SIMPLE算法求解方腔内粘性不可压流动学习资料
第六章流动问题(求解不可压流场的CELS算法)
第六章 流动问题———求解不可压流场的CELS算法
即：
u u u u u * Au u A u A u A u A u (b ) p i EE i 2 E i 1 W i2 WW i 2
其中，
p P (a ) a u u u W i 1 E AP aP c P P (aP )i 1 aP
(a ) ui 1 (a ) ui 2 (a ) v i 1 (b )i 1 0
c E i 1 c W i 1 c N i 1 c
把以上(i-1), (i)和(i+1)三个点的连续方程代入v速度的 动量方程
第六章 流动问题———求解不可压流场的CELS算法
p p p p p ap p a u a u a u a u b p i EE i 1 E i W i 1 WW i 2
u W u W u P W P P
p WW i 1 P P i 1
p p b b u * c u i 1 (b ) b c P P aP (aP )i 1
第六章 流动问题———求解不可压流场的CELS算法
联立同一J角标上所有节点的只含有u速度的离散方程， 即可得到该直线上所有节点的u速度值。然后利用节点 压力的u速度表达式，可得到该直线上所有节点的压力。 同时利用连续方程就可以得到该直线上所有节点的v速 度值。 从而实现流场的求解，这种求解方法就称之为 耦合方程的直线解法 Coupled Equation Line Solver ------CELS
u u u u au u a u a u c (p p ) b P i E i 1 W i 1 i i 1
v v v aP v i aE v i 1 a W v i 1 c v p i b v
力学流体simple算法完成
力学流体simple算法完成一、简介力学流体（Computational Fluid Dynamics，CFD）是一种通过数值模拟来研究流体运动的方法。
它可以帮助工程师和科学家了解流体如何在各种条件下移动和相互作用，以及如何在不同的环境中优化设计。
其中simple算法是一种常用的求解Navier-Stokes方程的方法，本文将对其进行详细介绍。
二、simple算法基础1. Navier-Stokes方程Navier-Stokes方程是描述流体运动的基本方程之一，它包含了三个主要部分：质量守恒方程、动量守恒方程和能量守恒方程。
其中，质量守恒方程描述了质量在空间和时间上的变化；动量守恒方程描述了力对流体速度的影响；能量守恒方程描述了温度在空间和时间上的变化。
2. 离散化方法为了求解Navier-Stokes方程，需要将其离散化为有限个离散点上的代数形式。
这可以通过有限差分、有限元或谱方法等技术实现。
其中，有限差分法是最常用的离散化方法之一。
3. simple算法原理simple算法是一种求解Navier-Stokes方程的迭代方法，它采用了分步求解的策略。
simple算法包括三个主要步骤：预处理、压力修正和速度修正。
其中，预处理步骤用于确定初始速度场和压力场；压力修正步骤用于计算压力场的变化；速度修正步骤用于更新速度场。
通过迭代这三个步骤，可以逐渐收敛到稳定的解。
三、simple算法实现1. 离散化首先需要将Navier-Stokes方程离散化为有限差分形式。
例如，在二维情况下，可以将动量守恒方程离散化为：$ \frac{u_{i+1,j}^{n+1}-u_{i,j}^{n}}{\Delta t}+\frac{u_{i,j+1}^{n}-u_{i,j-1}^{n}}{2\Delta y}-\frac{\nu}{\Delta x^2}(u_{i+1,j}^{n+1}-2u_{i,j}^{n+1}+u_{i-1,j}^{n+1})=-\frac{p_{i+1,j}-p_{i,j}}{\Delta x}$其中，$u$表示水平方向的速度，$v$表示垂直方向的速度，$p$表示压力，$\nu$表示粘性系数。
流体力学第9章拈性不可压流体运动(zhou)资料
)
v2 1 dp
r dr
(
d 2v dr 2
9.6 准确解
2u y 2
2u z 2
P
固壁上u=0, 而且u 处处有限
a) 圆管内定常流动
取柱坐标 (r, , x)
2u r 2
1 r
u r
1 r2
2u
2
P
轴对称, u=u(r)
1 d (r du) P r dr dr
u P (a2 r2) 4
umax
P 4
a2
u平均
1 2 umax
切应力
u U ( y h) 2h
两者相加为库塔流
9.6 准确解
c) 两同心旋转圆柱间的定常流动
取柱坐标 (r, , z)
0, 0, 0
z
t
vr 0, vz 0
连续方程 v 0
v v (r)
运动方程 v2 1 p
r r
0 p
r
(
2v r 2
1 r
v r
2v z 2
v r2
y
1 p 0
z
p p(x)
9.6 准确解
1
p x
(
2u y 2
2u z 2
)
1 p 2u 2u
x y2 z 2 P
p p(x)
u u(y, z)
1 p f (x)
x
(
2u y 2
2u z 2
)
F
(
y,
z)
P pa pb
l
问题成为
2u y 2
2u z 2
P
固壁上u=0, 而且u 处处有限
简化后 u 2u
t y2
第六章流动问题(SIMPLE算法)
第六章 流动问题———SIMPLE算法说明
6.7 SIMPLE算法的说明
6.7.1 迭代问题
到SIMPLE算法的第5步，已经对不满足连续方程的速 度场u * , v * , w * 进行了修正，得到了满足连续方程的速度 场 u, v, w ，同时对驱动产生不满足连续方程速度场的压 力场 p 0 也进行了修正，得到了正确的压力场。而且我 们是用 u, v, w 和P所满足的动量方程减去u * , v * , w *和p 0 所 满足动量方程得到压力修正方程的。由此可见修正后 的速度场 u, v, w 和P压力场不仅满足连续方程，而且还 满足动量方程
a
Pn
p Pn b P
有了压力修正方程以后，将它与三个动量方程相结合， 我们就可以实现流动问题的数值计算。其计算步骤如下：
第六章 流动问题———SIMPLE算法
(1)假定速度初场 u 0 , v 0 , w 0 及压力场 p 0，由此计算动量方 程的系数和源项。
* * * u , v , w (2)求解动量方程，获得新的速度场
第六章 流动问题———SIMPLE算法说明
6.7.3 压力修正方程的特征
压力修正方程如下：
a Pp P
a
Pn
p Pn b
NN WN
N P
S SS
EN
WW
W
WS
E
ES
EE
第六章 流动问题———SIMPLE算法说明
a Pp P a Ep E a W p W a N p N a S p S b
忽略邻点速度修正值影响
加重压力负担
修正后的速度场和压力场 不满足动量方程
影响迭代收敛的速度，
因为它夸大了压力修正 值，从而加重了压力修 正值的负担，但并不影 响最终的收敛解的值， 因为，忽略部分在收敛 时是趋于零的。
SIMPLE算法求解方腔内粘性不可压流动
SIMPLE算法求解方腔内粘性不可压流动目录一、问题描述 (2)二、离散格式 (3)交错网格 (3)方程离散 (4)三、SIMPLE算法基本思想 (6)边界条件处理 (8)虚拟网格处理 (9)方程求解 (11)输出变量处理 (12)SIMPLE算法流程图 (15)四、程序中主要变量的意义 (15)五、计算结果与讨论 (17)函数最大值 (17)变量等值线图 (18)主要结论 (22)六、源程序 (22)一、问题描述假设1,0≤≤y x 的方腔内充满粘性不可压缩流体，左、右、下壁固定，上壁以()22116x x u --= 运动，试求400,200,100Re = 时的定常解，方腔如图1所示。
图1 方腔内流动示意图二、离散格式本算例采用求解不可压缩流动的经典算法，即SIMPLE算法，求解方腔内粘性不可压缩流体运动的定常解。
SIMPLE算法的全称为Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equations，即求解压力关联方程的半隐式算法。
采用SIMPLE算法时，为了避免中心差分格式将“棋盘”型参量分布误认为是均匀分布，需要用交错网格对计算域进行离散。
交错网格交错网格如图2所示，压力、密度等物理量存储在控制体()j i,的中心，这个控制体称为主控制体。
速度分量()v u,分别存储在主控制体的()ji,2/1+和()2/1,+ji位置处，标记为()j i,位置，再分别以此为中心，划分速度分量u、v的控制体。
采用空间均匀网格，等间距离散整个求解域，如图3所示。
图2 交错网格示意图图3 求解域离散示意图图3中阴影部分代表方腔内的流动区域，阴影区域的边界代表方腔的上、下、左、右壁面，阴影区域外面的网格节点是为边界处理需要而设定的虚拟网格节点，后面介绍边界处理方法时详细论述。
方程离散无量纲化的守恒型不可压缩S N - 方程为()0Re102=∇-∇+∙∇+∂∂=∙∇U P U U t U U其积分形式为()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=∇⋅-+⋅+∂∂=∇⋅-+⋅+∂∂=⋅S S y S VS S x S VSvdS n dS pn vdS U n dV t v udS n dS pn udS U n dV t u dS U n 0Re10Re1图4 主控制体图5 速度u控制体图6 速度v控制体采用有限体积法离散SN-方程，连续性方程在主控制体上离散()()011,1,1,11,=∆-+∆-+-++-+xvvyuu MjiMjiMjiMjiX方向动量方程在速度u控制体上离散，时间采用前差()()()()()()()()01,1,111,1,1,11,,1,=∆-+∆-+∆-+-∆∆∆+++--+yppxGGyFFuutyx Mj iMjij ij ijij iMj iMj iY方向动量方程在速度v控制体上离散，时间采用前差()()()()()()()()01,11,21,2,2,12,,1,=∆-+∆-+∆-+-∆∆∆+++--+xppyGGxFFvvtyx Mj iMj ij ij ijij iMj iMj i其中，数值通量()()yuuvGxuuF∂∂-=∂∂-=Re1,Re1121()()yvuvGxvvF∂∂-=∂∂-=Re1,Re1222通量()()11,GF分别定义在主控制体的中心和角点，如图所示，并按照如下方法离散()()()()()()()()1,1,11,1,1,,111,1,11,1,1,,11Re141Re141++++++++++++++-∆-++=-∆-++=Mj iMjiMj iMjiMj iMjiMj iMjiMj iMjiMj iMjiuuyuuvvGuuxuuuuF通量()()22,GF分别定义在主控制体的中心和角点，如图所示，并按照如下方式离散()()()()()()()()1,1,11,1,1,,121,1,11,1,1,,12Re141Re141++++++++++++++-∆-++=-∆-++=Mj iMjiMj iMjiMj iMjiMj iMjiMj iMjiMj iMjivvxvvuuGvvyvvvvF通量()()11,G F和()()22,G F 的某些项冻结于M 时间层，使离散化之后的方程对11,++M M v u 是线性的。
SIMPLE算法讲解
realizable可实现的k-ε模型： 为湍流粘性增加了一个公式。
为耗散率增加了新的传输方程。
应用范围：
对于平板和圆柱射流的发散比率的更精确的预测。而且 它对于旋转流动、强逆压梯度的边界层流动、流动分离 和二次流有很好的表现。
Fluent中提供的压力、速度耦合方法
Fluent提供SIMPLE，SIMPLEC及PISO三种方法
PISO(Pressure Implicit Split Operator)算法是用于非稳态可压 缩或不可压缩流体流场中求解压力速度耦合关系的一种算法。 该算法主要是针对SIMPLE系列算法中动量方程和质量 连续性 方程修正不同步问题而提出的，其主要思路是在SIMPLE算法 中压力修正步过程后，再增加一速度修正步，以求迭代方程在 显式满足质量守恒的同时，也 隐式满足动量守恒方程。
提出SIMPLE算法的缘由
动量方程中压力项的离散。
采用常规的网格及中心差分来离散压力梯度项时， 动量方程的离散形式可能无法检测出不合理的压 力场
压力项以源项的形式出现在动量方程中。
压力项作为源项没有独立的方程，需要设计一种 专门的算法，以使在迭代求解过程中的压力的值 能不断地得到改进，
平均N-S方程的求解 大涡模拟（LES） 直接数值模拟（DNS）
平均N-S方程：模型可根据所采用的微分方程数进行分类为： 零方程模型、一方程模型、两方程模型、四方程模型、七方 程模型等。
湍流模型选取
湍流模型选取的准则：流体是否可压、建立特殊的可行的问 题、精度的要求、计算机的能力、时间的限制。
从物理结构上说，湍流是由各种不同尺度的涡旋叠合而成的 流动，这些漩涡的大小及旋转轴的方向分布是随机的。大尺 度的涡旋主要是由流动的边界条件所决定，其尺寸可以与流 场的大小相比拟，是引起低频脉动的原因；小尺度的涡旋主 要是有粘性力所决定，其尺寸可能只有流场尺度的千分之一 量级，是引起高频脉动的原因。大尺度的涡旋破裂后形成小 尺度涡旋。较小尺度的涡旋破裂后形成更小尺度的涡旋。大 尺度的涡旋不断地从主流获得能量，通过涡旋间的相互作用， 能量组建向小的涡旋传递。最后由于流体粘性的作用，小尺 度的涡旋不断消失，机械能就转化（或称为耗散）为流体的 热能。同时，由于边界作用、扰动及速度梯度的作用，新的 涡旋又不断产生，这就构成了湍流运动。
计算流体力学第3章课件
2020/1/29
《计算流体力学典型算法与算例》课程
11
3.4 改进的SIMPLE算法
3.4.1 SIMPLER算法 基本思路：压力修正值只用来修正速度场，而与之协调的压力场则 利用速度场由动量方程构造求解。 基本方程：
- 比拟速度方程
- 压力方程
2020/1/29
《计算流体力学典型算法与算例》课程
- 界面上值用节点上值来表示
动量方程（y方向）
2020/1/29
《计算流体力学典型算法与算例》课程
6
3.2 压力修正技术
3.2.1 压力修正的基本思路和步骤
基本步骤：
- 首先预测一个压力场； - 根据压力场，求解动量方程，得到速度场； - 由于速度是根据不准确的压力场得到的，未必能够满足连续方程，因此
Equations 基本步骤
根据第n时间层的un、vn和pn，计算近似速度u*和v*。 利用u*和v*，迭代计算压力修正值pc。 计算速度修正值uc和vc。 计算第n+1时间层的un+1和vn+1。 计算第n+1时间层的pn+1，通常选取压力松弛系数ap <1。
如果未收敛，重复上述步骤。
12
3.4 改进的SIMPLE算法
3.4.1 SIMPLER算法 基本步骤：
- 根据第n时间层的un、vn，计算比拟速度。 - 利用比拟速度，由压力方程迭代计算第n+1时间层的pn+1。 - 计算近似速度u*和v*。 - 利用u*和v*，迭代计算压力修正值pc。 - 计算速度修正值uc和vc。 - 计算第n+1时间层的un+1和vn+1。 - 如果未收敛，重复上述步骤。
速度场计算-SIMPLE算法
在离散化方法上，simple算法采用有 限体积法或有限差分法，将连续的流 体域离散成一系列控制体或网格单元。
02
算法原理
流体动力学基础
01
02
03
流体
指在重力的影响下能够流 动的物质，包括液体和气 体。
流体动力学
研究流体运动规律和现象 的学科。
流场
流体在空间中的运动状态 可以用流场来描述，流场 由流速、压力、密度等参 数构成。
改进方向
提高稳定性
针对稳定性问题，可以通过改进算法或采用更精确的离散化方法 来提高计算的稳定性。
减小数值耗散
为了减小数值耗散，可以优化算法中的离散化方法，提高计算精度。
优化初始条件设置
针对初始条件敏感的问题，可以通过优化初始条件的设置来提高计 算结果的准确性。
05
应用案例
流体机械内部流场模拟
总结词
SIMPLE算法的核心思想是采用半隐式方法处理动 量方程，将压力耦合方程中的压力梯度隐式处理 ，而速度则采用显式处理。
该算法基于压力修正方法，通过求解压力耦合方 程来得到流场中的速度和压力分布。
通过迭代求解压力耦合方程，逐步修正流场中的 速度和压力分布，最终得到收敛的流场解。
03
算法实现
网格生成Biblioteka 对未来研究的建议进一步优化算法性能，提高计 算精度和稳定性，以满足更复 杂、更高要求的流场计算需求。
拓展该方法在多领域的应用， 如航空航天、海洋工程、环 境科学等，以充分发挥其在
流场分析中的潜力。
深入研究流场特性与算法性能 之间的关系，为算法的进一步 改进和优化提供理论支持和实
践指导。
感谢观看
THANKS
速度场计算-simple 算法
simple算法讲解
simple算法讲解SIMPLE算法（Semi-Implicit Method for Pressure Linked Equations）是一种计算流体力学中广泛使用的求解流场的数值方法。
它于1972年由苏哈斯·帕坦卡与布莱恩·斯波尔丁提出，主要用于计算不可压流场。
SIMPLE算法的核心在于通过“先猜想后修正”的方法得到压力场，并求解离散化的动量方程（纳维－斯托克斯方程）。
以下是SIMPLE算法的具体步骤：1.初始化：给定初始压力场或上一次迭代得到的压力场，求解动量方程，得到一个预测速度场。
这个速度场一般不满足连续性条件。
2.压力修正：将预测速度场代入连续性方程，并利用对角线分解技巧，推导出压力泊松方程。
求解这个方程，得到一个新的压力场。
3.速度修正：将新的压力场代入速度修正方程，并利用对角线逆运算技巧，修正预测速度场，使之满足连续性条件。
4.迭代：检查修正后的速度场是否满足动量方程和收敛标准。
如果不满足，则返回第一步继续迭代；如果满足，则结束计算。
通过以上步骤，SIMPLE算法实现了对流场的高效求解，被广泛应用于流体动力学、气象预测、化工模拟等领域。
在实际应用中，SIMPLE算法通常与其他数值方法结合使用，以提高计算精度和稳定性。
同时，随着计算机技术的发展，SIMPLE算法也在不断优化和改进，以适应更复杂、更高精度计算的需求。
SIMPLE算法的优点主要包括以下几点：1.能够处理复杂几何形状和边界条件：SIMPLE算法能够适应复杂的流场几何形状和边界条件，从而模拟更真实的情况。
2.适用于求解不可压流场：SIMPLE算法主要用于求解不可压流场，这类问题在实际工程中非常常见。
3.计算效率高：相较于其他数值方法，SIMPLE算法的计算效率较高，能够快速得到流场的结果。
4.具有广泛的适用性：SIMPLE算法在计算流体动力学、气象预测、化工模拟等领域有着广泛的应用。
然而，SIMPLE算法也存在一些缺点：1.需要多次迭代才能收敛：为了得到准确的流场结果，SIMPLE 算法需要多次迭代计算，这增加了计算的时间成本。
高等流体力学第七章粘性不可压缩流体流动
u 1 p 2u t x
y
x
u(0,
t)
0, U ,
t0 t0
运运动动方方程程
初初始始条条件件和和边边界界条条件件
u 2u
t
y 2
u(y,0) 0 (y 0) u(0,t) U, u(,t) 0 (t 0)
u
(u
)u
1
p 2u
f
t
NN--SS方方程程求求解解的的难难点点 非线性项存在 (u )u
可可以以求求得得准准确确解解的的流流动动
所有流体质点都作平面直线运动 所有流体质点都作平面圆周运动
某些情况下非线性项虽不为零,但N-S方程可化 为常微分方程，或非线性项可线性化
2011-11-17
西安交通大学流体力学课程组
分析求解问题的具有的特性
选取恰当的坐标系，对基本方程进行简化 确定出初始条件和边界条件 跟根据简化后的方程确定方程的求解方法 解出方程的解
2011-11-17
西安交通大学流体力学课程组
5
本章内容
77..11 定定常常的的平平行行剪剪切切流流
77..22 非非定定常常的的平平行行剪剪切切流流 77..33 平平面面圆圆周周运运动动 77..44 几几种种非非线线性性流流动动精精确确解解
2u 2u 1 dp
x
y2 z2 dx
y
z
泊松方程
对于任意截面通道无通解，特殊形状可以求得解
2011-11-17
西安交通大学流体力学课程组
16
圆圆管管内内充充分分发发展展流流动动
采用柱坐标
ux ux (R)，uR u 0, p p(x)
简化方程
1 R
粘性不可压缩流体运动-PPT
2v y 2
41
边界条件
静止固壁上:满足粘附条件 u v 0 在边界层边界y=δ处,满足: u U (x)
U(x)就是边界层外部边界上外流得速度分布
42
初始条件:
t=t0时刻,已知全部区域内得速度及压力分布
u u(x, y) p p(x, y)
43
绕流区域内粘性不可压缩流体基本方程(二维) －普朗特边界层方程
(2) 平面运动:两个平行x-z坐标面得无限长平面间得粘性 流体运动
一元二阶常微分方程
边界条件 直接积分
准确解
19
2u 2u P pa pb
y2 z2
l
二元二阶偏微分方程
(1) 轴对称流动:圆心在原点得圆管中粘性流体运动
2u y 2
2u z 2
P
结构轴对称
2u 1 u 1 2u
r 2 r r r 2 P
引入流函数 (x, y)
u v
y
x
连续性方程自动满足
49
2 边界层内流体得运动方程
2 2 3
y xy x 2 y y3
边界条件
一元三阶非线性偏微分方程
静止固壁上:y=0 u 0
y
在边界层边界y=δ处,满足:
u U
y
50
2 边界层内流体得运动方程
根据量纲分析,构造组合变量 y U
Q 0 u2rdr 半径r处圆环得面积
Q
8
Pa 2
a 4 8l
pa
pb
u
Q
a 2
a2
8l
pa
pb
1 2
umax
r
25
(c) 阻力系数
u pa pb r
以SIMPLE算法求解瞬态二维顶板驱动方腔流动问题
P旳
(lb)
也+也 =0
dx dy
(lc)
式(la) ~ (lc)中,t一时间,s；p—流体压力,Pa；
u、v一 ％,y方向上的速度,m/s；a—运动粘性系数,
m2/s.
2问题描述
如图1所示的方腔内充满粘性不可压缩流体, 运动粘性系数U在方腔内为常数，其左、右、下壁固 定,上壁以U = S运动.求在这样一种驱动力作用 下，方腔内的流体动力特性•在图1中，方腔的高度
1基本控制方程
对于二维顶板驱动方腔不可压均质粘性瞬态
流动问题,其流场的流体控制方程由式(la) ~(lc)
给出•
=£(u +il du + d( uu) +。(他)
dt dx
du\
丄型
~dx]
i dy) p dx
(la)
dv dt
uv) dx
1
d(仞)
=— d / V dx\
dx]
+斗 v^\ dy\ dyl
(9)
5方程求解
对于本算例的瞬态问题，在每一时间步采用
SIMPLE算法来求解时，需要计算在t + △力时刻的:
1）速度分量叫八％的初算值；2）皱八 %•的修正值此广、巧：阳；3）压力刃J的修正值
刃广•在交错网格的编码系统中，节点GJ）和（/J）
点处的速度分量初算值＜/+1、吩小和压力修正方
程的隐式格式离散方程可表达为：
\-VI,N + 2 -^VI,N+1 ~VI,N
(1 = 1,...⑻
4)压力和压力修正量物理边界条件的插值
为配合采用SIMPLE算法求解，需要将压力P
和压力修正值P'扩充到相应的虚拟网格节点中去. 对于本算例，由于所有垂宜于固壁的速度分量均为
第七章 粘性不可压缩流体流动
基本概念和运动分类以及推得的稳定流动基本方程，如能量方程、动量方程等均适
用于紊流流动。 应该指出，时间平均化的概念是人为的一种研究模型，其目的仅在于使研究过 程和方法简化。当涉及紊流物理本质问题时，就必须考虑流体质点相互混杂的影响。 例如在研究紊流流动能量损失时就不能应用牛顿内摩擦定律，必须考虑流体质点脉 动、混杂的影响。
层流转变为紊流； 流动状态由紊流转变为层流
V c f d , ,
' c
管中流速达 V c 下临界速度
因此，流动状态可以按管中速度值分为以下三种情况：
不可压流计算的Projection方法和SIMPLE方法间桥
不可压流计算的Projection 方法和SIMPLE 方法间桥梁的搭建倪明玖中国科学院研究生院物理科学学院不可压流计算方法设计的一个核心问题是发展合适的离散方法，满足不可压约束条件。
原始变量法中，获得很好应用的有MAC 方法 [1]，Projection 方法 [2-5]和SIMPLE 方法[6-8]。
MAC 是显式法，已应用到湍流DNS (Direct Numerical Simulation)和多流体界面流的数值模拟。
Projection 方法和SIMPLE 方法是隐式或半隐式算法。
隐式算法较之显式法的优越性是时间步长可以大大增加。
Projection 方法已经广泛应用于非定常流的模拟，而SIMPLE 类方法则成功地模拟定常流，特别是传热有关的流动计算。
SIMPLE 类方法也被用来解非定常流的计算。
分析这些原始变量法 (特别是Projection 方法和SIMPLE 方法)间的关系将很有意义。
本文将在Projection 方法和SIMPLE 方法间搭建一个桥梁。
首先通过对压力梯度项进行非线形离散(()n n p p ∇−+∇+n n I θθ1)，基于矩阵分析方法构造了一类具有二阶时间精度的Projection 方法。
包括一类三步和一类四步Projection 方法。
这里是非线形系数矩阵，它可能是网格尺寸、时间步长、流动速度的函数。
并将标准的SIMPLE 方法写成简洁的矢量表达式。
一些经典的二阶精度Projection 方法和 SIMPLE 类方法是本文构建的一类Projection 方法的特例。
而SIMPLEC 方法更是完全等价于经典的三步Projection 方法。
本文并证明标准的 SIMPLE 方法及SIMPLEC 方法，应用到非定常流的计算中，有二阶时间精度。
这样，本文在这两类方法间搭建了一桥梁。
n θ通过模拟两维Taylor 涡，数值验证SIMPLE 方法和本文构造的Projection 方法是二阶时间精度算法(见图一)。
第六章流动问题(SIMPLE算法)
加重压力负担
修正后的速度场和压力场 不满足动量方程
影响迭代收敛的速度，
因为它夸大了压力修正 值，从而加重了压力修 正值的负担，但并不影 响最终的收敛解的值， 因为，忽略部分在收敛 时是趋于零的。
第六章 流动问题———SIMPLE算法说明
修正后的速度场和压力场不满足动量方程
* * * ae (u* e ue ) aen (uen uen ) ((p P p P ) (p E p E )) Ae be
(3)以该新的速度场 u * , v * , w *不满足连续方程的程度作为 源项求解压力修正方程，得到压力场的修正量 p 。 (4)用求出的压力修正量去改进上述新的速度场，改进后 的速度场满足连续方程。
u e d e (p P p E )
v n d n (p P p N ) w t d t (p P p T )
aSp S aSE p SE aSW p SW a P p P aSS p SS b
NN WN WW W WS N P EN E EE
S SS
ES
任何一点压力的变化都会引起周围所有方向上压力的变化
第六章 流动问题———SIMPLE算法说明
即压力扰动的传播总是向四面八方传播，不具有特殊的
方向性。它每个空间坐标都是双向的，因此压力方程对
空间坐标而言是椭圆的。因为SIMPLE算法主要是针对 低Ma数的不可压流体，所以，我们所说的压力方程的 这些特性也是针对不可压流动而言的。实际上，对于可 压流体的超音速而言，压力的传播是有方向性的，当然 ，这时候也就无需为压力没有输运方程而担忧了，因为 可以通过连续方程求解密度，再由状态方程求解压力。
有限体积法-simple1
j 1 100
j 50
20
解决办法
（1） 逆风格式 (Upwind Scheme) 即： ①扩散项：仍用中心差分 ②对流项：逆风边结点之值
Fe 0 Fe 0
e j
e j 1
Fee j Fe , 0 j 1 Fe , 0 Fw w j 1 Fw , 0 j Fw , 0
可得到
a j j a j 1 j 1 a j 1 j 1
18
对流项的离散化
其中：
对流扩散问题的中心差分格式
19
中心差分格式的问题
| ,会出现负数，有可能出现物理上不真 当 D | F 2 时
实。 举例：如果
De Dw 1,
Fe Fw 4
j 1 200,
2
• 流体力学和传热学的控制方程 • 控制容积法及方程离散 • 离散方程的求解方法 • SIMPLE算法的思想和实施
3
流体力学和传热学的控制方程
连续性方程(质量守恒)
div ( v ) 0 t
( u j ) 0 t x j
4
动量方程(张量形式表示)
p ( u j ) div( vu j ) div( gradu j ) Bj Dj t x j
12
一维控制容积网格
体积
X
j-1 W w h j P e h
j
*1*1
j+1 E
j-1
13
二维控制容积网格
X
j +1 hn i-1 W hs w P
n
N
i+1 e s E
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SIMPLE算法求解方腔内粘性不可压流动目录一、问题描述 (2)二、离散格式 (3)交错网格 (3)方程离散 (4)三、SIMPLE算法基本思想 (7)边界条件处理 (8)虚拟网格处理 (9)方程求解 (11)输出变量处理 (12)SIMPLE算法流程图 (15)四、程序中主要变量的意义 (15)五、计算结果与讨论 (17)函数最大值 (17)变量等值线图 (18)主要结论 (22)六、源程序 (22)一、问题描述假设1,0≤≤y x 的方腔内充满粘性不可压缩流体，左、右、下壁固定，上壁以()22116x x u --= 运动，试求400,200,100Re = 时的定常解，方腔如图1所示。
图1 方腔内流动示意图二、离散格式本算例采用求解不可压缩流动的经典算法，即SIMPLE算法，求解方腔内粘性不可压缩流体运动的定常解。
SIMPLE算法的全称为Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equations，即求解压力关联方程的半隐式算法。
采用SIMPLE算法时，为了避免中心差分格式将“棋盘”型参量分布误认为是均匀分布，需要用交错网格对计算域进行离散。
交错网格交错网格如图2所示，压力、密度等物理量存储在控制体()j i,的中心，这个控制体称为主控制体。
速度分量()v u,分别存储在主控制体的()ji,2/1+和()2/1,+ji位置处，标记为()j i,位置，再分别以此为中心，划分速度分量u、v的控制体。
采用空间均匀网格，等间距离散整个求解域，如图3所示。
图2 交错网格示意图图3 求解域离散示意图图3中阴影部分代表方腔内的流动区域，阴影区域的边界代表方腔的上、下、左、右壁面，阴影区域外面的网格节点是为边界处理需要而设定的虚拟网格节点，后面介绍边界处理方法时详细论述。
方程离散无量纲化的守恒型不可压缩S N - 方程为()0Re102=∇-∇+∙∇+∂∂=∙∇U P U U t U U其积分形式为()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=∇⋅-+⋅+∂∂=∇⋅-+⋅+∂∂=⋅S S y S VS S x S VSvdS n dS pn vdS U n dV t v udS n dS pn udS U n dV t u dS U n 0Re10Re1图4 主控制体图5 速度u控制体图6 速度v控制体采用有限体积法离散SN-方程，连续性方程在主控制体上离散()()011,1,1,11,=∆-+∆-+-++-+xvvyuu MjiMjiMjiMjiX方向动量方程在速度u控制体上离散，时间采用前差()()()()()()()()01,1,111,1,1,11,,1,=∆-+∆-+∆-+-∆∆∆+++--+yppxGGyFFuutyx Mj iMjij ij ijij iMj iMj iY方向动量方程在速度v控制体上离散，时间采用前差()()()()()()()()01,11,21,2,2,12,,1,=∆-+∆-+∆-+-∆∆∆+++--+xppyGGxFFvvtyx Mj iMj ij ij ijij iMj iMj i其中，数值通量()()yuuvGxuuF∂∂-=∂∂-=Re1,Re1121()()yvuvGxvvF∂∂-=∂∂-=Re1,Re1222通量()()11,GF分别定义在主控制体的中心和角点，如图所示，并按照如下方法离散()()()()()()()()1,1,11,1,1,,111,1,11,1,1,,11Re141Re141++++++++++++++-∆-++=-∆-++=Mj iMjiMj iMjiMj iMjiMj iMjiMj iMjiMj iMjiuuyuuvvGuuxuuuuF通量()()22,GF分别定义在主控制体的中心和角点，如图所示，并按照如下方式离散()()()()()()()()1,1,11,1,1,,121,1,11,1,1,,12Re 141Re 141++++++++++++++-∆-++=-∆-++=M j i M j i M j i M j i M j i M j i M j i M j i M j i M j i M j i M j i v v xv v u u G v v yv v v v F通量()()11,G F和()()22,G F 的某些项冻结于M 时间层，使离散化之后的方程对11,++M M v u 是线性的。
将离散化之后的()()11,G F 和()()22,G F 代入离散后的x 方向和y 方向的动量方程，整理之后得离散后的动量方程如下()()001,11,,1,,1,,1,1,1,1,,1,,=∆-+++=∆-+++++++++++++∑∑x p p b v a v a y p p b u a u a M j i M j i v j i M q p v q p M ji v j i M j i M j i u j i M q p u q p M j i u j i其中M j i u j i u t y x b ,,∆∆∆-=()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆++∆-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆-+∆=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆++∆-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆-+∆=-+--++++y v v x a y v v x a x u u y a x u u y a M j i M j i u j i M j i M j i u j i Mj i M ji u j i M j i M j i u j i Re 141,Re 141Re 141,Re 1411,11,1,,1,1,,1-,,1-,,1,1()()t y x y v v v v x x u u y a Mj i M j i M j i M j i M j i M j i u j i ∆∆∆+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆+--+∆+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆+-∆=-+-+-+Re 241Re 2411,11,,1,,1,1,Mj i v ji v ty x b ,,∆∆∆-=()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆++∆-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆-+∆=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆++∆-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆-+∆=-+--++--++x u u y a x u u y a y v v x a y v v x a Mj i M j i v j i M j i M j i v j i Mj i M j i v j i M j i M j i v j i Re 141,Re 141Re 141,Re 141,11,1,1,1,,1,1,1,1,,1,()()t y x x u u u u y y u v x a M j i M j i M j i M j i M j i M j i v j i ∆∆∆+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆+--+∆+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆+-∆=-+-+-+Re 241Re 241,11,1,1,1,1,, 以上是SIMPLE 算法中离散化的动量方程三、SIMPLE 算法基本思想SIMPLE 算法是一种解决压力-速度耦合问题的“半隐式”算法。
首先给定M 时刻猜测的速度场MMv u ,，用于计算离散动量方程中的系数和常数项。
给定M+1时刻猜测的压力场估计值*p ，迭代求解离散动量方程，得到M+1时刻速度场的估计值**,v u ，速度场的估计值**,v u 满足如下离散方程。
()()00*,*1,,*,,*,,*,*,1,*,,*,,=∆-+++=∆-+++++∑∑x ppb va v a y p pb u a u a ji j i v ji qp v q p ji v j i j i j i u j i q p u q p j i u j i一般地，速度场**,v u 不满足离散的连续性方程，因而需要对速度场**,v u 和压力场*p 进行修正。
M+1时刻的修正值和估计值有如下关系p p p v v v u u u M M M '+='+='+=+++*1*1*1其中，v u '',和p '分别速度和压力的修正量，修正量亦满足离散的动量方程()()00,1,,,,,,,,1,,,,,=∆'-'++'+'=∆'-'++'+'++∑∑x p p b v a v a y p p b u a u a j i j i v j i q p v q p ji vj i j i j i uj i q p u q p j i u j i编号为（i,j ）的速度修正量v u '',不仅与压力修正量p '有关，还与邻近点的速度修正量有关。
SIMPLE 算法的重要假定：速度的改变只与压力的改变有关，忽略邻近点对速度修正的影响。
因而得到如下速度修正量()()j i j i v ji j i j i j i u ji j i p p a xv p p a yu ,1,,,,,1,,'-'∆-=''-'∆-='++修正后的速度分量()()j i j i v ji ji M ji j i j i u ji j i M j i p p a xv vp p a yu u ,1,,*,1,,,1,*,1,'-'∆-='-'∆-=++++将修正后的速度分量代入离散后的连续性方程，得到压力修正方程pj i q p p q p ji p j i b p a p a ,,,,,+'='∑ 其中()()*1,*,*,1*,,1,2,2,12,2,1,21,,21,,12,1,2,1,,,------+--+-∆--∆-=∆+∆+∆+∆=∆=∆=∆=∆=j i j i j i j i p j i vj i v j i u j i u j i pji vj i pj i v j i p j i u j i p j i u j i pji v v x u u y b a x a x a y a y aa x a a x a a y a a y a采用迭代法求解压力修正方程，得到压力修正量p '，代入修正公式得到M+1时刻的速度场11,++M M v u和压力场1+M p 。
将M+1时刻的速度场11,++M M v u 和压力场1+M p 作为新的猜测的速度场和猜测的压力场估计值，采用上述方法计算下一个时刻的速度场和压力场，直到满足收敛条件。
收敛判据()ε<p j i b Max ,ε为很小的正实数，视计算的精度要求而定。
本算例中取81-=e ε。
若0,=p j i b ，则0,='j i p ，此时*,1,j i M j i U U =+，从而来自于离散动量的*,j i U 满足离散的连续性方程。