东城区2019届高三一模数学(理)试题
2019北京高三一模数学---立体汇编
B12019北京高三一模数学---立体汇编1.2019东城一模理 （17）（本小题14分）如图，在棱长均为2的三棱柱111ABC A B C -中，点C 在平面11A ABB 内的射影O 为1AB 与1A B 的交点，,E F 分别为11,BC A C 的中点．（Ⅰ）求证：四边形11A ABB 为正方形；（Ⅱ）求直线EF 与平面11A ACC 所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段1AB 上存在一点D ，使得直线EF 与平面1A CD 求1ADDB 的值. 2.2019西城一模理 16．（本小题满分14分）如图，在多面体ABCDEF 中，梯形ADEF 与平行四边形ABCD 所在平面互相垂直， //AF DE ，DE AD ⊥，AD BE⊥，112AF AD DE ===，AB =（Ⅰ）求证：//BF 平面CDE ； （Ⅱ）求二面角B EF D --的余弦值； （Ⅲ）判断线段BE 上是否存在点Q ，使得 平面CDQ ⊥平面BEF ？若存在，求出BQBE的值，若不存在，说明理由． 3.2019海淀一模理 (17)（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,2AC BC AC BC CC ⊥===，点,,D E F 分别为棱11111,,AC B C BB 的中点．(Ⅱ)求证：1AC ∥平面DEF (Ⅱ)求证：平面1ACB ⊥平面DEF ;(Ⅲ)在线段1AA 上是否存在一点P ，使得直线DP 与平面1ACB 所成的角为300?如果存在，求出线段AP 的长；如果不存在，说明理由．4.2019朝阳一模理 17．（本小题满分14分）如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD ．四边形ADEF 为正方形，四边形ABCD 为梯形，且//AD BC ，90BAD ∠=︒，1AB AD ==，3BC =．（Ⅰ）求证：AF CD ⊥；（Ⅱ）求直线BF 与平面CDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）线段BD 上是否存在点M ，使得直线//CE 平面AFM ? 若存在，求BMBD的值；若不存在，请说明理由． 5.2019丰台一模理 17．（本小题14分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为直角梯形，AB CD ∥，AB BC ⊥，平面ABCD ⊥平面11ABB A ，160BAA ∠=︒，1=2=22AB AA BC CD ==．（Ⅰ）求证：1BC AA ⊥；（Ⅱ）求二面角1D AA B --的余弦值；（Ⅲ）在线段1DB 上是否存在点M ，使得CM ∥平面1DAA ？若存在，求1DMDB 的值；若不存在，请说明理由．6.2019石景山一模理 17. （本小题14分）EDCBA F11如图，在四棱锥E ABCD -中，平面ABCD ⊥平面AEB ，且四边形ABCD 为矩形，120BAE=∠︒，4AE=AB=，2AD=，F G ，分别为BE AE ，的中点，H 在线段BC 上（不包括端点）． （Ⅰ）求证：CD ∥平面FGH ； （Ⅱ）求证：平面DAF ⊥平面CEB ；（Ⅲ）是否存在点H ，使得二面角H GF B --的大小为π6？若存在，求BH BC ；若不存在，说明理由．7.2019怀柔一模理 16．（本小题满分14分）已知三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，PA=AC=AB=2，N 为AB 上一点，AB=4AN ，M ，S 分别为PB ，BC 的中点.（Ⅰ）证明：CM ⊥SN ；（Ⅱ）求直线SN 与平面CMN 所成角的大小； （Ⅲ）求二面角--B NC M 大小的余弦值. 8.2019延庆一模理 17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD ∠=，侧面PAB ⊥底面ABCD ，PA AB ⊥,2AB AC PA ===, ,E F 分别为,BC AD 的中点，点M 在线段PD 上.（Ⅰ）求证：直线EF ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若M 为PD 的中点，求平面MEF 与平面PBC所成锐二面角的余弦值；12HE（Ⅲ）设=PMPDλ，当λ为何值时，直线ME 与平面PBCλ的值. 9.2019平谷一模理 17.（本小题满分14分）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 上的一点，PB ∥平面AEC ； （I ）求证：E 为PD 的中点； （II ）求证：CD ⊥AE（III ）设二面角D-AE-C 为60°，AP=1，AD= ，求AB 长。
2019北京高三一模数学---平面向量分类汇编
2019北京高三一模数学---平面向量分类汇编1.2019东城一模理（12）已知向量=a ，向量b 为单位向量，且1⋅=a b ，则2-b a 与2b 夹角为 .2.2019西城一模理3.2019海淀一模理(11)已知向量a =（1，-2），同时满足条件①a ∥b ，②a b a +<的一个向量b 的坐标为4.2019朝阳一模理14．在平面内，点A 是定点，动点C B ,满足||||1AB AC ==，0AB AC ⋅=，则集合{=+,12}|P AP AB AC λλ≤≤所表示的区域的面积是 ．5.2019丰台一模理9．已知平面向量(13)=-，a ，(2,)m =-b ，且∥a b ，那么m =____． 12．若ABC △的面积为3A π=，则AB AC =____． 6.2019石景山一模理6. 已知平面向量(,2),(1,),a k b k k ==∈R ，则k =a 与b 同向的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 7.2019怀柔一模理7．已知是两个非零向量，则“”是“且”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8.2019延庆一模理11. 如右图，正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AB AC AE λμ=+，则λμ+的值为_____.9.2019平谷一模理6.设a 、b 是非零向量，则“|a −b |=|a |+|b |”是a ∥b 的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 14. 如图，在菱形ABCD 中，∠B=π3，AB=4（1）若P 为BC 的中点，则PA ̅̅̅̅□PB ̅̅̅̅=a b ,=a b =a b a b̅̅̅̅+PB̅̅̅̅|的最小值为（2）点P在线段BC上运动，则|PA。
2019届北京市东城区高三第二学期综合练习(一)数学(理)试题(解析版)
2019届北京市东城区高三第二学期综合练习（一）数学（理）试题一、单选题1．在复平面内，复数(2i)z -对应的点位于第二象限，则复数z 可取（ ） A ．2 B ．-1C ．iD ．2i +【答案】B【解析】由题意首先分析复数z 的实部和虚部的关系，然后考查所给的选项即可确定z 的值. 【详解】不妨设(),z a bi a b R =+∈，则()()()()()2222i z i a bi a b b a i -=-+=++-，结合题意可知：20,20a b b a +<->，逐一考查所给的选项： 对于选项A ：24,22a b b a +=-=-，不合题意； 对于选项B ：22,21a b b a +=--=，符合题意； 对于选项C ：21,22a b b a +=-=，不合题意； 对于选项D ：25,20a b b a +=-=，不合题意； 故选：B . 【点睛】本题主要考查复数的运算法则，各个象限内复数的特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．正方体被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则截面图形的形状为A ．等腰三角形B ．直角三角形C．平行四边形D．梯形【答案】A【解析】首先确定几何体的空间结构特征，然后确定截面的形状即可.【详解】如图所示，由三视图可得，该几何体是正方体被一个平面截去一个三棱锥所得的几何体，很明显三棱锥的两条侧棱相等，故截面是等腰三角形.故选：A.【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体的问题，截面问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．若,x y满足0,10,26,x yyy x+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则x y-的最大值为A．0B．1C．2D．4【答案】D【解析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义求解目标函数的最大值即可. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：z x y =-=其中z 取得最大值时，其几何意义表示可行域内的点到直线0x y -=倍最大，据此可知目标函数在点A 处取得最大值， 联立直线方程：026x y y x +=⎧⎨=-⎩，可得点的坐标为：()2,2A -，据此可知目标函数的最大值为：()max 224z =--=. 故选：D . 【点睛】(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义． 4．已知直线l 过抛物线28y x =的焦点F ，与抛物线交于A ，B 两点，与其准线交于点C .若点F 是AC 的中点，则线段BC 的长为（ ) A ．83B ．3C ．163D ．6【答案】C【解析】由题意结合抛物线的定义和性质首先求得直线AB 的方程，然后联立直线方程与抛物线方程可得点B 的坐标，进一步整理计算即可求得最终结果. 【详解】如图，A 在准线上的射影为E ，B 在准线上的射影为H ，由抛物线y 2=8x ，得焦点F （2，0），∵点F 是的AC 中点，∴AE =2p =8，则AF =8，∴A 点横坐标为6，代入抛物线方程，可得(6,A .AF k ∴==AF 所在直线方程为)2y x =-.联立方程：)228y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩可得：2320120x x -+=， 264,3B B x x ∴==，则28233BF BH ==+=. 故816833BC CF BF AF BF =-=-=-=. 故选：C . 【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程，抛物线的几何性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为12,,V V 被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为12,,S S 则“12,V V 相等”是“12,S S 总相等”的（ )A ．而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意结合祖暅原理和空间几何体的几何特征考查充分性和必要性是否成立即可求得最终结果. 【详解】由祖暅原理知,若12,S S 总相等,则12,V V 相等成立，即必要性成立，若12,V V 相等,不妨设几何体为图中长方体1111ABCD A B C D -内的的三棱锥111A A B D -和1B BCD -，此时满足“12,V V 相等”,但是不满足“12,S S 总相等”，即充分性不成立， 综上可得：“12,V V 相等”是“12,S S 总相等”的必要而不充分条件. 故选：B . 【点睛】本题主要考查空间几何体的结构特征，充分性与必要性的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．已知数列{}n a 满足：1a a =，11()2n n na a n a *+=+∈N ，则下列关于{}n a 的判断正确的是（ )A ．0,2,a n ∀>∃≥使得n a B ．0,2,a n ∃>∃≥使得1n n a a +<C ．0,,a m *∀>∃∈N 总有()m n a a m n <≠D ．0,,a m *∃>∃∈N 总有m n n a a += 【答案】D【解析】由题意结合均值不等式的结论、数列的单调性、函数的单调性和特殊数列的性质确定题中的说法是否正确即可. 【详解】对于选项A ，由于0a >，故0n a >恒成立，则112n n n a a a +=+≥=，故不存在n a 的项，选项A 说法错误；对于选项B ，由于12112n n n a a a +=+，结合选项A可知n a ≥，故121112n n na a a +=+<，即1n n a a +<，选项B 说法错误； 对于选项C，构造函数(1()2x f x x x =+≥，则()211'02f x x=-≥，则函数()f x在区间)+∞上单调递增，则不存在m N *∈满足m n a a <，选项C 说法错误；对于选项D，令1a121112a a a a =+===，此时数列{}n a 为常数列，故0,,a m *∃>∃∈N 总有m n n a a +=，选项D 说法正确.故选：D . 【点睛】本题主要考查数列的单调性，数列中的最值问题，递推关系的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题7．在6)x 的展开式中，2x 的系数是_____________.（用数字作答） 【答案】60【解析】由题意结合二项式展开式的通项公式可得2x 的系数. 【详解】由二项式展开式的通项公式可得6)x 的展开式为：()()661661kkk kk k k k T C x C x --+=⨯⨯-=-，令2k =可得2x 的系数是()62226160C--=.【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．8．在ABC ∆中，若cos sin 0b C c B +=，则C ∠=___________. 【答案】34π 【解析】由题意结合正弦定理和特殊角的三角函数值可得∠C 的大小. 【详解】由题意结合正弦定理可得：sin cos sin sin 0B C C B +=， 由于sin 0B ≠，故cos sin 0C C +=，则sin 3tan 1,cos 4C C C C π==-=. 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 9．若曲线:C cos ,2sin x a y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）关于直线:l 1,22x t y t=+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)对称，则a =___________；此时原点O 到曲线C 上点的距离的最大值为___________.【答案】3【解析】首先把参数方程化为普通方程，然后求解a 的值和原点O 到曲线C 上点的距离的最大值即可. 【详解】 消去参数可得：曲线C 的普通方程为：()()2221x a y -+-=，直线l 的普通方程为：24y x =-， 由题意可知直线l 过圆心(),2a ，故：224a =-，解得：3a =，O 到曲线C 上点的距离的最大值1. 【点睛】本题主要考查参数方程化为普通方程的方法，直线与圆的位置关系及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．已知向量(1,3)a =，向量b 为单位向量，且1a b ⋅=，则2b a -与2b 夹角为__________. 【答案】60【解析】首先求得向量,a b 的夹角，然后求解向量2b a -与2b 的夹角即可. 【详解】很明显132a =+=，设向量,a b 的夹角为θ， 则：21cos 1a b θ⋅=⨯⨯=，1cos ,23πθθ∴==， 据此有：()()22422224b a a b b b -⋅=-⋅=-=， 且()22242,22b a b a b ===-=--，向量2b a -与2b 的夹角为β，则21cos ,60222ββ===⨯， 综上可得：2b a -与2b 夹角为60. 【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算法则，向量夹角的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．已知函数3()4f x x x =-，若1212,[,],,x x a b x x ∀∈≠都有12122()(2)(2)f x x f x f x +>+成立，则满足条件的一个区间是________.【答案】(0,1) (答案不唯一)【解析】将原问题进行等价转化，然后结合二阶导函数的解析式可得满足题意的一个区间. 【详解】12122()(2)(2)f x x f x f x +>+即()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，定义函数y =()f x 为上凸函数，故原问题等价于函数()f x 在区间内满足()''0f x ≤在给定的区间内恒成立， 由函数的解析式可得：()2'43f x x =-，()''6f x x =-，故可给定区间()0,1，函数在该区间内即满足()''0f x ≤， 综上可得，满足条件的一个区间是(0,1)(答案不唯一). 【点睛】本题主要考查导函数研究函数的凹凸性，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．设A B ，是R 的两个子集，对任意x R ∈，定义：01x A m x A ∉⎧=⎨∈⎩，，，，01.x B n x B ，，，∉⎧=⎨∈⎩①若A B ⊆，则对任意x R ∈，(1)m n -= _____； ②若对任意x R ∈，1m n +=，则A B ，的关系为__________. 【答案】0 R A B =ð【解析】由题意分类讨论x ∉A 和x ∈A 两种情况即可求得(1)m n -的值，结合题中的定义和m ,n 的关系即可确定A ,B 之间的关系. 【详解】①∵A ⊆B .则x ∉A 时,m =0,m (1−n )=0. x ∈A 时,必有x ∈B ,∴m =n =1,m (1−n )=0. 综上可得：m (1−n )=0.②对任意x ∈R ，m +n =1，则m ，n 的值一个为0，另一个为1， 即x ∈A 时，必有x ∉B ，或x ∈B 时，必有x ∉A ， ∴A ,B 的关系为R A B =ð. 【点睛】本题主要考查新定义知识的应用，集合之间的基本关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题13．已知函数()4cos sin()6f x a x x π=-，且()13f π=.(Ⅰ) 求a 的值及()f x 的最小正周期；(Ⅱ) 若()f x 在区间[0,]m 上单调递增，求m 的最大值. 【答案】（Ⅰ）1a =,最小正周期为π；（Ⅱ）3π. 【解析】(Ⅰ)由题意首先确定a 的值，然后整理函数的解析式为()()sin f x A x b ωϕ=++的形式即可确定函数的最小正周期；(Ⅱ)结合题中所给的区间[0,]m 和(Ⅰ)中确定的函数解析式得到关于m 的不等式，求解不等式即可确定m 的最大值. 【详解】（Ⅰ）由已知()13f π=，得114122a ⨯⨯=，解得1a =. ()4cos sin()6f x x x π=-14cos cos )22x x x =-2cos 2cos x x x =-2cos21x x =--2sin(2)16x π=--所以()2sin(2)16f x x π=--的最小正周期为π.（Ⅱ）由（Ⅰ）知()2sin(2) 1.6f x x π=--当[0,]x m ∈时，2[,2],666x m πππ-∈--若()f x 在区间[0,]m 上单调递增， 则有262m ππ-≤，即3m π≤. 所以m 的最大值为3π. 【点睛】本题主要考查三角函数解析式的化简，三角函数的单调性，三角函数最小正周期的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14．改革开放40年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及．下图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图．其中条形图为体育产业年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业年增长率（％）．（Ⅰ）从2007年至2016年随机选择1年，求该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多500亿元以上的概率；（Ⅱ）从2007年至2016年随机选择3年，设X 是选出的三年中体育产业年增长率超过20%的年数，求X 的分布列与数学期望；（Ⅲ）由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？（结论不要求证明） 【答案】（Ⅰ）25；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）从2008年或2009年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大．从2014年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大． 【解析】(Ⅰ)由题意利用古典概型计算公式可得满足题意的概率值；(Ⅱ)由题意首先确定X 可能的取值，然后结合超几何概型计算公式得到分布列，然后求解其数学期望即可；(Ⅲ)由题意结合方差的性质和所给的图形确定方差的最大值即可. 【详解】（Ⅰ）设A 表示事件“从2007年至2016年随机选出1年，该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多500亿元以上”．由题意可知，2009年，2011年，2015年，2016年满足要求， 故42()105P A ==． （Ⅱ）由题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2，3，且36310C 1(0)=C 6P X ==；1246310C C 1(1)=C 2P X ==；2146310C C 3(2)=C 10P X ==；34310C 1(3)=C 30P X ==.所以X 的分布列为：故X 的期望11316()01236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． （Ⅲ）从2008年或2009年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大．从2014年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大． 【点睛】本题主要考查统计图表的识别，超几何概型计算公式，离散型随机变量的分布列与期望的计算，古典概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 15．如图，在棱长均为2的三棱柱111ABC A B C -中，点C在平面11A ABB 内的射影O 为1AB 与1A B 的交点，,E F 分别为11,BC A C 的中点．（Ⅰ）求证：四边形11A ABB 为正方形；（Ⅱ）求直线EF 与平面11A ACC 所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段1AB 上存在一点D ，使得直线EF 与平面1A CD 没有公共点，求1ADDB 的值.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ；（Ⅲ）12.【解析】(Ⅰ)由题意结合几何体的空间结构特征证得1111D C B A 的对角线相等即可证得题中的结论；(Ⅱ)建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后由夹角公式可得线面角的正弦值；(Ⅲ)由题意利用线面垂直的充要条件得到点D 的坐标，据此整理计算即可确定1ADDB 的值. 【详解】 （Ⅰ）连结CO ．因为C 在平面11A ABB 内的射影O 为与1A B 的交点，所以CO ⊥平面11A ABB ．由已知三棱柱111ABC A B C -各棱长均相等， 所以AC BC =，且11A ABB 为菱形. 由勾股定理得OA OB =，即11AB A B =. 所以四边形11A ABB 为正方形.（Ⅱ）由（Ⅰ）知CO ⊥平面11,A ABB 1,.CO OA CO OA ⊥⊥ 在正方形11A ABB 中，1OA OA ⊥． 如图建立空间直角坐标系O xyz -．由题意得11(0,0,0),(O A A B C C ，(E F ．所以1(2,2,0),(0,A A AC =-=- 设平面11A ACC 的法向量为(,,),m x y z =则10,0.m AA m AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩即0,0.⎧=⎪⎨=⎪⎩ 令1,x =则1, 1.y z == 于是(1,1,1)m =．又因为3(EF =， 设直线EF 与平面11A ACC 所成角为θ，则30sin |cos |m EF m ,EF m EFθ⋅=〈〉==所以直线EF 与平面1A AC 所成角的正弦值为15. （Ⅲ）直线EF 与平面1A CD 没有公共点，即EF ∥平面1A CD． 设D 点坐标为0(0,,0)y ，D 与O 重合时不合题意，所以00y≠．因为10(,0)A D y =，1(AC =．设111(,,)n x y z =为平面1A CD 的法向量，则110,0.n A D n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即101110,0.y y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 令11x =，则1y =，11z =. 于是02(1,,1)n y =. 若EF ∥平面1ACD ，0n EF ⋅=.又3(EF=，=，解得0y =． 此时EF不属于平面1A CD ， 所以AD =1DB =所以112AD DB =． 【点睛】本题的核心在考查空间向量的应用，需要注意以下问题：(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．(2)设,m n 分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与,m n 互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角． 16．设函数2()(2)ln f x ax a x x =+--的极小值点为0x .（I ）若01x =，求a 的值()f x 的单调区间；（II ）若001x <<，在曲线()y f x =上是否存在点P ，使得点P 位于x 轴的下方？若存在，求出一个P 点坐标，若不存在，说明理由. 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）答案见解析.【解析】(Ⅰ)首先确定函数的定义域，然后求解导函数的解析式，利用导函数与极值的关系得到关于a 的方程，解方程确定a 的值即可求解函数的单调区间和a 的值； (Ⅱ)由导函数的解析式分类讨论求解函数的最小值可得满足题意的点P 不存在. 【详解】（Ⅰ）()f x 定义域为(0,)+∞.212(2)1(21)(1)'()2(2)ax a x x ax f x ax a x x x+--+-=+--==. 由已知，得()01f '=，解得1a =. 当1a =时，(21)(1)'(),x x f x x+-=当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>. 所以()f x 的递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,).+∞ 所以1a =时函数()f x 在1x =处取得极小值. 即()f x '的极小值点为1时a 的值为1.（II ）当001x <<时，曲线()y f x =上不存在点P 位于x 轴的下方，理由如下： 由（I ）知(21)(1)'(),x ax f x x+-=当0a ≤时，'()0f x <，所以()f x 在(0,)+∞单调递减，()f x 不存在极小值点；当0a >时，令(21)(1)'()0x ax f x x +-==，得1x a=.当1(0,)x a ∈时，()0f x '<，()f x 在区间1(0,)a 上单调递减； 当1(,)x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在区间1(,)a +∞上单调递增.所以11()ln 1f a a a=+-是()f x 在(0,)+∞上的最小值.由已知，若001x <<，则有101a <<，即1a >.当1a >时，ln 0a >，且101a<<，110a ->.所以1()0.f a>当001x <<时，曲线()y f x =上所有的点均位于x 轴的上方. 故当001x <<时，曲线()y f x =上不存在点P 位于x 轴的下方. 【点睛】本题主要考查由函数的极值求参数的方法，导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的最值，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17．已知椭圆22:1(0)4x y C m m m+=>与x 轴交于两点12,A A ，与y 轴的一个交点为B ，△12BA A 的面积为2.（Ⅰ）求椭圆C 的方程及离心率；（Ⅱ）在y 轴右侧且平行于y 轴的直线l 与椭圆C 交于不同的两点12,P P ，直线11A P 与直线22A P 交于点P .以原点O 为圆心，以1A B 为半径的圆与x 轴交于,M N 两点（点M 在点N 的左侧），求PM PN -的值.【答案】（Ⅰ）2214x y +=，离心率为；（Ⅱ）4. 【解析】(Ⅰ)由题意结合三角形的面积求得m 的值即可确定椭圆方程，然后求解离心率即可；(Ⅱ)由题意首先求得点P 的轨迹方程，然后结合双曲线的定义和几何性质可得PM PN -的值.【详解】（Ⅰ）因为0,m >由椭圆方程知：224,,a m b m a b ====，1212222BA A S ab m ∆=⨯===，所以 1.m =所以椭圆C 的方程为2214x y +=.由2,1a b ==，222a b c =+，得c =所以椭圆C 的离心率为（Ⅱ）设点(,)P P P x y ,1002000(,),(,)(0),P x y P x y x ->不妨设12(2,0),(2,0),AA - 设()0110:22y P A y x x =++，()0220:22yP A y x x -=--， 由()()00002222y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨-⎪=-⎪-⎩，得0004,2.P Px x y y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 即0004,42=.22PPp P P P x x y x x y y y x ⎧=⎪⎪⎪⎨⎪⎪==⎪⎩又220014xy +=，得2224()414P P P x y x +=， 化简得221(0).4P P P x y x -=>因为1(2,0),(0,1)A B -，所以1A B =，即(M N所以点P 的轨迹为双曲线2214x y -=的右支，,M N 两点恰为其焦点，12,A A 为双曲线的顶点，且124A A =，所以4PM PN -=. 【点睛】本题主要考查椭圆方程的求解，平面轨迹方程的确定，双曲线的性质与应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18．已知L *∈N ，数列12:n A a a a L ，，，中的项均为不大于L 的正整数.k c 表示12,,,n a a a 中k 的个数(1)k L =L ，2，，.定义变换T ，T 将数列A 变成数列()T A 12:(),(),,()n t a t a t a 其中12()kc c c t k L n+++=⋅L .（Ⅰ）若4L =，对数列A ：1，1，2，3，3，4，写出i c 4)i ≤≤(1的值； （Ⅱ）已知对任意的(1,2,,)k k n =，存在A 中的项m a ，使得m a k =.求证：i it a a =（）(1,2,,)i n =的充分必要条件为(12)i j c c i j L ==，，，，；L（Ⅲ）若l n =，对于数列12:,,,n A a a a L ，令12(()):,,,n T T A b b b L ，求证：()i i b t a =(1,2,,).i n =【答案】（Ⅰ）1=2c ，2=1c ，3=2c ，4=1c ；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析. 【解析】(Ⅰ)由题意结合所给的定义确定i c 4)i ≤≤(1的值即可； (Ⅱ)由题意分别证明充分性和必要性成立即可证得题中的结论；(Ⅲ)由题意结合变换L 的定义首先对数列进行合理排序，求解()T A 的值，结合变换的性质进一步计算可得()()T T A 的值，从而证得题中的结论. 【详解】（Ⅰ）考查数列的项中1,2,3,4的个数可得：1=2c ，2=1c ，3=2c ，4=1.c（Ⅱ）由于对任意的正整数(1)k k L ≤≤，存在A 中的项m a ，使得m a k =.所以12L c c c L ，，，均不为零.必要性：若()i i t a a =(1)i n ≤≤，由于12()kc c c t k L n+++=⋅L ，所以有1(1)1c t L n =⋅=；12(2)2c ct L n +=⋅=；123(3)3c c c t L n++=⋅=；；12()Lc c c t L L n+++=⋅L .通过解此方程组，可得(12)i j c c i j L ==L ，，，，成立. 充分性：若(12)i j c c i j L ==L ，，，，成立，不妨设(12)i j h c c i j L ===L ，，，，，可以得到h L n ⋅=.所以有：(1)1h t L n =⋅=；2(2)2h t L n =⋅=；3(3)3ht L n=⋅=；；()Lht L L L n=⋅=. 所以()i i t a a =(1)i n ≤≤成立.（Ⅲ）设12:n A a a a L ，，，的所有不同取值为12m u u u L ，，，，且满足：12m u u u <<<L . 不妨设12111212122212:,mr r m m mr A u u u u u u u u u L L L L ，，，，，，，，，，，， 其中111121r u u u ==L =；221222r u u u ===L ；；12mm m mr u u u ==L =.又因为L n =，根据变换T 有：111112111()()()()u r c t u t u t u t u L r n=====⋅=L ；12221222212()()()()u u r c c t u t u t u t u L r r n+=====⋅=+L ；;L121212()()()()mm u u u m m mr m m c c c t u t u t u t u L r r r L n+++=====⋅=+++=L L L ；所以12111222():(),(),,()(),(),,()(),(),,().m m m m r r r T A t u t u t u t u t u t u t u t u t u 个个个，，即12111121212():,,,,,,,,,.m r r r T A r r r r r r r r r L L L +++个个个，，，所以12111121212(()):(),(),,(),(),(),,()(),(),,().m r r r T T A t r t r t r t r r t r r t r r t L t L t L +++个个个，，因为11212,m r r r r r r <+<<+++所以有11121212(),(),,()m t r r t r r r r t r r r L =+=++++=.因此，112121211112,,,r r r r r b b b r b b b r r +++========+1211211212m m r r r r r r n m b b b r r r L --++++++++====+++=即(()):T T A 12111121212,,,,,,,,,.m r r r r r r r r r r r r L L L +++个个个，，，从而()(1,2,,)i i b t a i n ==.因此结论成立. 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.。
东城区高三一模试卷及答案(数学理)
北京市东城区2019学年度第二学期高三综合练习（一）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）若a ，b ∈R ，i 是虚数单位，且(2)i 1i a b +-=+，则a b +的值为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（2）若集合},0{2m A =，}2,1{=B ，则“1=m ”是“}2,1,0{=B A ”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（3）若实数x ，y 满足不等式组1,2,0,y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则y x z 2-=的最小值为（A ）27-（B ） 2- （C ）1 （D ） 25（4）右图给出的是计算1001...81614121+++++的一个程序框图， 其中判断框内应填入的条件是（A ）50<i （B ）50>i （C ）25<i （D ） 25>i（5）某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为（A ）16（B ）18（C ）24（D ）32（6）已知x ，y ，z ∈R ，若1-，x ，y ，z ，3-成等比数列，则xyz 的值为 C （A ）3-（B ）3±（C）-（D）±（7）在直角梯形ABCD 中，已知BC ∥AD ，AB AD ⊥，4AB =，2BC =，4AD =，若P 为CD 的中点，则PA PB ⋅的值为（A ）5- （B ）4- （C ）4 （D ）5 （8）已知函数21,0,()(1),0.x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩若方程()f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是8 4 4 6 4 7m 9 35 4 5 5 10 7 9乙甲（A ）(),1-∞ （B ）(],1-∞ （C ）()0,1 （D ）[)0,+∞第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
东城区2019届高三一模数学(理)答案
北京市东城区2018-2019学年度第二学期高三综合练习（一）2019.4数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）B （3）D （4）A （5）D （6）C （7）B （8）D 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）60 （10）34π （11）3 （12）60（13）(0,1) (答案不唯一) （14）0 A B R =ð三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）由已知()13f π=，得114122a ⨯⨯=，解得1a =. ()4cos sin()6f x x x π=-214cos cos )2cos 2cos 2cos 21x x x x x xx x =-=-=-- 2sin(2)16x π=--所以()2sin(2)16f x x π=--的最小正周期为π. ............................7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知()2sin(2) 1.6f x x π=--当[0,]x m ∈时，2[,2],666x m πππ-∈--若()f x 在区间[0,]m 上单调递增，则有262m ππ-≤，即3m π≤. 所以m 的最大值为3π. ............................13分（16）（共13分）解:（Ⅰ）设A 表示事件“从2007年至2016年随机选出1年，该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增1加值多500亿元以上”．由题意可知，2009年，2011年，2015年，2016年满足要求， 故42()105P A ==． ............................4分 （Ⅱ）由题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2，3，且36310C 1(0)=C 6P X ==； 1246310C C 1(1)=C 2P X ==；2146310C C 3(2)=C 10P X ==； 34310C 1(3)=C 30P X ==.所以X 的分布列为：故X 的期望11316()01236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． ............................10分 （Ⅲ）从2008年或2009年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大．从2014年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大． ............................13分（17）（共14分） 解：（Ⅰ）连结CO ．因为C 在平面11A ABB 内的射影O 为1AB 与1A B 的交点， 所以CO ⊥平面11A ABB ．由已知三棱柱111ABC A B C -各棱长均相等，所以AC BC =，且11A ABB 为菱形.由勾股定理得OA OB =，即11AB AB =所以四边形11A ABB 为正方形......................5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知CO⊥平面11,A ABB 1,.CO OA CO OA ⊥⊥ 在正方形11A ABB 中，1OA OA ⊥． 如图建立空间直角坐标系Oxyz -．由题意得11(0,0,0),(O A A B C C ， (E F ．xx所以1(2,2,0),(0,A A AC =-=-设平面11A ACC 的法向量为(,,),x y z =m则10,0.AA AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即0,0.⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 令1,x =则1, 1.y z == 于是(1,1,1)=m ． 又因为3(EF =， 设直线EF 与平面11A ACC 所成角为θ，则30sin |cos |EF ,EF EFθ⋅=〈〉==m m m ． 所以直线EF 与平面1A AC ............................10分 （Ⅲ）直线EF 与平面1ACD 没有公共点，即EF ∥平面1ACD ． 设D 点坐标为0(0,,0)y ，D 与O 重合时不合题意，所以00y ≠．因为10(,0)A D y =，1(A C =． 设111(,,)x y z =n 为平面1ACD 的法向量， 则110,0.A DA C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即101110,0.y y⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 令11x =，则1y =，11z =. 于是(1,,1)=n .若EF ∥平面1ACD ，0EF ⋅=n .又3(EF =，0=，解得0y =． 此时EF⊄平面1ACD ， 所以AD = ，1DB =所以112AD DB =． ......................14分（18）（共13分）解：（Ⅰ）()f x 定义域为(0,)+∞.212(2)1(21)(1)'()2(2)ax a x x ax f x ax a x x x+--+-=+--==. 由已知，得(1)0f '=，解得1a =. 当1a =时，(21)(1)'(),x x f x x+-=当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>. 所以()f x 的递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,).+? 所以1a =时函数()f x 在1x =处取得极小值.即()f x '的极小值点为1时a 的值为1. ............................6分 （II ） 当001x <<时，曲线()y f x =上不存在点P 位于x 轴的下方，理由如下：由（I ）知(21)(1)'(),x ax f x x +-=当0a ≤时，'()0f x <，所以()f x 在(0,)+∞单调递减，()f x 不存在极小值点；当0a >时，令(21)(1)'()0x ax f x x +-==，得1x a=.当1(0,)x a ∈时，()0f x '<，()f x 在区间1(0,)a 上单调递减；当1(,)x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在区间1(,)a +∞上单调递增.所以11()ln 1f a a a=+-是()f x 在(0,)+∞上的最小值.由已知，若001x <<，则有101a <<，即1a >.当1a >时，ln 0a >，且101a <<，110a->. 所以1()0.f a>当001x <<时，曲线()y f x =上所有的点均位于x 轴的上方.故当001x <<时，曲线()y f x =上不存在点P 位于x 轴的下方. ............................13分（19）（共13分）解：（Ⅰ）因为0,m >由椭圆方程知：224,,a m b m a b ====，1212222BA A S ab m ∆=⨯===，所以 1.m =所以椭圆C 的方程为2214x y +=.由2,1a b ==，222a b c =+，得c =所以椭圆C的离心率为. ............................5分 （Ⅱ）设点(,)P P P x y ,1002000(,),(,)(0),P x y P x y x ->不妨设12(2,0),(2,0),A A -设()0110:22y P A y x x =++，()0220:22yP A y x x -=--， 由()()00002222y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨-⎪=-⎪-⎩，得0004,2.PP x x y y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即0004,42=.22PPp P P P x x y x x y y y x ⎧=⎪⎪⎪⎨⎪⎪==⎪⎩又220014x y +=，得2224()414P PP x y x +=， 化简得221(0).4P P P x y x -=>因为1(2,0),(0,1)A B -，所以1A B =(M N所以点P 的轨迹为双曲线2214x y -=的右支，,M N 两点恰为其焦点，12,A A 为双曲线的顶点，且124A A =，所以4PM PN -=. ............................13分（20）（共14分）解：（Ⅰ）1=2c 2=1c 3=2c 4=1.c ............................3分（Ⅱ）由于对任意的正整数(1)k k L ≤≤，存在A 中的项m a ，使得m a k =. 所以12L c c c L ，，，均不为零. 必要性：若()i i t a a =(1)i n ≤≤，由于12()kc c c t k L n+++=⋅L ，所以有1(1)1c t L n =⋅=；12(2)2c c t L n +=⋅=；123(3)3c c c t L n ++=⋅=；L ；12()Lc c c t L L n+++=⋅L . 通过解此方程组，可得(12)i j c c i j L ==L ，，，，成立.充分性：若(12)i j c c i j L ==L ，，，，成立，不妨设(12)i j h c c i j L ===L ，，，，，可以得到h L n ⋅=. 所以有：(1)1h t L n =⋅=；2(2)2h t L n =⋅=；3(3)3h t L n =⋅=；L ；()Lht L L L n=⋅=.所以()i i t a a =(1)i n ≤≤成立. ............................9分（Ⅲ）设12:n A a a a L ，，，的所有不同取值为12m u u u L ，，，，且满足：12m u u u <<<L .不妨设12111212122212:,mr r m m mr A u u u u u u u u u L L L L ，，，，，，，，，，，，其中111121r u u u ==L =；221222r u u u ===L ；L ；12mm m mr u u u ==L =.又因为L n =，根据变换T 有：111112111()()()()u r c t u t u t u t u L r n=====⋅=L ；12221222212()()()()u u r c c t u t u t u t u L r r n+=====⋅=+L ；;L121212()()()()mm u u u m m mr m m c c c t u t u t u t u L r r r L n+++=====⋅=+++=L L L ；所以12111222():(),(),,()(),(),,()(),(),,().m m m m r r r T A t u t u t u t u t u t u t u t u t u 个个个，，即12111121212():,,,,,,,,,.m r r r T A r r r r r r r r r L L L +++个个个，，，所以12111121212(()):(),(),,(),(),(),,()(),(),,().m r r r T T A t r t r t r t r r t r r t r r t L t L t L +++个个个，，因为11212,m r r r r r r <+<<+++所以有11121212(),(),,()m t r r t r r r r t r r r L =+=++++=.因此，112121211112,,,r r r r r b b b r b b b r r +++========+1211211212m m r r r r r r n m b b b r r r L --++++++++====+++=即(()):T T A 12111121212,,,,,,,,,.m r r r r r r r r r r r r L L L +++个个个，，，从而()(1,2,,)i i b t a i n ==.因此结论成立. . ...........................14分。
北京市东城区2019届高三4月综合练习(一模)数学(理)试卷
北京市东城区 2018-2019 学年度第⼆学期高三综合练习（一）2019.4数学 （理科）注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。
用2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分。
在每小题列列出的四个选项中，选出符合题目要求的⼀一项。
（1）已知集合{}220A x x x =+>，{}210B x x =+>， 则A B =I（A ）12x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭（B ）12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭（C ） {}0x x > （D ）R（2）在复平⾯面内，若复数 (2)i z -对应的点在第⼆二象限，则z 可以为（A ） 2 （B ）1- （C ） i （D ）2+i（3）在平面直角坐标系XOY 中，角α 以OX 为始边，终边经过点(1,)(0)P m m -≠ ，则下列各式的值一定为负的是(A) sin cos αα+ (B) sin cos αα- (C) sin cos αα (D)sin tan αα（4）正方体被一个平面截去⼀一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该截面图形的形状为（A ）等腰三角形 （B ）直角三角形 （C ）平行四边形 （D ）梯形（5）若,x y 满足01026x y y y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则x y -的最大值为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4（6）已知直线l 过抛物线28y x =的焦点F ，与抛物线交于A ，B 两点，与其准线交于点 C.若点F 是 的AC 中点，则线段BC 的长为 (A)83 (B)3 (C) 163(D)6 （7）南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础提出祖暅原理：“幂势既同，则 积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所 截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为12,V V ，被平行于这两个平⾯面的任意平面截得的两个截面的面积分别为12,S S ，则“12,V V 相等”是“12,S S 总相等”的(A) 充分⽽而不不必要条件 (B) 必要⽽而不不充分条件 (C) 充分必要条件(D) 既不不充分也不不必要条件（8）已知数列{}n a 满足：1a a =，+11=(*)2n n na a n N a +∈，则下列关于{}n a 的判断正确的是（A ）0,2,a n ∀>∃≥使得n a < （B ）0,2,a n ∃>∃≥ 使得1n n a a +< （C ）0,*,a m N ∀>∃∈ 总有m n a a < （D ）0,*,a m N ∃>∃∈总有m n n a a +=第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
东城区2019届高三第一学期期末数学(理)试题及答案
东城区2018-2019学年度第一学期期末教学统一检测高三数学 （理科）本试卷共4页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1)已知集合{20},{2,1,0,1,2}A x x B =-<≤=--，则A B = (A){2,1}-- (B){2,0}- (C){1,0}-(D){2,1,0}--(2)下列复数为纯虚数的是(A)21i + (B) 2i i + (C) 11i- (D)2(1i)- (3)下列函数中，是奇函数且存在零点的是 (A)3y x x =+ (B) 2log y x = (C) 223y x =-(D)2y x=(4)执行如图所示的程序框图，若输入的5,3n m ==，则输出的p 值为 (A)360 (B) 60 (C) 36(D)12俯视图侧（左）视图正（主）视图22(5)“512m =π”是“函数()cos(2)6f x x π=+的图象关于直线x m =对称”的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件(6) 某三棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的长度为 (A) 2(C) (D) 3(7)在极坐标系中，下列方程为圆=2sin ρθ的切线方程的是 (A) cos 2ρθ= (B) 2cos ρθ= (C) cos 1ρθ=- （D ）sin 1ρθ=-(8)地震里氏震级是地震强度大小的一种度量.地震释放的能量E (单位：焦耳)与地震里氏震级M 之间的关系为lg 4.8 1.5E M =+.已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为1E 和2E ，则12E E 的值所在的区间为(A)(1,2) (B) (5,6)(C) (7,8) (D)(15,16)第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京东城区2019高三上学期年末考试试题--数学(理)
北京东城区2019高三上学期年末考试试题--数学（理）高三数学 〔理科〕学校_____________班级_______________姓名______________考号___________本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷1至2页，第二卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一卷〔选择题 共40分〕 【一】本大题共8小题，每题5分，共40分。
在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
〔1〕设集合{1,2}A =，那么满足{1,2,3}AB =的集合B 的个数是〔A 〕 (B) 3 (C)4 (D)8 〔2〕a 是实数，i 1ia +-是纯虚数，那么a 等于〔A 〕1- 〔B 〕 〔C〔D〕 〔3〕{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，假设36a =，312S =，那么公差d 等于〔A 〕 〔B 〕53〔C 〕2 〔D 〕3〔4〕执行如下图的程序框图，输出的k 的值为〔A 〕4 〔B 〕5 〔C 〕6 〔D 〕7〔5〕假设a ，b 是两个非零向量，那么“+=-a b a b”是“⊥a b ”的〔A 〕充分不必要条件 〔B 〕必要不充分条件 〔C 〕充要条件 〔D 〕既不充分也不必要条件 〔6〕x ，y 满足不等式组0,0,,2 4.x y x y s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩当35s ≤≤时，目标函数y x z 23+=的最大值的变化范围是〔A 〕[6,15]〔B 〕[7,15] 〔C 〕[6,8]〔D 〕[7,8]〔7〕抛物线22y px =的焦点F 与双曲线22179x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A在抛物线上且|||AK AF =，那么△AFK 的面积为〔A 〕4 〔B 〕8 〔C 〕16 〔D 〕32个是增函数；②假设log 3log 30m n<<，那么01n m <<<；③假设函数()f x 是奇函数，那么(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称；④函数233,2,()log (1),2,x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩那么方程1()2f x =有2个实数根，其中正确命题的个数为〔A 〕〔B 〕2〔C 〕3〔D 〕4第二卷〔共110分〕【二】填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分。
(完整版)2019年北京市各区高三一模试题分类汇编：1三角函数(理科)(含答案解析)
2bc
2
ir be 又因为 A(0, π) ，所以 A π . 3
……………… 5 分
the （Ⅱ）解：因为 cos B
6 ， B (0, π) ，所以 sin B
1 cos2 B
3
.…………7 分
in 3
3
s 由正弦定理 a b ， g sin A sin B
……………9 分
thin 得 a bsin A 3. ll sin B
，过两点
A(t,
f
(t)),
B(t
1,
f
(t
1))
的直线的斜率
记为
g
(t)
．（Ⅰ）求
g
(0)
的值；（II）写出函数
g
(t
)
的解析式，求
g
(t)
在
[
3 2
,
3 2
]
上的取值范围．
10 (2019 年朝阳一模理科)已知函数 f (x) 2sin( x) cos x sin2 x cos2 x ， x R ．
12 (2019 年石景山一模理科)在△ ABC 中，角 A ，B，C 的对边分别为 a ，b，c ，且 a b c ，
3a 2b sin A ．（Ⅰ）求角 B 的大小；（Ⅱ）若 a 2 ， b 7 ，求 c 边的长和△ ABC 的面积
13
(2019 年顺义一模理科)已知 A ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别
] 2 上的最大值为
3 3 ，最小值为 2 .--------------13 分
ing 12.解：（Ⅰ）因为 3a 2b sin A ， 所以 3 sin A 2sin B sin A ，……………2 分
2019北京市东城区高三一模数学(理)含答案
2019北京市东城区高三一模数学（理）2019.4本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题卡交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列列出的四个选项中，选出符合题目要求的⼀一项．1．（5分）已知集合A＝{x|2x2+x＞0}，B＝{x|2x+1＞0}，则A∩B＝（）A．B．C．{x|x＞0}D．R2．（5分）在复平⼀面内，若复数（2﹣i）z对应的点在第⼀象限，则z可以为（）A．2B．﹣1C．i D．2+i3．（5分）在平面直角坐标系XOY中，角α以OX为始边，终边经过点P（﹣1，m）（m≠0），则下列各式的值一定为负的是（）A．sinα+cosαB．sinα﹣cosαC．sinαcosαD．4．（5分）正方体被一个平面截去⼀一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该截面图形的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．平行四边形D．梯形5．（5分）若x，y满足，则|x﹣y|的最大值为（）A．0B．1C．2D．46．（5分）已知直线l过抛物线y2＝8x的焦点F，与抛物线交于A，B两点，与其准线交于点C．若点F是的AC 中点，则线段BC的长为（）A．B．3C．D．67．（5分）南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V1，V2，被平行于这两个平⼀面的任意平面截得的两个截面的面积分别为S1，S2，则“V1，V2相等”是“S1，S2总相等”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知数列{a n}满足：a1＝a，，则下列关于{a n}的判断正确的是（）A．∀a＞0，∃n≥2，使得B．∃a＞0，∃n≥2，使得a n＜a n+1C．∀a＞0，∃m∈N*，总有a m＜a nD．∃a＞0，∃m∈N*，总有a m+n＝a n二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在的展开式中，x2的系数是．（用数字作答）10．（5分）在△ABC中，若b cos C+c sin B＝0，则∠C＝．11．（5分）若曲线（θ为参数）关于直线（t为参数）对称，则a＝；此时原点O到曲线C上点的距离的最大值为．12．（5分）已知向量＝，向量为单位向量，且•＝1，则2﹣与2夹角为．13．（5分）已知函数f（x）＝4x﹣x3，若∀x1，x2∈[a，b]，x1≠x2都有2f（x1+x2）＞f（2x1）+f（2x2）成立，则满足条件的一个区间是．14．（5分）设A，B是R中两个子集，对于x∈R，定义：①若A⊆B．则对任意x∈R，m（1﹣n）＝；②若对任意x∈R，m+n＝1，则A，B的关系为．三、解答题共6⼀小题，共80分．解答应写出⼀文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数，且．（Ⅰ）求a的值及f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若f（x）在区间[0，m]上单调递增，求m的最大值．16．（13分）改革开放40年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及．下图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图．其中条形图为体育产业年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业年增长率（%）．（Ⅰ）从2007年至2016年随机选择1年，求该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多500亿元以上的概率；（Ⅱ）从2007年至2016年随机选择3年，设X是选出的三年中体育产业年增长率超过20%的年数，求X的分布列与数学期望；（Ⅲ）由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？（结论不要求证明）17．（14分）如图，在棱长均为2的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点C在平面A1ABB1内的射影O为AB1与A1B的交点，E，F分别为BC，A1C1的中点．（Ⅰ）求证：四边形A1ABB1为正方形；（Ⅱ）求直线EF与平面A1ACC1所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段AB1上存在一点D，使得直线EF与平面A1CD没有公共点，求的值．18．（13分）设函数f（x）＝ax2+（a﹣2）x﹣lnx的极小值点为x0．（Ⅰ）若x0＝1，求a的值f（x）的单调区间；（Ⅱ）若0＜x0＜1，在曲线y＝f（x）上是否存在点P，使得点P位于X轴的下方？若存在，求出一个点P坐标，若不存在，说明理由．19．（13分）已知椭圆与x轴交于两点A1，A2，与y轴的一个交点为B，△BA1A2的面积为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；（Ⅱ）在y轴右侧且平行于y轴的直线l与椭圆交于不同的两点P1，P2，直线A1P1与直线A2P2交于点P．以原点O为圆心，以A1B为半径的圆与x轴交于两点M，N（点M在点N的左侧），求|PM|﹣|PN|的值．20．（14分）已知L∈N+，数列A：a1，a2，…a n中的项均为不大于L的正整数．c k表示a1，a2，…a n中k的个数（k＝1，2，…，L）．定义变换T，T将数列A变成数列T（A）：t（a1），t（a2），…t（a n）其中t（k）＝L •．（Ⅰ）若L＝4，对数列A：1，1，2，3，3，4，写出c i（1≤i≤4）的值；（Ⅱ）已知对任意的k（k＝1，2，…，n），存在A中的项a m，使得a m＝k．求证：t（a i）＝a i（i＝1，2，…，n）的充分必要条件为c i＝c j（i，j＝1，2，…，L）；（Ⅲ）若l＝n，对于数列A：a1，a2，…a n，令T（T（A）：b1，b2，…b n，求证：b i＝t（a i）（i＝1，2，…，n）．2019北京市东城区高三一模数学（理）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列列出的四个选项中，选出符合题目要求的⼀一项．1．【分析】可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：；∴A∩B＝{x|x＞0}．故选：C．【点评】考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2．【分析】分别取z为四个选项中的数逐一分析得答案．【解答】解：当z＝2时，（2﹣i）z＝4﹣2i，对应的点在第四象限，不合题意；当z＝﹣1时，（2﹣i）z＝﹣2+i，对应的点在第二象限，符合题意；当z＝i时，（2﹣i）z＝1+2i，对应的点在第一象限，不合题意；当z＝2+i时，（2﹣i）z＝5，对应的点在实轴上，不合题意．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．【分析】由任意角的三角函数的定义结合三角函数的象限符号求解．【解答】解：由已知得r＝|OP|＝，则sinα＝，cos＜0，tanα＝﹣m．∴＜0．故一定为负值的是D．故选：D．【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，考查三角函数的象限符号，是基础题．4．【分析】根据三视图知该几何体是正方体被一个平面截去一个三棱锥，其截面是等腰三角形．【解答】解：由三视图可得，该几何体是正方体被一个平面截去一个三棱锥，且三棱锥的两条侧棱相等，截面是等腰三角形，如图所示；故选：A．【点评】本题考查了利用三视图判断几何体形状的应用问题，是基础题．5．【分析】根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z＝x﹣y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可推出结果．【解答】解：x，y满足，不等式组表示的平面区域如图所示，当直线z＝x﹣y过点A时，z取得最小值，0，当直线z＝x﹣y过点，B时，z取得最大值，4，则|x﹣y|的最大值为：4．故选：D．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．6．【分析】由题意画出图形，利用抛物线定义结合已知求得A的坐标，得到直线AF的方程，与抛物线联立求得B的坐标，再由抛物线焦半径公式求解．【解答】解：如图，A在准线上的射影为E，B在准线上的射影为H，由抛物线y2＝8x，得焦点F（2，0），∵点F是的AC中点，∴AE＝2p＝8，则AF＝8，∴A点横坐标为6，代入抛物线方程，可得A（6，4），∴，则AF所在直线方程为y＝．联立，得3x2﹣20x+12＝0．∴6x B＝4，得，则BF＝BH＝．故BC＝CF﹣BF＝AF﹣BF＝8﹣＝．故选：C．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．7．【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合祖暅原理进行判断即可．【解答】解：由祖暅原理知，若S1，S2总相等，则V1，V2相等成立，即必要性成立，若V1，V2相等，则只需要底面积和高相等即可，则S1，S2不一定相等，即充分性不成立，即“V1，V2相等”是“S1，S2总相等”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合祖暅原理是解决本题的关键．考查学生的推理能力．8．【分析】A．∀a1＝a＞0，，由a n＞0．利用基本不等式的性质即可得出a n+1≥，即可判断出正误．B．由A可得：n≥2时，a n，即a n+1＜a n，即可判断出正误．C．令f（x）＝+（x），利用导数已经其单调性，即可判断出正误．D：由a1＝a＞0，，a2＝+，令+＝a，解得a，即可判断出正误．【解答】解：A．∀a1＝a＞0，，∴a n＞0．∴a n+1≥2＝，因此A不正确．B．∵＝，由A可得：n≥2时，a n，∴＜1，即a n+1＜a n，因此B不正确．C．令f（x）＝+（x），则f′（x）＝≥0，因此函数f（x）在[，+∞）上单调递增，因此不存在m∈N*，总有a m＜a n，不正确．D：由a1＝a＞0，，a2＝+，令+＝a，解得a＝，则a n＝，因此结论成立．故选：D．【点评】本题考查了数列递推关系、数列的通项公式及其单调性、利用导数已经函数的单调性、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得x2的系数．【解答】解：在的展开式中，通项公式为T r+1＝•（﹣1）r••x r，令r＝2，求得x2的系数是•＝60，故答案为：60．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．10．【分析】直接利用正弦定理对函数的关系式进行变换，进一步求出C的值．【解答】解：∵b cos C+c sin B＝0∴由正弦定理知，sin B cos C+sin C sin B＝0，∵0＜B＜π，∴sin B＞0，于是cos C+sin C＝0，即tan C＝﹣1，∵0＜C＜π，∴C＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．11．【分析】把曲线C和直线l换成直角坐标方程后利用圆心在直线上可得a＝3，所求最大值等于原点O到圆心的距离加上半径1．【解答】解：曲线C的直角坐标方程为（x﹣a）2+（y﹣2）2＝1，表示圆心为（a，2），半径为1 的圆，直线l 的直角坐标方程为：2x﹣y﹣4＝0，因为圆关于直线 2x﹣y﹣4＝0对称，所以圆心（a，2）在直线2x﹣y﹣4＝0上，即2a﹣2﹣4＝0，解得a＝3，此时圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2＝1，原点O到圆心（3，2）的距离为＝，所以原点O到圆C上的点的最大值为+1．故答案为：3，+1．【点评】本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．12．【分析】由题意求出的坐标，再求出（2﹣）•2的值、2﹣和2的坐标，再利用两个向量的数量积的定义求得2﹣与2夹角．【解答】解：∵向量＝，向量为单位向量，且•＝1，设＝（cosθ，sinθ），∴•＝cosθ+sinθ＝2cos（θ﹣）＝1，∴可令θ＝，即＝（﹣，）．∵（2﹣）•2＝4﹣2•＝4﹣2＝2，2﹣＝（﹣2，0），2＝（﹣1，）设2﹣与2夹角为α，α∈[0°，60°]，则cosα＝＝＝，∴α＝60°，故答案为：60°．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义和公式，属于基础题．13．【分析】将不等式2f（x1+x2）＞f（2x1）+f（2x2）转化为f（）＞，即函数f （x）满足在区间[a，b]上是凸函数即可，求函数的导数，研究函数的单调性和极值，作出函数的图象，利用数形结合进行判断求解即可．【解答】解：由2f（x1+x2）＞f（2x1）+f（2x2）得f（）＞，即函数f（x）满足在区间[2a，2b]上是凸函数即可，函数的f′（x）＝4﹣3x2，由f′（x）＞0得4﹣3x2＞0得﹣＜x＜，此时函数f（x）为增函数，由f′（x）＞0得4﹣3x2＜0得x＜﹣或x＞，此时函数f（x）为减函数，即当x＝﹣函数取得极小值，在x＝时，函数f（x）取得极大值，由f（x）＝4x﹣x3＝0得x（4﹣x2）＝0，得x＝0或x＝2或x＝﹣2，则函数f（x）对应的图象如图：则函数在[0，+∞）上为凸函数，∵x1，x2∈[a，b]，∴2x1，2x2∈[2a，2b]，则[2a，2b]⊆[0，+∞），则只要a≥0，即可，则当a＝0，b＝1时，满足条件，即满足条件的一个区间为（0，1）或[0，1]，故答案为：（0，1）【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．14．【分析】①由A⊆B．由x∉A时，m＝0，可得m（1﹣n）．x∈A时，必有x∈B，可得m＝n＝1．②对任意x∈R，m+n＝1，则m，n的值一个为0，另一个为1，可得：x∈A时，必有x∉B，或x∈B时，必有x∉A，即可得出A，B的关系．【解答】解：①∵A⊆B．则x∉A时，m＝0，m（1﹣n）＝0．x∈A时，必有x∈B，∴m＝n＝1，m（1﹣n）＝0．综上可得：m（1﹣n）＝0．②对任意x∈R，m+n＝1，则m，n的值一个为0，另一个为1，即x∈A时，必有x∉B，或x∈B时，必有x∉A，∴A，B的关系为A＝∁R B．故答案为：0，A＝∁R B．【点评】本题考查了集合之间的关系、分类讨论方法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题共6⼀小题，共80分．解答应写出⼀文字说明，演算步骤或证明过程．15．【分析】（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式以及辅助角公式进行化简结合三角函数的周期公式进行求解即可．（Ⅱ）求出角的范围，结合三角函数的单调性和最值关系进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由已知，得，解得a＝1.＝4cos x（sin x﹣cos x）＝2sin x cos x﹣2cos2x＝sin2x﹣cos2x﹣1＝2sin（2x﹣）﹣1，所以的最小正周期为π．（Ⅱ）由（Ⅰ）知．当x∈[0，m]时，，若f（x）在区间[0，m]上单调递增，则有，即．所以m的最大值为．【点评】本题主要考查三角函数的性质，结合两角和差的正弦公式以及辅助角公式进行化简是解决本题的关键．16．【分析】（Ⅰ）设A表示事件“从2007年至2016年随机选出1年，该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多500亿元以上”．由题意可知，2009年，2011年，2015年，2016年满足要求，由此能求出所求的概率．（Ⅱ）由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和期望．（Ⅲ）从2008年或2009年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大．从2014年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大．【解答】解：（Ⅰ）设A表示事件“从2007年至2016年随机选出1年，该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多500亿元以上”．由题意可知，2009年，2011年，2015年，2016年满足要求，故…（4分）（Ⅱ）由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，3，且，，，．所以X的分布列为：X0123P故X的期望…（10分）（Ⅲ）从2008年或2009年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大．从2014年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大…（13分）【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望、方差的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17．【分析】（I）根据勾股定理即可证明OA＝OB，从而可得对角线相等，得出结论；（II）建立空间坐标系，求出平面A1ACC1的法向量，则线EF与平面A1ACC1所成角的正弦值为|cos＜＞|；（III）设D点坐标为（0，y0，0），求出平面A1CD的法向量，令＝0求出y0即可得出的值．【解答】解：（Ⅰ）连结CO．∵C在平面A1ABB1内的射影O为AB1与A1B的交点，∴CO⊥平面A1ABB1．∴CO⊥OB，OC⊥OA，由已知三棱柱ABC﹣A1B1C1各棱长均相等，所以AC＝BC，且A1ABB1为菱形．由勾股定理得OB＝，OA＝，∴OA＝OB，即AB1＝A1B．∴四边形A1ABB1为正方形．（Ⅱ）由（Ⅰ）知CO⊥平面A1ABB1，CO⊥OA，CO⊥OA1．在正方形A1ABB1中，OA1⊥OA．如图建立空间直角坐标系O﹣xyz．由题意得，．所以．设平面A1ACC1的法向量为＝（x，y，z），则，即令x＝1，则y＝1，z＝1，于是＝（1，1，1）．又因为，设直线EF与平面A1ACC1所成角为θ，则sinθ＝|cos＜＞|＝＝＝．所以直线EF与平面A1AC所成角的正弦值为．（Ⅲ）直线EF与平面A1CD没有公共点，即EF∥平面A1CD．设D点坐标为（0，y0，0），D与O重合时不合题意，所以y0≠0．因为，．设＝（x1，y1，z1）为平面A1CD的法向量，则，即令x1＝1，则，z1＝1，于是＝（1，，1）．若EF∥平面A1CD，．又，所以，解得．此时EF⊄平面A1CD，所以，．所以．【点评】本题考查了空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．18．【分析】（Ⅰ）f（x）定义域为（0，+∞）.．由f'（1）＝0，得a＝1．当a＝1时，，由此能求出f（x）的单调区间和f'（x）的极小值点为1时a的值．（II）当0＜x0＜1时，曲线y＝f（x）上不存在点P位于x轴的下方．由，根据a≤0，a＞0分类讨论，推导出当0＜x0＜1时，曲线y＝f（x）上所有的点均位于x轴的上方．当0＜x0＜1时，曲线y＝f（x）上不存在点P位于x轴的下方．【解答】解：（Ⅰ）f（x）定义域为（0，+∞）.．由已知，得f'（1）＝0，解得a＝1．当a＝1时，，当0＜x＜1时，f'（x）＜0；当x＞1时，f'（x）＞0．所以f（x）的递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞）．所以a＝1时函数f（x）在x＝1处取得极小值．即f'（x）的极小值点为1时a的值为1…（6分）（II）当0＜x0＜1时，曲线y＝f（x）上不存在点P位于x轴的下方，理由如下：由（I）知，当a≤0时，f'（x）＜0，所以f（x）在（0，+∞）单调递减，f（x）不存在极小值点；当a＞0时，令，得．当时，f'（x）＜0，f（x）在区间上单调递减；当时，f'（x）＞0，f（x）在区间上单调递增．所以是f（x）在（0，+∞）上的最小值．由已知，若0＜x0＜1，则有，即a＞1．当a＞1时，lna＞0，且，．所以．当0＜x0＜1时，曲线y＝f（x）上所有的点均位于x轴的上方．故当0＜x0＜1时，曲线y＝f（x）上不存在点P位于x轴的下方．…（13分）【点评】本题考查函数的单调区间的求法，考查满足条件的点是否的判断与求法，考查导数性质、函数极值、单调区间等基础知识，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，是中档题．19．【分析】（Ⅰ）由椭圆方程知：，从而，求出m＝1．由此能求出椭圆C的方程，从而能求出椭圆C的离心率．（Ⅱ）设点P（x P，y P），P1（x0，y0），P2（x0，﹣y0）（x0＞0），A1（﹣2，0），A2（2，0），设，，由得从而．由A1（﹣2，0），B（0，1），求出点P的轨迹为双曲线的右支，M，N两点恰为其焦点，A1，A2为双曲线的顶点，由此能求出|PM|﹣|PN|的值．【解答】（共13分）解：（Ⅰ）因为m＞0，由椭圆方程知：，，所以m＝1．所以椭圆C的方程为．由a＝2，b＝1，a2＝b2+c2，得，所以椭圆C的离心率为．…（5分）（Ⅱ）设点P（x P，y P），P1（x0，y0），P2（x0，﹣y0）（x0＞0），不妨设A1（﹣2，0），A2（2，0），设，，由得即又，得，化简得．因为A1（﹣2，0），B（0，1），所以，即．所以点P的轨迹为双曲线的右支，M，N两点恰为其焦点，A1，A2为双曲线的顶点，且|A1A2|＝4，所以|PM|﹣|PN|＝4．…（13分）【点评】本题主要考查了椭圆、双曲线的简单性质，还考查了韦达定理及中点坐标公式、弦长公式，考查了方程思想、函数与方程思想及计算能力，考查了直线与椭圆、双曲线的位置关系及转化思想，属于难题．20．【分析】（Ⅰ）由L＝4，对数列A：1，1，2，3，3，4，能写出写出c i（1≤i≤4）的值．（Ⅱ）由于对任意的正整数k（1≤k≤L），存在A中的项a m，使得a m＝k．所以c1，c2，…，c L均不为零．先证必要性，再证充分性，由此能证明t（a i）＝a i（i＝1，2，…，n）的充分必要条件为c i＝c j（i，j＝1，2，…，L）．（Ⅲ）设A：a1，a2，…，a n的所有不同取值为u1，u2，…，u m，且满足：u1＜u2＜…＜u m．设，由L＝n，根据变换T得到T（T（A））：，，，由此能证明b i＝t（a i）（i＝1，2，…，n）．【解答】（共14分）解：（Ⅰ）∵L＝4，对数列A：1，1，2，3，3，4，∴c1＝2，c2＝1，c3＝2，c4＝1．…（3分）证明：（Ⅱ）由于对任意的正整数k（1≤k≤L），存在A中的项a m，使得a m＝k．所以c1，c2，…，c L均不为零．必要性：若t（a i）＝a i（1≤i≤n），由于，∴；；；…；．通过解此方程组，可得c i＝c j（i，j＝1，2，…，L）成立．充分性：若c i＝c j（i，j＝1，2，…，L）成立，不妨设h＝c i＝c j（i，j＝1，2，…，L），可以得到h•L＝n．∴；；；…；．∴t（a i）＝a i（1≤i≤n）成立．故t（a i）＝a i（i＝1，2，…，n）的充分必要条件为c i＝c j（i，j＝1，2，…，L）．…（9分）证明：（Ⅲ）设A：a1，a2，…，a n的所有不同取值为u1，u2，…，u m，且满足：u1＜u2＜…＜u m．不妨设，其中；；…；．又∵L＝n，根据变换T有：；；…；；∴T（A）：，，，即T（A）：，，，∴T（T（A））：，，，∵r1＜r1+r2＜…＜r1+r2+…+r m，∴t（r1）＝r1，t（r1+r2）＝r1+r2，…，t（r1+r2+…+r m）＝L．∴，即T（T（A））：：，，，从而b i＝t（a i）（i＝1，2，…，n）．故b i＝t（a i）（i＝1，2，…，n）．…（14分）【点评】本题考查数列的求法，考查充要条件的证明，考查数列等式的证明，考查数性质性质、充要条件等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是难题．。
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北京市东城区2018-2019学年度第二学期高三综合练习（一） 2019.4
数学 （理科）
本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题卡交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合2{20},{210},A x x x B x x =+>=+>则A B =
（A ）12x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭
（B ）12x x ⎧⎫>
⎨⎬⎩⎭
（C ）{0}x x > （D ）R
（2）在复平面内，若复数(2i)z -对应的点在第二象限，则z 可以为 （A ）2 （B ）1- （C ）i （D ）2+i
（3）在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边经过点(1,)(0)P m m -≠，则下列各式的值一定
为负的是
(A)sin cos αα+ (B) sin cos αα- (C) sin cos αα (D)sin tan αα
（4）正方体被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该截面图形的形状为
（A ）等腰三角形 （B ）直角三角形 （C ）平行四边形 （D ）梯形
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（5）若,x y 满足010,26,x y y y x +⎧⎪
+⎨⎪-⎩
≥，≤≥则x y -的最大值为
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4
（6）已知直线l 过抛物线28y x =的焦点F ，与抛物线交于A ，B 两点，与其准线交于点C .若点F 是AC
的中点，则线段BC 的长为
(A)
83
(B) 3 (C)
16
3
(D)6 （7）南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础提出祖暅原理：“幂势既同，
则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为
12,,V V 被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分
别为12,,S S 则“12,V V 相等”是“12,S S 总相等”的
(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件
（8）已知数列{}n a 满足：1a a =，11
()2n n n
a a n a *+=
+∈N ，则下列关于{}n a 的判断正确的是 （A ）0,2,a n ∀>∃≥
使得n a < （B ）0,2,a n ∃>∃≥使得1n n a a +<
（C ）0,,a m *
∀>∃∈N 总有()m n a a m n <≠ （D ）0,,a m *
∃>∃∈N 总有m n n a a +=
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第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（ 9
）在6
)x 的展开式中，2x 的系数是 .（用数字作答）
（ 10 ）在△ABC 中，若cos sin 0b C c B +=，则C ∠= . （ 11）若曲线:C cos ,2sin x a y θθ=+⎧⎨
=+⎩（θ为参数）关于直线:l 1,
22x t y t
=+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)对称，则a = ；
此时原点O 到曲线C 上点的距离的最大值为 .
（ 12
）已知向量=a ，向量b 为单位向量，且1⋅=a b ，则2-b a 与2b 夹角为 .
（13）已知函数3
()4f x x x =-，若1212,[,],,x x a b x x ∀∈≠都有12122()(2)(2)f x x f x f x +>+成立，则
满足条件的一个区间是________.
（14）设A B ，是R 中两个子集，对于x R ∈，定义：01x A m x A ，，，，∉⎧=⎨∈⎩
01.x B n x B ，，
，∉⎧=⎨∈⎩
①若A B ⊆.则对任意x ∈R ，(1)m n ⋅-=_____；
②若对任意x ∈R ，1m n +=，则A
B ，的关系为__________.
三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题13分）
已知函数()4cos sin()6f x a x x π
=-，且()13
f π=. (Ⅰ) 求a 的值及()f x 的最小正周期；
(Ⅱ) 若()f x 在区间[0,]m 上单调递增，求m 的最大值.
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B
1
（16）（本小题13分）
改革开放40年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及．下图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图．其中条形图为体育产业年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业年增长率（％）．
（Ⅰ）从2007年至2016年随机选择1年，求该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多500亿元以上的概率；
（Ⅱ）从2007年至2016年随机选择3年，设X 是选出的三年中体育产业年增长率超过20%的年数，求X
的分布列与数学期望；
（Ⅲ）由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年
增加值方差最大？（结论不要求证明）
（17）（本小题14分）
如图，在棱长均为2的三棱柱111ABC A B C 中，点C 在平面11A ABB 内的射影O 为1AB 与1A B 的交点，,E F 分别为11,BC A C 的中点． （Ⅰ）求证：四边形11A ABB 为正方形；
（Ⅱ）求直线EF 与平面11A ACC 所成角的正弦值；
（Ⅲ）在线段1AB 上存在一点D ，使得直线EF 与平面1A CD
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公共点，求
1
AD
DB 的值. （18）（本小题13分）
设函数2
()(2)ln f x ax a x x =+--的极小值点为0x . （I ）若01x =，求a 的值()f x 的单调区间；
（II ）若001x <<，在曲线()y f x =上是否存在点P ，使得点P 位于x 轴的下方？若存在，求出一个P 点坐标，若不存在，说明理由.
（19）（本小题13分）
已知椭圆22
:
1(0)4x y C m m m
+=>与x 轴交于两点12,A A ，与y 轴的一个交点为B ，△12BA A 的面积为2.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程及离心率；
（Ⅱ）在y 轴右侧且平行于y 轴的直线l 与椭圆C 交于不同的两点12,P P ，直线11A P 与直线22A P 交于点P .
以原点O 为圆心，以1A B 为半径的圆与x 轴交于,M N 两点（点M 在点N 的左侧），求PM PN -的值.
（20）（本小题14分）
已知L *∈N ，数列12:n A a a a L ，，，中的项均为不大于L 的正整数. k c 表示12,,,n a a a L 中k 的个数(1)k L =L ，2，，. 定义变换T ，T 将数列A 变成数列()T A 12:(),(),,()n t a t a t a 其中
12()k
c c c t k L n
+++=⋅
L .
（Ⅰ）若4L =，对数列A ：1，1，2，3，3，4，写出i c 4)i ≤≤(1的值； （Ⅱ）已知对任意的(1,2,
,)k k n =，存在A 中的项m a ，使得m a k =.
求证： i i t a a =（）(1,2,,)i n =L 的充分必要条件为(12)i j c c i j L ==，，，，；
L （Ⅲ）若l n =，对于数列12:,,,n A a a a L ，令12(()):,,,n T T A b b b L ，求证：()i i b t a =(1,2,
,).i n =。