工程力学—刚体的平面运动

M
刚体的平面运动可以简化为平面图形S在其自身平面内的运动。
4.2 刚体平面运动分解
平面图形S在其平面上的位置完 全可由图形内任意线段O'M的位置来
y
确定，而要确定此线段的位置，只需
确 定 线 段 上 任 一 点 O' 的 位 置 和 线 段
S
O'M与固定坐标轴Ox间的夹角即可。 点O'的坐标和角都是时间的函数，
O'
即
O
xO f1(t), yO f2 (t), f3 (t)
M x
这就是刚体的平面运动方程。
如果O’位置不动，则平面图形此时绕O’做定轴转动；如果 O'M方位不变，则平面图形此时做平动。因此刚体的平面运动包 含平动和定轴转动两种情况，但不能说平动和定轴转动是刚体平 面运动的特殊情况。
是相对于各基点处的平动参考
d d
dt dt
系而言的。平面图形相对于各 动参考系(包括固定参考系)其 转动运动都是一样的，因此以
'
后无须标明绕哪一点转动。
4.3 平面图形上各点的速度
1. 基点法
已知O'点的速度及平面图形转动 的角速度，求M点的速度。

r
aO r
r

aO
aCnO

r 2

r ( vO r
)2

vO2 r
O aO vO
aC O
a Cn O aO
C
取如图的投影轴，将各矢量投影到投影轴上得
aC aO aCO aO aO 0
aC

aCnO

vO2 r
aC
aC2
aC2

vO2 r
方向由C点指向O点。
vM

MC

l
2
10 cm s
C vM

M
30°
vA A
例4 已知轮子在地面上作纯滚动，轮心的速度为v，半径为r。 求轮子上A1、A2、A3和A4点的速度。
解：很显然速度瞬心在轮子与地
面的接触点即A1

A3
vA3
vA1 0
vo r v
A4
vA4 vO A2
O
各点的速度方向分别为各
aBA
B
aA
而
r aBA

ar BA
ar BnA
其中
aBA AB
aBA
A
aB
aBnA
aA
a
n BA

AB 2
故
r aB

r aA
ar BA

ar
n BA
4.4 求平面图形上各点的加速度
r aB

r aA
ar BA
ar BnA
aBA
B
aA
aBA
A
aB
aBnA
aA
即：平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与相对基 点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。这就是平面运 动的加速度合成法，称为基点法。
例7 求圆轮在地面上作纯滚动时的角速度和角加速度。
解：M点为速度瞬心， 如图所示。

vO r
O vO
aO
r
vO
r
再对时间求导有
r aB

r aA
ar BA
ar BnA

其中
aA

a
n A
OA 2
20 m
s2
aA A
O 45º
aBnA

AB


2 AB

4m
s2
将B点加速度投影到轴上得
an BA
aτ BA
aB cos 45o aBnA
aB 5.66 m s2
aB aA B
将B点加速度投影到轴上得
将等式两边分别向x和y方向投影得： y
aA
cos
45o

a
n AB
aA cos 45o aB aAB
B aB

aAnB
40 2 2 2
2 rad/s
AB
20
C
aAB 80 40
2
2 2 2 rad/s2
AB
20
aCnB
aCτB
A
aA aB
x D
aB sin 45o aA aBA aBA 16 m s2
AB

aBA AB
16 rad
s2
例10 图示正方形薄板边长20 mm，在其平面内运动。某瞬时
顶点A和B的加速度分别为aA 40 2 mm/s2 和 aB 80 mm/s2 ， 方向如图。求薄板的角速度和角加速度。

C
vA
vD
A
D
vB
C
B
C为速度瞬心
确定速度瞬心位置的方法有下列几种： (1) 平面图形沿一固定表面作无滑动的滚动， 图形与固定面的接触点就是图形的速度瞬心。 如车轮在地面上作无滑动的滚动时，接触点 C就是图形的速度瞬心。
v
C
(2) 已知图形内任意两点A和B的速度的方向， 速度瞬心C的位置必在每点速度的垂线的交线 上。
C
vA
A

O
AB
vB B
(3) 已知图形上两点A和B的速度相互平行，
并且速度的方向垂直于两点的连线AB，则速
度瞬心必定在连线AB与速度矢vA和vB端点连 线的交点C上。
A vA B vB
C
A vA
C B
vB
(4)某瞬时，图形上A、B两点的速度相等,如图 所示，图形的速度瞬心在无限远处。(瞬时平动： 此时物体上各点速度相同，但加速度不一定相 等)
4.2 刚体平面运动分解
下图可进一步说明该问题：
B A
B'
B"
Δ' Δ
A" A'
4.2 刚体平面运动分解
平面运动可取任意基点而分
B'
B" 解为平动和转动，其中平动的
B
速度和加速度与基点的选择有
Δ' Δ
关，而绕基点转动的角速度和
角加速度与基点的选择无关。
A"
这里所谓的角速度和角加速度
A'
A
例2 用速度投影定理解例1。
解：由速度投影定理得
r [vB ]AB
[vr A ]AB
vA cos 30 vB cos 60
解得
vB 10 3 cm s
vB
B
30°
vA A
vA 10cm / s
3. 速度瞬心法
设有一个平面图形S角速度为
，图形上点A的速度为vA，
如图。在vA的垂线上取一点C (由vA到AC的转向与图形的转 向一致)，有
4.1 刚体平面运动概述
刚体上每一点都在与固定 平面M平行的平面内运动。 若作一平面N与平面M平行, 并以此去截割刚体得一平 面图形S。 可知该平面图 形S始终在平面N内运动。 因而垂直于图形S的任一条 直线A1A2必然作平动。 A1A2的运动可用其与图形 S的交点 A的运动来替代。
A1
N
A
S
A2
vM
r rr va ve vr
vO' vMO'
r rr vM vO vMO
vMO O'M g

M
vO'
O'
平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点
随图形绕基点转动速度的矢量和，这就是平面运动 的速度合成法或称基点法。
例1 椭圆规机构如图。已知连杆AB的长度l = 20 cm，滑块A 的速度vA=10 cm/s ，求连杆与水平方向夹角为30°时，滑块B 和连杆中点M的速度。
E B
O1
D
F
P96 习题4-11
A nO
解：机构中共有5个运动构件：OA和O1B作定轴转动，EF作 平动，AD和DE作平面运动。E点速度沿铅直方向，B点速度 垂直于O1B，根据此两点的速度方向可确定出DE杆的速度瞬 心C。进一步得出D点的速度方向，由图中关系可知：
vF vE vD
根据速度投影定理有 ：
vC vA AC
vCA
N
S
C
vA
A
如果取AC＝ vA / ，则
vC vA AC 0
vA
定理：一般情况，在每一瞬时，平面图形上都唯一地
存在一个速度为零的点。
该点称为瞬时速度中心，或简称为速度瞬心。
图形内各点速度的大小与该点到速度瞬心的距 离成正比。速度的方向垂直于该点到速度瞬心的连 线，指向图形转动的一方。
例9 图示曲柄连杆机构中，已知曲柄OA长0.2 m，连杆AB长
1m，OA以匀角速度 =10 rad/s绕O轴转动。求图示位置滑块
B的加速度和AB杆的角加速度。
解：AB作平面运动，瞬心在C点，则
C
AB
vA OA 2 m s
AB

vA AC

2 rad
s
vA

A
O
45º
45º
vB
B
AB作平面运动，以A点为基点，则B点的加速度为
vA A

O
vB B
另外注意：瞬心的位置是随时间在不断改变的，它 只是在某瞬时的速度为零，加速度并不为零。
例3 用速度瞬心法解例1。 解： AB作平面运动
瞬心在C点 vB