江西省重点中学协作体高三数学第二次联考试题 文

2016年5月江西省重点中学协作体2016届高三第二次联考数学试卷（文科）本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间l20分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第I 卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共l2小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.复数ii -+12(i 为虚数单位)的实部为（ ） A ．1- B.1 C ．2 D ．2-2.已知集合错误!未找到引用源。

，⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=141622y x x N ，则错误!未找到引用源。

（ ） A.φB.{})2,0(),0,4(C.{}2,4D.]4,4[-3.已知向量)2,1(),1,3(-=-=b a ，如果向量b a λ+与b 垂直，则实数=λ（ ） A ．34-B ．1C ．1-D ．314.已知函数,0),(0,5)(⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=x x f x x f x则)31(log 5f 的值等于（ ） A ．3 B ． 13 C. 81 D ．85.下列说法正确的是（ ）A.从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每5分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样； B ．已知命题:p ,x R ∃∈使23xx>；命题),,0(:+∞∈∀x q 都有3121x x <，则 ()p q ∨⌝ 是真命题；C ．“53sin =α”是“2572cos =α”的必要不充分条件； D ．命题“若0=xy ，则00==y x 或”的否命题是“若,0≠xy 则00≠≠y x 或”.6.某几何体的三视图如右图所示，若该几何体的侧面展开图是圆心角为34π的扇形，则（ ）A.r l 2=B. 3l r =C. 25r h =D. 23r h = 7．将函数()()12sin ++=ϕx x f 的图象向左平移6π个单位后得到的图象关于y 轴对称，则ϕ的一个可能取值为 ( ）（第6题）A ．6π-B ． 3π C ．3π- D ．65π-8.在数列{}n a 中,已知,2)1(,1122=-+=-+n n n a a a 记n S 是数列{}n a 的前n 项和，则=80S （ ）A.1640B.1680C.3240D.16009.已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥--,01301y x y x 且目标函数)0,0(<>-=b a by ax z 的最大值为4-，则11+-a b 的取值范围是（ ） A. ),5()31,(+∞-⋃--∞ B. )31,5(--C. ),51()3,(+∞-⋃--∞ D.)51,3(--10.如图是用计算机随机模拟的方法估计概率的程序框图，则输出M 的估计值为（ ） A.504 B ．1511 C ．1512 D ．201611.设抛物线22y px =（0p >）与双曲线221mx ny +=（0mn <）的一条渐近线的一个公共点M 的坐标为()0,p y ，若点M 到抛物线的焦点距离为4，则双曲线的离心率为（ ）A ．5B ．5或52C ．52或3 D ．312.定义：如果函数()f x 在[,]a b 上存在1212,()x x a x x b <<<满足1()()'()f b f a f x b a -=-，2()()'()f b f a f x b a-=-，则称函数()f x 是[,]a b 上的“双中值函数”.已知函数m x x x f +-=232)(是]2,0[a 上“双中值函数”，则实数a 的取值范围是（ ）A.)41,81(B.)41,121(C.)81,121(D.)1,81(第Ⅱ卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第l3题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13.某品牌洗衣机专卖店在国庆期间举行了八天的促销活动，每天的销量(单位：台)如茎叶图所示，则销售量的中位数是 ．14.若曲线),(sin )(R b a x b ae x f x∈+=在0=x 处与直线1-=y 相切，则=-a b ．15.在三棱锥ABC S －中，AB C ∆是边长为34的等边三角形，72SC SA ==，ABC SAC 平面平面⊥，则该三（第10题）（第13题）棱锥外接球的表面积为________ .16.在AB C ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是,,,c b a 若1b =，1sin cos()sin 2B BC C =+，则当B 取最大值时，AB C ∆的周长为 ．三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前6项依次构成一个公差为整数的等差数列，且从第5项起依次构成一个等比数列，若13a =-，74a =． (I)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)设S n 是数列{}n a 的前n 项和，求使2016>n S 成立的最小正整数n 的值.18.（本小题满分12分）第31届夏季奥林匹克运动会将于2016年8月5-21日在巴西里约热内卢举行,将近五届奥运会中国代表团获得的金牌数y （单位：枚）分为五小组（组数为x ），有如下统计数据： 届数 第26届亚特兰大 第27届悉尼 第28届雅典 第29届北京第30届伦敦 组数x 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 金牌数y1628325138(I)从这五组中任取两组，求这两组所获得的金牌数之和大于70枚的概率；(Ⅱ)请根据这五组数据，求出y 关于x 的线性回归方程；并根据线性回归方程，预测第31届（第6组）奥林匹克运动会中国代表团获得的金牌数（结果四舍五入，保留整数）．(题中参考数据：)67))((51=--∑=y yx x ii i附：b 121()()()niii nii x x y y x x ==--=-∑∑．x b y a -=19.（本小题满分12分）如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的菱形，,621=AA 1BB BD ⊥，︒︒=∠=∠45,601AC A BAD ，点E 、F 分别是线段11,BB AA 的中点.(I)求证：BDE 平面∥CF A 1平面； (Ⅱ)求三棱锥ADE B -的体积.20.（本小题满分12分） 以椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的中心O 为圆心，且以其短轴长为直径的圆可称为该椭圆的“伴随圆”，记为1C .已知椭圆C 的右焦点为)0,23(，且过点)43,21(. (I)求椭圆C 及其“伴随圆”1C 的方程；（第19题）(Ⅱ)过点)0,(t M 作1C 的切线l 交椭圆C 于,A B 两点，求AOB ∆(O 为坐标原点)的面积的最大值.21.（本小题满分12分）已知函数ax x x f +=ln )()(R a ∈.(I)讨论函数)(x f 在区间],[2e e 内的单调性；(Ⅱ)当1=a 时，函数22)()(x tx f x g -=只有一个零点，求正数t 的值．选做题：请考生在22,23,24题中任选一题作答，如果多选则按所做的第一题记分，作答时，请涂明题号. 22．(本小题满分10分)选修4一l ：几何证明选讲如图，已知点C 在圆O 直径B E 的延长线上，CA 切圆O 于点A ，CD 是ACB ∠的 平分线，交AE 于点F ，交AB 于点D ．(I)求证：A B EF A F A E ⋅=⋅；(Ⅱ)若，，2AC AD 2B D ==求线段CE 的长度．23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，已知曲线C的参数方程方程为2cos (x y ααα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）,在极坐标系中，点M 的极坐标为3)4π．(I)写出曲线C 的普通方程并判断点M 与曲线C 的位置关系；(Ⅱ)设直线l 过点M 且与曲线C 交于A 、B 两点，若||2||AB MB =，求直线l 的方程.24.（本小题满分10分）选修4－5:不等式选讲. 已知函数()221,()21f x x a x g x x =-++=--. (I)解不等式：()1g x <；(Ⅱ)若存在R x ∈1，2x R ∈，使得)()(21x g x f ≤成立，求实数a 的取值范围.（第22题）江西省重点中学协作体2016届高三第二次联考数学试卷（文科）参考答案一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BDCABCDADCBA.13 15 ． .14 2 ． .15 π65 ． .16 32+ ．三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.解：(I)设前6项的公差为)(Z d d ∈,依题意得2657a a a = 即2117(5)(4)a d a d a +=+⋅，将13a =-，74a =代入简得：225462101d d d -+=⇒=（2125d =舍去）…………………4分 ∴541425n n n n n N a n n N +-+-≤≤∈⎧⎪=⎨≥∈⎪⎩ 且 且…………………6分（注：答案有多种形式，合理则相应给分）(Ⅱ)依题意得：当4≤n 时，2016>n S 显然不成立，当n ≥5 ∴4462127n n n S --=-+-=-，…………………9分∴+-∈>-N n n 且,2016724解得n ≥15，…………………11分故最小正整数n 的值为15.…………………12分18.解：(I)由已知可得，从这五组所获得的金牌数中任取两组，共有以下情况：（16,28）（16,32）（16，51）（16,38）（28,32）（28,51）（28,38）（32,51）（32,38）（51,38） 其中两组所获得的金牌数之和大于70枚的有3种，∴这两组所获得的金牌数之和大于70枚的概率103=P ；…………………6分 （Ⅱ）由已知数据可得：3554321=++++=x ，3353851322816=++++=y ，…………………7分∴10)(251=-∑=x x i i ，又Θ67))((51=--∑=y yx x ii i，7.6=∴∧b ………………9分∴9.1237.633ˆˆ=⨯-=-=x b y a， ∴线性回归方程为9.127.6+=x y ，…………………10分当6=x 时，中国代表团获得的金牌数531.539.1267.6≈=+⨯=y （枚）…………11分 ∴根据线性回归方程预测第31届奥林匹克运动会中国代表团获得的金牌数大约为53枚.…………………12分 19.(I)证明：（方法一）连接EF ，由已知可得：1AA ∥1BB ，Θ点E 、F 分别是线段11,BB AA 的中点，∴E A 1∥BF ，∴四边形F BEA 1为平行四边形， ∴F A 1∥BE ，同理：四边形CFED 为平行四边形，DE ∥CF ∴，………………2分E DE BE BDE DE BDE =⊂⊂I Θ，平面，平面BE ，F A CF A A A 1111=⊂⊂F CF F CF CF I ，平面，平面， BDE FC A 1平面∥平面∴.………………4分(方法二）设,O BD AC =I 连接EO ， 同方法一证明F A 1∥BE ，………………2分ΘO 、E 分别为11,AA AC 的中点，C A 1∥OE ∴，E BE OE BDE BE BDE =⊂⊂I Θ，平面，平面OEF A CF A A A 1111=⊂⊂F CF F CF CF I ，平面，平面， BDE FC A 1平面∥平面∴.………………4分(Ⅱ)（方法一）连接O A 1，过点E 作，∥O A 1EP 与AC 交于P 点， 由已知可得：AC BD AO BO ⊥==,32,2，在△O AA 1中，︒⋅⋅-+=45cos 2)()()(122121AO AA AO AA O A =122232622)32()62(22=⨯⨯⨯-+， 321=∴O A ，AO O A ⊥∆∆∴11,Rt AOA 为，………………6分111BB ,∥又AA BB BD ⊥Θ，1AA BD ⊥∴，111A ACC ,平面⊥∴=BD A AC AA I ，111A ACC 平面⊂O AO AC BD O A BD =⊥∴I ,1，ABCD 1平面⊥∴O A ，………………9分 的中点，为，且点∥11AA E O A EP Θ3EP ABCD =⊥∴，且平面EP ， 43324213131V ABD -E =⨯⨯⨯⨯=⋅=∴∆EP S ABD ，………………11分4V V ABD -E ADE -B ==∴.∴三棱锥ADE B -的体积为4.………………12分（方法二），为菱形，AC BD ABCD ⊥∴Θ，，，∥1111AA BD BB BD AA BB ⊥∴⊥ΘC C AA BD A AA AC 111平面，⊥∴=I ΘC C AA ABCD ABCD BD 11平面平面，平面又⊥∴⊂ΘAC,ABCD C C AA 11=平面平面I Θ过点E 作AC EP ⊥交AC 于点P ， ，平面平面ABCD EP C,C AA 11⊥∴⊂EP Θ，，，中，在3EP AA 21AE 45C AA AEP Rt 11=∴==∠∆︒ 460sin 3442131V V ABD -E ADE -B =⋅⨯⨯⨯⨯==∴︒.………………12分20.解：(I)由已知可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=116341432222b ab a ，化简可得： 0)916)(14(,0920642224=+-=-+b b b b ，412=∴b ，12=a ， ,141C 22=+∴y x 的方程为：椭圆………………3分“伴随圆”1C 的方程为：4122=+y x .………………5分 (Ⅱ)由已知可得：21≥t ， 设直线l 的方程为x=my+t,点),(),,(2211y x B y x A ，,211d C 21=+=∴m tl 相切，与直线Θ即：,1422-=t m ………………6分由⎩⎨⎧=++=1422y x t my x 得：012)4(222=-+++t mty y m ， 012)1)(4(4)2(222>=-+-=∆t m mt ,,41,422221221+-=⋅+-=+∴m t y y m mt y y ………………8分2121y y OM S AOB -⋅=∆212214)(21y y y y t ⋅-+⋅= 343)4(4422222+=++-⋅=t t m t m t 411223343=≤+=tt ， 当且仅当23±=t 时取到等号.………………11分41面积的最大值为AOB ∆∴.………………12分21.解：(I)由已知可得]),[(11)('2e e x xax a x x f ∈+=+=，………………1分①当0≥a 时，01)('≥+=xax x f 在区间],[2e e 内恒成立，)(x f ∴在],[2e e 上递增；②当0<a 时，xa x a x f )]1([)('--⋅=， （ⅰ）当,11时，即e a e a -≤≤-0)('≤x f 在区间],[2e e 内恒成立，)(x f ∴在],[2e e 上递减；（ⅱ）当,01122时，即<≤-≥-a ee a 0)('≥xf 在区间],[2e e 内恒成立，)(x f ∴在],[2e e 上递增；（ⅲ）当时，即22111e a e e a e -<<-<-<，)('x f 在区间]1,[a e -内大于0， )(x f ∴在]1,[a e -上递增，)('x f 在区间],1(2e a-内小于0，)(x f ∴在]1,[a e -上递减.………………4分综上所述：①当,12时e a -≥)(x f 在区间],[2e e 上单调递增； ②当,1时ea -≤)(x f 在区间],[2e e 上单调递减；③当时211e a e -<<-，)(x f 在区间]1,[ae -上单调递增，在区间],1(2e a-上单调递减.………………5分(注：每讨论对其中的一种情况给1分）(Ⅱ)22)()(x t x f x g -=函数Θ只有一个零点，等价于方程02)(2=-x tx f 只有一个实数解，即0ln 22=--tx x t x 只有唯一正实数解.设tx x t x x h --=ln 2)(2，则xt tx x t x t x x h --=--=2'44)(，令04,0)(2'=--=t tx x x h ，,0,0>>t x Θ解得：舍去），(81621t t t x +-=，81622tt t x ++=………………7分 当),0(2x x ∈时，)(,0)('x h x h 则<在),0(2x x ∈上单调递减； 当),(2+∞∈x x 时，)(,0)('x h x h 则>在),(2+∞∈x x 上单调递增；∴)()(2x h x h 的最小值为.………………8分要使得方程0ln 22=--tx x t x 只有唯一实数解，则⎩⎨⎧=--=--⎩⎨⎧==040ln 2,0)(0)(22222222'2t tx x tx x t x x h x h 即，得 0ln 222=-+t tx x t 01ln 2,022=-+∴>x x t Θ，………………10分设012)(),0(1ln 2)('>+=>-+=xx m x x x x m 恒成立，故)(x m 在（0，+∞）单调递增，0)(=x m 至多有一解．又0)1(=m Θ，∴12=x ，即，18162=++tt t 解得2=t ．………………12分22. (I)证明：ΘCA 为圆O 的切线，ABC CAE ∠=∠∴， 则ACE ∆∽BCA ∆，∴AB AECA CE =, ΘCF 是∠ACB 的平分线， EF.AB AF AE ,,⋅=⋅=∴=∴即AFEF AB AE AF EF CA CE ……5分 （Ⅱ）解： CD Q 平分ACB ∠， ACF BCD ∴∠=∠ AC Q 为圆的切线，CAE CBD ∴∠=∠ACF CAE BCD CBD ∴∠+∠=∠+∠，即AFD ADF ∠=∠，所以=AF AD ACF ∆∴∽BCD ∆, 21===∴BD AD BD AF BC AC ，42==∴AC BC ΘCA 为圆O 的切线，CB CE CA ⋅=∴2 .1=∴CE ……10分23.解： (I)由2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）消α得：22143x y +=，将3)4M π化成直角坐标得(1,1)M -，∵2(1)4-+2171312=< 故点M 在曲线C 内．………………5分 (Ⅱ)由||2||AB MB =得：M 为AB 的中点，设11(,)A x y ，22(,)B x y 代入曲线C 得22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，相减整理得：12121212()()()()43x x x x y y y y +-+-=-，又∵1212x x +=-，1212y y +=，代入得：121234y y x x -=-， ∴l 的方程为：31(1)4y x -=+即3470x y -+=.………………10分 24.解:(I)由()1g x <得：121x --<，1211<--<-∴x ，即311<-<x ，由11-<x 解得：02<>x x 或；由31<-x 解得：42<<-x ；∴原不等式的解为(2,0)(2,4)-U .……………………5分 (Ⅱ)因为1x R ∃∈，2x R ∈，使得)()(21x g x f ≤成立，只需要min max )()(x f x g ≥ Θ()221|(2)(21)||1|f x x a x x a x a =-++≥--+=+，()2|1|2g x x =--≤， ∴|1|2a +≤，解得31a -≤≤，所以实数a 的取值范围为{}31a a -≤≤.……………………10分。