新课标广西2019高考数学二轮复习专题对点练8导数与函数的零点及参数范围2

专题对点练8 导数与函数的零点及参数范围
x3-a(x2+x+1).
1.(2018全国Ⅱ,文21)已知函数f(x)=1
3
(1)若a=3,求f(x)的单调区间;
(2)证明:f(x)只有一个零点.
2.已知函数f(x)=a x+x2-x ln a-b(a,b∈R,a>1),e是自然对数的底数.
(1)当a=e,b=4时,求函数f(x)零点个数;
(2)若b=1,求f(x)在[-1,1]上的最大值.
3.已知函数f(x)=x ln x,g(x)=-x2+ax-2(e为自然对数的底数,a∈R).
(1)判断曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与曲线y=g(x)的公共点个数;
,e]时,若函数y=f(x)-g(x)有两个零点,求a的取值范围.
(2)当x∈[1
e
4.(2018天津,文20)设函数f(x)=(x-t1)(x-t2)(x-t3),其中t1,t2,t3∈R,且t1,t2,t3是公差为d的等差数列.
(1)若t2=0,d=1,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)若d=3,求f(x)的极值;
(3)若曲线y=f(x)与直线y=-(x-t2)-6√3有三个互异的公共点,求d的取值范围.
专题对点练8答案
1.解 (1)当a=3时,f (x )=13x 3-3x 2-3x-3,f'(x )=x 2
-6x-3. 令f'(x )=0,解得x=3-2√3或x=3+2√3.
当x ∈(-∞,3-2√3)∪(3+2√3,+∞)时,f'(x )>0;
当x ∈(3-2√3,3+2√3)时,f'(x )<0.
故f (x )在(-∞,3-2√3),(3+2√3,+∞)单调递增,在(3-2√3,3+2√3)单调递减.
(2)由于x 2+x+1>0,所以
f (x )=0等价于x 3x 2+x +1-3a=0. 设
g (x )=x 3x 2+x +1
-3a ,则g'(x )=x 2(x 2+2x +3)(x 2+x +1)2≥0,仅当x=0时g'(x )=0,所以g (x )在(-∞,+∞)单调递增,故g (x )至多有一个零点,从而f (x )至多有一个零点. 又f (3a-1)=-6a 2+2a-13=-6(x -16)2
−16<0,f (3a+1)=13>0,故f (x )有一个零点.
综上,f (x )只有一个零点.
2.解 (1)由题意f (x )=e x +x 2-x-4,
∴f'(x )=e x +2x-1,∴f'(0)=0,
当x>0时,e x >1,∴f'(x )>0,故f (x )是(0,+∞)上的增函数;
当x<0时,e x <1,∴f'(x )<0,故f (x )是(-∞,0)上的减函数.
f (1)=e -4<0,f (2)=e 2-2>0,∴存在x 1∈(1,2)是f (x )在(0,+∞)上的唯一零点;
f (-2)=1e 2+2>0,f (-1)=1e -2<0,∴存在x 2∈(-2,-1)是f (x )在(-∞,0)上的唯一零点. ∴f (x )的零点个数为2.
(2)当b=1时,f (x )=a x +x 2-x ln a-1,∴f'(x )=a x ln a+2x-ln a=2x+(a x -1)ln a ,
当x>0时,由a>1,可知a x -1>0,ln a>0,∴f'(x )>0;
当x<0时,由a>1,可知a x -1<0,ln a>0,∴f'(x )<0;
当x=0时,f'(x )=0,∴f (x )是[-1,0]上的减函数,[0,1]上的增函数.
∴当x ∈[-1,1]时,f (x )min =f (0),f (x )max 为f (-1)和f (1)中的较大者.
而f (1)-f (-1)=a-1x -2ln a ,
设g (x )=x-1x -2ln x (x>0).
∵g'(x )=1+1x 2−2x =(1x -1)2≥0(当且仅当x=1时等号成立),
∴g (x )在(0,+∞)上单调递增,而g (1)=0,
∴当x>1时,g (x )>0,即当a>1时,a-1x -2ln a>0,
∴f (1)>f (-1).
∴f (x )max =f (1)=a+1-ln a-1=a-ln a.
3.解 (1)f'(x )=ln x+1,所以切线斜率k=f'(1)=1.
又f (1)=0,
所以曲线在点(1,0)处的切线方程为y=x-1.
由{x =-x 2+xx -2,x =x -1,
得x 2+(1-a )x+1=0. 由Δ=(1-a )2-4=a 2-2a-3=(a+1)(a-3),可知:
当Δ>0,即a<-1或a>3时,有两个公共点;
当Δ=0,即a=-1或a=3时,有一个公共点;
当Δ<0,即-1<a<3时,没有公共点.
(2)y=f (x )-g (x )=x 2-ax+2+x ln x ,
由y=0,得a=x+2x +ln x.
令h (x )=x+2x +ln x ,则h'(x )=
(x -1)(x +2)x 2. 当x ∈[1e ,e ]时,由h'(x )=0,得x=1.
所以h (x )在[1e ,1]上单调递减,在[1,e]上单调递增,
因此h (x )min =h (1)=3.
由h (1e )=1e +2e -1,h (e)=e +2e
+1, 比较可知h (1e )>h (e),所以,结合函数图象可得,
当3<a ≤e +2e +1时,函数y=f (x )-g (x )有两个零点. 4.解 (1)由已知,可得f (x )=x (x-1)(x+1)=x 3-x ,故f'(x )=3x 2-1.因此f (0)=0,f'(0)=-1.又因为曲线y=f (x )在点(0,f (0))处的切线方程为y-f (0)=f'(0)(x-0),故所求切线方程为x+y=0.
(2)由已知可得f (x )=(x-t 2+3)(x-t 2)·(x-t 2-3)=(x-t 2)3-9(x-t 2)=x 3-3t 2x 2+(3x 22-9)x-x 23+9t 2.故
f'(x )=3x 2-6t 2x+3x 22-9.令f'(x )=0,解得x=t 2-√3,或x=t 2+√3.
当x
所以函数f (x )的极大值为f (t 2-√3)=(-√3)3-9×(-√3)=6√3;函数f (x )的极小值为
f (t 2+√3)=(√3)3-9×√3=-6√3.
(3)曲线y=f (x )与直线y=-(x-t 2)-6√3有三个互异的公共点等价于关于x 的方程(x-t 2+d )(x-t 2)(x-t 2-d )+(x-t 2)+6√3=0有三个互异的实数解.令u=x-t 2,可得u 3+(1-d 2)u+6√3=0.
设函数g (x )=x 3+(1-d 2)x+6√3,则曲线y=f (x )与直线y=-(x-t 2)-6√3有三个互异的公共点等价于函数
y=g (x )有三个零点.
g'(x )=3x 2+(1-d 2).
当d 2≤1时,g'(x )≥0,这时g (x )在R 上单调递增,不合题意.
当d 2>1时,令g'(x )=0,解得x 1=-
√2√3,x 2=√2√3. 易得,g (x )在(-∞,x 1)上单调递增,在[x 1,x 2]上单调递减,在(x 2,+∞)上单调递增. g (x )的极大值g (x 1)=g (√2√3
)=2√3(x 2-1)329+6√3>0. g (x )的极小值g (x 2)=g (
√2√3)=-2√3(x 2-1)329+6√3. 若g (x 2)≥0,由g (x )的单调性可知函数y=g (x )至多有两个零点,不合题意. 若g (x 2)<0,即(d 2-1)32>27,也就是|d|>√10,此时|d|>x 2,g (|d|)=|d|+6√3>0,且-2|d|<x 1,g (-2|d|)=-
6|d|3-2|d|+6√3<-62√10+6√3<0,从而由g (x )的单调性,可知函数y=g (x )在区间(-
2|d|,x 1),(x 1,x 2),(x 2,|d|)内各有一个零点,符合题意.
所以,d 的取值范围是(-∞,-√10)∪(√10,+∞).。