2020新高考数学二轮培优新方案课件：题型篇专题三第一讲小题考法——空间几何体与空间位置关系

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2020浙江新高考数学二轮复习课件：第1部分解答题审题技巧

者服用 A 药，记录他们日平均增加
的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间
0.6
1.2
2.7
1.5
2.8
1.8
2.2
2.3
3.2
3.5
2.5
2.6
1.2
2.7
1.5
2.9
3.0
3.1
2.3
6， 13
所以四棱锥 B-AA1C1D 的体积 V＝13×12(A1C1＋AD)·AA1·BE＝16×32 13×2× 613＝3.
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第1部分热考题型解法指导
12
三审结构结构是数学问题的搭配形式，某些问题在已知的数式结构中常常隐含着某种特殊的关系．审视结构要对结构进行分析、加工和转化，以实现解题突破．
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第1部分热考题型解法指导
15
(2)在△ABC 中，sin B＝ 1－cos2B＝492，
由正弦定理得
sin
A＝asibn
B＝2
2 3.
因为 a＝c，所以 A 为锐角．
所以 cos A＝ 1－sin2A＝13.
因此
sin(A－B)＝sin
Acos
B－cos
Asin
B＝1027
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第1部分热考题型解法指导
8
[典型例题] (2019·杭州模拟)如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，侧棱 AA1⊥底面 ABC，AB⊥BC，D 为 AC 的中点，AA1＝AB＝2，BC＝3. (1)求证：AB1∥平面 BC1D； (2)求四棱锥 B-AA1C1D 的体积．

2020新课标高考数学二轮讲义：第一部分第1讲选择、填空题的4种特殊解法

第1讲选择、填空题的4种特殊解法方法一特值(例)排除法方法诠释使用前提使用技巧常见问题特例法是根据题设和各选项的具体情况和特点，选取满足条件的特殊的数值、特殊的点、特殊的例子、特殊的图形、特殊的位置、特殊的函数、特殊的方程、特殊的数列等，针对各选项进行代入对照，结合排除法，从而得到正确的答案．满足当一般性结论成立时，对符合条件的特殊化情况也一定成立．找到满足条件的合适的特殊化例子，或举反例排除，有时甚至需要两次或两次以上特殊化例子才可以确定结论．求范围、比较大小、含字母求值、恒成立问题、任意性问题等．而对于函数图象的判别、不等式、空间线面位置关系等不宜直接求解的问题，常通过排除法解决.真题示例技法应用(2019·高考全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sin x＋xcos x＋x2在[－π，π]的图象大致为()取特殊值x＝π，结合函数的奇偶性进行排除，答案选D.答案：D(2019·高考全国卷Ⅱ)若a>b，则()A.ln(a－b)>0B．3a<3bC.a3－b3>0 D．|a|>|b|取a＝－1，b＝－2，则a>b，可验证A，B，D错误，只有C正确.答案：C(2018·高考全国卷Ⅲ)函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为()当x＝0时，y＝2，排除A，B；当x＝0.5时，x2>x4，所以此时y>2，排除C，故选D.答案：D(2017·高考全国卷Ⅰ)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝2，则cos⎝⎛⎭⎫α－π4＝__________.取角α终边上的特殊点(1，2)，利用定义代入计算，求sin α，cos α.答案为31010.答案：31010(2017·高考全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是()A．[－2，2]B．[－1，1]C．[0，4] D．[1，3]当x＝4时，f(x－2)＝f(2)<f(1)＝－1，不满足；当x＝3时，f(x－2)＝f(1)＝－1，满足．所以选D.答案：D1．设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log2[4（x－1）]，x≥2，⎝⎛⎭⎫12x＋1，x<2，若f(x0)>3，则x0的取值范围为() A．(－∞，0)∪(2，＋∞)B．(0，2)C．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D．(－1，3)详细分析：选C.取x0＝1，则f(1)＝12＋1＝32<3，故x0≠1，排除B，D；取x0＝3，则f(3)＝log28＝3，故x0≠3，排除A.故选C.2．如果a1，a2，a3，…，a n为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则下列关系正确的为()A．a1a8>a4a5B．a1a8<a4a5C．a1＋a8>a4＋a5D．a1a8＝a4a5详细分析：选B.取特殊数列，不妨设a n ＝n ，则a 1＝1，a 4＝4，a 5＝5，a 8＝8，经检验，只有选项B 成立．3．函数f (x )＝|1－x 2|1－|x |的图象是( )详细分析：选C.因为x ≠±1，所以排除A ；因为f (0)＝1，所以函数f (x )的图象过点(0，1)，排除D ；因为f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪1－⎝⎛⎭⎫1221－⎪⎪⎪⎪12＝32，所以排除B ，故选C. 4．如图，点P 为椭圆x 225＋y 29＝1上第一象限内的任意一点，过椭圆的右顶点A 、上顶点B分别作y 轴、x 轴的平行线，它们相交于点C ，过点P 引BC ，AC 的平行线交AC 于点N ，交BC 于点M ，交AB 于D 、E 两点，记矩形PMCN 的面积为S 1，三角形PDE 的面积为S 2，则S 1∶S 2＝( )A ．1B ．2C ．12D ．13详细分析：选A.不妨取点P ⎝⎛⎭⎫4，95，则可计算S 1＝⎝⎛⎭⎫3－95×(5－4)＝65，由题易得PD ＝2，PE ＝65，所以S 2＝12×2×65＝65，所以S 1∶S 2＝1.5．若函数y ＝f (x )对定义域D 中的每一个x 1，都存在唯一的x 2∈D ，使f (x 1)·f (x 2)＝1成立，则称f (x )为“影子函数”，有下列三个命题：( )①“影子函数”f (x )的值域可以是R ； ②“影子函数”f (x )可以是奇函数；③若y ＝f (x )，y ＝g (x )都是“影子函数”，且定义域相同，则y ＝f (x )·g (x )是“影子函数”．上述命题正确的序号是( ) A ．① B ．② C ．③D ．②③详细分析：选B.对于①：假设“影子函数”的值域为R ，则存在x 1，使得f (x 1)＝0，此时不存在x 2，使得f (x 1)f (x 2)＝1，所以①错；对于②：函数f (x )＝x (x ≠0)，对任意的x 1∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，取x 2＝1x 1，则f (x 1)f (x 2)＝1，又因为函数f (x )＝x (x ≠0)为奇函数，所以“影子函数”f (x )可以是奇函数，②正确；对于③：函数f (x )＝x (x >0)，g (x )＝1x (x >0)都是“影子函数”，但F (x )＝f (x )g (x )＝1(x >0)不是“影子函数”(因为对任意的x 1∈(0，＋∞)，存在无数多个x 2∈(0，＋∞)，使得F (x 1)·F (x 2)＝1)，所以③错．综上，应选B.6．(一题多解)已知E 为△ABC 的重心，AD 为BC 边上的中线，令AB →＝a ，AC →＝b ，过点E 的直线分别交AB ，AC 于P ，Q 两点，且AP →＝m a ，AQ →＝n b ，则1m ＋1n＝( )A ．3B ．4C ．5D ．13详细分析：选A.由于直线PQ 是过点E 的一条“动”直线，所以结果必然是一个定值．故可利用特殊直线确定所求值．法一：如图1，令PQ ∥BC ，则AP →＝23AB →，AQ →＝23AC →，此时，m ＝n ＝23，故1m ＋1n＝3.故选A.法二：如图2，直线BE 与直线PQ 重合，此时，AP →＝AB →，AQ →＝12AC →，故m ＝1，n ＝12，所以1m ＋1n＝3.故选A.7．如图，在三棱柱的侧棱A 1A 和B 1B 上各有一动点P ，Q 满足A 1P ＝BQ ，过P ，Q ，C 三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( )A ．3∶1B ．2∶1C ．4∶1D ．3∶1详细分析：选B.将P ，Q 置于特殊位置：P →A 1，Q →B ，此时仍满足条件A 1P ＝BQ (＝0)，则有VC AA 1B ＝VA 1ABC ＝VABC A 1B 1C 13.因此过P 、Q 、C 三点的截面把棱柱分成体积比为2∶1的两部分．8．已知AD ，BE 分别是△ABC 的中线，若|AD →|＝|BE →|＝1，且AD →与BE →的夹角为120°，则AB →·AC →＝________．详细分析：若△ABC 为等边三角形，则|AB →|＝233，所以AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos 60°＝23.答案：23方法二验证法方法诠释使用前提使用技巧常见问题验证法是把选项代入题干中进行检验，或反过来从题干中找合适的验证条件，代入各选项进行检验，从而可否定错误选项而得到正确选项的一种方法. 存在唯一正确选项.可以结合特例法、排除法等先否定一些明显错误的选项，再选择直觉认为最有可能的选项进行验证，这样可以快速获得答案.题干信息不全、选项是数值或范围、正面求解或计算烦琐的问题等.真题示例技法应用(2017·高考山东卷)若a >b >0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A.a ＋1b <b2a <log 2(a ＋b )B.b 2a <log 2(a ＋b )<a ＋1bC.a ＋1b <log 2(a ＋b )<b 2aD.log 2(a ＋b )<a ＋1b <b 2a因为a ＞b ＞0，ab ＝1，所以取a ＝2，b ＝12，此时a ＋1b ＝4，b 2a ＝18，log 2(a ＋b )＝log 25－1≈1.3，所以b 2a ＜log 2(a ＋b )＜a ＋1b .故选B. 答案：B(2018·高考北京卷)设集合A ＝{(x ，y )|x －y ≥1，ax ＋y >4，x －ay ≤2}，则( ) A.对任意实数a ，(2，1)∈A B.对任意实数a ，(2，1)∉A C.当且仅当a <0时，(2，1)∉A D.当且仅当a ≤32时，(2，1)∉A对a 取数字验证．a ＝0时，A 错；a ＝2时，B 错；a ＝32时，C 错．所以选D. 答案：D(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( )A.f (x )的最小正周期为π，最大值为3B.f (x )的最小正周期为π，最大值为4C.f (x )的最小正周期为2π，最大值为3D.f (x )的最小正周期为2π，最大值为4当sin x ＝0，cos x ＝1时，函数值为4，所以A ，C 错；把x ＋π代入验证，可得f (x ＋π)＝f (x )，说明D 错．故选B. 答案：B(2018·高考全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( ) A.y ＝ln(1－x ) B ．y ＝ln(2－x ) C.y ＝ln(1＋x )D ．y ＝ln(2＋x )函数y ＝ln x 的图象过定点(1，0)，而(1，0)关于直线x ＝1对称的点还是(1，0)，将(1，0)代入选项验证. 答案：B(2017·高考全国卷Ⅰ)设A 、B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A.(0，1]∪[9，＋∞) B ．(0，3]∪[9，＋∞) C.(0，1]∪[4，＋∞)D ．(0，3]∪[4，＋∞)选取四个选项的差异值m ＝3，m ＝4代入验证. 答案：A1．下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是( ) A ．y ＝－1xB ．y ＝－log 2xC ．y ＝3xD ．y ＝x 3＋x详细分析：选D.y ＝－1x 在(0，＋∞)，(－∞，0)上单调递增，但是在整个定义域内不是单调递增函数，故A 错误；y ＝－log 2x 的定义域(0，＋∞)关于原点不对称，不是奇函数，故B 错误； y ＝3x 不是奇函数，故C 错误；令f (x )＝y ＝x 3＋x ，f (－x )＝(－x )3＋(－x )＝－x 3－x ＝－f (x )，是奇函数，且由幂函数的性质可知函数在R 上单调递增，故D 正确，故选D.2．下列函数为偶函数的是( ) A ．y ＝x 2sin x B ．y ＝x 2cos x C ．y ＝|ln x |D ．y ＝2－x详细分析：选B.因为y ＝x 2是偶函数，y ＝sin x 是奇函数，y ＝cos x 是偶函数，所以A 选项为奇函数，B 选项为偶函数；C 选项中函数图象是把对数函数y ＝ln x 的图象在x 轴下方部分翻折到x 轴上方，其余部分的图象保持不变，故为非奇非偶函数；D 选项为指数函数y ＝(12)x ，是非奇非偶函数．故选B.3．设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3，则下列结论错误的是( ) A ．f (x )的一个周期为－πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2π3对称C ．f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2的一个零点为x ＝－π3D ．f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减详细分析：选C.f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的周期为T ＝k π，所以A 对；当x ＝2π3时，2x －π3＝π，cos π＝－1，所以B 对；f (x ＋π2)＝cos(2x ＋2π3)，x ＝－π3时，2x ＋2π3＝0，cos 0＝1≠0，所以C 错；x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤π3，2π3，y ＝cos x 在⎣⎡⎦⎤π3，2π3上递减，所以D 对．故选C. 4．已知函数f (x )＝1x －a 为奇函数，g (x )＝ln x －2f (x )，则函数g (x )的零点所在区间为( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)详细分析：选C.函数f (x )＝1x －a为奇函数，可得a ＝0，则g (x )＝ln x －2f (x )＝ln x －2x ，显然函数g (x )为增函数，且有g (1)＝ln 1－2＝－2<0，g (2)＝ln 2－1<0，g (3)＝ln 3－23>0，g (4)＝ln 4－12>0，g (2)g (3)<0，故函数g (x )的零点所在区间为(2，3)，故选C.5．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(其中ω>0)图象的一条对称轴为直线x ＝π12，则ω的最小值为( )A ．2B ．4C ．10D ．16详细分析：选B.(从选项验证)若ω＝2，则当x ＝π12时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋π6＝32，不符合题意；若ω＝4，则当x＝π12时，f(x)＝sin⎝⎛⎭⎫4×π12＋π6＝1，符合题意，所以ω的最小值为4.6．已知函数f(x)＝－x3－7x＋sin x，若f(a2)＋f(a－2)>0，则实数a的取值范围是() A．(－∞，1) B．(－∞，3)C．(－1，2) D．(－2，1)详细分析：选D.(从选项验证)若a＝1，则f(a2)＋f(a－2)＝f(1)＋f(－1)＝0，不满足f(a2)＋f(a－2)>0，所以B，C错；若a＝－2，则f(a2)＋f(a－2)＝f(4)＋f(－4)＝0，也不满足f(a2)＋f(a －2)>0，所以A错．故选D.方法三估算法方法诠释使用前提使用技巧常见问题由于选择题提供了唯一正确的答案，又不需写出过程，因此可以通过猜测、合情推理、估算获得答案，这样往往可以减少运算量．估算省去了很多推导过程和复杂的计算，节省时间.针对一些复杂的、不易准确求值的与计算有关的命题，常与特值法结合起来使用.对于数值计算，常采用放缩估算、整体估算、近似估算、特值估算等；对于几何体问题，常进行分割、拼凑、位置估算.求几何体的表面积、几何体的体积、三角函数的值、离心率、参数的范围等.真题示例技法应用(2019·高考全国卷Ⅰ)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5－12(5－12≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5－12.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是()A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm 设某人身高为m cm，脖子下端至肚脐的长度为n cm，则由腿长为105 cm，可得m－105105>5－12≈0.618，解得m>169.890.由头顶至脖子下端的长度为26 cm，可得26n>5－12≈0.618，解得n<42.071.由已知可得26＋nm－（n＋26）＝5－12≈0.618，解得m<178.218. 综上，此人身高m满足169.890<m<178.218，所以其身高可能为175 cm.故选B.答案：B(2019·高考全国卷Ⅰ)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则()A．a<b<c B．a<c<bC．c<a<b D．b<c<a 因为a＝log20.2<0，b＝20.2>1，0<c＝0.20.3<1，所以b>c>a.故选B.答案：B(2018·高考全国卷Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D-ABC体积的最大值为()A．12 3 B．18 3C．24 3 D．54 3 等边三角形ABC的面积为93，显然球心不是此三角形的中心，所以三棱锥体积最大时，三棱锥的高应在区间(4，8)内，所以13×93×4<V DABC<13×93×8，即123<V DABC<243，故选B.答案：B(2017·高考全国卷Ⅲ)函数f(x)＝15sin(x＋π3)＋cos(x－π6)的最大值为()A．65B．1C．35D．15当x＝π6时，函数值大于1，故选A.答案：A(2017·高考全国卷Ⅱ)若a＞1，则双曲线x2a2－y2＝1的离心率的取值范围是()A．(2，＋∞) B．(2，2)C．(1，2) D．(1，2)列出关于e的表达式，用a表示，根据a>1，估算e的范围．答案为C.答案：C1．已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝log1213，则a，b，c的大小关系为() A．a>b>c B．b>a>cC．c>b>a D．c>a>b详细分析：选D.a＝log2e>1，b＝ln 2＝1log2e∈(0，1)，c＝log1213＝log23>log2e，据此可得c>a>b.故选D.2．某班设计了一个八边形的班徽(如图所示)，它由四个腰长为1，顶角为α的等腰三角形和一个正方形组成，则该八边形的面积为()A ．2sin α－2cos α＋2B ．sin α－3cos α＋3C ．3sin α－3cos α＋1D ．2sin α－cos α＋1详细分析：选A.当顶角α→π时，八边形几乎是边长为2的正方形，面积接近于4，四个选项中，只有A 符合，故选A.3．P 为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)右支上的一点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，则△PF 1F 2的内切圆圆心的横坐标为( )A ．aB ．bC ．a 2＋b 2D ．a ＋b －a 2＋b 2详细分析：选A.如图，点P 沿双曲线向右顶点无限接近时，△PF 1F 2的内切圆越来越小，直至“点圆”，此“点圆”应为右顶点，则内切圆圆心的横坐标为a ，故选A.4．若0<α<β<π4，sin α＋cos α＝a ，sin β＋cos β＝b ，则( )A ．a <bB ．a >bC ．ab <1D ．ab >2详细分析：选A.若α→0，则sin α＋cos α＝a →1.若β→π4，则sin β＋cos β＝b →2，从而b >a ，结合选项分析，应选A.5．如图，在多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF ＝32，EF 与平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为( )A ．92B ．5C ．6D ．152详细分析：选D.连接BE，CE，四棱锥E-ABCD的体积为V EABCD＝13×3×3×2＝6，多面体ABCDEF的体积大于四棱锥E-ABCD的体积，即所求几何体的体积V>V EABCD＝6，而四个选项里面大于6的只有152，故选D.方法四构造法方法诠释使用前提使用技巧常见问题构造法是一种创造性的解题方法，它很好地体现了数学中的发散、类比、转化思想．利用已知条件和结论的特殊性构造函数、数列、方程或几何图形等，从而简化推理与计算过程，使较复杂的或不易求解的数学问题简单化.构造法来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从类似的问题中找到构造的灵感.所构造的函数、方程、图形等要合理，不能超出原题的限制条件.对于不等式、方程、函数问题常采用构造新函数，对于不规则的几何体常构造成规则几何体处理.比较大小、函数导数问题、不规则的几何体问题等.真题示例技法应用(2019·高考全国卷Ⅰ)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，P A＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是P A，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为()A.86πB．46πC．26πD．6π由∠CEF＝90°，可得EC，利用余弦定理可求P A＝PB＝PC＝2⇒P A⊥PB⊥PC，利用外接球的直径是由该几何体补成的正方体的体对角线求R，可得球的体积.答案：D(2019·高考天津卷)设x>0，y>0，x＋2y＝5，则（x＋1）（2y＋1）xy的最小值为________.首先把待求式子的分子展开，再把已知条件代入，化简后构造使用基本不等式的条件，由基本不等式即可求解.答案：4 3(2018·高考全国卷Ⅱ)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝3，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A.15B．56C．55D．22在长方体ABCD-A1B1C1D1的面ABB1A1的一侧再补填一个完全一样的长方体ABC2D2A1B1B2A2，研究△AB2D1即可.答案：C(2016·高考全国卷Ⅱ)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)构造正方体，将有关棱与面看作问题中有关线与面，逐一判断.答案：②③④(2016·高考全国卷Ⅰ)若a＞b＞0，0＜c＜1，则()A.log a c<log b c B．log c a<log c bC.a c<b c D．c a>c b构造函数y＝log c x和y＝x c，利用函数的单调性可解决.答案：B(2015·高考全国卷Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()A.(－∞，－1)∪(0，1)B．(－1，0)∪(1，＋∞)C.(－∞，－1)∪(－1，0) D．(0，1)∪(1，＋∞)据题意构造新函数g(x)＝f（x）x，先求导再解题.答案：A1．已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，满足f′(x)<f(x)，且f(x＋2)为偶函数，f(4)＝1，则不等式f(x)<e x的解集为()A ．(－2，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)详细分析：选B.因为f (x ＋2)为偶函数，所以f (x ＋2)的图象关于直线x ＝0对称，所以f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以f (0)＝f (4)＝1.设g (x )＝f （x ）ex (x ∈R )，则g ′(x )＝f ′（x ）e x －f （x ）e x （e x ）2＝f ′（x ）－f （x ）e x .又f ′(x )<f (x )，所以g ′(x )<0(x ∈R )，所以函数g (x )在定义域上单调递减．因为f (x )<e x ⇔f （x ）e x <1，而g (0)＝f （0）e0＝1，所以f (x )<e x ⇔g (x )<g (0)，所以x >0.故选B. 2．已知m ，n ∈(2，e)，且1n 2－1m 2<ln mn ，则( )A ．m >nB ．m <nC ．m >2＋1nD ．m ，n 的大小关系不确定详细分析：选A.由不等式可得1n 2－1m 2<ln m －ln n ，即1n 2＋ln n <1m 2＋ln m ．设f (x )＝1x 2＋lnx (x ∈(2，e))，则f ′(x )＝－2x 3＋1x ＝x 2－2x3.因为x ∈(2，e)，所以f ′(x )>0，故函数f (x )在(2，e)上单调递增．因为f (n )<f (m )，所以n <m .故选A.3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 5＝7，S 10＝21，则S 15＝( ) A ．35 B ．42 C ．49D ．63详细分析：选B.易知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等差数列，即7，14，S 15－21成等差数列，所以7＋(S 15－21)＝2×14，解得S 15＝42.选B.4.在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图所示，在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且AB ＝BC ＝CD ，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为( )A ．12B ．－12C ．32D ．－32详细分析：选A.由题意，可补成正方体，如图，异面直线AC 与BD 所成角就是ED 与BD 所成角，而△BDE 为等边三角形，所以ED 与BD 所成角为π3，cos π3＝12.故选A.5．设函数f (x )的导函数为f ′(x )，且对任意x ∈R 都有f ′(x )>f (x )成立，则( ) A ．3f (ln 2)>2f (ln 3) B ．3f (ln 2)＝2f (ln 3) C ．3f (ln 2)<2f (ln 3)D ．3f (ln 2)与2f (ln 3)的大小关系不确定详细分析：选C.令g (x )＝f （x ）e x ，则g ′(x )＝f ′（x ）e x －f （x ）e x e 2x ＝f ′（x ）－f （x ）e x.因为对任意x ∈R 都有f ′(x )>f (x )成立，所以g ′(x )>0，即g (x )在R 上单调递增．又ln 2<ln 3，所以g (ln 2)<g (ln 3)，即f （ln 2）e ln 2<f （ln 3）e ln 3，即f （ln 2）2<f （ln 3）3，所以3f (ln 2)<2f (ln 3)．故选C.6．已知三棱锥P -ABC ，P A ＝BC ＝234，PB ＝AC ＝10，PC ＝AB ＝241，则三棱锥P -ABC 的体积为________．详细分析：如图所示，把三棱锥P -ABC 补成一个长方体AEBG FPDC ，易知三棱锥P -ABC 的各棱分别是长方体的面对角线，不妨令PE ＝x ，EB ＝y ，EA ＝z ，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝100，x 2＋z 2＝136，y 2＋z 2＝164，解得x ＝6，y ＝8，z ＝10.从而V 三棱锥P -ABC ＝V 长方体AEBG -FPDC －V 三棱锥P -AEB －V 三棱锥C -ABG －V 三棱锥B -PDC －V 三棱锥A -FPC＝V 长方体AEBG -FPDC －4V 三棱锥P -AEB ＝6×8×10－4×13×12×10×8×6＝160. 故所求三棱锥P -ABC 的体积为160. 答案：160。

2020版高考数学二轮复习第2部分专题3概率与统计第1讲概率、随机变量及其分布教案理(最新整理)

第1讲概率、随机变量及其分布［做小题——激活思维］1．若随机变量X的分布列如表所示，E(X）＝1。

6,则a－b＝( ）X0123P0。

1a b0。

1A．0.2C．0。

8 D．－0。

8B［由0。

1＋a＋b＋0.1＝1,得a＋b＝0。

8,又由E(X)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0。

1＝1。

6，得a＋2b＝1.3，解得a＝0。

3,b＝0.5，则a－b＝－0。

2.］2．已知甲在上班途中要经过两个路口,在第一个路口遇到红灯的概率为0。

5,两个路口连续遇到红灯的概率为0。

4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为( )A．0。

6 B．0.7C．0.8 D．0。

9C［记“第一个路口遇到红灯"为事件A，“第二个路口遇到红灯”为事件B，则P（A）＝0.5，P（AB)＝0。

4，则P（B｜A)＝错误!＝0.8，故选C。

]3．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为错误!和错误!,两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ）A。

错误!B。

错误!C。

14D。

错误!B［设事件A：甲实习生加工的零件为一等品；事件B：乙实习生加工的零件为一等品，且A，B相互独立，则P(A)＝错误!,P(B）＝错误!，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为P(A错误!)＋P（错误!B)＝P（A)P（错误!）＋P(错误!）P(B）＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!。

］4．设随机变量X~B(2，p），Y～B（4，p)，若P（X≥1）＝错误!,则P(Y≥1）＝( ）A.错误!B。

错误!C。

错误!D．1C[∵X～B(2，p），∴P（X≥1）＝1－P(X＝0）＝1－C错误!（1－p)2＝错误!，解得p＝错误!,∴P(Y≥1）＝1－P（Y＝0)＝1－C0，4（1－p)4＝1－错误!＝错误!，故选C.］5．罐中有6个红球和4个白球，从中任取1球,记住颜色后再放回，连续取4次,设X为取得红球的次数，则X的方差D（X）的值为________．错误!［因为是有放回地取球，所以每次取球（试验）取得红球（成功）的概率均为错误!，连续取4次(做4次试验），X为取得红球（成功）的次数,则X~B错误!，∴D(X）＝4×错误!×错误!＝错误!.]6．已知某批零件的长度误差（单位：毫米)服从正态分布N（0,32)，从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6）内的概率为________．（附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2），则P(μ－σ＜X＜μ＋σ）＝0。

2020版高考数学大二轮培优理科通用版课件：专题三第1讲等差数列与等比数列

�� +1
=
2�� ,即
��
bn+1=2bn,又
b1=1,所以{bn}是首项为
1,
公比为 2 的等比数列.
③由②可得��
��
=2n-1,所以
an=n·2n-1.
考点1 考点2 考点3
(3)①证明:因为 an=Sn-Sn-1(n≥2),
所以 Sn-2(Sn-Sn-1)=n-4(n≥2),
则 Sn=2Sn-1-n+4(n≥2),
所以 Sn-n+2=2[Sn-1-(n-1)+2](n≥2),
又由题意知 a1-2a1=-3,所以 a1=3,则 S1-1+2=4,
所以{Sn-n+2}是首项为 4,公比为 2 的等比数列.
②解:由①知 Sn-n+2=2n+1,所以 Sn=2n+1+n-2,
∴S5=��1
(1-�� 1-��
5
)
=
13(1-35 ) 1-3
=
1231.
答案:121
3
4.(2019 全国Ⅲ,理 14)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和.若
a1≠0,a2=3a1,则��150 =
.
解析:设等差数列{an}的公差为 d.
∵a1≠0,a2=3a1,∴a1+d=3a1,即 d=2a1.
与综合
分);
Ⅲ Ⅰ Ⅱ 2018 Ⅲ
5,14
等比数列基本量的计算; 等差数列基本量的计算
等差数列基本量的计 4,14 算;an 与 Sn 关系的应用

2020版高考数学二轮复习第1部分主题3排列、组合、二项式定理课件理

分别为 an，bn，则ab11＋＋ab22＋＋… …＋＋abnn＝(
)
A．2n－1＋3
B．2(2n－1＋1)
C．2n＋1
D．1
C [二项式x－12n(n∈N*)展开式的二项式系数和为 2n，各项系数和为1－12n＝21n，则 an＝2n，bn＝21n，ab11＋＋ab22＋＋… …＋＋abnn＝212－n－21n1＝ 2n＋1，故选 C.]
到 A 班的分法种数为( )
A．6
B．12
C．24
D．36
B [甲和另一个人一起分到 A 班有 C13A22＝6 种分法；甲一个人分到 A 班的方法有：C23A22＝6 种分法，共有 12 种分法，故选 B.]
3． 5位同学站成一排照相，其中甲与乙必须相邻，且甲不能站在
两端的排法总数是( )
A．40
1 260 [若取的 4 个数字不包括 0，则可以组成的四位数的个数为 C25C23A44；若取的 4 个数字包括 0，则可以组成的四位数的个数为 C25C13C13A33.综上，一共可以组成的没有重复数字的四位数的个数为 C25 C23A44＋C25C13C13A33＝720＋540＝1 260.]
第一部分自习篇主题三排列、组合、二项式定理
1．排列与组合
解决排列与组合问题应注意3点 (1)“分类”与“分步”要明确，保证分类要不重不漏，分步要环环相扣，如T1，T4. (2)分组分配中提防 “均分”问题，避免重复计数，如T2.
(3)关注限制条件，采用特殊元素(位置)优先安置的策略，如：相邻问题捆绑法；间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法等等．如 T3，T4，T5.

(新高考)2020版高考数学二轮复习第一部分思想方法数学思想方法第1讲函数与方程思想课件理

方法点睛
(1)对于方程有解、不等式恒成立问题或存在性问题，往往可以分离参数，然后再构造函数，把问题转化为求函数的值域或最值问题来解决．
(2)不等式有解、恒成立求参数的方法： g(a)>f(x)恒成立，则 g(a)>f(x)max. g(a)<f(x)恒成立，则 g(a)<f(x)min. g(a)>f(x)有解，则 g(a)>f(x)min. g(a)<f(x)有解，则 g(a)<f(x)max. (3)分离参数法是求参数范围的常用方法，恰当合理的参变分离有助于问题的解决，有时需要分类讨论．
B．(1，＋∞) D．(0,1)
解析：构造函数 g(x)＝ln xf(x)(x>0)，则 g′(x)＝1xf(x)＋ln xf′(x)＝fx＋xlnx xf′x>0，所以函数 g(x)＝ln xf(x)在(0，＋∞)上单调递增，而lfnxx>0⇔ln xf(x)>0⇔g(x)>0⇔g(x)>g(1) ⇒x>1，故选 B.
2asinC＝ 3c，a＝1，则△ABC 的周长的最大值为( C )
A. 3＋1
B. 2＋1
C．3
D．4
解析：∵2asin C＝ 3c，
∴2sin Asin C＝
3sin
C，∴sin
A＝
3 2.
∵△ABC 为锐角三角形，∴A＝π3.
由正弦定理，得sinb
B＝sinc
C＝sina
A＝
2， 3
∴b＝ 23sin B，c＝ 23sin C，
A. 2－1
B. 3－1
C．0
D．2
解析：如图，∵A→B·A→D＝－1，AB＝2，AD＝1， ∴|A→B|·|A→D|cos∠BAD＝－1， ∴2cos∠BAD＝－1，cos∠BAD＝－12， ∴∠BAD＝120°.

2020新高考数学二轮复习全套教案精品

专题01集合与常用逻辑用语集合概念及其基本理论，是近代数学最基本的内容之一，集合的语言、思想、观点渗透于中学数学内容的各个分支．有关常用逻辑用语的常识与原理始终贯穿于数学的分析、推理与计算之中，学习关于逻辑的有关知识，可以使我们对数学的有关概念理解更透彻，表达更准确．关注本专题内容在其他各专题中的应用是学习这一专题内容时要注意的．§1－1集合【知识要点】1．集合中的元素具有确定性、互异性、无序性．2．集合常用的两种表示方法：列举法和描述法，另外还有大写字母表示法，图示法(韦恩图)，一些数集也可以用区间的形式表示．3．两类不同的关系：(1)从属关系——元素与集合间的关系；(2)包含关系——两个集合间的关系(相等是包含关系的特殊情况)．4．集合的三种运算：交集、并集、补集．【复习要求】1．对于给定的集合能认识它表示什么集合．在中学常见的集合有两类：数集和点集．2．能正确区分和表示元素与集合，集合与集合两类不同的关系．3．掌握集合的交、并、补运算．能使用韦恩图表达集合的关系及运算．4．把集合作为工具正确地表示函数的定义域、值域、方程与不等式的解集等．【例题分析】例1给出下列六个关系：(1)0∈N*(2)0∉{－1，1}(3)∅∈{0}(4)∅∉{0}(5){0}∈{0，1}(6){0}⊆{0}其中正确的关系是______．【答案】(2)(4)(6)【评析】1．熟悉集合的常用符号：不含任何元素的集合叫做空集，记作∅；N表示自然数集；N＋或N*表示正整数集；Z表示整数集；Q表示有理数集；R表示实数集．2．明确元素与集合的关系及符号表示：如果a是集合A的元素，记作：a∈A；如果a不是集合A的元素，记作：a∉A．3．明确集合与集合的关系及符号表示：如果集合A中任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集．记作：A⊆B或B⊇A．如果集合A是集合B的子集，且B中至少有一个元素不属于A，那么，集合A叫做集合B的真子集．A B或B A．4．子集的性质：①任何集合都是它本身的子集：A⊆A；②空集是任何集合的子集：∅⊆A；提示：空集是任何非空集合的真子集．③传递性：如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C；如果A B，B C，则A C．例2已知全集U＝{小于10的正整数}，其子集A，B满足条件(U A)∩(U B)＝{1，9}，A∩B＝{2}，B∩(U A)＝{4，6，8}．求集合A，B．【答案】A＝{2，3，5，7}，B＝{2，4，6，8}．【解析】根据已知条件，得到如图1－1所示的韦恩图，图1－1于是，韦恩图中的阴影部分应填数字3，5，7．故A＝{2，3，5，7}，B＝{2，4，6，8}．【评析】1、明确集合之间的运算对于两个给定的集合A、B，由既属于A又属于B的所有元素构成的集合叫做A、B的交集．记作：A∩B．对于两个给定的集合A、B，把它们所有的元素并在一起构成的集合叫做A、B的并集．记作：A∪B．如果集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合叫做A在U中的补集．记作U A．2、集合的交、并、补运算事实上是较为复杂的“且”、“或”、“非”的逻辑关系运算，而韦恩图可以将这种复杂的逻辑关系直观化，是解决集合运算问题的一个很好的工具，要习惯使用它解决问题，要有意识的利用它解决问题．例3设集合M ＝{x ｜－1≤x ＜2}，N ＝{x ｜x ＜a }．若M ∩N ＝∅，则实数a 的取值范围是______．【答案】(－∞，－1]．【评析】本题可以通过数轴进行分析，要特别注意当a 变化时是否能够取到区间端点的值．象韦恩图一样，数轴同样是解决集合运算问题的一个非常好的工具．例4设a ，b ∈R ，集合},,0{},,1{b aba b a =+，则b －a ＝______．【答案】2【解析】因为},,0{},,1{b a b a b a =+，所以a ＋b ＝0或a ＝0(舍去，否则ab没有意义)，所以，a ＋b ＝0，ab＝－1，所以－1∈{1，a ＋b ，a }，a ＝－1，结合a ＋b ＝0，b ＝1，所以b －a ＝2．练习1－1一、选择题1．给出下列关系：①R ∈21；②2∉Q ；③｜－3｜∉N *；④Q ∈-|3|．其中正确命题的个数是()(A)1(B)2(C)3(D)42．下列各式中，A 与B 表示同一集合的是()(A)A ＝{(1，2)}，B ＝{(2，1)}(B)A ＝{1，2}，B ＝{2，1}(C )A ＝{0}，B ＝∅(D)A ＝{y ｜y ＝x 2＋1}，B ＝{x ｜y ＝x 2＋1}3．已知M ＝{(x ，y )｜x ＞0且y ＞0}，N ＝{(x ，y )｜xy ＞0}，则M ，N 的关系是()(A)M N(B)N M(C)M ＝N(D)M ∩N ＝∅4．已知全集U ＝N ，集合A ＝{x ｜x ＝2n ，n ∈N }，B ＝{x ｜x ＝4n ，n ∈N }，则下式中正确的关系是()(A)U ＝A ∪B (B)U ＝(U A )∪B(C)U ＝A ∪(U B )(D)U ＝(U A )∪(U B )二、填空题5．已知集合A＝{x｜x＜－1或2≤x＜3}，B＝{x｜－2≤x＜4}，则A∪B＝______．6．设M＝{1，2}，N＝{1，2，3}，P＝{c｜c＝a＋b，a∈M，b∈N}，则集合P中元素的个数为______．7．设全集U＝R，A＝{x｜x≤－3或x≥2}，B＝{x｜－1＜x＜5}，则(U A)∩B＝______. 8．设集合S＝{a0，a1，a2，a3}，在S上定义运算⊕为：a i⊕a j＝a k，其中k为i＋j被4除的余数，i，j＝0，1，2，3．则a2⊕a3＝______；满足关系式(x⊕x)⊕a2＝a0的x(x∈S)的个数为______．三、解答题9．设集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，C＝{2，3，4}，求(A∩B)∪C．10．设全集U＝{小于10的自然数}，集合A，B满足A∩B＝{2}，(U A)∩B＝{4，6，8}，(U A)∩(U B)＝{1，9}，求集合A和B．11．已知集合A＝{x｜－2≤x≤4}，B＝{x｜x＞a}，①A∩B≠∅，求实数a的取值范围；②A∩B≠A，求实数a的取值范围；③A∩B≠∅，且A∩B≠A，求实数a的取值范围．§1－2常用逻辑用语【知识要点】1．命题是可以判断真假的语句．2．逻辑联结词有“或”“且”“非”．不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题．可以利用真值表判断复合命题的真假．3．命题的四种形式原命题：若p则q．逆命题：若q则p．否命题：若⌝p，则⌝q．逆否命题：若⌝q，则⌝p．注意区别“命题的否定”与“否命题”这两个不同的概念．原命题与逆否命题、逆命题与否命题是等价关系．4．充要条件如果p⇒q，则p叫做q的充分条件，q叫做p的必要条件．如果p⇒q且q⇒p，即q⇔p则p叫做q的充要条件，同时，q也叫做p的充要条件．5．全称量词与存在量词【复习要求】1．理解命题的概念．了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．2．了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．3．理解全称量词与存在量词的意义．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．【例题分析】例1分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“⌝p”形式的复合命题，并判断它们的真假．(1)p：0∈N，q：1∉N；(2)p：平行四边形的对角线相等，q：平行四边形的对角线相互平分．【解析】(1)p∨q：0∈N，或1∉N；p∧q：0∈N，且1∉N；⌝p：0∉N．因为p真，q假，所以p∨q为真，p∧q为假，⌝p为假．(2)p∨q：平行四边形的对角线相等或相互平分．p∧q：平行四边形的对角线相等且相互平分．⌝p：存在平行四边形对角线不相等．因为p假，q真，所以p∨q为真，p∧q为假，⌝p为真．【评析】判断复合命题的真假可以借助真值表．例2分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假．(1)若a2＋b2＝0，则ab＝0；(2)若A∩B＝A，则A B．【解析】(1)逆命题：若ab＝0，则a2＋b2＝0；是假命题．否命题：若a2＋b2≠0，则ab≠0；是假命题．逆否命题：若ab≠0，则a2＋b2≠0；是真命题．(2)逆命题：若A B，则A∩B＝A；是真命题．否命题：若A∩B≠A，则A不是B的真子集；是真命题．逆否命题：若A不是B的真子集，则A∩B≠A．是假命题．【评析】原命题与逆否命题互为逆否命题，同真同假；逆命题与逆否命题也是互为逆否命题．例3指出下列语句中，p是q的什么条件，q是p的什么条件．(1)p：(x－2)(x－3)＝0；q：x＝2；(2)p：a≥2；q：a≠0．【解析】由定义知，若p⇒q且q p，则p是q的充分不必要条件；若p q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；若p⇒q且q⇒p，p与q互为充要条件．于是可得(1)中p是q的必要不充分条件；q是p的充分不必要条件．(2)中p是q的充分不必要条件；q是p的必要不充分条件．【评析】判断充分条件和必要条件，首先要搞清楚哪个是条件哪个是结论，剩下的问题就是判断p与q之间谁能推出谁了．例4设集合M＝{x｜x＞2}，N＝{x｜x＜3}，那么“x∈M或x∈N”是“x∈M∩N”的()(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)非充分条件也非必要条件【答案】B【解析】条件p：x∈M或x∈N，即为x∈R；条件q：x∈M∩N，即为{x∈R｜2＜x＜3}．又R{x∈R｜2＜x＜3}，且{x∈R｜2＜x＜3}⊆R，所以p是q的必要非充分条件，选B．【评析】当条件p和q以集合的形式表现时，可用下面的方法判断充分性与必要性：设满足条件p的元素构成集合A，满足条件q的元素构成集合B，若A⊆B且B A，则p是q的充分非必要条件；若A B且B⊆A，则p是q的必要非充分条件；若A＝B，则p与q互为充要条件．例5命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()(A)不存在x∈R，x3－x2＋1≤0，(B)存在x∈R，x3－x2＋1≤0(C)存在x∈R，x3－x2＋1＞0(D)对任意的x∈R，x3－x2＋1＞0【答案】C【分析】这是一个全称命题，它的否定是一个特称命题．其否定为“存在x∈R，x3－x2＋1＞0．”答：选C．【评析】注意全(特)称命题的否定是将全称量词改为存在量词(或将存在量词改为全称量词)，并把结论否定．练习1－2一、选择题1．下列四个命题中的真命题为()(A)∃x∈Z，1＜4x＜3(B)∃x∈Z，3x－1＝0(C)∀x∈R，x2－1＝0(D)∀x∈R，x2＋2x＋2＞02．如果“p或q”与“非p”都是真命题，那么()(A)q一定是真命题(B)q不一定是真命题(C)p不一定是假命题(D)p与q的真假相同3．已知a为正数，则“a＞b”是“b为负数”的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件4．“A是B的子集”可以用下列数学语言表达：“若对任意的x∈A⇒x∈B，则称A⊆B”．那么“A 不是B 的子集”可用数学语言表达为()(A)若∀x ∈A 但x ∉B ，则称A 不是B 的子集(B)若∃x ∈A 但x ∉B ，则称A 不是B 的子集(C)若∃x ∉A 但x ∈B ，则称A 不是B 的子集(D)若∀x ∉A 但x ∈B ，则称A 不是B 的子集二、填空题5．“⌝p 是真命题”是“p ∨q 是假命题的”__________________条件．6．命题“若x ＜－1，则｜x ｜＞1”的逆否命题为_________．7．已知集合A ，B 是全集U 的子集，则“A ⊆B ”是“U B⊆U A ”的______条件．8．设A 、B 为两个集合，下列四个命题：①A B ⇔对任意x ∈A ，有x ∉B ②A B ⇔A ∩B ＝∅③AB ⇔AB④AB ⇔存在x ∈A ，使得x ∉B其中真命题的序号是______．(把符合要求的命题序号都填上)三、解答题9．判断下列命题是全称命题还是特称命题并判断其真假：(1)指数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被2整除又能被5整除；(3)∃x ∈{x ｜x ∈Z }，log 2x ＞0；(4).041,2≥+-∈∀x x x R 10．已知实数a ，b ∈R ．试写出命题：“a 2＋b 2＝0，则ab ＝0”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断四个命题的真假，说明判断的理由．习题11．命题“若x 是正数，则x ＝｜x ｜”的否命题是()(A)若x 是正数，则x ≠｜x ｜(B)若x 不是正数，则x ＝｜x ｜(C)若x 是负数，则x ≠｜x ｜(D)若x 不是正数，则x ≠｜x ｜2．若集合M 、N 、P 是全集U 的子集，则图中阴影部分表示的集合是()(A)(M ∩N )∪P (B)(M ∩N )∩P(C)(M ∩N )∪(U P )(D)(M ∩N )∩(U P )3．“81=a ”是“对任意的正数12,≥+xa x x ”的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件4．已知集合P ＝{1，4，9，16，25，…}，若定义运算“&”满足：“若a ∈P ，b ∈P ，则a &b∈P ”，则运算“&”可以是()(A)加法(B)减法(C)乘法(D)除法5．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a ，且ac ＜0，那么下列选项中不一定．．．成立的是()(A)ab ＞ac (B)c (b －a )＜0(C)cb 2＜ab 2(D)ac (a －c )＜0二、填空题6．若全集U ＝{0，1，2，3}且U A ＝{2}，则集合A ＝______．7．命题“∃x ∈A ，但x ∉A ∪B ”的否定是____________．8．已知A ＝{－2，－1，0，1}，B ＝{y ｜y ＝｜x ｜，x ∈A }，则B ＝____________．9．已知集合A ＝{x ｜x 2－3x ＋2＜0}，B ＝{x ｜x ＜a }，若AB ，则实数a 的取值范围是____________．10．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b ＞1；②a ＋b ＝2；③a ＋b ＞2；④a 2＋b 2＞2；⑤ab ＞1，其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是______．(写出所有正确条件的序号)11．解不等式.21<x12．若0＜a ＜b 且a ＋b ＝1．(1)求b 的取值范围；(2)试判断b 与a 2＋b 2的大小．13．设a ≠b ，解关于x 的不等式：a 2x ＋b 2(1－x )≥[ax ＋b (1－x )]2．14．设数集A 满足条件：①A ⊆R ；②0∉A 且1∉A ；③若a ∈A ，则.11A a∈-(1)若2∈A ，则A 中至少有多少个元素；(2)证明：A 中不可能只有一个元素．专题01集合与常用逻辑用语参考答案练习1－1一、选择题1．B2．B3．A4．C提示：4．集合A表示非负偶数集，集合B表示能被4整除的自然数集，所以{正奇数}(U B)，从而U＝A∪(U B)．二、填空题5．{x｜x＜4}6．4个7．{x｜－1＜x＜2}8．a1；2个(x为a1或a3)．三、解答题9．(A∩B)∪C＝{1，2，3，4}10．分析：画如图所示的韦恩图：得A＝{0，2，3，5，7}，B＝{2，4，6，8}．11．答：①a＜4；②a≥－2；③－2≤a＜4提示：画数轴分析，注意a可否取到“临界值”．练习1－2一、选择题1．D2．A3．B4．B二、填空题5．必要不充分条件6．若｜x｜≤1，则x≥－17．充要条件8．④提示：8．因为A B，即对任意x∈A，有x∈B．根据逻辑知识知，A B，即为④．另外，也可以通过文氏图来判断．三、解答题9．答：(1)全称命题，真命题．(2)特称命题，真命题．(3)特称命题，真命题；(4)全称命题，真命题．10．略解：答：逆命题：若ab＝0，则a2＋b2＝0；是假命题；例如a＝0，b＝1否命题：若a2＋b2≠0，则ab≠0；是假命题；例如a＝0，b＝1逆否命题：若ab ≠0，则a 2＋b 2≠0；是真命题；因为若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0，所以ab ＝0，即原命题是真命题，所以其逆否命题为真命题．习题1一、选择题1．D 2．D3．A4．C5．C提示：5．A 正确．B 不正确．D ．正确．当b ≠0时，C 正确；当b ＝0时，C 不正确，∴C 不一定成立．二、填空题6．{0，1，3}7．∀x ∈A ，x ∈A ∪B8．{0，1，2}9．{a ｜a ≥2}10．③．提示：10、均可用举反例的方式说明①②④⑤不正确．对于③：若a 、b 均小于等于1．即，a ≤1，b ≤1，则a ＋b ≤2，与a ＋b ＞2矛盾，所以③正确．三、解答题11．解：不等式21<x 即,021,021<-<-xx x 所以012>-x x ，此不等式等价于x (2x －1)＞0，解得x ＜0或21>x ，所以，原不等式的解集为{x ｜x ＜0或21>x }．12．解：(1)由a ＋b ＝1得a ＝1－b ，因为0＜a ＜b ，所以1－b ＞0且1－b ＜b ，所以.121<<b (2)a 2＋b 2－b ＝(1－b )2＋b 2－b ＝2b 2－3b ＋1＝⋅--8143(22b 因为121<<b ，所以,081)43(22<--b 即a 2＋b 2＜b ．13．解：原不等式化为(a 2－b 2)x ＋b 2≥(a －b )2x 2＋2b (a －b )x ＋b 2，移项整理，得(a －b )2(x 2－x )≤0．因为a ≠b ，故(a －b )2＞0，所以x 2－x ≤0．故不等式的解集为{x ｜0≤x ≤1}．14．解：(1)若2∈A ，则.22111,21)1(11,1211A A A ∈=-∴∈=--∴∈-=-∴A 中至少有－1，21，2三个元素．(2)假设A 中只有一个元素，设这个元素为a ，由已知A a∈-11，则a a -=11．即a 2－a ＋1＝0，此方程无解，这与A 中有一个元素a 矛盾，所以A 中不可能只有一个元素．专题02函数函数是中学数学中的重点内容，是描述变量之间依赖关系的重要数学模型．本章内容有两条主线：一是对函数性质作一般性的研究，二是研究几种具体的基本初等函数——一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数．研究函数的问题主要围绕以下几个方面：函数的概念，函数的图象与性质，函数的有关应用等．§2－1函数【知识要点】要了解映射的概念，映射是学习、研究函数的基础，对函数概念、函数性质的深刻理解在很多情况下要借助映射这一概念．1、设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射．记作f：A→B，其中x叫原象，y叫象．2、设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种映射叫做集合A上的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A．其中x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域．所有函数值构成的集合{y｜y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．函数的值域由定义域与对应法则完全确定．3、函数是一种特殊的映射．其定义域和值域都是非空的数集，值域中的每一个元素都有原象．构成函数的三要素：定义域，值域和对应法则．其中定义域和对应法则是核心．【复习要求】1．了解映射的意义，对于给出对应关系的映射会求映射中指定元素的象与原象．2．能根据函数三要素判断两个函数是否为同一函数．3．掌握函数的三种表示法(列表法、图象法和解析法)，理解函数符号f(x)(对应法则)，能依据一定的条件求出函数的对应法则．4．理解定义域在三要素的地位，并会求定义域．【例题分析】例1设集合A和B都是自然数集合N．映射f：A→B把集合A中的元素x映射到集合B中的元素2x＋x，则在映射f作用下，2的象是______；20的原象是______．【分析】由已知，在映射f作用下x的象为2x＋x．所以，2的象是22＋2＝6；设象20的原象为x ，则x 的象为20，即2x ＋x ＝20．由于x ∈N ，2x ＋x 随着x 的增大而增大，又可以发现24＋4＝20，所以20的原象是4．例2设函数⎩⎨⎧>++-≤-=,0,22,0,1)(2x x x x x x f 则f (1)＝______；若f (0)＋f (a )＝－2，则a的所有可能值为______．【分析】从映射的角度看，函数就是映射，函数解析式就是映射的法则．所以f (1)＝3．又f (0)＝－1，所以f (a )＝－1，当a ≤0时，由a －1＝－1得a ＝0；当a ＞0时，由－a 2＋2a ＋2＝－1，即a 2－2a －3＝0得a ＝3或a ＝－1(舍)．综上，a ＝0或a ＝3．例3下列四组函数中，表示同一函数的是()(A)22(,t y x y ==(B)2|,|t y x y ==(C)1,112+=--=x y x x y (D)xx y x y 2,==【分析】(A)(C)(D)中两个函数的定义域均不同，所以不是同一函数．(B)中两个函数的定义域相同，化简后为y ＝｜x ｜及y ＝｜t ｜，法则也相同，所以选(B)．【评析】判断两个函数是否为同一函数，就是要看两个函数的定义域与法则是否完全相同．一般有两个步骤：(1)在不对解析式进行变形的情况下求定义域，看定义域是否一致．(2)对解析式进行合理变形的情况下，看法则是否一致．例4求下列函数的定义域(1);11--=x y (2);3212-+=x x y (3);)1()3lg(0-+-=x xx y (4);2|2|12---=x x y 解：(1)由｜x －1｜－1≥0，得｜x －1｜≥1，所以x －1≥1或x －1≤－1，所以x ≥2或x ≤0．所以，所求函数的定义域为{x ｜x ≥2或x ≤0}．(2)由x 2＋2x －3＞0得，x ＞1或x ＜－3．所以，所求函数的定义域为{x ｜x ＞1或x ＜－3}．(3)由⎪⎩⎪⎨⎧=/-=/>-,01,0,03x x x 得x ＜3，且x ≠0，x ≠1，所以，所求函数的定义域为{x |x ＜3，且x ≠0，x ≠1}(4)由⎩⎨⎧=/=/≤≤-⎩⎨⎧=/-≥-⎩⎨⎧≠--≥-,4,0,112|2|01,02|2|0122x x x x x x x 且即，，得，所以－1≤x ≤1，且x ≠0．所以，所求函数定义域为{x ｜－1≤x ≤1，且x ≠0}．例5已知函数f (x )的定义域为(0，1)，求函数f (x ＋1)及f (x 2)的定义域．【分析】此题的题设条件中未给出函数f (x )的解析式，这就要求我们根据函数三要素之间的相互制约关系明确两件事情：①定义域是指x 的取值范围；②受对应法则f 制约的量的取值范围在“已知”和“求”当中是一致的．那么由f (x )的定义域是(0，1)可知法则f 制约的量的取值范围是(0，1)，而在函数f (x ＋1)中，受f 直接制约的是x ＋1，而定义域是指x 的范围，因此通过解不等式0＜x ＋1＜1得－1＜x ＜0，即f (x ＋1)的定义域是(－1，0)．同理可得f (x 2)的定义域为{x ｜－1＜x ＜1，且x ≠0}．例6如图，用长为l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形的底边长为2x ，求此框架围成的面积y 与x的函数关系式，并指出定义域．解：根据题意，AB ＝2x．⋅--==2π2,πxx l AD x 所以，.)2π2(π212π2222lx x x x x l x y ++-=+--=⋅⋅根据问题的实际意义．AD ＞0，x ＞0．解.π20,02π2,0+<<⎪⎩⎪⎨⎧>-->l x xx l x 得所以，所求函数定义域为⋅+<<}π20|{lx x【评析】求函数定义域问题一般有以下三种类型问题．(1)给出函数解析式求定义域(如例4)，这类问题就是求使解析式有意义的自变量的取值范围．正确的解不等式或不等式组在解决这类问题中是重要的．中学数学中常见的对变量有限制的运算法则有：①分式中分母不为零；②偶次方根下被开方数非负；③零次幂的底数要求不为零；④对数中的真数大于零，底数大于零且不等于1；⑤y ＝tan x ，则2ππ+≠k x ，k ∈Z ．(2)不给出f (x )的解析式而求定义域(如例5)．其解决办法见例5的分析．(3)在实际问题中求函数的定义域(如例6)．在这类问题中除了考虑解析式对自变量的限制，还应考虑实际问题对自变量的限制．另外，在处理函数问题时要有一种随时关注定义域的意识，这是极其重要的．比如在研究函数单调性、奇偶性、最值等问题时，首先要考虑的就是函数的定义域．例7(1)已知211(x xxf -=，求f (x )的解析式；(2)已知221)1(xx x x f +=+，求f (3)的值；(3)如果f (x )为二次函数，f (0)＝2，并且当x ＝1时，f (x )取得最小值－1，求f (x )的解析式；(4)*已知函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )＝2x 的图象关于直线x ＝1对称，求f (x )的解析式．【分析】(1)求函数f (x )的解析式，从映射的角度看就是求对应法则，于是，我们一般有下面两种方法解决(1)这样的问题．方法一．⋅-=-=1)1(1111(2xxx xxf 通过这样“凑型”的方法，我们可以明确看到法则f是“原象对应于原象除以原象的平方减1”．所以，⋅-=1)(2x xx f 方法二．设t x =1，则t x 1=．则1111)(22-=-=t t ttt f ，所以⋅-=1)(2x x x f 这样，通过“换元”的方法也可以明确看到法则是什么．(2)用“凑型”的方法，.7)3(,2)(.2)1(11(2222=-=-+=+=+f x x f xx x x x x f 所以(3)因为f (x )为二次函数，并且当x ＝1时，f (x )取得最小值－1，所以，可设f (x )＝a (x －1)2－1，又f (0)＝2，所以a (0－1)2－1＝2，所以a ＝3．f(x)＝3(x－1)2－1＝3x2－6x＋2．(4)这个问题相当于已知f(x)的图象满足一定的条件，进而求函数f(x)的解析式．所以，可以类比解析几何中求轨迹方程的方法求f(x)的解析式．设f(x)的图象上任意一点坐标为P(x，y)，则P关于x＝1对称点的坐标为Q(2－x，y)，由已知，点Q在函数y＝g(x)的图象上，所以，点Q的坐标(2－x，y)满足y＝g(x)的解析式，即y＝g(2－x)＝22－x，所以，f(x)＝22－x．【评析】由于已知条件的不同，求函数的解析式的常见方法有象(1)(2)所用到的“凑形”及“换元”的方法；有象(3)所用到的待定系数法；也有象(4)所用到的解析法．值得注意的是(4)中所用的解析法．在求函数解析式或者求轨迹方程时都可以用这种方法，是一种通法．同时也表明函数和它的图象与曲线和它的方程之间有必然的联系．例8已知二次函数f(x)的对称轴为x＝1，且图象在y轴上的截距为－3，被x轴截得的线段长为4，求f(x)的解析式．解：解法一设f(x)＝ax2＋bx＋c，由f(x)的对称轴为x＝1，可得b＝－2a；由图象在y轴上的截距为－3，可得c＝－3；由图象被x轴截得的线段长为4，可得x＝－1，x＝3均为方程ax2＋bx＋c＝0的根．所以f(－1)＝0，即a－b＋c＝0，所以a＝1．f(x)＝x2－2x－3．解法二因为图象被x轴截得的线段长为4，可得x＝－1，x＝3均为方程f(x)＝0的根．所以，设f(x)＝a(x＋1)(x－3)，又f(x)图象在y轴上的截距为－3，即函数图象过(0，－3)点．即－3a＝－3，a＝1．所以f(x)＝x2－2x－3．【评析】二次函数是非常常见的一种函数模型，在高中数学中地位很重．二次函数的解析式有三种形式：一般式y＝ax2＋bx＋c；顶点式y＝a(x－h)2＋k，其中(h，k)为顶点坐标；双根式y＝a(x－x1)(x－x2)，其中x1，x2为函数图象与x轴交点的横坐标，即二次函数所对应的一元二次方程的两个根．例9某地区上年度电价为0.8元／kW·h ，年用电量为a kW·h ．本年度计划将电价降到0.55元／kW·h 至0.75元／kW·h 之间，而用户期望电价为0.40元／kW·h ．经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k )．该地区电力的成本价为0.30元／kW·h ．(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y 与实际电价x 的函数关系式；(2)设k ＝0.2a ，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20％?解：(1)依题意，当实际电价为x 元／kW·h 时，用电量将增加至,4.0a x k+-故电力部门的收益为)75.055.0)(3.0)(4.0(≤≤-+-=x x a x ky ．(2)易知，上年度的收益为(0.8－0.3)a ，依题意，%),201)(3.08.0()3.0)(4.02.0(+-≥-+-a x a x a且0.55≤x ≤0.75，解得0.60≤x ≤0.75．所以，当电价最低定为0.60元／kW·h 时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20％．练习2－1一、选择题1．已知函数xx f -=11)(的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∩N ＝()(A){x ｜x ＞1}(B){x ｜x ＜1}(C){x ｜－1＜x ＜1}(D)∅2．图中的图象所表示的函数的解析式为()(A))20(|1|23≤≤-=x x y (B))20(|1|2323≤≤--=x x y (C))20(|1|23≤≤--=x x y (D)y ＝1－｜x －1｜(0≤x ≤2)3．已知f (x －1)＝x 2＋2x ，则=1(xf ()(A)x x 212+(B)112-x (C)22143x x x ++(D)212x x +4．已知⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--≤+=2,3,21,,1,3)(2x x x x x x x f 若f (x )＝3，则x 的值是()(A)0(B)0或23(C)3±(D)3二、填空题5．给定映射f ：(x ，y )→(x ＋2y ，x －2y )，在映射f 下(0，1)的象是______；(3，1)的原象是______．6．函数2||3)(--=x xx f 的定义域是______．7．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出x 123x 123f (x )131g (x )321则f [g (1)]的值为______；满足f [g (x )]＞g [f (x )]的x 的值是______．8．已知函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )＝2x 的图象关于点(0，1)对称，则f (x )的解析式为______．三、解答题9．已知f (x )＝2x ＋x －1，⎩⎨⎧<-≥=),0(1),0()(2x x x x x g 求g (－1)，g [f (1)]的值．10．在如图所示的直角坐标系中，一运动物体经过点A (0，9)，其轨迹方程为y ＝ax 2＋c (a ＜0)，D ＝(6，7)为x 轴上的给定区间．为使物体落在区间D 内，求a 的取值范围．11．如图，直角边长为2cm的等腰Rt△ABC，以2cm／s的速度沿直线l向右运动，求该三角形与矩形CDEF重合部分面积y(cm2)与时间t的函数关系(设0≤t≤3)，并求出y的最大值．§2－2函数的性质【知识要点】函数的性质包括函数的定义域、值域及值的某些特征、单调性、奇偶性、周期性与对称性等等．本章着重研究后四个方面的性质．本节的重点在于理解与函数性质有关的概念，掌握有关判断、证明的基本方法以及简单的应用．数形结合是本节常用的思想方法．1．设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对于D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数．设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对于D内任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数．由奇函数定义可知，对于奇函数y＝f(x)，点P(x，f(x))与点P (－x，－f(x))都在其图象上．又点P 与点P '关于原点对称，我们可以得到：奇函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；通过同样的分析可以得到，偶函数的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形．2．一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为A ，区间M ⊆A ．如果取区间M 中的任意两个值x 1，x 2，改变量∆x ＝x 2－x 1＞0，则当∆y ＝f (x 2)－f (x 1)＞0时，就称函数y ＝f (x )在区间M 上是增函数；当∆y ＝f (x 2)－f (x 1)＜0时，就称函数y ＝f (x )在区间M 上是减函数．如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M 上具有单调性，区间M 称为单调区间．在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的．3．一般的，对于函数f (x )，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域中的每一个值时，f (x ＋T )＝f (x )都成立，那么就把函数y ＝f (x )叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期．4．一般的，对于函数f (x )，如果存在一个不为零的常数a ，使得当x 取定义域中的每一个值时，f (a ＋x )＝f (a －x )都成立，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．【复习要求】1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；会用定义证明函数的单调性，会利用函数的单调性处理有关的不等式问题；2．了解函数奇偶性的含义．能判断简单函数的奇偶性．3．了解函数周期性的含义．4．了解函数单调性、奇偶性和周期性之间的联系，并能解决相关的简单问题．【例题分析】例1判断下列函数的奇偶性．(1);1)(-=x x x f (2);11)(+=x x f (3)f (x )＝x 3－3x ；(4);11lg xx y -+=(5)⋅+-=1212x x y 解：(1)解01≥-x x ，得到函数的定义域为{x ｜x ＞1或x ≤0}，定义域区间关于原点不对称，所以此函数为非奇非偶函数．(2)函数的定义域为{x ｜x ≠0}，但是，由于f (1)＝2，f (－1)＝0，即f (1)≠f (－1)，且f (1)≠－f (－1)，所以此函数为非奇非偶函数．(3)函数的定义域为R ，又f (－x )＝(－x )3－3(－x )＝－x 3＋3x ＝－f (x )，所以此函数为奇函数．(4)解011>-+xx ，得－1＜x ＜1，又),(11lg 11lg )(1)(1lg)(x f x x x x x x x f -=-+-=+-=---+=-所以此函数为奇函数．(5)函数的定义域为R ，又)(21211212)(x f x f xx x x -=+-=+-=---，所以此函数为奇函数．【评析】由函数奇偶性的定义，可以得到下面几个结论：①一个函数是奇(或偶)函数的必要不充分条件是定义域关于原点对称；②f (x )是奇函数，并且f (x )在x ＝0时有定义，则必有f (0)＝0；③既是奇函数又是偶函数的函数，其解析式一定为f (x )＝0．判定函数奇偶性按照其定义可以分为两个步骤：①判断函数的定义域是否关于原点对称；②考察f (－x )与f (x )的关系．由此，若以奇偶性为标准可以把函数分为奇函数，偶函数，既奇又偶函数和非奇非偶函数四类．例2设函数f (x )在R 上有定义，给出下列函数：①y ＝－｜f (x )｜；②y ＝xf (x 2)；③y ＝－f (－x )；④y ＝f (x )－f (－x )．其中必为奇函数的有______．(填写所有正确答案的序号)【分析】①令F (x )＝－｜f (x )｜，则F (－x )＝－｜f (－x )｜，由于f (x )与f (－x )关系不明确，所以此函数的奇偶性无法确定．②令F (x )＝xf (x 2)，则F (－x )＝－xf [(－x )2]＝－xf (x 2)＝－F (x )，所以F (x )为奇函数．③令F (x )＝－f (－x )，则F (－x )＝－f [－(－x )]＝－f (x )，由于f (x )与f (－x )关系不明确，所以此函数的奇偶性无法确定．④令F (x )＝f (x )－f (－x )，则F (－x )＝f (－x )－f [－(－x )]＝f (－x )－f (x )＝－F (x )，所以F (x )为奇函数．所以，②④为奇函数．例3设函数f (x )在R 上有定义，f (x )的值不恒为零，对于任意的x ，y ∈R ，恒有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，则函数f (x )的奇偶性为______．解：令x ＝y ＝0，则f (0)＝f (0)＋f (0)，所以f (0)＝0，再令y ＝－x ，则f (0)＝f (x )＋f (－x )，所以f (－x )＝－f (x )，又f (x )的值不恒为零，故f (x )是奇函数而非偶函数．【评析】关于函数方程“f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )”的使用一般有以下两个思路：令x ，y 为某些特殊的值，如本题解法中，令x ＝y ＝0得到了f (0)＝0．当然，如果令x ＝y ＝1则可以得到f (2)＝2f (1)，等等．令x ，y 具有某种特殊的关系，如本题解法中，令y ＝－x ．得到f (2x )＝2f (x )，在某些情况下也可令y ＝x1，y ＝x ，等等．总之，函数方程的使用比较灵活，要根据具体情况作适当处理．在不是很熟悉的时候，要有试一试的勇气．例4已知二次函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 满足f (1＋x )＝f (1－x )，求b 的值，并比较f (－1)与f (4)的大小．解：因为f (1＋x )＝f (1－x )，所以x ＝1为二次函数图象的对称轴，所以12=-b ，b ＝－2．根据对称性，f (－1)＝f (3)，又函数在[1，＋∞)上单调递增，所以f (3)＜f (4)，即f (－1)＜f (4)．例5已知f (x )为奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，(1)求f (－1)的值；(2)当x ＜0时，求f (x )的解析式．解：(1)因为f (x )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)＝－(12－2×1)＝1．(2)方法一：当x ＜0时，－x ＞0．所以，f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－2(－x )]＝－x 2－2x ．方法二：设(x ，y )是f (x )在x ＜0时图象上一点，则(－x ，－y )一定在f (x )在x ＞0时的图象上．所以，－y ＝(－x )2－2(－x )，所以y ＝－x 2－2x ．。

2020高考理科数学二轮提分广西等课标3卷专用课件：第三部分三、解答题的解法

即 an+1(λ-1)=λan.
由 a1≠0,λ≠0 得 an≠0,
所以��+1
��
=
��-��1.
因此{an}是首项为11-��,公比为��-��1的等比数列,
于是
1
an=1-��
�� -1
求和常用方法有:公式法、错位相减法、裂项相消法、倒序相加法、分组求和法.
-8-
一二三四五六
对点训练2(2019陕西西安第三次质检,17)设数列{an}的前n项和
为Sn,已知Sn=2an-1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若
bn=(��
��
+1
�� +1 -1)(��
5
5
(ⅱ) ∑ ��2�� =55, ∑ ��yi=18.8, 1.7≈1.3;
��=1
��=1
(ⅲ)若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<Z<μ+σ)≈0.682
7,P(μ-2σ<Z<μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ<Z<μ+3σ)≈0.997 3.
=
b^ t+��^��,其中��^��
=
∑ �� -��
��=1
��
∑ ��
��=1
2 ��

2020年高考数学全国卷二轮复习备考策略讲座

考纲解读预测1.试卷在结构、风格上保持稳定，难度稳01中有升 2.聚焦核心素养和关键能力的考查3.适当降低计算难度、强调应用4.更加注重数学文化的综合考查，体现数学的育人导向5.解析几何大题难度可能会降低，导数大题难度可能增加6.3+X预测一定会在至少一个题上设置障碍，整体难度有所提高总的复习思路一轮快速覆盖---强调全面、基础、快速二轮重点强化---强调系统、熟练，反复三轮全真模拟---强调实战、反馈、信心二三轮进度1 2 311 月中旬一模结束二轮在 11 月中 —— 次年 4 月中重点知识模块系统化形成规范思路，熟悉套路4 月中 ——5 月底全真模拟训练，提升实战能力02 CHAPTER 二轮复习做法及备考策略二轮开始前应具备的基础熟悉所有高考内容的基本概念（含外延内涵及本质）、公式（含常见结论）、定理（含推导）、基本技能方法一、二轮复习总体思想方法：专题复习与测试结合任务：常规题型套路化、规范化，重在熟练、准确（普通班）把关题型模型化、课题化（尖子班）目标：常规题做快做满；在把关题上形成科学的思维模式和坚韧不拔主动探究的思维品质二、二轮复习模块介绍一、3+X专题模块⚫三角与向量⚫数列⚫概率与统计⚫立体几何⚫极坐标与参数方程⚫不等式一、3+X专题模块细分目的：问题模式化、解题套路化。

熟练、准确、规范目标：45分+45分1.三角大题⚫三角函数化为Asin（ωx+φ）型换元后归结为二次函数型⚫解三角形条件中给出含边、角的等量关系型纯粹的解三角型（含中一、3+X专题模块细分线问题、角平分线问题）与面积有关的问题与范围、最值相关问题应用问题2.数列⚫等差与等比综合问题⚫递推关系处理⚫求和问题分组求和、错位相减、倒序求和、并项求和重点：裂项求和（含等差型、指数型、对数型·、根式型）数列不等式缩放⚫特殊问题：含参数问题、绝对值问题、分段通项求和问题3.概率统计⚫离散型随机变量分布列及期望（含二项分布、超几何分布）⚫用样本估计总体频率分布直方图茎叶图⚫回一、3+X专题模块细分归分析与独立性检验回归分析（线性与非线性）独立性检验⚫特别关注分段函数形式下随机变量的期望问题以及结合数据从统计学角度分析回答问题4.立体几何⚫传统法线面平行与垂直关系求线线角、线面角、二面角（核心是如何找射影）⚫向量法证平行与垂直求线线角、线面角、面面角求距离⚫特殊问题处理截面问题、逆求问题、动点问题、折叠问题一、3+X专题模块细分5.极坐标与参数方程⚫极坐标求两曲线交点问题求线段长（过极点的弦长）一、3+X专题模块细分求角度（以极点为顶点的角）⚫ 参数方程求交点坐标及消参求轨迹方程圆与椭圆参数方程应用（设点三角化）直线参数方程标准形式应用（t 的几何意义求涉定点的长度）目标：既会化为普通方程做也会直接用极坐标与参数方程简洁解决问题6.不等式⚫绝对值不等式解绝对值不等式（单绝对值和双绝对值）二、数学思想专题绝对值不等式解集逆求参数范围（化为恒成立和有解问题）⚫ 求最值（均值不等式、柯西不等式、模不等式）⚫ 证明不等式（基本不等式法、柯西法、排序不等式）1.函数与方程思想2.数形结合思想3.分类讨论思想4.化归与转化思想目的：知其所以然，将方法思想化，把技巧自然化三、选择填空技巧专题目标：触类旁通，举一反三，真正了解各种解法技巧背后的数学思想，达到有指导、有目的性的解题1.特殊化（特殊的值，函数，图像，数列，点，线等）2.对称与对偶（利用对称中心（轴）、构造对偶式等）3.必要条件法（利用必要条件加排除法）4.极限思想（考虑极限情况，位置）5.均衡与边界（利用变量之间的地位平等和定义域开闭特征）目的：抓住问题本质，利用客观题特点，快速解题目标：常规解法外，有益补充，提高速度和破解难题的机率四、圆锥曲线专题（Ⅰ）（普通班）1.定点与定值（无条件定值和有条件定值）2.最值与范围（重点是面积最值）3.轨迹问题（重点是定义法，参数法，交轨法）4.解几与向量（重点是处理向量条件和向量角度解读问题）5.通解运算技巧（巧设，巧解，同理，从特殊情况入手等）目的：熟悉通解通法的原理及运算过程，学会用解析几何（或向量）的观点思四、圆锥曲线专题（Ⅱ）——尖子考问题，用解析几何（或向量）的工具处理问题形成坐标化——韦达定理化——函数化的一般思维逻辑，克服运算畏惧心理目标：普通班确保第（1）问及第（2）问学会踩得分点班1.特殊模型背景及方法（K1+K2及K1K2 定值模型、定点引曲线两切线模型（筷子夹汤圆）、极点与极线模型、二次曲线系模型）2.单参数问题3.双参数问题五、导数综合专题（Ⅰ）——普通4.仿射变换与平移齐次变换目标：让尖子生熟悉几类常见经典条件代表的模型，迅速找到最佳思路，并熟练掌握几种重要技巧和处理方法快速解题并在长期训练中形成心理优势班⚫切线与极值逆求参数⚫单调性讨论（重点训练）主导函数一次型主导函数二次型（∆<0，=0，>0）恒成立及存在性问题基础（单元的和双元的，重点是分参处理）五、导数综合专题（Ⅱ）——尖子⚫证明不等式基础（主要是构造差值函数法和齐次化处理法）目标：顺利拿下第一个问并能在把关小题上踩得分点班⚫从充分性或必要性入手技巧⚫ 二次求导技巧⚫ 零点虚设代换技巧⚫ 切线放缩及凹凸反转技巧⚫ 高数相关内容介绍（罗必塔法则，中值定理，泰勒展开式，保号性等）⚫ 极值点偏移问题（対称差法、t值代换法、对数平均不等式法）⚫ 朗博函数相关问题目标：让尖子生熟悉各种导数常见把关问题的破题思路以及多种可能用上的有效处理技巧，让他们头脑里有足够工具自己去探究难题三、平时的测试1.月考+周测（全部自己命题）2.重要的考试（比如全市统测）前一周，每天一套卷子3.与兄弟学校联考和全市统测4.高效讲评5.考后错题重练03三轮复习第三轮复习：强化训练+强化重点板块专题一、重点章节板块⚫解几小题⚫函数与导数小题⚫锥、柱体与球的切接⚫向量综合小题目标：专项强化训练，突破把关小题向量综合（特殊化，坐标化，模型化，几何化，基底化）三角形各心问题（奔驰定理公式系列推论）四边形对角线长问题（广义托勒密定理）线性表示系数和问题（等系数和线模型）模与夹角结合最值问题（几何意义法）共点向量数量积问题（极化恒等式模型，投影模型）二、强化训练阶段⚫每周测一次，全收全改；⚫每天课堂测选填题，课后自测解答题；⚫周五连堂课统一讲评备考经验分享04备考经验分享23抓好试题研究抓好集体备课和考后讲评反思备考经验分享资料问题分层培养问题分层策略清北班策略分层实验班策略策略普通班策略一家之言仅供参考谢谢大家！。

(新高考)2020版高考数学二轮复习重点保分专题二小题考法课(一)课件文

重点保分专题二导数
把握考情
诊断学情
(1)研究函数的导数时忽略
定义域
导数的几何意义和运算， (2)含参数问题不讨论或讨
利用导数解决函数的单调论不彻底
考查性与极值(最值)问题，利
(3)恒成立和存在性问题中
内容用导数研究不等式恒成立存求最大或最小值混淆
问题、不等式证明、函数在 (4)不等式证明不能转化为
答案：2x－y＝0
6．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)＝ax3＋x＋1 的图象在点(1，f(1)) 处的切线过点(2,7)，则 a＝________. 解析：∵f′(x)＝3ax2＋1， ∴f′(1)＝3a＋1. 又 f(1)＝a＋2， ∴切线方程为 y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)． ∵切线过点(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得 a＝1. 答案：1
()
A．y＝－2x
B．y＝－x
C．y＝2x
D．y＝x
解析：∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，
∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a.
又∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)恒成立，
即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax 恒成立，
∴a＝1，∴f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1，
与“过点”的切线的区
考查素养
推理和数学运算的核心素养 (3)通过导数研究恒成立问题、不等式证明、函数的零点个数等综合问题，
解决
方法
别 (2)研究问题定义域优先 (3)对参数的讨论是从正负、大小等多角度讨论 (4)a≤f(x)恒成立是指
考查逻辑推理、数学运算、直观想象的核心素养
a≤f(x)min；存在x使得 a≤f(x)，是指a≤f(x)max

2020版高考数学大二轮培优文科通用版课件：专题一第3讲不等式

�� + �� ≥ 0, 的最大值是( )
A.-1 B.1 C.10 D.12 解析:在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以(-1,1),(1,-1),(2,2)为顶点的三角形区域(包含边界),由图易得当直线z=3x+2y经过平面区域内的点(2,2)时,z=3x+2y取得最大值
这四个命题中,所有真命题的编号是( )
A.①③
B.①②
C.②③ D.③④
解析:如图,不等式组表示的平面区域D为图中阴影部分. 作出直线2x+y=9与直线2x+y=12,可知两直线均通过平面区域D,所
以p真,q假,¬p假,¬q真,故①③真,②④假.故选A.
答案:A
�� + ��-2 ≤ 0,
果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、
80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购
买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付
成功后,李明会得到支付款的80%.
(1)当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付
元;
(2)在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前
答案:(1)B (2)A
考点1 考点2 考点3 考点4
考点1 考点2 考点3 考点4
对应训练 1
(1)若��1��
<
1 ��
<0,给出下列不等式:①��+1 ��
<
1 ��
;②|a|+b>0;③a-��1�� >b-��1�� ;④

【精品推荐】2020版高三数学新课标大二轮专题辅导与增分攻略数学(理)课件：1-3 分类讨论思想

(2)等比数列{an}的公比 q≠0.对于 A，若 a3>0，a1q2>0，所以 a1>0，所以 a2019＝a1q2018>0，所以 A 不成立；对于 B，若 a4>0，则 a1q3>0，所以 a1q>0，所以 a2018＝a1q2017>0，所以 B 不成立；对于 C，若 a3>0，则 a1＝aq32>0，所以当 q＝1 时，S2019>0，当 q≠1 时，S2019＝a111－－qq2019>0(1－q 与 1－q2019 同号)，所以 C 一定成立，易知 D 不一定成立，故选 C.
－
2 x
′
＝
a
－
2a＋1 x
＋
2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
＝
ax2－2ax＋2 1x＋2＝ax－1x2x－2.
当 a＝0 时，f′(x)＝－xx－2 2.
可以看出，当 x>2 时，f′(x)<0；
当 0<x<2 时，f′(x)>0，
所以，a＝0 时，函数 f(x)在区间(0,2)上单调递增；在(2，＋ ∞)上单调递减．当 a≠0 时，
注意到 f(1)＝12e2＋a－(a＋1)e＝12e2－e＋a(1－e)>0，所以当 x∈(0,1)时，f(x)有一个零点．当 x<0 时，f(x)＝ax＋ex12ex－a－1>ax－(a＋1)ex>ax－(a＋1)，取 x0<1＋1a<0，则 f(x0)>0，所以当 x∈(x0,0)时，f(x)有一个零点．所以当－12<a<0 时，f(x)有两个零点，符合题意． ③当 a＝1 时，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，

2020高考数学课标二轮(天津专用)课件：第三部分一、选择题的解法

题型聚焦•思路概述常用解法•分类突破
解题策略小结
-12-
即时巩固2若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是( B )
A.a+��1��
<
�� 2��
<log2(a+b)
B.2�� <log2(a+b)<a+��1��
C.a+��1��<log2(a+b)<2��
B项,a1=-7,a2=-4,a3=-1,a4=2,a5=5,所以S4=-10≠0.与已知不符,故排除B项;
C项,S4=0,a5=S5-S4=(2×52-8×5)-0=10≠5,故排除C项;
D 项,S4=0,a5=S5-S4=
1 2
×
52-2
×
5
-0=52 ≠5,故排除 D 项.
综上,选A.
第三部分
标不变),所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2π,且
g
π 4
=
2,则 f
3π 8
=(
C
)
A.-2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B.- 2
C. 2
D.2
一、选择题的解法
第三部分
题型聚焦•思路概述常用解法•分类突破
解题策略小结
-8-
解析:(1)∵
1 1-i
=
1+i (1-i)(1+i)
=
1+i 2
=
1 2
+
1
1 2
|��-1|
=-2cos πx.
令 g(x)=

2020新课标高考数学(文)二轮总复习课件：1-3思想方法攻略

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新课标高考第二轮总复习•文科数学
2．数形结合思想应用原则 (1)等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．有时，由于图形的局限性，不能完整地表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明．
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新课标高考第二轮总复习•文科数学
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新课标高考第二轮总复习•文科数学
该问题可转化为如下几何问题：点 A 在以 M(2,0)为圆心， 3为半径的圆上移动，求直线 OA 斜率的最大值．(转化为几何问题) 由图可知，当点 A 在第一象限，且 OA 与圆相切时，OA 的斜率最大．(解决几何问题) 连接 AM，则 AM⊥OA，OA＝ OM2－AM2＝ 22－ 32＝1，可得yx的最大值为 tan ∠AOM＝ 3.故选 D.(回归代数问题)
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新课标高考第二轮总复习•文科数学
[数学思想应用]
类型一数与函数图象的结合
[典题 1] 已知函数 f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中 a<1，若存在唯一的整数 x0，使得 f(x0)<0，则 a 的取值范围是__________．(e 为自然对数的底数)
[答案]23e，1
积的最大值是( )
33 A. 4
33 B. 8
1
3
C.2
D. 4
[答案] B
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[解析] 如图，
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(由题意作图)
新课标高考第二轮总复习•文科数学
由题意，PA＝PB＝PC＝2，∠ABC＝90°，可知 P 在平面 ABC 上的射影 G 为△ABC 的外心，即 AC 中点．则球的球心 O 在 PG 的延长线上，设 PG＝h，则 OG＝2－ h.∴OB2－OG2＝PB2－PG2，即 4－(2－h)2＝4－h2，解得 h＝1.则 AG＝CG＝ 3.(看图得数量关系)

2020版高三数学新课标大二轮专题辅导与增分攻略数学(理)讲义：第三篇专题二第一讲等差数列、

姓名，年级：时间：第一讲等差数列、等比数列[高考导航］1．对等差、等比数列基本量的考查，常以客观题的形式出现,考查利用通项公式、前n项和公式建立方程组求解．2．对等差、等比数列性质的考查主要以客观题出现,具有“新、巧、活"的特点，考查利用性质解决有关计算问题．3．对等差、等比数列的判断与证明,主要出现在解答题的第一问，是为求数列的通项公式而准备的,因此是解决问题的关键环节．考点一等差、等比数列的基本运算1．等差数列的通项公式及前n项和公式a n＝a1＋(n－1)d；S n＝n a1＋a n2＝na1＋错误!d.2．等比数列的通项公式及前n项和公式a n＝a1q n－1（q≠0）；S n＝错误!1．（2019·大连模拟)记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4＋a5＝24,S6＝48,则｛a n}的公差为（)A．1 B．2C．4 D．8[解析] 由已知条件和等差数列的通项公式与前n项和公式可列方程组，得错误!即错误!解得错误!故选C．［答案] C2．(2019·济南一中1月检测)在各项为正数的等比数列{a n}中，S2＝9，S3＝21，则a5＋a6＝( ）A．144 B．121C．169 D．148［解析] 由题意可知，错误!即错误!解得错误!或错误!（舍）．∴a5＋a6＝a1q4（1＋q)＝144。

故选A．[答案］A3．（2019·广东珠海3月联考）等差数列｛a n｝的前n 项和为S n，若a2＋a7＋a9＝15，则S8－S3＝( )A．30 B．25C．20 D．15［解析] 因为a2＋a7＋a9＝a1＋d＋a1＋6d＋a1＋8d＝3（a1＋5d)＝15，所以a1＋5d＝5，即a6＝5，所以S8－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝5a6＝25，故选B．[答案] B4．（2019·全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列｛a n}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝（）A．16 B．8C．4 D．2[解析] 设等比数列{a n}的公比为q。

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()
A．4π
B．92π
C．6π
D．323π
解析：设球的半径为 R，∵△ABC 的内切圆半径为6＋82－10
＝2，∴R≤2.又 2R≤3，∴R≤32，∴Vmax＝43×π×323＝92π. 故选 B.
答案：B
3．(2019·全国卷Ⅰ)已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点在球 O 的
球面上，PA＝PB＝PC，△ABC 是边长为 2 的正三角形，
E，F 分别是 PA，AB 的中点，∠CEF＝90°，则球 O 的
体积为
()
A．8 6π
B．4 6π
C．2 6π
3．(2018·全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为 45°，若△SAB 的面积为 5 15，则该圆锥的侧面积为________．解析：如图，∵SA 与底面成 45°角， ∴△SAO 为等腰直角三角形．设 OA＝r，则 SO＝r，SA＝SB＝ 2r.
专题三立体几何
把握考情
诊断学情
(1) 展开图、折叠图的辨认；
考查内容
(2)空间几何体的表面积与体积及球与多面体的切接问题； (3)线线、线面、面面的垂直或平行关系的判定与性质； (4)线线角、线面角、二面角及空间向
量的应用
考查题型
从考查数量上看，一般是“1大1小” 或“1大2小”，分值约为17分或22分，小题难度中等，有时会作为压轴题出现在12,16题的位置，解答题一般出现在18或19题位置，难度中等
解得 x＝ 2－1，即半正多面体的棱长为 2－1.
答案：26 2－1
2．(2019·全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体 ABCD -A1B1C1D1 挖去四棱锥 O -EFGH 后所得的几何体，其中 O 为长方体的中心，E，F，G，H 分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D 打印所用原料密度为 0.9 g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为 ________g.
解析：先求面数，有如下两种方法．法一：由“半正多面体”的结构特征及棱数为 48 可知，其上部分有 9 个面，中间部分有 8 个面，下部分有 9 个面，共有 2×9 ＋8＝26(个)面．法二：一般地，对于凸多面体，顶点数(V)＋面数(F)－棱数(E) ＝2(欧拉公式)．由图形知，棱数为 48 的半正多面体的顶点数为 24，故由 V＋F－E＝2，得面数 F＝2＋E－V＝2＋48－24＝26.
A．π
B．34π
π C.2
D．π4
解析：设圆柱的底面半径为 r，则 r2＝12－122＝34，所以圆
柱的体积 V＝34π×1＝34π.
答案：B
2．(2016·全国卷Ⅲ)在封闭的直三棱柱 ABC-A1B1C1 内有一个
体积为 V 的球．若 AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，
则 V 的最大值是
解析：由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，对角线长分别为 6 cm 和 4 cm，故 V 挖去的四棱锥＝13×12×4×6×3＝12(cm3)．又 V 长方体＝6×6×4＝144(cm3)，所以模型的体积为 V 长方体－V 挖去的四棱锥＝144－12＝132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为 132×0.9＝118.8(g)．答案：118.8
增强数学运算的能力
第一讲小题考法——空间几何体与空间位置关系
一、高考真题集中研究——明规律
题组(一) 空间几何体的结构特征及表面积、体积 1．(2019·全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代
表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图 1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．
定义、公理、定理及相考查，培养考生的直观想象和解
关结论，和求体积、面查数学运算的核心素养，以及决
积、空间角的公式，清素转化与化归思想的应用；方
楚因果关系；养 (2)通过对空间位置关系的法
(2)注重空间想象能力和考查，培养考生的直观想象
逻辑推理能力的培养，和逻辑推理的核心素养
再求棱长．
作中间部分的横截面，由题意知该截面为各顶点都在边长为 1 的
正方形上的正八边形 ABCDEFGH，如图，设其边长为 x，则正
八边形的边长即为半正多面体的棱长．连接 AF，过 H，G 分别
作 HM⊥AF，GN⊥AF，垂足分别为 M，N，则 AM＝MH＝NG
＝NF＝
2 2 x.
又 AM＋MN＋NF＝1，即 22x＋x＋ 22x＝1.
在△SAB 中，cos ∠ASB＝78，∴sin ∠ASB＝ 815， ∴S△SAB＝12SA·SB·sin ∠ASB＝12×( 2r)2× 815＝5 15，解得 r＝2 10，∴SA＝ 2r＝4 5，即母线长 l＝4 5，
∴S 圆锥侧＝πrl＝π×2 10×4 5＝40 2π.
答案：40 2π
[怎么考] 由于 2017 版“新课程标准”中已经把“三视图”删除，对空间几何体结构特征的考查将加强且多以古今数学文化或实际问题为背景；对表面积与体积的考查将重点考查规则几何体与组合体的表面积、体积的求解问题．用准公式，找准相关几何体的基本量就能轻松解决．
题组(二) 与球有关的切接问题
1．(2017·全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 ( )
在解决立体几何
问题，常存在以
下阻碍：
(1)空间想象能
存在问题
力不强，导致位置关系模糊； (2)运算能力不佳，不是公式运用错误，就是运
算过程错误；
(3)推理论证逻
辑混乱，缺条件
或造假结论把握考情来自诊断学情(1)夯实基础，熟记空间 (1)通过对空间几何体的结
几何体结构特征及所有构特征、表面积与体积的考