函数的奇偶性问题探究 苏科版 南京名师讲堂

设 f (x)为定义在 R 上的偶函数,且当 x≥0 时, f (x) = x2 – 2x – 1. ⑴求 f (x)的解析式;⑵求 f (x)的单调区间.
这是一个什么类型的问题呢? 题型 特征 函数奇偶性的应用 条件中涉及函数奇偶性
对于“讨论函数奇偶性”这类问题,在思考求
解时有什么特点呢?
参数 奇偶性
化简后直接确 定,或代特值 先确定后验证
恒等关系
定义
a–1 已知函数 f (x) = ax + x (a 为常数,aR).
2
讨论函数 f (x)的奇偶性,并说明理由.
a–1 已知函数 f (x) = ax + x (a 为常数,aR). 函数的定义域为(– ,0)∪(0பைடு நூலகம்+).任取 x 0, 函数的定 讨论函数 f (x)的奇偶性,并说明理由. a–1 a–1 2 2 则 函数的定义域为(– ,0)∪(0,+).任取 x 0, ( – x) = a(– x) + = ax – x . 解 f 函数的定义域为(– ( ,0)∪(0,+).任取 xx0,则 f ( – x) – x) 函数的定义域为(– ,0)∪(0,+).任取 0,
2 2ax2 = 0,
即
解得 a = 0.
所以, 所以, 当 a = 1 时,f (x)是偶函数, 当 a = 1 时,f (x)是偶函数; 当 a = 1 时,f (x)是偶函数, 当 a = 0 时,f (x)是奇函数; 当 a = 0 时,f (x)是奇函数; 当 a 0,且 a 1 时,f (x)既非奇函数又非偶函数. 当 a 0,且 a 1 时,f (x)既非奇函数又非偶函数.
那么称函数 y y f xA,都有 f (x)是偶函数. 如果对于任意的f(–x) = – f (x), (–x) = – f (x), 那么称函数 == f (x)是偶函数.
那么称函数 y那么称函数f y = f (x)是奇函数. =f f(–x) = – (x), (x)是奇函数.
步骤 (1)定义域:
2 2 x2,在(–
是偶函数. 是偶函数. 所以 a = 0 时,f (x)是偶函数. 所以 a = 0 时,f (x)是偶函数.
a 已知函数 f (x) = x + (a 为常数,aR).讨论 x
2
函数 f (x)的奇偶性,并说明理由.
通过上面研究,我们发现a = 0时,f (x)是偶函数.
是否存在某个a值,使f (x)为奇函数呢?
2
a 已知函数 f (x) = x + (a 为常数,aR).讨论 x
2
函数 f (x)的奇偶性,并说明理由.
所以,不存在实数 a 使 f (x)为奇函数.
综上可知, 综上可知, 当 a = 0 时,f (x)是偶函数; 当 a = 0 时,f (x)是偶函数; 当 a 0 时,f (x)既非奇函数,又非偶函数. 当 a 0 时,f (x)既非奇函数,又非偶函数.
a a 2 还有其它方法确定使 x – x = x + x
2
对定义域中一切x均成立的a的取值吗?
a a = 12 + a, 2 令 x = 1,则有 1 – = 12 + a, 令 x = 1,则有 – 1 1 1 1
2 2 12
解得 a = 0. 解得 a = 0. 又当 a = 0 时,f (x) = x ,在(– ,0)∪(0,+)上 又当 a = 0 时,f (x) = ,0)∪(0,+)上
即 即 即 即 解得 1. 解得 aa==1. 解得 a = 1.
a–1 a–1 = 0, 2(a 221) = 0, –a–1 = 0, 2 xx = 0 x x
欲使 x) (x)对定义域中一切 欲使 f f( (––x) ==––f f(x)对定义域中一切 xx 欲使 f ( – x) = – f (x)对定义域中一切 x 成立,则应有 成立,则应有 成立,则应有 ax2–– a 2 ax2 a a––11 a–1 22 – a – 1 , – 1 ==––ax2 – a – 1, ax ax – xx = – ax – xx , x x
那么称函数 y = f (x)是奇函数.
x与–x同在定义域中.
(2)恒等关系: f (–x) = f (x) 或f (–x) = –f (x)
a 已知函数 f (x) = x + (a 为常数,aR).讨论 x
2
函数 f (x)的奇偶性,并说明理由.
函数的定义域为(– ,0)∪(0,+). 函数的定义域为(– ,0)∪(0,+). 函数的定义域为(– ,0)∪(0,+). 解函数的定义域为(– ,0)∪(0,+). 任取 x(– x(– ,+),则 任取任取 ,0)∪(0 ,0)∪(0,+),则 任取x(– ,0)∪(0,+),则 x(– ,0)∪(0,+),则 a 2 aa a 2 a a2 a 2 f ( –f(x)–x)(–=(– x)(– + + = x==xxx.–x a. . – = f ( – x) + +x) f (– =x)= x) =x) ( – x) ( – x) 2– x. – x (– ( (––x) x x)
2
a–1 a–1 a–1 a–1 2 a – 1 = ax22成立,则应 欲使 f ( – 欲使则(f– x)x) = (x)对定义域一切ax –– ax– 1. f ( – = f a(– x) + ( – x) = ax – x .. x ((– x) = x – x) 则 f ( – x) = a(– x)22+ 则 f ( – x) = a(– x)2 +
相信你现在能回答前面所遇到的问题 f (x) g (x) f(x) + g (x)
偶
奇
?
1.下列函数哪些是奇函数?哪些是偶函数?哪 些既不是奇函数也不是偶函数? ⑴ f (x) = 5x – 3; x ⑵ f (x) = 5x + 2 ; x +2 ⑶ f (x) = ax2 + b(其中 a,b 是常数) (课本 P43 习题 2.1(3)第 5 题)
函数奇偶性问题探究
南京外国语学校
朱胜强
y
y
y
y
O
O
x
x
O
O
x
x
y
y
y
y
O
O
x
x
O
O
x
x
函数奇偶性是对函数图象某种对称性的 数量刻画.
函数奇偶性是对其图象对称性的数量刻画. 已知定义域为 R 的函数 f (x),g (x).
f (x) 偶 奇 偶
g (x) 偶 奇 奇
f(x) + g (x) 偶 奇 ?
a 已知函数 f (x) = x + (a 为常数,aR).讨论 x 欲使 f ( – x) 函数 f (x)的奇偶性,并说明理由.
2
欲使 f ( – x) = – f (x)成立,则应有 欲使 f ( – x) = –2f (x)成立,则应有 fx) =x) = = –= (x)均成立. 有 f 有有(f– (––x)(x)均成立.– a, ( –有 f( x2 fx)–af –ff–(x)均成立. – – a (x)均成立. = a 2 a = –x2 – x, a 对一切 x(– x2 – x = a x2 – x, a x – x2 – x x x 即即 x – = – x2 – x, 即 即 x 对一切 x(– ,0)∪(0,+)的 x 均成立. 化简得 2x2 = 对一切 x(– ,0)∪(0,+)的 x 均成立. 对一切 x(– ,0)∪(0,+)的 x 均成立. 对一切 0. 化简得 2x2 =x(– ,0)∪(0,+)的 x 均成立. 无论 a 取何实 化简得 2x2 = 0. 化简得 2x2 = 0. 化简得 2x2 = 0. 无论 a 取何实数,此式均不可能对定义域中一切 x 成立. 无论 a 取何实数,此式均不可能对定义域中一 无论 a 取何实数,此式均不可能对定义域中一 无论 a 取何实数,此式均不可能对定义域中一
2.已知 f (x) = |x – 1| + |x – a|(其中 a 为常数), 讨论函数 f (x)的奇偶性. (提示 a = –1 时,为偶函数,a –1 时,既非奇函 数又非偶函数)
设 f (x)为定义在 R 上的偶函数,且当 x≥0 时, f (x) = x2 – 2x – 1. ⑴求 f (x)的解析式;⑵求 f (x)的单调区间.
a 已知函数 f (x) = x + (a 为常数,aR).讨论 x
2
函数 f (x)的奇偶性,并说明理由.
a 已知函数 f (x) = x + (a 为常数,aR).讨论 x
2
函数 f (x)的奇偶性,并说明理由.
该问题属于什么类型的问题呢? 题型 特征 函数奇偶性的判断 结论中涉及函数奇偶性
如果对于任意的f xA,都有 f (–x) = f (x), 如果对于任意的(–x) = f (x), xA,都有
那么称函数f y (x), (–x) = (x), f (–x) = f 那么称函数 y如果对于任意的 (x)是偶函数. = f (x)是偶函数. 如果对于任意的fxA,都有= f xA,都有
欲使 (x)为奇函数,则对定义域中一切 x 均 xx 均 ( – x)(x)为奇函数,则对定义域中一切 f ff = – f (x)成立,则应有 若 = – f (x)成立,则应有 解若 ff若若(x)为奇函数,则对定义域中一切 x 均均 欲使 f ( – x) (x)为奇函数,则对定义域中一切