最新人教版高中数学必修4第二章平面向量的实际背景及基本概念

2.1 平面向量的实际背景及基本概念
问题导学
一、向量的有关概念
活动与探究1
给出下列结论：
(1)若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；
(2)向量的模一定是正数；
(3)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
(4)向量AB 与CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点必在同一直线上． 其中正确结论的序号是__________．
迁移与应用
1．下列说法中正确的是( )
A ．所有单位向量相等
B ．零向量是没有方向的向量
C ．若a 与b 是平行向量，则a 与b 的方向相同或相反
D ．向量BA 与向量AB 的大小相等
2．判断下列说法是否正确，并说明理由．
(1)两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
(2)两个有公共终点的向量，一定是共线向量；
(3)数轴是向量；
(4)由于零向量0方向不确定，故0不能与任一向量平行；
(5)若向量a 与b 同向，且|a |＞|b |，则a ＞b ．
对于命题判断正误题，应熟记有关概念，看清、理解各命题，逐一进行判断，对错误命
题的判断只需举一反例即可．
(1)零向量、单位向量的定义都只是限制了大小，它们的方向是任意的．因为它们方向的不确定性，所以在解题过程中要注意．
(2)注意0与0的含义与书写的区别，前一个表示实数，后一个表示向量．
(3)平行向量不一定方向相同或相反，因为0与任一向量平行，0的方向是任意的．
二、向量的表示
活动与探究2
对于下列各种情况，各向量的终点的集合分别是什么图形？
(1)把所有单位向量的起点平移到同一点P ；
(2)把平行于直线l 的所有单位向量的起点平移到直线l 上的点P ；
(3)把平行于直线l 的所有向量的起点平移到直线l 上的点P ．
迁移与应用
某次军事演习中，红方一支装甲分队为完成对蓝军的穿插包围，先从A 处出发向西迂回了100 km 到达B 地，然后又改变方向向北偏西40°走了200 km 到达C 地，最后又改变方向，向东突进100 km 到达D 处，完成了对蓝军的包围． (1)作出向量AB ，BC ，CD ； (2)求|AD |．
(1)准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大
小确定向量的终点．
(2)要注意能够运用向量观点将实际问题抽象成数学模型．“数学建模”能力是今后能力培养的主要方向，需要在日常学习中不断积累经验．
三、相等向量与向量共线
活动与探究3 如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ．
(1)与a 的模相等的向量有多少个？
(2)与a 的长度相等，方向相反的向量有哪些？
(3)与a 共线的向量有哪些？
(4)请一一列出与a ，b ，c 相等的向量．
迁移与应用
给出下列命题：
①若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等；
②若AB ＝DC ，则A 、B 、C 、D 四点是平行四边形的四个顶点；
③若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；
④若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；
⑤相等向量一定是平行向量．
其中不正确命题的个数为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
两条直线平行时，直线上的有向线段平行，两向量平行时，表示向量的有向线段所在的
直线不一定平行，也可能重合．若直线m ，n ，l 满足m ∥n ，n ∥l ，则m ∥l ；若向量a ，b ，c 满足a ∥b ，b ∥c ，而a ，c 不一定平行．
当堂检测
1．下列各量中，是向量的是( )
A ．功
B ．温度
C ．距离
D ．重力 2．如图，在O 中，向量OB ，OC ，AO 是( )
A ．有相同起点的向量
B ．共线向量
C ．模相等的向量
D ．相等的向量
3．下列说法中正确的是( )
A ．若|a |＞|b |，则a ＞b
B ．若|a |＝|b |，则a ＝b
C ．若a ＝b ，则a ∥b
D ．若a ≠b ，则a 与b 不是共线向量
4．设O 是正方形ABCD 的中心，则OA ，BO ，AC ，
BD 中，模相等的向量是__________． 5．如图所示，四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形．
(1)与向量ED 相等的向量为________； (2)若|AB |＝3，则向量EC 的模等于__________．
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．(1)大小 方向 (2)大小 方向 2．(1)有向线段 起点 方向 长度 (2)有向线段 长度 |AB | (3)0 0 1个单位
(4)相同或相反 a ∥b
预习交流1 (1)提示：不能．因为向量既有大小，又有方向．
(2)提示：不对．零向量的方向是任意的．
3．(1)长度相等 方向相同 (2)平行 共线向量
预习交流2 (1)提示：不一定，也可以平行，或在一条直线上．
(2)提示：相等的向量一定共线，而共线的向量不一定相等．
(3)提示：规定零向量与任一向量是共线向量．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：解答本题可从向量的定义、向量的模、相等向量、平行向量等概念入手，逐一判断真假．
(3) 解析：(1)错误．由|a |＝|b |仅说明a 与b 模相等，但不能说明它们方向的关系．
(2)错误．0的模|0|＝0．
(3)正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的．
(4)错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB ，CD 必须在同一直线上． 迁移与应用 1．D 解析：在D 中向量BA 与向量AB 是相反向量，故|BA |＝|AB |，故D 正确．
2．解：(1)不正确．两个向量起点相同，终点相同，则这两个向量必相等，反之，两个向量相等，却不一定有相同的起止点．
(2)不正确．两向量虽然有公共终点，但方向不一定相同或相反，故不一定是共线向量．
(3)不正确．数轴是一条具有方向的直线，而没有大小．
(4)不正确．规定零向量与任一向量平行．
(5)不正确．因为向量是不同于数量的一种量，它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小，故(5)不正确．
活动与探究2 思路分析：本题可借助于图形帮助解决问题．
解：(1)是以P 点为圆心，以1个单位长为半径的圆．
(2)是直线l 上与点P 的距离为1个单位长的两个点．
(3)是直线l ． 迁移与应用 解：(1)向量AB ，BC ，CD ，如图所示．
(2)由题意，易知AB 与CD 方向相反， 故AB 与CD 共线． 又|AB |＝|CD |，∴在四边形ABCD 中，AB CD ，
∴四边形ABCD 为平行四边形． ∴AD ＝BC ，|AD |＝|BC |＝200 km ．
活动与探究3 思路分析：抓住向量的两个要素：长度和方向，对图中向量进行一一判断．
解：(1)与a 的模相等的向量有23个． (2)与a 的长度相等且方向相反的向量有OD ，BC ，AO ，FE ． (3)与a 共线的向量有EF ，BC ，OD ，FE ，CB ，DO ，AO ，DA ，AD ． (4)与a 相等的向量有EF ，DO ，CB ；与b 相等的向量有DC ，EO ，FA ；与c 相等的向量有FO ，ED ，AB ．
迁移与应用 B 解析：①若两个单位向量平行但方向不一定相同，故①不正确；②中
A 、
B 、
C 、
D 可能落在同一条直线上，故②不正确；③当b ＝0时，a 与c 的方向不确定，故③不正确；④⑤显然正确，故选B ．
【当堂检测】
1．D 解析：由向量的定义知，重力既有大小又有方向是向量，其他均为数量． 2．C 解析：由题知OB ，OC ，AO 对应的有向线段都是圆的半径，因此它们的模相等．
3．C 解析：向量不能比较大小，
所以A 不正确；a ＝b 需满足两个条件：a ，b 同向与|a |＝|b |，所以B 不正确，C 正确；a 与b 是共线向量只需方向相同或相反，所以D 不正确． 4．OA 与BO ，AC 与BD 解析：∵四边形ABCD 为正方形，O 为正方形的中心， ∴OA ＝BO ，即|OA |＝|BO |，|AC |＝|BD |． 5．(1)AB 、DC (2)6 解析：(1)在平行四边形ABCD 和ABDE 中， ∵AB ＝ED ，AB ＝DC ， ∴ED ＝DC ． (2)由(1)知ED ＝DC ，∴E 、D 、C 三点共线，|EC |＝|ED |＋|DC |＝2|AB |＝6．。