李铁成微积分讲义7.2

a a b
c
f (x)dx,
从而
∫
a
c
∫ f (x)dx −
b
c
∫ f (x)dx =
a
b
f (x)dx, ∫
b
即
∫
a
c
∫ f (x)dx +
c
b
f (x)dx =
a
f (x)dx.
命题2 设f ∈ R[a, b]，则|f | ∈ R[a, b]，且
∫
a b
∫ f (x)dx ≤
a
b
|f (x)|dx.
n ∑ i=1
[ sup
ξ ∈[xi−1 ,xi ]
] f (ξ ) −
η ∈[xi−1 ,xi ]
inf
f (η ) (xi − xi−1 ) < ε.
注1设f : D → R是有界函数，则
ξ ∈D
sup f (ξ ) − inf f (η ) = sup |f (ξ ) − f (η )|,
η ∈D ξ,η ∈D
∗
T ∗ : a = x0 < x1 < · · · < xn+m−1 < xn+m = b, λ(T ∗ ) < δ,
n +m ∑
sup
i=1 ξ,η ∈[xi−1 ,xi ]
|f (ξ ) − f (η )|(xi − xi−1 ) < ε,
n +m ∑
即
n ∑
sup
i=1 ξ,η ∈[xi−1 ,xi ]
=
∑ ∑
sup
i∈I ′ ξ,η ∈[xi−1 ,xi ]
i∈I ′′ ξ,η ∈[xi−1 ,xi ]
=
sup
i∈I ′ ξ,η ∈[xi−1 ,xi ] n ∑
|F (ξ ) − F (η )|(xi − xi−1 ) +
sup ∑
i∈I ′′
i∈I ′′ ξ,η ∈[xi−1 ,xi ]
≤
sup
n ∑
sup
i=1 ξ,η ∈[xi−1 ,xi ] n ∑ i=1
|f (ξ ) − f (η )|(xi − xi−1 )
≤
ε (xi − xi−1 ) b−a+1
< ε. 由定理1的充分性知f ∈ R[a, b]，证毕。
2
推论2. 设f 是定义在[a, b]上的单调函数，则f ∈ R[a, b].
n ∑
sup
i=1 ξ,η ∈[xi−1 ,xi ]
|f (ξ ) − f (η )|(xi − xi−1 ) |f (ξ ) − f (η )|(xi − xi−1 ) + ∑ ∑ sup |f (ξ ) − f (η )|(xi − xi−1 ) |f (ξ ) − f (η )|(xi − xi−1 )
例1
∫
0 1
1 dx ===== 1+x 第一节定理2 =====
1 1 1 ln(1 + x)|0 ( 1+ x2 在[0, 1]连续，故 1+x2 在[0, 1]可积； 1+x2 在[0, 1]有原函数arctan ∞
lim
1 1 1 + + ··· + n+1 n+2 n+n
n ∑
sup
i=1 ξ,η ∈[xi−1 ,xi ]
|f (ξ ) − f (η )|(xi − xi−1 ) < ε.
若T1 和T2 分别是区间[a, c]和区间[c, b]的分割 T1 : a = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = c T2 : c = xn < xn+1 < · · · < xn+m−1 < xn+m = b 满足 λ(T1 ) < δ, λ(T2 ) < δ, 令T 是区间[a, b]的分割 则 于是
第7章 定积分
2012-2013年秋季学期第12周学习材料
1 2
定积分概念及定积分的简单性质 定积分的存在条件
定理1. 设f 是[a, b]上的有界函数，则f ∈ R[a, b]的充分必要条件是∀ε > 0，∃δ > 0，当区间[a, b]的分割
T : a = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = b 满足 λ( T ) < δ 时，就有
∫
a
b
f (x)dx，则由定义知，∀ε > 0，∃δ > 0，当区间[a, b]的分割 T : a = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = b
满足 λ( T ) < δ 时，对∀ξi ∈ [xi−1 , xi ] (i = 1, 2, · · · , n)都有
n ∑ i=1
f (ξi )(xi − xi−1 ) − A <
|f (ξ ) − f (η )|(xi − xi−1 )
=
[f (xi ) − f (xi−1 )](xi − xi−1 )
n
≤
∑ ε [f (xi ) − f (xi−1 )] f (b) − f (a) + 1 i=1 ε [f (b) − f (a)] f (b) − f (a) + 1
=
< ε, 由定理1的充分性知f ∈ R[a, b]，证毕。
b
∫ f (x)dx ≤
a
b
|f (x)|dx.
证毕。
命题3
1. 若f, g ∈ R[a, b]，则f · g ∈ R[a, b]. 2. 若g ∈ R[a, b]，|g (x)| ≥ M > 0 (∀x ∈ [a, b])，则 证：1. 由f, g ∈ R[a, b]知，f, g 都有界，记 M ∗ =: sup |f (ξ )| + sup |g (η )|.
推论3. 设f 是定义在[a, b]上的有界且只存在有限个间断点函数，则f ∈ R[a, b].
{
} ε 证明：不妨设f 在[a, b]上只有一个间断点c, 且c ∈ (a, b). ∀ε > 0, 取ε1 = min c − a, b − c, , 2(1 + 8M ) 其中M 是f 在[a, b]的界，即 |f (x)| ≤ M (∀x ∈ [a, b]). 作辅助函数 f (x), F (x) = f (c + ε1 ) − f (c − ε1 ) (x − c + ε1 ), f (c − ε1 ) + 2ε1 x ∈ [a, c − ε1 ] ∪ [c + ε1 , b], x ∈ [c − ε1 , c + ε1 ],
故
n ∑ i=1
[ sup
ξ ∈[xi−1 ,xi ] n ∑
] f (ξ ) −
η ∈[xi−1 ,xi ]
inf
f (η ) (xi − xi−1 ) < ε
还可写成
sup
i=1 ξ,η ∈[xi−1 ,xi ]
|f (ξ ) − f (η )|(xi − xi−1 ) < ε.
证：必要性证明。 设f ∈ R[a, b]，记A =
ε , 4
1
1 2 特殊地，取ξi , ξi ∈ [xi−1 , xi ] (i = 1, 2, · · · , n) 满足
sup
ξ ∈[xi−1 ,xi ]
f (ξ ) −
ε ε 1 2 < f (ξi ), f (ξi )< inf f (η ) + , 4(b − a) 4(b − a) η ∈[xi−1 ,xi ] ]
a a
c
∫ f (x)dx +
c
b
f (x)dx.
证毕。
注2 为了方便使用，规定
∫
b a
∫ f (x)dx = −
a
b
∫ f (x)dx,
a
a
f (x)dx = 0, ∫
则公式
∫
a
b
∫ f (x)dx =
a
c
b
f (x)dx +
c
f (x)dx
5
总是成立，而与a, b, c的大小顺序无关，例如，a < b < c，则 ∫ c ∫ b ∫ f (x)dx = f (x)dx +
则F ∈ C [a, b]，画图。由推论1知F ∈ R[a, b]，因此由定理1的必要性知，∃δ ∈ (0, ε1 )，当区间[a, b]的分割 T : a = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = b 满足 λ( T ) < δ 时，就有
n ∑
sup
i=1 ξ,η ∈[xi−1 ,xi ]
1
π . 4 4
命题1（区域可加性） 设f ∈ R[a, b], c ∈ (a, b)，则f ∈ R[a, c], f ∈ R[c, b]，且
∫
a b
∫ f (x)dx =
a
c
∫ f (x)dx +
c
b
f (x)dx.
证：先证f ∈ R[a, c], f ∈ R[c, b]．∀ε > 0，由f ∈ R[a, b]和定理1的必要性知，∃δ > 0，当区间[a, b]的分割 T : a = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = b 满足 λ( T ) < δ 时，就有
证明：∀ε > 0, 因为函数f 在[a, b]连续，故f 在[a, b]一致连续，于是∃δ > 0, 当u, v ∈ [a, b]且|u − v | < δ 时，就 有 ε |f (u) − f (v )| < . b−a+1 因此，当区间[a, b]的分割 T : a = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = b 满足 λ( T ) < δ 时，便有