高等数学重修班练习题三
数学分析重修必做习题 精品
数学分析（2）重修必做习题
**3.1关于实数的基本定理2；5；7；10；12；14；
**3.2 闭区间上连续函数的性质1；3；5；
*6.1 不定积分的概念及运算法则3；5（2）；
*6.2 不定积分的计算（一）1（1，3）；2（1，4）；
*6.2 不定积分的计算（二）1（1，2）；
*6.2 不定积分的计算（三）1（1，3）；
*6.2 不定积分的计算（四）1（2）；
*6.2 不定积分的计算（五）1（2）；2（1，2）；
7.4定积分的计算1；2；3（2，4，6，8，10）；4；5（1）；6
8.1平面图形的面积2～4；
8.2曲线的弧长1～3；
8.3体积1；3；4；5（1）；
8.4旋转曲面的面积1（2，3，4（ii））；
9.2级数的收敛性及其基本性质1（2）；2；4（1）；5
9.3正项级数1（2，3，4，6）；2；3
9.4 任意项级数1（2，3）；2（1）；4
9. 5 绝对收敛级数…的性质 2
10.1 无穷限的广义积分1（2）；2（2，4）；5；7
10.2 无界函数的广义积分（一）1（2）；2（2，4）；3
10.2 无界函数的广义积分（二）2；3
11.1 函数项级数的一致收敛（一、二）1（2，4）；2（1，2）；
11.1 函数项级数的一致收敛（二续）4；6；7（2）
11.1 函数项级数的一致收敛（三）8；9；11
11.1 函数项级数的一致收敛（四）13（1，2）；
11.2 幂级数（一、二）1（1，3）；4；
11.2 幂级数（三）5（1，4）；6（1，3）；7（1，2）
12.1 Fourier级数1；2（2）；3（1，2）
12.1 Fourier级数（续）4；5。
高数重修试题
⾼数重修试题⼀（1）设k j i b k j i a 42,253++=-+=，问λ和µ有什么的关系，能使得b aµλ+与z 轴垂直？（2）已知k i OA 3+=，k j OB 3+=，求OAB ?的⾯积。
（3）已知23,3,2,1,,3A a bB a b a b a b π=+=-===求,BA B prj A ?（4）设向经,522k j i M O ++=从点)1,2,1(P 出发，向M O 作垂线PQ ,求向量Q P和长度。
（5）分别画出223yx z +-=,2211y x z ---=⽅程所表⽰的曲⾯。
（6）求上半球2220yx a z --≤≤与圆柱体)0(22>≤+a axy x 的公共部分在xoy 坐标⾯上的投影。
（7）求两平⾯012=+-+z y x 和012=-++-z y x ⾓平分⾯的⽅程。
42012=--+=--+z y x z y x 的直（8）求过点)1,2,1(-，并且平⾏直线线⽅程。
（9）求直线211232-+=-=+z y x 与平⾯08332=-++z y x 的交点和夹⾓。
（10）求点)0,2,1(-在平⾯012=+-+z y x 上的投影。
（11）求点)1,3,2(在直线322217+=+=+z y x 上的投影。
4201=-+-=+-+z y x z y x 的距离。
（12）求点)2,1,3(-P 到直线（13）求直线22x y z=??=?绕z 轴旋转⼀周的曲⾯⽅程并画出它的⼤致图形。
（14）求过直线026x y x y z +=??-+=?且切于球⾯2229x y z ++=的平⾯⽅程。
（15）设122112:,:112211x y z x y z L L -++-====--（1）判断12,L L 是否相交，若相交求出交点P 和相交平⾯π；（2）在平⾯π上求⼀过P 点直线L ，且L 与1L 和2L 的夹⾓相同。
⼆：（1）求1)sin(1lim)0,0(),(--→xy xy y x 。
高数重修第二章(题单)
1.A x f x x =→)(lim 0的充分必要条件是 . 2.=+→x x x 0lim ,=-→x x x 0lim ,xx x f =)(在0=x 处的极限情况为 . 3.01sin lim 0=→xx x 的理由是 . 4.=-++→2232)2(2lim x x x x x . 5.=++-∞→503020)15()23()32(lim x x x x . 6.已知51lim 21=-++→xc bx x x ,则=b ,=c . 7.当1→x 时,无穷小x -1和31x -是否同阶? ,是否等价? .8.当0→x 时,22x x -与32x x -相比,哪一个是高阶无穷小? . 9.设函数⎩⎨⎧≥+<=,0,,0,)(x x a x e x f x 若要使)(x f 成为在),(+∞-∞上连续的函数,应当选择=a .10.若)(lim 0x f x x →存在,则)(x f . A.有界; B.在),(0o δx U 内有界; C.在任一),(0δx U 内有界; D.以上结论都不对.11.设x e x f x 1arctan )1()(1+=,当-→0x 时,观察)(x f 的变化趋势,可得=-)0(f . A.0; B.2π; C.2π-; D.∞. 12.若}{n x 、}{n y 均发散,则下列判断正确的是 .A.}{n n y x ±一定发散;B.}{n n y x ⋅一定发散;C.}{nn y x 一定发散; D.以上结论都不对. 13.若}{n x 收敛,}{n y 发散,则下列判断正确的是A.}{n n y x ±一定发散;B.}{n n y x ⋅一定发散;C.}{nn y x 一定发散; D.以上结论都不对14.=-→x x x cos 1lim 0 . A.0; B.1; C.不存在; D.22. 15.设232)(-+=x x x f ,则当0→x 时,以下四个结论中正确的结论是A.)(x f 与x 是等价无穷小;B.)(x f 与x 同阶但非等价无穷小;C.)(x f 是比x 高阶的无穷小;D.)(x f 是比x 低阶的无穷小.16.以下判断正确的是 .A.x e 是无穷大量;B.x 1是无穷小量;C.若当0x x →时,)(x f 是无穷小量,则)(1x f 是无穷大量;D.若A x f x x =→)(lim 0,则当0x x →时,A x f -)(是无穷小量. 17.)1311(lim 31xx x ---→ 18.]ln )1[ln(lim n n n n --∞→; 19.)1cos arctan 1(lim 0x x x xx ⋅-→ 20.x x x x 3)1212(lim -+∞→ 21.xx x 4tan )21ln(lim 0+→ 22.])12)(12(1751531311[lim +-++⋅+⋅+⋅∞→n n n 23.)11()311)(211(lim 222nn ---∞→ 24.x x x tan 2)(sin lim π→ 25.xx x x +---→131lim 21 26.)2141211(lim n n ++++∞→ 27.)35(12721lim 2-++++-+∞→n n n n 28.xx x ωsin lim 0→29.xx x -→ππsin lim. 30.n n n x 2sin 2lim ∞→. 31.n n nn 2)1(lim +∞→. 32.若6)311(lim e x kx x =+-∞→,求k. 33.证明方程135=-x x 至少有一个根介于1和2之间34.证明方程b x a x +=sin ,其中0,0>>b a ,至少有一个正根,并且它不超过b a +。
上海建桥学院2007年重修班高等数学期终考试.
上海建桥学院2007年重修班高等数学期终考试 （2008.1）06 级本科 《高等数学》（上）试卷（本试卷考试时间120分钟）专业 班 学号 姓名(本试卷共六大题，满分100分，除填空题和单项选择题，要求写出解题过程，否则不予计分)一．填空题（3`×5）1．设 ⎩⎨⎧>-≤+=3,23,1)(x a x x x x f ，如果)(3x f x 为=的连续点，则 .___=a2．函数 11)(2--=x x x f 的可去间断点是 ._____=x 3．向量 a 与各坐标轴的夹角均为锐角，且.___,3,3===γπβπα则4．设)(x f 的一个原函数是._____)(,sin ='x f x 则5．反常积分⎰-=-112.______1xdx二．单项选择题)53(⨯'1．下列函数在其定义域内为无界函数的是 ( )(A)． ； ） ； 1022)5(cos )(;arctan )()1ln((1x y D x y C x y B xx y ==+=+= 2. 设 )(x f ''存在，则函数)(x e f y -=的二阶导数 （ ） （A ）);()(2x x x x e f e e f e ----'+' );()()(2x x x x e f e e f e B ----''+'- [])()();()()(22x x x -x x x x x e f e e f e D)e f e e f e C -------''+''-'－ （ 3. 设 a x x f =在)(处可导，且 ='-=--→)(,12)()(lim 0a f hh a f a f h 则 （ ）（A ） 2 ; (B)21; (C) -2 ; (D) -1 4. 平面)2,1,3()1,1,2(21M M 及点过点-π且平行于Z 轴，则平面π的一般方程 为 （ ）.052)(;052)(;052)(;053)(=--=++=-+=+-y x D y x C y x B y x A 5. 设 ⎰⎰=+=+babadx x g x f x g dx x g x f x f )()()(,1)()()(则 （ ） .1)(;1)(;1)(;1)(+----+--b a D b a C a b B a b A 三．)85(⨯'解下列各题（写出解题过程或文字说明）1． .sec cos sin lim20xx xx -→2． .1)(arctan lim22+⎰+∞→x dt t xx3． .)arccos 2(lim 10xx x π→4．求曲线 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=12123123t t t y t t x 在出的切线方程.5.设函数 44|223=+++=-=x y d cx bx ax y 以为极值，函数图形以（1，-10）为拐点，试求d c b a ,,,的值.6. ⎰+-dx x x 4122.7. ⎰-dx e x x 23.8. ⎰-+1154x dx .四.解下列各题)26(⨯'(写出解题过程或文字说明) 1.一平面过直线 11235:zy x L =-=+ 且与平面0121=--+z y x ：π垂直，求该平面的方程.2.求由抛物线 21x y -=及其在点(1,0)处的切线和y 轴所围图形的面积.五.应用题(01')(理工类各专业学生考第1题,经管类各专业学生考第2题). 1.一块底为4m ，高为3m 的等腰三角形平板，铅直地置于水中，底边在上，平行于水面，位于水面下1m ，求该平板的一侧受到的水压力.2.某产品的边际收益函数为吨万元单位： (18)(='Q R ,边际成本函数为 吨万元单位： (33183)(2+-='Q Q Q C ),其中Q 为产量，单位为吨，,100≤≤Q 固定成本为10万元，当产量为多少时,利润最大？并求其最大利润.六.证明题 (8') 设 ⎰⎰=+++>xxt dt t dt x 01022211,0π 证明 .。
2010级微积分(上)重修试卷及其参考答案
2001级《微积分（上）》重修试卷共8页21题 考试时间：2小时 考试方式：闭卷一、计算下列歌题（每小题5分，六个小题共30分）1．xx xx x sin sin 3lim0+-→解：x x x x x sin sin 3lim 0+-→.11113sin 1sin 3lim 0=+-=+-=→xx x xx 2．1221lim -∞→⎪⎭⎫⎝⎛-x x x解：1221lim -∞→⎪⎭⎫⎝⎛-x x x 121221lim -+---∞→=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=e x xx x 。
3．()11lim --+∞→n n nn 解：()11lim --+∞→n n nn 11lim2-++=∞→n n n n.111111lim2=-++=∞→nn n4．()xx x x 10sin cos lim +→解：()xx x x 10sin cos lim +→ ()[]=+=→xx x x 220sin cos lim ().2sin 1lim 44.22sin 2sin 10e x xxxx =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+→5. 若31lim21=-++→x bax x x ，求b a ,的值. 解： 由于()01lim 1=-→x x ，故()b a b ax x x ++=++=→1lim 021，即1--=a b ① 所以()=--+-=→11l i m321x a ax x x ()()a x a x x x +=-++-→2111lim 1 解得 .2,1-==b a6．⎪⎭⎫ ⎝⎛--→111lim 0x x e x解：⎪⎭⎫ ⎝⎛--→111lim 0x x e x ()11lim 0---=→x x x e x x e （等价）201lim x x e x x --=→（洛必达） x e x x 21lim 0-=→（等价）.212lim 0==→x x x 二、导数与微分（每小题5分，五个小题共25分） 1．设()0sin >=x x y x ，求()x f '.解： x x y ln .sin ln = ①①关于x 求导，得x xx x y y sin 1ln .cos 1+=' ② ⎪⎭⎫ ⎝⎛+='x x x x x y x sin 1ln .cos .sin 。
高等数学第三章练习题及答案
第三章 练习题一、填空1、设常数，函数在内零点的个数为 22、3、曲线的拐点是（1,4）．4、曲线的拐点是 (0, 0)5、.曲线的拐点是.6、217、38.9、函数xxe y =的极小值点是 ____1-=x ______10、函数x x e y xcos -+= 在 []π,0上的最小值是 011．=-→xe x x 1limsin 0 1 二、选择1、设，则有（ B ）实根.A.. 一个B. 两个C. 三个D. 无 2、的拐点是（ C ） A. BC.D.3．( B )A 、B 、C 、D 、4．( B )A、B、C、D、5．( C ) A、 B、C、 D、6．( A )A、 B、 C、 D、7．AA、B、C、D、8．DA、 B、C、 D、9．( C )A、B、C、 D、10．函数( C )A、0B、132C、120D、6011．( B )A、B、C、D、12．（B）A、B、C 、D 、13．设在＝2处 （ A ）A. 连续B.不连续C. 可导D.不存在极限14．( B )A 、B 、C 、D 、15.设，则 （ C ）A. 0B. 1C.-1.D. 2三、计算与证明：1、解：⎪⎭⎫ ⎝⎛--→x e x x 111lim 0()11lim 0-+-=→x x x e x e x 11lim 0-+-=→x x x x xe e e 2121lim lim 00-=+-=++-=→→x xe e e e x x x x x x2、()()()()2000ln 1ln 111lim lim lim ln 1ln 1x x x x x x x x x x x x →→→⎡⎤-+-+-==⎢⎥++⎣⎦解：()00111lim lim 221x x x x x x x →→-+==+ 12=3、2ln lnarctan 2lim arctan lim xx x x x x eππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭→+∞→+∞⎛⎫= ⎪⎝⎭解：112ln ln arctan 2arctan 1112lim limx x x x x xx eeπ⋅++-→+∞→+∞==2eπ-=4、1)1(1lim 11)1(1lim cot )11ln(lim22=++=+-+-=++∞→+∞→+∞→x x x x x x x arc x x x x5、解：x x x e e x x x sin 2lim 0----→= xe e x x x cos 12lim 0--+-→ =x e e x x x sin lim 0-→-=x e e x x x cos lim 0-→+=26、解 x x x sin 0lim +→=xx x e ln sin 0lim +→而+→0lim x x x ln sin =+→0lim x x x ln =+→0lim x x x 1ln =+→0lim x 211xx-=+→0lim x )(x -= 0 故x x x sin 0lim +→=10=e 7、解：原式=30sin lim x x x x -→=203cos 1lim xx x -→=x x x 6sin lim 0→=618、 求函数的单调区间和极值.解：定义域为(,)-∞+∞， 212363(2),0,0,2,y x x x x y x x ''=-=-===令得 列表如下：x (,0)-∞0 (0,2)2 ∞(2,+)y' + 0 － 0 + y↑1↓-3↑(,0)-∞∞所以函数的单调增区间为及(2,+)，单调减区间为(0,2)，…01-x x =当时取极大值，当=2时取极小值3.9、确定函数的单调区间及极值和凹凸区间。
高等数学重修复习题(完整版)
x
xx
x2 x 1
3.
lim
x 1
(x 1)2
4． lim 1 ( 1 1 ) x0 x sin x tan x
5．
lim
n
3n
arcsin
4 5n
1
6． lim(x e x ) x x0
7. lim x0
1 2 tan2 x 1 x2 x(e x 1)
8. lim 1 3x 1 x
3. d ( e x2 sin 2x) =
dx ．
4．设函数 f (x) (x 1)(x 2)(x 2014) ，则 f (2014) =
．
5. y esin2 x ，则 dy ______________．
二、选择题
1．设
f
(x0
)
1
，则
lim
h0
f (x0
3h) 1 h
f (x0 1
二、选择题
1．若数列
xn
满足
lim
n
xn
a ，则数列 xn 在 a 的任一
邻域之外（其中
0 ）数列中
的点（ ）
（A）必不存在；
（B）至多只有有限多个；
（C）必定有无穷多个；
（D）可以有有限多个，也可以有无穷多个。
2．下列结论错误的是（ ）．
（A）函数 f (x) sin 1 是有界函数；（B）当 x 0 时，函数 f (x) sin 1 的极限存在；
五、求下列参数方程所确定的函数的一阶导数 dy 和二阶导数 d 2 y ：
dx
dx 2
1）
x y
cos sin
3 3
t t
；
六、设 f (x) 为可导函数，求 dy ： dx
【大学资料】贵州财经大学2017-2018第二学期高等数学(2)下重修参考答案
2017-2018 学年第二学期重修高等数学（2）下参考答案及其评分标准
一、选择题(每小题 2 分，共 20 分) 1 D 2 C 3 C 4 B 5 C 6 D 7 C 8 D 9 C 10 B
二、填空题 (每小题 2 分，共 20 分) 1. (1 x) e 6. 1 ；
................….6 分 ................….7 分 ................….3 分
dz 4( xdx ydy )
3. 解：令 F e xyz 则 Fx yz ， Fy xz ， Fz e x y x y (z 1)
故当 x 17, y 25 时，总成本最小.
五、证明题（本题 4 分） 证明：令 F F ( x , y , z ) ，则
Fy F x z F y ， x z ， y Fx x Fz z Fy
故
.....................…3 分
Fy F F x y z ( )( z )( x ) 1 y z x Fx Fy Fz
......................….4 分
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1
因此，原级数的收敛域为 [ 2 , 4) .
..................….7 分
6. 解： P ( x ) 3 , Q ( x ) 8
P ( x ) dx P ( x ) dx ye [ Q (x ) e dx C ] 3 dx 3 dx e [ 8e dx C ]
2 (4 e 3 x ) . 3
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2 3
................................….7 分
高数1重修试卷A
密院系班级：_________ □印第2010-2011（2）学期试卷总分： 100 分答卷时间： 110 分钟试卷类型： A姓名：封_________ 学号：_________线一、选择（每小题2分，共10分）（答案写在答案页上）1．2)11(limxx xx-∞→-+=（）。
（A）1 （B）21e（C）0 （D）1-e2．函数2y=的导数是（）A16x B 5616x- C 45x- D 2323x-3．设函数)(xf具有连续的导数，则=+'⎰dxxfxf x)]()([（）（A）cxxf+)(；（B）cxf x+')(；（C）cxfx+'+)(；（D）cxfx++)(4．设)(xf在],[ba上连续，则在],[ba上至少有一点ξ，使得（）（A）0)(='ξf（B）abafbff--=')()()(ξ（C）0)(=ξf（D）abdxxfabf-=⎰)()(ξ5．设函数xxay3sin31sin+=在x=3π处取得极值，则=a（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3二、填空（每小题3分，共15分）（答案写在答案页上）1．设函数()f x 在0x 处可导，且在0x 处取得极值，那么0'()f x = 。
2． xx e 1lim -→=3．设211)(x x F -='，且当1=x 时，π23)1(=F ，则=)(x F4．设=)(x f sin 0xtdt ⎰，则)(x f '=5．1,0(),0x e x f x x a x ⎧+≤=⎨+>⎩在x =0处可导，则=a三、计算题（共63分）（答案写在答案页上）1．(1)21sin tan limx x xx x ⋅-→（共6分，每小题3分）（答案写在答案页上）(2)21lim()xx x x→∞+2．设a y x =+，求隐函数)(x y y =的二阶导数22dxyd 。
（6分）（答案写在答案页上）3．1⎰（5分）（答案写在答案页上）共（4 ）页第（1 ）页未经教务处许可，不得复印试卷/ 渤海大学教务处教务科/密院系班级：_________ 姓名：封_________ 学号：_________线4．求曲线43341y x x=-+的拐点及凹凸区间。
高等数学Ⅱ（专科类）第3阶段练习题
⾼等数学Ⅱ（专科类）第3阶段练习题江南⼤学现代远程教育第三阶段练习题考试科⽬:《⾼等数学》⾼起专第五章⾄第六章（总分100分） __________学习中⼼（教学点）批次：层次：专业：学号：⾝份证号：姓名：得分：⼀、选择题(每题4分，共20分)1. 下列函数中, ( ) 是 2cos x x 的原函数。
(a) 22sin x (b) 22sin x - (c)21sin 2x (d) 21sin 2x - 2. 若11()x x f x e dx eC =+?, 则()f x =（） (a) 1x (b) 1x - (c) 21x (d) 21x - 3. sin b ad tdt dx ? 等于 ( ). (a) sin x (b) sin sin b a - (c) b a - (d) 04. 设()f x 为连续函数, 函数1()xf t dt ?为 ( ).(a) ()f x '的⼀个原函数 (b) ()f x 的⼀个原函数(c) ()f x '的全体原函数 (d) ()f x 的全体原函数5. 已知函数()F x 是()f x 的⼀个原函数, 则32(1)f x dx +? 等于 ( )。
(a) (4)(3)F F - (b) (5)(4)F F - (c) (6)(5)F F - (d) (3)(2)F F -⼆.填空题(每题4分，共28分)6.ln (ln )xd x =?______________.7.cos x xdx ?=_______. 8. 233()()x f x f x dx '?=_________. 9. 2cos cos(sin )x x dx π=?________.10.220062sin x xdx -?=__________. 11. 0cos xdx π=_______.12. 极限 23000ln(1)lim xx x t dt tdt→+??=________. 三.解答题(满分52分)13. 求 ln x 的全体原函数。
高数重修习题
一、 单项选择题1．设非零向量},,{},,,{z y x z y x b b b b a a a a ==,则b a ,共线的充要条件是（ c ）（A ）、z z y y x x b a b a b a ===,, （B ）、0=++zz y y x x b a b a b a（C ）、zzyy xxb a b a b a == （D ）、z y x zy x b b b a a a ++=++2．直线212111+=--=-z y x 与平面322=--z y x 的关系是( a )。
A ． 垂直相交 B. 相交但不垂直 C ． 平行，但直线不在平面内 D. 直线在平面内 3．函数()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,0,00,0,,22y x y x y x xy y x f ，则()y x f ,在()0,0处（ ）(A).不连续 (B)．连续但不可微 (C).可微 (D).偏导数不存在4．极限=+→→22200)sin(limy x y x y x ( C)。
A 0B 1C 2D 不存在5．改换积分⎰⎰---11122),(y y dx y x f dy 的次序，则下列结果正确的是（A ）（A ）⎰⎰--21011),(x dy y x f dx （B ）⎰⎰21/1),(xxdy y x f dx（C ）⎰⎰xxdyy x f dx /131),( （D ）⎰⎰-2121),(x xdy y x f dx6 改变积分次序后⎰⎰⎰⎰--+xx x dy y x f dx dy y x f dx 20212010),(),(2=（ ）A ⎰⎰-21010),(y dx y x f dyB ⎰⎰-ydx y x f dy 2010),(C ⎰⎰-+-=22111110),(y ydx y x f dyD ⎰⎰--=yydx y x f dy 211102),(7.下列级数中条件收敛的是（ D ） （A ）、∑∞=121n n （B ）、∑∞=11n n（C ）、∑∞=-121cos)1(n nn(D)、∑∞=-11)1(n nn8、 如果∑代表球面,1222=++z y x 则dS z y x ⎰⎰∑++222=（B ）（A ）π2 （B ）π4 （C ）π34 （D ）π3二、填空题1．给定函数xyz u =和点)1,2,1(-A ，)1,0,1(-B ，则所给函数在点A 沿→AB 方向的方向导数为 。
高等数学(下)重修考试题
高等数学(下)重修练习题1．设a 是从点A (2, 1, 2)到点B (1, 2, 1)的向量, 则与a 同方向的单位向量为a ︒=_______. 2．设向量a ={2, 1, 2}, b ={1, 2, 1}, 则|a +b |=________. 3．设向量a ={2, 1, 2}, b ={1, 2, 1}, 则|a -b |=________. 4．设向量a ={2, 1, 2}, b ={1, 2, 1}, 则a ⨯b =________.5．设向量a ={2, 1, 2}, b ={1, 2, 1}, 则与a 和b 都垂直的向量c =_______ 6．设向量a ={2, 1, 2}, b ={1, 2, 1}, 则cos(a ,^ b )=________.7．设向量a ={2, 1, 2}, 则与a 的方向相同而模为2的向量b =________.8．1. 以向量a =(1, 1, 2)与b =(2, -1, 1)为邻边的平行四边形的面积为________.9．以曲线⎩⎨⎧==+x z zy x 222为准线, 母线平行于z 轴的柱面方程是________.10．2. 以曲线220x y zx y z ⎧+=⎨+-=⎩为准线, 母线平行于z 轴的柱面方程是________.11．2. 曲线⎩⎨⎧==-+00222y z z x 绕z 轴旋转所得的旋转曲面的方程为________.12．2. 曲线2220y z z x ⎧+-=⎨=⎩绕z 轴旋转所得的旋转曲面的方程为________.13．2. 旋转抛物面x 2+y 2=z 与平面x +z =1的交线在xoy 面上的投影方程为________. 14．2.锥面z =x =z 2的交线在xoy 面上的投影方程为_________.15．2. 过点M (1, 2, -1)且与直线2341x t y t z t =-+⎧⎪=-⎨⎪=-⎩垂直的平面方程是________.16．2. 过点M (1, 2, -1)且与直线421131y x z +-+==-垂直的平面方程是________. 17．2. 过点M (1, 2, 1)且与平面2x +3y -z +2=0垂直的直线方程是_________. 18．2. 过点M (1, -1, 2)且与平面x -2y +1=0垂直的直线方程是________.19．函数f (x , y )在点P 0处的偏导数存在是函数f (x , y )在P 0处连续的( ). (A)充分条件; (B)必要条件; (C)充要条件; (D)既非充分又非必要条件. 20．函数f (x , y )在点P 0处连续是函数f (x , y )在P 0处的偏导数存在的( ). (A)充分条件; (B)必要条件; (C)充要条件; (D)既非充分又非必要条件. 21．函数f (x , y )在点P 0处连续是函数f (x , y )在P 0处可微分的( ).(A)充分条件; (B)必要条件; (C)充要条件; (D)既非充分又非必要条件. 22．若f (x , y )在点P 0的某个邻域内( ), 则f (x , y )在P 0处可微.(A)连续; (B)有界; (C)存在两个偏导数; (D)存在连续的一阶偏导数.23．3. 设z =f (x 2+y 2, x 2-y 2, 2xy ), 且f (u , v , w )可微分, 则xz∂∂=________.24．3. 设w =f (u , v ), u =xy , v =x 2+y 2, 且f (u , v )可微分, 则w x∂=∂________.25．3. 设z =ln(1+x 2+y 2), 则d z |(1, 1)= ________.26．设f (x , y , z )=x 2+y 2+z 2, 则梯度grad f (1, -1, 2)= ________. 27．设f (x , y , z )= x 3y 2z , 则梯度grad f (1, 1, 1)= ________.28．函数f (x , y , z )=x 2+y 2+z 2在点(1, -1, 2)处沿方向________的方向导数最大.29．函数f (x , y , z )= x 3y 2z 在点(1, 1, 1)处沿方向_____{3,2,1}_______的方向导数最大. 30．函数f (x , y , z )=x 2+y 2+z 2在点(1, -1, 2)处方向导数的最大值为________. 31．函数f (x , y , z )= x 3y 2z 在点(1, 1, 1)处方向导数的最大值为________. 32．交换二次积分的积分次序, 则100d (,)d yy f x y x ⎰⎰=________. 33．交换二次积分的积分次序, 则11d (,)d xx f x y y ⎰⎰=________.34．交换二次积分的积分次序,则10d (,)d y y x y x ⎰=________.35．交换二次积分的积分次序, 则210d (,)d xxx f x y y ⎰⎰=________.36．设D 为上半圆域x 2+y 2≤4(y ≥0), 则二重积分d Dσ⎰⎰=________.37．设D 是由两个坐标轴与直线x +y =1所围成的区域, 则二重积分d Dσ⎰⎰=______.38．设D 是由直线x =1、y =x 及x 轴所围成的区域, 则二重积分d Dσ⎰⎰=________.39．设D 是由椭圆221916y x+=所围成的区域, 则二重积分d Dσ⎰⎰=________.40．设L为上半圆y则曲线积分Ls ⎰=________.41．设L 为圆x 2+y 2=1,则曲线积分Ls ⎰=________.42．设L为上半圆y 则曲线积分22ln(1)d Lx y s ++⎰=________. 43．设L 为圆x 2+y 2=1, 则曲线积分22ln(1)d Lx y s ++⎰=________.44．设L 是以O (0, 0), A (1, 1), B (0, 1)为顶点的三角形区域的正向边界, 则22d d Lxy x x y +⎰=________.45．设L 是以O (0, 0), A (1, 1), B (0, 1)为顶点的三角形区域的正向边界, 则 (e cos )d e sin d x x Ly x x y y --⎰=________.46．设L 是以O (0, 0), A (1, 1), B (0, 1)为顶点的三角形区域的正向边界, 则 22d (2)d Lxy x x x y ++⎰=________.47．设L是由上半圆y x 轴所围成的区域的正向边界, 则22d (2)d Lxy x x x y ++⎰=________.48．若p 满足________,则级数n ∞=. 49．若p 满足________,则级数n ∞=收敛.50．若q 满足________, 则级数0()2n n q a ∞=∑收敛.51．若p 满足________, 则级数01()2n n n p ∞=+∑收敛. 52．若p 满足________, 则级数2011()pn n n ∞=+∑收敛. 53．设1n n u ∞=∑是任意项级数, 则lim 0n n u →∞=是级数1n n u ∞=∑收敛的( )条件.(A)充分; (B)必要; (C)充分必要; (D)无关.54．设1n n u ∞=∑是任意项级数, 则级数1n n u ∞=∑收敛是级数1n n ku ∞=∑(k ≠0)收敛的( )条件.(A)充分; (B)必要; (C)充分必要; (D)无关. 55．下列级数中收敛是( A ).(A)11(1)1nn n ∞=-+∑; (B)11n n ∞=∑; (C)111()2n n n ∞=+∑;(D)n ∞=.56．下列级数中绝对收敛的是( C ).(A)1(1)nn ∞=-∑; (B)11(1)n n n ∞=-∑; (C)11(1)2n n n ∞=-∑; (D)11(1)(1)n n n n ∞=-+∑.57．下列级数中绝对收敛的是( D ).(A)1(1)nn ∞=-∑; (B)11(1)n n n ∞=-∑; (C)11(1)(1)nn n n ∞=-+∑; (D)211(1)n n n ∞=-∑.58．设幂级数0nn n a x ∞=∑的收敛半径为R , 则当x =R 时, 幂级数0n n n a x ∞=∑ ( ).(A)条件收敛; (B)发散; (C)绝对收敛; (D)可能收敛, 也可能发散. 59．设幂级数0nn n a x ∞=∑的收敛半径为R , 则当x =-R 时, 幂级数0n n n a x ∞=∑ ( ).(A)条件收敛; (B)发散; (C)绝对收敛; (D)可能收敛, 也可能发散. 60．如果幂级数0n n n a x ∞=∑在x =2处收敛, 则收敛半径为R 满足( ).(A)R =2; (B)R >2; (C)R ≥2; (D)R <2.61．如果幂级数0n n n a x ∞=∑在x =-2处收敛, 则收敛半径为R 满足( C ).(A)R =2; (B)R >2; (C)R ≥2; (D)R <2.62．将函数21()1f x x =+展开为x 的幂级数, 则f (x )=_______.63．将函数21()1f x x =-展开为x 的幂级数, 则f (x )=________.64．将函数1()4f x x =-在区间________可展开为x 的幂级数.65．将函数1()12f x x=+在区间________可展开为x 的幂级数.66．求通过直线113y x z==和点(2, -1, 1)的平面方程.67．求过三点A (1, 0, -1)、B (0, -2, 2)及C (1, -1, 0)的平面的方程.68．求通过点(1, 2, -1)且与直线23503240x y z x y z -+-=⎧⎨+--=⎩垂直的平面方程.69．求通过点(1, 2, -1)且与直线23503240x y z x y z -+-=⎧⎨+--=⎩平行的直线方程.70．求通过点(1, 2, -1)且与平面2x -3y +z -5=0和3x +y -2z -4=0都平行的直线方程.71．设z =x sin(x +y )+e xy, 求z y ∂∂, 2z ∂, 2z y x∂∂∂.72．设z =ln(1+xy )+e 2x +y, 求z x ∂∂, 22z x ∂∂, 2z x y ∂∂∂.73．设z =(2x +3y )2+x y, 求z x ∂∂, 22z x∂∂, 2z x y ∂∂∂.74．设z =x y, 求z x ∂∂, 2z x∂∂, 2z x y ∂∂∂.75．设z =x y, 求z ∂, 2z ∂, 2z ∂.76．设z =x sin(2x +3y ), 求z x ∂∂, 22z x∂∂, 2z x y ∂∂∂.77．设z =f (x , y )由方程x e x -y e y =z e z 确定的函数, 求z x ∂∂,z y ∂∂.78．设z =f (x , y )由方程x +y -z =x e x -y -z 确定的函数, 求z x∂∂, zy ∂∂.79．已知z =u 2ln v , 而x u y =, v =3x -2y , 求z x ∂∂, zy∂∂.80．设z =u ⋅sin v , 而u =e x +y , v =x 2y , 求z x ∂∂, zy ∂∂.81．设z =e u sin v , 而u =x -y , v =x 2y , 求z x ∂∂, zy∂∂.82．求曲面z =ln(1+x +y )上点(1, 0, ln2)处的切平面方程. 83．求曲面z =1+2x 2+y 2上点(1, 1, 4)处的切平面方程. 84．求曲面e z -z +xy =3上点(2, 1, 0)处的切平面方程.85．求空间曲线2231y x z x =⎧⎨=+⎩在点M 0(0, 0, 1)处的切线方程.86．求空间曲线x =a cos t , y =a sin t , z =bt 在对应于t =0处的切线方程.87．计算二重积分22()d Dx y x σ+-⎰⎰, 其中D 是由直线y =2, y =x 及y =2x 轴所围成的闭区域.88．计算二重积分2d Dxy σ⎰⎰, 其中D 是由直线y =x , y =0, x =1所围成的区域.89．计算二重积分sin d Dx y σ⎰⎰, 其中D 是由直线y =x , y =0, x =π所围成的区域.90．计算二重积分(e )d y Dxy σ+⎰⎰, 其中D 是由直线y =x , y =1, x =-1所围成的区域.91．计算二重积分3(Dx σ+⎰⎰, 其中D 是由曲线y =x 2, 直线y =1, x =0所围成的区域.92．计算二重积分22e d xy Dσ+⎰⎰, 其中D 是由圆周x 2+y 2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域.93．计算二重积分1d 1Dx yσ++⎰⎰, 其中D 是由圆周x 2+y 2=4及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域.94．计算三重积分d z v Ω⎰⎰⎰, 其中Ω是由曲面z z =0所围成的闭区域.95．计算三重积分d z v Ω⎰⎰⎰, 其中Ω是由曲面z =1-x 2-y 2及平面z =0所围成的闭区域.96．计算三重积分d z v Ω⎰⎰⎰, 其中Ω是由柱面x 2+y 2=1及平面z =0, z =1所围成的闭区域.97．计算曲线积分2(1)d lx s +⎰, 其中l 为圆周x 2+y 2=1.98．计算曲线积分s ⎰，其中l 为抛物线y =x 2(-1≤x ≤1).99．计算曲线积分22()d (2)d CI x y x x y =+++⎰, 其中C 是以O (0, 0), A (1, 0), B (0, 1)为顶点的三角形的正向边界.100．计算曲线积分222()d ()d LI x y x x y y =+++⎰, 其中L 是从O (0, 0)到A (1, 1)的抛物线y =x 2,及从A (1, 1)到O (0, 0)的直线.101．计算曲线积分43224(4)d (65)d LI x xy x x y y y =++-⎰, 其中L 是从(-2, 0)到(2, 0)的半圆x 2+y 2=4(y ≥0).102．计算曲线积分22d d LI xy x x y y =+⎰, 其中L 是曲线y =ln x 上从A (1, 0)到B (e , 1)的一段.∑104．计算曲面积分22()d x y S ∑+⎰⎰, 其中∑为平面x +y +z =1含于柱面x 2+y 2=1内的部分.105．计算曲面积分2d d z x y ∑⎰⎰, 其中∑为上半球面z x 2+y 2=1内的部分的上侧.106．计算曲面积分22d d d d d d y z x y x y z x y z x ∑++⎰⎰, 其中∑是由圆柱面x 2+y 2=R 2和平面x =0,y =0, z =0及z =h (h >0)所围的在第一卦限中的一块立体的表面外侧.107．计算曲面积分22(2)d d d d d d x z y x x y z x xz x y ∑-+-⎰⎰，其中∑是正方体0≤x ≤a , 0≤y ≤a ,0≤z ≤a 的表面的外侧.108．判别级数021!n n n ∞=+∑的敛散性. 109．判别级数213n n n ∞=∑的敛散性.110．判别级数1e()n n π∞=∑的敛散性.111．判别级数∑∞=1!100n nn 的敛散性112．判别级数111(1)2n n n n ∞--=-∑是否收敛？若收敛, 是绝对收敛还是条件收敛？113．求幂级数1(1)nn n ∞-=-∑的收敛半径和收敛区间. 114．求幂级数234 234x x x x -+-+⋅⋅⋅的收敛半径和收敛区间. 115．求幂级数1nn n x n∞=∑的收敛半径和收敛区间.116．将1()2f x x =+展成x 的幂级数, 并写出展开式成立的区间.117．将f (x )=x 3e -x 展成x 的幂级数, 并写出展开式成立的区间.118．将1()2f x x=+展开为(x -1)的幂级数, 并写出展开式成立的区间.119．将1()4f x x=-展开为(x -2)的幂级数, 并写出展开式成立的区间.120．求函数f (x , y )=2x +2y -x 2-y 2的极值. 121．求函数f (x , y )=3x +2y -x 3-y 2的极值.122．求函数f (x , y )=x 2+5y 2-6x +10y +6的极值. 123．求函数f (x , y )=y 3-x 2+6x -12y +5的极值。
本科高数重修试题及答案
本科高数重修试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 函数f(x)=x^2在点x=1处的导数是：A. 1B. 2C. 3D. 42. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值是：A. 0B. 1C. πD. ∞3. 曲线y=x^3在点(1,1)处的切线斜率是：A. 1B. 3C. 9D. 274. 以下哪个选项是定积分∫(0 to 1) x dx的结果：A. 1/2B. 1/3C. 1/4D. 1/65. 级数∑(1 to ∞) (1/n^2)是：A. 收敛的B. 发散的C. 条件收敛的D. 绝对收敛的6. 以下哪个函数是周期函数：A. y=e^xB. y=ln(x)C. y=sin(x)D. y=x^2二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^3的反导数是______。
2. 函数y=x^2+2x+1的极小值点是______。
3. 函数y=ln(x)在区间(0,1)上是______函数。
4. 定积分∫(0 to 1) e^x dx的值是______。
三、解答题（每题10分，共50分）1. 求函数f(x)=sin(x)在区间[0, π]上的原函数。
2. 证明函数f(x)=x^3在R上是连续的。
3. 计算定积分∫(0 to 2) (x^2-2x+1) dx。
4. 求级数∑(1 to ∞) (1/n)的和。
5. 讨论函数f(x)=x^2-4x+4在R上的极值。
四、附加题（10分）1. 给定函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，求其在R上的单调区间和极值点。
答案：一、选择题1. B2. B3. B4. A5. A6. C二、填空题1. x^4/4 + C2. x=-13. 减4. e - 1三、解答题1. 原函数为：-cos(x) + C2. 由于f(x)=x^3在R上处处可导，故连续。
3. ∫(0 to 2) (x^2-2x+1) dx = (2x^3/3 - 2x^2 + x) | (0 to 2)= 4/34. 调和级数发散，无和。
高数A1重修练习题
一、选择题（每小题3分，共15分）： 1、sin limx x xx→∞+=（ ）.（A ）0； （B ）1； （C ）2； （D ）∞.2、设函数()113, 0(), 0x x x f x x k x ⎧⎪->=⎨+≤⎪⎩ 在点0x =处连续，则k =（ ）.（A ）1e -； （B ）e ； （C ）3e -； （D ）3e .3、设2xy e -=，则dy =（ ）.（A ）2xe dx -； （B ）2x e dx --； （C ）22x e dx -； （D ）22x e dx --.4、设()()f x dx F x C =+⎰，则(12)f x dx -=⎰（ ）.（A ）1(12)2F x C --+； （B ）1(12)2F x C -+； （C ）2(12)F x C --+； （D ）2(12)F x C -+. 5、211dx x+∞=⎰（ ）. （A ）0； （B ）1； （C ）1-； （D ）+∞.1、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,,3sin 1)(x a x x x x f ，要使)(x f 在(,)-∞+∞处连续，则()a =.A ：0；B ： 1；C ：13； D ：3. 2、()2sin df x dx等于().A ：()22sin sin f x x ' ； B ：()2sin sin 2f x x ； C ：()2sin f x '； D ：()2sin sin 2f x x '. 3、12)1(-=-f 是函数26323-+-=x x x y 在区间[]11,-的()A ：最小值；B ： 极小值；C ： 最大值；D ：极大值 . 4、设)(x f 的一个原函数是2x e -，则()()f x =.A ：x e 2- ；B ：22x e --；C ：24x e --；D ： 24x e - . 5、设函数 ()⎰-=xat d t x G 2，则 ()().x G ='A ： 2x ；B ：2x -；C ： x 2；D ： x 2-. 1、下列各式中，()的极限为1.A ：sin limx x x →∞； B ：1lim sin x x x →∞； C ：2sin lim x xx π→； D ：01lim sin x x x →.2、设()ln sin 0,1xx y a e a a a ⎛⎫=+->≠⎪⎝⎭，则()='y .A ：cos x a a e x +-； B ： 1ln cos x a a e x +-； C ：1ln x a a x +； D ： 1ln x a a ax+.3、在区间[]11,-上满足罗尔定理条件的函数是().A ：sin x y x=； B ：()21+=x y ； C ：32x y =； D ：12+=x y .4、设()F x 是()f x 的一个原函数，C 为常数，则()也是()f x 的一个原函数。
高数1重修班期末练习(1)
期末练习一、填空题1、函数22()log (4)f x x =-的定义域为 [][]2112，，-- （用区间表示）{{2211040122＜＜或＞＝＞x x x x --≤≥-≥-2、已知36lim 12xx a e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则a = 44a 232321lim 6232====⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ℵ→b a e ea x a a a x x3、若22lim32x x x kx →-+=-，则k = -2 2²-2+k=04、已知函数在点()1,3处的导数值为2，则该函数对应曲线在该点处的切线方程为y = 2x+1（1，3） f(1)=2y-3=2（x-1） y=2x=15、已知sin xy ex -=，则dy =dxe s x dy e x x x e x e y x x x x -----=-=+⋅-=')sin (cos )sin (cos cos sin6、函数21x y x =+在1[,1]2-的最小值为1200)1(2)1()1(2y 2222-='-===++=+-+='x y x x y x x x x x x x 无定义21)1(212141)21(0)0(0)(100)(021===-=↑<'≤≤↓<'≤≤-f f f x f x x f x 当7、已知曲线上任意点切线的斜率为x sin ，且曲线过点()1 ，π，则该曲线方程为y = -cosx⎰+-==c x xdx y cos sin xccos y 0c c cos cos 1-==+-+=ππ8、421x dx x=+⎰ cx c a x c x c a dx xdx xx x dx xx x ++-=++-=+++-+=+⎰⎰⎰tan tan 111111414322223γγ二、计算题 9、求函数y =dxxa x x a x xa x x a )()2(12y 222222222222121---=-⋅-⋅+-=' 10、设()y f x =是由方程22ye x y =确定的函数，求dydx2222)2(22xyy y x e y y x xy y e yx y ='-'⋅⋅+='⋅yx e xy y 2222y -='11、求02lim sin x x x e e xx x -→--- 12、lim (arctan )2x x x π→+∞-21lim 2lim 2)2(lim 2cos 200200lim=+=-=-+=--+=-→-→-→-→x x x xx x x x x xxx e e xe e x e e x x xe e 11lim lim arctan lim221111222=+=--=-=∞→++∞→+∞→x x xx x x x xx π13、求21x xe dx e +⎰ 14、求 ce c a c u c a du ue u e d e dx e e dx e e x xxx xx x x +=+=+==+='+=+=⎰⎰⎰⎰tan tan 11)()(11)()(11112222λγ）（c t dx ct t dt t dtt t dt t tdt dx t t x x t +--=-++-=+-=+-+=+==+=+=-=⎰⎰⎰⎰1ln t 111ln 1111111t2321233222原式令15、求2sin x xdx ⎰[][]cx x x x x xdxx x x x x xd x x dx x x x x xdx x x x x xd x x x d x dx x x dx x x +++-=-⋅+-=+-='+-=⋅+-=-=-='-='-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰cos 2sin 2cos sin sin 2cos )(sin 2cos )(sin 2cos cos 2cos )(cos )(cos )(cos )(cos )cos (222222222216、判定函数sin 0()00sin 0x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪>⎩在0x =处的连续性、可导性。
高数考试题(补考)
班 级 学 号 姓 名
二、填空题（5个小题，每小题4分，共20分） 7. 已知21)1('=
f ，则=--→h
f h f h )
1()1(lim 0 ； 8. 如果dt t x x ⎰
=
2
sin )(ψ，则=)('x ψ ；
9． =⎰xdx ln ； 10. =⎰+∞
-dx e x 02
x 11. 方程
y e dx
y
-x d =的通解为 。
三、计算题（4个小题，共41分，要求有必要的解题步骤）
12．（7分) 求极限x x x x 20
sin 2arcsin lim
→；
13.（7分）由参数方程为参数）
t 为常数，a ，（其中)
cos 1(y )sin (x ⎩⎨
⎧-=-=t a t t a ，所确定的函数的一阶导数dx
y
d ；
14.（7分)设 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-=3
0,902,x
)(2
x x x x f ，求 ⎰
-3
2
)(dx
x f ；
15.（10分) 求
⎰
dx x
x 4
-
1
；
16．（10分）求微分方程 x e y y y 2'
2"=+-的通解。
四、应用题与证明题（2个小题，共15分，要求有必要的解题步骤） 17. （7分）求内接于半径为R 的圆内的长方形的最大面积。
.
18. （8分）曲线 1=xy 与直线 3x 及1x ==，及x 轴围成一个曲边梯形，求该图
形绕 x 轴旋转 一周所得旋转体的体积；。
08-09学年2学期重修班高等数学A(II)模拟试题答案
2.
： x 2 y2 z
1 x2 y2 ， f
x， y ， z
在 上连 续
f ( x，y， z） dv 化 为 球 面 坐 标 系 下 的 三 次 积 分
2
d
4
d
1
f ( r sin
cos ， r sin
sin ，r cos ) r 2 sin dr 解： z
0
0
0
z
1 x2 y2 x2 y2
2sin2 =1， =
0
2x 2
3
x= 3
－dye=x，d, u 2解xxz得，x y
y(z2y)
求x 出2一x个=函Ce数－2
解：增加平面
1 ： z=0
x2
y2 ≤ 1 下侧，
xdydz ydzdx ( z 3)dxdy =
3dv
( z 3)dxdy
1 3
13
3dxdy
3
x2 y2 1
1
x
2
31 4
14. (8 分 )
f ( x)
x2
2x
展开成
3
x
f ( x)
x x2 2 x 3
1( 3
1)
4x 3 x 1
1
n
[ (x 2)
xy 2dx 5xydy
L
L
1
[ x( x2 ) 2 5xx2 2x] dx
1
1
(x 5
10 x 4 )dx
2x5
|1 1
4
1
三、计算 ( 共 70 分 )
11.(6 分 ) 计算
sin y dxdy ，D ： y2= x 和 y = x 围成的闭区域。解：
15高数1重修试卷参考答案
重庆科技学院20 14/20 15学年第1学期试卷参考答案及评分标准(A)卷课程名称： 高等数学（工）1 适用专业/年级： 考试方式： 闭卷笔试 卷面总分： 100 分一、选择题：（本题共5小题，每小题3分，共15分）1.C ；2.B ；3.C ；4.A ；5.B.二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分）1、2e ；2、'2x f f e ⋅⋅；3、()()2122121x e C x +⎡⎤⎢⎥+⎢⎥+⎣⎦； 4、212x x y C e C e -=+；5、1(1)2y x =-； 6、(,1)-∞. 三、计算题：（本题共4小题，每小题6分，共48分）1解：23sin cos sin cos lim lim sin x x x x x x x x x x x →∞→∞--==原式 ………………(3分) 2cos cos sin sin 1lim lim 333x x x x x x x x x →∞→∞-+=== ………………(3分) 2解：ln()lim lim x x x x x x x x a be be x a be →∞→∞→∞+==⋅==+原式 (2+2+2分) 3解：由'cos .'sin cos sin ln cos lnsin ,ln cos lnsin y y x x y y x x y y x y y x -=+=+得'lnsin tan ln cos cot y y x y x x y+=- ……… (2+2分) 从而lnsin tan ln cos cot y y x dy dx x x y+=- ………………(2分) 4解：1sin cos ,cos sin dx dy t t t t t t dt dt =--=-，于是cos sin 1sin cos dy t t t dx t t t-=-- …………(2+2+2分) 5解：333/2222000/2sin |cos |sin cos sin cos t t dt t tdt t tdt πππππ===-⎰⎰⎰⎰原式……(2+2分) 45= ………………(2分) 6t ，则221t dx dt t =+，原式211220021122(1)114t t t dt dt t t π+-===-++⎰⎰ …………(2+2+2分) 7解：令0x =，则2(0)000f =+=，另外，()2()2f x f x x '=+ ……………(2+1分) 于是2222212()2dx dx x x x y xe dx C e xe e C e ---⎡⎤⎰⎰=+=--+⎢⎥⎣⎦⎰ ………………(2分) 由(0)0f =得21122x y x e =-+- ………………(1分) 8解：令y p '=，则有30xp p '+=，故113ln ||3ln ||ln dp dx p x c p x=-⇒=-+⎰⎰ ……………(2+2分) 则13C y p x '==，122C y C x =+ ……………(1+1分) 四、应用题：（本题共12小题，每题6分，共12分）1解：令()10,0x y a b a b +=且141a b +=，得()401a s a b a a a =+=+- ……………（3分） 全校工本令()()()'23101a a s a -+==-，得a=3(唯一) ……………(2分) 于是136x y +=为所求 ……………(1分)2解（1）)33210121()0326x A x dx x ==-=⎰ ……………（3分）（2）()2112006V dx x dx πππ=-=⎰⎰ ……………（3分） 五、证明题(7分)证明：令()()1sin sin 2121na F x a x n x n =++--……………（4分） ()F x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上满足罗尔定理条件 ……………（2分） 所以至少存在一点0,2πζ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内，使得()'0F ζ=成立，由此得证 ……………（1分）。
线性代数重修练习
A 中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合; A 中任意一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合;4.向量组％,（/2,…,tt s ，S>2线性无关的充要条件是（% , «2,..., tt s 中任意两个向量都不成比例a 1, «2,..., tt s 中任意一个向量均不能由其余S -1个向量线性表示5. n 维向量组（/1,口2，...,0$, S 〉11 ,则下列正确的是（ C ）。
a 1^2,.../x s 中存在一个向量能由其余 S — 1个向量线性表示a 1^2,...^s 中任意一个向量均不能能由其余 S — 1个向量线性表示二.填空题1、已知372i 15 j 为偶排列，则i = ___ 6.一.单项选择题 1.设A 为n 阶方阵，且 A = 0 ,则(B )(A ) A 中必有两行（列）的元素对应成比例;(A)^1,«2,...,口5线性无关(B ) a 1,a 2,...,a s 中任意两个向量都不成比例(B) (C) (D) A 中至少有一行 0.(A) r(A) =1#12-3231 3 1 1 1 -2 4 -5 (23 2-3」(B) r(A )=2(C)r(A) =3 (D) r(A)=43.设A 为三阶方阵且A = -2，则3AA T(A) -108(B)-12(C)12(D) 108(A)（/",«2,...,口$均不是零向量(B) (C) (D) a 1,a ?,..., ot s 中有一部分组线性无关(C) (D)（列）的元素全2.已知矩阵 A =，则A 的秩为（A 满足 A 2+A-I =0，贝y (A + I)45_ O12.已知r F 1 +X 2 +X3=0的基础解系所含解向量的个数为12X 1 -X 2 +3X 3 =02、设行列式0、3、已知矩阵A=彳2-1_1 "24、矩阵-2八-1，则A —— 1/4的秩为r c n ，则齐次线性方程组 AX = 0的基础解系中解向量的个数 5.排列3i 7 j 5284是奇排列，则i =—6 6.已知 ％ = (I 2,1), = (1,0,1),03 =(髭1,入)，「(旳，Ct z Q s ) =2，则 A =7.行列式D = 8.设行列式-2-1 中，元素x 的代数余子式为 a22匕2— a?=6，则印b 1 a2b 2-22 10.矩阵 A 如的秩为r =5 ,则齐次线性方程组 AX = 0的基础解系中解向量的个数为 「1a 1 a2=m ,b 2 =n ,则b 1 b 2 b 1 b 2GC 2a 1 8a^c 211.已知2阶行列式1n-m9.设方阵13.齐次线性方程组14、排列3 712 4 56的逆序数为 15.行列式D = -1中, 则 ^23 =-2-2 2 -4 04 -1 353 1 -2 -32 0 51-1 1 -2 04 -1 3 53 1-2 -3251(1) —135⑵1 2 -1 0 三.计算题 1.计算下列行列式 -270-1-1—92—2阶行列式n 阶行列式2.设 HI HIII I [n- 1a+b ]b- a 」)HI(由-2 H 力f lA = |0 I 10 -1 -1 一3丿,矩阵X 满足AX= B 求A —11 q 0 0 J「36A "1 = 0 -2 -1 ,X = -4 11 I P 11.3 -2>1 12 2丿-122234-2 3 3 4 12丿14丿 IT 1丿 12丿X =i 2(2) 求出下列向量组的秩和它的一个极大无关组，并把其余的向量用这个极大无关组线性表 示。
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高等数学重修班练习题三
一）选择题：
1．函数f(x) 在点 x=x 0处可微是 f(x) 在 x=x 0有定义的
(A) 充分条件. (B) 必要条件. (C) 充要条件.
(D) 无关条件. 2． f(x)=2x
2e , 则0lim →h [f(x-2h) – f(x+2h) ]/h =
(A) 2x 2e
. (B) - 4x 2e . (C) 8x 2e . (D) -16x
2e 3． 若0)x (''f )x ('f 00==，则点0x x =为f (x)的
(A) 既是驻点，又是拐点; (B)是驻点，不一定是拐点;
(C) 不一定是驻点，是拐点; (D) 不一定是驻点，也不一定是拐点。
4．
22x dx -⎰=
(A) ⎰--
02xdx ⎰-20xdx ; (B) ⎰--02xdx +⎰2
0xdx ; (C)
⎰-02xdx ⎰-20xdx ; (D) ⎰-02xdx +⎰2
xdx 。
5.下例等式中正确的是 (A) ⎰=b a
)x (f dx )x (f dx d ； (B) ⎰=x a )x (f dx )x (f dx d ；. (C) ⎰=b a
)x (f dx )]x (f dx d [； . (D) ⎰=x a )x (f dx )x (f dx d 。
.
二）填空题：
1) 设 1x x /1)x (f 2-+
=, 则f (x)的定义域为 。
2) 设 x
1x )x (f -= , 则f[f ( sinx )]= 。
3) 220x x tan x 1lim → = , 220x x
1tan x lim → = 。
4) 利用微分近似计算 arctan1.01 ≈ 。
5) 若点(1,2)是曲线 y = x 3 + a x 2 +b x 上的拐点, 则 a= , b= 。
三）指出函数4
x x 2sin )x 2x (y 22--=间断点，并判断其类型
四）设函数⎪⎩
⎪⎨⎧>+=<+-=0x cx x cos 0x b
0x a )1x ()x (f 3 ， 1)当a 、b 、c 为何值时，)x (f lim 0x →存在；
2)当a 、b 、c 为何值时，x=0为f (x) 的连续点；
3)当a 、b 、c 为何值时，x=0为f (x) 的可导点。
五）求下列函数极限：
1） 1
x x x lim 21x --→ 2）1x 2x )1x x (lim -+∞→- ； 3）)x 51ln()1e sin(lim x 20x --→ ； 4）lim ln()x x t dt
tg x →++⎰030412 ；
六）求下列函数的导数或微分：
1))e sin(tan x arcsin x tan x y 2cos ++=, 求2/1x 'y =； 2)x a y = , 求)n (y ；
3)yarctgx x ln y cos += ， 求dy ； 4)25/333)
1x 2(x 1x )1x 2(y -++= , 求'y ； 5)⎪⎩⎪⎨⎧-=+=t t e t y e )1t (x , 求1
t dx dy = 。
七）求积分： 1)⎰++
-dx )x 11x cos x 4(22; 2)⎰+dx 1x sin x cos ; 3)(ln )x x x x dx 21122-++-⎰; 5)⎰+∞-1
x dx xe 。
八）(10分)列表求出函数f(x)=3/1x )4x (-的单调区间, 凹凸区间, 极值点和拐点。