|AP|=|OA| |OP| x1y1x11)8= x1，（10分）9 3∴|AF |+|AP|=3- 1 x1+ 1 x1=3，3 32同理|BF2|+|BP|=3-1x2+1x2=3，3 3∴|AF2|+|BF2|+|AB|=3+3=6 ，即AF2B的周长为定值6．（12 分）【备注】解析几何是高考的重点、难点和热点，对考生的解题能力要求较高，突出考查考生的分析、推理、转化等数学能力，因此在解决圆锥曲线问题时，如何避免繁杂、冗长的计算成为处理这类问题的难点与关键，解析几何题目常用的简化运算的技巧有：利用圆锥曲线的概念将条件等价转化、数形结合、设而不求．21．【解析】(1)因为b=2a+1，所以f(x)=ax2(2a 1)x lnx，从而f (x)=2ax(2a1) 1 2ax2(2a1)x 1 (2ax 1)(x 1)=x x，x>0．（2分）x当a0 时，由f (x)>0得0<x<1，由f (x)<0得x>1，所以f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，+∞)上单调递减．1时，由f(x)>0 得0<x<1 或x> 1得1<x<1当0<a< ，由f(x)<0 ，22a 2a 所以f(x)在区间(0，1)和区间( 1，+∞)上单调递增，12a在区间(1，分）)上单调递减．（312af(x) 0(当且仅当x=1 时取等号)，当a= 时，因为2所以f(x)在区间(0，+∞)上单调递增．（4分）1 1或x>1 ，由f(x)<0 得1<x<1，（5分）当a> 时，由f(x)>0 得0<x<2 2a 2a所以f(x)在区间(0，1)和区间(1，+∞)上单调递增，在区间( 1 ，1)上单调递减．2a 2a综上，当a 0时，f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，+∞)上单调递减；教习网-课件试卷试题含解析免费下载教习网-免费精品课件试卷任意下载当0<a< 1 时，f(x)在区间(0，1)和区间( 1 ，+∞)上单调递增，在区间(1， 1 )上单2 2a 2a 调递减；当a= 1 时，f(x)在区间(0，+∞)上单调递增，无单调递减区间；2当a> 1时，f(x)在区间(0，1 12)和区间(1，+∞)上单调递增，在区间( ，1)上单调2a 2a递减．（6分）(2)解法一因为a=1，所以f(x)= x2bx lnx(x>0)，从而f2x2bx1 (x)= ，x由题意知x1，x2是方程2x2bx1=0 的两个根，故x1x21．（8分）2记g(x)=2x2bx 1，因为b>3，所以g(1)= 3 b<0，g(1)=3- b<0，22所以x1∈(0，1)，x2∈(1，+∞)，且bx1=2x12+1，bx2=2x22+1，（9分）2f(x1)f(x2)=(x12-x22)-(bx1-bx2)+ln x1=-(x12-x22)+ln x1，x2x2因为x1x2= 1 ，所以f(x1)f(x2)=x22-1-ln(2x22)，x2∈(1，+∞)．2 4x22令t=2x22∈(2，+∞)，(t)=f(x1)f(x2)=t 1lnt．22t因为当t >2时，(t 1)2(t)在区间(2，+∞)上单调递增，(t)=2>0，所以2t(t)> (2) = 3f(x2)>3所以-ln2，即f(x1) -ln2．（12分）4 4解法二因为a=1，所以f(x)=x2bx lnx(x>0)，从而f (x)= 2x2bx 1，x由题意知x1，x2是方程2x2bx1 =0 的两个根，故x1x21．（8分）2记g(x)=2x2bx 1，因为b>3，所以g(1)= 3 b<0，g(1)=3- b<0，22所以x1∈(0， 1 )，x2∈(1，+∞)，且f(x)在(x1，x2)上是减函数，2教习网-课件试卷试题含解析免费下载教习网-免费精品课件试卷任意下载所以f(x1)1f(1))=(1 b 1)-(1- b)=-3 bf(x2)>f()4 2ln + -ln2 ，2 2 4 2因为b>3，所以f(x1) f(x2)>- 3+b 34-ln2> -ln2．（12分）2 422．【解析】(1)由已知，得圆心C的直角坐标为(1，3)，半径为2，∴圆C的直角坐标方程为(x 1)2(y3)24，即x2y22x23y 0，2θ-2 3ρsinθ=0，∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴ρ-2ρcos故圆C的极坐标方程为ρ=4cos( -θ)．（5分）3(2)由(1)知，圆C的直角坐标方程为x2y22x 23y 0，将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程中得，(2+tcosφ)2+(3 +tsinφ)2-2(2+tcosφ)-2 3 (3+tsinφ)=0，整理得，t2+2tcos φ-3=0，设M，N两点对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=-2cos φ，t1·t2=-3，∴M N|=|t1- t2|=2 2，(t1t2) 4t1t24cos 12|∵φ∈[0，113 ，4]．（10分）]，∴cosφ∈[，1]，∴|MN|∈[3 2【备注】在将曲线的参数方程化为普通方程时，不仅仅是要把其中的参数消去，还要注意其中的x，y的取值范围，也即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性；将极坐标方程化为直角坐标方程时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验．23．【解析】(1)由f(x) a 2>0得|x-3|>2- a，∴x-3>2- a或x-3<a-2．∴x>5- a或x<a+1，故不等式的解集为(-a∞+1)，∪(5-a，+∞)（．5分）教习网-课件试卷试题含解析免费下载教习网-免费精品课件试卷任意下载(2)∵函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，∴f(x)>g(x)恒成立，则m<|x-3|+|x+4|恒成立，∵|x-3|+|x+4| |(x-3)-( x+4)|=7，∴m的取值范围为(-∞7)，．（10分）教习网-课件试卷试题含解析免费下载教习网-免费精品课件试卷任意下载教习网-课件试卷试题含解析免费下载。
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2017届高三数学高考模拟卷（理科1）
总分： 150分 考试时间： 120分钟 姓名： 得分： 一．选择题（每题5分，共40分） 1、已知四棱锥的底面为正方形，其三视图 如图所示，则这个四棱锥的体积是（ ） A.1 B.2
C.3
D.4
2、已知函数f(x)的定义域为R ，则“f(x)在[－2，2]上单调递增”是“f(－2)<f(2)”的 （ ）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3、 已知,m n 是两条不同．．的直线，,,αβγ是三个不同．．的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若,,//αγαβγβ⊥⊥则 B. 若//,,,//m n m n αβαβ⊂⊂则 C. 若//,,,//m n m n αβαβ⊥⊥则 D. 若//,//,//m n m n αα则
4.、已知等比数列{a n }首项为1，公比2=q ，前n 项和为n S ，则下列结论正确的是 （ ） A. *∈∀N n ，1+<n n a S B. *∈∀N n ，21++≤⋅n n n a a a C. 0n N *∃∈，000212n n n a a a +++= D. 0n N *∃∈，0000312n n n n a a a a ++++=+
5、若实数x,y 满足在不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≤--≤-+≤-+0220120
83y x y x y x ,则22x y +的最大值为 ( )
A ． 8
B ．10
C
．
6、若R y x ∈,,且()()011113
3
>+++--y y x x ,则下列结论正确的是 ( )
A.02>--y x
B. 02<--y x
C. 0<+y x
D.0>+y x
7、双曲线13
2
2
=-
y x 的左右两支上各有一点A,B ,点B 在直线21=x 上的射影是点C ，若直线AB 过其右焦点，则直线AC 必过点 （ ）
A.()0,1
B.⎪⎭⎫ ⎝⎛0,45
C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,23
D.⎪⎭
⎫ ⎝⎛0,47
8、向量,,2=⋅==，()()
02=-⋅-- （ ）
A.31+
B.
2
7
3+ C.
2
7
3+- D.2 二、填空题（多空题每题6分，单空题每题4分） 9、 已知集合}02|
{2>-+=x x x A ，}log |{2x y y B ==，则=A
=⋂B A C R )(
10、已知角θ的终边过点（4，－3），则tan θ= .sin(2)6
π
θ+= .
11、函数1)12
(sin )12
(cos )(22
-+
+-
=π
π
x x x f 的最小正周期是 ,
单调递增区间是 12、已知函数()()6
14
77
x a x x f x a x -⎧-+≤=⎨
>⎩
;(1)当2
1
=
a 时， ()x f 的值域为 , (2)若()x f 是(,)-∞+∞上的减函数,则实数a 的取值范围是 .
13、已知直线l ：4mx y -=,若直线l 被圆C ：2
2
280x y y +--=截得的弦长为4，则m 的值为 ．
14、已知0,>∈b R a ，且1)(=⋅+b b a ，则a +
2a b
+的最小值是 15、已知向量OB OA ,为单位向量，且4
1
=
⋅OB OA ，,点C 是向量OB OA ,的夹角内一点，4||=OC ，2
7
=⋅OC OB ．若数列}{n a 满足a a a a n n
n 112)1(3++=+，则=4a ． 三、解答题（共5小题，共74分）
16、（本题14分）已知∆ABC 中角,,A B C 对边分别为,,a b c ,且满足c b C a +=+)6
sin(2π
．
（Ⅰ）求A 的值； （Ⅱ）若32,4
-=-=a b B π
,求∆ABC 的面积．
数学
17、（本题15分）
在三棱锥O－ABC中，已知OA，OB，OC两两垂直。
OA=2，
，直线AC与平面OBC所成的角为45°.
（I）求证：OB⊥AC；
（II）求二面角O－AC－B的大小。
O C
B
（第17题图）
18．(本题15分)设函数ax－b|，a，b∈R..
（I）当a=0，b=1时，写出函数f(x)的单调区间；
（II）当a=1
2
时，求函数f(x)在[0，4]上的最大值
19、（本小题满分15分）已数列{}
n
a满足,4
,1
2
1
=
=a
a()+
+
+
∈
-
=N
n
a
a
a
n
n
n
,
2
3
1
2
.
（Ⅰ）求证:数列{}
n
n
a
a-
+1
是等比数列;
（Ⅱ）求数列{}
n
a的通项公式
n
a;
20.（本小题满分15分）在平面直角坐标系xoy 中,已知12,F F 分别是椭圆
()01:22
22>>=+b a b y a x G 的左、右焦点，椭圆G 与抛物线x y 42-=有一个公共的焦点,
且过点⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-1,26. (Ⅰ)求椭圆G 的方程; (Ⅱ) 设点P 是椭圆G 在第一象限上的任一点,连接21,PF PF ,过P 点作斜率为k 的直线l ,使得l 与椭圆G 有且只有一个公共点,设直线21,PF PF 的斜率分别为21,k k ,试证明
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+21
111k k k 为定值,并求出这个定值.。